EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE

EGYVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK FOLYTONOSSÁGA ÉS HATÁRÉRTÉKE BÁTKAI ANDRÁS Ennek a jegyzetnek az elsődleges célja, hogy a matematika tanárszakos analízis előadást kísérje és a vizsgára készülést segítse. A jegyzet gépelési hibákat tartalmazhat, kérem értelemmel kezelni és nekem jelezni. Az esetleges hibák nem mentenek fel senkit a vizsgán. A jegyzet folyamatosan bővül. 1. Folytonosság, határérték Legyen f : R R, azaz legyen D(f) R és R(f) R. Függvények megadásához az értelmezési tartomány (D(f)) és a hozzárendelési szabály megadása szükséges. Megállapodunk abban, hogy ha egy függvénynél csak a hozzárendelési szabályt adjuk meg, akkor az értelmezési tartomány a valós számok azon legbővebb részhalmaza, melyre a hozzárendelési szabály értelmezhető. Tehát ha D(f) = R f(x) = x 2, D(g) = R + g(x) = x 2, akkor két különböző függvényt adtunk meg. A fenti két függvény viszonya egymáshoz fontos speciális esete a következő szituációnak. 1.1. Definíció. Legyen adva f, g : R R. Azt mondjuk, hogy g az f megszorítása, vagy f a g kiterjesztése, ha D(g) D(f) és f(x) = g(x) minden x D(g) esetén. A korábbi tanulmányaink során definiáltuk a következő függvényeket: a hatványfüggvény az exponenciális függvény a logaritmusfüggvény D(f) = R +, f(x) = x α (α R), D(f) = R, f(x) = a x (a R +, a 1), D(f) = R +, f(x) = log a (x) (a R +, a 1). Szintén láttuk, hogy ezek a függvények rendelkeznek a következő igen fontos tulajdonsággal. x n D(f), x 0 D(f), x n x 0, x α n x α 0, x n D(g), x 0 D(g), x n x 0, a x n a x 0, x n D(h), x 0 D(h), x n x 0, log a (x n ) log a (x 0 ). Ez valahol azt fejezi ki, hogy ha az értelmezési tartomány elemei közel kerülnek x 0 -hoz, akkor a függvényértékek is közel kerülnek f(x 0 )-hoz. A következőkben ezt a tulajdonságot szeretnénk általánosabban vizsgálni. Ehhez először bizonyítunk egy átfogalmazást. 1.2. Tétel (Folytonosságra vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R R, x 0 D(f). Ekvivalensek a következők: (1) Bármely x n D(f) sorozatra, melyre x n x 0, teljesül, hogy f(x n ) f(x 0 ). (2) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(f), x x 0 < δ esetén f(x) f(x 0 ) < ε. Date: September 8, 2005. e-mail: batka@cs.elte.hu. 1

2 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás. (ii) (i): Legyen x n D(f), x n x 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) f(x 0 ), azaz ε > 0 N N : n N, n N f(x n ) f(x 0 ) < ε. Tudjuk, hogy x n x 0, azaz bármely δ > 0-hoz található N N, hogy minden n N természetes szám esetén x n x 0 < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (ii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N N hogy minden n N természetes szám esetén x n x 0 < δ. Viszont ekkor f(x n ) f(x 0 ) < ε a (ii) feltétel miatt. (i) (ii): Indirekt bizonyítunk, azaz feltesszük, hogy nem teljesül a (ii) és belátjuk, hogy (i) sem teljesülhet. Azaz feltesszük, hogy ε > 0 δ > 0 x = x(δ) D(f), x x 0 < δ, f(x) f(x 0 ) ε. Mivel a fenti minden δ > 0 esetén teljesül, így δ = 1 n -hez is található x = x n D(f), hogy x n x 0 < 1 n és f(x n ) f(x 0 ) ε. Tehát ekkor x n x, de f(x n ) f(x 0 ). Tehát találtunk egy (x n ) sorozatot, melyre (i) nem teljesül. 1.3. Definíció. Legyen f : R R. Azt mondjuk, hogy f folytonos az x 0 D(f) pontban, ha teljesíti az előző 1.2 Tétel (i) vagy (ii) feltételét. Ha az f függvény az x 0 D(f) pontban nem folytonos, azt mondjuk, hogy az x 0 pont az f függvény szakadási helye. Az f függvény folytonos, ha értelmezési tartománya minden pontjában folytonos. Tehát a hatvány-, az exponenciális-, és a logaritmusfüggvény folytonos függvények. 1.4. Példa. Legyen f az előjelfüggvény, azaz 1, ha x < 0, f(x) := sgn(x) = 0, ha x = 0, 1, ha x > 0. Ekkor f az x 0 = 0 pontban nem folytonos, hiszen ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1 f(0) = 0. 1.5. Megjegyzés. Legyen x 0 D(f) olyan, hogy található δ > 0, melyre (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) = {x 0 }. Ezt úgy mondjuk, hogy x 0 az értelmezési tartomány izolált pontja. Ha x n D(f) olyan sorozat, melyre x n x 0, akkor ez csak úgy lehetséges, hogy található M N, hogy n M esetén x n = x 0, azaz az (x n ) sorozat majdnem minden 1 indexre konstans. Ha n M, akkor f(x n ) = f(x 0 ) f(x 0 ), azaz f folytonos az x 0 pontban. Összefoglalva, bebizonyítottuk a következőt. 1.6. Állítás. Legyen f : R R, x 0 D(f) az értelmezési tartomány izolált pontja. Ekkor f folytonos x 0 -ban. 1.7. Definíció. Legyenek f, g : R R. Közöttük az alapműveleteket a következő összefüggések definiálják. D(f + g) = D(f) D(g), (f + g)(x) := f(x) + g(x) x D(f + g), D(f g) = D(f) D(g), (f g)(x) := f(x) g(x) x D(f g), D(fg) = D(f) D(g), (fg)(x) := f(x)g(x) x D(fg), D(f/g) = {x D(f) D(g) : g(x) 0}, (f/g)(x) := f(x) g(x) x D(f/g), D(f g) = {x D(g) : g(x) D(f)}, (f g)(x) := f(g(x)) x D(f g). 1.8. Tétel (folytonosság és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 D(f) D(g). Ha f és g folytonos x 0 -ban, akkor f + g, f g, fg, f és, ha g(x 0 ) 0, akkor f/g folytonos függvény x 0 -ban. 1 Itt használjuk a majdnem minden = véges sok kivétellel konvenciót.

