KARSZTFEJLŐDÉS VIII Szmbathely, 2003. pp. l 5-39. KARROS FELSZÍNFEJLŐDÉS MATEMATIKAI MODELLEZÉSE SZUNYOGH GÁBOR Berzsenyi Dániel Főiskla 9700 Szmbathely Kárlyi Gáspár tér 4. szgabr@deims.bdtf.hu Abstrad: This artic/e demnstra/e the general equalin system f the karslijicatin f limestne terrain wi/h variable angle f si pe. The equa/ins cnsider the flw rate f the water flwing n the limestne surface as weil as the calcium carbna te cncentralin in the water and the thieleness f the li quid film. The slutin f equatins gives the ve/c i ty f denudatin as a jimctin f precipilali n, d ip f s/pe and directin f rainfa/1. l. Bevezetés A BDF karsztkutató munkacsprtja mintegy tíz éve fglalkzik mészkőfelszínek karrsdásának kutatásával. E prgram első lépése terepi megfigyeléseket és mrfmetriai méréseket fglalt magába, melynek eredményei lehetövé tették a karrs felszínfejlődés törvényszerűségeinek feltárását, mind a klasszikus karsztmrflógia, mind a matematikai mdellezés módszereit felhasználva. A terepi tapasztalatk összegzése lehetövé tette egyegy, karrs frmakincsben gazdag terület kialakulásának fejlődéstörténeti értelmezését (VERESS 1993, 2000.a, 2001, 2002), ill. egy lyan elméletifizikai alapkn nyugvó matematikai mdell felállítását, mellyel számszerűen is jellemezhető a sziklafelszínek lepusztulásának flyamata. Az elméleti vizsgálatk eleinte egy-egy knkrét frmatípus leírására irányultak VE RESS-PÉNTEK 1990, SZUNYOGH 1995, VERESS-PÉNTEK 1998), majd - feli.smerve közös törvényszerűségeiket - sikerült felállítaní egy igen általáns érvényű egyenletrendszert, amely számt ad valamennyi, talajelbritás nélküli, szabad mészkőfelszín k!fóziójáról (SZUNYOGH 1994, 200Ö.a). Ezen egyenletrendszer általáns megldása aznban nem lehetséges; knkrétan csak az egyes karrs jelenséghez tartzó partikuláris megldásai ad.hatók meg. ilyen megldásk az elmúlt években flyamatsan készült.ek, ill. kidlgztuk az általáns megldás számítógépi algritmusát (SZUNYOGH 2000.b ). A jelen cikk is ezen egyenletrendszemek egy biznys, knkrét feladathz kapcslódó megldását ismerteti. Aktualitását a karsztkutató csprt chilei expedíciója srán felmerült kérdések adták, ahl is felismerték, hgy szrs kapcslat látszik biznys karrfrmák elhelyezkedése és a területen uralkdó szél iránya között. A szél (melynek sebessége 80-120 kmlh) beflyáslja a csapadékhullás irányát és intenzitását, tehát 15
tisztázni kellett a csapadékhullás paramétereinek és a mészköfelszínek ldódása között fennálló törvényszerűségeket Az alább bemutatásra kerülö elméleti mdell tehát a sziklakarrk lepusztulásának sebessége, a mészköfelszín kezdeti alakja és a csapadék iránya és nagyságaközött keres számszerű kapcslatt. 2. A denudáció sebessége váltzó dő lésszögű lejtő esetén Tekintsünk egy lyan szabad sziklafelszínt, melynek csapásvnalai (szintvnalai) párhuzams egyenesek (1. ábra). Keressük eme felület leldódását, feltéve, hgy a szükséges ldászert a vízszintessel f3 szöget bezáró, q tömeghzamú csapadék szlgáltatj a. Legyen a mészköves összlet véges, azaz balról egy nem karsztsdé sziklafal határlja. Adja meg a mészkö felületét a t=o időpntra vnatkzóan a z 0 (x) fiiggvény. Meghatárzandó e felület alakja valamely tetszőleges (t> O) idöpntra, azaz keresett a z(x,t) függvény. (2. ábra). z y l. ábra. A vizsgált kózetkömyezet tömbsze/vénye Fig. l. Sketch f the examined karstmrphlgical situatin 16
z 2. ábra. A számításksrán alkalmazttje/ölések Fig. 2. Denlalin f quantities in the calculatins A karrsdó felszín leírását alapvetően egy lyan parciális differenciálegyenlet-rendszer szlgálja, mely figyelembe veszi az áramlás hidraulikai sajátsságait, a flyamatban résztvevő (egymással nem vegyülő) anyagk tömegének megmaradási törvényeit és a mészkőalakzatk váltzásával járó gemetriai összefiiggéseket (SZUNYOGH 2000.a). Mielőtt aznban felírnánk ezeket az egyenleteket (és megadnánk fizikai tartalmukat), fgalmazzunk meg biznys, az általáns egyenletrendszert egyszerűsítő lehetőségeket. A 2. ábra szerint a mészkő felületének magassága y-irányba nem váltzik, ezért valamennyi mennyiség y irányú denváltja nulla, azaz. ~=0. (l) Oy Tvábbi egyszerűsítést jelent, hgy a víz áramlási sebességének nem lesz y irányú kmpnense, hiszen a víz a felület dőlésvnalai mentén flyik leféte, azaz Így fiz áramlás sebességvektra (2) V= v)+ vzk. (3) A szabad mészkőfelszínek leldódásának krábban levezetett általáns egyenletrendszere a fenti egyszerűsítésekkel az alábbi alakt ölti: 17
