Algebra strutúrá III ALGEBRAI STRUKTÚRÁK A matemata godolodásmód alapvető jellegzetessége az elvoatoztatás Vegyü például a sígeometra objetumo esetét A ör fogalma magába foglalja az összes ör alaú test fogalmát, ezért ha megállapítu éháy összefüggést a örrel apcsolatosa, például a erületét, vagy területét, aor azoat alalmazhatju mde ör alaú objetumra, arára, parcellára, stb Hasoló meggodoláso vezette az algebra strutúrá születéséhez: egyes specfus tulajdoságoat a valós számteste, vagy a mátrxo halmazába például ugyaolya erete özött lehetett vzsgál és ugyaazt az eredméyt szolgáltattá Algebra strutúráa evezü egy olya A halmazt, amely fel va ruházva egy vagy több művelettel Az egyműveletes algebra strutúráat általába az ( A, ) párossal jelöljü, ahol : A A A a művelet Hasolóa a étműveletes algebra strutúrá jelölésére az ( A,, ) jelölést alalmazhatju, stb Algebra strutúrá például (, + ), ( M ( ), +, ), ( P (X ),,, ), stb A övetező paragrafusoba az egy és a étműveletes algebra strutúráal foglalozu Moodo Értelmezés Az ( M, ) algebra strutúrát mooda evezzü, ha M a művelet asszocatív és M M -e va semleges eleme -ra ézve A mood az egy legszegéyebb algebra strutúra, az eddg adott példá műveletere agyrészt moodo volta a tütetett halmazzal: * (, + ), (, + ), (, +), (, +), (, + ), (,), (,) moodo (, +) és (, ) em moodo: ( *, + )-ba cs semleges elem, (, ) -ba pedg em asszocatív a művelet Megjegyzése Az M és M axómá a mood értelmezésébe függetlee, ezt bzoyítjá az * (,+) és (, ) ellepéldá Ha az M és M axómá teljesülése mellett a művelet ommutatív s, aor az ( M, ) algebra strutúrát ommutatív mooda evezzü (A felsorolt példá mdegye ommutatív mood volt) Általába az ( M, ) algebra strutúrát félcsoporta evezzü, ha asszocatív művelet Eszert ( M, ) aor és csa aor mood, ha egységelemes félcsoport Megoldott feladato Értelmezzü az a M elem természetes tevőjű hatváyat az ( M, ) moodba: a : = e, a a, a := := a a,a := a a,, a : = a a, vagys e, ha = a : = a a, ha >
4 Algebra strutúrá m m Igazolju, hogy m, eseté a a = a + m m és ( a ) = a Megjegyzés Addtív jelölés eseté a helyett a -t szotu ír: a : =, a : = a, a : = a + a,, a : = ( ) a + a, stb Megoldás Az első összefüggést gazolju, a másod hasolóa gazolható Rögzített m eseté -szert ducóval gazolju az összefüggést = eseté az összefüggés gaz, a semleges elem tulajdosága alapjá m = -re az értelmezés alapjá a + m = a a m m Ha gaz, hogy a a = a +, aor m + m m m+ m+ + a a = a ( a a) = ( a a ) a = a a = a Legye ( M, ) egy olya algebra strutúra, amelybe a művelet redelez a övetező tulajdoságoal: a) e M úgy, hogy x e = x, x M ; b) ( x y) z = ( z y) x, xyz,, M Igazolju, hogy ( M, ) ommutatív mood Megoldás Mvel a b) összefüggés teljesül mde x, y,z M eseté, y = e, xz, M eseté s teljesül, tehát ( x e) z = ( z e) x, xz, M, vagys x z = z x, x M Követez, hogy ommutatív művelet A ommutatvtás és a b) feltétel alapjá övetez az asszocatvtás, valamt a ommutatvtás és az a) feltétel alapjá övetez, hogy ( M, ) -ba e semleges elem, tehát ( M, ) ommutatív mood Megjegyzés Fgyeljü meg a duló lépést Algebra strutúráal apcsolatos feladato megoldásaor gyara végzü hasoló helyettesítéseet Az M = halmazo értelmezzü a műveletet: x, y x, y : x x, x y y, x, y, x, y M ( ) ( ) = ( + ) ( ) ( ) Igazolju, hogy ( M, ) mood és határozzu meg az vertálható elemet a műveletre ézve Megoldás belső művelet -be, mert egész számo szorzata és összege egész M Ha ( x, y ), x, y, x, y tetszőlegese, aor = ( xxx, xxy + xy + y) = (( x, y) ( x, y )) ( x, y ), tehát a művelet asszocatív e, e ( ) ( ) ( x, y ) (( x, y ) ( x, y )) ( x, y ) ( x x, x y y ) = + = M Keressü egy olya ( ) elemet, amelyre teljesül a semleges elem axómája ( e, e) ( xy, ) = ( xy, ) ( e, e) = ( xy, ), ( xy, ) alapjá ( xe, e y + e ) = ( e x, xe + y) = ( x, y), ( xy, ) Az e és e = egész = számo teljesít a feltételt, és a semleges elem egyértelműsége alapjá az egyedül lye egész számo, tehát e = (, ) semleges elem az ( M, ) strutúrába, vagys ( M, ) mood
Algebra strutúrá 5 Keressü meg az vertálható elemeet Ha ( xy, ) M és létez ( x, y ) úgy, hogy ( x, y) ( x, y ) = ( x, y ) ( x, y) = (, ), aor ( xx, x y y ) ( x x, xy y) ( ) + = + =,, M tehát xx = x x = xy y xy + = + y= Ebből övetez, hogy x ' =, am csa aor teljesülhet, ha x { ±} Az x x = esetbe x = és y = y, az x = esetbe pedg x = és y = y, tehát az ( M, ) mood vertálható eleme az U = {(, y ), (,y) y } halmaz eleme 4 Igazolju, hogy az ( M, ) moodba az vertálható eleme halmaza stabl részhalmaza M -e a műveletre ézve Megoldás Jelöljü az vertálható eleme halmazát U -val xy, U eseté x = y = y és y s eleme U -a, mert ( x ) x és ( ) Az asszocatvtás alapjá írhatju, hogy ( x y) ( y x ) = x y y x = x e x = x x = e és ( y x ) ( x y) = y x x y = y e y = e, tehát ( x y) = y x, ezért x y U és U zárt részhalmaza M -e a műveletre ézve Feladat Az ( M, ) mood H részhalmazát az M részmoodjáa evezzü, ha H stabl részhalmaza M -e és e H, ahol e az ( M, ) semleges eleme Igazold, hogy ha ( M, + ) részmoodja az (, + ) mooda, aor létez egy olya A véges halmaz és léteze a d, számo úgy, hogy {, } M = A d Csoporto A csoportelmélet Galos fraca matematus muássága yomá vált az algebra egy ágává Galos vezette be a csoport fogalmát, mözbe az -ed foú polomo gyöet (az algebra egyelete megoldhatóságát) taulmáyozta, és észrevette, hogy azo apcsolatba vaa az elemű halmazo ömagura való bjetív leépezésevel és azo összetételevel, vagys az ( S, ) algebra strutúrával Azóta a csoportelmélet számottevő fejlődése met eresztül és úgy a matematába, mt a Evarste Galos, 8-8
6 Algebra strutúrá vatumfzába, vagy aár a geetába jeletős az alalmazása Értelmezés A ( G, ) algebra strutúrát csoporta evezzü, ha teljesít a övetező axómáat: G ( x y) z = x ( y z), xyz,, G( asszocatív művelet G -be); G e G úgy, hogy e x = x e = x, x G (G -e va semleges eleme a műveletre ézve); G x G x G úgy, hogy x x = x x = e (G-be mde elem vertálható a műveletre ézve) Ha az előbb három axómá ívül teljesül a G4 xy, G eseté x y = y x axóma s, aor azt modju, hogy ( G, ) ommutatív csoport, vagy Abel -féle csoport A G, G és G axómáat a csoport axómáa evezzü Megjegyzése Az értelmezés szert a csoport olya mood, amelybe mde elem vertálható Láttu, hogy az ( M, ) mood eseté a { : } H = x M x x x = x x = e halmaz (az M vertálható elemee halmaza) stabl részhalmaza M -e Követez, hogy ( H csoport, ahol a által H -ba duált művelet, tehát, H ) H mde moodból szereszthető csoport Például az (, + ) moodba az egyetle vertálható elem a semleges elem, tehát az (, + ) mood a ({ }, + ) trváls csoportot származtatja Hasolóa, a (, ) mood a ({, }, ) csoportot származtatja Tovább példá csoportora (, + ), (, + ), (, + ), (, + ) és ( *, ), ( *, ), ( *, ) Abel-féle csoporto ) Láttu, hogy (, mood Az általa származtatott csoport az -et -be épező bjetív függvéye csoportja Az ( M ( ), ) mood a regulárs mátrxo csoportját származtatja a mátrxszorzásra ézve Jelölése: ( GL ( ), ) ( GL ( ), ) em ommutatív csoport, ( M ( ), +) pedg ommutatív csoport x + y 4 Legye a >, G = ( a, a) és x y : = xy, xy, G Igazold, hogy + a : G G G művelet és ( G, ) Abel csoport (Ezt a csoportot evez Lorez csoporta) Nels Her Abel, 8-89, dá matematus muássága yomá
