V. Egyszerű váltakozó áramú körök árama, feszültsége, teljesítménye

Átírás

1 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Feszültség előállítása indukcióval Forgási (ozgási) indukció: forgási indukált feszültség keletkezik, aikor egy vezető és a ágneses tér között viszonylagos elozdulás erővonaletszés jön létre Az unipoláris (hoopoláris) villaos gép elve Ha a vezetők a ágneses tér erővonalaira erőleges síkban, a ágneses térhez viszonyítva azonos irányban ozognak, akkor változatlan polaritású feszültség indukálódik Ω D B u i É dα V Az unipoláris (hoopoláris) villaos gép elvi vázlata Az unipoláris villaos gép vezetői a ozgásuk (körülfordulásuk) során azonos irányú ágneses térben vannak A hoogénnek tekintett B indukciójú ágneses térben körbeforgó vezető által dα szögelfordulás során súrolt da felület d da = π α = d α, π ahol a vezető hossza (a körpálya sugara) Az elfordulás ideje alatt a dφ fluxusváltozás B d φ = Bd α = dα Az egy vezető rúdban indukálódó i feszültség Ω szögsebesség ellett dφ B dα B i = = = Ω dt dt egyen B= T, =0, és Ω = π50=34/s (50 fordulat/sec), akkor az egy vezetőben indukált feszültség i =,57 V A vezetők párhuzaos kapcsolása viszonylag egyszerű, azokat sorba kapcsolni és így az egyes küllőkben indukálódó feszültségeket összegezni csak nagyon bonyolult egoldással lehet Ezért a hoopoláris gépekre főleg a kis feszültség és a nagy ára jellező A heteropoláris villaos gép elve Aikor a vezetők a ágneses térhez viszonyítva változó irányban ozognak, az indukált feszültség polaritása is változik Az ábra szerinti elrendezésben a vezetők egy henger palástja entén váltakozva az északi és a déli pólus alatt haladnak el A pólus középvonala alatt elhaladó egyetlen vezetőben indukálódó feszültség: i = Blv = BlΩ,

2 VVEA00 Elektrotechnika 0 ahol a henger sugara, l a vezetők ágneses hatás alatt lévő hossza, v a kerületi sebesség, Ω a szögsebesség N sorbakapcsolt vezetőből álló tekercsben i = NBlΩ É v Ω τ p B u i É D u i l i D A heteropoláris villaos gép elvi vázlata A tekercseket úgy alakítják ki, hogy az egy enethez tartozó vezető egyástól pólusosztásnyira helyezkedjen el, vagyis egyáshoz képest ellenkező irányú ágneses térben legyen Ezért a vezetők sorbakapcsolásakor a feszültségek összegeződnek Pólusosztásnak az ellenkező pólusok középvonala közötti távolságot nevezik és τ p -vel jelölik Aennyiben a ágneses tér, a B indukció a vezető bárelyik helyzetében erőleges v a kerületi sebességre (pl sugár irányú), akkor a fenti képletek szerint száított indukált feszültség független a vezető helyzetétől a henger paláston egyen B= T, =0,, l = 0,5 és Ω = 34/s (50 fordulat/sec), akkor az egy vezetőben indukált feszültség i = 5,7 V, az egy eneten ( vezetőben) indukálódó feszültség i = 3,4 V Az ellenkező pólusok alatt elhaladó vezetőkben ellenkező irányú indukált feszültség jön létre, ezért inden vezetőben félfordulatonként egváltozik a feszültség iránya, váltakozó (irányú) feszültség keletkezik

3 ( ) V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye dőben szinusz függvény szerint változó feszültség előállítása É Ω d B i l i () D Elvi vázlat A vázlat szerinti keret vezetőiben indukálódó feszültség polaritása pozíció-függő É Ω d v B φ(t) u i (t) Ω t π π α=ω t D A fluxus és az indukált feszültség időbeli változása Ha a vezető keret egyenletes Ω szögsebességgel forog a B=áll indukciójú hoogén ágneses térben akkor az indukció keretre erőleges B n összetevőjének nagysága a forgás során változik, B n (t)=bcosα=bcosω t, így a keret által átfogott fluxus nagysága φ(t)=b n A=B n ld is változik: 3

4 VVEA00 Elektrotechnika 0 φ(t)=bldcosω t=φ cosω t, itt Φ =Bld a fluxus aplitúdója B α B n v x α v B t v y A B indukció és a v kerületi sebesség erőleges összetevői Az indukált feszültség N száú sorbakapcsolt vezető esetén: u() t N d i = φ = N t = N t t dt = ΩΦ sin Ω ΩΦ cos Ω π cos Ω π Az u i indukált feszültség időfüggvénye 90 -kal eltolt a fluxushoz képest (siet) Aikor a keret által átfogott fluxus a legnagyobb, akkor a fluxusváltozás és az indukált feszültség is a legkisebb (t=0, α=0), aikor az átfogott fluxus a legkisebb, a változás és az indukált feszültség is a π legnagyobb t = α = 90 Ω, o A keret egy teljes körülfordulása alatt az indukált feszültség egy teljes szinuszgörbét ír le Az indukált feszültség a ozgási indukcióval is értelezhető A vezetőnek a ágneses erővonalakra erőleges sebesség koponense v y =vsinω t, így az egy vezetőben indukálódó feszültség a felvett pozitív iránytól függő előjellel: u = l ( B i v) = l Bv = l y Bv sin Ω t Mivel v d α d = = Ω = Ω, az indukálódó feszültség: dt ld ui B t = Ω sin Ω = Ω Φ sin Ω t, itt is Φ =Bld A vezetőből álló keretben u i kétszerese indukálódik, N enetű keretben pedig π ui() t = N t = N t t = π ΩΦ sin Ω ΩΦ cos Ω cos Ω Az időegység alatt lezajló teljes (változási) ciklusok (isétlődések, periódusok) száa a frekvencia A frekvencia jele f, S értékegysége Hertz tiszteletére [ f ] = Hz = hertz = s Ha az indukált feszültség egy ciklusa a vezető keret egy echanikai fordulata alatt zajlik le, s s akkor a ciklusok száa egegyezik a fordulatok száával f = n A villaosérnöki gyakorlatban rendszerint percenkénti fordulatszáot használnak, így f s in n = 60 Hertz, Heinrich udolf ( ) néet fizikus 4

5 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A szinusz és koszinusz trigonoetrikus függvény periodikus, arguentua a szög A periódus π (360 ), vagyis sin(α)=sin(πα) változási ciklushoz (periódushoz) π (360 ) szög, egy teljes kör tartozik, ásodpercenként f periódushoz πf szög, f száú teljes kör Ezért az πf szorzatot körfrekvenciának nevezik (tulajdonképpen szögfrekvencia), jele ω, S értékegysége [ ] ω = s ezen kívül a rad/s is) A körfrekvencia az időegység alatt leírt szögtartoány A körfrekvencia az idő és a szög között teret kapcsolatot: α=ωt (a gyakorlatban elterjedt É É D É D i v D D 0 π π 4π ωt π Ω t É 4 pólusú (p=) gép elvi vázlata Az indukált feszültség egy periódusához szükséges idő a T periódusidő: α=π=ωt, illetve π π T = = = ω fπ f Kétpólusú gépeknél a echanikai szögsebesség egegyezik vezetőkben indukálódó szinuszos feszültség körfrekvenciájával ω=ω, ivel egy villaos periódus egy echanikai fordulat alatt zajlik le Többpólusú gépeknél, aelyeknél a kerület entén p-száú póluspárt helyeznek el, a vezetők inden körülfordulás alatt p-szer haladnak el É és D pólus terében, egy echanikai fordulat alatt p száú villaos periódus zajlik le ω=pω, itt p a póluspárok száa Ennek figyelebevételével az indukált feszültség u i =pnωφ sinpω t u i (ωt) π π p wt Ω t Az indukált feszültség a villaos és a echanikai szögelfordulás függvényében 5

