MATEMATIKAI ANALÍZIS I.
|
|
- Botond Lakatos
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 MATEMATIKAI ANALÍZIS I. Vágó Zsuzsanna 200. szeptember
2 2
3 Tartalomjegyzék. Valós számok 5.. Bevezetés Természetes számok, teljes indukció Valós számok értelmezése Axiómák Cantor-féle közöspont-tétel A valós számok részhalmazai Inmum és supremum Topológiai alapfogalmak Néhány alap-egyenl tlenség Háromszög egyenl tlenség Számtani és mértani közép Sorozatok, végtelen sorok Számsorozatok Alapfogalmak Határérték Konvergens sorozatok tulajdonságai A határérték alaptulajdonságai Rész-sorozatok
4 4 TARTALOMJEGYZÉK Cauchy sorozatok Konvergens sorozatok további tulajdonságai Nullsorozatok Számtani átlag-sorozatok Torlódási pont Végtelen sorok Végtelen sor konvergenciája Összehasonlító kritériumok Abszolút konvergens sorok Hányados-kritérium Gyökkritérium Leibniz - típusú sorok
5 . fejezet Valós számok 5
6 6. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK.. Bevezetés A jegyzetben IN jelöli a természetes számok halmazát, Q a racionális számok halmazát és IR a valós számok halmazát.... Természetes számok, teljes indukció A természetes számok halmazán értelmezve van két m velet, az összeadás (+) és szorzás (, illetve egymás mellé írás), továbbá a rendezési reláció. A IN halmaznak két fontos alaptulajdonsága a következ :. Van legkisebb elem, ez (egység). 2. Mindegyik elem után van közvetlenül következ : n n + Megjegyzés. Más könyvekben szokás a természetes számok halmazát az n = 0 számmal kezdeni. Mi maradunk ennél a konvenciónál. A fenti két tulajdonság alapján kimondjuk a teljes indukciós bizonyítás elvét. Teljes indukciós bizonyítási elv. Feladatunk, hogy valamely A,..., A n,... tulajdonságok teljesülését kell belátnunk, ahol n tetsz leges természetes szám. Ha. A teljesül, továbbá 2. bármely nɛin esetén az A n tulajdonságból A n+ következik, akkor a fenti tulajdonság teljesül minden n-re. Megjegyzés. A teljes indukciót úgy képzelhetjük el, mintha fel kellene mennünk egy végtelen hosszú lépcs n. Ha meg tudjuk tenni az els lépést, és bármely lépcs fokról eggyel feljebb tudunk jutni, akkor valóban bármilyen magasra felmehetünk. Megjegyzés. A teljes indukció nem mindig 0-val kezd dik, hanem azzal a legkisebb természetes számtól, ahonnan a képletek érvényesek. Példa. Igazoljuk, hogy minden nɛin esetén n 2 = n(n + )(2n + ). (.) 6
7 .2. VALÓS SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 7 Bizonyítás.. A teljes indukció els lépése. n = esetén az állítás igaz, hiszen n helyére -t helyettesítva azt kapjuk, hogy = A teljes indukció második lépése. Tegyük fel, hogy valamely rögzített n-re teljesül az állítás (ez az indukciós feltevés.) Nézzük meg, mit mondhatunk, ha n + számot adunk össze: n 2 + (n + ) 2 n(n + )(2n + ) = + (n + ) 2 = ( ) 6 Felhasználtuk az indukciós feltevést. Egyszer algebrai átalakításokkal folytathatjuk: (n + ) (n + )(n + 2)(2n + 3) ( ) = (n(2n + ) + 6n + 6) =, 6 6 ami épp a bizonyítandó állítás, ha n helyére n + -t írunk..2. Valós számok értelmezése.2.. Axiómák Röviden összefoglaljuk a valós számok felépítésére szolgáló egyik lehetséges axiómarendszert. Adott egy IR-rel jelölt halmaz, melynek elemeit valós számoknak nevezzük. IR-et megfeleltethetjük a számegyenes pontjainak, természetes módon. Ennek a halmaznak adott két kitüntetett (egymástól különböz ) eleme, melyeket 0 és fog jelölni. Adott IR-en két m velet, az összeadás (+) és a szorzás ( ), valamint egy -vel jelölt rendezési reláció, melyek az alábbi tulajdonságokkal rendelkeznek:. csoport: a m veletek alaptulajdonságai.. Az összeadás asszociatív, azaz (x + y) + z = x + (y + z), x, y, zɛir.
8 8. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK 2. x + 0 = x, xɛir. 3. Minden xɛir-hez létezik uɛir, melyre x + u = 0. Ezt a szám ellentettjének nevezük. 4. Az összeadás kommutatív, azaz x + y = y + x, x, yɛir 5. A szorzás asszociatív, azaz 6. x = x, xɛir. (x y) z = x (y z), x, y, zɛir. 7. Minden xɛir, x 0-hoz létezik uɛir, melyre x u =. Ezt a szám reciprokának nevezzük. 8. A szorzás kommutatív, azaz x y = y x, x, yɛir. 9. A szorzás disztrubutív az összeadásra, azaz (x + y) z = x z + y z, x, yɛir. 2. csoport: a rendezési reláció tulajdonságai. 0. Minden xɛir esetén x x (a rendezési reláció reexív).. Tetsz leges x y esetén az x y és y x közül pontosan egy igaz. 2. Ha x y és y z, akkor x z (a rendezési reláció tranzitív). 3. Ha x y, akkor x + z y + z minden zɛir esetén. 4. Ha x y és 0 z akkor x z y z. 3. csoport: 5. (Archimedeszi axióma) A valós számok halmazában nincs legnagyobb elem.
9 .2. VALÓS SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 9 6. (Cantor-féle axióma) Legyen adott korlátos és zárt intervallumok egy sorozata: melyekre I = [a, b ] I 2 = [a 2, b 2 ]... I n = [a n, b n ],... Ekkor van közös pont, azaz I I 2... I n.... cɛir melyre cɛi k, kɛin. Megjegyzés. A Cantor axióma átfogalmazható a következ képp: Tegyük fel, hogy adottak az a a 2 a 3... a n... számok ("bal oldalak") és a b b 2 b 3... b n... számok ("jobb oldalak"), melyekre teljesül, hogy: a k b k kɛin. Ekkor létezik cɛir, melyre a k c b k kɛin. (Ez a Cantor-axióma biztosítja, hogy az irracionális számok is beletartoznak a valós számok halmazába.).2.2. Cantor-féle közöspont-tétel.. Tétel. Tegyük fel, hogy a Cantor-féle axióma feltételei teljesülnek. Ezen kívül tegyük fel, hogy minden ε > 0-hoz létezik olyan I k intervallum, mely az adott ε-nál rövidebb, azaz I k = b k a k < ε. Ekkor a közös pont egyértelm. Bizonyítás. Indirekt módon látjuk be a tételt. A Cantor-axiómából következik, hogy létezik közös pont. Feltesszük, hogy két közös pont van: c, dɛi k minden k-ra, és például c < d.
10 0. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK.. ábra. A Cantor féle közösponttétel bizonyítása Legyen ε = d c. Ekkor a feltétel szerint létezik nɛin, amire b n a n < ε. Ekkor mivel cɛ[a n, b n ], dɛ[a n, b n ], ezért ε = d c < b n a n < ε, ami ellentmondás..3. A valós számok részhalmazai.3.. Inmum és supremum Legyen H IR a valós számok halmazának egy részhalmaza... Deníció. - A H halmaz alulról korlátos, ha van olyan kɛir, melyre k x xɛh. - A H halmaz felülr l korlátos, ha van olyan KɛIR, melyre x K xɛh. - A H halmaz korlátos, ha alulról és felülr l is korlátos..2. Deníció. Legyen H egy alulról korlátos nem üres halmaz. Megmutatható, hogy az alsó korlátok közt létezik legnagyobb. A halmaz legnagyobb alsó korlátját inmumnak nevezzük. Jele inf(h). Más szóval, az sɛir szám a H halmaz inmuma, ha
11 .3. A VALÓS SZÁMOK RÉSZHALMAZAI - egyrészt s alsó korlát, azaz s x, xɛh, - másrészt ha s egy tetsz leges alsó korlátja H-nak, akkor s s..3. Deníció. Legyen H egy felülr l korlátos nem üres halmaz. Megmutatható, hogy a fels korlátok közt van legkisebb. A halmaz legkisebb fels korlátját supremumnak nevezzük. Jele sup(h). Más szóval, az SɛIR szám a H halmaz supremuma, ha - egyrészt S fels korlát, azaz S x, xɛh, - másrészt ha S egy tetsz leges fels korlátja H-nak, akkor S S.. Példa. Legyen H = [a, b] zárt intervallum. Ekkor inf(h) = a, sup(h) = b, hiszen például a x minden xɛh esetén, és ez a legnagyobb ilyen tulajdonságú szám. Megjegyzés. Ha van H elemei közül legkisebb, akkor ez az inmum. Tehát inf(h) = min(h) ha a minimum létezik. Hasonlóan, ha a halmazban van maximális elem, akkor sup(h) = max(h). 2. Példa. Legyen H = (a, b) nyílt intervallum. Ekkor is inf(h) = a, sup(h) = b.
