Kmbatrkus ptmalzálás egyzet az elıadás és a kadtt szakrdalm alapá Készítette: Schmdt Péter Alk. Mat., II. évf. 00-0 TARTALOM KOMBINATORIKUS OPTIMALIZÁLÁS... HALMAZOK... Halmaz lefedése... Sperer-redszerek... Egzakt fedés...7 PÁROSÍTÁSOK...0 KLIKKEK... Klkk-keresés prblémák mdellezése 0- prgramzás feladatkét... Mamáls klkk méretéek felsı és alsó becslése mhó szíezéssel... Mt mátrk geerálása klkk-kereséssel...8 Paklás prblémák mdellezése...0 Klkk-keresés prblémák mdellezése kvadratkus ptmalzálás feladatkét... Klkk-keresés prblémák méretkrláts, szmmetrkus átfgalmazása...9 Klkk-keresés prekdcálása dmaca-vzsgálatkkal... BINÁRIS FÁK... FESZÍTİFÁK... Mmáls súlyú feszítıfa... FOLYAMOK... Mmáls költségő flyam... Szállítás feladat...9 Nem klasszkus szállítás feladat... Hzzáredelés feladat... Termeléstervezés (készletezés) feladat Többperódusú termeléstervezés prbléma... Mamáls flyam prbléma...8 UTAK...0 Legrövdebb út prbléma...0 Az utazó ügyök prblémáa (Travellg salesma s prblem)...0 malt: szabs@ttk.pte.hu
Kmbatrkus ptmalzálás Halmazk Halmaz lefedése Egész értékő prblémák megldásáhz gyakra felhaszálhatók a feladatk kmbatrkus tuladsága, amelyek esetekét az általás egészértékő prgramzás módszerekél hatékyabb elárásk felépítését teszk lehetıvé. A kmbatrkus ptmalzálás témaköré belül ezért módszerta megközelítésbe tárgyaluk az általás egész értékő prblémák és a specálsa kmbatrka (fıképpe gráfelmélet) ellegő ptmalzálás feladatk megldhatóságát és megldását. A kmbatrka prblémák alapkérdése: Egy véges struktúráak adtt tuladságú része vagy elredezése ) létezk-e; ) háy va; ) melyk a legbb; ) hgya található meg a leggyrsabba? Pl. órared összeállítása, személyzet besztása áratkhz, stb. Feladat Egy alaphalmaz bzys részhalmazahz költségeket redelük. Fedük le az alaphalmazt a lehetı legksebb költséggel! Példa Feladat Alaphalmaz: U = {,,,,,,7 } Fedıhalmazk és költségek: A = {,,} c = A = {,,,} c = A = {,,} c =
A = {,7} c = A = {,,7} c = A = {,,7} c = LP-mdell Az alaphalmaz elemeek és a fedıhalmazkak az cdeca-mátra U A A A A A A 7 Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha A része a fedések = 0, egyébkét A fedés feladat lehetséges megldásaak k kell elégíteük azt a feltételt, hgy az alaphalmaz mde egyes eleme le legye fedve. Ezeket a feltételeket az cdeca-mátr traszpálta segítségével lehet szemléletese felír: U 7 Vegyük észre, hgy a másdk feltétel balldalá csak egyetle váltzó szerepel, am azt elet, hgy a váltzóhz tartzó fedıhalmaz mde lehetséges megldásak eleme lesz, mert az alaphalmaz másdk elemét egyedül ı fed. A legksebb költség elérése érdekébe a c célfüggvéyt mmalzál kell. A halmazfedés feladathz tartzó LP-mdell tehát a következı: =
+ + + + + + + + + + + + + + + + {0,},,,,, m Sperer-redszerek A Sperer-redszerek specáls tuladságú etremáls halmazredszerek, amelyeke értelmezett egy rrefleív, szmmetrkus relácó. Legye alaphalmazuk egy tetszıleges, elemő véges halmaz hatváyhalmaza. Az alaphalmaz elemeek az általásság megszrítása élkül megfeleltethetük az ıket meghatárzó kválasztás függvéyeket vagy karaktersztkus függvéyeket, ezáltal halmazk helyett az dmezós Hammg-tér vektraval dlgzhatuk. Részbe redezés Értelmezzük az dmezós Hammg-tér vektra a kakus részbe redezést: y akkr és csak akkr, ha a relácó a vektrk megfelelı kmpesere párkét feáll. Összehaslíthatatlaság Defícó szert és y összehaslíthatatlak, ha sem y, sem y em áll fe. Megegyzések Az összehaslíthatatlaság egy rrefleív, szmmetrkus relácó. A halmazk yelvére vsszavetítve az összehaslíthatatlaság azt elet, hgy egyk halmaz sem tartalmazza a máskat, más szóval a Hasse-dagramba cs az egykbıl a máskba vezetı út.