6 VVEA00 Elektrotechnika 0 A frekvencia és a fordulatszá közötti általános összefüggés f p n in s =, ekkora egy n 60 fordulattal járó (szinkron) generátor indukált feszültségének frekvenciája Az összefüggésből száítható az f frekvenciájú feszültségről táplált otor n 0 (szinkron) fordulatszáa: 60 f 3000 n0 = f=50 Hz tápfrekvencia esetén a szinkron fordulatszá: n0 =, f=60 Hz esetén n0 = p p 3600 p d d q τ p q τ p a) b) Hengeres a) és kiálló pólusú b) forgórészű szinkron gép vázlata A villaos energia előállítására alkalazott szinkron generátorokban az a szokásos elrendezés, hogy egy szinuszos eloszlású ágneses tér forog, a vezetőket pedig, aelyekben a feszültség indukálódik, az állórész hornyaiban helyezik el A forgó ágneses teret a forgórész egyenáraal gerjesztett tekercsével állítják elő, a szinuszos eloszlás a gerjesztő tekercs vezetőinek eloszlásával, vagy a légrés egfelelő kialakításával érhető el, illetve közelíthető eg A szinuszos eloszlású indukcióval való erővonaletszés értéke is szinuszos, és a vezetőkeret (tekercs) által átfogott fluxus változása is szinuszos, ezért a vezetőkben indukálódó feszültség időbeli változása szinuszos Transzforátoros (nyugali) indukció: transzforátoros indukált feszültség keletkezik, aikor egy nyugaloban lévő vezető keret által átfogott ágneses tér ne közvetlen ozgás iatt változik Az ábra szerinti elrendezésben a B(t) indukció az koszinusz függvény szerint változó gerjesztő ára hatására időben koszinusz függvény szerint változik: = cosωt és B(t)=B cosωt A fluxus is koszinusz függvény szerint változik: φ(t)=φ cosωt, az indukált feszültség pedig () u() t N d φ t i = = NωΦ sin ωt dt 6

7 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye φ(t) N A transzforátoros indukált feszültség illusztrációja Térben álló tekercsek közötti elektroágneses kapcsolatban transzforátoros indukció van, villaos forgógépekben általában forgási, de indkét fajta indukált feszültség egyszerre jelen lehet, ha a ágneses tér időben ne állandó A transzforátor űködési elve A transzforátor egy olyan elektroágneses energia-átalakító, aely a prier oldal (tekercs) által felvett u feszültséggel és i áraal jelleezhető villaos energiát ás feszültségű (u ) vagy potenciálú és ás áraú (i ), a szekunder oldal (tekercs) által leadott villaos energiává alakítja át Ha az egyszerűsítés érdekében elhanyagoljuk a prier tekercs ohos ellenállását (ait olyan esetben tehetünk, aikor «X, akkor a prier oldal feszültség egyenlete: () u() t t di t = sinω = dt Ebből az i prier ára i() t () u t dt = = cosω t = cos ω t ω u (t) u (t) i (t) i (t) N N φ (t) φ (t) A transzforátor elvi felépítése A prier tekercs által létrehozott B indukció és φ fluxus: B (t)=- B cosωt és φ (t)=- Φ cosωt A szekunder tekerccsel kapcsolódó fluxus a szórástól függően kisebb a prier tekercs fluxusánál: φ (t) φ (t), φ (t) =(-σ) φ (t) =(-σ)φ cosωt=φ cosωt 7

8 VVEA00 Elektrotechnika 0 A szekunder tekercsben indukálódó u (t) feszültség: () u () t N d φ t = = NΦ ω sin ω t dt Az ábrán láthatóan i ára legerjesztő hatású, i -el ellenkező irányú (ellenfázisú) fluxust hoz létre Az i =0 üresjárási állapothoz tartozó fluxus, int eredő fluxus fenntartásához az i áraot növelni kell Ez biztosítja az energetikai egyensúlyt: az szekunder oldal leadott energiáját a prier oldal veszi fel a táphálózatból A villaos és a vasveszteségek iatt p < p, a leadott teljesítény kisebb a felvettnél Szinusz függvény szerint változó ennyiségek fázisviszonyai Fázishelyzet, referencia választás, szokásos fázisszög értelezés A váltakozó áraú ennyiségek jellezői, kezdeti fázisszög, effektív- és csúcsérték Az órán elhangzottak szerint A váltakozó ennyiségek jellezői A független változó egválasztásának szerepe Az u(t)= sin(ωt) alak használatakor a független változó az idő, differenciálásnál az ω körfrekvencia szorzóként, integráláskor osztóként szerepel u(ωt)= sin(ωt) változatban a független változó a szög, differenciálásnál nincs szorzó, integráláskor nincs osztó Pillanatérték: a váltakozó ennyiség nagysága a független változó adott értékénél, érése regisztráló űszerrel (pl oszcilloszkóp) Jelölése pl feszültség esetén: u, u(t) A pillanatérték tetszőleges periodikus függvénynél értelezhető Fázisszög (fázis): trigonoetrikus függvény esetén a radiánban vagy fokban kifejezett szög érték, időben változik Jelölése pl =ωt Kezdeti fázisszög (fáziseltolás): trigonoetrikus függvény esetén radiánban vagy fokban kifejezett szög érték a t=0 referencia időpontban, konstans érték Jelölése pl 0 súcsérték, aplitúdó, axiális érték: a periódusidő alatt elért legnagyobb (vagy legkisebb) érték jelölése pl feszültség esetén: $,, ax Az aplitúdó tetszőleges periodikus függvénynél értelezhető Effektív érték: ára esetén egyszerű az értelezése, annak az egyenértékű egyenáranak a nagysága, aelyik egy adott ellenálláson ugyanannyi veszteségi energiát hoz létre, int a váltakozó ára egy periódus alatt Az effektív érték tetszőleges periodikus függvénynél értelezhető Egy ellenálláson egyenára esetén a dt idő alatti teljesítény dw= dt, ennek a T periódusidőre száított integrálja W= T Váltakozó ára esetén a dt idő alatti teljesítény: T dw= dt, ennek a T periódusidőre száított integrálja W = i() t dt, ai a definíció szerint eg kell egyezzen az egyenára esetén kapott W= T értékkel, T () W = i t dt = T, aiből az egyenértékű egyenára, vagyis a váltakozó ára effektív értéke: 0 T () = eff = it dt T 0 0 8

