FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK

FONTOSABB MATEMATIKAI JELEK, JELÖLÉSEK. táblázat Szimbólum Jeletése, eve Olvasása Példa N N + Z Q Q * R C 0, { } +, % " $ Œ Ã, Õ» «\ +,, * :,, / = π := < > ª @ ~ Természetes számok halmaza Pozitív egész számok halmaza Egész számok halmaza Racioális számok halmaza Irracioális számok halmaza Valós számok halmaza Komplex számok halmaza Üres halmaz Pozitív szám elõjele Negatív szám elõjele, szám elletettjéek a jele Abszolútérték-jel Tizedesvesszõ Felsorolás folytatása Százalék Ezrelék Uiverzális kvator Egziszteciális kvator Végtele Eleméek lei Részhalmazkapcsolat Egyesítés Közös rész Külöbség Direkt (Descartes-féle) szorzat Összeadás Kivoás Szorzás Osztás Oszthatósági jel Gyökvoás Egyelõség Egyelõség tagadása Defiiáló egyelõség Kisebb Kisebb vagy egyelõ Nagyobb Nagyobb vagy egyelõ Közelítõleg egyelõ Egybevágóság Hasolóság plusz míusz abszolút érték és így tovább százalék ezrelék mide va olya végtele eleme -ak részhalmaza uió metszet míusz kereszt plusz, meg míusz, -ból szor per, -ba osztója -edik gyök egyelõ em egyelõ legye egyelõ kisebb mit legfeljebb agyobb mit legalább körülbelül egybevágó hasoló +5 5 x 3,75, 2, 3, 5% 7 " $ x x Œ H A à B A» B A «B A \ B A B 5 + 6 3 7 3 5 5 : 3 3 8 a a = b a π b a := 2b < 3 x 0 2 > 3 x 3 π ª 3,4 ABC D @ PQR D ABC D ~ PQR D 5

^ ÿ Ÿ fi º π! Illeszkedés Párhuzamosság Merõlegesség Negáció (tagadás) Kojukció Diszjukció Ativalecia, kizáró vagy Implikáció Ekvivalecia Háromszög Szögmértékek Ludolf-féle szám Faktoriális illeszkedik párhuzamos merõleges em és vagy vagy vagy ha akkor -bõl következik ekvivales, akkor és csak akkor fok, perc, másodperc pí faktoriális e f e f e ^ f ÿp P Ÿ Q P Q P Q P fi Q P Q ABC D 45º5 27 3! = 2 3 Ë k Σ Π Biomiális együttható Összegezés Szorzás alatt a k szumma produktum Âa i i = a i i = lim Határérték limesz lim a Æ Ú Itegrál itegrál Ú f( x ) dx A GÖRÖG ABÉCÉ BETÛI Α Β Γ Ε Ζ Η Θ α β γ δ ε ζ η œ alfa béta gamma delta epszilo zéta éta théta Ι Κ Λ Μ Ν Ξ Ο Π ι κ λ µ ν ξ ο π ióta kappa lambda mû û kszi omikro pí Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω ρ σ τ υ φ χ ψ ω ró szigma tau üpszilo fi khi pszi omega 2. táblázat 6

ELÔTAGOK (PREFIXUMOK) 3. táblázat elôtag jele eve értéke yottazettaexapetateragigamegakilohektodeka- decicetimillimikroaopicofemtoattozeptoyocto- Y Z E P T G M k h da d c m µ p f a z y kvadrillió ezertrillió trillió ezerbillió billió milliárd millió ezer száz tíz egy tized század ezred milliomod ezermilliomod billiomod ezerbilliomod trilliomod ezertrilliomod kvadrilliomod 000 000 000 000 000 000 000 000 = 0 24 000 000 000 000 000 000 000 = 0 2 000 000 000 000 000 000 = 0 8 000 000 000 000 000 = 0 5 000 000 000 000 = 0 2 000 000 000 = 0 9 000 000 = 0 6 000 = 0 3 00 = 0 2 0 = 0 = 0 0 0, = 0 0,0 = 0 2 0,00 = 0 3 0,000 00 = 0 6 0,000 000 00 = 0 9 0,000 000 000 00 = 0 2 0,000 000 000 000 00 = 0 5 0,000 000 000 000 000 00 = 0 8 0,000 000 000 000 000 000 00 = 0 2 0,000 000 000 000 000 000 000 00 = 0 24 7