12 2. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK Megjegyzés. A fenti példákból is látszik, hogy inf(h)ɛh vagy inf(h)ɛ H is el fordulhat. 3. Példa. Legyen H = { n : nɛin}. Ekkor nyilván sup(h) = max(h) =. Legkisebb eleme nincs a halmaznak. Belátjuk, hogy inf(h) = 0. Nyilván 0 /n minden n -re, tehát a 0 alsó korlát. Legyen ε > 0 tetsz leges, belátjuk, hogy ez nem lehet alsó korlát. Ekkor [ ] N = ε választással tehát ε nem alsó korlát. ε > N +, Igazolnunk kell, hogy a fenti inmum és supremum jól deniáltak..2. Tétel. Tetsz leges nem üres, alulról korlátos H halmaznak létezik inmuma. Bizonyítás. (Konstruktív bizonyítás) A halmaz alulról korlátos, tehát létezik alsó korlátja, legyen ez a. Ha a ɛh, akkor ez minimális elem, egyben inmum is. Ha a ɛ H, akkor legyen b ɛh tetsz leges elem, b > a. Legyen I = [a, b ] és deniáljuk a c = a + b számot. 2 Két eset lehetséges. Ha c alsó korlát, akkor legyen a 2 := c és b 2 := b. Ha c nem alsó korlát, akkor legyen a 2 := a és b 2 := c. Látható, hogy az I 2 = [a 2, b 2 ] intervallum hossza épp fele I hosszának, ahol a 2 alsó korlát, b 2 ɛh. Ezt a konstrukciót folytatva egy I k intervallumsorozatot kapunk, az alábbi tulajdonságokkal: (i) I k = [a k, b k ] zárt és I k+ I k, (ii) I k hossza 2 k I, (iii) a k alsó korlát, b k ɛh minden k-ra.
13 .3. A VALÓS SZÁMOK RÉSZHALMAZAI 3 Az (i) és (ii) tulajdonságok miatt az intervallum-sorozat teljesíti a Cantorféle közösponttétel feltételeit, tehát létezik egyetlen közös pont, legyen ez s. Belátjuk, hogy s = inf(h). Ehhez egyrészt igazolni kell, hogy s alsó korlát. Ha ugyanis lenne egy olyan hɛh elem, melyre h < s teljesülne, akkor a (ii) tulajdonság miatt találnánk egy olyan I k intervallumot, melyre h < a k s lenne, ami ellentmond annak, hogy a k alsó korlát. Hasonlóképp igazoljuk, hogy nincs s-nél nagyobb alsó korlát. Ha ugyanis indirekt módon feltesszük, hogy van ilyen s > s alsó korlát, akkor találunk egy I k intervallumot, melyre s b k < s. De mivel b k ɛh minden k-ra, így ez nem lehetséges... Következmény. Tetsz leges nem üres, felülr l korlátos H halmaznak létezik supremuma Topológiai alapfogalmak.4. Deníció. Egy x 0 valós szám környezetei az (x 0 ε, x 0 + ε) nyílt intervallumok, ahol ε > 0 tetsz leges. Legyen a továbbiakban H IR tetsz leges részhalmaz..5. Deníció. Az x 0 ɛir pont a H halmaz bels pontja, ha van olyan ε > 0 szám, hogy (x 0 ε, x 0 + ε) H. A bels pontok halmazát int(h) jelöli. (Az INTERIOR szó rövidítéséb l.).6. Deníció. Az x 0 ɛir pont a H halmaz küls pontja, ha van olyan ε > 0 szám, hogy (x 0 ε, x 0 + ε) H =. A küls pontok halmazát ext(h) jelöli. (Az EXTERIOR szó rövidítéséb l.)
14 4. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK.7. Deníció. Az x 0 ɛir pont a H halmaz határpontja, ha se nem küls, se nem bels pontja. Ez azt jelenti, hogy minden ε > 0 mellett az (x 0 ε, x 0 + ε) környezet tartalmaz H-beli és H-n kívüli pontokat is. A határpontok halmazát (H) jelöli. Egy halmaz lezárását úgy kapjuk meg, hogy hozzávesszük a határpontokat. Jele H..8. Deníció. A H halmaz nyílt, ha minden pontja bels pont. A H halmaz zárt, ha minden határpontját tartalmazza.. Példa. Legyen H = (a, b) egy nyílt intervallum. Bels pontok halmaza: int(h) = {x : a < x < b}. A határpontok halmaza: (H) = {a, b}. A lezárás H = int(h) H = [a, b]. 2. Példa. Legyen H = {0 < x < : xɛq}. Ebben a halmazban bels pont NINCS. Hiszen például az /2 pontnak nem tudunk kijelölni olyan (/2 ε, /2 + ε) környezetét, amire teljesülne, hogy (/2 ε, /2 + ε) H, mert bármely kicsi intervallumban lesznek racionális és irracionális számok is. Ezért nincs olyan (/2 ε, /2 + ε) intervallum, melyben csak racionális számok lennének. Tehát a halmaz határpontjai H = {x : 0 x } = [0, ]..4. Néhány alap-egyenl tlenség.4.. Háromszög egyenl tlenség.. Állítás. Tetsz leges a, b valós számokra a + b a + b. Bizonyítás. Abból a triviális egyenl tlenségb l indulunk ki, hogy ±a a, ±b b.
15 .4. NÉHÁNY ALAP-EGYENLŽTLENSÉG 5 Ebb l azt kapjuk, hogy és ebb l az állítás következik. a + b a + b a b a + b, Megjegyzés. Az elnevezés vektorokra utal, ott valóban egy háromszög három oldaláról van szó..2. Következmény. Tetsz leges a, b valós számokra a b a b. Bizonyítás. Az állítás azon múlik, hogy a a b + b, azaz a b a b..3. Következmény. (Általános eset.) Adottak az a, a 2,..., a n valós számok, akkor a a n a a n, azaz n n a k a k. k= k= Bizonyítás. Teljes indukcióval, könnyen látható..3. Tétel. (Bernoulli egyenl tlenség.) Tetsz leges nɛin term±zetes szám és h valós szám esetén teljesül az alábbi összefüggés: ( + h) n + hn. A fenti kifejezésben egyenl ség akkor és csakis akkor teljesül, ha n = 0 vagy n = vagy h = 0.
16 6. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK Bizonyítás. h = 0 esetén egyenl ség van. h 0 esetén teljes indukcióval látjuk be az állítást.. Ha n= akkor ( + h) = + h, tehát az állítás igaz. 2. Tegyük fel, hogy valamely n-re igaz: ( + h) n + hn, majd tekintsük az egyenl tlenség baloldalát n + -re: (+h) n+ = (+h) n (+h) (+nh)(+h) = +(n+)h+nh 2 +(n+)h. A fenti átalakítások során felhasználtuk az indukciós feltevést és elhagytuk az nh 2 nemnegatív tagot Számtani és mértani közép Tekintsünk két nemnegatív valós számot, x, y 0 Ezek számtani közepe (számtani átlaga) A = x + y, 2 és mértani közepe (mértani átlaga) G = xy..2. Állítás. Tetsz leges x, y 0 valós számok esetén x + y 2 xy, és egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha x = y. Az állítás szemléletes módon igazolható a.2. ábra alapján, HF. A fenti állítást analitikus eszközökkel általános esetben látjuk be.
17 .4. NÉHÁNY ALAP-EGYENLŽTLENSÉG 7 x y x y 2 x y.2. ábra. A számtani és mértani közép geometriai ábrázolása.4. Tétel. Legyenek a, a 2,..., a n 0 valós számok. Ezek számtani átlaga (más elnevezéssel számtani közepe) A n := a + a a n n = n n k= a k és mértani átlaga (vagy mértani közepe) G n := n a a 2... a n = n n a k. Ekkor A n G n k= minden n re és egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha a = a 2 =... = a n... Lemma. Legyen n 2 adott természtes szám. Legyenek x k 0, k =, 2,... n olyan számok, amelyek közt van legalább kett különböz és Ekkor x + x x n n x x 2... x n <. =.
18 8. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK Bizonyítás. Teljes indukcióval látjuk be a lemmát.. Ha n = 2, akkor a lemma állítása igaz, hiszen a két szám és ezekre a számokra x = + t, x 2 = x t, t > 0, ( t)( + t) = t 2 <. 2. Tegyük fel hogy valamely rögzített n-re igaz az állítás. Tekintsünk n + db számot, melyek számtani átlaga, és ezeket írjuk az alábbi alakba: x = + t x 2 = + t 2. x n = + t n x n+ = + t n+ Ekkor a t,... t n+ számok közt van pozitív es negatív is, mert összegük 0 és nem mind egyforma. Feltehet például, hogy t n < 0 < t n+. Nézzük az n + tényez s szorzatot: x x 2... x n x n x n+ = x x 2... x n ( + t n )( + t n+ ) < < x x 2... x n ( + t n + t n+ ), ahol az utolsó tényez b l elhagytuk a t n t n+ < 0 tagot. A szorzat utolsó tényez jét jelölje x n = + t n + t n+. Ekkor egy n tényez s szorzatunk van, a tényez k összege: x +x x n ++t n +t n+ = (n )+t...+t n ++t n +t n+ = n. Tehát adott n db szám, x, x 2,..., x n, x n, melyek átlaga. Ha az így kapott számok egyformák, akkor szorzatuk =. Ha nem egyformák, akkor az indukciós feltevés miatt szorzatuk<. Ezek után megfogalmazhatjuk az fenti lemmát kicsit általánosabban:
19 .4. NÉHÁNY ALAP-EGYENLŽTLENSÉG 9.2. Lemma. Legyenek x k 0, k =,... n olyan számok, amelyekre Ekkor x + x x n n x x 2... x n. =. A Tétel bizonyítása. Ha adottak az a, a 2,..., a n számok, akkor legyen K = a + a a n, n és legyenek x k = a k, k =,... n. K Ekkor x + x x n = a + a a n = n, K ezért x + x x n =, n így alkalmazhatjuk ezekre a számokra a.2. lemmát. Tehát x x 2... x n, azaz a a 2... a n K n, s ezt az egyenl tlenséget átrendezve kapjuk a Tétel állítását: n ( n k= a k a ) n k. n k=
20 20. FEJEZET. VALÓS SZÁMOK
21 2. fejezet Sorozatok, végtelen sorok 2
22 22 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK 2.. Számsorozatok 2... Alapfogalmak 2.. Deníció. Számsorozaton egy olyan hozzárendelést értünk, melyben minden nɛin természetes számhoz hozzárendelünk egy valós számot. Az (a) sorozat n-dik elemét a n jelöli, az egész sorozatot (a n )-nel jelöljük Deníció. Az (a n ) sorozat korlátos ha létezik K szám, hogy a n < K minden nɛin esetén Deníció. Az (a n ) sorozat monoton növ, ha n < m esetén a n a m. (Nagyobb indexhez nem kisebb elem tartozik.) Az (a n ) sorozat monoton fogyó, ha n < m esetén a n a m (nagyobb indexhez nem nagyobb elem tartozik.) Határérték Arra leszünk kíváncsiak, hogy n növelésével mi történik az a n számokkal. Példa. Egy aɛir irracionális szám esetén legyen a n az els n db jegy a végtelen tizedestört felírásában. Ekkor a n "egyre közelebb kerül" a-hoz. Ezt így jelölhetjük: a n a. Miel tt pontosan deniálnánk a határértéket, egy-két példát tekintünk.. Példa. Legyen a n = /n. Legyen ε > 0 tetsz leges és a ( ε, ε) intervallumot tekintjük. Ekkor megadható egy N küszöbindex, amire a N ɛ( ε, ε) éspedig ha akkor N > [/ε] +, N < [/ε] + < ε s t minden n > N-re a n ɛ( ε, ε), tehát a n Példa. Legyen a n = ( ) n n,
23 2.. SZÁMSOROZATOK 23 azaz a sorozat ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;.... Ekkor is igaz, hogy a n 0 mert minden ε > 0-hoz létezik N küszöbindex, amire teljesül, hogy ha n > N esetén a n < ε. 3. Példa. Legyen A sorozat elemei a n = Most is igaz, hogy a n 0 4. Példa. Legyen 2n n ha n = 2k ha n = 2k + a = ; a 2 = 4 ; a 3 = 3 ; a 4 = 8 ; a 5 = 5 ;... a n = n n + = n +. Ekkor a n -nek az -t l való eltérése csökken és tart a 0-hoz. Így a n. 5. Példa. Legyen p > 0 tetsz leges rögzített szám és legyen a n = n p, hova tart a sorozat? Ha például p = 2 akkor a sorozat 3 eset van: a = 2, a 2 = 2, a 3 = 3 2,.... Ha p =, ekkor a = a 2 = a 3 =... =, így a n. 2. Ha p >, ekkor n p >, ez felírható összegként: n p = + hn, ahol h n > 0. Így p = ( + h n ) n, és a Bernoulli egyenl tlenséget alkalmazva p = ( + h n ) n n h n +,. azaz átrendezve h n p n.
