1. oldal 17. Lieáris algebra 17.1 Vektorterek Defiíció: egy K test fölötti V vektortér egy olya struktúra, melybe V kommutatív csoport és az ú. skalárral szorzás, KVV, disztributív a K-beli összeadásra balról, a V-belire jobbról, továbbá a skalárral való szorzás és a K-beli szorzás felcserélhetõ mûveletek, végül a K egységével szorzás idetitás V-: (V1) VVV (V6) KVV (V2) uvwvuvwuvw (V7) KvVvv (V3) uvvuvvu (V8) KvVvvv (V4) 0VvVv00vv (V9) KuvVuvuv (V5) vvvvvvvv0 (V10) vv1vv Ebbõl már következik, hogy KvV 0 V 0 V 0 K v0 V és másféle szorzat em 0. Defiíció: a K feletti V vektortér v 1 v 2 v elemeiek 1 2 K együtthatókkal vett lieáris kombiációja k1 k v k. Defiíció: a K feletti V vektortér H véges vagy végtele részhalmaza lieárisa összefüggõ, ha található véges sok eleme, melyek valamely K feletti em triviális lieáris kombiációja (em mide együttható 0) a 0 vektor. Ha em lieárisa összefüggõ, akkor lieárisa függetle. Defiíció: egy V vektortér U részhalmaza altér, ha vektortér ugyaazo K test felett az örökölt mûveletekkel. Jelölése UV. Ez yilvá potosa akkor teljesül, ha U zárt a V feletti mûveletekre és em üres. (A mûveleti szabályok érvéyesek mide részhalmazba.) A 0 mide altérek eleme. Alterek metszete altér. Defiíció: a V vektortér X részhalmaza által feszített altér az a legszûkebb altér, amely tartalmazza X-et. Jelölése X. Ez létezik, hisze XUV U altér, tartalmazza X-et és yilvá a lehetõ legszûkebb, tehát éppe X. Állítás: X k1 k v k V k Kv k X, tehát azo V-beli elemek halmaza, melyek megkaphatóak X-beli elemek (persze véges sok) lieáris kombiációjakét. Defiíció: a V vektortér U alteréek X részhalmaza geerátorredszere, ha XU. A V vektortér végese geerált, ha va véges elemszámú geerátorredszere. 17.2 Vektortér bázisa, dimeziója. Mátrix ragja Defiíció: egy V vektortér egy B részhalmaza bázis, ha az alábbi ekvivales feltételek teljesülek rá: (1) B lieárisa függetle geerátorredszer, (2) B maximális függetle redszer, (3) B miimális geerátorredszer, (4) bármely eleme egyértelmûe áll elõ B-beli elemek lieáris kombiációjakét. Megjegyzés: a kiválasztási axiómával ekvivales, hogy mide vektortérbe va maximális függetle redszer, azaz mide vektortérek va bázisa. Megjegyzés: fotos tulajdosága bázisokak a következõ: ha adott egy X geerátor- és egy F függetle redszer egy vektortérbe és F X, akkor akár X, akár F megváltoztatható úgy, hogy tetszõleges olya elemét, mely em szerepel a másikba, elhagyjuk és pótoljuk a másik egy alkalmas elemével, továbbá a függetleség/geerálási tulajdoság em vész el. Egy ilye lépés sorá a metszet egy elemmel bõvül, azaz mohó algoritmussal át lehet lépteti õket tartalmazkodókká, az elemszám megváltoztatása élkül. (Ez végtele dimezióba is megy, csak traszfiit sokat kell lépi, így algoritmusok szempotjából ez em ayira fotos.) Ezzel a módszerrel jö ki az alábbi: Tétel: ha egy vektortérbe va k elemû lieárisa függetle redszer és l elemû geerátorredszer, akkor kl.
2. oldal Következméy: egy rögzített, végese geerált vektortérek em lehet tetszõlegese agy függetle redszere, azaz mideképp va köztük maximális. Azaz: végese geerált vektortérek va (véges) bázisa. Következméy: ha V-ek va elemû bázisa, akkor mide bázisa elemû. Ugyais mide függetle redszer legfeljebb és mide geerátorredszer legalább elemû, azaz mide bázis elemû. Defiíció: egy K feletti V vektortér dimeziója dim K V bázisáak elemszáma. Az eddigiek alapjá ha V végese geerált, akkor ez egyértelmû és véges. Állítás: (1) V vektortér tetszõleges lieárisa függetle redszere kiegészíthetõ bázissá és (2) tetszõleges geerátorredszere tartalmaz bázist. Defiíció: az MK k mátrix ragja (tétel: az alábbiak ugyaazt adják) a legagyobb olya r egész, melyre va rr-es em 0 aldetermiása (determiásrag), lieárisa függetle sorai maximális száma (sorrag), ill. lieárisa függetle oszlopai maximális száma (oszloprag). Jelölése rm. Direkt összeg, direkt szorzat defiíció: ; jellemzi: a téyezõk geerálak és a megfelelõ elõállítás egyértelmû; a dimeziók összeadódak, azaz dim ii V i ii dimv i. 17.3 Lieáris egyeletredszerek összes megoldása Állítás: ha az xa0 egyeletbõl álló, ismeretlees homogé egyeletredszerbe deta0, akkor va em triviális megoldása. Vegyük most egy lieáris egyeletredszert, melyek A mátrixa k-as és a ragja r. Legye A az az k1-es mátrix, melyet úgy kapuk, hogy A-hoz k1-edik oszlopkét hozzávesszük b 1 b -t. Eek az oszlopragja yilvá vagy r, vagy r1. Tétel: potosa akkor va megoldás, ha rara. Persze szereték megadi az összes megoldást. Legye modjuk az elsõ r sor és oszlop alkotta mátrix determiása 0-tól külöbözõ. Redezzük az elsõ r r k egyeletet j1 a ij x j b i jr1 a ij x j alakra. Válasszuk meg x r1 x k -t tetszõlegese. Az elsõ r egyeletek mide esetbe potosa egy megoldását kapjuk x 1 x r -re a Cramer-szabály szerit. Viszot potosa azok az x 1 x k számok elégítik ki az összes egyeletet, melyek az elsõ r-t kielégítik, mert az elsõ r sor geerálja A sorait, tehát ha az elsõ r egyelet teljesül, akkor mid teljesül. Így megadtuk az összes megoldást. Megjegyzés: x r1 x k -t szabad paraméterekek evezzük. 17.4 Lieáris leképezések Lieáris leképezés (lieáris homomorfizmus) Defiíció: VW mûvelettartó leképezés két, azoos test feletti vektortér között. Ha VW, akkor lieáris traszformációról beszélük. Magtere: KervVv0 W a 0 vektor õsképe, ez altér V-be. Képtere: ImvWvV, ez altér W-be. XX, speciálisa V geerátorredszeréek képe geerálja Im-t. Lieáris leképezések kompozíciója is az. Izomorfizmus: VW, ha kölcsööse egyértelmû és legalább az egyik iráyba mûvelettartó (ekkor már a másik iráyba is mûvelettartó lesz). Ekkor V és W izomorfak, VW. Egy lieáris leképezést potosa egy báziso kell megadi: ha V és W vektorterek K felett, B bázis V-be és BW tetszõleges, akkor egyértelmûe terjeszthetõ ki VW homomorfizmussá.
