I. feladatsor () Töltse ki az alábbi táblázatot: Komplex szám Valós rész Képzetes rész Konjugált Abszolútérték + i i 0 + i i 5 5i 5 5i 6 6i 0 6 6i 6 5i 5 + 5i + i i 7i 0 7 7i 7 () Adottak az alábbi komplex számok: z = + i, z = i, z = i. Határozza meg az alábbiakat: (a) + i (b) i (c) i (d) + i (e) (f) + (g) 5 + i (h) 5i (i) + i (j) 5 i (k) 5 i (l) 6 (m) 6 (n) + 5 i (o) 5 i (p) i (q) i (r) 5 i (s) 5 i (t) 5 i (u) () Legyen z = (cos 60 + i sin 60 ) valamint z = (cos 0 + i sin 0 ). Határozza meg az alábbiakat: (a) (b) (c) 6(cos 80 + i sin 80 ) (d) (cos 00 + i sin 000 ) (e) (cos 80 + i sin 80 ) (f) (cos 60 + k 60 + i sin 60 + k 60 ) k = 0,, (0, 0, 60 ) (g) (cos 0 + k 60 + i sin 0 + k 60 ) k = 0,,, (0, 0, 0, 00 ) (h) 6(cos 80 + k 60 + i sin 80 + k 60 ) k = 0, (90, 70 ) () Töltse ki az alábbi táblázatot: Algebrai alak Trigonometrikus alak + i (cos 5 + i sin 5 ) i (cos 00 + i sin 00 ) + i (cos 5 + i sin 5 ) (cos 0 + i sin 0 ) i (cos 90 + i sin 90 ) (5) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = 8 + i (b) z = + i, z = i (c) z = + i,z = (d) z =, z = (e) z = i, z = i (f) z = 6 (cos 5 + k 60 + i sin 5 + k 60 ) k = 0,, (5, 65, 85 ) (g) z = 0(cos 7, 57 + k 60 + i sin 7, 57 + k 60 ) k = 0,,,,, 5 6 6 (, 9, 7, 9,, 9, 9, 9, 5, 9,, 9 ) (h) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 70 + k 60 (i) z,,, = (cos 90 + k 60 z 5,6,7,8 = 8 (cos 5 + k 60 (j) z,, = (cos 90 + k 60 z,5,6 = (cos 5 + k 60 (6) Végezze el a kijelölt műveleteket: + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 70 + k 60 ) k = 0,, (90, 0, 0 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,,, (, 5,, 5, 0, 5, 9, 5 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (, 5, 0, 5, 9, 5, 8, 5 ) + i sin 90 + k 60 ) k = 0,, (0, 50, 70 ) + i sin 5 + k 60 ) k = 0,,, (5, 5, 55 )
(a) + i (b) (cos 00 + k 60 (c) (cos 75 + i sin 75 ) (d) + i + i sin 00 + k 60 ) k = 0,, (00, 0, 0 ) (e) + 5 i (7) Oldja meg az alábbi egyenleteket a komplex számok halmazán: (a) z = + 7i (b) z = i (c) z = 7 i (d) z = 5 7 i (e) z = 0, z = i, z = i, z = (f) z = 0, z =, z = + i i i, z = (g) z = i, z = i (h) z = i, z = i (8) Határozza meg az alábbi komplex számok trigonometrikus alakját: (a) z = (cos 5 + i sin 5 ) (b) z = (cos 5 + i sin 5 ) (c) z = (cos 5 + i sin 5 ) (d) z = (cos 0 + i sin 0 ) (e) z = cos 60 + i sin 60
() Töltse ki az alábbi táblátatot: II. feladatsor f(x) g(x) f(g(x)) g(f(x)) f(f(x)) sin(x) x sin(x ) sin (x) sin(sin(x)) sin(x) + x + x sin( x) + x + sin x + x + sin(sin(x) + x + ) + sin x + x + + x + x + x x+ + + + x+ + cos(x) x cos(x ) cos (x) cos(cos(x)) sin(x) x sin( x ) sin(x) sin(sin(x)) lg(x) x + x lg(x + x ) lg (x) + lg(x) lg(lg(x)) arcsin(x) x arcsin( x) arcsin(x) arcsin(arcsin(x)) ln(x) e x x x ln(ln(x)) ln(x) x ln(x ) ln (x) ln(ln(x)) ln(x) ln(x) ln(ln(x)) ln(ln(x)) ln(ln(x)) () Határozza meg a valós számok legbővebb részhalmazát, ahol az alábbi függvények