V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye

Átírás

1 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Feszültség előállítása indukcióval Frgási (zgási) indukció: frgási indukált feszültség keletkezik, aikr egy vezető és a ágneses tér között visznylags elzdulás erővnaletszés jön létre Az unipláris (hpláris) villas gép elve Ha a vezetők a ágneses tér erővnalaira erőleges síkban, a ágneses térhez visznyítva flyaatsan azns irányban zgnak (a zgás srán a ágneses tér iránya azns), akkr bennük a frgó zgás srán váltzatlan plaritású feszültség indukálódik Ω D B u i É dα V Az unipláris (hpláris) villas gép elvi vázlata Az unipláris villas gép vezetői a zgásuk (körülfrdulásuk) srán azns irányú ágneses térben vannak A hgénnek tekintett B indukciójú ágneses térben körbefrgó vezető által dα szögelfrdulás srán súrlt da felület d da = π α = d α, π ahl a vezető hssza (a körpálya sugara) Az elfrdulás ideje alatt a dφ fluxusváltzás dφ = BdA= B dα Az egy vezető rúdban indukálódó i1 feszültség Ω szögsebesség ellett dφ B dα B i1 = = = Ω dt dt Ebben az elrendezésben a vezetők párhuzas kapcslása visznylag egyszerű, azkat srba kapcslni és így az egyes küllőkben indukálódó feszültségeket összegezni csak nagyn bnylult egldással lehet Ezért a hpláris gépekre főleg a kis feszültség és a nagy ára jellező (pl elektrlízisnél használt galvándinaó) Példa egyen B=1 T, =0,1 és Ω =π50=314/s (T=0,0 s, n=50 frdulat/sec), akkr az egy vezetőben indukált feszültség i1 =1,57 V

2 VVEA00 Elektrtechnika 014 A heterpláris villas gép elve Aikr a vezetők a ágneses térhez visznyítva váltzó irányban zgnak (a zgás srán a ágneses tér iránya váltzik), az indukált feszültség plaritása is váltzik Az ábra szerinti elrendezésben a vezetők egy henger palástja entén váltakzva az északi és a déli ágneses pólus alatt haladnak el A pólus középvnala alatti elhaladás pillanatában az egyetlen vezetőben indukálódó feszültség: i1 =Blv =BlΩ, ahl a henger sugara, l egy vezető ágneses hatás alatt lévő (aktív vagy effektív) hszsza, v a kerületi sebesség, Ω a szögsebesség N srbakapcslt vezetőből álló tekercsben az eredő indukált feszültség: i =N i1 =NBlΩ É v Ω τ p B u i É D u i l i D A heterpláris villas gép elvi felépítése (perspektivikus és kiterített vázlata) A tekercseket úgy alakítják ki, hgy az egy enetet képező vezető egyástól pólussztásnyira helyezkedjen el, vagyis egyáshz képest ellenkező irányú ágneses térben legyenek, így bennük ellentétes plaritású feszültség indukálódik Ezért a vezetők srba kapcslásakr a feszültségek összegeződnek Az ellenkező ágneses pólusk középvnala közötti távlságt nevezik pólussztásnak és leggyakrabban τ p -vel jelölik Az indukált feszültség pillanatértéke a definíciós képlet ui () t = ( B v) l szerint akkr a legnagybb, aikr a v kerületi sebesség erőleges a B indukcióra, a pillanatérték zérus, aikr a kerületi sebesség párhuzas az indukcióval Aennyiben a ágneses tér (a B indukció) a vezető bárelyik helyzetében erőleges a v kerületi sebességre (pl sugár irányú), akkr a fenti képletek szerint száíttt indukált feszültség nagysága független a vezető helyzetétől a henger palástja entén, de pólusváltzáskr előjelet vált Az egyes pólusk alatt elhaladó vezetőkben a ágneses térnek egfelelő irányú indukált feszültség jön létre, ezért inden vezetőben félfrdulatnként egváltzik a feszültség iránya, váltakzó (irányú) feszültség keletkezik

3 ( ) V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Példa egyen B=1 T, =0,1, l = 0,5 és Ω = 314/s (50 frdulat/sec), akkr az egy vezetőben indukált feszültség axiális értéke i1 = 15,7 V, az egy enetben ( vezetőben) indukálódó feszültség i1 = 31,4 V dőben szinusz függvény szerint váltzó feszültség előállítása É Ω d B u i1 (t) l u i1 (t) () D Elvi vázlat, a csúszógyűrű alkalazása A vázlat szerinti keret vezetőiben indukálódó feszültség plaritása pzíció-függő A frgó vezetők csúszó kntaktuskn keresztül érhetők el csúszógyűrűk segítségével É Ω d v B φ(t) u i (t) Ω t π π α=ω t D A fluxus és az indukált feszültség időbeli váltzása 3

4 VVEA00 Elektrtechnika 014 Ha egy vezető keret egyenletes Ω szögsebességgel frg a B=áll indukciójú hgén ágneses térben akkr a B indukció keretre erőleges B n összetevőjének nagysága a frgás srán váltzik, B n (t)=bcsα=bcsω t, így a keret által átfgtt fluxus nagysága φ(t)=b n A=B n ld is váltzik: φ(t)=bldcsω t=φ csω t, itt Φ =Bld a fluxus aplitúdója B α B n v x α v B t v y α A B indukció és a v kerületi sebesség erőleges összetevői Az indukált feszültség N száú srbakapcslt vezető esetén: u() t N d i = φ = N t = N t t dt = ΩΦ sin Ω ΩΦ cs Ω π cs Ω π Az u i indukált feszültség időfüggvénye 90 -kal eltlt a fluxushz képest (siet) Aikr a keret által átfgtt fluxus a legnagybb, akkr a fluxusváltzás és ezért az indukált feszültség is a legkisebb (t=0, α=0), aikr az átfgtt fluxus a legkisebb, a váltzás és az indukált feszültség is a legnagybb t = π π = α = 90 Ω Ω, A keret egy teljes körülfrdulása alatt az indukált feszültség egy teljes szinuszgörbét ír le Az indukált feszültség ás egfntlással, a zgási indukcióval is értelezhető: a vezetőnek a ágneses erővnalakra erőleges sebesség kpnense v y =vsinω t, így az egy vezetőben indukálódó u i1 feszültség a felvett pzitív iránynak egfelelő előjellel: u = l ( B i v) = l 1 Bv = l y Bv sin Ω t Mivel v d α d = = Ω = Ω, az indukálódó feszültség: dt ld ui B t 1 = Ω sin Ω = Ω Φ sin Ω t, itt is Φ =Bld A vezetőből álló keretben u i1 kétszerese indukálódik, N enetű keretben pedig π ui() t = N t = N t t = π ΩΦ sin Ω ΩΦ cs Ω cs Ω A frekvencia fgala Az időegység alatt lezajló teljes (váltzási) ciklusk (isétlődések, periódusk) száa a frekvencia A frekvencia jele f, S értékegysége Hertz 1 tiszteletére 1 Hertz, Heinrich udlf ( ) néet fizikus 4

