A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA

Geomatiai Közleméye XVI, 03 A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA Tóth Gyula, Fácsié Hamar Éva Fast computatio of trucatio coefficiets for the exteded Stoes fuctio Recet high degree geopotetial models ad certai computatioal procedures i physical geodesy require the evaluatio of itegrals (trucatio coefficiets) that are products of high degree Legedre poliomials (or fuctios) with various erels over a give domai. The oscillatig character of itegrads (several thousad zeros) maes it difficult to evaluate such itegrals. A highly accurate quadrature has bee developed for fast computatio of these itegrals based o the Glaser-Liu- Rohli root fidig algorithm ad Gauss-Lobatto quadrature betwee the roots. Our algorithm has successfully bee applied to elimiate the istability of the recursive computatio by M.K. Paul for high degrees. Keywords: trucatio coefficiets, Legedre fuctios, Glaser-Liu-Rohli root fidig algorithm, Gauss-Lobatto quadrature A fiziai geodéziába alalmazott több számítási eljárás, illetve a legújabb agy foszámú geopoteciális modelle megívájá ülöböző magfüggvéye magas foszámú Legedrepoliomoal illetve -függvéyeel vett szorzatai adott tartomáyra voatozó itegráljaia (a csoítási együtthatóa) a meghatározását. Ezee az itegráloa a iszámítása ehézségeel jár az itegradus oszcilláló jellege (többezer zérushely) miatt. A Glaser Liu Rohli gyöereső algoritmus alapjá a gyöhelye özött Gauss Lobatto-itegrálást végezve, agy potosságú umerius vadratúrát dolgoztu i az itegrálo hatéoy számítására. Az algoritmusuat sierese alalmaztu az M.K. Paul által idolgozott reurzív számítási eljárásba a magas foszámo jeletező istabilitás iüszöbölésére. Kulcsszava: csoítási együttható, Legedre-függvéye, Glaser Liu Rohli gyöereső algoritmus, Gauss Lobatto-itegrálás Bevezetés A fiziai geodéziába agy jeletőségü va azoa az itegráloa, amelye a ehézségi erőtér ülöböző paraméterei özött teremtee apcsolatot. A legjellemzőbb példa erre a Stoes-féle itegrál, amellyel geoidmagasságoat tudu számítai mért ehézségi redelleessége segítségével. Ee alapjá valamely területe a geoid ismeretébe GNSS (Globális műholdas avigációs redszer) méréseiből tegerszit feletti magasságoat is számíthatu. Az Eötvös-itegrálo az Eötvös-iga méréseiből ehézségi redelleessége és geoiduduláció, vagy éppe függőleges (vertiális) gradiese iszámítására haszálható fel (Tóth 003, Tóth et al. 006). Eze itegrálo egyi özös jellemzője az, hogy az itegrálás tartomáya a teljes földfelszí. A gyaorlatba ez azt jeleti, hogy a számítási pothoz özeli terület (belső zóa) hatását umerius itegrálással állítju elő, a távolabbi területeről származó részt (ülső zóa) viszot valamilye geopoteciális modellből határozzu meg. A távolabbi területe hatásáa iszámításához fel ell haszálu az ú. csoítási együtthatóat, amelye az itegrálba szereplő magfüggvéye a Legedre-poliomoal vagy Legedre-függvéyeel vett szorzatitegráljai a ülső zóára. Értelemszerűe a csoítási együtthatóat a felhaszált geopoteciális modell maximális foszámáig ell ismerü. A legújabb EGM008-as geopoteciális modell maximális foszáma 60/90 (Pavlis et al. 0). A célu tehát az, hogy a számura szüséges itegrálohoz tartozó csoítási együtthatóat gyorsa, megbízhatóa i tudju számítai több ezres vagy aár tízezres foszámig. * BME Általáos és Felsőgeodézia Tsz, Budapest, Műegyetem rp. 3. E-mail: gtoth@agt.bme.hu ** Duaújvárosi Főisola Iformatia Itézet, 40Duaújváros, Tácsics M. u. /A. E-mail: fhamare@mail.duf.hu

