V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye

Átírás

1 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Feszültség előállítása indukcióval Frgási (zgási) indukció: frgási indukált feszültség keletkezik, aikr egy vezető és a ágneses tér erővnalai között erővnaletszéssel járó visznylags elzdulás jön létre Az unipláris (hpláris) villas gép elve Ha a vezető a ágneses tér erővnalaira erőleges síkban, a ágneses térhez visznyítva flyaatsan azns irányban zg (a zgás srán a ágneses tér iránya azns), akkr benne a frgó zgás srán váltzatlan plaritású feszültség indukálódik Ω D B u i É dα V Az unipláris (hpláris) villas gép elvi vázlata Az unipláris villas gép vezetői a zgásuk (körülfrdulásuk) srán azns irányú ágneses térben vannak A hgénnek tekintett B indukciójú ágneses térben körbefrgó vezető által dα szögelfrdulás srán súrlt da felület d da = π α = d α, π ahl a vezető hssza (a körpálya sugara) Az elfrdulás ideje alatt a dφ fluxusváltzás dφ = BdA= B dα Az egy vezető rúdban indukálódó i feszültség Ω echanikai szögsebesség ellett dφ B dα B i = = = Ω dt dt Ebben az elrendezésben a vezetők párhuzas kapcslása visznylag egyszerű, azkat srba kapcslni és így az egyes küllőkben indukálódó feszültségeket összegezni csak nagyn bnylult egldással lehet Ezért a hpláris gépekre főleg a kis feszültség és a nagy ára jellező (pl az elektrlízishez használt galvándinaónál) Példa egyen B= T, =0, és Ω =π50=34/s (T=0,0 s, n=50 frdulat/sec), akkr az egy vezetőben indukált feszültség i =,57 V

2 GEENTTET Elektrtechnika 06 A heterpláris villas gép elve Aikr a vezetők a ágneses térhez visznyítva váltzó irányban zgnak (a zgás srán a ágneses tér iránya váltzik), az indukált feszültség plaritása is váltzik Az ábra szerinti elrendezésben a vezetők egy henger palástja entén váltakzva az északi és a déli ágneses pólus alatt haladnak el É v Ω τ p B u i É u i D l i D A heterpláris villas gép elvi felépítése (perspektivikus és kierített vázlata) A pólus középvnala előtti elhaladás pillanatában az egyetlen vezetőben indukálódó i feszültség: i =Blv =BlΩ, ahl a henger sugara, l egy vezető ágneses hatás alatt lévő (aktív vagy effektív) hszsza, v a kerületi sebesség, Ω a szögsebesség N srbakapcslt vezető esetén az eredő i indukált feszültség: i =N i =NBlΩ A villas gépekben a tekercseket úgy alakítják ki, hgy az egy enetet képező vezető egyástól pólussztásnyira helyezkedjen el, vagyis egyáshz képest ellenkező irányú ágneses térben legyenek, így bennük ellentétes plaritású feszültség indukálódik Ezért a vezetők srba kapcslásakr a feszültségek összegeződnek Az ellenkező ágneses pólusk középvnala közötti távlságt nevezik pólussztásnak és leggyakrabban τ p -vel jelölik Az indukált feszültség u i (t) pillanatértéke a definíciós képlet ui ( t) = ( B v) l szerint akkr a legnagybb, aikr a v kerületi sebesség erőleges a B indukcióra, íg a pillanatérték zérus akkr, aikr a kerületi sebesség párhuzas az indukció irányával Olyan knstrukciós elrendezésnél,aelynél a ágneses tér (a B indukció) a vezető bárelyik helyzetében erőleges a v kerületi sebességre (pl sugár irányú), a fenti képletek szerint száíttt indukált feszültség nagysága független a vezető pólus alatti helyzetétől (a henger palástja entén), de a ágneses pólus egváltzásakr előjelet vált Az egyes pólusk alatt elhaladó vezetőkben a ágneses tér irányától függő irányú indukált feszültség jön létre, ezért inden vezetőben félfrdulatnként egváltzik a feszültség előjele, váltakzó (irányú) feszültség keletkezik

3 ( ) V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Példa egyen B= T, =0,, l = 0,5 és Ω = 34/s (50 frdulat/sec), akkr az egy vezetőben indukált feszültség axiális értéke i = 5,7 V, az egy enetben ( vezetőben) indukálódó feszültség i = 3,4 V dőben szinusz függvény szerint váltzó feszültség előállítása É Ω d B u i (t) l u i (t) () D Elvi vázlat, a csúszógyűrű alkalazása A fenti vázlat szerinti keret vezetőiben indukálódó feszültség plaritása pzíció-függő A frgó vezetők csúszó kntaktuskn keresztül érhetők el csúszógyűrűk segítségével É Ω d v B φ(t) u i (t) Ω t π π α=ω t D A fluxus és az indukált feszültség időbeli váltzása 3

4 GEENTTET Elektrtechnika 06 Ha egy vezető keret egyenletes Ω szögsebességgel frg a B=áll indukciójú hgén ágneses térben akkr a B indukció keretre erőleges B n összetevőjének nagysága a frgás srán váltzik, B n (t)=bcsα=bcsω t, így a keret által átfgtt fluxus φ(t)=b n A=B n ld nagysága is váltzik: φ(t)=bldcsω t=φ csω t, itt Φ =Bld a fluxus aplitúdója B α B n v x α v B t v y α A B indukció és a v kerületi sebesség erőleges összetevői Az indukált feszültség N száú srbakapcslt vezető esetén: u() t N d i = φ = N t = N t t dt = ΩΦ sin Ω ΩΦ cs Ω π cs Ω π, ahl NΩΦ = Az u i indukált feszültség időfüggvénye 90 -kal eltlt a fluxuséhz képest (siet) Aikr a keret által átfgtt fluxus a legnagybb, akkr a fluxusváltzás és ezért az indukált feszültség is a legkisebb (t=0, α=0), aikr az átfgtt fluxus a legkisebb, a váltzás és az indukált π feszültség is a legnagybb t = π = α = 90 Ω Ω, A keret egy teljes körülfrdulása alatt az indukált feszültség egy teljes szinuszgörbét ír le Az indukált feszültség ás egfntlással, a zgási indukcióval is értelezhető: a vezetőnek a ágneses erővnalakra erőleges sebesség kpnense v y =vsinω t, így az egy vezetőben indukálódó u i feszültség a felvett pzitív iránynak egfelelő előjellel: ui = l( B v) = lbvy = lbvsin Ω t Mivel v d α d = = Ω = Ω, az indukálódó feszültség: dt ld u B t i t = Ω sin Ω = Ω Φ sin Ω = sin Ωt, itt is Φ =Bld, =ΩΦ Egy vezetőből álló keretben u i kétszerese indukálódik, N enetű keretben pedig π π ui() t = NΩΦ sin Ω t = NΩΦcs Ω t = cs Ω t A frekvencia fgala Az időegység alatt lezajló teljes (váltzási) ciklusk (isétlődések, periódusk) száa a frekvencia 4