3. oldal A lieáris leképezések felett értelemszerûe defiiálhatóak a vektormûveletek: vvv és vv. Nullelem az azoosa 0 lieáris leképezés. Így Hom K VW is vektortér lesz K felett. Állítás: ha VW vektorterek K felett és dim K V, akkor dim K Hom K VWdim K Vdim K W. Megjegyzés: ha végtele számosság és V egy 2 feletti dimeziós vektortér, akkor dim 2 HomV 2 HomV 2 2, tehát a feti állítás megfelelõje ez esetbe em teljesül. Állítás: az VW homomorfizmusra az alábbi feltételek ekvivalesek: (1) moomorfizmus (ijektív), (2) Ker0, (3) mide V-beli függetle redszer képe függetle W-be, (4) valamely BV bázisra megszorítva ijektív és B képe függetle W-be. Állítás: az (azoos K test feletti) V és W vektorterek izomorfak dimeziójuk azoos. (Elõírva egy bijektív megfeleltetést az midkét iráyba egyértelmûe terjed ki homomorfizmussá és a két iráy egymás iverze, mert a megfelelõ bázist fixálja a szorzatuk.) Va tehát értelme a K feletti dimeziós vektortérrõl beszéli, melyek prototípusa K 1 2 i K a koordiátákéti mûveletekkel. Ebbe az e i 00100 vektorok alkotta E bázist szoktuk természetes bázisak hívi. Ezt a bázist azért szeretjük, mert HomK K m eseté vk K 1 -re vv EF, ahol a mátrixszorzást jelöli, E és F K ill. K m természetes bázisa, EF -et pedig midjárt defiiáljuk. 17.5 Lieáris leképezés mátrixa Defiíció: legyeek Ee i i1 illetve Ff i m i1 bázisok a K test feletti VW vektorterekbe, Hom K VW. Írjuk fel E elemeiek képét F elemeivel: e i m j1 a ij f j. Az a ij számok által alkotott m-es mátrixot hívjuk mátrixáak az EF bázispárba. Jelölése EF. Eek a mátrixak a soraiba sorai az e i képvektorokak, oszlopai pedig az j bázisvektorokak felelek meg abba az értelembe, hogy az i-edik sor j-edik eleme e i -ba j koordiátája. i1 Ige elterjedt az a jelölésmód, ahol a K vektortér elemei em sor-, haem oszlopmátrixok. Ekkor a lieáris leképezéseket balra írjuk: vv. Ilyekor a bázisvektorok e j képei adják az oszlopokat úgy, hogy az i-edik sorba az i -hez tartozó együtthatók szerepelek. Lieáris leképezések szorzatáál pedig a jobb oldalo szereplõ téyezõt alkalmazzuk elõször. Itt mideek az a verziója fog szerepeli, amikor a leképezéseket jobbra írjuk, K elemei pedig sorvektorok. Ekkor a v i1 x i e i V vektor szeriti képe i1 x i e i i1 x i e i i1 x i j1 a ij f j j1 m m i1 x i a ij f j. Ha tehát v együtthatói az E szeriti felírásba xx i i1, akkor v együtthatói az F szeriti felírásba x i a ij m j1 x EF. Ha VV homomorfizmus, azaz lieáris traszformáció, akkor mátrixát kettõ helyett egy bázisba is felírhatjuk. Ekkor BB -t B -vel jelöljük, esetleg egyszerûe -val. Megjegyzés: legye k k Hom K VW. Ekkor yilvá bármely EF bázispárra EF k k EF. Ebbõl látszik, hogy Hom K VW-ek bázisát alkotják azok a lieáris leképezések, melyek mátrixa EF-be egy helye 1, mideütt másutt 0. Állítás: legye HomUVHomVW, DEF redre UVW bázisai. Ekkor DF DE EF. Ez azért érdekes, mert így a mátrixszorzásról kiderül, hogy léyegébe ugyaaz, mit lieáris leképezések kompozíciója. Így hát asszociatív, ami pusztá a defiícióból egy elvégezhetõ, de em túl szemléletes számolás útjá jö csak ki. Állítás: legye Hom K VW, AK k. Ekkor radim K Im, azaz egy mátrix ragja a képtér dimeziója. Tétel: legye VW lieáris leképezés, E és E V, F és F pedig W bázisai. Vigye a VV izomorfizmus Et E-be, a WW izomorfizmus Fet F-be. Ekkor EF E EF 1 F.
