ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIAI MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA A SZFÉRIKUS CSILLAGÁSZATBAN: AZ ORTOGRAFIKUS MERIDIÁN PROJEKCIÓ

Átírás

1 ÁBRÁZOLÓ GEOMETRIAI MÓDSZEREK ALKALMAZÁSA A SZFÉRIKUS CSILLAGÁSZATBAN: AZ ORTOGRAFIKUS MERIDIÁN PROJEKCIÓ PÉNTEK KÁMÁN NymE SEK TTMK Matematika és Fizikai Intézet 9700 Szombathely, Károlyi G. tér 4. pentek@ttmk.nyme.hu Abstract: We investigate the relationships of the horizontal coordinates ( a, h ), the equatorial coordinates ( τ, δ ) of a celestial body, and latitude of the observer ( ϕ ). Knowing three of these angles, the remaining two can be calculated. These problems from astronomy are usually solved using spherical trigonometry, but in this article we show how to apply descriptive geometry to these problems. The geometric solution of the representation of the celestial body and the classical problems from a spherical astronomy is based on a special case of orthographic projection used in cartography. 1. BEVEZETÉS A szférikus csillagászatban már régóta alkalmazzák a klasszikus alapfeladatok tárgyalására a gömbi trigonometria számítási módszereit. Eredményesen használható azonban e feladatok megoldására az ábrázoló geometria eszköztára is. Ha nem szükséges igen nagy pontosság, viszont gyorsan és egyszerően szeretnénk eljutni az eredményhez, akkor sikeresen alkalmazhatjuk e dolgozatban részletesen ismertetésre kerülı módszert. Német nyelvterületen nagy hagyományai vannak az ábrázoló geometriai eljárások alkalmazásának elsısorban a technikai és mőszaki tudományokban betöltött fontos szerepük miatt. Így nem meglepı, hogy a jelen dolgozatban ismertetendı szerkesztési módszereket is német kutatók vizsgálták elsıként: Kramer (1927), Meyer (1934, 1937), Thomas (1939) eredményeiket Lietzmann (1949) rendszerezte és foglalta össze monográfiájában. Az egyes alapfeladatokra több különbözı megoldás is született, amelyek közül ebben a munkában a legrövidebb és legegyszerőbb eszközöket alkalmazó tárgyalást választottuk ki. Magyarországon a földrajz egyetemi szintő oktatásában Dr. Kiss Árpád alkalmazta elsıként e szerkesztési módszert a Szegedi Tudományegyetemen az 1960-as években. İ a csillagászati földrajz tárgyalásában használta eredményesen az eljárást. A gömbi trigonometria számításaitól idegenkedı hallgatók így szerkesztéssel is eljuthattak a kitőzött feladatok kielégítı pontosságú megoldásához. A dolgozatban bemutatásra kerülı ortografikus meridián projekció szerkesztési módszerén alapszik a magyarországi csillagászati oktatásban a múlt század elején alkalmazott, Lóskay (1902) által szerkesztett forgatható

2 számoló korong, amelynek segítségével a Nap és a csillagok járása határozható meg egy tetszıleges földrajzi helyen és idıpontban. Az eszköz használatát és a segítségével megoldható szférikus csillagászati feladatok körét Kövesligethy (1903) ismertette, akinek lappangó írására hosszú keresés után Pannonhalmán, a Fıapátsági Könyvtárban sikerült rábukkanni. Jelen dolgozat a szerzı által a Nyugat-magyarországi Egyetemen és annak egyik elıdintézményében, a Berzsenyi Dániel Fıiskolán közel két évtizeden át oktatott Asztrofizika, Csillagászat és Matematikai földrajz c. elıadások tapasztalatainak felhasználásával készült, célja az ortografikus meridián projekció módszerének ismertetése és a klasszikus alapfeladatok teljes körő és részletes tárgyalása. E dolgozat írása közben, 2009 júniusában érkezett a szomorú hír, hogy Dr. Bánhegyi Miksa OSB, a Pannonhalmi Bencésrendi Fıapátság Könyvtárának igazgatója váratlanul elhunyt. Számos matematikai és csillagászati könyvritkaság felkutatásában volt a szerzı segítségére, Kövesligethy említett tanulmányára is ı bukkant rá. Jelen szerény munkámat kegyelettel és nagy tisztelettel Dr. Kiss Árpád és Dr. Bánhegyi Miksa emlékének ajánlom. 2. SZFÉRIKUS CSILLAGÁSZATI ALAPISMERETEK Elıször összefoglaljuk azokat a legfontosabb csillagászati ismereteket, amelyeket a dolgozat további részeiben felhasználunk. 1. ábra: Az éggömb 2. ábra: A horizontális koordinátarendszer Fig.1.: Celestial Sphere Fig. 2.: Horizontal celestial coordinate system 2

