FLÜLTI FSZÜLTSÉGI ÁLLAPOT MGHATÁROZÁSA NYÚLÁSMÉRÉSSL, LMOZDULÁSMÉRÉS Lbortóriumi mérési gkorlt getemi mesterképésben (MSc) rést vevő mérnökhllgtók sámár Össeállított: Acél Ákos egetemi tnársegéd 1. Silárdságtni lpismeretek Alktréseknél, mérnöki serkeeteknél gkrn előforduló eset, hog felületen, vg felület köelében lkul ki kritikus (veséles) fesültségi állpot és ennek követketében felületről indul el serkeet tönkremenetele. ért fontos, hog lktrések felületén kilkuló fesültségi állpotot meghtárouk. A lbortóriumi gkorlton lktrés felületén levő pontokbn fellépő fesültségek meghtároásánk egik leggkoribb mérési módjávl ún. núlásmérő béleges mérési technikávl, vlmint elmodulásméréssel ismerkedünk meg. 1.1. Felületi fesültségi állpot A núlásmérő béleges technikát műski fejlestéssel fogllkoó cégek gkrn lklmák, e eljárás ugnis tetsőleges lkú és terhelésű lktrés felületén lklms lkváltoásiés fesültségi állpot meghtároásár. A sámítógépes méreteési módserek elterjedésével (Pl: végeselem módser, peremelem módser, véges differenciák módsere, stb.) núlásmérési technikát gkrn hsnáljuk sámítások helességének ellenőrésére. A vlóságos serkeeteken fesültséget nem tudunk mérni! A ún. núlásmérő bélegekkel serkeet külső felületén különböő iránokbn fjlgos núlás értékét tudjuk mérni, és ebből Hooke-törvén ismeretében fesültségeket meghtároni. Amint előbbiekből kitűnik, ismernünk kell bionos silárdságtni lpfoglmkt síkbeli fesültségállpotho kpcsolódón. terheletlen külső felület P A normálisú sík terheletlen külső felület: A felületi fesültségállpot semléltetése 1. ábr A lktrés terheletlen felületén fesültség nem ébred:. A felület pontjibn 1. ábr serint,, illetve, fesültségek ébrednek. A és fesültségekre érvénes dulitás elve, vgis e és e normálisú lpok köötti élre néve és fesültségek vg össefutó, vg sétfutó iránúk és bsolút értékük egenlő. A terheletlen felületen kilkuló fesültségi állpotot tehát követkeő fesültségi tenor írj le: P 1
F P, hol tengel terheletlen felület kifelé muttó normális, egben fesültségi főirán. A e normálisú, terheletlen felületen lévő P pont lkváltoási állpotát követkeő lkváltoási tenor írj le: A 1 1 P. A két tenor koordinátái köött Hooke-törvén teremt kpcsoltot követkeő össefüggések serint. A lkváltoási jellemők előállítás A fesültségek meghtároás fesültségekből: lkváltoási jellemőkből: 1, 1 1, 1, 1 1 1, hol ruglmssági modulus, Poisson-téneő. (Acélr 1.. Hjlított, nírt trtó fesültségi állpot 5 1 MP,,3.) A mérés során eg hjlított, nírt trtót fogunk visgálni, melnek elméleti úton előállított megoldását ismerjük. A. ábrán láthtó egik végén beflott és másik végén F erővel terhelt trtó fesültségi visonit rúdelmélet lpján tárgljuk. l b F A F M A A B F Hjlított, nírt trtó és rúdmodellje támstóerő-rendserrel. ábr A trtó A kerestmetseténél ( beflásnál) ábrán feltüntetett FA F erő és A M l e F l F e nomték bitosítj egensúlt. ek ismeretében meghtárohtjuk igénbevételi függvéneket és megrjolhtjuk igénbevételi ábrákt.
T F lf T ( ) F l lf M h M ( ) F( l ) h l Hjlított, nírt trtó igénbevételi ábrái és igénbevételi függvénei 3. ábr A silárdságtni sempontból veséles kerestmetset beflásnál lévő A kerestmetset. A fenti függvénekből trtó bármelik kerestmetsetének igénbevétele kisámíthtó. A rúd tetsőleges kerestmetsetének eg kiválstott pontjábn követkeő fesültségi tenor lép fel: M 1 h ( ) F l F, 3, hol I b ( ) F 6 1 4 A b A Hooke-törvén segítségével kisámíthtjuk lkváltoási tenort: 1, 1F l, 3 b 1 A P, hol 1 1 F 1 ( ) 6 A 4 b A lkváltoást csk lktrés felületén tudjuk mérni, eért trtó felületi pontjibn fellépő b lkváltoási koordinátákt htárouk meg. Amenniben ( trtó lsó és felső felülete), 6F l,,. en felületeken lkváltoást tehát kiárólg hjlítás oko. H meg tudjuk mérni eeken felületeken tengel iránú b fjlgos núlást, kkor követketethetünk felület fesültségi állpotár is. A fesültségkoordináták nem függenek helkoordinátától, eért h ( trtó oldlfelületei), kkor normál fesültséget és csústtó fesültséget egránt megfigelhetünk. Amenni- ben és ( oldlfelületek köépvonl), kkor normál fesültség eltűnik, miköben csústtó fesültség és belőle fkdó sögtorulás mimális. H meg tudjuk mérni ee- 3
ken sksokon sögtorulást, kkor követketethetünk felület fesültségi állpotár is. A fjlgos núlást és követve sögtorulást núlásmérő béleggel mérhetjük meg.. A núlásmérő béleg Ismeretes, hog eg hul elektromos ellenállás függ hul hossától és kerestmetsetétől: l R, hol l veető hoss, A veető kerestmetsete, veető fjlgos ellenállás. H A hul hoss megnő, vg kerestmetsete lecsökken, ellenállás megnöveksik. H eg ilen hult úg rögítünk lktrés felületéhe, hog lktrés lkváltoását hul is elsenvedje, nélkül, hog htássl lenne mgánk visgált lktrésnek lkváltoásár, kkor ennek hulnk ellenállás-váltoásából követketethetünk sóbn forgó lktrés visgált felületén bekövetkeő lkváltoásr. A núlásmérő béleg eredeti formájábn tehát eg villmos sigetelőlpr (hordoó réteg) rögített elektromos veető hul, melnek felületére külső behtások kiárásár eg védőborítást visnek fel. A núlásmérő béleget terheletlen lktrés mérendő P pontjár rgstjuk, pontosbbn lktrés sbd felületére (4. ábr). hordoó réteg hul cstlkoó lábk l mérési irán P e A felület P pontjár rgstott núlásmérő béleg vált 4. ábr A rgstónk kellően silárdnk kell lennie hho, hog felület lkváltoását mrdéktlnul továbbíts mérőbéleg hordoó rétegének. A hordoó rétegnek pedig oln lágnk kell lennie, hog lktrés lkváltoását ne befolásolj. A modern núlásmérő bélegek mérőelemei nomttott ármköri technikánk megfelelően már nem veető hulok, hnem ábr lkját követő veető fóliák, veetőrétegek. A cél lktrések méréséhe hsnált núlásmérő bélegek névleges elektromos ellenállás R 1 Ω ngságú. A mérési hoss ( ábrán l jelöli) mérési céltól függően l,3 1 mm ; sokvános gépéseti feldtoknál 1-3-5-7-1 mm értékű. Fontos megemlíteni, hog mérőbéleg nem eg pontbn, P pontbn mér, hnem P pont körneetében mérési hossnk és béleg sélességének megfelelő területen átlgos núlást méri. A veetőréteg kilkítás bitosítj mérőbéleg ellenállásánk ngfokú éréketlenségét mérési iránr merőleges núlásr. A sokásos kerestiránú érékenség tiedsálék ngságrendű, vgis lktrés mérési iránr merőleges núlás több sásor kisebb ellenállás-váltoást oko, mint ugnkkor ngságú, de mérési iránb eső núlás. lpján feltételehetjük, hog jól felrgstott núlásmérő béleg elektromos veetőjének fjlgos núlás megegeik P pontbn, illetve pont megfelelő körneetében mérendő lktrés felületén bekövetkeő átlgos fjlgos núlássl. 4
