Populációdinamikai modellek
|
|
- Zsanett Borbély
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Populációdinamikai modellek B.Sc. Szakdolgozat Kaszás Gábor Matematika B.Sc., Elemz szakirány Témavezet : Svantnerné Sebestyén Gabriella Tanársegéd Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2015
2 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni szakdolgozatom elkészüléséhez a segítséget gyakorlatvezet mnek és konzulensemnek Svantnerné Sebestyén Gabriellának, valamint Faragó István Tanár Úrnak, akinek az el adásai alatt szerettem meg a dierenciálegyenletek numerikus megoldásának a módszerét. 2
3 Tartalomjegyzék 1. Bevezet 4 2. Elméleti alapok A dierenciálegyenletek alapjai Populációdinamikai modellek leírása dierenciálegyenletekkel Egyensúlyi pontok és ezek stabilitása Egyszerepl s modellek Korlátlan növekedés Korlátozott növekedés Iránymez k Kétszerepl s modell A Lotka-Volterra modell módosított egyenlete Nemlineáris egyedszámcsökkentés Lemma: Egyensúlyi pontok és stabilitásuk Stabilitás és bels egyensúly Stabilitás és Hopf elágazás, bels egyensúly A Hopf-bifurkáció határciklusának stabilitása Numerikus példa Összefoglalás 31 3
4 1. Bevezet Az él közösségekben a populációk egymással kölcsönhatásban vannak. Ezeket a kölcsönhatásokat az szerint is csoportosíthatjuk, hogy az egyes populációk egyedszámát növelik vagy csökkentik. Ilyen kapcsolat például a szimbiózis vagy a kommenzalizmus. A szimbiózis két vagy több különböz faj egyedeinek (általában egymásra utalt) szoros együttélése. A szimbiózisban mindkét fél el nyökhöz jut. Például az afrikai szavannákon az orrszarvúkról vagy az elefántokról a betegségeket terjeszt bogarakat lecsipeget madarak. A kommenzalizmus az ökológiában használatos fogalom, két populáció olyan kapcsolatát jelenti, amely az egyik fél számára el nyös, a másiknak közömbös. Ha az egyik fél számára közömbös a kapcsolat, nincs rá hatással, nem beszélhetünk kölcsönhatásról. Erre lehet példa, szintén Afrikából, hogy az oroszlán által elejtett zsákmányt a maradékot pedig a dögev hiénák szerzik meg. Az egyik populációt növel, a másikat csökkent kapcsolatok egyik fajtája az, ami a ragadozók és a zsákmányaik között van. Nem egyszer ez a kapcsolat, hiszen ha túlságosan elszaporodnak a ragadozók, a zsákmányállatok száma is csökken, ami a ragadozó populációk csökkenését vonja maga után. A kisebb számú ragadozó mellett viszont elszaporodhatnak a zsákmányállatok és ez így folytatódhat megállás nélkül. Az, hogy pontosan miként változik a két populáció egyedszáma, már nem olyan egyértelm. Ennek leírásához dolgozott ki egy matematikai modellt egymástól függetlenül két kutató Alfred J. Lotka és Vito Volterra 1925-ben és 1926-ban. Érezhet, hogy a modell szinte képtelen leegyszer sítéseket tartalmaz, pl. a ragadozók nélkül a zsákmány populáció a végtelenségig n. De ezért csak modell, nem pedig a valóság, és még így is izgalmas következtetéseket vonhatunk le bel le. Bár a természetben ritkán valósulhatnak meg azok a feltételek, amiket a modell megkövetel, bizonyos periodicitások mégis jól magyarázhatóak vele. Némi továbbfejlesztéssel (és még több matematikával), aztán már sokkal informatívabb modellek is el állíthatók a Lotka-Volterra modell alapján. 4
5 2. Elméleti alapok 2.1. A dierenciálegyenletek alapjai Az elnevezés az angol dif f erent szóból származik, ami változást jelent. A valóságban lezajló folyamatok jól közelíthet ek ilyen egyenletekkel, széles körben alkalmazzák például a zikai folyamatok leírására vagy közgazdasági tudományokban. Dierenciálegyenlet rendszerr l akkor beszélünk, ha több egyenletünk is van. Egy vagy több dimenziós dierenciálegyenlet rendszer esetén is beszélhetünk egyensúlyi pontokról. Ez egy olyan pont, ahol a rendszer nyugalomban van, azaz magától nem mozdul ki onnan. Azonban, ha kimozditjuk ebb l az állapotából akkor vizsgálhatjuk a pont körüli viselkedést. Ha visszatér az egyensúlyi pontba, akkor a rendszer stabil, ha nem tér vissza akkor instabil. A szakdolgozatomban használt fogalmak pontos deníciói a következ k: 2.1. Deníció. Legyen D R R n összefügg nyílt halmaz, f(x) : D R n folytonos függvény (t 0, p 0 ) D. Ha az I R nyílt intervallumra, és az x : I R n dierenciálható függvényre teljesül, hogy (t, x(t)) D minden t I esetén, x (t) = f(t, x(t)) minden t I esetén, x(t 0 ) = p 0 akkor az x függvényt az I intervellumon az f jobboldalú explicit els rend közönséges dierenciálegyenlet (rendszer) megoldásának nevezzük az x(t 0 ) = p 0 kezdeti feltétel mellett Deníció. Egy p D pontot egyensúlyi vagy stacionárius pontnak nevezünk, ha minden t R számra φ(t, p) = p Deníció. A t φ(t, t 0, p 0 ) megoldást stabilisnak nevezzük, ha [t 0, + ) I(t 0, p 0 ), minden ɛ > 0 és t 1 [0, + ) számhoz létezik olyan δ > 0, hogy (t 1, q) D, és q φ(t 1, t 0, q 0 ) < δ esetén [t 1, + ) I(t 1, q) és φ(t, t 1, q) φ(t, t 0, p 0 ) < ɛ, ha t t 1. A megoldást instabilisnak nevezzük, ha nem stabilis. Aszimptotikusan nevezzük ha, stabilis és φ(t, t 1, q) φ(t, t 0, p 0 ) 0, ha t +. stabilis 5
6 Tekintsük az x (t) = f(x(t), λ) egyenletet, amelyben f : R n R k R n folytonosan dierenciálható függvény, a λ R k vektor (gyakran csak egyetlen szám) a paraméter Deníció. A λ 0 R k paraméter reguláris, ha létezik olyan δ > 0, hogy λ λ 0 < δ esetén az f(, λ) rendszer topologikusan ekvivalens a f(, λ 0 ) rendszerrel. A λ 0 R k bifurkációs paraméter, ha nem reguláris Populációdinamikai modellek leírása dierenciálegyenletekkel A populációdinamikában szeretnénk pontosan megbecsülni, és el re jelezni egyes él lények egyedszámát. Erre egy matematikai modellt kell építenünk, amely kis hibával leírja ezeket a változásokat. Abból kell kiindulni, hogy milyen gyorsan változik az adott id pillanatban a populáció. Az egyedszám változására egy függvényt illesztünk ezért, ha a továbbiakban változásról beszélünk, akkor az els deriváltra gondolunk. A változás függhet az aktuális egyedszámtól, a paraméterekt l és más populációk egyedszámától is. Így egy els rend, egy vagy többváltozós állandó együtthatós dierenciálegyenletet kapunk: N (t) = f(t, N(t)), (1) N(0) = N 0. (2) 2.3. Egyensúlyi pontok és ezek stabilitása A lineáris dierenciálegyenlet rendszer együtthatói alkotják az A mátrixot. Stacionárius pontja az origó. Az A mátrix sajátértékeit a következ képpen kapjuk meg ( ) a11 λ a 12 A λe =, (3) a 22 λ a 21 a karakterisztikus egyenletre a következ t kapjuk: A λe = λ 2 (a 11 + a 22 )λ + (a 11 a 22 a 12 a 21 ). (4) Vegyük észre hogy a 11 a 22 a 12 a 21 = deta, a 11 + a 22 = tra, (5) 6
