MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT

Átírás

1 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT 1) Oldja meg az alábbi egyenleteket a alós számok halmazán! a) 8 x x1 x 6x8 (6 pont) b) sinxcos x 0 (6 pont) a) Kössünk ki a neezőre! x 6x 8 0 D = Miel a diszkrimináns negatí, a neező sosem lehet nulla. Rendezzük az egyenletet! x x x x Vezessünk be egy új ismeretlent! a x x 4 8 a 0 a 8 a 0 a 4 a I. eset: a x x 4 x x 0 x1 ; x 1 II. eset: a x x 4 x x 6 0 A második egyenletnek nincsenek alós megoldásai, miel a diszkrimináns negatí. Tehát az egyenlet megoldásai a és az 1. b) Trigonometrikus azonosságot alkalmaza: sin xcos x cos x 0 cos xsin x1 0 A szorzat akkor 0, ha legalább az egyik tényezője 0. Emiatt két esetre bonthatjuk a megoldást. I. eset: cos x 0 π x k π 1 k II. eset: sin x sin x - 1 -

2 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. ) 7π x l π l 6 11π Valamint egységkör alapján x m π m. 6 Összesen: 1 pont a) Egy 5 cm sugarú kör két érintője merőleges egymásra. Mekkora az érintési pontok táolsága? ( pont) 0; 10 8; 0 C x ; 14. b) Egy ABC háromszög csúcspontjainak koordinátái: A, B, Mekkora x értéke, ha az ABC háromszög területe 6 területegység. (10 pont) a) Miel a két érintő merőleges egymásra, és az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárba, az érintőszakaszok és a sugarak egy négyzetet határoznak meg, tehát a szakasz hossza 5 7, 07. ( pont) b) Miel az y tengely mindkét oldalán előfordulhat a keresett pont, ezért két megoldásunk an. I. eset: x 0, ábra Ekkor a területet úgy tudjuk kiszámolni, hogy az EBFC négyszög területéből kionjuk a négyszög azon részeit, amelyek nem tartalmazzák a háromszöget. T T T T T T ABC1 EBFC EBC ADFG BDA AGC 14 x x TABC 6 14 x x x 5x 5 x 10,4 A kijött x természetesen negatí, hiszen az olt az esetünk alapfeltétele, csak a területszámításhoz az eredeti szám abszolútértékét kell használni. II. eset: x 0, ábra Az első esethez hasonlóan a területszámítás: T T T T T ABC EBFG EBA ACG BFC 810 4x 14 8x TABC x56 7x 0 5x x 4 Tehát a két jó megoldás az x 10,4, és az x 4. Összesen: 1 pont - -

3 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. ) Egy társaságban összeírták mindenki lábméretét, hogy cipőket tudjanak rendelni. Az adatok a köetkezők lettek: 6, 4, 48, 9, 6, 41, 41, 6. a) Mekkora a sokaság módusza, mediánja, szórása, számtani és mértani átlaga? (8 pont) b) A rendelés után a társaság tagjai le szeretnének ülni acsorázni egy körasztalhoz. Hányféleképpen tehetik ezt meg, ha az azonos lábméretű emberek egymás mellé szeretnének ültni? (5 pont) a) A módusz a leggyakrabban előforduló elem, azaz a 6. A mediánhoz sorba kell rendezni a számokat, és miel 8 elemű a sokaság, a medián a negyedik és ötödik elem számtani átlaga lesz. Tehát a medián 40. A szórás előtt a számtani közepet kell kiszámolnunk, amelyet az alábbi módon tehetünk meg S 9,88 ( pont) 8 Ez alapján a szórás: 6 9, , , , , 88 8,85 ( pont) 8 A mértani átlag pedig M ,70 ( pont) b) A ciklikus permutáció képletéel tudjuk kiszámolni, hogy hányféleképpen ülhetnek le az emberek, iszont azt is figyelembe kell enni, hogy az azonos lábméretű emberek egymás mellé szeretnének ülni. Ekkor úgy tudjuk kiszámolni a lehetőségeket, hogy 1-1 embernek tekintjük az azonos lábméretűeket, majd a égén azokat az eseteket is izsgáljuk, hogy ők milyen sorrendben ültek le. ( pont) A fentiek alapján: 5 1!!! 88 ( pont) Összesen: 1 pont 4) Egy 6 tagú társaságban mindenkinek barátja an. Kaptak három páros mozijegyet, de mindenki csak a barátjáal szeretne moziba menni. a) El tudnak-e menni mind a hatan mozizni az ajándék jegyekkel? Válaszát indokolja! (4 pont) b) Hányféleképpen ülhetnek le a teremben, ha mind a 6-an ugyanarra a filmre mennek, és an köztük egy pár, akik egymás mellé szeretnének kerülni? ( pont) c) Tagadja az alábbi állítást! ( pont) Minden film 90 perc hosszú. d) Adja meg igazságtábla segítségéel, hogy milyen Q értékekre ad hamis értéket a P Q P kifejezés! (5 pont) a) A barátságokat ábrázoljuk egy gráfként. ( pont) Jelen esetben például az A-F, B-E és C-D párosítás megfelelő, tehát el tudnak menni moziba. ( pont) b) Az ülésrend lehetőségeit a permutáció képletéel tudjuk kiszámolni, figyelembe ée, hogy a pár egymás mellé ülhessen. Tehát 5!! 40 féleképpen tudnak leülni. ( pont) - -