értelmesek: (a) D f =] ; [ ] ; ] [5; [ (b) D f =] ; ] \ { } (c) D f = R \ {} (d) D f = R \ { } (e) D f =] ; [ ]; [ (f) D f = [ ; [ (g) D f =] ; [ (h) Három kikötést kell tenni: arccos(x) értelmezési tartománya: [, ]. Jelölje ezt H. ln(x) értelmezési tartománya: ]0, [. Jelölje ezt H. a nevező nem lehet nulla. Jelölje ezt H. Ezekket: D f = H H \ H Ezeket külön-külön megoldjuk: azaz H = [ ; ] azaz H =] ; [ x + \ x x + > 0 \ x > ln(x + ) 0 = ln a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt x + \ x azaz H = { } Vagyis: D f = H H \ H =] ; ] () () Határozza meg az alábbi függvények inverz függvényét, ha létezik: (a) D f = R, R f = R, D f = R, R f = R, f(x) = x + 6 (b) D f = [ ; [, R f = [0; [, D f = [0, [, R f = [, [, f(x) = x 6 (c) D f = R \ { 5}, R f = R \ { 6}, D f = R \ { 6}, R f = R \ { 5}, f(x) = x + 6 5 (d) D f = R, R f =], [, D f =], [, R f = R, f(x) = log (x ) + 7 (e) D f =]5, [, R f = R, D f = R, R f =]5, [, f(x) = 5x 6 + 0 (f) D f = R, R f = [, [ de így nem invertálható. D f = [, [, R f = [, [, D f = [, [, R f = [, [, f(x) = x +
(g) D f = R \ {}, R f = R \ {}, D f = R \ {}, R f = R \ {}, f(x) = x + (h) D f = [ ; ] = R f, R f = [0; π] = D f, f(x) = ( ( ) ) x π sin + (i) D f = R = R f, R f = [ π ( ; 0] = D f, f(x) = tg x + π ) + (j) D f = R, R f = [ ; ] de így nem invertálható. Leszűkítés pl.: D f = [π; 5π] = R f, R f = [ ; ] = D f, f(x) = arccos(x + ) + π (5) Páros, páraltlan vagy egyik sem az alábbi függvény: (a) f(x) = e x x, f( x) = e x x azaz egyik sem. (b) f(x) = e x sin x, f( x) = e x sin x, azaz páratlan. (c) f(x) = x + cos x +, f( x) = x + cos x +, azaz páros.
III. feladatsor () Adja meg az a n = 5n n + sorozat következő elemeit: a =, a = 9 5, a n+ = 5n + n +, a n = () Vizsgálja meg az alábbi sorozatokat monotonitás és korlátosság szempontjából: (a) Szigorúan monoton csökkenő, K = a = 5 k = a n = 0. (b) Szigorúan monoton nő, k = a = K = a n = (c) Se nem csökken, se nem nő. K = k =, a n = 0 5n 6 n 5. (d) A harmadik tagtól kezdve szigorúan monoton csökkenő. K = a = 7 k = a = 0, a n = () Adottak az alábbi konvergens sorozatok. Adja meg a határértéket, és azt a küszöbindexet, amelynél nagyobb indexű tagjai a sorozatnak ε = -nál kisebb hibával közelítik a határértéket! 00 (a) a n =, n 0 = 00 (b) a n =, n 0 = 96 (c) a n =, n 0 = (d) a n =, n 0 = 80 () Határozza meg az alábbi nevezetes sorozatok határértéket: (a) a n = (b) a n = 0 (c) a n = (d) a n = (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = e (h) a n = (i) a n = 0 (j) a n = (k) a n = 0 (l) a n = (5) A nevezetes sorozathatárértékek ismeretével és a műveletekre vonatkozó tételek segítségével határozza meg mely sorozatok konvergensek és mi a határértékük! (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = (6) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 7 9 (e) a n = 0 (g) a n = (i) a n = (b) a n = 5 (d) a n = 0 (f) a n = 0 (h) a n = (j) a n = 7 (l) a n = (k) a n = 7 (7) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = 5 (c) a n = 5 6 (e) a n = (k) a n = 5 (b) a n = (d) a n = 0 (f) a n = (l) a n = (8) Határozza meg a következő sorozatok határértékét: (a) a n = (b) a n = (c) a n = (d) a n = 0 (e) a n = (f) a n = 0 (g) a n = (h) a n = (9) Határozza meg a következő sorozatok határértékét:
(a) a n = e (c) a n = (e) a n = e (g) a n = e (i) a n = e (k) a n = 0 (m) a n = (o) a n = (q) a n = 0 (s) a n = (b) a n = e (d) a n = (f) a n = e (h) a n = e (j) a n = e 7 (l) a n = 0 (n) a n = (p) a n = e (r) a n = e (t) a n = 0
IV. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvényhatárértékeket a függvény grafikonjának ismeretében: (a) x + x = +, x x = (b) x + x = 0, = 0, nem létezik x x x 0 x (c) x + x = 0, = 0, x x x 0 x = + (d) x nem létezik, x = 0 x 0 x 0 + (e) x + x =, x x = 0 ( ) x ( ) x (f) = 0, = + x + x (g) lg x nem létezik, lg x =, x 0 + (h) log x 0 (i) (j) (k) x + x 0 lg x = + x + x nem létezik, log x = +, log x 0 + x + x = sin x nem létezik, sin x nem létezik x tg x = + x π arcsin x = π x +, arcsin x nem létezik, x (l) arctg x = π x +, arctg x = π x (m) arccos x = π, arccos x nem létezik x + x (n) arcctg x = 0, arcctg x = π x + x (o) (p) (q) f(x) = x arcsin x = π { x + ha x x ha x < f(x) =, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = 8 x + x x x f(x) = { x ha x < x ha x f(x) = +, f(x) = +, f(x) nem létezik, f(x) = x + x 0 x x 9 {( ) x f(x) = ha x x ha x < ( f(x) = 0, f(x) =, f(x) = x x x 0, f(x) = x 0 () Határozza meg az alábbi függvények x 0 -beli határértékét: (a) (b) (c) x x f(x) =, x f(x) = f(x) =, x f(x) = f(x) = x, f(x) = x (d) f(x) = 7 x, f(x) = 7 x (e) f(x) = 0, f(x) = 0 x x (f) f(x) =, f(x) = x x (g) (h) f(x) =, f(x) =, f(x) = 5 x x x, f(x) =, f(x) nem létezik x 0 x f(x) = 0, f(x) = 0, f(x) nem létezik, f(x) = x x x 0 x, f(x) = x, f(x) nem létezik x (i) f(x) = x 0, f(x) = 0, f(x) =, f(x) nem létezik x x x (j) f(x) = nem létezik, f(x) = 0 x x (k) f(x) = 0, f(x) = 0 x x 0 (l) f(x) =, f(x) = x x (m) x 0 f(x) =, x f(x) = 0 )
(n) f(x) =, f(x) = x x () Határozza meg az alábbi határértékeket: (a) x 0 x 5 x 5 + x = 5 sin(x) (c) = x 0 x sin 5x (e) x 0 sin 7x = 5 7 e 5x (g) = 5 x 0 7x 7 (b) x 0 x x + x = sin 5x (d) x 0 7x = 5 7 tg 5x (f) x 0 x = 5 e x (h) x 0 sin(x) = ( e x arctg x 0 x ) (i) e x = (j) = π x ( (k) ) 5x ( ) x+ = e 5 x + (l) = e x x + x x + 6 ( ) x+ ( ) x x + (m) = e 5x (n) = e 7 5 x x + x 5x + 7 ( ) x+ ( ) x x + x + 5 (o) = 0 (p) = 0 x x + x 7x ( ) x+ ( ) x x + 5x + (q) = (r) = x x x x + ( x ) x+ ( ) x + x + (s) x x = (t) = x x ( x ) x + + ( x (u) x x = e + x + 0 (v) x x + 0 (w) e x = (x) e x = 0 x 0+ ( ) x 0 (y) arctg = π ( (z) x + x arcsin ) = π x x ) x+ = e