3 Tekintsük a r sugarú éggömböt, amelynek O középpontja legyen a megfigyelı szemében. E gömb felületére képezzük le a teret O középpontú centrális projekcióval. Az égitestek ilyen módon nyert képének jellemzésére vezessünk be egy horizontális és egy ekvatoriális koordinátarendszert, amelyek közös kezdıpontja essék egybe az éggömb O középpontjával. Az éggömbbel kapcsolatos legfontosabb fogalmakat az 1. ábrán találhatjuk meg, amelyek a következık: O = a megfigyelı helye, Z = zenitpont, Z ' = nadírpont, S = a horizont délpontja, W = a horizont nyugatpontja, N = a horizont északpontja, E = a horizont keletpontja. Az éggömb legfontosabb irányai és fıkörei: ZZ ' = zenit-nadír irány, NS = észak-dél irány (földi meridián), EW = kelet-nyugat irány, SWNE = horizont, ZSZ ' N = égi meridián, ZEZ ' W = elsı vertikális. A horizontális koordinátarendszert meghatározó mennyiségeket a 2. ábrán foglaltuk össze, amelyek az alábbiak: C = a vizsgált égitest szférikus helye, ZCZ ' = a C égitest vertikálisa, HCH ' = a C égitest almukantarátja, O ' = a C égitest almukantarátjának középpontja, T h = a C égitest horizontális talppontja. A C égitest két horizontális koordinátája: a = SOT = HO ' C = azimut szög, h = T OC = magassági szög. h h 3. ábra: Ekvatoriális koordinátarendszer 4. ábra: Az ortografikus meridián projekció Fig. 3.: The equatorial celestial coordinate system Fig. 4.: The orthographic meridian projection 3

4 Az ekvatoriális koordinátarendszert jellemzı mennyiségeket a 3. ábrán tüntettük fel, ezek a következık: C = a vizsgált égitest szférikus helye, P = az éggömb északi póluspontja, P ' = az éggömb déli póluspontja, PP ' = világtengely, PCP ' = a C égitest óraköre, DCD ' = a C égitest deklinációs köre, O '' = a C égitest deklinációs körének középpontja, T e = a C égitest egyenlítıi talppontja, AWQE = égi egyenlítı. A C égitest két ekvatoriális koordinátája: τ = AOT = DO" C = óraszög, δ = TeOC = deklinációs szög. Megmutatható, hogy az északi póluspont ϕ = NOP magassági szöge megegyezik az O megfigyelı Földgömbön elfoglalt helyének földrajzi szélességével. A fentiekben felsorolt és bemutatott fogalmak és összefüggések részletes tárgyalása megtalálható többek között Marik (1989), Kövesligethy (1899), Sigl (1969) és Kiss (1962) munkájában. 3. AZ ORTOGRAFIKUS MERIDIÁN PROJEKCIÓ A vetülettanban a Földgömb áttekintı ábrázolására alkalmazzák az ortografikus projekciónak nevezett térképezési eljárást. A módszer lényege, hogy a Földgömb felületét a megszerkesztendı térkép síkjára merıleges vetítısugarak segítségével képezik le. A teljes Földgömb képe az ortografikus projekció során a gömb sugarával megegyezı sugarú körlemez lesz. A képsík helyzetétıl függıen az ortografikus projekció lehet poláris, ferde vagy egyenlítıi elhelyezéső. A továbbiakban az ortografikus projekció eljárását alkalmazzuk szférikus csillagászati problémák vizuális megjelenítésére és a csillagászati feladatok ábrázoló geometriai eljárásokkal történı megoldására úgy, hogy a képsík az éggömböt átszelı égi meridián síkja legyen. Az éggömb felületén levı tetszıleges C pontból bocsássunk merılegest az égi meridián síkjára. E vetítısugár és a képsík C* döféspontja lesz a C pont ortografikus képe (4. ábra). Az éggömb ezen síkbeli ábrázolását ortografikus meridián projekciónak nevezzük. Az egyszerő tárgyalás kedvéért megállapodunk abban, hogy az éggömbi pontokat és azok ortografikus képeit is ugyanazon betővel jelöljük az egyes szerkesztési lépések leírása és az ábrák elkészítése során. E leképezés legfontosabb tulajdonságait a következıkben rendszerezzük. 1. Az O középpontú, r sugarú éggömb felületének ortografikus képe az O középpontú, r sugarú égi meridián vonala által határolt zárt körlemez. e 4

5 2. Az éggömb égi meridián által meghatározott keleti és nyugati félgömbjét külön-külön az ortografikus meridián projekció bijektíven képezi le az égi meridián körlemezére. A körlemez minden belsı pontja így pontosan két éggömbi pont képe, speciálisan például E és W közös képe az O pont. Továbbá pontosan az égi meridián vonalának pontjai a leképezés fixpontjai. 3. A horizontális koordinátarendszer fokhálózatát az almukantarátok és a vertikálisok rendszere alkotja. Az almukantarátok síkjai a leképezés vetítısíkjai, így azok ortografikus képei az NS átmérıvel párhuzamos húrok rendszerét alkotják. Megmutatható, hogy a vertikális körök ortografikus képei olyan ellipszisek rendszerét alkotják, amelyek közös nagytengelye a ZZ ' zenit-nadír átmérı. Ezen ellipszisek közé soroljuk az égi meridián körét, valamint a ZZ ' átmérıt, mint az elsı vertikális körének ortografikus képét is (5. ábra). 5. ábra: A horizontális hálózat ortografikus 6. ábra: Az ekvatoriális hálózat ortografikus meridián projekciója meridián projekciója Fig. 5.: Orthographic meridian projection of Fig. 6.: Orthographic meridian projection of the horizontal grid the equatorial grid 4. Az ekvatoriális koordinátarendszer fokhálózatát a deklinációs körök és az órakörök rendszere alkotja. A deklinációs körök síkjai a leképezés vetítısíkjai, így ortografikus képei az égi egyenlítı AQ átmérıjével párhuzamos húrok rendszerét alkotják. Belátható, hogy az órakörök ortografikus képei olyan ellipszisek rendszerét alkotják, amelyek közös nagytengelye a PP ' világtengely átmérıje. Ezen ellipszisek közé soroljuk az égi meridián körét, valamint a PEP ' W fıkör PP ' ortografikus képét is (6. ábra). 5