24 24 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Mivel p n ezért h n 0. Így most is n p. 0, 3. Ha p <, akkor /p >, tehát a 2. esetnél leírtak miatt n p is teljesül. Mivel ezért n p. n p =, n p 2.4. Deníció. Legyen (a n ) egy sorozat. Azt mondjuk, hogy az (a n ) sorozat konvergens, és határértéke az A szám, ha ez rendelkezik a következ tulajdonsággal: minden ε > 0-hoz létezik N = N(ε) (egy ε-tól függ N küszöbindex) melyre minden n > N esetén a n A < ε. Ezt így jelöljük lim a n = A. 2.. Állítás. Ha egy sorozatnak van határértéke, akkor a határérték egyértelm. Bizonyítás. Indirekt úton. Tegyük fel, hogy két szám is rendelkezik a fenti tulajdonsággal, jelölje ezeket A < B. Válasszuk meg az ε-t úgy, hogy ε < (B A)/2 legyen. Ekkor az (A ε, A+ε) és a (B ε, B+ε) intervallumok diszjunktak, (nincs közös elemük). ELLENTMONDÁS 6. Példa. Legyen Ekkor a n = n2 + n + n 2 n 2 + n + a n = n2 n 2 + n +. = n + 2 n 2 + n + = r n.
25 2.. SZÁMSOROZATOK 25 Mivel 0 < r n = n + 2 n 2 + n + < 2n 2n 2 = n, és /n 0 ezért (a n ) 0, azaz a n Deníció. Ha (a n ) nem konvergens, akkor divergensnek nevezzük Deníció. Az (a n ) sorozat a + -be divergál ("a n minden határon túl n "), ha minden KɛIR korláthoz megadható N = N(K) küszöbindex, hogy ha n > N akkor a n > K. Ezt így jelöljük lim a n = +. Hasonlóan, az (a n ) sorozat a -hez divergál, ha minden K-hoz létezik N = N(K) küszöbindex, melyre ha n N(K), akkor a n < K. Jele lim a n =. Egy másik fajta divergencia, amikor a sorozat elemei több pont körül torlódnak. Például, ha a n = ( ) n, akkor ennek a sorozatnak elemei: Nyilván nem konvergens. ; ; ; ; ; ;.... Deníció (El z deníció átfogalmazása, a határérték általános deníciója) Azt mondjuk, hogy lim a n = A, ha A-nak tetsz leges U környezetéhez megadható egy N = N(U) küszöbindex, melyre minden n > N esetén a n ɛu. Ez a deníció alkalmazható AɛIR vagy A = ± esetén is. Megjegyzés. Emlékeztetünk rá, hogy a környezetet deníciója szerint véges A mellett U = (A ε, A + ε), így a n ɛu a n A < ε.
26 26 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Ha A = + akkor ennek a környezetei a U = (K, ) alakú jobbról végtelen intervallumok. Ekkor a n ɛu a n > K. Megjegyzés. Konvergens sorozatból akárhány elemet elhagyunk, az konvergens marad, és ugyanahhoz a számhoz fog tartani, mint az eredeti. Példa. Ilyen sorozat lehet b n = a 2n vagy b n = a n Konvergens sorozatok tulajdonságai 2.2. Állítás. Ha egy sorozat konvergens, akkor korlátos. Bizonyítás. Tekintsünk egy konvergens sorozatot, legyen (a n ) konvergens, lim a n = A. Ekkor ε = -hez is létezik N, hogy ha n N akkor a n A <, azaz A < a n < A +. Legyen m = min{a n : n < N}, M = max{a n : n < N}. Más szóval, legyen m a fenti intervallumon kívül es elemek közül a legkisebb, és legyen M a kívül es elemek közül a legnagyobb. Legyen továbbá k = min{m, A }, K = max{m, A + }. Ekkor k a n K, Az eredeti denícióra hivatkozva, ha nɛin. L = max( k, K ), akkor a n L, nɛin. Megjegyzés. Az állítás fordítva nem igaz: ha egy sorozat korlátos, nem biztos, hogy konvergens. Például az a n = ( ) n sorozat korlátos, de nem konvergens.
27 2.. SZÁMSOROZATOK Állítás.. Ha egy (a n ) sorozat monoton növ és felülr l korlátos, akkor konvergens. 2. Ha egy (a n ) sorozat monoton fogyó és alulról korlátos, akkor konvergens. Bizonyítás. Az állítás két része nyilván ekvivalens. Belátjuk például az. részt. Tekintsük a következ halmazt: H = {a n : nɛin}. Ekkor a H halmaz felülr l korlátos, és létezik sup(h) = A. Ez azt jelenti, hogy minden ε > 0-ra A ε nem fels korlát, tehát létezik H-ban ennél nagyobb elem, például a N > A ε. A monotonitás miatt teljesül az is, hogy a n a N ha n > N azaz a n > A ε. Mivel a n A minden n-re teljesül, így A ε < a n A < A + ε ha n > N. Példa. Gyakorlatokon beláttuk, hogy ( + n )n < ( + n + )n+, nɛin és hogy ( + n )n < 4, nɛin. Ez azt jelenti, hogy az a n = ( + ) n n sorozat monoton növ és felülr l korlátos, tehát konvergens Deníció. Az e - Euler-féle számot - úgy deniáljuk, mint a fenti sorozat határértéke: e := lim ( + n )n. (e 2, , egy irracionális szám.)
28 28 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK A határérték alaptulajdonságai 2.4. Állítás. Legyen adott két konvergens sorozat (a n ) és (b n ), Ekkor lim a n = A lim b n = B.. Tetsz leges cɛir esetén (ca n ) is konvergens, és 2. (a n + b n ) is konvergens, és 3. (a n b n ) is konvergens, és Bizonyítás. lim ca n = ca. lim (a n + b n ) = A + B. lim (a nb n ) = AB.. Legyen ε > 0 tetsz leges. Be kell látnunk, hogy ca n ca < ε teljesül bizonyos n indext l kezdve. c = 0 esetén az állítás triviális. Ha c 0, akkor az (a n ) sorozatot tekintve az ε/ c számhoz létezik N küszöbindex, melyre minden n N esetén Így ha n N, akkor a n A < ε c. ca n ca = c a n A < c ε c = ε. 2. Tetsz leges ε > 0 szám esetén ε/2-hez N, hogy ha n N, akkor a n A < ε 2.
29 2.. SZÁMSOROZATOK 29 Hasonlóan N 2, hogy ha n N 2, akkor b n B < ε 2. Így N = max(n, N 2 ) választással n N esetén a n + b n (A + B) a n A + b n B < ε 2 + ε 2 = ε. 3. A tulajdonság bizonyításához el ször egy lemmát látunk be. 2.. Lemma. Ha lim a n = 0, akkor (a n b n ) is konvergens, és lim b n = B lim (a nb n ) = 0 Bizonyítás. Mivel a (b n ) sorozat konvergens, ezért korlátos is, tehát létezik egy olyan KɛIR, K > 0, hogy b n < K, nɛin. Másrészt tetsz leges ε > 0-hoz létezik N ɛin küszöbindex, hogy a n 0 < ε, n N. K A fenti egyenl tlenségeket felhasználva azt kapjuk, hogy: a n b n 0 = a n b n = a n b n < ε K K = ε. Ebb l pedig következik, hogy lim (a nb n ) = 0. A 3. tulajdonság igazolása. Írjuk fel az alábbi azonosságot: a n b n AB = a n (b n B) + B(a n A.) A jobboldal mindkét tagja az el z lemma alapján 0-hoz tart.
