Funkcionális modellek vizsgálata és pontosítása a geodéziai mérések feldolgozásához

Átírás

1 Budapesti Msaki és Gadasátudomáyi Eyetem Építméröki Kar Általáos- és Felseodéia Tasék Fukcioális modellek visálata és potosítása a eodéiai mérések feldoloásáho PhD értekeés Éet Csaba okl. földmér és tériformatikai mérök Budapest, 4 i

2 Kösöetyilváítás Kösööm Földváry Lórát és Tóth Gyula mukatársaimak, ökétes témaveetimek a áldoatos mukájukat, temérdek seítséüket, amivel támoattak, veettek hossú éveke kerestül. Kösöettel tartoom Ádám Jósefek, amiért diplomaserésem utá vissahívott a tasékre és aóta is itt tartott eem. Kösööm a BME Általáos- és Felseodéia Tasék valameyi mukatársáak, akik folyamatos seretetükkel, tördésükkel, érdekldésükkel, taácsaikkal támoattak a fokoat meserésébe a elmúlt 9 évbe. Kösöetet modok a kutatásaimho süksées adatok soláltatásáért: Völyesi Lajosak; Ultma Zitáak; Csapó Géáak; a Mayar Földtai és Geofiikai téetek; Hueod Kftek; Bátyi Tamásak; Bátyi Ferecek; Geovil Kft-ek; Horváth Tiborak és a DBR Metro4 Projektiaatósáak. Kösööm barátaikak a folyamatos lelki támoatást és tevlees seítséyújtást. Kösööm a süleimek, hoy bitosították továbbtaulásom lehetséét és aóta is folyamatosa midet elkövetek aak érdekébe, hoy a lehet lehathatósabba seítseek. Hasolóképpe kösööm családjaik mide eyes tajáak seret támoatását. Kiemelt kösöettel tartoom Feleséemek, Timiek, aki társam mid ebbe, kitartott, bítatott, bitosított mide süksées feltételt, állta a mepróbáltatásokat, és aki élkül e a értekeés em sülethetett vola me. S véül, de els sorba kösööm steek et a eéset, leye Övé eyedül a dicssé! Soli Deo Gloria! ii

3 Nyilatkoat Alulírott Éet Csaba kijeletem, hoy et a doktori értekeést maam késítettem és abba csak a meadott forrásokat hasáltam fel. Mide olya rést, amelyet só serit, vay aoos tartalomba, de átfoalmava más forrásból átvettem, eyértelme, a forrás meadásával mejelöltem. Budapest, 4. április. Éet Csaba (jelölt iii

4 Doktori dissertáció össefolaló A eodéiai mérések feldoloása sempotjából alapvet követelméy a, hoy mide esetbe korrekt fukcioális és stochastikus modellek soláltassák at a keretet, amelybe a külöbö típusú eodéiai mérésekbl a sámukra süksées eredméyek elállíthatók. Ha a érékel tömeeiek távolsáá belül a Eötvös-teor váltoásai em elhayaolhatók, akkor a alapeyelet kibvítésre sorul. Aak visálatára, hoy mikor eleed illetve mikor em a hayomáyos alapeyelet alkalmaása, eljárást dolotam ki, amelyet ey kokrét példá kerestül be is mutattam. Ee kívül a visálataimat kiterjestettem a Eötvös alapeyeletéek aimutváltoást tartalmaó emlieáris meoldására is. Aimutváltoás alatt a kar eyesúlyi- és a beállított aimutja köötti váltoást/eltérést értem, amely miatt a hayomáyos lieáris eyeletredser emlieárissá válik. Kokrét yers mérési adatoko kerestül össehasolító elemést késítettem a két feldoloás eredméyeire. Maapsá sámtala helye alkalmauk tömemodelleket (pl. a ehéséi ertér követle (forward modelleésekor, vay yersaya kutatásál a követle felsí hatásáak fiyelembevételekor stb.. Sükséser tistába leük a alkalmaott tömemodellekbl sármatatott meyiséek potossái mérsámaival. A második résbe a tömemodellbl követle modelleéssel sámított eredméyek potossái mérsámáak mehatároására elskét alkalmatam a Mote-Carlo matematikai simulációs módsert. Et kokrét yakorlati példá kerestül, a MFG Mátyásheyi Observatóriumára késített tömemodelle kerestül mutattam be. A sitfelületek meváltoásáak ismételt siteésekre yakorolt hatását visáltam. Kokrét példá kerestül bemutattam a továbbfejlestett modell hasálhatósáát. Továbbá a kapott eredméyek általáosítása céljából, ayo leeysersített modellek felhasálásával, jóval általáosabba is mevisáltam a földmuka és a kialakult felsíi süllyedések hatását. Tapastalataim serit a földkitermelés hatása csak ie ay kifejtések eseté lehet érdemi, mí a süllyedések hatása elhayaolható mérték. Neyedik résbe a sömér mserek soláltatta eredméyek feldoloásáak fukcioális modelljével és eáltal a sömérés mértékadó hibáiak potosításával, kieésítésével és visálatával folalkotam. Leveettem hibaterjedés törvéyét alkalmava a teodolit mértékadó mserhibáit jellem köéphibákat. Ee köéphibákat Mote Carlo módserrel is mehatárotam, majd a mserhibák potossái becslését kibvítettem, sité Mote-Carlo módserrel, a járulékos hibák fiyelembevételével. Továbbá tapastalati úto visáltam a mértékadó mserhibák lieáris hmérsékletfüéséek lehetséét. iv

5 Summary of the PhD Dissertatio Whe processi eodetic ad surveyi measuremets, it is a fudametal requiremet that i every case accurate fuctioal ad stochastic models provide the framework, i which we are able to derive the results we're after from all the differet kids of eodetic ad surveyi measuremets. f chaes i the Eötvös-tesor betwee the sesor masses of the torsio balace are ot eliible, the fudametal equatio eeds extesio. have proposed a procedure to determie whe it is sufficiet to use the fudametal equatio ad whe it is't, which have also demostrated usi a specific example. have also exteded my research to the o-liear solutio of the fudametal equatio of the torsio balace i the case of icludi aimuth deflectio. By aimuth deflectio refer to the differece betwee the equilibrium ad omial aimuth of the balace arm, which makes the stadard liear equatio system o-liear. Usi specific raw measuremet data have doe a comparative aalysis of the results of the two processi methods. Nowadays we make use of mass modelli i several areas (e.. forward modelli of the ravity field or the research of raw material by the terrai effect etc.. We eed to be aware of the accuracy of the values derived from the mass models bei used. the secod sectio, to determie the accuracy of the results derived from the mass model usi direct modelli used the Mote-Carlo mathematical simulatio method for the first time. have preseted this throuh a specific example, the mass model of the observatory of MFG i the Mátyáshey. have studied the effect of the chaes i level surfaces o repeated levelis. Throuh a cocrete example have show the usability of the improved model. Further, to eeralise the acquired results, have studied i a lot broader scope the effects of earthworks ad the resulti subsidece, usi vastly simpified models. my experiece, the effects of roud mii is oly oticeable i siificatly sied excavatios, whereas the effects of subsidece is eliible. the fourth sectio 've dealt with the fuctioal model of the processi of results provided by teodolites. Usi this, 've studied the stadard error of ale measuremets, maki their value more accurate. By applyi the law of error propaatio 've deduced the deviatio of the stadard error of teodolites. have determied these deviatio values usi the Mote-Carlo method as well, the exteded the estimatio of the accuracy of istrumet errors, aai, usi the Mote-Carlo method, taki ito cosideratio ay subsidiary errors. additioal, have emprically studied the possibility of a liear relatio betwee istrumet stadard errors ad the temperature. v

6 Tartalomjeyék Kösöetyilváítás ii Nyilatkoat iii Doktori dissertáció össefolaló iv Summary of the PhD Dissertatio v Beveetés. A Eötvös- alapeyeletéek kibvítése 5.. A Eötvös- alapeyeletéek kibvítése maasabb fokú taokkal 5... Beveetés 5... A yomatéki eyelete 7... Maasabb fokú Taylor-sorba fejtés A tömeeire voatkoó másod-, harmad- és eyedred yomatéki iterálok sámítása..5. A másodred yomatéki hiba becslése Másodred yomatéki hiba becsléséek sámsersítése Össehasolítás mért adatokkal.. A Eötvös- alapeyeletéek kibvítése aimutváltoást tartalmaó taal 4... Beveetés 4... A Eötvös- eyelet hayomáyos meoldása 4... A Eötvös- eyelet aimutváltoást tartalmaó meoldása A Eötvös- eyelet hayomáyos és aimutváltoást tartalmaó meoldásáak yakorlati példá törté össehasolítása 7.. Össeés. Tömemodell hatásáak potossái visálata Mote-Carlo-módserrel 5.. Beveetés 5.. A tömemodell 5.. A tömevoási ertér 6.4. Ey poliéder tömevoási poteciáljáak és radieseiek sámítása 7.5. Tömemodell potossái visálata Aalitikus meoldás poliéder tömemodell eseté Matematikai simuláció soláltatta meoldás Mote-Carlo-simuláció Mote-Carlo-simuláció soláltatta potossái visálat 4

7 .6. Gyakorlati példa a Mote-Carlo-módserrel véett potossái visálat bemutatására Tömemodell késítése A modell potossái visálata Össeés 49. Sitfelületek elmodulásáak hatása vertikális moásvisálat céljából véett ismételt siteés eredméyeire 5.. Beveetés 5.. A sitfelületek meváltoása a földfelsí fülees moása követketébe 5.. A sitfelületek meváltoásáak hatása a ismételt siteés eredméyeire Gyakorlati alkalmaás: A M4 metróvoal földmukái sorá tapastalt váltoások Alaútfúrás és süllyedések siteésre yakorolt hatásáak modell-visálata 6.6. Össeés 67 V. A sömér mserek mértékadó hibáiak visálata 68 V.. Beveetés 68 V.. A teodolit mértékadó mserhibái 69 V... A álló iráysík merleesséi hibája 69 V... Horiotális távcskülpotossá 7 V... Fekvteely merleesséi hibája 7 V..4. dexhiba 7 V..5. Vertikális távcskülpotossá 7 V.. A teodolit Májay Péter-féle visálata 7 V.4. A mserhibákat jellem potossái visálatok 76 V.4.. A járulékos hibák visálata 76 V.4.. A mserhibákat jellem köéphibák mehatároása 79 V.4... Hibaterjedéssel 79 V.4... Mote-Carlo módser alkalmaásával 84 V.5. A mserhibák hmérsékletfüése 85 V.5.. A BME kertjébe véett mérések 86 V.5.. Moásvisálati hálóatba véett mérések 9 V.6. Össeés Téisek 4 Hivatkoások 5 Füelék 7

8 Beveetés A eodéiai mérések feldoloása sempotjából alapvet követelméy a, hoy mide esetbe korrekt fukcioális és stochastikus modellek soláltassák at a keretet, amelybe a külöbö típusú eodéiai mérésekbl a sámukra süksées eredméyek elállíthatók. A fukcioális modellek mide esetbe tartalmaia kell a feldoloásho süksées össes léyees paramétert, mert a modell esetlees hibája, hiáyossáai sükséképpe hibás, illetve a yakorlatba a feladatok sempotjából em kelle potos eredméyekhe veetek. A mérési esköök és techolóia fejldésével, ismereteik bvülésével eyütt kell jária a mérések feldoloásáho hasált fukcioális modelljeik idkéti felülvisálatáak, és süksé seriti potosításáak. A els résbe a Eötvös- mérések feldoloásáho kapcsolódó fukcioális modellel és visálatával folalkoom. A általuk ismert sakirodalom kiáróla a Eötvös- mérések feldoloásáak lieáris típusú fukcioális modelljét táryalja. Visot a méréseiek feldoloása kapcsá at tapastaltuk, hoy aokba a esetekbe, amikor a iával mérhet ehéséi er radiesek, illetve aok helyfü váltoásai ayok, e a lieáris modell már em kieléít, potosításra sorul. Ee túlmee a mérések sorá a iát tartalmaó háat elre mehatároott aimutokba állítjuk. Eek a beállított aimutok, bár köel aoosak, mésem eyeek me a kar eyesúlyi aimutjaival. A eltérés sité a eddi alkalmaott hayomáyos mérésfeldoloás fukcioális modellje kieésítéséek lehetséét mutatja. A második résbe a olvasó fiyelmét a maapsá eyre több tudomáyterülete alkalmaott modellekre és aok potossái visálatára iráyítom. A eodéia területé a ehéséi ertér leírásáak eyik módserét képvisel iráyat a ertér modelleésére a matematikai statistika eskötárát hasálja. smeretes, hoy a ertér követle (forward modelleésére eyre ikább lehetsé yílik. Amikor a ehéséi ertér össetevire voatkoó méréseikbl a követle felsí hatását (terrai effect kívájuk eltávolítai (pl. yersayakutatásál, akkor at a elbbiekbe említett követle modelleés seítséével metehetjük oly módo, hoy a modellbl sámított ehéséi ertér kompoesekkel a méréseket korriáljuk. A követle modelleés sorá pedi tömemodelleket alkalmauk. Eért sükséser tistába leük a alkalmaott tömemodellbl sármatatott meyiséek potossái mérsámaival. A harmadik résbe a sitfelületek elmodulásáak vertikális moásvisálat céljából véett ismételt siteés eredméyeire yakorolt hatását leíró fukcioális modellel folalkoom. A siteés fukcioális modellje eredede redkívül eyser: ey elre és ey hátra véett lécleolvasás külöbséébl két pot köötti maassákülöbsé mehatároható. A

9 siteés eredméye fü a ehéséi ertér sitfelületeiek alakjától, amit ay potossáot iéyl mukák eseté -mérések bevoásával fiyelembe is kell vei. A ehéséi ertér sitfelületeiek alakja aoba idbe váltoik. Eel a moásvisálatok sorá alkalmaott fukcioális modell sérül: a idbe váltoó ehéséi ertér meváltoásával meváltoik a mérések visoyítási redsere. Vertikális moásvisálat céljából hayomáyosa a visálati területe siteési hálóatot létesíteek, amely meté valamely referecia idpotho képest a terep moásaiak jelleét és mértékét ismételt siteésekkel határoák me. Siteéskor a maassákülöbsé mehatároását a site mser iráyvoalával véeük, amely a vísites iráysík és a állóteely metséspotjába ériti a sitfelületet. A földfelsí vertikális moásaival em csak maa a földfelsí, haem a ehéséi ertér alakja is meváltoik. Íy ey-ey ismételt siteés sorá a meváltoott sitfelületek ériti, aa a mser iráyvoala is meváltoik (horiotsík ferdesére emléketet jelleel, tehát a mehatároott maassáváltoások a földfelsí valódi deformációi mellett a sitfelületek meváltoását is tükröik. A eyedik résbe a sömér mserek soláltatta eredméyek feldoloásáak fukcioális modelljével és eáltal a sömérés mértékadó hibáiak potosításával, kieésítésével és visálatával folalkotam. Ha a sömérést vay kitést ey távcsállásba véeük, akkor eekek a hibákak a hatása jeletkeik a körleolvasásokba. Bár a mai mérállomások alkalmasak arra, hoy automatikusa mejavítsák a csak ey távcsállásba véett éslelés eredméyekét kijelett körleolvasásokat a beépített test-proramjaik seítséével alkalomsere mehatároott mserhibák hatásaiak össesített értékével, a mserhibák további visálata feltétleül süksées. Hise léyees kérdés a, hoy ee mserhibák mehatároása milye potossáal törtét, továbbá a, hoy eeket a mserhibákat befolyásoló, eddi fiyelembe em vett téyek (pl.:a mserhibák hmérsékletfüése hatása mekkora mérték. A sömér mserek mértékadó hibáiak mehatároására Májay Péter doloott ki mservisálatot. A utolsó résbe folalkoom (többek köött eek a mservisálatak a mai mérállomások automatikus éslelés mellett mevalósuló mehatároásával, és erre két yakorlati példát mutatok be. A felváolt esetekre elvéetem a fukcioális modell potosítását, kieésítését, majd kokrét esetekbe mevisáltam a eyes jeleséek yakorlati serepét is. Mit at a taulmáy kapcsolódó fejeetei bemutatják, eyes hatások csak elméleti, mások yakorlati jeletséel is bírak. Ettl füetleül a elméleti eredméyek késbbi mserfejlestések eseté kieésíthetik a mserkostrukció kialakításáak vay éles muka eseté a mérési elredeés 4

10 kialakításáak sempotredserét, íy valameyi eredméyemet valamilye site yakorlati jeletséek tartom.. A Eötvös- alapeyeletéek kibvítése A sakirodalom kiáróla a Eötvös- lieáris fiikai modelljével folalkoik (Eötvös 96, Rybár 97, Tore 989, Sabó 999, Völyesi és Tóth, Csapó 7. Lieáris modell alatt most at értjük, hoy a ehéséi er, lealábbis a érékel eysééek méreteit (éháy dm tekitve a hely lieárisa váltoó füvéye. Eel eyeérték kijeletés a, hoy a ehéséi er radiesei (a Eötvös-teor elemei álladóak. Visot amikor a iával mérhet ehéséi er radiesek már em tekithetk álladóak (vay akár lieárisa váltoóak a két érékel tömee köötti éháy dm-es távolsáo belül, akkor em sámíthatuk kostas (vay lieárisa váltoó radies illetve örbületi értékekkel. Eért a yomatéki eyeletét kibvítettük a maasabb fokú taokkal, és mevisáltuk, hoy eek a taok meyire befolyásolják a kialakuló eyesúlyi helyetet. Visálataik seítséet yújtaak aak eldötéséhe, hoy a yakorlatba mikor eleed, illetve mikor em a hayomáyos alapeyelet alkalmaása. Továbbá ebbe a résbe táryalom a alapeyeletéek aimutváltoást meeed váltoatát. A aimutváltoás hatását, a korábbi mérések feldoloása sorá fiyelme kívül hayták... A Eötvös- alapeyeletéek kibvítése maasabb fokú taokkal... Beveetés A Eötvös-iáak a térbe lieáris váltoó ehéséi ert tartalmaó fiikai modelljét a követke alapeyelet írja le: KD Dmhl = α τ τ [ W si α W XY cos α ] [ W XZ si α WYZ cos ] i, (. ahol i a eyes aimutokba (i=-5 a yualmi helyetére voatkoó skálaleolvasás [skálaostás= s.o.]-ba, a iát felfüest toriós sál csavarodásmetes állapotáho tartoó skálaleolvasás, a há aimutja (=(i-/5, K a kart felfüest toriós sálra voatkoó tehetetleséi yomaték [ cm ]-be. A D a skála és a toriós sálra ersített tükör távolsáa skálaostás eysébe, a toriós sál csavarási álladója [(cm /s ]-be, m a m=m=m karo lév testek tömee []-be, h a alsó töme és a kar távolsáa [cm]-be, majd l a fél karhossa [cm]-be (. ábra. A alapeyelet leveetése sorá Homoródi Lajos Felseodéia taköyvébe (966 a ehéséi er váltoására voatkoóa a követke mejeyést tesi: 5

11 Mivel a rúd hossa (l kis méret, feltehet, hoy ee belül a ehéséi er váltoása lieáris, tehát x, y és iráyú össetevit a O (a súlypotja helye sorba fejtve, a második és maasabb red taok elhayaolhatók. (Homoródi 966, 7. old... ábra. Eötvös- serkeetéek sematikus ábráolása (Völyesi, E at jeleti, hoy a yomatéki eyeletébe csak másodfokú taok serepelek. Visot aokba a esetekbe, amikor a iával mérhet ehéséi radiesek helyfü váltoásai ayok (pl. a Mátyás-barlaba E/5cm értéket is elérhet (lásd.. ábra, a két érékel tömee köött a ehéséi er váltoása em tekithet lieárisak (aa em sámíthatuk kostas W=Wyy-Wxx, Wxy, Wx, Wy radiesekkel. Eért a továbbiakba kibvítjük a yomatéki eyeletét a ehéséi er poteciáljáak maasabb fokú tajaival és mevisáljuk, hoy eek a taok meyire befolyásolják a kialakuló eyesúlyi helyetet... ábra. Modellbl sámított vertikális radies váltoása a maassá füvéyébe a 4-as ravimetriai mikrobáispot füleesébe A visálatok seítséet yújtaak aak eldötéséhe, hoy a yakorlatba mikor eleed, illetve mikor em a sokásos lieáris fukcioális modell alkalmaása. 6

12 7... A yomatéki eyelete A leveetés sorá követjük Homoródi (966 jelöléseit. A O pot leye ey deréksö koordiáta-redser kedpotja. A teely essék a felfüest voal iráyába. Ekkor a xy sík a O poto áthaladó sitfelület éritsíkja. (Homoródi 966 O eybe a le redseréek ( iráyba köelít tömeköéppotja. Aért köelít, mert a két súlypotjait össeköt eyees felepotjába vessük fel, vayis elhayaoljuk a le redser eyéb elemeiek, például a lekarak és a felfüest sálakak a tömeét. A koordiáta-redser jobbsodrású, ahol x=ésak, y=kelet, =Le... ábra. A dm tömeelem és a rá ható ehéséi er vísites össetevi A ehéséi er elemi dm yomatéka a P(x,y potba elhelyeett dm tömere: dm y x dm x y ( = (. A teljes yomaték a iára: = x y dm y x M ( (.... Maasabb fokú Taylor-sorba fejtés A vektor vísites (xy síkba es x, y össevetiek Taylor-sora másod- és harmadfokú taokat is felírva (Kor. 975: ( = xy y x y y y y x x x x xy y x y x y x y y x x y y x x xy y x y y x x y y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x (.4

13 és a y-ra a füelék (F.. eyelete. Fiyelembe vessük, hoy a vektor mefelel össetevi a ehéséi ertér W poteciálfüvéyéek deriváltjaival is kifejehetk: x W = Wx =, x y W = Wy = (.5 y Eért a (.4 eyeletek a harmadfokú taoki beáróla a alábbi alakba írhatók (a alsó idexek most a parciális deriváltakat jelölik: x = ( W ( W x ( W y ( W ( W x ( W y ( W ( W xy ( W x ( W y ( W x ( W y ( W xxy x ( W x y ( W xy ( W x ( W x ( W xxxy ( W y ( W xy... xyy xx xx xxy xxyy xy xy x 6 xx xxxx xxx 6 xxx xyyy xyy 6 xy x y x (.6 és a y-ra a füelék (F.. eyelete. A továbbiakba a feti kifejeéseket beírjuk a (. yomatéki eyeletbe és fiyelembe vessük, hoy a O potba a vektor teely iráyú (aa (Wx =(Wy =, valamit elhayjuk a O potot a deriváltak jelölésébl. A (. yomatéki eyeletbe a x, y, másod-, harmad- és eyedfokú poliomjai serepelek, amelyeket a (. eyelet serit a teljes tömeére iterálva, másod-, harmad- és eyedred yomatékokat kapuk. Eek össee adja a teljes yomatékát: M = M (.7 M M 4 Feltételeük továbbá, hoy a tömeére voatkoó iterálás sempotjából a ehéséi er poteciálfüvéyéek második, harmadik és eyedik deriváltjai álladókak tekithetk (eért kiemelhetk a iteráljel elé. Íy a másod-, harmad- és eyedred yomatékok a alábbi kifejeések lesek: ( x y dm ( Wyy Wxx xy dm Wx y dm Wy M = W x dm (.8a M W xy = W xy xxy x ( x y dm W yyy xy dm W y x dm Wxyy y( x y ( x y dm ( W yy Wxx xy dm Wxxx x y dm Wx y dm dm (.8b 8

14 M 4 W W W W = W 6 xxyy xxy xyy xx xy x y x xxxy ( x y ( x y dm Wxyyy y ( x y dm Wxy ( x y ( x y ( x y xy dm W dm W 6 6 dm W dm W 6 xxx yy xxxx x y dm yyyy xy dm W 6 xy dm W x y dm W 6 yyy x y x dm xy dm y dm dm (.8c Veyük ésre, hoy a (.8b, (.8c-be serepl harmad- és eyedred parciális deriváltak em mid füetleek, hise a Laplace-eyeletet x illetve y serit eyser vay kétser deriválva a követke össefüéseket kapjuk: W W W x y xx = = = ( Wxxx Wxyy ( Wxxy W yyy ( Wxxxx Wxxyy ( Wxxxy Wxyyy ( Wxxyy Wyyyy ( Wxxx Wxyy ( W W Wxy = (.9 Wyy = Wx = Wy = xxy yyy Eeket a össefüéseket a harmad- és eyedred yomatékokra felhasálva M = Wxxy x( x y dm W yyy x( y dm Wxyy y( x y (.a Wxy ( x y dm ( W yy Wxx xy dm Wxxx y( x dm M 4 W 6 W 6 W 6 = W 6 yyy xyyy [ x ( x y ( x y ] dm W yyyy xy( y ( y dm Wxxyy xy( x y [ y ( x y ( x y ] dm Wxxy x( x y xyy xxxy x y dm ( x y dm Wxxxx xy( x dm Wxxx y( x dm dm dm (.b eyeleteket kapjuk. A iterálok kisámításáho célser ey olya koordiáta-redsert felvei, amelyek x teelye a rúd iráyába áll, aa a ésaki iráyho képest aimuttal el va fordulva. A koordiáta-trasformáció eyeletei ebbe a esetbe: 9

15 x = x cosα y siα y = x siα y cosα (..4. ábra. Eötvös-iáho kapcsolt koordiáta-redser, illetve a (sámítások sempotjából fbb méretei Eekkel a eyeletekkel a másodred yomaték kifejeése a követke les, a iteradusokba vissatérve a (x, y, jelölésekre (.4. ábra, amelyek most már a karho kötött koordiáta-redsert jelölik: M W W = W y x xy cosα si α cos α ( x y dm ( W yy Wxx x dm x dm W W y xy si α si α xy dm y dm cos α xy dm W ( W yy Wxx si α ( x y x cosα y dm dm (. Jó köelítéssel feltételehetjük, hoy a tömeeloslása a x síkra simmetrikus. E esetbe mide olya iterál, amelybe a y sorókét serepel, érus les. Íy a iára ható másodred yomaték:

16 M W = W x xy siα cos α ( x y dm Wy cosα x dm ( Wyy Wxx si α ( x y x dm dm (. E a yomatékeyeletéek ismert alakja. Ha a két töme aysáa m, és potserek tekithetk, akkor a kar y síkra simmetrikus tömeeloslása eseté a alábbi alakot kapjuk me: M mhl ( W cosα W si α ( x y dm ( W W si α ( x y = Wxy cos α yy xx dm (.4 y x A yomaték-eyeletéek harmadfokú tajait a füelék (F.. kifejeésébe láthatjuk. Ha a kar simmetrikus tömeeloslását tételeük fel a x síkra, akkor ismét mide olya iterál, amelybe a y sorókét serepel, érus les. E taok élkül a harmadred yomatéki eyeletük alakja: M W = xy ( W xxy Wyyy cosα x( x y dm ( Wxxy Wyyy cosα x( 4 x y cos α ( x y dm ( Wyy Wxx si α ( x y ( W xyy Wxxx si α x( x y dm ( Wxyy Wxxx siα x( 4 x y dm 8 dm dm (.5 A eyedred yomatékok össeét pedi a füelék (F..4 kifejeésébe láthatjuk. A x síkra simmetrikus tömeeloslás miatt a y-t sorókét tartalmaó iterálok kiesek: M 4 = 4 4 ( Wxxxy Wxyyy cos 4α ( x 6x y y 4 4 ( Wxxxx 6W xxyy W yyyy si 4α ( x 6x y y ( W xxy W yyy cosα x( x y dm ( W xyy Wxxx si α x( x y 4 4 ( Wxyyy Wxxxy cos α [ 6( y x x y ] 4 4 ( Wxxxx W yyyy si α [ 6( x y y x ] ( Wxxy W yyy cosα x( ( x y 4 4 ( Wxxx Wxyy siα x( 4 ( x y dm dm dm dm dm dm 8 dm (.6

17 ..4. A tömeeire voatkoó másod-, harmad- és eyedred yomatéki iterálok sámítása A (.4, (.5, (.6-os kifejeések serit a követke yomatéki iterálok sükséesek a yomatékok sámításáho (a felsorolás többi taja a füelék F.. résébe található (F..5-9.: = x dm (.7 ( x y = dm (.8 ( x y = x 4 dm (.9 ( x y 4 = x 4 dm (. A x teely a kar iráya (poitív a lelóó töme felé, y a rá merlees iráy, mí lefelé mutat. A O (,, oriót a köelít tömeköéppotba, aa a két töme súlypoti eyeeséek sakasfele potjába, vettük fel (.4. ábra. A iát a kar, a feti és a lelóatott töme alkotja (a tükörtartót a sámításál elhayaoljuk. Mivel eek alakja télatest illetve heer a feti 9-féle iterált me kell határoi télatestre és heerre, és eutá sámíthatjuk ki ket umerikusa a méretéek és ayaáak ismeretébe. A alkalmaott jelölések:. Télatest:. Heer: a. köéppotja: O (x,y, b. méretei: (a, b, c a. köéppotja: O (x,y, b. méretei: (d, H átmér és maassá c. ormális elhelyeés (teelye a iráyába áll Ha F(x, y, -vel jelöljük a (.7-(. yomatéki iterálok iteradusait, akkor a télatest esetébe a F c ( a, b, c, x, y, = F( x, y, dm = F( x, y, télatest c y b y b x a ρ d dy dx (. x a iterált, a heer esetébe pedi a

18 F H ( d, H, x, y, = F ( x, y, dm = ρ F ( x r cosα, y r si α, heer H d π dα rdr d (. iterált kell kisámítai (ahol a xy-síkba áttértük a r, polárkoordiátákra. A eredméyek a követkek (m jelöli a télatest vay heer térfoatáak és srsééek soratát, aa tömeét: Télatestekre (a felsorolás többi eleme metalálható a füelék F.. résébe (F..-4: = (. mx a b = m x y (.4 4c a b = 4 mx x y (.5 a b 4c = 4 4 mx x y 4 (.6 Heerekre (a felsorolás többi eleme metalálható a füelék F.. résébe (F..5-9: = (.7 mx ( m x y = (.8 4H d = 4 mx x y (.9 4H d = 4 4 mx x y (. 4 A E-54-es paraméterei valamit a yomatéki iterálok sámértékei (Auterbal-iára voatkoó adatok metalálhatók a füelék F.. résébe (F..- tábláataiba:.. tábláat. A E54- paraméterei E54- köéppot [cm] O (x, y, kar (.6,., - 5. fels töme (-9.94,., - 5. alsó töme (9.94,., 5. méret [cm] (a, b, c; (d, H h. sél. ma..6.. h. sél. ma átm. m. aya [/cm ] Al (.7 Au (9. Au (9.

19 .. tábláat. A E54-iára voatkoó yomatéki iterálok sámértékei jelölése yomatéki yomatéki yomatéki yomatéki mértékeysée iterál: iterál: fels iterál: alsó iterál kar töme töme (M, cm (M, cm (M, cm (M, cm (M, cm 4 (M 4, cm 4 4 (M 4, cm 4 4 (M 4, cm 4 44 (M 4, cm A másodred yomatéki hiba becslése A harmad- és eyedred yomatékok kifejeéseibl (.5,.6 látsik, hoy bioyos taok a aimut és kétserese ( és söfüvéyei serit váltoak. Eek hatása abba jeletkeik, hoy mehamisítják a mefelel másodred yomatéki taokat. Aa a kapott értékek emcsak a másodred yomatéki taot tartalmaák, haem mé további össetevket, amelyeket em lehet leválastai a másodred taokról, mivel aok is a aimut füvéyei. Vaak visot a aimut három- és éyserese söfüvéyei serit váltoó taok, amelyek mideyik taot mehamisítják. Tekitsük most át eeket a taokat. A másodred yomaték (.4 kifejeése a yomatéki iterálokkal: M = W y cosα Wx si α Wxy cos α ( W yy Wxx si α (. A harmadred yomaték (.5 kifejeése a yomatéki iterálokkal (felhasálva a (.9 össefüéseit: M = Wy 8 (W xxy W 8 yyy cosα Wx siα Wxy 8 cosα (W xyy Wxxx 8 cos α si α ( W yy W xx si α (. A eyedred yomaték (.6 kifejeése a yomatéki iterálokkal (felhasálva a (.9 össefüéseit: 4

20 M 4 = 4 (W xxy 8 ( Wxxxy W y W W 4 cosα Wx 4 si α 4 4 cos α (W xyy 8 W 44 cos 4α ( Wxx 48 W yyy xyyy xxx yy W 4 xy 8W 4 si α xxyy cos α 44 si 4α 4 ( W yy W xx 4 si α (. Eutá írjuk fel a Eötvös-iáak a térbe em lieárisa váltoó ehéséi ert tartalmaó fiikai modelljét leíró alapeyeletét (.,.7,.,.,. fiyelembevételével: D = M τ (.4 A íy felírt alapeyeletbe 9 db (8 ismeretle található, amibl: - 4 db a W másodred deriváltja: Wy, Wy, Wx, Wxy, (Wyy-Wxx, - 6 db a W harmadred deriváltja: Wy, Wx, Wxy, (Wyy-Wxx, (Wxxy-Wyyy, (Wxyy-Wxxx, - 8 db a W eyedred deriváltja: Wy, Wx, Wxy, (Wyy-Wxx, (Wxxy-Wyyy, (Wxyy-Wxxx, (Wxxxy-Wxyyy, (WxxWyy8Wxxyy, - és db. Ee kívül jól látható a (.,. és. eyeletekbl, hoy a Wx, Wy radieseket elssorba a seriti aimutfüést mutató Wx, Wy és Wx, Wy deriváltakat tartalmaó taok hamisítják me. A seriti aimutfüés miatt a Wxy, (Wyy-Wxx örbületi értékeket elssorba a Wxy, (Wyy-Wxx harmadred és a Wxy, (Wyy-Wxx eyedred deriváltakat tartalmaó taok befolyásolják. Ee kívül vaak mé a háromsoros és éyseres aimutokat tartalmaó taok, amelyek hatása mid a radies, mid a örbületi értékekbe jeletkei fo...6. Másodred yomatéki hiba becsléséek sámsersítése Mekkora hibát oko e a yakorlatba? Eek a kérdések a meválasolását ey kokrét példá mutatom be. E kokrét példa helysíe a MFG Mátyásheyi Gravitációs és Geodiamikai Observatóriuma (továbbiakba: observatórium. A kibvített (.4 eyelet bár 8 db ismeretlet tartalma, ee ismeretleek mehatároása sajos 8 db méréssel em lehetsées, mert a aimut (eyserese, kétserese, stb. seriti taok eymástól em válashatók sét. Eért, ha sereték mehatároi a másodred yomatéki hiba értékét (aa a eymástól, aimut seriti füése miatt, sét em válastható taok össeét a másodred taho képest akkor at a yomatéki eyelet sitjé, mide eyes ta kisámításával me lehet tei. 5

21 A (.4 eyelet 8 db ismeretleébl 4-he ((8-(4, aa a radiesek maasabb red deriváltjaiho a helysírl késített tömemodell seítséével redeltem értékeket. Mivel a célom a másodred hiba értékéek becslése, eért a femaradt 4 ismeretlehe, kiküsöbölve a mérésbl és modelleésbl vett értékek külöbséét, sité a tömemodell seítséével redeltem értékeket. Olya esetbe, amikor idokolt ey mérés kibvített eyelettel törté feldoloása (ha tehát rövid távolsáo aymértékbe váltoak a radiesek, akkor a 4 db ismeretlet ey, a helysírl késített tömemodellbl becsülve, a femaradó 4 ismeretlet 5 aimutba törté éslelésbl határouk me: 4 5 =, (.5 5 [ ( 5 ( 5 ( 4 ] 5 5 W = 4 c, (.6 x Wx Wx ( W xx W yy 8W xxyy 44 [( 5 ( ( 5 ( 4 ] 5 4 c W =, (.7 y ( W y W y 4 Wxxxy Wxyyy W xy = c 4 [( 5 ( ( 5 ( 4 ] 5 ( W W ( W W xxy yyy 4 xxy yyy 4 4 W xy W 6 xy 4, (.8 ( W W yy xx = W 5 5 c = 4 [ ( 4 ( 5 ( 5 ] ( W W ( W W xyy xxx 4 xyy ( W ( yy Wxx W W yy xx 4 xxx 4, (.9 ahol, D c =, τ A.5. ábrá látható folyamatábra seítséével ismertetem a observatórium mikrobáis potjai a másodred yomatéki hiba (továbbiakba: yomatéki hiba becslésére iráyuló sámítás fbb lépéseit (a árójelbe tett sámok a.5 ábra sámoását követik: (, Visálati potok kiválastása, ahol a yomatéki hiba sámsersítése kíváatos. 6

22 (, A visálati pot körül, aak követle köryeetébe és a Eötvös- tömeeiek átlaos maassáába, ey cm-es cm-es ostáskö térbeli rácsháló sarokpotjaiak, mit seédpotok, koordiátáiak ( sámítása. (6, A observatóriumról korábba késített (Tóth és Éet tömemodell (4, valamit ayasrsé (5 ismeretébe a seédpotokba kisámítjuk a ravitációs ertér radieseit Holstei ( által kidoloott össefüések serit PolyGrav prorammal (Tóth, 4. (, A visálati potba és a körülötte lév seédpotokba is redelkeésre álló radiesek seítséével a visálati potba, öt pot alapjá umerikus differeciálással elállítjuk a ravitációs er poteciáljáak harmad és eyedred (a radies els és másodred parciális deriváltjait ( (Abramowit és Steu 97: ( x h 8 f ( x h 8 f ( x h f ( x h f f ( x (.4 h ( x h 6 f ( x h f ( x 6 f ( x h f ( x h f f ( x (.4 h (, A yomatéki iterálok sámértékeit a.-es tábláat tartalmaa. (5, A redelkeésre álló maasabb red parciális deriváltak és yomatéki iterálok seítséével, elállíthatók a yomatéki eyelet eyütthatói..5. ábra. Nyomatéki eyelet eyütthatóiak sámítását bemutató folyamatábra. Résleteését lásd a sövebe. 7

23 .6. ábra. A observatórium helysíraja és a mikrobáis potjai A observatóriumba található ravimetriai mikrobáis potjaiba (.6. ábra kisámított yomatéki eyelet eyütthatóiak ismeretébe lehetsé yílt a másodred yomatéki hatás aimutokéti és potokéti össehasolítására:.7. ábra. A harmad és eyedred yomatéki taok össeéek aysáa a másodred taho visoyítva a E54- eseté, sáalékos alakba (tehát *(harmadredeyedred/másodred formába A.7. ábrá látható diaramo a yomatéki hiba sáalékos aráyait látjuk, aa sáalékosa at mutatja, hoy a harmad és eyedred yomatéki taok össee a másodred yomatéki ta értékéhe képest sáalékosa meyire sámottev. Aa ha a méréseiket a kibvített eyelet (.4 serit dolouk fel, akkor a kapott véeredméy aysáredile a.7. ábrá látható mértékbe tére el a hayomáyos eyelettel törté feldoloás eredméyeitl. 8

24 A maximális érték 6% a -es potba, második leayobb érték pedi 6% a 8-es ravitációs falappoto. Továbbiakba is maradva a mikrobáis potjaiba sámított értékekél, rafikus mejeleítés útjá hasolítjuk össe a pustá másodred taokat, valamit a másod-, harmad- és eyedred taokat tartalmaó eyütthatókat. A aimutho tartoó eyütthatók értékeit, mit eymásra merlees össetevket, eyserre is mejeleíthetük a horiotális radies mitájára, csak most em radiesek serepelek a eyes össetevkbe, haem a yomatéki eyelet eyütthatói: WYZ W SZ = W XZ WYZ, α = arcta (.4 W XZ A aimutho tartoó yomatékok ( W SZ [Ecm ] mértékeysébe (.8. ábra: pl.: a -es potba ~7 -yi eltérést tütettük fel, aoba értéke téyleese ~7.'-yi. A 8-es falappoto látható ~ -yi eltérés, téylees értéke: ~.'-yi. A aimut kétsereséhe tartoó értékekél pedi a horiotális iráyítóer mitájára: = ( WYY W XX 4W XY R X R, Y W ( XY α = arcta (.4 WYY W XX.8. ábra. Aimutho tartoó yomatékok E54-iára. Torított léptéke: aháy fokyi elfordulás a másodred taho képest, ayi. percyi iráyeltérés téyleese Aimut kétsereséhe tartoó yomatékok ( R X R [Ecm ] mértékeysébe a Y.9. ábrá láthatók. Értékek: pl.: a -es potba ~68 -yi eltérés téyleese ~68'-yi, illetve a 8-es falappoto mejeleített ~ -yi eltérés valójába ~'-yi. 9

25 A sámításaimat aal a sádékkal terjestettem ki a observatórium teljes területére x méteres rácsháló potjaira, hoy íy teljesebb képet kaphassuk a yomatéki hiba területi eloslásáról. A eredméyeket a.. és.. ábrá mutatom be..9. ábra. Aimut kétsereéshe tartoó yomatékok E54-iára. Torított léptéke: aháy fokyi elfordulás a másodred taho képest, ayi percyi iráyeltérés téyleese.a/b. ábra. Aimutho tartoó yomatékkülöbséek E54-iára a observatórium teljes területére../a (bal csak iráykülöbsére [söperc] mértékeysébe (- perc, mí./b csak vektorhoss-külöbsére [ 4 *Ecm ] mértékeysébe (-.7* 4 *Ecm

26 .. ábra. Aimutho tartoó yomatékok E54-iára a observatórium teljes területére. Torított léptéke: aháy fokyi elfordulás a másodred taho képest, ayi. percyi iráyeltérés téyleese.. ábra. A observatóriumról és köryeetérl késült modell réslete, a kfejt maas siklafala és a observatórium kapcsolata.a/b. ábra. Aimut kétsereséhe tartoó yomatékkülöbséek E54-iára a observatórium teljes területére../a (bal iráykülöbsé [söperc] mértékeysébe (- perc,./b (jobb vektor aysáok külöbsée [ 4 *Ecm ] mértékeysébe (-* 4 Ecm.

27 .4. ábra. Aimut kétsereséhe tartoó yomatékok E54-iára a observatórium teljes területére. Torított léptéke: aháy fokyi elfordulás a másodred taho képest, ayi percyi iráyeltérés téyleese Levoható követketetések:, Aimut eysereséhe tartoó yomatékokról (.8.,.. és.. ábrák: a, a yomatékok aysáa a observatórium bejárata felé köeledve övekedést mutat. Eek valósísíthet oka a bejárat fölött maasodó siklafal (lásd.. és.. ábra b, a csak másodred yomatéki taot tartalmaó értékek eltérése aa a yomatéki hiba mid iráyultsába, mid aysába aoko a helyeke ves fel sélsértéket, ahol srséváltás va, e többyire a barlafal követle köryeete (lásd. ábra. E a eredméy alátámastotta a várakoásukat, hise ott várható leikább a ertér em lieáris váltoása, ahol a tömeek yorsa váltoak. (A sélsértékek valójába valameyi falo, aok teljes hossába mejeleek. A, hoy esetükbe e csak eyes potokba yilvául me, csak a felvett rasterpotok helyéek tulajdoítható, amelyek esetleese kerültek (vay em kerültek valamely falsakas köelébe., A aimut kétsereséhe tartoó yomatékokról (.9.,.. és :4 ábrák: a, a.4. ábra serit a yomatékok ayobb értékeket vesek fel a observatórium területé, mit ao kívül. b, a yomatéki hibák aysáát tekitve elmodható, ami a aimut eysereséhe tartoó yomatéki hibák esetébe is, hoy a srséváltások helyei jeletkeek a ayobb értékek (lásd./b. c, a aimut kétsereséhe tartoó yomatéki hibák jeletse ayobbak, csakem ey aysáreddel, mit a aimut eysereséhe tartoó társaik. A mikrobáis potjaira sámított

28 aimut kétsereséhe tartoó yomatéki hibák értékeit éve (.9. ábra va olya pot, ahol több mit fokkal eltér (-es pot: 68 perc a hayomáyos és a kibvített eyeletet alkalmaó sámítás eredméye. Mejeyeem, hoy a ilye esetekbe jelleme ayo kicsi maáak a hibáak a értéke, tehát a ay söeltérés csak a kis amplitúdó követketébe fellép bioytalasáak tudható be (lásd.. és.4 ábráko a bal fels sarokba található potok. lye sempotból eeket a elté-réseket irrelevásak tekitjük...7. Össehasolítás mért adatokkal A el alfejeetbe a yomatéki hiba értékéek sámsersítéséhe modellbl sámított radiesekkel dolotuk. Ebbe a alfejeetbe rafikusa össehasolítjuk a modellbl sámított értékeket a ravimetriai mikrobáiso véeett mérésekkel (Völyesi et al. 9. A össehasolítást a yomatékok sitjé véeük. Aimutho tartoó mért és sámított yomatékok ( [Ecm ] mértékeysébe a füelék F.. ábrájá láthatók. Aimut kétsereséhe tartoó yomatékok ( [Ecm ] mértékeysébe a füelék F... ábrájá láthatók. R X W SZ R Y Tábláatos formába mid a aimut eysereséhe (horiotális radies-yomaték, mid a kétsereséhe (horiotális iráyítóer-yomaték tartoó eyütthatók mért és sámított értékeiek külöbséeit kööljük. A mért és a sámított értékek aysááak eltérését sáalékosa is meadjuk *sámított/mért alakba. A sámított yomatékok a másod-, harmad- és eyedred taokat tartalmaák... tábláat. A aimut eysereséhe és kétsereséhe tartoó yomatékok külöbséei a mérések (Völyesi et al. 9 és modellbl sámított értékek köött, valamit aysáukak sáalékos aráya. Mikro-báis potjai si(,cos( eyütthatók külöbséei iráy [fok-perc-mp] si(,cos( eyütthatók külöbséei hoss [Ecm ] % si(, cos( eyütthatók külöbséei iráy [fok-perc-mp] si(, cos( eyütthatók külöbséei hoss [Ecm ] %

29 Sámos lehetsées oka va aak, ha a Eötvös-iával mért radiesek em eyeek a tömemodellbl kibvített módo sámított értékekkel: pl.: - a másodred yomatéki hibák hatása (.7. ábra - a tömemodell hiáyossáai (fel em mért üreek, stb. - a valósába jelelév és a modellbe alkalmaott külöbö ayasrséek hatásai - a mért meyiséek mérési hibái.. A Eötvös- alapeyeletéek kibvítése aimutváltoást tartalmaó taal... Beveetés A Eötvös- alapeyeletébe (. serepl öt ismeretlet (, Wx, Wy, Wxy, W 5 aimutba törté méréssel mehatárohatjuk. A elre mehatároott aimutba állításáál (beállított aimut (öt aimut eseté:, 7, 44, 6, 88 csak a háat tudjuk a kívát értékre forati, visot a kar eyesúlyi (ahol a yomatékok eyesúlya beáll állapotáho tartoó aimut (rövide: eyesúlyi aimut ismeretle marad. A Eötvös- felépítésébl adódóa a kar yualmi helyetéhe tartoó aimut köel helyekedik el a há beállított értékéhe, de em eyel aal. Eért ebbe a fejeetbe mevisálom, hoy a alapeyeletéek a kar aimutváltoását tartalmaó taal törté kibvítéséek milye hatása va a mérésekbl hayomáyos meoldással sámított eredméyekre. Aimutváltoást tartalmaó ta alatt a továbbiakba a aimut beállításáak hibáját leíró taot értem.... A Eötvös- eyelet hayomáyos meoldása A Eötvös- alapeyelete a ehéséi er poteciálja Taylor-soráak elsred tajaival a (. eyelet értelmébe (emléketet jelleel itt újra meismételve: KD Dmhl = α τ τ [ W si α W XY cos α ] [ W XZ si α WYZ cos ] i, (. A eyeletek (i=,,,5 lieáris eyeletredsert alkotak. A váltoók mayaráatát lásd.. alfejeetbe. A mserálladókat tartalmaó taokat két új váltoóval helyettesítjük: KD a =, (.44 τ 4

30 5 τ l h m D b =, (.45 A öt lieáris eyeletbl a öt ismeretle (, Wx, Wy, Wxy, W kifejehet (.46-.5: =, (.46 ( ( ( [ ] b W x =, (.47 ( ( ( ( [ ] b W y =, (.48 ( ( ( ( [ ] a W xy =, (.49 ( ( ( [ ] a W =, (.5 A eyes radiesek illetve örbületi értékek kifejeésébe a yualmi helyetére (öt aimutba voatkoó skálaleolvasások (i és mserálladók (a,b serepelek. A most kapott eyeletek ayba hasolítaak a korábba már bemutatott (.5-.9 eyeletek els tajára.... A Eötvös- eyelet aimutváltoást tartalmaó meoldása A beállított aimut és a eyesúlyi aimut külöbséével kieésítve a alapeyeletet, a már emlieárissá válik. A íy kapott eyeletredsert fokoatos köelítéssel oldhatjuk me. A valódi aimut i eltérése a évlees aimuttól [ ] D j i mértékbe befolyásolja a leolvasás értékét. Eek mefelele a Eötvös- alapeyelete a alábbi: ( ( ( ( ( cos si cos si = j j i y j i x j i xy j i i D W D W b D W D W a α α α α, (.5 (i=,,,5; j=,, ahol (j a értéke a emlieáris eyelet j -ik köelít meoldásáál ( =, (.5 a kedeti (j= értékét (.5 a lieáris meoldásál látható módo (.46 sámítjuk, i a eyes aimutokba a yualmi helyetére voatkoó skálaleolvasás.

31 6 A (.5-as emlieáris eyeletredsert felírhatjuk mátrixokkal: [ ] [ ] [ ] 5, 5, 5,5 t W A =, (.5 ahol: [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = 4 cos 4 si 4 cos 4 si cos si cos si cos si cos si cos si cos si cos si cos si ,5 D b D b D a D a D b D b D a D a D b D b D a D a D b D b D a D a D b D b D a D a A j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α, (.54 (j=,, a köelítések sáma [ ] ( = j y x xy W W W W W 5,, (.55 [ ] [ ] 5 4,5 =, (.56 A (.5-as eyeletredserbl a köelít meoldást [ ] [ ] [ ] t A W 5, 5,5 5, \ =, (.57 formába kapjuk, ami a (.5-as eyeletredser lieáris köelít meoldását adja (például a Gauss-féle felemkiválastásos kiküsöböléses módserrel. Et követe ey feltétel visálata követkeik, ahol a eredméykét kapott ( értéket hasolítjuk össe a ( kedeti értékével. Általáosítva at visáljuk, hoy a ( ( j j, (.58 feltétel meyire teljesül. Ha a feltétel em teljesül, akkor a ( kedeti érték helyébe ( els köelít meoldás lép, majd követkeik a második köelít meoldás sámítása (.5- (.58-i. Ha a feltétel teljesül, akkor a iteráció véet ér és a leutolsó W vektor les a véeredméy.