6 A horizontális koordinátarendszer horizontja és almukantarátjai az ortogonális meridián projekció vetítısíkjai. Mivel az égitestek azimutszögét e síkokban mérjük, így annak meghatározásához az égi meridián síkjába forgatjuk a horizont, illetve a vizsgált almukantarát körlemezét a képsíkban fekvı átmérıje körül. Mindkét esetben a C égitest ortografikus képén, illetve annak T h horizontális talppontján keresztül húzzunk párhuzamost a ZZ ' iránnyal és határozzuk meg a beforgatott körlemez határoló körével alkotott horizont esetén ( C 1), almukantarát esetén ( C 2) metszéspontját. A horizont beforgatásakor a keresett azimutszög a = SO( C1) a C pont almukantarátjának beforgatásakor pedig az azimutszög: a = HO'( C2). (7. ábra) 7. ábra: A C égitest (a,h) horizontális koordinátái 8. ábra: A C égitest (τ, δ) ekvatoriális koordinátái Fig. 7.: The horizontal coordinates (a, h) of Fig. 8.: The equatorial coordinates (τ, δ) of celestial body C celestial body C Az ekvatoriális koordinátarendszer égi egyenlítıje és deklinációs körei szintén az ortografikus meridián projekció vetítısíkjai. Miután az égitestek óraszögét e síkokban mérjük, így annak megszerkesztéséhez az égi meridián síkjába forgatjuk az égi egyenlítı, illetve a vizsgált deklinációs kör lemezét a képsíkban fekvı átmérıje körül. Mindkét esetben a C égitest ortografikus képén, illetve annak T e egyenlítıi talppontján keresztül húzzunk párhuzamost a PP ' iránnyal és határozzuk meg a beforgatott körlemez hatá- C roló körével alkotott égi egyenlítı esetén [ ] 1 C, deklinációs kör esetén [ ] metszéspontját. Az égi egyenlítı képsíkba forgatásakor a keresett óraszög: 2 6

7 τ = AO[ C 1 ], a C pont deklinációs körének beforgatásakor pedig az óraszög: τ = DO ''[ C ]. (8. ábra) 2 Megjegyezzük, hogy a körlemezek képsíkba történı beforgatását mindig abba az irányba végezzük el, hogy az eredményül kapott végsı ábra minél kevésbé legyen zsúfolt. Leggyakrabban elegendı a teljes almukantarát, vagy a teljes deklinációs kör helyett csupán annak azon félkörét képsíkba forgatni, amelyik a vizsgált C égitestet tartalmazza. Ennek figyelembevételével készítettük el a 7. és 8. ábrát is. A C égitest h magassági szöge, illetve δ deklinációs szöge közvetlenül megszerkeszthetı annak azimutja, illetve óraszöge értékétıl függetlenül. A C égitest magassági szöge: h = SOH = NOH ' (7. ábra), deklinációs szöge: δ = AOD = QOD ' (8. ábra). 4. A SZFÉRIKUS CSILLAGÁSZAT ALAPFELADATAI Az O középpontú r sugarú éggömbön az elızı részekben látott módon rögzítsünk egy horizontális és egy ekvatoriális koordinátarendszert, s legyen a megfigyelı helyének földrajzi szélessége φ. Legyenek továbbá a C égitest horizontális koordinátái: a, h, ekvatoriális koordinátái: τ, δ. Ábrázoljuk a teljes konfigurációt ortografikus meridián projekcióval (9. ábra). Rögzített földrajzi helyen a C égitest égi pozícióját meghatározó ϕ, a, h, τ, δ öt szögmennyiség közti kapcsolatot vizsgáljuk. E szögek körül bármelyik 3 ismeretében a maradék 2 mennyiség meghatározható. Ezen feladatok száma ( 5 ) 3 = 10, megoldásuk történhet a gömbháromszögtan ismeretében trigonometriai számításokkal, vagy ábrázoló geometriai eljárások felhasználásával szerkesztéssel. Dolgozatunk fı részében az ortografikus meridián projekció segítségével adunk szerkesztésen nyugvó megoldást e 10 szférikus csillagászati alapfeladatra CSILLAGÁSZATI ALAPFELADATOK ISMERT FÖLDRAJZI SZÉLESSÉGŐ HELYEN Elıször azokat a feladatokat tárgyaljuk, amikor a Föld felszínének egy ismert φ földrajzi szélességő helyén tartózkodunk megfigyelıként. E 4 2 = 6, a ( ϕ, a, h), ( ϕ, τ, δ ), ( ϕ, h, δ ), ( ϕ, a, δ ), ( ϕ, h, τ ), feladatok száma ( ) 7