ahl rr- a víz dinamikai viszkzitási tényezője (kglm s), PK - a mészkő sűrűsége (kglm\ py- a víz sűrűsége (kglm\ c-a flyadékfilm kalciumkarbnát-kncentrációja [c =c( x, t)], Ce- a vízben ldtt kalcium-karbnát egyensúlyi kncentrációja, g- a nehézségi gyrsulás (m/s 2 ), h- flyadékfilm vastagsága [h= h(x,t)], k-az ldódás sebességi tényezője (m/s), n -, a felület nrmálisa (azaz a kőzetfelületre merőleges egységvektr), qv - a csapadék tömegáramsűrűség-vektra (kglm 2 s), Vx- a víz sebességénekx-irányú kmpnense [v x = vx(x,t )]. A (4) megadja a lepelvízben áramló flyadék sebességét a Navier Stkes egyenlet megldásaként A képlet kifejezi, hgy a víz sebessége egyenesen aránys a vízréteg vastagságának négyzetével, frdítttan aránys viszkzitási tényezőjével, és fiigg a vízfilmet hrdzó felület meredekségétől. Az (5) a víz tömegének megmaradását tükröző egyenlet. A jbb ldalán álló mennyiség megadja, hgy időegység alatt mennyi víz érkezett a mészkő felületének egységnyi hsszúságú sávjára. Bal ldala a hzambővüléssei járó sebesség- ill. vízmélység-növekedést írja le. A (6) a vízben ldtt kalcium-karbnátra vnatkztatvaszerez érvényt a tömegmegmaradás tétel ének. Az egyenlet bal ldala megadja az egységnyi 18
térfgatú vízben ldtt CaC03 tömegáramának növekményét, midőn a víz (áramlása srán) egységnyi utat tesz meg. Az egyenlet jbb ldala e növekmény frrásairól ad számt: első tagja a mészkőrőlleldtt CaC0 3 mennyiségét fejezi ki (ez növelő tényező), a másdik tagja a csapadékból származó, ldtt CaC03-t még nem tartalmazó,,hígítószer" hatását számszerűsíti. (Ez visznt a kalcium-karbnát kncentrációját csökkentő tényező, mert mint alább kiderül, qv.n negatív.) A (7) bal ldala a kőzetfelszín süllyedési sebességét adja meg, mely nyilvánvalóan aránys az időegység alatt kémiai útn ( ldódással) eltávlíttt CaC03 mennyiségével. Az egyenletek részletes levezetése megtalálható a szakirdalmban (SZUNYOGH 1994, 1998). Jelölje a felület nrmálisának kmpnenseit nx, ny, nz, így maga a vektr n=n)+nyj+nzk. (8) Elemi differenciálgemetriai összefüggések szerint nx, ny, nz összeállítható a felület különböző irányú parciális deriváltjaiból (SZUNYOGH G. 1998). Kihasználva az (l) adta egyszerűsítési lehetőségeket, adódik, hgy az n,= ftj' (9) n =0 y l n,=~ (10) (ll) A (9) és (ll)-ben szereplő differenciálhányadsk szemléletes gemetriai tartalmmal rendelkeznek: a felszín a lejtőszögének iránytangensét szlgáltatják: B z -=tga. (12) ax ahl a előjeles mennyiség: értéke pzitív, ha a felület pzitív x-irányba emelkedik, negatív, ha süllyed. (A tvábbiakban 'célszerű a negatív esetet szem előtt tartani, mert ekkr a víz áramlási sebessége pzitív.) Ennek alapján írható, 'hgy 19
tga. n =- =-sma x ~l+ tg 2 a n =0 y l n z = ~l + tg 2 a = cs a ' (13) (14) (15) tehát a felület nrmálvektra: n= -sina i+ cs ak. (16) A csapadék vízhzamát a tömegáramsűrűség-vektrral jellemezhetjük, mely matematikailag qv = qvev (17) frmában állítható elő. A (17)-ben ahl qv- a csapadék tömegáramsűrűség-vektrának abszlút értékét (kg 3 /m 2 s), ev- az esőcseppek haladási irányába mutató egységvektr. A 2. ábra jelölései alapján nyilvánvaló, hgy ev =-csfii - sinpj, (18) ahl P - tehát a csapadékhullás irányának a vízszintessel bezárt (dőlés-) szöge, (1 9) Következésképp qvn = -qjcsfii + sinfik]. [-sin.ai +cs ak]= - qv sin(p-a) (20) Használjuk ki tvábbá, hgy a (4)-ben szereplő kifejezés is előállítható a felület dőlésszögével : az ax tga tga l. ( ) --=.:- 2 - = 2 = = sm a cs a. 21 ( ::) + 1 l + tg a ~i + tg' a ~1 + tg' a Az (5) egyenlet bal ldalának harmadik tagja átírható az alábbi módn: az a 1 z v,:h Rt'~v, h!!+(!)' (22) így a alapegyenletek az alábbi alakt öltik: 20
( h 2 v =- Pvg sina cs a (23) x 377 h[}vx+v h) r--1+-(z-) 2 +vx h.2_( 1+( 02 ) 2 ]=!l.:!_si~-a)(24) OX x OX OX OX OX Pv v c +c vx = k (c -c)-~q sin(/3 - a) (25) x OX Ox h e Pvh v az k c -c -=---e _ (26) t P~c csa Vegyük észre, hgy a (24) és (25) bal ldalán álló összegek egy-egy deriváltha összefglalhatók, így az alapegyenletek h 2 v = Pvg sina cs a (27) x 377 ax frmát vesznek fel. A (27) - egyértelmű megldása kiegészítő (30) parciális differenciálegyenlet-rendszer egyenleteket követel meg, melyek a következők: Gemetriai egyenletek:.2_( h v x ) =!l:!_ sin(/j-a). (28) x csa Pv f) (vx c)=kh(ce-c)- chqvsin(/3-a) (29) Pv z=! ce -c (30) t P~c csa z srna =r==&====!+(:)' FM' l csa~ (31) (32) Kezdeti feltételek: Peremfeltételek z(x)=z 0, vx(x)= Vx és h(x)= h, ha.x=o. ha.x=o, (33) (34) 21