32 ..4. A Eötvös- eyelet hayomáyos és aimutváltoást tartalmaó meoldásáak yakorlati példá törté össehasolítása A observatórium ravimetriai mikrobáisá (.6. ábra Völyesi et al.(9 méréseit dolotam fel hayomáyos lieáris és aimutváltoást tartalmaó emlieáris meoldással, majd a kapott eredméyeket össevetettem. A yakorlatba a hayomáyos feldoloás sorá a mserbe atiparallel módo elhelyeett két ( [] /éysö/ és O /kör/ mérési eredméyeit külö-külö feldoloák, majd a kapott eredméy sámtai átlaát vesik. Ebbl fakadóa a kétféle feldoloási mód össehasolításáál é is hasolóképpe jártam el. Külö-külö össehasolítottam a [] - és O - mérésére alkalmaott két módser eredméyét, valamit a eyes módserek (lieáris és emlieáris két iára voatkoó átlaára is elvéetem a össehasolítást ( ábrák:, csak [] - mérésébl a hayomáyos lieáris ( l és aimutváltoást tartalmaó emlieáris ( l meoldás külöbsée mid radiesre, mid örbületi értékekre (a ábráko: piros síel, ahol?? bármelyik mért radies ill. örbületi értéket jelölheti (??=x, y, xy, : dw l_l_éys ö = W _ l_éysö - _ l_éysö (.59?? _?? W??, csak O - mérésébl a két meoldás külöbsée mid radiesre, mid örbületi értékekre (a ábráko: öld síel: dw l_l_kör = W _ l_kör - _ l_kör (.6?? _?? W??, a eyes módserek (lieáris és emlieáris két iára voatkoó átlaáak külöbsée mid radiesekre, mid örbületi értékekre (a ábráko: kék síel: dw _ l_l_átla = átla( W?? _ l_éysö, W?? _ l_kör átla( W?? _ l_éysö,???? W _ l_kör (.6.5. ábra. Lieáris és em lieáris eyeletekkel törté feldoloás külöbsée: dw x (E 7

33 .6. ábra. Lieáris és em lieáris eyeletekkel törté feldoloás külöbsée: dw y (E!!!.7. ábra. Lieáris és em lieáris eyeletekkel törté feldoloás külöbsée: dw (E.8. ábra. Lieáris és em lieáris eyeletekkel törté feldoloás külöbsée: dw xy (E Levoható követketetések: - mivel a ábrák fülees teelyéek beostása aoos (5 Eötvös, íy látható, hoy a örbületi értékekél a két feldoloási módser külöbsée ayobb, mit a radiesekél. 8

34 - a ravimetriai mikrobáis ao potjaiba (8-es és 6-os ahol a pot követle köelébe (visoyítva a többi potho ics aymérték tömeváltoás, ott a lieáris és emlieáris feldoloás eredméyei kevésbé térek el eymástól, mit ott ahol a tömeek ay váltoása rövid sakaso bekövetkeik A eredméyeket visálva joosa merülhet fel a kérdés: Va-e össefüés a két feldoloási módser külöbsée és a radiesek aysáa köött? Ha va, milye össefüés modható el? Eek visálata céljából a.9-. ábráko mevisáltam a korrelációt a alkalmaott módser és a jel aysáa köött. A korreláció értékét a visálatho tartoó ábra alatt tütettem fel. # R =,9! # % # R =,5.9.a/b. ábra. Lieáris és em lieáris feldoloás külöbsée horiotális radies és iráyítóer aysááak füvéyébe, átlaolva éysö- és kör- adatokra, Eötvös mértékeysébe # R =,75 9

35 ! # % # R =,67..a/b. ábra. Lieáris és em lieáris feldoloás külöbsée horiotális radies és iráyítóer aysááak füvéyébe, éysö- adatokra, Eötvös mértékeysébe # R =,4! # % # R =,76..a/b. ábra. Lieáris és em lieáris feldoloás külöbsée horiotális radies és iráyítóer aysááak füvéyébe, kör- adatokra, Eötvös mértékeysébe Metekitve a.9-. ábrákat, amelyeke feltütettem a R determiációs eyüttható értékét is, meállapíthatjuk, hoy a két módser külöbsée és a horiotális radies, valamit a iráyítóer aysáa köött általába köel lieáris kapcsolat mutatkoik. Tovább visálva a sámítások eredméyeit a x és y iráyú eltérésekbl (dwx és dwy, valamit a örbületi értékek külöbséébl (dw és dwxy eredvektort sámítottam mide eyes potba (lásd a ered vektorok vépotjait a.. és.. ábráko. A horiotális radies-vektorok vépotjait, akár csak a horiotális iráyítóer-vektorok vépotjait is, sité ábráoltam ey-ey polárdiarammo, ahol piros síel jelöltem a

36 aimutváltoást tartalmaó emlieáris feldoloás eredméyeibl sámított vektorvépotokat, illetve kék síel a hayomáyos lieáris feldoloás eredméyeibl sámítottakat (lásd: ábrák... ábra. Eredvektorok vépotjai dw x és dw y külöbséekbl (átlaolva éysö - és kör - adatokra horiotális radies mitájára [E]-be (-tól 8 E-i, R =,57.. ábra. Eredvektorok vépotjai dw és dw xy külöbséekbl (átlaolva éysö - és kör - adatokra horiotális iráyítóer mitájára [E]-be (-tól E-i, R =,9

37 .4. ábra. Horiotális radies-vektorok vépotjai lieáris (kék és emlieáris (piros feldoloásál (W x és W y értékekbl (átlaolva éysö - és kör - adatokra [E]-be (-tól 8 E-i, R =,4.5. ábra. Horiotális iráyítóer-vektorok vépotjai lieáris (kék és emlieáris (piros feldoloásál (W és W xy értékekbl (átlaolva éysö - és kör - adatokra [E]-be (- tól 5 E-i, R =,8 Levoható követketetések: - a emlieáris feldoloás eredméyekét kapott horiotális radiesek jelleme ayobbak, mit lieáris feldoloás eseté (.4. ábra - a observatórium bejáratáál található meredek siklafal (.6. ábra iráysöe ~ 4, a horiotális radiesek iráyai jelleme: ~ 5 körüliek. Eek alapjá a horiotális radiesek a siklafalra merlees iráyba állak. - a lieáris és emlieáris meoldások külöbséeibl (átlaolt kör- és éysö- adatokál sámított eredvektorok (.. ábra jelleme a observatórium fjáratáak (ahol

38 a mikrobáis potjai: 4-5 találhatók, lásd..6. ábra iráyába állak (fjárat iráya: ~ - a horiotális iráyítóer-vektorok jelleme a fjáratra merlees helyetet vesek fel - a horiotális iráyítóer-vektorok aysáai a emlieáris meoldásál rövidebbek, mit lieáris társaik (.5. ábra - a lieáris és emlieáris meoldások külöbséeibl (átlaolt kör- és éysö- adatokál sámított eredvektorok (.. ábra jelleme a siklafal iráyával párhuamosa állak.. Össeés A Eötvös- alapeyelete térbe lieárisa váltoó ehéséi erteret (ervektorokat feltétele, a két érékel tömee köött a radiesek értékei álladók. A. résbe aal folalkotam, hoy ha a elbbi feltételeés em állja me a helyét, vayis a érékel tömeeiek távolsáá belül a Eötvös-teor váltoásai em elhayaolhatók, akkor a alapeyelet kibvítésre sorul, vayis em eleed a alapeyeletbe serepl ehéséi ertér poteciálját leíró Taylor-sort másodred taoki felíri, haem at maasabb red taokkal ki kell eésítei. Ahho, hoy kijelethessük, va-e érdemi hatása a eyelet bvítések, a visálatokat a yomatékok sitjé kell elvéei. A Taylor-sor maasabb red tajaival törté kibvítés a eddii 4 ismeretlee kívül további 4 db ismeretlet hoott, amelyek mehatároása em lehetsées további mérések (több aimutba véett mérés bevoásával. Eek oka: a kibvített eyeletbe a ismeretleek aimut-füése, amelyek követkeméye, hoy bioyos taokat/ismeretleeket (pl.,, és 4 em lehet sétválastai eymástól, vayis eek a taok a yomatéki eyeletbe a másodred taok értékét módosítják. A íy kapott yomatéki hiba értéke a Mátyás-barlaba véett visálataim serit akár a másodred ta értékéek több mit 5%-át is kiteheti! Meoldáskét a feldoloásba bevotam a mérések köryeetérl késített tömemodellt, amelyek seítséével a 4 plus ismeretleek értéket adhatuk, íy a öt aimutba véett ésleléssel a klassikus 4 ismeretle mehatároható (.5-.9 képletek. Visálataim eredméyei seítséet yújtaak aak eldötésébe, hoy a yakorlatba mikor eleed illetve mikor em a hayomáyos alapeyelet alkalmaása. Ee visálatoko túlmee, folalkotam a Eötvös- alapeyeletéek további potosításával. A mérésekkor a iát tartalmaó háat elre mehatároott aimutokba (öt aimut eseté:, 7, 44, 6, 88 állítjuk. Eek a beállított aimutok, bár köel helyekedek el, mésem eyeek me a kar eyesúlyi aimutjaival, vayis a alapeyeletbe serepl (beállított aimut söértékeket ki kell eésítei ey d elfordulás-értékkel, hoy mekapjuk a kar téylees eyesúlyi aimutját. A alapeyelet aimutváltoást

39 (d tartalmaó meoldásába a eddii lieáris eyeletredser emlieárissá váltoik. A meoldás ismétléses (iteratív köelítéssel kapható. Mevisáltam a eyesúlyi aimutváltoást tartalmaó taal törté kibvítések a valósáos mérésekbl hayomáyos meoldással sámított eredméyekre yakorolt hatását. Eredméykét elmodhatjuk, hoy látuk sabályserséet a két meoldás-külöbséek iráyultsáaiba és aysáaiba eyarát, továbbá a emlieáris meoldást hasáló feldoloással a eddii hayomáyosho képest jeletse, akár E-el más értékeket is kaphatuk átlaolt (kör- és éysö- adatokra éve. Mivel a mérésfeldoloás sorá a fukcioális modell sabályos vay modellhibái mide esetbe bioyos fiikai vay eometriai törvéyserséek fiyelme kívül hayásából adódak (Detreki, 99, eért fotos ee sabályos hibák résletes elemése. A véeredméyel sembe támastott potossái követelméy alapjá lehet eldötei, hoy mely potoko, milye mérési körülméyek köött, melyik feldoloást alkalmauk. Tapastalataim serit a Eötvös- méréseket mide esetbe a alapeyeletéek aimutváltoást tartalmaó meoldásával érdemes feldoloi, hise e a mai sámítástechikai lehetséeket tekitve em oko ehéséet, továbbá ha a mérési pot követle köryeetébe kis távolsáo belül jelets a tömeváltoás és a mekívát potossá érdekébe a potról és köryeetérl eodéiai felméréssel tömemodell késíthet, akkor a maasabb red taokkal kibvített eyelet alkalmaását ajálom. A fetiekhe kapcsolódó téisem a követke: Mevisáltam a Eötvös- lieáris fiikai modelljéek maasabbfokú taokkal törté kibvítéséek lehetséét. Eljárást dolotam ki a ilye iráyú feldoloás elvééséhe, és ey kokrét példá kerestül bemutattam aak alkalmaását. Visálataimat kiterjestettem a Eötvös- alapeyeletéek aimutváltoást tartalmaó emlieáris meoldására is, továbbá kokrét mérési adatok bevoásával össehasolító elemést késítettem a hayomáyos lieáris és emlieáris feldoloással sámított eredméyekre. 4

40 . Tömemodell hatásáak potossái visálata Mote-Carlo-módserrel.. Beveetés Maapsá eyre több tudomáyterülete alkalmaak modelleket. Nics e máskét a eodéia területé sem, ahol a ehéséi ertér leírásáak eyik módserét képvisel iráyat a ertér modelleésére a matematikai statistika eskötárát hasálja. A eodéia roko sakterületei (eofiika, eolóia stb. által a Föld bels serkeetére voatkoóa soláltatott eyre több és mebíhatóbb adat illetve modell seítséével, lehetsé yílik a ehéséi ertér követle (forward modelleésére (Papp,996; Beedek,9. Amikor a ehéséi ertér össetevire voatkoó méréseikbl a követle felsí hatását (terrai effect kívájuk eltávolítai (pl. yersaya kutatásál (Zuidwe és Mumaw 7, akkor at a elbbiekbe említett követle modelleés seítséével metehetjük oly módo, hoy a modellbl sámított ehéséi ertér össetevkkel a méréseket javítjuk. A ertér követle modelleése olya eometriai modell mealkotását iéyli, amelyet mefelel fiikai ayasrséel látuk el abból a célból, hoy ki tudjuk sámítai eek a modellek a tömevoási erterét. A ilye modelleket evehetjük tömemodellekek. A tömemodellek alkalmaási területe ie séles, pl. (a teljessé iéye élkül: léi úto törté ehéséi radies mérés (Airbore Gravity Gradiometry (Jekeli és Zhu (6, Hua (, Furo Aribore Surveys (, Eötvös- mérésekél a toporafikus hatás sámításáál (Eötvös 96, stb. A tömemodellbl sármaó felsíi korrekciók fotosak a radiométeres mérések sámára, hise a felsíi tömeek mserhe való köelsée miatt a terepfelsí okoa a leayobb radieseket. A felsíi korrekció potossáa fü a tömemodell potossáától és a korrekció sámításáho bevot tömemodell kiterjedésétl (Hua (. Ebbe a résbe a tömemodellek potossááak visálatával folalkoom. Eek keretébe at visálom, hoy milye össefüés állapítható me a tömemodell eometriáját leíró koordiáták köéphibái és a tömemodellbl sámított tömevoási ertér össetevit (poteciál, térerssé, radies jellem köéphibák köött. A kérdésre adott válast lépésrl-lépésre haladva ismertetem... A tömemodell Tömemodellek eveük ey háromdimeiós testet, amelyek felsíe árt, aa víhatla. Felsíéek felületi ormálisa a küls tér felé mutat, továbbá teljes térfoata adott eloslású ayasrséel kitöltött. 5

41 .. A tömevoási ertér A valódi ehéséi ertér W poteciálja a V ravitációs- vay tömevoási-, a VF forásivay cetrifuális-, valamit a VA árapálykelt erk poteciáljából tehet össe. A három ta köül aoba csak a ravitációs össetev kisámítása oko problémát, eért a továbbiakba csak eel folalkoom. Ey tetslees alakú és srséeloslású töme esetébe a tömevoási poteciál (Biró et al, V ( P = k ρ( x', y', ' x' y' ' [( x x' ( y y' ( ' ] / dx' dy' d' (. alakjából kiidulva (k a Newto-féle tömevoási álladó, (x, y, a töme srséfüvéye, P(x, y, a sámítási pot és P (x, y, a tömeelem helyete a mefelel koordiáták seriti differeciálással a Eötvös-teor elemei elvile eysere elállíthatók. A valódi ehéséi ertér W poteciáljáak második deriváltjai eyetle simmetrikus teorba folalhatók, amelyet Eötvös-féle teorak eveük: E xx E xy E x E = E yx E yy E y. (. E x E y E A Eötvös-féle teorba serepl meyiséek S mértékeysée ms - /m=s -. Eek -9 - seresét is hasálják, és et Eötvös Lorád tisteletére Eötvösek eveik ( E= -9 s -. Valamely sitfelület tetsleese kiválastott köryeetébe mide iráyba váltoik, vay váltohat a ehéséi yorsulás. A helyi vísites síkba található olya iráy, amely meté a leayobb a váltoás. Ha ee vísites s iráy meté képeük a ehéséi yorsulás differeciálháyadosát, akkor a vísites, vay sitfelületi radiest kapjuk. E vektormeyisé; iráya a leayobb váltoás vísites iráya. A sitfelületi radies a poteciállal kifejeve (ha a fülees iráy: s W = s = E s, (. eek deréksö össetevi: x W = x = y W y E x ; = = E y. (.4 A eodéiai redserbe sokás serit x a ésaki, y a keleti iráy. Ha a ehéséi yorsulást a fülees iráy serit differeciáljuk, a ehéséi yorsulás fülees (vertikális radiesét kapjuk: 6

42 W = = E. (.5 A vertikális radies a ehéséi yorsulásak a fülees iráyba mérhet távolsáeysére es meváltoását adja. A ehéséi er sitfelületei alakjáak a ömbi simmetriától tapastalható eltérését a ú. örbületi eltéréssel lehet jellemei. A sitfelület örbületi eltérése vay Eötvös eleveésével a horiotális iráyítóképessé em más, mit a sitfelület valamely potjába a leayobb és a lekisebb örbület külöbsééek és a illet potba a ehéséi yorsulásak a sorata, amely a Eötvös- mérésekkel kifejeve (Völyesi, Völyesi és Ultma 7: R = E 4, (.6 E xy ahol E = E yy Exx. (.7.4. Ey poliéder tömevoási poteciáljáak és radieseiek sámítása Tetslees homoé srséeloslású poliéder (síklapokkal határolt test ravitációs hatásáak sámítására a Holstei ( által kidoloott össefüéseket hasálhatjuk. A össefüések ey (i-edik lapo a j-edik élhe kapcsolt ortoormális ( hij, tij, i vektorhármasra épülek (.. ábra. A i vektor a i-edik lap kifelé mutató ormális eysévektora. A tij vektor a i-edik lapo a j-edik él i ormálvektor iráyából éve óramutató járásával elleke iráyba mutató eysévektora. A hij vektor pedi a hij = tij i vektorsoratból adódik, és jobbsodrású redserré eésíti ki a vektorhármast. A sámítási össefüésekbe alapvet serepe va mé a bij vektorak, amely a hij és i vektorok síkjába esik, tehát aok lieáris kombiációja a alábbiak serit: b ij ( i r arct( ij = h ij l i si i ij. (.8 ij.. ábra. Mayaráat a poliéder tömehatás sámításáho 7

43 A össefüésbe a si( a eljel füvéy, ri a P sámítási potból a poliéder i-edik lapjáak tetslees potjába mutató vektor, továbbá i ri a két vektor skaláris soratát jelöli. A dimeió élküli ij és ij sámokat pedi a alábbi képletek defiiálják: s ij ij =, rij rij ij = ( h ij rij ij ( rij rij sijij i ri. (.9 Véeetül, a feti össefüésekbe rij és rij a P potak a j-edik él két vépotjától mért távolsáa, illetve sij a j-edik él hossa. A P potba a test V ravitációs poteciálja, a ravitációs er vektora, illetve a E Eötvös teor (ravitációs radies teor a test össes lapjára és a adott lap össes élére vett alábbi össeekkel állítható el (a jel a vektorok ú. küls, diadikus soratát jeleti és e ey teort eredméye; k a Newto-féle tömevoási álladót, valamit a kostas srséet jelöli: V E ( P ( P = kρ ri i = V ( P = kρ i r i r ( P = V ( P = kρ i i j i b ij j ij b ij j ij b ij (. A feti képleteket a alábbi FORTRAN 9 yelve proramoott sámítási eljárással értékeljük ki, amely a PolyGrav proram rése (Tóth, 4 subroutie GrEl(Corer, Face, rho, Poits, dv, dg, de A eljárás (subruti paraméterei a követkek: Corer a test csúcspotjaiak koordiátái Face a eyes lapok sarokpotjaiak idexei a Corer tömbbe rho a test srsée (k/m Poits a sámítási pot(ok koordiátái dv, dg, de a sámított eredméyek a adott potokba (, ill. 6 elem Mivel a Eötvös-teor simmetrikus, eért va csak 6 füetle eleme: Exx, Eyy, E, Exy, Ex, Ey. A subruti a eredméyeket µj/k, Gal illetve E (Eötvös mértékeyséekbe adja me. 8

44 .5. Tömemodell potossái visálata.5.. Aalitikus meoldás poliéder tömemodell eseté A potossái visálat alatt, ahoy at korábba írtam, a követket értem: milye össefüés állapítható me a tömemodell eometriáját leíró koordiáták köéphibái és a tömemodellbl sámított tömevoási ertér össetevit (poteciál, térerssé, radies jellem köéphibák köött A válast aalitikus úto a hibaterjedés adhatja me: Ha a méréseik valósíséi váltoók, akkor aok füvéyei sité valósíséi váltoók lesek (Detreki, 99 Ha abból iduluk ki, hoy a mérési eredméyeik koordiáták és aok valósíséi váltoók (me kell említeük, hoy mé íy is eyfajta eysersítéssel élük, mert valójába a eometria mehatároására iráyuló mérési eredméyeik pustá söek és távolsáok, a koordiátákat ee meyiséek felhasálásával sámítjuk, a koordiátákat jellem köéphibákat pedi sité a mérési eredméyek köéphibáiból tudjuk leveeti, akkor a tömemodellbl sámított tömevoási ertér össetevi is sitúy valósíséi váltoók lesek. A el fejeetbe (.4 láthattuk a poliéder tömevoási poteciáljáak és radieseiek sámítási össefüéseit (., mit a eometriát leíró koordiáták (k a Newto-féle tömevoási álladó és a testsrsé füvéyeit: [ V ( P, ( P, E( P ] f ( Y, X, k, ρ =. (. modell modell Detreki (99, 4. fejeete serit ey Y ( Λ Λ Λ = f,...,, füvéyérték µ Y variaciáját és µ Y köéphibáját a követke módo lehet mehatároi: µ = és Y f M f (, (, (, µ = f M f (. Y, (, ( (, ahol M a meyiséet jellem kovariaciamátrix és f f = Λ f, Λ f,..., Λ a füvéy váltoók seriti parciális deriváltjait tartalmaó vektor. Ha a mérések (a füvéy váltoói füetleek, akkor M kovariaciamátrix diaoális mátrix les, s eek mefelele a füvéyérték variaciáját: Λ Λ Λ Λ Λ f f f µ Y = µ µ... µ (. Λ 9

45 alakba sámíthatjuk. A. kifejeések koordiáták seriti parciális deriváltjait kellee tehát elállítauk. Ehhe a.8,.9-es füvéyek, valamit a i, hij = tij i vektorok poliéder sarokpotok koordiátái seriti boyolult deriváltjaira lee sükséük. Amit majd késbb láti fojuk, eyéb hibahatások (pl. fel em mért üreek amúy is jelets mértékbe befolyásolják a sámítás eredméyét. Eért a céluk sempotjából eltekitük a ie mukaiéyes aalitikus hibavisálattól. Helyette a tömemodell potossááak visálatára olya köelít meoldást válastuk, amely em iéyli a aalitikus deriváltak elállítását..5.. Matematikai simuláció soláltatta meoldás.5... Mote-Carlo-simuláció A matematikai (véletle simuláció Mote-Carlo-módser éve vált ismertté. Ey véletle váltoó átlaértékét tudjuk eel a eljárással mehatároi, ha em ismerjük, vay esetle em tuduk, vay em akaruk boyolult sámításokat véei a eloslásfüvéy meadására voatkoóa. A ay sámok törvéye alapjá eleed sámú mita vétele eseté a kapott átlaérték köel fo esi a általuk em ismert valós értékhe (Libor,. A Mote-Carlo simulációs módser léyee, hoy a eyes bioytala téyekhö redelt valósísé-eloslások alapjá véletlesere válastjuk ki aok értékeit. A íy kiválastott kiiduló adatokat a simulációs visálat ey-ey kísérletébe (a modell erjestésekét hasáljuk fel. Mote-Carlo-módserekek eveük a matematikai feladatok meoldásáak véletle meyiséek modelleését felhasáló umerikus módsereit és eek jellemiek statistikus értékelését. A Mote-Carlo olya matematikai eskö, amely alkalmas arra, hoy véletle eseméyek soroatával oldjuk me determiistikus problémákat (Brostej et al 6. A Mote-Carlo (rövide: MC eleveést Metropolis és Ulam (949 hasálták elsör arra utalva, hoy a módserhe süksées véletle sámokat akár ey játékkasió játékeredméyeibl is veheték. A yakorlatba visot a véletle sámokat sámítóépek mauk állítják el. A MC-módser iai fejldése akkor idult me, amikor Neuma, Ulam és Fermi atommareakciókra voatkoó boyolult matematikai problémák sámítóéppel törté köelít meoldására hasálták (Cserti Mote-Carlo-simuláció soláltatta potossái visálat Ey tömemodell potossái visálatáál a véletle v. MC-simulációt alkalmava válast lehet adi a rés elejé feltett kérdésre, miserit: milye össefüés állapítható me a tömemodell eometriáját leíró koordiáták köéphibái és a tömemodellbl sámított tömevoási ertér össetevit (poteciál, térerssé, radies jellem köéphibák köött Ha a eodéiai méréseiket csak véletle jelle hibák terhelik, akkor eek eloslását ormális (vay Gauss-féle eloslás jellemi (Krauter,. Ebbl fakadóa a MC- 4

46 simulációál a tömemodell eometriáját alkotó koordiátákat ormális eloslású véletle hibákkal terheljük, majd a íy (kis mértékbe meváltoott eometriával redelke tömemodellbl kisámítjuk adott potokba (pl. rácsháló potjaiba a tömevoási poteciál és radieseiek értékét. Et a folyamatot -ser meismételve a adott potokba (pl. rácsháló potjaiba, elem eredméyhalmat kapuk (tömevoási poteciál (V és radieseire (G, E, amely halmao mehatároható statistikai eleméssel (becslés sámítással a eyes össevetk (V, G, E és eeket jellem köéphiba (lásd. ábra: A. ábrá alkalmaott jelölésekhe: - aysámú ismétlés: mitavétel/kísérletek/modell erjestések sáma - TM-Potok, (X,Y,Z: A tömemodell eometriáját leíró potok koordiátái - Vp, (X,Y,Z: A tömehatás sámításáak helyei (térbeli rácsháló potjaiba - Tömehatás sámítása: Tömevoási poteciál és radieseiek sámítása pl. Holstei ( össefüéseivel pl. PolyGrav prorammal - Véletle (Mote-Carlo javítások, (dx,dy,d: a követke javításokkal korriáljuk a tömemodell eometriáját leíró potok koordiátáit, mide eyes futtatás alkalmával ( -ser ( ( = N ( E( x, µ, dy = N E( y, µ, d = N ( E, (.4 dx µ ahol N ( E( x µ x x y, ormális eloslású véletle jelle hiba, amely E(x várható értékkel és µx köéphibával redelkeik. - Visálati potokba darab: : mide modell-erjestés utá a visálati potokba redelkeésre álló értékek (poteciál (V, er (G és radies (E értékek - Matematikai statistika, becslés sámítás: a visálati potokba mide korábba sámított meyisére (V,G,E mitaköép ( V, G, E, és köéphiba ( µ V, µ G, µ E sámítása a.5 ill..6 össefüésekkel (Krauter, : V = Vi, G = Gi, E = E i (.5 ( V V, µ = ( G G, µ = ( E E µ V = i G i E i (.6 - µ köéphiba alatt a.6-ba látható formába sámított súlyeysé köéphibáját, vay más éve, a eysé súlyú mérés köéphibáját értjük. Mivel ebbe a esetbe mide meyisé súlya aoosak vehet, eért eekkel a össefüésekkel javaslom a sámítást elvéei. 4