8 ( ϕ, a, τ ) sorrendben az adathármasok ismeretében keressük a hiányzó 2-2 mennyiséget. 1. FELADAT: Adott: φ, a, h; Feladat: τ, δ meghatározása A szerkesztés lépései a következık: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 4. A h = SOH magassági szög felmérésével a HH ' almukantarát és O ' középpontjának 5. A HH ' almukantarát körének képsíkba forgatása HH ' átmérıje körül. 6. Az a = HO '( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pont HH ' húrra történı merıleges vetítésével a C égitest helyének meghatározása. 7. A C ponton keresztül az AQ égi egyenlítıvel húzott párhuzamos segítségével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának meghatározása. 8. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása DD ' átmérıje körül. 9. A C pont ' C pont meghatározása, ezzel a ke- PP irányú vetítésével a [ ] resett óraszög: τ = CO ''[ C]. 10. A C égitest deklinációja: δ = AOD. (9. ábra) 2. FELADAT: Adott: φ, τ, δ; Feladat: a, h meghatározása A szerkesztés lépései az alábbiak: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 4. A δ = AOD deklinációs szög felmérésével DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának 5. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása DD ' átmérıje körül. 8

9 6. A τ = DO ''[ C] felmérésével a [ ] C pont megszerkesztése, majd e pont DD ' húrra történı merıleges vetítésével a C égitest helyének meghatározása. 7. A C ponton keresztül az SN földi meridiánnal húzott párhuzamos segítségével a HH ' almukantarát és O ' középpontjának meghatározása. 8. A HH ' almukantarát körének képsíkba forgatása HH ' átmérıje körül. 9. A C pont ZZ ' irányú vetítésével a (C) pont meghatározása, ezzel a keresett azimutszög: a = CO '( C). 10. A C égitest magassági szöge: h = SOH. (9. ábra) 9. ábra: Az 1-3. sz. feladat megszerkesztése 10. ábra: A 4. sz. feladat megszerkesztése Fig. 9.: Geometric construction of problems Fig. 10.: Geometric construction of problem FELADAT: Adott: φ, h, δ; Feladat: a, τ meghatározása A szerkesztés lépései most a következık: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 9

10 4. A h = SOH magassági szög felmérésével HH ' almukantarát és O ' középpontjának 5. A δ = AOD deklinációs szög felmérésével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának 6. A HH ' almukantarát és DD ' deklinációs kör metszéspontjaként a C égitest helyének meghatározása. 7. A HH ' almukantarát körének képsíkba forgatása HH ' átmérıje körül. 8. A C pont ZZ ' irányú vetítésével a (C) pont meghatározása, ezzel a keresett azimutszög: a = CO '( C). 9. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása a DD ' átmérı körül. 10. A C pont ' C pont meghatározása, ezzel a ke- PP irányú vetítésével a [ ] resett óraszög: τ = CO ''[ C]. (9. ábra) 4. FELADAT: Adott: φ, a, δ; Feladat: h, τ meghatározása A szerkesztés lépései az alábbiak lesznek: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 4. A δ = AOD deklinációs szög felmérésével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának 5. Az SWNE horizont körének képsíkba forgatása az SN földi meridián körül. 6. Az a = SO( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pont SN földi meridiánra történı merıleges vetítésével a C égitesten áthaladó vertikális kör T h horizontális talppontjának meghatározása. 7. A C pont elvileg a DD ' húr és a ZT Z ' ellipszisív metszéspontjaként áll elı, ezt szerkesztjük meg a ZZ ' tengelyő, a T h pontot az S pontba vivı α merıleges affinitás segítségével. 8. Legyen R, illetve U a ZZ ', illetve az u = ( C) T h egyenesek DD ' deklinációs körrel alkotott metszéspontjai. Ha v az S ponton átmenı, ZZ ' iránnyal párhuzamos egyenes, akkor α ( R) = R és α ( U ) = V, amely V a v egyeneshez illeszkedik. h 10