7 az egyenlet a következ alakba átírható: λ 2 traλ + deta = 0. (6) Ezt megoldva a sajátértékek a következ k lesznek: λ 1,2 = tra 2 ± tr2 A deta. (7) 4 A stabilitás szempontjából ezek el jele lesz a dönt. A sajátértékek kiszámítása nem is szükséges, ezek nélkül is meg tudjuk állapítani, hogy az adott egyensúlyi pont milyen típúsú. Elég kiszámítani az A mátrix determinánsát és nyomát majd megvizsgálhatjuk a következ feltételeket. A sajátértékek helye a tra deta síkon az egyensúlyi pont típusa λ 1 λ 2 < 0, λ 1 > 0, λ 2 < 0 deta < 0 Nyereg Re λ 1 és λ 2 > 0 deta > 0 és tra>0 Instabil csomó vagy fókusz Re λ 1 és λ 2 < 0 deta > 0 és tra<0 Stabil csomó vagy fókusz λ 1,2 valósak deta < (tra)2 4 Instabil vagy stabil csomó λ 1,2 konjugáltak deta > (tra)2 4 Instabil vagy stabil fókusz λ 1,2 valósak de egyik 0 deta = 0 Nyeregcsomó λ 1,2 komplex konjugáltak Re = 0 deta > 0 és tra = 0 Centrum λ 1 = λ 2 és λ 1,2 valósak deta = (tra)2 4 Egytengely csomó Sajnos a helyzet ennél nehezebb, mivel nemlineáris dierenciálegyenlet-rendszereket stabilitását kell majd sok esetben vizsgálni. Általában az N = f(n) dierenciálegyenletrendszer nem megoldható, de az egyensúlyi pontokat az f(n) = 0 egyenletb l meg tudjuk határozni. Ekkor linearizálunk és a rendszer Jacobi mátrixára vizsgáljuk ugyanazokat a feltételeket, ami a következ képpen néz ki: ) M = ( f1 u 1 f 1 u 2 f 2 u 1 f 2 u 2. (8) A mátrix sajátértékeit vizsgálva azt tapasztaljuk, hogy a valós részük nulla akkor sajnos a módszer nem m ködik. 7
8 3. Egyszerepl s modellek Egydimenziós esetben a legegyszer bb modellt N (t) = kn(t) (9) dierenciálegyenlettel kapjuk meg, ennek az N(0) = N 0 kezdeti értékhez tartozó megoldása a következ alakban írható fel: N(t) = N 0 e kt. (10) Abban az esetben ha k < 0 a rendszer stabil, mivel az exponenciális tag id ben csökken. Viszont k > 0 esetén a rendszer monoton n ni fog, tehát instabil. A dierenciálegyenlet rendszereknél nagyon fontos, hogy megkeressük az egyensúlyi pontokat és megállapítsuk azoknak a típusát. Ez az f(n(t)) = 0 egyenletnek a megoldása, amely egyben azt is jelenti, hogy N (t) = 0. Kétszerepl s modell esetén f(n 1, N 2 ) = 0 esetet vizsgáljuk, azaz amikor N 1(t) és N 2(t) is egyenl 0-val. Ezekben a pontokban a rendszer állandó, ha azonban a rendszert kimozdítjuk ebb l az állapotából, akkor a környezetét kell vizsgálnunk. Ha visszatér az eredeti állapotba, akkor a rendszer stabil, ha nem akkor instabil. A lépések a következ k lesznek: egyensúlyi pontok megkeresése, viselkedés vizsgálata az egyensúlyi pontok környezetében, iránymez k kirajzolása Korlátlan növekedés Adott egy faj, és egy hozzá tartozó k>0 szaporodási együttható. Az adott populáció növekedése minden id pillanatban függ a k-tól és a meglév egyedszámtól. A folyamatot leíró dierenciálegyenlet a következ : N (t) = kn(t). (11) Ennek az egyenletnek ismerjük az analitikus megoldását is, amely a következ lesz: N(t) = N 0 e kt. (12) Azaz exponenciálisan növekedni fog. A korlátlan növekedés szemléltetésére egy MATLAB programot írtam, ez két lépcs b l tev dik össze. El ször írtam egy 8
9 szkriptet amiben a dierenciálegyenlet szerepel, majd egy megoldófüggvényt is, ami megoldja az egyenletet. A megoldó módszernek az explicit Euler módszert választottam. Ennek képlete a következ : x n+1 = x n + hf(t n, x n ). Ahhoz, hogy a megoldást ki tudjuk számítani a tetsz leges t n id pillanatban, ismerni kell az x 0 kezdeti értéket. A T id intervallumon fel kell osztani n db h hosszúságú részre. Ez egy ekvidisztáns rácsháló lesz. A programomban k = 0.5 a t 0 kezdeti id értelemszer en 0, a T id intervallum pedig 3 hosszúságú lett. A h lépésközt 0.1 hosszúságúra választottam. A megoldófüggvényben a diegy helyére kell beilleszteni a megoldani kívánt dierenciálegyenlet nevét, a jellel hivetkozhatunk. A program forráskódja a következ : function dmdt=korlatlan(x,k) dxdt=k*x; function [t m]=megoldas1 (diegy,t0,x0,t,k,h) N=(T-t0)/h; t=zeros(n+1,1); x=zeros(n+1,1); t(1)=t0; x(1)=x0; for i=1:n t(i+1)=t(i)+h; m(i+1)=abs(m(i)+h*diegy(k,m(i))); end 9
10 1. ábra. Korlátlan növekedés Az ábrán a korlátlan növekedés modelljét láthatjuk, azaz ha id ben exponenciálisan növekszik a populáció egyedszáma. A kezd k értékek mindhárom esetben azonosak, csak a kezdeti egyedszám változik. Megvizsgáltuk a modellt három különböz N 0 kezdeti értékre, ezek 5, 8 és 12 voltak. Az ábrán egyértelm en látszik, hogy a növekedés sebessége nagy mértékben függ a kezdeti egyedszámtól Korlátozott növekedés Itt is adott egy faj, és egy hozzá tartozó k>0 szaporodási együttható. De az el bbiekkel ellentétben, itt van egy élettér, ami korlátot szab a növekedésének. Például egy am bapopuláció hiába n minden nap a kétszeresére, nem n het nagyobbra, mint az adott tó amelyben szaporodik. Ezért a folyamatot leíró dierenciálegyenletünket is módosítanunk kell. Egy K>0 kapacitás változót is meg kell adnunk. Az egyenletünk a következ lesz : N (t) = Nk(K N(t)). (13) Ez egy logaritmikus növekedés függvény lesz, hiszen amellett hogy az egyedszám folyton növekszik, tartani fog a kapacitás maximumához. Az analitikus megoldás a következ : N K (t) =. (14) 1 + CeKkt A C egy konstans amelyet az integrálás következtében kaptunk értéke N(0)-ban a következ : C = K N
11 2. ábra. Korlátozott növekedés Az ábrán a korlátos növekedés modelljét láthatjuk, azaz id ben logaritmikusan növekszik a populáció egyedszáma. A kezd k értékek mindhárom esetben azonosak, csak a kezdeti egyedszám változik. Megvizsgáltuk a modellt három különböz N 0 kezdeti értékre, ezek 2, 4 és 12 voltak. Az ábrán egyértelm en látszik, hogy a növekedés vagy csökkenés sebessége nagy mértékben függ a kezdeti egyedszámtól. A populáció itt azonban nem növekedhet a végtelenségig, csak a terület eltartóképességéig. Ha a kezdeti egyedszámunk nagyobb mint a terület eltartóképessége, akkor az egyedek száma logaritmikusan csökkeni fog az eltartóképességhez. A megoldáshoz itt is az explicit Euler módszert válaszottam, a program forráskódja annyiban változott, hogy jellel nem a korlátlan, hanem a korlátos növekedés dierenciálegyenletére kell hivatkoznunk Iránymez k Az iránymez megmutatja, hogyan viselkedik a dierenciálegyenletünk a tér bármely pontjában. A MATLAB-ban a beépített quiver paranccsal lehet meghívni, ez nyilakkal fogja nekünk kirajzolni. A MATLAB-ban a tér elemeit egy mátrixban kell eltárolni, és erre lehet a számításokat megcsinálni. A nyilak ezen számítások eredményeit mutatják majd meg. A következ két ábrán a korlátos, illetve a korlátlan növekedés iránymez it tekinthetjük majd meg. Mind a két ábrán látszik, hogy ha bármelyik id pillanatban az egyedszámunk nulla, akkor a rendszerünk stabil lesz és abból az állapotból soha nem mozdul ki. A modellünk itt biológiailag nem helyes, mert akár egy állat is képes szaporodni, de 11