5 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A frekvencia jele f, S értékegysége Hertz tiszteletére [ f ] = Hz = hertz = s Aikr az indukált feszültség egy ciklusa a vezető keret egy teljes echanikai frdulata alatt zajlik le, akkr a ciklusk száa egegyezik a frdulatk száával: s s f = n A villasérnöki gyakrlatban a frdulatszá rendszerint a percenkénti frdulatk száát jelenti, ebben az esetben: f s in n = 60 A körfrekvencia fgala A szinusz és a kszinusz trignetrikus függvény peridikus, arguentua a szög Egy periódus π (=360 ) terjedelű, vagyis sin(πα)=sin(α), vagy cs(πα)=cs(α) Ha váltzási ciklus ( periódus) terjedele π (=360 ), azaz egy teljes kör, akkr ásdpercenként f periódushz πf szög, vagyis f száú teljes kör kör tartzik Ezért az πf szrzatt körfrekvenciának nevezik (tulajdnképpen szögfrekvencia), jele ω, S értékegysége rad (a gyakrlatban elterjedt ezen kívül a is) [ ] ω = s s A körfrekvencia tulajdnképpen az időegység alatt érintett szögtartány, az időegység alatti szögelfrdulás A körfrekvencia kapcslatt teret az idő és a szög között: α=ωt Az egy periódus leflyásáhz szükséges idő a T periódusidő: α=π=ωt, illetve π π T = = = ω π f Kétpólusú gépeknél a kerület entén db É és db D ágneses pólus van, az Ω echanikai szögsebesség egegyezik vezetőkben indukálódó szinuszs feszültség ω körfrekvenciájával ω=ω, ivel egy villas periódus egy echanikai frdulat alatt zajlik le f É Ω É D É D i v D D 0 π π 4π ωt π Ω t É 4 pólusú (p=) gép elvi vázlata Hertz, Heinrich udlf ( ) néet fizikus 5

6 GEENTTET Elektrtechnika 06 Többpólusú gépeknél, aelyeknél a kerület entén p-száú póluspárt helyeznek el, a vezetők inden körülfrdulás alatt p-szer haladnak el É és D pólus terében, egy echanikai frdulat alatt p száú villas periódus zajlik le ω=pω Ennek figyelebevételével a frgási indukált feszültség általánsabb alakja: u i =pnωφ sinpω t=nωφ sinω t, p tehát a póluspárk, ne a pedig a pólusk száa u i (ωt) π π p ωt Ω t Az indukált feszültség a villas és a echanikai szögelfrdulás függvényében (p=) A frekvencia és a frdulatszá közötti általáns összefüggés f p n in s =, ekkra egy n 60 frdulattal járó, p póluspárú (szinkrn) generátr indukált feszültségének frekvenciája Ebből az összefüggésből száítható az f frekvenciájú feszültségről táplált tr n 0 (szinkrn) frdulatszáa (a ágneses ező frdulatszáa): 60 f n0 = p A szinkrn generátr űködési elve d d q τ p q τ p a) b) A szinkrn gép vázlata: hengeres a) és kiálló pólusú b) frgórésszel (p=) 6

7 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye 3000 f=50 Hz tápfrekvencia esetén a szinkrn frdulatszá: n0 =, f=60 Hz esetén p 3600 n0 = p A villas energia előállítására alkalaztt szinkrn generátrkban az a szkáss elrendezés, hgy egy szinuszs elszlású ágneses tér frg, a vezetőket pedig, aelyekben a feszültség indukálódik, az állórész hrnyaiban helyezik el A ágneses teret a frgórész egyenáraal gerjesztett tekercseivel állítják elő, a tér szinuszs elszlása a gerjesztő tekercs vezetőinek alkalas térbeli elszlásával, vagy a légrés egfelelő kialakításával érhető el, illetve közelíthető A ágneses tér a frgórésszel együtt frg A szinuszs térbeli elszlású indukcióval való erővnaletszés értéke időben szinuszs (vagy kszinuszs) Ha a vezetőkeret (tekercs) által átfgtt fluxus váltzása szinuszs, akkr a vezetőkben indukálódó feszültség időbeli váltzása is szinuszs (vagy kszinuszs) Transzfrátrs (nyugali) indukció: transzfrátrs indukált feszültség akkr keletkezik, aikr egy nyugalban lévő vezető keret által átfgtt ágneses tér ne a keret zgása iatt váltzik Az ábra szerinti elrendezésben a B(t) indukció a kszinusz függvény szerint váltzó i(t) gerjesztő ára hatására időben kszinusz függvény szerint váltzik: i(t)= csωt és B(t)=B csωt A fluxus is kszinusz függvény szerint váltzik: φ(t)=φ csωt, az N enetben indukált feszültség pedig ( ) u () t N d φ t i = = NωΦ sin ωt dt φ(t) B(t) u i (t) N i(t) A transzfrátrs indukált feszültség illusztrációja Térben álló tekercsek közötti elektrágneses kapcslatban transzfrátrs indukció jön létre, villas frgógépekben általában frgási, de indkét fajta indukált feszültség egyszerre is jelen lehet, ha a vezetők időben ne állandó ágneses térben zgnak A transzfrátr űködési elve A transzfrátr egy lyan csatlt tekercsekből álló elektrágneses energia-átalakító, aelyik a prier ldal ( tekercs) által felvett, u feszültséggel és i áraal jelleezhető villas energiát a szekunder ldal ( tekercs) által leadtt, ás feszültségű (u ) és ás áraú (i ) de azns frekvenciájú villas energiává alakítja át Ha az egyszerűsítés érdekében elhanyagljuk a prier tekercs hs ellenállását (ait lyan esetben tehetünk, aikr «ω ), akkr a prier ldal u (t) kapcsfeszültsége egegyezik a prier tekercsben indukált u i (t) feszültséggel, a prier tekercs önindukciós feszültségével: 7

8 GEENTTET Elektrtechnika 06 u () t t di t = sinω = dt Ebből az i prier ára kifejezhető π i () t = u () t dt t t t = csω = csω = sin ω, ω itt = Az ára késik az indukált feszültséghez képest ω A prier tekercs i áraa által létrehztt B indukció és φ fluxus időbeli váltzása: π B (t)=-b csωt és ezért φ (t)=-φ csωt = Φ sin ω t Áraentes szekunder tekercsnél a prier tekercs által létrehztt φ fluxus szekunder tekerccsel kapcslódó φ része a σ szórástól függő értékben kisebb a prier tekercs teljes fluxusánál A téreléleti felbntást alkalazva: φ (t) φ (t), φ (t) = (-σ)φ (t) =-(-σ)φ csωt=-φ csωt, Φ =(-σ)φ ( ) φ (t) i (t) u (t) i (t) u i (t N φ (t) t u (t) u i (t N A transzfrátr elvi felépítése A szekunder tekercsben a φ fluxus által indukált u i (t) feszültség: ( ) u () t N d φ t i = = NΦ ω sin ω t, dt i 0 esetén φ (t) =φ (t) Az t terhelő ellenállás (fgyasztó) rákapcslásakr a szekunder árakör záródik és a kialakuló i ára az ábrán láthatóan (a enz-törvényből következően) legerjesztő hatású, i -el ellenkező irányú (ellenfázisú) φ (t) fluxust hz létre A kisebb φ (t)=φ (t)φ (t) eredő ágnesező fluxus iatt csökken a prier tekercsben indukálódó u i (t) feszültség (ez tart egyensúlyt az u (t) tápfeszültséggel), eiatt egnő az i prier ára Ez biztsítja az energetikai egyensúlyt: a szekunder ldal leadtt w energiáját a prier ldal veszi fel a táphálózatból A villas és a vasveszteségek iatt P < P, a szekunder ldaln leadtt teljesítény indig kisebb a prier teljesíténynél 8

