/
KÜLÖNBÖZİ SZÁMHALMAZOK ) Kkukktojást keresünk! ) b) 60 0 0 8 6 8 0 c) d) π 8 0,000. 0,666. 0 0.) (nincs értelmezve 0-vl vló osztás) kidobjuk! 0 A megmrdt számhlmzbn 8 irrcionális szám: : dobjuk ki! nem oszthtó -cel! Mrdt:, 60, 0, még ezek között is kereshetünk kkukktojást. Pl.: 0 pártln szám. b.) Z A megmrdt hlmzbn végtelen szkszos tizedes tört stb. c.) prímszám d.) 0,666 Q. ) Igz és hmis állítások ) Bármely vlós szám nulldik htvány. b) Pártln számok szorzt pártln. c) Szorzt htvány egyenlı tényezık htványánk szorztávl. d) Z-ZZe) A végtelen tizedes törtek irrcionális számok. f) Vn olyn prímszám, mely páros..) Gondoltm egy számr! ) 8 x értelmezési trtományok eleme b) Természetes szám: n n c) L ( x) x függvény képe z origór szimmetrikus d) Prímszám n, 0yn lkú e) A szám négyzete ( ).) x ; b.) 0 x ; c.) Pártln:,,,,, lehet; d.),,, e.) szám : /
. Melyik legkisebb természetes szám, mely számjegyek összege 00? A legkisebb szám... lkú, hol drb -es számjegy vn. Melyik z legkisebb természetes szám, melyben számjegyek összege.) 00 b.) 00 00.) 00 b.) 8 Lehet-e egész szám szorzt is összege is? Igen:,,,,, -, -, -, - Lehet-e 8 egész szám összege és szorzt is 8? Igen:,,,,,, -, - Lehet-e 8 egész szám szorzt 8, összege 0? Igen:,, -, -, -, -, -, - Mennyi (-) és () közti egész számok szorzt? 0 Milyen jelet kell és közé tennünk hhoz, hogy -nél ngyobb, de háromnál kisebb számot kpjunk? Tizedesvesszıt Melyik z legkisebb természetes szám, mely mrdék nélkül oszthtó z,,,,, 6,, 8,, 0 számok mindegyikével? 0.) Mindenki írjon fel egy tetszıleges háromjegyő számot! Ugynezt számot folyttólgosn írj hozzá úgy, hogy egy htjegyő számot kpjon. (pl.: 66) Osszuk el számot -tel! Mrdék nélkül oszthtó! Az eredményt osszuk el -el! Mrdék nélkül oszthtó! Az eredményt osszuk el -ml! Mrdék nélkül oszthtó! Az háromjegyő szám szerepel eredményként, melyet eredetileg írtunk fel! Miért? (H egy tetszés szerinti háromjegyő számot kétszer egymás után felírunk, ugynzt számot kpjuk, minth z eredetit 00-gyel szoroznánk. Mivel 00... elvégezve z osztást,, számokkl, visszkpjuk z eredeti számot. 6.) Egy névjegy szám oszthtó -vel. H számjegyeket tetszılegesen felcseréljük, kkor következı állítások közül melyik igz?.) A kpott szám biztosn oszthtó -vel. b.) A kpott szám biztosn oszthtó 6-tl. c.) A kpott szám biztosn oszthtó -gyel. d.) A kpott szám biztosn oszthtó -ml. e.) A kpott szám biztosn oszthtó -vel. A d.) igz. Miért? /
.) Mely pozitív egész n-re lesz egész szám n ( n ) 0 0 n n n n? n 0 oszthtó:,,,, 0, 0, -, -, -, -, -0, -0 n 0 - - 8 A tört 0 0 - - - - -0-0 értéke A kifejezés értéke 6 0 - - - - - Függvények ) Függvények megdás táblázttl ) Az ötvözetek rnytrtlm és krátszám között egyenes rányosság vn. krát000 rnytrtlom Krát 6 8 Arnytrtlom -ben 000 krát: 000 krát: 000 rnytrtlom. krát: 00 krátos mgyr ötvözet: 8 6 krát: 0 stb. Ez mtemtiki összefüggések lpján készült táblázt: mtemtiki táblázt. b) A tpsztlti dtok lpján készült táblázt is lehet függvény. Például.: Egy utójvító mőhelyben egy hónp ltt jvított utók szám márkájuk szerint. Fit Volksw. Opel Dci Suzuki db db 0db 0 db 60db c) Egy fiskolábn fcsemeték fjtájáról és rányáról követezıt tudjuk: ıszibrck: % meggy: % lm: 0 % dió % fenyı: % Számítsuk ki, hogy melyikbıl hány drb vn, h összesen 00 fcsemete vn fiskolábn! /