5 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye 1 [ f ] = Hz = hertz = s Az ábrán vázlt esetben az indukált feszültség egy ciklusa a vezető keret egy teljes echanikai frdulata alatt zajlik le, így a ciklusk száa egegyezik a frdulatk száával: 1 1 s s f = n A villasérnöki gyakrlatban a frdulatszá rendszerint a percenkénti frdulatk száát jelenti, ebben az esetben: f 1 1 s in n = 60 A körfrekvencia fgala A szinusz és a kszinusz trignetrikus függvény peridikus, arguentua a szög Egy periódus π (=360 ) terjedelű, vagyis sin(πα)=sin(α), vagy cs(πα)=cs(α) Ha 1 váltzási ciklus (1 periódus) arguentua π (=360 ), azaz egy teljes kör, akkr ásdpercenként f periódushz πf szög, vagyis f száú teljes kör tartzik Ezért az πf szrzatt körfrekvenciának nevezik (tulajdnképpen szögfrekvencia), jele ω, S értékegysége [ ] ω = 1 s (a gyakrlatban elterjedt ezen kívül a rad/s is) A körfrekvencia tulajdnképpen az időegység alatt érintett szögtartány A körfrekvencia kapcslatt teret az idő és a szög között: α=ωt Az egy periódus leflyásáhz szükséges idő a T periódusidő: α=π=ωt, illetve π π T = = = ω fπ Kétpólusú gépeknél a kerület entén 1 db É és 1 db D ágneses pólus van, az Ω echanikai szögsebesség egegyezik vezetőkben indukálódó szinuszs feszültség ω körfrekvenciájával ω=ω, ivel egy villas periódus egy echanikai frdulat alatt zajlik le 1 f É Ω É D É D i v D D 0 π π 4π ωt π Ω t É 4 pólusú (p=) gép elvi vázlata Többpólusú gépeknél, aelyeknél a kerület entén p-száú póluspárt helyeznek el, a vezetők inden körülfrdulás alatt p-szer haladnak el É és D pólus terében, egy echanikai frdu- 5

6 VVEA00 Elektrtechnika 014 lat alatt p száú villas periódus zajlik le ω=pω Ennek figyelebevételével a frgási indukált feszültség általánsabb alakja: u i =pnωφ sinpω t u i (ωt) π π p ωt Ω t Az indukált feszültség a villas és a echanikai szögelfrdulás függvényében (p=1) A frekvencia és a frdulatszá közötti általáns összefüggés f p n in s =, ekkra egy n 60 frdulattal járó, p póluspárú (szinkrn) generátr indukált feszültségének frekvenciája Ebből az összefüggésből száítható az f frekvenciájú feszültségről táplált tr n 0 (szinkrn) frdulatszáa (a ágneses ező frdulatszáa): 60 f n0 = p 3000 f=50 Hz tápfrekvencia esetén a szinkrn frdulatszá: n0 =, f=60 Hz esetén p 3600 n0 = p 1 1 A szinkrn generátr űködési elve d d q τ p q τ p a) b) Hengeres a) és kiálló pólusú b) frgórészű szinkrn gép vázlata (p=1) 6

7 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A villas energia előállítására alkalaztt szinkrn generátrkban az a szkáss elrendezés, hgy egy szinuszs elszlású ágneses tér frg, a vezetőket pedig, aelyekben a feszültség indukálódik, az állórész hrnyaiban helyezik el A ágneses teret a frgórész egyenáraal gerjesztett tekercsével állítják elő, a szinuszs elszlás a gerjesztő tekercs vezetőinek egfelelő térbeli elszlásával, vagy a légrés egfelelő kialakításával érhető el, illetve közelíthető A ágneses tér a frgórésszel együtt frg A szinuszs térbeli elszlású indukcióval való erővnaletszés értéke időben szinuszs (vagy kszinuszs) Ha a vezetőkeret (tekercs) által átfgtt fluxus váltzása szinuszs, akkr a vezetőkben indukálódó feszültség időbeli váltzása is szinuszs (vagy kszinuszs) Transzfrátrs (nyugali) indukció: transzfrátrs indukált feszültség akkr keletkezik, aikr egy nyugalban lévő vezető keret által átfgtt ágneses tér ne a keret zgása iatt váltzik Az ábra szerinti elrendezésben a B(t) indukció az i(t) kszinusz függvény szerint váltzó gerjesztő ára hatására időben kszinusz függvény szerint váltzik: i(t)= csωt és B(t)=B csωt A fluxus is kszinusz függvény szerint váltzik: φ(t)=φ csωt, az indukált feszültség pedig () u() t N d φ t i = = NωΦ sin ωt dt φ(t) u i (t) N i(t) A transzfrátrs indukált feszültség illusztrációja A térben álló tekercsek közötti elektrágneses kapcslatban transzfrátrs indukció jön létre, villas frgógépekben általában frgási, de indkét fajta indukált feszültség egyszerre is jelen lehet, ha a vezető időben ne állandó ágneses térben zg A transzfrátr űködési elve A transzfrátr egy lyan csatlt tekercsekből álló elektrágneses energia-átalakító, aelyik a prier ldal (tekercs) által felvett, u 1 feszültséggel és i 1 áraal jelleezhető villas energiát a szekunder ldal (tekercs) által leadtt, ás feszültségű (u ) és ás áraú (i ) de azns frekvenciájú villas energiává alakítja át Ha az egyszerűsítés érdekében elhanyagljuk a prier tekercs hs ellenállását (ait lyan esetben tehetünk, aikr 1 «X 1 ), akkr a prier ldal kapcsfeszültsége egegyezik az indukált feszültséggel: () u() t t di t 1 1 = 1 sinω = 1 dt Ebből az i 1 prier ára 7

8 VVEA00 Elektrtechnika π i1() t = u1() t dt t 1 t 1 t = csω = csω = sin ω 1 1ω A prier tekercs i 1 áraa által létrehztt B 1 indukció és φ 1 fluxus időbeli váltzása: π B 1 (t)=-b 1 csωt és ezért φ 1 (t)=-φ 1 csωt = Φ 1 sin ω t Áraentes szekunder tekercsnél a prier tekercs által létrehztt φ 1 fluxus szekunder tekerccsel kapcslódó φ 1 része a σ szórástól függően kisebb a prier tekercs fluxusánál, a téreléleti felbntást alkalazva: φ 1 (t) φ 1 (t), φ (t) = (1-σ)φ 1 (t) =-(1-σ)Φ 1 csωt=-φ csωt u 1 (t) u (t) i 1 (t) i (t) N 1 N φ 1 (t) φ (t) A transzfrátr elvi felépítése A szekunder tekercsben indukálódó u (t) feszültség: () u () t N d φ t = = NΦ ω sin ω t dt Terhelés (fgyasztó) rákapcslásakr a szekunder árakör záródik és a kialakuló i ára az ábrán láthatóan legerjesztő hatású, i 1 -el ellenkező irányú (ellenfázisú) fluxust hz létre A kisebb φ (t)= φ 1 (t)φ (t) eredő ágnesező fluxus iatt csökken a prier tekercsben indukálódó feszültség (ai egyensúlyt tart a tápfeszültséggel), eiatt nő az i 1 prier ára Ez biztsítja az energetikai egyensúlyt: a szekunder ldal leadtt energiáját a prier ldal veszi fel a táphálózatból A villas és a vasveszteségek iatt P < P 1, a leadtt teljesítény indig kisebb a felvettnél Szinusz függvény szerint váltzó ennyiségek fázisvisznyai Az ábrán egy kétpólusú (p=1) ágneses térben hár, azns Ω echanikai szögsebességgel körbe frgó vezető keret vázlata és a keretekben indukálódó feszültség időfüggvénye látható a t=0-nak választtt időpntnak egfelelően Az egyes keretek szöghelyzetét a vízszintes tengelyhez képest az α szögek utatják, α=ω t és Ω=ω (a kétpólusú tér iatt a szögsebesség egegyezik a körfrekvenciával) Az egyes keretek szöghelyzete időben egyfrán váltzik, a közöttük lévő szögek és ezért az indukált feszültségek közötti fázisbeli különbségek is állandóak 8