FOLYTONOSSÁG 3 Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0. Ekkor a folytonosság miatt f(x n ) f(x 0 ) és g(x n ) g(x 0 ). A sorozat-határérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) f(x 0 ) + g(x 0 ) = (f + g)(x 0 ), (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) f(x 0 ) g(x 0 ) = (f g)(x 0 ), valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) f(x 0 )g(x 0 ) = (fg)(x 0 ), ( f )(x n ) = f(x n ) f(x 0 ) = f (x 0 ), (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) f(x 0) g(x 0 ) = (f/g)(x 0). 1.9. Megjegyzés. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor az előző tétel alapján f folytonos függvény, értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Fontos, hogy f folytonosságáról vagy szakadásáról az x 0 = 0 pontban értelmetlen beszélni, mivel az nincs az értelmezési tartományban. 1.10. Tétel (kompozíció folytonossága). Legyenek f, g : R R, x 0 D(g), g(x 0 ) D(f), g folytonos x 0 -ban és f folytonos g(x 0 )-ban. Ekkor f g folytonos x 0 -ban. Bizonyítás. Legyen x n D(g), g(x n ) D(f), x n x 0. Ekkor g folytonossága miatt g(x n ) g(x 0 ), és az f függvény g(x 0 )-beli folytonossága miatt f(g(x n )) f(g(x 0 )). 1.11. Példa. Legyen f(x) = x2 1 x 1. Ekkor, megállapodásunk alapján, D(f) = R \ {1}. Látjuk, hogy minden x D(f) esetén f(x) = x + 1. Definiáljuk a g függvényt a következő módon. { f(x), x 1, g(x) := x + 1 = 2, x = 1. Ekkor g kiterjesztése f-nek, és g folytonos az x 0 = 1 helyen, ahol f nem volt értelmezve. Ez a tulajdonsága az f függvénynek az x 0 = 1 hely közelében olyan alapvető, hogy külön foglalkozunk vele. 1.12. Tétel (határértékre vonatkozó átviteli elv). Legyen f : R R, z 0 R olyan, hogy található z n D(f), z n z 0, z n z 0 és legyen a R. Ekvivalensek a következőek: (i) A g(x) := { f(x), x z0, a, x = z 0. függvény folytonos a z 0 pontban. (ii) Bármely x n D(f) sorozatra, melyre x n z 0, x n z 0, teljesül, hogy f(x n ) a. (iii) Minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(f), x z 0 < δ, x z 0 esetén f(x) a < ε. Bizonyítás. (i) (ii): Ha g folytonos z 0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (i) feltétele. Így bármely x n D(g) sorozatra, melyre x n z 0, x n z 0, teljesül, hogy x n D(f), így g(x n ) = f(x n ) g(z 0 ) = a. (i) (iii): Ha g folytonos z 0 -ban, akkor teljesül rá 1.2 Tétel (ii) feltétele. Így minden ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy bármely x D(g), x z 0 < δ, x z 0 esetén x D(f), így f(x) a = g(x) g(z 0 ) < ε. (iii) (ii): Legyen x n D(f), x n z 0, x n z 0. Azt kell belátnunk, hogy f(x n ) a, azaz ε > 0 N N : n N, n N f(x n ) a < ε. Tudjuk, hogy x n z 0, azaz bármely δ > 0-hoz található N N, hogy minden n N természetes szám esetén x n z 0 < δ. Legyen ε > 0 tetszőleges. Ehhez (iii) feltétel szerint található δ > 0. Ehhez a δ-hoz az előzőek szerint található N N hogy minden n N természetes szám esetén x n z 0 < δ. Viszont ekkor f(x n ) a < ε a (iii) feltétel miatt.

4 BÁTKAI ANDRÁS (ii) (i): Azt kell megmutatnunk, hogy az így definiált g függvény folytonos a z 0 pontban, azaz bármely z n D(g), z n z 0 sorozatra g(z n ) g(z 0 ). Három esetet különböztethetünk meg. Ha a (z n ) sorozat majdnem minden elemére z n = z 0, akkor adott ε > 0 számhoz triviálisan található N N, hogy minden n N természetes számra g(z n ) g(z 0 ) = 0 < ε. Ha a (z n ) sorozat majdnem minden elemére z n z 0, akkor a (ii) feltételből adott ε > 0 számhoz található N N, hogy minden n N természetes számra z n z 0 és g(z n ) g(z 0 ) = f(z n ) a < ε. Itt használtuk a sorozat-határérték definícióját. Ha a (z n ) sorozat elemei között végtelen sokszor szerepel z 0 és végtelen sok különböző eleme van, akkor szét tudjuk bontani két részsorozatra, melyeket az (n k ) és az (m k ) indexsorozatok határoznak meg, hogy az egyik a konstans z 0, a másikban minden tag különbözik z 0 -tól. Az előző két pont alapján g(z mk ) g(z 0 ) és g(z nk ) g(z 0 ), így a múlt félévben bizonyítottak alapján g(z n ) g(z 0 ). 1.13. Megjegyzés. Az előző tétel bizonyítása során túlmunkát végeztünk, elég lett volna az (i) (iii) (ii) (i) következtetéssort bizonyítani, abból már az (i) (ii) stb. következtetések mind jönnek. 1.14. Definíció. Legyen f : R R, z 0 R olyan, hogy található z n D(f), z n z 0, z n z 0 és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény határértéke a z 0 pontban az a szám, jelben lim f(x) = lim f = a, x z 0 z0 ha az előző 1.12 Tétel (i), (ii) vagy (iii) (ekvivalens) feltétele közül valamelyik teljesül. 1.15. Következmény. Legyen f : R R, x 0 D(f) olyan pont, hogy az f függvény folytonos x 0 -ban. Ekkor vagy x 0 izolált pontja D(f)-nek, vagy lim x x0 f(x) = f(x 0 ). A határérték definíciójában olyan z 0 számot vettünk, mely közel van az értelmezési tartományhoz, tudunk hozzá konvergálni. Ennek a tulajdonságnak is érdemes nevet adni. 1.16. Definíció. Legyen H R, x 0 R. Azt mondjuk, hogy az x 0 pont torlódási pontja a H halmaznak, ha található x n H, x n x 0 sorozat, hogy x n x 0. A H halmaz torlódási pontjainak halmazát H jelöli. 1.17. Példa. (a, b) = [a, b] Q = R. (a, b R, a < b), 1.18. Állítás. Egy H R halmaz pontosan akkor zárt, ha tartalmazza valós (véges) torlódási pontjait, azaz H \ {, + } H. Bizonyítás. ( ): Tegyük fel, hogy a H halmaz zárt. Azt kell megmutatnunk, hogy tartalmazza az összes valós torlódási pontját. Ehhez megmutatjuk, hogy ha x 0 / H akkor x 0 nem torlódási pont. Emlékeztetünk arra, hogy H pontosan akkor zárt, ha a komplementere R \ H nyílt, azaz ha x 0 R \ H = H c, akkor található ε > 0, hogy (x 0 ε, x 0 + ε) R \ H, hiszen x 0 belső pontja R \ H halmaznak. Ekkor viszont nem található x n H sorozat (amire ekkor automatikusan teljesül, hogy x n x 0 ), hogy x n x 0, hiszen akkor lenne olyan n N, hogy x n (x 0 ε, x 0 + ε). Tehát beláttuk, hogy R \ H R \ H, amiből elemi halmazelméleti azonosságok alapján következik, hogy (R H ) H. ( ): Tegyük fel, hogy H \ {, + } H. Azt kell belátnunk, hogy H R zárt. Legyen x 0 R \ H és indirekt tegyük fel, hogy x 0 nem belső pontja az R\H halmaznak, azaz H nem zárt. Ez azt jelenti, hogy