) Függvények megdás grfikonnl ) Készítsünk táblázt lpján oszlopos grfikont. b) Készítsünk körgrfikont tpsztlti tábláztinkhoz! Autó márk db % Kp.-i szög Jelölés Fit % 0 0 VW. % 0 Opel 0 0% 6 0 Dci 0 0% 08 0 Suzuki 60 0% 0 Össz.: 00 00% 6 0 00% 00 60 0 0% 0 6 0 ) Két város távolság 00 km. A városból indul B felé egy utóbusz. órától 0 óráig km/h sebességgel hld. 0 órától óráig áll, mjd visszindul 00 km/h sebességgel A -b. B -bıl 0 -kor indul egy utó A felé. 0 -ig 00 km/h sebességgel hld. 0 -tól 0 0 -ig áll, mjd visszindul km/h sebességgel B -be. ) Hány órkor tlálkoznk? Hány km-re A -tól? b) Mikor érkeznek vissz kiindulási helyükre? c) Mekkor átlg sebességgel induljon A városból 8 órkor egy motoros, h második tlálkozásnál jelen szeretne lenni? Tlálkozás: 00, 0 I: visszérkezése A -b: I: visszérkezése B -be: 0 A második tlálkozás 0 -kor km-re A -tól történik. A motoros sebessége: t,,( ór) v motor km / h 0km / h, /
FÜGGVÉNYEK ) Elsıfokú függvények hiányos tábláztit látjuk. Töltsük ki tábláztot és írjuk fel függvények képletét! x - - - 0.. f (x) f(x)x f (x) 6 f(x)x f (x) 8 f(x)x8 f (x) 6 f ( x) x f (x) 0 f 6 (x) f ( x) x f ( x) x ) Helikopter sec ltt ltt,8 m-t emelkedik. Htározzuk meg helyzetét,, x sec múlv. A helikopter tengerszint felett 60 m mgs helyrıl indul v,8 m/s sebességgel. Htározzuk meg helyzetét,, x sec múlv. f (x),8x f (x),8x60 Oljkútfúró berendezés feje óránként, m-t hld. Htározzuk meg helyzetét,, x sec múlv. Oljkútfúró tengerszint felett 00 m mgsról indul. Htározzunk meg helyzetét,, x sec múlv. Az oljkútfúró tengerszint ltt 0 m-ról indul. Htározzuk meg helyzetét,, x sec múlv. f (x)-,x f (x)-,x00 f (x)-,x-0 Melyik függvény fejez ki egyenes rányosságot? Melyik csökkenı illetve növekvı? Htározzuk meg függvények értékkészletét! Mi okoz gondot? ) Írjuk fel nnk lineáris függvénynek képletét, melynek grfikonjár illeszkedik P (-; 6) és P (, ) pont! f(x) mxb 6-mb b6m 6m-m mb b-m m-6 6 ( ) x b m 6 b b, f ( x) x 6/
) Igz? Hmis? ) Párhuzmos egyenesek meredeksége zonos. b) Minden elsıfokú (lineáris) függvény képe egyenes rányosság grfikonj. c) Két változó mennyiség egyenesen rányos, h z egyiket növelve másik is ugynnnyivl növekszik. (00 ) Az igz állítást jelöljük -gyel, hmist 0-vl! Tekintsük számjegyet egy jegyő -es számrendszerbeli számnk! Melyik számról vn szó? ) Ábrázoljuk következı függvényeket! ) x 6x ( x x ) ( x ) f ( x) f ( x) ( x ) x x x x Értelmezési trtomány: x R /{ } f ( x) R / 0 Érték készlet: { } x ( x 6) ( x )( x ) f ( x) x 8 x x x x R f ( x) x R / x /{ } R /{ 6} x ( x ) ( x )( x ) ( x ) f ( x) x x 6 x ( x )( x ) x x 6 ) x x 6 ( x )( x ) x ( x )( x ) ( x )( x ) b) : ( x ) f f ( x ( x) x R / {, } x x x x 0 ( x ) ( x ) x f ( x) c) 0 x x x R /,0, { } { }{ } x A számláló: x 0x x 0x 00 0x 00 ( x )( x ) ( x )( x ) Ezért: 0 0 0 x( x ) : x x x x x 0 Figyelj: x,0,! 0( x ) ( x )( x ) 0 x /