30 30 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK 2.5. Állítás. (Alaptulajdonságok folytatása) Adott két konvergens sorozat (a n ) és (b n ), Ekkor 4. lim a n = A lim b n = B. lim a n = A. 5. Tegyük fel, hogy A 0 és a n 0. Ekkor lim a n = A. 5. Az el z feltételekkel b n lim = B a n A. Bizonyítás. 4. A háromszög-egyenl tlenség alapján a n A a n A. Legyen ε > 0 tetsz leges. Ekkor N, hogy minden n N esetén a n A < ε, és emiatt a n A ε. 5. Feltehetjük, hogy A > 0 és a n > 0. Felhasználjuk, hogy El ször a nevez t becsüljük. n > N akkor azaz a n A = a n A a n A. Az ε = A/2-höz létezik N, hogy ha a n ɛ(a A 2, A + A 2 ), a n > A 2.
31 2.. SZÁMSOROZATOK 3 Az ε 2/A 2 -hez is létezik N 2, melyre n > N 2 esetén a n A < ε 2 A 2. Legyen N = max(n, N 2 ). Ekkor n N esetén az eredeti becslést folytatva a n A a n A a n A A A 2 = a n A 2 A 2 ε 2 A 2 2 A 2 = ε Példa. Az (a n ) sorozatot rekurzívan deniáljuk. Legyen a := a n+ := a2 n + 4, n (2.) 4 El ször belátjuk, hogy monoton növ, azaz a n a n+ teljesül minden n-re. Valóban, teljes indukcióval:. a =, a 2 = 5 4 ezért a < a 2 teljesül. 2. Tegyük fel, hogy beláttuk már, hogy a n a n.a sorozat nyilván pozitív tagú. Ekkor a n+ = a2 n az indukciós feltétel miatt. a2 n = a n Belátjuk azt is, hogy a sorozat korlátos: igazoljuk, hogy a n < 2 teljesül minden n-re. Ezt is teljes indukcióval bizonyíjuk.. n = -re a = < 2, így igaz. 2. Tegyük fel hogy a n < 2 és a sorozat pozitív tagú. Ekkor a n+ = a2 n < = 2.
32 32 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK A sorozat monoton növ és felülr l korlátos, ezért konvergens. Legyen A = lim a n a határértéke. Az eredeti rekurziós (2.) egyenletben határértéket véve azt kapjuk, hogy a 2 n + 4 lim = A2 + 4, 4 4 ezért tehát A = Rész-sorozatok A = A Adott (a n ) sorozat. Egy index-sorozatot úgy deniálunk, hogy minden kɛin természetes számhoz hozzárendelünk egy n k -val jelölt indexet, hogy n < n 2 <... < n k < n k+,... teljesüljön. A részsorozat elemei a n, a n2, a n3,... lesznek. Pl. (a 2n ) a páros index tagokból álló részsorozat: a 2, a 4, a 6, Tétel. Minden sorozatnak van monoton részsorozata. Bizonyítás. A sorozat egy a n elemét csúcsnak nevezzük, ha a n a m m > n, azaz az utána következ elemek közt nincs nála nagyobb. Két esetet különböztetünk meg.. Ha végtelen sok csúcs van, akkor legyenek ezek indexei n < n 2 < n 3 <.... Ekkor az (a nk ) részsorozat monoton fogyó. 2. Ha csak véges sok csúcs van, akkor legyen az utolsó csúcs indexe n, ha egyáltalán nincs csúcs, akkor n = 0. Deniáljuk n -t, mint n := n +. Ekkor, mivel a n nem csúcs, ezért van nála nagyobb elem, a n2 > a n, ahol n 2 > n. Hasonlóan, mivel a n2 nem csúcs, ezért van a n3, melyre n 3 > n 2 és a n3 > a n2. Így tudunk monoton növ részsorozatot konstruálni.
33 2.. SZÁMSOROZATOK Tétel. Bolzano-Weierstrass tétel. Minden korlátos (a n ) sorozatnak van konvergens részsorozata. Bizonyítás. Az el z tétel szerint van (a nk ) monoton részsorozat, amely szintén korlátos. Ezért konvergens is Cauchy sorozatok 2.8. Deníció. Azt mondjuk, hogy (a n ) eleget tesz a Cauchy feltételnek, ha minden ε > 0-hoz N küszöbindex, N = N(ε), melyre teljesül, hogy minden n, m N esetén a n a m < ε. Ha egy sorozat kielégíti a Cauchy feltételt, akkor Cauchy sorozatnak nevezzük Tétel. Ha (a n ) konvergens, akkor Cauchy sorozat. Bizonyítás. Legyen lim a n = A, és legyen ε > 0 tetsz leges. Ekkor az ε/2 számhoz létezik egy N küszöbindex, melyre n N, m N esetén a n A < ε 2, a m A < ε 2. Ekkor a háromszögegyenl tlenség miatt a n a m = (a n A) + (A a m ) a n A + a m A ε 2 + ε 2 = ε Tétel. (Az el z Tétel megfordítása) Ha (a n ) Cauchy sorozat, akkor (a n ) konvergens. Bizonyítás. Két segédállítást (lemmát) fogunk belátni a bizonyítás során Lemma. Ha (a n ) eleget tesz a Cauchy kritériumnak, akkor korlátos. Bizonyítás. Az ε = -hez létezik N index, melyre minden n N esetén a n ɛ(a N, a N + ), Az intervallumon kívül csak véges sok eleme van a sorozatnak, ezért van legnagyobb és legkisebb közöttük. Tehát korlátja a sorozatnak. K = max{ a N +, a,..., a N }
34 34 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK 2.3. Lemma. Ha egy (a n ) Cauchy sorozatnak van konvergens (a nk ) részsorozata, és lim k a n k = A, akkor a sorozat is konvergens, és lim a n = A. Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetsz leges. Ekkor a részsorozat konvergenciája miatt létezik N index, melyre a nk A < ε 2, ha n k > N. Mivel (a n ) Cauchy sorozat, ezért létezik N 2 index, melyre a n a m < ε 2, ha n, m > N 2. Legyen N = max{n, N 2 } Ekkor minden n N esetén létezik n k n N. Így a n A = (a n a nk ) + (a nk A) a n a nk + a nk A < ε 2 + ε 2 = ε. A Tétel bizonyítása. Az (a n ) Cauchy-sorozat, tehát korlátos. A Bolzano- Weierstrass tétel miatt létezik (a nk ) konvergens részsorozat, és ekkor az eredeti sorozat is konvergens. 2.. Következmény. (a n ) konvergens (a n ) Cauchy sorozat. Példa. Legyen a n = n k= k = n. Becsüljük meg az n-dik és 2n-dik tag különbségét: a 2n a n = 2n k=n+ Tehát azt kaptuk, hogy k = n n + 2 2n > 2n n 2n = n 2n = 2. a 2n a n > 2 n, ezért például az ε = /2 esetén sem teljesül a Cauchy kritérium, tehát (a n ) nem konvergens.
35 2.. SZÁMSOROZATOK Konvergens sorozatok további tulajdonságai 2.6. Állítás. (Konvergencia monotonitása) Tegyük fel, hogy az (a n ) és (b n ) sorozatok konvergensek, jelölje Ha akkor A B. lim a n = A, a n < b n, lim b n = B. n, Bizonyítás. Triviális. Megjegyzés. Megjegyezzük, hogy bár a feltételben szigorú egyenl tlenség áll, határértékben egyenl ség is el fordulhat. Példaként nézhetjük az a n = n 2 < b n = n sorozatokat. Nyilván és határértékben n 2 < n lim n >, n 2 = lim n = Tétel. (Rend r-elv) Tegyük fel, hogy az (a n ) és (b n ) sorozatok közrefognak egy harmadik sorozatot: a n c n b n nɛin. Tegyük fel, hogy (a n ) és (b n ) konvergens sorozatok ugyanazzal a határértékkel lim a n = A, lim b n = A. Ekkor (c n ) is konvergens, és lim c n = A.
36 36 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetsz leges. Ekkor létezik N küszöbindex, melyre a n A < ε ha n N, speciálisan a n > A ε. Hasonlóan N 2, melyre b n A < ε ha n N 2, speciálisan b n < A + ε. Ekkor n max(n, N 2 ) esetén amib l a konvergencia következik. A ε < a n c n b n < A + ε, Megjegyzés. A fenti tételek akkor is igazak, ha a feltételek nem minden nɛin-re teljesülnek, hanem csak egy bizonyos N-t l kezdve. Példa. Legyen a n = n n. Belátjuk, hogy lim a n =. Azt tudjuk, hogy < a n, minden n > -re. Ekkor < a n = n n n... n + n n = 2 n n + n 2 = 2 + n 2 < 2 +. n n n n A számtani és mértani közép közti egyenl séget használtuk. Azt kaptuk, hogy < a n < 2 +. n Legyen: b n (minden eleme ) és c n = 2/ n +. Mindkét sorozat határértéke, és b n < a n < c n minden n-re. Ekkor lim b n =, lim c n =, ezért lim a n =. Hasonlóan belátható: lim n =. n Példa. (Az el z példa következménye.) Legyen p > 0 tetsz leges, a n := n p, láttuk, hogy lim n p =, most másképp is belátjuk. Tetsz leges p > 0 esetén igaz, az /n < p < n bizonyos N után (azaz N index, hogy /n < p < n, minden n > N esetén). Ekkor: = és emiatt n n < n p < n n, lim n p.