l A béleg elektromos ellenállás: R, hol l veetőréteg hoss m-ben, A veetőréteg kerestmetsete mm A Ω mm -ben, veetőréteg fjlgos ellenállás m mértékegségben. H béleg lktrés terhelése köben mérendő felülettel egütt lkváltov megnúlik, kkor bélegen lévő veetőréteg megnúlik, kerestmetsete lecsökken, íg R ellenállás megváltoik. A tpstlt serint e R ellenállás-váltoás rános fjlgos núlássl: R k, hol ko bélegállndó, más néven átlkítási téneő. Mivel k o bélegállndó és R,7 köötti érték, eért reltív ellenállásváltoás fjlgos núlás ngságrendjébe esik. Ilen kis (tied-, sád-, vg kár eredsálékni) ellenállásváltoás pontos és megbíhtó mérésére erre célr épített mérőműser, ún. mérőerősítő lklms. A mérőerősítő működése Whetstone-híd (kiejtve: Vítston-híd) kiegenlítésére veethető viss. A lktrés felületére rgstott mérőbéleget (R M mérőbéleg ellenállás), béleg cstlkoó lábiho forrstott veetékekkel cstlkottv mérőműserbe épített három másik ellenállássl ún. Whetstone-híd kpcsolásb kötjük össe (5. ábr). A R 1 R M D G C R R V B A mérő-híd bekötési vált 5. ábr A Whetstone-híd A, B kpcsir egenármú ármforrást, C és D kpcsok köé eg glvnométert (éréken ármmérő) kpcsolunk. A mérendő lktrés terheletlen. A R V váltotthtó ellenállást úg állítjuk be, hog glvnométeren ne foljon árm, vgis glvnométer muttój I ármértéket jeleen. Ilenkor C és D pont onos potenciálon vn, vgis G R1 RM ellenállásokból képett fesültségostókr fennáll R R R R 1 M V egenlőség. A neveőkkel vló bővítés után kiesik RR 1 M és kpjuk RMR R1R V, vg eel egenértékű R1 R egenlőséget. Vgis híd semben lévő ágibn lévő ellenállások sort egenlő. R R M V H teljesül R1 R egenlőség, kkor célserű oln R V váltotthtó ellenállást hsnálni, melnek ellenállás köépállásbn megegeik mérőbéleg ellenállásávl. H mérendő lktrést megterheljük, kkor R M núlásmérő béleg megnúlik, híd elhngolódik, és glvnométeren árm folik. kkor R V ellenállást ismét ddig váltottjuk, míg I G kiegenlítettség be nem áll. A hngolási értéket mindkét esetben váltotthtó ellenállás skálájáról tudjuk leolvsni. A leolvsás különbsége megdj, menni R V ellenállásnk 5
R V megváltoás terheletlen állpotho képest. Mivel RV RM RM ko, íg ebből mérőbéleg fjlgos núlás meghtárohtó. R M értékére onbn munkdrb hőmérsékletének váltoás is htássl vn, et htást ki kell egenlítenünk, kompenálnunk kell. Annál is inkább, mert munkdrbnk már néhán Celsius 5 fokos melegedése oln mértékben váltottj mérőbéleg ellenállását, mint eg 1 ngságrendű fjlgos núlás. kkor hőmérsékletváltoást pedig pustán munkdrb megvilágításávl is okohtunk. A 6. ábrán láthtó mérési elrendeésben Whetstone-híd két félhídr oslik. A jobboldli félhíd mérőerősítőben fogll helet, bloldli félhíd mindkét ellenállás egeg núlásmérő béleg. Mérendő lktrés Mérőműser R K A A R 1 C C G R M B B R V A mérési elrendeés kompenációvl 6. ábr R M mérendő lktrés lkváltoását érékeli terhelés megjelenésekor, R K kompenátor béleget pedig mérendő lktrés körneetében oln helre rgstjuk, hol nem ébred fesültség, nem jön létre núlás, de hőmérséklet köel onos mérendő P pont körneetének hőmérsékletével. kkor hőmérséklet váltoás mitt bekövetkeő ellenállás-váltoások: RM és RK onos értékűek. Íg semben lévő hídágkbn ellenállások sort onos mrd, nem sűnik meg híd kiegenlítettsége. el tehát kikompenáltuk hőmérsékletváltoás htását. A 6. ábr bl oldlán láthtó R M -R K kpcsolást fél hídkpcsolásnk neveük. A 7. és 8. ábrán hőmérséklet-kompenált núlásmérés gkorlti megvlósítás láthtó rudk két legegserűbb igénbevételére: hjlításr és húás-nomásr. R M R K Hőmérséklet-kiegenlítés hjlítás esetén 7. ábr H rúd igénbevétele tist egenes hjlítás, kkor két mérőbéleg lklmás mrdéktlnul kompenálj hőmérséklet váltoásánk htását, hisen híd somsédos ágibn vnnk. A lkváltoásból eredő ellenállás-váltoásik visont össedódnk, R -mel jelölt mérőbéleg ugnis núlik, vgis ellenállás nő, míg R -vl jelölt hoss és eel ellenállás csök- K M 6
ken. Íg híd kiegenlítése után leolvsott ellenállás-váltoást ostni kell kettővel, hog R ellenállású mérőbélegnél fellépő fjlgos núlást kisámíthssuk. M RM RK Hőmérséklet-kiegenlítés húás-nomás esetén 8. ábr H rúd igénbevétele húás-nomás, kkor hőmérséklet-váltoást teljesen kikompenálhtjuk 8. ábr serinti elrendeésben. A próbtestnek terhelés iránár merőleges méretei és eel R K jelű béleg hoss csökkennek, mit núlásmérés kiértékelésekor figelembe kell venni. A 1 k Whetstone-híd kiegenlített állpot RV R1 esetén követkeik be, mi mgsbb 1 k rendű tgok elhngolásávl V 1 1 kpott núláseredmént tehát 1 R R1 k kifejeéssé egserűsödik. A íg -vel ostni kell, hog ténlegesen bekövetkeett núlást megkpjuk ( Poisson-téneő). A legmodernebb núlásmérő bélegek bionos esetekben egáltlán nem igénlik hőmérsékletkiegenlítést. A veetőréteg ngánk gondos megválstásávl ugnis elérhető, hog béleg ngánk hőmérsékletváltoás mitt bekövetkeő ellenállás-váltoás ugnkkor bsolút értékű, de ellentétes előjelű legen, mint váltoás, mi mérendő lktrés hőmérsékletváltoás okot tágulásából ered. H tehát vlóbn oln hőtágulású ngból késült lktrést visgálunk, milenre speciális béleget terveték, kkor hőkompenálás elmrdht. eknek speciális bélegeknek visont komol