4 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. c) Miel úgy tagadunk, hogy a minden tagadása a an olyan, alamint a mondat második felét negáljuk, a mondat tagadása a Van olyan film, amely nem 90 perc hosszú. ( pont) d) Írjuk fel az igazságtáblát: (4 pont) P Q P P Q P Q P I I H I I I H H I I H I I I I H H I H I Ekkor a táblázat utolsó oszlopából láthatjuk, hogy semmilyen Q értékre nem ad hamis értéket a kifejezés. Összesen: 14 pont Maximális elérhető pontszám: 51 pont - 4 -

5 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. 5) a) Adja meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát a alós számok halmazán! log x x 6x 7 x 7x (4 pont) b) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a alós számok halmazán! log x ylog x y (1 pont) x y y 7 a) Először izsgáljuk meg, mely kifejezésekre kell kikötnünk. A logaritmus alapja nagyobb kell, hogy legyen mint 0, alamint nem lehet 1. A numerus szintén pozití kell, hogy legyen, illete a gyök alatti kifejezés nem lehet negatí. A fentiek alapján a kikötések: ( pont) I. x 0, tehát x. II. x 1, azaz x 4. III. x 6x 7 0, amelyet szorzattá alakíta x x A polinom konexitása miatt x 6, agy x 4. IV. x x18 0. Szorzattá alakítás után x 9x 0. Miel ismét konex a polinom, emiatt x 9, agy x. A kikötéseket összegeze: x 9;. b) A logaritmusok, illete a gyök miatt kikötéssel kell kezdeni. x y 0, x y 0 A gyökös kifejezés esetén minden x, y megfelel, hiszen az exponenciális kifejezés mindig pozití. A kikötést köetően az első egyenletben szereplő kiteőt átírhatjuk a logaritmus azonossága alapján. 4 x y log x y x y 49 Ebből köetkezik, hogy x y. 16 Miel a kikötés miatt mindenképp pozití a tört, ekialens átalakítás a gyökonás. x y 7 11y Ekkor, amelyből köetkezik, hogy x 11y, azaz x. x y 4 ( pont) Ezt behelyettesíte a második egyenletbe 1 y 11y y y 7. Az egyenletet toább alakíta: y. Az exponenciális függény szigorú monotonitása miatt 1 y, azaz y 9. y Tehát két megoldás lehetséges: y1, x1 11, illete y, x 11. A megoldásokat a kikötéssel egyeztete x, y 11. Összesen: 16 pont