9 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Az effektív érték jelölése pl feszültség esetén:, eff Egyenáraú ennyiségeknél a pillanatérték, a axiális- és az effektív érték egegyezik: u(t)= eff = ax Szinusz függvény szerint változó ennyiség effektív értéke T T T T () T it dt T tdt cos ω t t eff dt = = sin ω = = t T T sin ω 4 = ω 0 0 T 0 t t = = T T t sin 4π 4ω 0 eff = = = 0,707 súcstényező: a váltakozó ennyiség csúcsértékének és effektív értékének a viszonya, hányadosa, például feszültségre kcs = eff Egyenáraú ennyiségeknél k cs =, szinuszosan váltakozó ennyiségeknél k cs = A különböző villaos készülékek, berendezések névleges adataiként rendszerint az effektív értéket adják eg, érésnél is általában az effektív értéket határozzák eg Szigetelés szepontjából viszont a feszültség csúcsértéke a érvadó, elektronikus eszközöknél (pl oszcilloszkóp erősítője) a beenetre előírt korlát pillanatérték, tehát periodikus jel esetén szintén a csúcsérték Az indukált feszültség effektív értékének száítása A p-pólusú gépben indukált forgási feszültségre kapott u i =pnωφ sinpω t összefüggésben Ω = n π, ahol n a percenkénti fordulatok száa 60 Ω fenti behelyettesítésével: u() t pn n π p n π i = Φ sin t Az aplitúdó: pn n π = Φ, az effektív érték ennek -ed része: 60 pn n π eff = Φ = 444, Nf Φ, 60 pn ivel a frekvencia f = és π = π = 444, 60 A transzforátoros indukált feszültségre kapott u i =NωΦ sinωt összefüggésben az aplitúdó: =NωΦ, az effektív érték: π eff = N Φ = 444, Nf Φ Egyszerű árakörök száítása Előjelek konvenciók Általában az ún fogyasztói pozitív irányokat használják, ezek szerint: - a fázisszög az ára helyzete a feszültség szinusz hullá szöghelyzetéhez képest, - a fogyasztott P hatásos teljesítény a pozitív és a terelt a negatív, - az induktív fogyasztó Q eddő teljesíténye pozitív, a kapacitívé negatív 0 9

10 VVEA00 Elektrotechnika 0 Ohos ellenállás Váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás feszültségesése inden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel u(t) Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt ellenállás áraköri vázlata u(t)-=0 u(t)= Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)= sinωt, u =0, akkor az előző egyenletből: ut () it () = = sinω t = sinω t, itt = Ohos ellenálláson az ára fázisban van a feszültséggel, i = u, így =0 eff Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff =, vagy A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t sinω t= sin ω t= () () () cosω t = = ( cos t) ω = u(t) p(t) wt Az ellenállás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A teljesítény egy középérték körül kétszeres frekvenciájú koszinusz függvény szerint leng, lüktet Előjele indig pozitív, tehát az energiaáralás iránya inden pillanatban azonos A teljesítény középértéke: P = = eff eff = = = Az ellenállás teljesíténye hatásos teljesítény, értékegysége [P]=W watt 0

11 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye nduktivitás deális (ellenállás entes) induktivitásra (tekercsre) kapcsolt váltakozó feszültség hatására folyó ára váltakozó ágneses teret hoz létre A váltakozó ágneses tér az induktivitáson önindukciós feszültséget indukál Ez a feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a hálózati (táp)feszültséggel u(t) () Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt induktivitás áraköri vázlata () ut () di t = 0 ut () = di t dt dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)= sinωt, u =0, akkor az előző egyenletből: it () = tdt = t = t = t sin ω π cosω cosω sin ω ω, itt = ω π Az ára 90 -os fáziskéséssel követi a feszültséget i = = Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff eff =, vagy ω = ω X f Az induktív reaktancia frekvencia-függése ω=x - az induktív ellenállás (induktív reaktancia), értékegysége [X ]=Ω oh Az induktív reaktancia X =ω=πf arányos a frekvenciával és az induktivitással A tekercsben indukálódó feszültséget az induktív ellenálláson eső feszültség helyettesíti A teljesítény pillanatértéke: () () () pt = ut it = sinω t cosω t= kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik A tekercsben negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felhalozódó energia a következő negyed periódus alatt (negatív szakasz) visszaáralik a tápforrásba A tekercsben energia ne használódik fel, unkát ne végez, ezért eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik sin ω t

12 VVEA00 Elektrotechnika 0 u(t) p(t) wt Az induktivitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye Az ún fogyasztói pozitív irányok ellett az induktív eddő teljesítény pozitív előjelű: Q = = eff eff = = = X, értékegysége [Q]=VAr voltaper reaktív X A eddő teljesítény fenti értelezése csak szinuszos táplálás esetén igaz Neszinuszos vagy többhulláú táplálásnál járulékos veszteségek jelennek eg, ezeket gyakran a eddővel összevonják, pl ipulzus-szerű táplálásnál 3 Kapacitás Egy kondenzátorban tárolt töltés inden pillanatban arányos a fegyverzetei közötti feszültséggel: q(t)=u(t) Ha a feszültség változik, változik a tárolt töltés és a töltés változásának egfelelő ára folyik az elektródokhoz (vezetési ára), illetve a dielektrikuon át (eltolási ára) dq() t () it () = = du t dt dt u(t) Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt kapacitás áraköri vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)= sinωt, u =0, akkor az előző egyenletből: () it () du t d sinω t π = = = t = t t dt dt = π ω cosω ω sin ω sin ω, itt = ω = = X ω

13 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Az ára 90 -kal siet a feszültséghez képest π i = = Az ára és a feszültség effektív értéke közötti összefüggés: eff =ω eff =X eff, vagy =X X f ω A kapacitív reaktancia frekvencia-függése = X a kapacitív ellenállás (kapacitív reaktancia), értékegysége [X ]=Ω oh A kapacitív reaktancia X = = fordítottan arányos a frekvenciával és a kapacitással ω π f A teljesítény pillanatértéke: sin ω t pt () = ut () it () = sinω t cosω t= kétszeres frekvenciájú szinusz függvény szerint változik u(t) p(t) wt A kapacitás feszültségének, áraának és teljesítényének időfüggvénye A kondenzátorban az ára által szállított töltések építik fel a villaos teret A negyed periódus alatt (pozitív szakasz) felépülő villaos tér a következő negyed periódus alatt lebolik (negatív szakasz) A kondenzátorban energia ne használódik fel, unkát ne végez, ezért eddő teljesíténynek nevezik és a axiális (csúcs) értékével jellezik Az ún fogyasztói pozitív irányok ellett a kapacitív eddő teljesítény negatív előjelű: 3