ahl v 0 - a mészkőfelszín felső éle mentén belépő víz sebessége (m/s), h- a mészkőfelszín felső éle mentén belépő vízréteg vastagsága (m). A (27) - (30) megldásának első lépéseként helyettesítsük a (27)-et a (28)-ba: ~(-p"gh 2 sinacsa,_h_j=~sin(p-a), (3S) Bx 37] csa Pv rendezve: ~(h 3 sin a)=- 317 q v sin(p-a). ax p;g Integráljuk a (36) mindkét ldalát x-szerint: x J ~(h 3 sina )dx = 317 2 ax x q" fsin(p- a )dx. Pvg J' A (37) bal ldala elemi módn integrálható, így kapjuk, hgy x (36) (37) h 3 sin a- hg sin a 0 = - 3 ~ q v fsin(p- a )dx, (38) p"g l ahl a a kőzetfelszín dőlésszöge a mészkőtábla felső pereme mentén. ( a nyilvánvalóan negatív, ha rajta a víz balról jbbra, azaz pzitív irányba flyik). A (38)-ból kifejezve h-t, a flyadékfilm vastagságára 1 h(x) =~3. ( ) [hg sina0 - sma x 3 772 q" fsin[.b- a(x )]dx] (39) Pvg J összefüggést nyeljük Ha a felület z(x,t) egyenlete ismert, akkr a (31)-ben kijelölt deriválásk elvégzése után sina(x) meghatárzható, melynek inverzét képezve maga a(x) is kifejezhető: az ~--------------~ (40) 22
a(x) birtkában a (39) közönséges numerikus integrálással meghatárzható. Végül a (39)-et a (27)-be írva eljutunk a mészkő felszínén áramló víz sebességét megadó összefiiggéshez: r------------------------. v x (x)=- Pvg h 2 (x) sin a (x )cs a (x) 377 amely numerikusarr szintén előállítható. (41) A leldódás másdik egyenletének, azaz a (29)-nek integrálása érdekében vezessük be a Vx C=U (42) jelölést. u fizikailag megadja a vízzel szállíttt kalcium-karbnát tömegáram-sűrűségét (kglm 2.s). Innen u c=-, (43) v x melynek figyelembevételével a (29) u =_!:_(c - _u_j- u q v sin[,b - a(x)] (44). Ox h(x) e vx(x) Pvh(x)vx(x) alakba írható. (Az egyenlet felírásánál külön jelöltük, hgy h, Vx, és a x ftiggvénye, tehát az egyenlet megldásakr nem tekinthetők állandóknak. E jelölést aznban a tvábbiakban elhagyjuk.) A (44) egy váltzó együtthatójú, közönséges, nemlineáris, elsőfkú differenciálegyenletet szalgáltat u(x,t)-re nézve: Átrendezve u l ( sin(p-a) kj k - +- qv + U= +-ce. OX hvx Pv h k OX h Vx Pv h a u -l [q v k] 1 lj ) - = -- --Slll\}J -a + u +-ce. (45) (46) Kezdeti feltételül szlgál, hgy ai ldódásnak kitett mészkőfelszín felső élénél a víz még nem tartalmaz ldtt kalcium-karbnátt, azaz c(x)= O, ha x =O, (47) következésképp (a 42) értelmében u(x)= O, hax=o, (48) A (46) zárt alakban integrálható. Keressük általáns megldását az "állandók ' variálásának módszere" szerint, azaz első lépésben határzzuk meg a (46) hmgénné tett váltzatának általáns megldását (melyet uh-val jelölünk). 23
uh differenciálegyenletéhez úgy jutunk, hgy a ( 46)-t "megcsnkít-. ju/(': elhagyjukjbb ldalának másdik (azaz u-tól független) tagját. Marad tehát Szétválasztva ~h -1 [~. (a ) k] -=-- -srnv'-a + u. dx h Vx Pv (49) u. h vx Pv majd mindkét ldalát integrálva du = -=-!_[!l.x_sin(/3- a)+ k]dx. (50) 1n(!!.ft_) = Jx --=--! [!b_ sin (/J - a)+ k]dx (51) U hvx Pv adódik, ahl U egy egyelőre ismeretlen integrációs állandó. Az (51) mindkét ldalát e-alapra emelve véve a hmgén megldást végül u,(x) ~ U expu h-v~[~ sin(p -a)+ k Jax} (52) alakban nyerjüle Az egyszerűbb írásmód érdekében vezessük be az (52) kitevőjében álló kifejezésre a tömörebb S(x)= Jx --=--!_[!l.x_sin(/3-a)+k]dx (53) hvx Pv jelölést. Így írhatjuk, hgy a hmgén egyenlet általáns megldása uh (x) = U e 9 <x). (54) A (46) megldásának másdik lépéseként tételezzük fel, hgy az inhmgén egyenlet általáns megldása az (54)-hez hasnló frmában előállítható, azzal a különbséggel, hgy az U együtthatót nem tekintjük állandónak, hanem feltételezzük, hgy x függvénye. Azaz u (x)= u(x )e.9(x). (55) Mármst U(x) ly módn határzandó meg, hgy az (55) eleget tegyen az eredeti (nem 9snkíttt) differenciálegyenletnek Az (55)-öt a (46) ba helyettesítve, elvégezve a kijelölt deriváláskat rendezés után U(x)-re nézve a du k -.9(x) -=-ce (56) dx h e, differenciálegyenletet nyerjük. Az (56) mindkét ldalát x-szerint integrálva 24
