Merev differenciálegyenletek numerikus megoldása

Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Szabó-Pinczel Orsolya Merev differenciálegyenletek numerikus megoldása BSc szakdolgozat Témavezet : Mincsovics Miklós, tudományos segédmunkatárs Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék Budapest, 2012

Köszönetnyilvánítás Szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Mincsovics Miklósnak, hogy segítette a munkámat, javította a hibáimat. Köszönöm Kurics Tamásnak, els témavezet mnek, akinél sajnos nem tudtam befejezni a munkámat hogy konzultációkkal megalapozta a dolgozat elkészítését. Végül, de nem utolsósorban, köszönöm férjemnek a támogatást. ii

Tartalomjegyzék Bevezetés 1 1. Alapvet fogalmak és összefüggések 2 1.1. Dierenciálegyenletek.......................... 2 1.2. Numerikus módszerek......................... 4 1.3. Merev dierenciálegyenletek...................... 9 2. Implicit Euler-módszer 11 2.1. Az Implicit-Euler módszer algoritmusa................ 11 2.2. Megoldás Newton-módszer alkalmazásával.............. 12 2.3. Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása................ 12 3. Runge-Kutta módszerek 15 3.1. Explicit Runge-Kutta módszer algoritmusa.............. 15 3.2. Az Implicit Runge-Kutta módszer algoritmusa............ 16 3.3. Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása........... 17 4. Gear-módszer (BDF-módszer) 19 4.1. A Gear-módszer algoritmusa...................... 19 4.2. A Gear-módszer A-stabilitása..................... 20 5. Összefoglalás 24 Irodalomjegyzék 26 iii

Bevezetés Mikor Kurics Tamáshoz fordultam, hogy szeretnék nála szakdolgozatot írni az analízis témakörében, azt kértem t le, hogy a dolgozat címében legyen olyan szó is, amit nem matematikus is ért. Ezért a merev egyenleteket ajánlotta. Sok dolgozat született már a dierenciálegyenletekr l, és azok numerikus megoldásáról, hiszen a dierenciálegyenletekkel gyakran találkozhatunk a mindennapi életben is. Fizikai, gazdasági, m szaki, és biológiai problémák modellezéséhez igen gyakran használatos. A való életben is el forduló dierenciálegyenletek nagy része azonban merev, amelyekre egyes módszerek egyáltalán nem hoznak eredményt, másokkal azonban stabil megoldást kaphatunk. Dolgozatomban ezért három numerikus módszerrel szeretném megismertetni az olvasót, amelyeket merev dierenciálegyenletekre alkalmazhatunk: az Implicit Euler-módszerrel, az Implicit Runge-Kutta módszerrel és a Gear-módszerrel. A módszerek részletes ismertetése el tt áttekintjük az alapfogalmakat, megismerkedünk dierenciálegyenletekkel és a numerikus módszerekkel. A merev dierenciálegyenletek leggyakoribb el fordulási területei az irányításelmélet, a reaktorkinetika, az id járás el rejelzés, a biomatematika és az elektronika. Általánosságban elmondható, hogy ahol gyorsan változó dinamikával találkozunk, ott a merevség is el bukkan. Ezeken felül a merev egyenletek legf bb forrása maga a numerikus analízis: a parabolikus parciális dierenciálegyenleteket gyakran közelítik merev egyenletrendszerekkel. 1

1. fejezet Alapvet fogalmak és összefüggések Miel tt megismerkednénk a merev dierenciálegyenletekre alkalmazható numerikus módszerekkel, tekintsük át az alapvet fogalmakat. 1.1. Dierenciálegyenletek A dierenciálegyenleteket két f típusba sorolhatjuk: közönséges dierenciálegyenletek és parciális dierenciálegyenletek. A közönséges dierenciálegyenletekben a keresett ismeretlen egyváltozós, míg a parciális dierenciálegyenleteknél többváltozós. A következ kben a közönséges dierencálegyenletekkel fogunk foglalkozni. 1.1.1. Deníció (közönséges dierenciálegyenlet). Legyen D R R n összefügg nyílt halmaz, f : D R n folytonos függvény és I R nyílt intervallum, y : I R n dierenciálható függvény. Az els rend 1 közönséges dierenciálegyenlet (ordinary dierential equation: ODE) explicit alakja: y (x) = f(x, y(x)) Ahol f egy adott függvény, és az y-t keressük. 1.1.1. Tétel. Ha az f : D R n függvény folytonos és a második változójában 1 n-ed rend nek nevezünk egy dierenciálegyenletet, ha a benne szerepl magasabb rend deriváltak között az n-edik a legnagyobb. 2