14 VVEA00 Elektrotechnika 0 Q = = eff eff = = = X X 4 Soros - kör A sorosan kapcsolt ellenállás feszültségesése és az induktivitás önindukciós feszültsége inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: () ut () u () t u() t ut () it () di t () l = = 0 ut () = it () di t dt dt X u(t) Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros - kör vázlata A soros árakör eleein azonos az ára, ha szinusz függvény szerint változik, = sinωt, i =0, akkor az előző egyenletből: u(t)= sinωt ωcosωt= (sinωtωcosωt)= Zsin(ωt u )= sin(ωt u ) itt = Z és sinωtωcosωt=sinωtx cosωt= Zsin(ωt u ), ωt=0 esetén X = Zsin u, ωt=π/ esetén = Zsin(π/ u )= Zcos u Az utóbbi két egyenlet hányadosából: X = tg u, u = arctg X ( u indig pozitív), a két egyenlet négyzetének összegéből: X = Z Z = X az árakör látszólagos ellenállása, ipedanciája, [Z]=Ω oh Z = X X =ω Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az ohos-induktív árakörben az u(t) feszültség u szöggel siet az árahoz képest Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, az ára késik a feszültséghez képest, = arctg X Z Aennyiben u(t)= sinωt, u =0, akkor it () = sin( ω t ), Z = = 4

15 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye u(t) u (t) u (t) wt Soros - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t X cosω t sinω t= () () () ( ) cos ω t sin ω t = sin ω t X cosω t sinω t = X p(t) p (t) wt p (t) Soros - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: P = = eff = = = = cos, Z X a eddő teljesítény: Q X X X X = = eff = = = Z X X = sin A unkát (pl hőfejlesztést, echanikai elozdulást) végző hatásos teljesítény kisebb, int az egyenáraú körben száított szorzat Ezt a szorzatot látszólagos teljesíténynek nevezik: S= eff eff =, [S]=VA voltaper A hatásos, a eddő és a látszólagos teljesítény közötti összefüggés az eddigiek alapján: P=Scos, Q=Ssin, illetve P Q =S 5

16 VVEA00 Elektrotechnika 0 S Q u P A P hatásos, a Q eddő és az S látszólagos teljesítény összefüggésének illusztrálása A villaos és az elektroechanikai eszközök, berendezések (pl villaos forgógépek) helyettesítő áraköreiben a hatásos teljesítényt (echanikai teljesítény, súrlódási veszteség, vasveszteség stb) egyenértékű ohos veszteségi teljesíténnyel képezik, egfelelő nagyságú ellenállás beiktatásával A fogyasztott hatásos teljesítény a hővé vagy ás fajta energiává alakuló teljesítény középértéke, ai a tápforrásba ne tér vissza 5 Soros - kör A soros - körhöz hasonlóan száítható Az ellenállás feszültségesése és a kondenzátoron az ára (töltésváltozás) okozta feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: ut () u() t uc() t = ut () it () idt = 0 ut () = it () idt X u(t) Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros - kör vázlata Ha az ára szinusz függvény szerint változik, = sinωt, i =0, akkor az előző egyenletből: ut () = sinω t cosω t = Zsin( ω t u) = sin( ω t u) ω itt = Z és sinω t cosω t = sinω t X cosω t = Zsin( ω t u) ω ωt=0 esetén -X = Zsin u, ωt=π/ esetén = Zsin(π/ u )= Zcos u X Az utóbbi két egyenlet hányadosából: = tg u, vagy ásképpen: X X u = arctg = arctg ( u indig negatív), a két egyenlet négyzetének összegéből: X = Z A fázisszög száításánál az X kapacitív reaktancia előjele negatív 6

17 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Z = X az árakör látszólagos ellenállása, ipedanciája u -X =ω Z = X Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Az ohos-kapacitív árakörben az u(t) feszültség u szöggel késik az árahoz képest Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u, az ára siet a feszültséghez képest, = arctg X Z Aennyiben u(t)= sinωt, u =0, akkor it () = sin( ω t ) u(t), Z = = u (t) u (t) wt Soros - kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t X cosω t sinω t= () () () ( ) cos ω t sin ω t = sin ω t X cosω t sinω t = X Az ellenállás teljesítényének középértéke a soros - körhöz hasonlóan: P = = eff = = = = cos, Z X a eddő teljesítény különböző alakjai: 7

18 VVEA00 Elektrotechnika 0 X Q X X X = = eff = = = Z X X = sin p (t) p(t) p (t) wt Soros - kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye 6 Soros -- kör A soros - és - körhöz hasonlóan száítható Az ellenállás feszültségesése, az induktivitás önindukciós feszültsége és a kondenzátoron az ára (töltésváltozás) okozta feszültség inden pillanatban egyensúlyt tart a tápfeszültséggel: () u() t u () t u () t u () t u() t i() t di t dt idt = = 0, ebből () ut () = it () di t dt idt X X u(t) Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt soros -- kör vázlata Ha az ára szinusz függvény szerint változik, = sinωt, i =0, akkor az előző egyenletből: ut () = sinω t ω cosω t cosω t = sinω t ω cosω t ω ω [ sinω ( ) cosω ] ( sinω cosω ) = t X X t = t X t = = Zsin(ωt u )= sin(ωt u ), itt u - az eredő feszültség fázishelyzete a árahoz képest, X = ω = X X - az eredő reaktancia ω Az előzőekhez hasonlóan az eredő ipedancia: Z = X, illetve Z = X, 8

19 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye és a fázisszög tg = u X X X X X X =, vagy u = arctg = arctg Z = X X=X - X u Az ellenállás, az X ipedancia és a Z reaktancia összefüggésének illusztrálása Mivel i =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest = i - u =- u : = sin(ωt-) < 0, ha X > 0, azaz ω > ω - az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű), = 0, ha X = 0, azaz ω = ω - az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), > 0, ha X < 0, azaz ω < ω - az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű) u (t) u(t) u (t) u (t) wt Soros -- kör áraának és feszültségeinek időfüggvénye A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = sinω t X X cosω t sinω t= [ ] () () () ( ) cos ω t sin ω t = sin ω t X cosω t sinω t = X, részletezve: cos ω t az ellenállás teljesíténye: p() t =, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = X, 9

20 VVEA00 Elektrotechnika 0 sin ω t a kapacitás teljesíténye: p() t = X A p (t) hatásos teljesítény inden pillanatban pozitív, középértéke P= p (t) és p (t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin ω t qt () = p() t p() t = ( X X) p(t) p (t) wt p (t) p (t) Soros -- kör áraának és teljesítényeinek időfüggvénye Az eredő eddő teljesítény: ( ) ( ) Q = X X = X X = X A eddő teljesítény egyik része az induktivitás és a kapacitás között leng, a ásik részét az árakör a táphálózatból veszi fel és oda juttatja vissza nduktivitás és kapacitás egyidejű jelenléte esetén az induktivitás ágneses energiája (vagy annak egy része) átalakul a kapacitás elektrosztatikus energiájává (vagy annak egy részévé) Aennyiben az induktivitás és kapacitás energiájának axiua egegyezik, ha az induktivitásban ugyanakkora energia halozódik fel, int a kapacitásban, akkor ez a két áraköri ele ellátja egyást energiával és az -- árakör a táphálózatból ne vesz fel eddő teljesítényt és ne is ad oda le Ez a rezonancia jelensége A rezonanciára éretezett árakört rezgőkörnek nevezik Soros árakörben soros (vagy feszültség-) rezonanciáról és soros rezgőkörről beszélünk Jelen árakörben a rezonancia feltétele: X = ω = = ω X Így az eredő ipedancia: Z= (ivel X -X =0), az ára és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs eddő teljesítény felvétel Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva Az induktivitáson és a kapacitáson eső feszültség inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így rövidzárként viselkedik A pillanatértékekre: u (t)=x =-X =u (t) ezért u (t)u (t)=0, illetve p (t)=u (t)=-u (t)=-p (t), p (t)p (t)=0 A rezonancia jellezője a rezonancia frekvencia, ainek jelölése f r, f 0 vagy f s, vagy a rezonancia körfrekvencia ω r, ω 0 vagy ω s Száításuk a reaktanciák egyezése alapján: ω 0 =, aiből ω 0 = vagy ω 0 = és f0 = ω π 0 0