6 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. 6) a) Bizonyítsa be, hogy egy n oldalú konex sokszög külső szögeinek összege 60!(4 pont) b) Hány oldala an annak a szabályos sokszögnek, amelyről tudjuk, hogy 6-szor annyi átlója an, mint oldala? (4 pont) c) Számolja ki az előző sokszög területét, ha a sokszög minden oldala 6 cm hosszú! (8 pont) n 180. a) Tudjuk, hogy egy n oldalú sokszög belső szögeinek összege Miel az egy csúcshoz tartozó belső és külső szögek összege 180, ezért a sokszög összes belső és külső szögének összege n 180. Ekkor a sokszög külső szögeinek összegét megkapjuk, ha a teljes szögösszegből kionjuk a belső szögek összegét. n180 n Ezzel az állítást beláttuk. nn b) Miel egy sokszögnek átlója an, ezért az alábbi egyenletet írhatjuk fel. nn 6n n n 1n nn15 0 A sokszög nem lehet 0 oldalú, tehát 15 oldala an. c) A szabályos sokszög területét 15 darab egybeágó, egyenlő szárú háromszög területének kiszámításáal a legegyszerűbb meghatározni. A középponti szöget tudjuk először meghatározni, amely Ez alapján az alapon fekő szögeket is meghatározhatjuk Sinus tétel segítségéel kiszámolhatjuk a PA, agy PB szakaszok hosszát. x 6 sin 78 sin 4 6sin 78 x sin 4 Ezen adatok ismeretéel a területet könnyen kiszámolhatjuk. 6sin 78 sin 4 sin 4 T Tehát a sokszög területe 15 65,1 cm 65,1 cm

7 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. Alternatí Az előző megoldás alapján kiszámoljuk a háromszög szögeit. ( pont) Ezek alapján ki tudjuk számolni a BPQ szöget, amely 1. A magasságot ki tudjuk számolni tangens segítségéel: PQ=tg78 QB=tg78 6t g ,1 cm T ( pont) Tehát a sokszög területe 65,1 cm. A két megoldás közti különbséget a szögfüggényeknél aló kerekítések okozzák. Összesen: 16 pont 7) Egy 8 cm oldalú szabályos háromszöget megforgatunk egy, az egyik csúcsán átmenő és a szemközti oldallal párhuzamos egyenes körül. a) Mekkora az így kapott forgástest térfogata és felszíne? (1 pont) Egy gyárban ilyen alakú testeket gyártanak, amelyeket egy másik helyen toább alakítanak. Ahhoz, hogy átszállítsák, be kell őket dobozolni. Egy dobozba 100 darab kerül, és átlagosan minden 0. termék hibás. b) Ha kiálasztunk 10-et egy dobozból, mekkora a alószínűsége, hogy pontosan hibás darab lesz köztük? A álaszát 4 tizedesjegyre kerekíte adja meg! (4 pont) a) Ábrázoljuk a forgástestet! Elsőnek számoljuk ki a háromszög magasságát, ami a henger sugara is egyben. Miel a háromszög szabályos, r m 8 4 cm Az alakzat térfogatát úgy tudjuk kiszámolni, hogy a henger térfogatából kionjuk a két kúpét. r πm kúp V r πmhenger ( pont) Az összes szükséges adatot ismerjük, miel a henger sugarát kiszámoltuk, a magassága pedig az eredeti háromszög oldala. A kúp sugara a henger sugaráal egyenlő, míg magassága az eredeti háromszög oldalának fele. A fentiek alapján a térfogat: 4 π 4 V A felszínt úgy számolhatjuk, hogy a hengerpalást felszínéhez hozzáadjuk a két kúppalást felszínét. A rπ m r π a ( pont) 4 π 8 804, 5 cm. henger kúp A térfogat számításakor az eddig használt adatokon felül a kúp alkotóját kell még felhasználni, ami az eredeti háromszög oldala. A 4 π84 π8 18 πcm 696, 499 Tehát a forgástest térfogata 804,66 cm, felszíne 696,499 cm