1.1. Dierenciálegyenletek 3 lokálisan Lipschitz tulajdonságú 2, akkor minden (x 0, y 0 ) esetén egyértelm en létezik olyan lokális (azaz x 0 egy környezetében értelmezett) megoldása az y (x) = f(x, y(x))-nek, melyre y(x 0 ) = y 0. Ezért feltesszük, hogy a dierenciálegyenleteinknek adott kezdeti érték mellett egyértelm en létezik megoldása. 1.1.2. Deníció (kezdetiérték feladat). f : (a, b) R R adott, keressük az y (x) = f(x, y(x)) y(a) = y 0 feladat y megoldásának az x = b (vagy más közbüls ) pontban felvett értékét. 1.1.1. Példa. 1. y (x) = λy(x) y(0) = 1 megoldása: y(x) = e λx λ < 0 esetben: ha t, akkor a megoldás határértéke 0. Ekkor minden megoldás a 0 egyensúlyi ponthoz közeledik, ami egy aszimptotikusan stabilis 3 egyensúlyi helyzet. λ > 0 esetben: ha t, akkor a megoldás határértéke ±. Ebben az esetben a 0 egyensúlyi pont instabilis. λ = 0 esetben a megoldások konstans függvények, azaz nem is közelednek és nem is távolodnak a 0 egyensúlyi ponttól, azaz a megoldás stabilis. 2 Az f : D R n függvényt a második változójában lokálisan Lipschitz tulajdonságúnak nevezzük, ha minden (t 0, p 0 ) D pontnak létezik U D környezete és létezik L > 0, hogy f(t, p 1 ) f(t, p 2 ) L p 1 p 2, minden (t, p 1 ), (t, p 2 ) U esetén. 3 A stabilitási alapfogalmakat legegyszer bben egy golyó különböz felületekre helyezésével, majd elmozgatásával szemléltethetjük: asszimptotikusan stabilis, ha egy gödör aljára, instabil, ha egy domboldal tetjére, stabil, ha egy vízszintes felületre helyezzük.

1.2. Numerikus módszerek 4 2. y (x) + sin(x) = 200(y(x) cos(x)) y(0) = 0 megoldása: y(x) = cos(x) e 200x 1.2. Numerikus módszerek Ahhoz, hogy megértsük hogyan m ködik egy numerikus módszer, példaként tekintsük az Euler-módszert. Adott egy kezdetiérték feladat: y (x) = f(x, y(x)) (x x 0 ) y(x 0 ) = y 0 Ebb l két információt olvashatunk ki: y értékét x = x 0 pontban, illetve a további x x 0 pontokban a dierenciálegyenletb l következtethetünk a görbére. Ezt a legegyszer bben lineáris interpolációval tehetjük (azaz els rend polinomokkal közelítünk). Tehát a következ képpen becsüljük y(x)-t: f(x, y(x)) f(x 0, y(x 0 )) ahol x [x 0, x 0 + h], h > 0 kicsi. Ha integráljuk a dierenciálegyenletünket, a következ t kapjuk: y(x) = y(x 0 ) + x x 0 f(τ, y(τ))dτ y 0 + (x x 0 )f(x 0, y 0 ). Ezért válasszuk a következ sorozatot: x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 + 2h,... ahol h a lépéstávolság 4. Az els lépésünk a következ lesz: y 1 = y 0 + hf(x 0, y 0 ). Ezt általánosíthatjuk a következ képpen: jelölje y(x k ) a feladat pontos megoldásának értékét az x k osztópontban és legyen y k a közelít érték: y k y(x k ), így: y 0 = y(x 0 ) x k = x 0 + kh y n+1 = y n + hf(x n, y n ) (n = 0, 1,...) 4 Ha x 0 = a, x N = b, N a részintervalllumok száma, akkor h = b a N.