47 .. ábra. Folyamatábra: Tömemodell potossái visálata Mote-Carlo-módserrel A Mote-Carlo-módser alkalmaása kiterjesthet a klassikus eodéiai mérésekre is..6. Gyakorlati példa a Mote-Carlo-módserrel véett potossái visálat bemutatására Gyakorlati példakét a MFG (Mayar Földtai és Geofiikai téet Földfiikai Fostályáak Mátyásheyi Gravitációs és Geodiamikai Observatóriumáról (.6 ábra késített tömemodellt és aak potossái visálatát mutatom be (Tóth és Éet..6.. Tömemodell késítése A tömemodell késítéséhe kiiduló adatkét mekaptam Ultma 7-be késített TDK doloatába felmért Mátyáshey felsíi potjaiak koordiátáit (kb. pot, Ultma 7. Ee felsíi potok ey rését fotorammetriai módserrel, illestpotok seítséével, másik rését Dr. Vara Jósef felmérésébl sármaó térkép alapjá, iterpolált maassáokkal, meit más rését toporáfiai térképrl diitaliált sitvoalak seítséével határota me a ser. Kieésítve eeket a méréseket, els lépésbe a observatórium járatait mértem fel (késbbiekbe: bels felmérés. A mérés hayomáyos eodéiai módserrel törtét relatív, helyi koordiáta-redserbe, sö- és távolsáméréssel. A alappotsrítés sabadálláspot-létesítéssel és további poláris-pot méréssel valósult me. A alkalmaott mser ey Leica -es elektroikus mérállomás volt, amelyek sömérési potossáa: ±, távmérési potossáa ey primára (alappotsrítésél: ± mm,5 ppm, prima élkül (résletpot mérésél pedi ± mm ppm (milliomodrés. A felmérés sorá a résletpotokat a jellem helyeke, 4

48 kerestselvéysere vettem fel (. ábra, eel is seítve a késbbi adatfeldoloás, serkestés fáisát. A observatórium járataiba össese 6 résletpotot mértem. A felméréshe kb. 5 alappotot létesítettem... ábra. Kerestselvéy-sere felvett résletpotok Második lépésbe a már felmért járatokat GPS-techika és iroteodolit seítséével elhelyetem a EOV koordiáta-redserbe. A elhelyeés sorá hasolósái trasformációt alkalmatam. Hálóati RTK techolóiával mehatárotam kiválastott alappotot, amely potok eybe elemei Ultma Zita mukájáak, valamit elemei a bels felmérésél felvett potokak is. Eek köül kiválastottam ey potot (exceter a trasformációál a eltolás mehatároásáho. A bels felmérés helyes iráyba foratásáho pedi iroteodolittal mehatároott iráy aimutja seített. Két poto (exceter és a falappot iroteodolitos éslelést véetem. A falappoto mért iráy, aak rövidsée miatt csak a beforatás ellerését solálta. A hey felsíi potjaira éve is elvéetem ey hasolósái trasformációt a eysées össeillestés érdekébe. Ehhe a trasformációho süksées eyütthatókat a korábba már említett alappot seítséével határotam me. A harmadik lépésbe hálóati RTK seítséével további küls kieésít mérést hajtottam vére a eodiamikai állomás bejáratáho követle köeli és távolabbi rése. A mért potok sáma kb. 5 (.4. ábra. Eel ey eysées koordiáta-redserbe (hálóati RTK soláltatta EOV elállt a felmért, a mekapott és kieésített potok eyüttese. Eek utá a résletpotok helyes struktúra seriti össekötése, értelmeése követkeett. A potok össekötését és a felületek létrehoását D modelle softverekkel véetem (AutoCad és Bleder, a heyfelsí potjait Delauay háromsöeléssel, mí a üreeket mauálisa. A folyamat célja ey árt, víhatla modell alkotása volt. Ee folyamat sorá süksé volt a modell tistítására, ellerésére. A duplikált potok, élek, em áródó felületek kisrésére a MeshLab proramot alkalmatam. 4

49 A modell víhatlasááak, a lapok ormálvektorai helyes iráyításáak ellerésére eyedülálló módo a Laplace-össefüést hasáltam (Biró et al V V V =, (.7 xx yy ahol V a tömevoási poteciál és V xx V x =, V yy V V =, V =. (.8 y A (.7 össefüés alkalmaásakor a teljes üremodellbl sámítottam ki a Laplace-kifejeés értékét a modell köelébe fekv, de ao kívül lev sík potjaiba. Ey erre voatkoó példát semléltet a.5. ábra, ahol a modellt borító lapok köül a eyik iráyítottsáa a többitl eltér volt, és íy a Laplace-össefüés kisámításával metalálhattam at a helyet, ahol e a lap elhelyekedett, mivel aak köelébe a teljes üremodellel kisámított Laplace-össefüés a érustól jeletse eltér értéket adott..4 ábra. Küls kieésít mérés a observatórium bejáratáál.5 ábra. Laplace-össefüés alkalmaása a modell ellerésére Alkalmatam ey refereciamodellt is a em kívát peremhatás elkerülése véett (lásd fiikai srés 5. fejeet, Papp 996. A refereciamodell srsée meeyeett a tömemodell srséével, és csupá a tömemodell pereméek potjait és éleit tartalmata. Fels és alsó rését további potok hoáadása élkül, a perem fels és alsó potjait külö-külö össeköt háromsöhálóattal ártam le. A refereciamodell tehát ey ayjából álladó vastasáú leme volt, amely a célukak mefelele potosa követte a elkésített tömemodell esetleese kialakított pereméek eometriai sajátossáait, mivel a két modell pereme tökéletese aoos volt. A két modell tömeköéppotja visot em esett eybe, de a ebbl sármaó, térbe lassa váltoó, sabályos eltérések tapastalataik serit jóval kevésbé torítják a eredméyeket, mit a yorsa váltoó, ie sabálytala peremhatás. Ey kieésít bels modellt 44

50 is késítettem, ami tartalmata a bels pilléreket, épített falakat stb. Eekkel eyütt a teljes modell 4 résbl állt (.6 ábra: - refereciamodell ( pot és 6 él alkotta - heymodell (75 pot és 44 él - bels üre modell (4 pot és 4 él - bels kieésítések modell (84 pot és 444 él Íy össesséébe a elkésített és sámításba vett modellt pot és 454 él alkotta..6. ábra. Teljes modell réslete: üre kfejt A tömemodell ketsrséével kapcsolatosa a sakirodalom a méskre 7 k/m -es srsé értéket ír, eért kedetbe eel a értékkel sámítottam. Késbb, amikor résletesebbe utáajártam sakirodalmakba a observatórium követle köelébe lév rétedésekek, akkor találkotam Pécsi Márto eyik mukájába (959 kokrét utalással a Mátyás-hey Sépvölyi út felli kbáyájára (ami követleül a modelleett járatredser bejáratáál található. A observatóriumho tartoó járatok 9%-a eocé ummuliás Sépvölyi Mésk Formációba halad, a barlaredser lefels rései felyúlak a erre rakódó fels eocéoliocé Budai Mára Formációba. A késbbi sámításaikho a két ket átlasrséét vettem fel, ami 59 k/m. A teljes modell tömehatásáak sámítása íy 59 k/m -es ayasrséel, valamit a modell össetevket tekitve a követkeképp törtét: teljes hatás = küls hey modell hatása referecia modell hatása bels üre modell hatása bels kieésítések modell hatása 45

51 .6.. A modell potossái visálata A modellt terhel véletle jelle hibák tekitetébe öt résvisálatom volt. Ebbl a ötbl éy eseté a teljes modell midhárom rését (hey, bels üre és bels üre kieésítések aoos hibával terheltem (±cm; ±cm; ±5cm; ±cm. Majd a ötödik esetbe a modell ao potjait, amelyeket mérállomással mértem ±5cm-rel, a többit (hey modell ±cm-el láttam el. Íy sem eltt tartottam a teljes modell koordiátáira voatkoó mehatároási módserek heteroeitását (lásd. el alfejeet. Résvisálatokét 5-5 ismétlést véetem. A kapott eredméyek köéphibáit kisámítva jutottam a.. tábláatba köölt értékekre. Me kell említsem, hoy a modell koordiátáit jellem köéphibák felvételekor eysersítésekkel éltem: - eltekitettem attól, hoy ey pot három koordiátája em tekithet eymástól füetleek, ha midhárom koordiáta mehatároása uyaaokra a mérési adatokra támaskodik. - em vettem fiyelembe, hoy a járatok résletpotjait jellem koordiáta-köéphibák a bejárattól a modell belseje felé övekedést mutatak (a álláspotok mehatároásáak sajátossáa véett sabad soksömeet. Eekkel a eysersítésekkel aért élhettem, mert a observatórium felmérésekor a helysíe csak a látható és meköelíthet alakatokat mértem fel, vayis a tömevoási poteciál és radieseiek eredméyeibe eáltal ayobb mérték elhayaolást voltam kéyteleek elfoadi, mit amekkora hatást eredméyeett vola a elbb említett eysersítések fiyelembe vétele. Eek semléltetésére próbasámítást véetem, amelyek eometriai elhelyekedése/méretei a.7 ábrá láthatók:.7. ábra. Próbasámítás eometriai elhelyeése/méretei A visálatho olya ~m -es rejtett üreet válastottam, amely a helysíi mérésekél kimaradhatott. Továbbá a ket ayasrséére a már alkalmaott 59 k/m értékkel sámítottam. Képeletbe moatva a üreet a sámítási hely maassáába, tle távolodó iráyba, mefiyeltem a sámítás helyé a tömevoási poteciál és radieseiek váltoását: 46

52 .8. ábra. A tömevoási radies értékéek alakulása a sámítás helyé (a üre képeletbeli elmodításával. Max./Mi. értékek: 4, [E] /,8 [E].9. ábra. A tömevoási térerssé értékéek alakulása a sámítás helyé (a üre képeletbeli elmodításával. Max./Mi. értékek: 4, [µgal] /,7 [µgal].. ábra. A tömevoási poteciál értékéek alakulása a sámítás helyé(a üre képeletbeli elmodításával. Max./Mi. értékek: 86,5 [J/k] / 4,6 [J/k] A próbasámítás alapjá iaoli tudtam a korábbi állítást, miserit a modell koordiátáit jellem köéphibák felvételekor tett eysersítések hatásáál, a köryeet sajátossáa miatt 47

53 ayobb mérték bioytalasáot voltuk kéyteleek elfoadi, mit amilye mértékbe tudtuk vola at csökketei a eysersítések fiyelembevételével. A. tábláatba látható köéphibák mértékeyséeit a baloldali oslopba serepl meyyiséek mellett lehet metaláli. A tábláat utolsó oslopába található köéphibákat össevetve a harmadik és eyedik oslop adataival kijelethetjük, hoy amit várható is volt a radiesek sámításába a köeli, kisebb, mí a ehéséi térerssé ill. poteciál eseté a távolabbi, ayobb tömeek eometriai adottsáai a dötek... tábláat. A potossái visálat eredméyei A modellt terhel köéphibák ± cm ± cm ± 5 cm ± cm ± 5/ ± cm V x [E] ±.7 ±. ±.4 ± 7. ± 6.9 A modell válasa (Köéphibák p=.99 kofidecia sit mellett V y [E] ±.6 ±.9 ±. ± 6.6 ± 6.5 V [E] ±. ±. ± 5. ±. ± 9. V xy [E] ±. ±.4 ± 5.7 ±. ± 9.8 V [E] ±.9 ±.7 ± 4.6 ±.6 ± 9.5 G x [Gal] ±.4 ±. ±.9 ± 4. ± 9.8 G y [Gal] ±.4 ±. ±. ± 4. ±. G [Gal] ±.7 ±. ±. ± 6. ±. V [µj/k] ±. ±. ± 5. ±. ±

54 .7. Össeés Láthattuk, hoy maapsá a ertér követle modelleésére a eodéia roko sakterületei (eofiika, eolóia stb. által a Föld bels serkeetére voatkoóa soláltatott eyre több és mebíhatóbb adat illetve modell seítséével eyre ikább lehetsé yílik. A követle modelleés sorá pedi tömemodelleket alkalmauk. Ee kívül a doloat. résébe táryalt Eötvös- eyeletéek maasabb red taokkal törté kieésítése sorá épp a mérés helyérl késített tömemodellbl sámítjuk ki a radiesek maasabb fokú tajait (.5-.9 össefüésekbe. Eért ebbe a résbe a tömemodellekek a potossái visálatával folalkotam. Potossái visálat alatt a követke kérdésre kerestem a válast: milye össefüés állapítható me a tömemodell eometriáját leíró koordiáták köéphibái és a tömemodellbl sámított tömevoási ertér össetevit (poteciál, térerssé, radies jellem köéphibák köött? Bemutattam a aalitikus meoldás elvét, amely em más, mit a ismert össefüések alapjá a hibaterjedés törvéyéek alkalmaása erre a problémára. Eek utá bemutattam a matematikai statistika Mote-Carlo-módserét, amelyet adaptáltam a korábbiakba felvetett feladatra. A adaptáció léyee a volt, hoy a követle modelleésbe beme tömemodell bioyos léyees paramétereit (eek koordiátáit ormális eloslású véletle jelle hibával terheltem, és visáltam, hoy ee véletle jelle hibákak milye hatása mutatkoik a tömevoási ertérbe. Et követe a MFG observatóriumáról késített tömemodell példájá kerestül láthattuk a módser mködképesséét. A fetiekhe kapcsolódó téisem a követke: Tömemodellekbl követle modelleéssel sámított ehéséi ertér paraméterek potossái mérsámáak mehatároására alkalmatam elskét a Mote-Carlo matematikai simulációs módsert. A módser felhasálását kokrét yakorlati példá kerestül is bemutattam. 49

55 . Sitfelületek elmodulásáak hatása vertikális moásvisálat céljából véett ismételt siteés eredméyeire.. Beveetés A siteés fukcioális modellje eredede redkívül eyser: ey elre és ey hátra poícióba lév poto álló fülees helyet beostáso véett u.: lécleolvasás külöbséébl a két pot köötti maassákülöbsé mehatároható.. A siteés eredméye fü a ehéséi ertér alakjától, amit ay potossáot iéyl mukák eseté -mérések bevoásával fiyelembe is kell vei (pl. Biró, 98, Kratochvilla et al,, Csapó et al,. A ehéséi ertér alakja aoba idbe váltoik (Csapó és Földváry, 6. Eel a moásvisálatok alkalmaott fukcioális modellje sérül: a idbe váltoó ehéséi ertér meváltoásával meváltoik a mérések visoyítási redsere. Vertikális moásvisálat céljából hayomáyosa a visálati területe siteési hálóatot létesíteek, amely meté valamely referecia idpotho képest a terep moásaiak jelleét és mértékét ismételt siteésekkel határoák me (Dede et al,. Siteéskor a maassákülöbsé mehatároását a sitemser iráyvoalával véeük, amely a vísites iráysík és a állóteely metséspotjába ériti a sitfelületet. A földfelsí vertikális moásaival em csak maa a földfelsí, haem a ehéséi ertér alakja is meváltoik. Íy ey-ey ismételt siteés sorá a meváltoott sitfelületek ériti, aa a mser iráyvoala is meváltoik (horiotsík ferdesére emléketet jelleel, tehát a mehatároott maassáváltoások a földfelsí valódi deformációi mellett a sitfelületek meváltoását is tükröik. Leye a mérhet maassáváltoás H. Biró (98 alapjá, és a.. ábra serit: δ h = δh δn (. ahol h a földfelsí valódi maassáváltoása és N a sitfelület vertikális elmodulása, amely a h maassáváltoást létrehoó tömeátrededés hatására követkeik be. A. ábra eybe mutatja a földfelsí és a sitfelületek idbeli meváltoását is: a moás követketébe P pot P -be kerül, mí a alaphelyet seriti P- átme sitfelület, t a moás 5 W P ( bekövetkeése utái t idpotba valamely Q potba modul el, W ( ( Q t = WP t. P -be a moás utá a poteciál értéke W P t. A ismételt siteésekbl eek a két felületek W P' t ' ( és t távolsáát kapjuk eredméyül. W Q ( Ameyibe a maassáváltoás földkitermelés követketébe alakul ki (pl. báyásat, lásd. ábra, a feti modell három össetevre botható: - a földtöme kitermelés követketésbe a sitfelületek meváltoása: δ N - a földmuka követketébe a felsí süllyedése: δ h - a felsísüllyedés követketébe a sitfelületek meváltoása: δ N. (

56 .. ábra. Vertikális elmodulás ( H és a ehéséi ertér sitfelületeiek meváltoása ( N, valamit a földfelsí valódi maassáváltoása ( h. Ee két utóbbi hatást Biró Péter professor úr mukássáa sorá aalitikus alakba ötötte. Et mutatom be a követke fejeetbe (.. Eutá a fet ismertetett meváltoások maassákülöbsé mehatároására yakorolt hatását veetem le, sité Biró professor úr mukássáa yomá (.. A et követ.4 fejeetbe a módserrel kapcsolatos saját elméleti eredméyeimet mutatom be. Véeetül a hatás mértékét visálom a.5-.6 fejeetekbe a Metro4 projekt kapcsá... ábra. Valamely visálati P potba a ehéséi ertér idbeli meváltoása földkitermelés ( és a földkitermelés hatására létrejöv h süllyedések ( követketébe. 5

57 .. A sitfelületek meváltoása a földfelsí fülees moása követketébe A jele fejeetbe a visálatom elméleti hátterét a korábbi BME Felseodéia Taséké folytatott kutatások alapjá, Biró (98, Biró et al. (986 és Weis (985 mvei alapjá ismertetem. Mejeyem, hoy hasoló kutatások (pl. Stra va Hees, 977, Heck, 98, Sjöber, 98, 987 más kutatómhelyekbe is folytak, aoba eek meköelítése, jelölésmódja kisebb-ayobb mértékbe eltérek eymástól. Taulmáyomba a Biró-féle elméletet követem, aoba módosított meköelítésbe. Alapvete Biró (98 által táryalt esetek a ehéséi ertér sitfelületeiek meváltoásából idulak ki, és aak a fiikai földfelsíre yakorolt hatását elemik. Esetembe a ok és a okoat felcseréldik: a fiikai földfelsí meváltoásából, deformációjából határoom me a ehéséi ertér meváltoásait. Eek mefelele jele visálat a. ábra seriti elredeésbl idul ki, mí Biró (98 rualmas kér földmodellje eseté (lásd Biró (98. ábráját a P poto átme sitfelület vertikális elmodulását (N ayobb mértékek tételete fel a általa eerált valódi elmodulásál (h. Emiatt a. ábrá a potok és a sitfelületek sorredisée eltér, fetrl lefelé haladva: Q, P és P (Biró (98 séls eseteibe uyae a sorredisé áll fe, csak eyes potok eybeesek, íy pl. a merev kér esetbe P=P, lásd Biró (98. ábrája, mí a ideális folyadékkal borított földmodell eseté P =Q, lásd Biró (98. ábrája. Mivel a sitfelületek és a terep eymásho visoyított helyete a két meköelítés eseté eltér, a leveetés is másképpe alakul, aoba a két leveetés aoos eredméyre veet, ameyibe a terep és a sitfelület eme elredeését a leveetés sorá követkeetese alkalmauk. A. ábra serit a P poto t idpotba átme sitfelület poteciálértéke t -re váltoik. A poteciál értékéek meváltoását jelöljük δw -vel. (Általáossába: Jele résbe a δ simbólummal valamely meyisé t és t idpotok köötti meváltoására utaluk. W P ( t = WP ( t δw (. Csak t idpotra voatkoó meyiséek alapjá is mehatárohatjuk a P potbeli poteciálértéket, ha a ismert távolsára lév és ismert poteciállal redelke Q potból lieárisa köelítjük: W W t = WQ ( t δn (. h P ( Q 5

58 5 Teyük eyelvé a két eyeletet eymással, hasáljuk fel, hoy ( ( t W t W P Q =, valamit veyük fiyelembe, hoy a ehéséi yorsulás a poteciál eatív radiese, tehát Q Q h W =, a alábbi ayo eyser össefüést kapjuk: N δw δ = (.4 Moásvisálatok sorá jelleme mm vay cm aysáred elmodulásokra és a sitfelületekek eél is kisebb elmodulásaira sámítuk, eért a P potbeli és a Q potbeli ehéséi yorsulás értékek jó köelítéssel eyelek tekithetk, P Q mid a t, mid a t idpotokba. A ehéséi yorsulás meváltoása a Q potba a alábbi: Q Q Q Q Q Q W h h t W h t W t t = = = δ δ ( ( ( ( (.5 Tételeük fel, hoy a ehéséi ertér homoé a Q és P potok köött t idpotba, továbbá a Q és P potok köött t idpotba. E esetbe a Q-beli ehéséi yorsulás értéke midkét idpotra meadható sorfejtésbl: H h t t P P Q δ ' ' ( ( = (.6 N h t t P P Q δ = ( ( (.7 A (.6 és a (.7 eyeletekbe serepl vertikális radies értékek a P és a P potokba jó köelítéssel eyelek tekithetk. Helyettesítsük be et a két eyeletet a (.5 eyeletbe. Átredeés utá a alábbi alak adódik: ] ( ( [ ' H h t t N h W h P P P P Q δ δ δ = (.8 Felhasálva a (.4 össefüést (.8 baloldaláak második tajába, valamit a P potbeli ehéséi yorsulás idbeli meváltoására beveetve a ( ( ' t t P P = δ jelölést, (.8 a alábbi alakra módosul: ] [ H h W h W h P Q P Q δ δ δ δ = (.9 Látható, hoy a (.9 eyelet jobb oldala mérhet meyiséeket tartalma: a ehéséi yorsulás idbeli váltoása, illetve a siteésbl yert maassáváltoás a P potba. Ey

59 további eysersítési lehetsé (em kell feltétleül alkalmai, ha a vertikális radiest helyére ey R suarú, homoé tömeeloslású ömbbl sámított köelít értéket veetük be: h P = R (. Eel (.9 a alábbi alakot ölti: δ W δwq = [ δ δh ] h R R Q (. A (.9 vay a (. lieáris differeciáleyelet peremfeltételkét hasálható a Q potbeli δ WQ poteciálérték váltoás mehatároásáho. A harmadik peremérték-feladat ulladred meoldását a Stokes-iterál soláltatja: R δw Q = ( δ δh S( ψ dσ 4π (. R A (. eyeletbe S(ψ a Stokes-füvéy, ahol ψ a ömbi távolsá a sámítás helye és a ható helye köött, dσ pedi ey elemie kicsiy felület a eyséömb felsíé. A Brusformula felhasálásával, valamit a iteradus kettéválastásával mekapjuk a Biró (98 köyvbe is serepl össefüést: R R δn = δs( ψ dσ δhs( ψ dσ 4πγ 4πγ (. R Új váltoó a (.-ba a ormál ehéséi yorsulás. A eyelet a ehéséi ertér idbeli váltoására felírt Stokes-iterál, ami éppe a keresett kapcsolatot adja me: a sitfelületek meváltoását soláltatja ismert mérték vertikális elmodulás követketébe. A össefüés ayobb össetevje a els ta, amely a sitfelület meváltoását írja le a ehéséi yorsulás idbeli váltoásáak ismeretébe a pereme, tehát a ömb teljes felsíé. A (. össefüés feltételei, hoy csak peremértékek állak redelkeésre, és em ismerjük a ható belül a tömeátrededés mértékét. E aoba sok esetbe, de moásvisálatok esetébe midi jóval eyserbbe meoldható, mivel a mért moásokból a földfelsí deformációját leíró térmodell mehatároható, amely a deformálódott ket vay talaj srsééek ismeretébe tömeváltoás modellé alakítható. Ha pedi követleül ismerjük a tömeeloslás idbeli meváltoását, akkor ics süksé a peremérték feladatra, haem e a ta mehatároható a Newtoi poteciál és a Brus össefüés felhasálásával (ld. Éet és Földváry,,, Éet et al.,, 4: k δm δn = γ (.4 r 54