12 abban a valóságot tükörzi, hogy nulla egyedszámból kiindulva a populáció nem fog növekedni. Az iránymez kirajzolásának programkódja a következ : [X,Z] = meshgrid(0:0.2:4); U=ones(21); V=0.5*Z; quiver(x,z,u,v) 3. ábra. Korlátlan növekedés iránymez je Az ábra a korlátlan növekedés iránymez jét mutatja. Láthatjuk hogy a tér bármely pontjában exponenciális a viselkedése, és azt is hogy a vízszintes tengelyr l a nyilak soha nem mozdulnak ki, hanem végig vízszintesek maradnak. Kirajzoltattam a korlátozott növekedés iránymezejét is, ennek programkódja a következ : [X,Z] = meshgrid(0:0.2:4); U=ones(21); V=0.5*Z.*(2-Z); quiver(x,z,u,v) 12
13 4. ábra. Korlátozott növekedés iránymez je Az ábra a korlátozott növekedés iránymez jét mutatja. Az ábrán látható, hogy a tér bármely pontjában logaritmikus a viselkedése, és a függvény az eltartóképesség vízszintes egyeneséhez simul majd. Az ábrán látható rendszerünk eltartóképessége most kett, és ezt egy vízszintes piros vonallal jelöljük. Látható az is, hogy a populáció egyedszáma adott esetben nem csak növekedni tud az eltartóképességhez, hanem csökkenni is. Azt is láthatjuk, ha a rendszer elérte az eltartóképesség határát akkor nem mozdul ki onnan. Szakdolgozatomban a kés bbiek során még két egyensúlyi pontot fogok vizsgálni. Ezek közül az els a nyeregpont. Ennek kirajzoltatását a következ programkóddal hajtottam végre: [X,Z] = meshgrid(-2.4:0.2:2.4); U =X; V =-Z; quiver(x,z,u,v) 13
14 5. ábra. Nyeregpont iránymez je Az ábrán egy nyeregpont fázisképe látható. A rendszer stacionárius pontja itt is az origó, a tengelyeken lév pontok közül, a vízszintes tengelyen lév k távolodnak az origótól, a függ leges részen viszont oda tartanak. A rendszel többi pontja hiperbolikusan viselkedik, a nyilak iránya az f(x) = 1 x függvényre hasonlít. A negyedik ilyen pont a nyeregcsomó lesz. Ennek is mellékelem a kirajzoltatáshoz szükséges programkódját. Az axis kifejezéssel optimalizátam a tengelyeket, hogy a rajz arra fókuszáljon ami igazán fontos. [X,Z] = meshgrid(-3:0.2:3); U = X. 2 ; V =-Z; axis([ ]) hold on quiver(x,z,u,v) 14
15 6. ábra. Nyeregcsomó iránymez je Az ábrán egy nyeregcsomó fázisképe látható. A rendszer stacionárius pontjának szintén az origót választottam. Látható, hogy az ábra a függ leges y tengely mentén két részre tagolódik. A függ leges tengely mentén lév pontok az origóhoz tartanak. A vízszintes tengelyen gyelhet meg el ször a változás, ugyanis az ábra bal oldalán távolodik az origótól, a jobb oldalon pedig távolodik t le. A pont típusa azért nyeregcsomó, mert mindkett féle viselkedés igaz rá. Az ábra jobboldala csomószer en viselkedik, a jobb félsík minden pontja az origóhoz tart. Még az ábra bal oldalán nyeregszer viselkedést láthatunk, az ábra pontjai hiperbolikusan viselkednek, az f(x) = 1 x függvényhez hasonlóan a vízszintes tengelyhez simul. 15
16 4. Kétszerepl s modell Egyszer modellükben a zsákmány populáció növekedése az adott populáció méretét l, csökkenése a ragadozó populációétól függ. A ragadozóknál pont fordítva, növekedésük függ a zsákmány populáció méretét l, míg csökkenésüket a saját populációjuk mérete szabja meg. Ebben a modellben tehát négy paraméter van: a zsákmánypopuláció növekedési sebessége (a 11 ), annak az esélye, hogy egy ragadozó elkap egy zsákmányt (a 12 ), annak a mértéke, hogy egy elfogott zsákmányállat mennyivel járul hozzá a ragadozók szaporodásához (a 21 ), valamint a ragadozók elhalálozási sebessége (a 22 ): N 1 = a 11 N 1 + a 12 N 2, (15) N 2 = a 21 N 1 + a 22 N 2. (16) Szakdolgozatomban egy ennél bonyolultabb modellt fogok vizsgálni. Két vagy több faj verseng valamely azonos táplálékforrásért vagy gátolja egymás növekedését. A tanulmány gyakorlati versenyr l szól. Hogyan tartsa fenn a természet a versenyt, ha az egyik faj kihal akkor a vele kapcsolatban állók (vele versenyz k) is ki fognak halni. Ha két fajt gyelünk meg azt a Lotka- Volterra modellel tudjuk szemléltetni. Léteznek bonyolultabb modellek is, stabilitás szempontjából azok is ilyen tulajdonságokat tükröznek. Az N 1 és N 2 az egyes egymással versenyz fajták: dn 1 dt dn 2 dt = r 1 N 1 [ 1 N 1 K 1 b 12 N 2 K 1 = r 2 N 2 [ 1 N 2 K 2 b 21 N 1 K 2 Az r 1, r 2, K 1, K 2, és b 21, b 12 minden esetben pozitív számok. r 1,2 a születési ráta, a K 1,2 a fajok teherbíró képessége, ], (17) ]. (18) a b 12,21 az egymásra gyakorolt versenyképességi hatások, ezek általában nem egyenl ek. Természetesen egy numerikus programmal itt is lehet közelíteni a megoldást. Ennek a dierenciálegyenlet rendszernek a a megoldásához egy beépített MAT- LAB függvényt választottam, az ODE45-öt. Ez egy 4 5-öd rend Runge-Kutta 16
17 alapon m köd függvény, felváltva használja a 4-ed illetve az 5-öd rend lépéseket. Itt nem szükséges megadnunk egy h lépésközt, mert magától felosztja a T intervallumot annyi részre, hogy a megoldás 4-ed rendben pontos legyen. Természetesen az abstol és retol paranccsal ezt tetsz leges pontosságúra felül lehet írni. A program itt is kett szkriptb l tev dik össze, mint az egyszerepl s modelleknél, csak itt nem egy hanem, kett darab egymástól is függ dierenciálegyenletünk van. Mivel a MATLAB nem ismeri az alsó indexeket ezért, hogy be tudjam vinni az adatokat a programba át kellett neveznem néhány változót. Az N és M jelöli a két verseng fajt, p és r a születési rátákat, K és L a fajok teherbíró képességét, végül pedig a és b az egymásra gyakorolt versenyképességi hatásokat. A progamomat a következ adatokkal futtattam le: N = 15, M = 20, p = 13, r = 14, K = 14, L = 11, a = 0.2, b = 0.1. A két szkript forráskódja a következ : function dn = rpm(t,n,p,r,k,l,a,b) dn = zeros(2,1); dn(1) = n(1)*p*(1-n(1)/k-a*n(2)/k); dn(2) = n(2)*r*(1-n(2)/l-b*n(1)/l); function megoldo1(n,m,p,r,k,l,a,b) options = odeset('reltol',1e-6,'abstol',[1e-9 1e-9]); [T,Y] = ode45(@rpm,[0 10],[N M],options,p,r,K,L,a,b); plot(t,y(:,1),'r',t,y(:,2),'g') axis([ ]) [T Y] gure(2) plot(y(:,1),y(:,2)) A programom nem csak kiszámolja, hogy az id elteltével melyik populáció egyedszáma hogyan változik, hanem ábázolja is. A két faj versengésének az ábrája a következ lett: 17
18 7. ábra. Ragadozó-préda modell Az ábrán látható a két faj versengése az id ben. Láthatjuk, hogy ökológialag fenntartható adatokat adtam meg, akár a születési rátára akár a fajok teherbíróképességére gondolunk, hiszen látszik ugyan egy csökkenés a kezdetekor, de a rendszer utána egyensúlyba áll be, és érdemben nem változik egyik populáció egyedszáma sem. A programom készített egy másik ábrát is, ahol az N és M fajokat egymás függvényében ábrázoljuk. 8. ábra. N és M populációk egymás függvényében Az ábrán jól látszik hogy a kezdetekor egy lineáris csökkenés történik, azaz mind 18