4. oldal Következméy: legye VV lieáris traszformáció, Ee 1 e és Ff 1 f V két bázisa. Legye az a V feletti lieáris traszformáció, ami E-t F-be viszi,, továbbá E P (azaz f i j1 p ij e j ). Ekkor F E E 1 E P E P 1. Speciálisa: ugyaazo a lieáris traszformáció külöbözõ bázisokba felírt mátrixai hasolóak (ezt rövidese defiiáljuk). Ha azoba em akaruk külöféle bázisok közti átírásokat vizsgáli, akkor célszerû rögzítei egy bázist. Ezutá már lehet koordiátákkal dolgozi, így áttérhetük K -re aak természetes bázisával. A lieáris traszformációk így a mátrixszal való szorzások leszek, egy mátrix mit eze értelembe vett leképezés mátrixa ömaga (szerecsére ). Kissé potatlaul fogalmazva tehát mide eredméyük, mely lieáris traszformációkról szól, tekithetõ úgy, mitha a megfelelõ méretû mátrixokról szóla. 17.6 Faktortér, homomorfizmus-tétel Defiíció: legye UV. Ekkor a VU fektortér elemei a vu részhalmazok, melye a mûveletek értelemszerûek. a U vv leképezés a VVU természetes homomorfizmus. Homomorfizmus-tétel: ha HomVV 1, akkor ImVKer. Következméy: VHomVV 1 eseté dimvdimimdimker. Speciálisa a U faktorleképezésre dimvudimudimv. Állítás: AK k BK km eseté rarbkrabmirarb. Következméy: AM K eseté kra k krak1. 17.7 Sajátérték, sajátvektor, karakterisztikus poliom Defiíció: az VV lieáris traszformációak vv0 sajátvektora a K sajátértékkel, ha vv. A sajátértékek halmazát a traszformáció ill. a hozzátartozó mátrix spektrumáak hívjuk, jelölése ill. A. A sajátértékhez tartozó sajátaltér V vvvv, ez a -hoz tartozó sajátértékeket és a ullvektort tartalmazza. Legye most dim K V. Ekkor dim K Hom K VV 2, így az I 2 2 elemek lieárisa összefüggek. Eszerit gyöke egy legfeljebb 2 1-edfokú poliomak. Többek közt eze az 2 1-e szereték javítai. Defiíció: az ABM K mátrixok hasolóak, ha alkalmas PM K ivertálható mátrixra BP 1 AP. Jelölése AB. Defiíció: az AM K mátrix karakterisztikus poliomja A detia 1 1 1 0 K. Nyilvá 0 1 deta és 1 tra. Állítás: hasoló mátrixok karakterisztikus poliomja azoos. detipap 1 detpip 1 PAP 1 detpiap 1 detpdetiadetp 1 detia Defiíció: az VV lieáris traszformáció karakterisztikus poliomja K. Elõzõ állításuk szerit em függ attól, hogy -t melyik bázisba írjuk fel, tehát a defiíció értelmes. Defiíció: -mátrix: olya -es mátrix, amelyek elemei K-beli poliomok; azaz M K egy eleme. Cayley-Hamilto tétel: mide AM K mátrix gyöke a saját karakterisztikus poliomjáak, azaz A A0. Bizoyítás: legye B az az -es -mátrix, amelybe b ij a IA mátrix j-edik sorához és i-edik oszlopához tartozó elõjeles aldetermiás. Mide b ij egy legfeljebb 1-edfokú K-beli poliom. Legye 0k1-re B k az a mátrix, amelyek elemei B megfelelõ helye lévõ elemeiek k -hoz tartozó együtthatói. Ekkor B 0 B 1 1 B 1 IABIAdetIAI A I. Azoos -poliomok együtthatói azoosak:
5. oldal B 0 A 0 I B 1 AB 0 1 I B 1 AB 2 1 I B 1 I Szorozzuk meg jobbról az elsõ egyeletet A 0 I-vel, a másodikat A-val, a harmadikat A 2 -el stb., az utolsót A -el és adjuk õket össze. Baloldalt mide kiesik, jobboldalt pedig A A-t kapuk. Ezzel az állítást beláttuk. Tétel: legye HomVV. Ekkor K potosa akkor sajátérték, ha 0. (Cramer-szabállyal: midkét feltétel azt modja, hogy a v0 egyeletredszerek va emtriviális megoldása.) Defiíció: Hom K VV sajátértékéek algebrai multiplicitása (l) ayi, aháyszoros gyöke a karakterisztikus poliomak, geometriai multiplicitása (k) pedig dim K V. Köye látható, hogy a geometriai multiplicitás em lehet alacsoyabb a geometriai multiplicitásál. Defiíció: AM K miimálpoliomja az a legalacsoyabb fokú egy fõegyütthatójú A xkx poliom, amelyek A gyöke. (Két ilye em létezhet, mert akkor azok külöbségéek skalárszorosa alacsoyabb fokú, egy fõegyütthatójú poliom lee, amelyek szité gyöke lee A. Egy pedig va, mert va olya poliom A x amiek A gyöke.) Állítás: potosa azokak a poliomokak gyöke A, amelyeket A x oszt., speciálisa A x A x. Állítás: hasoló mátrixok miimálpoliomjai azoosak, hisze ugyaazok a Kx-beli poliomok tûek el rajtuk. 17.8 Végtele dimeziós vektorterek Lássuk éháy alapvetõ állítást végtele dimeziós vektorterekre is, melyeket véges dimeziósakra már ismerük. Jelöljö az alábbiakba V egy K feletti vektorteret. (A kiválasztási axiómát feltettük.) Tétel: (1) mide V-beli F függetle redszer kiegészíthetõ bázissá és (2) mide V-beli X geerátorredszer tartalmaz bázist. Következméy: mide vektortérek va bázisa. Ugyais a függetle redszer kiegészíthetõ bázissá. Tétel: legye X geerátorredszer V-be. Ekkor V-be mide függetle redszer legfeljebb X számosságú. Eek egyszerû következméye: Tétel: egy vektortér dimeziója jóldefiiált. Állítás: ha K tetszõleges test, pedig K-ál em kisebb végtele számosság, akkor K a K feletti dimeziós vektortér elemszáma. Ha pedig K végtele és egy eél em agyobb (ullától külöbözõ) számosság, akkor K K. (Vigyázat, a K vektortér alaphalmaza a geerálási feltétel miatt em a halmazelméletbe defiiált K halmaz, csak aak egy (ige kis) része.) 17.9 -mátrixok; kaoikus diagoális alak, ivariás osztók, elemi osztók Defiíció: M K elemeit (K tetszõleges test) -mátrixokak hívjuk. Legyeek M K elemei felett az elemi traszformációk a következõk: a mátrix egy sorát vagy oszlopát megszorozzuk egy K-beli (em ulla) elemmel, a mátrix egy sorához (oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) c-szorosát, ahol ck. Defiíció: az FG -mátrixok ekvivalesek (FG), ha véges sok elemi traszformációval egymásba vihetõek. Ez ekvivalecia-reláció lesz. Ugyais yilvá reflexív és trazitív, a szimmetria pedig abból következik, hogy elemi traszformációk iverzei is elemi traszformációk. Megjegyzés: a sor- és oszlopcsere elõáll elemi traszformációk kompozíciójakét. Például az u és v sorok cseréje: uvuvuvvuvuvu.