fk. U= -c e-.9(x)dx +V (57) h e kifejezést kapjuk, melyben már csak V integrációs állandó szerepel ismeretlenként Ennek megfelelően a (46) általáns megldása u( x)= [v+ j~ e ~'(')dx ]e'(') (58) V meghatárzásáhz vegyük figyelembe a (4 7) kezdeti feltételt: hax=o, akkr u(x)= O (59) Alkalmazva az (58)-at x=o esetére V=O adódik. Ennek alapján a (46) teljes megldása: Mivel a (43) szerint azért x u(x) = ea(x) fk. ce e-a(x)dx h. u c=-, v x.9( x) x -e sk ce -.9(x)dx ex-----e ( ). vx h (60) (61) (62) (64) A (64) kizárólag ismert függvényeket ill. mennyiségeket tartalmaz, így segítségével kiszámítható a mészkő felszínén flyó víz kalciumkarbnáttartalmának értéke tetszőleges x krdinátájú pntra vnatkzólag. A felszín süllyedésének w sebessége a z = z(x, t} fiiggvény t-szerinti deriváltjából adódik: az W= - 8t' (65) mely a (30) alapján l k csa pk c-t a (64)-ből véve, végül a karrs mészkőfelszín süllyedési sebességére a W = ---(ce -c). (66) 25
nt: l' ' (67) képietet kapjuk. A (67)-ben csupa ismert fiiggvény szerepel, ezért kiszámítása (számítógéppel) nem kz gndt. 3. A denudáció sebessége állandó dőlésszögű lejtő ldódása esetén A (64) és (67) segítségével analitikusan meghatárzhatjuk az ldódás kezdeti sebességét, ha a kiindulási mészkőfelszín egy lejtős síkfelület, azaz ha dőlésszöge állandó: ill. a(x)= a 0, sina(x)= sina 0 (68) (69) Ennek alapján a vízfilm vastagsága a (39) szerint 1 h( x)= 3 -.--[hg sin a - 3 77 2 q v r sin (p- a ) dx] (70) srna 0 Pvg J mely kifejezés zárt alakban integrálható, hiszen integrandusza x-től fiiggetlen, állandó. Rendezés után h( ) = h 1 _ 3 7] q v sin - a 0 x 3. 2 3 x (71) Pvgh 0 srna 0 kifejezést nyerjük a lepelvíz vastagságára. Az egyszerűbb írásmód kedvéért vezessük be a _ 3 7] q v sin(,b- a 0 ) K - - 2 h3. (72) Pvg 0 sma 0 jelölést, ahl K ismert állandókat tartalmaz csupán. Így h(x)=h 0 V1+K x. (73) Szükségünk van tvábbá 9( x) fiiggvényre is, mely (ugyanezen közelítések figyelembevételével) 8(x)= t(x):,{x)[~ sin(p -a,)+ +x. (74) h-t ill. Vx-et a (41) és (73)-ból véve, némi átalakításkat követően 26
i!(x)~ f -l [!b_sin(p-a 0 )+k]dx 0 - Pvg h 3 (1 + K x)sina cs a Pv 3'f/ Elvégezve a lehetséges átalakításkat (75) 9(x) =. 3 'f/ 3 [~sin(p- a 0 )+ k] Jx l dx, l srna 0 csa 0 Pvgh 0 Pv l+ K x mely zárt alakban integrálgató: 9(x) =. 1 3 'f7 3 [~sin(p- a 0 )+ k].!_ [lnjl + K xlt. sm a 0 cs a 0 Pvgh 0 Pv K (76) (77) (Ajbb ldallgaritmuss tényezőjének argumentumából az abszlút értékjel elhagyható, mert mind K mind x pzitív.) Figyelembe véve K (72)-ban megadtt kifejezését a (77) egyszerűsíthető: A,= -l [ka+sin(p-a 0 )], (79) csa 0 sin(p -a 0 ) qv. 9(x)=. -l [ka+sin(p-a 0 )]. ~a )ln[l+ K x]. (78) sma 0 csa 0 qv sm -a 0 A lgaritmuss tényező előtt álló kifejezést fglaljuk össze egyetlen A tényezőbe: így 9( x)= A ln[ l+ K x], (80) mely zárt alakban megadja a (64) ill. (67) egyenletekben szereplő segédiliggvény knkrét alakját. Végezzük el 9(x) (64)-ben kijelölt integrálást, felhasználva a (73) és (80)-at! X e - 8(x) JX e-).jn[l+k x) J --dx= dx h(x) h/j l + K x (81) Az integrandusz számlálója a lgaritmus- és az expnenciális függvények szabályait felhasználva átírható, ezért (rendezés után) az alábbi kifejezés adódik: J x e -8(x ) l fx l -() dx=- (l+k xt... 3 dx h x h 0. Az integrálás zárt alakban elvégezhető: (82) 27
x l fl[l }-A-.!_dx- l (l+la). -A_!+l 3 h" }' +K XJ ' -h, ( -A-~+l}K. (83) -1 A (83)-at a (64)-be helyettesítve eljutunk a vízben ldtt kancentráció alakulásáhz: l [l + la] ( ~ -A)_ l ea ln(l+k X) c( x)= k ce.(84) 2 h (3.- A,) K - Pvg h;vl + 1a sina0 csa 0 3 3~ Ismét szem előtt tartva az expnenciális kifejezés átalakítási lehetőségeit ea-ln(lu x) = (1 + K X J, (85) végre hajtva egyéb elemi átrendezéseket, végül a vízben ldtt kalcium-karbnát kncentrációj ára a () 3~k ce 3 {l (l )A-~} -+~a ex= Kpvghg sin a 0 cs a 0 2-3..1, (86) kifejezést vezethetjük le. A (84)-et a (67)-be helyettesítve és h-t a (73)-ból véve a felszín lepusztulásának sebességére kapjuk, hgy amely rendezés után ~-A 3kce (l+ la) 3 -l exp[a- ln( l+ K x)] ce+ h ( 2-3..1, ) K p g ~2.. _ v - h 2 3 l + 1a sm a cs a 3~ w{ x)= -l ke e l- 3~ k 3 _ 1-(l+ K x y-3 2} ( 88 ) cs a 0 Pk { Pv g hg sin a 0 cs a 0 (2-3 A.) K alakt ölti. A (88) nevezője egyszerűsíthető, ha belljuk K (72)-ban megadtt alakját: w(x)= -l kce {1+. l kpv 3 [1-(l+K xy- ~]}<89) cs a 0 Pk sm(p - a 0 )cs a 0 q v 2-3 A. Számszerű kiértékelés szerint (lásd alább) a (89) jbb ldalának utlsó tényezőjében szereplő Kx tag skkal kisebb mint egy, ami tvább! egyszerű Sítésre ad lehetőséget. Alakítsuk át a (89)-et a következőképpen (87) 28
