Pokorádi László Szoloki Tudomáyos Közleméyek XVII. Szolok, 3 FOLYADÉKSZÁLLÍTÓ RENDSZER LINEÁRIS PARAMÉTER-ÉRZÉKENYSÉG ELEMZÉSE Techikai redszerek matematikai modellvizsgálata sorá figyelembe kell veük, hogy az valamilye mérvű parametrikus bizoytalasággal bír. A parametrikus bizoytalaság forrásai folyadékszállító redszer esetébe a redszer techikai adataiak, az üzemmód jellemző értékéek, valamit a szállított folyadék összetételéek, fizikai paramétereiek eltérései lehetek. A taulmáy a folyadékszállító redszerek parametrikus érzékeység vizsgálata módszerét és a kapott elemzési eredméyek értékelését mutatja be egy egyszerű redszer példájá keresztül. A vizsgálat sorá szerzett tapasztalatok jó alapot adak az összetett folyadékszállító redszer érzékeység vizsgálatáak elvégzésére, illetve aak taulmáyozására, hogy a szállított közeg összetételéek, fizikai jellemzőiek igadozása milye hatást gyakorol a redszer működése. LINEAR PARAMETER SENSITIVITY ANALYSIS OF PIPELINE SYSTEM Durig mathematical model ivestigatio of real techical systems we ca meet ay type ad rate model ucertaity. I case of pipelie systems the sources of parameter ucertaities ca be aomalies of techical system data, the mode of fuctioig values, compositio ad physical parameters of the fluid. The paper shows the methodology of the sesitivity aalysis ad the discussio of its results usig a easy pipelie system model case. These cosequeces ad experieces ca be used to ivestigate parametrical ucertaities of geothermal pipelie systems, such as fluid characteristic s idetermiatios.. BEVEZETÉS A techikai redszer matematikai modelljéek felállításakor, illetve a kapott modellezési eredméyek elemzésekor midig számoluk kell valamilye bizoytalasággal. Eek oka részbe az, hogy ismereteik sosem teljesek a modellezett redszerrel kapcsolatba, illetve a redelkezésre álló adataik is valamilye mérvű potatlasággal bírak. A redelkezésre álló iformációk bizoytalasága megakadályozhatja a helyes modell, valamit potos adatok, felesleges iformációk élküli meghatározását. Itt fotos felidézi egy, a [] irodalomba leírt godolatot, azaz: Az a jó modell, amely a lehető legegyszerűbb, de a célak megfelelő potossággal közelíti a valóságot. Másképpe megfogalmazva: az, és csak az a modell tekithető jóak, amely a vizsgálat szempotjából fotos paramétereket, összefüggéseket és a peremfeltételeket megfelelő potossággal figyelembe veszi, de midazo másodlagos jellemzőket elhayagolja, amelyeket a kitűzött vizsgálat szempotjából em tekitük meghatározóak [8]. egyetemi taár, Óbudai Egyetem, Báki Doát Gépész és Biztoságtechikai Méröki Kar pokoradi.laszlo@bgk.ui-obuda.hu Lektorálta: Prof. Dr. Szabolcsi Róbert, egyetemi taár, HVK SzCsF/Óbudai Egyetem Báki Doát Gépész és Biztoságtechikai Méröki Kar Mechatroikai és Autótechikai Itézet, szabolcsi.robert@bgk.ui-obuda.hu 3