V. feladatsor () Adja meg az x 0 helyhez tartozó differenciahányados függvényt, a differenciálhányados értékét a definíció alapján: (a) f(x) = 5, x 0 =, x 0 = d (x) = 5 5 x = 0 f () = 0 d (x) = 5 5 x + = 0 f ( ) = 0 (b) f(x) = x, x 0 =, x 0 = d (x) = x + x x = x f () = d (x) = x + = x f ( ) = (c) f(x) = x + x, x 0 =, x 0 =, x 0 = x 0 = -ban a függvény nincs értelmezve. x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + x + x x d (x) = = + = + f () = + x x x + () Adja meg az alábbi függvények szelő egyeneseinek egyenletét, valamint az érintő egyenesek egyenletét: (a) f(x) = x +, P (0, ), P (, 5) e : y =, e : y = 8x, sz : y = x + (b) f(x) = x, P (, ), P (, ) e : y = x +, e : y = 9 x, sz : y = 6 x + 6 () Határozza meg az alábbi függvények deriváltfüggvényeit: (a) f (x) = 5 x x x (b) f (x) = ( ) x ln cos x (c) f (x) = 6x + x ln (d) f (x) = x + sin x 5 x (e) f (x) = cos x tg x + sin cos x (f) f (x) = e x ln x + e x x (g) f (x) = x ln 0 arcsin x + lg x x (h) f (x) = x lg x + x x ln 0 (i) f (x) = 0x arctg x + x 5 + x (j) f (x) = sin x + ln x cos x x (k) f (x) = cos x (l) f (x) = sin x (m) f (x) = ex sin x e x cos x sin x (n) f cos (x) = x ln x tg x x ln x (o) f (x) = (x ln x )(x + ) ( x x ) (x + ) (p) f (x) = x sin x ( x + 5) cos x 9 sin x (q) f (x) = sin x (ex + ) cgtx e x (e x + ) (r) f (x) = cos(x ) x (s) f (x) = (sin x) cos x (t) f (x) = x + x (u) f (x) = e x x + (x + x( ) (v) f (x) = e tg x ln(x +cos x) ln(x ) + cos x) x sin x cos + tg x x + cos x (w) f (x) = x x (ln x + )
(x) f (x) = (sin x) cos x ( cos x cos x ln(sin x) sin x) ( ) sin x( x + (y) f (x) = cos x + x (x + ) ( x + x ) ) x + ( x ln + x) ( x + x ) (z) f (x) = (x + ) arctg x ( x x + arctg x + ln(x + ) + x (aa) r (ϕ) = ϕ ln ln ϕ + ϕ ϕ (ab) V (t) = 6t 5 cos(t) t 6 sin(t) (ac) h (t) = p 5 +, p valós paraméter (ad) h (p) = t5 p 7p 6, t valós paraméter (ae) f (x) = sin x ( x + x ) x+ + ctg x ( ( x + x ) x+ x + x ln (x + ) + ln( ) x + x ) x + x () Határozza meg az alábbi határértékeket: arcsin(5x) = 5 x + x 0 x x x + x + = ln(x)) = 0 x 0 +(x x 0 xx = ( + + x ( = e x x) x + x ) = ( x sin x ln x x 0 x sin x = 0 x 0 + x ) = 0 sin x x x = e cos x x x 0 x = ln x x x = arctan x = x 0 x x x x = x 0 x 0+ x)x = x 0 +(ctg x) x = 5x x ln x = x 0+ (ex + x) x = e x ln(x + )) = ln x tg x = 0 x 0+ (5) Írja fel az alábbi f(x) függvények m meredekségű érintőinek egyenletét: (a) x =, e : y = 6x + 5, x =, e : y = 6x + (b) x = 5, e : y = 0x + 6, x = 7, e : y = 0x + 7 (c) x =, e : y = 6 x + 0, 68, x =, e : y = x 0, 59 6 (6) Hol növekvő, hol csökkenő, hol van lokális szélsőértéke és milyen a szélsőérték jellege az f(x) függvénynek, ha a derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) - 0 + 0 + f(x) lok. min. - (b) f (x) = (x + 5) (x ) x ] ; 5[ 5 ] 5; [ ]; [ ], [ f (x) + 0 + 0 - X + f(x) - lok. max. - (c) f (x) = ln x (x ) (x 5) (x + )(x ) ]0; [ ]; [ ]; [ ],5[ 5 ], [ f (x) - 0 + 0 + X - 0 + f(x) lok. min. - - lok. min. (7) Hol konvex, hol konkáv, hol van inflexiós pontja az f(x) függvénynek, ha a második derivált függvénye az alábbi: (a) f (x) = (x + )(x ) ] ; [ ] ; [ ], [ f (x) - 0 + 0 + f(x) infl. pont - (b) f (x) = (x + ) (x ) x + ] ; [ ] ; [ - ] ; [ ], [ f (x) + 0 - X + 0 + f(x) infl. pont - - x(x ) (c) f (x) = (x ) (x ) x 0 ]0; [ ]; [ ]; [ ], [ f (x) 0 + X + X - 0 + f(x) - - - infl. pont )
