Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej

Átírás

1 Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej Denicja. (Heinego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie) Niech 0 R oraz niech f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie S( 0 ) punktu 0. Liczb g nazywamy granica wªa±ciw funkcji f w punkcie 0, co zapisujemy wtedy i tylko wtedy, gdy f() = g, {n} S( 0 ) [ ( n = 0 ) ( f( n ) = g) )]. Przykªad. Stosuj c denicj Heinego granicy wªa±ciwej funkcji uzasadnij,»e: a) = 6, b) 2 4 = Rozwi zanie: a) Niech ci g n S() oraz n =. Wówczas f( n) = 2 n + 4 = 6. b) Niech ci g n S(2) oraz n = 2. Wówczas f( 2 n 4 n) = n 2 = ( n 2)( n + 2) n 2 = n + 2 = 4. Rysunek : Ilustracja do przykªadu Denicja 2. (Granica lewostronna wªa±ciwa funkcji w punkcie wedªug Heinego) Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na lewostronnym s siedztwie punktu 0. Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie 0 granic lewostronn g R, co zapisujemy 0 f() = g gdy dla dowolnego zbie»nego do 0 ci gu ( n ) punktów lewostronnego s siedztwa punktu 0, ci g warto±ci (f( n )) zbiega do g.

2 Denicja 3. (Granica prawostronna wªa±ciwa funkcji w punkcie wedªug Heinego) Niech funkcja f b dzie okre±lona przynajmniej na prawostronnym s siedztwie punktu 0. Mówimy,»e funkcja f ma w punkcie 0 granic prawostronn g R, co zapisujemy f() = g + 0 gdy dla dowolnego zbie»nego do 0 ci gu ( n ) punktów prawostronnego s siedztwa punktu 0, ci g warto±ci (f( n )) zbiega do g. Twierdzenie. Je±li funkcja f() posiada w punkcie 0 granic, to tylko jedn. Gracznie: liczba g jest granic prawostronn (lewostronn ) funkcji w punkcie 0, gdy warto±ci funkcji dla argumentów d» cych do 0 przez warto±ci wi ksze (mniejsze) od 0, d» do liczby g. Przykªad 2. Rozwa»my funkcj f() = sgn : Granica lewostronna funkcji f() = sgn w punkcie 0 = 0 wynosi: sgn =, a granica 0 prawostronna jest równa sgn =. 0 + Twierdzenie 2. (warunek konieczny i wystarczaj cy istnienia granicy w punkcie) Warunkiem koniecznym i wystarczaj cym na to, aby funkcja miaªa w badanym punkcie 0 granic jest istnienie i równo± jej granic jednostronnych: 0 f() = f(). + 0 Ponadto wspólna warto± tych granic jest granic funkcji w punkcie 0. Przykªad 3. Korzystaj c z warunku koniecznego i dostatecznego istnienia granicy funkcji w punkcie zbadaj istnienie granicy funkcji w punkcie 0 = : a) b) 2

3 Rozwi zanie: a) Poniewa» istnieje i jest równa : f() = ; b) Poniewa» f() = = f(), wi c granica funkcji f() w punkcie 0 = + f() = 0 = f(), wi c granica funkcji f() w punkcie 0 = istnieje i jest + równa 0: f() = 0, pomimo tego,»e funkcja nie jest okre±lona dla 0 =. Przykªad 4. Korzystaj c z warunku koniecznego i dostatecznego istnienia granicy funkcji w punkcie zbadaj istnienie granicy funkcji w punkcie 0 = : a) b) Rozwi zanie: a) Poniewa» f() = 0, natomiast f() =, wi c granica funkcji f() w + punkcie 0 = nie istnieje. b) Poniewa» f() =, natomiast = f() = 0, wi c granica funkcji f() w punkcie 0 = + nie istnieje. Denicja 4. (Cauchy'ego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie) Niech 0 R oraz niech f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie punktu 0. Liczb g nazywamy granic wªa±ciw funkcji f w punkcie 0, co zapisujemy wtedy i tylko wtedy, gdy f() = g, ε>0 δ>0 S(0 ) [( 0 < δ) ( f() g < ε) )]. Rysunek 2: Interpretacja geometryczna granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie 0 Oznacza ona,»e funkcja f ma w punkcie 0 granic wªa±ciw g, gdy jej warto±ci ró»ni si od g dowolnie maªo dla argumentów le» cych blisko punktu 0. 3