11 9. Ha H az RV egyenes és az égi meridián körének metszéspontja, akkor a C égitest ortografikus képe: C = α 1 ( H ). 10. A C ponton keresztül az SN földi meridiánnal húzott párhuzamos segítségével a HH ' almukantarát és O ' középpontjának meghatározása. 11. A keresett magassági szög: h = SOH. 12. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása a DD ' átmérıje körül. 13. A C pont ' C pont meghatározása, ezzel a ke- PP irányú vetítésével a [ ] resett óraszög: τ = CO ''[ C]. (10. ábra) 5. FELADAT: Adott: φ, h, τ; Feladat: a, δ meghatározása A szerkesztés lépései a következık: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 4. A h = SOH magassági szög felmérésével a HH ' almukantarát és O ' középpontjának 5. Az AWQE égi egyenlítı körének képsíkba forgatása az AQ átmérıje körül. AO C C pont megszerkesztése, 6. A τ = [ ] óraszög felmérésével a [ ] majd e pont AQ égi egyenlítıre történı merıleges vetítésével a C égitesten áthaladó órakör T e egyenlítıi talppontjának meghatározása. 7. A C pont elvileg a HH ' húr és a PT P ' ellipszisív metszéspontjaként PP, illetve az [ ] e áll elı, ezt szerkesztjük meg a PP ' tengelyő, a T e pontot az A pontba vivı α merıleges affinitás segítségével. 8. Legyen R, illetve U a ' u = C T egyenesek HH ' almukantaráttal alkotott metszéspontjai. Ha v az A ponton átmenı, PP ' iránnyal párhuzamos egyenes, akkor α ( R) = R és α ( U ) = V, amely V a v egyeneshez illeszkedik. 9. Ha D az RV egyenes és az égi meridián körének metszéspontja, akkor a C égitest ortografikus képe: C = α 1 ( D). 10. A C ponton keresztül az AQ átmérıvel húzott párhuzamos segítségével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának meghatározása. e 11

12 11. A keresett deklinációs szög: δ = AOD. 12. A HH ' almukantarát körének képsíkba forgatása HH ' átmérıje körül. 13. A C pont ZZ ' irányú vetítésével (C) pont meghatározása, ezzel a keresett azimutszög: a = CO '( C). (11. ábra) 11. ábra: Az 5. sz. feladat megszerkesztése 12. ábra: A 6. sz. feladat megszerkesztése Fig. 11.: Geometric construction of problem 5. Fig. 12.: Geometric construction of problem FELADAT: Adott: φ, a, τ; Feladat: h, δ meghatározása. A szerkesztés lépései most az alábbiak: 1. Az O ' felezıpontú HH ' almukantarát szakaszának felvétele. 2. A HH ' almukantarát körének képsíkba forgatása a HH ' átmérı körül. 3. Az a = HO '( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pont HH ' húrra történı merıleges vetítésével a C égitest helyének meghatározása. H ' C C C C C C C 4. A ϕ = [ ] felmérése és ( ) = [ ] felhasználásával a [ ] pont C C irányra merıleges állítása a C ponton keresztül és ezen az 5. A [ ] pont meghatározása úgy, hogy τ = CO ''[ C] teljesüljön. O '' 12

13 6. Az O ''[ C ] sugárral a képsíkba forgatott félkör meghúzása, s az O '' C átmérın a D és D '' végpontok meghatározása. 7. A HH ' almukantarátra O ' pontban állított ZZ ' merıleges egyenes és a DD ' deklinációs kör képére az O '' pontban állított PP ' merıleges egyenes O metszéspontjának 8. Az r = OH = OH ' = OD = OD ' sugárral az égi meridián körének megrajzolása, s ezen a ZZ ' zenit-nadír, valamint a PP ' világtengely pontjainak kijelölése. 9. Az O ponton keresztül a HH ' iránnyal húzott párhuzamossal az SN földi meridián, a DD ' iránnyal húzott párhuzamossal pedig az AQ égi egyenlítı 10. A keresett magassági szög: h = SOH, a keresett deklinációs szög pedig: δ = AOD. (12. ábra) 4.2. CSILLAGÁSZATI FELADATOK ISMERETLEN FÖLDRAJZI SZÉLESSÉGŐ HELYEN A második csoportban azokat a feladatokat tárgyaljuk, amikor nem ismerjük a megfigyelı földrajzi szélességét. Ezen feladatok száma ( 4 ) 4 1 =, a ( a, h, δ ), ( h, τ, δ ), ( a, h, τ ), ( a, τ, δ ) sorrendben az adathármasok ismeretében keressük a hiányzó 2-2 mennyiséget. 7. FELADAT: Adott: a, h, δ; Feladat: φ, τ meghatározása. 3. A h = SOH magassági szög felmérésével a HH ' almukantarát és O ' középpontjának meghatározása. 4. A HH ' almukantarát körének képsíkba forgatása a HH ' átmérıje körül. 5. Az a = HO '( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pont HH ' húrra történı merıleges vetítésével a C pont helyének meghatározása. 6. Az O középpontú, r sin δ sugarú kör felvétele, s ehhez a körhöz a C külsı pontból az alkalmas DD ' érintı megszerkesztése, az érintési pont O '', az érintı a C ponton áthaladó deklinációs kör képe. 13

14 7. Az OO '' egyenese a világtengely, az égi meridián körével alkotott metszéspontok P és P ', a rá merıleges átmérı az AQ égi egyenlítı, a keresett földrajzi szélesség a ϕ = NOP. 8. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása DD ' átmérıje körül. 9. A C pont ' C pont megszerkesz- PP irányú párhuzamos vetítésével a [ ] tése. A keresett óraszög: τ = CO ''[ C]. (13. ábra) 13. ábra: A 7. sz. feladat megszerkesztése 14. ábra: A 8. sz. feladat megszerkesztése Fig. 13.: Geometric construction of problem 7. Fig. 14.: Geometric construction of problem FELADAT: Adott: h, τ, δ; Feladat: φ, a meghatározása. A szerkesztés lépései az alábbiak: 2. A PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı átmérıpárjának 3. A δ = AOD deklinációs szög felmérésével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának meghatározása. 4. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása a DD ' átmérıje körül. DO '' C C pont megszerkesztése, 5. A τ = [ ] óraszög felmérésével a [ ] majd e pont DD ' húrra történı merıleges vetítésével a C pont helyének meghatározása. 14