TÓTH GY, FÁNCSIKNÉ HAMAR É A szairodalomba főleg a Stoes-féle itegrálhoz tartozó csoítási együttható számításával találozhatu, amelybe a Stoes-féle magfüggvéy szerepel (Paul 973), illetve Paul (983) az ú. ibővített Stoes-féle itegrálhoz ill. magfüggvéyhez tartozó csoítási együttható számítására dolgozott i eljárást. Erre abba az esetbe va szüségü, ha az azoos poteciálértéű valódi és ormál szitfelülete távolságát a Stoes-féle itegráltól eltérőe em a tegerszite, haem a tegerszit felett h magasságba íváju meghatározi. Az említett eljáráso az együttható reurzív számításá alapula, és ezért ige öyű számítógépes algoritmust íri a feladatra. Kézefevő lee tehát egyszerűe a Paul (983) által adott számítási eljárást felhaszáli a csoítási együttható magas foszámáig ( = 0000). Ez azoba ehézségebe ütözi, mert azt tapasztaltu, hogy a számítás már = 500-tól hibás eredméyeet szolgáltatott, amit a ésőbbiebe be is fogu mutati. Maga Paul (983) em elleőrizte az együttható számítását az = 00-ál magasabb foszámra. Chuadig et al. (998) pedig átvette Paul (983) számítási eljárásáa léyegét, de ő sem elleőrizte azoat = 500-ál magasabb foszám esetébe. Ciübe egy olya új eljárást ismeretü, amelye segítségével ige agy foszámig potos számítás végezhető a szüséges csoítási együtthatóra, méghozzá tetszőleges magfüggvéy esetébe. Az eljárásu legfotosabb része egy olya umerius vadratúra, amellyel bármelyi csoítási együttható az foszámával csupá lieárisa övevő O() számítási időbe a szüséges potossággal iszámítható. Ezzel a vadratúrával a szüséges legmagasabb foszámú együttható meghatározható, amelye ezdőértéét szolgála a többi együttható megoldására felírható ihomogé reurzióból származó háromátlós egyeletredszer számára. Eze utá az összes isebb foszámú csoítási együttható a felírt háromátlós egyeletredszer megoldásával gyorsa előállítható. Először rövide átteitjü a ibővített Stoes-féle függvéyből származó csoítási együttható Paul (983) által idolgozott reurzív számítási eljárását, majd demostrálju, hogy miért váli istabillá Paul (983) eljárása magasabb foszámú csoítási együttható esetébe. Ezutá ismertetjü az általu idolgozott umerius vadratúrát, amely Glaser et al. (007) eljárását haszálja a Legedre-poliomo (vagy függvéye) gyöhelyeie megeresésére, valamit a szüséges függvéyértée számítására. A övetező részbe azoat a vizsgálatoat tárgyalju, amelyeet elvégeztü a vadratúra potosságáa becslésére. Végül rámutatu arra, hogy milye további területee lehetséges a számítási eljárásu alalmazása. A ibővített Stoes-féle függvéy csoítási együtthatóia számítása Paul (983) módszerével Amit már említettü, a ibővített Stoes-féle itegrálra abba az esetbe va szüségü, ha az azoos poteciálértéű valódi és ormál szitfelülete távolságát em a tegerszite, haem a tegerszit felett h magasságba íváju meghatározi. Ebbe az itegrálba a számítási és adatpot ψ gömbi szögtávolságától függő ibővített Stoes-féle függvéy szerepel: σ σx+ L S( σ, x) = σ 5σ x+ 3σL 3σ x l, () L ahol L ( σ, x) = σx + σ, x = cosψ, σ = R /( R + h) és R valamilye özepes földsugár érté (pl. 637 m). Az. ábra bemutatja ezt a függvéyt három ülöböző σ (h) számítási magasságba. A ibővített Stoes-féle függvéyhez tartozó csoítási együttható számítására Paul (983) adott eljárást. Mivel a Stoes-féle itegrál ibővített alaja magába foglalja az eredeti itegrált is, így elég ezzel az itegrállal foglalozu. Geomatiai Közleméye XVI, 03

A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA 3. ábra. A ibővített Stoes-féle függvéy ábrája három ülöböző σ(h) számítási magasságba A ibővített Stoes-féle függvéy csoítási együtthatóit az alábbi itegráloal defiiálju: t = 0 0 ) S( σ, x) P ( x) Q ( σ, t dx, =, 3,... () ahol t 0= cosψ 0 és ψ 0 a csoítási sugár, vagyis a gömbi sapa alaú belső zóa határához tartozó gömbi szögtávolság és P (x) -ed foú Legedre-poliom. Paul (983) számítási eljárása azo alapul, hogy a () ifejezésbe beírju a ibővített Stoes-féle függvéyt () és tagoét itegrálu az x változó szerit. Így Q számítása sorredbe az alábbi rész-itegrálo számítására bomli szét: Q = σ I ( t0) 5σ J ( t0) + σ A 3σ D 3σ E, (3) ahol I, J, A, D, E a megfelelő rész-itegráloat jelöli. Ezutá midegyi rész-itegrál iszámításához Paul (983) reurzív eljárást és iiduló értéeet ad, amelyeel a övevő foszámo iráyába elvileg tetszőleges foszámig eze meghatározható, és segítségüel Q σ, t ) számítása is megoldható a (3) ifejezésből. (Megjegyezzü, hogy Paul (983) ciébe az E -re özölt (38 ) ifejezés harmadi tagja hibás, mert hiáyzi egy 9-es osztó; eze ívül a D és E értée is A -től függe.) A Paul (983) által özölt reurziós összefüggéseet fogju haszáli a (3) egyeletbe szereplő összes rész-itegrál gyors iszámítására, az A -e ivételével. Magasabb foszámora vizsgálva az algoritmust ugyais az látható, hogy A számításával problémá vaa (. ábra). Ee az a jeletősége, hogy ha em tudju potosa iszámítai az A együtthatóat, aor a (3) éplet is hibás eredméyt fog adi. A övetezőbe részletese megvizsgálju ezt a érdést és megmutatju, hogy -él isebb σ értéere az eljárás miért váli szüségszerűe istabillá ellőe magas foszám esetébe. ( 0 Geomatiai Közleméye XVI, 03

4 TÓTH GY, FÁNCSIKNÉ HAMAR É. ábra. Az A együttható Paul (983)-féle reurziós számításáa magasabb foszámo jeletező istabilitása a σ = 0,95 és σ = 0,96 paraméter értéere. A reurzióval számított értée = 600 illetve = 750 utá yilvávalóa rossza 3 A reurzív számításáa stabilitásvizsgálata A özölt reurziós számítási összefüggés (Paul 983) az alábbi módo teremt apcsolatot három egymás utá övetező foszámú A, A és A + együttható özött: ahol A + (+ σ ) A I( t0) L + 3 = A+ ( σ, 0), (4) σ t t I ( t0 ) P( x) dx, ( σ, t0) = = 0 P ( x) A dx. (5a, b), x) t0 L( σ A lieáris differeciaegyeletere voatozóa ige evés magyar yelvű szairodalom áll redelezésre, ezért a övetezőbe tömöre átteitjü a szüséges alapfogalmaat Wimp (984) és Elaydi (005) yomá. Az érdelődő olvasó magyar yelve Bege (005) és Rózsa (974) műveibe találhat további részleteet. Valamely m-edredű (m ) ihomogé lieáris differeciaegyelet m i= 0 A( ) y( + i) = f( ) (6) i az alábbi ezdeti feltételeet ielégítő egyértelmű megoldással redelezi bármely α 0, α,, α -, álladó és tetszőleges j 0 egész eseté: y( j+ m) = α, 0 i m. (7) A (6)-a megfelelő homogé (zérus jobboldalú) differeciaegyelet lieárisa függetle megoldá- ( ) saia { y h ( )}, h m halmazát alapmegoldása evezzü és a homogé redszer bármelyi Geomatiai Közleméye XVI, 03

A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA 5 megoldása ifejezhető eze lieáris ombiációjaét. Egy ilye alapredszert például így adhatu meg: ( h) y ( ) h, =δ, 0 m, h m, (8) ahol δi, j a Kroecer-féle delta. A (6) ihomogé egyelet bármelyi y() megoldása ifejezhető az alapmegoldás elemeie lieáris ombiációja és (6) valamey p() partiuláris megoldása összegeét. Az általu vizsgált (4) reurzió is (6) alaú, másodfoú ( = ) ihomogé lieáris differeciaegyelet, amelyet az alábbi mátrixos alaba írhatu át (Wimp 984): ahol esetébe Legye most + + σ + 3 A A ( ) = σ, y ( ) =, 0 A+ ( σ, t0) y ( ) + A( ) y( + ) = f ( ), (9) () () [ y ( ) y ( ) ] + L I ( t 0 ) f ( ) = σ. (0) 0 Y ( ) = () a (9) egyelethez tartozó homogé egyelet (8) alapmegoldásaiból álló ú. alapmátrix (Casorati- () () mátrix), ahol y ( ) és y ( ) a ét alapmegoldás, valamit w () a (6) reurzió számítai ívát egzat megoldása, továbbá jelöljö valamilye alalmas vetor ormát. Az w( ) α ( ) : = supα (, ) = sup Y ( ) Y ( ) () > > w( ) stabilitási idex megmutatja mid a homogé, mid az ihomogé reurzió stabilitását, az α (, ) pedig azt, hogy a reurzió foszámál jeletező relatív hibája hogya viszoyul a foszámál levő ezdeti relatív hibához. Ee az összefüggése a levezetését lásd Wimp (984, 6-7. o.). Ha α () <, aor a (6) reurzió stabil w() előretartó számítására a potba. A miet érdelő esetbe a () alapmátrixot a = 0 értéhez tartozó Y (0) alapmátrixból vezethetjü le. Legye