37 2.. SZÁMSOROZATOK Nullsorozatok 2.9. Deníció. Az (a n ) konvergens sorozatot nullsorozatnak nevezzük, ha határértéke 0, azaz minden ε > 0-hoz N = N(ε) küszöbindex, hogy minden n N-re a n < ε Állítás.. (a n ) konvergens és határértéke A azzal ekvivalens, hogy b n = a n A nullsorozat. 2. Tegyük fel, hogy (a n ) nullsorozat, (b n ) korlátos sorozat. Ekkor az (a n b n ) is nullsorozat, azaz lim a nb n = Tegyük fel, hogy (a n ) divergens és lim a n =. Legyen b n := a n, ha a n > 0 0, ha a n 0 Ekkor lim b n = 0, azaz (b n ) nullsorozat. 4. (a n ) pontosan akkor nullsorozat ha ( a n ) nullsorozat. 5. Legyen (a n ) divergens sorozat, lim a n =. Legyen (b n ) alulról korlátos sorozat, melynek alsó korlátja pozitív. Ekkor: Bizonyítás. lim a nb n =. 2. Ha (b n ) korlátos, akkor b n K, minden n-re. Tetsz leges ε > 0 esetén a ε/k-hoz létezik N: minden n N, a n < ε K. Ekkor a n b n = a n b n ε K K = ε.
38 38 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK 3. Legyen ε > 0 tetsz leges. Mivel a n +, ezért K = /ε-hoz N = N(K) küszöbindex, hogy minden n N-re a n K(> 0). Ekkor b n = a n K = ε 5. Legyen (b n ) egy pozitív alsó korlátja k: b n = b n k > 0 Legyen KɛIR tetsz leges szám, (K > 0). Ekkor K/k-hoz N küszöbindex, ha n N, akkor a n K/k. Ekkor: a n b n K k k = K 2.8. Állítás. (Összehasonlító kritériumok). Tegyük fel, hogy (a n ) nullsorozat, (b n ) olyan sorozat, melyre ( b n ) ( a n ) minden n-re (rögzített N mellett minden n > N-re). Ekkor lim b n = 0 2. Tegyük fel, hogy (a n ) -be divergál, azaz lim a n = +, és N index, ha n N, akkor b n a n. Ekkor lim b n = +. Megjegyzés. A lim a nb n = 0 típusú határérték "bármi" lehet ( nem). Emlékeztetünk arra, hogy lim pn = 0, ha p <, ha p =, ha p > divergens, ha p. Példa. Legyen a n = np n. Belátjuk, hogy ha 0 < p <, akkor lim npn = 0. Átírjuk a sorozat elemeit ilyen alakba: a n = np n = ( n np) n.
39 2.. SZÁMSOROZATOK 39 n Mivel n tart az -hez, ezért N küszöbindex, hogy ha n N, akkor n n < p. Ezekre az n-ekre Tehát létezik 0 < q <, melyre n np < p p =. n np < q <. Ezért 0 < a n < q n, ha n N, így a rend relv alapján lim a n = 0. *. Példa. Legyen kɛin tetsz leges természetes szám, és tekintsük az a n = n k p n sorozatot, 0 < p <. Ekkor lim a n = 0. Bizonyítás. Az el z esethez hasonlóan a n = ( n n k p) n n. Mivel n, ezért n n k, és emiatt n n k < p, ha n > N. A bizonyítás ugyanúgy megy, mint az el z esetben. 2. Példa. Legyen a n = 3n n!. Belátjuk, hogy lim a n = 0. Legyen n > 3. Ekkor a n = 3 n n = n = (3 2*. Példa. Legyen a > 0 tetsz leges ) n 9 2 (3 4 )n 3 0. ekkor lim a n = 0 most is igaz. a n = an n!, Számtani átlag-sorozatok 2.9. Állítás. Adott (a n ) nullsorozat. Legyen Ekkor lim A n = 0. A n = a a n n = n n a k. k=
40 40 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Bizonyítás. Legyen ε > 0 tetsz leges. A n = n n a k n k= n a k. Az ε/2-höz létezik N küszöbindex, hogy ha n N, akkor a n < ε 2. Ezekre az n indexekre A n a a N + a N a n n ahol a n K fels korlát. Ha akkor tehát, ha n N, akkor ezzel az állítást beláttuk. n 2NK ε N n K ε 2, = N, k= A n ε 2 + ε 2 = ε, Megjegyzés. Az állítás megfordítása nem igaz! A n 0 a n 0. N n K + ε n N 2 n < N n K + ε 2 Ellenpélda: Ha a n = ( ) n, akkor 0, ha n = 2k A n =, n ha n = 2k + tehát A n 0, bár az eredeti sorozat divergens volt., 2.2. Következmény. Legyen (a n ) konvergens, lim a n = A. Ekkor a számtani átlag sorozatra lim A n = A. Bizonyítás. Felhasználjuk, hogy lim a n = A azzal ekvivalens, hogy (a n A) nullsorozat. Legyen ugyanis b n := a n A. Ennek a sorozatnak a számtani átlag sorozata B n = b + + b n n = a A +... a n A n = a + + a n n A.
41 2.. SZÁMSOROZATOK 4 Az el z tétel alapján ahonnan azonnal következik, hogy lim B n = 0, lim A n = A Állítás. Legyen (a n ) pozitív tagú sorozat, és G n := n a... a n a mértani átlagok sorozata. Tegyük fel, hogy (a n ) nullsorozat, ekkor lim G n = 0. Bizonyítás. A számtani-mértani közép közti egyenl tlenség miatt 0 < G n A n, és mivel A n nullsorozat, ezért G n is az Torlódási pont 2.0. Deníció. Legyen (a n ) egy sorozat, és tɛir egy valós szám. Azt mondjuk, hogy t torlódási pontja (a n )-nek, ha t bármely környezetében végtelen sok tagja van a sorozatnak. Más szavakkal a torlódási pont azt jelenti, hogy minden ε > 0 esetén a (t ε, t + ε) intervallumban a sorozatnak végtelen sok tagja van. Lényeges különbség a határértékhez képest, hogy a határérték tetsz lges környezetén kívül csak véges sok tagja lehet a sorozatnak. Példa. Tekintsük az a n = ( ) n sorozatot. Ennek két torlódási pontja van, t = és t 2 =. Példa. "Összefésült sorozatok". Legyen a n = n, b n = n n +.
42 42 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Deniáljunk egy harmadik sorozatot a következ képpen: a k ha n = 2k c n = b k ha n = 2k + A (c n ) sorozatnak két torlódási pontja van, 0 és. 2.. Állítás. Ha az (a n ) sorozat konvergens, akkor egyetlen torlódási pontja van. Megjegyzés. A fenti állítás megfordítása nem igaz. Legyen a sorozat, ha n = 2k + n a n :=. ( ) n/2 n ha n = 2k A sorozat elemei tehát, 2, 3, 4, 5, 6,... A sorozatnak egyetlen torlódási pontja van, a 0, de nyilván nem konvergens, hiszen nem korlátos. 2.. Deníció. Ha a torlódási pontok halmaza felülr l korlátos, akkor ennek a legkisebb fels korlátját limes superiornak nevezzük. (A torlódási pontok sup-ja). Jelölése lim sup(a n ) = lim(a n ). Ha a torlódási pontok halmaza alulról korlátos, akkor ennek a legnagyobb alsó korlátját limes inmumnak nevezzük, ennek jelölése lim inf(a n ) = lim(a n ) Végtelen sorok Emlékeztetünk rá, hogy sorozat valós számok rendezett halmaza volt. Sor alatt valós számok összegét értjük, ahol az összeadandók száma végtelen: a + a 2 + a a n....
43 2.2. VÉGTELEN SOROK 43 Formálisan, végtelen sor alatt egy n= alakú végtelen összeget értünk. Az a kérdés, hogy milyen értelmet tulajdoníthatunk egy ilyen végtelen összegnek. a n Végtelen sor konvergenciája 2.2. Deníció. A fenti végtelen sor konvergens, ha a részletösszegek sorozata s n = n k= konvergens. Ekkor azt mondjuk, hogy a sor összege n= Példa. Legyen a n =, a végtelen sor 2n Ekkor a k a n = lim s n s n = n = ( ) 2 n = 2 ( ) 2 n = 2 2 n, mivel egy mértani sorozat elemeit adtuk össze. Tehát (s n ) konvergens, -hez tart, így 2 n =. n= Példa. Legyen a n = ( ) n, ekkor a végtelen sor
44 44 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK A részletösszegek sorozata: 0 ha n = 2k s n = ha n = 2k + Így az s n sorozat nem konvergens, a végtelen sor összege nem létezik Deníció. Ha a részletösszegek (s n ) sorozata nem konvergens, akor azt mondjuk, hogy a végtelen sor divergens. Példa. Mértani (geometriai) sor. Legyen a n = q n. Kérdés, mennyi az alábbi összeg: + q + q =? Az els n tag összege s n = + q + q q n = qn, ha q. q Így lim s n = q ha q < + ha q. ha q 2.2. Állítás. Ha ( a n ) konvergens, akkor (a n ) nullsorozat. Bizonyítás. Legyenek Ekkor mivel ezért s n = n n a k, S n = a k n 2. k= lim s n = S k= lim S n = S lim a n = lim (s n S n ) = 0.
45 2.2. VÉGTELEN SOROK 45 Megjegyzés. Az állítás megfordítása nem igaz, ha (a n ) nullsorozat, akkor ( a n ) általában nem konvergens. Példa. Tekintsük a n= végtelen sort. A sor elemei 0-hoz tartanak. A részletösszegek sorozata s n = n n k= Err l már beláttuk, hogy nem konvergens. Példa. Elemi törtekre bontva s n = n k= n= k(k + ) = k. n(n + ) =? n k= ( k ) = k + ezért ( 2 ) + ( 2 3 ) ( n n + ) = n +, lim s n =. A sorozatoknál tanultakból következik, hogy a végtelen sor pontosan akkor konvergens ha (s n ) teljesíti a Cauchy-féle feltételt. Cauchy feltétel sorokra. A ( a n ) végtelen sor teljesíti a Cauchy feltételt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan N = N(ε) küszöbindex, melyre minden n > m N esetén a m a n = n k=m+ a k < ε. Ez azt jelenti, hogy a N küszöbindex után akárhány elemet adunk össze, az összeg kisebb lesz, mint ε.
