T T A. Természettudományi. alapismeretek. Segédlet a. című tárgyhoz. matematika geometria fizika. Összeállította:

Átírás

1 T T A Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz matematika geometria fizika Összeállította: Árvainé Molnár Adrien Kézi Csaba Kocsis Imre Szíki Gusztáv Áron Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar 011

2 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika -. oldal matematika 1. hét Számok, műveletek I. Számhalmazok, összeadás, kivonás, szorzás, osztás, hatványozás, gyökvonás, a műveletek tulajdonságai. Közönséges törtek, tizedes törtek. A logaritmus fogalma és a rá vonatkozó azonosságok.. hét Számok, műveletek II. Normál alak, nevezetes középértékek és alkalmazásaik. Százalékszámítás. A hatványozással kapcsolatos azonosságok. A Pascal háromszög használata. 3. hét Hatványfüggvények, polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek Függvényekkel kapcsolatos alapvető fogalmak. Valós függvények ábrázolása. Néhány hatványfüggvény grafikonja, alapvető tulajdonságai. n-ed fokú polinom fogalma. Polinomegyenletek megoldása, polinomosztás. 4. hét Exponenciális és logaritmus függvények, egyenletek és egyenlőtlenségek 5. hét Trigonometrikus függvények és egyenletek 6. hét Vektorok, derékszögű koordinátarendszer, koordinátageometria Vektorműveletek geometriai értelmezése. Derékszögű koordinátarendszer. Műveletek végrehajtása koordinátákkal. Vektor nagysága. Vektor vetületei. Koordinátatengelyekkel bezárt szög. Pontok távolsága. Vektorok szöge. Szakasz arányos felosztása. Háromszög súlypontja. Síkbeli ponthalmazok megadása (egyenes, kör), metszési feladatok.

3 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 3. oldal Számok, műveletek I. Számhalmazok A természetes számok halmaza: N = {1; ; 3; } Ha m és n természetes szám, akkor az m + x = n egyenlet nem feltétlenül oldható meg a természetes számok halmazán. Példa: 6+x=. Az egész számok halmaza: Z = N {0} { n nn} Ha m és n egész szám, akkor az m x = n egyenlet nem mindig oldható meg az egész számok halmazán. Példa: 6x=. A racionális számok halmaza: Q = p pz, qz\{0} q Ha m racionális szám, akkor az x =m egyenlet nem feltétlenül oldható meg a racionális számok halmazán. Példa: x =. Ha ugyanis az x = egyenlet megoldható lenne, akkor lenne olyan pz és olyan qz\{0}, hogy p = q teljesülne. Ekkor az egyenlőség bal oldalán a páros hatványon, míg az egyenlőség jobb oldalán páratlan hatványon szerepelne a prímtényezős felbontásban. Így jutottunk el középiskolában a valós szám fogalmához: R = QQ a valós számok halmaza, ahol Q : = R\Q = {x x nem írható fel két egész szám hányadosaként} az irracionális számok halmaza. Használni fogjuk még az R + és az R jelöléseket a pozitív valós számok, illetve a negatív valós számok halmazára. Példák

4 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 4. oldal Egy mennyiség értékének rögzítése a mértékegység és a mérőszám megadásával történik. Példa Egy test tömege lehet 3,4 g, ahol g (gramm) a mértékegység, 3,4 a mérőszám. Az elméleti (pontos) számításoknál a mérőszámok a valós számok halmazának elemei. A valós számok halmaza megfelel a számegyenesnek, a valós számok és a számegyenes pontjai kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetők egymásnak. A valós számok halmazánál szűkebb halmaz nem lenne alkalmas bármely mennyiség pontos leírására. Ha például a racionális számok halmazát akarnánk csak használni, akkor nem tudnánk pontosan leírni az 1 m oldalhosszúságú négyzet átlójának hosszát sem. (Az átló hossza, ami nem racionális szám.) A gyakorlatban azonban a valós számok halmazánál sokkal szűkebb halmaz elemeit használunk mérőszámként, hiszen az elvárt pontosság mindig véges. Ha az adatokat tizedes tört formában kezeljük, akkor kerekítünk, és a racionális számokon belül is csak egy szűk részhalmaz elemeit használjuk: azokat a számokat, melyek néhány számjeggyel leírhatók. A műszaki problémák megoldásakor általában elegendő a 4 értékes számjegy, de nagy pontosságú számítások esetén szükség lehet akár 10 értékes számjegyre is. Példa Ha egy gerendát megadott hosszúságúra kell levágni, és a mérőszalag, valamint a vágás mm pontosságú, akkor nincs értelme annak, hogy az előírt méretet például,13568 m-nek adjuk meg, ami ezred milliméteres pontosságot igényelne. Néhány elnevezés és megállapítás a négy alapművelettel kapcsolatban: összeadás Amiket összeadunk, azok a tagok. Például a p+x+5 összeadásban a p, az x és az 5 a tagok. Az összeadás eredménye az összeg. Az összeadás kommutatív művelet, azaz x+y = y+x bármely x és y szám esetén. Az összeadásnak a 0 egységeleme, azaz x+0 = x bármely x szám esetén. Több szám összegének felírására használatos a szumma jel, amennyiben a tagok egy közös képlet segítségével írhatók fel. Példa 7 i=3 (i 1) 3 = szorzás Amiket összeszorzunk, azok a tényezők. Például a px5 szorzásban a p, az x és az 5 a tényezők. A szorzás eredménye a szorzat. A szorzás kommutatív művelet, azaz xy = yx bármely x és y szám esetén. A szorzásnak az 1 egységeleme, azaz x1 = x bármely x szám esetén. Több szám szorzatának felírására használatos a produktum jel, amennyiben a tényezők egy közös képlet segítségével írhatók fel. Példa (3k + ) i=0 = 5 8

5 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 5. oldal kivonás A kivonás az összeadásból és a szorzásból származtatható: a b = a + ( 1) b A kivonás eredménye a különbség. A kivonás nem kommutatív művelet, általában a b b a. osztás Az osztás nem végezhető el korlátlanul: a valós számok között: 0-val való osztásnak nincs értelme. Az osztás eredménye a hányados. Az osztás nem kommutatív művelet, általában a: b b: a, avagy a b b a. A + és műveleti jelek egyben a számok előjelének jelölésére is szolgálnak. A műveleti jeleket tartalmazó kifejezések leírásakor figyelni kell arra, hogy két műveleti jel nem kerülhet közvetlenül egymás mellé, zárójelet kell alkalmazni: például 4(-5) helyes írásmód, 4-5 nem helyes. A műveleteknek erősorrendje van, amit a kifejezések kiszámításakor figyelembe kell venni. A szorzás és az osztás magasabb rangúak, mint az összeadás és a kivonás. A szorzás és az osztás egymás közt egyenrangúak, az összeadás és a kivonás egymás közt szintén egyenrangúak. Egyenrangú műveletek végrehajtása balról jobbra történik. Ha ettől el akarunk térni, akkor zárójelet kell alkalmazni. Példa 34+5=17, de 3(4+5)=7 Tizedes törtek Tízes számrendszerben a számokat a 10 hatványainak segítségével állítjuk elő. Példa 384 = Tört szám esetén tizedes tört alakot használunk, melyben tizedek, századok, stb. is megjelennek. Példa 384,547 = ,1 + 40, , ,0001 A 384,547 tizedes tört egész része: 384, tört része: 0,547 A tizedes törteket a törtrészük alapján három csoportba lehet sorolni: véges tizedes törtek végtelen, szakaszos tizedes törtek végtelen, nem szakaszos tizedes törtek Véges tizedes törtek: a törtrész felírható véges sok számjeggyel (a racionális számok egy része véges tizedes tört formában felírható). Példa 384,547

6 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 6. oldal Végtelen szakaszos tizedes törtek: Példa a törtrész nem írható fel véges sok számjeggyel, de véges sok számjegy után egy számjegycsoport ismétlődik (azok a racionális számok, melyek nem írhatók fel véges tizedes tört formában, végtelen szakaszos tizedes tört formájúak). Az ismétlődő csoportot a számjegyei fölé tett pontokkal szoktuk jelölni = 5, = 5,113 6, 10 9 = 1,11111 = 1, 1 A 9 -re végződő végtelen szakaszos tizedes törteknek véges tizedes tört alakjuk is van. A racionális számoknak véges, vagy végtelen, szakaszos tizedes tört alakjuk van. Példa 0, 9 = 1, 1,49 = 1,43 Végtelen nem szakaszos tizedes törtek: Példa azok a valós számok, melyek nem tartoznak az előző két kategória egyikébe sem. és π irracionális számok Az irracionális számok tizedes tört alakja végtelen, nem szakaszos. Bármely valós szám kerekítés után egész, vagy véges tizedes tört alakú. Példa A ,4963 szám különböző kerekített értékei: Példák Tizedes törtekkel végzett írásbeli műveletek: 1 7 5, , , , , , , 1-1 4, , 6 3, 4 6, , , : = 3, visszaszorzás 0 8 4, , tizedesvessző! visszaszorzás 0