(l +T< x y ~ = exp{m[ (l+ K x y ~]}= exp{ (A-~)m[(l +T< x )J}. (90) Fejtsük Taylr-srba a lgaritmuss kifejezést, és - kihasználva, hgy a fent említettek szerint xx<<l- hagy.iuk el a lineárisnál magasabb hatványú tagkat: Így In(l + 1(. x) = 1(. x. (l+ K x}' ~;; exp{( A-%} + Az egyszeriíbb írásmód kedvéért vezessük be a fl=-( Á-~ )1( jelölést. Kés Á (72) és (79) szerint képlete nymán JL=-- -l 37] [ l k +- qv (2-+ l J sm. {j3 -a 0 )J sin a 0 Pvg hg cs a 0 Pv 3 cs a 0 Ezzel végül a mészkőfelszín süllyedés i sebességére (91) (92) (93) (95) ~ ) -l kce [l l kpv 3 (l - px )l ( 96 ) x = csa 0 pk + sin(b-a 0 ) cs a 0 -q: 2-3Á -e 'j 7) összefiiggést nyerjük. Hangsúlyzzuk, hagy a (96)-ban szereplő paraméterek már "valóban" állandók, azaz x (fiiggetlen váltzóként) csak az expnenciális kifejezésben szerepel. A karszts denudáció megítélése szempntjából a felszín függőleges irányú süllyedési sebességénél sk esetben többlet infrmációt ad annak ismerete, hgy milyen vastag kőzetréteg pusztul le idő egység alatt. Meghatárzandó ezért a lepusztulás sebességének a mészkőfelszínre merőleges kmpnense. Elemi differenciálgemetriai megfntlásk alapján nyilvánvaló, hgy b = l w cs a 0 l, (97) ahl b az időegység alatt "lehántlódó" réteg vastagságát jelöli. A (96) figyelembevételével 29
' ~. A (92)-ben alkalmaztt matematikai átalakítást a vízfilmben ldtt kalcium-karbnát kncentrációját megadó (86)-összefüggésbe is átvezetve (99) 4. A levezetett összefüggések karsztmrflógiai értelmezése Kvalitatív elemzés l. A (98)-ból kilvasható, hgy a karrs leldódás sebessége meglehetősen bnylult függvénykapcslatban áll a lejtő a dőlésszögével A (98)-ban a 0 mind explicite, mind pedig (a A és f.1 tényezökön keresztül) implicite előfrdul. Szerepe közvetlenül egyrészt a lepelvíz sebességének meghatárzásában, másrészt a mészkőfelszín egységnyi területére hulló csapadék vízhzamának megszabásában van. (Annál kevesebb vízjut a mészkőre, minél kisebb szöget zár be a felszín az esőcseppek tényleges irányával.) Közvetetten tehát a kifejezi a kapcslatt a karszts lepusztulás és az esőcseppek mzgásirányát meghatárzó uralkdó szélsebesség- és szélirány között. Ez utóbbi hatás kialakításában nyilvánvalóan a f3 szögnek is meghatárzó szerepe van, mely a (98)-ban szintén bnylult függvényként mutatkzik. 2. A lepusztulás sebességére alapvető hatást gyakrl a qv csapadékhzam. A (98)-ban q v nemlineáris frmában frdul elő, hanem a A és 1-1 tényezőkön keresztül bnylult módn. Ennek visznylag nagy földrajzi jelentősége van: kifejezi, hgy a lepusztulás sebessége nem pusztán a mészkőre hulltt víz tömegével aránys, hanem az időegység alatt lehulltt csapadékkal. Más szavakkal: ha ugyanaz a vízmennyiség hsszantartó, csendes esőként kerül a mészkőre, akkr egy meghatárztt, hsszú időszak (pl. ezer év) alatt más lesz a denudáció mértéke, mintha rövidebb ideig tartó, de heves záprk frmájában kerülne az ldószer a mészkőre. E lineáris kapcslat azzal magyarázható, hgy a felszínen áramló ( csapadékból táplálkzó) víz hzama nem áll egyenes arányban a víz sebességével és vastagságával, amely tényezők pedig közvetlen (éspedig szintén nem lineáris) visznylatban vannak az ldódás sebességével Ha túl nagy a víz sebessége, akkr nincs elegendő idő a kémiai flyamatkhz, ha pedig a víz túllassan áramlik, akkr rövid szakaszn belül telítődik, és ldásképtelenné válik. 3. A (96)-ból kilvasható, hgy ha a kezdetben a lejtő síkfelületű vlt is, hamarsan görbültté válik, mert a süllyedés sebessége függ a lejtő tete- 30
jétől mért x távlságtól. Ez az összefiiggés pedig expnenciális jellegű, ami kifejezi, hgy a lepusztulás sebességében mértékadó különbségek csak egy meghatárztt zónán belül mutatkznak, azn kívül visznt a süllyedés sebessége állandósul. E zóna szélessége a (96) expnenciális kitevőjében álló p tényező reciprkával jellemezhető. Mivel aznban p a (95) szennt fiigg a lejtő dőlésszögétől, az esőcseppek irányától és a csapadékhzamtól, ezért érthető, miért rendelkezik lyan váltzats frmakinccsel a karrs mészkőfelszín. 4. A leldódás sebessége egyenesen aránys a víz telítési kalciumkarbnát kncentrációjával, mely-mint ismeretes- a levegő széndixidtartalmával aránys. Ebből az következik, hgy különböző atmszférikus visznyk között lezajló karrsdás jellegében azns frmákat hz létre, csupán kialakulásuk sebességében van differencia. 5. Az ldódás kémiai flyamatait tükröző k tényező szintén igen bnylult fiiggvényként mutatkzik meg, hiszen előfrdul mind a íl mind a fl tényezőkben. Ez kihangsúlyzza az igényt a lepelvíz alatt zajló ldódás menetének minél alapsabb megismerésére. 