46 46 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Összehasonlító kritériumok Az alábbi két tétel azonnal következik a sorozatokra igazolt összehasonlító kritériumokból Tétel. (Majoráns kritérium) Tegyük fel, hogy adott két sor, melyek elemeire teljesül, hogy 0 b n a n minden n-re. Ha ( a n ) sor konvergens, akkor ( b n ) is konvergens. Megjegyzés. az állítás úgy is igaz, ha a feltétel a következ : N ɛin, hogy minden n > N-re teljesül 0 b n a n Tétel. (Minoráns kritérium) Tegyük fel, hogy b n a n, minden n-re. Ha ( a n ) divergens és a k = +, k= akkor ( b n ) is divergens, és a összege +. Példa. n= n 2 konvergens-e? Felhasználjuk azt a becslést, hogy n 2 < n(n ), n 2. Ekkor alkalmazhatjuk a majoránskritériumot, hiszen a n(n ) n=2 sor konvergens. Tehát beláttuk, hogy n 2 <. n= Megjegyzés. Láttuk, hogy n = +, n= n= n 2 <.
47 2.2. VÉGTELEN SOROK 47 A kés bbiek során be fogjuk látni, hogy a sor akkor konvergens, ha α >. n= Példa. Végtelen tizedestörtek értelmezése. Egy végtelen tizedestört a (0, ) intervallumban így írható: 0, a a 2 a 3... = A fenti sort majorálni tudjuk, a mértani sorral, tehát konvergens. 9 n α a k 0 k, 0 a k 9. k= 0 k < k= Példa. Képezzünk sokszöget egy szabályos, a oldalú, T terület háromszögb l a következ rekurzív eljárással:. Osszunk minden oldalt 3 egyenl részre. 2. Minden középs oldal szakaszra illesszünk szabályos háromszöget. 3. Ismételjük meg az el z lépéseket. Az így kapott sokszög az úgynevezett Koch-görbe. Mennyi az így kapott alakzat kerülete és területe? Megoldás: 2.. ábra. A Koch görbe konstrukciójának els 5 lépése.
48 48 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK. A Koch-görbe kerületét egy sorozat határértékeként kapjuk. Minden lépésben minden oldal hossza 4 3 -szorosára n, mivel minden oldal középs harmadát nála kétszer hosszabbra cseréltük. A kerület tehát: ( ) 4 n K = 3a lim = 3 2. A Koch-görbe területe geometriai sor határértékeként áll el. Az egyes lépésekben újonnan illesztett háromszögek száma az oldalszámmal egyenl (azaz lépésenként 4-szeresére n ), területe az el z háromszögek területének 9-szerese. E két tényez gyelembevételével a terület határértékére felírható geometriai sor: T = T + lim 9 T = T + 3 T 3 + 3T T = n k= ( ) 4 k = T + T = T + 3T 5 = 8T 5 Megjegyzés. Érdekes belegondolni abba a ténybe, hogy a kapott alakzat véges területét önmaga kicsinyített másaiból el álló végtelen hosszú görbe határolja. A Koch-görbe tipikus példája az önhasonló fraktáloknak Abszolút konvergens sorok 2.4. Deníció. A ( a n ) végtelen sor abszolút konvergens, ha az abszolútértékekb l álló ( a n ) sor konvergens Állítás. Ha ( a n ) abszolút konvergens, akkor konvergens is. Bizonyítás. Belátjuk a Cauchy kritérium teljesülesét. A háromszögegyenl tlenség miatt n n a k a k, k=m+ k=m+ és a jobboldal tetsz legesen kicsi lehet elegend en nagy m < n esetén az abszolút konvergencia miatt. Az állítás megfordítása nem igaz, látunk majd rá ellenpéldát.
49 2.2. VÉGTELEN SOROK Deníció. A ( a n ) végtelen sor feltételesen konvergens, ha konvergens, de nem abszolút konvergens Hányados-kritérium 2.8. Tétel.. Tegyük fel, hogy a n+ a n q < teljesül minden n-re ahol qɛ(0, ) n-t l független szám. Akkor a sor abszolút konvergens. 2. Tegyük fel, hogy Akkor a sor divergens. a n+ a n, n. Bizonyítás.. A feltétel szerint a 2 a q a 3 a 2 q. a n+ a n q Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy a n+ a q n, azaz a n+ a q n. Így a majoránskritérium szerint az abszolú tertékekb l álló sor konvergens. 2. Ha a n+, a n akkor a n+ a n, tehát (a n ) nem lehet nullsorozat. (Például az ε = a -hez már nincs olyan N küszöbindex, hogy a n < ε teljesülne n N mellett.)
50 50 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Megjegyzés. Elegend a fenti tételben, hogy a feltételek bizonyos n N esetén teljesülnek. Megjegyzés. A tétel els részéhez fontos a q < szám létezése, nem elegend azt mondani, hogy a n+ a n <. Példa. Legyen a n = /n. Ekkor n= n =, és itt a hányadosra mindig teljesül, hogy a n+ a n = n n + <, de nem tudunk közös q < fels korlátot mondani. A sor nem konvergens, mint már láttuk Tétel. (Hányados-kritérium gyengített változata.)hányadoskritérium!gyengített Tegyük fel, hogy létezik a határérték. Ekkor lim a n+ = A a n - ha A <, akkor a sor abszolút konvergens, - ha A >, akkor a sor divergens, - ha A =, akkor a sor lehet konvergens és divergens is. Bizonyítás. Visszavezetjük az el z tételre. - Tegyük fel, hogy A <. Ekkor az ε = ( A)/2-hoz is N index, melyre minden n > N esetén: azaz a n+ a n A < ε, a n+ a n < A + ε = q <.
51 2.2. VÉGTELEN SOROK 5 - Tegyük fel, hogy A >. Ekkor N, ha n N. a n+ a n >, - Tegyük fel, hogy A = Mindkét esetre mutatunk példát. Legyen a n = /n, ekkor a n+ lim = a n és a n =. Legyen a n = /n 2, ekkor n és Példa. Legyen Ekkor a végtelen sor a n+ lim = a n a n <. n a n = n!. + 2! + 3! + 4! A hányados kritérium szerint így a sor konvergens. a n+ a n = (n + )! (n)! = n + < 2 <, 2.4. Állítás. n=0 n! = e
52 52 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Bizonyítás. A bizonyításhoz felhasználjuk, hogy az ( S n := + ) n n sorozat határértéke az e szám, lim ( + n) n = e. A binomiális tételt felhasználva S n így írhtaó: ( + ) n = + n n(n ) n(n )(n 2) + + n n 2! n2 3! = + + n n 2! n n + n 3! n n n 2 n n n k! n < + + 2! n! Legyen T n az állításban szerepl sor részletösszeg sorozata: Az el z ekben azt láttuk be, hogy T n = n k=0 k! n n = n n... n k < n S n < T n, nɛin. Ebb l következik, hogy azaz lim S n lim T n e lim T n Ahhoz, hogy az állítás teljesüljön, meg kell mutatnunk, hogy e lim T n. Becsüljük az S n sorozatot alulról a következ képpen: ( + ) n = ++ n n n 2! n n +... > n(n )... (n m + ) m! n m,
53 2.2. VÉGTELEN SOROK 53 ahol mɛin rögzített, m < n. Ha vesszük az egyenl tlenség mindkét oldalának határértékét n esetben, akkor a következ t kapjuk: e = lim ( + n )n m m! = k! Mivel a kifejezés minden mɛin-re igaz, ezért: Ha és e lim m m k=0 e lim m m k=0 e lim m k=0 egyszerre teljesül, akkor igaz a következö: Gyökkritérium e = lim m m k=0 A korábbi fejezetben szerepelt hányadoskritérium helyett használhatjuk az ú.n. gyök-kritériumot. Az alábbi tételek bizonyítása teljesen hasonló a hányadoskritériumra vonatkozó megfelel tételek bizonyításához, így nagyrészt elhagyjuk Tétel. Adott az (a n ) sorozat.. Tegyük fel, hogy n a n q minden nɛin-re, ahol a q rögzített és 0 < q <. Ekkor a ( a n ) sor abszolút konvergens. 2. Tegyük fel, hogy n a n, minden nɛin-re. Ekkor a ( a n ) sor divergens. Bizonyítás. m k! k! k! k!. k=0
54 54 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK. A feltétel szerint n a n q, ahol 0 < q <, így igaz az is, hogy Mivel a n q n, nɛin. q n < n= ezért a majoránskritérium alkalmazásával ebb l következik, hogy a n <. n= Az abszolút konvergencia miatt a sor konvergens: a n < n= 2. Mivel n a n, így emiatt a n, azaz (a n ) nem nullsorozat, tehát sor nem konvergens. n= 2.. Tétel. (Gyengített gyökkritérium) Adott a hogy a lim határérték létezik. Ekkor ( ) an. Ha A <, akkor a 2. Ha A >, akkor a ( an ) a n n an = A ( an ) sor abszolút konvergens. sor divergens. sor. Tegyük fel, 3. Ha A =, akkor a kritérium alapján nem eldönthet a sor konvergenciája.
55 2.2. VÉGTELEN SOROK Leibniz - típusú sorok 2.6. Deníció. ( ) an Leibniz - típusú sor, ha az (a n ) sorozat rendelkezik az alábbi három tulajdonsággal.. Váltakozó el jel, azaz a n a n+ 0, 2. ( a n ) monoton fogyó, 3. (a n ) nullsorozat Tétel. A Leibniz -típusú sor konvergens. Bizonyítás. Feltehet, hogy a > 0, ekkor a páratlan index tagokra a 2n+ > 0, páros index tagokra a 2n < 0 teljesül. Képezzük az alábbi sorozatokat: α := a + a 2 β := a } α 2 := a + a 2 + a 3 + a 4 β 2 := a + a 2 + a 3. α β } α 2 β 2 Másrészt az (a n ) sorozat abszolútérték-monotonitása miatt α < α 2 <... β > β 2 >... A Cantor-féle közöspont tételt fogjuk alkalmazni az I = [α, β ], I 2 = [α 2, β 2 ],... intervallum sorozatra. Könnyen látható, hogy - I n+ I n, egymásba skatulyázott zárt intervallumok, - az intervallumok hossza: I = a 2, I 2 = a 4..., ezért lim I n = 0.