GONDOLKODÁSI MÛVELETEK HALMAZELMÉLET FOGALMAK, JELÖLÉSEK A halmazok jelölésére általába az ábécé agybetûit, a halmaz elemeiek a jelölésére pedig az ábécé kisbetûit haszáljuk. a Œ H azt jelöli, hogy az a betûvel jelölt dolog eleme a H betûvel jelölt halmazak. a œ H azt jelöli, hogy az a betûvel jelölt dolog em eleme a H betûvel jelölt halmazak. {a, a 2,, a } azt a véges halmazt jelöli, melyek elemei a, a 2,, a. H := {a Œ A Ω t (a) } ez a jelölés azt fejezi ki, hogy a t tulajdosággal redelkezõ a Œ A dolgok halmazát H-val jelöljük. A = B az A és a B halmazok egyelõségét jelöli. Két halmaz akkor és csak akkor egyelõ, ha elemeik megegyezek. Ha A à B és B à A, akkor A = B. H jelöli a H véges halmaz elemeiek a számát (számosságát). { } vagy 0 az üres halmaz jelölése. Azt a halmazt, amelyek egyetle eleme sics, üres halmazak evezzük. 0 = 0 HALMAZ RÉSZHALMAZA Akkor modjuk, hogy egy A halmaz részhalmaza egy B halmazak, ha A mide eleme B-ek is eleme. Jelölés: B A à B vagy B A A 0 ÃA Az üres halmaz mide halmazak részhalmaza. A à A Mide halmaz részhalmaza ömagáak. MÛVELETEK HALMAZOKKAL Halmazok uiója (egyesítése) Az A és a B halmazok uiója (egyesítése) azokak az elemekek a halmaza, amelyek A és B közül legalább az egyikhez hozzátartozak. A B Jelölés: A» B A» B A» B := {x Ω x Œ A vagy x Œ B} 8

Halmazok metszete (közös része) Az A és a B halmazok metszete (közös része) azokak az elemekek a halmaza, amelyek A-hoz is és B-hez is hozzátartozak. A B Jelölés: A «B A «B A «B := {x Ω x Œ A és x Œ B} Két halmaz külöbsége Az A és B halmazok külöbséghalmazá azokak az elemekek a halmazát értjük, amelyek A-hoz hozzátartozak, de B-hez em. A B Jelölés: A \ B A \ B A \ B := {x Ω x Œ A és x œ B} Két halmaz szimmetrikus külöbsége Az A és B halmazok szimmetrikus külöbségé az (A \ B)» (B \ A) halmazt értjük. Jelölés: A B A B Részhalmaz kiegészítõ (komplemeter) halmaza Legye adott a H halmaz (alaphalmaz) és eek egy A részhalmaza. H azo elemeiek a halmazát, amelyek em elemei A-ak, az A halmaz H-ra voatkozó kiegészítõ (komplemeter) halmazáak evezzük. Jelölés: A A := {x Ω x Œ H és x œ A} H A A Két halmaz Descartes-féle (direkt-) szorzata Azokak a redezett párokak a halmazát, amelyekek az elsõ kompoese az A-ak, második kompoese pedig a B-ek eleme, az A és B halmazok Descartes-féle (direkt-) szorzatáak evezzük. Jelölés: A B A B := {(x, y) Ω x Œ A és y Œ B} Ha A = és B = m akkor A x B = m LOGIKAI SZITA FORMULA KETTÕ, ILLETVE HÁROM HALMAZ ESETÉN Ha A, B, C a H alaphalmaz részhalmazait jelöli, akkor A» B = A + B A «B H \ (A» B) = H A B + A «B A» B» C = A + B + C A «B A «C B «C + A «B «C H \ (A» B» C) = H A B C + A «B + A «C + B «C A «B «C 9