az Y (0) alapmátrix egységmátrix, tehát ez a ét (8) szeriti alapmegoldás, vagyis () T y (0) = [ 0] és () T () y (0) = [0 ] oszlopvetoraiból áll. A homogé redszer ( ) y és () () () y ( ) alapmegoldásait levezettü az y (0) és y (0) -ból a reurzió számítógépes algebrai redszerrel törtéő megoldásával, a apott megoldásoat elleőriztü, és azt találtu, hogy midegyi ielégíti a (6)-a megfelelő homogé differeciaegyeletet. Az így apott alapmátrix > - re + P ( ) ( ) / σ σ / σ σ t P t ( )( σ ) ( )( σ ) Y ( ) = = + +, (3) P ( t) P ( t) / σ σ / σ σ + + ( + )( σ ) ( + )( σ ) ahol t = (+ σ ) / σ. Az Y() mátrix másodi alaja agyobb foszámo ( > 50) esetébe umeriusa edvezőbb tulajdoságú, így a továbbiaba ezt haszáltu. Geomatiai Közleméye XVI, 03

6 TÓTH GY, FÁNCSIKNÉ HAMAR É Az A együttható számítása apcsá meghatároztu a log 0 α (0, ) meyisége alaulását ét ülöböző t 0 csoítási sugárra a σ(h) számítási magasság és az foszám függvéyébe (. ábra). Ez a meyiség a reurzív számítás sorá az adott foszámig elvesző értées decimális számjegye számát mutatja. Az ábráról jól látszi az, hogy σ = 0, 96 paraméter értére (amie h = 65 m magasság agyjából a GOCE mesterséges hold pályamagassága felel meg) a számítás sorá a vizsgált csoítási sugár értéere és = 750 foszámra már az összes IEEE 754 szabváy szeriti duplapotos (6) számjegy elvész, az eredméy egyetle értées jegyet sem tartalmaz. Ez az érté jó összhagba va azzal, amit a 3. ábrá láthatu. Azt is megállapíthatju, hogy a potosságromlás evésbé függ a választott csoítási sugártól, soal iább a számítási magasság függvéye. A vizsgálatu szerit az alapfelülethez (geoidhoz) özeli potoba a számítás léyegébe stabila teithető, viszot jeletősebb magasságba az előretartó reurziós számítás teljese haszálhatatlaá váli. Azt godolhatá, hogy visszafelé (azaz csöeő -e iráyába) haladva a reurzió szüségszerűe stabillá váli. Amos és Burgmeier (973) azoba megállapítja, hogy bizoyos esetebe sem az előretartó, sem a visszafelé haladó reurzió em stabil. Ebbe az esetbe a megoldást peremérté-feladat megoldásával határozhatju meg. Rózsa (974) a 464. oldalo tárgyalja a másodredű lieáris differeciaegyeletere voatozó peremértéfeladatot és a megoldadó háromátlós (otiuás) egyeletredszert. Ezt az eljárást fogju mi is öveti, mert a vizsgálatai szerit az A együttható számítása umeriusa egyi iráyba sem stabil. Teitsü tehát a (4) másodredű ihomogé lieáris differeciaegyeletet. Ezt megfelelő együtthatóal az a y+ + b y+ c y = d alaba írhatju fel, ahol y a differeciaegyelet eresett megoldása. Legyee az y0 és y N ismert értée. Rózsa (974) és Gautschi (967) yomá a másodredű egyeletet felírhatju valamely adott N foszámig lieáris algebrai egyeletredszerét, amelye együttható mátrixa otiuás: b a 0 0 0 y c y0d c b a 0 0 y d =. (4) 0 0 cn bn an yn dn 0 0 0 cn bn yn an yn dn A megoldáshoz yilvá szüségü va az y0 és y N ezdőértée ismeretére. Az y N ezdőérté esetübe az (5b) ifejezéssel adott A N rész-itegrál. Ee többezres N foszámra törtéő előállítására célszerűe alalmazható az a vadratúra eljárás, amelyet a övetező részbe ismertetü. A vizsgálatai szerit tízezres foszámig a peremérté-feladatból a (4) egyeletredszer megoldásával apott A együttható dupla potosságig számszerűe egyeze a vadratúrából számított értéeel. Ez az eljárás természetese em csa az összes A rész-itegrál, haem a Q csoítási együttható számításához is megfelelő. Viszot a számítási idő csöetése érdeébe előybe részesítjü majd a Q σ, t ) -e meghatározása sorá a Paul (983) által özölt reurziós ( 0 összefüggéseet, és a modotta szerit csa az A rész-itegrálo stabil számítását végezzü el a peremérté-feladatból származó (4) lieáris egyeletredszer megoldásával. 4 Numerius vadratúra a csoítási itegrálo számításához A ibővített Stoes-féle függvéy () összefüggéssel adott csoítási együtthatóia számítása a [-, t 0 ] tartomáyba olya függvéy itegrálását jeleti, amely ebbe a tartomáyba aár többezer zérushellyel is redelezhet. Ehhez hasoló itegrálo adóda számos matematiai és fiziai problémába, és a szairodalomba többféle eljárást találu eze iszámítására (Milovaović 998, Geomatiai Közleméye XVI, 03