15 6. Az O középpontú, r sin h sugarú kör felvétele, s ehhez a körhöz a C külsı pontból az alkalmas HH ' érintı megszerkesztése, az érintési pont O ', az érintı a C ponton áthaladó almukantarát képe. 7. Az OO ' egyenese a zenit-nadír irány, az égi meridián körével alkotott metszéspontok Z és Z ', a rá merıleges átmérı az SN földi meridián, a keresett földrajzi szélesség: ϕ = NOP. 8. A HH ' almukantarát képsíkba forgatása HH ' átmérıje körül. 9. A C ponton keresztül a ZZ ' irányú párhuzamos vetítéssel a (C) pont A keresett azimutszög: a = CO '( C). (14. ábra) 15. ábra: A 9. sz. feladat megszerkesztése Fig. 15.: Geometric construction of problem FELADAT: Adott: a, h, τ; Feladat: φ, δ meghatározása. A szerkesztés lépései most a következıek: 3. A h = SOH magassági szög felmérésével a HH ' almukantarát és O ' középpontjának meghatározása. 4. A HH ' almukantarát körének képsíkba forgatása HH ' átmérıje körül. 15

16 5. Az a = HO '( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pont HH ' húrra történı merıleges vetítésével a C pont képének meghatározása. 6. A C( C) = C [ C] és a τ = CO ''[ C] összefüggések felhasználásával az CO ''[ C ] derékszögő háromszög megszerkesztése a CO '' szakasz hoszszának elıállításához. 7. A C középpontú, CO '' sugarú kör megrajzolása, s ehhez a körhöz az O külsı pontból alkalmas érintı Az érintési pont O '', az érintı OO '' egyenese a világtengely, az égi meridián körével alkotott metszéspontjai P és P '. A keresett földrajzi szélesség: ϕ = NOP. 8. A CO '' egyenese a C égitest deklinációs körének képe, ezen egyenes és az égi meridián körének metszéspontjai D és D '. 9. A DD ' húrral az O ponton keresztül húzott párhuzamos az AQ égi egyenlítı, a keresett deklinációs szög: δ = AOD. (15. ábra) 16. ábra: A 10. sz. feladat megszerkesztése Fig. 16.: Geometric construction of problem FELADAT: Adott: a, τ, δ; Feladat: φ, h meghatározása. A szerkesztés lépései az alábbiak: 16

17 2. A PP ' világtengely és az AQ égi egyenlítı merıleges átmérıpárjának 3. A δ = AOD deklinációs szög felmérésével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának meghatározása. 4. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása DD ' átmérıje körül. DO '' C C pont megszerkesztése, 5. A τ = [ ] óraszög felmérésével a [ ] majd e pont DD ' húrra történı merıleges vetítésével a C pont képének C( C) = C C és az a = CO '( C) összefüggések felhasználásával az 6. A [ ] CO '( C ) derékszögő háromszög megszerkesztése a CO ' szakasz hoszszának elıállításához. 7. A C középpontú, CO ' sugarú kör megrajzolása, s ehhez a körhöz az O külsı pontból alkalmas érintı Az érintési pont O ', az érintı OO ' egyenese a zenit-nadír irány, az égi meridián körével alkotott metszéspontjai Z és Z '. 8. A ZZ ' irányra az O pontban állított merıleges az SN földi meridián iránya, a keresett földrajzi szélesség: ϕ = NOP. 9. A CO ' egyenese a C égitest almukantarátjának képe, ezen egyenes és az égi meridián körének metszéspontjai H és H '. A keresett magassági szög: h = SOH. (16. ábra) 4.3. AZ ÉGITESTEK KELÉSE ÉS NYUGVÁSA Az általánosan megoldott 10 szférikus csillagászati alapfeladaton túl most azzal a speciális esettel külön is foglalkozunk, amikor a C égitest magassági szöge: h = 0, vagyis ha az égitest éppen kel, vagy nyugszik. Ezen 4 6, a, h 0 ϕ, h 0, δ ϕ, h = 0, τ, 2 =, a ( ϕ = ), ( = ), ( ) ( a, h = 0, δ ), ( h = 0, τ, δ ), ( a, h 0, τ ) feladatok száma ( ) ismeretében keressük a hiányzó 2-2 mennyiséget. = sorrendben az adathármasok 17

