Ci gi. Granica i ci gªo± funkcji

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Ci gi. Granica i ci gªo± funkcji"

Petra Molnárné
5 évvel ezelőtt
Látták:

1 Ci gi. Grnic i ci gªo± funkcji Informcje pomocnicze Twierdzenieo rytmetyce grnic ci gów) Dl ci gów n ), b n ) zbie»nych lub rozbie»nych do lub zchodz : ) n ± b n ) = n ± b n ; b) n b n ) = n b n ; c) n bn je±li b n 0; ) p d) n ) p = n, p Z \ {0}; f) k n = k n, k N \ {}; o ile powy»sze dziªni s wykonywlne w zbiorze liczb rzeczywistych. = n, bn Twierdzenie o ci gu monotonicznym i ogrniczonym): K»dy ci g monotoniczny i ogrniczony jest zbie»ny, przy czym: - ci g niemlej cy i ogrniczony z góry jest zbie»ny do grnicy, któr jest kresem górnym zbioru jego wrto±ci, - ci g nierosn cy i ogrniczony z doªu jest zbie»ny do grnicy, któr jest kresem dolnym zbioru jego wrto±ci. Grnice niektórych ci gów: ) = 0, n d) n = 0, < g) b) = 0, α > 0 c) n α = +, α > 0 n α e) f) n n = n n =, > =, > 0 n h) log = 0 α > 0, > i) n = 0, n > n n n j) = n! k) n =, > l) n = 0, < m) + n )n = e n) n )n = e o) + n )n = e p) + n ) n = e o ile n ) to ci g o wyrzch dodtnich zbie»ny do grnicy niewª±ciwej ). Tbelk odczytywni monotoniczno±ci ci gu: n+ n+ n n monotoniczno± > 0 > rosn cy = 0 = stªy < 0 < mlej cy 0 niemlej cy 0 nierosn cy

2 Symbole nieoznczone:, 0 0,, 0,, 0 0, 0. Tbelk odczytywni wrto±ci pewnych wyr»e«: + =, < =, 0 < = 0, < < =, 0 < 0 + =, < 0 =, 0 < =, < 0 0 = 0, 0 + < =, < = 0, < 0 =, 0 < Grnice podstwowych wyr»e«nieoznczonych: sin ) =, α > 0 b) =, α > 0 c) tn d) log +) = log e, 0 < e) ± + ) = e, R f) + ) = ln, > 0 g) +) =, R h) rcsin = i) rctn = Zdni. Zbd, czy podne ci gi s ogrniczone z doªu, z góry, s ogrniczone: ) n = n+5 b) b n+ n = n c) c n + n = n n + 4 n d) d n = +cos n e) e sin n n = 4 n f) f n = ) n g) g n = 5n h) h n = n i) p n = n. Zbd monotoniczno± ci gów o nst puj cych wyrzch ogólnych: ) n = n b) b n+ n = n + c) c n! n = n+4 d) d n+ n = n + n e) e n = n f) f n = n! 0 n g) g n = cos n h) h n = n n i) i n = n + n + j) j n = n = e i= k= n i. Korzystj c z twierdze«o rytmetyce grnic ci gów, oblicz grnice podnych ci gów o ile istniej ): ) n = n + 5n 6 b) b n = n n + 5 c) c n = + n+ d) d n = 5n +n e) e n n = n n f) f n +4 n = n4 +n n 4 g) g n = n) h) h n+) 7n) n = ) 5 n i) i n n = n+)n ) n+6)n+) j) j n = n n+4 4n n k) k 4 +4 n = +n l) l n + n = n + 5 n m) m n = n n n n) n n = n + n n o) o n = n + n + n n + p) p n = 6n 4 n q) q 5 n + n n = n 5 r) r 8 4 n +5 n = n+ 7 n 9 n +5 n s) s n = n 7 n t) t n = n+)!+n! u) u n+)! n! n = ++ +n 6n + v) v n = n n ) w) w n + n = n ) n = n 5 )n n + y) 49n y n = log 7 z) z n +4 n = ) n 4. Korzystj c z denicji liczby e obliczy grnice: ) + n n) b) n 4 ) n c) n+ n+ n n+) d) e) n ) n f) n + n +) n g) ) 5n n n + ) n n + n + n +5 n ) 6n +n. h) 4 k +k i= i

3 5. Korzystj c z twierdzeni o trzech ci gch obliczy podne grnice: ) n 4 n + 5 n b) n n + 5 n + 7 n d) n sin n n ) e) n + + n n +n cos n c) n f) n n Okre±li dziedziny nturlne i zbiory wrto±ci funkcji: ) f) = ln + ), b) f) = rcsin +4 c) f) = d) f) = cos e) f) = ln ) 4 f) f) = 7 g) f) = rcsin log ) h) f) = 4 i) f) = sin 5 j) f) = log k) f) = rccos log Zbd, czy podne funkcj s ogrniczone z doªu, z góry, ogrniczone: ) f) = + 4 +, b) f) = + 4 +, c) f) = tn + ), d) f) = log ), e) f) =, e) f) = cos5 ) + sin, 8. Zbd, n podstwie denicji monotoniczno± funkcji: ) f) = +, b) f) =, c) f) =, d) f) =, Okre±l zªo»enie funkcji o ile to mo»liwe) f f, g g, f g, g f dl: ) f) = +, g) = + b) f) = + g) = c) f) =, g) = ln d) f) =, g) = 0. Dne s funkcje f) = log, g) = + orz h) =. Dokonj zªo»e«f g h, g f h, h g f o ile to mo»liwe).. Znle¹ funkcje f i f ewentulnie f ) tkie,»e g = f f, ewentulnie g = f f ) je±li: ) g) = tn, b) g) = tn, c) g) = e cos, d) g) = ln tn e, e) g) = rcsin 4) cos, f) g) = rccos 5 4, g) g) = e rctn 4+e, h) g) = rcsin ) 4.. Zbdj przysto±, nieprzysto± funkcji: ) f) = 4 cos b) f) = 4 sin c) f) = cos 5 4 d) f) = + 4 tn, e) f) = 7 4, f) f) = sin cos, g) f) = +, h) f) = j) f) = rctn. i) f) = 5 log 4 ). Wyzncz funkcj odwrotn do funkcji: ) f) = 5 b) f) = c) f) = + 6 d) f) = +,, e) f) = + 4, 0, f) f) = e 4, g) f) = tn ) + 5, h) f) = ln ) cos i) f) = 5 log + + ) j) f) = rcsin5). 4. Wyzncz przedziªy monotoniczno±ci funkcji: ) f) = + b) f) = log sin ) c) f) = log sin ) d) f) = rctn , e) f) = rccos log ),