hátránuk, hog menniben nem megfelelő ngot visgáljuk velük, kkor teljesen hmis eredmént solgáltthtnk. A hőkompenálásr tehát különösen ügelni kell, h ismeretlen hőtágulású (ismeretlen ngú) lktrést visgálunk. Semmiképpen nem lklmhtó hőkompenáló bélegként mérőbélegtől eltérő típus, hisen előfordulht, hog eel kompenálás helett tovább növeljük kiegenlítetlenséget! A fent leírt mérési elv idők folmán nem váltoott, de mérőműserek lénegesen korserűbbek lettek. A egenármú műserek helett váltóármú ún. vivőfrekvenciás mérőerősítőket hsnálunk. A hidt csk mérés kedetén kell kiegenlíteni, s kijelő skálát úg is klibrálhtjuk, hog núlás helett fesültséget mutss. A mérőműserek egserre több mérőbéleget is ki tudnk solgálni. (A többcstornás mérőerősítő áltlábn 6 vg 1 cstornás, de léteik 1 cstornás mérőerősítő is.) A lbortóriumi gkorlton eg Hottinger-Bldwin Messtechnik GmbH áltl gártott Quntum 84 típusú sámítógépes 6, illetve 1 cstornás mérő és méréskiértékelő műsercsoportot hsnálunk. A cstornák eg rése hőfokmérésre, illetve elmodulás mérésre hsnálhtó. 7
3. Felületi lkváltoási- és fesültségi állpot meghtároás núlásméréssel A e normálisú terheletlen felületen lévő P pont lkváltoási tenorát már meghtárotuk: 1 1 A P. A tenor koordinátái köül csk öt nem egenlő nullávl, és eek sem mind függetlenek egmástól:,. (lső össefüggés egenlőségből, második 1 lkváltoási tenor simmetriájából követkeik.) Hsonló módon kpjuk e normálisú, terheletlen felületen fekvő pontok lkváltoási tenorát: 1 A P. 1 Tehát lktrés terheletlen felületén lévő tetsőleges pont lkváltoás-állpotát meghtárohtjuk dott pontbn végett három egmástól független núlásmérés segítségével. rre feldtr fejlestették ki úg neveett roettákt. A roetták oln össetett núlásmérő bélegek, melek ugnbbn pontbn több különböő mérési iránbn mérik fjlgos núlást. A mérőbélegek mérési iránánk egmássl beárt söge gkorltbn 45, vg 6. A előbbi esetre meghtárouk lkváltoási tenor koordinátáink kisámítási módját. hordoó réteg A roett három, egmás fölé rétegett núlásmérő bélegből áll. A mérési iránok (, b, c) egmássl 45 -t, illetve 9 -t árnk be. A bélegláb mérőbélegek köéppontji pontosn egmás fölött vnnk, eért három mérőbéleg három mérési iránbn bekövetkeett fjlgos núlást ugnnnk pontnk kis körneetében méri! A núlásmérő bélegeket béleglábkr forrstott kiveetésekkel cstlkotthtjuk mérőerősítőhö. A mérendő lkt- b rés felületére speciális rgstóvl hordoó réteget kell c rögíteni. 45 -os roett 9. ábr H hjlított, nírt trtó felső és/vg lsó felületén kilkuló lkváltoást visgáljuk, kkor roettát 1. ábr serint elrendeésben rgstjuk lktrésre. 8
P c 45 -os roett hjlított, nírt trtó felső felületén 1. ábr P b A trtór rgstott roett P( P, b, ) pont kis körneetében méri, b, c iránú fjlgos núlásokt. A roett iránításából követkeik, hog és c. A b iránú fjlgos núlást pedig kifejehetjük lkváltoási tenor fenti lkjából: b nb b nb A nb, hol n b b iránú egségvektor, b b-re merőleges felületen fellépő lkváltoás-vektor. bben esetben n b ; ;. 1 Íg b ; ; c. 4 4 1 c c Végül b nb b ; ; ; ; c, 4 4 hol már kihsnáltuk lkváltoási tenor simmetriáját ( ). Kifejehetjük fjlgos sögtorulást: b ( c). A visgált felületre merőleges fjlgos núlást felület terheletlen voltából sámíthtjuk: c 1 1. Tehát, h három, egmássl 45 -os söget beáró fjlgos núlást mérésből meghtárouk, kkor lkváltoási tenor minden koordinátáját kisámíthtjuk. A lkváltoási tenor ismeretében mód nílik fesültségi tenor meghtároásár is, Hooke-törvén segítségével: c 1 c 1 b c (1 ) (1 ) 9
H hjlított, nírt trtó oldl-felületén kilkuló lkváltoást visgáljuk, kkor roettát 11. ábr serinti elrendeésben rgstjuk lktrésre. P b c P A trtór rgstott roett P( P,, ) pont kis körneetében méri, b, c iránú fjlgos núlásokt. A roett iránításából követkeik, hog b. 45 -os roett hjlított, nírt trtó oldl-felületén 11. ábr A és c mérési iránok irán-egségvektori rendre n ; ;, nc ; ;. A előbb követett gondoltmenettel: 1 1 n A n ; ; P, vlmint: 1 1 c nc A nc ; ; P. Figelembe véve, hog b, megoldhtjuk egenletrendsert: c b és c. A e iránú fjlgos núlást egenletből, vgis felület terheletlen voltából kpjuk: 1 1, miből: c dódik. 1 Ismerve lkváltoási tenort, Hooke-törvén segítségével meghtárohtjuk fesültségi tenort is: c 1 b 1 c 1 b 1 c (1 ) (1 ) 1
A 11. ábrán láthtó, hog roett bélegeinek mérési iráni vísintessel 45 -t, 9 -t, illetve 135 -t árnk be. nnek elrendeésnek hsnosság kiderül követkeő sámításból. A P( P,, ) pontbn lkváltoási tenor követkeő: 1 1 A P, ugnis, 1F l, 3 b 1 1 F 1 1 F ( ) 6 3 A 4 b A A lkváltoási tenorból leolvshtó egik főnúlás, és hoá trtoó lkváltoási főirán, e. A Mohr-féle kördigrm megrjolhtó, h eg főnúlást már ismerünk: XY, 1 mn 1 3 1 Z 1 1 n 1 n 1 n 3 3 n 1n3 A Mohr-féle kördigrm és sjátvektorok semléltetése 1 45 1 1 A főnúlások értéke ábráról leolvshtó: 1,, 3. A főnúlásokho trtoó lkváltoási főiránok rendre: n1 e e, n e, n3 e e, ugnis. Láthtó, hog roett és c mérési irán megegeik lkváltoási főiránokkl. ekben iránokbn tehát 1 főnúlásokt mérhetjük. A köépső béleg visont b -t solgáltt. Várkoásink serint tehát és c iránbn egmás ellentétét, b iránbn pedig nullát kpunk. 4. lmodulásmérés induktív útdóvl Méréseink során eges esetekben oln kis elmodulásokt kell pontosn megmérni, melek sbd semmel esetleg ésre sem vehetők. A ilen kis elmodulások mérésére induktív elmodulás-mérőt, vg műski gkorltbn elterjedt nevén: induktív útdót hsnálunk. A induktív útdó működése on lpul, hog eg tekercs induktivitás megnöveksik, h ferromágneses ngból késült tárg köeledik hoá. Acéltárgk elmodulását tehát már eg egserű tekercs segítségével is mérhetnénk, onbn induktivitás távolságnk nem lineáris függvéne, továbbá jsint és pontosság rendkívüli mértékben függene távolságtól. A gkorltbn úgneveett tpintós, kettőstekercsű induktív útdó rendelkeik megfelelő lineritássl és ng mérési trtománnl. 11