9 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Szinusz függvény szerint váltzó ennyiségek fázisvisznyai Az ábrán egy kétpólusú (p=) ágneses térben hár, azns Ω echanikai szögsebességgel körben frgó vezető keret vázlata és a keretekben indukálódó feszültség időfüggvénye látható a t=0-nak választtt időpntnak egfelelően Az egyes keretek szöghelyzetét a vízszintes tengelyhez képest az α szögek utatják, α=ω t és Ω=ω (a kétpólusú tér iatt a szögsebesség egegyezik a körfrekvenciával) Az egyes keretek szöghelyzete időben egyfrán váltzik, a közöttük lévő szögek és ezért az indukált feszültségek közötti fázisbeli különbségek is állandóak É Ω B α 3 α u 3 (t) u (t) u (t) 3 D 3 α α α α 3 t=0 t'=0 π π ω t Eltérő fázishelyzetű feszültségek előállítása A szinusz függvények (ωtα) arguentuai a fázisszögek (fázisk), az adtt pillanathz tartzó szögértékek Az egyes indukált feszültség időfüggvények: u (t)= sin(ωtα ), u (t)= sin(ωtα ), u 3 (t)= sin(ωtα 3 ) Az α kezdeti fázisszög a egfigyelés kezdő időpntjától, a t=0 pillanat egválasztásától függ, az ábrán u (t=0)= sinα Az u(t) feszültség esetében a pzitív nulla-átenet pillanatának eghatárzása: u(t)=0, ha sin(ωtα )=0, vagyis ωtα =0, vagyis ωt=-α Ha egyetlen jelet vizsgálunk, akkr a t=0 időpnt egválasztásának állandósult állaptban nincs jelentősége Több vizsgált jel esetén t=0-t célszerű ahhz a jelhez illeszteni, aelyikhez a többi jel helyzetét visznyítják (referencia jel) egyen u (t) a referencia, annak pzitív nulla-átenete a egfigyelés kezdete (az ábrán t'=0), így α =α -, α 3 =α 3 9

10 GEENTTET Elektrtechnika 06 Behelyettesítve a feszültségek képletébe: u (t)= sin(ωtα ), u (t)= sin(ωtα - ), u 3 (t)= sin(ωtα 3 ) A kezdő időpntt α =0 választással jelöljük ki (az ábrán szaggattt vnallal rajzlt függőleges tengely, t'=0), így u (t')= sinω t', u (t')= sin(ωt'- ), u 3 (t')= sin(ωt' 3 ) u szöghelyzete u -hez visznyítva: =α -α <0, u késik u -hez képest (később van pzitív nulla-átenete), u 3 szöghelyzete u -hez visznyítva: 3 =α 3 -α >0, u 3 siet u -hez képest Az időtengely jbb felé utat, a krábbi időpntk balra, a későbbiek jbbra esnek Egy eseény (pl nulla-átenet) annál inkább jbbra kerül az időtengelyen, inél később következik be A feszültséghez hasnlóan írható le és ábrázlható ás szinuszs ennyiség is, pl az ára: i(t)= sin(ωt i ) Az ára szöghelyzetét rendszerint a saját (fázis)feszültségéhez képest szkták felírni és -vel jelölik Ha u(t)= sin(ωt u ), akkr az ára szöghelyzete a feszültségéhez képest: = i u, azaz: i(t)= sin(ωt u ) Aennyiben a feszültség a referencia, akkr u =0, <0-nál az ára késik, >0 esetén az ára siet a feszültséghez képest A váltakzó ennyiségek jellezői A független váltzó egválasztásának lehetősége Ha az u(t)= sin(ωt) alak használatakr a független váltzó az idő, akkr idő szerinti differenciálásnál az ω körfrekvencia szrzóként, integráláskr sztóként szerepel: du() t = ω cs ( ω t ) és utdt () ( t ) dt = cs ω ω Ha az u(ωt)= sin(ωt) váltzatban a független váltzó a szög (ωt), akkr szög szerinti differenciálásnál nincs szrzó, integráláskr nincs sztó: du( ωt) = cs ( ω t ) és u( t) d t ( t ) dωt ω ω = cs ω Megjegyzés: Az indukált feszültséget a definíció szerint idő szerinti deriválással kell száítani: ui = ψ () t Szög szerinti deriválásnál ui () t = ψ () t = ψ() t = ω ψ () t d d ω d d dt dt ω dt d ω t Fntsabb definíciók Pillanatérték: valaely váltakzó ennyiség nagysága a független váltzó tetszőleges értékénél (adtt időpillanatban, adtt szögértéknél) Mérése regisztráló űszerrel (pl szcillszkóp) lehetséges Jelölése kisbetűvel, pl feszültség esetén: u, u(t), u(ωt) A pillanatérték tetszőleges függvénynél értelezhető Fázisszög (fázis, fázishelyzet): trignetrikus függvény esetén a radiánban vagy fkban kifejezett szög érték, ai időben váltzik Jelölése pl =ωt Kezdeti fázisszög (fáziseltlás): trignetrikus függvény esetén radiánban vagy fkban kifejezett szög érték a t=0 referencia időpntban, knstans érték Jelölése pl 0 0

11 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye súcsérték, aplitúdó, axiális érték: a periódusidő alatt elért legnagybb (vagy legkisebb) pillanatérték jelölése pl feszültség esetén: $,, ax A axiális érték tetszőleges peridikus függvénynél értelezhető Effektív érték: ára esetén egyszerű az értelezése, annak az egyenértékű egyenáranak a nagysága, aelyik egy adtt ellenállásn ugyanakkra veszteségi energiát terel, int valailyen váltakzó ára egy periódus alatt Az effektív érték tetszőleges peridikus függvénynél értelezhető Egy ellenállásn egyenára esetén a dt idő alatti veszteség dw= dt, ennek a T periódusidőre (az összehasnlításban szereplő váltakzó ára periódusidejére) száíttt integrálja W= T A veszteségi energia váltakzó ára esetén dt idő alatt: dw=i(t) dt, ainek a T periódusidőre száíttt integrálja W = i() t dt, ez az előző definíció szerint eg kell egyezzen az egyenára esetén kaptt W= T értékkel, T () W = i t dt = T, így az egyenértékű egyenára, vagyis a váltakzó ára effektív értéke: 0 T = eff = it dt T 0 A definíciós képlet alapján az effektív értéket négyzetes középértéknek (rt-ean-square, rs) is nevezik Az effektív érték jelölése pl feszültség esetén:, eff, rs Egyenáraú ennyiségeknél a pillanatérték, a axiális- és az effektív érték egegyezik: u(t)= eff = ax Szinusz függvény szerint váltzó ennyiség effektív értéke, ha i(t)= sinωt: T T T T () T it dt T tdt cs ω t t eff dt = = sin ω = = t T T sin ω 4 = ω 0 0 T t t = T sin 4π 4ω T 0 =, így Példa = eff =30 V ax = 35,7 V, = eff =400 V ax = 565,68 V eff 0 () = = = 0,707 súcstényező: a váltakzó ennyiség csúcsértékének és effektív értékének a visznya, hányadsa, például feszültségre kcs = Egyenáraú ennyiségeknél k cs =, szinuszsan váltakzó ennyiségeknél k cs = A különböző váltakzó áraú villas készülékek, berendezések névleges adataként rendszerint az effektív értékeket adják eg, érésnél is általában az effektív értékeket határzzák eg Szigetelés szepntjából visznt a feszültség csúcsértéke a érvadó, elektrnikus esz- eff T 0 0