7 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 7. oldal Közönséges törtek Közönséges törtről akkor beszélünk, ha a számot egy egész szám (p) és egy pozitív egész szám hányadosaként írjuk fel: p q, q > 0. p a számláló, q a nevező Ha x egy egész szám, akkor szükség esetén lehet x alakban közönséges törtként is írni. 1 Két közönséges tört összeszorzása A p és az r közönséges törtek szorzata q s p q r s = p r q s vagyis a számlálót a számlálóval, a nevezőt a nevezővel kell összeszorozni. Közönséges tört szorzása egész számmal, vagy tizedes törttel A p q közönséges tört, és az x szám szorzata p q x = p x q, vagyis az x számmal a számlálót kell megszorozni. Ezt úgy is el lehet képzelni, hogy az x számot x alakú közönséges törtnek tekintjük, és 1 alkalmazzuk a két közönséges tört összeszorzására vonatkozó szabályt. A p közönséges tört reciproka, q ha p 0. q p Világos, hogy egy törtnek és a reciprokának szorzata 1. (Reciprok minden nullától különböző x valós számhoz rendelhető: az 1 formula szerint.) x Két közönséges tört osztása A p és az r közönséges törtek hányadosa (ha r 0) q s p q : r s = p q s r, vagyis törttel osztani úgy kell, hogy szorozni kell a reciprokával. Közönséges tört osztása egész számmal, vagy tizedes törttel A p q közönséges tört, és az x szám hányadosa (ha x 0) p q : x = p q x = p: x q, vagyis az x számmal meg kell szorozni a nevezőt, vagy el kell osztani a számlálót. Ezt úgy is el lehet képzelni, hogy az x számot x alakú közönséges törtnek tekintjük, és 1 alkalmazzuk a két közönséges tört osztására vonatkozó szabályt.

8 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 8. oldal A számításokban gyakran előfordulnak az alábbi (ún. emeletes törtekre vonatkozó) átalakítások, melyek összhangban vannak a fentiekkel: p q r s = p q s r, p r s = p s p r, q r = p q r Az előbbi formulákból látható, hogy több törtvonal esetén világosan kell érzékeltetni, hogy melyik az ún. fő törtvonal. Ennek az egyenlőség jellel kell egy magasságban lenni. Közönséges törtek egyszerűsítése és bővítése Könnyen belátható, hogy p s = p, ha s 0. q s q Ez a formula úgy fogalmazható meg, hogy egy közönséges tört értéke nem változik meg, ha a számlálóját és a nevezőjét ugyanazzal a nullától különböző számmal osztjuk (egyszerűsítés), vagy szorozzuk (bővítés). Két közönséges tört összeadása azonos nevező esetén A p és az r közönséges törtek összege q q p q + r q = p + r q, vagyis azonos nevezőjű törtek esetén össze kell adni a számlálókat, a nevező változatlan. (A fenti formulát fordítva olvasva látható, hogy ha a számlálóban több tag van, akkor azokat külön-külön elosztva a nevezővel, az eredeti törtet egyszerűbbekre bonthatjuk.) Két közönséges tört összeadása különböző nevező esetén A p és az r közönséges törtek összege q s p q + r s = p s q s + r q s q = p s + r q, q s vagyis különböző nevezőjű törteket először úgy kell bővíteni, hogy a két nevező egyforma legyen (közös nevezőre hozás), és ez után alkalmazható az azonos nevezőjű törtek összeadása. Legegyszerűbb az eredeti nevezők szorzatát alkalmazni közös nevezőként, bár sok esetben lehet ennél kisebb közös nevezőt is találni. Példa = = = = 3 4 = 9 96 = 3 4

9 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 9. oldal Hatvány, gyök, logaritmus Hatvány pozitív egész kitevővel Ha n pozitív egész szám, x valós szám, akkor x n = xx x x: alap, n: kitevő Hatvány negatív egész kitevővel Ha n pozitív egész szám és x 0, akkor (n db szorzótényező) Példa x n = 1 x n 5 3 = = 1 15, 10 5 = = = 0,00001 Hatvány 0 kitevővel Ha x 0, akkor x 0 = 1. Hatvány tört kitevővel, gyökvonás Ha x egy pozitív szám, n pedig egy pozitív egész szám és x n = y, akkor azt mondjuk, hogy x az y n-edik gyöke. n Jelölése: x = y Példa x = x 1, 3 x, vagy x = y 1 n. = x 1 4 3, x = x 1 4, = 8 = A gyökvonás fenti értelmezésében csak a pozitív számokra szorítkoztunk, ahol a gyökvonás egyértelműen elvégezhető. Az x n = y típusú egyenletekben (y ismert, x ismeretlen) nem feltétlenül kell élnünk az x>0, y>0 feltételezéssel, így a megoldások száma nem feltétlenül egy. Az alábbiakban áttekintünk néhány esetet: Páros n esete: Ha y<0, akkor nincs megoldás. Páratlan n esete: Egy megoldás van. Példa x 4 = -3 Példa x 3 = -8 megoldása: x=-. Ha y=0, akkor egy megoldás van. Példa x 4 = 0 megoldása: x=0 Ha y>0, akkor két megoldás van. Példa x 4 = 16 megoldásai: x1=-, x=

10 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Ha p q egy közönséges tört és x>0, akkor Példa = 8 = = 4, = p x q = q p x = = 1 7 A hatványozás néhány tulajdonsága Ha x>0, y>0, továbbá n és k racionális szám, akkor x n x k = x n+k x n x k = xn k (x n ) k = x n k (x y) n = x n y n x y n = xn Mivel a kitevők racionális számok is lehetnek, ezek a képletek egyben a gyökvonás tulajdonságait is megadják. Így, ha x>0, y>0, továbbá n és k pozitív egész szám, akkor n x k x y n = x 1 n x 1 k = x 1 n +1 k = x k+n n k n k = x k+n n k k x x n = x1 n x 1 k x = x 1 n = x 1 n 1 k = x k n n k n k = x k n 1 k 1 = x n 1 k = x 1 n k n k = x n x y = (x y) 1 n = x 1 n y 1 n n = x n y n x y = x y 1 n = x 1 n y 1 n n = x n y A logaritmus Ha a,b > 0 és a 1, akkor az a x = b egyenlet megoldását log a b vel jelöljük. Szavakkal elmondva: a alapú logaritmus b azt a hatványkitevőt jelöli, melyre a-t kell emelni, hogy b-t kapjunk, azaz: a log a b = b) A definíció következménye, hogy ha a > 0 és a 1, akkor log a 1 = 0, log a a = 1. A logaritmus azonosságai: log a (x y) = log a x + log a y (x, y, a > 0, a 1) x log a y = log a x log a y (x, y, a > 0, a 1) log a x k = k log a x (x, a > 0, a 1, kr)

11 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Számok, műveletek II. Normál alak A p10 k alakú szorzat, melyben 1 p<10, k pedig egy egész szám normál alaknak nevezzük. p: mantissza, k: karakterisztika Minden valós számnak van normál alakja. Példa 3, = 384,547 A k értéke adja a szám nagyságrendjét. Így pl. az, hogy egy y szám 3 nagyságrenddel nagyobb az x számnál azt jelenti, hogy y kb szer akkora, mint az x. Normál alakú számok szorzása A p10 k alakú és a q10 s normál alakú számok szorzata (p10 k ) (q10 s ) = pq10 k+s, vagyis a mantisszákat össze kell szorozni, a karakterisztikákat pedig össze kell adni. Példa ,410 6 = Normál alakú számok összeadása Az összeadás előtt a számokat vissza kell írni tizedes tört alakba, vagy olyan alakba, ahol a 10 hatványkitevője azonos: Példa A 4, ,110 6 összeadás két lehetséges elvégzési módja: 1, 4, ,110 6 = = = 9,5510 6, 4, ,110 6 = 4, = 95,510 5 = 9,5510 6

12 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 1. oldal Számtani közép (átlag) Középértékek Az x 1, x,, x n számok számtani közepe (átlaga): x 1 + x + + x n n n = 1 n x i i=1 Súlyozott számtani közép Az x 1, x,, x n számoknak a p 1, p,, p n pozitív számokkal (súlyokkal) képzett súlyozott számtani közepe (átlaga): p 1 x 1 + p x + + p n x n p 1 + p + + p n = n i=1 n i=1 p i p i x i. Ha a p 1, p,, p n (pozitív) súlyok összege 1, akkor a fenti formula leegyszerűsödik: Mértani közép p 1 x 1 + p x + + p n x n = Az x 1, x,, x n nemnegatív számok mértani közepe: n i=1 p i x i. n x 1 x x n n n = x i. i=1 Harmonikus közép Az x 1, x,, x n pozitív számok harmonikus közepe: n 1 x x = x n Négyzetes közép Az x 1, x,, x n nemnegatív számok négyzetes közepe: n 1 n i=1 x i x 1 + x + + x n n = n i=1 x i n Könnyen belátható, hogy az x 1, x,, x n számok bármelyik közepe a legkisebb és a legnagyobb érték közé esik. Ha speciálisan az összes szám egyenlő, akkor mindegyik közepük egyenlő ezzel az értékkel. Ha x 1, x,, x n pozitív számok harmonikus, mértani, számtani és négyzetes közepét H, M, S és N jelöli, akkor fennáll, hogy H M S N