tpintócsúcs vsmg l l L1 L tekercsek A két tekercs belsejében mogó vsmg pillntni heletétől függ L 1 és L tekercs induktivitás, vlmint két tekercs M kölcsönös induktivitás. Tpintós kettőstekercsű induktív útdó 1. ábr A tekercsek L 1 és L induktivitásából, vlmint M kölcsönös induktivitásból meghtárohtó L1 L vsmg elmodulás 1. ábrán láthtó köéphelettől: K, L1L M hol L1 L késülékre jellemő állndó. A K menniség ugnis semben mgukkl L L M 1 L 1, L, M induktivitásokkl - séles trtománon belül lineáris függvéne elmodulásnk. A mérőerősítő sükséges induktivitások mérése után követlenül solgálttj elmodulást. De kielégítő pontosságot érhetünk el két tekercs félhídb kpcsolásávl is, hog núlásmérő béleg hőmérsékletkompenálásánál tettük. kkor két induktivitás különbségét mérjük és e vsmg elmodulásávl rános, feltéve, hog e elmodulás kicsi útdó tekercseinek hossáho képest. Mivel éppen rendkívül kicsi (legfeljebb tied, vg sád milliméterni) elmodulások mérése célunk, e feltétel teljesül, hisen tekercsek 5-1 cm hossúk. 5. Hjlított, nírt trtó tetsőleges pontjánk lehjlás A beflott és megterhelt trtó pontji elmodulnk. eket elmodulásokt kisámíthtjuk U Cstiglino-tétel (kiejtve: Kstiliánó) segítségével. A Cstiglino-tételnek most ui F lkját hsnáljuk, mel kimondj, hog serkeetet terhelő F i erő támdáspontjánk F i erő iránáb eső elmodulás egenlő serkeet lkváltoási energiájánk F i erő serint vett deriváltjávl. H trtó oln pontjánk iránú elmodulását seretnénk sámolni, hol terhelés nem lép fel, kkor felvesünk eg, visgált pontbn fellépő tetsőleges erőt, mjd sámítások ( fjlgos energi integrálás és feltételeett tetsőleges erő serinti deriválás) elvégése után et erőt nullávl vessük egenlőnek, megfelelően ténleges heletnek. A trtó tetsőleges C pontj függőleges elmodulásánk sámításáho felvessük C pontbn htó, F Fe M A F A C l C F F erőt. A Cstiglino-tétel serint: v C U 1 M F F I l h d F F i A lkváltoási energi sámításkor figelmen kívül hgjuk nírási energiát. t ért tehetjük meg, mert nírási energi rúdserkeetek esetén rendserint elhngolhtó hjlításból, csvrásból, illetve húás-nomásból sármó energi mellett. Tégllp kerestmetsetű trtónk fenti terhelését feltételeve nírásból és hjlításból sármó lkváltoási energi 1
hándos: U U nírás hjlítás b 4l, mi trtó méreteit figelembe véve lénegesen kisebb eg erednél is. A nírási energi elhngolás tehát teljesen indokolt. A hjlító nomték eredeti F terhelésből fkdó és feltételeett F erőből fkdó nomték össege és hsonló össefüggés teljesül níróerőre is: M (, F) M ( ) Fm, T, F T ( ) Ft h A hjlító nomtékot v C fenti kifejeésébe beírv és figelembe véve, hog serinti integrálás és F serinti prciális deriválás felcserélhetők, végül érvénesítve, hog F és hog M ( ) nem függ F-től, követkeőt kpjuk: l M( ) Fm ( ) M ( ) F m ( ) l 1 1 vc d M ( ) m( ) d. I F I F A integrálás elvégéséhe sükség vn még m ( ) függvénre. M A F lf F A T lf M h C l C C F A C pontbn htó, tetsőleges F erőhö trtoó igénbevételi ábrák 13. ábr l H trtór csk F erő htn, kkor 13. ábrán láthtó támstó-erőrendser trtná egensúlbn. A íg kilkuló erőrendser trtón követkeő igénbevételt eredménené. A nomtéki ábráról leolvshtó keresett m ( ) függvén: m l ; h l ; h l nnek függvénnek korábbn már felírt Mh ( ) F( l ) függvénnel vett sortát kell integrálni serint nullától l-ig, mjd ostni I -vel. A eredmén: v C C (6l C) F 3 b A trtó C pontjánk függőleges elmodulás méretektől és lklmott terheléstől függően ngon kicsi is lehet: sbd semmel ésre sem vehető. Mérése csk induktív útdó hsnáltávl lehetséges. 6. A mérések leírás 6.1. Normál fesültség meghtároás hjlított-nírt trtón A núlásmérő béleg lklmásávl beflott, hjlított-nírt trtó felső felületének lkváltoását visgáljuk terhelés függvénében. A 14. ábrán láthtó, egik végén befogott, tégllp 13
kerestmetsetű trtót különböő ngságú súlokkl terheljük. A súlterhelésből sármik trtó F terhelése. A trtó pontjibn tehát nírás és hjlítás egidejűleg fellép. i 1,,3, 4,5 3 4 R 5 5 5 R 4 5 R 3 5 R R 1 F R i Mért érték i 175 35 R 5 R 4 R 3 R R 1 R komp A lbortóriumi mérés vált 14. ábr A lbortóriumi mérés oldl- és felülnéetben 15. ábr Mérési feldt: Adott terhelésre núlásméréssel meghtároni felső felület öt megdott pontjábn fesültségi állpotot, vgis fesültségi tenort. (A trtó ngánk ruglmssági modulusát és Poisson-téneőjét ismerjük: 1 MP,,3.) 5 A rúdelmélet lpján sámítássl meghtároni fesültségi állpotot ugnbbn öt pontbn, ugnl terheléssel. A sámításokt össehsonlítjuk mért értékekkel. A mérési eredménekből is és rúdelmélet lpján sámoltkból is megrjolni trtó dott sksár M ( ) nomtéki ábrát. h Három különböő terhelésre mind öt pontbn méréssel felvenni ( ) digrmot. A trtó lehjlását eg dott pontbn ( induktív útdóvl visgált pontbn) sámítássl meghtároni Cstiglino-tétel segítségével mindhárom terhelés esetére. 14
A trtó lehjlását eg dott pontbn megmérni három különböő terhelés esetén és össehsonlítni Cstiglino-tétellel sámítottkkl. A mérés menete tehát követkeő: 1. A terheletlen (pontosbbn csk sját súlávl terhelt) trtón lévő mérőbélegekhe kpcsolódó Whetstone-hidkt kiegenlíttetjük mérőerősítővel.. A ismert súlll megterheljük trtót és beálló új egensúlbn leolvssuk mérőbélegeknél tpstlt fjlgos núlásokt és induktív útdó áltl solgálttott lehjlást. 