(8) Végezzen teljes függvényvizsgálatot az alábbi függvényeken: (a). D f = R. zérushelye van a, 0, pontokban. páratlan, f(0) = 0. x f(x) =, x f(x) =. 5. f (x) = x, a derivált zérushelyei (lehetséges lokális szélsőértékhelyek):,. 6. x ], [ ], [ ], [ f (x) 0 + 0 f(x) lok. min. lok. max f( ) = f() = 7. f (x) = 6x, a második derivált zérushelyei (lehetséges inflexiós pontok): 0. 8. 0. R f = R. (b). D g = R.. nincs zérushelye.. páros, f(0) =. x 5. g (x) = x 6. g(x) = x g(x) = 0. x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) inflexiós pont konvex f(0) = 0 konkáv ( + x, a derivált zérushelye az x = 0. ) x ], 0[ 0 ]0, [ f (x) + 0 f(x) lok. max. f(0) = 7. g (x) = (x ) ( + x ), a második derivált zérushelyei az x = /, / pontok. x ], / [ / ] /, / [ / ]/, [ f (x) + 0 0 + f(x) inflexiós pont inflexiós pont konvex f ( ) = konkáv f ( ) = konvex 0. R g =]0; ] (c) h(x) = x + x. A h függvény mindenhol értelmezett, kivéve az x = 0 pontot. D h = R \ {0}.. Zérushely: x =.. h( x) = x x, nem páros, nem páratlan. h(0) nincs értelmezve.. h(x) =, h(x) =, h(x) =, h(x) = x vv x x 0 x 0+ 5. h (x) = 8x x. h (x) = 0 akkor, ha x =. 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ h (x) X 0 + h(x) lok. min. h( ) = 7. h (x) = 8 + x, h (x) = 0, ha x = 8. 0. R h = R
x ], [ ], 0[ 0 ]0, [ h (x) + 0 X + h(x) inflexiós pont h( ) = 0 (d) i(x) = x x +. D i = R.. Zérushely x = 0.. i( x) = x x + = i(x) azaz a függvény páros, i(0) = 0. i(x) =, i(x) =. x x 5. i (x) = 8x (x +), i (x) = 0, ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ i (x) 0 + i(x) lok. min. i(0) = 0 7. i (x) = 8( x ) (x +), i (x) = 0 ha x =, x = 8. x ], [ ], [ ], [ i (x) 0 + 0 i(x) inflexiós pont inflexiós pont i( ) = i( ) = 0. R i = [0; [ (e) j(x) = x e x. D j = R. Zérushely: x = 0. j( x) = x e x nem páros, nem páratlan. j(0) = 0.. x j(x) =, x j(x) = 0 5. j (x) = e x (x x ), j (x) = 0 ha x = 0, x = 6. x ], 0[ 0 ]0, [ ], [ j (x) 0 + 0 j(x) lok. min. lok. max. j(0) = 0 j() = e 7. j (x) = e x (x x + ), j (x) = 0, ha x =, x = +. 8. x ], [ ], + [ + ] +, [ j (x) + 0 0 + j(x) inflexiós pont inflexiós pont j( ) 0, 9 j( + ) 0, 8 0. R j =]0, [ (f) k(x) = x lg(x). D k =]0; [. Zérushely: x =. nem páros, nem páratlan, ui. negatív x-re nincs értelmezve. k(0) szintén nincs értelmezve.. k(x) = 0, k(x) = x 0 + x 5. k (x) = lg x + ln 0, k (x) = 0 ha x = e 6. 7. k (x) = x ln 0, k (x)-nek nincs zérushelye 8. 0. R k =] 0, 6, [