19 a kett populáció egyedszáma nagyjából ugyanannyival csökken. Az ábra jobb alsó sarkában látszik, hogy visszakanyarodik a vonal, azaz a csökkenés megáll és a rendszer egyensúlyba fog beállni. Fontos megjegyezni, hogy az ábrán inkább a két faj arányát látjuk, mintsem konkrét értékeket. A továbbiakban a dierenciálegyenlet rendszer egyensúlyi pontjaival és stabilitásával fogok foglalkozni. Hogy a jelölés egyszer bb legyen vezessünk be új változókat. Jelölje: u 1 = N 1 K 1, u 2 = N 2 K 2, τ = r 1 t, ρ = r 2 r 1, a 12 = b 12 K 2 K 1, a 21 = b 21 K 1 K 2. A fentebb leírt egyenletek a következ alakban írhatóak fel: dn 1 = u 1 (1 u 1 a 12 u 2 ) = f 1 (u 1, u 2 ), dt (19) dn 2 = u 2 (1 u 2 a 21 u 1 ) = f 2 (u 1, u 2 ). dt (20) Ennek a dierenciálegyenlet rendszernek kell megkeresnünk az egyensúlyi pontjait, azaz olyan megoldásokat keresünk, ahol az f 1 (u 1, u 2 ) = f 2 (u 1, u 2 ) = 0. (21) Összesen négy ilyen eset lehetséges, ezek a következ k: u 1 = 0 és u 2 = 0, u 1 = 1 és u 2 = 0, u 1 = 0 és u 2 = 1, 4. eset függ a bemen paraméterekt l, ez csak relevancia u 1 = u 2 = 1 a21 1 a 12a a12 1 a 12a 21 Ha u 1, u 2 > 0 és végesek, valamint a 12 a 21 1, akkor a 4 nullklína lehet ségét a következ rajzon lehet látni. Nullklínáknak azokat az egyeneseket (többdimenziós esetben hipersíkokat) nevezzük, ahol a dierenciálegyenlet rendszerben az egyik egyenlet végig 0 értéket vesz fel. Az ábrán ezek láthatóak, hogy melyik egyenes melyik egyenletet jelöli, azt az (a) ábrán látható nyilak mutatják. Ezen egyenesek metszéspontjai mindig egyensúlyi pontok, hiszen abban a pontban mindkett egyenlet 0-val egyenl. A modell parciális deriváltakkal kifejezett mátrixos alakja a következ : ( ) 1 2u1 a 12 u 2 a 12 u 1 A =. (22) ρ21u 2 ρ (1 2u 2 a 21 u 1 ) és 19
20 9. ábra. A 4 lehetséges eset egyensúlyi pontjai és nullklínái Az el bbiekben megállapítottuk az egyensúlyi pontok helyét, most nézzük azok fajtáját. Az els a (0, 0)-ban van. Ez instabil lesz, mivel a sajátértékek pozitívak lesznek: λ 1 = 1 és λ 2 = ρ. A második egyensúlyi pont a (1, 0) pontban található. Itt a sajátértékek a következ k: λ 1 = 1 és λ 2 = ρ (1 a 21 ) Tehát ez a pont stabil, ha a 21 > 1 és instabil ha kisebb. A harmadik egyensúlyi pont a (0, 1) hasonlóan viselkedik, az itteni saját- 20
21 értékek: λ 1 = ρ és λ 2 = 1 a 12. Szóval ez a pont stabil, ha a 12 > 1 és instabil ha kisebb. Végül nézzük az utolsó egyensúlyi állapotot, amikor létezik a pozitiv negyedben megoldása. Ennek egy speciális mátrixa van, amely a következ alakú: ( A = (1 a 21 a 12 ) 1 ) a 12 1 a 12 (a 12 1). ρa 21 (a 21 1) ρ(a 21 1) Az eredmény itt összetett, ezáltal a stabilitás az egyensúlyi állapotokban az a 12 és a 21 együtthatóktól függ. 21
22 5. A Lotka-Volterra modell módosított egyenlete Eddigi modelljeinkben vagy csak egyetlen szerepl korlátos illetve korlátlan növekedését vizsgáltuk, vagy egy ragadozó-préda modellt, amelyben a ragadozónak nem volt semmilyen ellensége. Most vizsgálunk egy olyan modellt, amelyben az ökológiai egyensúly fenntartása érdekében, a ragadozókat is vadásszák. A szakirodalom alapvet en háromféle módszert ismer. Állandó egyedszámcsökkentés: Egységnyi id re lebontva állandó darabszámú egyeddel csökkenti az egyedszámot. Arányos egyedszámcsökkentés: ami azt jelenti, hogy h(x 2 ) = qex 2. (23) tehát az elejtett egyedek száma és az egységnyi id között egy arányossági tényez áll fenn. Nem lineáris egyedszámcsökkentés (Holling típus II) H(x 2 ) = qex 2 m 1 E + m 2 x 2. (24) A képletekben a q az egyedszámcsökkentési együttható, E pedig a vadászható egyedek, melyeknek mérik a számát. Az m 1 és az m 2 pedig a két faj populációját leíró pozitív, a gyakorlatban csak egész számok. Észrevehet, hogy az arányos egyedszámcsökkentést több probléma is befolyásolhatja, például a vadászni kívánt zsákmány korlátosan lineáris, vagy határtalanul lineáris növekedése. Azonban meg kell jegyezni, hogy H(x 2 ) = qe m 2 ha x 2 = és H(x 2 ) = qx2 m 1 ha E =. Ez azt mutatja, hogy a függvény nem lineáris sem a vadászat, sem az egyedszámok szintjén Nemlineáris egyedszámcsökkentés Szakdolgozatomban csak a nemlineáris egyedszámcsökkentést fogom b vebben elemezni, amelyet a következ dierenciálegyenlet rendszer ír le: dn 2 dτ dn 1 dτ = rx 1(1 x 1 k ) ax 1x 2, (25) = max qex 2 1x 2 dx 2. (26) m 1 E + m 2 x 2 22
23 A kezdeti feltételek a következ k x 1 (0) > 0 és x 2 (0) > 0. Az egyenletek többi együtthatójáról feltételezzük, hogy a biológiai szempontok miatt pozitívak. Miel tt azonban részletesen elemeznénk a folyamatot leíró dierenciálegyenlet-rendszert, egyszer sítsük a következ dimenzió nélküli rendszerré. Legyenek: α = d amk, η = x 1 = kx, ax 2 = ry, rτ = t, qe, ɛ = am 1E mkrm 2 rm 2, ρ = amk r. Így átírható a következ dierenciálegyenlet rendszer alakjába: dx dt = x(1 x y) = f (1) (x, y), (27) dy dt = ρy(x α η ɛ + y ) = f (2) (x, y). (28) A kezdeti feltételek a következ képpen változnak: x(0) = x 0 > 0, y(0) = y 0 > 0. (29) Itt az f (1) és f (2) a következ alakban adható meg: f (1) (x, y) = x(1 x y), (30) f (2) (x, y) = ρy(x α η ). ɛ + y (31) A ρ,α, η,és az ɛ számok pozitívak. A modell miatt minket csak az els síknegyed érdekel, azaz amikor az x 0 és az y 0. A rendszer pozitivitása fontos, a következ módszerrel megmutatjuk, hogy a megoldások a rendszer jelenlegi kezdeti állapotában vannak, pozitívak és egyenletesen korlátossak. Tehát a rendszer ökológiai szempontból is használható Lemma: A rendszer minden(x(t);y(t)) kezdeti feltétele pozitív minden t > 0 id pillanatban. Mivel az id folyamatosan pozitív irányba változik a t < 0 nem is értelmezzük. A rendszer minden(x(t);y(t)) kezdeti feltétele egyenletesen korlátos 23
24 minden id pillanatban. Azaz egyik fajból sem lehet végtelen (megszámlálhatatlanul) sok. Az integrálás, valamint a kezdeti feltételek adják, x(t) = x(0)e t 0 f (1) (x(s),y(s))ds > 0, (32) y(t) = x(0)e t 0 f (2) (x(s),y(s))ds > 0. (33) Az összes megoldás kiindulása az els negyedben lesz, a jöv ben minden alkalommal. Nézzük meg az ζ(t) = x(t) + 1 ρy(t) majd az id változás folyamán a rendszer a következ dierenciálegyenletet adja: dζ + αρζ(t) < x(1 x + αρ). (34) dt Miután néhány algebrai átalakítást végzünk, a dierenciálegyenletünk a következ alakba írható: dζ dt (1 + αρ)2 + αρζ(t) <. (35) 4 Ennek alkalmazásával az alábbi egyenl tlenséget kapjuk: Ezért, 0 < ζ(t) < (1 + αρ)2 (1 e tαρ ) + ζ(0)e tαρ. (36) 4αρ 0 < limζ(t) < (1 + αρ)2. (37) 4αρ Ha minden trajektóriának pozitív az x tengelyen az értéke, akkor az a jöv ben így is marad, és így az x tengely ez egy pozitív invariáns halmaz rendszere. Hasonlóan viselkedik majd az y tengely is. Ha ez a lemma legels eredménye, az állításban belátjuk, hogy ez egy invariáns halmazrendszer. A továbbiakban elemezni fogjuk a modellt, a stabilitási pontjai és azok típusainak szempontjából Egyensúlyi pontok és stabilitásuk Egyensúlyi pontjai a rendszernek abban az esetben lesznek, ha xf (1) (x, y) = 0, yf (2) (x, y) = 0 (38) egyenletek teljesülnek Tétel. Az S 0 = (0, 0) mindig nyeregpont. A tengelyirányú S 1 = (1, 0) aszimptotikusan stabil, ha η + ɛα > ɛ és nyeregpont ha η + ɛα < ɛ. 24