13 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Százalékszámítás Törtrész kiszámítása: egy x szám 3 -ad részének kiszámítása: x 3. A százalékszámítás is törtrész kiszámítását jelenti: p% jelentése p Például egy x szám 35%-ának, azaz 35 Példa Ft 35%-a: ,35 = (Ft) 100 -ad rész. 35 -ad részének kiszámítása: x = x 0, A százalékszámítás alapképlete, mellyel lényegében bármely százalékszámítási feladat megoldható: százalék alap százalék láb 100 = százalék érték A képlet alapján a százalék alap, százalékláb és a százalékérték közül bármelyik kettőből a harmadik kiszámítható. Egy feladat megoldásának legfontosabb lépése, hogy azonosítsuk, hogy a rendelkezésre álló adatok közül melyik százalék alap, százalékláb vagy a százalékérték, illetve hogy melyiket kell kiszámítani. Példa Mennyi 1-nek a 30%-a? Itt a százalékalap 1, a százalékláb 30, és a százalékértéket kell kiszámítani. Válasz: x 30 = 1 0,3 = 3, Példa Hány %-a 88 a 40-nek? Itt a százalékalap 40, a százalékérték 88, és a százaléklábat kell kiszámítani. Válasz: 40 p = p = = 10, tehát 88 a 40-nek 10%-a. A százalékszámítás egyik gyakori alkalmazása a kamatszámítás. Ha az egy éves kamat p% (vagyis a kamatláb p), akkor a bankban elhelyezett T összegre (tőkére) egy év elteltével p kapott kamat T, a kamattal növelt összeg pedig T + T p =.1 + p / T Ha a kamat évenként tőkésedik, akkor n év elteltével a rendelkezésre álló összeg: Példa.1 + p 100 / n T Ft tőke 7% éves kamat és évenkénti tőkésedés mellett 6 év elteltével (egész forintra kerekítve): forintot ér = 1, =

14 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Többtagú összeg hatványozása, néhány azonosság Kéttagú összeg hatványaira vonatkozó formulákat a binomiális tétel adja, melyet nem részletezünk, mivel ez a későbbi tanulmányok része lesz. Itt csak a második, a harmadik és a negyedik hatvány esetét mutatjuk be. (A binomiális tétel ismeretében nem szükséges ezeket a képleteket fejben tartani, mivel az általános sémából könnyen levezethetők.) (a+b) = a + ab + b (a+b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 Megjegyzésként megadjuk a háromtagú összeg második hatványára vonatkozó formulát is. (a+b+c) = a + b + c + ab + ac + bc A szorzattá alakításban gyakran alkalmazzuk az a n b n = (a-b)( a n-1 + a n- b + a n-3 b + + a b n-3 + ab n- + b n-1 ) azonosságot, mely minden n pozitív egész szám esetén fennáll. a b = (a-b)(a+b) a 3 b 3 = (a-b)( a +ab+b ) A felsorolt azonosságok bármelyike könnyen ellenőrizhető a műveletek elvégzésével. Binomiális tétel: Ha n nemnegatív egész szám, akkor ahol n! = 1 3 n,. n k / = n!, 0! = 1. k! (n k)! Példa n (a + b) n =. n k / an k b k (a + b) =. k / a k b k =. 0 / a b / a1 b 1 +. / a0 b k=0 k=0 =! 0!! a +! 1! 1! a b +!! 0! b = a + ab + b A Pascal háromszög

15 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Ha n nemnegatív egész szám, a háromszög n+1-edik sorában (a+b) n együtthatói olvashatók ) ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( b a b a b a b a b a A háromszög soraiban a fentieknek megfelelően binomiális együtthatók vannak.

16 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Függvények, egyenletek, egyenlőtlenségek Függvények Függvény két halmaz elemei közötti kapcsolat. Sokan azt hiszik, hogy a függvény nem más, mint egy görbe egy síkbeli koordinátarendszerben. Példa Legyen A az emberek halmaza, B az anyák halmaza. Ha minden emberhez hozzárendeljük az anyját, akkor egy függvényt kapunk. (Próbálja meg valaki ezt a függvény ábrázolni derékszögű koordinátarendszerben!) Példa Legyen A a téglalapok halmaza, B a pozitív valós számok halmaza. Ha minden téglalaphoz hozzárendeljük a területét, akkor egy függvényt kapunk. A leggyakrabban előforduló függvények számokhoz számokat rendelnek, ezekkel találkozunk leghamarabb a tanulmányaink során. Ezeket természetesen ábrázolhatjuk, sőt sokszor éppen azzal a céllal adunk meg egy függvényt, hogy azzal egy görbét azonosítsunk. Egy függvény az értelmezési tartományának minden eleméhez pontosan egy elemet rendel hozzá az értékkészletének elemei közül. Az értelmezési tartomány elemeit szokás helyeknek, az értékkészletének elemeit pedig értékeknek nevezni. A műszaki problémák esetén az adott feltételekből, körülményekből következik, hogy a folyamatot leíró függvényeknek mi az értelmezési tartománya. Az értelmezési tartomány gyakran az idő. Ebben az esetben az értelmezési tartomány nyilvánvalóan a mérés időtartama. Azt, hogy egy függvény a 6 számhoz a számot rendeli így jelöljük: 6. Ha f a függvény neve, akkor ugyanezt így jelöljük: f(6)= A hozzárendelést megadhatjuk az összetartozó párok felsorolásával, ha a függvény értelmezési tartománya véges sok elemet tartalmaz.

17 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Példa A függvényeket általában képlettel adjuk meg. A képlet azt mutatja meg, hogy az értelmezési tartománybeli x elemhez ( bemenő adat ) a függvény mely elemet rendeli az értékkészletből ( kimenő adat ). Ilyenkor azt is meg kell mondani, hogy melyik halmaz az értelmezési tartomány. Példa x x + 5x, x[-1,1] vagy, ha g a függvény neve: g(x) = x + 5x, x[-1,1] A g függvény néhány értéke: x (hely) -0,5, 6 8, ,6 g(x) (érték) -,5 15, , ,56 A matematikai tanulmányok minden részében központi szerepe van a függvényeknek. Az alkalmazások többségében néhány alapvető függvény szerepel. A problémák megoldásához tudnunk kell, hogy ezek a függvények milyen tulajdonságokkal rendelkeznek. A későbbiekben megadjuk néhány alapvető függvény grafikonját. (Ezeket a képeket nem kell memorizálni, de szükség esetén a hozzárendelési szabály alapján fel kell tudni rajzolni.) Egyenlet alatt egy (*) f(x)=g(x) Egyenletek, egyenlőtlenségek alakú szimbólumot értünk, ahol f és g valamilyen valós függvények, s egy ilyen egyenlet megoldáshalmaza alatt mindazon x valós számok halmazát értjük, amelyek beletartoznak az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részébe és amelyekre teljesül a (*)

18 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal egyenlőség. Egyébként az f és g függvények értelmezési tartományainak közös részét szokás az egyenlet értelmezési tartományának nevezni. Mindez az egyenlőtlenségekkel kapcsolatban is szó szerint megismételhető, ha (*)-ban az = jelet a,, <, > jelek valamelyikével helyettesítjük. Ha két egyenletnek, vagy egyenlőtlenségnek ugyanaz a megoldáshalmaza, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenlet, vagy egyenlőtlenség ekvivalens. Ha egy egyenlet, vagy egyenlőtlenség megoldáshalmazának keresése közben az egyes lépésekben az előzővel ekvivalens egyenletet kapunk, akkor azt mondjuk, hogy ekvivalens átalakításokat végeztünk. Hatványfüggvények Az xx n típusú függvényeket, ahol n racionális szám hatványfüggvényeknek nevezzük. A változó (x) a hatványkifejezés alapjában van! A hatványfüggvények értelmezési tartománya az n értékétől függően lehet a valós számok halmaza, a nemnegatív valós számok halmaza, vagy R \{0}. xx Függvény f(x)=ax+b (a 0) Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely xr f(x)r x = b a Növekedés Szélsőérték szigorúan monoton növekvő, ha a>0, szigorúan monoton csökkenő, ha a<0 nincs