A modellbizoytalaság aak forrása alapjá törtéő osztályozása megkülöböztet parametrikus, és ismereti bizoytalaságot. Möller és Beer szerit mivel az első a paraméterigadozáshoz köthető szembe az utóbbi, az ismeretek hiáyához kapcsolható ismereti bizoytalasággal [6]. Ez idokolja a parametrikus bizoytalaság értelmezését úgy, mit sztochasztikus (aleatory véletlee múló, esetleges) bizoytalaság ami a valós redszerről szerzett véletle tapasztalatok eredméyekét jeleik meg. A parametrikus bizoytalaság tudomáyos szitű elemzéséek módjait Ferso elemezte []. Mahvadi [5] mukájába az épület-teljesítméy szimuláció bizoytalaságaiak külöböző forrásait elemezte. Megfogalmazásába a szimulációs bizoytalaságot i) épület potatla leírása; ii) véletle klimatikus feltételek és iii) hiáyos haszálói (lakói) iformációk okozhatják. Pokorádi [7], [8] és [] köyvébe a techikai redszerek modellezését és a modellek alkalmazását írja le. Folyadékszállító mit például a fűtési vagy haszálati meleg víz redszerek eseté is felmerül a redszer, illetve a felállított modelljéek parametrikus bizoytalaságai elemzéséek fotossága. Ilye redszerek eseté a parametrikus bizoytalaság forrása a redszer techikai adataiak, méreteiek potatlasága, az üzemmód jellemző értékéek pillaatyi eltérése, illetve a szállított folyadék összetételéek, fizikai paramétereiek igadozása lehet []. A kutatómuka sorá adaptált lieáris diagosztikai modellek repülőműszaki tudomáyoko belüli alkalmazásáak eredméyei a Szerző [7], [8], [9] és [] publikációi kívül Rác [3], [], valamit Rohács, Simo és Rohály [5], [6] taulmáyaiba lelhetők fel. Az általáos redszertechika alapjai magyar yelve törtét alapmű szitű összefoglalása Szűcs [8] köyvébe található meg. A Szerző számára fotos műszaki-tudomáyos szemléletformáló szerepet kapott Szabolcsi mukássága, melyet például a [7] irodalom fémjelez. A Szerző és Szabolcsi közös kutatómukájuk eredméyeit a [7] moográfiába foglalták össze. A külöféle matematikai eljárások, módszerek méröki alkalmazásaiak lehetőségei, többek közt, a két Kor [3] mukái alapjá ismerhetőek meg. A taulmáy célja a feti irodalmakba olvasható eredméyekre támaszkodva a folyadékszállító redszerek érzékeység vizsgálata módszeréek bemutatása és a kapott elemzési eredméyek értékelése. Ezért az elemzést ez egyszerű egy egyees csőszakaszból és egy szerelvéyből álló folyadékszállító redszere végezzük el. A vizsgálat sorá levot következtetések, szerzett tapasztalatok jó alapot adak az összetett folyadékszállító redszer érzékeység vizsgálatáak elvégzésére, illetve aak taulmáyozására, hogy a szállított közeg összetételéek, jellemzőiek változására milye érzékeységgel bír a redszer működése. A cikk az alábbi fejezetekből áll: A. fejezetbe a lieáris érzékeységi modellek felállításáak általáos módszerét mutatjuk be. A 3. fejezet a folyadékszállító redszer egyszerű esettaulmáyá keresztül szemlélteti a módszer alkalmazását. A. fejezetbe ismerhetők meg az érzékeységvizsgálat eredméyei, és olvashatók azok értékelései. Az 5. fejezetbe következtetéseket és ajálásokat fogalmaz meg a Szerző.