60 ahol k a ravitációs álladó, r a ható és a sámítás helye köötti térbeli távolsá, δ m pedi a töme idbeli váltoása a r helyvektorral meadott helye. Ebbe a esetbe a össefüés: k δm R δn = δhs ψ dσ γ ( r 4πγ (.5 R tehát a tömeátrededés- és vertikális deformáció modell alapjá mehatárohatóvá válik a sitfelületek elmodulásáak mértéke... A sitfelületek meváltoásáak hatása a ismételt siteés eredméyeire A sitfelületek meváltoása ismételt siteésekre yakorolt hatásáak bemutatását Biró (98 alapjá véetem, amit új formulával eésítettem ki Éet és Földváry (, valamit Éet et al. (4 cikkekbe ismertetettek mefelele. A. ábra két pot, A és B köötti maassákülöbsé ismételt siteéssel véett mehatároásáak fotosabb meyiséeit mutatja. A fels ábrá a kedeti állapot (t = t, a köéps a meváltoott állapot (t = t, alul pedi a kett köött eltelt id alatt bekövetkeett, siteéssel mérhet maassákülöbsé ( δ H AB és aak a sitfelületeke yakorolt hatása ( δ N AB látható. Jelölje δ NP a visált sitfelület idbeli, t = t t alatt bekövetke meváltoását valamely P potba. A és B pot köött a sitfelület meváltoásáak külöbsée ekkor: δn AB = δn δn (.6 B A Moásvisálat sorá két pot köött a maassákülöbsé idbeli meváltoását kívájuk mehatároi, amely: ( t H ( δ H = H (.7 AB AB AB t A maassákülöbséet a eyes potoko átme poteciálfelületek poteciálértékeiek külöbséei alapjá ortométeres maassákét sámíthatjuk: H H = ~ (.8 AB ( t t B ( ( W ( ( B t WA t t = ~ t. (.9 ( ( W ( ( B t WA t AB ( B A (.9 eyeletbe alkalmava a (. össefüést, majd eyserbb átalakításokat véeve kapjuk, hoy 55

61 56 ( ( ( ( ( ( ( ( ~ ~ ( ( ( ( ~ ( ( ~ ( t W W t t W t W W t W W t W t t W t W t t H B A B B A B A A B B B A B B AB δ δ δ δ = = = = =. (.. ábra. A sitfelületek idbeli meváltoásáak modellje A eyeletbe serepl jelölések a eddiiek, illetve a. ábra alapjá értelmehetk. A (.7-be behelyettesítve (.8-at és (.-at a vertikális moás valódi mértéke a alábbi:

62 δh AB = H AB ( t H AB ( t = ~ δ WB ( t WA ( t ~ B ( t ~ ( t W B ( t W B B ( ( δw W B A t A ( t.. A (. jobb oldalá serepl utolsó két ta köös evere hoással, valamit (.4 felhasálásával tovább alakítható: WB ( t W = = A ( t W ( t ~ ( ~ B t B ( t [ W ][ ~ ( ~ B ( t W A ( t B t B ( t ] ~ ( ~ B t B ( t ~ ( t ~ B B ( t H AB ( t ~ ( t B B W A ( t = =. (. Vissahelyettesítve (.-t (.-be, majd a jobb oldal els tajá alkalmava a (.4 össefüést kapjuk: ( t ~ B ( t ~ ( t ~ B δ H = δn H. (. AB AB B AB ( t E a össefüés meeyeik Biró (98 által leveetett össefüéssel (lásd Biró (98.5 össefüése. A visálataik sorá a t idpotbeli maassákülöbséek helyett a t idpotra voatkoó értékek álltak redelkeésükre. Eért erre a alábbi meoldás sületett (Éet és Földváry, : δ~ δ H δn B AB = AB AB ~ B ( t ( H ( t δn AB (.4 ahol ~ = ~ ( t ~ ( t δ. B B B A leveetés eredméyéül at kapjuk tehát, hoy a moások bekövetkete utái maassáértéket a A és B potokba a sitfelület elmodulások külöbséével kell kieésítei. Össevetve (. és (.4 össefüéseket, a moás eltti és utái maassákülöbséek köött a alábbi kapcsolatot kapjuk: H AB ( t ~ ( t ( t B = H t ~ B δn AB ( AB. (.5 A (.5 eyelet értelmébe a maassákülöbséek mérhet idbeli váltoásáért em csak eometriai jelle váltoások, haem a ehéséi ertér idbeli váltoásai is felelsek. 57

63 .4. Gyakorlati alkalmaás: A M4 metróvoal földmukái sorá tapastalt váltoások A M4 metró koruk eyik lejeletsebb városfejlestési beruháása, amely sámos sempotból a fiyelem köéppotjába va. A M4 metró kiviteleési mukálatai sorá fotos serep hárul a eodéiára is, amelyek feladata többek köött a metróvoalak mefelel potossáú kitése, a alautak fúrása sorá a pajsok iráyítása, a építkeés sorá és utáa a éritett területek moásvisálata stb. Jele fejeetbe a M4 metró alaútredser földkitermelése követketébe a sitfelületek meváltoására voatkoó visálataimat ismertetem. A visálatot mid a alaútfúrás sorá, mid a állomások építésekor kitermelt földtömeekre elvéetem. A alaútfúrás a. ábra seriti elredeések felel me: tehát sámítaom kellett eyrést a alaútfúrás sorá kitermelt földtömeek ehéséi ertérre yakorolt hatásával, másrést a fúrás követketébe fellép felsíi deformációk hatásával, véeetül e utóbbiak a ehéséi ertérre yakorolt hatásával is. A fúrás követketébe fellép felsíi deformációk a moásvisálati mérésekbl határohatók me. A sámítások sorá a alábbi adatokat hasáltam fel: - a metróalautak hoss-selvéyei (Forrás: DBR Metró Projektiaatósá, 4-es metróvoal. sakas tervdokumetáció: Metróvoal vááy eometriája - talajsrsé eloslások a alautak teljes hossá (Forrás: Geovil Kft., Budapest 4-es metró voalá építéssel éritett eolóiai réteek térfoat-srséi adatai - -értékek a alautakho köeli földfelsíi potokba (Forrás: MFG - maassái elmodulás értékek a metróvoal délyuati sakasá (Forrás: Hueod Kft. és a Soldata Kft. koorciuma A M4 metró tervek Budapesti Öálló Vetületbe (BÖV késültek, eért a többi adathalma (srséadatok, ravimetriai adatok vísites koordiátáit is ebbe a vetületi redserbe trasformáltam. A felhasált adatok helyét a.4. ábrá, a siteési voalak helyét pedi a.5 ábrá jeleítem me. A sámításokat a (.4 és a (.4 eyeletek felhasálásával véetem. A (.4 eyeletbe serepl iterálást umerikus iterálással váltottam fel. A állomásokat a tervrajok alapjá yolc sarokpotjával leírt télatestkét keeltem, a ehéséi ertérre yakorolt hatását a ú. sarokpoti-módser formuláival határotam me (Holstei,. A alautak alakját aoos méret kockákból felépített primamodellel köelítettem, és a kockák teljes tömeét a köéppotjukba kocetrálva, a tömevoást potser tömeekkét sámítottam ki, tehát a modellt tömepot-modellé eysersítettem. A felbotás meválastása sorá a miél kisebb felbotásra törekedtem, a felbotást a redelkeésemre álló sámítási kapacitás alapjá, és a 58

64 sámítások relatív hibájáak visálata (Éet és Földváry,, alapjá válastottam cm-re..4 ábra. A M4 metró voala, és a felhasált ravimetriai potok helyei BÖV koordiátaredserbe, [m] eysébe..5 ábra. A M4 metró voaláak délyuati sakasa (öld és a visálat sorá felhasált moásvisálati siteési voalak (kék. Mejeyés: a Metró voal meté csak a alautakat mutatjuk, a sakadások a eyes állomások helyéhe köthetk. A sámításokat a siteési voalak álláspotjaira voatkotattam. A moásvisálatra kialakított siteési hálóat 4 siteési voala meté maassái potot tartalmaott (a siteési voalakat résletesebbe ismerteti Éet et al, 4 és Reháy,. Sámításaimat maassáila ey köelít msermaassái érték sitjére, a földfelsí felett m-re véetem. Els lépésbe a alautak és a állomások tömevoásáak sitfelületekre yakorolt hatását (lásd a. hatás a. ábrá határotam me a (.4 össefüés alapjá. Et követe 59

65 a (.4 eyelet alapjá kisámítottam valameyi siteett maassákülöbsé értékre a siteés eredméyeire yakorolt hatást. Et mutatja a.6 ábra, ahol a értékek a mserállásra voatkoak, amelyek a siteési voalakak mefelele 8 sakasra voltak felbotva. Eeket fülees, saatott sürke voalak beiktatásával ábráoltam (valójába 4 siteési voalat tartalma a adatbáis, aoba a ábrá a oda- és vissa-iráyú siteési voalakat füetle voalakkét keeltem..6 ábra. A alaút kifúrásáak a siteés eredméyeire yakorolt követle tömevoási hatása a M4 metró voaláak délyuati sakasáak siteési voalai meté. Et követe a terepe mért süllyedések hatását sámítottam ki (lásd a. össetev a. ábrá. A süllyedésértékek alapjá a felsíre kialakítottam a süllyedések primamodelljét. A visálati területe jelleme kis süllyedéseket tapastaltam; a pár mm-es süllyedések a - ból 57 esetbe haladják me a 5 mm-t; mm-t mehaladó érték midössese va, eek 7, 6 és 5 mm értékek (Éet et al.,. Eek mefelele a süllyedések primamodelljéek kialakításakor idokolatla ay vísites felbotást válastai. Eért a felbotást m- be felvéve a moásokat kell résletesséel leírhatóak találtam. Ee felbotással felvett vísites rácsháló sarokpotjaiba süllyedésértéket iterpoláltam, amelyeket a süllyedések vísites helyeire kialakított Delauay háromsöek alapjá, a háromsö oldalak meté lieárisa iterpolálva kaptam. A primamodellbl elbb a (.4 össefüéssel a sitfelületek deformációját, majd a (.4 össefüéssel a siteés eredméyeire yakorolt hatást modelletem. Eeket a eredméyeket a.7 ábra mutatja A.6 és a.7 ábrák alapjá látható, hoy a alaútfúrás és a állomások kialakításáak követle hatása a siteésre µm aysáred, mí a felsí süllyedéseiek hatása a, µm aysáredet sem haladja me. 6

66 .7 ábra. A felsí süllyedéseiek a siteés eredméyeire yakorolt követett hatása a M4 metró voala délyuati sakasáak siteési voalai meté. A ayobb hatást a alautak és a állomások földkitermelése eredméyete, amelyet résletesebbe táryal Éet et al. (4 és résbe Reháy (. Össesséébe a hatást. mm-t me em haladó mértékek találtam. E a érték em jelets, de me kell jeyei, hoy a felsred siteés leolvasási élessée körüli értékrl va só, esetekét tehát befolyásolhatja a leolvasás eredméyét. Érdekes továbbá mevisáli, hoy a eyes mserállásokba tapastalt hatások hoya halmoódak ey-ey voal meté. Éet et al (4 és Reháy ( visálatai alapjá látható, hoy a hatás értéke fü a siteési voalak és a alautak iráyítottsáától (párhuamos esetbe a hatás aoos eljel, tehát halmoódik, a maassákülöbsé értékétl (ey mserállásba éslelt ayobb maassákülöbsé mellett ayobb a hatás, valamit a mser-léc távolsától (ayobb mser-léc távolsá mellett ayobb a hatás. A Metro4 adatok alapjá feltételeett leserecsétleebb elredeés esetére empirikus úto mehatároott leayobb halmoódás a jeleséek,7 mm/km-re adódott (Reháy,, ami em sámottev. E a érték csak résbe általáosítható, eltér eredméyhe veethet más földkitermelés eseté. Kisebb hatást eredméyeett a ehéséi ertérek a felsísüllyedés követketébe tapastalt meváltoása. Eyéb esetekbe aoba joal feltételehetük ayobb mérték süllyedéseket is. Eért eek általáosított modellvisálatát fotosak tartom külö elvéei. E a követke (.5 fejeet témája..5. Alaútfúrás és süllyedések siteésre yakorolt hatásáak modellvisálata Els lépésbe a alaút kifúrásáak siteésre yakorolt hatását modelleem, majd et követe a fúrás követketébe fellép süllyedés hatását visálom modelleéssel. Ey alaút fúrásáak hatása ömaába em sámottev, eért a simulációt ayobb földtömeek kitermelésével járó földmukákra általáosítva véem el. Ey földmuka méreteire 6

67 és alakjára voatkoóa ehé általáosítást tei, eért taulmáyomba két olya elredeést vettem fel, amelyek ey bioyos site lehet valós aalóiát találi. Építipari földmukák sorá a mukaödör mélysée több sites mélyarás eseté sem haladja me köelítle a m-t. A mukaödör kiterjedését tekitve visot tetslees lehet. Et a esetet ey m mély, a oldalhossúsáú éyet alapú hasábbal modelletem, amely modelleés sorá a hatást a a oldalhoss méretéek füvéyébe véetem. Báyásat sorá akár külsíi, akár mélymvelés fejtést visáluk, a kitermelt tömeek alakjára voatkoóa em élhetük semmilye feltételeéssel. A mélyséi koordiáta a vísites koordiátákkal aoos aysáot vehet fel. Et a leáltaláosabb esetet ey a kitermelt ketek térfoatával eyel térfoatú télatesttel köelítettem. Ee visálat eseté is a füetle váltoó a télatest a élhossa volt, tehát eek füvéyébe modelletem a sitfelületekre yakorolt hatását. Midkét esetbe a a füetle váltoót méterekét m-tl m-i vettem fel, íy a két modell ey-ey a oldalhossúsáú télatestek feleltethet me, amelyek maassáa eyik esetbe m, a másik esetbe pedi a. A visált télatest ehéséi ertérre yakorolt hatása a földfelsíe a leayobb, eért a visálatot csak kis mélyséekre véetem el, aa a földfelsíi kifejtések mefelel m mélysée kívül a 5 m-es és a m-es eseteket visáltam. A sámítást a eddiiekek mefelele ey köelít msermaassába véetem, amely értékét a talaj felett m-rel vettem fel. A visált eseteket a.8 ábra mutatja be, ahol eybe a visált paraméterek össeése is metalálható..8 ábra. Felsí köeli kifejtés köelít modellje, a simuláció sorá hasált paraméterekkel. A simuláció eredméyét a.9 ábra jeleíti me. A ábrá a sitfelületek meváltoása látható loaritmikus skálá a télatest fél-oldalhossáak, a füvéyébe. A eyes mélyséeket a külöbö síek jelölik, mí a két modellt a voaltípus külöböteti me: - a m maas télatestet saatott, 6

68 - a a maas télatestet folytoos voal jeleíti me. A ábrá látható, hoy a hatás m oldalhossúsáú télatest (a a a eseté köelíti me a mm-t, és mitey m-él éri el a, mm-t. E alapjá elmodható, hoy felsred siteéssel vérehajtott visálatok eseté (pl. moásvisálatok a hatással a=- m kiterjedés eseté (a hatás,-, mm érdemes folalkoi, mí a eyser méröki potossái iéy eseté csak ie ay kiterjedés, a példába visált esetekél is ayobb mukaödör vay mélymvelés eseté érdemes a hatást modellei. A m- es maassáú kitermelésre voatkoó visálat a ~7 m-es kiterjedés mellett éri el a, mm, ami alapjá a ay potossái iéy eseté csak a ekkora vay eél ayobb kiterjedés esetekbe lee érdemes folalkoi, amely példa em tekithet yakorlatiasak. Eért e esetbe a hatást elhayaolhatóak ítélem me..9 ábra. Földkitermelés hatása a ehéséi ertér sitfelületeire. A követkekbe a. ábra seriti elredeés alapjá ey valamilye H mélysébe véett fúrás követketébe fellép felsíi süllyedést visáltam. A süllyedés kiterjedése fü a talaj bels súrlódási söétl (φ és a fúrás mélyséétl (H. Durva köelítéskét a süllyedés alakját tekitve, haraörbe jelle süllyedésképet feltételehetük. Tekitettel arra, hoy a bels súrlódási sö értéke reálisa a elméleti és 5 köött váltoik, a fúrás követketébe kialakuló süllyedések lealább H, lefeljebb H távolsára érékelhetk. 6

69 . ábra. A fúrás követketébe kialakuló süllyedés köelít modellje. (Faekas és Petrasovits, 99 alapjá A kialakuló süllyedéskép ey sélssées esetét visáladó kavicsos talajt vettem fel (φ= -5 köött ey maximálisa m suarú ( m átmérj területe (tehát H= m vay aál kisebb mélysé esetét visáladó. Mivel a süllyedés mértéke sámsere ehee mefoható téyektl fü (a földkitermelés méretétl, a talajtól, a építési techolóiától, stb., kokrét modell felvétele helyett három esetet visáltam: mm, mm és mm maximális süllyedést a ható helye felett. A süllyedés alakjáak modelleésekor két eset visálata törtét: eyrést meétem ey potser helye véett földkitermelés hatását (lásd. ábra, másrést ey ay hossúsáú voalas kitermelés hatását (. ábra. Miutá a süllyedésképeket, a hatótól a hatótávolsái elyúló haraörbe alakját Séchy (966 alapjá aalitikusa mehatárotam, vertikális hasábokból cm felbotásba elkésítettem a süllyedés primamodelljét. Mivel a haraörbe csak koverál a ulláho, de soha em éri el at, a hatósuarat csak valamilye feltételeéssel adhatjuk me: a késített modellbe a hatósuár értékéél éri el a haraörbe a σ valósíséi sitet. (Me kell jeyei, hoy a. és a. ábrák csak semléltet célúak, a teelyek sádékosa icseek mértékeyséel ellátva, mivel a eyes süllyedésképek értékei füeek a ökéyese felvett maximális süllyedésértéktl, valamit a süllyedés területi kiterjedésétl. Ráadásul a modell hasálata sorá alkalmaott vísites felbotás sokkal fiomabb, mit amit a ábrák mutatak, visot a pixeles jelle csak durva felbotás mellett látható. 64

70 . ábra. Cetrálisa, ey terület körül kialakuló süllyedés modellje.. ábra. Voalas földkitermelés hatására kialakuló süllyedés modellje. A primamodellbl a ehéséi ertérre yakorolt hatást a deréksö primákra felírt potos össefüés alapjá sámítottam (Meskó, 988; Holstei,. A voalas modell eseté (. ábra ökéyes paraméter a voal hossa. Több távolsára a hatást kisámítva, ey hipotetikus vétele hossú voalas süllyedés esetét Richardso-extrapolációval határotam me (Somodi és Földváry,. A sámításokat a várható maximális érték helyére véetem, tehát ey ható feletti potba. A sámítás potjáak maassái elhelyeése (hasolóa a eddiiekhe m-rel a terep felsíe fölé került, simuláladó ey siteés sorá hasált msermaassáot. A eredméyeket a cetrális illetve a voalas süllyedés modellek esetére a. és a.4 ábrák mutatják. Tekitve, hoy a visálat füetle bármilye siteési voaltól, a visálat eredméye a ehéséi ertér sitfelületeiek meváltoására korlátoódik. (A. össefüés alapjá belátható, hoy a siteésre yakorolt hatás ettl aysáredile em tér el. 65

71 . ábra. Cetrális süllyedés hatása a ehéséi ertér sitfelületeire..4 ábra. Voalas süllyedés hatása a ehéséi ertér sitfelületeire. A. és a.4 ábrák alapjá elmodható, hoy a hatás mé a lesélsséesebb esetbe is ali éri el a éháy µm-t. A ábrák alapjá elmodható a is, hoy a süllyedés mértékéél 5-6 aysáreddel kisebb a sitfelületekre yakorolt hatásak a mértéke. Bár drastikus, több m-es süllyedések mellett a hatás elviekbe sámottev, yilvávalóa a yakorlati jeletsée elvés, mert ilye esetekbe a yakorlat em folalkoik a tiedmilliméterekkel. Össesséébe tehát a felsí maassáváltoásaiak hatása a ehéséi ertér sitfelületeire a siteés sempotjából csak elvi jeletséek tekithet. 66

72 .6. Össeés A eodéiai mérések alapvete a helyi fülees és vísites iráyokho kötöttek. Eek aoba idbe váltoak. Sok esetbe éppe a méröki muka váltotat a tömeátrededése, eyes építipari folyamatok komoly földtömeek moatásával járak, ami pedi a sitfelületek alakját váltotatják me. Másodlaos hatáskét a földmuka jelleme süllyedéseket eredméye, amelyek meit csak befolyásolják a sitfelületek alakját. A M4 metró példájá kerestül visáltam a földkitermelés hatását eyrést a ehéséi ertér sitfelületeire, másrést a ismételt siteés eredméyeire. A kapott eredméyek általáosítása céljából, ayo leeysersített modellek felhasálásával jóval általáosabba is mevisáltam a földmuka, valamit a kialakult felsíi süllyedések hatását. Tapastalataim serit a földkitermelés hatása csak ie ay kifejtések eseté lehet érdemi (,-, mm, mí a süllyedések hatása elhayaolható mérték. A fetiekhe kapcsolódó téisem a követke: Továbbfejlestettem, továbbá földmukával járó méröki mukák visálatára alkalmatam a ehéséi ertér sitfelületeiek idbeli váltoásait modelle elméletet. A továbbfejlestett modell hasálhatósáát ey kokrét példá kerestül mutattam be. A földmukák követle hatása a ehéséi ertérre eyes extrém esetekbe elérheti a sabatos méröki siteés mérési potossáát, a kialakuló felsísüllyedések pedi érdembe em befolyásolják a ehéséi ertér sitfelületeiek a alakját, hatásuk elhayaolható. 67

73 V. A sömér mserek mértékadó hibáiak visálata V.. Beveetés A el résekbe a visálataim köéppotjába a eodéia területé található külöbö fukcioális modellek visálata (., potosítása (. és kieésítése (. állt. Ebbe a résbe sem les e máskét, csak a eddi táryalt témakörökhö képest (Felseodéia most ey teljese más témáak (sömér mserek és a sömérést terhel sabályos hibák, de sité a voatkoó fukcioális modellek a visálata törtéik. A vísites és maassái sömérés mserei köül a teodolittal és ao belül is a söméréseket terhel sabályos mserhibákkal folalkoom. A sabályos hibákak, illetve eek álladó réséek a lehet leteljesebb kör kiküsöbölésére háromféle eljárást követhetük (Sárdy, 964: - A mser mefelel kiiaításával mesütetjük maáak a sabályos hibáak a forrását. - A sabályos hiba értékét kisámítjuk és vele a mérés eredméyét mejavítjuk. - Módsert állapítuk me a sabályos hiba kiejtésére. A teodolittal véett vísites és maassái sömérés sabályos hibaforrásai a követke fbb csoportokra osthatók (Fialovsky, 979: - A mser yártási és serelési hibái, valamit eyes alkatréseiek kis elmodulásai. - A mser felállítási hibái. - A mérés küls körülméyei (pl.: a álláspot és a meiráyott pot köött lev leve fiikai állapota okota hibák. Ebbe a résbe a teodolit mserhibáit táryalom résletesebbe. A mai mérállomások, diitális teodolitok mködési elvüket tekitve a hayomáyos teodolit felépítését követik (aa a teodolitra voatkoó követelméyek a mérállomásra is iaak pl.: h v, h, stb., ahol h a fekvteely, v a állóteely és a iráyvoal jele (Krauter,, vayis a teodolit esetébe alkalmaott mservisálatot a mérállomásokál és diitális teodolitokál is alkalmai lehet. A vísites és a maassái sömérés sabályos hibaforrásai köül eyesek kicsiy voltuk miatt yakorlatila elhayaolhatók, mások visot a mser leolvasóképesséét jóval mehaladó mértékbe léphetek fel. Ha a sömérést vay kitést ey távcsállásba véeük, akkor eekek a hibákak a hatása teljes mértékbe jeletkeik a körleolvasásokba. (tt me kell jeyei at is, hoy a mai mérállomások beépített test-proramjaik sorá mehatároott mserhibák értékeivel, ha csak ey távcsállásba törtéik éslelés, automatikusa mejavítják a kijelett körleolvasásokat. 68

74 A teodolit mserhibái köül aokkal a serkeeti tökéletlesébl fakadó hibákkal folalkoom résletesebbe, amelyek hatása ey távcsállásba a leolvasóképesséet jóval mehaladó mérték lehet (Májay, 984. Tesem midet aért, mert a mai yakorlati életbe, a eodéiába eyre ikább kulcsfotossáú a mérés sebessééek övelése, a at jellem ay potossá metartása mellett. Ha sikerüle a mserhibák mehatároásá kívül aok váltoásaiak törvéyserséeit is mehatároi, akkor aal teheték ey ay lépést elre a ey távcsállásba véett mérések alkalmaási területéek kibvítésébe. V.. A teodolit mértékadó mserhibái Akkor besélük mértékadó mserhibáról, ha aak hatása a leolvasóképesséet jeletse mehaladja. V... A álló iráysík merleesséi hibája A álló iráysík merleesséi hibáját (Sárdy, 964 a álló iráysál ferdesée és/vay a iráyvoal merleesséi hibája okoa. A sálferdesé hatása kiküsöbölhet, ha a iráyást a sálkerest midi uyaao potjával (lehetsé serit a köéppotjával véeük. A iráyvoal merleesséi hibáját kollimációhibáak k eveük és hatását (k a vísites körleolvasásra a 4.. ábrá láthatjuk. Leye a teodolit álló- és fekvteelyéek metséspotja (O ey eysésuarú ömb köéppotjába. A mser helyes felállítása eseté a fekvteely (és aak mehossabbítása AB eyees vísites és O ebbe a síkba található, valamit a állóteely (és aak mehossabbítása - OZ eyees a Z eitpotba döfi a ömböt. A távcs kollimációhibája: k. ráyouk be a P potot (ekkor a iráyvoal eybeesik a OP sakassal. Ehhe a iráyásho tartoó iráyérték leye: (. A mser modulatla helyete mellett abba a esetbe, ha kollimációhiba em lee, a távcs iráyvoala a BPA ortodrómá fekv Q potra mutata. Ha most eel a képeletbeli kollimációhiba-metes távcsvel be akarák iráyoi a P potot, akkor a mser ZQD vertikális síkját el kellee fordítai, eése addi, amí a bele em esik ZPC vertikális síkba. Vayis a PZQ söel (aa a kollimációhiba hatásával: (k kellee elforati. A kollimációhiba (k hatását a PQZ deréksö ömbháromsöébl sámíthatjuk ki. Ha a távcs OP iráyvoaláak a vísitessel beárt söét (POC söet, a maassái söet, val jelöljük, akkor a ömbháromsö PZ oldaláak ívhossa (9 -. A ömbháromsö sius-tétele serit: ( δ si k siδ k = si 9 si 9 ( α (4. 69