9 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye É Ω B α 3 α1 u 3 (t) u 1 (t) u (t) 1 3 D 13 1 α α α 1 α 3 t=0 t'=0 π π ω t Eltérő fázishelyzetű feszültségek előállítása Az egyes indukált feszültség időfüggvények: u 1 (t)= sin(ωtα 1 ), u (t)= sin(ωtα ), u 3 (t)= sin(ωtα 3 ) A szinusz függvények (ωtα) arguentuai a fázisszögek (fázisk), az adtt pillanathz tartzó szögértékek Az α kezdeti fázisszög a egfigyelés kezdő időpntjától, a t=0 pillanat egválasztásától függ: u 1 (t=0)= sinα 1 Az u(t) feszültség esetében a pzitív nulla-átenet pillanatának eghatárzása: u(t)=0, ha sin(ωtα 1 )=0, vagyis ωtα 1 =0, vagyis ωt=-α 1 Ha egyetlen jelet vizsgálunk, akkr a t=0 időpnt egválasztásának állandósult állaptban nincs jelentősége Több vizsgált jel esetén t=0-t célszerű ahhz a jelhez illeszteni, aelyikhez a többi jel helyzetét visznyítják (referencia jel) egyen u 1 (t) a referencia (az ábrán t'=0), akkr α =α 1-1, α 3 =α 1 13 Behelyettesítve a feszültségek képletébe: u 1 (t)= sin(ωtα 1 ), u (t)= sin(ωtα 1-1 ), u 3 (t)= sin(ωtα 1 13 ) A t=0 időpntt α 1 =0 választással jelöljük ki (az ábrán szaggattt vnallal rajzlt függőleges tengely), így u 1 (t)= sinωt, u (t)= sin(ωt- 1 ), u 3 (t)= sin(ωt 13 ) 9

10 VVEA00 Elektrtechnika 014 u szöghelyzete u 1 -hez visznyítva: 1 =α -α 1 <0, u késik u 1 -hez képest (később van pzitív nulla-átenete), u 3 szöghelyzete u 1 -hez visznyítva: 13 =α 3 -α 1 >0, u 3 siet u 1 -hez képest Az időtengely jbb felé utat, a krábbi időpntk balra, a későbbiek jbbra esnek Egy eseény (pl nulla-átenet) annál inkább jbbra kerül az időtengelyen, inél később következik be A feszültséghez hasnlóan írható le és ábrázlható ás szinuszs ennyiség is, pl az ára: i(t)= sin(ωt i ) Az ára szöghelyzetét a saját fázisfeszültségéhez képest szkták felírni Ha u(t)= sin(ωt u ), akkr az ára szöghelyzete a feszültségéhez képest: = i u, azaz: i(t)= sin(ωt u ) Aennyiben a feszültség a referencia, akkr u =0, <0-nál az ára késik, >0 esetén az ára siet a feszültséghez képest A váltakzó ennyiségek jellezői A független váltzó egválasztásának lehetősége Az u(t)= sin(ωt) alak használatakr a független váltzó az idő, így differenciálásnál az ω körfrekvencia szrzóként, integráláskr sztóként szerepel: du() t = ω cs ( ω t ) és utdt () ( t ) dt = cs ω ω Az u(ωt)= sin(ωt) váltzatban a független váltzó a szög, differenciálásnál nincs szrzó, integráláskr nincs sztó: du( ωt) = cs ( ω t ) és u( t) d t ( t ) dωt ω ω = cs ω Megjegyzés Az indukált feszültséget a definíció szerint idő szerinti deriválással kell d száítani: ui = ψ () t dt Fntsabb definíciók Pillanatérték: a váltakzó ennyiség nagysága a független váltzó adtt értékénél (adtt időpillanatban, adtt szögértéknél), érése regisztráló űszerrel (pl szcillszkóp) lehetséges Jelölése kisbetűvel, pl feszültség esetén: u, u(t), u(ωt) A pillanatérték tetszőleges függvénynél értelezhető Fázisszög (fázis, fázishelyzet): trignetrikus függvény esetén a radiánban vagy fkban kifejezett szög érték, időben váltzik Jelölése pl =ωt Kezdeti fázisszög (fáziseltlás): trignetrikus függvény esetén radiánban vagy fkban kifejezett szög érték a t=0 referencia időpntban, knstans érték Jelölése pl 0 súcsérték, aplitúdó, axiális érték: a periódusidő alatt elért legnagybb (vagy legkisebb) pillanatérték jelölése pl feszültség esetén: $,, ax A axiális érték tetszőleges peridikus függvénynél értelezhető Effektív érték: ára esetén egyszerű az értelezése, annak az egyenértékű egyenáranak a nagysága, aelyik egy adtt ellenállásn ugyanakkra veszteségi energiát terel, int valailyen váltakzó ára egy periódus alatt Az effektív érték tetszőleges peridikus függvénynél értelezhető Egy ellenállásn egyenára esetén a dt idő alatti veszteség dw= dt, ennek a T periódusidőre (az összehasnlításban szereplő váltakzó ára periódusidejére) száíttt integrálja W= T 10