1.2. Numerikus módszerek 5 1.2.1. Példa. A következ ábrákon az 1.1.1-es példában már megismert feladatok pontos megoldása, és az Euler-módszerrel megkapott megoldás együtt látható (különböz lépésközökkel): 1. y (x) = y(x), y(0) = 1 kezdetiérték feladat megoldása: y(x) = e x. (1.1. ábra) 2. y (x) + sin(x) = 200(y(x) cos(x)), y(0) = 0 kezdetiérték feladat megoldása:y(x) = cos(x) e 200x. (1.2., 1.3., 1.4. ábra) 1.1. ábra. Láthatjuk, hogy az 1.1-es ábrán meglehet sen jól közelíti meg az Explicit Eulermódszerrel kapott megoldás a pontos megoldást; a különböz lépésközök hasonlóan jó megoldást adnának.

1.2. Numerikus módszerek 6 1.2. ábra. 1.3. ábra.

1.2. Numerikus módszerek 7 1.4. ábra. Az 1.2-es ábrán látható, hogy a h = 0.03 lépésköz túl nagynak bizonyul, a megoldás elszáll. Az 1.3-as ábrán a h = 0.01 lépésközzel a közelít megoldás oszcillál. Az utolsó, 1.4-es ábrán a megoldást jól közelíti a h = 0.009 lépésközzel kapott megoldás. Kés bb látni fogjuk, hogy ez a példa egy merev egyenlet.

1.2. Numerikus módszerek 8 A módszereket többféleképen is megkülönböztethetjük: Egylépéses és többlépéses: azt a módszert nevezzük egylépésesnek, amely az x n+1 -beli közelít érték kiszámolásakor csak az el z közelítés értékét használja fel (a korábbiakat nem), a többlépéses ellenben az összes eddigi közelítés értékét felhasználja. Explicit és implicit: az explicit módszerekben az új közelít érték kiszámolásakor csak az el z értékeket használjuk fel, az implicit módszerekben a jobb oldalon az éppen keresett közelítési érték is szerepel. Ahhoz, hogy meg tudjuk mondani megfelel en jól közelít-e a módszerünk, azaz eléggé pontos volt-e, a következ fogalmakat kell ismernünk: 1.2.1. Deníció (lokális hiba). A módszer lokális hibája a pontos megoldás és a közelít érték közötti eltérés: d i = y(x i ) y i, feltéve, hogy y(x i 1 ) = y i 1. A lokális hiba azt méri, hogy a pontos értékb l kiindulva egy lépés alatt mekkora hiba keletkezik. (Más néven diszkretizációs hiba, képlethiba.) 1.2.2. Deníció (globális hiba). A globális hiba a következ mennyiség: e i = y(x i ) y i, (0 i N). Tehát a globális hiba nem csak egy lépésre vonatkozik. 1.2.3. Deníció (konzisztencia). Azt mondjuk, hogy egy módszer p-ed rendben konzisztens, ha p 1 és M > 0, hogy d i Mh p+1 minden 1 i N-re. 1.2.4. Deníció (konvergencia). Egy adott módszer konvergens az x [a, b] pontban, ha lim n a+nh=x y n = y(x ). Egy módszer konvergens, ha minden pontban konvergens. 1.2.5. Deníció (stabilitás). Egy egylépéses módszer stabil, ha létezik olyan K 0, hogy e i K( e 0 + i d j ) (i = 1, 2,..., N) j=1 1.2.1. Állítás. Ha egy egylépéses módszer p-ed rendben konzisztens és stabil, akkor p-ed rendben konvergens.