HALMAZMÛVELETI AZONOSSÁGOK A» B = B» A és A «B = B «A A» (B» C) = (A» B)» C és A «(B «C) = (A «B) «C A» A = A és A «A = A A» 0 = A és A «0 = 0 A» (B «C) = (A» B) «(A» C) és A «(B» C) = (A «B)» (A «C) A (B» C) = (A B)» (A C) A (B «C) = (A B) «(A C) A (B \ C) = (A B) \ (A C) A komplemeter halmazokra voatkozó azoosságok: (A ) = A De Morga azoosságok: (A» B) = A «B és (A «B) = A» B LOGIKA FOGALMAK, JELÖLÉSEK Azokat a kifejezéseket, amelyekrõl egyértelmûe megállapítható, hogy igazak vagy hamisak, kijeletések (állításak) evezzük. Egy kijeletés (állítás) logikai értéke lehet igaz vagy hamis. Jelölések: P, Q, R, kijeletések (állítások) i igaz logikai érték h hamis logikai érték LOGIKAI MÛVELETEK ÉS ÉRTÉKTÁBLÁZATAIK Negáció (em) P egáltja: ÿp P ÿp i h h i Diszjukció (vagy) P és Q diszjukciója: P Q P Q P Q i i i i h i h i i h h h 0

Ativalecia (kizáró vagy) P ativales Q-val: P Q P Q P Q i i h i h i h i i h h h Kojukció (és) P és Q kojukciója: P Ÿ Q P Q P Ÿ Q i i i i h h h i h h h h Implikáció (ha, akkor) P implikálja Q-t: P fi Q (Modhatjuk még: P elégséges feltétele Q-ak, vagy Q szükséges feltétele P-ek) P Q P fi Q i i i i h h h i i h h i Ekvivalecia (akkor és csak akkor) P ekvivales Q-val: P Q (Modhatjuk még: P akkor és csak akkor, ha Q; vagy Q akkor és csak akkor, ha P; vagy P potosa akkor, ha Q) P Q P Q i i i i h h h i h h h i MÛVELETI AZONOSSÁGOK ÿ(ÿp) = P P Q = Q P és P Ÿ Q = Q Ÿ P (P Q) R = P (Q R) és (P Ÿ Q) Ÿ R = P Ÿ (Q Ÿ R) P (Q Ÿ R) = (P Q) Ÿ (P R) és P Ÿ (Q R) = (P Ÿ Q) (P Ÿ R) ÿ(p Q) = ÿp Ÿ ÿq és ÿ(p Ÿ Q) = ÿp ÿq P fi Q = ÿp Q P Q = (ÿp Q) Ÿ (P ÿq) ÿ(p fi Q) = P Ÿ ÿq

GYAKRAN HASZNÁLT KÖVETKEZTETÉSI SÉMÁK P fi Q P fi Q P fi Q P ÿq Q fi R ; ; Q ÿp P fi R KOMBINATORIKA PERMUTÁCIÓ Ismétlés élküli permutáció külöbözõ elemet kell az összes lehetséges módo sorba redezi. A külöbözõ elredezések száma: P = ( ) 2 =! Értelmezés szerit: P 0 = 0! = Ismétléses permutáció olya elemet kell az összes lehetséges módo sorba redezi, amelyek között ismétlõdõ elemek is vaak. Ha az ismétlõdések száma k, k 2,, k r ;(k + k 2 + + k r ), akkor a külöbözõ elredezések száma: k, k 2, k P, r! = k! k! k! 2 r Ciklikus permutáció külöbözõ elemet kell az összes lehetséges módo egy kör meté sorba redezi. A külöbözõ elredezések száma: P, ciklikus = ( )! KOMBINÁCIÓ Ismétlés élküli kombiáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet csak egyszer választhatuk ki, a sorred em számít, vagyis ha ugyaazokat az elemeket más sorredbe választjuk ki, az ugyaaak a kiválasztásak számít. A külöbözõ kiválasztások száma: k+ C k ( ) ( )! = = = Ê k k k Ë!! ( )! k Ismétléses kombiáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet többször is kiválaszthatuk, a sorred em számít. A külöbözõ kiválasztások száma: 2 +k C k,i = Ê Ë Á ˆ k