12 GEENTTET Elektrtechnika 06 közöknél (pl erősítők) a beenetre előírt krlát a pillanatértékre vnatkzik, tehát peridikus jel esetén szintén a csúcsérték Az indukált feszültség effektív értékének száítása A p-pólusú gépben indukált frgási feszültségre kaptt u i =pnωφ sinpω t összefüggésben Ω = n π, ahl n a percenkénti frdulatk száa 60 Ω fenti behelyettesítésével: u() t pn n π p n π i = Φ sin t = sin ω t Az aplitúdó: pn n π = Φ, az effektív érték ennek -ed része: 60 pn n π eff = Φ = 444, Nf Φ = 444, f Ψ, 60 pn ivel a frekvencia f = és π = π = 444, 60 A transzfrátrs indukált feszültségre kaptt u i =NωΦ sinωt összefüggésben az aplitúdó: =NωΦ, az effektív érték pedig: π f eff = N Φ = 444, NfΦ = 444, fψ, ez egegyezik a frgási indukált feszültségre kaptt értékkel Példa N=00, f=50 Hz, Φ =0-3 Vs eff =, V ( =3,39 V) Szinusz függvény szerint váltakzó feszültségről táplált egyszerű árakörök száítása Előjel knvenciók Általában az ún fgyasztói pzitív iránykat használják, ezek szerint: - a fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullááhz képest, - a fgyaszttt P hatáss teljesítény pzitív, a terelt negatív, - az induktív fgyasztó Q eddő teljesíténye pzitív, a kapacitívé negatív Ohs ellenállás Váltakzó feszültségre kapcslt ellenállás i(t) feszültségesése inden pillanatban egyensúlyt tart az u(t) hálózati (táp)feszültséggel i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt ellenállás áraköri vázlata u(t)-i(t)=0 u(t)=i(t) Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt (a kezdeti fázisszög u =0), akkr az előző egyenletből:

13 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye () ut it () = = sinω t = sinω t, itt = Ohs ellenállásn az ára fázisban van a feszültséggel, i = u, így =0 eff Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff =, vagy = Az ellenállás teljesítényének pillanatértéke: pt = ut it = sinω t sinω t= sin ω t= () () ( ) csω t = = ( cs t) ω u(t) p(t) i(t) wt Az ellenállás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A teljesítény egy középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint leng, lüktet Előjele indig pzitív, tehát az energiaáralás iránya inden pillanatban azns A teljesítény középértéke: P = = eff eff = = = Az ellenállás fenti teljesíténye hatáss teljesítény, ainek jele P, S értékegysége [P]=W=watt Példa Egy nagyságú ellenállást u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára és a teljesítény? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =00 Ω, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s it () =, 3sin ( 34t) = 3, 57 sin( 34t) A, =,3 A, p(t)=30,3(-cs 34t)=59(-cs 68t), P=59 W nduktivitás deális (ellenállás entes) induktivitásra (tekercsre) kapcslt u(t) váltakzó feszültség hatására flyó i(t) ára váltakzó ágneses teret hz létre A váltakzó ágneses tér az induktivitásn önindukciós feszültséget indukál Ez a feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel: ( ) ut () di t ( ) = 0 ut () = di t dt dt 3

14 GEENTTET Elektrtechnika 06 i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt induktivitás áraköri vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt (a kezdeti fázisszög u =0), akkr az előző egyenletből: it () = tdt = t = t = t sin ω π csω csω sin ω ω, itt = ω π Az ára 90 -s fáziskéséssel követi a feszültséget i = = eff Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff =, vagy = ω ω A kaptt képletben ω=x a váltakzó áraú induktív ellenállás (induktív reaktancia) A reaktancia jele X, S értékegysége [X]=Ω=h X f Az induktív reaktancia frekvencia-függése Az induktív reaktancia X =ω=πf aránys a frekvenciával és az induktivitással A tekercsben a ágneses tér váltzása iatt indukálódó feszültséget egy árakörben az induktív ellenállásn eső feszültség helyettesíti, u =ix, vagy =X Az induktivitás teljesítényének pillanatértéke: () () () pt = ut it = sinω t csω t= kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzik A tekercsben negyed periódus alatt kialakul a ágneses tér (pzitív szakasz), utána a felhalztt energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáralik a tápfrrásba, aiközben a ágneses tér leépül Majd flytatódik az ellenkező irányú ágneses tér felépítésével A tekercsben az energia ne használódik el, unkát ne végez, ezért ezt a teljesítényt eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik Fgyasztói pzitív irányk ellett az induktivitás eddő teljesíténye pzitív előjelű: Q = = eff eff = = = X X A eddő teljesítény jele Q, S értékegysége [Q]=var=vltaper reaktív sin ω t 4

15 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye u(t) i(t) p(t) wt Az induktivitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A eddő teljesítény fenti értelezése csak szinuszs táplálás esetén igaz Neszinuszs vagy többhulláú táplálásnál járuléks veszteségek is egjelennek, ezeket gyakran a eddővel összevnják, pl ipulzus-szerű táplálásnál Példa Egy nagyságú induktivitást (tekercset) u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára és a teljesítény? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =0,36 H, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =ω=34 0, =3,5304 Ω, i(t)=00sin(34t-π/), eff =70,7 A, 35, 7 00 pt () = sin ( 68t) = 663, 5 sin ( 68t), Q=6,63 kvar 3 Kapacitás Egy ideális kndenzátrban a tárlt töltés inden pillanatban aránys a fegyverzetei közötti feszültséggel: q(t)=u(t) i(t) u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt kapacitás áraköri vázlata Ha a feszültség váltzik, váltzik a tárlt töltés és a töltés váltzásának egfelelő ára flyik az elektródkhz (vezetési ára), illetve a dielektrikun át (eltlási ára) dq( t) ( ) it () = = du t dt dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt (a kezdeti fázisszög u =0), akkr az előző egyenletből: 5

16 GEENTTET Elektrtechnika 06 () it () du t d π = = t = t = t t dt dt = π sinω ω csω ω sin ω sin ω, itt = ω = = X ω Az ára fázisban 90 -kal siet a feszültséghez képest π i = = Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: A kaptt képletben szereplő reaktancia) ω eff eff =, vagy = X = X a váltakzó áraú kapacitív ellenállás (kapacitív X X f A kapacitív reaktancia frekvencia-függése A kapacitív reaktancia X = = frdítttan aránys a frekvenciával és a kapacitással A villas térben létrejövő ptenciál-különbséget az árakörben a kapacitív ellenál- ω π f lásra eső feszültség helyettesíti u(t) p(t) i(t) wt A kapacitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A kapacitás teljesítényének pillanatértéke: 6