21 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Az összefüggésekből láthatóan akár az induktivitás, akár a kapacitás növelésével a rezonancia frekvencia csökken, fordított feladatnál pedig inél alacsonyabb a szükséges rezonancia frekvencia, annál nagyobb induktivitás és kapacitás értékeket kell választani X X f f 0 A rezonancia frekvencia értelezése 7 Párhuzaos - kör A feszültség indkét eleen azonos, () ut () i () t di t = =, dt az áraok összeadódnak a csoóponti törvény szerint =i (t)i (t), () it () = ut () utdt u(t) i (t) i (t) X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzaos - kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)= sinωt, u =0, akkor az előző egyenletből: it () = sinω t cosω t = ( Gsinω t B cosω t) = ω ( ) sin( ) = Y sin ω t = ω t tt = i - a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, B = ω - az induktív vezetés (induktív szuszceptancia), értékegysége [B ]=S Sieens Gsinωt-B cosωt=ysin(ωt), ωt=0 esetén -B = Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycos Az utóbbi két egyenlet hányadosából: B = tg, ebből G

22 VVEA00 Elektrotechnika 0 i (t) u(t) i (t) wt Párhuzaos - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye ω = arctg B = arctg G a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y G = arctg, ω - B Y = G B A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása Y = G B az árakör látszólagos vezetése, adittanciája, [Y]=S Sieens B f Az induktív szuszceptancia frekvencia-függése

23 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A párhuzaos - kör fázisszöge negatív, az eredő ára szöggel késik a feszültséghez képest Az induktív szuszceptancia B = = fordítottan arányos a frekvenciával és az induktivitással ω π f A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t B cosω t sinω t= () () () ( ) cos ω t sin ω t = Gsin ω t B cosω t sinω t = G B, részletezve: cos ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = cos, a eddő teljesítény: Q B eff = = = = sin( ) X X u(t) p(t) p (t) wt p (t) 8 Párhuzaos - kör Párhuzaos - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye u(t) i (t) i (t) X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzaos - kör vázlata 3

24 VVEA00 Elektrotechnika 0 A feszültség indkét eleen azonos, ut () = i() t = i() t dt, u(t) i (t) i (t) wt Párhuzaos - kör feszültségének és áraainak időfüggvénye az áraok összeadódnak a csoóponti törvény szerint =i (t) i (t) vagy ut () du() t it () = u() t dt dt Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)= sinωt, u =0, akkor az előző egyenletből: it () = sinω t ω cosω t = ( Gsinω t B cosω t) = = Ysin ω t = sin ω t ( ) ( ) tt = i - a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, B =ω - a kapacitív szuszceptancia ω = arctg B = = ω G arctg arctg, a párhuzaos - kör fázisszöge pozitív, az eredő ára szöggel siet a feszültséghez képest Y = G B B G A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása 4

25 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A kapacitív szuszceptancia arányos a frekvenciával és a kapacitással B f A kapacitív szuszceptancia frekvencia-függése A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t B cosω t sinω t= () () () ( ) cos ω t sin ω t = Gsin ω t B cosω t sinω t = G B, részletezve: cos ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B u(t) p(t) p (t) p (t) wt Párhuzaos - kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = cos, a eddő teljesítény: B eff Q = = = = sin( ) X X 5

26 VVEA00 Elektrotechnika 0 9 Párhuzaos -- kör A feszültség indháro eleen azonos () ut () i () t di t = () dt i t dt = =, az áraok összeadódnak a csoóponti törvény szerint =i (t)i (t)i (t) vagy ut () du() t it () = u() t dt dt u(t) i (t) i (t) i (t) X X Váltakozó feszültségforrásra kapcsolt párhuzaos -- kör vázlata Ha a tápfeszültség szinusz függvény szerint változik, u(t)= sinωt, u =0, akkor az előző egyenletből: it () = sinω t cosω t ω cosω t = sinω t ω cosω t = ω ω ( sin cos ) sin( ) sin( ) = G ω t B ω t = Y ω t = ω t Y = G B B= B - B G A G konduktivitás, a B szuszceptancia és az Y adittancia összefüggésének illusztrálása tt - a fázisszög, az eredő ára fázishelyzete a feszültséghez képest, B = ω = B B - az eredő szuszceptancia ω GsinωtBcosωt=Ysin(ωt), ωt=0 esetén B= Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycos Az utóbbi két egyenlet hányadosából: B G = tg, ebből 6

27 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye ω ω ω = arctg B = = G arctg arctg, ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y Y = G B az árakör látszólagos vezetése, adittanciája, [Y]=S Sieens i (t) u(t) i (t) wt i (t) Párhuzaos -- kör feszültségének és áraainak időfüggvénye GsinωtBcosωt=Ysin(ωt), ωt=0 esetén B= Ysin, ωt=π/ esetén G= Ysin(π/ u )= Ycos Az utóbbi két egyenlet hányadosából: B G = tg, ebből ω ω ω = arctg B = = G arctg arctg, ω a két egyenlet négyzetének összegéből: G B = Y Y = G B az árakör látszólagos vezetése, adittanciája Mivel u =0, az ára fázisszöge a feszültséghez képest > 0, ha B > 0, azaz ω > ω - az eredő ára siet a feszültséghez képest (- jellegű), = 0, ha B = 0, azaz ω = ω - az eredő ára fázisban van a feszültséggel ( jellegű), < 0, ha B < 0, azaz ω < ω - az eredő ára késik a feszültséghez képest (- jellegű) A teljesítény pillanatértéke: pt = ut it = Gsinω t Bcosω t sinω t= () () () ( ) cos ω t sin ω t = Gsin ω t Bcosω t sinω t = G B, részletezve: 7

28 VVEA00 Elektrotechnika 0 cos ω t az ellenállás teljesíténye: p() t = G, sin ω t az induktivitás teljesíténye: p() t = B, sin ω t a kapacitás teljesíténye: p() t = B u(t) p(t) p (t) p (t) wt p (t) Párhuzaos -- kör feszültségének és teljesítényeinek időfüggvénye A p (t) hatásos teljesítény inden pillanatban pozitív, középértéke P= p (t) és p (t) kétszeres frekvenciával leng, középértéke zérus, az eredőjük a kettő összege: sin ω t qt () = p() t p() t = ( B B) A teljesítény középértékének különböző alakjai: P G eff = = = = cos, a eddő teljesítény: ( ) Q B B = = sin( ) Párhuzaos árakörben párhuzaos rezonanciáról és párhuzaos rezgőkörről beszélünk Jelen árakörben a rezonancia feltétele: B = ω = = B, vagy X =X ω ezonancia esetén Y=G (ivel B -B =0), az ára és a feszültség fázisban van, a tápforrásból nincs eddő teljesítény felvétel Az induktivitás energiája teljes egészében átalakul kapacitív energiává és fordítva Az induktivitáson és a kapacitáson folyó ára inden pillanatban egegyezik egyással és ellentétes előjelű, a kettő eredője zérus, így szakadásként viselkedik Párhuzaos árakörben párhuzaos (vagy ára-) rezonanciáról és párhuzaos rezgőkörről beszélünk A párhuzaos rezgőkör sajátfrekvenciája és sajátkörfrekvenciája ugyanúgy száítható, int a soros körben 8