4 Twierdzenie 3. (o arytmetyce granic funkcji w punkcie) Niech funkcje f i g maj granice wªa±ciwe (sko«czone) w punkcie 0. Wtedy: ( ) f() ± g() = f() ± g(); ) ( f() g() 0 f() 0 = f() g() g() = 0 f() 0 g(); o ile g() 0; je±li f() = y 0, ponadto funkcja g(y) jest ci gªa w punkcie y 0 0 g(f()) = α, o ile dziaªania po prawej stronie s wykonalne (oznaczone). oraz g(y 0 ) = α, to Uwaga. Twierdzenie to stosujemy równie» do granic w ± oraz do granic jednostronnych. Twierdzenie 4. (o dwóch granicach lub o dwóch funkcjach) Niech a, b R oraz b d dane dwie funkcje f, g : D R o wspólnej dziedzinie D R, speªniaj ce nierówno± f() g() dla ka»dego D, to je»eli: a) 0 f() = a oraz 0 g() = b to a b; b) 0 f() = + to 0 g() = + ; c) 0 g() = to 0 f() =. Twierdzenie 5. (o trzech funkcjach) Niech mamy trzy funkcje f, g, h : D R o wspólnej dziedzinie D R, speªniaj nierówno±ci f() g() h() dla ka»dego D oraz niech 0 f() = 0 h() = g. Wówczas g() = g. Uwaga 2. Twierdzenia o dwóch i o trzech funkcjach zachodz równie» dla granic wªa±ciwych jednostronnych jak równie» dla granic wªa±ciwych w niesko«czono±ci. Przykªad 5. Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach wyka»,»e sin + = 0. Rozwi zanie: Poniewa» dla > 0 (a tym bardziej i dla + ) zachodzi: oraz = 0 i + + }{{} f sin }{{} g }{{} = 0, wi c z twierdzeni o trzech funkcjach mamy,»e: h sin + = 0. 4

5 Warto zna : )Niech P () = a 0 n + a n + + a n + a n oraz Q() = b 0 m + b m + + b m + b m b d dwoma wielomianami. Wówczas P () Q() = a 0 n + a n + + a n + a n = b 0 m + b m + + b m + b m Kilka prostych przykªadów: ( ) n a 0 + a + + an n ( ) = m b 0 + b + + bm m a 0 b 0 dla n = m 0 dla n < m + dla n > m oraz dla n > m; oraz a 0 b 0 > 0 a 0 b 0 < 0 Przykªad 6. Oblicz nast puj ce granice a) + Rozwi zanie: a) = 4 b) = ( ) 5 ( ) 4 ( ) 4 (2 3 = 4 ) = c) = 2 ( ) =. + 2 (2+ 2 ) , b) = ; = 0; Przykªad 7. Badaj c granice jednostronne rozstrzygn istnienie granicy funkcji: a) f() = 2 w punkcie = 2; { 2 cos + 2 dla < 0 b) g() = dla > 0, w punkcie 0 = 0; c) h() = w punkcie 0 = 3. Rozwi zanie: 2 a) f() = { 0} = ( 2) = = 2; f() = = { 0} = ( 2) = = Zatem poniewa» f() f() granica f() nie istnieje b) g() = 0 0 (cos + 2) = + 2 = 3; g() = + 3) = = 3; (2 Tutaj zachodzi równo± granic jednostronnych: g() g(), wi c granica g() ist- + nieje i jest równa 3. c) h() = 3 h() = 3 + Zatem poniewa» { 0 0 } = 3 (+3)( ) = { 0 0 } = 3 + (+3)( ) 3 h() h() granica , c) = ( ) = 4; (+3) 3 = (+3) 3 +( ) = 4. h() nie istnieje. 2 5