Szögfüggvény ) A következı feldtok részeredményit ne írjuk le! Számoljunk szóbn! Csk végeredményt kérjük! /Ór eleji bemelegítı -jó gykorló, értékelhetı feldtok/.) sin 0 0 értékét szorozd meg 8-cl! Vedd kpott szám négyzetgyökét! Az eredménybıl vedd el 0 0 sinusánk kétszeresét! A kpott számot tekintsük, mint α szög cosinusát! π Htározzuk meg α-t! α nπ n Z π π π b.) sin értékét szorozd meg tg -ml, mjd sin -tl. 6 Melyik szög cosinusávl egyenlı z eredmény? π α nπ 6 π cosα α nπ 6 n Z ) Igz? Hmis?, Minden szögfüggvény folytonos függvény. b, A sinus x függvény képét π távolságr eltoljuk pozitív vgy negtív irányb, cosx függvény képét kpjuk. c, A sinus függvény grfikonj z origór szimmetrikus. d, Hegyesszög cosinus egyenlı szög sinusánk reciprokávl. /000 /. Történelmi események 8/
EXPONENCIÁLIS FÜGGVÉNY ÉS INVERZE:A LOGARITMUS FÜGGVÉNY A tnár következı egyenleteket írt fel táblár: x x x 0, x x x 8 / x 0, x' / log x x / x, x / log x x / x / / / Hogyn tudjuk megoldni? Csk grfikusn! mondták tnulók. - Jó, felteszem z írásvetítıre koordinát tengelyes fóliát. Most vettem észre, hogy csk két függvény képét hoztm be z órár! Elég lesz? - Attól függ, mely függvények képérıl vn szó! szólt rövid gondolkodás után egy fiú. - Például? kérdezte tnár. x - Elég lenne z f ( x) exponenciális függvény és egy lineáris függvény képe, vgyis z egyenes. - Helyes! mondt tnár. Miért? /
SÍKGEOMETRIAI ALAKZATOK, TRASZFORMÁCIÓK ) Kkukktojást keresünk!.) Négyzet b.) 6, 8, 0 Rombusz.. Szbályos ötszög, 0, Szbályos htszög, 0, Szbályos kilencszög /P. számhármsok-, 0, kivételével/ c.) Egyenesre vontkozó tükrözés Pontr vontkozó tükrözés Eltolás Derékszög szerkesztése Középpontos ngyítás Elforgtás ) Igz és hmis állítások ) Minden négyzet rombusz. b) A deltoid mindig konvex. ( xc) m c) A trpéz területképlete:. d) A szimmetrikus trpéznk mindig vn köré írhtó köre. e) Vn olyn deltoid, melyik trpéz. Az igz állítást jelöljük -gyel, hmist 0-vl! Tekintsük z öt számjegyet egy ötjegyő -es számrendszerbeli számnk! Melyik számról vn szó? / 00 / ) A szbályos háromszög köré írt kör sugr mgsság része. b) A négyzet köré írt kör átmérıje z oldl,-szerese. c) Nincs olyn négyszög, melynek belsejébe csk egy átló húzhtó. d) Vn olyn háromszög, melyiknek pontosn két szimmetri tengelye e) Vn. f) Minden egyenlıszárú trpéz húrtrpéz. / 0000 6 / ) Egy négyszög oldli 6cm, bcm, ccm, dcm. Állítás: négyszög érintınégyszög. b) A háromszög bármely két oldlánk összege ngyobb, mint hrmdik oldl. c) A háromszög bármely két oldlánk négyzetösszege ngyobb, mint hrmdik oldl négyzete. d) Bármely háromszögben két oldl rány megegyezik velük szemközi szögek sinusánk rányávl. /00 / ) Ppírból kivágott négyzet, rombusz, trpéz és deltoid modelleket -tıl -ig számozott borítékokb helyzetünk egyenként. Állpítsuk meg mindegyik síkidomról, hogy hánys számú borítékb került, h tudjuk: ) Az. átlói mindig merılegesek egymásr. b) A. oldli egyenlık c) A. átlói felezik egymást. d) A.-nek több szimmetritengelye vn, mint.-nk. 0/