3. A terhelést levessük és még terheletlenül ismét kiegenlíttetjük Whetstone-hidkt. Ugneeket lépéseket elvégeük mindhárom terhelés esetében. A méréssorot eredméneként tienötsör három fjlgos núlás értékhe és három lehjlásértékhe jutunk. (Minden roett három fjlgos núlás értéket solgáltt mind öt helen és mind három súl esetén.) A mérési eredmének kiértékelése követkeőképpen történik: 1. A hrmdik fejeet első felében leírtk serint meghtárouk öt pont fesültségi tenorát három különböő terhelés esetén. Várkoásink serint tenoroknk csk koordinátáj nem les érus. A korlátoott mérési pontosság mitt többi koordinátár sem feltétlenül kpunk nullát, de ngságrendekkel kisebb sámot, mint -re. A eredmének kölésekor djuk meg reltív hibát is hetedik fejeetben írtk lpján. Figelmetetés: ne kometikáuk mérési eredméneket bból célból, hog várkoásoknk megfelelő eredmén jöjjön ki! A mérési ponttlnság mérés termésetes velejárój, melet nem elfedni, hnem korrekten keelni és mérés fejlestésével csökkenteni kell!. A terhelések ismeretében, rúdelmélet segítségével sámítássl is meghtárouk eeket tenorokt. Termésetesen itt vlóbn csk koordinátákt kpunk, vgis feldt ennek tienöt normálfesültségnek kisámítás. 3. A nomtéki ábrák megrjolás során három terhelés esetét külön-külön koordinátrendserben ábráoljuk. Íg három ábrát kpunk, mindegikben két-két görbét (várkoásink serint egenest). giket rúdelméletből sámítjuk ( első fejeet második rése lpján), másikt mérési eredméneinkből sámítjuk követkeő egserű képlet I b lpján: M h ( ) ( ) K ( ) ( ). A csknem eg egenesre illeskedő pontokr egenest kell illesteni hetedik fejeetben résleteett legkisebb nége- b 6 tek módserével. 4. A öt visgált pont ( ) függvénének előállítás követkeőképpen történik: fjlgos núlás értékeit núlásmérő bélegek solgálttták, normál fesültséget pedig terhelés és geometrii méretek ismeretében sámoljuk: F( l ) b 6 ( ) F( l ). Minden mérési pontbn három mérési dt áll rendelkeésünkre három terhelésből. rre három eredménre kell egenest illesteni I b hetedik fejeetben résleteett legkisebb négetek módsere lpján. A öt pontr öt egenest kpunk. A egenesek meredeksége egenlő ruglmssági modulus reciprokávl. Várkoásink serint e nem függ pont helétől, tehát öt egenest párhumosnk, sőt onosnk várjuk. 5. Ábráoljuk vc vc( F) függvént negedik fejeetben résleteett elmélet serint és mérések solgálttt három érték segítségével is. A három pontr egenest kell illesteni hetedik fejeetben résleteett legkisebb négetek módserével. 15
6.. Csústtó fesültség meghtároás hjlított-nírt trtón A núlásmérő béleg lklmásávl beflott, hjlított-nírt trtó oldl felületének lkváltoását visgáljuk terhelés függvénében. A 16. ábrán láthtó, egik végén befogott I-trtót különböő ngságú súlokkl terheljük. A trtó pontjibn tehát nírás és hjlítás egidejűleg fellép. A lbortóriumi mérés vált 16. ábr A lbortóriumi mérés oldlnéetben, felrgstott roett és bekötése 17. ábr 16
Mérési feldt: Adott terhelésre núlásméréssel meghtároni oldl-felület három megdott pontjábn fesültségi állpotot, vgis fesültségi tenort. (A lumínium-ötvöetből késült trtó ngánk ruglmssági modulusát és Poisson-téneőjét ismerjük: 4 6,87 1 MP,,34.) A rúdelmélet lpján sámítássl meghtároni fesültségi állpotot ugnbbn három pontbn, ugnl terheléssel. A sámítások össehsonlítás mért értékekkel. A mérési eredménekből is és rúdelmélet lpján sámoltkból is megrjolni trtó dott sksár T ( ) níróerő ábrát. Három különböő terhelésre mind három pontbn méréssel felvenni ( ) di- grmot. A három terhelést eg 6 kg-os, eg 1 kg-os és eg 18 kg-os súl solgálttj. A m súlerő meghtároáskor g 9,81 nehéségi gorsulássl sámoljunk! s A mérés menete tehát követkeő: 1. A terheletlen (pontosbbn csk sját súlávl terhelt) trtón lévő mérőbélegekhe kpcsolódó Whetstone-hidkt kiegenlíttetjük mérőerősítővel.. A ismert súlll megterheljük trtót és beálló új egensúlbn leolvssuk mérőbélegeknél tpstlt fjlgos núlásokt. 3. A terhelést levessük és még terheletlenül ismét kiegenlíttetjük Whetstone-hidkt. Ugneeket lépéseket elvégeük mindhárom terhelés esetében. A méréssorot eredméneként kilencser három fjlgos núlás értékhe jutunk. (Minden roett három fjlgos núlás értéket solgáltt mind három helen és mind három súl esetén.) A mérési eredmének kiértékelése követkeőképpen történik: 1. A hrmdik fejeet második felében leírtk serint meghtárouk három pont fesültségi tenorát három különböő terhelés esetén. Várkoásink serint tenoroknk csk (és termésetesen ) koordinátájár nem fogunk -át kpni. A korlátoott mérési pontosság mitt többi koordinátár sem feltétlenül kpunk nullát, de ngságrendekkel kisebb sámot, mint -re. A eredmének kölésekor djuk meg reltív hibát is hetedik fejeetben írtk lpján. Figelmetetés: ne kometikáuk mérési eredméneket bból célból, hog várkoásoknk megfelelő eredmén jöjjön ki! A mérési ponttlnság mérés termésetes velejárój, melet nem elfedni, hnem korrekten keelni és mérés fejlestésével csökkenteni kell!. A terhelések ismeretében, rúdelmélet segítségével sámítássl is meghtárouk eeket tenorokt. Termésetesen itt vlóbn csk koordinátákt kpunk, vgis feldt ennek tiennolc csústtó fesültségnek kisámítás. (Vlójábn egserűbb helet mitt, hog fesültségi tenor simmetrikus és csústtó fesültség nem függ -től.) A csústtófesültségre itt lklmndó képletet csústtó fesültségre áltlánosn érvénes TS A össefüggésből veethetjük le, hol T níróerő, I S A kerestmetsetnek tengeltől -nál messebbre lévő résének (et jelöli A) sttiki nomték, I kerestmetset tengelre sámított másodrendű nomték és kerestmetset sélessége ( iránú kiterjedése) függvénében. A kerestmetset nomtékit Steiner-tétel felhsnálásávl sámíthtjuk: I 3 3 3 4 4 4 18 4 6 976 mm, illetve 1 1 17