6. A (99) kifejezi, hgy a kőzet felszínén szivárgó víz ldtt kalciumkarbnát kncentrációja (c) a süllyedési sebességhez hasnlóan expnenciálisan váltzik, éspedig aszimpttikusarr tart egy határértékhez. Ez a határérték frdítttan aránys a csapadékhzammal, azaz mennél több víz hullik időegység alatt a területre, (azaz mennél jbban hígul a lepelvíz), annál kisebb lesz c. Természetesen ez nem azt jelenti, hgy nagybb csapadéknál lassúbb lenne az ldódás, sőt, épp ellenkezőleg: a kisebb kalcium-karbnát tartalmú víz agresszívabb, így c csökkenése a maximálisan felldható mészkő tömegét növeli. 7. A (99) arról is számt ad, hgy a lejtő tetejénél a legkisebb az ldtt CaC03 azaz tt a legagresszívabb a víz. Ez abból adódik, hgy tt a csapadékn kívül még a nemkarszts térszínről érkező agresszív víz is szerepet játszik a krrózióban. Lejjebb ez utóbbi eredetű ldószer telítődik, és csak a csapadékvíz gazdagítja az agresszív összetevőt. 8. A (96)-ból egy tvábbi, meglepő tény is kiviláglik. Ha a mészkő felületére csak a csapadék szállít vizet, azaz a nemkarszts területről nem érkezik ldószer (ami matematikailag h -+O esetnek felel meg), akkr fl~, következésképp az exp(-p x) tag nulláhz tart, bármekkra legyen is x. Ez azt jelenti, hgy ilyen esetben a mészkőfelszín süllyedése x-től fiiggetlen, azaz állandó. Más szavakkal: egy tökéletesen sík, lejtős rnészkőfelszín nem váltztatja az alakját karrsadása srán, hanem egyenleteses pusztul. E megállapítás látszólag ellentétben van a terepi tapasztalatkkal: a szabad kőzetfelszín általában hepehupás, barázdákkal, csatrnákkal, esetleg 31
r: leflyástalan medencékkel van megtörve. Mindez ráirányítja a figyelmet a fenti megldás stabilitására: valószínűleg egy kis eltérés a sík felülettől megbntja az egyenletes denudáció dinamikus egyensúlyát, és e kis zavar mérete egyre nagybbá válik. Kvantitatív elemzés Végezzünk számszerű becslést a denudáció sebességére nézve! A víz dinamikai viszkzitási tényezője 1]=1,9 10 3 kg/m s; a mészkő sűrűsége PK =2300 kg/m 3 ; a víz sűrűsége Pv=lOOO kg/m 3 ; a n~hézségi gyrsulás g=9,81 m/s 2. az ldódás sebességi tényezőjek a kémiai ldódás sebességé- ' nek és a diffúziós anyagtranszprt sebességének reciprk összegéből adódik: k = kxkd (100) kk+ kd' ahl kk a kémiai ldódás sebessége, kd a diffúziós anyagtranszprt sebessége. kk meghatárzása a _ EK kx = Axe RT (101) képlettell ehetséges, ahl A x = 5,36 l 0 5 m!s, E x = 5,41 10 4 J/ml, R= 8,31 J/ml.K. T pedig a víz abszlút hőmérsékletétjelöli. T= 283 K-nel számlva kk=5,47.10-5 mls. (DUBLJANSZKIJ 1986). kdközelítőleg a D kd =8 (102) összefiiggés alapján számítható, ahl D a diffúziós állandó, pedig a mészkő felszíne mentén kialakuló határréteg vastagsága. Meghatárzására az alábbi összefiiggés szlgál: _52_ D= ADe RT. (103) A (103)-ban AD =2,37 10-3 m 2 /s, ED =3,72 10 4 J/ml. T=283 K esetén D=3,19.10. 10 m 2 /s. A határréteg vastagsága (itt nem részletezett számításk szerint) jó közelítéssel megegyezik a vízfilm h vastagságával h-nak 0,001 métert véve (lásd. alább) a (l 02) k=3,2.10. 7 m/s eredményt ad. Mindezek birtkában, a (l 00) szerint k=3,2.10" 7 m/s. A vízben maximálisan felldható kalcium-karbnát kncentrációja K M 1 Kc K c 8 3 p e - CaC0 3 4 K 2 C0 2 ' 2 r Ca r HC0 3 (104) 32
ahl a M eac 3 a kalcium-karbnát mláris tömege ( M eac 3 =96 kglkml ); K 1 és K 2 a szénsav hidrkarbnáts, ill. karbanáts disszciációs 411andója, KH a víz hidrxils disszciációs állandója, Ke a kalcium-karbnát disszciációs állandója (DREYBROT 1988). r Ca és r HCO) az ldatban lévő kalciumés hidrkarbnát ink aktivitási együtthatói, melyek értéke híg ldatk esetén (mint a karrsadás esetében is) 1-gyel egyenlők. Pc 2 a nrmállevegő széndixid-tartalmának parciális nymása (Pc 2 = 0,0003 atm). K1, Ki, Ke. KH értékei alapvetőerr a hőmérséklettől függenek, melyek T=5 C esetén: K 1 =3,1622.10-7, K2=3,1622.10-11, KJF6,30057.10-2, Ke =3,89.10-9 Mindezeket figyelembe véve ce=0,0546 kg/m 3. A csapadékhzam reális értéke 1000-4000 mm/év, melyet másdpercekre átszámítva 3,17.10-5 -12,68.10-5 kg/m 2 s. A mészkőfelszín felső éle mentén belépő vízréteg vastagsága reálisan h =0,1-1 mm (10" 4-10- 3 m). A képletekben szereplő többi paraméter értelemszerűen tetszőleges értéket fel vehet. Legyen a mészkő dőlésszöge a = -10, az esőcseppek hulljanak függőlegesen, azaz legyen /)=90. Az átlags csapadékhzamnak vegyünk 2000 rnmlévet, így qv=6,34.1 5 kg/s. Ezen adatkkal K=0,204 lim, A.