Sperer-redszer Az dmezós Hammg-tér egy K része Sperer-redszer, ha abba bármely két elem összehaslíthatatla. Megegyzés Az üres halmaz és az egyelemő halmazk megállapdás szert Sperer-redszerek. Példa { 00,00, 00,00} K = egy Sperer-redszer. Sperer-lemma Ha Bzyítás K } {0, egy Sperer-redszer, akkr K A lemmáál erısebb állítást bzyítuk, evezetese azt, hgy ha K {0, } egy Sperer-redszer, akkr, ahl az vektr Hammg-súlya. K Ugyas akkr mamáls, ha =, tehát az elızı összeg alulról becsülhetı a következıképpe: K, ebbıl pedg K átszrzással következk a Sperer-lemma. Az erısebb állítás bzyításáhz tektsük egy tetszıleges mamáls utat a { 0,} tér Hasse-dagramáak az alától a teteég: Vegyük észre a következıket: ) y = 0 y y L y = = 0 )! számú külöbözı mamáls út létezk. ) Rögzített K eseté! ( )! lya mamáls út létezk, amelye rata va.
) Tetszıleges u, v K eseté em lehet a Sperer-redszer mdkét eleme rata egy mamáls út, hsze az út pta összehaslíthatók. A fetekbıl következk, hgy mde mamáls út a Sperer-redszerek legfelebb egy elemét tartalmazhata, és a Sperer-redszer egy K eleme összese! ( )! külöbözı út szerepelhet. A Sperer-redszer összes elemére tehát felírható, hgy! ( )!! következk. Megegyzés K, ambıl az erısebb állítás A Strlg-frmula felhaszálásával belátható, hgy lm = 0, tehát a Sperer-redszerek méretövekedése epecáls alatt marad. Telített Sperer-redszer Tétel Egy Sperer-redszer telített, ha ahhz a Hammg-térek már em lehet több elemét hzzáad. Egy Tétel elemő halmaz részhalmazaból álló mamáls mérető Sperer-redszer eleme az elemő részhalmazk. Legye K = { {0,} A = b} és = { {0,} A = 0} Ha H = {0}, akkr K egy Sperer-redszer. H. Bzyítás Idrekt út, tegyük fel, hgy H = {0} és K em Sperer-redszer, azaz létezek u, v K, amelyek összehaslíthatók, például u v. K defícóa matt Au = Av = b, ezért A ( u v) = 0, tehát 0 u v H, am elletmd a H = {0} feltevések. Következméy Egzakt fedés prbléma lehetséges megldása Sperer-redszerek.
Egzakt fedés Tétel Az dmezós Hammg-tér tetszıleges L } mátr és b vektr, hgy L = { {0,} A b} {0, részéhez található lya A Bzyítás Az L-hez tartzó A mátrt és b vektrt úgy kapuk meg, hgy mde L-e kívül esı z { 0,}, z L vektrra felíruk azt az egyelıtleséget, amely rata kívül a Hamlt-tér összes több elemére feáll, a következıképpe: Legye { z = } I a z vektr kmpeseek az dehalmaza, és = { z = 0} J a z vektr 0 kmpeseek az dehalmaza. = A vektrk kmpesere vatkzó következı egyelıtleség a z vektr kívül mde más vektrra gaz: I J I Példa Legye L = { 000, 000, 00, 00, 00,00,00,0,00,0, } Ekkr L = { 0000, 000, 0,000,0} Az L elemehez tartzó egyelıtleségek redre a következık: 0000 : 000 : 0: 000 : 0: + + + + + + + 0 0 A fet egyelıtleségredszerbıl közvetleül lelvasható az L-hez tartzó 0 A = és b =. 0 7
Az A mátrt és b vektrt ks gyakrlattal közvetleül az L elemerıl s lelvashatuk. Megegyzés A fet tétel tartalm eletése, hgy az egyelıtleségfeltételes bárs ptmalzálás prblémák bzys értelembe telese strukturálatlak. A tétel kegészítı pára Bradley tétele, amely szert az egyelıségfeltételes bárs ptmalzálás prblémák bzys értelembe tökéletese strukturáltak és meghatárzttak. Egészértékő függvéy Az f : R R függvéy egészértékő a H R halmaz, ha aak mde elemére egész értéket vesz fel: H : f ( ) Z Bradley-lemma Legye f és g két egészértékő függvéy a H R halmaz, ekkr létezek lya u és w egész számk, amelyekre ( u, w) = { H : u f ( ) + w g( ) = 0} Z a két függvéy közös zérushelyeek a halmaza. Bzyítás Legye a két függvéy közös zérushelyeek a halmaza { H : f ( ) = g( ) = 0} R = R Z( u, w) ylvávalóa tetszıleges ( u, w) számkra feáll. Azt kell bzyítauk, hgy létezek lya ( u, w) egész számk, amelyekre Z( u, w) R. Az általásság megszrítása élkül feltehetı, hgy u és w relatív prímek ( u, w 0). Adtt ( u, w) számkhz vezessük be a következı ívóhalmazkat: K = { H : sg( w) f ( ) } w K = { H : sg( w) f ( ) } w K = { H : sg( u) g( ) } u K = { H : sg( u) g( ) } u 8