11 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A veszteség váltakzó ára esetén dt idő alatt: dw=i(t) dt, ainek a T periódusidőre száíttt integrálja W = i() t dt, ez a definíció szerint eg kell egyezzen az egyenára esetén kaptt W= T értékkel, T () W = i t dt = T, így az egyenértékű egyenára, vagyis a váltakzó ára effektív értéke: 0 T 1 = eff = it dt T 0 Az effektív érték jelölése pl feszültség esetén:, eff Egyenáraú ennyiségeknél a pillanatérték, a axiális- és az effektív érték egegyezik: u(t)= eff = ax Szinusz függvény szerint váltzó ennyiség effektív értéke, ha i(t)= sinωt: T T T T 1 () T it dt 1 T tdt 1 cs ω t t eff dt 1 = = sin ω = = t T T sin ω 4 = ω 0 t 1 t = sin 4π = T 4ω T Példa = eff =30 V ax = 35,7 V, = eff =400 V ax = 565,68 V 0 T 0 eff 0 () = = = 0,707 súcstényező: a váltakzó ennyiség csúcsértékének és effektív értékének a visznya, hányadsa, például feszültségre kcs = eff Egyenáraú ennyiségeknél k cs =1, szinuszsan váltakzó ennyiségeknél k cs = A különböző váltakzó áraú villas készülékek, berendezések névleges adataiként rendszerint az effektív értékeket adják eg, érésnél is általában az effektív értékeket határzzák eg Szigetelés szepntjából visznt a feszültség csúcsértéke a érvadó, elektrnikus eszközöknél (pl erősítők) a beenetre előírt krlát a pillanatértékre vnatkzik, tehát peridikus jel esetén szintén a csúcsérték Az indukált feszültség effektív értékének száítása A p-pólusú gépben indukált frgási feszültségre kaptt u i =pnωφ sinpω t összefüggésben Ω = n π, ahl n a percenkénti frdulatk száa 60 Ω fenti behelyettesítésével: u() t pn n π p n π i = Φ sin t = sin ω t Az aplitúdó: pn n π = Φ, az effektív érték ennek -ed része: 60 pn n π eff = Φ = 444, Nf Φ, 60 T

12 VVEA00 Elektrtechnika 014 ivel a frekvencia f pn = és π = π = 444, 60 A transzfrátrs indukált feszültségre kaptt u i =NωΦ sinωt összefüggésben az aplitúdó: =NωΦ, az effektív érték pedig: π f eff = N Φ = 444, NfΦ, ai egegyezik a frgási indukált feszültségre kaptt értékkel Példa N=100, f=50 Hz, Φ =10-3 Vs eff =, V ( =31,39 V) Szinusz függvény szerint váltakzó feszültségről táplált egyszerű árakörök száítása Előjel knvenciók Általában az ún fgyasztói pzitív iránykat használják, ezek szerint: - a fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullááhz képest, - a fgyaszttt P hatáss teljesítény pzitív, a terelt negatív, - az induktív fgyasztó Q eddő teljesíténye pzitív, a kapacitívé negatív 1 Ohs ellenállás Váltakzó feszültségre kapcslt ellenállás i(t) feszültségesése inden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) hálózati (táp)feszültséggel u(t)-i(t)=0 u(t)=i(t) Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt (a kezdeti fázisszög u =0), akkr az előző egyenletből: ut () it () = = sinω t = sinω t, itt = i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt ellenállás áraköri vázlata Ohs ellenállásn az ára fázisban van a feszültséggel, i = u, így =0 eff Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff =, vagy = Az ellenállás teljesítényének pillanatértéke: pt = ut it = sinω t sinω t= sin ω t= () () () csω t = = ( 1 cs t) ω 1

13 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye u(t) p(t) i(t) wt Az ellenállás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A teljesítény egy középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint leng, lüktet Előjele indig pzitív, tehát az energiaáralás iránya inden pillanatban azns A teljesítény középértéke: P = = eff eff = = = Az ellenállás teljesíténye hatáss teljesítény, S értékegysége [P]=W=watt Példa Egy nagyságú ellenállást u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára és a teljesítény? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =100 Ω, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=100π=314 1/s it () =, 3sin ( 314t) = 3, 57 sin( 314t) A, =,3 A, p(t)=30,3(1-cs 314t)=59(1-cs 68t), P=59 W nduktivitás deális (ellenállás entes) induktivitásra (tekercsre) kapcslt u(t) váltakzó feszültség hatására flyó i(t) ára váltakzó ágneses teret hz létre A váltakzó ágneses tér az induktivitásn önindukciós feszültséget indukál Ez a feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt induktivitás áraköri vázlata () ut () () di t = 0 ut () = di t dt dt 13

14 VVEA00 Elektrtechnika 014 Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt (a kezdeti fázisszög u =0), akkr az előző egyenletből: it () = tdt = t = t = t sin ω π csω csω sin ω ω, itt = ω π Az ára 90 -s fáziskéséssel követi a feszültséget i = = Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff eff =, vagy ω = ω X f Az induktív reaktancia frekvencia-függése A kaptt képletben ω=x a váltakzó áraú induktív ellenállás (induktív reaktancia), ainek S értékegysége [X ]=Ω=h Az induktív reaktancia X =ω=πf aránys a frekvenciával és az induktivitással A tekercsben a ágneses tér váltzása iatt indukálódó feszültséget az árakörben az induktív ellenállásn eső feszültség helyettesíti, u =ix, vagy =X Az induktivitás teljesítényének pillanatértéke: sin ω t pt () = ut () it () = sinω t csω t= kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzik u(t) i(t) p(t) wt Az induktivitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A tekercsben negyed periódus alatt (pzitív szakasz) felhalzódó energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáralik a tápfrrásba A tekercsben energia ne 14

15 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye használódik fel, unkát ne végez, ezért ezt a teljesítényt eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik Az ún fgyasztói pzitív irányk ellett az induktivitás eddő teljesíténye pzitív előjelű: Q = = eff eff = = = X, S értékegysége [Q]=var=vltaper reaktív X A eddő teljesítény fenti értelezése csak szinuszs táplálás esetén igaz Neszinuszs vagy többhulláú táplálásnál járuléks veszteségek jelennek eg, ezeket gyakran a eddővel összevnják, pl ipulzus-szerű táplálásnál Példa Egy nagyságú induktivitást (tekercset) u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára és a teljesítény? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =10,36 H, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =ω=314 10, =3,5304 Ω, i(t)=100sin(314t-π/), eff =70,71 A, 35, pt () = sin ( 68t) = 1663, 5 sin ( 68t), Q=16,63 kvar 3 Kapacitás Egy kndenzátrban a tárlt töltés inden pillanatban aránys a fegyverzetei közötti feszültséggel: q(t)=u(t) Ha a feszültség váltzik, váltzik a tárlt töltés és a töltés váltzásának egfelelő ára flyik az elektródkhz (vezetési ára), illetve a dielektrikun át (eltlási ára) dq() t () it () = = du t dt dt i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt kapacitás áraköri vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt (a kezdeti fázisszög u =0), akkr az előző egyenletből: () it () du t d π = = t = t = t t dt dt = π sinω ω csω ω sin ω sin ω, itt = ω = = 1 X ω Az ára fázisban 90 -kal siet a feszültséghez képest π i = = Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff eff =, vagy = X X 15

16 VVEA00 Elektrtechnika 014 X f A kaptt képletben szereplő A kapacitív reaktancia frekvencia-függése 1 ω = X a váltakzó áraú kapacitív ellenállás (kapacitív reaktancia), ainek S értékegysége [X ]=Ω=h A kapacitív reaktancia X = 1 = 1 frdítttan aránys a frekvenciával és a kapacitással A villas térben létrejövő ptenciál-különbséget az árakörben a kapacitív ellenál- ω π f lásra eső feszültség helyettesíti A kapacitás teljesítényének pillanatértéke: sin ω t pt () = ut () it () = sinω t csω t= kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzik A kndenzátrban az ára által szállíttt töltések építik fel a villas teret A negyed periódus alatt (pzitív szakasz) felépülő villas tér a következő negyed periódus alatt leblik (negatív szakasz) A kndenzátrban energia ne használódik fel, unkát ne végez, ezért ezt a teljesítényt eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik, ait Q-val jelölnek u(t) p(t) i(t) wt A kapacitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye Az ún fgyasztói pzitív irányk ellett a kapacitív eddő teljesítény negatív előjelű: Q = = eff eff = = = X X 16