Algebra strutúrá 7 5 ( R ) és (, + ) Abel csoporto, 6 ( R *, ) és ( *, ), aor és csa aor csoporto, ha prímszám ( R *, ) *, ) ) Bzoyítás Az és ( *, algebra strutúrá művelettáblája megegyez, ezért elégséges, ha a ( strutúrára végezzü el a bzoyítást Ha prímszám, aor elégséges azt gazolu, hogy mde elem vertálható a ( *, 4 ) strutúrába (a több tulajdoságot már gazoltu) Tetsü az x, x, x, x, * számoat Mvel mde lye szám -be va és véges, létez olya u, v, u v u v amelyere u > v és x x (mod) Ez azt jelet, hogy ( x x ) Mvel * v u v prímszám és x, x relatív prím -el és így ( x ) Ez azt jelet, hogy létez a = u v ullától ülöböző természetes szám, amelyre x (mod ) * Ebből övetez, hogy az x elem verze az x elem, tehát a halmaz mde *, ) Fordítva, ha ( *, ) csoport, aor a szorzás belső művelet ell legye ( *, )-ba elemée va verze a szorzásra ézve Így ( csoport Ha em prímszám, aor felírható ét,, l {,,, } szám szorzataét és l = l = *, am elletmodás, tehát prímszám 7 A Kle csoport Jelöljü P -vel a síot és tetsü bee a övetező geometra traszformácóat: e= : P P az detus traszformácó, a sí mde potját ömagába vsz; P u : P P az Ox tegely szert tegelyes szmmetra; v : P P az Oy tegely szert tegelyes szmmetra; w : P P az O pot szert özéppotos szmmetra Vzsgálju meg, hogy a fet függvéye összetétele mlye eredméyeet adhat Legye ezért A P tetszőleges pot és az A u, vw, által épe legyee D, B,C f Legye K = { e, u, v, w} Az ábra szert bármely f K eseté = e Ugyaaor érvéyese az alább összefüggése: y ( u v)( A) u B C v w O u A D x = ( B) = C = w( A) ; ( v u)( A) = v( D) = C = w( A) ; ( u w)( A) = u( C) = B = v( A) ; ( w u)( A) = w( D) = B = v( A) ; ( v w)( A) = v( C) = D = u( A) ; f = f, tehát ( w v)( A) = w( B) = D = u( A) A fet eredméye alapjá az összetevés belső művelet K -ba Készítsü el a művelettáblát!
8 Algebra strutúrá e u v w e e u v w u u e w v,v v w e u w w v u e Továbbá, a) asszocatív, mert ez a tulajdoság örölőd a függvéye összetevéséből; b) e K semleges elem K -ba; c) mde eleme ömaga az verze; d) ommutatív, tehát ( K, ) Abel-féle csoport, amt Kle csoporta szoás evez 8 Az -ed redű egységgyöö csoportja: (, * U ), Tetsü a z = egyelet megoldásat -be A X osztályból tudjáto, hogy a π π megoldáso z = cos + s alaba írható, ahol =,, és a Movre π π éplet alapjá, ha ε = cos + s, aor z = ε, =,, és ε = Tehát az egységgyöö halmaza U = {, εε,,, ε } és ( U, ) ommutatív csoport (az ε = feltétel alapjá a szorzás belső művelet U -be, az asszocatvtás és a ommutatvtás örölőd a ( *, ) ε ε = ε ε =, {,,, } ) csoportból, U semleges elem, valamt * 9 Az -ed foú dédercsoport: D, Tetsü egy szabályos oldalú szöget a síba, melye csúcsa és özéppotja O Jelöljü a soszöget P Legye D = Rot Rot ( P ) = -el {,, P O α O α } az olya O özéppotú és α szögű forgatáso halmaza, amelye a P soszöget ömagába traszformáljá Tehát D olya bjetív függvéye halmaza, amelye a síot a síra épez le, és amelyere feáll a Rot Rot = Rot () D O, α O, β O, α+ β összefüggés, mert a Rot ( P ),, = P Rot O α ( P ) = P O, β összefüggése alapjá ( Rot Rot )( ) Rot Rot ( ) Rot P ( ) ( P),, = P O α O β O, α O, β = O, α tulajdosága alapjá Rot Rot = Rot O, α O, β O, α+ β A O A, A,, A A A = P valamt a rotácó Felhaszálva, hogy
Algebra strutúrá 9 Rot = Rot, α () és az ábrá m A OA α O, α O,π+ csa a ( ) π =, tehát a P soszöget π szögű forgatáso traszformáljá ömagába, apju, hogy D = Rot =,, π O és ( D, ) zárt része a síot a síra épező bjetív függvéye csoportjáa az összetevésre ézve Ezért D -be az asszocatvtás örölőd, semleges elem lesz és az (), () összefüggése alapjá Rot, {,,, } valamt Rot = Rot π ( ) π O, O, O, Rot O, Rot Ro t = Rot Rot, αβε,, O, α O, β O, β O, α tehát ( D ) ommutatív csoport, amt az -ed foú dédercsoporta hívu, Számítás szabályo csoportba Mvel a csoport egy sajátos mood, a moodoál megállapított hatváyozás szabály tt s érvéyes Tehát a ( G, ) csoport eseté, ha a G és, aor e, ha = a =, vagy addtív írásmód eseté a a, ha > e, ha = a = ( ) a + a, ha > Ezeívül a csoportba számos olya számítás szabály s érvéyes, amely em alalmazható moodba Eze általába abból öveteze, hogy a csoport eleme vertálható Az vertálható elem bevezetéseor láttu, hogy ha ( G, ) mood, a G és a az a verze, aor ( a ) = a, valamt ha x, y G vertálható az x és y verzeel, aor xy G s vertálható és ( xy) = y x Az verz elem segítségével értelmezhetjü az a G elem tetszőleges egatív egész hatváyát: a : = ( a ), <, eseté Ez alapjá, m < eseté m m m ( + m) + m a a = ( a ) ( a ) = ( a a ) = a = a ( ) <, m eseté feltételezhetjü, hogy m, mert másét m és m m az aa = ( a a ) összefüggés alapjá és m szerepe felcserélőd és ugyaahhoz az esethez vezet
Algebra strutúrá Tehát, ha m, aor m = + r, ahol r, és így m + r = a a r a a = a a a, mert r>, Tehát aa = ( a ) a a = e a = a m r r + m + m m Követez, hogy a = a a, m,, a G m m Hasolóa gazolható, hogy ( a ) = a, m,, a G, vagy addtív írásmód eseté ( m + ) a = ma + a és m( a) = ( m) a, m,, a G Az előbb bzoyításból az s derült, hogy ( a ) = a, a G, Mde csoportba teljesüle a balról egyszerűsítés és a jobbról egyszerűsítés szabálya: abc,, G eseté a b = a c b = c és b a = c a b = c Bzoyítás A művelete tulajdoságat tárgyaló paragrafusba már említettü a helyettesítés törvéyét és láttu, hogy az alapjá tetszőleges művelet eseté egy egyelet mdét oldalát szorozhatju ugyaazzal az elemmel balról (jobbról), aélül, hogy az egyelőség változa Írhatju tehát, hogy a / a b = a c a ( a b) = a ( a c) ( a a) b = ( a a) c e b = e c b = c Ha jobb oldalról szorozzu a másod egyeletet a -tel, megapju a jobboldal egyszerűsítés szabályát Megjegyzése a) A helyettesítés törvéyét haszálju a övetező bzoyításba s: b = e b = a a b = a a b = a a c = a a c = e c = c ( ) ( ) ( ) ( ) b) Az egyszerűsítés szabályaból öveteze a -bel egyeleteél alalmazott egyszerűsítés szabályo 4 Egyelete megoldása csoportba Legye ( G, ) csoport és a, b G Próbálju megolda az ax = b egyeletet! A helyettesítés törvéyéből azoal övetez, hogy a a x = a b, vagys x = a b megoldása az egyelete Az egyszerűsítés szabály alapjá ez az egyetle megoldása a vzsgált egyelete Ha x, x G ülöböző megoldáso, ax x = ax = és az ax = ax egyelőséget balról egyszerűsítve, apju, hogy b = x, tehát x = a b az egyedül megoldás Hasolóa, az ya = b egyelet egyedül megoldása y = ba Megoldott gyaorlato Értelmezzü -be a :, x y : = x + y műveletet Igazolju, hogy (, ) Abel-féle csoport Megoldás belső művelet, mert x y, xy,