25 A rendszer transzkritikus elágazás környékén megy keresztül ha, S 1 = (1, 0) és η + ɛα = ɛ. Bizonyítás: Az S 0 = (0, 0)egyensúlyi ponthoz tartozó Jacobi mátrix a következ lesz: ( ) 1 0 J 0 = 0 ρ ɛ (η + αɛ). (39) A J 0 mátrix sajátértékei a következ k lesznek λ 1 = 1 és λ 2 = ρ ɛ (η + αɛ) < 0. Láthatjuk, hogy a két sajátérték ellenkez el jel, függetlenül attól, hogy milyen paraméterkorlátozásokat hajtunk végre. Ökológiai szempontból arra a következtetésre juthatunk, hogy a ragadozó populáció soha nem fog kihalni. Az S 1 = (1, 0) egyensúlyi ponthoz tartozó Jacobi mátrix a következ lesz: ( 1 0 ) J 1 = 0 ρ ɛ ( ɛη + αɛ). (40) Ennél a mátrixnál a sajátértékek is változni fognak, ezek a következ k lesznek: λ 1 = 1 és λ 2 = ρ ɛ ( ɛη + αɛ). Biológiailag ez bekövetkezhet, ezért azt mondhatjuk, hogy parametrikus állapotban van ha, η + ɛα > ɛ. Ekkor a ragadozó populáció kihal, és a zsákmánypopuláció megközelíti a környezet teherbíró képességét, így az egyedszámcsökkentés már nem fenntartható Stabilitás és bels egyensúly Most tanulmányozni fogjuk a stabilitás létezését, egyidej leg az ökológiai egyensúly létezése szempontjából. A bels egyensúly is S 1 = (x 1, y 1 ) és S 2 = (x 2, y 2 ) is egy másodfokú egyenlet pozitív gyökei: y 2 + (ɛ + α 1)y + (η + αɛ ɛ) = 0. (41) A másodfokú megoldóképlet megoldásai alapján az egyenlet gyökei a következ k lesznek: y 1 = 1 2 (1 ɛ α (ɛ + α 1) 2 4(η + ɛ ɛ), (42) y 2 = 1 2 (1 ɛ α + (ɛ + α 1) 2 4(η + ɛ ɛ), (43) 25
26 tehát eredményül azt kapjuk, hogy: x 1 = 1 y 1 és y 1 = 1 x 1. Azt gondoljuk, hogy az egyensúlyok száma függ a értékét l. Ha η + αɛ ɛ (44) η + ɛ > ɛ (45) (ɛ + α 1) 2 < 4(η + αɛ ɛ) (46) akkor ebben az esetben a bels egyensúly nem létezik. Ha (ɛ + α 1) 2 = 4(η + αɛ ɛ) akkor az egyenletnek van egy többszörös gyöke, ez legyen y = 1 2 (1 ɛ α) és x = 1 y. Ezért a rendszer, amiben a pillanatnyi bels egyensúly S = (x, y) ami megvalósítható, ha ɛ + α < 1 Két különálló bels egyensúlyi pont esetén S 1 = (x 1, y 1 ) és S 2 = (x 2, y 2 ) létezik egymástól függetlenül, valahányszor ɛ + α < 1, y 2 < 1 és (ɛ + α 1) 2 > 4(η + αɛ ɛ). Nem szabad elfelejteni, hogy a két bels egyensúlyi pont, S 1 = (x 1, y 1 ) és S 2 = (x 2, y 2 ), nem létezik ha ɛ + α > 1 és 0 < y 1 < y < y Stabilitás és Hopf elágazás, bels egyensúly 5.2. Tétel. Az S 1 = (x 1, y 1 ) egyensúlyi pont mindig nyeregpont. Az S 2 = (x 2, y 2 ) egyensúlyi pont stabil ha, ρ < (1 y2 )(ɛ+y2 )2 y 2 η. Rendszernek Hopf elágazás tekintetében vett bifurkációs paraméter körüli a egyensúlyi pontja S 2 = (x 2, y 2 ) ha ρ = (1 y2 )(ɛ+y2 )2 y 2 η. Bizonyítás: A Jacobi-mátrix értéke egy bels egyensúlyi pont képlet adja meg ( ) x x J =. (47) ρy ρηy (ɛ+y) 2 A J mátrix értéke(determinánsa) az S = (X, Y ) pontban a következ : detj = ρxy(1 η ). (48) (ɛ + y) 2 Mostmár az egyensúlyi egyenletek a következ k: x = y 1, a kifejezés y = 1 2 (1 ɛ α) és azt láthatjuk, hogy 1 η 26 (y+ɛ) 2 = 0. η ɛ+y = x α és
27 Mivel 0 < y 1 < y detj S1 = ρx 1 y 1 (1 η (ɛ + y 1 ) 2 ) < ρx 1 y 1 (1 η ) = 0. (49) (ɛ + y) 2 Ebb l kifolyólag a J mátrix sajátértékei S 1 = (x 1, y 1 )-nél az eredeti részeket tartalmazza ellentétes el jellel. Így ez a pont mindig nyeregpont lesz. Hasonlóan a J mátrix determinánsa S 2 = (x 2, y 2 )-nél detj S2 = ρx 2 y 2 (1 η (ɛ + y 2 ) 2 ) > ρx 2 y 2 (1 η ) = 0. (50) (ɛ + y) 2 Mivel 0 < y 1 < y < y 2 Ezért S 2 = (x 2 ; y 2 ) stabilitása J mátrix el jelét l függ az S 2 = (x 2 ; y 2 ) pontban, melyet a következ képpen adhatunk meg: trj S2 = y 2 (1 + ρη ) 1. (51) (ɛ + y 2 ) 2 Ezért Routh-Hurwitz-kritérium szerint az eredmény a következ. Tudjuk, ha trj S2 = 0, mindkét sajátérték teljesen imaginárius tekintve, hogy detj S2 > 0. Így az implicitfüggvénytételb l egy Hopf-bifurkáció jelenik meg a S 2 = (x 2 ; y 2 ) pontnál, ahol periodikus keringési pálya keletkezik, ahogy a S 2 = (x 2 ; y 2 )egyensúlyi pont stabilitása megváltozik. A Hopf-bifurkáció paraméterének kritikus pontja ρ [hf] = (1 y2 )(ɛ+y2 )2 y 2 η. Továbbá a második rész alapján világos, hogy az adott feltételek mellett (a) trj S2 = 0, (b) trj S2 = 0, (c) d dρ trj ηy 2 S 2 = 0. (52) (ɛ + y 2 ) 2 Ez garantálja a Hopf-bifurkáció létezését S 2 (x 2 ; y 2 ) pontnál, azaz kis mérték kilengést a periodikus megoldások kettéágazó S 2 (x 2 ; y 2 )-ból a Hopf-bifurkáción keresztül A Hopf-bifurkáció határciklusának stabilitása Ahhoz, hogy a határciklus stabilitásáról (irányáról) beszélhessünk, ki kell számolnunk a Lyapunov tényez t a rendszer S 2 (x 2 ; y 2 ) pontájnál.els ként a rendszer S 2 (x 2 ; y 2 ) egyensúlyi pontját eltoljuk az origóhoz x = ˆx x 2 és y = ŷ y 2 transzformációkat használva. Ez után az egyensúlyi pont egyenlet felhasználásával a rendszer az origó környezetébe beírható így: 27
28 dˆx dt = a 10ˆx+a 01 ŷ+a 20ˆx 2 +a 11ˆxŷ+a 02 ŷ 2 +a 30ˆx 3 +a 21ˆx 2 ŷ+a 12ˆxŷ 2 +a 03 ŷ 2 +F 1 (ˆx, ŷ) és dŷ dt = b 10ˆx+b 01 ŷ+b 20ˆx 2 +b 11ˆxŷ+b 02 ŷ 2 +b 30ˆx 3 +b 21ˆx 2 ŷ+b 12ˆxŷ 2 +b 03 ŷ 2 +F 2 (ˆx, ŷ) ahol, a 10 = x 2, a 01 = x 2, a 20 = 1, a 11 = 1, a 02 = 0, a 21 = 0, a 12 = 0, a 03 = 0, b 10 = ρy 2, b 01 = ηρy 2 (ɛ + y 2 ) 2, b 20 = 0, b 11 = ρ, ρη b 02 = (ɛ + y 2 ) 2 ρηy 2 (ɛ + y 2 ) 3, b 21 = 0, b 12 = 0, b 03 = ρηy 2 (ɛ + y 2 ) 4 ρη (ɛ + y 2 ) 3 és az F k (û, ˆv) egy sorozat eleget téve az i + j 4 feltételnek F 1 (ˆx, ŷ) = i+j=4 a ij ˆx i ŷ j F 2 (ˆx, ŷ) = i+j=4 b ij ˆx i ŷ j. (53) Ezáltal az els Lyapunov tényez síkbeli rendszerre nézve a következ képpen adható meg: σ = 3π 2a ([a 10b 10 (a a 11 b 02 + a 02 b 11 ) + a 10 b 01 (b a 20 b 11 + a 11 b 02 + b 2 10(a 11 a a 02 b 02 ) 2a 10 b 10 (b 2 02 a 20 a 02 ) 2a 10 a 01 (a 2 20 b 20 b 02 ) a 2 01(2a 20 b 20 + b 11 b 20 ) + (a 01 b 10 2a 2 10)(b 11 b 02 a 11 a 20 )] (a a 01 b 10 )[3(b 10 b 03 a 01 a 30 ) + 2a 10 (a 21 + b 12 ) + (b 10 a 12 a 01 b 21 )]) ahol = ρx2 y2 ɛ+y 2 (ɛ + 1)2 4(η + ɛ ɛ). Ha a Lyapunov szám kifejezése elég bonyolult, nem állapíthatjuk meg a σ el jelét, így a következ numerikus példával adhatjuk meg Numerikus példa Az α = 0.02, η = 0.2, ɛ = 0.05 megkapjuk ρ [hf] = t és a Lyapunov szám σ = π < 0. Ezáltal, mikor ρ paraméterei átlépik a kritikus értéket ρ [hf] = az egyik oldalról a másik oldalra, a rendszer átmehet egy szuperkritikus Hopf-bifurkáción. Ezér egy stabil határciklus keletkezik 28