17 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Példa Egy nagyságú kapacitást (kndenzátrt) u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára és a teljesítény? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =318,5 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =1/(ω)=1/( , )=10 Ω, i(t)=3,5sin(314tπ/), eff =3 A, 35, 7 3,5 pt () = sin( 68t) = 589 sin( 68t), Q=-5,89 kvar 4 Srs - kör Ebben az árakörben az ellenállás feszültségesése és a vele srsan kapcslt induktivitás önindukciós feszültsége inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: () ut () u () t u() t ut () it () di t () = = 0 ut () = it () di t dt dt i(t) X =ω u(t) u (t) u (t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs - kör vázlata A srs árakör eleein azns az ára, ha szinusz függvény szerint váltzik, i(t)= sinωt ( i =0), akkr az előző egyenletből: u(t)= sinωt ωcsωt= (sinωtωcsωt)= Zsin(ωt u )= sin(ωt u ), Z az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú ellenállása, ipedanciája, ainek S értékegysége [Z]=Ω h, = Z vagy Z = = Z = X X =ω u Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása A feszültség egyenlet alapján sinωtωcsωt=sinωtx csωt=zsin(ωt u ) 17

18 VVEA00 Elektrtechnika 014 Z eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén X = Zsin u, ωt=π/ esetén = Zsin(π/ u )= Zcs u Az utóbbi két egyenlet hányadsából: X = tg u, u = arctg X ( u indig pzitív, hiszen az eredő feszültség az induktivitás iatt siet az árahz képest) A két egyenlet négyzetének összegéből: X = Z, vagy Z = X Az hs-induktív árakörben az u(t) feszültség u szöggel siet az i(t) árahz képest Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, az ára késik a feszültséghez képest (a fázisszög negatív), = arctg X Ezzel = Zcs és X = Zsin(-) u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Aennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: u(t)= sinωt ( u =0), akkr it () = sin( ω t ), (itt az induktivitás iatt <0) Z p(t) p (t) wt p (t) i(t) Srs - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye 18

19 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sin ωt sinω t= sinω t X csω t sinω t () () () ( ) ( ) u 1 cs ω t sin ω t = sin ω t X csω t sinω t = X A p(t) teljesíténynek van egy középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint lengő p (t) és egy kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzó p (t) összetevője A teljesítény középértékének különböző alakjai: P = = eff = = = = cs, Z X íg a eddő teljesítény: Q X X X X X = = eff = = = = sin( ), (itt <0) Z X S Q u P A P hatáss, a Q eddő és az S látszólags teljesítény összefüggésének illusztrálása Mind a unkát (pl hőfejlesztést, echanikai elzdulást) végző hatáss teljesítény, ind a eddő teljesítény kisebb az egyenáraú körben száíttt szrzatnál, aely szrzatt látszólags teljesíténynek nevezik és S-el jelölik: S= eff eff =, S értékegysége [S]=VA=vltaper A hatáss, a eddő és a látszólags teljesítény közötti összefüggés az eddigiek alapján: P=Scs, Q=Ssin(-), illetve P Q =S A hatáss és a látszólags teljesítény közötti szrzót teljesítény tényezőnek nevezik és P rendszerint ε-al vagy PF-el (=Pwer Factr) jelölik PF =, P=S PF S Szinusz függvény szerint váltzó, csak szinusz függvény szerint váltzó feszültség és ára esetén a teljesíténytényező PF=cs, így P=S cs A villas és az elektrechanikai eszközök, berendezések (pl villas frgógépek) dellezésénél a helyettesítő árakörökben a hatáss teljesítényt (echanikai teljesítény, súrlódási veszteség, vasveszteség stb) egyenértékű hs veszteségi teljesíténnyel képezik le, egfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával A fgyaszttt hatáss teljesítény a hővé vagy ás fajta energiává alakuló teljesítény középértéke, ai a tápfrrásba ne tér vissza Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú induktivitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =100 Ω, =00 H, f=50 Hz () ( ) ( ) 19

20 VVEA00 Elektrtechnika 014 ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =ω= =6,8 Ω, Z = 100 6, 8 = 118, 084 Ω, =-arctg(6,8/100)=-0,56(rad)=-3,13 (induktív), cs=0,847, sin=-0,53, i(t)=(35,7/118,084)sin(314t-0,56)=,754sin(314t-0,56) A, eff =1,947 A, =1, =194,7 V, =1,947 6,8=1,7 V, ( t) ( t) pt () = cs sin 68,, 754 6, 8 = ( ) ( ) = cs 68 t sin 68t, 476, 3, P=379,5 W, Q=38,15 var, S=447,81 VA 5 Srs - kör A srs - körhöz hasnlóan száítható i(t) X = 1 ω u(t) u (t) u (t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs - kör vázlata Az ellenállás feszültségesése és a kndenzátrn az ára (töltésváltzás) kzta feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: 1 1 u() t u() t u() t = u() t i() t idt = 0 ut () = it () idt u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Ha az ára szinusz függvény szerint váltzik, i(t)= sinωt, i =0, akkr az előző egyenletből: 0

21 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye ut () = sinω t csω t = Zsin( ω t u) = sin( ω t u), ω Z az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áaú ellenállása, ipedanciája, [Z]=Ω h, = Z vagy Z = = A feszültség egyenlet alapján 1 sinω t csω t = sinω t X csω t = Zsin( ω t u) ω Z eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén -X = Zsin u, ωt=π/ esetén = Zsin(π/ u )= Zcs u X Az utóbbi két egyenlet hányadsából: = tg u, vagy ásképpen: X X u = arctg = arctg ( u indig negatív, hiszen az eredő feszültség a kapacitás iatt késik az árahz képest) A két egyenlet négyzetének összegéből: X = Z, vagy Z = X u -X =-1/ω Z = X Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az hs-kapacitív árakörben az u(t) feszültség u szöggel késik az i(t) árahz képest Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, az ára siet a feszültséghez képest (a fázisszög pzitív), = arctg X Aennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: u(t)= sinωt ( u =0), akkr it () = sin( ω t ), (itt a kapacitás iatt >0) Z A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t X csω t sinω t= () () () ( ) 1 cs ω t sin ω t = sin ω t X csω t sinω t = X A p(t) teljesíténynek van egy középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint lengő p (t) és egy kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzó p (t) összetevője Az ellenállás teljesítényének középértéke a srs - körhöz hasnlóan: 1