19 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal xx xx 3 Függvény f(x)=a x (a 0) Értelmezési tartomány xr Értékkészlet f(x) R + *0+, ha a>0 Zérushely x=0 Növekedés Szélsőérték f(x) R *0+, ha a<0 a>0 esetén: szigorúan monoton növekvő, ha x>0, szigorúan monoton csökkenő, ha x<0 a<0 esetén: szigorúan monoton növekvő, ha x<0, szigorúan monoton csökkenő, ha x>0 a>0 esetén x=0 minimumhely, a<0 esetén x=0 maximumhely x x 1 = 1 x x x = 1 x

20 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 0. oldal Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushely Növekedés Szélsőérték f(x) = 1 x x R\*0+ f(x) R\*0+ nincs szigorúan monoton csökkenő, ha x<0; szigorúan monoton csökkenő, ha x>0 nincs x x 3 x x Függvény f(x) = x Értelmezési tartomány x R + *0+ Értékkészlet f(x) R + *0+ Zérushely x=0 Növekedés szigorúan monoton növekvő Szélsőérték x=0 minimumhely Polinomok, algebrai egyenletek és egyenlőtlenségek n-ed fokú polinom Ha an,..,a0 rögzített valós számok és an 0, akkor P(x)=anx n +an-1x n-1 + +a1x + a0 módon értelmezett függvényt n-ed fokú polinomnak nevezzük. A legmagasabb fokú tag együtthatóját a polinom főegyütthatójának mondjuk. Ha az an,..,a0 együtthatók egyike sem nulla, teljes n-ed fokú polinomról, ellenkező esetben hiányos n-ed fokú polinomról beszélünk. Ha valamely x0 valós szám esetén P(x0)=0, akkor x0-at a P(x) polinom zérushelyének, vagy a P(x)=0 egyenlet gyökének nevezzük. Ezért ha a P(x) polinomot ábrázoljuk, akkor a P(x) polinom képe azokon az x1,...xn, helyeken metszi az x tengelyt melyekre P(x1)=0,.., P(xn)=0.

21 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 1. oldal Példa A P(x)=5x 3-4x +7x-9 polinom egy teljes harmadfokú polinom. A Q(x)=6x 4-3x 3-5 polinom egy hiányos negyedfokú polinom. Legyen adott egy P(x) polinom, illetve az általa meghatározott P(x)=0 algebrai egyenlet. Megoldóképletnek nevezünk egy olyan képletet, vagy eljárást, amely az egyenlet együtthatóiból a négy alapművelet, az egész kitevőjű hatványozás és a gyökvonás segítségével véges sok lépésben származtatja az egyenlet gyökeit, vagy bizonyítja annak megoldhatatlanságát. Másod-, harmad- és negyedfokú egyenletekre vannak megoldó képletek, ennél magasabb fokúakra azonban bizonyítottan nincsenek, ezért az ötöd- vagy magasabb fokú polinomegyenleteket csak abban az esetben tudunk megoldani, ha az egyenlet alakja speciális. Bármely másodfokú egyenlet rendezéssel az ax + bx + c=0 alakra hozható. Ezt az alakot a másodfokú egyenlet 0-ra rendezett, vagy 0-ra redukált alakjának nevezzük. Másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek Másodfokú polinom P(x) = ax + bx + c ahol a 0. Másodfokú polinom grafikonja parabola, mely a>0 esetben felfelé nyílt, a<0 esetben lefelé nyílt. A grafikonnak az x tengellyel 0, 1 vagy közös pontja van, vagyis egy másodfokú polinomnak 0, 1 vagy zérushelye van. Másodfokú egyenlet ax + bx + c = 0 Másodfokú egyenlet megoldása nem más, mint a baloldalon lévő másodfokú polinom zérushelyeinek megkeresése. A fentiekből következik, hogy egy másodfokú egyenletnek 0, 1 vagy megoldása van. Diszkrimináns: D = b 4ac A másodfokú egyenletnek csak akkor van valós megoldása, ha a diszkrimináns értéke nem negatív, azaz ha b 4ac.

22 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika -. oldal Megoldóképlet: b ± b 4ac a = b ± D a A megoldóképlet a diszkrimináns értékétől függően 0, 1 vagy valós megoldást (gyököt) ad: Ha D<0, akkor nincs valós megoldás. Ha D=0, akkor egy valós megoldás van. Ha D>0, akkor két valós megoldás van. Példa x + 10x + 1 = 0 D= =4 Gyöktényezős felbontás x 1 = = 3, x = = Az ax +bx+c másodfokú polinom gyöktényezős felbontását illetően három eset van annak megfelelően, hogy a megfelelő ax +bx+c=0 egyenletnek hány gyöke van. Ha az egyenletnek egy gyöke van: x0, akkor (ekkor ún. teljes négyzet alakról beszélünk) ax + bx + c = a(x- x0) Ha az egyenletnek két gyöke van: x1 és x, akkor ax + bx + c = a(x- x1)(x-x) Ha az egyenletnek nincs gyöke, akkor nincs gyöktényezős felbontás. A gyökök és az együtthatók összefüggései Másodfokú egyenlőtlenségek x 1 + x = b a, x 1x = c a ax + bx + c 0, ax + bx + c > 0 ax + bx + c 0, ax + bx + c < 0 Egy másodfokú egyenlőtlenség a megfelelő egyenlet megoldása, és a másodfokú polinom grafikonjáról készítet vázlat alapján könnyen megoldható.

23 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 3. oldal Az ax + bx + c 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében: Az ax + bx + c 0 egyenlőtlenség megoldáshalmaza a grafikon elhelyezkedésének hat különböző esetében: Magasabb fokú polinomegyenletek Magasabb fokú polinomok zérushelyeinek megkeresésére különféle módszerek vannak. Polinomegyenletek megoldásakor hasznosak lehetnek az alábbi megállapítások: Az ax n +bx n +c=0 (nn) alakú egyenletek megoldása visszavezethető másodfokú egyenlet megoldására a p=x n helyettesítéssel. (Először a ap +bp+c=0 egyenletet kell megoldani, majd a p=x n egyenletet.) Az anx n +an-1x n a1x+ao egyenlet egész megoldásait az ao (pozitív és negatív) osztói között kell keresni (természetesen ilyenek nem mindig vannak) Az anx n +an-1x n a1x+ao polinomnak akkor és csak akkor gyöke az 1, ha az együtthatóinak összege 0, azaz an+an a1+ao=0 Egy polinomnak akkor és csak akkor gyöke a -1, ha a páros indexű együtthatóinak összege egyenlő a páratlan indexű együtthatóinak összegével Ha a P polinomnak gyöke a c szám, akkor P a következő alakba írható: P(x)=(x-c)Q(x), ahol Q egy a P-nél eggyel alacsonyabb fokszámú polinom. Az utóbbi megállapítás szerint ha egy n-edfokú polinom k db gyökét ismerjük, akkor az esetleges további gyökök keresése visszavezethető egy (n-k)-adfokú polinom gyökeinek keresésére.

24 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 4. oldal A polinomok gyökeivel kapcsolatos az ún. gyöktényezős felbontás. Minden polinom felbontható elsőfokú és valós gyökkel nem rendelkező másodfokú tényezők szorzatára: P(x) = a (x c 1 ) α 1 (x c n ) α n (x + p 1 x + q 1 ) β 1 (x + p k x + q k ) β k Egy (x-c) tényező pontosan akkor szerepel a P felbontásában, ha a c gyöke P-nek, azaz P(c)=0. Ezért a fenti felbontásában szereplő (x-ci) tényezőket a ci gyökökhöz tartozó gyöktényezőknek (i=1,...n), magát a felbontást gyöktényezős felbontásnak nevezzük. Példa Határozzuk meg a P(x) = x 3 -x -x+1 harmadfokú polinom gyökeit, ill. a gyöktényezős felbontását! Ehhez az x 3 -x -x+1=0 harmadfokú polinomegyenletet kell megoldani. Így a P polinom felbontása: P(x) = ( x 1 ) Q(x) = ( x 1 ) ( x 1 ) A Q(x) = x 1 másodfokú polinom tovább bontható, így a P gyöktényezős felbontása: P(x) = (x 1) (x 1) (x + 1) = (x 1) (x + 1) A gyökök pedig: x1= 1 (kétszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: (x 1) x= -1 (egyszeres gyök), a megfelelő gyöktényező: (x + 1)

25 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 5. oldal Exponenciális függvények Exponenciális és logaritmusfüggvények x x x 1 x Függvény f(x) = a x (a > 0, a 1) Értelmezési tartomány x R Értékkészlet f(x) R + Zérushely Növekedés Szélsőérték nincs 0<a<1 esetén szigorúan monoton csökkenő, a>1 esetén szigorúan monoton növekvő nincs Logaritmus függvények xlogx xlog0,5x

26 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 6. oldal Függvény f(x) = log a x (a > 0, a 1) Értelmezési tartomány x R + Értékkészlet f(x) R Zérushely x=1 Növekedés Szélsőérték 0<a<1 esetén szigorúan monoton csökkenő, a>1 esetén szigorúan monoton növekvő nincs Az exponenciális és a logaritmus függvények kapcsolata Exponenciális és logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek Exponenciális egyenletek Az exponenciális egyenletek olyan egyenletek, melyekben az ismeretlen a kitevőben szerepel. A legegyszerűbb exponenciális egyenlet: a f(x) =b alakú, ahol a>0, b>0 és f valamilyen adott valós függvény. Ha a 1, akkor f(x) = log a b, ami már nem exponenciális egyenlet. Ha a=1, akkor két eset van: b=1 vagy b 1. Ha a=1 és b=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f értelmezési tartományához tartozik. Ha a=1 és b 1, akkor nincs megoldása az egyenletnek. Másik ilyen alaptípus az a f(x) = a g(x), ahol a>0, f és g valamilyen adott valós függvények.