3 8 4 16 18 4 195 mm S A, hol figelembe vettük, hog, vgis A kerestmetset felső fele. Mivel T A össefüggést, hol 6 A T 19,5 1 m T esetén 4 mm., íg kpjuk 3. A níróerő ábrák megrjolás során három terhelés esetét külön-külön koordinátrendserben ábráoljuk. Íg három ábrát kpunk, mindegikben két-két görbét (várkoásink serint egenest). giket rúdelméletből sámítjuk ( első fejeet második rése lpján: ( ) T F ), másikt mérési eredméneinkből sámítjuk követkeő egserű képlet lpján: T ( ) ( ) A. A csknem eg egenesre illeskedő pon- T tokr egenest kell illesteni hetedik fejeetben résleteett legkisebb négetek módserével. 4. A három visgált pont ( ) függvénének előállítás követkeőképpen törté- nik: fjlgos sögtorulás értékeit núlásmérő béleges mérés solgálttt, csústtó fesültséget pedig terhelés és geometrii méretek ismeretében sámoljuk: T. Minden mérési pontbn három mérési dt áll rendelkeésünkre három AT terhelésből. rre három eredménre kell egenest illesteni hetedik fejeetben résleteett legkisebb négetek módsere lpján. A három pontr három egenest kpunk. A egenesek meredeksége egenlő G csústtó ruglmssági modulus (1 ) reciprokávl. Várkoásink serint e nem függ pont helétől, tehát három egenest párhumosnk, sőt onosnk várjuk. 7. Hibsámítás, mérési eredmének kiértékelése, egenes illestése 7.1. A hibák keletkeése és terjedése Minden mérés hibávl terhelt. grést előfordulhtnk emberi mulstások, tévedések, másrést tudomásul kell vennünk, hog mérőesköeink pontosság is korlátoott. H pedig felhsnált dtok és méretek sem tetsőlegesen pontosk, kkor mérési eljárás végeredménétől sem várhtjuk el tökéletes egeést vlóságos értékekkel. A hib és hibterjedés korrekt figelembe vételéhe definiálnunk kell reltív hib foglmát: mért A fiiki menniség mérésének reltív hibáj ltt h sámot értjük. Minthog vlódi értékét nem ismerjük, hisen éppen t seretnénk minél pontosbbn megmérni, mérés reltív hibáját definíciójából nem sámolhtjuk, csupán mérőeskö ismert pontosságából becsülhetjük. Például, h eg körülbelül öt centiméter hossú fémtárg pontos hossár vgunk kíváncsik és köönséges vonló áll rendelkeésünkre, kkor ligh mérhetjük meg pontosbbn, mint fél milliméter. Például leolvshtjuk, hog tárg hoss 5 mm, de tudnunk kell, hog keresett hossúság vlójábn 51,5 és 5,5 mm köött bármenni lehet: l 5 mm,5 mm. bben,5 mm esetben h,96,96%. Tolómérce lklmásávl eg ngságrendet jvíthtunk pontosságon, vgis reltív hib tiedére csökkenhet. 5 mm Amenniben többé-kevésbé pontos dtokkl további mtemtiki műveleteket is végünk, kkor figelembe kell venni reltív hib terjedési sjátosságit. Két menniség össedáskor 18
h1 1 h eredmént reltív hibáik súloott átlg fogj terhelni: hösseg, hol h 1 1 1 menniség mérésének reltív hibáj, h -é. Soráskor és ostáskor reltív hibák össegődnek: hsort hhándos h1 h. Htvánoáskor reltív hib htvánkitevővel soródik: n h, hol n htvánkitevő (gökvonásnál törtsám). A legtrgikusbb követkeméne hhtván 1h 1 h kivonásnk lehet: hkülönbség! Aonos ngságrendű menniségek kivonáskor 1 reltív hib soksorosár nőhet. nnek fénében soh ne djuk meg végeredmént sok tiedes jeggel, menniben már geometrii méretek, vg elrendeés más prméterei is csk kisebb pontossággl ismertek! Minden mtemtiki művelet során sámoljuk ki eredmén várhtó hibáját és végeredmén kölésekor tüntessük fel, hog mekkor hibávl terhelt! ges esetekben gondot jelenthet, hog vlójábn nem tudjuk ismertnek feltüntetett dtok reltív hibáját, hisen nem mi mértük meg, íg csk tlálgthtunk, hog milen pontosságú mérőeskö hsnáltávl késültek. Ilen esetekben dt utolsó értékes jege solgálht útmuttóul. H eg hossúság l 3 mm -ként vn megdv, kkor ennek utolsó értékes jege 3, tehát vlójábn l,5...3, 49 mm, vg l 3 mm,5 mm hossról vn só. H ennél pontosbbn ismerjük, kkor t jelölni kell. Például l 3, mm, mi eg ngságrenddel pontosbb dtot tkr: l 3, mm,5 mm, mert itt két értékes jeget kööltünk! De még e utóbbink reltív hibáj is több mint másfél sálék, eért ennél pontosbb eredménben semmiféle sámítás végén nem reménkedhetünk, h sámítások et dtot is felhsnálják. 19
7.. A konkrét mérési hibák és ok keelése A mérés ponttlnsági már geometrii méretek ellenőrése során megkedődnek. A trtó hossát nem tudjuk pontosbbn mérni, mint eg tied milliméter. legfeljebb erelékni reltív hibát eredméne, cskhog vstgság mérése is hsonló bsolút hibávl terhelt, mi csknem sálékos reltív hibát jelent! A reltív hib bsolút hib és mért érték hándos. Például eg mm-es sélesség mérésekor, h tolómérőről,5 mm pontossággl lehet leolvsni méretet, kkor mondhtjuk, hog kérdéses sélesség:,,5 mm. A bsolút,5 hib,5 mm, reltív hib pedig: h, 5. eg neged sálék. Még rossbb helet, mikor például másodrendű nomtékot sámolunk. Feltéve, hog vstgság ugnilen hibávl terhelt és felhsnálv hibterjedés korábbn tárglt sbálit: h h 3h,1. I b A mérési eredmének mellett mindig fel kell tüntetni t, hog milen pontosságúk. Például: 11, MP 4%, vg mi eel egenértékű 11, MP,448 MP. Íg, h sámításink lpján például 1,8 MP -t vártunk, elmondhtjuk, hog mérés eredméne össhngbn vn elvárásinkkl mérési hibhtáron belül. Amenniben sámításink során hsonló ngságú mérési eredméneket kell egmásból kivonnunk, reltív hib etrém értékűvé válht. Ilen esetekben nem reltív hibát, hnem bsolút hibát célserű megdnunk:,4 MP 4% helett sokkl semléletesebb,4 MP,96 MP írásmód. utóbbiból is láthtó, hog kpott eredmén mérési pontosságon belül várt eredménnel is egeést mutt. A lbortóriumi mérés során hibák nemcsk legfeljebb fél tied milliméter pontosságú geometrii méret-dtokból fkdnk. A terhelésként hsnált súlok tömegét fél tiedgrmm pontossággl ismerjük. Amenniben nehéségi gorsulást g 9,81 -nek vessük, kkor e kö- s m 4 rülbelül 5 1 N bsolút hibát eredméne minden súlnál. g 1 N-os súlnál (kb. 1 dkg) például fél erelék reltív hib dódik. Termésetesen ngobb súl hsnáltkor reltív hib még kisebb. Sintén hibávl terhelt sámítások eg réséhe felhsnált ruglmssági modulus és Poissonténeő. ek reltív hibáj is kisebb eg ereléknél. A legvesélesebb hibforrás onbn núlásmérő béleg! A mérőerősítő ugn nég, vg kár öt értékes jeggel jeli ki mért núlást, e onbn félreveető lehet. Méréseink során feltételeük, hog mérőbélegek egmássl és trtó hosstengelével tökéletesen párhumosn vnnk trtó oldlár, vg tetejére rgstv. A sbd kéel felrgstott bélegek iránítás onbn 1- fokkl eltérhet ettől. További hibforrás, hog mérőbélegek ellenállás kismértékben ugn, de mégis függ mérési iránr merőleges núlástól is. nnek két hibánk htását résletesen is megvisgáljuk követkeőkben.