6. oldal Defiíció: egy -mátrix kaoikus diagoális alakú, ha fõátló kívüli elemei 0-k, az átló lévõ a 1 a 2 a elemek midegyike vagy azoosa 0 poliom, vagy 1 a fõegyütthatója, továbbá mide átlóelem osztja a következõt (mit poliom). Defiíció: egy -mátrix k-adredû miorja alatt egy kk-as részmátrixáak determiását értjük (ez egy -poliom). D k -val jelöljük egy -mátrix összes k-adredû miorjáak legagyobb közös osztóját. (Test feletti poliomokra ez létezik.) Az egyértelmûség kedvéért D k 0 eseté a fõegyütthatót válasszuk 1-ek. A léyeg, hogy kaoikus diagoális mátrixra az elsõ k átlóelem szorzata kapjuk, eze észrevételbõl lehet majd számoli. Lemma: ha két -mátrix ekvivales, akkor midkettõél ugyaazokat a D k poliomokat kapjuk. Tétel: mide ekvivalecia-osztályba potosa egy kaoikus diagoális elem va. Szádékuk most az, hogy ezt valami em túl boyolult módo elõállítsuk. Defiíció: az AM K -mátrix ivariás osztói d 1 d 2 d az A-val ekvivales kaoikus k diagoális mátrix átlóelemei. Ezeket meg lehet keresi, mert cd k c i1 d i, ahol c a D k K poliom fõegyütthatója. Állítás: az A és B -mátrixok potosa akkor ekvivalesek, ha létezek olya PQ ivertálható -mátrixok, melyekre BPAQ. (Egy -mátrixak potosa akkor va iverze, ha determiása em ulla kostas.) Defiíció: vegyük egy fk em kostas poliomot. Írjuk fel fa 0 k k alakba, ahol az k poliomok párokét külöbözõ, K felett irreducibilis, 1 fõegyütthatójú poliomok, az k kitevõk pedig pozitív egész számok. Ekkor f elemi osztói az k k poliomok; k k -t-t az k -hoz tartozó elemi osztóak hívjuk. A kostas poliomokak icseek elemi osztói. (Lehete a 0-ak a kostas 0, a többiek a kostas 1 poliom, ha agyo akarák em akarjuk agyo.) Egy -mátrix elemi osztói alatt ivariás osztói elemi osztóiak összességét értjük; ha egy elemi osztó több ivariás osztóál is elõfordul, akkor többször is soroljuk fel. Például ha az ivariás osztók 1 2 1 2 1 2 0és0, akkor az elemi osztói 2 2 11 2. Az elemi osztók szorzata D r, ahol r a mátrix ragja, hisze mide em 0 ivariás osztó egyelõ a belõle kapott elemi osztók szorzatával. Speciálisa, ha a -mátrix determiása em 0, akkor a fõegyütthatótól eltekitve az elemi osztók szorzata. Állítás: egy -mátrixot az ekvivalecia erejéig egyértelmûe meghatároz a mérete (), a ragja (r) és elemi osztóiak listája. (Össze kell raki az elemi osztókból a megfelelõ kaoikus diagoális elemet, ez pedig megtehetõ.) Most már csak arra vagyuk kivácsiak, hogy miért jobbak az elemi osztók az ivariás osztókál. Íme: Állítás: blokkdiagoális mátrix (amely éháy kisebb mátrix direkt összege) elemi osztóiak listája azoos a blokkok elemi osztói listájáak összefûzésével. Ezek voltak azok az észrevételek, melyek létét és egyértelmûségét igazolták a kaoikus diagoális alakak, továbbá kiszámításához adtak segítséget. Némi egyéb számolás eredméyeképp pedig megkapható az, amiért ebbe belekezdtük: Tétel: az ABM K mátrixok potosa akkor hasolóak, ha a IAIB -mátrixok ekvivalesek. Tehát ha az A mátrixhoz hozzá hasoló, de szép B mátrixot keresük, akkor kershetük ehelyett IA-vel ekvivales szép IB mátrixot úgy, hogy kiszámoljuk IA miorjait, ivariás osztóit, elemi osztóit és ezekhez keresük IB-t. Szerecsés esetbe az egyértelmûséget is tudjuk majd vizsgáli. 17.10 A Jorda-féle ormálalak Defiíció: egy NM K mátrix Jorda-féle ormálalak, ha az alábbi szerkezetû: k darab blokkból áll, ahol az i-edik blokk si kisebb blokkból áll; az i-edik blokk j-edik részblokkja t ij méretû, fõátlójába i va, a közvetleül átló feletti elemek 1-ek, mide más pedig 0 (a i -k K párokét külöbözõ elemei).