27 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 7. oldal Ha a=1, akkor minden olyan valós szám megoldás, amely az f és g értelmezési tartományainak közös részébe tartozik. Ha a 1, akkor mindkét oldal a alapú logaritmusát véve az f(x)=g(x) egyenlethez jutunk. Logaritmusos egyenletek A logaritmusos egyenlet olyan egyenlet, melyben az ismeretlen valamilyen logaritmus változójában szerepel. A legegyszerűbb logaritmusos egyenlet: logaf(x)=b alakú, ahol a>0, a 1 és f valamilyen adott valós függvény. Az egyenlet értelmezési tartománya az f függvény értelmezési tartományának azon része, amelyen f pozitív értékeket vesz fel. A logaritmus definícióját használva f(x)=a b. Másik alaptípus log a f(x) = log a g(x), ahol a>0, a 1 valamint f és g adott valós függvények. Az egyenlet értelmezési tartománya az f és g függvény értelmezési tartományai metszetének azon része, amelyen f és g is pozitív értékeket vesz fel. Az egyenlet mindkét oldalára az a alapú logaritmus függvény inverzét, az a alapú exponenciális függvényt alkalmazva kapjuk, hogy f(x)=g(x). Exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek Az exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségeket az exponenciális és logaritmusfüggvények szigorú monotonitását figyelembe véve (csökkenő vagy növekvő) oldjuk meg.

28 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 8. oldal Trigonometrikus függvények Nevezetes szögek szinusza és koszinusza Egy egységnyi hosszúságú vektort (pozitív forgásirányban) megforgatva a végpont koordinátái a forgatás szögének koszinuszát és szinuszát adják Nevezetes szögeknek a rajzon megjelölt szögeket nevezzük. A nevezetes szögek koszinuszai és szinuszai a 0, ± 1, ±, ± 3, ± 1 értékek valamelyikével egyenlők. A felsorolt értékek nagyságrendi sorrendben vannak, így könnyen azonosíthatók a rajzon, a tengelyeken megjelölt értékekkel.

29 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 9. oldal A rajzról bármelyik nevezetes szög koszinusza és szinusza leolvasható. Az értékeket a következő táblázat is tartalmazza: szög (fok) szög (rad) sin cos szög (fok) szög (rad) sin cos π 6 π 4 π 3 π π 3 3π 4 5π π 6 5π 4 4π 3 3π 5π 3 7π 64 11π

30 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Szög mérése Fok: a teljes szög mértéke 360 Radián: egységnyi sugarú kör esetén 1 radián az a (középponti) szög, melyhez egységnyi ívhossz tartozik Összefüggés fok és radián között : 180 = (rad) A szinuszfüggvény: f(x)=sin(x) Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek Növekedés f(x) = sin x x R sin x [ 1,1] x = k π, k Z szigorúan monoton növekvő, ha x 0 π + k π, π + k π1, k Z szigorúan monoton csökkenő, ha x π + k π, 3π + k π, k Z a minimumok helye: 3π + k π, k Z Szélsőértékek a minimum értéke: -1 a maximumok helye: π + k π, k Z a maximum értéke: 1 Paritás Periódus páratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, sin (-x)= -sin(x)) π

31 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Nevezetes szögek tangense és kotangense Az ABC és ADE derékszögű háromszögek hasonlóak, így megfelelő oldalaik aránya egyenlő: sin α cos α tg α sin α =, azaz tg α = 1 cos α A tangens függvény: f(x)=tg(x) (cos(x) 0)

32 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika - 3. oldal Függvény Értelmezési tartomány Értékkészlet Zérushelyek Növekedés Szélsőértékek Paritás Periódus f(x) = tg x x R, x π + k π, k Z tg x R x = k π, k Z szigorúan monoton növekvő, ha nincs x 1 π + k π, π + k π0, k Z páratlan (az értelmezési tartomány az origóra szimmetrikus, tg (-x)= -tg(x)) π Összefüggések derékszögű háromszögben Hasonlóan a fentiekhez, két derékszőgű háromszög hasonlóságát figyelembe véve derékszögű háromszögben az oldalak aránya: a c = sin α, b c = cos α, a b = tg α Ezek az összefüggések azt fejezik ki, hogy ha a derékszögön kívül még egy másik szög () adott a derékszögű háromszögben, akkor az oldalak aránya meghatározott. A fenti jelölésekkel, pl. az a és a b oldal arányát a tg értéke adja. (Meg kell jegyezni, hogy a fenti formuláknak a szögfüggvények definiálására való alkalmazása csak a 0 / tartományban lenne értelme.) Gyakran van arra szükség (pl. a mechanikában az erőkkel való számoláskor), hogy az átfogóból számítsuk ki az oldalakat. Ez a fentiek szerint a összefüggések alkalmazását jelenti. a = csin, b = ccos

33 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Összefüggés a trigonometrikus függvények között sin cos tg ctg sin x = - ± 1 cos x cos x = tg x = ctg x = 1sin x - sin x ± 1 sin x ± 1 sin x sin x ± 1 cos x cos x cos x ± 1 cos x tg x ± 1 + tg x 1 ± 1 + tg x - 1 tg x 1 ± 1 + ctg x ctg x ± 1 + ctg x 1 ctg x - A táblázat használata: ha például a cos függvénynek a tg függvénnyel való kifejezésére van szükség, akkor a cos x sorban és a tg oszlopban lévő formulát kell tekinteni: 1 cos x = ± 1 + tg x A jel arra utal, hogy az összefüggés az x értékétől függően két formulával adható meg. Szögek összege, különbsége, kétszerese és fele trigonometrikus függvényeinek kifejezése az eredeti szögek trigonometrikus függvényeivel x+y x y x x/ sin sinxcosy + cosxsiny sinxcosy cosxsiny sinxcosx ± 1 cos x cos cosxcosy sinxsiny cosxcosy + sinxsiny cos x sin x ± tg ctg tg x + tg y 1 tg x tg y ctg x ctg y 1 ctg x + ctg y tg x tg y 1 + tg x tg y ctg x ctg y + 1 ctg y ctg x tg x 1 tg x ctg x 1 ctg x 1 + cos x 1 cos x sin x 1 + cos x sin x A táblázat használata: ha például a cos(x y) kifejezésére van szükség az x és az y trigonometrikus függvényeivel, akkor a cos sorban és az x y oszlopban lévő formulát kell tekinteni: cos(x y) = cosxcosy + sinxsiny. További összefüggések sin x + cos x = tg x = 1 cos x sin x + sin y = sin x + y cos x y cos x + cos y = cos x + y cos x y sin x sin y = cos x + y sin x y cos x cos y = sin x + y cos x y

34 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Trigonometrikus függvények Trigonometrikus egyenletek Jelölje trig a cos, sin tg, illetve ctg függvények bármelyikét. A legegyszerűbb trigonometrikus egyenlet trig f(x) = c alakú, ahol f adott valós függvény, melynek értékkészlete részhalmaza a trig függvény értelmezési tartományának, c pedig valós szám. Ennek az egyenletnek nyilván csak akkor van megoldása, ha a c szám benne van a trig függvény értékkészletében. Ha ez teljesül, a megoldásokat az adott trigonometrikus függvény periodicitási tulajdonságát felhasználva tudjuk megadni.

35 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Koordinátageometria a síkban Pontok távolsága Az P1=(x1,y1) és a P=(x,y) pontok távolsága d(p 1, P ) = (x x 1 ) + (y y 1 ) Két pont által meghatározott vektor Az P1=(x1,y1) és a P=(x,y) pontok által meghatározott vektor: P 1 P = (x x 1, y y 1 ) Vektor hossza és szöge A v = (v x, v y ) vektor hossza: v = d(p 1, P ) = v x + v y A v = (v x, v y ) vektor szöge (az x tengely pozitív felétől pozitív forgásirányban mért szög): amennyiben vx 0. tg φ = v y v x, Egyenes meredeksége (iránytangense) Egy (az y tengellyel nem párhuzamos) egyenesen felvéve két pontot: (x1,y1) és (x,y) az m = tg α = y y 1 x x 1 értéket az egyenes meredekségének, vagy iránytangensének nevezzük.