4 5. Dl funkcji, których wykresy przedstwiono n rysunkch, podj grnice w punkcie 0 = lub uzsdnij,»e grnic t nie istnieje: ) b) c) 6. Dl funkcji, których wykresy przedstwiono n rysunkch, podj grnice jednostronne w punkcie 0 = lub uzsdnij,»e grnice te nie istniej : ) b) c) 4

5 7. Korzystj c z twierdze«o rytmetyce grnic, obliczy podne grnice funkcji o ile istniej ): 5 4+ ) b) c) g) + 5 e) + 6 f) 4 g) 8 h) 4 5 i) j) m) p) s) v) y) c) f) i) l) o) 4 ++) + l) + k) n) + o) 4 ) q) 4 sin 6 sin 5 t) u) sin sin w) cos 4 cos r) cos sin ) cos 4 b) sin sin cos sin ) 4 ) sin 4 sin 5 ) + ) d) + +5) e) ) ) 4 g) h) 7 + tn j) ln+) e k) rcsin rcsin m) e sin 5 n) sin 4 p) e ) ln+) q) log 7 rctn cos 8. Korzystj c z twierdzeni o trzech grnicch wykz : ) +sin = b) cos +sin = 0 c) 5 rctn 4 5 ln+) [] 5 =. 9. Zbd, obliczj c grnice jednostronne, czy istniej podne grnice: + sin ) b) c) d) e) f) rctn e) ) [] 0. Wyznczy wszystkie mo»liwe symptoty podnych funkcji poziom, pionow, uko±n): ) f) = sin b) g) = c) h) = d) m) = +8 e) n) = 4. 4 Asymptot poziom: Prost y = y 0 jest symptot poziom lewostronn prwostronn ) wykresu funkcji f), je±li f) = y 0 f) = y 0), gdzie y 0 R. + Asymptot pionow: Prost = 0 jest symptot pionow lewostronn prwostronn ) wykresu funkcji f), je±li f) = lub f) = f) = lub f) = ) Asymptot uko±n: Prost y = + b gdzie, b R, 0) jest symptot uko±n lewostronn prwostronn ) wykresu funkcji f), je±li [f) + b)] = 0 [f) + b)] = 0), gdzie lub = = f) f) + i b = [f) ] i b = [f) ]. + 5

6 . Wsk» punkty, w których funkcje o podnych wykresch nie s ci gªe: ) b) c). Okre±l rodzje nieci gªo±ci funkcji o podnych wykresch w punkcie 0 = : ) b) c). W oprciu o denicj Cuchy'ego ci gªo±ci funkcji uzsdnij ci gªo± funkcji we wskznych punktch: ) f) = ; 0 =, b) f) = + ; 0 =, c) f) = + b;, b R, 0 R, d) f) = sin ; 0 R. 6

7 4. Zbdj ci gªo± funkcji w jej dziedzinie. W przypdku, gdy funkcj nie jest ci gª okre±l rodzj nieci gªo±ci w punktch nieci gªo±ci. Sporz d¹ szkic funkcji: { ) f) = + dl > 0 dl 0 b) f) = dl 0 < dl 0 log dl < < c) f) = { dl dl = d) f) = { + dl 0 0 dl = 0 e) f) = { sin ; dl 0 ; dl = ); dl g) f) = 6 5; dl < < ; dl f) f) = h) f) = { ; dl R {, } ; dl {, } { sin ; dl 0 ; dl = 0 5. Dobr prmetry {, b tk, by podne funkcje byªy ci gªe n cªej swojej dziedzinie: { 4+ dl ) f) = + dl < b) f) = dl = + + dl c) f) = e) f) = { + dl sin + b dl > { + ; dl 0 ; dl = 0 6. Wykz,»e dl dowolnych licz rzeczywistych > b > c funkcj m co njmniej dw pierwistki. dl [0; ) d) f) = dl [; 0) 8) + + b dl [0; 0) f) = + b + c 7. Uzsdni,»e funkcj f) = przyjmuje wrto± w = 0 n przedzile D = [, ]. 8. Pokz,»e równnie sin cos = 0 posid przynjmniej jedno miejsce zerowe w przedzile D = [ 6 ; ]. Wskzówk: W zd. 8-0 skorzyst z twierdzeni Drbou. 7

Hasonló dokumentumok

Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej

Granice i ci gªo± dla funkcji jednej zmiennej Denicja. Heinego granicy wªa±ciwej funkcji w punkcie) Niech 0 R oraz niech f b dzie okre±lona przynajmniej na s siedztwie S 0 ) punktu 0. Liczb g nazywamy