6 Denicja 5. (Warunek Heinego na ci gªo± funkcji w punkcie) Funkcj f : D R, D R nazywamy ci gª w punkcie 0 D wtedy i tylko wtedy, gdy n:n D n = 0 f( n ) = f( 0 ). Denicja 6. (Warunek Cauchy'ego na ci gªo± funkcji w punkcie) Funkcj f : X R okre±lon na otoczeniu O( 0 ) punktu 0 nazywamy ci gª w tym punkcie, je»eli: ( ) ε>0 δ>0 O(0 ) 0 < δ f() f( 0 ) < ε. Twierdzenie 6. (warunek konieczny i wystarczaj cy ci gªo±ci funkcji w punkcie) Funkcja f jest ci gªa w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy, gdy: 0 f() = f() = f( 0 ). + 0 Denicja 7. (lewostronna ci gªo± funkcji w punkcie 0 ) Funkcj okre±lon przynajmniej na lewostronnym otoczeniu punktu 0 O ( 0 ) (a tym samym i w punkcie 0 ) nazywamy lewostronnie ci gª w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy, gdy 0 f() = f( 0 ). Denicja 8. (prawostronna ci gªo± funkcji w punkcie 0 ) Funkcj okre±lon przynajmniej na prawostronnym otoczeniu punktu 0 O + ( 0 ) (a tym samym i w punkcie 0 ) nazywamy prawostronnie ci gª w punkcie 0 wtedy i tylko wtedy, gdy Przykªad 8.. f() = f( 0 ). + 0 Rysunek 3: a)funkcja lewostronnie ci gªa w punkcie 0 b)funkcja prawostronnie ci gªa w punkcie 0 c) funkcja ci gªa w punkcie 0 6

7 Rodzaje nieci gªo±ci funkcji Denicja 9. (nieci gªo± I rodzaju:) Funkcja f posiada w punkcie 0 nieci gªo± pierwszego rodzaju typu: a) skok, gdy: 0 b) luka, gdy: 0 f() f(), + 0 f() = f() f( 0 ). + 0 Denicja 0. (nieci gªo± II rodzaju) Funkcja f posiada w punkcie 0 nieci gªo± drugiego rodzaju, gdy co najmniej jedna z granic f(), f() nie istnieje lub jest niewªa±ciwa Przykªad 9. Wyznacz punkty nieci gªo±ci funkcji i okre±l ich rodzaje: a) f() = []- nieci gªo± pierwszego rodzaju typu skok dla Z b) f() = sgn - nieci gªo± pierwszego rodzaju typu luka w punkcie 0 = 0. c) f() = { 2 dla 2 3 dla = 2 -nieci gªo± drugiego rodzaju w punkcie 0 = 2. 7