29 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Szinusz függvény szerint váltakozó ennyiségek száítási eszközei és ódszerei Körpályán egyenletes sebességgel ozgó pont vagy forgó síkvektor végpontjának tetszőleges egyenesre vetett vetülete időben szinusz függvény szerint változik Ez a kapcsolat lehetőséget ad bizonyos, szinusz függvényekkel végzett űveletek helyettesítésére szeléletesebb és egyszerűbb, síkvektorokkal végzett űveletekkel Azok a űveletek helyettesíthetők, aelyekre a vektor-vetületekkel végzett űvelet eredénye egegyezik a vektorokkal végzett űvelet eredényének vetületével a) forgó vektorok (síkvektorok) használata álló koordináta rendszerben Az ábrán látható két ára időfüggvénye i (t)= sin(ωt ) és i (t)= sin(ωt ), illetve = - ω i i ωt Forgó síkvektorok vetületének illusztrációja A síkvektor hossza egegyezik a szinusz hullá csúcsértékével, szögsebessége pedig a szinusz hullá körfrekvenciájával Két azonos szögsebességgel forgó vektor esetén az egyáshoz képesti szögeltérés egegyezik két azonos frekvenciájú (körfrekvenciájú) vetület (szinusz hullá) időbeli fáziseltolási szögével A siető vektor a forgás irányában előbbre helyezkedik el, az időben siető szinusz függvény az azonos arguentuhoz tartozó (pl pozitív nulla-átenet, axiális érték) kisebb szögértéknél éri el Két azonos szögsebességgel forgó vektor tehát inden inforációt tartalaz a két szinusz hulláról: aplitúdót, körfrekvenciát, fáziskülönbséget, kezdeti fázisszöget b) álló vektorok (síkvektorok) használata Állandósult állapot feltételezésével a vektorokkal együttforgó koordináta rendszerben a síkvektorok ne ozognak Ebben az esetben a szinusz függvény körfrekvenciája egegyezik a koordináta rendszer szögsebességével, a síkvektorok pedig az aplitúdót és a fázisszöget reprezentálják Álló vektorokkal közös koordináta rendszerben csak azonos frekvenciájú szinuszos ennyiségek ábrázolhatók A teljesítény pillanatérték függvénye például ne ábrázolható az ára vagy a feszültség pillanatértékével együtt, ert kétszeres frekvenciájú koponenst tartalaz Egyenértékű ábrázolások 9

30 VVEA00 Elektrotechnika 0 A fenti ábrázolások egyenértékűek, csak a kezdeti fázisszögben (a t=0 időpont egválasztásában) térnek el Az ilyen, szinuszos ennyiségeket leíró, fázishelyzetet is kifejező síkvektorokat fázisvektoroknak vagy fázoroknak nevezik c) álló vektorok koplex koordináta rendszerben A sík pontjai így a fázorok végpontjai is szápárokkal, koplex száokkal leírhatók, a velük való ateatikai űveletek a koplex algebra szabályai szerint elvégezhetők i e A k A = A ia v k A = A ja v k A v A v e j A k A valós- és a képzetes tengely jellező elhelyezése ateatikában elektrotechnikában Az ábrán v index jelöli a valós, k index a képzetes összetevőt Egy tetszőleges A koplex szá leírására háro fora használható: - algebrai alak: A = Av jak, A = A cos jsin, - trigonoetrikus alak: ( ) itt A = Av A k, A = v A cos, A = A sin, k - exponenciális alak: A = Ae j, itt e j = cos jsin, A = A A, = arctg A Ak v k A továbbiakban a koplex vektor abszolút értékét A helyett egyszerűen A-val jelöljük Műveletek álló koplex vektorokkal j A egyen A = Av jak = Ae j B j, B = Bv jbk = Be és = v jk = e A koplex vektorok pozitív vagy negatív irányú forgatása tetszőleges α szöggel a fázisszög növelésével vagy csökkentésével érhető el, legegyszerűbben exponenciális alakban A 90 -os elforgatás pozitív irányban j-vel való szorzást, negatív irányban -j-vel való szorzást jelent: j π π π π j e = cos jsin = j, illetve e = π j π cos sin = j Az összeadás (és a kivonás) egyszerűen algebrai alakban végezhető el: = A B = Av jak Bv jbk = ( Av Bv) j( Ak Bk) = v jk, az eredő (jelen esetben az összeg) vetületei egegyeznek a vetületek összegével v 30

31 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye A további űveletek egyszerűen exponenciális alakban végezhetők el: két koplex szá szorzata az abszolút értékek összeszorzásával és a fázisszögek összeadásával ( ) A B Ae j ABe j B ABe j A B e j = = = =, két koplex szá hányadosa az abszolút értékek osztásával és a fázisszögek kivonásával j A A Ae A ( ) B Be B e j A B e j = = = =, j B koplex szá n-dik hatványa az abszolút érték n-dik hatványa, a fázisszög n-szerese n n jn A = A e A, koplex szá n-dik gyöke a (-n-dik) hatványa, az abszolút érték n-dik gyöke, a fázisszög /n-szerese n n A = Ae Megjegyzés: a π-szerinti periodicitás iatt többszörös gyökök vannak o o n A = n Ae j A k π j n A j n is gyöke A -nak, k < n-re o j70 j35 j5 Például 9 e = 3e és 3e = 3e a két gyök Koplex szá exponenciális függvénye a valós és a képzetes rész exponenciális függvényeinek szorzata: A Av jak Av jak e = e = e e, koplex szá e-alapú logaritusa az abszolút érték logaritusának és a fázisszögnek az öszszege: j A ln A = ln Ae = ln A j, ( ) illetve a π-szerinti periodicitás iatt ln A = ln A j( k π) d) forgó vektorok koplex koordináta rendszerben Egy forgó vektor szöghelyzete időben egyenletesen változik =ωt Például ára esetén: e j j t = = e ω, itt lehet effektív vagy axiális érték is Ennek a forgó vektornak az idő szerinti differenciál hányadosa: d jωt jωt e = jω e, dt ahol a j vel való szorzás 90 -os elforgatást jelent A forgó vektor idő szerinti integrálja: e dt e j jωt = jωt = e jωt, jω ω ahol a j vel való osztás (-j vel való szorzás) -90 -os elforgatást jelent Ez egegyezik a szinusz függvénnyel végzett hasonló űveletek eredényével: a 90 -os eltolásnak 90 -os elforgatás felel eg A forgó vektor álló vektorként együttforgó koordináta rendszerben ábrázolható, ai forálisan az e jωt tényező elhagyását jelenti (tulajdonképpen e jωt -val történő szorzást) dőben szinusz függvény szerint változó ennyiségek kifejezése koplex száokkal Az álló és az egyenletesen forgó síkvektorok közötti kapcsolatot az e jωt forgó egységvektor tereti eg Egy A koplex szá int álló síkvektor (forgó koordináta rendszerben): A Ae j A =, A A 3