A ívóhalmazk segítségével defáluk a következı krlátkat: I = f g( ) S = sup g( ) K K I = f g( ) S = sup g( ) K K I = f f ( ) S = sup f ( ) K K I = f f ( ) S = sup f ( ) K K A krlátk alapá tektsük a következı feltételhalmazkat: A { u < I, S < u, w < I, S < w} = B { u < I, S < u, w < I, S < w} = Tegyük fel mármst, hgy y Z( u, w), tehát u f ( y ) = w g( y) = t. Mvel u és w relatív prímek, így t = u w r, azaz f (y) = wr és g(y ) = ur. Esetvzsgálattal megmutatható, hgy az A feltételhalmaz bármely elemébıl következk r 0, és a B feltételhalmaz bármely elemébıl következk r 0. (Például u < I eseté, drekt mód, tegyük fel, hgy r < 0 f ( y) = w, w,... értékeket vehet fel. Vzsgáluk az I = f g( ) kszámíthatóságát: K, így Ha w < 0, akkr a feltevés matt f ( y ) w = w, másrészt sg( w ) =, így sg( w) f ( y ) w. Ha w < 0, akkr a feltevés matt f ( y ) w = w, másrészt sg( w ) =, így sg( w) f ( y ) w. Tehát w bármely értéke kszámíthatóvá tesz I = f g( ) -t, így tehát a feltevés K szert bármely w-re u < I = f g( ) g( y ) = ur K kell, hgy telesülö. Azba u < 0 eseté az u < ur egyelıtleségbıl r 0 adódk, am elletmd az eredet feltevések, következésképpe az u < I feltételbıl következk r 0.) 9
Megmutattuk tehát, hgy ha az A és B feltételhalmazk egy-egy eleme telesül, akkr abból r = 0 következk, am éppe azt elet, hgy Z( u, w) R, vagys Z ( u, w) = R. Pársításk Bradley tétele Egy A = b egészegyütthatós egyelıségfeltételes bárs ptmalzálás feladat feltételredszere mdg redukálható egyetle alkalmasa megválaszttt egyeletre. Bzyítás Ha az egyelıségfeltételek egyetle egyeletbıl állak, akkr késze vagyuk. Máskülöbe az egyelıségfeltételek közül válasszuk k kettıt tetszılegese, és a segítségükkel képezzük a következı egészértékő függvéyeket: a a = b Legye = = b f ( ) = a g( ) = a b b u és w = ma ( f ( ) + ) > 0 {0,}, ekkr ( w ) f ( ) ( w ). Vegyük észre, hgy a Bradley-lemmába meghatárztt feltételek közül ekkr S < u és u < I egyarát feáll, következésképpe a két függvéy közös zérushelyeek a halmaza éppe Z ( u, w) = { H : u f ( ) + w g( ) = 0}, vagys a kválaszttt két feltétel helyettesíthetı az egyetle, u f ( ) + w g( ) = 0 feltétellel, am szté egészegyütthatós egyelıségfeltétel. Az egyelıségfeltételek halmaza így lépésekét redukálható, végeredméybe egyetle feltételre. Következméy Bármely egzakt fedés prblémáhz létezk lya hátzsák feladat, amelyek a megldása az egzakt fedés prblémáak s megldása lesz. A pársítás egy gráf éleek lya részhalmaza, amelybe két élek cs közös pta. Egy pársítás teles, ha a gráf összes csúcsptát lefed. Egy gráf párs, ha a csúcsptk két sztályba srlhatók úgy, hgy a gráf bármely éléek a két végpta külöbözı sztályba va. Egy párs gráf teles, ha a csúcsptk két sztályáak bármely ptpára éllel va összekötve. 0
Mamáls élszámú pársítás keresése Feladat Egy egyszerő gráfba ) Háy elemő a mamáls élszámú pársítás? ) Hgya lehet a leggyrsabba mamáls élszámú pársítást talál? ) Háy mamáls élszámú pársítás létezk? ) Srluk fel az összes mamáls élszámú pársítást! Mdell Legye Γ ( V, E) = egyszerő gráf, V =. Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az (, ) él létezk és a = 0 egyébkét pársítás eleme = = A pársítás élszáma: Mvel pársítást keresük, az egy ptra lleszkedı élek közül legfelebb egy kerülhet a pársításba: = V : = V : Az ptmalzálás prbléma mdelle: ma = = V : = V : = {0,}
Módszerek Mamáls élszámú pársítás keresése párs gráfba: az alteráló utak módszere Iduluk k a gráf egy tetszıleges pársításából (például egyetle élbıl), és keressük eél bb pársítást, azaz avítsuk a megldást, ameybe ez lehetséges.. Keressük az aktuáls pársításra ézve szabad csúcst, amelyre az aktuáls pársítás egyetle éle sem lleszkedk.. Építsük fel a szabad csúcsból a lehetı leghsszabb alteráló utat, amelyek ptsa mde másdk éle eleme az aktuáls pársításak.. Ha a leghsszabb alteráló út páratla hsszú, akkr ez egy avító út az aktuáls pársításra ézve, mert az útak az aktuáls pársításhz tartzó élet a pársításból elhagyva, a maradék éleket pedg a pársításhz hzzávéve, eggyel agybb élszámú pársítást kapuk. Berge tétele (97): Egy pársítás élszáma akkr és csak akkr mamáls, ha rá ézve em létezk a gráfba avító út. Mamáls élszámú pársítás keresése egyszerő gráfba: az alteráló fák módszere, Edmds algrtmusa Berge tétele tetszıleges egyszerő gráfra gaz. A kérdés: hgya keressük a gráfba avító utat, lletve hgya gyızıdük meg róla, ha lye em létezk. Javító utat úgy keresük a gráfba, hgy egy alteráló fa építésével feltáruk egy adtt ptból a lehetséges alteráló utakat, és így vagy találuk avító utat, vagy kmerítük a gráft, amvel gazluk, hgy az aktuáls pársításra ézve avító út cs, tehát az aktuáls pársítás mamáls. 0. Mde csúcspt és mde él címkézetle.. Iduluk k egy szabad csúcsptból. (Ha lye cs, akkr az aktuáls pársítás teles, így mamáls.) A szabad csúcst elölük meg a külsı címkével. Legye ez az aktuáls alteráló fa gyökere.. Keressük címkézetle élt, amely lleszkedk az aktuáls alteráló fa egy külsı, u csúcsára. (Ha lye cs, akkr em létezk az aktuáls pársításra ézve avító út, tehát az aktuáls pársítás mamáls).