22 VVEA00 Elektrtechnika 014 P = = eff = = = Z X = cs, íg a eddő teljesítény különböző alakjai: X Q X X X = = eff = = = Z X X = sin, (>0) p(t) p (t) p (t) i(t) wt Srs - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú kapacitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =100 Ω, =100 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =1/(ω)=1/( )=31,84 Ω, Z = , 84 = 104, 9 Ω, =arctg(31,84/100)=0,31(rad)=17,66 (kapacitív), cs=0,953, sin=0,303, i(t) =(35,7/104,9)sin(314t0,31)=3,1sin(314t0,31) A, eff =,19 A, =,19 100=19 V, =,19 31,84=69,73 V, ( t) ( t) pt () = cs sin 68, 31, 31, 84 = ( ) ( ) = cs 68 t sin 68t 305, 98, P=480,5 W, Q=-153 var, S=503,7 VA 6 Srs -- kör A srs - és - körhöz hasnlóan száítható Az ellenállás feszültségesése, az induktivitás önindukciós feszültsége és a kndenzátrn az ára (töltésváltzás) kzta feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: i(t) X X u(t)

23 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs -- kör vázlata () u() t u () t u () t u () t u() t i() t di t 1 dt idt = = 0, ebből () ut () = it () di t dt 1 idt Ha az ára szinusz függvény szerint váltzik, i(t)= sinωt, i =0, akkr az előző egyenletből: ut () = sinω t ω csω t csω t = sinω t ω csω t ω ω [ sinω ( ) csω ] ( sinω csω ) = t X X t = t X t = = Zsin(ωt u )= sin(ωt u ), itt u az eredő feszültség fázishelyzete a árahz képest, 1 X = ω = X X - az eredő reaktancia ω Z = X X=X - X u Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az előzőekhez hasnlóan az eredő ipedancia: Z = X, illetve Z = X, X X X X X X és a fázisszög tg u = =, vagy u = arctg = arctg u (t) u(t) u (t) u (t) i(t) wt 3

24 VVEA00 Elektrtechnika 014 Srs -- kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, i(t)= sin(ωt), < 0, ha X > 0, azaz ω > 1 ω az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű), = 0, ha X = 0, azaz ω = 1 ω az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), > 0, ha X < 0, azaz ω < 1 ω az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű) A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t X X csω t sinω t= [ ] () () () ( ) 1 cs ω t sin ω t = sin ω t X csω t sinω t = X p(t) p (t) wt p (t) p (t) Srs -- kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye észletezve: 1 cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t =, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = X, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p() t = X A p (t) hatáss teljesítény inden pillanatban pzitív, középértéke P= p (t) és p (t) egyfrán kétszeres frekvenciával, de ellenfázisban leng, középértékük zérus, eredőjüket a kettő előjeles összegével száíthatjuk: sin ω t qt () = p() t p() t = ( X X) Az eredő eddő teljesítény: ( ) ( ) Q = X X = X X = X A eddő teljesítény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a ásik részét az árakör a táphálózatból veszi fel és da juttatja vissza i(t) 4

25 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Példa Egy nagyságú ellenállásból, nagyságú induktivitásból és nagyságú kapacitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =100 Ω, =00 H, =100 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =ω= =6,8 Ω, X =1/(ω)=1/( )=31,84 Ω, X= X -X =30,96 Ω, Z = , 96 = 104, 68 Ω, =arctg(-30,96/100)=-0,3 (rad) =-17, induktív, cs=0,955, sin=0,95, i(t) =(35,7/104,68)sin(314t-0,3)=3,107sin(314t-0,3) A, eff =,197 A, =, =19,7 V, =,197 6,8=137,97 V, =,197 31,84=69,95 V, ( t) ( t) ( t) pt () = cs sin 68 sin 68, 3107, 6, 8 = 3107, 31, 84 = ( ) ( ) ( ) = cs 68 t sin 68t sin 68t 606, 3 307, 37, P=48,5 W, Q =303,1 var, Q =-153,68 var, Q=149,4 var, S=505,31 VA A srs reznancia nduktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás ágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrsztatikus energiájává (vagy annak egy részévé) Aennyiben az induktivitás és a kapacitás energiájának axiua egegyezik, ha az induktivitásban ugyanakkra energia halzódik fel, int a kapacitásban, akkr ez a két áraköri ele ellátja egyást energiával és az -- árakör a táphálózatból ne vesz fel eddő teljesítényt és ne is ad da le Ez a reznancia jelensége A reznanciára éretezett árakört rezgőkörnek nevezik Srs árakörben srs (vagy feszültség-) reznanciáról és srs rezgőkörről beszélünk 1 Jelen árakörben a reznancia feltétele: X X = ω = = ω Így az eredő ipedancia: Z= (ivel X -X =0), ezért az ára és a feszültség fázisban van, a tápfrrásból csak hatáss teljesítény felvétel van, nincs eddő teljesítény felvétel és a tápfrrás felé nincs eddő teljesítény leadás Az induktivitás (a ágneses tér) energiája teljes egészében átalakul a kapacitás (villas tér) energiájává és frdítva Az induktivitásn és a kapacitásn eső feszültség inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így rövidzárként viselkedik A pillanatértékekre: u (t)=i(t)x =-i(t)x =u (t) ezért u (t)u (t)=0, illetve p (t)=i(t)u (t) =-i(t)u (t)=-p (t), p (t)p (t)=0 X X f f 0 A reznancia frekvencia értelezése 5

26 VVEA00 Elektrtechnika 014 A reaktanciák frekvencia-függése iatt a reznancia jelenség adtt induktivitás és kapacitás esetén csak egyetlen frekvencián, az ún reznancia frekvencián (vagy a reznancia körfrekvencián) alakul ki, ainek jelölése f r, f 0 vagy f s (illetve ω r, ω 0 vagy ω s ) Száításuk a reaktanciák egyezése alapján történik: ω 0 =, aiből ω 0 = vagy ω 0 = és f0 = ω 0 π Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás, akár a kapacitás növelésével a reznancia frekvencia csökken Minél alacsnyabb a szükséges reznancia frekvencia, annál nagybb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani Példa Egy srs -- árakörben =100 Ω, =00 H, =100 µf 1 f 0 = = 35, 588 Hz, ω = 1 = π = 3, 6 1/s 7 Párhuzas - kör A feszültség a két áraköri eleen azns, így () ut () i () t di t = =, dt i(t) u(t) i (t) i (t) X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas - kör vázlata az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint i(t)=i (t)i (t), () it () = ut () 1 utdt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt ( u =0), akkr az előző egyenletből: it () = sinω t csω t = ( Gsinω t B csω t) = ω ( ) sin( ) = Y sin ω t = ω t tt = i a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a tápfeszültséghez képest, G = 1 az ellenállás vezetése (knduktancia), 1 1 B = = az induktívitás váltakzó áraú vezetése (induktív szuszceptancia), S ω X értékegysége [B ]=S=Sieens, Y az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú vezetése, adittanciája, ainek S értékegysége [Y]=S=Sieens 6

27 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye i (t) u(t) i(t) i (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Az ára egyenletből: Gsinωt-B csωt=ysin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén -B = Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycs G - B Y = G B A G knduktancia, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B = tg, ebből G 1 ω = = = arctg B arctg arctg, G 1 ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y, vagy Y = G B A párhuzas - kör fázisszöge negatív, az eredő ára szöggel késik a feszültséghez képest Az induktív szuszceptancia B = 1 = 1 frdítttan aránys a frekvenciával és az induktivitással ω π f 7