7. oldal 0 0 0 1 0 0 1 0 Állítás: az elõbbi jelölésekkel az N Jorda-féle ormálalakra IN elemi osztói az i t ij poliomok, ahol 1ik1jsi. Ebbõl látszik az is, hogy ha két Jorda-féle ormálalak elemi osztóiak listája azoos, ( ekvivalesek) akkor csak a blokkok sorredjébe térhetek el. Tétel: ha K algebrailag zárt test, akkor mide AM K mátrix hasoló egy N Jorda-féle ormálalakhoz és ez az alak a blokkok sorredjétõl eltekitve egyértelmû. Megjegyzés: a bizoyítás tulajdoképpe azt adja, hogy ha A lieáris faktorok szorzatára bomlik K felett, akkor va M K-ba A-hoz hasoló N Jorda-ormálalak. k Megjegyzés: Jorda-féle ormálakra IN determiása egyrészt i1 si j1 i t ij, másrészt a karakterisztikus poliom. Eszerit a mátrixak megfelelõ lieáris traszformáció sajátértékei a i -k, algebrai multiplicitásuk pedig redre si j1 t ij. A geometriai multiplicitások az si-k, mert a i -hez tartozó sajátaltér éppe az, amit az i-edik blokk részblokkjaiak elsõ soraihoz (és oszlopaihoz) tartozó báziselemek feszíteek ki. Megjegyzés: a miimálpoliom is leolvasható a ormálalakról. Ugyais egy blokkdiagoális mátrixot hatváyozva, kostassal szorozva a blokkok em zavarják egymást, azaz egy poliomba behelyettesítve az egész mátrixot ugyaazt kapjuk, mitha a blokkokat külö-külö behelyettesíteék és azutá rakák össze. Így az egész mátrix miimálpoliomja a blokkok miimálpoliomjaiak legkisebb közös többszöröse. Az i-edik blokk j-edik részblokkjáak miimálpoliomja a változatosság kedvéért i t ij, a teljes mátrix miimálpoliomja tehát k i max 1jsi t ij. i1 Mivel algebrailag zárt, M -be mide mátrixak va Jorda-ormálalakja. Sajálatos módo em zárt algebrailag, így egy valós mátrixak em midig va M -be Jorda-ormálalakja. Viszot mivel köye le tudjuk íri az feletti irreducibilis poliomokat M -be kissé megváltoztatva a ormálalak fogalmát már mide mátrixhoz foguk hasoló ormálalakot találi. Defiíció: a MM mátrix valós Jorda-ormálalak, ha k darab blokkból áll, ahol az m-edik blokk sm kisebb blokkból áll; a m-edik blokk j-edik részblokkja az alábbiak valamelyike: a m számhoz tartozó t mj méretû szabváyos blokk, azaz az átló csupa m va, közvetleül az átló felett csupa 1, másutt csupa 0; a m a m b m i számhoz tartozó olya 2t mj méretû mátrix, amelyek átlójá éháy C m va, közvetleül fölöttük redre I 2 10 01 M 2, máshol 0 (C m a a m b m b m am M 2 mátrixot jelöli). A m -ek párokét külöbözõ, emegatív képzetes részû komplex számokat jelölek. Állítás: a feti jelölésekkel az M valós Jorda-ormálalakra IM elemi osztói a m t mj m és m m t mj m poliomok. Tétel: mide A valós mátrix hasoló egy és (léyegébe) csakis egy valós Jorda-ormálalakhoz. 0 0 0 1 17.11 Lieáris függvéy, bilieáris függvéy és mátrixa Defiíció: lieáris függvéy egy fv K K lieáris leképezés. Ezek Hom K VK elemei, azaz egy K feletti vektorteret alkotak, amelyek dimeziója dimv eseté (mi csak ezzel az esettel foglalkozuk) dim K Hom K VKdim K Vdim K KdimV. Ezt V duális teréek hívjuk, jelölése V. Eek két eleme yilvá potosa akkor azoos, ha egy (tetszõleges) báziso ugyaazokat az értékeket veszik fel, azaz egy lieáris függvéyt elég egy báziso megadi. Legye e 1 e 2 e bázis V-be. Legye továbbá e k az a lieáris függvéy, amely e k - 1-et vesz fel, a bázis többi elemé pedig 0. Ekkor az e k függvéyek bázist alkotak V-ba, hisze az a lieáris függvéy, amely e k - a k -t vesz fel, éppe k1 a k e k. Tehát a e k e k megfeleltetés egyértelmûe terjeszthetõ ki VV lieáris leképezéssé, ami persze izomorfizmus lesz. Ugyaígy csiálhatuk V-ból az e k k1 bázisból kiidulva egy V teret. Viszot V elemei épp a V feletti lieáris függvéyek redelje a vv függvéy uv-hoz uv-t. Köye elleõrizhetõe
8. oldal ez téyleg lieáris lesz. Az e k k1 bázis képe yilvá e k k1, tehát V em egyszerûe izomorf, haem azoos V-vel, ráadásul vv, hisze e k e k. Defiíció: egy BV K V K K leképezés bilieáris függvéy, ha xv-re x R ybxy lieáris függvéy, továbbá yv-re y L xbxy is lieáris függvéy. Tehát: (1) x 1 x 2 yvbx 1 x 2 ybx 1 ybx 2 y (2) xy 1 y 2 VBxy 1 y 2 Bxy 1 Bxy 2 (3) xyvkbxybxy (4) xyvkbxybxy Defiíció: legye B egy V feletti bilieáris függvéy, legye e i i1 és f j j1 V két (em feltétleül külöbözõ bázisa). Ekkor B mátrixa az e i f j bázispárba az a B mátrix, melybe b ij Be i f j. Speciálisa B mátrixa az e k k1 bázisba az a B mátrix, melybe b ij Be i e j. Állítás: ha az e i i1 és e k k1 bázisok közötti átmeet mátrixa P (azaz e k i1 p ki e i, ahol detp0), az f j m j1 és f l m l1 bázisok közötti átmeet mátrixa S, továbbá a B bilieáris függvéy mátrixa az e i f j bázispárba B, akkor B mátrixa az e i f l bázispárba BPBS T. Következméyek: (1) ha B mátrixa az e i bázisba B, az f i bázisba B, akkor BPBP T, ahol P az átmeet mátrixa. (2) B mátrixáak ragja em függ a bázispár megválasztásától, hisze P és S ivertálhatóak. Speciálisa detb0detb0. Defiíció: a B 1 V 1 V 1 K és B 2 V 2 V 2 K bilieáris függvéyek ekvivalesek, ha va a hozzájuk tartozó terek között olya izomorfizmus, ami õket is egymásba viszi, azaz HomV 1 V 2 B 1 xyb 2 xy. Megjegyzés: ha B ill. B bilieáris függvéyek mátrixa az e i ill. e i bázisokba azoos, akkor B és B ekvivalesek, hisze az egyik bázist a másikba vivõ izomorfizmus megfelel a feti feltételekek. Defiíció: az ABM K mátrixok kogrediesek, ha APBP T valamely ivertálható P-re. Ez köye elleõrizhetõe ekvivalecia-reláció. Állítás: B 1 V 1 V 1 K és B 2 V 2 V 2 K bilieáris függvéyekre az alábbi feltételek ekvivalesek: (1) B 1 és B 2 ekvivalesek; (2) felírva B 1 ill. B 2 mátrixát V 1 ill. V 2 tetszõleges bázisába a kapott mátrixok kogrediesek; (3) va V 1 -ek és V 2 -ek olya bázisa, hogy ezekbe felírva B 1 ill. B 2 mátrixát azok kogrediesek. Defiíció: B bilieáris függvéy ragja a mátrixáak ragja. (Ez Hiba! A hivatkozási forrás em található..2 szerit egyértelmû.) Jelölése rb. Állítás: tetszõleges B bilieáris függvéy mátrixa alkalmas bázispárba olya diagoális mátrix, melyek elsõ rb eleme 1, a többi 0. Ezt B duális bázisáak hívjuk. 17.12 Merõleges altér, radikál, em-elfajuló bilieáris függvéy Defiíció: legye BVVK bilieáris függvéy. xyv merõlegesek, ha Bxy0. Jelölése xy. (Az, hogy x és y merõlegesek, em feltétleül azoos azzal, hogy y és x merõlegesek.) Defiíció: BVVK bilieáris függvéy, UV-re U bal merõlegese U L xvuuxuxvx R U 0, jobb merõlegese pedig U R yvuuuyyvy L U 0. V L -t ill. V R -t bal ill. jobb radikálak hívjuk. A biliearitás miatt 0U L uvu L KuvU L, tehát U L V és persze U R V. Defiíció: egy BVVK bilieáris függvéy em-elfajuló, ha teljesíti az alábbi ekvivales feltételeket: (1) V L 0 (2) V R 0 (3) tetszõleges bázis(pár)ba felírva a mátrixát, aak determiása em 0. Tétel: a BVVK bilieáris függvéyre dimvdimv L dimvdimv R rb. Állítás: ha BVVK em-elfajuló bilieáris fv. és UV, akkor dimu L dimu R dimvdimu.