29 a S 2 = (x 2, y 2 ) = ( , ) pont körül, míg S 1 = (x 1, y 1 ) = ( , ) a nyeregpont. Ugyanígy az 1 = ρ < ρ hf -ra, a S 2 = (x 2, y 2 ) egyensúlyi pont stabil. A ρ = nél a határciklus összeér a E1 nyeregponttal, ezzel egy fókusszer /homoklinikus körpályát kapunk. Erre az értékre a Lyapunov szám σ = π, még mindig negatív, ennél fogva a homoclinic körpálya megint stabil lesz. Ezeket az eredményeket láthatjuk a 2(A), (B) és (C) ábrákon. Biológiai szemszögb l nézve ez a példa a modell alapján, még ha pozitív egyensúlyi pont van, a ragadozó faj akkor is kihalhat nagy mérték kezd értékek esetében. Azaz a ragadozó állat egyedszámát mutató grakon érinti a vízszintes tengelyt. 10. ábra. A numerikus példa ábrája A piros vonal jelöli a zsákmányállat nullklínáját és a zöld görbe jelöli a ragadozó állat nullklínáját. Az A és C diagramm azt mutatja, hogy miként változik a bels egyensúlyi pontok száma a többi rögzített paraméter függvényében. Ha 29
30 α = 0.02 ɛ = 0.05 és (A) η = 0.35 akkor nem áll fenn a bels egyensúly. A (B) ábrán η = η [sn] = , akkor a két egyensúlyi pont egymáshoz végtelenül közel kerül, (C) esetében η = 0.23 akkor két bels egyensúlyi pont van, (D) ha úgy döntünk α = 0.05, ɛ = 0.3 és η = 0.5 akkor ott egy darab bels egyensúlyi pont lesz. 30
31 6. Összefoglalás Szakdolgozatomban a különféle populációdinamikai modelleket elemeztem. Ehhez el ször bevezettem a szükséges alapfogalmakat, majd ezeket deniáltam is. Ezekután a legegyszer bb modelleket mutattam be, ezek az egyszerepl s modellek voltak. Két ilyen volt, a korlátlan és a korlátozott egyszerepl s növekedési modell. Ezek a legegyszer bb modellek voltak, egyetlen hátrányuk, hogy biológiailag nem fenntarthatóak. Ez után az iránymez k segítségével elemeztem a modellek viselkedését a térben. A következ fejezetben egy egyszer bb Lotka-Volterra modellt mutattam be, ahol két faj, egy ragadozó és egy prédaállat verseng egymással. Itt már összehasonlítottam különféle szaporodási és versenyképességi hatásokat hasonlítottam össze. Ezeknek olyan állandókat választottam, ahol a két faj egyensúlyban volt. Végül ennek a modellnek egy módosított változatát mutattam be, ahol a biológiai fenntarthatás érdekében a ragadozók egyedszámát csökkentik. Ehhez egy numerikus példát is bemutattam, ami megmutatta hogy milyen mérték egyedszámcsökkentés mellett lesz ez a folyamat fenntartható. Az ehhez tartozó egyensúlyi pontok iránymez jét is kirajzoltam. Megállapítható ezáltal, hogy ez a modell lett a leginkább valóságh. 31
32 Hivatkozások [1] Csépány Viktória: Lokális bifurkációk, Szakdolgozat, [2] Faragó István, Horváth Róbert: Numerikus Módszerek, Typotex, [3] J.D. Murray: Mathematical Biology: I. An Introduction,Third Edition, Springer. [4] Nádori Gergely: Sulinet, [5] R. P. Gupta, Peeyush Chandra and Malay Banerjee: Dynamical complexity of a prey-predator model with nonlinear predator harvesting, Prentice-Hall, [6] Simon L. Péter: Dierenciálegyenletek és dinamikai rendszerek, ELTE kézirat, [7] Simon L. Péter: Közönséges dierenciálegyenletek, ELTE kézirat, [8] Székely Ferenc: Populációdinamikai modellek szemléltetése Matlabbal, Szakdolgozat, [9] Wikipédia: [10] Wikipédia: 32
33 Nyilatkozat Név: Kaszás Gábor ELTE Természettudományi Kar, szak: Matematika BSc Neptun azonosító: AW68SK Szakdolgozat cím: Populációdinamikai modellek A szakdolgozat szerz jeként fegyelmi felel sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelel idézés nélkül nem használtam fel. Budapest, május 25. a hallgató aláírása 33
Populációdinamikai modellek numerikus megoldása Matlab alkalmazásával
Populációdinamikai modellek numerikus megoldása Matlab alkalmazásával Szakdolgozat Írta: Lovák Zsanett Matematika BSc szak Elemz szakirány Témavezet : Svantnerné Sebestyén Gabriella Doktorandusz Alkalmazott
Részletesebben3. előadás Stabilitás
Stabilitás 3. előadás 2011. 09. 19. Alapfogalmak Tekintsük dx dt = f (t, x), x(t 0) = x 0 t (, ), (1) Jelölje t x(t; t 0, x 0 ) vagy x(.; t 0, x 0 ) a KÉF megoldását. Kívánalom: kezdeti állapot kis megváltozása
RészletesebbenDinamikai rendszerek, populációdinamika
Dinamikai rendszerek, populációdinamika Számítógépes szimulációk 1n4i11/1 Csabai István ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék 5.102 Email: csabaiθcomplex.elte.hu 2009 tavasz Dierenciálegyenletek a zikán
RészletesebbenPopulációdinamika. Számítógépes szimulációk szamszimf17la
Populációdinamika Számítógépes szimulációk szamszimf17la Csabai István, Stéger József ELTE Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék Email: csabai@complex.elte.hu, steger@complex.elte.hu Bevezetés Dierenciálegyenletek
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenElhangzott tananyag óránkénti bontásban
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04) Elhangzott tananyag óránkénti bontásban 2016. február 15. 1. előadás. Közönséges differenciálegyenlet fogalma.
RészletesebbenHamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek
Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek Sokszor nem lehetséges, hogy a tanult linearizációs módszerrel meghatározzuk
RészletesebbenLotka Volterra-féle populációdinamikai modellek vizsgálata
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Lotka Volterra-féle populációdinamikai modellek vizsgálata Szakdolgozat Készítette: Kiss Franciska
RészletesebbenUtolsó el adás. Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás / 20
Utolsó el adás Wettl Ferenc BME Algebra Tanszék, http://www.math.bme.hu/~wettl 2013-12-09 Wettl Ferenc (BME) Utolsó el adás 2013-12-09 1 / 20 1 Dierenciálegyenletek megoldhatóságának elmélete 2 Parciális
RészletesebbenFüggvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:
Függvények 015. július 1. 1. Feladat: Határozza meg a következ összetett függvényeket! f(x) = cos x + x g(x) = x f(g(x)) =? g(f(x)) =? Megoldás: Összetett függvény el állításához a küls függvényben a független
RészletesebbenLineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek
Lineáris algebra 2 Filip Ferdinánd filipferdinand@bgkuni-obudahu sivabankihu/jegyzetek 2015 december 7 Filip Ferdinánd 2016 februar 9 Lineáris algebra 2 1 / 37 Az el adás vázlata Determináns Determináns
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenParciális dierenciálegyenletek
Parciális dierenciálegyenletek 2009. május 25. A félév lezárásaként néhány alap-deníciót és alap-példát szeretnék adni a Parciális Dierenciálegynletek (PDE) témaköréb l. Épp csak egy kis izelít t. Az alapfeladatok
Részletesebben2. Alapfeltevések és a logisztikus egyenlet
Populáció dinamika Szőke Kálmán Benjamin - SZKRADT.ELTE 22. május 2.. Bevezetés A populációdinamika az élőlények egyedszámának és népességviszonyainak térbeli és időbeli változásának menetét adja meg.