1.3. Merev dierenciálegyenletek 9 1.3. Merev dierenciálegyenletek A merev dierenciálegyenleteknek több megközelítése ismert, de nem létezik általánosan elfogadott, egzakt deníció. Pontos deníció helyett ezért hasznosabb a fogalmat gyakorlati oldalról megközelíteni. Egy dierenciálegyenlet rendszer merev, ha: az explicit módszerek nem m ködnek (elég hatékonyan) a lépéstávolság megválasztását els sorban a stabilitási követelmények szabják meg Egy egyenletrendszer merev, ha f y Re λ i 0, és λ min λ max 1. Jacobi mátrix minden λ i sajátértrékére Most tekintsük a következ feladatot, amelynek segítségével megérthetjük az utána következ fogalmakat: y (x) = λy(x) y(0) = 1 (λ C, Re λ < 0) A feladat megoldása y(x) = e λx, amelyre teljesül, hogy lim x e λx = 0. 1.3.1. Deníció (A-stabilitás). Egy numerikus módszer A-stabil (abszolút-stabil), ha a fenti feladatban minden rögzített h > 0 lépéstávolság esetén kapott y 0, y 1, y 2,... közelít sorozatra lim y n = 0 x teljesül. (Illetve elég, ha (y n ) korlátos marad.) Egy adott egylépéses módszert felírva a feladatra a következ t kapjuk (a z = λh jelölés mellett): y n+1 = R(z)y n valamilyen R függvénnyel, amelyet stabilitási függvénynek nevezünk. 1.3.2. Deníció (stabilitási tartomány). Egy módszer stabilitási tartományának nevezzük a {z C : R(z) 1} halmazt.

1.3. Merev dierenciálegyenletek 10 A deníciókból következik, hogy egy ilyen módszer pontosan akkor A-stabil, ha a C := {z C : Re z < 0} bal oldali félsík része a stabilitási tartománynak. 1.3.3. Deníció (A(α)-stabilitás). Egy módszer A(α)-stabil, ha {0} {z C : arg( z) α} része a stabilitási tartománynak. (A( π )-stabil = A-stabil) 2 1.3.4. Deníció (L-stabil). Egy módszer L-stabil, ha A-stabil és z estén R(z) 0. 1.3.1. Példa. Az Euler-módszert alkalmazva az y (x) = λy(x), y(0) = 1 kezdetiérték feladatra: y n = y n 1 + hf(x n 1, y n 1 ) = y n 1 + hλy n 1 = (1 + hλ)y n 1, tehát y n = (1 + hλ) n y 0 = (1 + hλ) n. Ez a nullához tart, ha 1 + hλ < 1, azaz valós λ esetén h < 2. Az Euler-módszer λ stabilitási függvénye: R(z) = 1 + z = e z + O(z 2 ), a stabilitási tartomány pedig a 1 középpontú 1-sugarú kör belseje (1.4. ábra). Tehát az Euler-módszer nem A-stabil, mert nem minden h > 0 esetén lesz R(hλ) < 1. 1.5. ábra.

2. fejezet Implicit Euler-módszer 2.1. Az Implicit-Euler módszer algoritmusa Az Implicit Euler-módszer (Backward Euler method ) hatékonyabban használható merev dierenciálegyenletek megoldására, stabilabb mint az explicit módszer, ezért akár nagyobb lépéstávolságot is használhatunk. A következ képlet segítségével keressük az egyenlet közelít megoldását: y n+1 = y n + hf(x n+1, y n+1 ) Hátránya azonban, mivel a képlet jobb oldalán a keresett y n+1 érték is el fordul hogy használata egy (általában nemlineáris) egyenlet megoldásával jár. Ennek megoldására többféle módszert alkalmazhatunk. Gyakori megoldás a Newtonmódszer alkalmazása amellyel a következ alfejezetben foglalkozunk részletesebben illetve a xpont-iteráció, ami merev egyenletekhez nem minden esetben alkalmas, mert a módszer akkor konvergál a megoldáshoz, ha a lépéstávolság kicsi. A xpont-iteráció alkalmazása az Implicit Euler-módszerre: Hozzuk az y n+1 = y n + hf(x n+1, y n+1 ) formulát u = G(u) alakra: G(u) = y n + hf(x n+1, u) Válasszunk egy u (0) -t Keressük meg u (k) -t a következ iterációt használva: u (k) = G(u (k 1) ) 11