A kizárási lépések után..... Rombusz - - - Négyzet - - - Trpéz - - - Deltoid - - - ) Rombuszt, trpézt, deltoidot, négyzetet, tégllpot helyzetünk -tıl -ig számozott borítékokb, mindegyikbe egyet. Állpítsuk meg, melyik hánys borítékb került, h tudjuk: ) Az. és. átlói felezik egymást. b) A. átlói nem merılegesek egymásr. c) A. érintınégyszög. d) A. húrnégyszög. e) A.-nek több szimmetritengelye vn, mint.-nek. f) Az.-nek szimmetritengelye átló..... Rombusz - - - - Trpéz - - - - Deltoid - - - - Négyzet - - - - Tégllp - - - - ) Tegyük fel, hogy Föld pontosn gömb lkú és z Egyenlítı hossz pontosn 0.000 km. Egy telefontársság m-rel föld felett, illetıleg víz felett z Egyenlítın körbevezetett egy telefonvezetéket. A társság mérnöke zt jvsolt, hogy gykori rongálások mitt tegyék vezetéket m-rel mgsbbr. A társság vezetıi ellenezték jvsltot, mondván, hogy sok új drót ngyon költséges lenne, hiszen drót métere 0 Ft. Erre mérnök kijelentette, hogy kár rögtön kifizeti szükséges dróttöblet árát. Hány forintb kerülne ez mérnöknek? Eredeti elképzelés: Rπ 0 Ft Új elképzelés ( R ) π 0 Rπ 0 6π 0 régi ár 6 π 0 88 Ft 6) Egy háromszögrıl tudjuk, hogy két oldl cm és cm. A hrmdik oldl mérıszám is természetes szám. Mekkor lehet hrmdik oldl? /cm, cm, cm, 6cm, cm/ H ezeket megszerkesztjük, melyik háromszögnél esik egy nevezetes pont háromszög egyik oldlár? (Melyik ez pont?) ) Közös középponttl köröket rjzolunk úgy, hogy sugrik rány :::: legyen. A bevonlkázott körgyőrő területe hány százlék legngyobb kör területének? ) %- b) 8%- c) %- d) 6 %- e) Az, b, c, d válsz hibás. /
A kör területe: ( r ) π A körgyőrő területe: ( ) ( ) r π r π πr r π r π 0,8 8% HATVÁNYOZÁS AZONOSSÁGAI ) Igz vgy hmis? ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) * 0 * 0 6 * 8,6 0 6 0 0 * 6 ) Egyszerősíts, h lehet! * * ) * * 8x x 0x ) Mely vlós érték mellett teljesül, hogy? /Segít: Ábrázoljuk közös koordinátrendszerben f ( x) x és g ( x) x függvényeket [ ; ] intervllumbn./.) Melyik szám ngyobb? v ( ).) 00 00 0 0 v v 0 00 v0 0 0 0 v0 v 0 0 ( 00 ) 0 00 x> ( v( ) v ( ) 00 0 > (0 0 ) 0 0 0 v0 0 8 > 0 00 v0 00 00 0 v v 00 00 00 00 ) < v(0 v ( 0) < 0 00 00 v 00 < ) 0 00 00 0 v 0 0 0 (0 ) v 0 0 0 /
/ b.) 0 0 ) ( > < v v v v v v v 0 0 0 80 0 0 0 < v v v v 6. Két szám négyzete kkor is egyenlı, h z lpok elıjele különbözı. Bebizonyítjuk, hogy x! Írjuk fel: 6-6- /Mindkét oldlhoz djunk 0 -et 6-60 -0 /Átlkítás Hol hib? ) Milyen számhlmzon ngyobb? > ; ; 8)Állítsuk növekvı sorrendbe számokt! Olvssul össze hozzájuk trtozó betőket! ) 0 8 6 P İ F E I T < < < < 8 < P E T İ F I b) 00000 U P A T 8 6 6 8 E B S D 00 6 8 < < < < < < < B U D A P E S T