18 11. FELADAT: Adott ϕ, a, h = 0 ; Feladat: τ, δ meghatározása. A szerkesztés lépései az 1. FELADAT speciális eseteként a következık: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 4. Az SWNE horizont körének képsíkba forgatása az SN földi meridián körül. 5. Az a = SO( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pontnak az SN földi meridiánra történı merıleges vetítésével a C égitest képének meghatározása a horizonton. 6. A C ponton keresztül az AQ égi egyenlítıvel húzott párhuzamos segítségével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának meghatározása. 7. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása DD ' átmérıje körül. 8. A C pont ' C pont meghatározása, ezzel a PP irányú vetítésével a [ ] keresett óraszög: τ = DO ''[ C]. 9. A C égitest deklinációs szöge: δ = AOD. (17. ábra) 17. ábra: A és 15. sz. feladat megszerkesztése 18. ábra: A 13. sz. feladat megszerkesztése Fig. 17.: Geometric construction of problems 11, 12, and 15. Fig. 18.: Geometric construction of problem

19 12. FELADAT: Adott ϕ, h = 0, δ ; Feladat: a, τ meghatározása. A szerkesztés lépései az 3. FELADAT speciális eseteként a következık: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 4. A δ = AOD deklinációs szög felmérésével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának 5. A DD ' deklinációs kör húrjának és az SN földi meridián átmérıjének metszéspontjaként a C égitest képének meghatározása. 6. Az SWNE horizont körének képsíkba forgatása az SN földi meridián körül. 7. A C pont ZZ ' irányú vetítésével a (C) pont meghatározása, a keresett azimutszög: a = SO( C). 8. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása a DD ' átmérıje körül. 9. A C pont ' C pont meghatározása, a keresett PP irányú vetítésével a [ ] óraszög: τ = DO ''[ C]. (17. ábra) 13. FELADAT: Adott ϕ, h = 0, τ ; Feladat: a, δ meghatározása. A szerkesztés lépései az 5. FELADAT speciális eseteként a következık: 3. A ϕ = NOP felmérésével a PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı felvétele. 4. Az AWQE égi egyenlítı körének képsíkba forgatása az AQ átmérıje körül. AO C C pont megszerkesztése, 5. A τ = [ ] óraszög felmérésével a [ ] majd e pont AQ átmérıre történı merıleges vetítéssel és a vetítı egyenes SN földi meridiánnal való metszéspontjának meghatározásával a C pont képének 6. Az SWNE horizont körének képsíkba forgatása az SN földi meridián körül. 19

20 7. A C pont ZZ ' irányú vetítésével a (C) pont meghatározása, a keresett azimutszög: a = SO( C). 8. A C ponton keresztül az AQ égi egyenlítıvel húzott párhuzamos és az égi meridián körének metszéspontjai meghatározzák a C égitest DD ' deklinációs körét és annak O '' középpontját. A keresett deklinációs szög: δ = AOD. (18. ábra) 19. ábra: A 14. sz. feladat megszerkesztése 20. ábra: A 16. sz. feladat megszerkesztése Fig. 19.: Geometric construction of problem 14. Fig. 20.: Geometric construction of problem FELADAT: Adott a, h = 0, δ ; Feladat: φ, τ meghatározása. A szerkesztés lépései az 7. FELADAT speciális eseteként az alábbiak: 3. Az SWNE horizont körének képsíkba forgatása az SN földi meridián körül. 4. Az a = SO( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pont SN átmérıre történı merıleges vetítésével a C pont képének meghatározása. 5. Az O középpontú, r.sin δ sugarú kör felvétele, s ehhez a C külsı pontból alkalmas DD ' érintı szerkesztése, az érintési pont O '', az érintı a C ponton áthaladó deklinációs kör képe. 20

21 6. Az OO '' egyenese a világtengely, az égi meridián körével alkotott metszéspontok P és P ', a rá merıleges átmérı az AQ égi egyenlítı, a keresett földrajzi szélesség ϕ = NOP. 7. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása a DD ' átmérıje körül. 8. A C pont ' C pont megszer- PP irányú párhuzamos vetítésével a [ ] kesztése. A keresett óraszög: τ = DO ''[ C]. (19. ábra) 15. FELADAT: Adott h = 0, τ, δ ; Feladat: φ, a meghatározása. A szerkesztés lépései a 8. FELADAT speciális eseteként a következık: 2. A PP ' világtengely és a rá merıleges AQ égi egyenlítı átmérıpárjának 3. A δ = AOD deklinációs szög felmérésével a DD ' deklinációs kör és O '' középpontjának meghatározása. 4. A DD ' deklinációs kör képsíkba forgatása a DD ' átmérıje körül. DO '' C C pont megszerkesztése, 5. A τ = [ ] óraszög felmérésével a [ ] majd e pont DD ' húrra történı merıleges vetítésével a C pont képének meghatározása. 6. Az OC egyenese a földi meridián, az égi meridiánnal alkotott metszéspontjai S és N, a rá állított merıleges átmérı a ZZ ' zenit-nadír irány. A keresett földrajzi szélesség: ϕ = NOP. 7. A C pont ZZ ' irányú párhuzamos vetítésével a (C) pont meghatározása, a keresett azimutszög: a = SO( C). (17. ábra) 16. FELADAT: Adott a, h = 0, τ ; Feladat: φ, δ meghatározása. A szerkesztés lépései a 9. FELADAT speciális eseteként az alábbiak: 3. Az a = SO( C) azimutszög felmérésével a (C) pont megszerkesztése, majd e pont SN földi meridiánra történı merıleges vetítésével a C pont képének meghatározása. 21

