V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye

Átírás

1 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Feszültség előállítása indukcióval Frgási (zgási) indukció: frgási indukált feszültség keletkezik aikr egy vezető és a ágneses tér erővnalai között erővnaletszéssel járó visznylags elzdulás jön létre Az unipláris (hpláris) villas gép elve Ha egy vezető a ágneses tér erővnalaira erőleges síkban a ágneses térhez visznyítva flyaatsan azns irányban zg (a zgás srán a ágneses tér iránya azns) akkr benne a frgó zgás srán váltzatlan plaritású feszültség indukálódik Ω D B u i É dα V Az unipláris (hpláris) villas gép elvi vázlata Az unipláris villas gép vezetői a zgásuk (körülfrdulásuk) srán azns irányú ágneses térben vannak A hgénnek tekintett B indukciójú ágneses térben körbefrgó vezető által dα szögelfrdulás srán súrlt da felület d da π α d α π ahl a vezető hssza (a körpálya sugara) Az elfrdulás ideje alatt a dφ fluxusváltzás dφ BdA B dα Az egy vezető rúdban indukálódó i feszültség Ω echanikai szögsebesség ellett dφ B dα B i Ω dt dt Ebben az elrendezésben a vezetők párhuzas kapcslása visznylag egyszerű azkat srba kapcslni és így az egyes küllőkben indukálódó feszültségeket összegezni csak nagyn bnylult egldással lehet Ezért a hpláris gépekre főleg a kis feszültség és a nagy ára jellező (pl az elektrlízishez használt galvándinaónál) Példa egyen B T 0 és Ω π5034/s (T00 s n50 frdulat/sec) akkr az egy vezetőben indukált feszültség i 57 V

2 VIVEA009 Elektrtechnika 08 A heterpláris villas gép elve Aikr a vezetők a ágneses térhez visznyítva váltzó irányban zgnak (a zgás srán a ágneses tér iránya váltzik) az indukált feszültség plaritása is váltzik Az ábra szerint a vezetők egy henger palástja entén helyezkednek el váltakzva az északi és a déli ágneses pólus alatt haladnak É v τ p B Ω u i É u i D l i D A heterpláris villas gép elvi felépítése (perspektivikus és kiterített vázlata) Egy pólus középvnala előtti elhaladás pillanatában egyetlen vezetőben indukálódó i feszültség: i Blv BlΩ ahl a henger sugara l egy vezető ágneses hatás alatt lévő (aktív vagy effektív) hszsza v a kerületi sebesség Ω a szögsebesség N száú srba kapcslt vezető esetén az eredő i indukált feszültség: i N i NBlΩ A villas gépekben a tekercseket úgy alakítják ki hgy az egy enetet képező vezető egyástól pólussztásnyira helyezkedjen el vagyis egyáshz képest ellenkező irányú ágneses térben legyenek így bennük ellentétes plaritású feszültség indukálódik Ezért a vezetők srba kapcslásakr a feszültségek összegeződnek Az ellenkező ágneses pólusk középvnala közötti távlságt nevezik pólussztásnak és leggyakrabban τ p -vel jelölik Az indukált feszültség u i (t) pillanatértéke a definíciós képlet ui ( t) ( B v) l szerint akkr a legnagybb aikr a vezető v kerületi sebességének iránya erőleges a B indukcióra íg a pillanatérték zérus akkr aikr a kerületi sebesség iránya párhuzas az indukció irányával (a pólusközben) Olyan knstrukciós elrendezésnél aelynél a ágneses tér (a B indukció) a vezető bárelyik helyzetében erőleges a v kerületi sebességre (pl sugár irányú) a fenti képletek szerint száíttt indukált feszültség nagysága független a vezető pólus alatti helyzetétől (a henger palástja entén) de a ágneses pólus egváltzásakr előjelet vált Az egyes pólusk alatt elhaladó vezetőkben a ágneses tér irányától függő előjelű plaritású indukált feszültség jön létre ezért inden vezetőben félfrdulatnként egváltzik a feszültség előjele váltakzó (irányú) feszültség keletkezik

3 ( ) I V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Példa egyen B T 0 l 05 és Ω 34/s (50 frdulat/sec) akkr az egy vezetőben indukált feszültség axiális értéke i 57 V az egy enetben ( vezetőben) indukálódó feszültség axiális értéke i 34 V Időben szinusz függvény szerint váltzó feszültség előállítása É Ω d B u i (t) l I u i (t) () D Elvi vázlat a csúszógyűrű alkalazása A fenti vázlat szerinti keret vezetőiben indukálódó feszültség plaritása pzíció-függő A frgó vezetők csúszó kntaktuskn keresztül érhetők el ún csúszógyűrűk segítségével É Ω d v B φ(t) u i (t) Ω t π π αω t D A fluxus és az indukált feszültség időbeli váltzása 3

4 VIVEA009 Elektrtechnika 08 Ha egy vezető keret egyenletes Ω szögsebességgel frg a Báll indukciójú hgén ágneses térben akkr a B indukció keretre erőleges B n összetevőjének nagysága a frgás srán váltzik B n (t)bcsαbcsω t így a keret által átfgtt fluxus φ(t)b n AB n ld nagysága is váltzik: φ(t)bldcsω tφ csω t itt Φ Bld a fluxus aplitúdója B α B n v x α v B t v y α A B indukció és a v kerületi sebesség erőleges összetevői Az indukált feszültség N száú srba kapcslt vezető esetén: u() t N d i φ N t N t t dt ΩΦ sin Ω ΩΦ cs Ω π cs Ω π ahl NΩΦ a feszültség aplitúdója Az u i indukált feszültség időfüggvénye 90 -kal eltlt a fluxuséhz képest (siet) Aikr a keret által átfgtt fluxus a legnagybb akkr a fluxusváltzás és ezért az indukált feszültség is a legkisebb (t0 α0) aikr az átfgtt fluxus a legkisebb a váltzás és az indukált feszültség is a legnagybb t π π α 90 Ω Ω A keret egy teljes körülfrdulása alatt az indukált feszültség egy teljes szinuszgörbét ír le Az indukált feszültség ás egfntlással a zgási indukcióval is értelezhető: a vezetőnek a ágneses erővnalakra erőleges sebesség kpnense v y vsinω t így az egy vezetőben indukálódó u i feszültség a felvett pzitív iránynak egfelelő előjellel: ui l( B v) lbvy lbvsin Ω t Mivel v d α d Ω Ω az indukálódó feszültség: dt ld u B t i t Ω sin Ω Ω Φ sin Ω sin Ωt itt is Φ Bld ΩΦ Egy vezetőből álló keretben u i kétszerese indukálódik N vezetőből álló keretben pedig π π ui() t NΩΦ sin Ω t NΩΦcs Ω t cs Ω t A frekvencia fgala Az időegység alatt lezajló teljes (váltzási) ciklusk (isétlődések periódusk) száa a frekvencia 4