Algebra strutúrá G xyz,,, x ( y z) = x ( y + z ) = x + ( y + z ) = x + y + z és ( x y) z = ( x + y ) z = ( x + y ) + z = x + y + z, tehát a művelet asszocatív G Vzsgálju a semleges elem létezését e eseté az e x = x e = x, x tulajdoságból e + x = x + e = x, tehát e = G Vzsgálju meg az vertálható elemeet Ha x tetszőleges, aor az x x = x x = összefüggés alapjá x + x = x + x = és így x = x Mvel x eseté az x = x, állíthatju, hogy mde x elem vertálható a műveletre ézve G4 xy, eseté x y = x + y = y + x = y x, tehát a művelet ommutatív Az előbbe alapjá (, ) Abel-féle csoport Adott a ( G, ) Abel-féle csoport és az a G rögzített elem A G halmazba értelmezzü a : G G G, x y : = x y a műveletet Igazolju, hogy ( G, ) Abel-féle csoport Megoldás Az így értelmezett függvéy belső művelet, mvel G -be belső művelet Vzsgálju a csoport axómát G xyz,, G, x ( y z) = x ( y z a) = x ( y z a) a = x y z a, mert a művelet asszocatív Hasolóa, ( x y) z = ( x y a) z = ( x y a) z a = x y a z a = x y z a, mert a művelet ommutatív s Tehát x ( y z) = ( x y) z, xyz,, G, vagys asszocatív művelet G -be G Ha léteze e semleges elem a ( G, ) algebra strutúrába, aor az x e = e x = x, x G összefüggésből x e a = e x a = x, x G Ha a ( G, ) Abel-féle csoport semleges eleme e, aor a művelet ommutatvtása alapjá írhatju, hogy x a e = x e, x G, tehát a e =, vagys e = a elégít a ( G, ) strutúrába a semleges elem létezésée axómáját, ahol a az a G elem verze a műveletre ézve G Legye x G tetszőleges Vzsgálju, hogy va-e olya x G elem, amelyre x a x x = x = teljesül, vagys x x a = x x a = a Mvel a művelet ommutatív, az x = a x G -bel elem elégít az előbb összefüggést, ahol a a a = G e G4 A ommutatvtás azoal övetez abból, hogy a ommutatív művelet Tehát ( G, ) Abel-féle csoport Megjegyzés Ez a feladat az feladat általáosítása, ahol G =, =+, a = és =
Algebra strutúrá l y Legye G = (, ) \{ } Igazolju, hogy az ( xy, ) x y: = x megfeleltetés művelet a G halmazo és ( G, ) Abel csoport Megoldás Meg ell vzsgálju, hogy belső művelet-e a G halmazba, vagys tetszőleges xy, G eseté x y G teljesül-e, lletve x y egyértelmű-e Az egyértelműség ylvávaló l y Az xy, G elemere x y = x poztív, mert poztív szám hatváya poztív l Az x y = egyelőség csa abba az esetbe állhat fe, ha x = vagy l y =, de eze özül az összefüggése özül egy sem teljesülhet, tehát x y G y) Mvel l y ( l x)( l l l l x = e írhatju, hogy x ( y z) = e x y z = ( x y) z, xyz,, (, )\{ } és x y = y x, x, y (, )\{ } x G eseté l x le l x e = e, tehát a semleges elem e (a természetes logartmus alapja) l x l x Tetszőleges x G eseté e = e csa aor teljesülhet, ha l x = Így l x x = e l x G, tehát ( G, ) Abel-féle csoport 4 Legye ( G, ) olya csoport, amelybe ( xy) = x y, xy, G Igazolju, hogy G Abel-féle csoport Megoldás Tetszőleges xy, G eseté ( xy) = ( xy)( xy), a hatváyozás értelmezése alapjá Felhaszálva az asszocatvtást és a feltételt, xy xy = x y, xy, G A balról, lletve jobbról egyszerűsítés szabályából apju, hogy yxy tehát ( G, ) Abel-féle csoport = xy, majd yx = xy, xy, G, 5 A ( G, ) csoportba mde x G -re x = e Igazolju, hogy ( G, ) Abel-féle csoport Megoldás xy, G-re ( xy) = e, és x = e, valamt y = e, tehát xy = e e= e, a feltétel szert Az előbb összefüggése alapjá írhatju, hogy ( xy) = x y, xy, G, és így az előbb feladat megoldásából övetez, hogy ( G, ) Abel-féle csoport a b 6 Igazolju, hogy a H = b a, b, a + b > a halmaz a mátrxo szorzásával Abel-féle csoportot épez Megoldás Igazolu ell, hogy a mátrxo szorzása belső művelet H -ba Ha a b A x y = b a H és X = ét tetszőleges -bel mátrx, aor y x H H ( ) ax by ay + bx A X = ay bx ax by H, mert
Algebra strutúrá ( ax by) ( ay bx ) a x b y a y b x ( a b )( x y ) + + = + + + = + + >, ha a + b > és x + y > Az asszocatvtás, tehát G teljesülése örölőd a mátrxo szorzásáa asszocatvtásából, és mvel I = ( ), övetez, hogy I semleges elem H -ba a mátrxo szorzására ézve Mde A H > H mátrx vertálható, mert de ta= a + b >, vszot meg ell ézü, hogy egy tetszőleges H -bel mátrx verze (az általáos mátrxszorzásra ézve) H -ba va-e a b Számolással elleőrzhető, hogy A = a + b b a H A ommutatvtás azo- al övetez, ha számolju az AX és XA szorzatoat, tehát Megoldott feladato ( H, ) Abel csoport Ha ( G, ) félcsoport és e G úgy, hogy a) ea = a, a G és b) a G b G úgy, hogy ba = e, aor ( G, ) csoport Megoldás Előbb gazolju, hogy ha G -be x = x, valamlye x -re, aor x = e Valóba, a b) feltétel alapjá y G úgy, hogy yx = e, tehát yx = yx = e () Vszot az asszocatvtás alapjá yx = y ( xx) = ( yx ) x = ex = x, () ahol az a) feltételt s felhaszáltu, tehát az () és () összefüggése szert x = e Igazolju, hogy ha ba = e, aor ab = e s teljesül: ( ab)( ab) = abab ( ) = aeb ( ) = ab, tehát az előbb gazolt tulajdoság alapjá ab = e Még gazol ell, hogy ae = a, a G Legye b G az az elem, amelyre ba = e = ab (az előbb gazolta alapjá) ae = a ( ba) = ( ab) a = ea = a, tehát ( G, ) csoport Megjegyzés Az előbb feladat szert a csoportaxómáat szűebbe s megadhattu vola Elégséges csa a baloldal, vagy a jobboldal semleges lletve verz eleme létezését vzsgál Legye ( G, ) csoport és a G tetszőleges elem a) Igazolju, hogy az La, R a : G G, L ( ) a x = ax és R ( x ) a = xa függvéye bjetíve b) ab, G eseté L = L L a és R = R R ab b ab a b c) ab, G, La R = R La b b Megoldás a) Az L a függvéy bjetvtását gazolju Tetszőleges xy, G eseté, ha L ( x) = L ( y), aor ax = ay, és a baloldal egyszerűsítés szabálya szert x = y, a a