VARIÁCIÓ Ismétlés élküli variáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet csak egyszer választhatuk ki, a sorred számít, vagyis ha ugyaazokat az elemeket más sorredbe választjuk ki, az más kiválasztásak számít. A külöbözõ kiválasztások száma: V k! = ( ) ( k+ ) = ( k)! Ismétléses variáció külöbözõ elem közül k elemet kell kiválasztai. Egy elemet többször is kiválaszthatuk, a sorred számít. A külöbözõ kiválasztások száma: V ki, = k FAKTORIÁLISOK ÉRTÉKEI! értékei = 0,, 2,, 50 0! =! = 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 20!! 4. táblázat! 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 720 5 040 40 320 362 880 3 628 800 39 96 800 479 00 600 6 227 020 800 87 78 29 200 307 674 368 000 20 922 789 888 000 355 687 428 096 000 6 402 373 705 728 000 2 645 00 408 832 000 2 432 902 008 76 640 000 2 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3 32 33 34 35 5,0909 0 9,2400 0 2 2,58520 0 22 6,20448 0 23,552 0 25 4,0329 0 26,08889 0 28 3,04888 0 29 8,8476 0 30 2,65253 0 32 8,22284 0 33 2,633 0 35 8,68332 0 36 2,95233 0 38,0333 0 40 36 37 38 39 40 4 42 43 44 45 46 47 48 49 50 3,7993 0 4,37638 0 43 5,23023 0 44 2,03979 0 46 8,595 0 47 3,34525 0 49,4050 0 5 6,0453 0 52 2,65827 0 54,9622 0 56 5,50262 0 57 2,58623 0 59,2439 0 6 6,08282 0 62 3,044 0 64 3

BINOMIÁLIS EGYÜTTHATÓK Á ˆ! = Ë k k! ( -k)! 0 k, 0! = A biomiális együtthatók éháy tulajdosága: = Ê Ë0 Ë = Á ˆ Ê ˆ = Á Ë k Ë - k + ˆ Á = Ê Ë k + Ë Á ˆ Ê ˆ + Á k Ë k + + Ê 2 Ë0 Ë + Ê Ë +º+ Ê 2 Ë = - Ê Ë0 Ë Á ˆ + Ê Ë Á ˆ +º+ (-) = 0 2 Ë BINOMIÁLIS TÉTEL ( a + b) = Ê a a b ab b Ë + Ê Ë Á ˆ - Ê ˆ +º+ - Á + Ê Ë - Ë = 0 Â k = 0 Ë k a b -k k 4

BINOMIÁLIS EGYÜTTHATÓK ÉRTÉKEI 5. táblázat Ë0 Ë Ë2 Ë3 Ë 4 Ë5 Ë6 Ë7 Ë8 Ë9 Ê ˆ Á Ë0 2 3 4 5 2 3 4 5 3 6 0 4 0 5 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 5 2 28 36 45 20 35 56 84 20 5 35 70 26 20 6 2 56 26 252 7 28 84 20 8 36 20 9 45 0 2 3 4 5 2 3 4 5 55 66 78 9 05 65 220 286 364 455 330 495 75 00 365 462 792 287 2 002 3 003 462 924 76 3 003 5 005 330 792 76 3 432 6 435 65 495 287 3 003 6 435 55 220 75 2 002 5 005 66 286 00 3 003 6 7 8 9 20 6 7 8 9 20 20 36 53 7 90 560 680 86 969 40 820 2 380 3 060 3 876 4 845 4 368 6 88 8 568 628 5 504 8 008 2 376 8 564 27 32 38 760 440 9 448 3 824 50 388 77 520 2 870 24 30 43 758 75 582 25 970 440 24 30 48 620 92 378 67 960 8 008 9 448 43 758 92 378 84 756 Ë0 Ë Ë2 Ë3 Ë 4 Ë5 Ë6 Ë7 Ë8 Ë9 Ê ˆ Á Ë0 5