5 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye A frekvencia jele f SI értékegysége Hertz tiszteletére [ f ] Hz hertz s Aikr az indukált feszültség egy ciklusa a vezető keret egy teljes echanikai frdulata alatt zajlik le akkr a ciklusk száa egegyezik a frdulatk száával: s s f n A villasérnöki gyakrlatban a frdulatszá rendszerint a percenkénti frdulatk száát jelenti ebben az esetben: f s in n 60 A körfrekvencia fgala A szinusz és a kszinusz trignetrikus függvény peridikus arguentua a szög Egy periódus π (360 ) terjedelű vagyis sin(πα)sin(α) vagy cs(πα)cs(α) Ha váltzási ciklus ( periódus) terjedele π (360 ) azaz egy teljes kör akkr ásdpercenként f periódushz πf szög vagyis f száú teljes kör tartzik Ezért az πf szrzatt körfrekvenciának nevezik (tulajdnképpen szögfrekvencia) jele ω SI értékegysége rad (a gyakrlatban elterjedt ezen kívül a is) [ ] ω s s A körfrekvencia tulajdnképpen az időegység alatt érintett szögtartány az időegység alatti α szögelfrdulás általáns alakban ω d dt A körfrekvencia kapcslatt teret az idő és a szög között: αωt Az egy periódus leflyásáhz szükséges idő a T periódusidő: απωt illetve π π T ω π f f Kétpólusú gépeknél a kerület entén db É és db D ágneses pólus van az egy enetet képező vezető félfrdulatnyi távlságra van egyástól (τ p π) É Ω É D É D i v D D 0 π π 4π ωt π Ω t É 4 pólusú (p) gép elvi vázlata Hertz Heinrich udlf ( ) néet fizikus 5

6 VIVEA009 Elektrtechnika 08 Az Ω echanikai szögsebesség egegyezik vezetőkben indukálódó szinuszs feszültség ω körfrekvenciájával ωω ivel egy villas periódus egy echanikai frdulat alatt zajlik le Többpólusú gépeknél aelyeknél a kerület entén p-száú póluspárt helyeznek el a vezetők inden körülfrdulás alatt p-szer haladnak el É és D pólus terében Az egy enetet képező vezető pólussztásnyi távlsága ilyenkr a legközelebbi ellentétes pólus távlságát jelenti (τ p π/p) Egy echanikai frdulat alatt p száú villas periódus zajlik le ωpω Ennek figyelebevételével a frgási indukált feszültség általánsabb alakja: u i pnωφ sinpω tnωφ sinω t p tehát a póluspárk száa a pólusk száa p u i (ωt) π π p ωt Ω t Az indukált feszültség a villas és a echanikai szögelfrdulás függvényében (p) A frekvencia és a frdulatszá közötti általáns összefüggés f p n in s ekkra egy n 60 frdulattal járó p póluspárú (szinkrn) generátr indukált feszültségének frekvenciája Ebből az összefüggésből száítható az f frekvenciájú feszültségről táplált tr n 0 (szinkrn) frdulatszáa (a ágneses ező frdulatszáa): 60 f n0 p A szinkrn generátr űködési elve f50 Hz tápfrekvencia esetén a ágneses tér frdulatszáa (az ún szinkrn frdulatszá): n0 f60 Hz esetén n0 p p A villas energia előállítására alkalaztt szinkrn generátrkban az a szkáss elrendezés hgy egy szinuszs elszlású ágneses tér frg a vezetőket pedig aelyekben a feszültség indukálódik az állórész hrnyaiban helyezik el A ágneses teret a frgórész egyenáraal gerjesztett tekercseivel állítják elő a tér szinuszs elszlása a gerjesztő tekercs vezetőinek alkalas térbeli elszlásával vagy a légrés egfelelő kialakításával érhető el illetve közelíthető A ágneses tér a frgórésszel együtt frg A szinuszs térbeli elszlású indukcióval való erővnaletszés értéke időben szinuszs (vagy kszinuszs) Ha a vezetőkeret (tekercs) által átfgtt fluxus váltzása szinuszs akkr a vezetőkben indukálódó feszültség időbeli váltzása is szinuszs (vagy kszinuszs) 6

7 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye d d q τ p q τ p a) b) A szinkrn gép vázlata: hengeres a) és kiálló pólusú b) frgórésszel (p) Transzfrátrs (nyugali) indukció: transzfrátrs indukált feszültség akkr keletkezik aikr egy nyugalban lévő vezető keret által átfgtt ágneses tér ne a keret zgása iatt váltzik Az ábra szerinti elrendezésben a B(t) indukció a kszinusz függvény szerint váltzó i(t) gerjesztő ára hatására időben kszinusz függvény szerint váltzik: i(t)i csωt és B(t)B csωt A fluxus is kszinusz függvény szerint váltzik: φ(t)φ csωt az N enetben indukált feszültség pedig ( ) u () t N d φ t i NωΦ sin ωt dt φ(t) B(t) u i (t) N i(t) A transzfrátrs indukált feszültség illusztrációja Térben álló tekercsek közötti elektrágneses kapcslatban transzfrátrs indukció jön létre villas frgógépekben általában frgási de indkét fajta indukált feszültség egyszerre is jelen lehet ha a vezetők időben ne állandó ágneses térben zgnak A transzfrátr űködési elve A transzfrátr egy lyan csatlt tekercsekből álló elektrágneses energia-átalakító aelyik a prier ldal ( tekercs) által felvett u feszültséggel és i áraal jelleezhető villa- 7

8 VIVEA009 Elektrtechnika 08 s energiát a szekunder ldal ( tekercs) által leadtt ás feszültségű (u ) és ás áraú (i ) de azns frekvenciájú villas energiává alakítja át A prier tekercs áraa által létrehztt váltakzó ágneses fluxusnak az a része aelyik kapcslódik szekunder tekerccsel feszültséget indukál a szekunder tekercsben A szekunder ára nagysága a fgyasztótól függ enz törvénye értelében a szekunder ára ágneses tere legerjesztő hatású ai kikényszeríti a prier ára növekedését Ez biztsítja az energetikai egyensúlyt: a szekunder ldal leadtt w energiáját a prier ldal veszi fel a táphálózatból A villas tekercs- és a vasveszteségek iatt P <P a szekunder ldaln leadtt hatáss teljesítény indig kisebb a prier teljesíténynél Szinusz függvény szerint váltzó ennyiségek fázisvisznyai Az ábrán egy kétpólusú (p) ágneses térben hár azns Ω echanikai szögsebességgel körben frgó vezető keret vázlata és a keretekben indukálódó feszültség időfüggvénye látható Az egyes keretek szöghelyzetét a vízszintes tengelyhez képest az α szögek utatják αω t és Ωω (a kétpólusú tér iatt a szögsebesség egegyezik a körfrekvenciával) Az egyes keretek szöghelyzete időben egyfrán váltzik a közöttük lévő szögek és ezért az indukált feszültségek közötti fázisbeli különbségek is állandóak É Ω B α 3 α u 3 (t) u (t) u (t) 3 π ω t α π 3 α α α 3 t0 3 t'0 D Eltérő fázishelyzetű feszültségek előállítása A szinusz függvények (ωtα) arguentuai a fázisszögek (fázisk) az adtt pillanathz tartzó szögértékek Az egyes indukált feszültség időfüggvények a t0-nak választtt időpntnak egfelelően: u (t) sin(ωtα ) u (t) sin(ωtα ) u 3 (t) sin(ωtα 3 ) Az α kezdeti fázisszög a egfigyelés kezdő időpntjától a t0 pillanat egválasztásától függ az ábrán u (t0) sinα u (t0) sinα u 3 (t0) sinα 3 8