75 4.. ábra. Elvi raj a kollimációhiba hatásáak értelmeéséhe A eysersítéseket elvéeve és redeve kapjuk a kollimációhiba hatására a követke össefüést: si δ k (4. cosα k ( δ = arcsi Me kell jeyei, hoy maximális értéke α = 9 δ lehet. (vayis ey kollimációhibával redelke teodolitak a iráyvoalát fülees állóteely mellett (eltekitve más hibahatásoktól em lehet precíe ( α = 9, Ζ = füleesbe állítai. A (k hatás maximális értéke: behelyettesítve 4.-be α max max értékét, kapjuk: ( = siδ k δ arcsi = cos( 9 9 k (4. δ k Miimális értéke pedi akkor lép fel, ha a iráyvoal vísites ( α =. Gyakorlatba a kollimációhiba és hatásáak kis mértéke miatt a követke eysersítés meeedhet: si ( δ k ( δ k, si δ k δ k Ebbe a esetbe a 4. eyelet a követkere módosul: ( δ, ahoya e Sárdy (964 leveetésébe láthatjuk. δ k k = (4.4 cos α Mevisáltam 4. és 4.4 kifejeések külöbséét oly módo, hoy k értékét ey másodperctl öt foki (! másodpercekét léptettem, majd mide kollimációhibáho vettem a 4. és 4.4 kifejeések maximális eltérését (=ey mp-tl másodpercekét =9 fok-i tartomáyo: k 7

76 4.. ábra. 4. és 4.4 kifejeések kollimációhiba hatására voatkoó maximális külöbsée A visálat eredméye alapjá kijelethet (amit eyébkét vártuk is, hoy yakorlatila ics érékelhet külöbsé a két kifejeés köött, pustá elméleti. V... Horiotális távcskülpotossá A horiotális távcskülpotossá at jeleti, hoy a mser iráyvoala és a állóteelye kitér eyeesek, aa a távcs iráyvoala em metsi a állóteelyt. Hatása a 4. ábra alapjá (Krauter, : (, V δ V = (4.5 tv, arcsi δ ahol tv a iráyott pot távolsáa a mser állóteelyétl, tehát a valódi (ferde távolsá vísites vetülete. 4.. ábra. Elvi raj a horiotális távcskülpotossá hatásáak értelmeéséhe 7

77 V... Fekvteely merleesséi hibája A fekvteely merleesséi hibája at jeleti, hoy a mser fekvteelye em merlees a állóteelyre. Jelöljük h-val a hiba aysáát és (h-val aak vísites körö véett leolvasásra yakorolt hatását. A (h sámítását 4.4 ábra serit a követkeképpe tehetjük me: 4.4. ábra. Elvi raj a fekvteely merleesséi hiba hatásáak értelmeéséhe Fejeük ki PQ ívet a PZQ (eyséyi suarú ömbháromsöbl (Sárdy, 964: si si PQ ( 9 α ( δ si h =, si 9 si PQ = si ( δ cos α. (4.6 h Teyük me uyaet a PCQ ömbháromsöbl is, uyaakkor me kell jeyei, hoy a PC ívet ayo jó köelítéssel eyelek vehetjük a PD = ivvel: si PQ si α si δ h =, si PQ = si δ h si α. (4.7 si 9 A 4.6 és 4.7 össefüéseket eyelvé téve eymással és redeve kapjuk a si ( δ si δ ta α h = h (4.8 eyeletet. Mivel h és (h kis söek, kapjuk a ( δ δ ta α h = h (4.9 össefüést. Eél a hibahatásál is me kell at említeük, hoy aak a teodolitak a iráyvoalát, amelyek fekvteely merleesséi hibája va (eltekitve más hibahatásoktól, fülees állóteely mellett em lehet precíe füleesbe állítai. 7

78 V..4. dexhiba A idexhiba két össetevbl áll:, ékelési hibából ( és, iaítási hibából (. A ékelési hiba a a sö, amely (eitsö ostásos maassái kör eseté a maassái kör 9 -os és 7 -os ostásvoásaiho tartoó átmérje és a iráyvoal köött található. A iaítási hiba pedi a maassái kör idexvoásáho tartoó körsuárak a vísitessel beárt söe (Krauter, : Hatása eyel a hibával: ( δ 4.5. ábra. Maassái körleolvasás és eitsö δ = (4. V..5. Vertikális távcskülpotossá Vertikális távcskülpotossáról akkor besélük, ha a iráyvoal és a fekvteely kitér eyeesek, aa a iráyvoal em metsi a fekvteelyt. Hatása a horiotális távcskülpotossáho hasolóa (Krauter, : (, H δ H = (4. t f, arcsi δ ahol tf a iráyott pot távolsáa a mser fekvteelyétl, tehát a valódi (ferde távolsá. V.. A teodolit Májay Péter-féle visálata A mservisálat célja a korábba bemutatott mértékadó mserhibák mehatároása. A követkekbe a léyeét kiraadva tekitsük át Májay Péter által kidoloott visálati módsert (Májay, 984. A visálat csak két diametrális leolvasóidexes teodolitra érvéyes, ami maapsá mide hasált mérállomás eseté vay diitális teodolit eseté meállja a helyét, vayis a általa kidoloott módser alkalmaható ma is. Ey vísites és maassái körö. és. távcsállásba tett leolvasásokra a követke össefüések írhatók fel, fiyelembe véve a mértékadó sabályos mserhibák hatásait (résleteést lásd a füelék F... és F... alfejeeteibe: 7

79 l ± 8 l δ δ k, V = arcsi δ h cot. (4. si t si f (, H = δ arcsi t f 6 δ. (4. Ha olya mérési körülméyeket houk létre, amelyek köött csak eyetle mértékadó sabályos hibahatás érvéyesül, akkor a hibátla értéktl való eltérésbl (amely a hibahatás kétserese a sóba foró sabályos hiba eljeles aysáa kisámítható. Több hibahatás is érvéyesülhet eyserre, ha aokat ey kivételével korábbi mérésekbl már mehatárotuk (Krauter,. Eek alapjá a öt mserhibát három lépésbe véett mérési eljárással határohatjuk me: Ey távoli, t = és 9 iráyú jól látható P potra (a mai mseryárak (Leica, f lealább méteres távolsáot írak el, valamit a iráyvoal vísitestl való eltérése e leye ayobb mit kb. ± 9 /o vay ey vétele tárytávolsára beállított kollimátortávcs sálkerestjére iráyást véük két távcsállásba, és eyidejle leolvasuk a vísites és maassái körö: l l,,,. Mivel a iráyás köel vísites és ay távolsáú eért a 4. jobb oldalá a második és harmadik ta értéke elhayaolható, és a memaradó össefüés alapjá a leolvasásokból a k kollimációhiba sámítható: l ± 8 l δ k = si. (4.4 Ha a körülméyek em tesik lehetvé mide feltétel teljesülését, akkor a kollimációhiba értéke: l δ = δ k m, h = ± 8 l V [( ( ], δ δ si = arcsi δ cot si, V h si δ m, h, t f δ si 74 h, (4.5 ahol m,h a vísites körre voatkoó mérésekél a elhayaolásokat sámsersít érték (kollimációhibáho tartoó járulékos hiba. Ee kívül a ay távolsá miatt a 4. jobb oldalá a második ta értéke sité elhayaolható, és a memaradó össefüésbl a idexhiba sámítható: ( 6 δ =. (4.6 Hasolóa a 4.5-hö, a idexhiba és a elhayaolásokat sámsersít idexhibáho tartoó járulékos hiba a maassái körre voatkoóa:

80 ( 6 δ = δ δ, H δ m, v = ( δ, H = arcsi t f m, v,. (4.7 Ey köeli, t f 4 m távolsába lév 9 iráyú P potra iráyást véük midkét távcsállásba, és eyidejle leolvasuk a vísites és a maassái körö: l, l,, Mivel a iráy köel vísites, eért 4. jobboldalá a harmadik ta értéke elhayaolható, és a memaradó össefüés alapjá a leolvasásokból a,v horiotális távcskülpotossá sámítható, ha 4.4-bl a kollimációhiba értékét fiyelembe vessük: l ± 8 l δ k δ, V = si t f si, (4.8 si valamit a elhayaolásokat sámsersít horiotális távcskülpotossáho tartoó járulékos hiba a vísites körre voatkoóa: δ δ, V m,, V l = si = si ± 8 l ( δ t si = si[ δ cot ] t si h f δ si k h t f si f δ m,, V,. (4.9 A 4. össefüés alapjá a,h vertikális távcskülpotossá mehatároható, ha a 4.6 eyeletbl sámított idexhibát fiyelembe vessük: ( 6 δ, H = si δ t f. (4. Ey köeli, t f 5 m távolsába lév 6 iráyú P potra (a mai mseryárak (Leica, által javasolt: leye a távolsá kevesebb, mit m, valamit a iráyvoal maassái söe leye ayobb, mit kb. ± 7 /o iráyást véük midkét távcsállásba, és eyidejle leolvasuk a vísites és a maassái körö: l, l,, A vísites körleolvasások a iráy ay maassái söe miatt a fekvteely merleesséi hibájáak hatását is tartalmaák, eért a 4. össefüésbl mehatároható a fekvteely merleesséi hibája, ha 4.4-bl a kollimációhiba és 4.8-ból a horiotális távcskülpotossá értékét fiyelembe vessük: l ± 8 l, V k δ h = arcsi ta. (4. t f si si δ δ A P potra kapott maassái körleolvasásból a 4. eyelet jobb és bal oldala külöböi fo eymástól, és a külöbséük a érusho köelálló, 75

81 ε ( 6 δ, H = δ arcsi (4. t f érték les, amelyet ellerésül hasáluk fel a és a,h mehatároásáak jósáára (Májay, 984. Májay Péter a mejeyésekbe többek köött a követkeket írja: - A 4.4, (4.5, 4.8, (4.9, 4. össefüésekbe a söfüvéyek arumetumakét serepl eitsöek helyére elvile a hibátla eitsöet kellee íri, illetve a sámításho felhasáli. Gyakorlatila aoba meeedhet elhayaolással a sámításokho a. távcsállásba leolvasott eitsöet hasáljuk fel. - A, és lépések sorredjébe mehatároott sabályos hibaforrások mehatároásáak mebíhatósáa csökke, mert mideyik a el mehatároás mérési hibáit is tartalmaa. Eért célser a és lépések méréseit mefelel sámú ismétléssel elvéei (Májay, 984. V.4. A mserhibákat jellem potossái visálatok V.4.. A járulékos hibák visálata Ha a Májay-féle mservisálat sorá a javasolt mérési elredeés em tud teljesüli, akkor a már bemutatott: m,h, m,v, m,,v értékek (járulékos hibák befolyással lesek a adott mserhiba mehatároására. Járulékos hibáak eveük at a hibát, amely a refereciakörülméyek köött érus érték, eyébkét a refereciakörülméyekhe mért eltéréssel aráyos és hoá kell adi a alaphibáho (Gárdus,. Ey mérállomás mserhibáit Májay-féle módserrel mevisáltam (résletek késbb, és a 4. tábláatba lév átlaértékeket kaptam. Eekkel a átlaértékekkel ey simulációt véetem a járulékos hibák értékeire. Els lépésbe mehatárotam a m,h értékeket amelyek a kollimációhiba mehatároása sorá befolyásolhatják a serkeeti hiba értékét. A járulékos hibát a ferde távolsá és eitsö füvéyébe ábráoltam (lásd 4.6. ábra. 76

82 4.. tábláat. A tasék TS-5i mserhibái, 4 mérésbl átlaolva (... átla mserhmérséklet.: ~ C résletes leírás: V.5..-be. Mserhiba Átlaérték k [mp]. [mp].5,v [mm].7,h [mm] -.4 h [mp] 6. [mp].6 Látható, ha ey olya mserrel amelyek mserhibái aysáredile meeyeek a 4. tábláatba köölt értékekkel és eel a mserrel ismételt kollimációhibát sereték mehatároi, valamit, ha betartjuk a mseryár által javasolt elírásokat (lásd V.. fejeetbe: a P visálati pot leye mi. m-re és vísiteshe képest a iráyvoala ±9 / o, akkor a m,h járuékos hibára ~ -" és ~ " köötti értéket kaphatuk. Termésetese a kapott eredméyek csak akkor érvéyesek, ha más befolyásoló téyektl el tuduk tekitei. Valamit at láthatjuk mé, hoy a P-es pot kiválastásáál léyeesebb sempot aak távolsáa, mit a iráyvoaláak vísiteshe való köelsée. Második lépésbe visálható a m,v értéke, amely a idexhiba mehatároása sorá léphet fel, mit befolyásoló téye (lásd 4.7. ábra. Látható, hoy a mseryár által javasolt elírás eseté (amelyek sokkal eyhébbek, mit amit Májay P. javasolt is e a m,v járulékos hiba elhayaolhatóa kicsiy marad ábra. - m,h járulékos hiba aysáa másodpercbe a ferde távolsá és eitsö füvéyébe ( alapsitkö :.5 mp 77

83 Harmadik lépésbe pedi visálható a m,,v értéke, amely a horiotális távcskülpotossá mehatároása sorá léphet fel, mit befolyásoló téye (lásd 4.8. ábra. A 4.8 ábrát taulmáyova at modhatjuk, hoy a P-es pot kiválastásáál, ha céluk a járulékos hiba lehetsées értékéek miimaliálása, akkor léyeesebb a P -re me iráyvoal vísiteshe való köelsée, mit a pot msertl mért távolsááak csökketése ábra. - m,v járulékos hiba aysáa másodpercbe a ferde távolsá és eitsö füvéyébe ( alapsitkö :. mp 4.8. ábra. - m,,v járulékos hiba aysáa milliméterbe a ferde távolsá és eitsö füvéyébe ( alapsitkö :.5 mm 78

84 V.4.. A mserhibákat jellem köéphibák mehatároása V.4... Hibaterjedéssel A kérdésük ebbe a potba arra iráyul, hoy ha a méréseiket terhel köéphibákat ismerjük, akkor milye köéphibával tudjuk a méréseikbl leveethete a mser serkeeti hibáit Májay-féle módserrel mehatároi. Kérdésükre a válast a hibaterjedés adhatja me. Lássuk, a mserhibákat jellem köéphibák milye füvéykapcsolatba vaak a mehatároásukra véett mérési eredméyekkel és aok köéphibáival: Kollimációhiba és köéphibája: m = m = m = ms l l δ m K l = = m ± 8 l si si, ( l l ± 8 cos δ K s (4. dexhiba és köéphibája: m = m = ms ( 6 δ = m s mδ =, (4.4 Horiotális távcskülpotossá: m m = m = m = ms, mt = mt i = i li li f l ± 8 l δ k δ, V = si t f si (4.5 si Kifejeve a kollimációhiba értékét is mérési eredméyekkel: ( l l ± 8 si l l ± 8 δ, V = si t f si. (4.6 si A köéphibát jellem képlet (leveetés utá: mδ, V = 4m s ( l l ± 8 t si cos cos( fv t f 4mt si mst f cos ahol x: cos si si( fv ( fv ( fv [ si si ( l l ± 8 cos ] f si (4.7 79

85 si fv = 8. (4.8 si ( l l ± 8 ( l l ± 4 Vertikális távcskülpotossá: m m = m = m = ms, mt = mt ( i = i li li f 6 δ, H = si δ t (4.9 f Kifejeve a idexhiba értékét is mérési eredméyekkel: ( t f δ, H = si. (4. A köéphibát jellem képlet (leveetés utá: ( mt si =. (4. δ, m cos ( st f m H 5 Fekvteely merleesséi hibája: m = m = m = m = ms, mt = mt i i li li i f Kifejeve a kollimációhiba és horiotális távcskülpotossá értékét mérési eredméyekkel: l ± 8 l, V k δ h = arcsi ta (4. t f si si δ δ t si ( l l ± 8 si ( l l ± 8 8 f si arcsi si t f si si δ h = ta.(4. ( l l ± 8 si l l ± 8 si A köéphibát jellem képlet (leveetés utá: m s ( E s ta f t si si( fv si ( fv ( fv ta ( fv ( fv ta ( fv ( E ( E ( E f ta 4 mt t f si si 4 t f si mδ = (4.4 h mst f si cos t si m m ahol a bels füvéyek: t ( E5 ( fv

86 E = cos t arcsi ( fv ( fv ( l l ± 8 si cos t f si si( fv cos si f si t f si si t f si fv ta, (4.5 E t si cos ( fv f si =, (4.6 t f si fv si E t si cos ( fv si f =, (4.7 si t f si fv E E 4 5 ( l l ± 8 t f cos cos( fv ( l l ± 8 cos =, (4.8 t si fv si t cos f si ( fv ( l l ± 8 t si cos cos( fv = f f t f si t f si si, (4.9 fv si = 8 si ( l l ± 8 ( l l ± ( l l ± 8 ( l l ±, aa meeyeik: (4.8 képlettel si fv = 8, (4.4 si fv f ( fv t f si si =. (4.4 t si ε 6 Ellerés a idexhiba és vertikális távcskülpotossá mehatároásáak helyesséére (ideális értéke: érus: ( m i 6 δ = m = m = m = m, i li, H = δ arcsi (4.4 t f A idexhiba és vertikális távcskülpotossá értékét mérési eredméyekkel kifejeve: t f ( arcsi si ( ε =. (4.4 t f A köéphibát jellem képlet (leveetés utá: li s m ti f = m t 8

87 4 f t f f ( fv4 ( fv f 4 ( fv f s f f ( fv4 ( fv f 4 ( fv4 ( fv f 4 t ms t si 4 ( si f t f fv4 t = f m t f e t f t (4.44 f t m t t si si t t cos ahol a bels füvéy: ( t m t cos t si t m si m fv4 =. (4.45 A leveetett össefüésekkel a követke sámításokat véetem el: Adott ey mérési elredeés valamely moásvisálati hálóatba: 4.. tábláat. Mérési elredeés ey moásvisálati hálóatba. P i, potok a hálóat eyes potjai s Ps. és Távcsállás ráyérték (l [fok-perc-mp] Zeitsö ( [fok-perc-mp] Távolsá (t f [m] P. 45--, ,6 P. 5--,5 7--4,7 P , 87--5,7 P , ,8 6,59 4,59 P , 56-7-, P ,6-5-45,6 5,5 A mérési meyiséeket jellem köéphibák: mt = ± mm; ms = ± ", ahol mt távmérés és ms a iráymérés köéphibája. A követke visálatokba kiáróla a Májay-féle mservisálatál alkalmaott képletekkel dolotam, és em vettem fiyelembe a járulékos hibák hatását. 4.. tábláat. A 4.. tábláatba folalt mérési elredeéssel sámított mserhibákat jellem köéphiba-értékek, külöbö visálatokba m i,v Visálat m k [±"] m [±"] [±mm] [±mm] m h [±"] m [±"],7,7,,,57,,7,7,,,8,,7,7,5,,46, 4,5,,6,6 7,7,5 5,58,54,,,85 5,58 6 5, 4,95,47,45 7,98 7,8 7,7,7,,,,95 8,7,7,,,5,97 9,7,7,,,8, m i,h 8

88 A visálatok leírása: : A 4.. tábláatba serepl mérési elredeéssel (alapelredeés, valamit mt = ± mm; ms = ± " köéphibával sámított eredméyek : alapelredeés mt = ± 5 mm; ms = ± " : alapelredeés mt = ± mm; ms = ± " 4: alapelredeés mt = ± mm; ms = ± " 5: alapelredeés mt = ± mm; ms = ± 5" 6: alapelredeés mt = ± mm; ms = ± 7" 7: alapelredeés, de t = 4 m mt = ± mm; ms = ± " 8: alapelredeés, de t = 4 m és t = 6 m mt = ± mm; ms = ± " 9: alapelredeés, de = és = mt = ± mm; ms = ± " A visálatok eredméyeit fiyelve erre a mérési elredeésre a követke meállapításokat tesem: - Ahoya a várható is volt, a P-as pot eseté mehatároott mserhiba és ellerés ( h, hordoa a korábbi mehatároás bioytalasáait, vayis sámser értékekkel is bioyított Májay Péter mejeyése a V.. fejeet véé. - A mserhibák mehatároásáál kulcsfotossáú a visált mser és keelje (és/vay a iráyás techolóiája pl. ATR eyüttes sömérési potossáa, vay más éve: a iráyás és leolvasás eyüttes köéphibája. - A távolsámérés köéphibája csak elé ay potatlasá eseté (± cm!! mutatkoik, de akkor is a fekvteely merleesséi hiba köéphibáját öveli jobba, mit a távolsá által éritett többi köéphibákat. - A P-es pot távolsááak Májay Péter által elírtakho való köelítése, a távcskülpotossáok köéphibáiak csökketését eredméyei. - A P-as pot távolsááak övelése miimális köéphiba-övekedést eredméyeett, visot ha a a P-iráyáak eitsöe, akkor a taes füvéy hatása mutatkoik erteljese a köéphibákba is. Eért is javasolt et a potot úy meválastai, hoy a eitsöe a =45 -ho (mit ideális értékhe köeli leye. Ha a járulékos hibák hatását is fiyelembe kívájuk vei a serkeeti hibák potossái visálatáál, akkor a hibaterjedésél kiiduláskét felírt össefüéseket ki kell eésítsük a járulékos hibák hatásával. Ebbe a esetbe visot jeletse öveksik a eyeletek össetettsée és eáltal a deriváltak elállításáak mukaiéye is. Eért a. résbe táryalt matematikai simulációt alkalmahatjuk erre a feladatra is. Termésetese itt me kell említei a járulékos hibáko kívül a alhidádé libellák és a moder mserekbe lév kompeátorok 8

89 hibáit, valamit a semélyi leolvasási hibákat is. A követke potba csak a járulékos hibák fiyelembevételére alkalmaom a matematikai statistika Mote-Carlo módserét. V.4... Mote-Carlo módser alkalmaásával Kiiduláskét (aa mé a járulékos hibákkal em sámítva veyük a 4.. tábláatba látható mérési elredeést, majd a mért értékeket ormális eloslású véletle jelle hibákkal terheljük (feltételeve, hoy a mérési eredméyeik ormális eloslásúak. A ormális eloslású véletle jelle hibák éró várható értékkel és mt illetve ms köéphibával jellemehetk. A kapott mserhibákat jellem köéphiba értékeket a 4.4 tábláatba folaltam össe. Els lépésbe at láthatjuk, hoy a Mote-Carlo módserrel boyolult leveetések és sámítások élkül ebbe a témakörbe is sikerese válast adhatuk a feltett kérdésekre, lásd 4.4 tábláat. Látható, hoy miél több ismétléssel dolouk a MC-simulációál, aál jobba köelítjük a hibaterjedés véeredméyét. A továbbiakba olya visálatokat véetem el, amelyek sorá visáltam a mserhibák mehatároásáál (ha em teljesülek a mérési elredeéssel sembe felállított követelméyek fellép járulékos hibák hatását a mserhibákra és a aokat jellem köéphibákra eyarát, a eredméyeket lásd a 4.5. tábláatba. Mide visálatál a MC-simuláció - seres ismétléssel futott. A visálatok leírása: : A 4.. tábláatba serepl mérési elredeéssel (alapelredeés, valamit mt = ± mm; ms = ± " köéphibával sámított eredméyek. Továbbá a járulékos hibák sámításál a követke eletes serkeeti hiba értékekkel dolotam: k-el.=-,49"; -el.=-,64";,v-el=-, mm;,h-el=,9 mm; h-el=7,7"; " : alapelredeés eletes értékek a -es vis. serit t=5 m mt = ± mm; ms = ± : alapelredeés eletes értékek a -es vis. serit = és = mt = ± mm; ms = ± " 4: alapelredeés eletes értékek a -es vis. serit = és = mt = ± mm; ms = ± " 4.4. tábláat. A 4.. tábláatba folalt mérési elredeéssel és MC-vel sámított, mserhibákat jellem köéphibák. (A járulékos hibákkal em sámítva m i,v Sámolási m m ciklus k [±"] m [±"] i,h [±mm] [±mm] m h [±"] m [±"] m t = ± mm; m s = ± ",7,7,,,87,,7,69,,,84, 5,68,7,,,87,4,7,8,,4,66, 84