A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA 7 Keller és Woźy 00). Eze a módszere ét fő csoportba sorolható. Az egyibe az itegradusba szereplő foszámmal jellemzett függvéye sajátos összefüggéseit haszosítjá a vadratúra számszerű megoldása sorá. A másiba a umerius itegrálás általáos eljárásaia az 3. ábra. Az A együttható számítása sorá adott foszámig elvesző értées számjegye száma itegradus sajátos szerezetéhez igazított változatait alalmazzá. Ez utóbbi módszer esetébe az egyi járható út az, hogy az itegradus zérushelyei özött itegrálu. Mi is ezt az egyszerűbb módszert haszálju a csoítási itegrál tetszőleges foszámhoz tartozó értéée számszerű előállításához. Általáosságba elmodhatju, hogy ha az itegradus zérushelyei az [a, b] tartomáyba az x potoba vaa ( =,,..., ), ahol a x < x < x b, aor mide egyes [x, x + ] részitervallumba valamilye megfelelő vadratúra szabállyal iszámíthatju az itegrált, és a teljes itegrált eze összegeét állíthatju elő. Erre a célra a Lobatto-szabály a Gauss Legedreszabályál jobba tűi, mivel ez a szabály az itegrálási itervallumo végpotjaiba felvett függvéyértéeet (ez esetübe zérus) is felhaszálja, így agyobb potosságot érhetü el vele (Krommer és Überhuber 998). A () csoítási együttható számításához a modotta alapjá a P (x) Legedre-poliomo zérushelyei özötti Lobatto-szabály szeriti itegrálást választottu. A umerius aalízisbe gyara szüséges a Legedre-poliomo gyöeie számítása a Gauss-szabály szeriti vadratúra osztópotjaia meghatározásához (Glaser et al. 007). Magas foszámú Legedre-poliomo esetébe hatéoy gyöereső algoritmussal a umerius itegráláshoz szüséges számítási idő agymértébe lecsöethető. Erre a célra dolgoztá i Glaser et al. (007) a gyöereső algoritmusuat, amely a orábba ismert eljárásoal szembe a Legedrepoliomo foszámával em égyzetese, azaz O( ), haem egyees aráyba övevő O() számítási időbe épes meghatározi egy adott P (x) Legedre-poliom összes gyöét. Ez az eljárás aor váli fotossá, ha magasabb poliom foszámra ell meghatározu számszerűe az öszszes gyö értéét. Ee az eljárása további, számura fotos sajátossága az, hogy a számítás sorá mide esetbe előállítja a Taylor-sorát az éppe iszámított gyöhely özelébe. Ez a Taylor-sor a gyöereséssel párhuzamosa felhaszálható az [x, x + ] részitervallum Lobatto-szabály szeriti osztópotjaiba a Legedre-poliom függvéyértéeie számításához, így rögtö az adott részitervallumra vett itegrál is számszerűe meghatározható. Geomatiai Közleméye XVI, 03

8 TÓTH GY, FÁNCSIKNÉ HAMAR É A övetező részbe rövide átteitjü Glaser et al. 007 gyöereső eljárását. Ez az eljárás ugya általáosabb érvéyű, és többfajta függvéy (pl. Bessel-függvéye, Hermite- és Laguerrepoliomo gyöereséshez is haszálható) de most csupá a számura érdees Legedrepoliomora voatozó változatával foglalozu. 4. Glaser, Liu és Rohli gyöeresési eljárása Legedre-poliomora Rövide összefoglalva, a Glaser et al. 007 algoritmus a övetező lépéseből áll:. az első potos gyöhely meghatározása. a övetező potos gyöhely meghatározása (-szer ismételve): a) övetező gyöhely özelítése b) m-edredű Taylor-sor számítása a potos gyöhelye c) potos gyöhely eresése Newto-Raphso módszerrel Mivel az első potos gyöhely meghatározása (az ) lépés) speciális esete )-e, ezért először az algoritmus másodi lépésével foglalozu. A özelítő gyöhely meghatározása azo alapul, hogy a Legedre-poliomo ülööse magasabb foszám eseté ét egymást övető x és x + gyöhelyü özött valamilye p örfreveciájú P ( x) a