9 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Az u (t) feszültség esetében a pzitív nulla-átenet pillanatának eghatárzása a pzitív nulla-átenet pillanatának és a kezdeti fázisszögnek a kapcslata: u (t)0 ha sin(ωtα )0 vagyis ωtα 0 vagyis ωt-α Ha egyetlen jelet vizsgálunk akkr a t0 időpnt egválasztásának állandósult állaptban nincs jelentősége Több vizsgált jel esetén t0-t célszerű ahhz a jelhez illeszteni aelyikhez a többi jel helyzetét visznyítják (referencia jel) egyen u (t) a referencia annak pzitív nulla-átenete a egfigyelés kezdete (az ábrán t'0) így az egyes szinusz függvények fázishelyzetét u fázisáhz képest kell egadni: α α - (α <α ) és α 3 α 3 (α 3 >α ) Behelyettesítve a feszültség időfüggvények képletébe: u (t) sin(ωtα ) u (t) sin(ωtα - ) u 3 (t) sin(ωtα 3 ) Ha a kezdő időpntt α 0 választással jelöljük ki (az ábrán szaggattt vnallal rajzlt függőleges tengely t'0) akkr u (t') sinω t' u (t') sin(ωt'- ) u 3 (t') sin(ωt' 3 ) és 3 előjeles skalár ennyiség jelezve u és u 3 szöghelyzetét (fázisát) u -hez a referencia jelhez képest: α -α és 3 α 3 -α Mivel α <α ezért α -α <0 íg α 3 >α ezért 3 α 3 -α >0 A negatív szöghelyzet időbeli késést a pzitív időbeli sietést jelent Az időtengely jbb ldal irányába utat a krábbi időpntk balra a későbbiek jbbra esnek Egy eseény (pl nulla-átenet) annál inkább jbbra kerül az időtengelyen inél később következik be A feszültséghez hasnlóan írható le és ábrázlható ás szinuszs ennyiség is pl az ára: i(t)i sin(ωtα i ) Az ára szöghelyzetét rendszerint a saját (fázis)feszültségéhez képest szkták felírni és -vel jelölik Ha u(t) sin(ωtα u ) akkr az ára szöghelyzete a feszültségéhez képest: α i α u azaz: i(t)i sin(ωtα u ) Aennyiben a feszültség a referencia akkr α u 0 ezért <0-nál az ára késik >0 esetén az ára siet a feszültséghez képest A váltakzó ennyiségek jellezői A független váltzó egválasztásának lehetősége Ha az u(t) sin(ωt) alak használatakr a független váltzó az idő (t) akkr idő szerinti differenciálásnál az ω körfrekvencia szrzóként integráláskr sztóként szerepel: du() t ω cs ( ωt αu) és utdt () ( t u ) dt cs ω α ω Ha az u(ωt) sin(ωt) váltzatban a független váltzó a szög (ωt) akkr szög szerinti differenciálásnál nincs szrzó integráláskr nincs sztó: du( ωt) cs ( ωt αu) és u( ωt) dωt ( ωt αu) dωt cs 9

10 VIVEA009 Elektrtechnika 08 Megjegyzés: Az indukált feszültséget a definíció szerint idő szerinti deriválással kell száítani: ui ψ () t a szög szerinti deriválás helyes alkalazásakr egjelenik az ω szrzó- d dt d ω d d tényező ui () t ψ () t ψ() t ω ψ () t dt ω dt d ω t Fntsabb definíciók (állandósult állaptban) Pillanatérték: valaely váltakzó ennyiség nagysága a független váltzó tetszőleges értékénél (adtt időpillanatban adtt szögértéknél) Mérése regisztráló űszerrel (pl szcillszkóp) lehetséges Jelölése kisbetűvel pl feszültség esetén: u u(t) u(ωt) A pillanatérték tetszőleges függvénynél értelezhető Fázisszög (fázis fázishelyzet): trignetrikus függvény esetén a radiánban vagy fkban kifejezett szög érték ai időben váltzik Jelölése pl α ωt Kezdeti fázisszög (fáziseltlás): trignetrikus függvény esetén radiánban vagy fkban kifejezett szög érték a t0 referencia időpntban knstans érték Jelölése pl α 0 α i α u súcsérték aplitúdó axiális érték: a periódus alatt elért legnagybb (vagy legkisebb) pillanatérték jelölése pl feszültség esetén: $ ax A axiális érték tetszőleges peridikus függvénynél értelezhető Effektív érték: ára esetén egyszerű az értelezése annak az (egyenértékű) egyenáranak a nagysága aelyik egy adtt ellenállásn ugyanakkra veszteségi energiát terel int valailyen váltakzó ára egy periódus alatt Az effektív érték tetszőleges peridikus függvénynél értelezhető Egy ellenállásn I egyenára esetén a dt idő alatti veszteségi energia dwi dt ennek a T periódusidőre (az összehasnlításban szereplő váltakzó ára periódusidejére) száíttt integrálja WI T A veszteségi energia váltakzó ára esetén dt idő alatt: dwi(t) dt ennek a T periódusidőre száíttt integrálja W i() t dt ez az eredény az előző definíció szerint eg kell egyezzen az egyenára esetén kaptt WI T értékkel T () W i t dt I T így az I egyenértékű egyenára vagyis a váltakzó ára effektív értéke: 0 T I Ieff it dt T 0 A definíciós képlet alapján az effektív értéket négyzetes középértéknek (rt-ean-square rs) is nevezik Az effektív érték jelölése pl feszültség esetén: eff rs Egyenáraú ennyiségeknél a pillanatérték a axiális- és az effektív érték egegyezik: u(t) eff ax Szinusz függvény szerint váltzó ennyiség effektív értéke ha i(t)i sinωt: T T T T I () T it dt T I tdt cs ω t I t eff dt sin ω t IT T sin ω 4 ω T I t t I I sin 4π így Ieff I 0707I T 4ω T 0 () T 0 0 0