90 4.5. tábláat. A 4.. tábláatba folalt mérési elredeéssel és MC-vel sámított mserhibák és aokat jellem köéphibák, fiyelembe véve a járulékos hibák hatását is a külöbö visálatokba Vi sálat k / m k ["]/[±"] -,58/,7 -,8/,7 -,4/,69 4 -,57/,7 / m ["]/ [±"] -,/,7 -,86/,7 -,/,7 -,/,7 i,v / m i,v [mm]/[±m m] i,h / m i,h [mm]/[±mm] h / m h ["]/[±"] / m ["]/[±"] -,/,,9/, 7,/,88,4/,9 -,7/,,54/, 7,6/,88,7/,,6/,,9/, 6,79,87,4/, -,/,,9/,,/,56,4/, A járulékos hibák hatását bitosa ki lehet mutati a mserhibák értékeiek váltoásába, visot a serkeeti hibákat jellem köéphibák értékeibe már kevésbé, és mé akkor sem lehetsées e, ha a mserhibák értékeibe (aráyaiba ayobb váltoás követkeik be. (pl.: kollimációhiba értéke -,57"-rl -,4"-re váltoik, a köéphiba visot uyaa marad, stb.. Mejeyéskét eekél a visálatokál el kell modai, hoy a 4.. tábláat mérési elredeésébe a komplex hibaelemés eredméyekét kapott köéphibák értékei többyire a mserhibák aysáredjébe esek. V.5. A mserhibák hmérsékletfüése A teodolitokat, mérállomásokat jellem serkeeti hibák visálata sorá óhatatlaul találkohatuk olya kérdésekkel, amelyek a adott mserhibák hmérsékletfüésével kapcsolatosak. A haai sakirodalomba em találi erre voatkoó utalásokat, a emetköi sakirodalomba is csak csekély sámba pl.: Walser (4 és Dierea és Scherreer ( mukájába. A mérállomások mserhibái köül a idexhibáak és kollimációhibáak a hmérsékletfüését láthatjuk Walser (4 mukájába. Tapastalati úto ey lieáris kapcsolatot ír fel a mserhibák és a hmérsékletkülöbsé köött: δ δ k, temp. k, ref.,, temp. T δ T δ, ref. (4.46 tt k,temp. δ illetve δ,temp. a adott mserhiba hmérsékleti eyütthatója empirikus úto törté mehatároásból, valamit a két álladó: δ k,ref. és δ,ref., amelyek a referecia hmérséklete mehatároott mserhibák, a T pedi a hmérsékletkülöbséet fejei ki. 85

91 A látott össefüések aalóiájára, aal a kivétellel, hoy em hmérsékletkülöbséet haem hmérsékletet (T vesük, ha mide serkeeti hibára hmérsékleti füést lehet meállapítai, akkor eek seítséével a követke formába felírhatuk ey hibátla vísites, és maassái leolvasást 4., 4. és 4.46 össefüések alkalmaásával: l l korriált, ( A T B ( Aδ T Bδ ( Aδ T B ( V h δ cot δ h ( A T B ( Aδ T Bδ korriált, = l = l si si ( A T B cot ( δ δ h korriált, 6 = δ h korriált, δ k δ k V δ k δ k ( A T B δ δ arcsi arcsi, V t f, V t f 86 si si, V, V ( A T B δ, H arcsi t f ( Aδ T B δ ( A T B = 6 δ, H arcsi t f δ, H δ, H (4.47 (4.48 Eekbe a kifejeésekbe a Ai értékek a mserhibák hmérsékletfüéseiek eyütthatói, mí a Bi taok, a korábbi Ai eyütthatókho tartoó kostasok. Lássuk, mehatárohatók-e a mérállomásokat jellem serkeeti hibákra a hmérsékletfüés fet felírt eyütthatói! Eel kapcsolatos példakét két visálati mérést mutatok be: A BME kertjébe véett mérések feldoloása (iditervalluma: teljes visálat: ~ 5 óra, hmérsékleti váltoás: ~ 7 C Ey moásvisálati hálóatba véett mérések feldoloása (iditervalluma: 8 hóap /március eleje október vée/, hmérsékleti váltoás: ~ 47 C V.5.. A BME kertjébe véett mérések A BME Általáos- és Felseodéia Tasékéek Leica TS5i típusú mérállomásáak mserhibáit határotam me Májay Péter-féle visálattal. A visálat helysíe a BME ésaki udvara volt. A leve, valamit a mser bels hmérséklete röítésre került. A visálat eyik célja a volt, hoy a Májay-féle mservisálatot automata méréssel (ATR-es iráyással, ATR = Automatic Taret Recoitio Sih et al, lehesse elvéei. Eel a éslel hibáját kiküsöböltem, lerövidítettem a mérés idejét, uyaakkor a visálatba bevittem maáak a ATR-ek a potatlasáát. (E utóbbi össemérhet a semélyi hibával, visot a mérési id drastikusa lecsökke ATR alkalmaásával, vayis össesséébe elyösebb a visálatot ATR-el elvéei. Me kell említeem at is, hoy a mserekbe beépített kalibrációs proramba lehetsé va a ATR ellerésére is. A mérési elredeés a Májay-féle mservisálatból fakadóa (Májay, 984:

92 P-es pot ferde távolsáa és eitsöe: tf= 8,47 m, =89-- P-es pot ferde távolsáa és eitsöe: tf= 5,9 m, =9-9-7 P/köeli pot ferde távolsáa és eitsöe: t/köeli f=6, m /köeli= P/távoli pot ferde távolsáa és eitsöe: t/távoli f=4,7 m /távoli=57--4 Mivel P/köeli potra me iráy eitsöe, kihasálva a helysí adta lehetséeket, csak ~ 69 körüli volt, eért bevotam a visálatba ey P/távoli potot. A mérés mekedése eltt a helysí teljes mértékbe kiépített volt, íy a mser sobahmérsékletrl való kisállítása utá aoal el lehetett kedei a éslelést, visálva a mser folyamatos hmérsékletváltoásáak (hléséek hatását (4.9. ábra. #%& & & && & & && && # (( (,, 4.9. ábra. A leve és a mser hmérsékletéek alakulása a mérés folyamá (idtartam: ~ 5 óra A mser bels hmérséklete midi maasabb volt a köryeet hmérsékletéél, amelyek oka a bels elektroika ft hatása. Et a jeleséet lehet láti a mérés kedeté is, ahol álladó sobahmérséklete a mser pustá bekapcsolt állapotba volt (mérést em véett, servomotorok em dolotak. Mivel célom volt a mserhibák (esetlees hmérsékleti füéséek kimérése, eért a éslelések yakorisáát úy kellett beállítai, hoy eleed mitavétel álljo redelkeésre a folyamatosa váltoó hmérséklet mser serkeeti hibáiak kimutatásáho. Eért is volt léyees sempot ey mérési soroat (P-tl P-i potokét két távcsállásba való éslelés meméréséhe süksées id lehet leayobb mérték lerövidítése. A eredméyeket 4.-tl 4.5. ábrái láthatjuk, mide ábra ey-ey mserhibáak a moását mutatja a hmérséklet és a id füvéyébe. A visálat sorá (a mérési soroatok köött és a mérési soroatokba is simuláltam a mser moását (pl. a mserállás dlése, elcsavarodása a msertalp elforatásával és a állóteely újbóli beállításával. Et a 4.. ábrá Foratás libella állítás meeveéssel jelöltem. Várakoásomak mefelele látható, hoy a mserhibák értékeibe valójába em 87

93 mutatkoik a mser/mért pot esetlees moása. A mserhibák mehatároása sorá a valódi modulatlasáot arra a idre kell bitosítai, amí a eyes potokat els és második távcsállásba lemérjük. A matematikai statistika soláltatta R (determiációs eyüttható értékek kisámításával (Miller és Wicher, 977 visálhatjuk at, hoy a adott mserhibák hmérsékletfüése köelíthet-e lieárisa. Eredméyeket lásd a 4.6. tábláatba. Aak két oka lehet, ha a R értéke alacsoy: a mserhiba hmérsékletfüése em köelíthet lieárisa a mserhibáak ics, vay eekbl a adatokból em kimutatható a hmérsékletfüése && && && && & & # (( #%&.,/ (,, ábra. A idexhiba alakulása a mérés folyamá, # (( && && && && & & #%&.,/ (,, 4.. ábra. A kollimációhiba alakulása a mérés folyamá 88

94 . # (( && && && && & & #%&.567,, (,, 4.. ábra. A horiotális távcskülpotossá alakulása a mérés folyamá /. # (( && && && && & & #%&.568,, (,, 4.. ábra. A vertikális távcskülpotossá alakulása a mérés folyamá # # (( && && && && & & #%&.,/.,/ (,, 4.4. ábra. A fekvteely merleesséi hibájáak alakulása a mérés folyamá (köeli és távoli pot eseté 89

95 # (( && && && && & & # #%& 9,/ 9,/ (,, 4.5. ábra. A ellerésre soláló eredméy alakulása a mérés folyamá (köeli és távoli pot eseté.,/ # #%&.,/ 4.6. ábra. A visált mser fekvteely merleesséi hibájáak alakulása a bels hmérséklet füvéyébe távoli pot (~ 4 m eseté, R = tábláat. A eyes mserhibákak a mser bels hmérsékletével való kapcsolatát jellem R determiációs eyütthatók (lásd ey példa 4.6. ábra - k,v,h h-köeli -köeli h-távoli -távoli R,4,4,5,6,6,5,64,64 Ee visálatok alapjá ( ábráki és 4.6. tábláat értékei a követke ésrevételeim vaak: - a visált mser idexhibája, vertikális távcskülpotossáa és fekvteely merleesséi hibája a adatok serit ay valósíséel hmérsékletfü (mealapoottabb állítást a bemutatottál ayobb sámú visálat utá lehet csak tei. - a hmérsékletfüés köelítése lieárisa csak a fekvteely merleesséi hiba eseté lehet idokolt. 9

96 - alapvete a kevés sámú mita miatt, valamit a eyiráyú hmérsékletváltoás miatt a bemutatott visálat abba érte el célját, hoy csak felvetette (lásd h váltoása a hmérséklettel a adott mserhibák hmérsékletfüéséek lehetséét. Eért süksées ey ilye mservisálatot váltakoó hmérséklete, valamit aysámú mitavétel mellett elvéei. V.5.. Moásvisálati hálóatba véett mérések A korábba bemutatott mservisálat yeesée (eyiráyú hmérsékletváltoás, kevés sámú mérés eredméyete at a iéyt, hoy ey hmérsékletfüést kutató mservisálat váltakoó hmérséklete, illetve aysámú mitavétel mellett valósuljo me. Ee feltételek alapjá két lehetsé mutatkoott: klimatiált helyisébe mesterséese váltotatott hmérséklete, automatiált mérésre képes mserrel a visálatak mefelel elhelyekedés potokra véett mérésekkel mevalósítai a mservisálatot, vay a elél hossabb idei tartó, kültérre istallált automatiált mérésre képes mserrel elvéei uyaat. Ebbe a esetbe a váltakoó hmérsékletet api illetve évsakos doásával a köryeet bitosítja. Mivel a els potba váolt feltételek em voltak adottak sámomra, eért fiyelmem a kültéri moitori redserekre iráyult. Ey mérökeodéiával folalkoó cé által telepített moásvisálati redser február vée és ovember eleje idsakra voatoó mérési eredméyeit kaptam me. A moásvisálati redserbe alkalmaott mser(ek típusa: Leica TCA 8, továbbá a mserállás ey ~-,5 méter maas ~4 cm átmérj spirálheestés vascs volt (lásd 4.7. ábra. A helysíe ey meteorolóiai állomás is mködött, amelyek adatait sité mekaptam ábra. A moásvisálati hálóat eyik mserállása 9

97 A adat meyisée: ~ millió adat (~,5 millió sor, sorokét adattal. Mide els és második sor ey primára törté mérést jelet (els v. második távcsállásba, mide harmadik sor pedi a el kett átlaértékeit tartalmaa (aa sor tartoik ey primáho ~ 8 mérés (két távcsállásba ~ 5 potra. A potok méréséél a els és második távcsállás követleül követi eymást, vayis a mservisálat sempotjából e a mérési mód kedve, uyais a két távcsállás köött eltelt id rövid. Aa kevésbé valósí, hoy e id alatt a mser vay a pot elmodula. Eekkel a mérésekkel a célom (hasolóa a korábbiakho: A alkalmaott mérállomás(ok mértékadó mserhibáiak mehatároása Májay-féle módserrel, em külö mservisálat céljából mért adatoko kerestül, külöös fiyelemmel a hmérséklet okota hatásokra. A Májay-féle mservisálat alapjá (Májay, 984 ki kellett válastai a köel 5 pot köül aokat a potokat, amely potokra mért adatokból a mserhibákat visáli kívátam. A moásvisálati hálóat sajátossáa miatt a P és P potok serepét (V.. fejeetbe táryaltak serit csak ey-ey mért pot tudta betöltei, mert csak eekél a potokál teljesültek a Májay-féle módserél elírtak (többek köött a miimális járulékos hiba értékei. Össefolalóa a 4.7 tábláatba láthatók ao potok, amelyek a mserhiba-visálatba rést vettek. A 4.7 tábláat a korábba már bemutatott 4. tábláat értékeit és további kieésítéseket tartalma. A P pot eseté (amibl a mser fekvteelyéek merleesséi hibáját sámítom, mit ahoya at a BME kertjébe véett mérésekél is tettem, em csak ey potból, haem több (aa éy potból veettem le a h hiba és ellerés értékét. Eeket a potokat a feldoloás sorá a 4.7 tábláatba látható módo jelöltem tábláat. Mérési elredeés P -tl P potoki ey moásvisálati hálóatba. P i, potok a hálóat ey-ey potjai Ps. és Távcsállás ráyérték (l [fok-perc-mp] Zeitsö ( [fok-perc-mp] Távolsá (t f [m] P. 45--, ,6 P. 5--,5 7--4,8 P , ,7 P , ,8 P _ , ,6 P _ ,4-9-9, P _ , 56-7-,5 P _ ,6-5-45,5 6,59 4,59,895 5,5 P _ , ,9 7,765 9

98 P _ ,5 94--,7 P _8. --, , P _ ,4-5-44,7 7,65 Lássuk a eredméyeket, mserhibákét (a doloatba a terjedelemre voatkoó korlát miatt éháy eredméyt a F.. sámú füelékbe kölök: A kollimációhiba értékeiek alakulása A teljes visálati idsakba a P potból leveetett kollimációhiba értékeiek alakulása a id és a köryeet hmérsékletéek füvéyébe (4.. ábra. Láthattuk a el alfejeetbe (V.5., hoy a mser bels hmérséklete a elektroika ft hatásáak kösöhete midi maasabb, mit a köryeet hmérséklete. Mivel ebbe a visálatba a mser(ek kültére helyekedett el, akklimatiálódás utá követte a köryeet hmérsékletváltoását. Ey mser bels hmérsékletéek a köryeet hmérsékletéhe való akklimatiálódási folyamata akár,5 órái is eltarthat, lásd 4.9. és 4.9. ábrákat. #%& && && && && && && # (( (,, 4.8. ábra. Ey TS5i mérállomás bels hmérsékletéek és leve hmérsékletéek ~4 órás reistrálása. Köel C-kal maasabb marad a mser bels hmérséklete a elektroika ftése miatt. #%& && & & && & & & & & & && & & # (( (,, 4.9. ábra. Ey TS5i mérállomás bels hmérsékletéek (~,5 órás akklimatiálódása a id füvéyébe 9

99 Ha a mserhibák hmérsékletfü váltoásait sereték mefiyeli, akkor a visálat sempotjából meeedhet a mser bels hmérsékletéek mefeleltetése a köryeet hmérsékletével (eltekitve ebbe a esetbe attól a álladó hmérsékletkülöbsétl, ameyivel a mser bels hmérséklete maasabb a köryeet hmérsékletétl a mser bels elektroikájáak ftése és a mser burkolatáak sietelése miatt 4.9. és 4.8. ábrák alapjá e a érték ~ -4 C. A moásvisálati hálóat mérése eseté sajos em állt redelkeésemre adat a mser bels hmérsékletére voatkoóa. 4.. ábra. A P potból leveetett kollimációhiba értékeiek (547 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. 4.. ábra. A P potból leveetett kollimációhiba értékeiek alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe, valamit a adatsor lieáris köelítéséek eredméye és a R eredméye 94

100 A idexhiba értékeiek alakulása 4.. ábra. A P potból leveetett idexhiba értékeiek (547 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. 4.. ábra. A P potból leveetett idexhiba értékeiek alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe, valamit a adatsor lieáris köelítéséek eredméye és a R eredméye A horiotális távcskülpotossá értékeiek alakulása 95

101 4.4. ábra. A P potból leveetett horiotális távcskülpotossá értékeiek (545 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a külpotossá értékébe urások láthatók ábra. A P potból leveetett horiotális távcskülpotossá értékeiek alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe, valamit a adatsor lieáris köelítéséek eredméye és a R eredméye A 4.4. ábrá látható mserhiba adatsorába bekövetke urások okát a 4.6. ábrá kereshetjük, amely serit láthatjuk, hoy a P-es pot eseté a kollimációhiba jelle meyisé értékébe sité láthatók a urások, s eáltal eek hatása a horiotális távcskülpotossá értéksorába is jeletkeik. E a jelesé felveti aak kérdését, hoy a 96

102 redelkeésemre bocsátott moásvisálati hálóati mérések a várttal elletétbe esetle em ey mérállomásra voatkoak a 8 hóap visoylatába. Eek a doloatak em volt célja a adatsorba található urások okaiak teljes kör feltárása, eért a követkekbe a tapastalt adatsor- urásokat pustá bemutatom: 4.6. ábra. A P potból leveetett horiotális távcskülpotossá értékeibe serepl l ± 8 l össefüés ( kollimációhiba jelle meyisé (545 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a kollimációhiba jelle meyisé értékébe urások láthatók. A vertikális távcskülpotossá, a fekvteely merleesséi hibája és a ellerés ( idbeli alakulásába a horiotális távcskülpotossáho hasolóa is fellelhetk urások. Eeke túlmee a kokrét értékek alakulását a füelékbe a F..-5-i ábráko láthatjuk. Látva mid a mserhibák, mid a mérési eredméyekbl követleül leveetett értékekbe ( kollimációhiba jelle meyisé és idexhiba jelle meyisé a váratla értékváltoásokat (urásokat, arra a meállapításra jutottam, hoy keressek ey olya hóapot: - amelybe icseek kiurások és - kelle aysámú mérés áll redelkeésre. Valamit a korábbiakho hasolóa ismételte határoam a mserhibák értékeit, de abba a hóapba redelkeésre álló mérési soroatok köül (ey mérési soroat: P, P és P pot két távcsállásba törtét mérése csak mide másodikat vojam be a sámításba. Mivel eredeti célom a alkalmaott mérállomás(ok serkeeti mserhibáiak mehatároása külöös tekitettel a hmérséklet okota hatásokra, a mserhiba-hmérséklet diaramokat tekitve (4., 4., 4.5, F.., F..5 és F.. látható, hoy a eyes mserhibákak 97

103 ay valósíséel va hmérsékletfüése (lesámítva a yers adatsorba lév urások hatását -, a kiválastott hóap mérési soroataiból kisámítottam a mserhibákat. Et követe a 4.47 és 4.48-be serepl eyütthatókat (pl.: Aδ, Bδ a mserhibák értékeire illestett lieáris köelítéssel határotam me (pl.: 4.6. ábra és a F..6-. ábrák. Majd a eyütthatók sámítása utá a hóap többi mérési soroatáak vísites és maassái körleolvasásaira voatkoóa (korábba felhasált mide másodiko kívül kisámítottam aokat a javításokat, amelyekkel a els távcsállásba leolvasott értékeket mejavítva a iráyértékek és eitsöek korriált értékeit kapjuk. Eektl a értékektl at várjuk, hoy meeyeeek a hibátla (els és második távcsállásból sámítható mserhibáktól metes értékekkel. Me kell jeyei, hoy a 4.47 eyeleteibe serepl állóteely ferdeséi hiba (v hatása kétiráyú kompeátorral sámításba vehet, vayis ha a msere a vísites körleolvasás automatikus állóteely ferdesé hatásával való mejavítása bekapcsolt állapotba va, akkor a eyeletbe serepl hibahatásra úy tekithetük, mit amit már fiyelembe vettük. A 4.47 alapjá korriált és a hibátla iráyértékek, eitsöek külöbséei (továbbiakba: becslési hiba tájékotatak arról, hoy meyire képesek a korábba mehatároott mserhibákat jellem eyütthatók leíri a mserhibák téylees értékeit (lásd 4.8. és 4.9-as ábrák. Kollimációhibá kívül a többi mserhibára sámított értékek (eyütthatók és R értékek a F... füelékbe találhatók. k k 4.7. ábra. A kollimációhiba és hmérséklet kapcsolata március hóapba, továbbá a kapcsolat lieáris köelítését leíró eyelet eyütthatói és a R értéke. A mehatároásho mide második mérési soroatot vettem fiyelembe. 98

104 4.8. ábra. A becslési hiba értékeiek hóapo belüli alakulása. a. vísites körleolvasásra d voatkoó l = l hibátla, l korriált, d =, b. maassái körleolvasásra voatkoó értékek hibátla, korriált, Mevisáltam mé a okoott javítások értékét (4.. ábra is, amely alatt at a javítást értem, ami a els távcsállásba véett körleolvasások és korriált párjuk külöbsée. Termésetese a okoott javítások -ra kisámított átlaértékekbe jeletkeek a mserhibák alapértékei, és aok váltoásaiak hatása is. Arra a kérdésre, vajo milye mérték a külöbsé aköött, ha a maassái és vísites körleolvasások els távcsállásbeli értékét klassikus meoldással álladó érték mserhibáho tartoó korrekcióval javítom me, vay ha a hmérsékletfüést fiyelembevev mserhiba hatással, a 4.. és 4. ábrák adják me a válast. d = l l 4.9. ábra. A becslési hibákra késített historamok. a. vísites körleolvasásra voatkoó l hibátla, korriált höm.,, átlaérték: -,6 [mp], köéphiba: ±, [mp] b. m aassái körleolva- d sásra voatkoó értékek = hibátla, korriált höm.,, átlaérték:,5 [mp], köéphiba: ±, [mp] 99

105 4.. ábra. A okoott javításokra késített historamok. a. vísites körleolvasásra voatkoó korriált, d l javítás = l l, átlaérték:, [mp], b. maassái körleolvasásra voatkoó értékek korriált, d javítás =, átlaérték: -.5 [mp], A klassikus meoldással, aa a kisámított mserhibák eyser átlaolásával, a március hóapba mért mide második iráysoroatból leveettem a mserhibák értékeit: 4.8. tábláat. A moásvisálati hálóatba március hóapba véett mérésekbl klassikus meoldással leveetett mserhibák és aok köéphibái. Mserhiba Átlaérték Köéphiba k [mp] -,4 ±, [mp] -,8 ±,6,V [mm],4 ±,6,H [mm] -,5 ±,57 h [mp] 7,4 ±,7 4.. ábra. A klassikus meoldással (álladó hibát feltételeve sámított becslési hibákra késített historamok. a. vísites körleolvasásra voatkoó hibátla, korriált klassikus, d l = l l, átlaérték: -,6 [mp], köéphiba: ±,6 [mp] b. maassái körleolvasásra voatkoó értékek d = hibátla, korriált klassikus,, átlaérték:,7 [mp], köéphiba: ±,6 [mp]

106 4.. ábra. A teljes javításokra késített historamok, aa a két meköelítés külöbsée: álladó (átla mserhibát feltétele és hmérsékletváltoást fiyelembevev (hm. a. vísites d körleolvasásra voatkoó l javítás = l, átlaérték: -, [mp], b. maas- d sái körleolvasásra voatkoó értékek l korriált átla, korriált höm. javítás = [mp], korriáltátla, korriálthöm,, átlaérték:, Össehasolítva a 4.9. és 4.. ábrákat és aláírásukba serepl adatokat elmodhatjuk, hoy ha fiyelembe vessük a mserhibák hmérsékletfüését és sámításba is vessük ott ahol e eyértelme kimutatható, akkor jobb eredméyt érük el, mitha em veék fiyelembe at. V.6. Össeés Ebbe a résbe a sömérést terhel sabályos hibák potosításával, kieésítésével és visálatával folalkotam. A sakirodalom alapjá áttekitést adtam a sömér mserek (teodolitok, mérállomások vísites és maassái körleolvasását terhel mértékadó (a leolvasóképesséet jeletse mehaladó mserhibáiról. Potosítottam a kollimációhiba értelmeésébe a maassái max sö maximális értékét ( α = 9 δ és eáltal a kollimációhiba hatásáak maximális értékét is (4. eyelet alapjá leveethet a ( = 9 k δ. A általuk ismert sakirodalom em k max köli a kollimációhibára voatkoó potosítást/mayaráatot. Kimutattam, hoy a potosítás pustá elméleti, visot a újrarajolt 4.. ábrával eyütt a hiba jobb meértését, semléltetését solálja. Visáltam a Májay P.-féle mservisálatál fellép járulékos hibák hatását, amely hibák akkor lépek fel, ha a yakorlati méréselredeés sorá a Májay-módserbe leírtak em teljesülek maradéktalaul (pl. a iráyvoal vísitessée és távolsáa P potál, vay a P potál a iráyvoal vísitessée és a távolsá a mser köelpotjáak mefelel. A mser sömérési és távolsámérési potossáából a hibaterjedés törvéyét alkalmava leveettem a mértékadó mserhibákat (és Májay-féle mservisálatál a ellerést jel-

107 lem köéphibákat (4., 4.4, 4.7, 4., 4.4 és 4.44 össefüések. Eek értékeit mehatárotam Mote-Carlo módserrel is, majd a mserhibák potossái becslését kibvítettem a járulékos hibák fiyelembevételével, sité Mote-Carlo módserrel (lásd 4.4 és 4.5 tábláat értékei. A mserhibákat jellem köéphibák leveetésével lehetsé yílik a Májay-féle mservisálat yors és hatékoy potossái terveésére: pl.: amikor adott ey mser, adott a mservisálatho ey mérési elredeés, a leveetések seítséével meadható a adott iráyok (P, P, P kell sámú ismétléséek sáma ahho, hoy a mservisálat véé a mserhibákat a elre elterveett potossáal me tudjuk határoi. Felírtam a vísites és maassái körö tett els és második távcsállás korriált leolvasását, fiyelembe véve a mserhibák lieáris hmérsékletfüését. A sakirodalomba eddi ismert össefüést kibvítettem a horiotális és vertikális távcskülpotossá hmérsékletfü hatásával (4.47 és 4.48 össefüések. Gyakorlati visálataim sorá fiyelemmel kísértem a mser hmérsékleti akklimatiálódását, és a tapastalatok at mutatják, hoy a visált mérállomás eseté a teljes akklimatiálódási folyamat T~-5 C-os hmérsékletkülöbséél ~,5 órát ves iéybe. A folyamat leárultával a mser bels hmérséklete kb. -4 C-yi külöbséel követi a köryeet hmérsékletváltoását. A mser elektroikájáak ft hatása és a mser felépítése (ayaa, tömítések stb. okohatják a bels hmérséklet maasabb voltát (lásd 4.9, 4.8 és 4.9 ábrák. A mseryárak javaslatukba akklimatiálódásra perc/ C T idt írak (ahol T a hmérsékletkülöbsé a mser raktároása és a mser hasálatáak köryeeti hmérséklete köött, de miimum 5 percet. Eek elsdlees oka a mserbe mköd kompeátor hmérsékleti járása a akklimatiálódási idsakba (Dierea és Scherrer,. A mérállomások mértékadó mserhibáiak Májay-féle módserrel automatikus éslelés mellett mevalósuló mehatároására két yakorlati példát mutattam be. Amelyeke kerestül láthattuk, hoya viselkedek a mser serkeeti hibái váltoó hmérséklet mellett. A els esetbe ey saját mérpályá, kifejeette mserhiba-mehatároás céljából mért meyiséeke (~4 mérési soroat, ~6 db és. mérés véetem el a sámításokat. A második esetbe pedi ey 8 hóapra kiterjed háromdimeiós moásvisálati (moitori hálóatba mért adatoko véetem sámításokat (~5 mérési soroat ~5 db és. mérés. A eredméyek serit a mérésbe réstvev mser serkeeti hibái köül a idexhibát lesámítva eyértelm a hmérsékletfüés. A mérési adatokba lév bioytalasáok (bioyos értékekbe látható urások miatt, a hmérsékletfüés fiyelembevételére iráyuló eller sámítást em a teljes 8 hóapra, haem ey hóapra véetem el.