=- 4,43,.u=0,968 1/m, tehát c(x) = D,041 ll- e- 1 ' 43.. jkglm 3, w(x) = 0,0596-0,17 e- 1 ' 43 x mm/év. Hax=O, akkr w=0,23 mm/év. Hax=l m, akkr w=0,06 mm/év. Grafikus vizsgálat A fent levezetett összefüggések tartalmának szemléltetésére vizsgáljuk meg a leldódás sebességének alakulását különböző paraméterek függvényében. (A diagrammkn fel nem tűntetett paraméterek értékei megegyeznek a fenti számpéldában szereplőkkel.). A 3. és 4. ábra mutatja a leldódás sebességét (b -t) a lejtő felső élétől mért távlság függvényében. Látható, hgy a sebesség expnenciálisan csökken a távlsággal, de nullától különböző szinten állandósul. Ez azzal magyarázható, hgy az agresszív csapadékvíz a lejtő felső élétől távl is öntözi a mészkövet, így ldó hatását mindenütt kifejtheti. A görbék kezdeti expnencjális jellege a nemkarszts területről érkező agresszív vizek hatását tükrözi: amint azk fkzatsan telítődnek, úgy egyre csökken ldóképességük. A diagramból az is kilvasható, hgy a terület dőlésszögének függvényében a telítődés különböző hsszúságú szakaszkri következik be (ill. 33
különböző hsszúságú szakaszk megtétele után állandósul az ldási sebesség). 0,3 0,2 0,1 0+-.-.-.-.-~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m 3. ábra. A leldódás sebessége a lejtő szélétól mérttávlságfüggvényében, különbözó dőlésszögele eselén (a<45, P=90, q.=6,34.uj 5 kgls, [azaz Q=2000 mmlév]) Fi g. 3. V elcity f denudatin as a functin f dislance frm b ri nk f slpe by different angle f slpe ( a<4 5 P=90, q.=6,34.10' 1 kgls [i.e. Q=2000 mmlyear}) 0, 3 [mm/év] 0,2 0,1 45 ~ 5.0 ss s ss 7 75. s as 2 3 4 5 6 7 8 9 10 m 4. ábra. A leldódás sebessége a lejtő szélétól mérttávlságfilggvényében, különbözó dőlésszögele eselén (a>45 P=90, q.=6,34./0' 1 kg/s [azaz Q=2000 mmlév]) Fig. 4. V elcity f denudatin as a functin f dlstance frm b ri nk f slpe by different angle fslpe (a> 45 P=90, q.=6,34.uf 5 kg/s [i.e. Q=2000 mmlyear}) 34
Az 5. ábra a leldódás sebességét a mészkőfelszín lejtőszögének tuggvényében ábrázlja, a lejtő tetejétől mért távlság különbö~ő értékei mellett. Meglepő és karsztmrflógiai szempntból igen figyelemreméltó, hgy valamennyi görbe egy biznys dőlésszög mellett maximummal rendelkezik. Ez azt jelenti, hgy a 35-45 lejtésü sziklafelszínek denudálódnak leggyrsabban. Más szavakkal: az igen kis lejtésü ill. az igen meredek térszínekről időegység alatt kevesebb CaC03 távzik, mint a közepes lejtésűekről E tény mrflógiai következményeinek vizsgálata még hátra van. 0,08 ~m/év] 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 Or---~--~~--~--~----.----.----~-- 10. z 60 80 5. ábra. A leldódás sebessége a mészkófelszín lejtószögénekfilggvényében, a lejtő tetejétól mért távlság különbözó értékei me/lett (P=9. q.=6,34.ur' kgls [azaz Q=2000 mmfév]) Fig. 5. V elcity f denudatin as a funclin f angle f slpe by different distan ce frm b ri nk f si pe (P= 90. q.=6,34.10' 5 kgls [i. e. Q=2000 mmlyearj) A 6. ábrán a leldódási sebességet a lejtőszög függvényében különböző csapadékhzamk mellett ábrázltuk Jóllátható, hgy a denudáció és a csapadékhzam között nincs egyenes aránysság: a b(qj függvény meredeksége nagybb csapadékhzamk esetén kisebb. Azaz kétszer akkra évi csapadékhzam nem eredményez kétszer akkra lepusztulást, hanem csak kevesebbet. Ez azzal magyarázható, hgy nagybb csapadékhzam esetén gyrsabbán leflyik a víz a mészkőről, így kevesebb ideje marad az ldásra. E megállapítást az is igazlja, hgy nagy lejtőszögeknél (az éves csapadékhzamtól fiiggetlenül) kisebb a leldódás éves mértéke. 35
0~ 8 [mm/év] ;16 0,14 0~ 2 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 1000 500 0 9000mm/év 6. ábra. A leldódási sebesség az éves csapadékhzam fggvényében, különböző lejtőszögek es etén (x=5 m, /3= 90 ) Fi g. 6. V elcity f denudatin as a ftmctin f annual precipilalin by different angle f slpe (x=5 m, /J= 90 ) [nm/év] 40 0,06 50 0,05 55 0,04 0,03 0,02 0,01 10 20 30 40 50 60 70 80 60 65 70 75 7. ábra. A leldódás sebessége az esőcseppek pályájának dőlésszögétől fggően, különbözó lejtőszögek esetében (x= 5 m, q.=6,34.ur' kg/s [azaz Q=2000 mmlév]) Fi g. 7. V elcity f denudatin as a functin f directin f r ainfali by different angle f si pe (x= 5 m, q.=6,34.1 s kgls [i. e. Q= 2 000 mmlyear]) 36