SZÁMELMÉLET, ALGEBRA A VALÓS SZÁMOK ÁTTEKINTÉSE, SZÁMHALMAZOK TERMÉSZETES SZÁMOK N = {0,, 2,,, } Bármely természetes szám a 0-es számredszerbe = a k 0 k + a k 0 k + + a 0 + a 0 alakba írható fel, ahol 0 a 0, a,, a k 9; a k 9 egészek. EGÉSZ SZÁMOK Z = { 3, 2,, 0,, 2, 3, } RACIONÁLIS SZÁMOK Két egész szám háyadosakét felírható számokat racioális számokak evezzük. Ï p Q = Ì ŒZ π Ó q pq,, q 0 Bármely racioális szám felírható egész szám, véges tizedes tört vagy szakaszos végtele tizedes tört alakba. Megfordítva is igaz, mide véges vagy szakaszos végtele tizedes tört racioális szám. IRRACIONÁLIS SZÁMOK A em szakaszos végtele tizedes törteket és ezek elletettjeit irracioális számokak evezzük. Az irracioális számok halmazáak jele: Q *. Az irracioális számok em írhatók fel két egész szám háyadosakét. Irracioális számok például π, 2, - 3. VALÓS SZÁMOK A racioális és az irracioális számok halmazáak egyesítésekor a valós számok halmazát kapjuk. Jele: R. R = Q» Q * A SZÁMHALMAZOK KAPCSOLATA 6 N Ã Z Ã Q Ã R

AZ ALAPMÛVELETEK ELVÉGEZHETÕSÉGE A NEVEZETES SZÁMHALMAZOKON BELÜL N Z Q R 6. táblázat összeadás kivoás szorzás em midig végezhetõ el midig elvégezhetõ midig elvégezhetõ midig elvégezhetõ osztás em midig végezhetõ el a 0-val való osztás kivételével midig elvégezhetõ MÛVELETI TULAJDONSÁGOK A VALÓS SZÁMOK KÖRÉBEN Kommutativitás (felcserélhetõség) a + b = b + a ab = ba Asszociativitás (csoportosíthatóság) (a + b) + c = a + (b + c) (a b) c = a (b c) Disztributivitás a(b + c) = ab + ac Néháy egyéb tulajdoság Ha a < b, akkor a + c < b + c Ha a < b és c > 0, akkor ac < bc Ha a < b és c < 0, akkor ac > bc SZÁM RECIPROKA a π 0 eseté az a számot az a szám reciprokáak evezzük. ABSZOLÚT ÉRTÉK x = 23 x, ha x 0 x, ha x < 0 7

POZITÍV SZÁMOK NORMÁLALAKJA Bármely x > 0 szám felírható x = N 0 k alakba, ahol N < 0; k Œ Z. Az x számak ezt az alakját ormálalakak evezzük. lg N az x szám matisszája k az x szám karakterisztikája KOMPLEX SZÁMOK KOMPLEX SZÁMOK ÉS JELÖLÉSÜK A z = a + bi alakú számokat komplex számokak evezzük A komplex számok halmazát C-vel jelöljük. { } C = a + bi Ω a, b Œ R, i = - Trigoometrikus alak: a + bi = r(cosφ + isiφ) ( ) a, b Œ R, i = -. r = a 2 + b 2, tgφ = b ( a π 0 ) a Expoeciális alak: r e iφ = r(cosφ + isiφ) MÛVELETEK KOMPLEX SZÁMOKKAL z = a + b i = r (cosφ + isiφ ); z 2 = a 2 + b 2 i = r 2 (cosφ 2 + isiφ 2 ) Összeadás: z + z 2 = (a + a 2 ) + (b + b 2 )i Kivoás: z z 2 = (a a 2 ) + (b b 2 )i Szorzás: z z 2 = (a a 2 b b 2 ) + (a b 2 + a 2 b )i = r r 2 [cos(φ + φ 2 ) + i si(φ + φ 2 )] Osztás: z z 2 r = [ cos( φ - φ2) + isi( φ -φ2)], r Hatváyozás: z = r (cosφ + isiφ ) 2 Gyökvoás: Egységgyökök: z = Ê φ + 2kπ φ + 2kπ ˆ r Ácos + isi Ë k = 0,, 2,, ε k 2kπ 2kπ = = cos + isi k = 0,, 2,, 8