8 Przykªad{ 0. Zbada ci gªo± funkcji, w punktach nieci gªo±ci okre±l rodzaj i typ nieci gªo±ci: 2 6 dla 2 +2 a) f() = 3 dla 2 w punkcie 0 = 2; { 2 cos( 2) + dla 2 b) g() = 2 dla > 2, w punkcie 0 = 2. Rozwi zanie: liczymy granice jednostronne i warto± funkcji w rozwa»anym punkcie a) f() = 2 6 ( 3)(+2) = = ( 3) = 5; (+2) 2 f() = 2 6 ( 3)(+2) = = ( 3) = Pomimo tego,»e granice jednostronne s równe funkcja f nie jest ci gªa w punkcie 0 = 2, gdy» f( 2) = 3 5. W punkcie 0 = 2 mamy nieci gªo± I rodzaju, typu luka. Jest to nieci gªo± usuwalana. b) g() = 2 cos( 2) + = 2 cos = 4; 2 2 g() = 2 = 2 2 = Tutaj granice jednostronne s równe 4 oraz f(2) = 4. Zatem funkcja g() jest ci gªa w punkcie 0 = 2. Uwaga 3. Mówimy,»e funkcja jest ci gªa na przedziale: otwartym (a, b), je»eli jest ci gªa w ka»dym punkcie tego przedziaªu. domkni tym [a, b], je»eli jest ci gªa w ka»dym punkcie przedziaªu otwartego (a, b) oraz prawostronnie ci gªa w punkcie a i lewostronnie ci gªa w punkcie b. Denicja. (funkcje elementarne) Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot gowe, wykªadnicze, logarytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne. Funkcje elementarne, to takie które mo»na otrzyma z podstawowych funkcji elementarnych za pomoc sko«czonej liczby dziaªa«arytmetycznych oraz operacji skªadania funkcji. Twierdzenie 7. Ka»da funkcja elementarna jest ci gªa na ka»dym przedziale zawartym w swojej dziedzinie Twierdzenie 8. (dziaªania arytmetyczne na funkcjach ci gªych) Je»eli dwie funkcje f() i g() s ci gªe w punkcie 0 D, to w tym punkcie równie» s ci gªe funkcje f() ± g(), f() g(), f() g() o ile g() 0. Twierdzenie 9. (o ci gªo±ci funkcji zªo»onej) Je»eli funkcja f() jest ci gªa w punkcie 0 i funkcja g() jest ci gªa w punkcie y 0 = f( 0 ), to zªo»enie g f jest funkcj ci gª w punkcie 0. 8

9 Twierdzenie 0. (o ci gªo±ci funkcji odwrotnej) Niech f : X Y b dzie funkcj odwracaln (rosn c lub malej c oraz 'na') i ci gª. Wówczas funkcja odwrotna f : Y X jest tak»e ci gªa. Twierdzenie. (wªasno± Darbou) Niech f() b dzie funkcj ci gª i okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych. Je»eli w dwóch punktach = a i = b, (gdzie a < b) tego przedziaªu funkcja przyjmuje ró»ne warto±ci f(a) = A oraz f(b) = B, to dla dowolnej liczby y takiej,»e y (A; B) istnieje taki punkt = c; c (a, b) f(c)=y. Mówi c inaczej: funkcja ci gªa okre±lona na dowolnym przedziale liczb rzeczywistych przyjmuje ka»d warto± po±redni pomi dzy dwoma swymi warto±ciami. Rysunek 4: Ilustracja geometryczna do twierdzenia Darbou Uwaga 4. Je»eli funkcja f() jest funkcja ci gªa na przedziale domkni tym [a; b] i taka,»e f(a) f(b) < 0, to istnieje c (a; b) takie,»e f(c) = 0. Granice podstawowych wyra»e«nieoznaczonych: sin tg a) =, b) =, α > 0 c) 0 0 ( 0 + a log d) a (+) = log 0 a e, 0 < a e) ± (+) g) a = a, a R h) 0 ) = e a, a R f) 0 ( + ) arcsin = i) 0 Inne przydatne wzory: a) sin 2α = 2 sin α cos α, b) cos 2α = cos 2 α sin 2 α, a = ln a, a > 0 0 arctg = c) sin 2 α = cos2 α, d) cos 2 α = +cos2 α, 2 2 e) sin α + sin β = 2 sin α+β cos α β α β, f) sin α sin β = 2 sin cos α+β g) cos α cos β = 2 sin α+β sin α β, h) cos α = sin ( π α) i) a 2 b 2 = (a b)(a + b), j) a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). 2, = e 9