22 4. A C( C) = C [ C] és a τ = CO ''[ C] összefüggések felhasználásával az CO ''[ C ] derékszögő háromszög megszerkesztése a CO '' szakasz hosszának elıállításához. 5. A C középpontú CO '' sugarú kör megrajzolása, s ehhez a körhöz az O külsı pontból alkalmas érintı szerkesztése. Az érintési pont O '', az érintı OO '' egyenese a világtengely, amelynek az égi meridiánnal alkotott metszéspontjai P és P '. A keresett földrajzi szélesség: ϕ = NOP. 6. A CO '' egyenese a C égitest deklinációs körének képe, az egyenesnek az égi meridián körével alkotott metszéspontjai D és D '. 7. A DD ' húrral az O ponton keresztül húzott párhuzamos az AQ égi egyenlítı képe, a keresett deklinációs szög: δ = AOD. (20. ábra) Megjegyezzük, hogy ezen 4.3. fejezet valamennyi feladatában a ábrákon szereplı Z ' O( C ) nagyságú szög a kelı, illetve nyugvó égitest keleti, illetve nyugati iránytól való szögeltérése a horizonton. E szög a kelı, vagy nyugvó égitest amplitúdója magyarul tágassága. Látható, hogy e fejezet feladataiban a kelı, vagy nyugvó égitest azimutszögével közvetlen kapcsolatban álló tágasság is leolvasható. 5. ÖSSZEGZÉS A dolgozatban az éggömb ábrázolására alkalmas ortografikus meridián projekció fogalmát értelmeztük. Bemutattuk a módszer alkalmazásával megoldható legfontosabb szférikus csillagászati feladatokat. Az ábrázoló geometria szerkesztési módszereit alkalmazva az ortografikus meridián projekció gyors, grafikus megoldást kínál a szférikus trigonometria alkalmazását igénylı feladatok megoldására. Számos más, az éggömbre és a Földgömbre vonatkozó feladat is tárgyalható a bemutatott szerkesztési módszer felhasználásával. Ezek némelyikével találkozhatunk a dolgozat végén szereplı irodalomjegyzék német nyelvő munkáiban. KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS A szerzı köszönetét fejezi ki Dr. Pintér Teodor Péternek, a Szlovák Központi Csillagvizsgáló (SUH) vezérigazgatójának a dolgozat témájában folytatott hasznos szakmai konzultációkért. 22

23 Köszönet továbbá Bartha Lajos tudománytörténésznek, aki a szerzı rendelkezésére bocsájtotta a Lóskay Miklós által szerkesztett, a Nap mozgását bemutató korong egy példányát. Köszönet Mitre Zoltánnak, a Gothard Amatırcsillagászati Egyesület titkárának, a szerzı által körzıvel és vonalzóval hagyományos módon megszerkesztett ábrák számítógépes átrajzolásáért. Végül köszönet Kovács Katalinnak, az NymE SEK Könyvtára munkatársának, aki a szerzı segítségére volt a dolgozat témájához tartozó idegen nyelvő szakirodalmi forrásainak felkutatásában és külföldrıl történı gyors beszerzésében. IRODALOM: Kiss, Á. (1962): Csillagászati földrajz Szegedi Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Tankönyvkiadó, Budapest, 206 p. Kövesligethy, R. (1899): A mathematikai és csillagászati földrajz kézikönyve Kogutowich és társa Magyar Földrajzi Intézete, Budapest, 911 p. Kövesligethy, R. (1903): Használati utasítás Lóskay Miklósnak a Nap és a csillagok járását a Föld tetszıleges helyén feltüntetı forgatható napi-ívkorongjához Magyar Földrajzi Intézet Részvénytársaság, Budapest, 15 p. Kramer, W. (1927): Zeichnerische Lösung der Grandaufgaben der mathematischen Erd- und Himmelskunde Zeitschrift für physikalischen und chemischen Unterricht 40, p Lóskay, M. (1902): A Nap helyzete az égen az év minden órájában, a földgömb bármely pontján Magyar Földrajzi Intézet R. T. Budapest, 1 p. Lietzmann, W. (1949): Elementare Kugelgeometrie mit numerischen und konstruktiven Methoden Vanderhoeck & Ruprecht, Göttingen, 292 p. Marik, M. (1989): Csillagászat Akadémiai Kiadó, Budapest, 867 p. Meyer, H. (1934): Neue konstruktive Lösungen einiger Aufgaben aus der mathematischen Himmelkunde Zeitschrift für physikalischen und chemischen Unterricht 47, p Meyer, H. (1937): Zeichnerische Lösungen von Aufgaben aus der mathematischen Erdkunde Unterrichtsblätter für Mathematik und Naturwissenschaften 43, p Sigl, R. (1969): Ebene und Sphärische Trigonometrie mit Anwendungen auf Kartographie, Geodäsie und Astronomie Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main, 473 p. Thomas, W. (1939): Ein Beitrag zur zeichnerischen Behandlung von Aufgaben aus der mathematischen Himmelskunde Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht 70, p