56 56 2. FEJEZET. SOROZATOK, VÉGTELEN SOROK Mivel a Cantor-tétel feltételei teljesülnek, ezért létezik egyetlen közös pont, s, melyre s = lim α n = lim β n. Példa. Tekintsük az alábbi végtelen sort: Látható, hogy ez Leibniz-típusú, ezért konvergens, létezik a részletösszegek határértéke: = ( ) k+ k < DE! k= k= ( )k+ k =, ahogy korábban már beláttuk. Tehát ez a sor feltételesen konvergens. Megjegyzés: A feltételesen konvergens sor összege függ az összeadás sorrendjét l. Igazolható, hogy a sor összge bármi is lehet.
57 Tárgymutató e (Euler féle szám), 27 bels pont, 3 Bernoulli egyenl tlenség, 5 Bolzano-Weierstrass tétel, 33 Cantor-féle közöspont-tétel, 9 Cauchy kritérium számsorozatokra, 33 Cauchy sorozat, 33 gyökkritérium, 53 gyengített, 54 hányadoskritérium, 49 határpont, 4 inmum, 0 küls pont, 3 Koch görbe, 47 korlátos halmaz, 0 Leibniz sor, 55 mértani közép, 6 mértani sor, 44 majoráns kritérium számsorokra, 46 minoráns kritérium számsorokra, 46 nullsorozat, 37 supremum, számsor abszolút konvergens, 48 feltételesen konvergens, 49 számsorozat, 22 összehasonlító kritérium, 38 Cauchy feltétel, 33 divergens, 25 konvergencia monotonítása, 35 konvergens, 24 korlátos, 22 részsorozata, 32 rekurzívan deniált, 3 rend r elv, 35 számtani átlag sorozat, 39 számtani közép, 6 számtani- és mértani közép közti összefüggés, 7 teljes indukció, 6 torlódási pont, 4 végtelen sor(számsor), 43 Cauchy feltétel, 45 valós számok axiómái, 7 Cantor axióma, 9 57
Analízis I. Vizsgatételsor
Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2
RészletesebbenSorozatok és Sorozatok és / 18
Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. Sorozatok 2015.11.30. és 2015.12.02. 1 / 18 Tartalom 1 Sorozatok alapfogalmai 2 Sorozatok jellemz i 3 Sorozatok határértéke 4 Konvergencia és korlátosság 5 Cauchy-féle
RészletesebbenMinden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.
1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden
RészletesebbenAnalízis I. beugró vizsgakérdések
Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók
RészletesebbenSorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján
Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:
RészletesebbenAz R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit.
2. A VALÓS SZÁMOK 2.1 A valós számok aximómarendszere Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti az alábbi 3 axiómacsoport axiómáit. 1.Testaxiómák R-ben két művelet van értelmezve, az
RészletesebbenA sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex
A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 2010-11. I. Félév 2 1. fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik 1.1. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b)
Részletesebbenf(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva
6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
Részletesebbenminden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.
Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének
RészletesebbenA valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
RészletesebbenSorozatok. 5. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Sorozatok p. 1/2
Sorozatok 5. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Sorozatok p. 1/2 A sorozat definíciója Definíció. A természetes számok halmazán értelmezett valós értékű a: N R függvényt
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
Részletesebben4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim
Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2
RészletesebbenGyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához
Gyakorló feladatok az II. konzultáció anyagához 003/004 tanév, I. félév 1. Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat korlátosság és monotonitás szempontjából! a n = 5n+1, b n = n + n! 3n 8, c n = 1 ( 1)n
RészletesebbenBevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok
. fejezet Bevezetés Algebrai feladatok J. A számok gyakran használt halmazaira a következ jelöléseket vezetjük be: N a nemnegatív egész számok, N + a pozitív egész számok, Z az egész számok, Q a racionális
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter
Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,
RészletesebbenFüggvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Függvények folytonosságával kapcsolatos tételek és ellenpéldák BSc Szakdolgozat Készítette: Nagy-Lutz Zsaklin Matematika BSc, Matematikai elemz szakirány
RészletesebbenGAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN
GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN Készült a TÁMOP-4.1.-08//a/KMR-009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék
RészletesebbenMegoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1
Megoldott feladatok 00. november 0.. Feladat: Vizsgáljuk az a n = n+ n+ sorozat monotonitását, korlátosságát és konvergenciáját. Konvergencia esetén számítsuk ki a határértéket! : a n = n+ n+ = n+ n+ =
RészletesebbenAnalízis ZH konzultáció
Analízis ZH konzultáció 1. Teljes indukció Elméleti segítség: n=1-re bebizonyítani (vagy arra az n-re, ahonnan az állítást igazolni szeretnénk) feltesszük, hogy n-re igaz az állítás -> n+1-re is igaz lesz?
RészletesebbenFunkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor
Részletesebben2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia
2010. október 12. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Sorozat definíciója 2.) Sorozat megadása 3.) Sorozatok szemléltetése 4.) Műveletek sorozatokkal 5.) A sorozatok tulajdonságai 6.) A sorozatok határértékének
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenDiMat II Végtelen halmazok
DiMat II Végtelen halmazok Czirbusz Sándor 2014. február 16. 1. fejezet A kiválasztási axióma. Ismétlés. 1. Deníció (Kiválasztási függvény) Legyen {X i, i I} nemüres halmazok egy indexelt családja. Egy
RészletesebbenProgramtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1
Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás
RészletesebbenSorozatok, sorozatok konvergenciája
Sorozatok, sorozatok konvergenciája Elméleti áttekintés Minden konvergens sorozat korlátos Minden monoton és korlátos sorozat konvergens Legyen a n ) n egy sorozat és ϕ : N N egy szigorúan növekvő függvény
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
RészletesebbenSzámsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n
Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának
RészletesebbenA fontosabb definíciók
A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,
Részletesebbenf(x) a (x x 0 )-t használjuk.
5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási
RészletesebbenFritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. 2011. Tartalomjegyzék
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA.. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright ii A Matematika. elektronikus
RészletesebbenA Matematika I. előadás részletes tematikája
A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok
RészletesebbenSzámsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Számsorozatok (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Valós számsorozaton valós számok meghatározott sorrendű végtelen listáját értjük. A hangsúly az egymásután következés rendjén van.
RészletesebbenA valós számok halmaza 5. I. rész MATEMATIKAI ANALÍZIS
A valós számok halmaza 5 I rész MATEMATIKAI ANALÍZIS 6 A valós számok halmaza A valós számok halmaza 7 I A valós számok halmaza A valós számokra vonatkozó axiómák A matematika lépten-nyomon felhasználja
RészletesebbenAnalízis Gyakorlattámogató jegyzet
Analízis Gyakorlattámogató jegyzet Király Balázs. március. Tartalomjegyzék Előszó 7 I. Analízis I. 9. Számhalmazok tulajdonságai.. Gyakorlat.......................................... Házi Feladatok.....................................
RészletesebbenAlapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka
Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza
Részletesebben352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm
5 Nevezetes egyenlôtlenségek a b 775 Legyenek a befogók: a, b Ekkor 9 + $ ab A maimális ab terület 0, 5cm, az átfogó hossza 8 cm a b a b 776 + # +, azaz a + b $ 88, tehát a keresett minimális érték: 88
RészletesebbenFunkcionálanalízis. Gyakorló feladatok március 22. Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér
Funkcionálanalízis Gyakorló feladatok 2017 március 22 Metrikus tér, normált tér és skalárszorzat tér N1 Metrikát deniálnak-e R-en az alábbi függvények: (a) d(x, y) = x y (b) d(x, y) = x y (c) d(x, y) =
RészletesebbenHatárérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és
2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend
RészletesebbenHALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Részletesebbenismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül
A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az
RészletesebbenFüggvény határérték összefoglalás
Függvény határérték összefoglalás Függvény határértéke: Def: Függvény: egyértékű reláció. (Vagyis minden értelmezési tartománybeli elemhez, egyértelműen rendelünk hozzá egy elemet az értékkészletből. Vagyis
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. 3. Rövid leírás. 4. Oktatási módszer. Biró Zsolt. 1.
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 1 4. Oktatási módszer 1 5. Követelmények, pótlások 2 6. Program (el adás) 2 7. Program (gyakorlat)
RészletesebbenSZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, SZAKDOLGOZAT ELLENPÉLDÁK. TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit. Matematika Bsc, tanári szakirány
SZÉLSŐÉRTÉKKEL KAPCSOLATOS TÉTELEK, PÉLDÁK, ELLENPÉLDÁK SZAKDOLGOZAT KÉSZÍTETTE: Kovács Dorottya Matematika Bsc, tanári szakirány TÉMAVEZETŐ: Gémes Margit Műszaki gazdasági tanár Analízis tanszék Eötvös
RészletesebbenSorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK
Sorozatok határértéke SOROZAT FOGALMA, MEGADÁSA, ÁBRÁZOLÁSA; KORLÁTOS ÉS MONOTON SOROZATOK Sorozat fogalma Definíció: Számsorozaton olyan függvényt értünk, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész
RészletesebbenMatematika B/1. Tartalomjegyzék. 1. Célkit zések. 2. Általános követelmények. Biró Zsolt. 1. Célkit zések Általános követelmények 1
Matematika B/1 Biró Zsolt Tartalomjegyzék 1. Célkit zések 1 2. Általános követelmények 1 3. Rövid leírás 2 4. Oktatási módszer 2 5. Követelmények, pótlások 2 6. Tematika 2 6.1. Alapfogalmak, matematikai
Részletesebben1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy
/. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az
RészletesebbenPermutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
RészletesebbenMegoldások 11. osztály
XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest, 016. március 1115. Megoldások 11. osztály 1. feladat Egy háromszög három oldalának mér száma, a, b, c ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást
RészletesebbenEgészrészes feladatok
Kitűzött feladatok Egészrészes feladatok Győry Ákos Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium 1. feladat. Oldjuk meg a valós számok halmazán a { } 3x 1 x+1 7 egyenletet!. feladat. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges
RészletesebbenFüggvényhatárérték és folytonosság
8. fejezet Függvényhatárérték és folytonosság Valós függvények és szemléltetésük D 8. n-változós valós függvényen (n N + ) olyan f függvényt értünk amelynek értelmezési tartománya (Dom f ) az R n halmaznak
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenNagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
RészletesebbenSorozatok I. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Sorozatok I. DEFINÍCIÓ: (Számsorozat) A számsorozat olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya a pozitív egész számok halmaza, értékkészlete a valós számok egy részhalmaza. Jelölés: (a n ), {a n }.