17 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye () () () pt = ut it = sinω t csω t= kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzik A kndenzátrban az ára által szállíttt töltések építik fel a villas teret A negyed periódus alatt (pzitív szakasz) felépülő villas tér a következő negyed periódus alatt leblik (negatív szakasz) A kndenzátrban az energia ne használódik el, unkát ne végez, ezért ezt a teljesítényt is eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik, ait Q-val jelölik A kapacitív eddő teljesítény jele is Q, S értékegysége [Q]=var=vltaper reaktív Fgyasztói pzitív irányk ellett a kapacitív eddő teljesítény negatív előjelű: Q sin = = eff eff = = = X X Példa Egy nagyságú kapacitást (kndenzátrt) u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára és a teljesítény? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =38,5 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =/(ω)=/(34 38,5 0-6 )=0 Ω, i(t)=3,5sin(34tπ/), eff =3 A, 35, 7 3,5 pt () = sin( 68t) = 589 sin( 68t), Q=-5,89 kvar 4 Srs - kör Ebben az árakörben az ellenállás feszültségesése és a vele srsan kapcslt induktivitás önindukciós feszültsége inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: ( ) ut () u () t u() t ut () it () di t ( ) = = 0 ut () = it () di t dt dt i(t) X =ω ω t u(t) u (t) u (t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs - kör vázlata A srs árakör eleein azns az ára, ha szinusz függvény szerint váltzik, akkr i(t)= sinωt ( i =0), az előző egyenletből: u(t)= sinωt ωcsωt= (sinωtωcsωt)= Zsin(ωt u )= sin(ωt u ), Z az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú ellenállása, ipedanciája, = Z vagy Z = = Az ipedanciája jele Z, S értékegysége [Z]=Ω h A feszültség egyenlet alapján sinωtωcsωt=sinωtx csωt=zsin(ωt u ) Z eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és az ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén X = Zsin u, 7

18 GEENTTET Elektrtechnika 06 ωt=π/ esetén = Zsin(π/ u )= Zcs u Az utóbbi két egyenlet hányadsából: X = tg u, illetve u = arctg X ( u indig pzitív, hiszen az eredő feszültség az induktivitás iatt siet az árahz képest) Az előző két egyenlet négyzetének összegéből: X = Z, vagy Z = X Z = X X =ω u Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az hs-induktív árakörben az u(t) feszültség u szöggel siet az i(t) árahz képest Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, az ára késik a feszültséghez képest (a fázisszög negatív), = arctg X Ezzel = Zcs és X = Zsin(-) u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Aennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: u(t)= sinωt ( u =0), akkr it () = sin( ω t ), (itt az induktivitás iatt <0) Z 8

19 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye p(t) p (t) wt p (t) i(t) Srs - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke ( i =0 esetre): pt = ut it = sin ωt sinω t= sinω t X csω t sinω t () () () ( ) ( ) u cs ω t sin ω t = sin ω t X csω t sinω t = X = p() t p() t A p(t) teljesíténynek van egy középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint lengő p (t) és egy kétszeres frekvenciájú X aplitúdójú szinusz függvény szerint váltzó p (t) összetevője A teljesítény középértékének különböző alakjai: P = = eff = = = = cs, Z X íg a eddő teljesítény: Q X X X X X = = eff = = = = sin( ), (itt <0) Z X S Q u P A P hatáss, a Q eddő és az S látszólags teljesítény összefüggésének illusztrálása Mind a unkát (pl hőfejlesztést, echanikai elzdulást) végző hatáss teljesítény, ind a ágneses teret alakítő eddő teljesítény kisebb az egyenáraú kör esetében száíttt szrzatnál, aely szrzatt látszólags teljesíténynek nevezik és S-el jelölik: S= eff eff =, S értékegysége [S]=VA=vltaper A hatáss, a eddő és a látszólags teljesítény közötti összefüggés az eddigiek alapján: P=Scs, Q=Ssin(-), illetve P Q =S 9

20 GEENTTET Elektrtechnika 06 A hatáss és a látszólags teljesítény közötti szrzót teljesítény tényezőnek nevezik és P rendszerint ε-al vagy PF-el (=Pwer Factr) jelölik PF =, P=S PF S Szinusz függvény szerint váltzó, de csak szinusz függvény szerint váltzó feszültség és ára esetén a teljesíténytényező PF=cs, így P=S cs A villas és az elektrechanikai eszközök, berendezések (pl villas frgógépek) dellezésénél a helyettesítő árakörökben a hatáss teljesítényt (echanikai teljesítény, súrlódási veszteség, vasveszteség stb) egyenértékű hs veszteségi teljesíténnyel képezik le, egfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával A fgyaszttt hatáss teljesítény a hővé vagy ás fajta energiává alakuló teljesítény középértéke, ai a tápfrrásba ne tér vissza Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú induktivitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =00 Ω, =00 H, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =ω= =6,8 Ω, Z = 00 6, 8 = 8, 084 Ω, =-arctg(6,8/00)=-0,56(rad)=-3,3 (induktív), cs=0,847, sin=-0,53, i(t)=(35,7/8,084)sin(34t-0,56)=,754sin(34t-0,56) A, eff =,947 A, =,947 00=94,7 V, =,947 6,8=,7 V (94,7,7 =30 ), ( t) ( t) pt () = cs sin 68,, 754 6, 8 = ( ) ( ) = cs 68 t sin 68t, 476, 3, P=379,5 W, Q=38,5 var, S=447,8 VA (379,5 38,5 =447,8 ) 5 Srs - kör A srs - körhöz hasnlóan száítható i(t) X = ω u(t) u (t) u (t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs - kör vázlata Az ellenállás feszültségesése és a kndenzátr töltésével aránys feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: u() t u() t u() t = u() t i() t idt = 0 ut () = it () idt 0

21 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Ha az ára szinusz függvény szerint váltzik, i(t)= sinωt, i =0, akkr az előző egyenletből: ut () = sinω t csω t = Zsin( ω t u) = sin( ω t u), ω Az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú ellenállása, ipedanciája: Z = =, vagy = Z A feszültség egyenlet alapján sinω t csω t = sinω t X csω t = Zsin( ω t u) ω Z eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és az ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén -X = Zsin u, ωt=π/ esetén = Zsin(π/ u )= Zcs u X Az utóbbi két egyenlet hányadsából: = tg u, vagy ásképpen: X X u = arctg = arctg ( u indig negatív, hiszen az eredő feszültség a kapacitás iatt késik az árahz képest) A két egyenlet négyzetének összegéből: X = Z, vagy Z = X u X =-/ω Z = X Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása

22 GEENTTET Elektrtechnika 06 Az hs-kapacitív árakörben az u(t) feszültség u szöggel késik az i(t) árahz képest Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, az ára siet a feszültséghez képest (a fázisszög pzitív), = arctg X Aennyiben a feszültséget tekintjük referenciának: u(t)= sinωt ( u =0), akkr it () = sin( ω t ), (itt a kapacitás iatt >0) Z A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t X csω t sinω t= () () () ( ) cs ω t sin ω t = sin ω t X csω t sinω t = X A p(t) teljesíténynek van egy középérték körül kétszeres frekvenciájú kszinusz függvény szerint lengő p (t) és egy kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint váltzó p (t) összetevője Az ellenállás teljesítényének középértéke a srs - körhöz hasnlóan: P = = eff = = = = cs, Z X íg a eddő teljesítény különböző alakjai: X Q X X X X = = eff = = = = sin, (>0) Z X p (t) p(t) p (t) i(t) wt Srs - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú kapacitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =00 Ω, =00 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =/(ω)=/( )=3,84 Ω, Z = 00 3, 84 = 04, 9 Ω, =arctg(3,84/00)=0,3(rad)=7,66 (kapacitív), cs=0,953, sin=0,303, i(t) =(35,7/04,9)sin(34t0,3)=3,099sin(34t0,3) A, eff =,9 A, =,9 00=9 V, =,9 3,84=69,73 V (9 69,73 =30 ),

23 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye ( t) sin( 68t) pt () = cs, 3, , = ( ) ( ) = 96 cs 68 t sin 68t 305, 98, P=480 W, Q=-5,89 var, S=503,7 VA (480 5,89 =503,7 ) 6 Srs -- kör A srs - és - körhöz hasnlóan száítható Az ellenállás feszültségesése, az induktivitás önindukciós feszültsége és a kndenzátr töltésével aránys feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: i(t) X X u(t) Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt srs -- kör vázlata ( ) u() t u () t u () t u () t u() t i() t di t dt idt = = 0, ebből () ut () = it () di t dt idt Ha az ára szinusz függvény szerint váltzik, i(t)= sinωt, i =0, akkr az előző egyenletből: ut () = sinω t ω csω t csω t = sinω t ω csω t ω ω [ sinω ( ) csω ] ( sinω csω ) = t X X t = t X t = = Zsin(ωt u )= sin(ωt u ), itt u az eredő feszültség fázishelyzete a árahz képest, X = ω = X X - az eredő reaktancia ω Z = X X=X X u Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az előzőekhez hasnlóan az eredő ipedancia: Z = X, illetve Z = X = ( X X ), 3

24 GEENTTET Elektrtechnika 06 és a fázisszög tg = u X X u (t) X X X X =, vagy u = arctg = arctg u(t) u (t) u (t) i(t) wt Srs -- kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, i(t)= sin(ωt), < 0, ha X > 0, azaz ω > ω az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű), = 0, ha X = 0, azaz ω = ω az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), > 0, ha X < 0, azaz ω < ω az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű) A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t X X csω t sinω t= [ ] () () () ( ) cs ω t sin ω t = sin ω t X csω t sinω t = X p(t) p (t) wt p (t) p (t) Srs -- kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye i(t) 4

25 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye észletezve: cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t =, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = X, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p() t = X A p (t) hatáss teljesítény inden pillanatban pzitív, középértéke P= p (t) és p (t) egyfrán kétszeres frekvenciával, de ellenfázisban leng, középértékük zérus, eredőjüket a kettő előjeles összegével száíthatjuk: sin ω t qt () = p() t p() t = ( X X) Az eredő eddő teljesítény: ( ) ( ) Q = X X = X X = X A eddő teljesítény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a ásik részét az árakör a táphálózatból veszi fel és da juttatja vissza Példa Egy nagyságú ellenállásból, nagyságú induktivitásból és nagyságú kapacitásból álló srs árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =00 Ω, =00 H, =00 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =ω= =6,8 Ω, X =/(ω)=/( )=3,84 Ω, X= X -X =30,96 Ω, Z = 00 30, 96 = 04, 68 Ω, =arctg(-30,96/00)=-0,3 (rad) =-7, induktív, cs=0,955, sin=0,95, i(t) =(35,7/04,68)sin(34t-0,3)=3,07sin(34t-0,3) A, eff =,97 A, =,97 00=9,7 V, =,97 6,8=37,97 V, =,97 3,84=69,95 V [9,7 (37,97-69,95) =30 ], ( t) ( t) ( t) pt () = cs sin 68 sin 68, 307, 6, 8 = 307, 3, 84 = ( ) ( ) ( ) = 965 cs 68 t sin 68t sin 68t 606, 3 307, 37, P=48,7 W, Q =303, var, Q =-53,68 var, Q=49,4 var, S=505,3 VA [48,7 (303,-53,68) =505,3 ] A srs reznancia nduktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás ágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrsztatikus energiájává (vagy annak egy részévé) Aennyiben az induktivitás és a kapacitás energiájának axiua egegyezik, ha az induktivitásban ugyanakkra energia halzódik fel, int a kapacitásban, akkr ez a két áraköri ele ellátja egyást energiával és az -- árakör a táphálózatból ne vesz fel eddő teljesítényt és ne is ad da le Ez a reznancia jelensége A reznanciára éretezett árakört rezgőkörnek nevezik Srs árakörben srs (vagy feszültség-) reznanciáról és srs rezgőkörről beszélünk Jelen árakörben a reznancia feltétele: X X = ω = = ω 5

26 GEENTTET Elektrtechnika 06 Így az eredő ipedancia: Z= (ivel X -X =0), ezért az ára és a feszültség fázisban van, a tápfrrásból csak hatáss teljesítény felvétel van, nincs eddő teljesítény felvétel és a tápfrrás felé nincs eddő teljesítény leadás Az induktivitás (a ágneses tér) energiája teljes egészében átalakul a kapacitás (villas tér) energiájává és frdítva Az induktivitásn és a kapacitásn eső feszültség inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így együtt rövidzárként viselkednek A pillanatértékekre: u (t)=i(t)x =-i(t)x =u (t) ezért u (t)u (t)=0, illetve p (t)=i(t)u (t) =-i(t)u (t)=-p (t), p (t)p (t)=0 X X f f 0 A reznancia frekvencia értelezése A reaktanciák frekvencia-függése iatt a reznancia jelenség adtt induktivitás és kapacitás esetén csak egyetlen frekvencián, az ún reznancia frekvencián (vagy a reznancia körfrekvencián) alakul ki, ainek jelölése f r, f 0 vagy f s (illetve ω r, ω 0 vagy ω s ) Száításuk a reaktanciák egyezése alapján történik: ω 0 =, aiből ω 0 = vagy ω 0 = és f0 = ω 0 π Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás, akár a kapacitás növelésével a reznancia frekvencia csökken Minél alacsnyabb a szükséges reznancia frekvencia, annál nagybb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani Példa Egy srs -- árakörben =00 Ω, =00 H, =00 µf f 0 = = 35, 588 Hz, ω = 3 6 π = 3, 6 /s 7 Párhuzas - kör A feszültség a két áraköri eleen azns, egegyezik a tápfeszültséggel, így ( ) ut () i () t di t = =, dt i(t) u(t) i (t) i (t) X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas - kör vázlata 6