9. oldal Következméy: a feti feltételek mellett U R L U L R U. Ugyais UU R L yilvávaló és ezek azoos dimeziójú alterek. 17.13 Szimmetrikus és alteráló bilieáris függvéyek Defiíció: a B bilieáris függvéy szimmetrikus, ha xyvbxybyx. Ez ekvivales azzal, hogy a mátrixa tetszõleges bázisba szimmetrikus a fõátlóra. Defiíció: a B bilieáris függvéy alteráló vagy szimplektikus, ha xvbxx0. Defiíció: a B bilieáris függvéy ferdé szimmetrikus, ha xyvbxybyx. Ez ekvivales azzal, hogy mátrixa tetszõleges bázisba a traszpoáltjáak 1-szerese. Megjegyzés: ha B alteráló, akkor BxyBxyxyBxxByyByxByx, tehát ferdé szimmetrikus. Ha B ferdé szimmetrikus és a test karakterisztikája em 2, akkor BxxBxxBxx0, tehát alteráló. Ha B ferdé szimmetrikus és a test karakterisztikája 2, akkor szimmetrikus. Megjegyzés: ha a test karakterisztikája em 2, akkor tetszõleges bilieáris függvéy egyértelmûe áll elõ BB 1 B 2 alakba, ahol B 1 szimmetrikus, B 2 pedig ferdé szimmetrikus. Ugyais ekkor va értelme aak, hogy 1 2, így épp B 1 xy Bxy 1 1 2 Byx és 2 B 2xy Bxy 1 1 2 Byx 2 a keresett felírás. Tétel: ha a BVVK bilieáris függvéyre xyyx, akkor B vagy alteráló, vagy szimmetrikus. Állítás: ha B alteráló bilieáris függvéy, akkor alkalmas bázisba a mátrixa éháy 0 1 1 0 blokk és éháy 0 direkt összege. Következméy: páros dimeziójú vektortérbe potosa egy em-elfajuló alteráló bilieáris függvéy va (mide ilye ekvivales), páratla dimeziójúba pedig egy sics. Állítás: ha BVVK szimmetrikus bilieáris függvéy és chark2, akkor B mátrixa alkalmas bázisba diagoális. Defiíció: legye BVVK bilieáris függvéy. Az e i i1 bázis ortogoális, ha elemei párokét merõlegesek, azaz B mátrixa ebbe a bázisba diagoális. Ekkor szimmetrikus is, tehát ilye csak szimmetrikus B-re létezhet; ha chark2, akkor létezik is. Megjegyzés: ha két szimmetrikus bilieáris függvéy mátrixáak diagoális alakjába az átlóelemek csak ayira külöbözek, hogy a megfelelõ elemek háyadosa a test valamely eleméek égyzete, akkor ekvivalesek. Ugyais ha pl. a B bilieáris függvéy e i i1 bázisba felírt B mátrixába az átlóelemek redre x 2 i -szeresei a B bilieáris függvéy B mátrixáak megfelelõ átlóelemeiek, akkor B mátrixa az x 1 i e i i1 bázisba B, tehát B és B Hiba! A hivatkozási forrás em található. szerit ekvivalesek. Most már éháy K testrõl meg tudjuk állapítai, hogy háy párokét em-ekvivales em-elfajuló szimmetrikus bilieáris függvéy va K -be. Állítás: ha K algebrailag zárt, akkor potosa egy va. Mivel algebrailag zárt testbe mide elem elõáll valamely elem égyzetekét, két tetszõleges szimmetrikus bilieáris függvéy tetszõleges diagoális mátrixára kogredies és kész vagyuk. Sylvester-féle tehetetleségi tétel: legye B em-elfajuló szimmetrikus bilieáris függvéy. Legye eek a mátrixa az u i i1 ill. v i i1 bázisokba A és B, midkettõ diagoális. Ekkor midkettõbe ugyaayi a pozitív elemek száma. (Ebbõl következik, hogy az ABM csak 11 átlóelemeket tartalmazó diagoális mátrixok potosa akkor kogrediesek, ha ugyaayi 1-et tartalmazak.) Állítás: az -dimeziós valós vektortér felett potosa 1 párokét em ekvivales em-elfajuló szimmetrikus bilieáris függvéy va. Állítás: felett végtele sok párokét em ekvivales bilieáris függvéy va Tétel: potosa két em-ekvivales B p p p szimmetrikus bilieáris függvéy va, speciálisa az a kettõ, melyek mátrixa diagoális, utolsó eleme d, a többi átlóelem 1 és d az egyik esetbe valamelyik kvadratikus em-maradék, a másik esetbe kvadratikus maradék, pl. 1.