4 Algebra strutúrá tehát a függvéy jetív Ha y G tetszőleges, aor La ( a y) = a( a y) = ( aa ) y = y, tehát a y G úgy, hogy La a y = y Tehát az La függvéy bjetív Hasolóa gazolható, hogy az R a függvéy s bjetív és az L a lletve Ra függvéye verze az L, lletve R függvéye a a b) Tetszőleges a, b G eseté L ( x ) = abx, x G és ab ( La L L b) ( x ) = a ( L x b ( x ) ) = La ( bx) = ab, x G, tehát L = L L ab a b ( ) Ugyaígy gazolható, hogy R R R ab = a c) ab, G eseté ( L R b )( ) a x La ( xb = ) = a ( xb ) = axb, x G és ( La ) ( x ) R = R ( ax) = ( ax)b = axb, x G b b Megjegyzés A fet példa alapjá a H = { La a G} és K = { R a a G} halmazo csoportot alota a függvéye összetételére ézve Legye ( G, ) a (, + csoport Készítsü el a 4 ) ( G, ) és a hozzá tartozó ( H, ) lletve ( K, ) csoporto művelettábláját Mt észlelü? M a magyarázata? Igazolju, hogy ( p )! ( )(modp), mde p prímszám eseté Megoldás ( *, ) Abel csoport, ha p * p prím, tehát p eseté * p úgy, hogy l =, vagys l (mod p) Vzsgálju meg, hogy mlye p eseté lesz verze ömaga A ( mod p) összefüggéshez jutu, am csa a =± eseté teljesülhet és = p Tehát a ( p )! = ( p ) szorzatba egyedül a ( p ) téyező lesz * olya, amelye em szerepel a -bel verze a szorzatba, mert az szorzótéyezőtől, mt semleges elemtől eltethetü Tehát ( p )! = p, és ( p )! p ( modp) Megjegyzés A fet példa a csoportelmélet alalmazhatóságát mutatja a számelméletbe Részcsoporto Láttu, hogy az (, + ) csoportba az halmaza vaa olya stabl részhalmaza, amelye az duált művelettel szté csoportot alota: például (, + ), (, + ), ({,, },+) szté csoporto Az lye csoportoat az (, + ) csoport részcsoportjaa evezzü Vszot az halmaza va olya stabl részhalmaza s az összeadásra ézve, amely az duált művelettel em alot * csoportot Ilye például az (, +) mood, vagy az (, + félcsoport b l * p )
Algebra strutúrá 5 Értelmezés A ( G, ) csoport H részhalmazát ( G, ) részcsoportjáa evezzü, ha ( H, ) s csoport, ahol a művelet alatt az utóbb esetbe az duált műveletet értjü Jelölés: ( H, ) ( G, ), vagy egyszerűe H G Megadu éháy szüséges és elégséges feltételt ahhoz, hogy a ( G, ) csoporta ( H, ) részcsoportja legye Tétel A ( G, ) csoport H részhalmaza aor és csa aor részcsoportja ( G, ) -a, ha a) H ; b) xy, H x y H ; c) x H x H Bzoyítás Vzsgálju a mplácót Előbb gazolju, hogy a ( H, ) csoport e semleges eleme megegyez a ( G, ) csoport e semleges elemével Valóba, e e = e () a H csoportba, másrészt pedg a G csoportba e = e e () Az () összefüggés a G csoportba s ell teljesüljö, mert a művelet ugyaaz -ba, mt G -be, tehát () és () alapjá e e = e e, és a balról H egyszerűsítés szabálya szert e = e Mvel a H -bel semleges elem megegyez e -vel, az a), b) és c) tulajdoságo azoal öveteze Fordítva, ha teljesüle az a), b) és c) feltétele, aor H -ba a belső művelet lesz és az asszocatvtás örölőd, tehát csa a semleges elem létezését ell gazolu H -ba, mert az verz elem létezését a c) feltétel bztosítja Mvel H em üres, övetez, hogy x H A c) feltételből övetez, hogy x H, és alalmazva a b) feltételt az x, x H elemere, apju, hogy e = x x H Tehát ( H, ) ( G, ) Tétel A ( G, ) csoport H részhalmaza aor és csa aor részcsoportja G -e, ha e H és xy, H xy H Bzoyítás Az tétel alapjá elégséges, ha azt gazolju, hogy az (e H és xy, H xy H ) feltétele evvalese az Tétel a), b) és c) feltételevel A mplácó ylvávaló Fordítva, mvel e H, tetszőleges x H eseté e x = x H, valamt az xy, H tetszőleges elemere xy, H, az előbbe alapjá és ( ) x y = xy H Megjegyzés Az és tétele alapjá a részcsoportot értelmezhettü vola, a tételebe szereplő feltétele segítségével Egyes öyve az tétel a), b) és c) feltételet szotá megad a részcsoport értelmezésée, és azo alapjá bzoyítjá be az általu megadott értelmezést, lletve a tételt Az és tételt a részcsoporto jellemzés tételée evezzü
6 Algebra strutúrá Példá részcsoportora Trváls részcsoporto A ( G, ) csoport ({}, e ) lletve ( G, ) részcsoportjat trváls részcsoportoa evezzü A em trváls részcsoportoat valód részcsoportoa evezzü Igazolju, hogy a (, + ) csoport mde részcsoportja = alaú, { } ahol Bzoyítás A tétel alapjá (, + ) részcsoportja a (, + ) csoporta, mde eseté Igazol ell, hogy cs más részcsoportja a (, + ) csoporta Feltételezzü, hogy ( H, + ) (, + ) A H = { h H h > + } halmazra teljesül a H + H befoglalás Ha H =, aor H = { }, tehát H = Elleező + esetbe, mvel H jólredezett halmaz, = m H + Igazolju, hogy H = + A maradéos osztás tétele szert m H eseté létez r < úgy, hogy m = + r, ahol Mvel H és így m H Tehát m = r H Ha r >, aor r és r elletmod megválasztásáa, tehát r = és így H A fordított befoglalás ylvávaló, tehát H = H A ( G, ) csoport cetruma (a ommutáló eleme részcsoportja) Bzoyítsd be, hogy ha (, ) csoport, aor H + < G Z = { x =, } G xy yx y G G részcsoportja ( G, ) -a Bzoyítás Az tételt haszálju e Z G, mert értelmezése szert a semleges elem mde elemmel ommutál, tehát Z em üres Ha xy Z és a G tetszőlegese, aor ( xy) a = x ( ya) = x ( ay) = ( xa) y = ( ax) y = a ( xy), tehát xy Z G Ugyaaor G, G x a x ae x a xx x ax x x xax ax = ( ) = ( )( ) = ( ) = =, tehát x, vagys Z G G Z G 4 Clus részcsoport A (, ) G csoport eseté {,,,, H = e a a a,} { a, a,, a,} részcsoportja G -e A ( H, ) részcsoportot az a által geerált clus részcsoporta evezzü, általába a H = a jelölést haszálju Ha G véges csoport, aor H s véges, tehát m,, m úgy, hogy a = a m Ebbe az esetbe feltételezhetjü, hogy < m, és az előbb egyelőséget m szorozva a -el valamely oldalról, apju, hogy a * = e, vagys úgy, hogy a = e A legsebb lye ullától ülöböző természetes számot az a elem redjée evezzü és orda -val jelöljü
Algebra strutúrá 7 Példá (, + ) az által geerált clus részcsoportja (, +) -a: = ; G = { } eseté ( G, ) a által geerált clus részcsoportja ( *, )-a; (, + 6 ) ({ 4,, },+) a által geerált clus részcsoportja és ord = 5 Geerált részcsoport Igazolju, hogy a ( G, ) csoport H G és K G részcsoportjaa metszete s részcsoport! Valóba, mvel e H és e K, övetez, hogy e H K Legye xy, H K ét tetszőleges elem Követez, hogy x, y H és x, y K, tehát xy H és xy K, vagys xy H K és a részcsoporto jellemzés tétele alapjá H K G A matemata ducó módszerével gazolható, hogy tetszőleges számú részcsoport metszete s részcsoport, sőt, ha G G,, aor G G Az előbb észrevétel alapjá értelmezhetjü az adott A G halmaz által geerált részcsoportot Legye A H G, A H = = H, vagys A a G csoport A -t magába foglaló részcsoportjaa a metszete Az előbbe alapjá A G -e a legsebb, A -t tartalmazó részcsoportja G Tulajdoéppe A Megjegyzés Igazolju, hogy A { x x x x A, { }, } Ha = ± A =, aor a geerált részcsoport értelmezése alapjá A = {} e, tehát teljesül a feltétel Ha A em üres, tetjü a W = { x x x x A, { ± }, } halmazt W G és A W, mert x A, x = x W és mvel x A, xx W, tehát e W Mde W -bel elem verze szté W -ből va és ét W -bel elem szorzata s eleme W -e, tehát A W G, mert A a legsebb A -t tartalmazó részcsoport Ugyaaor a részcsoport értelmezéséből övetez, hogy W A, tehát A = W 6 Ha = {, a, a,, a,} { a, a,} G e, aor azt modju, hogy ( G, ) clus csoport Példá véges clus csoportra: (, ), ( U ), ( R, +) Példá végtele clus csoportra: (, + ), (, + ) 4 Csoportmorfzmuso Vzsgálju meg alaposabba az ( U ) és (, + ) csoportoba a és + 5 művelete művelettábláját: 5, +,