x ]0, e [ e ] e, [ k (x) 0 + k(x) lok. min. k( e ) = 0, 6 x ]0, [ k (x) + k(x) (g) l(x) = ln(x + ). D l = R. Zérushely nincs.. l( x) = ln(x + ) = l(x) páros, l(0) = ln.. x l(x) =, x l(x) = 5. l (x) = x x +, l (x) = 0 ha x = 0 6. x ], 0[ 0 ]0, [ l (x) 0 + l(x) lok. min. l(0) = ln 7. l (x) = 8 x (x +), l (x) = 0, ha x =, x =. 8. x ], ] ; ]; [ l (x) 0 + 0 l(x) inflexiós pont inflexiós pont l( ) = ln 8 l( ) = ln 8 0. R l = [ln, [ (h) m(x) = ln(x ). D m =] ; [ ]; [. Zérushely: x =, x =.. m( x) = ln(x ) = m(x) páros, m(0) nincs értelmezve. m(x) =, m(x) = m(x) =, m(x) = x x x x + 5. m (x) = x x, m (x) = 0 ha x = 0, de ez nem része az értelmezési tartománynak 6. x ], [ ], [ m (x) + m(x) 7. m (x) = x (x ), m (x), seholsem nulla. 8. x ], [ ], [ m (x) m(x) 0. R m = R (9) Határozza meg az alábbi függvények x 0 küröli n-ed fokú Taylor poonját! (a) T f,0, (x) = + x x + x + x T f,, (x) = + (x ) + 7(x ) + 5(x ) (x ) = + x x + x + x (b) T f,0, (x) = e ex + ex ex T f,0, (x) = e ex + ex ex + ex ( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( x )
( T f,, (x) = x ) ( + x ) ( e x ) + ( e x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) T f,, (x) = e e (x ) + e (x ) e (x ) + e (x ) (c) T f,0, (x) = ln + x 8 x + x T f,, (x) = x + (x + ) + (x + )
VI. feladatsor () Az alapfüggvények integrálja segítségével határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) dx = x9/ ln x + x + C (b) f(x) dx = ln x x 9/ + C (c) f(x) dx = e x + cos x + tg x + C (d) f(x) dx = arcsin x + C (e) f(x) dx = arctg x + x + C (f) f(x) dx = 5x ln 5 x6 + ln x + x + C 6 (g) f(x) dx = sin x + ctg x + C (h) f(x) dx = 7 ln x + x x + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: ( 7x) ln x + (a) f(x) dx = + C (b) f(x) dx = + C 7 (c) f(x) dx = e x + C (d) cos(5 x) f(x) dx = + C ctg (x + ) arctg (x + ) (e) f(x) dx = + C (f) f(x) dx = + C (5x+) / arcsin(5x + ) / (g) f(x) dx = + C (h) f(x) dx = + C 5 5 () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = cos6 x + C (b) f(x) dx = ( + x ) / + C 6 / (c) f(x) dx = (x + ) / + C (d) f(x) dx = tg x + C / (e) f(x) dx = (x ) 6/5 + C (f) f(x) dx = arctg 5/ x + C 6/5 5/ (g) f(x) dx = ln5 x + C (h) f(x) dx = 5 arccos x + C (i) f(x) dx = sin x + C (j) f(x) dx = (x + x) + C () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = ln x + + C (b) f(x) dx = 7 ln x + C (c) f(x) dx = 5 ln + x + C (d) f(x) dx = ln + sin x + C (e) f(x) dx = ln 5 + e x + C (f) f(x) dx = ln arctg x + C (5) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját helyettesítéssel: (a) f(x) dx = e +sin x + C (b) f(x) dx = e x + C (c) f(x) dx = ( ) 5 sin(5 x) + C (d) f(x) dx = cos + C (6) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját parciális integrálással: (a) f(x) dx = (x 5) sin x + cos x + C (b) f(x) dx = (x ) cos x + x sin x + cos x + C (c) f(x) dx = (x + ) ex ex + C (d) f(x) dx = x e x e x + C (e) f(x) dx = 5 sin(x)e x 5 cos(x)e x + C (f) f(x) dx = x arcsin x + x + C ( ) x (g) f(x) dx = x + x ln x x 9 + x x + C (h) f(x) dx = x ln x x + C (i) f(x) dx = xarctg x ln + x + C (j) f(x) dx = x arctg x x + arctg x + C (k) f(x) dx = cos(x + )ex + sin(x + )ex + C ( ) ( ) x (l) f(x) dx = ln x + x x + x ln x 9 + x + x + 7 x + x + x + C (7) Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: x