11 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Példa eff 30 V ax 357 V eff 400 V ax V súcstényező: a váltakzó ennyiség csúcsértékének és effektív értékének a visznya hányadsa például feszültségre kcs eff Egyenáraú ennyiségeknél k cs szinuszsan váltakzó ennyiségeknél k cs A különböző váltakzó áraú villas készülékek berendezések névleges adataként rendszerint az effektív értékeket adják eg érésnél is általában az effektív értékeket határzzák eg Szigetelés szepntjából visznt a feszültség csúcsértéke a érvadó elektrnikus eszközöknél (pl erősítők) a beenetre előírt krlát a pillanatértékre vnatkzik tehát peridikus jel esetén szintén a csúcsérték Az indukált feszültség effektív értékének száítása A p-pólusú gépben indukált frgási feszültségre kaptt u i pnωφ sinpω t összefüggésben Ω n π ahl n a percenkénti frdulatk száa 60 Ω fenti behelyettesítésével: u() t pn n π p n π i Φ sin t sin ω t Az aplitúdó: pn n π Φ az effektív érték ennek -ed része: 60 pn n π eff Φ 444 Nf Φ 444 f Ψ 60 pn ivel a frekvencia f és π π A transzfrátrs indukált feszültségre kaptt u i NωΦ sinωt összefüggésben az aplitúdó: NωΦ az effektív érték pedig: π f eff N Φ 444 NfΦ 444 fψ ez egegyezik a frgási indukált feszültségre kaptt értékkel Példa N00 f50 Hz Φ 0-3 Wb eff V ( 339 V) Középérték: időben váltzó ennyiség adtt intervallura vett átlaga pl az ára I k középértéke T időre: I () T T itdt k 0 Szietrikusan váltakzó esetben I k 0 Szinusz függvény szerint váltakzó feszültségről táplált egyszerű árakörök száítása Előjel knvenciók Általában az ún fgyasztói pzitív iránykat használják ezek szerint: - a fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullááhz képest - a fgyaszttt P hatáss teljesítény pzitív a terelt negatív

12 VIVEA009 Elektrtechnika 08 - az induktív fgyasztó Q eddő teljesíténye pzitív a kapacitívé negatív Ohs ellenállás Váltakzó feszültségre kapcslt ideális ellenállás i(t) feszültségesése inden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) hálózati (táp)feszültséggel u(t)-i(t)0 u(t)i(t) Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik u(t) sinωt (a kezdeti fázisszög α u 0) akkr az előző egyenletből: ut () it () sinωt I sinω t itt I Ohs ellenállásn az ára fázisban van a feszültséggel α i α u így 0 i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt ellenállás áraköri vázlata eff Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff vagy I Az ellenállás teljesítényének pillanatértéke: pt () ut () it () sinωt Isinωt Isin ωt I I Icsω t ( csω t) u(t) p(t) P i(t) wt Az ellenállás feszültségének áraának és teljesítényének időfüggvénye A teljesítény az I középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint leng lüktet Előjele indig pzitív tehát az energiaáralás iránya inden pillanatban azns

13 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye A teljesítény középértéke: P I eff Ieff I I Az ellenállás fenti teljesíténye hatáss teljesítény (active pwer) ainek jele P SI értékegysége [P]Wwatt Példa Egy nagyságú ellenállást u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára és a teljesítény? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 00 Ω f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s it () 3sin ( 34t) 3 57 sin( 34t) A I3 A p(t)30 3(-cs 34t)59(-cs 68t) P59 W} Induktivitás Ideális (ellenállás entes) induktivitásra (tekercsre) kapcslt u(t) váltakzó feszültség hatására flyó i(t) ára váltakzó ágneses teret hz létre A váltakzó ágneses tér az induktivitásn önindukciós feszültséget indukál Ez a feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) hálózati (táp)feszültséggel: ( ) ut () di t ( ) 0 ut () di t dt dt i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt induktivitás áraköri vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik u(t) sinωt (a kezdeti fázisszög α u 0) akkr az előző egyenletből: it () tdt t I t I t sin ω π csω csω sin ω ω itt I ω π Az ára 90 -s fáziskéséssel követi a feszültséget αi X f Az induktív reaktancia frekvencia-függése 3

14 VIVEA009 Elektrtechnika 08 eff Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: Ieff vagy I ω ω A kaptt képletben ωx a váltakzó áraú induktív ellenállás (induktív reaktancia) Az induktív reaktancia jele X SI értékegysége [X]Ωh Az induktív reaktancia X ωπf aránys a frekvenciával és az induktivitással Az áraköri dellben egy tekercs ágneses tér váltzása iatt indukálódó u (t) (önindukciós) feszültségét az X induktív ellenállásn eső feszültség helyettesíti aelynek aplitúdója IX Az induktivitás teljesítényének pillanatértéke: sin ω t pt () ut () it () sin ω t Icsω t I kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzik A tekercsben negyed periódus alatt kialakul a ágneses tér (pzitív szakasz) utána a felhalztt energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáralik a tápfrrásba aiközben a ágneses tér leépül Majd flytatódik az ellenkező irányú ágneses tér felépítésével A tekercsben az energia ne használódik el unkát ne végez ezért ezt a teljesítényt eddő teljesíténynek (reactive pwer) nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik Fgyasztói pzitív irányk ellett az induktivitás eddő teljesíténye pzitív előjelű: I Q eff Ieff I I X X A eddő teljesítény jele Q SI értékegysége [Q]varvltaper reaktív Q u(t) i(t) p(t) π wt Az induktivitás feszültségének áraának és teljesítényének időfüggvénye A eddő teljesítény fenti értelezése csak szinuszs táplálás esetén igaz Neszinuszs vagy többhulláú táplálásnál járuléks veszteségi teljesítények is egjelennek ezeket gyakran a eddővel összevnják pl ipulzus-szerű táplálásnál Példa Egy nagyságú induktivitást (tekercset) u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára és a teljesítény? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 036 H f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X ω Ω 4

15 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye i(t)00sin(34t-π/) I eff 707 A pt () sin ( 68t) sin ( 68t) Q 663 kvar} 3 Kapacitás Egy kapacitású ideális kndenzátrban a tárlt q(t) töltés inden pillanatban aránys a fegyverzetei közötti u(t) feszültséggel: q(t)u(t) i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt kapacitás áraköri vázlata Ha a feszültség váltzik váltzik a tárlt töltés és a töltés váltzásának egfelelő ára flyik az elektródkhz (vezetési ára) illetve a dielektrikun át (eltlási ára) dq( t) ( ) it () du t dt dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik u(t) sinωt (a kezdeti fázisszög α u 0) akkr az előző egyenletből: () it () du t d π t t t I t dt dt π sinω ω csω ω sin ω sin ω itt I ω X ω π Az ára fázisban 90 -kal siet a feszültséghez képest αi Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: I A kaptt képletben szereplő ω eff eff vagy I X X a váltakzó áraú kapacitív ellenállás (kapacitív reaktancia) A kapacitív reaktancia jele X SI értékegysége [X]Ωh X X f A kapacitív reaktancia frekvencia-függése 5

16 VIVEA009 Elektrtechnika 08 A kapacitív reaktancia X frdítttan aránys a frekvenciával és a kapacitással A villas térben létrejövő ptenciál-különbséget az árakörben a kapacitív ellenál- ω π f lásra eső feszültség helyettesíti Q u(t) p(t) π i(t) wt A kapacitás feszültségének áraának és teljesítényének időfüggvénye A kapacitás teljesítényének pillanatértéke: () () () pt ut it sinω t I csω t I kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzik A kndenzátrban az ára által szállíttt töltések építik fel a villas teret A negyed periódus alatt (pzitív szakasz) felépülő villas tér a következő negyed periódus alatt leblik (negatív szakasz) A kndenzátrban az energia ne használódik el unkát ne végez ezért ezt a teljesítényt is eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik ait Q-val jelölnek A kapacitív eddő teljesítény jele is Q SI értékegysége [Q]varvltaper reaktív Fgyasztói pzitív irányk ellett a kapacitív eddő teljesítény negatív előjelű: Q sin I eff Ieff I I X X Példa Egy nagyságú kapacitást (kndenzátrt) u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára és a teljesítény? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 385 µf f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X /(ω)/( )0 Ω i(t)35sin(34tπ/) I eff 3 A pt () sin( 68t) 589 sin( 68t) Q -589 kvar} 4 Srs - kör Ebben az árakörben az ellenállás u (t) feszültségesése és a vele srsan kapcslt induktivitás u (t) önindukciós feszültsége inden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) tápfeszültséggel: ω t 6