Részletesebben7. DINAMIKAI RENDSZEREK
7. DINAMIKAI RENDSZEREK Különböző folyamatok leírására különböző tudományterületeken állítanak fel olyan modelleket, amelyek nemlineáris közönséges autonóm differenciálegyenlet-rendszerre vezetnek. Ezek
RészletesebbenFolytonos rendszeregyenletek megoldása. 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja
Folytonos rendszeregyenletek megoldása 1. Folytonos idejű (FI) rendszeregyenlet általános alakja A folytonos rendszeregyenletek megoldásakor olyan rendszerekkel foglalkozunk, amelyeknek egyetlen u = u(t)
Részletesebben1. Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés)
Operációkutatás NYME Gazdaságinformatikus mesterképzés El adó: Kalmár János (kalmar[kukac]inf.nyme.hu) Többváltozós széls érték számítás Parciális függvény, parciális derivált Széls érték korlátos zárt
Részletesebben8. DINAMIKAI RENDSZEREK
8. DINAMIKAI RENDSZEREK A gyakorlat célja az, hogy egy kétváltozós reakciókinetikai rendszer vizsgálatával a hallgatók megismerjék a dinamikai rendszerek alapfogalmait, elsajátítsák a lineáris stabilitásvizsgálat
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek
Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E
RészletesebbenLineáris egyenletrendszerek
Lineáris egyenletrendszerek 1 Alapfogalmak 1 Deníció Egy m egyenletb l álló, n-ismeretlenes lineáris egyenletrendszer általános alakja: a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a
Részletesebben8. DINAMIKAI RENDSZEREK
8. DINAMIKAI RENDSZEREK Különböző folyamatok leírására különböző tudományterületeken állítanak fel olyan modelleket, amelyek nemlineáris közönséges autonóm differenciálegyenlet-rendszerre vezetnek. Ezek
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
a Matematika mérnököknek II. című tárgyhoz Differenciálegyenletek numerikus megoldása Fokozatos közeĺıtés módszere (1) (2) x (t) = f (t, x(t)), x I, x(ξ) = η. Az (1)-(2) kezdeti érték probléma ekvivalens
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Részletesebben3. Fékezett ingamozgás
3. Fékezett ingamozgás A valóságban mindig jelen van valamilyen csillapítás. A gázban vagy folyadékban való mozgásnál, kis sebesség esetén a csillapítás arányos a sebességgel. Ha az vagy az ''+k sin =0,
RészletesebbenBIOMATEMATIKA ELŐADÁS
BIOMATEMATIKA ELŐADÁS 6. Differenciálegyenletekről röviden Debreceni Egyetem, 2015 Dr. Bérczes Attila, Bertók Csanád A diasor tartalma 1 Bevezetés 2 Elsőrendű differenciálegyenletek Definíciók Kezdetiérték-probléma
RészletesebbenVégeselem modellezés alapjai 1. óra
Végeselem modellezés alapjai. óra Gyenge alak, Tesztfüggvény, Lagrange-féle alakfüggvény, Stiness mátrix Kivonat Az óra célja, hogy megismertesse a végeselem módszer (FEM) alkalmazását egy egyszer probléma,
RészletesebbenElhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban. Mindkét csoport. Rövidítve.
TTK, Matematikus alapszak Differenciálegyenletek 1 (BMETE93AM15) Elhangzott gyakorlati tananyag óránkénti bontásban Mindkét csoport Rövidítve 1 gyakorlat 017 szeptember 7 T01 csoport Elsőrendű közönséges
RészletesebbenFázisportrék. A Dinamikai rendszerek órákon bemutatott példarendszerek fázisportréi. Lineáris oszcillátor. v = ax bv
Fázisportrék A Dinamikai rendszerek órákon bemutatott példarendszerek fázisportréi Lineáris oszcillátor ẋ=v v = ax bv a=0, b=0: centrum, konzervatív rendszer a=0, b=0,5: stabil fókusz, disszipatív rendszer
Részletesebben2. SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS. 2.1 A széls érték fogalma, létezése
2 SZÉLSŽÉRTÉKSZÁMÍTÁS DEFINÍCIÓ 21 A széls érték fogalma, létezése Azt mondjuk, hogy az f : D R k R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x 0 D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy f(x 0 )
RészletesebbenHatározott integrál és alkalmazásai
Határozott integrál és alkalmazásai 5. május 5.. Alapfeladatok. Feladat: + d = Megoldás: Egy határozott integrál kiszámolása a feladat. Ilyenkor a Newton-Leibniz-tételt használhatjuk, mely azt mondja ki,
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
Részletesebben(1 + (y ) 2 = f(x). Határozzuk meg a rúd alakját, ha a nyomaték eloszlás. (y ) 2 + 2yy = 0,
Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és kidolgozott megoldásokkal. Oldjuk meg az alábbi másodrend lineáris homogén d.e. - et, tudva, hogy egy megoldása az y = x! x y xy + y = 0.. Oldjuk meg a következ
RészletesebbenPopulációdinamikai modellek szemléltetése Matlab-bal
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Populációdinamikai modellek szemléltetése Matlab-bal Szakdolgozat Székely Ferenc Matematika B.Sc., elemző szakirány Témavezető: Mincsovics Miklós, tudományos
RészletesebbenSzélsőérték-számítás
Szélsőérték-számítás Jelölések A következő jelölések mind az f függvény x szerinti parciális deriváltját jelentik: Ugyanígy az f függvény y szerinti parciális deriváltja: f x = xf = f x f y = yf = f y
RészletesebbenLineáris leképezések. Wettl Ferenc március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések március 9. 1 / 31
Lineáris leképezések Wettl Ferenc 2015. március 9. Wettl Ferenc Lineáris leképezések 2015. március 9. 1 / 31 Tartalom 1 Mátrixleképezés, lineáris leképezés 2 Alkalmazás: dierenciálhatóság 3 2- és 3-dimenziós
RészletesebbenModellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet
Modellek és Algoritmusok - 2.ZH Elmélet Ha hibát elírást találsz kérlek jelezd: sellei_m@hotmail.com A fríss/javított változat elérhet : people.inf.elte.hu/semsaai/modalg/ 2.ZH Számonkérés: 3.EA-tól(DE-ek)
RészletesebbenVektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
RészletesebbenODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban
ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban Mi az az ODE? ordinary differential equation Milyen ODE megoldók vannak a MATLAB-ban? ode45, ode23, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb, stb. A részletes leírásuk
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
Részletesebben6. gyakorlat: Lineáris rendszerek fázisképei
6. gyakorlat: Lineáris rendszerek fázisképei A fáziskép meghatározása az együtthatómátrix nyoma és determinánsa segítségével a következőképpen lehetséges. Az x'ax egyenletben ahol A a b az együtthatómátrix
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenLineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )
Lineáris leképezések 1 Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y = (3x + 2y, x y leképezés? A linearitáshoz ellen riznünk kell, hogy a leképzés additív és homogén Legyen x = (x 1, R 2, y = (y 1, y 2 R 2, c R Ekkor
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
Részletesebben1.7. Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek
7 Elsőrendű lineáris differenciálegyenlet-rendszerek Legyen n N, I R intervallum és A: I M n n (R), B: I R n folytonos függvények, és tekintsük az { y (x) = A(x)y(x) + B(x) y(ξ) = η kezdeti érték problémát,
RészletesebbenJulia halmazok, Mandelbrot halmaz
2011. október 21. Tartalom 1 Julia halmazokról általánosan 2 Mandelbrot halmaz 3 Kvadratikus függvények Julia halmazai Pár deníció Legyen f egy legalább másodfokú komplex polinom. Ha f (ω) = ω, akkor ω
RészletesebbenKeresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása
BUDAPEST MŰSZAK ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNY EGYETEM Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása Segédlet a Szilárdságtan c tárgy házi feladatához Készítette: Lehotzky Dávid Budapest, 205 február 28 ábra
RészletesebbenLagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Nemesné Jónás Nikolett Lagrange-féle multiplikátor módszer és alkalmazása Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány Témavezet : Szekeres Béla János,
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenSamu Viktória. A Helmholtz-egyenlet
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Samu Viktória A Helmholtz-egyenlet BSc Szakdolgozat Témavezet : Dr. Tóth Árpád Analízis Tanszék Budapest, 2014 Köszönetnyilvánítás Szeretném megköszönni
RészletesebbenAutonóm egyenletek, dinamikai rendszerek
238 8. Autonóm egyenletek, dinamikai rendszerek 8.8. tétel. (Andronov Witt) 5 6 Ha a Γ periodikus pálya karakterisztikus multiplikátorainak abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a Γ pálya stabilis határciklus.
RészletesebbenAz előadásokon ténylegesen elhangzottak rövid leírása
TTK, Matematikus alapszak, Differenciálegyenletek (előadás, gyakorlat) Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04. Követelmény: Előadás 4/0/0/v/4; Gyakorlat 0/020/f/2 Tananyag (általános megjegyzések).
Részletesebbenrank(a) == rank([a b])
Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldása a Matlabban Lineáris algebrai egyenletrendszerek a Matlabban igen egyszer en oldhatók meg. Legyen A az egyenletrendszer m-szer n-es együtthatómátrixa, és
RészletesebbenAbszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)
Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t
RészletesebbenDifferenciálegyenlet rendszerek
Differenciálegyenlet rendszerek (A kezdeti érték probléma. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, magasabb rendű lineáris egyenletek.) Szili László: Modellek és algoritmusok ea+gyak jegyzet alapján
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenDifferenciálegyenletek gyakorlat december 5.