36 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Egyenes egyenlete Itt egyenes egyenletén az y = m(x-x0) + y0 formulát értjük. Az m, az x0 és az y0 paramétereknek közvetlen geometriai jelentése van: m: meredekség (iránytangens) (x0,y0): az egyenes egy pontja Meg kell jegyezni, hogy az y tengellyel párhuzamos egyeneseknek ilyen egyenlete nincs. Az ilyen egyenesek egyenlete x=c alakú, ahol c az x tengellyel alkotott metszéspont. Az y = m(x-x0) + y0 formula átrendezésével kapott egyenletek ugyanazt az egyenest határozzák meg. Egy egyenes különböző egyenletei valójában tehát csak átrendezésben térnek el egymástól. Az egyes átrendezésekben szereplő paraméterek más-más geometriai tartalommal bírnak. A lehetséges átrendezések közül igen gyakran használjuk az y = mx + b formulát. Itt az m és a b paraméterek jelentése: m: meredekség (iránytangens) b: metszéspont az y tengellyel Példa y=x+3

37 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Egyenes egyenletének felírása különböző adatokból Az alábbi esetek mindegyikében az egyik adat az egyenes egy pontja, ami megfelel az egyenes egyenletében szereplő (x0,y0) pontnak, a másik adat pedig a következők valamelyike: egy másik pont, egy irányvektor, egy normálvektor. Mindegyik esetben kifejezhető a meglévő adatokból a meredekség, és felírható az egyenlet. 1. Két pont Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek két pontja: (x0,y0) és (x1,y1)! (Feltételezzük, hogy x0 x1) m = y 1 y 0 x 1 x 0, így az egyenes egyenlete:. Egy pont és egy irányvektor y = y 1 y 0 x 1 x 0 (x x 0 ) + y 0 Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy irányvektora (vx,vy)! (Feltételezzük, hogy vx 0) m = v y v x, így az egyenes egyenlete: y = v y v x (x x 0 ) + y 0 Szokásos a vy x- vx y= vy x0- vx y0 alakra való átírás.

38 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal 3. Egy pont és egy normálvektor Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, melynek egy pontja: (x0,y0), egy normálvektora (A,B)! (Feltételezzük, hogy B 0) m = A, így az egyenes egyenlete: B y = A B (x x 0) + y 0 Szokásos az Ax + By = Ax0 + By0 alakra való átírás, illetve az Ax + By+C =0 alak, ahol C=-( Ax0 + By0). Speciális helyzetű egyenesek egyenlete Kör egyenlete Az (u,v) középpontú, R sugarú kör egyenlete: (x-u) + (y-v) = R

39 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - matematika oldal Szakasz felezőpontja Az (x1;y1) és az (x;y) pontokat összekötő szakasz felezőpontja: F = ( x 1+x ; y 1+y ) Példa Legyen P=(;-4), Q=(3;1). Ekkor a PQ szakasz felezőpontja: F = + 3 ; 4 + 1, azaz F = 5 ; 3 Háromszög súlypontja Az A=(x1;y1), B=(x;y), C=(x3;y3) csúcspontú háromszög súlypontja: S = x 1 + x + x 3 3 ; y 1 + y + y 3 3 Szakasz általános osztó pontja Legyen P1=(x1;y1), P=(x;y) két pont, ezek helyvektorai legyenek rendre p 1 és p. A P1P szakaszt m:n arányban osztó P pont helyvektora legyen p, a P koordinátái (x;y). Ha P1P:PP=m:n, akkor p = np 1+mp m +n és x = nx 1+mx m +n, y= ny 1+my m +n

40 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal geometria 1. hét Síkgeometria I. Térelemek kölcsönös helyzete, térelemek hajlásszöge, távolsága, merőlegessége. Párhuzamossági és merőlegességi tételek. Euklideszi alapszerkesztések.. hét Síkgeometria II. A háromszög geometriája: összefüggések oldalak és szögek között; nevezetes pontok, vonalak. A kör geometriája: a kör részei, körcikk, körszelet területe. Síkidomok területe, kerülete. Síkbeli szerkezetek geometriai adatainak meghatározása. Kúpszeletek. 3. hét Térgeometria Szabályos testek. Hasáb, henger, gúla származtatása. Testek felszíne és térfogata. Térbeli szerkezetek geometriai adatainak meghatározása. Lemezek és testek felületének, tömegének számítása..

41 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Síkgeometria I. Geometriai alapfogalmak 1. Térelemek A geometria legegyszerűbb fogalmai a térelemek. Ezeket alapfogalmaknak tekintjük, és nem definiáljuk. A térelemek és általános jelöléseik: pont: A, B, C,... P, Q,... X, Y, Z latin nagybetű; egyenes: a, b, c,... p, q,... x, y, z latin kisbetű; sík: S,T,.. latin nagybetű A továbbiakban támaszkodni fogunk a szemlélet alapján magától értetődő ismereteinkre. A tér egyeneseit és síkjait is ponthalmazoknak tekintjük. Igaznak fogadjuk el például, hogy egy egyenest bármely pontja két félegyenesre bontja, egy síkot bármely egyenese két félsíkra bontja, míg a teret bármely síkja két féltérre bontja. A tér A és B pontját összekötő szakasz az A kezdőpontú és a B pontot tartalmazó, valamint a B kezdőpontú és az A pontot tartalmazó félegyenes metszete. Térelemek kölcsönös helyzete: Két egyenest a térben metszőnek mondunk, ha van közös pontjuk és nem esnek egybe. Két egyenest a térben párhuzamosnak mondunk, ha egy síkban vannak és nincs közös pontjuk, vagy ha egybeesnek. Két egyenest a térben kitérőnek mondunk, ha nincsenek egy síkban. Két síkot a térben metszőnek mondunk, ha van közös pontjuk és nem esnek egybe. Két síkot a térben párhuzamosnak mondunk, ha nincs közös pontjuk, vagy ha egybeesnek. Azt mondjuk, hogy a tér egy egyenese döfi a tér egy síkját, ha van közös pontjuk és az egyenes nem illeszkedik a síkra. A tér egy egyenesét és egy síkját párhuzamosnak mondjuk, ha nincs közös pontjuk. Összegezve: Két egyenes kölcsönös helyzete lehet metsző, párhuzamos vagy kitérő. Két sík kölcsönös helyzete lehet metsző vagy párhuzamos. Sík és egyenes kölcsönös helyzete lehet: - az egyenes illeszkedik a síkra, - az egyenes döfi a síkot, - az egyenes párhuzamos a síkkal.

42 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria - 4. oldal. A szög A szög: olyan síkrész, amelyet egy pontból kiinduló két félegyenes határol.(ha külön nem jelezzük, a két félegyenes által létrehozott szögön a létrejövő szögek közül a kisebbiket értjük.) A szöget alkotó félegyenesek a szög szárai, közös kezdőpontjuk a szög csúcsa. Szögek mérése és fajtáik. A szögeket úgy is származtathatjuk, hogy a két, közös kezdőpontú, egymást fedő félegyenes közül az egyiket a kezdőpont körül elforgatjuk. Ilyenkor forgásszögről beszélünk. Ha a mozgó szár mozgása az óramutató járásával ellenkező irányú, akkor a szöget pozitívnak, ha pedig megegyező irányú, akkor a szöget negatívnak mondjuk. A szög nagyságát az elforgatás nagyságával mérjük, függetlenül a forgási iránytól. Ha a mozgó félegyenes egy teljes fordulatot megtesz, a keletkező szöget teljesszögnek nevezzük. A szögmérés mértékegysége a fok, 1 o - a teljes szög 360-ad része. A szögeket görög kisbetűvel jelöljük: α, β, γ, δ, A szögeket nagyság szerint a következő csoportokba soroljuk: teljesszög : α egyenesszög : β nullszög : γ hegyesszög : δ derékszög : ε tompaszög : ζ homorúszög : η α = 360 o β = 180 o γ = 0 o 0 o < δ < 90 o ε = 90 o 90 o < ζ <180 o 180 o < η < 360 o teljesszög egyenesszög nullszög derékszög hegyes szög tompaszög homorúszög

43 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A szögeket mérhetjük radiánban is: ekkor a teljes szög mértéke π. Az egységnyi sugarú körben az 1 o -hoz tartozó körívhossz: π/180 Példa Hány fokos szöget zárnak be az óramutatók 0 és 1 óra között minden egész órakor? Nevezetesebb szögpárok: - Egyenlő szögpárok Egyállású szögek : száraik páronként párhuzamosak és azonos irányúak Váltószögek : száraik páronként párhuzamosak, és ellenkező irányúak Csúcsszögek : speciális váltószögek; egy-egy száruk egy egyenest alkot Merőleges szárú szögek : száraik páronként merőlegesek egymásra; a merőleges szárú szögek között vannak egyenlők és olyanok is, amelyek 180 -ra egészítik ki egymást Példa Az ábrán az α szög 3 o 4. Mekkora a többi jelölt szög? Példa Az α és β merőleges szárú szögek. Határozzuk meg a szögek nagyságát, ha a β szög harmadrésze az α-nak.