FOLYTONOSSÁG 5 bármely ε > 0 számra (x 0 ε, x 0 +ε) H. Így ε = 1 n esetén is található x n (x 0 ε, x 0 +ε) H. Erre az (x n ) sorozatra viszont x n H, x n x 0 (hiszen x 0 / H) és x n x 0, azaz definíció szerint x 0 H, ami ellentmondás. 1.19. Megjegyzés. Meggondolható, hogy + H pontosan akkor teljesül, ha H R felülről nem korlátos. Hasonlóan, H pontosan akkor teljesül, ha H R alulról nem korlátos. 1.20. Tétel (Cauchy kritérium). Legyen f : R R, x 0 D(f) R. A következőek ekvivalensek. (a) Létezik lim x x0 f(x) R. (b) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x, y B(x 0, δ) D(f), x, y x 0 f(x) f(y) < ε. esetén Bizonyítás. ( ): Tegyük fel, hogy létezik lim x x0 f(x) = a R. Ez azt jelenti a határértéket definiáló 1.12 Tétel szerint, hogy bármely ε > 0 esetén található δ > 0, hogy minden z D(f) \ {x 0 }, z x 0 < δ számra f(z) a < ε 2. Így ha x, y B(x 0, δ), x, y x 0, akkor f(x) f(y) f(x) a + a f(y) < ε 2 + ε 2 = ε. ( ): Legyen x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor (x n ) teljesíti a sorozatokra vonatkozó Cauchy kritériumot, azaz, összekombinálva (b) feltétellel, kapjuk, hogy ε > 0 δ > 0 N N : n, m N x n x m < δ f(x n ) f(x m ) < ε. Tehát erre az (x n ) sorozatra (f(x n )) sorozat Cauchy sorozat, így létezik lim(f(x n )) = a véges határérték. Azt kell meggondolnunk, hogy különböző (x n ) sorozatokra nem kaphatunk különböző határértékeket. Legyen x n x 0, x n x 0, ehhez található a R, hogy f(x n ) a. Hasonlóan, legyen z n x 0, z n z 0. Előzőek alapján ehhez is található b R, hogy f(z n ) b. Ekkor összefésülve az (x n ) és a (z n ) sorozatot kapjuk, hogy amiből az előzőek alapján következik, hogy a x 1, z 1, x 2, z 2,..., x n, z n,... x 0, f(x 1 ), f(z 1 ), f(x 2 ), f(z 2 ),..., f(x n ), f(z n ),... sorozat Cauchy, azaz konvergens. Viszont ennek a sorozatnak a is és b is torlódási pontja. Ez csak úgy lehetséges, ha a = b. 1.21. Megjegyzés. Augustin Cauchy [1789-1853] francia matematikus. Párizsban, Torinoban és Prágában dolgozott. A matematikai analízis alapfogalmainak megalapozásában úttörő munkát végzett, különös tekintettel a határérték fogalmának kialakítására. Nagy érdeme még a komplex változós függvények elméletének megalapozása. Fontosat alkotott a fizikában (fénytan) és az algebrában is, nevéhez fűződik a,determináns szó. 1.22. Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 (D(f) D(g)) R. Ha létezik lim x0 f = a R és lim x0 g = b R, akkor létezik lim x0 (f + g) = a + b, lim x0 (f g) = a b, lim x0 (fg) = ab, lim x0 f = a és, ha b 0, akkor lim x0 (f/g) = a b. Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0, x n x 0. Ekkor a feltételek miatt f(x n ) a és g(x n ) b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) a + b, (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) a b, (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) ab, ( f )(x n ) = f(x n ) a, (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) a b.

6 BÁTKAI ANDRÁS Az utolsó állításhoz csak annyit kell még röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen x n sorozat, azaz x 0 D(f/g), de ez rögtön következik abból, hogy b = lim x0 g 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n N indexre g(x n ) 0. 1.23. Definíció. Legyen f : R R, x 0 D(f) R. Azt mondjuk, hogy f határértéke az x 0 ponban + ( ), jelben lim f(x) = lim f = + ( ), x x 0 x0 ha bármely x n D(f) \ {x 0 } sorozatra, melyre x n x 0, teljesül, hogy f(x n ) + (f(x n ) ). 1.24. Állítás. Legyen f : R R, x 0 D(f) R. Ekvivalensek a következők. (i) Létezik lim x0 f = +. (ii) Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy ha x ((x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ)) D(f) = B(x 0, δ) D(f) \ {x 0 }, akkor f(x) > 1 ε. Bizonyítás. ( ): Legyen x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 az (ii) feltétel szerint. Ehhez a δ-hoz található N N, hogy minden n N természetes számra x n x 0 < δ. A feltétel szerint viszont ekkor f(x n ) > 1 ε, ami összefoglalva azt jelenti, hogy ε > 0 N N : n N f(x n ) > 1 ε, azaz f(x n ) +. ( ): Indirekt, tegyük fel, hogy (ii) nem teljesül, azaz található ε > 0, hogy bármely δ > 0 esetén van x = x(δ) (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ), hogy f(x) 1 ε. Ekkor δ = 1 n -hez is található x n (x 0 1 n, x 0) (x 0, x 0 + 1 n ), x n D(f), hogy f(x n ) 1 ε. Tehát találtunk egy (x n ) sorozatot, melyre x n D(f) \ {x 0 }, x n x 0 viszont f(x n ) +. 1.25. Megjegyzés. Hasonló állítás mondható ki és bizonyítható lim x0 f = esetben. 1.26. Példa. Legyen f(x) = 1 1 x és x 2 0 = 0. Ekkor létezik lim x 0 x 2 x 2 n 0, x 2 n > 0, így a múlt félévben tanultak alapján 1 x +. 2 n = +, hiszen ha 0 x n 0, akkor 1.27. Definíció. Legyen f : R R, + D(f) ( D(f) ), azaz D(f) ne legyen korlátos felülről (alulról) és legyen a R. Azt mondjuk, hogy f határértéke a + -ben ( -ben) a, jelben ( ) lim f(x) = lim f = a lim f(x) = lim f = a, x + + x ha bármely x n D(f), x n + (x n ) sorozatra f(x n ) a. 1.28. Példa. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor létezik lim x + 1 x = 0, hiszen ha x n +, akkor 1 x n 0. 1.29. Megjegyzés. Ha a sorozatokra mint a természetes számok halmazán definiált függvényekre tekintünk, akkor láthatjuk, hogy a múlt félévben tanult sorozathatárérték fogalma speciális esete a függvény végtelenben vett határértékének. 1.30. Megjegyzés. Az eddigi három határérték-definíciót a következő módon foglalhatjuk egységes formába. Legyen f : R R, x 0 D(f) R, a R. Az f függvény határértéke az x 0 R ponban a R, ha minden x n D(f) \ {x 0 } sorozatra f(x n ) a. Az eddigiekhez hasonlóan megmutatható, hogy ez ekvivalens a következő, ε δ megfogalmazással. Bármely ε > 0 számhoz található δ > 0, hogy minden x B(x 0, δ) D(f)\{x 0 } számra f(x) B(a, ε). 1.31. Tétel (határérték és műveletek). Legyenek f, g : R R, x 0 (D(f) D(g)). Ha létezik lim x0 f = a R és lim x0 g = b R, akkor, amennyiben a jobb oldal értelmes, létezik lim x0 (f + g) = a + b, lim x0 (f g) = a b, lim x0 (fg) = ab, lim x0 f = a és, lim x0 (f/g) = a b.