Ha az él másk, v végpta címkézetle, akkr az ( u, v) él címkée legye ge. Ha v szabad csúcs, akkr az aktuáls alteráló fa gyökerébıl a v-hez vezetı alteráló út egy avító út az aktuáls pársításra ézve; máskülöbe létezk az aktuáls pársításak egy ( v, t) éle: a ( v, t) él címkée s legye ge, a v csúcs címkée legye belsı, a t csúcs címkée legye külsı, és smételük meg a. lépést. Ha az él másk, v végpta belsı, akkr a ( v, t) él címkée s legye em, és smételük meg a. lépést. (Eek az élek a hzzávétele párs kör kalakulását eredméyezé az aktuáls alteráló fába.) Ha az él másk, v végpta külsı, akkr álluk meg. (Eek az élek a hzzávétele páratla kör kalakulását eredméyezé az aktuáls alteráló fába.) Az alteráló fa az ge címkéő élekbıl áll. /ld. Edmds algrtmus, Imreh-Imreh: 0. ld/ Mmáls súlyú teles pársítás keresése párs gráfba Feladat Egyelı mérető sztálykból álló, élsúlyztt párs gráfba ) Va-e teles pársítás? ) M a teles pársításk mmáls súlya? ) Aduk meg egy mmáls súlyú teles pársítást! ) Háy mmáls súlyú teles pársítás va? Mdell ) Srluk fel a mmáls súlyú teles pársításkat! Legye Γ ( A B, E) = párs gráf w : E R élsúlykkal. A gráf sztályaak a mérete legye = A = B. Feltehetı, hgy az élsúlyk emegatív számk: w (, ) w 0 Vezessük be a következı bárs váltzókat: =, ha az (, ) él a = 0 egyébkét pársítás eleme A pársítás súlya: w (, ) E
Mvel teles pársítást keresük, az egy ptra lleszkedı élek közül ptsa egy kerülhet a pársításba: B A : = A B : = Az ptmalzálás prbléma mdelle: w m (, ) E A : = B B : = A {0,} Módsíttt mdell: hzzáredelés feladat (Assgmet Prblem) Tegyük telessé a párs gráft a háyzó élek hzzávételével úgy, hgy a háyzó élek súlyát végteleül agyra választuk. A gyakrlatba elegedı, ha a végteleül agy súly a megadtt súlyk összegéél agybb szám: Legye W > w (, ) E Legye c : A B R, c(, ) = c w, ha (,) E = W egyébkét A telessé tett gráfra vatkzó leárs ptmalzálás prbléma az A c ] hzzáredelés feladat: c m = = : = = : = = {0,} [
A kapcslat az eredet és a módsíttt feladat között a következı: az eredet feladatak akkr és csak akkr va megldása, ha a módsíttt feladat ptmáls megldása ksebb, mt W, és ebbe az esetbe a módsíttt feladat ptmáls megldása egybe ptmáls megldása az eredet feladatak s. A módsíttt mdell elemzése A hzzáredelés feladat lya specáls szállítás feladat, ahl mmáls költségő teles pársítást keresük egy élsúlyztt párs gráfba. A hzzáredelés feladat lehetséges megldása egy lya bárs mátr, amelyek mde srába és mde szlpába ptsa egy darab elem szerepel. Megfrdítva: mde -es bárs mátr, amelyek mde srába és szlpába ptsa egy darab elem szerepel, lehetséges megldása a feladatak. Az lye mátrk, azaz megldásk száma!. Rögzített mellett a hzzáredelés feladatt egyértelmőe meghatárzza a súlymátr vagy költségmátr. Megldás módszerek Magyar módszer Hzzáredelés feladatra a dsztrbúcós módszer em hatéky. A magyar módszer a duál feladat megldását célzza a költségmátr redukcóával. Duál feladat ma w = u + v u + v u, v c R A költségmátr redukcóa Vegyük észre, hgy a u lletve v duál váltzók értéke a C = ( ) c költségmátrról közvetleül lelvashatók: u redre az -edk sr legksebb eleme, v pedg a -edk szlp legksebb eleme! Redukáluk a költségmátrt a következıképpe:
. Csökketsük mde sr elemeek értékét a srba található mmáls elem ( u ) értékével.. Csökketsük mde szlp elemeek értékét az szlpba található mmáls elem ( v ) értékével. Kmplemetartás tétel A prmál feladat lehetséges megldása és a duál feladat u,v lehetséges megldása akkr és csak akkr ptmáls, ha > 0 eseté u + v = c. Vegyük észre, hgy a redukált költségmátr eleme éppe a c u v értékek, a redukált költségmátrba tehát az összes duál váltzó értéke 0. Legye = tt, ahl c u v = 0, mdeütt másutt pedg = 0. A költségmátr lefedése. Válasszuk k a költségmátrból a lehetı legtöbb függetle 0 elemet. Kıg Dées tétele, hgy egy párs gráfba a mamáls pársítás éleek a száma megegyezk a gráf élet lefgó csúcsptk mmáls számával. Kıg tétele alapá a redukált költségmátrba a függetle ullák száma megegyezk az összes ullát lefedı sr- és szlp-valak mmáls számával.. Húzzuk meg a redukált költségmátr 0 elemet lefedı sr- és szlpvalakat. A duál megldás avítása. Keressük meg a legksebb fedetle elemet, legye ez δ.. A fedetle elemekbıl vuk k δ -t.. Az egyszerese fedett elemeket hagyuk váltzatlaul.. A kétszerese fedett elemekhez aduk hzzá δ -t. Megegyzés A fet traszfrmácóval ekvvales megfgalmazás, hgy. A fedetle srk mde elemébıl vuk k δ -t.. A lefedett szlpk mde eleméhez aduk hzzá δ -t. Tvább ekvvales megfgalmazást kaphatuk, ha felcserélük a sr és szlp szavakat.
Eredméy Ha a lefedett srk száma eredetleg eredetleg I, akkr a fet traszfrmácóval a I s, a lefedett szlpk száma pedg = + w u v célfüggvéy ( I s )δ meységgel csökket, és I δ meységgel ıtt, összességébe tehát a célfüggvéy övekméye: d = ( I ) δ I δ = ( I I )δ Ameybe az eredet pársításuk em vlt teles, úgy ( I s I ) > 0 avítással a célfüggvéy értéke ıtt. Az elárás vége s s, tehát a Ha a redukált, mad rekurzíva avíttt költségmátrból kválaszttt mamáls számú függetle 0 elemmel a mátr mde srát és szlpát le tuduk fed, akkr az ptmáls megldás a kválaszttt 0 elemekek megfelelı éleket tartalmazó teles pársítás. Megegyzés A kválasztás feltételeke szkás a következıképpe lazíta: [ 0,] Példák Mukák ptmáls ksztása Feladat Meghatárztt számú mukát kell kszta ugyaey dlgzóak úgy, hgy a mukavégzés összköltsége (pl. a ráfrdíttt dı) a lehetı legksebb legye. ) Ksztható-e mde muka, ha egy dlgzó csak egy mukát végezhet el? ) Mekkra a teles mukavégzés mmáls összköltsége? ) Aduk meg a mukák egy ptmáls ksztását. ) Háy külöbözı ptmáls ksztás létezk? ) Srluk fel az összes ptmáls mukamegsztást! 7
Mdell A dlgzók lletve az elvégzedı mukák számát elöle. A dlgzókat -vel, az elvégzedı mukákat -vel deelük. (, ) Jelöle w aak a költségét, hgy az dlgzó végz el a mukát. Mvel em garatált, hgy mde dlgzó mde egyes mukát képes elvégez, vagys a dlgzókat és az általuk elvégezhetı mukákat összekötve em szükségképpe utuk teles párs gráfhz, így a w költségmátrak lehetek háyzó eleme, és lehetséges, hgy a feladatak egyáltalá cs megldása. Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az dlgzó kapa a mukát = 0 egyébkét Ameybe az dlgzó em végezhet el a mukát, tehát a w költség em létezk, abba az esetbe garatálta = 0. A mukavégzés összköltsége: w (, ) E A mukák ksztásáak feltétele: Mde dlgzó ptsa egy mukát kaphat: : = = = Mde muka ptsa egy dlgzóhz kerülhet: : = Az ptmalzálás mdell: w m (, ) E : = = : = = {0,} 8