si( px) trigoometrius függvéyel helyettesíthető. Ezt a ifejezést háromszor deriválva, P 3 ( x) apcos( px), ( x) ap si( px), ( x) ap cos( px) (5) P apju és az xi gyöhelye (ahol P ( x i ) = 0 ) a p örfrevecia iszámítható: A övetező x + gyöhely x + özelítése (4. ábra) P P ( x ) p = P (. (6) x ) π x + = x +. (7) p A Newto-Raphso gyöereséshez mid a függvéyértée mid az első deriválta számítására szüség va, ezért fel ell íri a Legedre-poliomo és első deriváltjai m-ed redű Taylor-sorait a potos x gyöhelye P ( x ) P ( x) ) j! m ( j) x ( x j, (8) j= 0 m ( j) P ( x ) j P ( x) ( x x ). (9) j= ( j )! Geomatiai Közleméye XVI, 03

A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA 9 4. ábra. A Legedre-poliomo özelítő gyöhelyée meghatározása A szüséges deriválta számítása m-ed redig a potos x gyöhelye ismert 0. és. redű deriváltaból törtéi, az alábbi reurziós összefüggéssel (Glaser et al. 007): ( j+ ) ( j+ ) ( x ) P ( x ) = ( j+ ) x P ( x ) [ ( + ) j( j+ )] P ( j) ( x ). (0) A Taylor-sorfejtés m maximális redje umeriusa határozható meg. Az eredméyehez duplapotos számítás esetébe Glaser et al. (007) szerit m = 30 elegedő potosságot yújt. A övetező potos gyöhely megeresése a jól ismert Newto-Raphso módszerrel törtéi, az alábbi összefüggés szerit (5. ábra) P( xi) xi+ = xi, () P ( x) ahol x i, x i+ a gyöhely ét egymás utái özelítése. A tapasztalatai szerit a umerius gyöereséshez 0-0 potossággal átlagosa csa 4 iteráció szüséges. A Legedre-poliom Taylor-sorát a gyöeresés utá felhaszálju az [x, x + ] részitervallum Lobatto-szabály szeriti osztópotjaiba a poliom függvéyértéeie számításához. Így rögtö az adott részitervallumra vett itegrál is számszerűe meghatározható. Az első potos gyöhely számítása a fetiehez hasolóa törtéi. Eltérés csa abba va, hogy páros ill. páratla foszám esetébe az x = 0 potba a poliom deriváltja ill. a poliom maga vesz fel zérus értéet. Eze ívül a páros ill. páratla foszámú Legedre-poliomo az origóba osziusz ill. sziusz függvéyeel özelíthető. Ebből övetezi az, hogy páros foszámú poliom eseté em a (3)-as összefüggés érvéyes, haem helyette eggyel alacsoyabb redű deriváltaal ell számítai a p örfreveciát. Páros és páratla foszám eseté tehát i P (0) p =, illetve P (0) P + (0) p =. (a, b) P (0) + Az x = 0 potba a Taylor-sorhoz szüséges magasabb deriváltaat a (0)-es ifejezés értelemszerű alalmazása szolgáltatja. Geomatiai Közleméye XVI, 03

0 TÓTH GY, FÁNCSIKNÉ HAMAR É 5. ábra. A Legedre-poliomo gyöhelyée meghatározása Newto-Raphso módszerrel 5 Számszerű vizsgálato A umerius itegrálás potosságvizsgálata teitetébe az egyi lehetőség a ibővített Stoes-féle függvéyre voatozó + Q ( σ,) = S( σ, x) P ( x) dx = σ, =, 3,... (3) ismert összefüggés alalmazása (Chuadig et al. 998). Ez esetbe a számítható csoítási együttható maximális foszáma a gyaorlatba a σ + téyező miatt orlátozott a duplapotos aritmetiával még ábrázolható legisebb szám miatt (IEEE 754 szabváy szerit ez b., 0-308 ). A umerius itegrálással iszámított együttható eltérése a (3) összefüggéssel meghatározható elleőrző értéetől az elvégzett vizsgálatai szerit osztópotos vadratúrával megfelel a számábrázolás potosságáa. Viszot isebb foszám mellett szüséges lehet az osztópoto számáa övelése. A feti megállapításo a ψ 0 = 0 csoítási sugár eseté érvéyese. Ettől eltérő csoítási sugarat felvéve már em tudju zárt alaba iszámítai a csoítási együtthatóat. Ellebe azt meg tudju vizsgáli, hogy a Gauss Lobatto osztópoto számát változtatva meyit változi a iszámított érté. Ameyibe ez a változás megfelel a duplapotos számábrázolás potosságáa, aor az eredméyt elfogadhatóa teithetjü. A csoítási sugár és a csoítási együttható foszámáa függvéyébe vizsgáltu az együttható számításához szüséges Gauss Lobatto osztópoto számát. A részleteet mellőzve azt modhatju, hogy általába