) Számítsuk ki z x értékeit! Egymás mellé írv ezeket egy négyjegyő számot kpunk. Tekintsük ezt évszámnk. Mit ünnepeltünk ebben z évben? ) * x b) x Z, Z x /x/ c) /x/ x 8 8 /x6/ d) ( )( ) 86: Honfogllás /x8; -/ Érdeklıdıknek jánljuk ) Hogyn kell három zonos számjegyet úgy felírni (mőveleti jelek nélkül), hogy legngyobb számot kpjuk? Vegyünk pl. három -es és írjuk fel ıket így:,,. >, mert > ; 08 Ez szám csodáltos ngy. Földünk elektronjink szám elenyészıen kicsi ehhez képest! ) Írjuk fel három kettesbıl álló lehetı legngyobb számot, nélkül, hogy bármilyen mőveleti jelet lklmznánk. 6 ngyon kicsi. Kisebb, mint, vgy / 8; 0 / ill.. A péld ngyon tnulságos. Ebbıl láthtjuk, hogy mtemtikár veszélyes csupám z nlógiár építeni, mert ez könnyen téves következtetésekre vezet. ) Legyen most három számjegy -s! < / < / ) Legyen most három számjegy -es! > Ismét kételemes elhelyezés d ngyobb számot! Hogy lehetséges ez? ) Írjuk fel három egyenlı számjegybıl álló lehetı legngyobb számot nélkül, hogy bármilyen mtemtiki mőveleti jelet lklmznánk. H számjegyeket -vl jelöljük, kkor,, htványmennyiségek áltlános lkbn így írhtjuk fel: 0 A kétemeleteseket pedig így:. /
Htározzuk meg, hogy -nk milyen értékénél d z utóbbi kifejezés ngyobb számot, mint z elsı. >, h > /mindkét htványnk volt z lpj/ /z exponenciális függvény szigorún monoton / > /: > - csk kkor ngyobb, mint, h z ngyobb, mint, mivel - > Így válnk érthetıvé zok nem várt eredmények, melyekkel z elıbbi feldtok megoldás folymán tlálkoztunk, zz ketteseket és hármsokt másképpen kell elhelyezni, mint négyeseket vgy z ennél ngyobb számjegyeket. ) Kkukktojás log x log Logritmus,6 x? 8 lg0 0 log R log sin 0 log Nincs értelmezve vlós számok hlmzán, csk nnk részhlmzán: >0 Kkukktojás z is, mert értéke, többié pedig -. lg0 ) Melyik ngyobb? ) log c) log d)log e)log f ) log g)log ( ) h)log b)lg 0,0 8 000 00 log lg0, log log log log log ( ) log 6 8 6 Indoklás szükséges! A d, f esetben logritmus függvény szigorún monoton csökkenı! A g-nél: x >0 bármely vlós x-re, pozitív -r. /
Negtív iránybn hldv számítsuk ki z ismeretlenek értékét kifejezésben, illetve egyenletekben. Írjuk fel megoldásokt egymás után! Tekintsük kpott négyjegyő számot évszámnk! Teremtsünk kpcsoltot z évszám és e két név között! János. György. /Husz János hlál és huszit mozglom / /Dózs György, prsztháború / /88/ Térgeometrii lkztok ) Kkukktojást keresünk! Kock Gúl Henger Tégltest Gömb Gömb, mert hálózt síkbn nem teríthetı ki. Gúl, mert nem középpontosn szimmetrikus test. Csonkkúp Kúp Henger Csonkgúl (négyzetlpú) Gúl A henger, mert lplppl párhuzmos síkmetszetei egybevágók. ) Képzeljük el, hogy egy m élő kockát mm -es kis kockákból rktk ki. Egymás után rkv kis kockákt milyen hosszú sor lkuln ki belılük? ) 00m c) 0km e) 000km b) km d) 00km Az e) válsz helyes. 6/