17 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye ( ) () () () () () 0 () () ut u t u t ut it di t dt ( ) ut it di t dt i(t) X ω u(t) u (t) u (t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs - kör vázlata A srs árakör eleein azns az ára ezért ha i(t) szinusz függvény szerint váltzik akkr i(t)i sinωt (α i 0) az előző egyenlet szerint: u(t)i sinωti ωcsωti (sinωtωcsωt)i Zsin(ωtα u ) sin(ωtα u ) Z az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú ellenállása ipedanciája I Z vagy Z I I Az ipedancia jele Z SI értékegysége [Z]Ω h A feszültség egyenlet alapján sinωtωcsωtsinωtx csωtzsin(ωtα u ) Z eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt0 és az ωtπ/ értéket: ωt0 esetén X Zsinα u ωtπ/ esetén Zsin(π/α u ) Zcsα u Z X X ω Az ellenállás az X reaktancia és a Z ipedancia összefüggésének illusztrálása Az utóbbi két egyenlet hányadsából: X X tgα u illetve α u ar ctg (α u indig pzitív hiszen az eredő feszültség az induktivitás iatt siet az árahz képest) Az előző két egyenlet négyzetének összegéből: X Z vagy Z X Az hs-induktív árakörben az u(t) feszültség u szöggel siet az i(t) árahz képest Mivel α i 0 az ára fázisszöge a feszültséghez képest α i -α u -α u tehát az ára késik a feszültséghez képest (a fázisszög negatív) arctg X Ezzel Zcs és X Zsin(-) 7

18 VIVEA009 Elektrtechnika 08 u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Aennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: u(t) sinωt (α u 0) akkr it () sin( ω t ) itt az induktivitás iatt <0 Z p(t) p (t) wt p (t) i(t) Srs - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke (α i 0 esetre): pt () ut () it () sin( ωt αu) Isin ω t I( sin ω t X csω t) Isin ω t cs ω t sin ω t Isin ω t IX csω t sinω t I IX p() t p() t A p(t) teljesíténynek van egy I középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint lengő p (t) és egy kétszeres frekvenciájú I X aplitúdójú szinusz függvény szerint váltzó p (t) összetevője A teljesítény középértékének különböző alakjai: I P I I I eff I I cs Z X íg az induktív eddő teljesítény: 8

19 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Q I X I X I X I X eff I Z X X ( ) I sin itt <0 S Q P A P hatáss a Q eddő és az S látszólags teljesítény összefüggésének illusztrálása Mind a unkát (pl hőfejlesztést echanikai elzdulást) végző hatáss teljesítény ind a ágneses teret alakító eddő teljesítény kisebb az egyenáraú körök intájára száítható I szrzatnál aely szrzatt látszólags teljesíténynek (apparent pwer) nevezik és S-el jelölik: S eff I eff I A látszólags teljesítény SI értékegysége [S]VAvltaper A hatáss a eddő és a látszólags teljesítény közötti összefüggés az eddigiek alapján: PScs Q Ssin(-) illetve P Q S A hatáss és a látszólags teljesítény közötti szrzót teljesítény tényezőnek nevezik és P rendszerint ε-al vagy PF-el (Pwer Factr) jelölik PF PS PF S Szinusz függvény szerint váltzó de csak szinusz függvény szerint váltzó feszültség és ára esetén a teljesíténytényező PFcs így PS cs A villas és az elektrechanikai eszközök berendezések (pl villas frgógépek) dellezésénél a helyettesítő árakörökben a hatáss teljesítényt (echanikai teljesítény súrlódási veszteség vasveszteség stb) egyenértékű hs veszteségi teljesíténnyel képezik le egfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával A fgyaszttt hatáss teljesíténynek tehát a hővé vagy ás fajta energiává alakuló teljesíténynek a középértékét nevezik Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú induktivitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára a teljesítény és a fázisszög? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 00 Ω 00 H f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X ω Ω Z Ω -arctg(68/00)-056(rad)-33 (induktív) cs0847 sin-053 i(t)(357/8084)sin(34t-056)754sin(34t-056) A I eff 947 A V V ( ) ( t) ( t) pt () cs sin ( ) ( ) cs 68 t sin 68t P3795 W Q 385 var S4478 VA ( )} 9

20 VIVEA009 Elektrtechnika 08 5 Srs - kör A srs - körhöz hasnlóan száítható i(t) X ω u(t) u (t) u (t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs - kör vázlata Az ellenállás u (t) feszültségesése és a kndenzátr töltésével aránys u (t) feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) tápfeszültséggel: u() t u () t u () t u() t i() t itdt () 0 ut () it () itdt () Ha az ára szinusz függvény szerint váltzik i(t)i sinωt α i 0 akkr az előző egyenletből: I ut () Isin ωt csωt IZsin( ωt αu) sin( ωt α u) ω Az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú ellenállása ipedanciája: Z vagy I Z I I u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye A feszültség egyenlet alapján sin ωt csωt sin ωt X csωt Zsin( ωt αu) ω Z eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt0 és az ωtπ/ értéket: ωt0 esetén -X Zsinα u ωtπ/ esetén Zsin(π/α u ) Zcsα u 0

21 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye X Az utóbbi két egyenlet hányadsából: tgα u vagy ásképpen: X X α u arctg arctg (α u indig negatív hiszen az eredő feszültség a kapacitás iatt késik az árahz képest) A két egyenlet négyzetének összegéből: X Z vagy Z X Z X -X -/ω Az ellenállás az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az hs-kapacitív árakörben az u(t) feszültség α u szöggel késik az i(t) árahz képest Mivel α i 0 az ára fázisszöge a feszültséghez képest α i -α u -α u az ára siet a feszültséghez képest (a fázisszög pzitív) arctg X Aennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: u(t) sinωt (α u 0) akkr it () sin( ω t ) (itt a kapacitás iatt >0) Z A teljesítény pillanatértéke: pt ut it I sinωt X csωt I sinω t () () () ( ) cs ω t sin ω t Isin ωt IX csωt sinωt I IX A p(t) teljesíténynek van egy I középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint lengő p (t) és egy kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzó p (t) összetevője p (t) p(t) p (t) i(t) wt Srs - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye

22 VIVEA009 Elektrtechnika 08 Az ellenállás teljesítényének középértéke a srs - körhöz hasnlóan: I P I I I eff I I cs Z X íg a eddő teljesítény különböző alakjai: I X Q I X I X I X eff I Z X X I sin itt >0 S Q P A P hatáss a Q eddő és az S látszólags teljesítény összefüggésének illusztrálása Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú kapacitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára a teljesítény és a fázisszög? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 00 Ω 00 µf f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X /(ω)/( )384 Ω Z Ω arctg(384/00)03(rad)766 (kapacitív) cs0953 sin0303 i(t) (357/049)sin(34t03)3099sin(34t03) A I eff 9 A V V ( ) ( t) ( t) pt () cs sin ( ) ( ) 96 cs 68 t sin 68t P480 W Q -589 var S5037 VA ( )} 6 Srs -- kör A srs - és - körhöz hasnlóan száítható Az ellenállás u (t) feszültségesése az induktivitás u (t) önindukciós feszültsége és a kndenzátr töltésével aránys u (t) feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) tápfeszültséggel: ( ) u() t u () t u () t u () t u() t i() t di t dt idt 0 ebből () ut () it () di t dt idt

23 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye i(t) X X u(t) u (t) u (t) u (t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs -- kör vázlata Ha az ára szinusz függvény szerint váltzik i(t)i sinωt α i 0 akkr az előző egyenletből: I I ut () Isinωt Iωcsωt csωt I sinωt ω csω t ω ω [ sinω ( ) csω ] ( sinω csω ) I t X X t I t X t I Zsin(ωtα u ) sin(ωtα u ) itt α u az eredő (táp) feszültség fázishelyzete a árahz képest X ω X X az eredő reaktancia ω Z X XX - X Az ellenállás az X reaktancia és a Z ipedancia összefüggésének illusztrálása Mivel X és X is kszinusz függvény együtthatója a két reaktanciát skalárként kell összevnni Az eredő ipedancia képzésénél X pzitív X negatív előjellel szerepel u (t) u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs -- kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye 3

24 VIVEA009 Elektrtechnika 08 Az előzőekhez hasnlóan az eredő ipedancia: Z X illetve Z X ( X X ) X X és a fázisszög tgα u X X X X vagy α u arctg arctg Mivel α i 0 ezért az ára fázisszöge a feszültséghez képest α i -α u -α u i(t)i sin(ωt) < 0 ha X > 0 azaz ω > az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű) ω 0 ha X 0 azaz ω az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű) ω > 0 ha X < 0 azaz ω < az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű) ω A teljesítény pillanatértéke: pt ut it I sinωt X X csωti sinω t [ ] () () () ( ) cs ω t sin ω t Isin ωt IX csωt sinωt I IX p(t) p (t) wt p (t) p (t) Srs -- kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye észletezve: cs ω t az ellenállás teljesítényének időfüggvénye: p () t I sin ω t az induktivitás teljesítényének időfüggvénye: p () t I X sin ω t a kapacitás teljesítényének időfüggvénye: p () t I X A p (t) hatáss teljesítény inden pillanatban pzitív középértéke PI p (t) és p (t) egyfrán kétszeres frekvenciával de ellenfázisban leng középértékük zérus eredőjük a eddő kpnens a két teljesítény előjeles algebrai összege: sin ω t qt () p() t p() t I( X X) i(t) 4

25 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Q I X X I X X I X A eddő teljesítény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng a ásik részét az árakör a táphálózatból veszi fel és da juttatja vissza Az eredő eddő teljesítény aplitúdója: ( ) ( ) S QQ - Q P A P hatáss a Q eddő és az S látszólags teljesítény összefüggésének illusztrálása Példa Egy nagyságú ellenállásból nagyságú induktivitásból és nagyságú kapacitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára a teljesítény és a fázisszög? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 00 Ω 00 H 00 µf f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X ω Ω X /(ω)/( )384 Ω X X -X 3096 Ω Z Ω arctg(-3096/00)-03 (rad) -7 induktív cs0955 sin095 i(t) (357/0468)sin(34t-03)307sin(34t-03) A I eff 97 A V V V [97 ( ) 30 ] ( t) ( t) ( t) pt () cs sin 68 sin ( ) ( ) ( ) 965 cs 68 t sin 68t sin 68t P487 W Q 303 var Q var Q494 var S5053 VA [487 ( ) 5053 ]} A srs reznancia Induktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás ágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrsztatikus energiájává (vagy annak egy részévé) Aennyiben az induktivitás és a kapacitás energiájának axiuális értéke egegyezik egyással ha az induktivitásban ugyanakkra energia halzódik fel int a kapacitásban akkr ez a két áraköri ele ellátja egyást energiával és az -- árakör a táphálózatból ne vesz fel eddő teljesítényt és ne is ad da le Ez a reznancia jelensége A reznanciára éretezett árakört rezgőkörnek nevezik Srs árakörben srs (vagy feszültség-) reznanciáról és srs rezgőkörről beszélünk Jelen árakörben a reznancia feltétele: X X ω ω 5

26 VIVEA009 Elektrtechnika 08 Így az eredő ipedancia: Z (ivel X -X 0) ezért az ára és a feszültség fázisban van Az árakör a tápfrrásból csak hatáss teljesítényt vesz fel nincs eddő teljesítény felvétel és a tápfrrás felé nincs eddő teljesítény leadás Az induktivitás (a ágneses tér) energiája teljes egészében átalakul a kapacitás (villas tér) energiájává és frdítva A pillanatértékekre: u (t)i(t)x -i(t)x u (t) ezért u (t)u (t)0 illetve p (t)i(t)u (t) -i(t)u (t)-p (t) p (t)p (t)0 Az induktivitásn és a kapacitásn eső feszültség inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű a kettő eredője zérus így együtt rövidzárként viselkednek X X f f 0 A reznancia frekvencia értelezése A reaktanciák frekvencia-függése iatt a reznancia jelenség adtt induktivitás és kapacitás esetén csak egyetlen frekvencián az ún reznancia frekvencián (vagy a reznancia körfrekvencián) alakul ki ainek jelölése f r f 0 vagy f s (illetve ω r ω 0 vagy ω s ) A reznancia frekvencia és a reznancia körfrekvencia a reaktanciák egyezése alapján száítható: ω 0 aiből ω 0 vagy ω 0 és f0 ω 0 π Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás akár a kapacitás növelésével a reznancia frekvencia csökken Minél alacsnyabb a szükséges reznancia frekvencia annál nagybb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani Példa Egy srs -- árakörben 00 Ω 00 H 00 µf { f Hz ω π /s} 6

27 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye 7 Párhuzas - kör A feszültség a két áraköri eleen azns egegyezik a tápfeszültséggel így ( ) ut () i () t di t dt i(t) u(t) i (t) i (t) X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas - kör vázlata az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint ut ( ) it () i () t i() t () utdt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik u(t) sinωt (α u 0) akkr az előző egyenletből: it () sinωt csωt ( Gsinωt B csω t) ω ( ) sin( ) Ysin ωt I ωt u(t) i(t) i (t) i (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Itt α i a fázisszög az eredő ára fázishelyzete a tápfeszültséghez képest G az ellenállás vezetése (knduktancia) B az induktívitás váltakzó áraú vezetése az induktív szuszceptancia ω X Az induktív szuszceptancia jele B SI értékegysége [B]SSieens Y az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú vezetése adittanciája 7