elegedő volt osztópot felvétele, de alacsoy foszám és isebb csoítási sugár mellett szüséges volt megöveli az osztópoto számát. Ugyaez modható el a σ paraméter értéée öveléséről. Megjegyezzü, hogy a Gauss Lobatto poto számáa övelése (-ről 40-re) csupá mitegy 5-0%-al övelte a csoítási együttható számítási idejét. A Taylor-sor maximális m foszámát változtatva azt tapasztaltu, hogy a javasolt m = 30 valóba még az = 0000 foszámú együttható számításához is elegedő potosságot yújt. A Taylorsor m foszámát 5-re csöetve a relatív potosság még midig,5% alatt maradt, és az értéét csöetve ez csa tovább javult (pl. = 00 eseté,3 0-4 ). A. potba tárgyalt, az I, J, A, D, E rész-itegrálo Paul (983)-féle reurziós számításá alapuló eljárás potosságát is megvizsgáltu. Természetese a 3. potba modotta szerit Geomatiai Közleméye XVI, 03

A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA az A együtthatóat em Paul eljárásával, haem a (4) otiuás mátrixú egyeletredszer segítségével állítottu elő. Kiszámítottu mide vizsgált foszámra a (3) összefüggés bal oldalát az ismertetett umerius vadratúrával, és a jobb oldalt Paul (983) I, J, D, E rész-itegrálora voatozó reurziós eljárásával. Az így yert ét értéet összevetettü egymással. Az. táblázatba látható abszolút hibá azt mutatjá, hogy az alacsoy foszámú együttható ( < 0) ivételével a reurzív úto illetve umerius itegrálással iszámított eredméy összhagja megfelel a duplapotos számábrázolás potosságáa. Amit láttu, az elérhető potosság több téyezőtől is függ, a számura szüséges orét esetebe ezért midig taácsos a számítás potosságát a számítadó legisebb csoítási sugarat, a legagyobb σ paraméter értéet, valamit a legisebb foszámot teitetbe véve megvizsgáli, és ez alapjá megállapítai a Gauss Lobatto poto számát.. táblázat. Reurzív úto illetve umerius itegrálással apott csoítási együttható valamit eltérései ülöböző foszámo és ψ 0 = 0 -os csoítási sugár eseté (σ = 0,95) foszám reurzióval umerius itegrálással eltérés 0 0,079047468835 0,079047408990553 7,84 0-0 0,046583768883698 0,046583768883655 4,34 0-6 50 0,035675967885 0,03567596789 7, 0-7 500 0,00036057090058494 0,00036057090058837,46 0-6 000 0,0007580836739 0,0007580836469,5 0-6 0000 3,5596708307893 0-6 3,55967088974 0-6,98 0-6 A csoítási együttható vadratúrával törtéő iszámításáa ideje az elvégzett vizsgálatai szerit (ahogya várható volt) egyeese aráyos az együttható foszámával. Ezt mutatja a 6. ábra. Az általu javasolt reurziós számítással az összes együttható iszámítása valamely maximális foszámig az ábrá látható -hez tartozó időél csupá b. 30%-al több időt igéyel. Az ábrá az is látható, hogy a Taylor-sor foszámáa övelése milye mértébe befolyásolta a számítás idejét. 6 Összefoglalás A jele taulmáyba ismertetett számítási eljárás lehetőséget biztosít a ibővített Stoes-féle függvéy csoítási együtthatóia potos és stabil számításához egésze magas foszámig ( = 0000). A cibe hatéoy eljárást javasoltu erre a számításra. Kimutattu, hogy a Paul (983)-féle reurzív számítási eljárás azért váli istabillá a paramétere megválasztásától függő (többyire éháyszor száz) foszámra, mert a számításhoz szüséges A rész-együttható számítása potatla. Ezee a rész-együtthatóa a számításához idolgoztu egy otiuás mátrixú lieáris egyeletredszer megoldásá alapuló eljárást, amelyhez a peremértéet magas foszámú Legedrepoliomoal felírt vadratúra szolgáltatja. A ibővített Stoes-féle függvéy magas foszámú csoítási együtthatóia iszámításához idolgoztu egy olya umerius vadratúrát, amelye fotos része a Legedre-poliomo foszámával lieárisa övevő számítási idejű gyöereső algoritmus és a gyöhelyee felírt Taylorsorfejtése alalmazása a Legedre-poliomo számítására. Megvizsgáltu ülöböző csoítási sugár és foszám értéere a umerius vadratúra potosságát. A módszer a bemutatottál általáosabb esetbe is haszálható. Valamely adott függvéy ige magas foszámú Legedre-poliommal vett szorzatitegráljáa számítására is alalmas lehet tetszőleges alaptartomáyo. Ilye itegrálo, mit említettü, gyara előfordula a fiziai geodéziába. Geomatiai Közleméye XVI, 03