) Igz, hmis állítások ) A kock testátlój olyn hegyesszöget zár be z lplp síkjávl, melynek sinus. b) A tégltest testátlój z egy csúcsbn összefutó élek összegével egyenlı. c) H egy kúpot z lpsíkkl párhuzmosn mgsság felével elmetszünk, kpott kúp lpterülete z eredeti lpterület felével lesz egyenlı. d) A kock felszíne l. /llpátló/ e) A kock köré írt gömb felszíne beírt gömb felszínének háromszoros. /00 / ) Töltsük ki következı tábláztot! Keressünk összefüggést dt között, mjd ellenırizzük sejtésünket más síklpú testeknél! A mértni test Lpok szám Élek szám Csúcsok szám Kock 6 8 Háromoldlú gúl 6 Háromoldlú hsáb 6 Ötoldlú hsáb 6 0 6 Síklpú testekre (poliéderekre) Euler tétele: lpok szám csúcsok szám élek szám. ) Kockát, hengert, kúpot, egyenes gúlát, csonk gúlát, csonk kúpot és gömböt -tıl -ig számozott dobozokb helyezünk egyenként. Melyik test hánys dobozb kerül, h tudjuk:. A páros számml ellátott dobozokb került testeken szemléltethetjük Euler tételét.. Az. és. forgásetest.. A. és. lplppl párhuzmos síkmetszetei hsonlók ( λ ). A. lkotói z lpsíkkl hegyesszöget zárnk be.. Az.-be középpontosn szimmetrikus test került. 6. A. és. hálóztán tlálunk egybevágó síkidomokt.. A. térfogtánk kiszámításához több dt kell, mint 6. térfogtánk kiszámításához, de kevesebb, mint. test térfogtához. Test..... 6.. Kock - - - - - - Henger - - - - - - Kúp - - - - - - Gúl - - - - - - Csonkgúl - - - - - - Csonkkúp - - - - - - Gömb - - - - - - b) Kock, henger, kúp, csonk kúp és gúl modelleket -tıl -ig számozott dobozokb helyeztünk.. A. forgástest.. A. és. párhuzmos síkmetszetei hsonlók, de nem egybevágók.. Az. és. középpontosn szimmetrikus test.. Az. felszíne kevesebb lpból áll, mint z.-é, de többıl, mint.-é-. A. egyik csúcs megsérült csomgolás közben. Test..... Kock - - - - Henger - - - - Kúp - - - - Csonkkúp - - - - Gúl - - - - /
SOROZATOK ) Írjuk fel következı soroztok n-edik elemét! ),,,,, / n n / b),,, / n n / c),,, 6, / n n / d),,,,... / n / n e),,, / n / 8 6 n f) 0,,,0, 0,00, / 0, n / g),,,... / n / 0 0 0 0n nα h), 0, -, 0,, / n sin / n i) -,, -,, / ( ) / n j), 0, 0, 0, / x / k),,,... / n. / A felírt soroztok közül melyik számtni sorozt? A felírt soroztok közül melyik mértni sorozt? Melyik sorozt konvergens? Htározzuk meg ezeknek htárértékét! ) Igzoljuk, hogy következı számok egy mértni sorozt egymást követı tgji: ; ; ;! /q / ) Mennyibe kerülne egy ló, h csk ptkószegekért kellene fizetni? Az elsı ptkószegért fillért, és minden következıért kétszer nnyit, mint megelızıért. Egy ptkóhoz 8 szög trtozik. n n n n,,, 8, 6, mértni sorozt q S x (fillér) 6 fillér6 Ft. ) Tkrékpénztárb helyezett 0000 forintunk évi %-os kmtos kmt mellett mennyi idı ltt kétszerezıdik meg? 0.000, n 00.000, n lg, n lg n lg, lg n lg 6, lg, év múlv vehetjük fel, de kkor már 0. Ft-ot kpunk. 8/