Differenciálegyenletek gyakorlat Kocsis Albert Tihamér Németh Adrián 05 december 5 Ismétlés Integrálás Newton Leibniz-formula Integrálás és alapműveletek wwwwolframalphacom Alapintegrálok sin x dx = cos
RészletesebbenLássuk be, hogy nem lehet a három pontot úgy elhelyezni, hogy egy inerciarendszerben
Feladat: A háromtest probléma speciális megoldásai Arra vagyunk kiváncsiak, hogy a bolygó mozgásnak milyen egyszerű egyensúlyi megoldásai vannak három bolygó esetén. Az így felmerülő három-test probléma
RészletesebbenKomplex számok trigonometrikus alakja
Komplex számok trigonometrikus alakja 015. február 15. 1. Alapfeladatok 1. Feladat: Határozzuk meg az alábbi algebrai alakban adott komplex számok trigonometrikus alakját! z 1 = 4 + 4i, z = 4 + i, z =
RészletesebbenGazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10
Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett
RészletesebbenMODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS
MODELLEK ÉS ALGORITMUSOK ELŐADÁS Szerkesztette: Balogh Tamás 214. december 7. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így
Részletesebben1.9. B - SPLINEOK B - SPLINEOK EGZISZTENCIÁJA. numerikus analízis ii. 34. [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet. = r (m 1) n = r m + n 1
numerikus analízis ii 34 Ezért [ a, b] - n legfeljebb n darab gyöke lehet = r (m 1) n = r m + n 1 19 B - SPLINEOK VOLT: Ω n véges felosztás S n (Ω n ) véges dimenziós altér A bázis az úgynevezett egyoldalú
RészletesebbenKomplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.
Komplex számok Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal. 1. Komplex számok A komplex számokra a valós számok kiterjesztéseként van szükség. Ugyanis már középiskolában el kerülnek olyan másodfokú
RészletesebbenKonjugált gradiens módszer
Közelítő és szimbolikus számítások 12. gyakorlat Konjugált gradiens módszer Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Vinkó Tamás Faragó István Horváth Róbert jegyzetei alapján 1 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
RészletesebbenSkalárszorzat, norma, szög, távolság. Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005.
1 Diszkrét matematika II., 4. el adás Skalárszorzat, norma, szög, távolság Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach/ 2005. március 1 A téma jelent sége
Részletesebbenλx f 1 (x) e λx f 2 (x) λe λx f 2 (x) + e λx f 2(x) e λx f 2 (x) Hasonlóan általában is elérhető sorműveletekkel, hogy csak f (j)
Matematika A3 gyakorlat Energetika és Mechatronika BSc szakok, 016/17 ősz 10 feladatsor: Magasabbrendű lineáris differenciálegyenletek (megoldás) 1 Határozzuk meg az e λx, xe λx, x e λx,, x k 1 e λx függvények
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenMATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga
BABEŞ-BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR MATE-INFO UBB verseny, 218. március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga FONTOS TUDNIVALÓK: 1 A feleletválasztós feladatok,,a rész esetén
Részletesebbenvalós számot tartalmaz, mert az ilyen részhalmazon nem azonosság.
2. Közönséges differenciálegyenlet megoldása, megoldhatósága Definíció: Az y függvényt a valós számok H halmazán a közönséges differenciálegyenlet megoldásának nevezzük, ha az y = y(x) helyettesítést elvégezve
RészletesebbenBevezetés az algebrába 2
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Bevezetés az algebrába 2 BMETE91AM37 Differencia- és differenciálegy.-rsz. H607 2017-04-05
Részletesebben1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.
. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenMATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT
MATEMATIKAI PROBLÉMAMEGOLDÓ GYAKORLAT Ergodelmélet Dávid Szabolcs Papp Dániel Stippinger Marcell 2009.12.11 2 Definíció: A T endomorfizmust ergodikusnak nevezzük, ha bármely f L 2 függvényre f const. (Miután
RészletesebbenVéletlen bolyongás. Márkus László március 17. Márkus László Véletlen bolyongás március / 31
Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 1 / 31 Véletlen bolyongás Márkus László 2015. március 17. Modell Deníció Márkus László Véletlen bolyongás 2015. március 17. 2 / 31 Modell: Egy egyenesen
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április / 35
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2016. április 12. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2016. április 12. 1 / 35 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Norma 3 Mátrixnorma 4 Alkalmazások Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenDiszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban
Diszkrét idej rendszerek analízise az id tartományban Dr. Horváth Péter, BME HVT 06. október 4.. feladat Számítuk ki a DI rendszer válaszát, ha adott a gerjesztés és az impulzusválasz! u[k = 0,6 k ε[k;
RészletesebbenA Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003)
A Brüsszelátor dinamikája Shaun Ault és Erik Holmgreen dolgozata alapján (March 16, 2003) Várdainé Kollár Judit szeminárium Budapest 2006. november 6. 1. Bevezetés: Belouszov Zsabotyinszkij-reakció: Ce(III)
RészletesebbenPredáció populációdinamikai hatása
Predáció populációdinamikai hatása Def.: olyan szervezet, amely a zsákmányát, annak elfogása után, megöli és elfogyasztja. (Ellentétben: herbivor, parazitoid, ahol késleltetett a hatás, de ezekre is a
RészletesebbenII. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés
II. Két speciális Fibonacci sorozat, szinguláris elemek, természetes indexelés Nagyon könnyen megfigyelhetjük, hogy akármilyen két számmal elindítunk egy Fibonacci sorozatot, a sorozat egymást követő tagjainak
RészletesebbenDIFFERENCIÁLEGYENLETEK. BSc. Matematika II. BGRMA2HNND, BGRMA2HNNC
BSC MATEMATIKA II. MÁSODRENDŰ LINEÁRIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK BSc. Matematika II. BGRMAHNND, BGRMAHNNC MÁSODRENDŰ DIFFERENCIÁLEGYENLETEK Egy explicit közönséges másodrendű differenciálegyenlet általános
Részletesebben1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)
Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő
RészletesebbenDifferenciálegyenletek numerikus megoldása
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Somogyi Crescencia Kornélia Differenciálegyenletek numerikus megoldása BSc szakdolgozat Témavezet : Dr. Kovács Sándor Numerikus Analízis Tanszék Budapest,
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenFüggvények határértéke, folytonossága
Függvények határértéke, folytonossága 25. február 22.. Alapfeladatok. Feladat: Határozzuk meg az f() = 23 4 5 3 + 9 a végtelenben és a mínusz végtelenben! függvény határértékét Megoldás: Vizsgáljuk el
RészletesebbenSzinguláris értékek. Wettl Ferenc április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek április 3. 1 / 28
Szinguláris értékek Wettl Ferenc 2015. április 3. Wettl Ferenc Szinguláris értékek 2015. április 3. 1 / 28 Tartalom 1 Szinguláris érték 2 Alkalmazások 3 Norma 4 Mátrixnorma Wettl Ferenc Szinguláris értékek
RészletesebbenPéldatár Lineáris algebra és többváltozós függvények
Példatár Lineáris algebra és többváltozós függvények Simonné Szabó Klára. február 4. Tartalomjegyzék. Integrálszámítás.. Racionális törtek integrálása...................... Alapfeladatok..........................
RészletesebbenKibernetika korábbi vizsga zárthelyi dolgozatokból válogatott tesztkérdések Figyelem! Az alábbi tesztek csak mintául szolgálnak a tesztkérdések megoldásához, azaz a bemagolásuk nem jelenti a tananyag elsajátítását
RészletesebbenTartalom. Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás
Tartalom Állapottér reprezentációk tulajdonságai stabilitás irányíthatóság megfigyelhetőség minimalitás 2018 1 Állapottér reprezentációk tulajdonságai Általánosan egy lineáris, SISO dinamikus rendszer
RészletesebbenSajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István
Sajátértékek és sajátvektorok A fizika numerikus módszerei I. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István Lineáris transzformáció Vektorok lineáris transzformációja: általános esetben az x vektor iránya és nagysága
RészletesebbenGazdasági matematika II. tanmenet
Gazdasági matematika II. tanmenet Mádi-Nagy Gergely A hivatkozásokban az alábbi tankönyvekre utalunk: T: Tóth Irén (szerk.): Operációkutatás I., Nemzeti Tankönyvkiadó 1987. Cs: Csernyák László (szerk.):
RészletesebbenFELVÉTELI VIZSGA, július 21. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL A. RÉSZ
BABE -BOLYAI TUDOMÁNYEGYETEM, KOLOZSVÁR MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA KAR FELVÉTELI VIZSGA, 9. július. Írásbeli próba MATEMATIKÁBÓL FONTOS MEGJEGYZÉS: ) Az A. részben megjelen feleletválasztós feladatok esetén
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenL'Hospital-szabály. 2015. március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = 3 2 9 = 0.
L'Hospital-szabály 25. március 5.. Alapfeladatok ln 2. Feladat: Határozzuk meg a határértéket! 3 2 9 Megoldás: Amint a korábbi határértékes feladatokban, els ként most is a határérték típusát kell megvizsgálnunk.
RészletesebbenMátrixok 2017 Mátrixok
2017 számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4
Részletesebben6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján
Közelítő és szimbolikus számítások 6. gyakorlat Sajátérték, Gersgorin körök Készítette: Gelle Kitti Csendes Tibor Somogyi Viktor Vinkó Tamás London András Deák Gábor jegyzetei alapján . Mátrixok sajátértékei
RészletesebbenFeladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb
Részletesebben7. gyakorlat. Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága
7. gyakorlat Lineáris algebrai egyenletrendszerek megoldhatósága Egy lineáris algebrai egyenletrendszerrel kapcsolatban a következ kérdések merülnek fel: 1. Létezik-e megoldása? 2. Ha igen, hány megoldása
Részletesebben