Módsíttt mdell: hzzáredelés feladat Ahhz, hgy leárs prgramzással s kezelhetı, azaz teles költségmátrú feladatt tuduk meglda, azt az esetet, amkr egy dlgzó em képes egy adtt mukát végrehata (vagy valamlye más kból azt em kaphata meg) úgy kezelük, hgy a vatkzó költséget végteleül agyra választuk, am a gyakrlatba elegedı, ha a megadtt költségek összegéél egy agybb szám: W > w (, ) E. Ezáltal az eredet feladat módsíttt váltzatáhz utuk. A módsíttt (kegészített) ptmalzálás mdell: w m = = : = = : = = {0,} A kapcslat az eredet és a módsíttt feladat között a következı: az eredet feladatak akkr és csak akkr va megldása, ha a módsíttt feladat ptmáls megldása ksebb, mt W, és ebbe az esetbe a módsíttt feladat ptmáls megldása egybe ptmáls megldása az eredet feladatak s. Párválasztás Feladat Meghatárztt számú leáy mdegyke tetszés srredet állít fel azs számú fúról. Egy lehetséges kapcslat bldgság értékét a leáyak a fúra vatkzó tetszés dee mutata. Aduk meg azt a teles pársítást, amely a legagybb összbldgságt eredméyez. ) Mekkra az elérhetı legagybb összbldgság? ) Aduk meg a mamáls összbldgságt eredméyezı párválasztást! ) Háy külöbözı ptmáls párválasztás létezk? ) Srluk fel az ptmáls pársításkat! 9
Mdell A leáyk lletve fúk számát elöle. A leáykat -vel, a fúkat -vel deelük. Jelöle c az leáyak a fúra vatkzó tetszés deét. Feltehetı, hgy a tetszés de emegatív ( 0) c. Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az leáy pára a fú = 0 egyébkét Az összbldgság: c = = A párválasztás feltétele: = Mde leáy ptsa egy fút választhat: : = = Mde fút ptsa egy leáy választhat: : = Az ptmalzálás mdell az A c ] hzzáredelés feladat: c ma = = : = = : = = {0,} Mmáls súlyú teles pársítás keresése tetszıleges gráfba [ Feladat Párs csúcsú élsúlyztt gráfba ) Va-e teles pársítás? ) M a teles pársításk mmáls súlya? ) Aduk meg egy mmáls súlyú teles pársítást! ) Háy mmáls súlyú teles pársítás va? ) Srluk fel a mmáls súlyú teles pársításkat! 0
Mdell Legye Γ ( V, E) = párs csúcsú gráf w : E R élsúlykkal. A gráf csúcsptaak a száma legye V =. Feltehetı, hgy az élsúlyk emegatív számk: w (, ) w 0 Vezessük be a következı bárs váltzókat: =, ha az (, ) él a = 0 egyébkét pársítás eleme A pársítás súlya: w (, ) E Mvel teles pársítást keresük, az egy ptra lleszkedı élek közül ptsa egy kerülhet a pársításba: B A : = A B : = Az ptmalzálás prbléma mdelle: w m (, ) E A : = B B : = A {0,} Módsíttt mdell: hzzáredelés feladat (Assgmet Prblem) Tegyük telessé a párs gráft a háyzó élek hzzávételével úgy, hgy a háyzó élek súlyát végteleül agyra választuk. A gyakrlatba elegedı, ha a végteleül agy súly a megadtt súlyk összegéél agybb szám: Legye W > w (, ) E Legye c : A B R, c(, ) = c w, ha (,) E = W egyébkét
A telessé tett gráfra vatkzó leárs ptmalzálás prbléma az A c ] hzzáredelés feladat: c m = = : = = : = = {0,} A kapcslat az eredet és a módsíttt feladat között a következı: az eredet feladatak akkr és csak akkr va megldása, ha a módsíttt feladat ptmáls megldása ksebb, mt W, és ebbe az esetbe a módsíttt feladat ptmáls megldása egybe ptmáls megldása az eredet feladatak s. A módsíttt mdell elemzése Példák A hzzáredelés feladat lya specáls szállítás feladat, ahl mmáls költségő teles pársítást keresük egy élsúlyztt párs gráfba. A hzzáredelés feladat lehetséges megldása egy lya bárs mátr, amelyek mde srába és mde szlpába ptsa egy darab elem szerepel. Megfrdítva: mde -es bárs mátr, amelyek mde srába és szlpába ptsa egy darab elem szerepel, lehetséges megldása a feladatak. Az lye mátrk, azaz megldásk száma!. Rögzített mellett a hzzáredelés feladatt egyértelmőe meghatárzza a súlymátr vagy költségmátr. Raktár felszámlása Feladat Egy kürítedı raktárból számú ktéert kell pársával elszállíta. A ktéerek párkét elszállítás költsége adtt. ) Küríthetı-e a raktár? ) Mekkra a raktár kürítéséek mmáls költsége? ) Aduk meg a raktárfelszámlás egy ptmáls stratégáát. ) Háy külöbözı ptmáls stratéga létezk? ) Srluk fel az összes ptmáls stratégát! [