108 A kiválastott márciusi mérések alapjá mehatárotam a mserhibákat (4.8. tábláat és aok hmérséklet okota váltoásait (a eyütthatókat lieáris köelítéssel. A március hóapba a mserhibák mehatároásába rést em vett iráysoroatok els távcsállásbeli körleolvasásait kétféle módserrel javítottam me aak érdekébe, hoy a elméleti hibátla értéket csak ey távcsállásba véett méréssel is el lehesse állítai. A kétféle módser: klassikusak evehet módser, amikor a kisámított mserhibákat eés hóapra éve átlaoltam újabb módser, amikor lieáris köelítéssel a kisámított mserhibák hmérsékleti váltoásait is fiyelembe vettem. Mehatárotam a kétféle módserrel sámított (els távcsállás hibahatások iráyértékek külöbséét a hibátla (két távcsállásból sámított értékektl, valamit eymástól (lásd ábrákat. A eredméyek at mutatják, hoy ha fiyelembe vessük a mserhibák hmérsékletfüését és sámításba is vessük ott ahol e eyértelme kimutatható, akkor jobb eredméyt érük el (köelebb vayuk a hibátla értékekhe, kisebb köéphiba jellemi a értékeiket, mitha em veék fiyelembe at. További fotos meállapítás a, hoy a két módser köött a márciusi mérések alapjá kisámított külöbsé átlaértéke yakorlatila érus. A fetiekhe kapcsolódó téisem a követke: Leveettem hibaterjedés törvéyét alkalmava és Mote-Carlo módserrel a teodolit mértékadó mserhibáit jellem köéphibákat, valamit tapastalati úto visáltam e mértékadó mserhibák lieáris hmérsékletfüéséek lehetséét.

109 Téisek Fukcioális modellek potosítása eodéiai mérések feldoloásával kapcsolatos eddi ismertetett kutatásokra alapoott újser tudomáyos eredméyeim a alábbiak:. Mevisáltam a Eötvös- lieáris fiikai modelljéek maasabbfokú taokkal törté kibvítéséek lehetséét. Eljárást dolotam ki a ilye iráyú feldoloás elvééséhe, és ey kokrét példá kerestül bemutattam aak alkalmaását. Visálataimat kiterjestettem a Eötvös- alapeyeletéek aimutváltoást tartalmaó emlieáris meoldására is, továbbá kokrét mérési adatok bevoásával össehasolító elemést késítettem a hayomáyos lieáris és emlieáris feldoloással sámított eredméyekre. Kapcsolódó publikációk: (Tóth és Éet. Tömemodellekbl követle modelleéssel sámított ehéséi ertér paraméterek potossái mérsámáak mehatároására alkalmatam elskét a Mote-Carlo matematikai simulációs módsert. A módser felhasálását kokrét yakorlati példá kerestül is bemutattam. Kapcsolódó publikációk: (Tóth és Éet. Továbbfejlestettem, továbbá földmukával járó méröki mukák visálatára alkalmatam a ehéséi ertér sitfelületeiek idbeli váltoásait modelle elméletet. A továbbfejlestett modell hasálhatósáát ey kokrét példá kerestül mutattam be. A földmukák követle hatása a ehéséi ertérre eyes extrém esetekbe elérheti a sabatos méröki siteés mérési potossáát, a kialakuló felsísüllyedések pedi érdembe em befolyásolják a ehéséi ertér sitfelületeiek a alakját, hatásuk elhayaolható. Kapcsolódó publikációk: (Éet Cs, Földváry L, (Éet és Földváry, (Éet et al (Éet et al 4 4. Leveettem hibaterjedés törvéyét alkalmava és Mote-Carlo módserrel a teodolit mértékadó mserhibáit jellem köéphibákat, valamit tapastalati úto visáltam e mértékadó mserhibák lieáris hmérsékletfüéséek lehetséét. Kapcsolódó publikációk: (Sabó és Éet 7 4

110 Hivatkoások Abramowit M, Steu (97: Hadbook of Mathematical Fuctios with Formulas, Graphs, ad Mathematical Tables. Dover, Nith priti. Table 5.. Beedek J (9: A ehéséi ertér sitetikus modelleése, Doktori értekeés, Sopro, 47. Biró P (98: Time variatio of heiht ad ravity. Wichma Verla, Karlsruhe, Akadémiai Kiadó, Budapest.6. Biró P, Ádám J, Völyesi L, Tóth Gy (: A felseodéia elmélete és yakorlata, Budapest, HM Zríyi Térképéseti és Kommuikációs Soláltató Noprofit Kft., 58. Biró P, Tho N C, Weis E (986: Modelli of secular variatios i ravity ad i eoidal udulatios. Periodica Polytechica Separatum, Civil Eieeri, (-, 6. Brostej N,Semeyajev K A, Musiol G,Mühli H (6: Matematikai kéiköyv, Typotex, Budapest, 6, 9. Csapó G (7: A E54 típusú Eötvös- hasálati utasítása. ELG kiadváy, pp. -7. Csapó G, Földváry L (6: A mayarorsái ravimetria törtéete apjaiki, Geodéia és Kartoráfia 58(7: -. Csapó G, Földváry L, Tóth Gy (: Össefüés a siteési voalako véett raviméteres mérések srsée és a eopoteciális értékek köött, Geodéia és Kartoráfia 6(: -. Cserti J (: A mukára foott véletle -, Köépiskolai Matematikai és Fiikai Lapok, /7 sám és /8 sám, oldal és oldal. Dede K, Detreki Á, Scs L (: A budapesti duai partfalak moásvisálata. Geodéia és Kartoráfia Detreki Á (99: Kieyelít sámítások, Eyetemi jeyet, Budapest, Taköyvkiadó, 685. Dierea, A & Scherrer, R., (: Measuri with Electroic Total Statios. Survey Review, Jauray, Vol. 7, No. 87. Éet Cs, Földváry L (: A 4-es metróvoal alaútredseréek hatása a Föld ehéséi erterére, Geomatikai Köleméyek, X, (, 7-6. Éet Cs, Földváry L (: Numerical accuracy aalysis of modeli excavatio iduced ravity field variatios, : Sovreski Z V, Mokryš M, Badura Š, Lieskovský A (serk. Proceedis i Global Virtual Coferece: The st teratioal Global Virtual Coferece, Zilia, Slovákia, Zilia: EDS Zilia Uiversity Publishers, pp Éet Cs, Földváry L, Husák T (: The effect of tuelli o repeated precise levelli measuremets for vertical deformatio cotrol of the Metro4 project, Joural of Geodetic Sciece, (: 95-. Éet Cs, Reháy N, Földváry L (4: Variatios of the ravity field due to excavatios of the Budapest Metro4 subway lie, Periodica Polytechica Civil Eieeri (i press. Eötvös R (96: Bestimmu der Gradiete der Schwerkraft ud ihrer Niveaufläche mit Hilfe der Drehwaae, Verhadl. der XV. Kofere der terat. Erdmessu i Budapest, Bad., 7-95 Faekas Gy, Petrasovits G (99: Városi földalatti mtáryak terveése és kiviteleése, Eyetemi jeyet, Akadémiai Kiadó, 5. Fialovsky L (979: Geodéiai Mserek, Eyetemi jeyet, Msaki Köyvkiadó, Budapest, 489. Furo Airbore Surveys (: Sa Luis Valley, Colorado, US, HeliFALCON TM Airbore Gravity Gradiometer Survey for USGS Loistics ad Processi Report, Mississaua, Otario, Caada,, 5. Gárdus Z (: Méréstechika, Oktatási seédlet, Miskolc, Diitális jeyet ( Heck B (98: Combiatio of leveli ad ravity data for detecti real crustal movemets, Deutsche Geodätische Kommissio, Reihe B, Heft Nr. 58/V., -. Holstei, H (: Gravimaetic aomaly formulas for polyhedra of spatially liear media. Geophysics, Vol 68., Homoródi L (966: Felseodéia. (Eyetemi taköyv Budapest, Taköyvkiadó, 64. Hua O (: Terrai Correctios for Gravity Gradiometry, dissertatio, Columbus, Ohio,, 5. Jekeli, C., Zhu, L. (6: Compariso of Methods to Model the Gravitatioal Gradiets from Toporaphic Data Bases. Geophysical Joural teratioal, 66, pp Kor G.A, Kor T.M (975: Matematikai kéiköyv msakiakak. Budapest, Msaki köyvkiadó, 995. Kratochvilla K, Földváry L, Tóth Gy (: A ehéséi ertér hossúhullámú kompoeseiek hatása a elsred maassái hálóat ormáljavítása sorá, Geomatikai Köleméyek, XV(.:

111 Krauter A (: Geodéia, Eyetemi jeyet, Budapest, Meyetem Kiadó,, 5. Leica Viva Series (: Techical Referece Maual, Libor J (: Rekuriós eljárások, Mote Carlo módserek és asimptotikus eredméyek oktatási célú össehasolító elemése, Doktori értekeés, Debrece, 56. Májay P (984: A teodolit visálata. Oktatási seédaya, Budapest, Kéirat, 6. Meskó A (988: Beveetés a eofiikába. Taköyvkiadó, Budapest. 5. Metropolis, N, Ulam, S (949. The Mote Carlo Method. Joural of the America Statistical Associatio, 44(47, 5-4. Miller R.B, Wicher D.W (977: termediate busiess statistics: aalysis of variace reressio, ad time series. Holt, Riehart ad Wisto, New York Nay D, Papp G, Beedek J (: The ravitatioal potetial ad its derivatives for the prism. Joural of Geodesy 74 (7 8, Papp G (996: A Pao-medece ehéséi erteréek modelleése, Kadidátusi értekeés, Sopro, 7. Pécsi M (959: Budapest terméseti földraja, Akadémiai kiadó, Budapest, 8. Reháy N (: A 4-es metró földkitermeléséek a moásvisálatokra yakorolt hatása, TDK muka, BME, Budapest, pp. 7. Rybár (97: Visálatok a Eötvös- csillapítási ideje csökketéséek, mebíhatósááak és a toriós sálak preparálásáak problémáiról, Mayar Geofiika X. évfolyam 4-5. sám, pp:9-4. Sárdy A (964: Geodéiai alapismeretek., Kéirat, Taköyvkiadó, Budapest, 9. Sih R., Artma, D., Brito, D., Brow, L. (: Compesators, Stability Check, ad Automatic Taret Recoitio, ODOT Surveyor s Coferece, Oreo Sjöber L E (98: Studies o the lad uplift ad its implicatios o the eoid i Feoscadia. Depth. Geod. Rep. No. 4, Uppsala Uiversity, Uppsala, Swede Sjöber L E (987: Combiatio of temporal chaes of ravity, heiht ad potetial coefficiets for the determiatio of secular chaes of the eoid, ZfV : 67-7 Somodi B, Földváry L (: Applicatio of umerical iteratio techiques for orbit determiatio of stateof-the-art LEO satellites, Periodica Polytechika Civil Eieeri, 55(: Stra va Hees G L (977: Zur eitliche Äderu vo Schwere ud Höhe, ZfV, Sabó G, Éet Cs (7: ráyátvitel MOM Gi-B Giroteodolittal a svájci Gotthard-báisalaút építésé. GEOMATKA KÖZLEMÉNYEK X: pp Sabó Z (999: A Eötvös- históriája. Mayar Geofiika 4(: 6-8. Séchy K (966: The art of tueli, Akadémiai Kiadó, Budapest, 89. Tore W (989: Gravimetry, Walter de Gruyter, Berli, 465. Tóth Gy (4: PolyGrav proram dokumetációja: Tóth Gy, Éet Cs (: A Mátyásheyi Gravitációs és Geodiamikai Observatórium átfoó ravitációs modelleése. GEOMATKA KÖZLEMÉNYEK X/ (64: pp. -. Ultma Z (7: Gravitációs tömehatás sámítása a Mátyás-heyi barla köryeetébe, BME, Építméröki Kar, TDK Doloat, Földmér és tériformatikai sekció,. Völyesi L (: Geofiika, Taköyvkiadó, Budapest, 46. Völyesi L, Éet Cs, Laky S, Tóth Gy, Ultma Z (9: Eötvös- felújítása és testmérések a Budapesti Mátyás-heyi-barlaba, Geomatikai Köleméyek, X., 7, pp 7-8. Völyesi L, Tóth Gy. (: A Eötvös- mérések jeletsée és eodéiai alkalmaásuk. Geodéia és Kartoráfia, Vol. 54, Nr., pp.:8-. Völyesi L, Ultma Z (7: A ehéséi ertér radieseiek fülees iráyú váltoása. Geodéia és Kartoráfia, 59(8-9, -. Völyesi L. (: Geodetic applicatios of torsio balace measuremets i Huary. Reports o Geodesy, Warsaw Uiversity of Techoloy, Vol. 57, Nr.. pp. -. Walser, B.H. (4: Developmet ad calibratio of a imae assisted total statio, Dissertatio, ETH Zürich, 9. Weis E (985: Modellsámítások valódi fülees felsímoások mehatároására. Geodéia és Kartoráfia 7(, 5. Zuidwe K, Mumaw G.R. (7: Airbore Gravity Gradiometry for exploratio Geophysics The First 5 Years, Bell Geospace Ltd, Uit 5A Crombie Lode, ASTP Bride of Do, AB 8GU Aberdee, Uited Kidom, 7, 6. 6

112 Füelék 7

113 F -

114 F - F.. A Eötvös- alapeyeletéek kibvítése F... A yomatéki eyelete A vektor vísites (xy síkba es y össevetiek Taylor-sora másod- és harmadfokú taokat is felírva ( = xy y x y y y y x x x x xy y x y x y x y y x x y y x x xy y x y y x x y y x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y (F.. A ehéséi er W poteciálfüvéye deriváltjaival kifejehetk a vektor y iráyú össetevi: ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( = xy W y W y W x W x W xy W y x W W y W x W y W x W xy W W y W x W W y W x W W yxy yyy yy yxx yx yxyy yxxy y yyyy yxxx yy yx yxy y yyy yxx y yy yx y y (F.. A karjáho kötött koordiáta-redserbe a yomaték-eyeletéek harmadfokú tajait felírva:

115 M ( W xxy W yyy cos α x( x y dm ( W xxy W yyy si α y( x y ( Wxxy W yyy cosα x( 4 x y dm ( Wxxy W yyy siα y( 4 x y W = xy cos α ( x y dm Wxy si α xy dm ( W yy Wxx 8 ( W yy Wxx si α ( x y dm ( W xyy Wxxx cos α y( x y ( W xyy Wxxx si α x( x y dm ( Wxyy Wxxx cosα y( 4 x y ( Wxyy Wxxx siα x( 4 x y dm cos α xy dm dm dm dm dm (F.. A karjáho kötött koordiáta-redserbe a yomaték-eyeletéek eyedfokú tajait felírva: F -

116 M 4 = 4 4 ( Wxxxy Wxyyy cos 4α ( x 6x y y ( Wxxxx 6W xxyy W yyyy cos 4α xy( y x 4 4 ( Wxxxx 6W xxyy W yyyy si 4α ( x 6x y y ( Wxxxy Wxyyy si 4α xy( y x dm ( W xyy Wxxx cosα y( x y ( W xxy Wyyy cosα x( x y dm ( W xyy Wxxx si α x( x y ( W xxy Wyyy si α y( y x dm ( Wxxxx Wyyyy cos α xy( 6 x y 4 4 ( Wxyyy Wxxxy cos α [ 6( y x x y ] 4 4 ( Wxxxx Wyyyy si α [ 6( x y y x ] ( Wxyyy Wxxxy si α xy( 6 x y 6 dm ( Wxxx Wxyy cosα y( 4 ( x y 4 ( Wxxy Wyyy cosα x( ( x y 4 4 ( Wxxx Wxyy siα x( 4 ( x y 4 ( Wxxy Wyyy siα y( 4 ( x y dm dm dm dm dm dm dm dm dm dm A tömeeire vett harmad- és eyedred yomatéki iterálok: ( x y 8 8 dm dm (F..4 = dm (F..5 ( x y = x dm (F [ ( x y x y ] 4 = 6 dm (F..7 ( x y = x 4 dm 4 4 ( x x y y 44 = 6 dm (F..8 (F..9 A yomatéki iterálok mehatároása télatestre és heerre: F - 4

117 Télatest: a b = m x y (F.. a b = mx x y 4 (F.. ( x y ( 6 x y [ ( a b y ( b c x ( c a ] ( a b ( c a b 4 = m (F.. 4 a b = 4 mx x y (F.. 4 ( x y ( a b ( a b ( a b = mx 6x y y (F..4 4 Heerre: ( x m y = (F..5 ( x mx y = (F..6 4H d ( y 6 x y 4 = m x (F..7 8 ( x 4 mx y = (F ( x x y = (F m 6 y A yomatéki iterálok sámértékei a Auterbal- paramétereivel a alábbi tábláatba találhatók: F... tábláat. A Auterbal- paraméterei Auterbal köéppot [cm] O (x, y, méret [cm] (a, b, c; (d, H aya [/cm ] kar (.6,., h. sél. ma. Al (.7 fels töme (-7.,., h. sél. ma. Au (9. alsó töme (7.,., átm. ma. Au (9. F - 5

118 F... tábláat. A Auterbal-iára voatkoó yomatéki iterálok sámértékei jelölése yomatéki yomatéki mértékey- yomatéki yomatéki iterál: fels tömeme iterál: alsó tö- iterál: iterál sée kar (M, cm (M, cm (M, cm (M, cm (M, cm 4 (M 4, cm 4 4 (M 4, cm 4 4 (M 4, cm 4 44 (M 4, cm 4 F... Sámított és mért yomatékok össehasolítása Aimutho tartoó mért és sámított yomatékok ( W SZ [Ecm ] mértékeysébe: F... ábra. Aimutho tartoó yomatékok Auterbal-iával mért (Völyesi et al. 9 és sámított értékei (ics iráytorítás Aimut kétsereséhe tartoó yomatékok ( R X R Y [Ecm ] mértékeysébe: F - 6

119 F.. ábra. Aimut kétsereséhe tartoó yomatékok Auterbal-iával mért (Völyesi et al. 9 és sámított értékei (ics iráytorítás F.. A sömér mserek mértékadó hibáiak visálata F... A vísites körleolvasást terhel mértékadó sabályos hibák me-határoásáak össefüései Ey vísites körleolvasásál a teodolit serkeeti hibái kívül a állóteely-ferdesééek / V / a fekvteely iráyába es V,H vetülete is jeletkeik. Májay (984-es mukája serit a. és. távcsállásba a hibátla leolvasás kifejehet a követke két össefüéssel: l l hibátla, hibátla, = l = l ( δ k ( δ, V ( δ h ( δ V ( δ ( δ ( δ ( δ k, V h V (F.. Ha a els eyeletet kivojuk a másodikból és fiyelembe vessük, hoy hibátla, hibátla, l l = 8 : l ± 8 l = ( δ ( δ ( δ k, V h. (F.. Látható, hoy a állóteely ferdeséi hibájáak hatása kiesik a két távcsállásba mért vísites körleolvasás külöbséébl. Ebbl fakadóa a mser visálatáho a állóteely füleessé tételét eleed köelítle elvéei. A F..-es össefüésbe helyettesítsük be a korábba már táryalt (4.4, 4.5 és 4.9 mserhibák hatásait: l ± 8 l δ δ k, = arcsi cosα t v V δ taα, (F..a h fejeük ki a F..a eyeletet eitsö ostású maassái körrel redelke mserek esetére (amelyek maapsá ikább jellemek, mit a maassái sö ostásúak, továbbá a vísites távolsá helyett a ferde távolsáal: F - 7

120 l ± 8 l δ δ k, V = arcsi δ h cot. (F..b si t si f F... A maassái körleolvasást terhel mértékadó sabályos hibák mehatároásáak össefüései Ha a maassái körél is feltételeük a diametrális helyet két leolvasó idexet, továbbá a állóteely-ferdesé távcsiráyú össetevjéek hatása idexlibellával vay maassái idex-kompeátorral kiküsöbölhet, akkor ey általáos helyet iráy ey távcsállásba mért maassái körleolvasása a elhayaolható hibahatásoko kívül csak a idexhibáak és a vertikális távcskülpotossáak a leolvasásra yakorolt hatását tartalmaa (Májay, 984 lásd 4. és 4. össefüéseket. A két hibahatás eljelét javításkét értelmeve, valamit a maassái körél eitsö ostású maassái kört feltételeve a. és. távcsállásba a hibátla leolvasások a követkek: hibátla, = ( δ ( δ, H = 6 [ ( δ ( ] hibátla, 6 δ, H Ha a els eyeletet kivojuk a másodikból és redeük: 6 ( = ( δ ( δ, H. (F..4. (F..5 Helyettesítsük be a értékeket 4. és 4. alapjá és írjuk fel követleül a eitsö ostású maassái kör eseté érvéyes össefüéseket (Májay, 984: ( 6 δ, H = δ arcsi t f. (F..6 F... A mserhibák idbeli alakulása teljes idsakra voatoóa. Vertikális távcskülpotossá F - 8

121 F... ábra. A P potból leveetett vertikális távcskülpotossá értékeiek (545 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a külpotossá értékébe urások láthatók. F... ábra. A P potból leveetett vertikális távcskülpotossá értékeiek alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A F... és F... ábráko látható mserhiba adatsorába bekövetke urások okát a F... ábrá kereshetjük, a jelesé uyaa, mit korábba F... ábra. A P potból leveetett vertikális távcskülpotossá értékeibe serepl ( 6 össefüés ( idexhiba jelle meyisé (545 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a idexhiba jelle meyisé értékébe urások láthatók. F - 9

122 . Fekvteely merleesséi hiba F..4. ábra. A P potból (aa 8-as potból a 4 pot köül leveetett fekvteely merleesséi hiba értékeiek (5 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a merleesséi hiba értékébe urások láthatók. A május véi urás erteljesebb, mit a áprilisi. F..5. ábra. A P potból (aa 8-as potból leveetett fekvteely merleesséi hiba ( h értékeiek alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe A F..4. ábrá látható mserhiba adatsorába bekövetke urások okát a F..5. és F..6- os ábráko kereshetjük. F -

123 F..6. ábra. A P potból (aa 8-as potból leveetett fekvteely merleesséi hibájáak l ± 8 l értékeibe serepl össefüés ( kollimációhiba jelle meyisé (5 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a kollimációhiba jelle meyisé értékébe urások láthatók. F..7. ábra. A P potból (aa 8-as potból a 4 pot köül leveetett fekvteely merleesséi hiba értékeiek (5 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. F -

124 F..8. ábra. A P potból (aa 6-os potból a 4 pot köül leveetett fekvteely merleesséi hiba értékeiek (499 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. F..9. ábra. A P potból (aa 9-os potból a 4 pot köül leveetett fekvteely merleesséi hiba értékeiek (56 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. F -

125 . A ellerés értékeiek ( alakulása F... ábra. A P potból (8-as potból leveetett ellerés értékeiek ( alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a ellerés értékébe urások láthatók. F... ábra. A P potból (aa 8-as potból a 4 pot köül leveetett ellerés értékeiek alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A F... ábrá látható ellerés adatsorába bekövetke urások okát a F... és F... ábráko kereshetjük. F -

126 F... ábra. A P potból (aa 8-as potból a 4 pot köül leveetett ellerés értékeibe ( 6 serepl össefüés ( idexhiba jelle meyisé (5 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. A jelölt helyeke a idexhiba jelle meyisé értékébe urások láthatók. F... ábra. A P potból (aa 8-as potból a 4 pot köül leveetett ellerés értékeiek (5 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. F - 4

127 F..4. ábra. A P potból (aa 6-as potból a 4 pot köül leveetett ellerés értékeiek (499 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. F..5. ábra. A P potból (aa 9-as potból a 4 pot köül leveetett ellerés értékeiek (56 db alakulása 8 hóap alatt a köryeet hmérsékletéek füvéyébe. F - 5