28 VVEA00 Elektrtechnika 014 B f Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t B csω t sinω t= () () () ( ) 1 cs ω t sin ω t = Gsin ω t B csω t sinω t = G B u(t) p(t) p (t) wt p (t) Párhuzas - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye észletezve: 1 cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = cs, a eddő teljesítény: Q B eff = = = = sin( ) X X Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú induktivitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? 8

29 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye () = 30 ( 314 ) = 35 7 ( 314 ) ut sin t, sin t V, =100 Ω, =00 H, f=50 Hz ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =ω= =6,8 Ω, G=0,01 S, B =0,0159 S, Y = 0, 01 0, 0159 = 0, 0188 S, Z=53,8 Ω, =arctg(-0,0159 /0,01)=-1,01 (rad)=-57,83 (induktív), cs=0,53, sin=-0,846, i(t)=(35,7 0,0188)sin(314t-1,01)=6,115sin(314t-1,01) A, eff =4,3 A, =30 0,01=,3 A, =30 0,0159=3,657 A, ( t) ( t) pt () = cs sin 68,, 35, 7 0, 0159 = ( ) ( ) = cs 68 t sin 68t 168, 3, P=59 W, Q=841,115 var, S=993,6 VA 8 Párhuzas - kör A feszültség a két áraköri eleen azns, így 1 ut () = i() t = i() t dt, i(t) u(t) i (t) i (t) X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas - kör vázlata az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint i(t)=i (t) i (t), vagy ut () 1 du() t it () = u() t dt dt i(t) u(t) i (t) i (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye 9

30 VVEA00 Elektrtechnika 014 Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt ( u =0), akkr az előző egyenletből: it () = sinω t ω csω t = ( Gsinω t B csω t) = = Ysin( ω t ) = sin( ω t ) tt = i a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, B =ω a kapacitás váltakzó áraú vezetése, a kapacitív szuszceptancia Y = G B B G A G knduktancia, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Az ára egyenletből: GsinωtB csωt=ysin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén B = Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycs Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B = G tg, aiből ω = arctg B = = ω G arctg arctg, 1 a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y, vagy Y = G B A párhuzas - kör fázisszöge pzitív, az eredő i(t) ára szöggel siet az u(t) feszültséghez képest A kapacitív szuszceptancia aránys a frekvenciával és a kapacitással B f A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t B csω t sinω t= () () () ( ) 30

31 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye 1 cs ω t sin ω t = Gsin ω t B csω t sinω t = G B, részletezve: 1 cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = cs = S cs, a eddő teljesítény: B eff Q = = = = sin( ) = S sin( ) X X u(t) p(t) p (t) p (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú kapacitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =100 Ω, =100 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =1/(ω)=1/( )=31,84 Ω, G=0,01 S, B =0,0314 S, Y = 0, 01 0, 0314 = 0, 0395 S, Z=30,395 Ω, =arctg(0,0314/0,01)=1,6 (rad)=7,33 (kapacitív), cs=0,303, sin=0,953, i(t) =(35,7 0,0395)sin(314t1,6)=10,717sin(314t1,6) A, eff =7,578 A, =30 0,01=,3 A, =30 0,0314=7, A, ( t) ( t) pt () = cs sin 68,, 35, = ( ) ( ) = cs 68 t sin 68t 33, P=59 W, Q=-1661 var, S=174,94 VA 31

32 VVEA00 Elektrtechnika Párhuzas -- kör A feszültség indhár eleen azns () ut () i () t di t 1 = () dt i t dt = =, az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint i(t)=i (t)i (t)i (t) vagy ut () 1 du() t it () = u() t dt dt i(t) u(t) i (t) i (t) i (t) X X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas -- kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt, u =0, akkr az előző egyenletből: 1 it () = sinω t csω t ω csω t = sinω t ω csω t = ω ω ( sin cs ) sin( ) sin( ) = G ω t B ω t = Y ω t = ω t tt a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, 1 B = ω = B B - az eredő szuszceptancia ω Az áraegyenletből GsinωtBcsωt=Ysin(ωt), ωt=0 esetén B= Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycs Y = G B B= B - B G A G knduktancia, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B G = tg, ebből 3

33 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye 1 ω ω ω = arctg B = = G arctg 1 arctg, 1 ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y, vagy Y = G B Mivel u =0, az ára i fázisszöge a feszültséghez képest > 0, ha B > 0, azaz ω > 1 ω az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű), = 0, ha B = 0, azaz ω = 1 ω az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), < 0, ha B < 0, azaz ω < 1 ω az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű) i (t) i(t) u(t) i (t) wt i (t) Párhuzas -- kör feszültségének és áraainak időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t Bcsω t sinω t= () () () ( ) 1 cs ω t sin ω t = Gsin ω t Bcsω t sinω t = G B, részletezve: 1 cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p() t = B A p (t) hatáss teljesítény inden pillanatban pzitív, középértéke P= G p (t) és p (t) egyfrán kétszeres frekvenciával ellenfázisban leng, középértékük zérus Eredőjüket a kettő előjeles összegezésével száítjuk: sin ω t qt () = p() t p() t = ( B B) 33

34 VVEA00 Elektrtechnika 014 u(t) p(t) p (t) p (t) wt p (t) Párhuzas -- kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = cs, a eddő teljesítény: ( ) Q B B 1 1 = = eff = ( B B) = sin( ) X X Példa Egy nagyságú ellenállásból, értékű induktivitásból és nagyságú kapacitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 314t = 35, 7 sin 314t V, =100 Ω, =00 H, =100 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=100π=314 1/s, X =ω= =6,8 Ω, X =1/(ω)=1/( )=31,84 Ω, G=0,01 S, B =0,0159 S, B =0,0314 S, B=0,0155 S, Y = 0, 01 0, 0155 = 0,01844 S, Z=54,3 Ω, =arctg(0,0155/0,01)=0,9978 (rad)=57,17 kapacitív, cs=0,54, sin=0,84, i(t) =(35,7 0,01844)sin(314t0,9978)= 6sin(314t0,9978) A, eff =4,4 A, =30 0,01=,3 A, =30 0,0159=3,657 A, =30 0,0314=7, A, ( t) ( t) ( t) pt () = 35, cs 68 sin 68 sin 68, 35,7 0, ,7 0, 0314 = 1 cs( 68t) sin( 68t) sin( 68t) = , P=59 W, Q =841 var, Q =-1661 var, Q=80 var, S=975, VA A párhuzas reznancia Párhuzas árakörben párhuzas reznanciáról és párhuzas rezgőkörről beszélünk 1 Jelen árakörben a reznancia feltétele: B = ω = = B, vagy X =X ω 34

35 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye eznancia esetén Y=G (ivel B -B =0), ezért az ára és a feszültség fázisban van, a tápfrrásból nincs eddő teljesítény felvétel és a tápfrrás felé nincs eddő teljesítény leadás Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és frdítva Az induktivitásn és a kapacitásn flyó ára inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így szakadásként viselkedik Párhuzas árakörben párhuzas (vagy ára-) reznanciáról és párhuzas rezgőkörről beszélünk A párhuzas rezgőkör sajátfrekvenciája és saját-körfrekvenciája ugyanúgy száítható, int a srs körben Példa Egy párhuzas -- árakörben =100 Ω, =00 H, =100 µf 1 f 0 = = 35, 588 Hz, ω = 1 = 1 = 3, 6 1/s 3 6 π