8 Algebra strutúrá + 4 ε ε ε 4 ε 4 ε ε ε 4 ε 4 ε ε ε ε 4 ε 4 ε ε ε 4 ε ε 4 ε ε 4 ε ε ε 4 4 4 ε 4 ε ε ε ε Észrevehetjü, hogy a ét művelettábla megegyez, az egyes eleme jelölésétől U, + 5 eltetve, vagys ha az ( ) és ( ) csoportoba az elemeet ugyaazoal az 5,, e ; ε, a ; ε, b ; ε, c ; ε 4, 4 d betűel jelölé, aor a + és művelete táblázata ugyaaz lee Erre a téyre semm magyarázat cse látszólag, hsz a ét művelet teljese ülöböz: egy multplatív, a más addtív és más-más halmazoo s vaa értelmezve Ha értelmezzü az f : U bjetív függvéyt úgy, hogy f () =, 5 5 f ( ε ) =, f ε =, f ε = 4 és f ε = 4, aor az előbb észrevett ( ) ( ) összefüggést f ( ab) = f ( a) + f () b alaba s írhatju, ahol a, b U tetszőlegese 5 Vegyü észre, hogy ha ét tetszőleges ( G, ) és ( G, ) véges csoport művelettáblája megegyez, az előbb értelembe, aor mdg létez a fet f : G G bjetív függvéy úgy, hogy f ( a b) = f ( a) f () b, ab, G eseté feálljo Az s ( ) lehetséges, hogy több lye bjetív függvéy s létez, mt azt lát fogju Ugyaaor, ha f : G G bjetív függvéy az f ( a b) = f ( a) f () b, ab, G tulajdosággal, aor a ét csoport művelettáblája megegyez, legfeljebb az egybe fel ell cserélget éháy sort és oszlopot Tehát f és ( G, ) egyértelműe meghatározza a ( G, ) művelettábláját Értelmezés A ( G, ) és ( G, ) csoportoat zomorf csoportoa evezzü, ha létez olya f : G G függvéy, amely: a) bjetív; b) művelettartó: xy, G f ( x y) = f ( x) f ( y) Az lye függvéyeet csoport-zomorfzmusoa evezzü Az zomorf csoportora a ( G, ) ( G, jelölést haszálju ) Megjegyzése Ha az f függvéyre csa a b) feltétel teljesül, aor azt modju, hogy f csoportmorfzmus vagy homomorfzmus ( G, ) és ( G, ) özött A homomorfzmuso halmazát G -ről G -re Hom ( G, G )-vel jelöljü Például az f : ), f ( ) = függvéy csoportmorfzmus (, + és (, + ) özött, de
Algebra strutúrá 9 em zomorfzmus (em jetív a függvéy) Ha ( G, ) csoport, aor az f : G G zomorfzmusoat automorfzmusoa evezzü Az automorfzmuso halmazát Aut ( G) -vel jelöljü Az f : G G homomorfzmusoat edomorfzmusoa evezzü, az általu épezett halmazt pedg Ed ( G) -vel jelöljü Vegyü észre, hogy evvaleca relácó a csoporto Γ halmazá: a) G Γ, G G, mert f : G G, f x = x automorfzmus; ( ) b) G, G, G Γ, G G és G G G G, mert ha g : G G zomorfzmuso, aor g f : G G s zomorfzmus; c) G G G G, mert f zomorfzmus f zomorfzmus f : G G és Tehát evvaleca relácó Γ -, így meghatároz egy osztályfelbotást: Γ = G, ahol G a G -vel zomorf csoporto halmaza Mt láttu, az zomorf csoporto azoosaa tethető olya értelembe, hogy csa az eleme jelölése és a művelet eve ülöböz, ezért a G -bel csoporto smeréséhez elegedő, ha smerjü valamely G csoport művelettábláját és az zomorfzmusoat, am összeapcsolja G -t a G osztály tetszőleges csoportjával Ezzel elértü a moder G algebra ét céltűzéséhez: a) Egy G osztályo belül az zomorfzmuso smerése; b) Az összes osztályo smerése Morfzmuso tulajdosága Legyee ( G, ), ( G, ) csoporto és f : G G morfzmus, tehát f ( x y) = f ( x) f ( y), xy, G Alalmazzu a fet összefüggést az semleges eleme Tehát = x = y = e f ( e e ) = f ( e) f ( e ), vagys f ( e ) f ( e) f ( e) G -be Mvel ( G ) csoport, létez ( ) elemre, ahol e a G csoport =, () mert e e e, f e -e verze G -be, beszorozva az () összefüggést valamely oldalról f ( e ) -el, apju, hogy f ( e) f ( e ) = f ( e ) ( f ( e ) f ( e ) ), és haszálva az asszocatvtást, e e f e f e = e () ( ), ahol e a G csoport semleges eleme, tehát ( ) = Vszot x G eseté x x = x x = e, a () összefüggés alapjá írhatju, hogy e = x x = f x f x és e = f ( x x) = f ( x ) f ( x), f ( ) ( ) ( ) ( ) tehát a G csoportba tetszőleges x G -re f x = [ f ( x) ]
Algebra strutúrá A morfzmus értelmezése alapjá írhatju, hogy f ( x x) = f ( x) f ( x) = [ f ( x) ], és feltételezve, hogy általába f ( x ) = [ f ( x) ], írhatju, hogy ( + ) = ( ) = ( ) ( ) = ( ) f x f x x f x f x [ f x ] f ( x) = [ f ( x) ], tehát a matema- ta ducó elve alapjá f ( x ) = [ f ( )], x G, (az = eset potosa az ( ) f e x = e, már gazolt összefüggést jelet) + Összefoglalva a fet eredméyeet, bebzoyítottu az alább tételt: Tétel Ha ( G, ) és ( G, ) csoporto és f : G G morfzmus, aor a) f ( e ) = e ; b) f ( x ) = [ f ( x) ], x G ; c) f ( x ) = [ f ( x) ], x G,, ahol e a G csoport semleges eleme és e a G csoport semleges eleme Példá, megoldott feladato Láttu, hogy ( G, ) csoport eseté G G Igazolju, hogy a Kle csoport em zomorf a (, + csoporttal 4 Megoldás Ha léteze egy f : K zomorfzmus, aor 4 f ( x x) = f ( x) + f ( x), mde x K eseté Vszot f ( u u) = f ( e) =, tehát f ( x) + f ( x) =, x K Mvel f bjetív, övetez, hogy =, 4 Ez em teljesül, mert = eseté = -be, tehát a ét csoport em zomorf a b A H b a a, b, a b *, csoporttal a ( ) Megoldás A = + > 4 H -bel mátrxo alaja az ) csoport (a mátrxo szorzásával) zomorf * f : H, a b f b a = a + b * zomorfzmust sugallja f jól értelmezett, mert ha a + b >, aor a + b és a + b egyértelműe meghatározott omplex szám Elleőrzzü, hogy ez a függvéy a b x y valóba zomorfzmus Ha A = b a és X = ( y x) tetszőleges H -bel eleme, ax by ay + bx aor AX = x by és ay bx a
Algebra strutúrá ax by ay + bx f ( A+ X) = f ay bx ax by = = ( ax by) + ( ay + bx) = ( a + b) ( x + y) = f ( A) f ( X ), tehát f művelettartó f bjetvtása az értelmezés alapjá azoal övetez, tehát a vzsgált csoporto zomorfa Követezméye a) Vegyü észre, hogy a fet zomorfzmus alapjá tetszőleges A H mátrx - ed hatváyát úgy s számolhatju, hogy számolju az A -a egyértelműe * megfelelő f ( A) = z omplex szám -ed hatváyát, amt a Movre éplet alapjá egyszerűe megtehetü és ee az ősépét eressü Az ( ) ( ) cos ϕ s ϕ f A = f A = z összefüggés alapjá A = r s, ahol ϕ cos ϕ z = r( cos ϕ + s ϕ) és z = r ( cos ϕ+ s ϕ) b) Oldju meg az X + Y + Z = I X + Y + Z = 6I egyeletredszert H -ba X + Y + Z = 8I Mvel ( H, ) ( *, ) és ( H { }, + ) (,+), ugyaazzal az f : H, f ( A) = a +b zomorfzmussal, elég az egyeletredszer -bel duálsát megolda z + v + w = Ez a z + v + w = 6 egyeletredszer A Véte-féle összefüggéseet felhaszálva, z + v + w = 8 ee a redszere a megoldása { zvw,, } = {,, }, tehát { } { } { } ( ) XY,, Z = f, f ( ), f ( ) = I, I, I 4 A ( G, ) csoportba f : G G, f ( x) = axa automorfzmus Megoldás Ha xy, Gtetszőlegese, aor ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f xy = a xy a = a x a a y a = axa aya = f x f y, tehát f művelettartó Igazolju, hogy f bjetív Tetjü az f : G G, f ( x) a x = a függvéyt ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) = ( ( ) ) = ( ) = f f x = f f x = f a xa = aa xaa f f x f f x f axa a axa a x = x és =, x G Tehát f bjetív és így f automorfzmus 5 Igazolju, hogy (, + ) / (, + ) Megoldás Ha f :(, + ) (, + ) zomorfzmus, aor az f ( ) = f( + + + ) = f( ) + f( ) + + f( ) = f( ) és f( ) = f( )