Klkkek Klkk-keresés prblémák mdellezése 0- prgramzás feladatkét Prbléma Adtt egy Γ (általába egyszerő) gráf és egy. a) Dötsük el, hgy va-e a gráfba k mérető klkk.. b) Mutassuk meg egy k mérető klkket, ha va!. c) Háy külöbözı k mérető klkk va a gráfba?. d) Srluk fel az összes k mérető klkket!. a) Mekkra a gráfba a legagybb mérető klkk?. b) Mutassuk meg egy legagybb mérető klkket! k N természetes szám.. c) Háy külöbözı legagybb mérető klkk va a gráfba?. d) Srluk fel az összes legagybb mérető klkket! Példa Feladat Legye a Γ gráf adaceca-mátra a következı: Γ Mekkra a gráfba található legagybb mérető klkk? LP-mdell Vezessük be a következı bárs váltzókat:, ha az csúcs taga a klkkek = 0, egyébkét A célfüggvéyt mamalzál kell. =
A feltételek megfgalmazásáhz a gráf ú. at-cdeca mátrát (vagys a gráf kmplemeteréek cdeca-mátrát) érdemes felír, amelybe az éllel össze em kötött csúcskat (a be em húztt éleket ) eleítük be: Mvel a klkkbe em elehetek meg éllel össze em kötött csúcsk, ezért az at-cdeca mátr egy srába megelölt csúcsk közül legfelebb az egyk lehet taga a klkkek. Megegyzés Mvel bárs váltzókat vzsgáluk, így a valós relaálás gyrsa adhat emleges választ egy k mérető klkk keresésére. Kmbatrkus vágásk mhó szíezéssel Vágáskat azért alkalmazuk, hgy csökketsük a prbléma méretét. NP-teles prbléma eseté a méretcsökketés érdekébe pl. szubptmáls, de hatéky mhó algrtmusk s kválóa alkalmasak lehetek arra, hgy vágáskat geeráluk. Klkk-keresés prblémák eseté kmbatrkus alap s vágást geerálhatuk pl. gráfszíezéssel. A mmáls gráfszíezés maga s NP-teles feladat, de a kmbatrkus vágáshz em szükséges ptmáls szíezést megad: elegedı a ptkat mhó, az elsı lehetséges szíel kszíez. A gráfba ylvá em lehet agybb klkk, mt aháy szísztály va. Mde szísztályra megfgalmazható egy lya pótlólags feltétel, hgy a szísztály eleme közül legfelebb az egyk lehet a klkk taga. Ez a kmbatrkus vágás. Az szísztályk szert kmbatrkus vágásk, amelyek -él több csúcst tartalmazak, egymagukba s több eredet feltételt helyettesíteek, így csökketk a feltételek számát.
A fet feladatba például a mhó szíezés az alább eredméyhez vezet:. szí:,. szí:,,. szí: A másdk szísztályhz tartzó kmbatrkus vágás: + + Ez a vágás ömagába helyettesít a harmadk, ötödk és hetedk feltételt, és a valós relaáltról levága az = alakú megldáskat. Megegyzés Tvább vágáskat találhatuk, ha a Γ gráf kmplemeterébe köröket keresük. Ezek a körök lác-egyelıtleségeket eleteek az eredet feltételhalmazba, amelyeket összeadva egy úabb vágáshz utuk. A példafeladatba egy kör: + + + + + + Az ehhez tartzó vágás: + + + + + Ez a vágás csak akkr telesülhet egyelıtleségre, ha a körö éppe mde másdk váltzó -es. Köyő elleırz, hgy ez a megldás megegedett-e, és ha em, akkr a vágás bb ldalá álló kapactás krlát még eggyel csökkethetı. Mamáls klkk méretéek felsı és alsó becslése mhó szíezéssel Feladat Keressük meg a legagybb mérető klkket az alább adaceca-mátrszal leírható gráfba:
Megldás Elsı lépéskét vessük alá a fet gráft egy gyrs spekcóak: számluk k és tütessük fel a gráf sra mellett az egyes csmóptk fkszámát: 7 7 7 7 Mvel a legagybb fkszám 7, így a gráfba legfelebb 8-as mérető klkk lehet. Mvel azba 7-es fkszámú ptból csak va, így a gráfba legfelebb 7-es mérető klkk lehet. 7-es mérető klkkhez legalább fkú ptk kelleek. A legalább fkú ptk száma éppe 7, ezek azba em alktak klkket (pl. háyzk az él). A fkszámk vzsgálata alapá tehát gyrsa megállapítható, hgy a gráfba legfelebb -s mérető klkk található.