. A LINEÁRIS ÉRZÉKENYSÉGVIZSGÁLAT MÓDSZERE Az érzékeyvizsgálat célja aak meghatározása, hogy a vizsgált aggregát vagy teljes redszer függetle, bemeő jellemzői értékeiek megváltoztatására milye mértékbe érzékey aak kimeő jellemzője vagy jellemzői. A felállított matematikai modell felhaszálásával meghatározhatjuk a függő, kimeő változók érzékeységi együtthatóit, melyek megmutatják, hogy az adott bemeő jel relatív változása mekkora relatív változást okoz az adott kimeő jellemző értékére. Így ez az elemzés megmutatja a redszer érzékeységét a külöféle modellezett paraméter-eltérésre, vagy bizoytalaságra. Az érzékeységvizsgálat elvégzésekor midig figyelembe kell veük azt, hogy a vizsgált redszerük, így az (eredeti) modellük emlieáris. Ezért a vizsgálat sorá az (eredeti) modell, vagy a redszer em-liearitása függvéyébe a függetle változók értékeit általába csak ~ 5%-al lehet változtati. Az érzékeységi együttható meghatározása sorá az eredeti y f ( x, x,..., x ) () többváltozós, emlieáris egyelet midkét oldaláak f dy ( x; x; x) f ( x; x; dx x x x) dx () alakú deriváltját képezzük, más szóval, az () emlieáris egyeletet zérus kezdeti feltételek mellett Taylor-sorfejtés módszerével liearizáljuk. Ezutá midkét oldal midegyik tagját bővítjük xi -vel, azaz: x i dy f ( x; x; x) y x x f ( x; x; x) dx f ( x ; x ; x ) x x x f ( x ; x ; x ) x dx (3) A együttható bevezetésével, és a f ( x; x; x) xi y K y; x i x f ( x ; x ; x ) x i d összefüggés felhaszálásával az alábbi lieáris egyeletet kapjuk: i xi y () y K y x x y x K ; ; y; x x, (5) amely a vizsgált redszer paramétereiek relatív változásai közti kapcsolatot azaz a kimeő jellemző, és így az aggregát érzékeységét írja le. Ha a redszerük több részegységből, így függő kimeő jellemzőből áll, a feti módo meghatározott lieáris egyeletek egyszerűbb formájú felírása érdekébe határozzuk meg a függetle 5
és a függő paraméterek vektorát. Szoloki Tudomáyos Közleméyek XVII. Ekkor, a felírt érzékeységi kapcsolatok mátrix formába az alábbi módo írhatók fel: Ay Bx (6) ahol: A és B a függő és függetle paraméterek együttható mátrixaik. Bevezetve a D A vizsgált redszer érzékeyégi mátrixát, a (6) egyelet a B y Dx (7) (8) alakúra módosul, amely egyelet a redszer függő és függetle változói relatív eltérései közti kapcsolatot írja le. A feti összefüggés alapjá meg tudjuk határozi, hogy a modellezett redszer kimeő jellemzője milye érzékeységgel bír bizoytalaságával szembe. Például a bemeő jelek mérése sorá fellépő mérési potatlaság hogya befolyásolja a kimeő jel vagy jelek potosságát, értékéek megbízhatóságát. 3. A LINEÁRIS ÉRZÉKENYSÉGI MODELL FELÁLLÍTÁSA (ESETTANULMÁNY) Jele esettaulmáyba a folyadékszállító redszer két fő típusú részegységét, az azoko fellépő yomás veszteséget, illetve veszteségmagasságot vizsgáljuk. Ezért redszerük csak egy egyees csőszakaszból és egy szerelvéyből áll, melyeket külö-külö vizsgáluk. Az elemzés sorá figyelembe vesszük, hogy az egyees csőszakaszba lamiáris vagy külöböző mértékbe turbules áramlás uralkodhat. A folyadékszállító redszerbe lejátszódó folyamatok matematikai leírását a szállítadó folyadék kiematikai viszkozitási téyezőjéek meghatározásával kezdjük []: Ezt követőe a csővezeték átlagos áramlási sebességét határozzuk meg: Ezek alapjá a csővezetékbe törtéő áramlás yolds száma:. (9) V c. () d cd. () A csősúrlódási téyező értékére több egyelet írható fel az áramlás lamiáris vagy turbules volta azaz a yolds-szám függvéyébe. Ezek: ha 3 azaz ha az áramlás lamiáris: 6