0,06 fnmtév] 0,05 0.04 0,03 0,02 ::----...;, ------70 0,01 6 12 18 2.4 óra 8. ábra. A leldódási sebesség a napi múködési id ó fggvényében, különbözó lejtószögek esetében (x= 5 m. /3=90, qv=6,34.10' 1 kgls [azaz Q=2000 mmlév]) Fig. 8. V elcity f denudatin as a functin f a da ily perid f time f rainfa/1 by different angle f slpe (x= 5 m. /3=90, qv=6,34.]()' 1 kgls [i.e. Q=2000 mm/yearj) A 7. ábra a leldódás sebességét az esőcseppek pályájának dőlésszögétől függőerr mutatja, különböző lejtőszögek esetén. Szembeötlő, hgy a <45 esetén mennél meredekebb az esőcseppek esési iránya (azaz mennél közelebb vannak a függőleges helyzethez), annál nagybb a leldódás sebessége. Kis lejtésű területek denudációja közel vízszintesen repülő esőcseppek esetén igen csekély. Ezen az ábrán is kitűnik, hgy az a~45 lejtések esetén a legnagybb a krrózió mértéke, szinte függetlenül attól, hgy milyen irányból hullik a csapadék. Visznt nagy meredekségű térszíneken a lapsan repülő vízcseppek fejtenek ki hatékny ldást. Tehát biznyítva látszik az a (chilei karrmezőkön megfigyelt) megállapítás, hgy a vihars szélben közel vízszintesen szálló esőcseppek gyrsan hátráló, meredek mészkőfelületeket hznak létre, (aminek következtében igen különös frmakincs áll elő). ; Végül a 8. ábrán az eső intenzitásának hatása látható, ahl a leldódási sebességet a napi működési idő függvényében tüntettük fel, azns (2000 mm/év hzamú) csapadék esetére. Egyértelműen látszik, hgy ugyanaz a vízmennyiség hsszú időre elnyújtva hatéknyabb ldódást tesz lehetövé. Azaz számításaink szerint a tartós esőzés hsszú távrr több CaC0 3 felldásával jár, mint a rövid, heves esőzés. (Természetesen ha az évi csapadékh- 37
zam nagybb, akkr a leldódás is nagybb lesz). E jelenség valószínűleg azzal magyarázható, hgy a nagy hzamú esők igen gyrs, bővizű leöblítést eredményeznek, így visznylag kevés idejük marad az ldásra. Ezt követőleg pedig hsszú, csapadékmentes időszakk következnek, amikr egyáltalán nincs ldódás. Ezzel szemben a lassú, csendes esőzés időegység alatt kevesebb mészkövet ld fel ugyan, de a csökkenés nem lyan mértékű, mint amennyi nyereség származik a hsszú működési időből. IRODALOM DREYBROT, W (1988): Prcesses in Karst Systems. - Springer-Verlag. 283.p. Berlin, 1988 DUBLJANSZKIJ, J. V. (1989): A víztükör alatti gömbfiilke-képzdés elméleti vizsgálata- Karszt és Barlang I-IT. p.29-31 JAKUCS L. (1971): Akarsztk mrfgenetikája. -Akadémiai kiadó, Budapest, 1971 " SZUNYOGH G. (1994): Szabad, talajjal nem bríttt mészköfelszín karsztsdásának általáns egyenletrendszere - Karsztfejlődés I. (Ttes Gebirge karrjai). Pauz kiadó, Celldömölk. p. 145-164 SZUNYOGH G. (1995): Mészkőfelszíni alakzatk kialakulásának fizikája - Studia Physica Savariesia. III. Szmbathely, 1995. p. 9.1-9.ll SZUNYOGH G. (1998): Sziklakarrk karsztsdásának matematikai mdellezése - Karsztfejlődés II. (A Ttes Gebirge karrjai). Szmbathely, p. 7-34 SZUNYOGH, G. (2000a): Differential Equatins Describing the Changes Of Shape Caused by Karst Crrsin f any Arbitrary Limestne Surface - Karsztfejlődés IV. Természetfldrajzi Tanszék, Szmbathely, p. 151-174 SZUNYOGH, G (2000 b).: The Theretical-Physical Study f the Prcess f Karren Develpment - Karsztfejlődés IV. BDTF Természetfldrajzi Tanszék, Szmbathely, p. 125-150 VERESS M-PÉNTEK K. (1990): Kísérlet a karszts felszínek denudációjának kvantitatív leírására- Karszt és Barlang I. p, 19-28 VERESS M-PÉNTEK K. (1992): Felszíni karszts frmák vizsgálata matematikai módszerekkel - Oktatási intézmények karszt és barlangkutató tevékenységének IT. rszágs knferenciája, Szmbathely. p.21-29 VERESS M. (1993): Egy ttes gebirgei-i nagy karvályú kildódástörténeti vázlata- Karszt és Barlang 1-2. p.21-28. VERESS, M-PÉNTEK, ~. (1998): Mdelling Karst Surface Evlutin: Quantitatíve Descriptin f Surface Vertical Karstificatin. - Windws n Hungarian Gegraphy, Studies in Gegraphy in Hungary 28, p. 53-69. 38
VERESS, M (2000): The main types f karren develpment f limestne surfaces withut sil cvering- Karsztfejlődés IV. BDTF Természetföldrajzi Tanszék, Szmbathely~ p. 7-30. - VERESS M-TÓTH G.-PENTEK K. (2001): Adalékk karrfrmák kialakulási kráhz és fejlődési sebességéhez a Hallstatt-gleccser jégmentes völgytalpán - Karsztfejlődés VI. BDF Természetföldrajzi Tanszék, Szmbathely, p.161-169. VERESS M (2002): Talaj nélküli sziklafelszínek néhány karrs jelensége és az ezek hatására képződő karrfrmák- Földrajzi értesítő. - 51.1-2. p.41-71. 39
r