) Egy válllt.000.000 Ft értékő gépkocsijánk értékét évenként 0%-kl csökkentik (mortizáció). Hány év múlv vehetjük meg.00.000 Ft-ért?.000.000 0,8 n.00.000 Ft /-0,/.000.000 0,8 n.00.000 0,8 n 6 0 0 lg 0,8 n lg0,6 n lg0,8 lg0,6 n lg 0,6, 8 lg 0,8 év múlv! Ellenırzés:.000.000;.600.000;.80.000;.0.000 forintért. 6) Adott egyenlı oldlú háromszögbe z ábrán láthtó módon érintı köröket rjzoltunk. Számítsuk ki z r, r, r, r sugrk hosszát! Milyen soroztot lkotnk? Szbályos háromszög mgsságpontj, súlypontj, beírt köré írt körének középpontj zonos r 6 r AB C mgsságvonl: AF r, Ennek része lesz r. 6 8 AB C mgsságvonl r. 8,,... 6 8. 8 Mértni sorozt, q ) Adv vn egy ppírlp. Ezt kettévágjuk, mjd z egyik féllpot újr ketté és így tovább. Hányszor kell ezt megismételnünk, hogy kkor testecskét kpjunk, melynek tömege tom tömegével egyenlı. Tegyük fel, hogy ppírlp tömege g, egy tom tömegét vegyük grmmnk. (Becsléseket kérünk!) 0 /
0 kifejezésben helyettesítsük nevezıt htványávl: x 0 lg0 x lg lg x, 80 0 x 80 Mindössze 80 kettéosztás szükséges! Gykrn több milliór gondolnk zok, kiknek ezt kérdést feltesszük. VEGYES FELADATOK.ÉVFOLYAM.) Kkukktojást keresünk! π sin log.) log c.) cosπ cosπ π sin 6 b.)derékszögő prlelogrmm d.) Glilei Egyenlı átlójú prlelogrmm Ohm Körbe írhtó prlelogrmm Ampére Kört érintı prlelogrmm Voltire /Az elsı három tégllp/.)évszám,esemény π.) sin c.) 8 x 6 6 b.) x x x( x ) 0 d.) ( x x ) Értelmezési trtomány? / ( x ) /00,0/ ( ) 0 /.) P (0,-) P (,0) Legyen ez két pont egy négyszög két csúcs. Középpontosn szimmetrikus z origór. Soroljuk fel csúcsokt! Milyen négyszögrıl vn szó? Mekkor rombusz egy oldl? Mekkor területe? 0/
Adjuk meg zt lineáris függvényt, melynek grfinkonj z z egyenes, mely átmegy két dott ponton! Soroljuk fel többi oldlegyenes egyenletet! 0x6 T 0 f ( x) x ) Igz és hmis állítások! ) H log x > log y, kkor x >. y b) A másodfokú egyenlet gyökeinek szorzt konstns és másodfokú tg együtthtójánk hánydosávl egyenlı. c) A szbályos háromszög mgsságvonlit mgsságpont : ránybn osztj. d) A háromszög köré írt kör sugr kiszámíthtó egy oldl és szemközti szög ismeretében. e) A háromszög területe: /00 / b cosπ T ) Történelemi esemény ) log b) ember np ltt végez el egy munkát. Ugynolyn teljesítménnyel hány ember végzi el np ltt? c) A legkisebb prímszám d) Htszög (konvex) átlóink szám 6) Számolás szóbn sin x tgx cos x 0 cos x 00 Gzdsági világválság sin x tgx cos x 0 cos x π x nπ 6 π x nπ 6 π x nπ π x nπ nincs értelmezve /
) Hsonló síkidomok Oldlink rány Területeinek rány :? :?? 6:? :86 Éleinek rány Térfogtink rány 0:? :?? 8:000? :? 000000:6 Írjuk fel lóhere levélkéire megoldásként kpott számokt! Negtív iránybn hldv nevezetes történelmi esemény évszámát kpjuk. ) n oldlú szbályos sokszög középponti háromszögének szárszöge. n? b) A kock felszínképletében szereplı együtthtó. c) Z / P Ö / P prímszám, Ö összetett számok/ d) Olyn páros szám, mely prímszám négyzete. 6 Nándorfehérvári gyızelem /