FOLYTONOSSÁG 7 Bizonyítás. Legyen x n D(f) D(g), x n x 0, x n x 0. Ekkor a feltételek miatt f(x n ) a és g(x n ) b. A sorozathatárérték és műveletek közötti, múlt félévben tanult összefüggések alapján valamint, ha g(x n ) 0, azaz x n D(f/g), akkor (f + g)(x n ) = f(x n ) + g(x n ) a + b, (f g)(x n ) = f(x n ) g(x n ) a b, (fg)(x n ) = f(x n )g(x n ) ab, ( f )(x n ) = f(x n ) a, (f/g)(x n ) = f(x n) g(x n ) a b. Az utolsó állításhoz csak annyit kell röviden meggondolni, hogy egyáltalán van ilyen x n sorozat, azaz x 0 D(f/g), de rögtön következik abból, hogy b = lim x0 g 0 (tehát vagy b < 0, vagy b > 0), mert a múlt félévben tanult, határérték és rendezés összefüggései alapján ilyenkor majdnem minden n N indexre g(x n ) 0. 1.32. Példa. Egyszerű példa olyan függvényre, amelynek nem létezik határértéke egy pontban, az előjelfüggvény, azaz legyen 1, ha x < 0, f(x) = sgn(x) = sgn(x) = 0, ha x = 0,. 1, ha x > 0. Ennek nincs határértéke az x 0 = 0 pontban, hiszen ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1, viszont ha x n = 1 n 0, akkor f(x n) = 1 1. Viszont könnyen látható, hogy ez a függvény sem teljesen csúnya, mert rendelkezik a következő tulajdonsággal. Ha x n > 0, x n 0, azaz az (x n ) sorozat jobbról tart az x 0 ponthoz, akkor f(x n ) = 1 1. Hasonlóan, ha x n < 0, x n 0, azaz az (x n ) sorozat balról tart az x 0 ponthoz, akkor f(x n ) = 1 1. 1.33. Definíció. Legyen f : R R, x 0 {x D(f) : x > x 0 } és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény jobboldali határértéke az x 0 pontban a, jelben lim f(x) = lim f = lim f(x) = f(x 0+) = a, x x 0 + x 0 + x x 0+0 ha bármely x n D(f), x n > x 0, x n x 0 sorozatra f(x n ) a. 1.34. Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x 0 R helyen pontosan akkor létezik lim x0 + f = a R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x (x 0, x 0 + δ) D(f) esetén f(x) B(a, ε). 1.35. Definíció. Legyen f : R R, x 0 {x D(f) : x < x 0 } és legyen a R. Azt mondjuk, hogy az f függvény baloldai határértéke az x 0 pontban a, jelben lim f(x) = lim f = lim f(x) = f(x 0 ) = a, x x 0 x 0 x x 0 0 ha bármely x n D(f), x n < x 0, x n x 0 sorozatra f(x n ) a. 1.36. Megjegyzés. Az előzőekhez hasonlóan bizonyítható, hogy x 0 R helyen pontosan akkor létezik lim x0 f = a R, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám. hogy minden x (x 0 δ, x 0 ) D(f) esetén f(x) B(a, ε). 1.37. Példa. Legyen f(x) = 1 x. Ekkor létezik lim x 0+ 1 x = +, hiszen ha x n 0, x n > 0, akkor 1 1 x n +. Hasonlóan, létezik lim x 0 x =, hiszen ha x n 0, x n < 0, akkor 1 x n. 1.38. Megjegyzés. Meggondolhatók a következő egyszerű összefüggések. Legyen x 0 belső pontja az értelmezési tartománynak, jelben x 0 int D(f). 2 Pontosan akkor létezik lim x0 f, ha létezik a baloldali határérték lim x0 f és a jobboldali határérték lim x0 + f valamint lim x0 f = lim x0+ f. 2 Egy H R halmaz belső pontjainak halmazát int(h) jelöli.

8 BÁTKAI ANDRÁS Legyen D(f) = (α, β), α, β R, α < β. Ekkor lim β f = lim β f amennyiben valamelyik határérték létezik. Hasonlóan, lim α f = lim α+ f amennyiben valamelyik határérték létezik. Az 1.31 Tétel állításai érteremszerűen megfogalmazhatók féloldalas határértékekre is, így továbbra is érvényesek a határérték és műveletek közötti összefüggések. A függvényműveletek közül egyedül a kompozíció határértékének létezését nem vizsgáltuk eddig. 1.39. Példa. Legyen { 0, x R \ Q, g(x) = 1 q, x = p q Q, (p; q) = 1, q > 0. Ekkor létezik lim x 0 g(x) = 0, hiszen ε > 0-hoz legyen N > 1 ε, δ = 1 N. Ha x ( δ, 0) (0, δ), akkor ha x R \ Q, akkor g(x) = 0 < ε, ha x Q, x = p q, akkor p < 1 N, azaz q > N, így g(x) = 1 q < 1 N < ε. Definiáljuk az f függvényt az q f(t) = { 0, t 0, 1, t = 0 összefüggéssel. Ekkor létezik lim t 0 f(t) = 0. Viszont { 1, x R \ Q, (f g)(x) = f(g(x)) = 0, x Q, azaz nem létezik lim 0 (f g). Tehát abból, hogy létezik lim x0 f = w 0 és hogy létezik lim w0 g = a nem következik még, hogy létezne lim x0 (f g). Szükség van plusz feltételekre. 1.40. Tétel (Kompozíció határértéke, 1. változat). Legyen f, g : R R, x 0 D(g), és létezzen lim g(x) = w 0 R. x x 0 Tegyük fel továbbá, hogy g(d(g)) = R(g) D(f), w 0 D(f) és legyen f folytonos w 0 -ban. Ekkor létezik lim (f g)(x) = f(w 0 ). x x 0 Bizonyítás. Legyen x n D(g) \ {x 0 }, x n x 0. Ekkor x n D(f g). A g függvényre vonatkozó feltétel szerint g(x n ) w 0, g(x n ) D(f). Ekkor viszont f folytonossága miatt f(g(x n )) f(w 0 ). 1.41. Tétel (Kompozíció határértéke, 2. változat). Legyen f, g : R R, x 0 D(f g), és létezzen Tegyük fel továbbá, hogy w 0 D(f) és létezzen valamint legyen ε > 0 olyan, hogy lim g(x) = w 0 R. x x 0 lim f(x) = a R, x w 0 (1) x B(x 0, ε) D(f g), x x 0 : g(x) w 0. Ekkor létezik lim (f g)(x) = a. x x 0 Bizonyítás. Legyen x n D(f g) \ {x 0 }, x n x 0. Definiálja a (t n ) sorozatot a t n = g(x n ) összefüggés, ekkor t n w 0. Az (1) feltétel alapján majdnem minden n N indexre t n w 0, így feltehető, hogy minden n N indexre t n w 0. Erre a (t n ) sorozatra a választása alapján t n D(f) is teljesül, így f(g(x n )) = f(t n ) a. 1.42. Megjegyzés. Bizonyosak lehetünk benne, hogy g teljesíti a plusz (1) feltételt, ha w 0 = ±, vagy ha g szigorúan monoton.