SZÁMELMÉLET OSZTHATÓSÁG A TERMÉSZETES SZÁMOK KÖRÉBEN Egy b természetes számot az a természetes szám osztójáak evezzük, ha létezik olya c természetes szám, melyre teljesül, hogy a = bc. Jelölés: bωa b osztója a-ak Fõbb oszthatósági szabályok ( Œ N) 2Ω ha utolsó számjegye: 0, 2, 4, 6 vagy 8 5Ω ha utolsó számjegye: 0 vagy 5 4Ω ha utolsó két számjegyébõl alkotott szám osztható 4-gyel 8Ω ha utolsó három számjegyébõl alkotott szám osztható 8-cal 3Ω ha számjegyeiek összege osztható 3-mal 9Ω ha számjegyeiek összege osztható 9-cel Ω ha számjegyeit váltakozó elõjellel összegezve -gyel osztható szám az eredméy Prímszámok Azokat a természetes számokat, amelyekek potosa két osztójuk va, prímszámokak evezzük. A számelmélet alaptétele Bármely > összetett egész szám egyértelmûe botható fel prímszámok szorzatára (a téyezôk sorredjétôl eltekitve). α α α 2 k = p p2 º p k az > pozitív egész szám prímtéyezõs felbotása, p, p 2,, p k az külöbözõ prímosztóit jelöli. Legagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös Két vagy több pozitív egész szám legagyobb közös osztójáak a vizsgált számok közös osztói közül a legagyobbat evezzük. Két vagy több pozitív egész szám legkisebb közös többszöröséek a vizsgált számok közös többszörösei közül a legkisebbet evezzük. A k és az l pozitív egész szám legagyobb közös osztójáak a jele: (k; l), a legkisebb közös többszörösükek a jele: [k; l]. Ha két pozitív egész szám legagyobb közös osztója, akkor ezeket relatív prímszámokak modjuk. 9

A 2-vel, 3-mal és 5-tel em osztható számok prímtéyezõs felbotása ( 00) 7 3 7 9 23 29 3 37 4 43 47 49 = 7 2 53 59 6 67 7 73 77 = 7 79 83 89 9 = 7 3 97 0 03 07 09 3 9 = 7 7 2 = 2 27 3 33 = 7 9 37 39 43 = 3 49 5 57 6 = 7 23 63 67 69 = 3 2 73 79 8 87 = 7 9 93 97 99 203 = 7 29 209 = 9 2 27 = 7 3 22 = 3 7 223 227 229 233 239 24 247 = 3 9 25 253 = 23 257 259 = 7 37 263 269 27 277 28 283 287 = 7 4 289 = 7 2 293 299 = 3 23 30 = 7 43 307 3 33 37 39 = 29 323 = 7 9 329 = 7 47 33 337 34 = 3 343 = 7 3 347 349 353 359 36 = 9 2 367 37 = 7 53 373 377 = 3 29 379 383 389 39 = 7 23 397 40 403 = 3 3 407 = 37 409 43 = 7 59 49 42 427 = 7 6 43 433 437 = 9 23 439 443 449 45 = 4 457 46 463 467 469 = 7 67 473 = 43 479 48 = 3 37 487 49 493 = 7 29 497 = 7 7 499 503 509 5 = 7 73 57 = 47 52 523 527 = 7 3 529 = 23 2 533 = 3 4 539 = 7 2 54 547 55 = 9 29 553 = 7 79 557 559 = 3 43 563 569 57 577 58 = 7 83 583 = 53 587 589 = 9 3 593 599 60 607 6 = 3 47 63 67 69 623 = 7 89 629 = 7 37 63 637 = 7 2 3 64 643 647 649 = 59 653 659 66 667 = 23 29 67 = 6 673 677 679 = 7 97 683 689 = 3 53 69 697 = 7 4 70 703 = 9 37 707 = 7 0 709 73 = 23 3 79 72 = 7 03 727 73 = 7 43 733 737 = 67 739 743 749 = 7 07 75 757 76 763 = 7 09 767 = 3 59 769 773 779 = 9 4 78 = 7 787 79 = 7 3 793 = 3 6 797 799 = 7 47 803 = 73 809 8 87 = 9 43 82 823 827 829 833 = 7 2 7 839 84 = 29 2 847 = 7 2 85 = 23 37 853 857 859 863 869 = 79 87 = 3 67 877 88 883 887 889 = 7 27 893 = 9 47 899 = 29 3 7. táblázat 90 = 7 53 907 9 93 = 83 97 = 7 3 99 923 = 3 7 929 93 = 7 2 9 937 94 943 = 23 4 947 949 = 3 73 953 959 = 7 37 96 = 3 2 967 97 973 = 7 39 977 979 = 89 983 989 = 23 43 99 997 00 = 7 3 20