(a) ) + C (b) f(x) dx = ( x arctg f(x) dx = arctg (x + C) ( (c) f(x) dx = ( ) 5/x ) 0 arctg 5 x + C (d) f(x) dx = arctg + C 5/ (e) f(x) dx = ( ) x + arctg + C (f) f(x) dx = ( ) x arctg + C (g) f(x) dx = arcsin(x ) + C (h) f(x) dx = arcsin(x ) + C (i) f(x) dx = arcsin(x + ) + C (j) f(x) dx = arcsin(x ) + C
VII. feladatsor () Határozza meg az alábbi határozott integrálok értékét: 7 (a) dx = ln x (b) 8 x + dx = (c) e (d) ln x dx = (e) x + 8x + 0 dx = π (f) 8 () Határozza meg a területeket, ha: (a) (b) 6 0 f(x) dx = ln f(x) dx = e + (c) f(x) dx = 6 () Határozza meg a két görbe által közrezárt területet! (a) T =, 5 (b) T =, 5 (c) T = () Határozza meg az f(x) és az x tengely által közbezárt területet! (a) T = 5 6 (b) T = 5 6 (c) T = 5 ln (5) Határozza meg alábbi fügvények ívhosszát! (a) s f = 0 π 0 x + x dx = 0 sin x dx = (b) s f = π (c) s f = 7 (6) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest térfogatát! (a) V = π (b) V = π ln (c) V = π ( ) e (d) V = π + e, 5 ( e ) + (e) V = π 9 (f) V = π (7) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest palástjának felszínét! (a) A = π (b) A = π ( 5 / 8 / ) (8) Határozza meg alábbi fügvények x tengely körüli megforgatásával keletkezett forgástest teljes felszínét! (a) A = π ( ) 5 / (b) A = 6π + π 8 /
VIII. feladatsor () y = + e x x + y = x + x + e x = + e x () () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = sin x + x + C, y p = sin x + x + 5 y y + y + x = e x + e x (e x + e x + ) + (e x + e x + x) + x = e x + e x 9e x 6e x + 6e x + e x + x + x = 0 (b) y = x + x/ / + x + C, y p = x + x/ / + x + 0 () Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = x + Cx e x ( ) x (b) y = + C e x ( ) (c) y = ln(x + ) + C (x + ) (d) y = + Cex (5) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C x +, y p = x + (b) y = Ce x (c) y = ( + Cx ) (d) y = ln e x + C (e) y = C(x + ), yp = (x + ) (f) y = tg (x + C) x (g) y = C( + x ) (h) y = C(x ) (6) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket (a) y = C e x + C e x (b) y = C e x + C xe x (c) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) (d) y = C + C e x (e) y = C sin( 5x) + C cos( 5x) (f) y = C e x + C e x (g) y = e x (C sin(5x) + C cos(5x)) + 5 cos(x) sin(x) + e x (h) y = C e x + C e x + x 6 5x 8 + 9 08 (i) y h = C e x + C e x, y p = x + 9, y = y h + y p = C e x + C e x + x + 9 (j) y = C e 5x + C e ( x) + cos(x) + sin(x) (k) y = C e x + C e x + x x 8 (l) y = C e x + C xe x + sin(x) (m) y = C e 5x + C xe 5x + e x e x (n) y = e x (C sin(x) + C cos(x)) + x + ( ) ( )) x x (o) y = e (C x/ sin + C cos + e x + x (7) Oldja meg az alábbi differenciálegyenleteket Rez (a) y = C e x + C + ex (6x ) (b) y = C e x + C e x (x + 6x + ) (c) y = C e x + C xe x + 5x e x (d) y = C sin(x) + C cos(x) + x( + cos(x))