Részletesebben1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:
1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre
RészletesebbenKiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz
Kiegészítő jegyzet a valós analízis előadásokhoz (Utolsó frissítés: 011. január 8., 0:30) Az előadásokon alapvetően a Laczkovich T. Sós könyvet követjük, de több témát nem úgy adtam elő, mint ahogy a könyvben
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 3 III. MEGFELELTETÉSEk, RELÁCIÓk 1. BEVEZETÉS Emlékeztetünk arra, hogy az rendezett párok halmazát az és halmazok Descartes-féle szorzatának nevezzük. Más szóval az és halmazok
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat. 2. Relációk
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram. 1. Descartes-szorzat 1. Deníció. Tetsz leges két a, b objektum
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
RészletesebbenMBNK12: Permutációk (el adásvázlat, április 11.) Maróti Miklós
MBNK12: Permutációk el adásvázlat 2016 április 11 Maróti Miklós 1 Deníció Az A halmaz permutációin a π : A A bijektív leképezéseket értjünk Tetsz leges n pozitív egészre az {1 n} halmaz összes permutációinak
RészletesebbenBOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai
BOOLE ALGEBRA Logika: A konjunkció és diszjunkció tulajdonságai 1.a. A B B A 2.a. (A B) C A (B C) 3.a. A (A B) A 4.a. I A I 5.a. A (B C) (A B) (A C) 6.a. A A I 1.b. A B B A 2.b. (A B) C A (B C) 3.b. A
RészletesebbenSzakdolgozat. Hatványsorok és alkalmazásaik
Szakdolgozat Hatványsorok és alkalmazásaik Heimbuch Zita Matematikai elemz szakirány Témavezet : Bátkai András, adjunktus Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Eötvös Loránd Tudományegyetem,
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenA derivált alkalmazásai
A derivált alkalmazásai Összeállította: Wettl Ferenc 2014. november 17. Wettl Ferenc A derivált alkalmazásai 2014. november 17. 1 / 57 Tartalom 1 Függvény széls értékei Abszolút széls értékek Lokális széls
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következ végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle bels konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenFraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk
Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér
RészletesebbenA matematika nyelvér l bevezetés
A matematika nyelvér l bevezetés Wettl Ferenc 2012-09-06 Wettl Ferenc () A matematika nyelvér l bevezetés 2012-09-06 1 / 19 Tartalom 1 Matematika Matematikai kijelentések 2 Logikai m veletek Állítások
Részletesebben1. Számsorozatok és számsorok
1. Számsorozatok és számsorok 1.1. Számsorozatok A számsorozatok egyszer függvények, amelyek hasznos épít kövei lesznek a kés bbi fogalmaknak. 1.1 Deníció. Az a : IN IR típusú függvényeket (valós) számsorozatoknak
RészletesebbenDiszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 3. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Relációk Diszkrét matematika I. középszint 2014.
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
Részletesebben3. Fuzzy aritmetika. Gépi intelligencia I. Fodor János NIMGI1MIEM BMF NIK IMRI
3. Fuzzy aritmetika Gépi intelligencia I. Fodor János BMF NIK IMRI NIMGI1MIEM Tartalomjegyzék I 1 Intervallum-aritmetika 2 Fuzzy intervallumok és fuzzy számok Fuzzy intervallumok LR fuzzy intervallumok
RészletesebbenSZTE TTIK Bolyai Intézet
Néhány érdekes végtelen összegről Dr. Németh József SZTE TTIK Bolyai Intézet Analízis Tanszék http://www.math.u-szeged.hu/ nemethj Háttéranyag: Németh József: Előadások a végtelen sorokról (Polygon, Szeged,
Részletesebben1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Részletesebben0,424 0,576. f) P (X 2 = 3) g) P (X 3 = 1) h) P (X 4 = 1 vagy 2 X 2 = 2) i) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2 X 0 = 2) j) P (X 7 = 3, X 4 = 1, X 2 = 2)
Legyen adott a P átmenetvalószín ség mátrix és a ϕ 0 kezdeti eloszlás Kérdés, hogy miként lehetne meghatározni az egyes állapotokban való tartózkodás valószín ségét az n-edik lépés múlva Deniáljuk az n-lépéses
RészletesebbenANALÍZIS TANÁROKNAK II.
Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar CSÖRGŐ ISTVÁN ANALÍZIS TANÁROKNAK II. az Informatika Minor Szak hallgatói számára nappali és levelező tagozat Budapest, 2008. november A jegyzet az ELTE IK
RészletesebbenKomplex számok. A komplex számok algebrai alakja
Komple számok A komple számok algebrai alakja 1. Ábrázolja a következő komple számokat a Gauss-féle számsíkon! Adja meg a számok valós részét, képzetes részét és számítsa ki az abszolút értéküket! a) 3+5j
RészletesebbenDifferenciálszámítás normált terekben
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Kapui Dóra Differenciálszámítás normált terekben Szakdolgozat Matematika BSc, elemz szakirány Témavezet : Tarcsay Zsigmond Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai
RészletesebbenSHk rövidítéssel fogunk hivatkozni.
Nevezetes függvény-határértékek Az alábbiakban a k sorszámú függvény-határértékek)re az FHk rövidítéssel, a kompozíció határértékéről szóló első, illetve második tételre a KL1, illetve a KL rövidítéssel,
RészletesebbenTaylor-polinomok. 1. Alapfeladatok. 2015. április 11. 1. Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!
Taylor-polinomok 205. április.. Alapfeladatok. Feladat: Írjuk fel az fx) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját! Megoldás: A feladatot kétféle úton is megoldjuk. Az els megoldásban induljunk el
RészletesebbenModern matematikai paradoxonok
Modern matematikai paradoxonok Juhász Péter ELTE Matematikai Intézet Számítógéptudományi Tanszék 2013. január 21. Juhász Péter (ELTE) Modern paradoxonok 2013. január 21. 1 / 36 Jelentés Mit jelent a paradoxon
RészletesebbenEger, augusztus 31. Liptai Kálmán Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet
Tartalomjegyzék Előszó................................. 5. Függvénytani alapismeretek..................... 7. Valós számsorozatok......................... 9 3. Valós számsorok............................
RészletesebbenRelációk. 1. Descartes-szorzat
Relációk Descartes-szorzat. Relációk szorzata, inverze. Relációk tulajdonságai. Ekvivalenciareláció, osztályozás. Részbenrendezés, Hasse-diagram.. Descartes-szorzat A kurzuson már megtanultuk mik a halmazok
RészletesebbenEgyváltozós függvények 1.
Egyváltozós függvények 1. Filip Ferdinánd filip.ferdinand@bgk.uni-obuda.hu siva.banki.hu/jegyzetek 015 szeptember 1. Filip Ferdinánd 015 szeptember 1. Egyváltozós függvények 1. 1 / 5 Az el adás vázlata
RészletesebbenMetrikus terek, többváltozós függvények
Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész
RészletesebbenDiszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Részletesebben1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor
. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis
Részletesebben5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK
Szilágyi T.: Analízis V. Folytonosság, határérték 63 5. FOLYTONOSSÁG, HATÁRÉRTÉK Egy f függvény folytonossága valamely u D(f) helyen els közelítésben azt jelenti, hogy az f(u) helyettesítési érték tetsz
Részletesebben1. tétel - Gráfok alapfogalmai
1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési
Részletesebben25. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel
5. tétel: Bizonyítási módszerek és bemutatásuk tételek bizonyításában, tétel és megfordítása, szükséges és elégséges feltétel Axióma: Bizonyítás: olyan állítás, amelynek igazságát bizonyítás nélkül elfogadjuk.
RészletesebbenNagyságrendek. Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz. Friedl Katalin BME SZIT február 1.
Nagyságrendek Kiegészítő anyag az Algoritmuselmélet tárgyhoz (a Rónyai Ivanyos Szabó: Algoritmusok könyv mellé) Friedl Katalin BME SZIT friedl@cs.bme.hu 018. február 1. Az O, Ω, Θ jelölések Az algoritmusok
RészletesebbenHaladók III. kategória 2. (dönt ) forduló
Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló 1. Tetsz leges n pozitív egész számra jelölje f (n) az olyan 2n-jegy számok számát, amelyek megegyeznek az utolsó n számjegyükb l alkotott szám négyzetével. Határozzuk
RészletesebbenNUMERIKUS SOROK I. A feladat ekvivalens átfogalmazása a következő végtelen sok tagú összegnek a meghatározása ) 1 21
NUMERIKUS SOROK I. Ha az {a n } (n N) sorozat elemeiből egy új {s n } (n N) sorozatot képezünk olyan módon, hogy s = a, s 2 = a + a 2,, s n = a + a 2 + + a n,, akkor ezt numerikus sornak (vagy csak simán
RészletesebbenMatematika alapjai; Feladatok
Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \
Részletesebben