27 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint ut ( ) it () = i () t i() t it () () utdt = = Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt ( u =0), akkr az előző egyenletből: it () = sinω t csω t = ( Gsinω t B csω t) = ω ( ) sin( ) = Y sin ω t = ω t tt = i a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a tápfeszültséghez képest, G = az ellenállás vezetése (knduktancia), B = = az induktívitás váltakzó áraú vezetése, az induktív szuszceptancia ω X A szuszceptancia jele B, S értékegysége [B]=S=Sieens Y az összetett árakör eredő látszólags váltakzó áraú vezetése, adittanciája Az adittancia jele Y, S értékegysége [Y]=S=Sieens i (t) u(t) i(t) i (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Az ára egyenletből: Gsinωt-B csωt=ysin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és az ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén -B = Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycs Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B = tg, ebből = arctg B, G G ω tvábbi átalakítással = = arctg arctg, ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y, vagy Y = G B 7

28 GEENTTET Elektrtechnika 06 A párhuzas - kör fázisszöge negatív, az eredő ára szöggel késik a feszültséghez képest G B Y = G B A G knduktancia, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása frdítttan aránys a frekvenciával és az in- Az induktív szuszceptancia B = = ω π f duktivitással B f Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt = it ut = Gsinω t B csω t sinω t= () () () ( ) cs ω t sin ω t = Gsin ω t B csω t sinω t = G B észletezve: cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G G G eff = = eff = = = = cs, a eddő teljesítény: Q B eff = = eff B = B = = = sin( ) X X 8

29 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye u(t) p(t) p (t) wt p (t) Párhuzas - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú induktivitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =00 Ω, =00 H, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =ω= =6,8 Ω, G=0,0 S, B =0,059 S, Y = 0, 0 0, 059 = 0, 088 S, Z=/Y=Z=53,8 Ω, =arctg(-0,059 /0,0)=-,0 (rad)=-57,83 (induktív), cs=0,53, sin=-0,846, i(t)=(35,7 0,088)sin(34t-,0)=6,5sin(34t-,0) A, eff =4,3 A, =30 0,0=,3 A, =30 0,059=3,657 A (,3 3,657 =4,3 ), ( t) ( t) pt () = cs sin 68,, 35, 7 0, 059 = ( ) ( ) = 058 cs 68 t sin 68t 68, 3, P=59 W, Q=84,5 var, S=993,6 VA (59 84,5 =993,6 ) 8 Párhuzas - kör A feszültség a két áraköri eleen azns, egegyezik a tápfeszültséggel, így ut () = i() t = i() t dt, i(t) u(t) i (t) i (t) X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas - kör vázlata az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint 9

30 GEENTTET Elektrtechnika 06 ( ) ( ) ut it () = i () t i () t du t = dt i(t) u(t) i (t) i (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt ( u =0), akkr az előző egyenletből: it () = sinω t ω csω t = ( Gsinω t B csω t) = = Ysin( ω t ) = sin( ω t ) tt = i a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültségéhez képest, B =ω a kapacitás váltakzó áraú vezetése, a kapacitív szuszceptancia Y = G B B G A G knduktancia, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Az ára egyenletből: GsinωtB csωt=ysin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és az ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén B = Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycs Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B = G tg, aiből = arctg B G, 30

31 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye ω tvábbi átalakítással = arctg = arctgω, a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y, vagy Y = G B A párhuzas - kör fázisszöge pzitív, az eredő i(t) ára szöggel siet az u(t) feszültséghez képest A kapacitív szuszceptancia aránys a frekvenciával és a kapacitással B f A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt = it ut = Gsinω t B csω t sinω t= () () () ( ) cs ω t sin ω t = Gsin ω t B csω t sinω t = G B, részletezve: cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p() t = B u(t) p(t) p (t) p (t) wt Párhuzas - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: 3

32 GEENTTET Elektrtechnika 06 P G G G eff = = eff = = = = cs = S cs, a eddő teljesítény: B eff Q = = eff B = B = = = sin( ) = S sin( ) X X Példa Egy nagyságú ellenállásból és nagyságú kapacitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =00 Ω, =00 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =/(ω)=/( )=3,84 Ω, G=0,0 S, B =0,034 S, Y = 0, 0 0, 034 = 0, 0395 S, Z=/Y=30,395 Ω, =arctg(0,034/0,0)=,6 (rad)=7,33 (kapacitív), cs=0,303, sin=0,953, i(t) =(35,7 0,0395)sin(34t,6)=0,77sin(34t,6) A, eff =7,578 A, =30 0,0=,3 A, =30 0,034=7, A (,3 7, =7,578 ), ( t) ( t) pt () = cs sin 68,, 35, = ( ) ( ) = 058 cs 68 t sin 68t 33, P=59 W, Q=-66 var, S=74,94 VA (59 66 =74,94 ) 9 Párhuzas -- kör A feszültség indhár eleen azns ( ) ut () i () t di t = () dt i t dt = =, az árak összeadódnak a csópnti törvény szerint i(t)=i (t)i (t)i (t) vagy ut ( ) ( t) it () = utdt () du dt i(t) u(t) i (t) i (t) i (t) X X Váltakzó feszültségfrrásra kapcslt párhuzas -- kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint váltzik, u(t)= sinωt, u =0, akkr az előző egyenletből: it () = sinω t csω t ω csω t = sinω t ω csω t = ω ω ( sin cs ) sin( ) sin( ) = G ω t B ω t = Y ω t = ω t tt a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, 3

33 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye B = ω = B B - az eredő szuszceptancia ω Az ára egyenletből GsinωtBcsωt=Ysin(ωt) Y eghatárzásáhz helyettesítsük be a fenti egyenletbe az ωt=0 és az ωt=π/ értéket: ωt=0 esetén B= Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycs Y = G B B= B B G A G knduktancia, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Az utóbbi két egyenlet hányadsából: B G = tg, ebből = arctg B G, ω ω ω tvábbi átalakítással = arctg = arctg, ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y, vagy Y = G B i (t) i(t) u(t) i (t) wt i (t) Párhuzas -- kör feszültségének és áraainak időfüggvénye Mivel u =0, az ára i fázisszöge a feszültséghez képest > 0, ha B > 0, azaz ω > ω az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű), 33

34 GEENTTET Elektrtechnika 06 = 0, ha B = 0, azaz ω = ω az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), < 0, ha B < 0, azaz ω < ω az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű) A teljesítény pillanatértéke: pt = it ut = Gsinω t Bcsω t sinω t= () () () ( ) cs ω t sin ω t = Gsin ω t Bcsω t sinω t = G B, részletezve: cs ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p() t = B A p (t) hatáss teljesítény inden pillanatban pzitív, középértéke P= G p (t) és p (t) egyfrán kétszeres frekvenciával de ellenfázisban leng, középértékük zérus Eredőjüket a kettő előjeles összegezésével száítjuk: sin ω t qt () = p() t p() t = ( B B) u(t) p(t) p (t) p (t) wt p (t) Párhuzas -- kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = cs, az eredő eddő teljesítény: ( ) Q B B = = ( B B) = eff = sin( ) X X A eddő teljesítény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a ásik részét az árakör a táphálózatból veszi fel és da juttatja vissza 34