Algebra strutúrá egyelősége alapjá az f :, f ( ) = a függvéy bjetív Másrészt, ha p a =, aor az f em vesz fel az értéet, tehát f em bjetív Így a ét q ( q + ) csoport em zomorf Megjegyzés A bzoyítás léyege az, hogy (, +) clus és (, + ) em az 6 Legye ( G, ) csoport és H M egy tetszőleges em üres halmaz, amelye adott a : H H M függvéy (tehát em tudju a -ról, hogy belső művelet-e, vagy sem) Igazolju, hogy ha f : G H egy művelettartó bjetív függvéy, aor ( H, ) csoport és ( H, ) ( G, ), az f pedg zomorfzmus Megoldás A övetező tulajdoságoat ell gazolju: G belső művelet H -ba G asszocatív G H -ba létez az e H semleges elem a műveletre ézve G x H eseté x H úgy, hogy x x = x x = e Ha serült a fet összefüggéseet bzoyíta, aor a ( H, ) ( G, ) relácó f tulajdoságaból azoal övetez G Legye x, y H ét tetszőleges elem Mvel f szürjetív, ab, G úgy, hogy f ( a ) = x és f ( b) = y f művelettartó s, ezért írhatju, hogy x y = f ( a) f () b = f ( a b) = z, és z egyértelmű, mert f ( a b) s az, valamt z H, az f függvéy értelmezése alapjá Tehát belső művelet H -ba G Tetszőleges xyz,, H eseté haszálva smét f bjetvtását, írhatju, hogy x ( y z) = f() a ( f() b f() c ) = f() a f( b c) = f( a ( b c)) = = f (( a b) c) = f( a b) f ( c) = ( f ( a) f ( b) ) f ( c) = ( x y) z, mert ( G, ) csoport, tehát asszocatív művelet G -be G x H eseté a G, f ( a ) = x és x f() e f() a f() e f ( a e) f() a x f ( e) x = = = = =, tehát f () e = e semleges elem H -ba G x H eseté a G, f ( a ) = x ( ) ( a ) ( ) és e = f a a = x x, valamt e = f aa = x x, ahol x = f H, tehát mde x H eleme va verze H -ba Ezzel a bzoyítást befejeztü Megjegyzés Az előbb eredméy so feladat megoldását öyít meg Az olya feladato esetébe, amelye azt ér, hogy gazolju egy ( H, ) strutúráról, hogy csoport és zomorf a ( G, ), már smert csoporttal, a fet eredméy alapjá elégséges megadu egy f : G H művelettartó és bjetív függvéyt, mert az garatálja azt s, hogy ( H, ) csoport lesz
Algebra strutúrá Morfzmus magja Ahhoz, hogy egy f : G G morfzmus zomorfzmus legye, f bjetív, vagys jetív és szürjetív ell legye Igazolju, hogy f jetvtásához szüséges és elégséges az a feltétel, hogy az f ( x) = e, x G összefüggésből övetezze, hogy x = e, vagys f ( e) = { e}, ahol f ( e ) az e ősépét jelet Bzoyítás Ha f jetív, aor gaz az állítás, mert tudju, hogy f ( e ) és x G eseté f ( x) = e = f ( e )-ből övetez, hogy x = e Fordítva, ha f ( e ) = { e } = e, aor legye x, y G ét tetszőleges elem úgy, hogy f ( x) = f ( y) Szorozzu be az egyeletet jobbról [ f ( y)] -el: f ( x) [ f ( y) ] = e () Láttu, hogy [ ( )] f y = f ( y ), tehát ()-ből övetez, hogy ( ) ( ) = és a morfzmus értelmezése alapjá ( ) f x f y e f x y = e A feltétel szert x y = e és balról szorozva y -al, apju, hogy x = y, vagys f jetív Ezzel a bzoyítást befejeztü és adtu egy szüséges és elégséges feltételt arra, f e = e ell teljesüljö hogy egy morfzmus jetív legye: ( ) { } Általába az f : G G morfzmus eseté az f ( e ) Az ( ) halmaz több elemből áll f e halmazt az f morfzmus magjáa evezzü és Ker f -fel jelöljü A fet eredméyt így s megfogalmazhatju Tétel Az f : G G morfzmus potosa aor jetív, ha Ker f = { e } Igazolju, hogy Ker f részcsoportja G -e! Már láttu, hogy f ( e ) = ( ) tetszőlegese Eor e, tehát e Ker f Legyee xy, Kerf f x y = f ( x) f = f x) [ f ( y) ] = e e = e, ( y ) ( : tehát x y Ker f, és a részcsoporto jellemzés tétele alapjá Ker f G Morfzmus épe Az előbbebe adtu egy szüséges és elégséges feltételt arra, hogy egy f G G morfzmus jetív legye A szürjetvtás aor és csa aor fog teljesül, ha Im f = G, am em mdg gaz Vzsgálju meg az Im f G halmazt Mvel ( ) f e = e uv, úgy, hogy ( ) G ( f ( v) ) y, övetez, hogy e Im f Általába, ha x, y Imf, aor f u = x és f ( v ) = y A másod összefüggés szert f v = [ f v ], írhatju, hogy = és mvel ( ) ( ) x y f u f v f u v = ( ) ( ) = ( ), tehát xy Im f
4 Algebra strutúrá A feteből övetez, hogy Im f G Összegezve a apott eredméyeet, írhatju, hogy az f : G G morfzmus aor és csa aor zomorfzmus, ha Ke r f = { e } és Im f = G I Izomorfzmus tétel Megoldott feladat Legye ( G, ) és ( G, ) ét csoport, valamt f : G G egy morfzmus a) Igazolju, hogy a relácóál bevezetett er f olya evvaleca relácó (emléezzete vssza, hogy a tetszőleges A, B halmazora és f : A B függvéyre a er f relácót a övetezőéppe értelmeztü: e r f = ( AAR,, A A) def aer f b f a = f ( ) () b ), amely ompatbls a művelettel, vagys ha teljesüle az a er f b és c er f d összefüggése, aor ( a c) er f ( b d) b) Tetjü a G /erf fatorhalmazt Igazolju, hogy : G/er f G/er f G/erf, xy : = x y művelet a G /erf halmazo c) Igazolju, hogy a g : G/erf G, g( x ) = f() x függvéy jól értelmezett, jetív morfzmus Megoldás a) A feltétel szert f ( a) = f () b és f ( c) f ( d), tehát G -be a helyettesítés = törvéye alapjá f ( a) f ( c) = f () b f () d, és mvel f morfzmus, övetez, hogy f ( a c) = f ( b d), vagys ( a c) er f ( b d) b) Az, hogy az eredméy a G /erf halmazból va, ylvávaló Egyedül az egyértelműséget ell megvzsgál Feltételezzü, hogy x, x x, y, y y A feltétel szert x er f x és y er f y ( ) hogy x y = x y Ez alapjá a művelet jól értelmezett így, tehát az a) pot alapjá ( x y ) er f x y és e övetez, c) g jól értelmezett, mert x, x x eseté er x, tehát g ( x) = f ( x) = f ( x ) = f x ( ) x f f ( x ) = f ( x ) Igazolju, hogy g jetív x, y G /erf a g( x ) = g( y ) egyelőségből és, és egyértelmű (em függ a reprezetástól) övetez, hogy fx ( ) = f( y), tehát x er f y és így x = y az evvaleca relácó tulajdosága alapjá Ezért g jetív Igazolju, hogy g morfzmus: g( xy) = g( x y) = f ( x y) = f ( x) f ( y) = g( x) g( y), xy, G/erf