TÓTH GY, FÁNCSIKNÉ HAMAR É 6. ábra. A ibővített Stoes-féle függvéy csoítási együtthatóia számítási ideje m = 30 foszámú Taylor-sorral, osztópotos Gauss Lobatto umerius vadratúrával, σ = 0,7 és ψ 0 = 30 csoítási sugár eseté. Az R determiációs együttható azt mutatja, hogy a számítási idő jól öveti szaggatott voallal jelölt origó átmeő iegyelítő egyeest. A jobb alsó isebb ábrá a számítási idő látható a Taylor-sor m foszáma függvéyébe az = 0000 együtthatóra Mási lehetőségét utalu a Legedre-poliomo deriváltjaival vett szorzatitegrálo számítására tetszőleges tartomáyo. Bár a Glaser és máso (007) a gyöereső algoritmust elsősorba ortogoális poliomora, többe özött Legedre-poliomora dolgoztá i, de a poliomo deriváltjaia gyöeresésére is alalmas. Mivel bármely j-edredű hozzáredelt (asszociált) Legedrefüggvéy ifejezhető a megfelelő -edfoú Legedre-poliom j-edredű deriváltjával, így az eljárás felhaszálható eze gyöereséséhez is. Amior az Eötvös-iga mérési eredméyeit amelye a ehézségi erő deriváltjai, illetve eze ombiációi bevoju a fiziai geodézia peremértéfeladataiba, hasoló csoítási itegrálohoz jutu. Fotos példa a függőleges (vertiális) gradies meghatározása az Eötvös-igával mérhető vízszites gradiese felhaszálásával. Így a bemutatott számítási eljárás eze esetébe is jól alalmazható. A jövőbei utatásai céljai özött ez is szerepel. Köszöetyilváítás. Köszöjü bírálói, Bartha Gábor és Beede Judit értées javaslatait, amelye haszosa bizoyulta a ci javított változatáa elészítése sorá. A ci a K068 számú OTKA projet eretébe észült. Hivatozáso Amos DE, Burgmeier JW (973): Computatio with three-term, liear, ohomogeeous recursio relatios. SIAM Review, 5(), 335-35. Bege A (005): Differeciaegyelete. Kolozsvári Egyetemi Kiadó, Kolozsvár, 9. Chuadig Z, Zhoglia L, Xiaopig W (998): Trucatio error formulae for the disturbig gravity vector. Joural of Geod., 7, 9-3. Elaydi S (005): A Itroductio to Differece Equatios. 3rd Editio, Spriger, 539. Gautschi W (967): Computatioal aspects of three-term recurrece relatios. SIAM Review, 9(), 4-8. Glaser A, Liu X, Rohli V (007): A fast algorithm for the calculatio of the roots of special fuctios. SIAM Joural o Sci. Comp., 9(4), 40-438. Geomatiai Közleméye XVI, 03

A KIBŐVÍTETT STOKES-FÉLE FÜGGVÉNY CSONKÍTÁSI EGYÜTTHATÓINAK HATÉKONY SZÁMÍTÁSA 3 Keller P, Woźy P (00): O the covergece of methods for idefiite itegratio of oscillatory ad sigular fuctios. Applied Math. ad Comput. 6, 989-998. Krommer AR, Überhuber CW (998): Computatioal itegratio. SIAM, Philadelphia, 38. Milovaović GV (998): Numerical Calculatio of Itegrals Ivolvig Oscillatory ad Sigular Kerels ad Some Applicatios of Quadratures. Computers Math. Applic. 36(8), 9-39. Paul MK (973): A method of evaluatig the trucatio error coefficiets for geoidal height. Bull. Géod., 47, 43-45. Paul MK (983): Recurrece relatios for the trucatio error coefficiets for the exteded Stoes fuctio. Bull. Géod., 57, 5-66. Pavlis NK, Holmes SA, Keyo SC, Factor JK (0): The developmet ad evaluatio of the Earth Gravitatioal Model 008 (EGM008). Joural of Geophys. Res., 7, B04406, doi:0.09/0jb00896. Rózsa P (974): Lieáris algebra és alalmazásai. Műszai Köyviadó, 685. Tóth Gy (003): Az Eötvös geodéziai peremértéfeladat. Geomatiai Közleméye, 5, 63-74. Tóth Gy, Földváry L, Tziavos IN, Ádám J (006): Upward/Dowward Cotiuatio of Gravity Gradiets for Precise Geoid Determiatio. Acta Geod. Geoph. Hug., 40(), -30. Wimp J (984): Computatio with recurrece relatios. Pitma, Bosto, 336. Geomatiai Közleméye XVI, 03