28 VIVEA009 Elektrtechnika 08 Az adittancia jele Y SI értékegysége [Y]SSieens Az ára egyenletből: Gsinωt-B csωtysin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt0 és az ωtπ/ értéket: ωt0 esetén -B Ysin ωtπ/ esetén G Ysin(π/α u ) Ycs Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B tg ebből arctg B G G ω tvábbi átalakítással arctg ar ctg ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B Y vagy Y G B A párhuzas - kör fázisszöge negatív az eredő ára szöggel késik a feszültséghez képest Y G B -B G A G knduktancia a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása frdítttan aránys a frekvenciával és az in- Az induktív szuszceptancia B ω π f duktivitással B f Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt it ut Gsinωt B csωt sinω t () () () ( ) cs ω t sin ω t Gsin ωt B csωt sinωt G B észletezve: 8

29 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye cs ω t az ellenállás teljesíténye: p () t G sin ω t az induktivitás teljesíténye: p () t B A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G G G eff eff I cs a eddő teljesítény (az induktivitás teljesítényének axiua): B eff Q eff B B I sin( ) X X u(t) p(t) p (t) wt p (t) Párhuzas - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú induktivitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára a teljesítény és a fázisszög? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 00 Ω 00 H f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X ω Ω G00 S B 0059 S Y S Z/YZ538 Ω arctg(-0059 /00)-0 (rad)-5783 (induktív) cs053 sin-0846 i(t)( )sin(34t-0)65sin(34t-0) A I eff 43 A I A I A ( ) ( t) ( t) pt () cs sin ( ) ( ) 058 cs 68 t sin 68t 68 3 P59 W Q 845 var S9936 VA ( )} 9

30 VIVEA009 Elektrtechnika 08 8 Párhuzas - kör A feszültség a két áraköri eleen azns egegyezik a tápfeszültséggel így ut () i() t i() t dt i(t) u(t) i (t) i (t) X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas - kör vázlata az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint ut ( ) ( ) it () i () t i () t du t dt i(t) u(t) i (t) i (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik u(t) sinωt (α u 0) akkr az előző egyenletből: it () sinωt ω csωt ( Gsinωt B csω t) Ysin( ωt ) I sin( ωt ) itt α i a fázisszög az eredő ára fázishelyzete a feszültségéhez képest B ω a kapacitás váltakzó áraú vezetése a kapacitív szuszceptancia A kapacitív szuszceptancia jele B SI értékegysége [B]SSieens 30

31 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Y G B B G A G knduktancia a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Az ára egyenletből: GsinωtB csωtysin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt0 és az ωtπ/ értéket: ωt0 esetén B Ysin ωtπ/ esetén G Ysin(π/) Ycs Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B G tg aiből arctg B G ω tvábbi átalakítással arctg arctg ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B Y vagy Y G B A párhuzas - kör fázisszöge pzitív az eredő i(t) ára szöggel siet az u(t) feszültséghez képest A kapacitív szuszceptancia aránys a frekvenciával és a kapacitással B f A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt it ut Gsinωt B csωt sinω t () () () ( ) cs ω t sin ω t Gsin ωt B csωt sinωt G B részletezve: cs ω t az ellenállás teljesítényének időfüggvénye: p () t G sin ω t a kapacitás teljesítényének időfüggvénye: p () t B 3

32 VIVEA009 Elektrtechnika 08 u(t) p(t) p (t) p (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G G G eff eff I cs S cs a eddő teljesítény: B eff Q eff B B I sin( ) S sin( ) X X Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú kapacitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára a teljesítény és a fázisszög? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 00 Ω 00 µf f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X /(ω)/( )384 Ω G00 S B 0034 S Y S Z/Y30395 Ω arctg(0034/00)6 (rad)733 (kapacitív) cs0303 sin0953 i(t) ( )sin(34t6)077sin(34t6) A I eff 7578 A I A I A ( ) ( t) ( t) pt () cs sin ( ) ( ) 058 cs 68 t sin 68t 33 P59 W Q -66 var S7494 VA ( )} 9 Párhuzas -- kör A feszültség indhár eleen azns ( ) ut () i () t di t () dt i t dt az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint i(t)i (t)i (t)i (t) vagy ut ( ) ( t) it () utdt () du dt 3

33 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye i(t) u(t) i (t) i (t) i (t) X X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas -- kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik u(t) sinωt α u 0 akkr az előző egyenletből: it () sinωt csωt ω csωt sinωt ω csωt ω ω ( sin cs ) sin( ) sin( ) G ωt B ωt Y ωt I ωt Itt a fázisszög az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest B ω B B - az eredő szuszceptancia ω Az ára egyenletből GsinωtBcsωtYsin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt0 és az ωtπ/ értéket: ωt0 esetén B Ysin ωtπ/ esetén G Ysin(π/) Ycs Y G B B B -B G A G knduktancia a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B G tg ebből arctg B G ω ω ω tvábbi átalakítással arctg arctg ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B Y vagy Y G B 33

34 VIVEA009 Elektrtechnika 08 i (t) i(t) u(t) i (t) wt i (t) Párhuzas -- kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Mivel α u 0 az ára α i fázisszöge a feszültséghez képest > 0 ha B > 0 azaz ω > ω az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű) 0 ha B 0 azaz ω ω az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű) < 0 ha B < 0 azaz ω < ω az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű) u(t) p(t) p (t) p (t) wt p (t) Párhuzas -- kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt it ut Gsinωt Bcsωt sinω t () () () ( ) cs ω t sin ω t Gsin ωt Bcsωt sinωt G B 34

35 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye észletezve: cs ω t az ellenállás teljesítényének időfüggvénye: p () t G sin ω t az induktivitás teljesítényének időfüggvénye: p () t B sin ω t a kapacitás teljesítényének időfüggvénye: p () t B Az ellenállás p (t) hatáss teljesíténye inden pillanatban pzitív középértéke P G p (t) és p (t) egyfrán kétszeres frekvenciával de ellenfázisban leng indkettő középértéke zérus Eredőjük a kettő előjeles algebrai összege: sin ω t qt () p() t p() t ( B B) A hatáss teljesítény különböző alakjai: P G eff I cs az eredő eddő teljesítény aplitúdója: ( ) Q B B ( B B) eff I sin( ) X X A eddő teljesítény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng a ásik részét az árakör a táphálózatból veszi fel és da juttatja vissza Példa Egy nagyságú ellenállásból értékű induktivitásból és nagyságú kapacitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk ekkra az ára a teljesítény és a fázisszög? ut () 30 sin ( 34t) 35 7 sin( 34t) V 00 Ω 00 H 00 µf f50 Hz {ωπfπ5000π34 /s X ω Ω X /(ω)/( )384 Ω G00 S B 0059 S B 0034 S B00549 S Y S Z543 Ω arctg(00549/00)09978 (rad)577 kapacitív cs054 sin084 i(t) ( )sin(34t09978) 6sin(34t09978) A I eff 44 A I A I A I A [3 (7-3657) 44 ] ( t) ( t) pt () cs 68 sin sin 68t cs 68t sin 68t sin 68t P59 W Q 845 var Q -665 var Q-893 var S975 VA [59 ( ) 975 ]} ( ) ( ) ( ) ( ) 35