FOLYTONOSSÁG 9 A határértékekre vonatkozó tételeknek szép alkalmazásai a gyakorlaton vett nevezetes határértékek, ezek külön papíron kerültek kiadásra. Végül azt vizsgáljuk, egy zárt intervallumon értelmezett függvény hogyan lehet nem folytonos egy pontban. 1.43. Definíció. Legyen D(f) = [a, b], a, b R, a < b, x 0 [a, b], f nem folytonos x 0 -ban. Azt mondjuk, hogy f-nek elsőfajú szakadása van x 0 -ban, ha az összes lehetséges egyoldali (bal, jobb) határérték létezik és véges. Az elsőfajú szakadás megszüntethető, ha létezik lim x0 f ( f(x 0 )), és ugrás, ha lim x0 + f lim x0 f. Azt mondjuk, hogy f-nek másodfajú szakadása van x 0 -ban, ha az nem elsőfajú, azaz valamelyik egyoldali határértéke vagy nem létezik vagy létezik de nem véges. 1.44. Példa. Legyen f(x) := { sin 1 x, x > 0, 0, x 0. Ekkor f-nek másodfajú szakadása van 0-ban, mert bár létezik lim 0 f = 0, a jobboldali határérték nem létezik. Ez utóbbit úgy láthatjuk, hogy ha x n = 1 nπ 0, akkor f(x n) = sin(nπ) = 0 0, viszont ha x n = 1 π 2 +2nπ 0, akkor f(x n) = sin ( π 2 + 2nπ) = 1 1 0. 1.45. Tétel (monoton függvények lehetséges szakadásairól). Legyen D(f) = [a, b], a < b és legyen f monoton növő (fogyó). Ekkor és x 0 (a, b] : x 0 [a, b) : lim x0 f = sup {f(x) : x < x 0} (inf) lim x0+ f = inf {f(x) : x > x 0} (sup). Bizonyítás. A négy állítás közül itt a monoton növő függvény baloldali határértékére vonatkozót bizonyítjuk, a többi hasonlóan történhet. Legyen η = sup {f(x) : x < x 0 }. Mivel η legkisebb felső korlát, így bármely ε > 0 esetén (η ε) nem felső korlátja az {f(x) : x < x 0 } halmaznak, azaz található z < x 0, hogy f(z) > η ε. Viszont a monotonitás miatt minden x (z, x 0 ) esetén η ε < f(z) f(x) η. Tehát ha ε > 0-hoz δ := x 0 z > 0, akkor minden x (x 0 δ, x 0 ) esetén f(x) B(η, ε). 1.46. Következmény. Zárt intervallumon definiált monoton függvény az értelmezési tartományának belső pontjaiban vagy folytonos, vagy ha nem folytonos, akkor ugrása van. Az intervallum végpontjaiban pedig csak megszüntethető szakadása lehet. 1.47. Megjegyzés. Az 1.45 Tétel hasonlóan végiggondolható nyílt intervallumra, ahol az intervallum végpontjaiban már a végtelen is számításba jön, mint lehetséges határérték. 2. Folytonos függvények tulajdonságai Ebben a fejezetben folytonos függvények tulajdonságait vizsgáljuk, azaz feltesszük, hogy a szereplő függvények értelmezési tartományuk minden pontjában folytonosak. Először ugynevezett fixpontokat fogunk keresni. 2.1. Definíció. Legyen f : R R, R(f) D(f), azaz f képezze értelmezési tartományát önmagába. Ha x D(f) olyan, hogy x = f(x), akkor azt mondjuk, hogy az x pont az f függvény fixpontja.

10 BÁTKAI ANDRÁS Először egy olyan esetet vizsgálunk, mely sok múlt félévbeli példát magába foglal. 2.2. Állítás. Legyen f : R R, f folytonos, R(f) D(f) és D(f) legyen korlátos és zárt, pl. D(f) = [a, b]. Ha f monoton nő, akkor van fixpontja, melyet a x n+1 = f(x n ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kaphatunk meg. Bizonyítás. Az így definiált (x n ) sorozat nyilván korlátos. Teljes indukcióval megmutatható, hogy x 2 x 1 x n+1 x n, x 2 x 1 x n+1 x n, tehát az (x n ) sorozat monoton. Legyen a határértéke x D(f), hiszen D(f) zárt. Az f függvény folytonossága miatt f(x n ) f(x), amiből következik az x = f(x) egyenlőség. 2.3. Megjegyzés. Az előző tétel létezésről beszél, egyértelműségről nem. Így elvileg akár sok fixpont is lehetséges. 2.4. Példa. Tekintsünk egy igen egyszerű alkalmazást. Legyen f(x) = sin x, D(f) = [ 1, 1]. Ekkor f monoton nő és R(f) D(f) Tehát az x 0 [ 1, 1], x n+1 = sin(x n ) rekurzióval megadott sorozat az x = sin x egyenlet megoldásához konvergál. Továbbá, mivel sin x x, ezért ha x 0 > 0, akkor x 1 x 0 és ha x 0 < 0, akkor x 1 x 0. 2.5. Példa. Legyen f(x) = x + sin x, D(f) = [0, 2π]. Ekkor f monoton nő, hiszen ha y > x, akkor f(y) f(x) = (y x) + (sin y sin x) (y x) + (x y) = 0, ahol használtuk azt a gyakorlatokról ismert összefüggést, hogy sin y sin x y x, azaz x y sin y sin x y x. Másrészt R(f) D(f), tehát az x 0 [0, 2π], x n+1 = x n + sin(x n ) rekurzióval megadott sorozat az x = x + sin x egyenlet valamely megoldásához konvergál. Továbbá, mivel sin x 0, ha x (0, π] és sin x 0, ha x [π, 2π), ezért ha x 0 [0, π], akkor x 1 x 0 és ha x 0 [π, 2π], akkor x 1 x 0. Láthatjuk tehát,hogy ha x 0 (0, 2π), akkor a rekurzió az x = π fixponthoz konvergál, ha x 0 = 0, akkor x n = 0 0 és ha x 0 = 2π, akkor x n = 2π 2π. A következő tételhez be kell vezetnünk folytonos függvényeknek egy fontos osztályát. 2.6. Definíció. Legyen f : R R, D(f) = H R, R(f) H. Tegyük fel, hogy található olyan L > 0, hogy f(x) f(y) L x y x, y H. Ekkor azt mondjuk, hogy f Lipschitz-folytonos. Ha a konstans választható úgy, hogy L (0, 1), akkor azt mondjuk, hogy f kontrakció (összehúzó) 3. Kontrakciók Lipschitz-konstansát gyakran q jelöli. 2.7. Megjegyzés. Rudolf Lipschitz [1832-1903] német matematikus, Bonnban működött. A később nagy hírű Felix Klein tanára volt. 2.8. Példa. Tekintsük a következő függvényeket. D(f) = [0, 1], f(x) = x 2 Lipschitz-folytonos, x 2 y 2 = x + y x y 2 x y x, y [0, 1]. D(f) = R, f(x) = sin(x) Lipschitz-folytonos, hiszen gyakorlatokon szerepelt, hogy sin(x) sin(y) x y x, y R. D(f) = R, f(x) = x 2 nem Lipschitz-folytonos. 3 lat. contractio = összehúzás, összevonás