10. oldal 17.14 Kvadratikus alakok és bilieáris függvéyek A többváltozós poliomokál egyszer már defiiáltuk a kvadratikus alak avagy kvadratikus forma fogalmát. Ezek a homogé másodfokú poliomok voltak, tehát úgy éztek ki, hogy ij c ij x i x j, ahol az együtthatók egy egységelemes kommutatív gyûrûbõl származtak. Ha ráadásul egy (em 2 karakterisztikájú) K test elemei, akkor ezt átírhatjuk ij d ij x i x j alakra, ahol d ii c ii, viszot ijd ij d ji 1 2 c ij. Így Dd ij szimmetrikus mátrix lesz. Tekitsük azt a BK K bilieáris függvéyt, amiek mátrixa az e i bázisba D ez persze szimmetrikus lesz és ézzük meg, mi lesz Bvv, ha vx i e i. Éppe ij d ij x i x j. Hm. Tehát a kvadratikus alakok és a szimmetrikus bilieáris függvéyek erõse hasolítaak. Eek örömére: Defiíció: chark2 eseté QK K kvadratikus alak, ha KvK Qv 2 Qv, továbbá a B Q xy 1 2 QxyQxQyegyelettel defiiált B Q szimmetrikus bilieáris függvéy. Állítás: mide Q kvadratikus alak elõáll lieárisa függetle lieáris függvéyek égyzetei kostasszorosaiak összegekét (ietõl: jó felírás ). Defiíció: Q kvadratikus alak ragja a B Q ragja. Q tetszõleges jó felírásába a em ulla együtthatók száma azoos lesz ezzel, hisze az együtthatók B Q megfelelõ diagoális mátrixáak átlóelemei. Defiíció: Q valós kvadratikus alak szigatúrája pq, ahol p és q a pozitív illetve egatív együtthatók száma Q egy jó felírásába. Ez egyértelmû, mert B Q bármely diagoális mátrixába azoos a pozitív és egatív átlóelemek száma. Köye látható, hogy két -változós valós kvadratikus alak potosa akkor ekvivales, ha ragjuk és szigatúrájuk redre megegyezik. 17.15 Lieáris traszformáció adjugáltja Állítás: legye BVVK em-elfajuló bilieáris függvéy. Ekkor mide f lieáris függvéyre potosa egy olya uv va, melyre az u R yybuy lieáris függvéy éppe f. Formálisa: fvuvfyu R y és hasolóa fvvvfxv L x. Defiíció: legye BVVK em-elfajuló, szimmetrikus bilieáris függvéy és HomVV. Hiba! A hivatkozási forrás em található. szerit mide egyes yv-re potosa egy olya uv va, amelyre az xxy és az xxu lieáris függvéyek megegyezek. Legye adjugáltja az az leképezés, amely y-hoz u-t redeli. Állítás: lieáris leképezés, továbbá HomHomVVHomVV, azaz az adjugálás is lieáris leképezés. Végül és. 17.16 Valós euklideszi tér, Cauchy Buyakovszkij egyelõtleség, ortogoalizálás Defiíció: egy B szimmetrikus bilieáris függvéy pozitív defiit, ha x0bxx0; egatív defiit, ha x0bxx0; pozitív szemidefiit, ha xbxx0; egatív szemidefiit, ha xbxx0. Ami egyik sem, az idefiit. A korábbiak szerit egy pozitív defiit mátrixa alkalmas bázisba I, egy egatív defiité I; egy szemidefiit mátrixáak átlójába ezefelül 0-k is lehetek. Defiíció: xyv elemek skalárszorzata alatt Bxy-t értjük, ahol B egy elõre rögzített em-elfajuló szimmetrikus bilieáris függvéy. Jelölése xy. Defiíció: (valós) euklideszi tér egy V valós vektortér egy rajta értelmezett rögzített pozitív defiittel. Defiíció: e i i1 ortoormált bázis a V euklideszi térbe, ha a skalárszorzás mátrixa e i i1 -be I. Gram Schmidt-féle ortogoalizáció: jó lee elõállítai egy ortogoális bázist, mert abból ortoormáltat már gyerekjáték. Iduljuk ki egy tetszõleges bázisból. Legye eek elsõ k1 eleme már ortogoális bázis abba, amit kifeszít és keressük egy elemet, amelyet bevehetük e tulajdoság elrotása élkül. Legye e k az, amit be akaruk hozi. Báziselemek jó lee, csak a merõlegességgel lehet baj, ezért valahogy el akarjuk tüteti az e i iráyú
11. oldal kompoest e k -ból. Keressük olya i elemet, melyre e i i e i e i e k, hogy majd e i e k i e i 0 legye. Ekkor k1 e k e k i1i e i 0 lesz és e 1 e k1 e k e 1 e k1 e k, tehát a e k -t e k -re cserélve jók vagyuk. Némi fejtörés utá i e i e k e i e i adódik, kész vagyuk. A bizoyásból az is adódott, hogy 0-t em ortogoális redszer (egy ilye midig li. függetle) kiegészíthetõ ortogoális bázissá: kell keresi a maradékhoz bázist és megigazítai az iráyokat. k Állítás: ha e i i1 párokét merõleges em ulla vektorok, akkor kiegészíthetõek ortogoális bázissá. Defiíció: legye V euklideszi tér. Ekkor vv ormája v vv. A ormára az alábbiak teljesülek: (1) 00, (2) v0v0, (3) v. Cauchy-Buyakovszkij egyelõtleség (CB): euklideszi térbe abab és egyelõség potosa akkor teljesül, ha a és b lieárisa összefüggõek. (Ez végtele dimeziós térbe is igaz lesz, hisze elég ab-re megszorítva beláti.) Következméy (háromszög-egyelõtleség): tetszõleges euklideszi térbe xyxy. Defiíció: legyeek xy a V euklideszi tér em ulla elemei. Ekkor bezárt szögük az a 0 szög, amelyre cos. xy xy Ez értelmes defiíció, mert (CB) szerit a jobboldali kifejezés midig 11-be esik. Állítás: ha mátrixa az e i i1 ortoormált bázisba A, pedig B, akkor BA T. Defiíció: a V euklideszi tér lieáris traszformációja szimmetrikus, ha valamely ortoormált bázisba szimmetrikus a mátrixa. Ez ekvivales azzal, hogy, azaz hogy mátrixa mide ortoormált bázisba szimmetrikus. 