32 VVEA00 Elektrotechnika 0 ( ) j t j A int forgó síkvektor (álló koordináta rendszerben): A = A e = Ae A j t j t A ω e ω = Ae ω Az A forgó síkvektor valós- és képzetes tengelyre eső vetülete: e{ A }=Acos(ωt A ), { A }=Asin(ωt A ) A két vetület egyenértékű, általában a sin fora használatos, de az {} jelölést el szokták hagyni Mivel az e jωt szorzó az időfüggvényre (pillanatértékre) felírt egyenletek inden tagjában szerepel (ivel az ω körfrekvencia azonos), és a forgó vektoroknak az egyáshoz viszonyított helyzete tartalazza az egyik lényeges inforációt, ezért az e jωt szorzó elhagyható, a szinuszos ennyiségek álló síkvektorokkal jelképezhetők Az e jωt szorzó elhagyása egy koordináta transzforáció, az ábrázolás az időben álló koordináta rendszer helyett a vektorokkal együtt forgó rendszerben történik (Úgy is felfoghatjuk, hogy az álló vektor ellett az a tengely forog ellenkező irányban, aelyikre vetítünk) ( ) Az A = Ae j ω t A forát a teljes alaknak, az A = Ae j A forát a redukált alaknak nevezik Az utóbbi is szinusz függvény szerint változó ennyiséget ír le, de egyszerűben Az áraköri száítások egy része elvégezhető koplex vektorokkal (fázorokkal), azok a száítások, aelyeknél a ateatikai űvelet és az iaginárius (vagy a reális) rész képzése felcserélhető Vagyis azok a száítások, aelyekre a vektorokkal végzett űvelet eredényének vetülete egegyezik a vektorok vetületével végzett űvelet eredényével Koplex fázorokkal elvégezhető ateatikai űveletek - összeadás (kivonás) egyen c két koponense a és b: a(t)=asin(ωt A ), b(t)=bsin(ωt B ), c(t)=a(t)b(t)= Asin(ωt A )Bsin(ωt B )=sin(ωt ) Az ωt=0 időpontban: c(t)= Asin A Bsin B =sin, π azω t = időpontban: c(t)= Acos A Bcos B =cos Ezekből: = ( Asin A Bsin B) ( Acos A Bcos B), A B arctg A sin B sin = Acos Bcos A B e v B B v A A v B j k A k B k A Fázorok összeadásának szeléltetése 3

33 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Koplex fázorok vetületeivel is ugyanerre az eredényre jutunk, de egyszerűbben: v =A v B v, k =A k B k, = v v k, = - állandóval való szorzás (osztás) Ha a(t)=asin(ωt A ), akkor ka(t)=kasin(ωt A ) A = A ja, ka = ka jka v k - differenciálás idő szerint Ha a(t)=asin(ωt A ), akkor da() t π = Aω cos( ω t A) = Aω sin ω t A dt, koplex alakban: π ( ) A Ae j ω t da j ω t A A j( ω t A ) =, = jaω e = Aω e, dt vagyis a differenciálás eredénye egy ω-szoros aplitúdójú, 90 -kal siető szinusz függvény, koplex alakban egy ω-szoros vektor-hosszúságú, 90 -kal előre forgatott fázor A 90 -os előre forgatás j-vel való szorzást jelent A differenciálás űvelete többszörösen is elvégezhető A e v Adt k k j da dt Differenciálás és integrálás a koplex síkon - integrálás idő szerint Ha a(t)=asin(ωt A ), akkor A A π atdt () = cos( ω t A) = sin ω t A ω ω, koplex alakban: ( ω ) A Ae j t A =, A jω j( ω t A ) Adt = e = A e ω π j ω t A vagyis az integrálás eredénye egy -szoros aplitúdójú, 90 -kal késő szinusz függvény, ω koplex alakban egy ω -szoros vektor-hosszúságú, 90 -kal visszaforgatott fázor A 90 -os visszaforgatás j-vel való osztást jelent Az integrálás űvelete többszörösen is elvégezhető, 33

34 VVEA00 Elektrotechnika 0 Szorzás és osztás időfüggvényeket kifejező koplex fázorokkal ne végezhető Szorzásnál, például a teljesítény száítás p(t)=u(t) szorzatánál, az eredény kétszeres frekvenciájú szinusz koponenst ad, osztásnál pedig a nevező pillanatértéke ne lehet zérus (ezért az ipedancia pillanatértéke ne értelezhető váltakozó ennyiségekkel) A teljesítényt és az ipedanciát is az időben szinusz függvény szerint változó ennyiségek időben állandó jellezőiből, effektív- vagy csúcsértékekből kell száítani Az időben állandó ennyiségek szorzata (pl teljesítény) és hányadosa (pl ipedancia, adittancia) képezhető koplex fázorokból és ábrázolható a koplex síkon álló síkvektorokkal Ezeknek síkvektoroknak a fázishelyzete viszont ne választató tetszőlegesen, a hatásos teljesítény és az ellenállás vagy a vezetés indig valós, a eddő teljesítény és a reaktancia vagy a szuszceptancia pedig képzetes tengelyre eső vetület A koplex ipedancia és adittancia Az ipedancia és az adittancia két azonos frekvenciájú szinusz függvény szerint változó ennyiség axiális vagy effektív értékének hányadosa Ne időfüggvény, ne szinuszos, időben állandó, kifejezi a feszültség és az ára viszonyát (operátor) Az u feszültség és az i ára koplex alakjából felírható az ipedancia koplex alakja: j u e j( u i) j Z Z = = = e = Ze, j i e eff ahol Z = = és Z = u - i eff A fázisszög definíciója szerint az ára fázishelyzete a feszültséghez képest = i - u, ezért Z =- j e u i j Z - e j e Y A fázisszög, a koplex ipedancia és adittancia Az = Z összefüggés szerint például a feszültséghez képest fázisban késő áraot az ipedancia előre hozza : = e Ze ji jz ji j( u i) = e Ze j u = e Koponenseivel az ipedancia: Z = jx, ahol Z = X és =Zcos Z, X=Zsin Z, Z = arctg X Hasonlóképpen az adittancia koplex alakja az u feszültség és az i ára koplex alakjából: j i e ( ) Y e e j i u Ye j Y = = = =, j u eff ahol Y = = és Y = i - u = eff 34