a 6 ; (a) ha ha 3 8 : 6 : b,36 ; (b) c,5,396,3 ; (c) 5 8 ha : d,3,,337. (d) A csőszakasz veszteségmagassága: c l h cs g d, (3) illetve yomásvesztesége: A szerelvéy veszteségmagassága: l p cs c. () d c h sz g, (5) illetve yomásvesztesége: p c sz. (6) A feti (9) (6) egyeletek alkotják a vizsgált egyszerű folyadékszállító redszer matematikai modelljét. A lieáris érzékeységi modell felállítása érdekébe a következőkbe a (9) (6) egyeleteket a. fejezetbe ismertetett módo liearizáluk kell. Ekkor az alábbi egyeleteket kapjuk: (9) egyelet eseté: ; (7) () egyelet eseté: () egyelet eseté: (a) (d) egyeletek eseté: c V d ; (8) c d ; (9) K, () 7
ha 3 a K a ; (a) ha 3 8 :,5 b K b,5 ; (b) ha 6 :,88 c,3,5,396 K c,88,3,5,396 ; (c) ha 5 8 :,777 d,337,3, K d,777,337,3,. (d) (3) egyelet eseté: c l d h cs. () () egyelet eseté: p cs c l d. () (5) egyelet eseté: h sz c. (3) (6) egyelet eseté: p sz c. () A további vizsgálat érdekébe határozzuk meg a függetle paraméterek vektorát: és a függő paraméterek vektorát: y T x T c V h cs d p Ekkor a függő és függetle paraméterek együttható mátrixaik: l cs h sz, (5) p sz. (6) K A (7) 8
9 B (8) Mivel elemzésüket égy yolds-szám tartomáyba végezzük, így égy esetre az érzékeységi együttható mátrixot az alábbiak leszek: 3 K a D a ; (9a) 8 3,5 K b,75,75,75,5,75,75,5,5,5,5,5,5 D b, (9b) 6 ( 6 ) 775 -,99935 c K
5 8 ( Szoloki Tudomáyos Közleméyek XVII.,999,999,999,999 D c ; (9c),999,999,7,7,999,7,7,7 6 5 ) K d -,336973 35 D d,337,337,337,337,337,663,337,663,663,337,663,663. (9d). AZ ÉRZÉKENYSÉG VIZSGÁLAT EREDMÉNYEI x vektor elemeiek megváltoz- A többváltozós redszerek eseté a D érzékeységi együttható mátrix ismeretébe, a (8) egyelet felhaszálásával a függetle változók értékeiek azaz a tatásával szimuláljuk az adott részegység vagy alkatrész meghibásodását, elhaszálódását, a gyártási eltéréseket, a köryezeti hatások vagy ayagjellemzők megváltozását. A felállított érzékeységi modell felhaszálásával meghatározható, hogy relatív értékbe mikét fogak változi a függő változók azaz ay vektor elemei. Így ez az elemzés megmutatja a redszer 5 érzékeységét a külöféle modellezett paraméter-eltérésre, vagy eltérésekre. Ha egyszerre csak egy függetle változó értékét változtatjuk egyváltozós, ha több értékét módosítjuk többváltozós érzékeységvizsgálatról beszélük. Fotos itt hagsúlyozuk, hogy ezt a vizsgálatot mit mide modell vizsgálatot em a valós redszere, haem aak (jele esetbe a matematikai) modelljé tudjuk elvégezi. Ez jeleti a modellvizsgálatok egyik legagyobb előyét, mivel az elemzéshez em kell a valós redszer részegységeit tökretei, hogy aak káros esetleg katasztrofális következméyeit megismerhessük... Az üzemmód jellemző bizoytalaságáak elemzése Üzemmód jellemző, ami a redszer működési módját írja le, jele vizsgálatukba a szállított térfogatáram. Az. ábra a redszer által szállított folyadék térfogatáram %-os övekedéséek hatását szemlélteti a redszer kimeő, függő jellemzőire külöböző yolds-szám tartomáy eseté.