44 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egymást kiegészítő szögpárok Pótszögeknek nevezünk két szöget, ha összegük 90. A kiegészítő szögek 180 -ra egészítik ki egymást-mellékszögek, társszögek Példa Mekkora az a szög, amelyik a mellékszögének 3 részével egyenlő? Térelemek szöge : Két metsző egyenes a közös síkjukat négy szögtartományra bontja: általában két (egyenlő) tompaszögre és két (egyenlő) hegyesszögre. Két metsző egyenes szögén - ha külön mást nem mondunk - a hegyesszöget értjük. Ha a két egyenes a közös síkjukat négy egyenlő szögtartományra bontja, akkor azt mondjuk, hogy a két egyenes merőleges egymásra. Ekkor a keletkező szögek mértéke 90 o.

45 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Kitérő egyenesek szögén a tér egy tetszőleges P pontján átmenő, a két adott egyenessel párhuzamos két egyenes szögét értjük. e e ' S f f ' Sík és egyenes szögén az egyenes és az egyenesnek a síkra eső merőleges vetületének szögét értjük. a S a' Két sík szögén a síkokban, a metszésvonalra állított merőleges egyenesek szögét értjük. Két sík szögét adja meg a normálisaik szöge is.( a sík normálisán a síkra merőleges egyenest értjük)

46 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egy egyenes akkor párhuzamos egy síkkal, ha van a síkban egy olyan egyenes, amely az adott egyenessel párhuzamos. Párhuzamossági tételek Két sík akkor párhuzamos egymással, ha az egyik síkban van két olyan metsző egyenes, amely a másik síkkal párhuzamos. Ha egy síkkal párhuzamos egyenesre síkot fektetünk, ez a sík az adott síkot az adott egyenessel párhuzamos egyenesben metszi. Az adott síkkal párhuzamos egyenesre illeszkedő síkoknak az adott síkkal alkotott metszésvonalai egymással is párhuzamosak. Két egymást metsző sík metszésvonalával párhuzamos harmadik sík az adott síkokat a metszésvonallal párhuzamos egyenesekben metszi. Ezek az egyenesek egymással is párhuzamosak. Két párhuzamos síkot egy harmadik sík egymással párhuzamos egyenesekben metsz.

47 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Két párhuzamos sík két, velük nem párhuzamos párhuzamos egyenesből egyenlő hosszúságú szakaszokat metsz ki. Egy ponton át egy síkkal párhuzamosan végtelen sok egyenes fektethető. Ezek egy olyan síkban fekszenek, mely az adott síkkal párhuzamos. Két térelem párhuzamosságára a továbbiakban a jelölést is használjuk. Merőlegesség 1. Egy egyenes merőleges egy síkra, ha van a síkban két olyan, különböző irányú egyenes, amelyre az adott egyenes merőleges. (Ekkor az egyenes a sík összes egyenesére merőleges.). Két sík merőleges egymásra, ha legalább az egyik síkban van olyan egyenes, amely a másik síkra merőleges. Ez természetesen maga után vonja azt, hogy a másik síkban is van olyan egyenes, amely merőleges az egyikre.

48 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egy egyenes adott pontjában, az adott egyenesre merőleges egyenesek egy síkban vannak, mégpedig az egyenesre merőleges síkban. Ha két egyenes ugyanarra a síkra merőleges, akkor a két egyenes egymással párhuzamos. Ha két egyenes párhuzamos egymással és közülük az egyik merőleges egy síkra, akkor a másik egyenes is merőleges erre a síkra. Ha két sík ugyanarra az egyenesre merőleges, akkor a két sík egymással párhuzamos. Merőlegességi tételek Két sík metszésvonalára merőleges sík mindkét adott síkra merőleges. Ha két egymást metsző sík merőleges egy harmadikra, akkor a metszésvonaluk is merőleges a harmadik síkra

49 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Ha három sík páronként merőleges egymásra, akkor metszésvonalaik is merőlegesek egymásra. Egy ponton át egy adott síkra végtelen sok merőleges sík állítható. Ezek metszésvonala a ponton átmenő, adott síkra merőleges egyenes. Egy általános helyzetű egyenesen keresztül, egy adott síkra merőlegesen csak egyetlen sík állítható.

50 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Térelemek távolsága Két térelem távolságán mindig a térelemek közt húzható legrövidebb szakasz hosszát értjük. 1. Két pont távolsága értelmezés szerint a két pontot összekötő szakasz hossza.. Pont és egyenes távolságán a pontból az adott egyenesre bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük. 3. Pont és sík távolságán a pontból a síkra bocsájtott merőleges szakasz hosszát értjük 4. Két párhuzamos egyenes távolságán az egyik egyenes bármely pontjának másik egyenestől mérttávolságát értjük. Ez a távolság a két egyenesen bárhol mérhető. 5. Egymással párhuzamos egyenes és sík távolságán az egyenes tetszőleges pontjából, a síkra bocsájtott merőleges szakaszhosszát értjük

51 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal 6. Két párhuzamos sík távolságán az egyik sík tetszőleges pontjának a másik síktól mért távolságát értjük. 7. Két kitérő egyenes távolságán a két egyenes pontjait összekötő szakaszok közül a legrövidebb (a mindkettőre merőleges) hosszát értjük Euklideszi alapszerkesztések Ha ábrákat készítünk, akkor két derékszögű háromszög alakú vonalzó segítségével könnyedén párhuzamos egyeneseket, illetve merőleges egyeneseket rajzolhatunk: e P e P f f Az euklideszi szerkesztés csak körző és egyélű vonalzó használatát engedi meg.

52 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria - 5. oldal Az euklideszi szerkesztés lehetőségei: 1. Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval.. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. 3. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. 4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. 5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük. 6. Ha két kör metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük. Szakasz felezése A B A B Szög felezése o o o Egyenesre merőleges szerkesztése adott külső pontból P P e e A B P P m e e A B A B

53 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egyenes adott pontjára merőleges szerkesztése e P e A P B e A P B e A P m B Szakasz felezőmerőlegese A síkon egy szakasz felezőmerőlegese az az egyenes, amely a szakasz felezőpontjára illeszkedik, és merőleges a szakaszra. Tételek A sík két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon a két pont által meghatározott szakasz felezőmerőlegese. A térben adott két ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a szakaszra merőleges, annak felezőpontjára illeszkedő sík. Három adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a síkon egy pont (ha a három pont nem esik egy egyenesre), vagy üres halmaz (ha a három pont egy egyenesre esik). Szögfelező Definíció Egy konvex szög szögfelezője a szög csúcsából kiinduló, a szögtartományban haladó azon félegyenes, amely a szöget két egyenlő nagyságú szögre bontja. Tétel Egy konvex szögtartományban a száraktól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza a szög szögfelezője. Párhuzamos szelők tétele Ha egy szög szárait párhuzamos egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkező szakaszok aránya egyenlő a másik száron keletkező megfelelő szakaszok arányával. A tétel megfordítása is igaz: Ha két egyenes egy szög száraiból olyan szakaszokat vág le, amelyeknek aránya mindkét száron egyenlő, akkor a két egyenes párhuzamos.

54 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A B C D O AB CD = A B C D A' B' C' D' AA BB = OA OB = OA OB A párhuzamos szelők tételét felhasználhatjuk adott szakasz egyenlő részekre osztásához. Példa Legyen adott egy AB szakasz. Osszuk fel ezt a szakasz :5 arányban. Külső pontból húzható érintők a körhöz k O r r 1 E E 1 A kör egy adott pontjához egyetlen érintő húzható, a körön kívül fekvő bármely pontból két érintő húzható. A két érintődarab egyenlő egymással, és a kör sugara az érintési pontban merőleges az érintőre. Adott egy k kör és egy külső P pont. Szerkesszünk egyenest, amely illeszkedik az adott pontra és érinti az adott kört F e e 1 P k P E A vázlatrajzról látjuk, hogy a szerkesztést Thalész tétele segítségével végezhetjük el. Azt is azonnal megállapíthatjuk, hogy egy körhöz egy külső pontból két érintőegyenes húzható, és a két érintőszakasz egyenlő hosszúságú: PE = PF.

55 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Két kör közös érintőinek megszerkesztése Közös külső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A külső érintők szerkesztése: Ha a kisebb sugarú k kör r sugarát (gondolatban) csökkentjük, és a nagyobb K kör R sugarát is ugyanannyival csökkentjük, akkor a két kör közös külső érintője párhuzamos marad az eredeti közös külső érintővel. Ezért mindkét kör sugarát r-rel csökkentjük, és megszerkesztjük a (R-r) sugarú körhöz a k kör O1 középpontjából húzott érintőket. Ezeket az érintőket eltoljuk az r abszolút értékű, az érintőkre merőleges és az O1-ből kifelé irányított vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös külső érintői: e1, és e. e 1 k r O 1 O R-r R e K Közös belső érintő (különböző sugarú egymást nem metsző körök esetén) A belső érintők megszerkesztése: Most a kisebb k kör sugarát r-rel csökkentjük, és vele együtt a nagyobb kör sugarát r-rel növeljük. Ezután szerkesszük meg az O középpontú és R+r sugarú körhöz az O1-ből induló érintőket. Ezeket toljuk el az r abszolút értékű, az érintőre merőleges és az O-hez befelé irányított vektorral. Ezek az eltolt egyenesek lesznek a két kör közös belső érintői, e1 és e. r e 1 r R k O O 1 F K e Két kör közös érintőinek a szerkesztésekor speciális eset az, amikor a két kör azonos sugarú. Ekkor a közös külső érintők párhuzamosak az O1O egyenessel.