2.2. Megoldás Newton-módszer alkalmazásával 12 Ha a valós-érték G függvény kielégíti a G(w) G(v) K w v -t, minden valós w-re, v-re és konstans K < 1-re, akkor létezik pontosan egy xpont, u, amire G(u) = u, és az iteráció bármilyen u (0) kezd érték esetén u-hoz tart. 2.2. Megoldás Newton-módszer alkalmazásával A Newton-módszer, a nemlineáris egyenletek megoldásának alapvet eszköze. Az f(x) = 0 egyenlet megoldása a következ képpen történik: x (0) adott x (k+1) = x (k) f(x(k) ) f (x (k) ) (k = 0, 1,...) A módszer alkalmazása az Implicit Euler-módszerre: Hozzuk az y n+1 u = y n+1 : = y n + hf(x n+1, y n+1 ) formulát F (u) = 0 alakra, legyen F (u) = u y n hf(x n+1, u) Válasszunk egy u (0) -t Oldjuk meg F (u) = 0-t a következ iterációt használva: u (k) = u (k 1) F (u(k 1) ) F (u (k 1) ) 2.3. Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása Az Implicit Euler-módszer stabilitási függvénye: y n = y n 1 + hλy n y n = 1 1 hλ y n 1, azaz és R(z) = 1 1 z = 1 + z + O(z2 ) = e z + O(z 2 ), z 0 R(z) < 1 z 1 > 1

2.3. Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása 13 2.1. ábra. ami az 1 középpontú, 1 sugarú kör külseje. Mivel a bal oldali félsík része ennek, az Implicit Euler-módszer A-stabil. A módszer L-stabil is. A 2.1-es ábrán a stabilitási tartományt láthatjuk. 2.3.1. Példa. A következ ábrákon a már megismert feladatok segítségével (1.2.1- es példa) hasonlítjuk össze az Explicit Euler-módszert az Implicit Euler-módszerrel. Mind a két ábrán látható, hogy az implicit módszer jobban m ködik, sokkal pontosabban közelíti a megoldást.

2.3. Az Implicit Euler-módszer A-stabilitása 14 2.2. ábra. 2.3. ábra.

3. fejezet Runge-Kutta módszerek 3.1. Explicit Runge-Kutta módszer algoritmusa Az explicit s-lépcs s Runge-Kutta módszerek általános alakja: k 1 = f(x n, y n ) k 2 = f(x n + a 2 h, y n + hb 21 k 1 ) k 3 = f(x n + a 3 h, y n + h(b 31 k 1 + b 32 k 2 )). k s = f(x n + a s h, y n + h(b s1 k 1 + b s2 k 2 +... + b s,s 1 k s 1 )) illetve legyen y n+1 = y n + h(c 1 k 1 + c 2 k 2 +... + c s k s ) A módszer együtthatóit könnyedén át lehet tekinteni az úgynevezett Butchertáblázatban: 0 0 0... 0 0 a 2 b 21 0... 0 0 a 3 b 31 b 32... 0 0........ a s b s1 b s2... b s,s 1 0 c 1 c 2... c s 1 c s Feltesszük, hogy c 1 + c 2 +... + c s = 1 és a k = b k1 + b k2 +... + b ks (1 k s). 15

3.2. Az Implicit Runge-Kutta módszer algoritmusa 16 3.1.1. Példa. Javított Euler-módszer: k 1 = f(x n, y n ) k 2 = f(x n + 1 2 h, y n + h 1 2 k 1) y n+1 = y n + hk 2 és Butcher-táblázata: 0 0 0 1/2 1/2 0 0 1 3.2. Az Implicit Runge-Kutta módszer algoritmusa Az implicit módszer abban különbözik az explicitt l, hogy a k i lépcs számok mindegyike függ egymástól: k j = y n + h s i=1 a j,if(t n + c i h, k i ) j = 1, 2,..., s 3.2.1. Példa. Kétlépéses IRK: y n+1 = y n + h s j=1 b jf(t n + c j h, k j ). k 1 = y n + 1 4 h[f(t n, k 1 ) f(t n + 2 3 h, k 2)] k 2 = y n + 1 12 h[3f(t n, k 1 ) + 5f(t n + 2 3 h, k 2)] y n+1 = y n + 1 4 h[f(t n, k 1 ) + 3f(t n + 2 3 h, k 2)] és Butcher-táblázata: 0 1/4-1/4 2/3 1/4 5/12 1/4 3/4 Tehát minden lépés, azaz minden új x n+1 kiszámolása x n -b,l egy s s méret nemlineáris feladat megoldását igényli. Ezt a segédfeladatot Newton-módszerrel számolhatjuk ki (hasonlóan az Implicit Euler-módszernél taglaltakhoz), és így megkapjuk a k i segédszámokat.