36 VVEA00 Elektrtechnika 014 Szinusz függvény szerint váltakzó ennyiségek száítási eszközei és ódszerei Körpályán egyenletes sebességgel zgó pnt vagy frgó síkvektr végpntjának tetszőleges egyenesre vetett vetülete időben szinusz függvény szerint váltzik Ez a kapcslat lehetőséget ad a szinusz függvényekkel végzett biznys űveletek helyettesítésére szeléletesebb és egyszerűbb, síkvektrkkal végzett űveletekkel Azk a űveletek helyettesíthetők, aelyekre a vektr-vetületekkel végzett űvelet eredénye egegyezik a vektrkkal végzett űvelet eredényének vetületével a) frgó vektrk (síkvektrk) használata álló krdináta rendszerben Az ábrán látható két ára időfüggvénye i 1 (t)= 1 sin(ωt 1 ) és i (t)= sin(ωt ), illetve = 1 - (ha az i árat tekintjük referenciának) ω 1 i 1 i ωt 1 1 Frgó síkvektrk vetületének illusztrációja A síkvektr hssza az ábra szerint egegyezik a szinusz hullá csúcsértékével, szögsebessége pedig a szinusz hullá körfrekvenciájával Két azns szögsebességgel frgó vektr esetén az egyáshz képesti szögeltérés állandó és egegyezik a egfelelő azns frekvenciájú (körfrekvenciájú) vetületek (szinusz hullák) időbeli fáziseltlási szögével A siető vektr a frgás irányában előbbre helyezkedik el, az időben siető szinusz függvény az azns arguentuhz tartzó értéket (pl pzitív nullaátenet, axiu) kisebb szögnél éri el A két azns szögsebességgel frgó vektr tehát inden fnts infrációt tartalaz a két szinusz hulláról: az aplitúdót, a körfrekvenciát, a fáziskülönbséget, a kezdeti fázisszöget b) álló vektrk (síkvektrk) használata Állandósult állapt feltételezésével a vektrkkal együttfrgó krdináta rendszert használhatunk, aiben a síkvektrk ne zgnak lyenkr a szinusz függvény körfrekvenciája egegyezik a krdináta rendszer szögsebességével, a síkvektrk pedig az aplitúdót és a fázisszöget reprezentálják Ebből következik, hgy álló vektrkkal, közös krdináta rendszerben csak azns frekvenciájú szinuszs ennyiségek ábrázlhatók A teljesítény pillanatérték függvénye például ne ábrázlható az ára vagy a feszültség pillanatértékével együtt, ert kétszeres frekvenciájú kpnenst tartalaz Egyenértékű síkvektrs ábrázlásk 36

37 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A fenti ábrázlásk egyenértékűek, csak a kezdeti fázisszögben (a t=0 időpnt egválasztásában) térnek el Az ilyen, szinuszs ennyiségeket leíró, fázishelyzetet is kifejező síkvektrkat fázisvektrknak vagy fázrknak nevezik c) álló vektrk kplex krdináta rendszerben A sík pntjai így a fázrk végpntjai is kplex krdináta rendszerben szápárkkal, kplex szákkal leírhatók, a velük való ateatikai űveletek a kplex algebra szabályai szerint elvégezhetők Az elektrtechnikai gyakrlatban skszr 90 -kal elfrdíttt krdináta rendszert használnak a ateatikaihz képest, de a pzitív képzetes tengely inden esetben (pzitív frgásirány szerint) egelőzi a pzitív valós tengelyt i e A k A = A ia v k A = A ja v k A v A v e j A k A valós- és a képzetes tengely jellező elhelyezése ateatikában elektrtechnikában Az ábrán v index jelöli a valós, k index a képzetes összetevőt Egy tetszőleges A kplex szá leírására hár fra használats: - algebrai alak: A = Av jak, pl A = 3 j4, A = A cs jsin A = 5 cs 5313, jsin 5313, - trignetrikus alak: ( ) itt A = A A, A = v A cs, A = A sin, k itt e j v k - expnenciális alak: A = Ae j, pl A = 5e j 53, 13, = cs jsin, A = A A, = arctg A Ak v k, pl ( ) A tvábbiakban a kplex vektr abszlút értékét A helyett egyszerűen A-val jelöljük Műveletek álló kplex vektrkkal j A egyen A = Av jak = Ae j B j, B = Bv jbk = Be és = v jk = e c1 frgatás A kplex vektrk pzitív vagy negatív irányú frgatása tetszőleges α szöggel a fázisszög növelésével vagy csökkentésével érhető el, legegyszerűbben expnenciális alakban A 90 -s elfrgatás pzitív irányban j-vel való szrzást, negatív irányban -j-vel való szrzást (vagy j-vel való sztást) jelent: j π π π π j e = cs jsin = j, illetve e = π j π cs sin = j v, 37

38 VVEA00 Elektrtechnika 014 c összeadás Az összeadás (és a kivnás) egyszerűen algebrai alakban végezhető el: = A B = A ja B jb = A B j A B = j, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v k v k v v k k v k [ D A B A ja B jb A B j A B D jd ] v k v k v v k k v k = = = =, az eredő (jelen esetben az összeg) vetületei egegyeznek a vetületek összegével Példa Ha A = 3 j4 és B = j, akkr = A B = j 5 6 ( D = A B = j ) 1 A tvábbi űveletek legegyszerűbben expnenciális alakban végezhetők el: c3 szrzás Két kplex szá szrzatát az abszlút értékek összeszrzásával és a fázisszögek összeadásával kapjuk: A B Ae ABe j B = = ( ) ABe A B = e = Példa Ha A = 5e j60 és B = 10e j0, akkr = A B = 50e j80 c4 sztás Két kplex szá hányadsa az abszlút értékek sztásával és a fázisszögek kivnásával kapjuk: j A A Ae A ( ) B Be B e j A B e j = = = = j B Példa Ha A = 5e j60 és B = 10e j0, akkr A = = 05e j40, B c5 hatványzás Kplex szá n-dik hatványa az abszlút érték n-dik hatványa, a fázisszög pedig n-szeres n n jn A = A e A Példa Ha A = 5e j60, akkr A = 5e j10 c6 gyökvnás Kplex szá n-dik gyöke a (-n-dik) hatványa, az abszlút érték n-dik gyöke, a fázisszög 1/n-szerese n n A = Ae Megjegyzés: a π-szerinti peridicitás iatt többszörös gyökök vannak Példa Ha A = 9 e j n A = n Ae A k π j n 70, akkr A = 9 e j = 3e 70 j35 A j n is gyöke A -nak, k < n-re j j15 és 3e = 3e a két gyök c7 expnens Kplex szá expnenciális függvénye a valós és a képzetes rész expnenciális függvényeinek szrzata: 38