56 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal II. Síkgeometria Háromszögek A szakaszokat, így az ABC háromszög oldalait is az ábécé kisbetűivel jelöljük (a, b, c). A pontokat, így a háromszög csúcsait is az ábécé nagybetűivel jelöljük.(a, B, C). A szögek jelölésére görög betűket használunk (α, β, γ). (Az A csúcsnál az α szög, vele szemben az a oldal található.) A szögeket a csúcspontjuk és a száraikon lévő egy-egy pont betűjelével is megadhatjuk. Például az α szöget így is jelölhetjük: CAB szög. A háromszögek csoportosítása: Szögeik szerint: - hegyesszögű háromszögek (minden szögük hegyesszög), - derékszögű háromszögek (egyik szögük derékszög, a többi hegyesszög), - tompaszögű háromszögek (egyik szögük tompaszög, a többi hegyesszög). Oldalaik szerint: - egyenlő oldalú háromszögek (minden oldaluk egyenlő), - egyenlőszárú háromszögek (két oldaluk egyenlő), - általános háromszögek (minden oldaluk különböző) A háromszögre vonatkozó állítások 1. A háromszög belső szögeinek összege 180. Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak (egyenlőszárú háromszög). A háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög található, mint a rövidebb oldallal szemben.

57 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Minden háromszög oldalaira teljesül a háromszög-egyenlőtlenség:. A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. 3. A háromszög külső szögeinek összege A háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével. ( a háromszög külső szöge az adott szög mellékszöge) Háromszögek egybevágósága: Mindhárom megfelelő oldal páronként egyenlő nagyságú Két háromszög egybevágó, ha Két megfelelő oldaluk hossza, és az általuk közrefogott szögek páronként egyenlők Egy megfelelő oldaluk hossza, és két megfelelő szögük páronként egyenlő Két-két oldaluk hossza, és a nagyobbik oldallal szembe lévő szögek páronként egyenlők.

58 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Háromszögek hasonlósága: oldalaik aránya egyenlő Két háromszög hasonló, ha két oldaluk aránya, és az ezek által közrefogott szögük egyenlő két-két oldaluk aránya és e két-két oldal közül a nagyobbikkal szemközt lévő szögük egyenlő két-két szögük páronként egyenlő A háromszögek nevezetes vonalai, pontjai: A háromszög szögfelezői: A szögfelező olyan egyenes, amely felezi a háromszög belső szögét (fα, fβ, fγ). A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszögbe írható kör középpontja (O). A szögfelezők osztásaránya: Bármely háromszögben egy belső szög szögfelezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalak arányában osztja két részre- szögfelező tétel. AD DC = c a

59 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A háromszög oldalfelező merőlegesei: Az oldalfelező merőleges olyan egyenes, amely átmegy az oldal felezőpontján és merőleges az oldalra (fa, fb, fc). A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, ez a pont a háromszög köré írható kör középpontja(o). A háromszög magasságvonalai: A magasságvonal a háromszög csúcspontjából a szemközti oldal egyenesére állított merőleges egyenes ( ma; mb; mc ). A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, ez a háromszög magasságpontja. (M) A háromszög súlyvonalai: A súlyvonal a háromszög csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz. (sa, sb, sc.) A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, ez a háromszög súlypontja (S). A súlyvonalak harmadolják egymást úgy, hogy a csúcs felé esik a súlyvonal kétharmad része.

60 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal A háromszög középvonalai: A háromszög középvonala két oldalának felezőpontját összekötőszakasz (ka; kb ; kc). A háromszög középvonala párhuzamos és feleakkora, mint a harmadik (nem felezett) oldal. k a a ; k b b; k c c; k a = a ; k b = b ; k c = c Számítások általános háromszögekben ma: az a oldalhoz tartozó magasság : a beírt kör sugara Kerület: K = a + b + c Terület: T = a m a (A képlet bármely oldallal és a hozzá tartozó magassággal érvényes.) T = a b sin γ (A képlet bármely két oldallal és a közrefogott szöggel érvényes, a háromszög trigonometrikus területképletének is mondják) ahol s = K, (Heron-képlet) T = s (s a) (s b) (s c) T = K ρ

61 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Szinusz tétel a b = sin α sin β (A képlet bármely két oldallal és a szemközti két szöggel érvényes.) Koszinusz tétel c = a + b abcos (A képlet bármelyik szöggel érvényes, amennyiben a baloldalon a szöggel szemközti oldal négyzete szerepel.) Derékszögű háromszögre vonatkozó tételek: (A derékszögű háromszögekre természetesen érvényesek az általános háromszögekre kimondott állítások, az alábbiakban csak a további speciális tulajdonságokat soroljuk fel.) Pitagorasz-tétel (a koszinusz tétel speciális esete derékszögű háromszögre): Derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c = a + b a, b: befogók c: átfogó Terület: a b T c = a + b Magasságtétel: Derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság mértani közepe a befogók átfogóra eső merőleges vetületeinek, azaz itt m c = c 1 c C Befogótétel: Derékszögű háromszögben bármely befogó mértani közepe az átfogónak és az adott befogó átfogóra eső merőleges vetületének. a = c c és b = c c 1 ahol c=c1+c. A a b m c1 c c B

62 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria - 6. oldal A Thálész-tétel Ha egy kör átmérőjének két végpontját a körvonal bármely másik pontjával összekötjük, akkor derékszögű háromszöget kapunk. Az átmérő a derékszögű háromszög átfogója. Thalész tételének a megfordítása is igaz: Egy derékszögű háromszög köré írt kör középpontja mindig az átfogójának felezőpontja lesz. Az átfogó a kör átmérője. O A kör geometriája A kör (körvonal) a sík mindazon pontjainak mértani helye, amelyeknek távolsága egy adott ponttól állandó. Az adott pont a kör középpontja, az adott állandó a kör sugara. 3, Kerület: R Terület: R A kör részei: szelõ átmérõ sugár körszelet körcikk kerületi szög középponti szög érintõ húr körgyûrû Emlékeztető: 180 = (rad)

63 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Körcikk Ívhossz: i = R (radiánban kell számolni) Terület: T = R α (radiánban kell számolni) Körszelet területe: T = ir h(r m) i a körív hossza. ahol R a kör sugara, h a húr hossza, m a körszelet magassága, Kerületi és középponti szögek A körben a középponti szög csúcsa a kör középpontja, két szára a kör két sugara (illetve azok félegyenese). Két sugár két középponti szöget határoz meg. Mindkét középponti szög szárai között egy-egy körív van. Azt mondjuk: az α szöghöz az körív tartozik, vagy az ii köríven a β szög nyugszik. i A kör kerületi szögének nevezzük mindazokat a konvex szögeket, amelyeknek a csúcsa a kör kerületén van, a két száruk vagy egy- egy húrt tartalmaz, vagy egy húrt tartalmaz, a másik pedig egy érintőre illeszkedik. A B A C D B A kerületi szög két szára között a körnek egy íve van. Gyakran azt mondjuk, hogy a kerületi szög ahhoz a körívhez tartozik, vagy azon a köríven nyugszik. (Végtelen sok kerületi szöghöz tartozhat ugyanaz a körív.)

64 Segédlet a Természettudományi alapismeretek című tárgyhoz - geometria oldal Egy adott körben egy adott körívhez (ill. húrhoz) egyetlen középponti szög és végtelen sok kerületi szög tartozik. A B Kerületi szögek tétele : Egy körben az ugyanahhoz az ívhez tartozó kerületi szögek egyenlők. Középponti és kerületi szögek tétele: Egy körben a középponti szög kétszerese a vele azonos íven nyugvó kerületi szögnek. Azokat a konvex négyszögeket, amelyeknek oldalai egy körnek húrjai, húrnégyszögeknek nevezzük. D A O C A húrnégyszögek köré kört szerkeszthetünk. Oldalfelező merőlegesei egy pontban, a köré írt kör középpontjában metszik egymást. Húrnégyszögek tétele: Egy konvex négyszög akkor és csak akkor húrnégyszög, ha szemközti szögeinek összege 180. B α + γ = 180 A nevezetes négyszögek közül a négyzet, a téglalap, a szimmetrikus trapéz és a derékszögű deltoid húrnégyszög.