Algebra strutúrá 5 Megjegyzése Az előbb feladatba a tetszőleges csoportból az G f : G G G morfzmus segítségével felépítettü egy G csoportot és egy g : G jetív morfzmust Vegyü észre, hogy a G halmazo a művelet bevezetéseor potosa ugyaúgy jártu el, mt -be a művelete bevezetéseor és ugyaúgy gazoltu, hogy a művelet jól értelmezett, mt -be A -bel összeadást megaphatju az előbb eljárással s, ha az f :(, + ) ( U,), ahol {, εε,,, ε π π U = } és ε = cos + s, f ( ) = ε morfzmust tetjü és elvégezzü a fet fatorzácót, lletve az új művelet bevezetését 4 A er f relácó és a Ker f G részcsoport özött feáll az alább összefüggés: er f = Ker f ) 5 A ( G /er f, csoportot a G er f szert fatorcsoportjáa evezzü Iább a G /Kerf jelölést szotu haszál Ezért, a megjegyzés alapjá = / Az előbb feladatba tulajdoéppe a övetező tételt gazoltu: Tétel (I zomorfzmus tétel) Ha ( G, ) és ( G, ) csoporto és f : G G egy morfzmus, aor G Im /Kerf f Bzoyítás Egy zomorfzmust ell megadju, am ylvá az előbb megszeresztett g : G /Kerf Imf függvéy lesz g jetvtását az előbb feladatba gazoltu, a szürjetvtás pedg oa övetez, hogy G helyett az Im f G csoportot vettü Alalmazáso, övetezméye Igazolju, hogy ( /, + ) (, + ) Megoldás Szeresztü egy f : szürjetív morfzmust, melyre /Ker f = / Mvel ehhez a Ker f = összefüggés ell teljesüljö, övetez, hogy f olya morfzmus ell legye, amelyre f ( r ) =, mde r eseté Legye f ( a + b) = b, ab, Ker f =, továbbá Im f = és ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) f z + z = f a + b + a + b = f a + a + b + b = f z + f z Tehát f szürjetív morfzmus és Ker f = Az I zomorfzmus tétel alapjá ( /, + ) (, + ) Legye ( a, ) egy clus csoport Igazolju, hogy, úgy, hogy a Megoldás Legye f : x, f ( ) = a f morfzmus, mert
6 Algebra strutúrá + f ( l) a a a f = a = a l l + = =, továbbá Im { } { Ker f = f ( ) = e} (, + ), ezért létez úgy, hogy Ker f =, tehát / a, vagys a Megjegyzése Az vagys a =,,, e a a a, a, végtele halmaz esetbe, = { } alapjá apju, hogy a Említettü már, hogy egy csoportot smerü, ha smerü egy vele zomorf csoportot és egy zomorfzmust, ezért a fet példával jellemeztü a clus csoportoat Taulmáyozásuhoz elégséges a (, + ) csoport taulmáyozása Ha m, úgy, hogy ( m, ) =, aor ( m, + ) ( m, +), ahol a m halmazo az összeadást a övetezőéppe értelmeztü: ( xy, ) + ( uv, ) : = x + uy, + v, ( xy, ), ( uv, és az x, valamt y ( ) ) m jelölése a m lletve elemee a megülöböztetésére szolgála Köye gazolható, hogy ( +) csoport és semleges eleme (, m, ) Bzoyítás Legye f : m, f ( x) = ( x, x ) f morfzmus, mert mde xy, eseté f ( x + y) = ( x + y, x + y) = ( x + y, x + y ) = ( x, x ) + ( y, y ) = f ( x) + f ( y) Meghatározzu az f magját: { ( ) } ( ) { } Ker f = x f x = (, ) = x x, x = (, ) = {, } { } = x x m x = x x m = m, mert m és relatív príme Az első zomorfzmus tételből övetez, hogy g : /m I, g x = f x mf ( ) ( ) zomorfzmus, ahol x -lal jelöltü a / m = m fatorhalmaz egy elemét Igazolu ell még, hogy Im f = m Ehhez észrevesszü, hogy a m halmaza m eleme va, ezért, mvel g bjetív függvéy, az Im f halmaza s m eleme ell legye De Im f m és m -e s m eleme va, tehát Im f = m Összefoglalva a apott eredméyeet, ( m, + ) ( m, + ) Megjegyzés Az előbb tulajdoságot ía maradététele s szotá evez Alalmazás Látszólag az előbb gazolt tétele semm öze cse a számelmélethez, vszot a övetező példa alapjá ez em így va: Határozzu meg azoat az egész számoat, amelyee 5 -tel való osztás maradéa és 7 -tel való osztás maradéa Megoldás A feladat szert azoat az x számoat eressü, amelyere x = -be és x = -be Az előző tétel értelmébe f :, 5 7 5 5 7
Algebra strutúrá 7 ( ) ( u, ) f (, f u = u zomorfzmus, ezért ha x elégít a fet ét egyeletet, aor az ( ) x = ) egyeletet s ell elégítse, vszot f, = 7, tehát x = 7 -be, vagys a 5 + 7, alaú számo felele meg a övetelméyee 5 5 Lagrage tétele Az előbb fejezetebe már láttu éháy alalmazást véges csoportora Bevezettü az elem redjée a fogalmát és éháy esetbe rá s mutattu, hogy a véges csoporto elmélete jól alalmazható a számelméletbe: lye példá volta a Wlso tétel, lletve a ía maradététel Ebbe a paragrafusba megadu egy fotos elmélet eredméyt véges csoportora Feladat Legye ( G, ) egy csoport és H G Bevezetjü a övetező jelölést: xh = { xh h H }, ahol x G Igazolju, hogy ha xy, G, aor xh = yh y x H Megoldás Ha xh = yh, aor mvel e H, övetez, hogy x = x e xh, tehát x yh s ell teljesüljö Így h H úgy, hogy x = yh, vagys y x = h, tehát y x H Fordítva, ha y x H, aory x = h H és tetszőleges a xh eseté h H : a = xh = yh h yh, tehát xh yh, és hasolóa gazolhatju a fordított befoglalást Követezméy Az előbb feladat alapjá ét, xh lletve yh alaú halmaz vagy dszjut, vagy megegyez, mert ha a xh yh, aor xh = a = yh, tehát y x = h h H és xh = yh Tétel (Lagrage) Ha ( G, ) egy véges csoport és H G, aor G H Bzoyítás Ha H = G, aor az oszthatóság ylvávaló Elleező esetbe x, x,, x G úgy, hogy G = x H x H x H és xh xh =, ha j j, vagys az xh halmazo egy partícóját alotjá G -e, tehát = = H, vagys G = H, amt bzoyíta ellett G = x H Vszot az f : H x H, f () a = xa függvéye bjetíve, tehát = xh Alalmazáso Igazold, hogy a ( G, ) elemű csoportba ord( a) Igazold, hogy az elemű ( G, ) csoportba x = e, x G p Igazold, hogy a eseté a a ( mod p), ha p prímszám (Ks Fermat tétel)
8 Algebra strutúrá 4 Igazold, hogy a ϕ ( ) ( mod ), ha ( ) * a, =, a,, ahol ϕ ( ) az -él sebb, -el relatív príme száma, vagys ϕ az Euler függvéy (Euler tétel) 6 Az S permutácócsoport Vzsgálju meg alaposabba az ( S, ) csoportot Már tárgyaltu, hogy S =! és a permutácó szorzása általába em ommutatív Például S -ba az α = és β = permutácóra, mert αβ = αβ ( ) = α ( β ( ) ) = α ( ) =, αβ ( ) = α ( β ( ) ) = α ( ) =, αβ ( ) = α ( β ( ) ) = α ( ) = Hasolóa, βα =, tehát αβ βα A permutácó étsoros jelölése fgyelme ívül hagyja a permutácó éháy fotos tulajdoságát, és már ét permutácó szorzatáa a számolását ehézessé tesz Ee a téye a fgyelembevételével vezetjü be a clus fogalmát Cluso Legyee,,, r ülöböző egész számo és özött Ha α S a több r változót rögzít (vagys ( x) ( ) α α = x, ha x {,,, } \ {,,, r } α ( ) α ( ) = ( r ) = = r r r -clus, vagy r hosszúságú clus Jelölés: α = és ha =,,,, α, aor azt modju, hogy α egy ( r ) Megjegyzése Az -cluso mde elemet rögzítee, tehát mde -clus megegyez az detus permutácóval A -cluso ét elemet cseréle fel, és a több elemet rögzít, az lye permutácóat traszpozícóa hívju Példá clusora 4 4 5 4 = ( 4 ); ( 5 4 ) 5 4 = ; 4 5 4 5 = ( )( 4)() 5 = ( ) Legye α = () és β = ( 4 5) Számítsu γ = αβ -t, cluso segítségével! Írhatju, hogy γ( ) = α β( ) = α =, γ( ) = α β( ) = α 4 = 4, ( ) ( ) ( ) ( ) γ( 4) = α β( 4) = α =, ( ) ( )