A trtó tetejére rgstott roett iránítás söggel eltér elvárt iránítástól. Íg mérőerősítő áltl solgálttott, b, c fjlgos núlások is n eltérnek n c n, 45, értékektől. b n45 1 n A A P lkváltoási tenor n 1 A roett felrgstásánk ponttlnság 18. ábr és n i iránvektorok ismeretében, b, c kifejehetők, 45, fjlgos núlások segítségével. cos cos45 sin n ; nb ; n c. A tengelre merőleges terheletlen felület sin sin 45 cos 1 tetsőleges pontjábn lkváltoási tenor: A. 1 1 cos 1 1 An cos sin ; ; cos sin 1 sin, hol kihsnáltuk t, hog lkváltoási n cos sin sin cos tenor simmetrikus. Behelettesítve korábbn leveetett össefüggést: cos sin cos sin sin cos sin cos. Hsonlón kpjuk: cos sin cos sin sin cos sin cos. c 45 45 45 A b kisámításáho felhsnáljuk sögfüggvének ismert ddíciós tételeit és kpjuk: b 45 cos sin sin sin cos sin sin cos. Mivel elforgtás ngságár semmilen megsorítást nem tettünk, leveetett képletek kár ng sögeltérés esetén is heltállók. Kis sögek esetén onbn további egserűsítéseket 1 tehetünk: sin ; cos 1. (ekbe képletekbe söget rdiánbn kell behelettesí- teni!) 1
lhngolv -ben négetes és mgsbb htvánú tgokt, követkeőket kpjuk: 1 45 1 45 c b 45 (1 ) (1 ) (1 ) 45 1 45 1 1 1 c c 45 pontos megismeréséhe. kkor ugnis c Figelemre méltó, hog fenti kifejeésekből c követkeik. össefüggés tetsőleges sögre ig, mi leveethető előő oldl gondoltmenete lpján, vg egserűen beláthtó, h ésrevessük, hog AI, s e menniség invriáns tengel körüli forgtássl semben. gmásr merőleges mérési iránokbn mért fjlgos núlások össege tehát teljesen mentes rgstás söghibáj áltl okoott mérési hibától. H fesültség egtengelű, például e iránú, kkor e egetlen dt is elegendő lkváltoási tenor 1. rre lklms mérési elrendeés láthtó 15. ábrán, köös állvánon áltlunk visgált trtóvl. ddig feltételetük, hog mérőbéleg csk mérési iránánk megfelelő núlást érékeli. onbn sjnos nem ig, mérési iránr merőleges núlás is htássl vn mérőbéleg ellenállásár. t jelenséget kerestiránú érékenségnek ( S C ) neveik, minek mértéke jellemően néhán tiedsálék. Pontos értékét béleg gártój mindig megdj Cross-sensitivit, illetve Querempfindlichkeit néven. A kerestiránú érékenséget is figelembe véve mért fjlgos núlások: 1 S 45 1 S 45 S S C c C b 45 C C Fontos tudomásul venni, hog körültekintőbb rgstássl és eel belőle sármó hib csökkenthető, eel semben kerestiránú érékenség objektív htárt sb pontosságnk. Abbn esetben, mikor mérési iránbn kicsi fjlgos núlás, rá merőleges iránbn pedig ng, még jelentéktelennek tűnő, néhán erelékni és S C is jelentős hibákt okoht. A eddig tárglt hibákho képest útdó hibáj elhngolhtó. A előőekből tűnik ki, hog áltlábn bsolút hibát ismerjük, vgis minden eges geometrii dtho, minden eges núlásértékhe külön-külön meg kell htáronunk reltív hibát. ekkel dtokkl legtöbbsör további sámításokt végünk, íg minden eges sámítás során reltív hib terjedését is meg kell visgálnunk. lső példként tekintsük eg trtó eg kerestmetsetének másodrendű nomtékát! Adott: 1,1mm, b 44, mm kerestmetseti b méretek Feldt: kerestmetset I másodrendű nomtékánk és nomték reltív hibájánk kisámítás. Kidolgoás: A dtok utolsó értékes jege tiedmilliméter. A bsolút hib tehát legfeljebb fél tiedmilliméter: 1,1 mm,5 mm ; b 44, mm,5 mm
H dtink tökéletesen pontosk lennének, kkor 3 3 4 6495,7 mm teljesülne. A dtok reltív hibáj:,5 h,41% ; 1,1 I b 1,1 44 1 1,5 hb,11%. 44 A hibterjedés sbáli serint: h 3h h 3, 41,11 1,34 %. A hibsámítássl pontosított másodrendű nomték: I b 4 4 4 I 6496 mm 1,34% 6496 mm 87 mm. Másként fogl- 4 4 mv: 649 mm I 6583 mm. A fenti két tiedes jeggel vló megdás tehát teljesen félreveető, még sások helén lévő sámjegben sem lehetünk bitosk! Második példként sámítsuk ki eg húott-nomott rúd eg felületi pontjánk fesültségtenorát és fesültségtenor koordinátáink hibáját! Adott: ; S,3% ; 5 1 MP ;,3 C 4 1 ; Feldt: A fesültségi tenor koordinátái mérési hibájánk meghtároás. Kidolgoás: A rúdelmélet serint lkváltoási tenor követkeő lkú: AP. Ideális bélegekből álló, tökéletesen pontosn felrgstott roettávl tehát 4 1 ; 5 5 c 3 1 és b 3,5 1 dtokt kpnánk. A roett rgstásánk ponttlnság és kerestiránú érékenség mitt onbn mérőbélegeken legrossbb esetben (,35 rd ) követkeő fjlgos núlásokt mérhetjük: 5 1 S 1 1,35 3(,3,35) 3,5,35 1 C 45 1,34 1 4 5 1 S 31,35 1,3,35 3,5,35 1 c C 45 5 3,3 1 5 b 45 SC SC 3,5 1, 3, 35 3, 3, 35 1 5 3, 1 A söget rdiánbn helettesítettük be, fenti képletekben pedig felcseréltük koordináttengeleket jelenlegi feldtnk megfelelően. Láthtjuk, hog ideális esettől vló eltérések rendre 3%, 1%, 16% ( mért értékhe és nem ideálisho visonítv!). Húott-nomott rúd oldlár felrgstott roett fjlgos núlás dtit tehát csk eel pontossággl fogdhtjuk el. Más terhelés esetén, másik felület visgáltkor, vg eltérő bélegállásnál ugneeket sámításokt újr el kell végeni (lásd táblátot követkeő oldlon)! 3