8 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. b) Miel átlagosan minden 0. termék rossz, ezért annak a alószínűsége, hogy egy adott termék rossz 5%. Így annak a alószínűsége, hogy kettő termék rossz a többi pedig jó: 10 5% 5% 95% 95% 95% 95% 95% 95% 95% 95% 0,0746 ( pont) Annak a alószínűsége, hogy 10 kiálasztott termékből pontosan darab lesz hibás 0,0746. Összesen: 16 pont 8) Véletlenszerűen kiálasztunk két együtthatót az x 1 5 hatány kibontott alakjából. a) Hányféleképpen rendezhetjük sorba ezeket a párosításokat? ( pont) b) Mekkora a alószínűsége, hogy az összegük nagyobb, mint 10? (8 pont) c) Egy sorozat első tagja 9658, toábbi tagjait úgy kapjuk, hogy az előző tag számjegyeinek összegét 1-mal megszorozzuk. Mi a 017. tag? (5 pont) a) Ismétléses permutációal tudjuk kiszámolni, hogy hányféleképpen tudjuk sorba rendezni a párosításokat. 15! 4! 4! 4! Összesen féleképpen rendezhetjük sorba a párokat. b) Először határozzuk meg a binomiális együtthatókat, amelyek az 1, 5, 10, 10, 5 és 1. ( pont) Ezek után egy táblázatban izsgáljuk meg, hogy melyik párosítás hány alkalommal fordulhat elő, alamint mennyi az összegük. (4 pont) Párosítás Összeg Gyakoriság A táblázatból láthatjuk, hogy összesen 15 féleképpen álaszthatunk ki két együtthatót, amely párosítások közül 9-nek nagyobb az összege mint 10. Tehát annak a alószínűsége, hogy a két kiálasztott együttható összege nagyobb mint ,

9 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. c) Kezdjük el felírni a sorozat tagjait: ( pont) Ekkor láthatjuk, hogy elkezdenek ismétlődni az elemek Miel az 5. elemtől kezd el ismétlődni hármasáal, azt kell megizsgálnunk, hogy az ismétlődést tekinte mi lesz a 017. elem , tehát a ciklus utolsó eleme lesz a megfelelő elem ami a 91. Összesen: 16 pont 9) Bence alapított egy hajótársaságot, de nem tudja, hogyan optimalizálja a költségeit. Miel még nem áll rendelkezésére a szükséges kezdőtőke, ezért bérelnie kell a hajókat. Egy hajót 480 Ft/óra kedezményes áron tud kölcsönözni egy jó barátjától a 10 kilométeres útra, alamint az üzemanyagköltséget az f 0,0 függény írja le, ahol a sebességet jelöli. a) Segítsen neki kiszámolni, hogy mekkora sebesség mellett lesz minimális a hajózás költsége! (8 pont) Tamás is beszállt az üzletbe, de a társaságra felfigyeltek a kalózok, akik áltságdíjat köetelnek a területükön áthaladó szállítóktól. Átlagosan 1 óránként talál rájuk egy ellenőrző hajó, amely 5000 Ft-ot kér, hogy toább engedje őket. b) A fentiek ismeretében mennyiel haladjanak a hajósok az előző útonalon, hogy minimalizálják a áltságdíj és a hajóal aló utazás költségeit? (8 pont) a) Írjuk fel, hogy a sebesség függényében mennyibe kerül az út. Egyértelmű hogy az üzemanyag költség a megadott függény alapján kiszámolható. A hajó bérlési díja iszont a sebesség nöekedéséel arányosan csökken, amelyet a összefüggéssel írhatunk le Ezek alapján a hajó költsége a g 0, függénnyel írható le, amelynek a minimumát kell megkeresnünk, amihez deriálnunk kell a függényt g 0,0 Vizsgáljuk meg hol 0 a deriált , , ,06 16,8

10 Matematika Próbaérettségi Megoldókulcs 017. február 18. Ekkor azt kell még megizsgálni, hogy a második deriált ne legyen 0, hiszen akkor nem a függény minimumpontját találtuk meg g 0,06 km Láthatjuk, hogy a függény nem 0, tehát Bencének 16,8 -al kell haladnia, hogy h minimalizálja a költségeit. b) Az üzemanyagköltség, illete a bérlési költség nem áltozott az előző feladatrészhez képest, tehát a áltságdíj árható értékét kell felírnunk az eddigiekhez. 10 Az 5000 összefüggés írja le a árható kifizetendő összeget egy útra. Ez alapján h 0, , Keressük meg a függény minimumát az előzőhöz hasonló módon h 0, , ,06 0,91 Ismét izsgáljuk meg a második deriáltat is h 0,1 km Miel nem 0 a második deriált, ezért Tamáséknak 0,91 -al célszerű haladniuk. h Összesen: 16 pont Maximális elérhető pontszám: 64 pont A próbaérettségi során szerezhető maximális pontszám: 115 pont