36 VIVEA009 Elektrtechnika 08 A párhuzas reznancia Párhuzas árakörben párhuzas (vagy ára-) reznanciáról és párhuzas rezgőkörről beszélünk A vizsgált árakörben a reznancia feltétele: B ω B vagy X X ω eznancia esetén YG (ivel B -B 0) ezért az ára és a feszültség fázisban van a tápfrrásból nincs eddő teljesítény felvétel és a tápfrrás felé nincs eddő teljesítény leadás Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és frdítva Az induktivitásn és a kapacitásn flyó ára inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű a kettő eredője zérus így együtt szakadásként viselkednek A párhuzas rezgőkör sajátfrekvenciája és sajátkörfrekvenciája ugyanúgy száítható int a srs körben Példa Egy párhuzas -- árakörben 00 Ω 00 H 00 µf { f Hz ω /s} 3 6 π

37 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye Szinusz függvény szerint váltakzó ennyiségek száítási eszközei és ódszerei Egyenletes szögsebességgel frgó síkvektr végpntjának ugyanazn síkban fekvő tetszőleges egyenesre vetett vetülete időben szinusz függvény szerint váltzik Ez a kapcslat lehetőséget ad arra hgy a szinusz függvényekkel végzett biznys űveleteket a szeléletesebb és egyszerűbb síkvektrkkal végzett űveletekkel helyettesítsük Azk a űveletek helyettesíthetők aelyekre a vektr-vetületekkel végzett űvelet eredénye egegyezik a vektrkkal végzett űvelet eredényének vetületével a) frgó vektrk (síkvektrk) használata álló krdináta rendszerben Az ábrán látható két ára időfüggvénye i (t)i sin(ωtα ) és i (t)i sin(ωtα ) illetve α -α (ha az i árat tekintjük referenciának) ω I I i I I i ωt α α α α Frgó síkvektrk vetületének illusztrációja A síkvektr hssza az ábra szerint egegyezik a szinusz hullá csúcsértékével frgási szögsebessége pedig a szinusz hullá körfrekvenciájával Két azns szögsebességgel frgó vektr esetén az egyáshz képesti szögeltérés állandó és egegyezik a egfelelő azns frekvenciájú (körfrekvenciájú) vetületek (szinusz hullák) fáziseltlási szögével A siető vektr a frgás irányában előbbre helyezkedik el az időben siető szinusz függvény az azns arguentuhz tartzó értéket (pl pzitív nulla-átenet axiu) kisebb ωt szögnél éri el A két azns szögsebességgel frgó vektr tehát inden fnts infrációt tartalaz a két szinusz hulláról: az aplitúdót a körfrekvenciát a fáziskülönbséget a kezdeti fázisszöget b) álló vektrk (síkvektrk) használata Állandósult állapt feltételezésével a vektrkkal együttfrgó krdináta rendszert használhatunk aiben a síkvektrk ne zgnak Ilyenkr a szinusz függvény körfrekvenciája egegyezik a krdináta rendszer ω k szögsebességével a síkvektrk pedig az aplitúdót és a fázisszöget reprezentálják Ebből következik hgy álló vektrkkal közös krdináta rendszerben csak azns frekvenciájú szinuszs ennyiségek ábrázlhatók A teljesítény pillanatérték függvénye például ne ábrázlható az ára vagy a feszültség pillanatértékével együtt ert kétszeres frekvenciájú kpnenst tartalaz I I I I I I Egyenértékű álló síkvektrs ábrázlásk frgó krdináta rendszerben (ω k ω) 37

38 VIVEA009 Elektrtechnika 08 A fenti ábrázlásk egyenértékűek csak a kezdeti fázisszögben (a t0 időpnt egválasztásában) térnek el Ezeket a szinuszs ennyiségeket leíró fázishelyzetet is kifejező síkvektrkat fázisvektrknak (phase vectr) vagy fázrknak (phasr) nevezik c) álló vektrk kplex krdináta rendszerben A sík pntjai így a fázrk végpntjai is kplex krdináta rendszerben kplex szákkal írhatók le a velük való ateatikai űveletek a kplex algebra szabályai szerint végezhetők el Az elektrtechnikai gyakrlatban skszr 90 -kal elfrdíttt krdináta rendszert használnak a ateatikaihz képest de a pzitív képzetes tengely inden esetben (pzitív frgásirány szerint) egelőzi a pzitív valós tengelyt i I e A k A A ia v k A A ja v k A v A v e I j A k A valós- és a képzetes tengely jellező elhelyezése ateatikában elektrtechnikában Az ábrán v index jelöli a valós k index a képzetes összetevőt Egy tetszőleges A kplex szá leírására hár fra használats: - algebrai alak: A Av jak pl A 3 j4 A A cs jsin A 5 cs 533 jsin trignetrikus alak: ( ) itt A Av A k Av A cs Ak A sin - expnenciális alak: A Ae j pl A 5e j 53 3 itt e j cs jsin A A A arctg A Ak v k pl ( ) A tvábbiakban a kplex vektr abszlút értékét A helyett egyszerűen A-val jelöljük Műveletek álló kplex vektrkkal (összefglalás) j A egyen A A ja Ae j B B B jb Be és j e v k v k c frgatás A kplex vektrk pzitív vagy negatív irányú frgatása tetszőleges β szöggel a fázisszög növelésével vagy csökkentésével érhető el legegyszerűbben expnenciális alakban A 90 -s elfrgatás pzitív irányban j-vel való szrzást negatív irányban -j-vel való szrzást (vagy j-vel való sztást) jelent: v v k j 38

39 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa feszültsége teljesíténye j π π π j e cs jsin j illetve e π j π cs sin j c összeadás Az összeadás (és a kivnás) egyszerűen algebrai alakban végezhető el: A B A ja B jb A B j A B j π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v k v k v v k k v k [ D A B A ja B jb A B j A B D jd ] v k v k v v k k v k az eredő (jelen esetben az összeg vagy különbség) vetületei egegyeznek a vetületek összegével (különbségével) Példa Ha A 3 j4 és B j akkr A B j 5 6 ( D A B j ) A tvábbi űveletek legegyszerűbben expnenciális alakban végezhetők el: c3 szrzás Két kplex szá szrzatát az abszlút értékek összeszrzásával és a fázisszögek összeadásával kapjuk: A B Ae αabe j αb ( ) ABe αa αb e Példa Ha A 5e j60 és B 0e j0 akkr A B 50e j80 c4 sztás Két kplex szá hányadsa az abszlút értékek sztásával és a fázisszögek kivnásával kapjuk: jαa A Ae A ( ) B Be B e j αa B e j jα α B Példa Ha A 5e j60 és B 0e j0 akkr A 05e j40 B c5 hatványzás Kplex szá n-dik hatványa az abszlút érték n-dik hatványa a fázisszög pedig n-szeres n n jn A A e α A Példa Ha A 5e j60 akkr A 5e j0 c6 gyökvnás Kplex szá n-dik gyöke a (-n-dik) hatványa az abszlút érték n-dik gyöke a fázisszög /n-szerese Megjegyzés: a π-szerinti peridicitás iatt többszörös gyökök vannak így gyöke A -nak: n A n A n Ae n Ae αa j n αa k π j n n Ae k < n-re k0 n- αa k π j n is 39