35 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Koponenseivel az adittancia: Y = G jb, ahol Y = G B és G=Ycos, B=Ysin, Y = = arctg B G A Z ipedancia és az Y adittancia inverz vektorok: Y = és Y =- Z Z Például egy soros ohos-induktív árakör adittanciája, ha Z = jx : jx X Y = = = = j = j X = G jb Z jx X X X Z Z Az egyszerű példából láthatóan összetett árakörökben G és B X A koplex teljesítény A teljesítény pillanatértékét ne, a leggyakrabban használt integrális P hatásos-, Q eddőés S látszólagos teljesítényt viszont egyszerűen száítani lehet koplex alakban felírt ennyiségekből A definíció szerint: S=, P=cos, Q=sin(-)= sin j S Q e P - A koplex teljesítény (induktív fogyasztó) A fázisszög azért szerepel negatív előjellel, ert fogyasztói pozitív irányok ellett a Q eddő teljesítény induktív fogyasztó ( <0) esetén pozitív, kapacitívnál ( >0) negatív A negatív fázisszög koplex száításnál azt jelenti, hogy az skalár szorzat helyett az ára fázor konjugáltjával kell száolni: S =, ha e j i = akkor e j i = ( ) S e j u e j i e j u i = = = = e j P=cos(-)=cos=Scos=e{ S }, Q=sin(-)= sin=s sin={ S }, >0 esetén Q<0, illetve <0 esetén Q>0 A teljesítény kifejezésének további alakjai: az ára behelyettesítésével =, = Z =, ebből S = =, Z Z Z Z a feszültség behelyettesítésével = Z, ebből S = Z = Z Az ára fázor helyzetét a koplex síkon, illetve a P hatásos és a Q eddő teljesítény előjelét szelélteti az alábbi ábra különböző áraköröknél, a feszültség fázor pozitív valós iránya ellett 35

36 VVEA00 Elektrotechnika 0 e P>0 P<0 j Q<0 Q>0 Az ára fázor elhelyezkedése a koplex síkon (fogyasztói pozitív iránynál) Soros és párhuzaos -, - és -- kör ennyiségeinek és paraétereinek száítása koplex száokkal, ábrázolásuk és értelezésük a koplex síkon Az előadáson elhangzottak szerint Többfázisú feszültségrendszerek Többfázisú feszültségrendszerek előállítása Szietrikus hárofázisú feszültségek és fogyasztók kapcsolása, vonali- és fázisennyiségek Fázissorrend Hárofázisú teljesítény Az előadáson elhangzottak szerint Összeállította: Kádár stván 0 deceber 36

37 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye Ellenőrző kérdések Hogyan állítható elő időben szinusz függvény szerint változó feszültség forgási indukcióval? Hogyan állítható elő időben szinusz függvény szerint változó feszültség nyugali indukcióval? 3 Mi a frekvencia, a periódusidő és a körfrekvencia fogala, a pólusszá értelezése? 4 Melyek a váltakozó áraú ennyiségek legfontosabb jellezői? 5 Mi a kezdeti fázisszög, a frekvencia, a körfrekvencia, az effektív- és csúcsérték? 6 Értelezze az időben szinusz függvény szerint változó ennyiségek fázisviszonyait, a fázisbeli sietést, késést 7 A szinuszosan váltakozó feszültségre kapcsolt ellenállás, induktivitás és kondenzátor áraa és teljesíténye, a reaktancia fogala 8 Soros és párhuzaos -, - és -- körök szinuszos váltakozó áraú táplálása, az ipedancia fogala 9 Mi a soros és a párhuzaos rezonancia, a rezgőkör, a rezonancia frekvencia? 0 Síkvektorok alkalazása szinuszosan váltakozó áraú ennyiségek leírására Síkvektorral ábrázolt, időben szinuszosan váltakozó ennyiségek kifejezése koplex száokkal dőben szinuszosan váltakozó ennyiségek ábrázolása koplex síkon 3 Koplex ipedancia, koplex teljesítény 4 Soros és párhuzaos -, - és -- kör ennyiségeinek és paraétereinek száítása koplex száokkal, ábrázolásuk és értelezésük a koplex síkon 5 Mi a fázisjavítás (eddőkopenzálás) célja? 6 Többfázisú feszültségrendszerek előállítása 7 Szietrikus hárofázisú feszültségek és fogyasztók kapcsolása, vonali- és fázisennyiségek 8 A fázissorrend értelezése, a hárofázisú teljesítény száítása 37

38 VVEA00 Elektrotechnika 0 Példák, feladatok Az ábrán látható kapcsolásban szereplő feszültségérő űszerek effektív értéket érnek Mindháro voltérő 00 V-ot utat A tápfrekvencia f=50 Hz, az ellenállás értéke =0 Ω Száítsa ki az áraot, az feszültséget, az induktivitást, kapacitást, az eredő S, P, Q teljesítényeket és a teljesíténytényezőt (cos) ajzolja fel az árakör fázorábráját V V V j = { =0 A, =00 V, =3,84 H, =38,47 µf, S= kva, P= kw, Q=0, cos=} Az ábrán látható árakört =30 V feszültségű (effektív érték), f=50 Hz frekvenciájú forrásról tápláljuk Az effektív értéket érő két űszer =00 V-ot illetve =0,5 A-t utat Száítsa ki az ellenállást, az induktivitás értékét és feszültségét, az eredő S, P, Q teljesítényeket és a teljesíténytényezőt (cos) ajzolja fel az árakör fázorábráját V A j {=00 Ω, =,39 H, =07, V, S=5 VA, P=50 W, Q=03,56 VAr, cos=0,43479} 3 Az ábrán látható árakörben =0 Ω, =75 Ω, =60 µf, a tápfrekvencia f=50 Hz, a kondenzátor ágban lévő, effektív értéket érő aperérő = A utat Száítsa ki az eredő áraot, az tápfeszültséget és a fázisszöget, rajzolja fel az ára és feszültség vektorábrát = A c {=-j,447 A (,449 A), =0-j0,47 V (,89 V), =45,87 (kap)} j 38

39 V Egyszerű váltakozó áraú körök áraa, feszültsége, teljesíténye 4 Az ábrán látható soros - kört =30 V eff feszültségről tápláljuk Ha a tápfrekvencia f =45 Hz, A az effektív értéket érő aperérő =4 A-t, f =9 Hz esetén = A-t utat Száítsa ki az ellenállás és az induktivitás értékét, valaint az ellenálláson és az induktivitáson lévő feszültséget f és f esetén {=9,78 Ω, =0, H, =39, V, =9,56 V, =6,95 V, =8,7 V } 5 Az ábrán látható árakörben a tápfeszültség =00 V (effektív), a frekvencia f=50 Hz, az induktivitás értéke =00 H, a kondenzátor feszültségét (effektív értéket) érő űszer =9, V-ot utat, az aperérő pedig =4 A-t (effektív) Száítsa ki az ellenállás és az induktivitás feszültségét, az ellenállás, a kondenzátor értékét, a P hatásos-, a Q eddőés az S látszólagos teljesítényt, a cos-t ajzolja fel feszültség és az ipedancia fázorábrát { = 0 V, = 5, V, =30 Ω, =39,68 µf, P=480 W, Q=640 VAr, S=800 VA, cos=06} j 6 Az ábrán látható árakörben az ára effektív V értékét érő űszer =,5 A-t utat, a teljesíténytényező cos=0,4 induktív, a frekvencia f=50 Hz, az ellenállás =30 Ω, az induktivitás A =350 H Száítsa ki az ellenállás és az induktivitás V áraát, az tápfeszültséget, az induktivitás feszültségét, a kondenzátor feszültségét és kapacitását, az S látszólagos-, a P hatásos- és a Q eddő teljesítényt ajzolja fel feszültség és az adittancia fázorábrát { = A, =,9 A, =30 V, = 5,9 V, =,9 V, =333 µf, S=575 VA, P=30 W, Q=56,7 VAr} j V V A jx Z -jx V -jx 39