A grafiko egyértelműe igazolja, hogy (adott keresztmetszet eseté) a tömegáram övekedés csak az áramlási sebesség övekedésével érhető el, ami egybe a yolds-szám hasoló mértékű övekedését is okozza. A fetiek hatására az egyees csőszakasz csősúrlódási téyező csökke, méghozzá a külöböző yolds-szám tartomáyokba külöböző mértékbe. Megállapítható, hogy a csősúrlódási téyező lamiáris áramlás eseté mutatja a legagyobb érzékeységet. Az egyees csőszakaszo keletkező veszteségek (yolds-szám tartomáyokét) azoos de a szerelvéyekél kisebb mértékbe övekedek a modellezett paraméter eltérés eseté. Ekkor viszot a lamiáris áramlás eseté kevésbé lesz érzékey a redszer. A szerelvéye fellépő veszteségek mutatják a redszer legagyobb abszolút értékű érzékeységet a szállított térfogatáram változásával szembe. a b c d [%],5,5 -,5 Nu c Lambda hcs dpcs hsz dpsz - -,5 -. ábra V % hatásai.. A redszer műszaki jellemzők bizoytalaságáak elemzése A redszer techikai jellemzői, melyek a redszer szerkezetét, méretét determiálják. A techikai jellemzők eltérését alapvetőe a részegységek gyártása sorá fellépő potatlaságok okozhatják, de e paraméterek változhatak a redszer működése sorá is. Vizsgálatukba a techikai jellemzők az alábbiak voltak: csővezeték belső átmérője; egyees csőszakasz hossza; szerelvéy veszteségi téyezője. A redszer techikai jellemzői közül a csőátmérő %-os övekedéséek hatásai a. ábrá kerültek szemléltetésre. 5
a b c d [%] - Nu c Lambda hcs dpcs hsz dpsz - -3 - -5. ábra d % hatásai Látható, hogy az átmérő és így az áramlási keresztmetszet övekedése áramlási sebességcsökkeést okozott, ami a yolds-szám csökkeését vota maga utá. Látható, hogy bár a csősúrlódási téyező övekszik (a lamiáris áramlás eseté a legagyobb mértékbe), az egyees csőszakasz, valamit a szerelvéy yomásvesztesége, illetve veszteségmagassága pedig jeletős mértékbe csökket. A térfogatáramhoz hasoló módo itt is a legkisebb érzékeységgel a lamiáris áramlás eseté találkozuk. A 3. ábra az egyees csőszakasz hosszáak övekedéséhez kapcsolható érzékeységek tekithetők meg. Látható, hogy ez a függetle paraméter megváltozásáak csak az egyees csőszakaszo fellépő veszteségekre va hatással. A. ábra a szerelvéy veszteségi téyezője %-os övekedéséek hatását szemlélteti. Látható, hogy a csőhosszhoz hasolóa a jellemző értékéek változása csak a szerelvéye fellépő veszteségekre va hatással. [%],5 a b c d,5 -,5 Nu c Lambda hcs dpcs hsz dpsz - -,5-3. ábra l % hatásai 5
a b c d [%],5,5 -,5 Nu c Lambda hcs dpcs hsz dpsz - -,5 -. ábra % hatásai 5. KÖVETKEZTETÉSEK, AJÁNLÁSOK A taulmáy bemutatta a lieáris paraméter bizoytalaság érzékeység vizsgálatra épülő elemzési módját egy egyszerű (két elemből álló) folyadékszállító redszer példájá keresztül. A redszer függetle jellemzőiek változásával szembei érzékeységek több összefüggésére is rámutatott, melyek részletesebb a. fejezetbe olvashatóak. A taulmáy egyértelműe megmutatta a választott, lieáris érzékeységvizsgálati módszer alkalmazhatóságát folyadékszállító redszerek viselkedéséek elemzésére. Az eddigi eredméyek alapjá a Szerző témakörrel kapcsolatos jövőbei tevékeységét az alábbiakba fogalmazza meg. A bemutatott módszer kiterjesztése: összetett folyadékszállító redszerek érzékeység vizsgálatára; a szállított folyadék paraméterváltozásai hatásaiak elemzésére, ha a közeg kémiai öszszetétele, yomása és hőmérséklete változik; a redszer parametrikus bizoytalaságáak lieáris itervallum egyeletekkel törtéő elemzésére. y általáos függő változó; x általáos függetle változó; K általáos együttható; diamikai viszkozitási téyező; ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK sűrűség; kiematikai viszkozitási téyező; 53