FOLYTONOSSÁG 11 2.9. Tétel (kontrakció-elv). Legyen H R zárt (tehát nem kell, hogy korlátos legyen), f : R R, D(f) = H, R(f) H, és legyen f kontrakció, azaz tegyük fel, hogy található q (0, 1), hogy (2) f(x) f(y) q x y x, y H. Ekkor f-nek egyértelműen létezik z H fixpontja, azaz melyre z = f(z). A fixpontot a x n+1 = f(x n ) rekurzióval megadott sorozat határértékeként kapjuk meg. Továbbá, (3) z x n qn 1 q x 1 x 0. Bizonyítás. Legyen x 0 H tetszőleges és definiálja az (x n ) sorozatot az x n+1 = f(x n ) rekurzió. Ekkor x 2 x 1 = f(x 1 ) f(x 0 ) q x 1 x 0 x 3 x 2 = f(x 2 ) f(x 1 ) q x 2 x 1 q 2 x 1 x 0. x n+1 x n = f(x n ) f(x n 1 ) q x n x n 1 q n x 1 x 0. Legyen k N tetszőleges, k (4) x n+k x n = (x n+i x n+i 1 ) i=1 ( k k ) x n+i x n+i 1 q n+i 1 x 1 x 0 i=1 = q n 1 qk 1 q x 1 x 0 qn 1 q x 1 x 0. Mivel 0 < q < 1, ezért bármely ε > 0 számhoz található N N, hogy minden n N természetes számra q n 1 q x 1 x 0 < ε. Tehát (x n ) Cauchy sorozat, létezik lim(x n ) = z. Mivel H zárt, ezért z H. Mivel f folytonos, ezért z = f(z), azaz z fixpont. Megmutatjuk, hogy más fixpont nem lehetséges. Ha ugyanis y H fixpont, azaz y = f(y), és y z, akkor z y = f(z) f(y) q z y < z y, ami nem lehetséges. Végül a (3) egyenlőtlenséget (4) becslésből kapjuk k + határátmenettel. 2.10. Példa. Illusztráló példaként tekintsük a cos(x) = 2x egyenletet. Könnyen meggondolható, hogy ha van z fixpont, akkor az csak a z [ ] 0, 1 2 lehet. Legyen f(x) = cos(x) 2, D(f) = [ 0, 2] 1. Ekkor R(f) D(f), és cos(x) cos(y) x y f(x) f(y) =, 2 2 így q = 1 2, azaz f kontrakció. Tehát egyértelműen létezik z [ 0, 2] 1, melyre cos(z) = 2z. Ezen kívül a konvergencia sebességére z x n ( 1 2) n 1 1 x 1 x 0 2 ( 1 2) n 1 1 2 i=1 1 2 = 1 2 n. 2.11. Megjegyzés. A 2.4 Példa nem illik bele a kontrakció elv alkalmazhatósági körébe, mert a szinusz függvény bár Lipschitz-folytonos (L = 1), de nem kontrakció. 2.12. Megjegyzés. A kontrakció-elvben a q számra vonatkozó kicsiségi feltéte, amint az a bizonyításból is látható, igen fontos. Az f(x) = x+1 függvény Lipschitz-folytonos, Lipschitz-konstansa L = 1, értelmezési tartománya D(f) = R zárt, viszont nincs fixpontja. 2.13. Segédtétel. Legyen f : R R, x 0 D(f), f folytonos x 0 -ban. Ha f(x 0 ) > 0 (f(x 0 ) < 0), akkor található δ > 0, hogy bármely x (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) esetén f(x) > 0 (f(x) < 0).

12 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás, első változat. Indirekt, tegyük fel, hogy minden δ > 0 számhoz található olyan x = x(δ) (x 0 δ, x 0 + δ) D(f), hogy f(x) 0. Így δ = 1 n -hez is található x n a fenti tulajdonsággal. Erre a sorozatra x n x 0, a folytonosság miatt f(x n ) f(x 0 ), a határérték és rendezés tételei miatt f(x 0 ) 0 kellene, hogy legyen, ami ellentmondás. Bizonyítás, második változat. A folytonosság ε δ megfogalmazását használjuk. Az ε = f(x 0 ) -hoz található olyan δ > 0, hogy minden x (x 0 δ, x 0 + δ) D(f) számra f(x) B(f(x 0 ), ε) = (0, 2f(x 0 )), azaz f(x) > 0. A következőkben külön feltétel nélküli, általános folytonos függvényeket fixpontját keressük intervallumon. Ehhez egy alapvető tételre lesz szükségünk. 2.14. Tétel (Bolzano tétele). Legyen f : R R, D(f) = [a, b], a < b, f folytonos, valamint tegyük fel, hogy Ekkor található olyan z [a, b], hogy f(z) = 0. Bizonyítás, első változat. Legyen f(a) < 0, f(b) > 0. A := {x [a, b] : f(x) 0} = és legyen z := sup A b. Mivel z 1 n nem felső korlátja az A halmaznak, ezért található olyan x n A, z 1 n < x n z, azaz x n z. Az f függvény folytonossága miatt f(x n ) f(z), így f(z) 0, hiszen f(x n ) 0 volt. Indirekt, tegyük fel, hogy f(z) < 0. Az 2.13 Lemma alapján található δ > 0, hogy minden x (z δ, z + δ) számra f(x) < 0. Tehát található x > z, hogy f(x) < 0, azaz x A. Ez ellentmondás avval, hogy z felső korlát. Bizonyítás, második változat. Legyen x 0 = a, y 0 = b. rekurzív módon definiálunk egy (x n ) és egy (y n ) sorozatot. Legyen z 1 := x 0 + y 0. Ha f(z 1 ) > 0, akkor legyen x 1 = x 0, y 1 = z 1, 2 ha f(z 1 ) 0, akkor legyen x 1 = z 1, y 1 = y 0.. Legyen z n := x n 1 + y n 1. Ha f(z n ) > 0, akkor legyen x n = x n 1, y n = z n, 2 ha f(z n ) 0, akkor legyen x n = z n, y n = y n 1. Ekkor x n < y n, (x n ) monoton nő, (y n ) monoton fogy, és mivel (y n x n ) = b a s 0, így teljesülnek a n Cantor közösponttétel feltételei. Tehát található z = lim(x n ) = lim(y n ). Mivel f folytonos, f(x n ) f(z) f(z) 0, f(y n ) f(z) f(z) 0, ami csak úgy lehetséges, hogy f(z) = 0. 2.15. Megjegyzés. Bernard Bolzano [1781-1848] csehországi német matematikus, filozófus és teológus. Az analízis alapfogalmainak megalapozásában alkotott jelentőset. Példát adott sehol sem differenciálható folytonos függvényre. Politikai beállítottsága miatt eredményeit nem publikálhatta, nagy részét csak halála után fedezték fel. Van olyan kézirata, amelyet csak 1920-ban találtak meg. 2.16. Következmény. Legyen f : R R, D(f) = [a, b], a < b, R(f) D(f) és legyen f folytonos. Ekkor van (legalább) egy fixpontja.