17.17 Kvázi-lieáris és sesquilieáris függvéyek, komplex euklideszi tér Defiíció: legyeek V és W vektorterek a komplex test felett. A VV leképezés kvázi-lieáris, ha (1) v 1 v 2 v 1 v 2 és (2) vv. Defiíció: kvázi-lieáris függvéy egy V kvázi-lieáris leképezés. Defiíció: legye V egy komplex test feletti vektortér. Ekkor BVV sesquilieáris függvéy, ha y L xbxy lieáris és x R ybxy kvázi-lieáris, azaz: (1) x 1 x 2 yvbx 1 x 2 ybx 1 ybx 2 y (2) xy 1 y 2 VBxy 1 y 2 Bxy 1 Bxy 2 (3) xyvbxybxy (4) xyvbxybxy Ezek erõse hasolítaak a bilieáris függvéyekre. A problémametese átvihetõ, eddig csak bilieáris függvéyekre defiiált fogalmakat, bizoyított állításokat és tételeket haszáli fogjuk sesquilieáris függvéyekre is. Defiíció: B sesquilieáris függvéy Hermite-féle, ha BxyBxy. (Ez a szimmetrikus bilieáris függvéy megfelelõje.) Egy ilyere yilvá Bxx. Komplex vektortér felett a Hermite-féle függvéyeket evezzük skalárszorzatak. Defiíció: komplex tér felett azokat a Hermite-féle függvéyeket hívjuk pozitív defiitek, melyekre v0vv0. Komplex euklideszi tér avagy uitér tér egy komplex vektortér és felette egy rögzített pozitív defiit. Egy ilye térbe v ormája v vv. A ormára az alábbiak teljesülek: (1) 00, (2) v0v0, (3) v. Tétel: komplex euklideszi térbe is igaz (CB) abab és egyelõség csak lieáris összefüggõség eseté áll fe. Teljesül hát a haromszög-egyelõtleség is. Állítás: itt is igazak az ortogoális bázisokról szóló állításaik, csak éhol figyeli kell a számolásokal a kojugálásokra. Speciálisa: va ortoormált bázis. Következméy: mide -dimeziós komplex euklideszi tér izomorf, hisze mide pozitív defiit sesquilieáris függvéy mátrixa alkalmas bázisba I. Ebbe i1 i e i i1 i e i i1 i i.
12. oldal 17.18 Adjugálás uitér térbe. Normális, öadjugált és uitér traszformációk Állítás: legye V- a skalárszorzás Hermite-féle függvéy. Ekkor (1) mide fv lieáris függvéyre potosa egy olya vv va, amelyre a v L xvxv lieáris függvéy éppe f. Hasolóa (2) potosa egy uv-re lesz u R xux éppe f. Bizoyítása azoos Hiba! A hivatkozási forrás em található. bizoyításával. Defiíció: legye V- a skalárszorzás em-elfajuló sesquilieáris függvéy, HomVV. Hiba! A hivatkozási forrás em található. szerit mide egyes yv-re potosa egy olya uv va, amelyre az xxy lieáris függvéy azoos xxu-val. Legye az a leképezés, amely y-hoz u-t redeli. Állítás: lieáris traszformáció és a adjugálás kvázi-lieáris leképezés:. Továbbá és. Állítás: legye e i i1 ortoormált bázis a V komplex euklideszi térbe. Legye az lieáris traszformáció mátrixa e i -be A, adjugáltjáé B. Ekkor BA T. Defiíció: a V komplex euklideszi tér feletti lieáris traszformáció öadjugált, ha. Elõbbi állításuk alapjá ez ekvivales azzal, hogy mátrixa bármely ortoormált bázisba a traszpoáltjáak kojugáltja. Defiíció: legye V komplex euklideszi tér. HomVV uitér, ha. Defiíció: legye V komplex euklideszi tér. HomVV ormális, ha. Nyilvá mide öadjugált és mide uitér traszformáció ormális. Állítás: legye HomVV ormális traszformációak v sajátvektora sajátértékkel. Ekkor adjugáltjáak is sajátvektora v, mégpedig sajátértékkel. Következméy: öadjugált traszformáció mide sajátértéke valós, hisze ha v sajátvektor sajátértékkel, akkor sajátértékkel is, tehát. Állítás: uitér traszformáció mide sajátértékéek abszolútértéke 1. Állítás: potosa akkor uitér, ha xyvxyxy, azaz egy komplex euklideszi tér ömagára vett lieáris izometriái épp az uitér traszformációk. Következméyek: (1) uitér; (2) ha 1 és 2 uitér, akkor 1 2 is; (3) ha uitér, akkor 1 is. Állítás: (1) öadjugált. (2) ha 1 és 2 öadjugált, akkor 1 2 is, mert az adjugálás kvázi-lieáris traszformáció. (3) ha 1 és 2 öadjugált, akkor 1 2 potosa akkor öadjugált, ha 1 és 2 felcserélhetõ. Ugyais ha felcserélhetõek, akkor 1 2 2 1 2 1 1 2 és a szorzat valóba öadjugált, ha pedig a szorzat öadjugált, akkor 1 2 1 2 2 1 2 1, valóba felcserélhetõek. Állítás: ha mide elem ormáját megtartja a V euklideszi térbe, akkor xyvxyxy. Állítás: legye V komplex euklideszi tér. Ekkor tetszõleges V feletti lieáris traszformáció elõáll 1 i 2 alakba, ahol 1 és 2 öadjugáltak. Ugyais 1, 1 2 2i 1 2 jó lesz. Euklideszi terekbe (akár valós, akár komplex test feletti) is megtehetjük, hogy kitütetük egy ortoormált bázis. Ekkor persze érdemes áttéri koordiátás alakra a vektorokról. A skaláris szorzást koordiátákét kell elvégezi, a második téyezõbe midig kojugálva. (Így uv skaláris szorzat megfelel az u v T mátrixszorzatak, ha még midig sorvektorak képzeljük a vektorterek elemeit.) A égyzetes mátrixokat most már kétféleképp is tudjuk értelmezi. Egyrészt a koordiátáko szorzással ható lieáris traszformációkét, másrészt az uvk koordiátákból álló vektorok párjához uavua v T skalárszorzatot redelõ bilieáris vagy sesquilieáris függvéykét. Mide esetbe, ahol a megfelelõ objektumak defiiáltuk mátrixát, a defiíció ömagát adja vissza. Ha még felírjuk, hogy ua v T u Av T és uavuva, akkor vagy belehülyülük az azoosításokba, vagy rögtö le tudjuk olvasi a Milye traszformációak/bilieáris függvéyek milye mátrixa va? jellegû kérdésekre a helyes válaszokat.