3.3. Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása 17 3.3. Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása 3.3.1. Állítás (Butcher-Ehle). Az s-lépcs s 2s-edrend implicit Runge-Kutta módszerek A-stabilak. 3.3.1. Példa. A következ ábrákon szintén a már megismert feladatok segítségével (1.2.1-es példa) hasonlítjuk össze az Explicit Runge-Kutta módszert az Implicit Runge-Kutta módszerrel. Itt is láthatjuk, hogy az implicit módszerek hatékonyabban m ködnek. Explicit Runge-Kutta módszernek a 3.1.1-es példában megismert Javított Euler-módszert használtam, Implicit módszernek pedig az úgynevezett trapézszabályt: y n+1 = y n + 0.5h[f(t n, y n ) + f(t n+1, y n+1 )] 3.1. ábra.

3.3. Az Implicit Runge-Kutta módszer A-stabilitása 18 3.2. ábra.

4. fejezet Gear-módszer (BDF-módszer) 4.1. A Gear-módszer algoritmusa A Gear-módszer, vagy másnéven BDF-módszer (Backward dierentiation formula) egy többlépéses implicit módszer. 4.1.1. Deníció (többlépéses módszer). Egy s-lépéses módszer általános alakja: a 0 + a 1 y n 1 +... + a r y n r = h(b 0 f n + b 1 f n 1 +... + b q f n q ), ahol a 0 0, f k := f(x k, y k ) és s = max{r, q}. 4.1.2. Deníció (karakterisztikus polinomok). Egy s-lépéses módszer els és mádodik karakterisztikus polinomjának nevezzük a ϱ(z) = a 0 z s + a 1 z s 1 +... + a s σ(z) = b 0 z s + b 1 z s 1 +... + b s polinomokat. A következ denícióra a többlépéses módszerek konvergienciájához lesz szükség: 4.1.3. Deníció (gyökfeltétel). Azt mondjuk, hogy egy p polinomra teljesül a gyökfeltétel, ha p(z ) = 0 esetén z 1, ahol z = 1 esetén z egyszeres gyöke p-nek. 19

4.2. A Gear-módszer A-stabilitása 20 A következ tétel tehát a többlépéses módszerek konvergenciájáról: 4.1.1. Tétel (Dahlquist-féle ekvivalenciatétel). Tegyük fel, hogy egy s-lépéses módszernél az y 1, y 2,..., y s 1 értékek hibája nullához tart, ha h 0. Ekkor az s- lépéses módszer pontosan akkor konvergens, ha konzisztens és a ϱ(z) polinomra teljesül a gyökfeltétel. 4.1.4. Deníció (Gear-módszer). Egy s-lépéses módszer s-ed rend Gear-módszer, ha σ(z) = βz s valamilyen β 0-ra. A módszer általános alakja: a 0 y n + a 1 y n 1 +... + a s y n s = hf n Látható, hogy a módszer az általános alaktól annyiban tér el, hogy b 0 0, és b 1 = 0,..., b q = 0. 4.1.1. Példa. Az els néhány BDF-módszer (s = 1-re az Implicit Euler-módszer): s = 1 : y n y n 1 = hf n s = 2 : y n 4 3 y n 1 + 1 3 y n 2 = 2 3 hf n s = 3 : y n 18 11 y n 1 + 9 11 y n 2 2 11 y n 3 = 6 11 hf n A következ képletek segítségével (amelyeket itt most nem bizonyítunk) a formulák könnyedén kiszámolhatók: β = ( s m=1 ) 1 1 és ρ(w) = β m s m=1 1 m ws m (w 1) m. 4.1.2. Tétel. Egy BDF-módszerre pontosan akkor teljesül a gyökfeltétel (és így pontosan akkor konvergens), ha 1 s 6. 4.2. A Gear-módszer A-stabilitása Az y (x) = λy(x), y(0) = 1 kezdetiérték feladatra alkalmazva egy általános többlépéses módszert a következ t kapjuk: s (a i hλb i )y n i = i=0 s (a i zb i )y n i = 0. i=0