Algebra strutúrá 9 tehát a clus végére értü Még a γ ( ) és γ () 5 értéeet ell számol γ( ) = α( β( ) ) = α() 5 = 5 és γ() 5 = α( β( 5) ) = α( ) =, tehát αβ = ( )( 4 5) = ( 4)( 5) Az α és β, S -bel permutácóat dszjut permutácóa evezzü, ha mde olya x -et, amt elmozdít az egy, rögzít a más, vagys, ha α ( x) x, aor β ( x) = x és ha β ( y) y, aor α ( y) = y Vegyü észre, hogy az értelmezés szert megegedett az olya z {,,,} létezése, hogy α( z ) = β( z) = z A cluso értelmezéséből adód, a övetező tulajdoság: α(), α() Tétel Az α és β dszjut cluso szorzata a σ () = β(), β() egyelőségeet teljesítő permutácó, tehát αβ = βα Ebből a tulajdoságból adód a permutácó dszjut clusora való botása 4 5 6 7 8 9 Botsu fel a σ = 6 5 9 4 8 7 permutácót dszjut cluso szorzatára Az -ből dulva az 5 clushoz jutu Az első elem, am ebből maradt a Ebből dulva a 6 4 9 clushoz jutu és a mdét clusból maradó eleme a 7 8 7 clust határozzá meg Az előbb tétel alapjá írhatju, hogy σ = ( 5)( 6 4 9) ( 7 8) Ez az eljárás tetszőleges permutácóra megsmételhető, tehát érvéyes a övetező tétel Tétel Mde α S permutácó felbotható dszjut cluso szorzatára Bzoyítás Megeressü a legsebb olya {,,, } elemet, amelyre f () Ha lye cs, aor a permutácó detus permutácó és egy hosszúságú clusa fogható fel Elleező esetbe a választott elem ( j ) segítségével megszeresztjü az f ( ), f( f( )),, f ( ), számoat Mvel az {,,,} halmaz véges és f bjetív ebbe a sorozatba megjele a s Ha ( f j ) () = és j a legsebb ullától ülöböző szám ezzel a tulajdosággal, aor a f, ( ),, f ( j ) ( ) számo egy c clust határoza meg Ezt megsmételjü Megeressü a legsebb olya elemet, amely em szerepel c -be és f () majd ebből dulva megszeresztü még egy clust stb Mvel véges so elemü va, véges so clus azoosítása utá már em marad olya elem, amelyre f (), és amely em szerepel egyetle addg clusba sem Így megaptu a permutácó egy felbotását dszjut clusora Ha az egy hosszúságú clusoat em számítju, aor ez az előállítás egyértelmű Követezméy Mde permutácó felírható traszpozícó szorzataét Valóba, az előző tétel alapjá elég egy clust felíru traszpozícó szorzataét és ( r) = ( r)( r ) ( )
4 Algebra strutúrá Vegyü észre, hogy általába a traszpozícóra botás em egyértelmű és a traszpozícó em s dszjuta Például, ( ) = ( )( ) = ( )( ) = ( )( 4 )( )( 4) Úgy tű, hogy álladó marad az lye felbotásoba a megjeleő téyező számáa partása Ee bzoyítására szüségü va egy újabb fogalomra Értelmezés Az (, j) számpárt a σ permutácó verzójáa evezzü, ha < j és σ() > σ( j ) A σ permutácó verzóa számát ( σ) -val jelöljü és az ( ) εσ ( ) = ( ) σ számot a permutácó előjelée evezzü σ() σ( j) szám egatív és mde j σ() σ( j) számpár eseté ez az aráy poztív Így a szorzat előjele j Vlágos, hogy mde (, j) verzó eseté a más (, j) < j megegyez az ( ) ( σ ) előjelével Ugyaaor a σ függvéy bjetvtása matt a számlálóba s és a evezőbe s az előjeletől eltetve megjele mde lehetséges j ülöbség ( < j ) Eszert a szorzat abszolút értée, tehát gaz a övetező tétel σ() σ( j) Tétel Ha σ S, aor εσ ( ) = j Ebből övetez, hogy az ({, }, ) csoporto özt Valóba < j ε : {, } S függvéy egy morfzmus, az S és a σϕ() σϕ() j σϕ() σϕ() j ϕ() ϕ() j εσϕ ( ) = = = εσεϕ ( ) ( ), < j j < j ϕ() ϕ( j) j mvel a szorzatot felbothatju ét szorzatra és az első szorzatba a ϕ változócserével ( ϕ bjetív) éppe εσ ( )-t apu Ezt tétel formájába s megfogalmazzu Tétel Ha σ és ϕ ét permutácó S -ből, aor εσϕ ( ) = εσεϕ ( ) ( ) Mde (, j ) ( < j) traszpozcó páratla, mert az és j özött eleme mdegyével mdette verzót alota (ez páros számú verzó) és egymással még egy verzót alota, tehát traszpozcóba az verzó száma páratla Így mde traszpozícó előjele Ebből övetez, hogy ha egy σ permutácót traszpozícó szorzatára botu, aor a traszpozcó számáa partása csa σ -tól függ és em a felbotástól Ez doolja, hogy egy permutácót páros permutácóa evezü, ha páros számú traszpozícóra boml, elleező esetbe pedg páratlaa A permutácó előjelée vzsgálata so probléma megoldásába ulcsfotosságú Tetsü például a 5 -ös játéot Egy 4 4 -es dobozba elhelyeztü a számoat -től 5 -g és szabado hagytu egy mezőt Egy lépés azt jelet, hogy az éppe ürese álló mezőre áthelyezzü valamely oldalszomszédos mező álló számot (így persze az üres mező máshova erül) A érdés az, hogy az alább ábrá látható első állásból elérhető-e a másod
Algebra strutúrá 4 4 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 9 4 5 5 4 Ha mde álláshoz hozzáredelü egy S -bel permutácót, aor öye megállapíthatju, hogy mlye állásoat em érhetü el egyáltalá Egyelőre csa azt vzsgálju meg, hogy az első állásból elérhető-e a másod Számozzu meg a mezőet úgy, ahogy az első ábrá látju és az üres mező legye a 6 -os Egy álláshoz redelt σ permutácóba a σ () legye a -ad mező álló szám, ha ez a mező em üres, és 6 ha a mező üres Így egy lépés a hozzáredelt permutácóa egy (, 6) alaú traszpozcóval való szorzását jelet Ha elérhető a másod állás az elsőből, aor mvel az üres mező ugyaott áll mdét pozcóba, a özbe végzett lépése száma páros Így a ét álláshoz redelt permutácó azoos partású ellee legye Az első álláshoz redelt permutácó páros (az detlus permutácó), a másodhoz redelt permutácó páratla, tehát a másod állás em érhető el az elsőből Megoldott feladat Bzoyítsu be, hogy cs megoldása -ba a 4 5 6 σ 4 = 5 4 6 egyelete 4 4 Megoldás Az előbb tétel értelmébe εσ ( ) = ( εσ ( )) =, tehát ha az egyelete 4 5 6 va megoldása, aor a ϕ = 4 6 permutácó s páros Másrészt 5 εϕ ( ) = ( ) 7 =, tehát az egyelete cs megoldása 7 Gyaorlato és feladato Az I = [, 8 ] és J = [, 4] halmazoo értelmezzü a : I I, x y : = xy 9( x + y) + 9 és : J J, x y : = xy ( x + y) + függvéyeet Bzoyítsd be, hogy I és J zárt része -e a rajtu értelmezett műveletere ézve és határozd meg az I és J maxmáls részhalmazat, amelye csoportot alota az adott műveleteel Bzoyítsd be, hogy mde I = (,) a b tervallumo (a b ) értelmezhető olya művelet, amellyel az I tervallum ( *, + 6 )-tal zomorf csoportot alot Bzoyítsd be, hogy a G = (, 5 ) tervallumo értelmezett x y : = xy 5x 5y +, xy, G művelet egy ( *, )-tal zomorf csoport + * strutúrát határoz meg Számítsd az x = x x, elemet, ha x G Bzoyítsd be, hogy ( G, ) ( R, + ) 4 Bzoyítsd be, hogy mde I = (, a ) tervallumo értelmezhető olya művelet, amellyel az I tervallum csoportot alot és ez a csoport zomorf az ( *, ) csoporttal Igaz-e az állítás a J = (, a) alaú tervallumora? S 6 +