35 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Példa Egy nagyságú ellenállásból, értékű induktivitásból és nagyságú kapacitásból álló párhuzas árakört u(t) feszültségre kapcslunk, ekkra az ára, a teljesítény és a fázisszög? ut = 30 sin 34t = 35, 7 sin 34t V, =00 Ω, =00 H, =00 µf, f=50 Hz () ( ) ( ) ω=πf=π50=00π=34 /s, X =ω= =6,8 Ω, X =/(ω)=/( )=3,84 Ω, G=0,0 S, B =0,059 S, B =0,034 S, B=0,0549 S, Y = 0, 0 0, 0549 = 0,0844 S, Z=54,3 Ω, =arctg(0,0549/0,0)=0,9978 (rad)=57,7 kapacitív, cs=0,54, sin=0,84, i(t) =(35,7 0,0844)sin(34t0,9978)= 6sin(34t0,9978) A, eff =4,4 A, =30 0,0=,3 A, =30 0,059=3,657 A, =30 0,034=7, A [,3 (7,-3,657) =4,4 ], ( t) ( t) pt () = 35,7 00 cs 68 sin 68, 35,7 0, 059 sin 68t cs 68t sin 68t sin 68t 35,7 0, 034 == ,3 333 P=59 W, Q =84,5 var, Q =-66,5 var, Q=-89,3 var, S=975, VA [59 (84,5-66,5) =975, ] ( ) ( ) ( ) ( ) A párhuzas reznancia Párhuzas árakörben párhuzas (vagy ára-) reznanciáról és párhuzas rezgőkörről beszélünk A vizsgált árakörben a reznancia feltétele: B = ω = = B, vagy X =X ω eznancia esetén Y=G (ivel B -B =0), ezért az ára és a feszültség fázisban van, a tápfrrásból nincs eddő teljesítény felvétel és a tápfrrás felé nincs eddő teljesítény leadás Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és frdítva Az induktivitásn és a kapacitásn flyó ára inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így együtt szakadásként viselkednek A párhuzas rezgőkör sajátfrekvenciája és sajátkörfrekvenciája ugyanúgy száítható, int a srs körben Példa Egy párhuzas -- árakörben =00 Ω, =00 H, =00 µf f 0 = = 35, 588 Hz, ω = = 3, 6 /s 3 6 π , 35

36 GEENTTET Elektrtechnika 06 Szinusz függvény szerint váltakzó ennyiségek száítási eszközei és ódszerei Egyenletes szögsebességgel frgó síkvektr végpntjának ugyanazn síkban fekvő tetszőleges egyenesre vetett vetülete időben szinusz függvény szerint váltzik Ez a kapcslat lehetőséget ad arra, hgy a szinusz függvényekkel végzett biznys űveleteket a szeléletesebb és egyszerűbb síkvektrkkal végzett űveletekkel helyettesítsük Azk a űveletek helyettesíthetők, aelyekre a vektr-vetületekkel végzett űvelet eredénye egegyezik a vektrkkal végzett űvelet eredényének vetületével a) frgó vektrk (síkvektrk) használata álló krdináta rendszerben Az ábrán látható két ára időfüggvénye i (t)= sin(ωt ) és i (t)= sin(ωt ), illetve = - (ha az i árat tekintjük referenciának) ω i i ωt Frgó síkvektrk vetületének illusztrációja A síkvektr hssza az ábra szerint egegyezik a szinusz hullá csúcsértékével, frgási szögsebessége pedig a szinusz hullá körfrekvenciájával Két azns szögsebességgel frgó vektr esetén az egyáshz képesti szögeltérés állandó és egegyezik a egfelelő azns frekvenciájú (körfrekvenciájú) vetületek (szinusz hullák) fáziseltlási szögével A siető vektr a frgás irányában előbbre helyezkedik el, az időben siető szinusz függvény az azns arguentuhz tartzó értéket (pl pzitív nulla-átenet, axiu) kisebb szögnél éri el A két azns szögsebességgel frgó vektr tehát inden fnts infrációt tartalaz a két szinusz hulláról: az aplitúdót, a körfrekvenciát, a fáziskülönbséget, a kezdeti fázisszöget b) álló vektrk (síkvektrk) használata Állandósult állapt feltételezésével a vektrkkal együttfrgó krdináta rendszert használhatunk, aiben a síkvektrk ne zgnak lyenkr a szinusz függvény körfrekvenciája egegyezik a krdináta rendszer szögsebességével, a síkvektrk pedig az aplitúdót és a fázisszöget reprezentálják Ebből következik, hgy álló vektrkkal, közös krdináta rendszerben csak azns frekvenciájú szinuszs ennyiségek ábrázlhatók A teljesítény pillanatérték függvénye például ne ábrázlható az ára vagy a feszültség pillanatértékével együtt, ert kétszeres frekvenciájú kpnenst tartalaz Egyenértékű síkvektrs ábrázlásk frgó krdináta rendszerben 36

37 V Egyszerű váltakzó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A fenti ábrázlásk egyenértékűek, csak a kezdeti fázisszögben (a t=0 időpnt egválasztásában) térnek el Ezeket a szinuszs ennyiségeket leíró, fázishelyzetet is kifejező síkvektrkat fázisvektrknak vagy fázrknak nevezik c) álló vektrk kplex krdináta rendszerben A sík pntjai így a fázrk végpntjai is kplex krdináta rendszerben szápárkkal, kplex szákkal írhatók le, a velük való ateatikai űveletek a kplex algebra szabályai szerint végezhetők el Az elektrtechnikai gyakrlatban skszr 90 -kal elfrdíttt krdináta rendszert használnak a ateatikaihz képest, de a pzitív képzetes tengely inden esetben (pzitív frgásirány szerint) egelőzi a pzitív valós tengelyt i e A k A = A ia v k A = A ja v k A v A v e j A k A valós- és a képzetes tengely jellező elhelyezése ateatikában elektrtechnikában Az ábrán v index jelöli a valós, k index a képzetes összetevőt Egy tetszőleges A kplex szá leírására hár fra használats: - algebrai alak: A = Av jak, pl A = 3 j4, A = A cs jsin A = 5 cs 533, jsin 533, - trignetrikus alak: ( ) itt A = Av A k, Av = A cs, Ak = A sin, - expnenciális alak: A = Ae j, pl A = 5e j 53, 3, itt e j = cs jsin, A = A A, = arctg A Ak v k, pl ( ) A tvábbiakban a kplex vektr abszlút értékét A helyett egyszerűen A-val jelöljük Műveletek álló kplex vektrkkal (összefglalás) j A egyen A = Av jak = Ae j B j, B = Bv jbk = Be és = v jk = e c frgatás A kplex vektrk pzitív vagy negatív irányú frgatása tetszőleges α szöggel a fázisszög növelésével vagy csökkentésével érhető el, legegyszerűbben expnenciális alakban A 90 -s elfrgatás pzitív irányban j-vel való szrzást, negatív irányban -j-vel való szrzást (vagy j-vel való sztást) jelent: j π π π π j e = cs jsin = j, illetve e = π j π cs sin = j v, 37