Szíezzük k mhó mód a gráft: 7 8 9 0 Mhó mód szíel skerült a gráft kszíez, am azt elet, hgy a gráfba legfelebb -ös mérető klkket találhatuk. Mvel az utlsó szísztályak csak egyetle pta va, ez azt elet, hgy ameybe va a gráfba -ös mérető klkk, úgy aak ez a pt bztsa az eleme lesz. Flytassuk a mhó szíezést rekurzív mód, hgy megtaláluk a - es csmópt szmszéda által kfeszített részgráfba a legagybb klkket. Íruk tehát egymás alá az elızı szíezés szísztályat, és a megadtt srredbe válgassuk k az utlsó (legksebb mérető) szísztály utlsó eleméek szmszédat: 9 0 7 8 Az utlsó szísztály utlsó eleméek szmszéda a fet srredbe: 9,,,,, 8 Szíezzük a kaptt részgráft mhó mód: 9 8 Íruk a kaptt szísztályk elemet függılegese az elızı mellé, és flytassuk az elárás egésze addg, amíg egyptú részgráfhz em utuk: 7
9 9 9 9 0 8 7 8 A fet szlpk utlsó eleme klkket alktak a gráfba, va tehát a gráfba legalább mérető klkk: {, 8,, 9} A teles gráf mhó szíezésével tehát felsı krlátt, mad a mhó szíezés rekurzív alkalmazásával alsó krlátt s találtuk a legagybb mérető klkkre. Megegyzés A mhó szíezés eredméye többféle elıkészítéssel (prekdcálással) avítható, például úgy s, hgy a csmóptkat a szíezés elıtt fkszám szert csökkeı srredbe állítuk. Mt mátrk geerálása klkk-kereséssel Defícó Egy mt mátr lya telesülek: -es számtáblázat, amelyre a következı feltételek cella feltétel: a táblázat cellá a 0,,..., N értékek egykét tartalmazzák (a 0 értéket a cella ürese hagyásával elezzük, és a több feltétel elleırzése srá fgyelme kívül hagyuk); sr feltétel: a srk (balról bbra) szgrúa mt övık; szlp feltétel: az szlpk (letrıl felfelé) szgrúa mt övık; meredekség feltétel: bármely két azs pztív számt tartalmazó cellát összekötı egyees meredeksége pztív. 8
Példák Megegyzés A mt mátrk elméletéek alapprblémáa az, hgy adtt mérethez megtaláluk a lehetı legbba ktöltött (legtöbb pztív cellát tartalmazó) mt mátrkat. A mamálsa ktöltött mt mátrkat ptmálsak evezzük. A defícó alapá a következı állításk egyszerőe beláthatók: Optmáls mt mátr elsı sra és szlpa ptsa egy darab -est tartalmaz, am eltlható a bal alsó sarkba. Optmáls mt mátr utlsó sra és szlpa ptsa egy darab -est tartalmaz, am eltlható a bb felsı sarkba. Mt mátrk gráf-mdelle és az alapprbléma LP-mdelle Tektsük azt az ptból álló gráft, amelyek ptat lya pztív egész (, y, z) számhármaskkal azsítuk, ahl, y, z. Egy (, y, z) csmóptt úgy terpretáluk, hgy az -es számtáblázat sráak és y szlpáak keresztezıdésébe található cella tartalma z. Kössük össze azkat a csmóptkat, amelyek kelégítk a mt mátrra vatkzó feltételeket. Az, y, ) és, y, ) csmóptk tehát akkr és ( z ( z csak akkr vaak a gráfba éllel összekötve, ha < (sr feltétel) z < z < (szlp feltétel) y y z < z y y z = z > 0 (meredekség feltétel) 9
A fet mód defált gráfba mde klkk egy defál. Az -es mt mátrt -es alapprbléma tehát ekvvales a mamáls klkk megkereséséek prblémáával egy megfelel egy egész értékő leárs prgramzás feladatak. mérető gráfba, am az elızıek alapá Paklás prblémák mdellezése Paklás prblémáak evezzük egy halmaz lehetı legtelesebb lefedését elıre megadtt részhalmazaak valamely részredszerével. A paklás prblémával ekvvales klkk-keresés prbléma alapgráfáak ptat az elıre megadtt részhalmazk képezk, amelyek közül a dszuktak vaak éllel összekötve. Eze a gráf mde klkk egy lehetséges paklásak felel meg. Léyeges azba, hgy em a legagybb mérető klkket keressük a gráfba. A gráf pta ugyas a ekk megfelelı részhalmazk méretével súlyzttak, és a feladat a legagybb súlyú klkk megkeresése. Abba a specáls esetbe persze, ha az eredet halmazt azs mérető részekkel kell mamálsa lefed, azaz a gráf ptaak a súlya azs, a mamáls mérető klkkek leszek egybe mamáls súlyúak s. Mart Garder egy evezetes feladata 97-bıl Kérdés Elhelyezhetı-e darab -es mérető tégla egy 777-es mérető kckába? A prbléma elemzése Mart Garder prblémáa egy lya paklás feladat, amely azs mérető részhalmazkkal célzza egy alaphalmaz mamáls fedését. Vzsgáluk meg a prblémát kmbatrka szemszögbıl. Egy ks téglát féleképpe állíthatuk be a agy kckába úgy, hgy a tégla bal alsó elsı sarka a kcka megadtt pzícóára esse. Összese tehát 777 mód lehet egy ks téglát a agy kckába elhelyez, beleszámítva azkat a szélsı helyzeteket s, amkr a tégla a kcka bb, felsı vagy hátsó lapá már klóg eél tehát kevesebb téyleges paklás lehetıségük va egyetle téglára ézve. 7 Mvel egy ks tégla térfgata 8 egység, így a agy kckába legfelebb = 8 darab ks tégla helyezhetı el. A kérdés tehát az, hgy ez a mamáls paklás megvalósítható-e. 0