FOLYTONOSSÁG 13 Bizonyítás. Ha a = f(a) vagy b = f(b), akkor készen vagyunk, találtunk fixpontot. Tegyük fel, hogy a f(a) és b f(b), azaz a < f(a) és f(b) < b. Legyen g(x) = x f(x), D(g) = D(f). Ekkor g folytonos, g(a) < 0, g(b) > 0. Tehát Bolzano 2.14 Tétele szerint található olyan z [a, b], hogy g(z) = 0, azaz z = f(z). 2.17. Következmény. Legyen f : R R, D(f) = [a, b], és legyen f folytonos. Ekkor az f függvény f(a) és f(b) között minden értéket felvesz. Bizonyítás. Legyen például f(a) < f(b) és legyen η (f(a), f(b)). Ha g(x) = f(x) η, akkor g(a) < 0, g(b) > 0 és g folytonos, így teljesíti a 2.14 Bolzano Tétel feltételeit. Tehát található olyan z (a, b), melyre g(z) = 0, azaz f(z) = η. 2.18. Megjegyzés. Legyen D(f) = R, f folytonos. Ekkor f zérushelyeinek halmaza mindig zárt, azaz {x R : f(x) = 0} zárt halmaz. Ez 2.13 Segédtétel következménye. 2.19. Megjegyzés. Legyen D(f) = [a, b], a < b és legyen f folytonos. Megmutatjuk, hogy f értékkészlete rendelkezik egy fontos tulajdonsággal. Legyen y n R(f) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan x n sorozat, hogy y n = f(x n ). Mivel x n D(f) = [a, b], ezért (x n ) korlátos. Bolzano-Weierstraß tétele szerint található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(x nk ). Viszont f folytonossága miatt (y nk ) részsorozat is konvergens, y nk y = f(x). Összefoglalva, R(f) R rendelkezik a következő, Bolzano-Weierstraß tulajdonsággal: bármely y n R(f) sorozatból ki tudunk választani konvergens részsorozatot úgy, hogy a határérték még mindig az R(f) halmaz eleme. 2.20. Definíció. Legyen H R. Azt mondjuk, hogy H kompakt, ha bármely x n H sorozathoz található (n k ) indexsorozat és x H, hogy x nk x. 2.21. Állítás. Legyen f : R R, D(f) kompakt és legyen f folytonos. Ekkor R(f) értékkészlet szintén kompakt halmaz. Bizonyítás. Szóról szóra meg kell ismételnünk 2.19 Megjegyzés gondolatmenetét. Legyen y n R(f) egy tetszőleges sorozat. Ekkor található olyan x n sorozat, hogy y n = f(x n ). Mivel x n D(f), ami kompakt, ezért található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) részsorozat konvergens. Legyen a határértéke x = lim(x nk ). Viszont f folytonossága miatt (y nk ) részsorozat is konvergens, y nk y = f(x). Az előző állítás érdekessé teheti azt a kérdést, hogyan lehet egy halmazról gyorsan eldönteni, kompakt-e. Szerencsére kiderül, hogy a kompakt halmazok jól ismert objektumok. 2.22. Állítás. Legyen H R. A H halmaz pontosan akkor kompakt, ha korlátos és zárt. Bizonyítás. ( ): Először megmutatjuk, hogy a korlátos és zárt halmazok kompaktak. A gondolatmenet bújtatva szerepelt már 2.19 Megjegyzésben. Legyen H R korlátos és zárt és legyen x n H. A Bolzano- Weierstraß Tétel szerint található olyan (n k ) indexsorozat, hogy (x nk ) konvergens, jelölje határértékét x := lim(x nk ) R. Mivel H zárt, 1.18 Állítás szerint tartalmazza torlódási pontjait, így x H. Tehát H kompakt. ( ): Indirekt, tegyük fel, hogy H R kompakt, viszont vagy nem korlátos, vagy nem zárt. Mindkét esetben következik, vagy 1.19 Megjegyzést vagy 1.18 Állítást használva, hogy található olyan x n H és x R, x / H, hogy x n x. Viszont ekkor, mivel az (x n ) sorozatnak van határértéke, minden (x nk ) részsorozatára teljesül, hogy x nk x / H. Tehát ebből az (x n ) sorozatból nem tudunk kiválasztani H-beli elemhez konvergáló részsorozatot, ami ellentmond annak, hogy H kompakt volt. 2.23. Példa. Mutatunk két tipikus példát kompakt halmazra. Legyen H = [a, b] zárt intervallum, ekkor H kompakt. Legyen H = { 1 n : n N} {0}. Ekkor H kompakt, hiszen korlátos és tartalmazza egyetlen torlódási pontját, a 0-t. 2.24. Állítás. Legyen H R kompakt. Ekkor van maximuma és minimuma, azaz másképp fogalmazva, sup H H és inf H H.

14 BÁTKAI ANDRÁS Bizonyítás. Mivel H korlátos, x := sup H R. Mivel x 1 n nem felső korlátja H-nak, így található x n H, hogy x 1 n < x n x, azaz található olyan x n H sorozat, hogy x n x. Mivel H zárt, így x H. A minimumra hasonló meggondolás alkalmazható. 2.25. Definíció. Legyen f : R R, x 0 D(f). Az x 0 pont (globális) maximumhely, ha bármely x D(f) esetén f(x) f(x 0 ). Hasonlóan, az x 0 pont (globális) minimumhely, ha bármely x D(f) esetén f(x) f(x 0 ). 2.26. Tétel (Weierstraß tétel). Legyen f : R R folytonos és legyen D(f) kompakt. Ekkor f felveszi maximumát és minimumát. Bizonyítás. A 2.21 Állítás szerint R(f) kompakt, legyen y 1 = max R(f), y 2 = min R(f), melyek az előző állítás szerint léteznek. Ezekhez található x 1, x 2 D(f), hogy y 1 = f(x 1 ), y 2 = f(x 2 ). Mivel y 1 maximum, így minden x D(f) esetén f(x) f(x 1 ), Hasonlóan, mivel y 2 minimum, minden x D(f) esetén f(x) f(x 2 ). 2.27. Megjegyzés. Karl Weierstraß [1815-1897] német matematikus. Tizenöt évet középiskolában tanított, mielőtt a berlini egyetem tanára lett. Az analízis megalapozásában elért eredményeiért tartjuk ma is számon a nevét. 2.28. Állítás. Legyen f : R R folytonos és D(f) = [a, b] zárt intervallum. Ekkor R(f) értékkészlet szintén zárt intervallum. Bizonyítás. Legyen x 1 D(f) az f függvény egy minimumhelye és x 2 egy maximumhelye, melyek Weierstraß tétele szerint léteznek. Az egyszerűség kedvéért azt az esetet vizsgáljuk, mikor x 1 < x 2. Legyen η (f(x 1 ), f(x 2 )), megmutatjuk, hogy található olyan z [a, b], hogy f(z) = η. Legyen g(x) = f(x) η, D(g) = [x 1, x 2 ]. Ekkor g(x 1 ) < 0, g(x 2 ) > 0 és g folytonos, így 2.14 Bolzano Tétel szerint található olyan z (x 1, x 2 ), hogy g(z) = 0, azaz f(z) = η. 2.29. Definíció. Az f : R R függvény egyenletesen folytonos, ha bármely ε > 0 számhoz található δ > 0 szám, hogy minden x, y D(f) számra, melyekre x y < δ, következik, hogy f(x) f(y) < ε. Tehát egy folytonos függvény akkor egyenletesen folytonos, ha az ε-hoz keresett δ univerzális. 2.30. Megjegyzés. Ha f : R R Lipschitz folytonos, akkor egyenletesen is, hiszen ha ε > 0-hoz δ = ε L, akkor ha x y < δ, abból következik. f(x) f(y) L x y < Lδ = ε 2.31. Tétel (Heine tétel). Legyen f : R R folytonos és D(f) kompakt. Ekkor f egyenletesen folytonos. Bizonyítás. Indirekt, tegyük fel, hogy D(f) kompakt, de f nem egyenletesen folytonos. Ez azt jelenti, hogy ε > 0 δ > 0 x, y D(f) x y < δ de f(x) f(y) ε. tehát δ = 1 n -hez is található x n, y n D(f), hogy x n y n < 1 n, de f(x n) f(y n ) ε. Mivel D(f) kompakt, így található olyan (n k ) indexsorozat és x D(f), hogy x nk y. Ekkor viszont y nk x, hiszen x n y n < 1 n. Mivel f folytonos, ezért f(x nk ) f(x) és f(y nk ) x, azaz f(x nk ) f(y nk ) 0, ami ellentmondás avval, hogy f(x n ) f(y n ) ε. 2.32. Megjegyzés. Eduard Heine [1821-1881] német matematikus. 2.33. Tétel (inverzfüggvény folytonossága). Legyen f : R R, D(f) = I intervallum (véges vagy végtelen), f szigorúan monoton növő (de nem feltétlen folytonos). Ekkor f 1 szigorúan monoton nő és folytonos.