10 Zadania. W oparciu o denicj Heine'go granic funkcji wykaza,»e: (a) = 6 (b) = 4 4 (c) 2 = W oparciu o denicj Cauchy'ego granicy funkcji wykaza,»e: (a) ( + 4) = 2 (b) 2 (2 + 3) = 4 (c) sin = 0 0 (d) ( ) 2 = + 3. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie 0 = lub uzasadnij,»e granica ta nie istnieje: a) b) c) d) e) f) 4. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punkcie 0 = lub uzasadnij,»e granice te nie istniej : a) b) c) d) e) f) 5. Wykaza na podstawie denicji Heine'go,»e nie istniej granice funkcji: (a), (b) 2 2 0, (c) cos, (d) sin, (e)

11 6. Korzystaj c z twierdze«o arytmetyce granic, obliczy podane granice funkcji (o ile istniej ): (a) (b) (c) (d) +3 5 (e) (f) 3 4 (g) 3 8 (h) (i) (j) 2 (k) (l) ( ( 3) ) 2 (m) ( ) (n) + 3 (o) sin 6 sin 5 sin (p) (q) (r) sin 2 0 cos (s) (v) (y) (b) (e) (h) 0 sin 2 2 (t) cos 4 cos π 2 ( 2 π 4 cos sin (u) cos 2 π 4 () sin sin(2 π 2 ) π 4 ) ) ( sin 4 sin 5 (w) 2 π ( ) (z) ) (a) ( ) ( ) (c) (d) tg (f) ln(+) 0 e (g) arcsin 2 0 arcsin 3 (i) sin 5 log 7 arctg e 7. Korzystaj c z twierdzenia o trzech funkcjach wykaza : (a) 2 +sin = (b) ( 3) cos 2 cos 3 3 = 0 (c) 8. Korzystaj c z twierdzenia o dwóch funkcjach wykaza : (a) cos = (b) = sin ( 2 5 3[] 2 5 = Zbada, obliczaj c granice jednostronne, czy istniej podane granice: + sin (a) (b) (c) 3 (d) [] (e) Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s ci gªe: +2 a) b) c) d) e) f)

12 . Okre±l rodzaje nieci gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie 0 = : a) b) c) d) e) f) 2. W oparciu o denicj Heine'go ci gªo±ci funkcji wykaza ci gªo± poni»szych funkcji we wskazanych punktach: { a) f() = ; 0 =, b) f() = 2 ; dla 3 3; dla > 3 0 = W oparciu o denicj Cauchy'ego ci gªo±ci funkcji wyka» ci gªo± funkcji we wskazanych punktach: a) f() = 2 3; 0 = 3, b) f() = 2 + ; 0 = 2, 4. Zbadaj ci gªo± funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci gªa okre±l rodzaj nieci gªo±ci w punktach nieci gªo±ci. Sporz d¹ szkic funkcji: { (a) f() = dla > 0 dla 0 3 (b) f() = dla 0 < dla 0 log dla < < 2 (c) f() = { dla 3 3 dla = 3 (d) f() = { + dla 0 0 dla = 0 (e) f() = { sin ; dla 0 0; dla = 0 ln(+) ; dla < < 0 (g) f() = 0; dla = 0 ; dla 3 +e (f) f() = h) f() = { 3 ; dla R {, } 2 ; dla {, } { sin ; dla 0 ; dla = 0 2

13 5. Dobra parametry a, b tak, aby podane funkcje byªy ci gªe na caªej swojej dziedzinie: { a + b dla < dla 3 (a) f() = 3 (b) f() = log a dla 4 a dla = 3 π dla > 4 arctg 4 (c) f() = (d) f() = { a + dla π 2 sin + b dla > π 2 6. Wykaza,»e dla dowolnych licz rzeczywistych a > b > c funkcja ma co najmniej dwa pierwiastki. f() = a + b + c 7. Uzasadni,»e funkcja f() = 2 2 przyjmuje warto± w = 0 2 dla [0; 2) a 2 dla [2; 0) ( 8) b dla [0; 20) na przedziale D = [, 3]. 8. Pokaza,»e równanie 3 sin 2 2 cos 3 = 0 posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale D = [ π 6 ; π 3 ]. 3