c V d h cs átlagos áramlási sebesség; térfogatáram; cső belső átmérő; yols-szám; csősúrlódási téyező; cső veszteség magasság; p cs cső yomásveszteség; h sz szerelvéy veszteség magasság; p sz szerelvéy yomásveszteség; A B D szerelvéy veszteségi téyező; függő változók együttható mátrixa; függetle változók együttható mátrixa; érzékeységi együttható mátrixa. FELHASZNÁLT IRODALOM [] FERSON S., TUCKER W. T., Sesitivity aalysis usig probability boudig, liability Egieerig ad System Safety 9 (6) 35-. [] JUHÁSZ J., Hidrogeológia, Akadémiai Kiadó, Budapest,., pp. 76. [3] KORN, G.A., KORN T.M., Matematikai kéziköyv műszakiakak, Műszaki Köyvkiadó, Budapest, 975., p. 995. [] M. CSIZMADIA B., NÁNDORI E., Modellalkotás, Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest, 3, p. 579. [5] MAHDAVI, A., Buildigs, People, Climate: O Sources of Ucertaity i Buildig Performace Simulatio, Proceedigs of the Cetral Europea gioal I IBPSA Coferece Bratislava, Jue 5, 8. p. -3. [6] MÖLLER, B., BEER, M., Egieerig computatio uder ucertaity - Capabilities of o-traditioal models, Computers & Structures 86 (8), p. -, (doi:.6/j.compstruc.7.5.) [7] POKORÁDI L., SZABOLCSI R., Mathematical Models Applied to Ivestigate Aircraft Systems, omográfia, Moographical Booklets i Applied ad Computer Mathematics, MB-, PAMM, Műegyetemi Kiadó, Budapest, 999., p. 6. [8] POKORÁDI, L., dszerek és folyamatok modellezése Campus Kiadó, Debrece, 8., pp.. [9] POKORÁDI, L., The Ucertaity Aalysis of the Pipelie System UPB Scietific Bulleti, Series D: Mechaical Egieerig, Volume 73, Issue. 3, (ISSN 5-358) p. -. [] POKORÁDI L., MOLNÁR B., Mote-Carlo Simulatio of the Pipelie System to Ivestigate Water Temperature s Effects, U.P.B. Sci. Bull., Series D, Vol. 73, Iss., (ISSN 5-358) p. 3-36. [] POKORÁDI L., MOLNÁR B., Hidraulikus redszerek parametrikus bizoytalaságáak Mote-Carlo szimulációs elemzése, I: Pokorádi László (szerk.) Műszaki Tudomáy az Észak-kelet magyarországi régióba 3, Debrece, 3.6., pp. 7-8. (ISBN:978-963-76-3-) [] POKORÁDI, L., Hálózatok moduláris érzékeység-, és bizoytalaság elemzése Irodalom-feldolgozó, és témaismertető taulmáy, 37 p. (elektroikus Műszaki Füzetek XII.), ISBN 978-963-76-9-6, http://store.digitalcity.eu.com/store/cliets/release/aaaabchf/doc/mf_xii_3.5.-8.3.37.pdf [3] RÁC T., pülőgépgázturbiák üzemviteléek termikus kérdései, doktori értekezés, BME Közlekedésméröki Kar., 97. [] RÁC T., Gázturbiás repülőgép hajtóművek üzemszerű elhaszálódási törvéyszerűségeiek vizsgálati módszerei, kadidátusi értekezés, MTA, 978. 5
[5] ROHÁCS J, ROHÁLY G., POKORÁDI L., Исследования возможости диагностирования авиационных гидравлических и воздушных систем по данным, регистрированных во время нормального функционирования, Доклады третей конференции по авиации, - ноября 988 г. Будапешт, СЭВ, Отраслевое бюро Но 6. IV-я секция, стр..-.36. [6] ROHÁCS J., SIMON I., pülőgépek és helikopterek üzemeltetési zsebköyve, Műszaki Köyvkiadó, Budapest 989. [7] SZABOLCSI R., Korszerű szabályozási redszerek számítógépes tervezése, egyetemi taköyv, Zríyi Miklós Nemzetvédelmi Egyetem,. [8] SZŰCS E., Hasolóság és modell, Műszaki köyvkiadó, Budapest, 97., p. 99. 55