4.2. A Gear-módszer A-stabilitása 21 Ez egy lineáris dierencia-egyenlet, legyen y j = ξ j, ekkor (a 0 zb 0 )ξ s +... + (a s zb s ) = ϱ(ξ) zσ(ξ) = 0. A többlépéses módszer stabilitási tartománya: S = {z C : az el z egyenletξ = ξ(z) gyökeire teljesül a gyökfeltétel} A 4.1-es ábrán láthatjuk s = 1,..., 6-ig a stabilitási tartományokat. 4.1. ábra. s=1 s=2 s=3 s=4 s=5 s=6

4.2. A Gear-módszer A-stabilitása 22 4.2.1. Állítás (második Dahlquist-korlát). Egyetlen explicit többlépéses módszer sem lehet A-stabil, implicit is csak akkor, ha a rendje legfeljebb 2. Ha az A-stabilitás helyett csak A(α)-stabilitást követelünk meg, akkor a BDFmódszerek is megfelel ek. Az L-stabilitás második követelményét (z estén R(z) 0) is teljesítik a BDF-módszerek, de mivel csak az els kett A-stabil, ezért csak azok L-stabilak is. 4.2.1. Példa. Pár BDF-módszer stabilitása: BDF(1), BDF(2) A-stabil, L-stabil BDF(3) A(86,03)-stabil BDF(4) A(73,35)-stabil BDF(5) A(51,84)-stabil BDF(6) A(17,84)-stabil 4.2.2. Példa. A következ ábrákon szintén a már megismert feladatok megoldását láthatjuk BDF(2) módszerel. Látható, hogy a módszerek, már egész nagy lépéstávolsággal jól m kdödnek.

4.2. A Gear-módszer A-stabilitása 23 4.2. ábra. 4.3. ábra.

5. fejezet Összefoglalás Célunk az volt, hogy megismerkedjünk a merev dierenciálegyenleteket megoldó numerikus módszerekkel, ezért három implicit módszert tekintettünk át. Egylépéses és többlépéses módszereket is. Megvizsgáltuk mindegyik módszer stabilitási tartományát, és az A-stabilitását. Azonban a téma tárgyalását más irányban is folytathatnánk. Egy konkrét feladat megoldásánál a lépéstávolság soha nem konstans, megoldás közben csökkenthet és növelhet a hiba függvényében (ha kicsi a hiba, akkor növelhet, ha nagy, csökkenthet ). Ez a lépéstávolság választás (step-size control ). Illetve szót ejthetnénk még az úgynevezett merevségvizsgálatról (stines detection) is, azaz arról, hogy mi történik, ha a vizsgált egyenletünk merev, de ezt nem tudjuk el re. Beszélhetnénk arról is, hogy hogyan érdemes megválasztani a lépéstávolságot, illetve a kezd értéket a többlépéses módszereknél. A Matlab szubrutinjai között megtalálható a megismert módszerek egy része is, ezek közül három módszert alkalmazhatunk merev egyenletek megoldására: ode15s: változó rend BDF-módszer ode23s: 2-3-adrend egylépéses módszerpár ode23tb: implicit Runge-Kutta módszer A megismert módszereket tehát mind alkalmazhatjuk merev dierenciálegyenletek megoldására, de természetesen ezeken kívül léteznek még más módszerek is: a többlépéses Adams-módszerek: Adams-Bashforth módszer és Adams-Moulton 24

5. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÁS 25 módszer. Ezek azonban egy külön dolgozat témái lehetnének. Érdemes összetettebb, többlépéses módszereket is használni, hiszen hatékonyságban is jobbak mint egylépéses társaik.

Irodalomjegyzék [1] ISERLES, Arieh (1996) : Ordinary Dierential Equations, in A rst course in the Numerical Analysis of Dierential Equations, Oxford University Press [2] GORDELIY, Lisa (2011) : Backward Euler method and solution of nonlinear equations - lecture notes [3] KURICS, Tamás (2011) : Dierenciálegyenletek numerikus megoldása - ELTE Nyári egyetem - Bolyai Kollégium, el adás jegyzet [4] LU, Ya Yan (2011) : Numerical Methods for Dierential Equations - lecture notes, City University of Hong Kong [5] SIMON, Péter (2007) : Közönséges Dierenciálegyenletek - Jegyzet [6] STOYAN, Gisbert (2007) : Közönséges dierenciálegyenletek, in Numerikus Matematika Mérnököknek és Programozóknak, Typotex 26