FOLYTONOSSÁG 15 Bizonyítás. Az f szigorú monoton növéséből azonnal következik, hogy f 1 is szigorúan monoton nő, hiszen pontosan akkor teljesül x 1 < x 2, ha f(x 1 ) < f(x 2 ). Legyen η D(f 1 ) = R(f), ebben a pontban vizsgáljuk f 1 folytonosságát. A szigorú monotonitás miatt egyértelműen létezik x D(f) = I, hogy f(x) = η. Két esetet kell megvizsgálnuk a szerint, hogy x az I intervallum belsejében vagy szélén helyezkedik-e el. (a) Ha x az I intervallum belsejében van, azaz jelben x int I, akkor található r > 0, hogy [x r, x+r] I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen (x ε, x+ε) I. A szigorú monotonitás miatt f(x ε) < η < f(x+ε), így található olyan δ > 0, hogy f(x ε) < η δ < η < η + δ < f(x + ε). Ekkor lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y B(η, δ) D(f 1 ) számra, másképp f 1 szigorú monotonitása miatt teljesül, hogy f(x ε) < η δ < y < η + δ < f(x + ε), x ε < f 1 (y) < x + ε. Használva az x = f 1 (η) egyenlőséget kapjuk, hogy f 1 (y) B(f 1 (η, ɛ). (b) Ha x az I intervallum szélén helyezkedik el, mondjuk bal végpontja (a jobb végpont hasonlóan intézhető el), akkor az előzőekhez hasonlóan eljárva található r > 0, hogy [x, x + r] I. Legyen r > ε > 0, azaz legyen [x, x + ε] I. A szigorú monotonitás miatt f 1 (x) = η < f(x + ε), így található olyan δ > 0, hogy η < η + δ < f(x + ε). Ekkor az előző esethez hasonlóan lényegében készen vagyunk, hiszen tetszőleges r > ε > 0 számhoz találtunk δ > 0 számot, hogy bármely y B(η, δ) D(f 1 ) számra f 1 (y) B(f 1 (η, ε). 2.34. Példa. Legyen D(f) = ( π 2, π 2 ), f(x) = tg x. Az f függvény szigorúan monoton nő, így az előző tétel alapján létezik folytonos inverze. Ezt a függvényt hagyományos módon f 1 (y) = arctg y jelöli. Végül néhány példán keresztül vizsgáljuk meg azokat az alapvető fogalmakat, melyekre a gyakorlatokon kevesebb idő jutott. 2.35. Példa. (1) Legyen D(f) = (0, 1), f(x) = 1 x. Legyen ε > 0. Adott x 0 (0, 1) pontnak keressük azt a lehető legnagyobb K(x 0 ) (0, 1) környezetét, melyre teljesül, hogy minden x K(x 0 ) esetén f(x) f(x 0 ) = 1 x 1 x 0 = x x 0 xx 0 < ε. Ha x < x 0, akkor x0 x x xx 0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 0 1+x 0 ε < x. Ha x > x 0, akkor x 0 x x xx 0 < ε teljesülése avval ekvivalens, hogy 0 ( ) 1 x 0 ε > x. Összefoglalva, K(x 0 ) = x0 1+x 0 ε, x 0 1 x 0 ε. Tehát látszik, hogy a K(x 0 ) intervallum hossza a nullához tart, ha x 0 a 0-hoz közelít, így adott ε > 0 számhoz nem találunk univerzális δ > 0 intervallumhosszot, hogy a folytonossági feltétel teljesüljön. Tehát f nem egyenletesen folytonos, az egyenletes folytonosság a 0 pont közelében romlik el. (2) Legyen D(f) = (0, 1), f(x) = x 2. Az f függvény egyenletesen folytonos, hiszen Lipschitz folytonos is, ami a f(x) f(y) = x 2 y 2 = (x + y) x y 2 x y egyenlőtlenségből látható. (3) Legyen D(f) = R, f(x) = x+sin x. Itt az értelmezési tartomány sem és a függvény sem korlátos, f mégis egyenletesen folytonos, sőt, Lipschitz folytons. Ez könnyen látható, hiszen f(x) f(y) = (x y) + (sin x sin y) x y + sin x sin y 2 x y. (4) Legyen r > 0 és D(f) = [r, + ), f(x) = x. Ez a függvény is Lipschitz folytonos, tehát egyenletesen is folytonos, hiszen f(x) f(y) = x y = 1 x y 1 x + y 2 x y. r

16 BÁTKAI ANDRÁS Ha az r ponthoz nagyon közelről valasztjuk x-et és y-t, könnyen látható, hogy L = 1 2r a lehető legjobb Lipschitz konstans. (5) Legyen D(f) = [0, + ), f(x) = x. Az előző példából r 0 határátmenettel meggondolható, hogy f nem Lipschitz folytonos. Megmutatjuk, hogy egyenletesen folytonos. Mivel x y x y, adott ε > 0-hoz választva δ = ε 2, kapjuk, hogy ha x y < δ, akkor f(x) f(y) < ε.

Index H, 4 H c, 4 lim, 4 Weierstraß, Karl, 14 Bolzano, Bernard, 12 Cauchy kritérium, 5 Cauchy, Augustin, 5 fixpont, 9 folytonos egyenletes, 14 Lipschitz, 10 folytonosság, 2 függvény előjel, 2 exponenciális, 1 hatvány, 1 kiterjesztés, 1 megszorítás, 1 halmaz kompakt, 13 zárt, 4 határérték baloldali, 7 jobboldali, 7 véges pontban véges, 4 véges pontban végtelen, 6 végtelenben, 6 Heine, Eduard, 14 izolált pont, 2 kompakt, 13 kontrakció, 10 Lipschitz, Rudolf, 10 maximumhely globális, 14 minimumhely globális, 14 szakadás elsőfajú, 9 másodfajú, 9 torlódási pont, 4 Tétel átviteli elv folytonosságra, 1 átviteli elv határértékre, 3 Bolzano, 12 Cauchy kritérium, 5 folytonosság és műveletek, 2 határérték és műveletek, 5, 6 Heine, 14 inverz folytonossága, 14 kompozíció folytonossága, 3 kompozíció határértéke, 8 kontrakció elv, 11 monoton függvény határértéke, 9 Weierstraß, 14 17