A továbbikbn tételeük fel, hog felületre rgstott roett éppen imént kisámított, vgis lehető legngobb hibávl terhelt dtokt solgálttt: 4 5 5 1,34 1 3% ; b 3, 1 16% ; c 3,3 1 1% Htárouk meg elősör lkváltoási tenor koordinátáit! 5 4 3,3 1 1% 1,34 1 3% c Mivel i normálisú felület terheletlen: ; 5 1, 51 14% b c k reltív hibáj kisámításáho veető kivonások mitt lett ilen ng. Semléletesebb 5 7,55 1 5 1 írásmód, mert e onnl muttj, hog mérési pontosság megengedi kár elvárt értéket is. De sjnos nem árj ki t sem, hog sögtorulás fjlgos núlások ngságrendjébe essen! A lkváltoási tenor ismeretében kisámíthtjuk fesültségi tenort is: 3, 3,31,34,148 MP 183% 1 1,3 1,34,3 3, 3, 69 MP 3,4% 1 1,3 1 1, 5,96 MP 14% 1,3 A fesültségi tenor többi koordinátáj null. A reltív hibát minden esetben hibterjedés már bemuttott össefüggéseivel sámoltuk ki. Láthtjuk, hog értékét ránlg pontosn megismerhetjük, -ról teljes bionossággl csk nnit állíthtunk, hog leglább két ngságrend- del kisebb legngobb főfesültségnél. A csústtófesültség visont csk eg ngságrenddel kisebb legngobb főfesültségnél. eket etrém ng reltív hibákt képletekben lklmott kivonások eredméneték. A előő feldtbn lklmott sámításokt prméteresen is elvégehetjük, és kkor megkpjuk roettán mért fjlgos núlások, lkváltoási tenor és fesültségi tenor koordinátáink reltív hibáját. Feltételeve rgstási ponttlnságot, és elhngolv eg ngságrenddel kisebb kerestiránú érékenséget, követkeőket kpjuk: 4
Mért, illetve sámított menniség 45 h h r r h r Reltív hib 45,35 1 45,351,35 45,7 hr 45 h h r r,35 1,35 1 45 45 A lkváltoási- és fesültségi tenor többi eleme érus, mit nem mérési eredménekből tudunk, hnem bból, hog sóbn forgó felület terheletlen. eket érusokt tehát teljesen pontos dtoknk tekinthetjük. Amenniben roett nem síkon vn, kkor fenti képletekben indeeket át kell jvítni: hjlított-nírt trtó normálfesültségének mérésekor például követkeő táblátot kell hsnálnunk: Mért, illetve sámított menniség, 45 h h r r h r Reltív hib 45,351 45,351,35 45,7 hr 45 h h r r,35 1,35 1 45 45 5
A fesültségi tenor koordinátáink hibáját ngállndók ponttln ismerete tovább növeli, de e htás elhngolhtó rgstási söghib mellett. A legpontosbbn ismert fesültségkoordinát hibájábn esetleg figelembe vehetjük követkeőképpen: h F h ij F h ij h, hol h F 1 ij fesültségi tenor ij indeű elemének reltív hibáj fenti táblát serint, h, h Young-modulus, illetve Poisson-sám reltív hibáj. 7.3. A legkisebb négetek módsere A legtöbb mérési feldt során lehetőleg minél több dtból álló pontsorr kell egenest illesteni és ennek egenesnek prmétereire (leggkrbbn meredekségére) vgunk kíváncsik. H mérendő fiiki menniségek egmássl nem lineáris kpcsoltbn vnnk, problémát sok esetben kkor is egenes ábráolásár kell vissveetnünk! H például mérni kívánt menniség várhtón független váltoó négetével (vg éppen logritmusávl) rános, kkor -t (vg lg() függvénében) kell ábráolnunk! Íg joggl várunk egenest. A mérés köben és sámítások során fellépő hibák, ponttlnságok mitt onbn dtokból képett pontok mégsem esnek pontosn eg egenesre! Oln egenest kell keresnünk, melre lehető legkisebb hibávl illeskednek mérési eredmének. A optimliálási feldt célj pontoknk egenestől vett függőleges távolságánk négetössegét minimliálni egenes prmétereinek lklms megválstásávl (legkisebb négetek módsere). Bioníthtó, hog e négetösseg kkor minimális, h m b lkbn keresett egenes prméterei követkeők: m n i1 i átl i átl n j1 j átl, b m. átl átl A össefüggések megdják egenes m meredekségét és tengellel vló b metsetét. A össegéseket össes mért értékpárr el kell végeni, átl és átl pedig mérés független és mért függő váltoójár kpott értékek sámtni köepei. Várkoásunk serint ismert terhelésekből sámított normál fesültség és mért fjlgos núlás ránosk egmássl, ránossági téneő Young-modulus. Továbbá ismert terhelésekből sámított csústtó fesültség és mért sögtorulás ránosk egmássl, rános- függvént, oln sági téneő G csústtó ruglmssági modulus. H tehát ábráoljuk egenest várunk, mel átmeg origón ( b függvén ábráoláskor sintén b -t várunk, meredekségre pedig 8. A mérési jegőkönv elkésítése ) és meredeksége: m 1 m -t. G 1. A A mérési jegőkönv eg rövid össefogllóvl kedődik, melben mérést végő leírj, milen berendeések és mérőesköök igénbevételével, milen fiiki törvénserűségek felhsnálásávl milen fiiki menniségek mérését végete el. után követkeik konkrét mérési elrendeés váltrj műski ábráolás követelméneinek betrtásávl. Célserű sámításokho hsnált méreteket ellenőrini (például tolómérővel). A ténlegesen elvégett mérések sámserű eredméneit táblátbn kell rögíteni, mindig feltüntetve menniségek mértékegségét és reltív hibáját is. A mérés követlen eredméneiből sámítások útján htárouk meg lkváltoási- és fesültségi tenor koordinátáit. Termésetesen nem elegendő pustán végeredmének kölése! A mérési jegőkönvből ki kell de- 6
rülnie, hog mérést végő hogn sámolt ki eredméneit. ért leglább eg pont leglább eg terhelése esetére sámításokt teljes résletességgel mellékelni kell! A mérési eredménekről grfikont kell késíteni: vísintes tengelre független váltoónk tekintett fesültséget, függőleges tengelre függő váltoónk tekintett fjlgos núlást (illetve sögtorulást) mérve fel. A táblát lpján felrjolt pontokr tán fenti egenes-illestési eljárássl egenest fektetünk. Ügelni kell grfikon tengeleinek heles skáláásár és egenes jellemőinek feltüntetésére is. A mérési eredmének pontosságát feltétlenül elemeni kell! nélkül nem tudjuk megítélni, vjon értékes eredméneket kptunk-e egáltlán. lősör sámítások során felhsnált méretek pontosságát kell tistáni, tán mérés solgálttt dtok hibáját kell megbecsülni 7.. fejeet lpján és een hibák terjedését meghtároni sámítások során hsnált képletekben hetedik fejeet áltlános képletei és példák segítségével. A mérési jegőkönvet össefoglló árj, melben értékelni kell, mennire teljesültek elmélet lpján megfoglmott előetes várkoások. Külön meg kell visgálni, vjon mi okohtt esetleges eltéréseket. setleg jvsltokt lehet megfoglmni mérés pontosságánk növelésére. 7