ROBERT F. ENGLE ÉS CLIVE W. J. GRANGER, A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK DARVAS ZSOLT A Svéd Tudományos Akadémia a 003. évi Nobel-díjak odaíélésé ké fő alkoással indokola: Rober F. Engle eseén az időben válozó volailiás modellezésére kidolgozo ARCH-modell, Clive W. J. Granger eseén a nem-sacionárius válozók vizsgálaára vonakozó koinegráció. Tanulmányunkban bemuajuk e ké módszeran lényegé, főbb előzményeike és uóéleüke, valamin egy-egy magyarországi alkalmazásuka. A cikk végén pedig röviden felsoroljuk a díjazoak ovábbi fonos hozzájárulásai az ökonomeriához. TÁRGYSZÓ: Nobel-díj. Koinegráció. Hibakorrekció. Auoregresszív feléeles heeroszkedasziciás ARCH. A közgazdasági Nobel-díja a svéd jegybank ámogaásával 1969 óa íélik oda. 1 Az elmúl három és fél évizedben a közgazdaságudományokon belül rendkívül válozaos szakerüleek kiemelkedő képviselőinek adományozák (lásd Függelék). 00-ben olyan kuaók kapák a díja (D. Kahneman és V. L. Smih), akik a közgazdaságan és a pszichológia haárerüleén alkoak kiemelkedő. A 003. évi díjazoak, az amerikai Rober F. Engle (New York Universiy) és az angol származású Clive W. J. Granger (Universiy of California, San Diego), viszon a közgazdaságan kvaniaív módszereinek erüleén végezek korszakalkoó kuaásoka. A díjazoak az ökonomeria (Economerics) udományerüleén belül az idősorelemzés (Time series analysis) erüleén dolgozak ki olyan módszereke, amelyek megreformálák mind az ökonomeriaelmélei, mind pedig az alkalmazo gazdasági kuaások irányai, például a bankrendszer kockázakezelési szabályozásában is szerepe kapak. Min ismerees, az ökonomeria a közgazdaságan, a maemaika, és a saiszika udományerüleeinek övöződése. A udományerüleek összekapcsolódásá a 003. évi díjazoak anulmányai kiűnően illuszrálják. 3 Granger egyeemi anulmányai maemaika szakon végeze és dokori oklevélé saiszikából kapa, míg Engle fizikuskén anul és 1 A díj hivaalos elnevezése a kövekező: The Bank of Sweden Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel. A díj öréneéről lásd Lindbeck [001]. A ké díjazo évizedeken á ugyanazon a anszéken dolgozo, hiszen Engle főmunkahelye 1975 és 1998 közö szinén a Universiy of California San Diego vol. Társszerzőkén 0 udományos közlemény jeleneek meg együ és árszerkeszőkén ké könyve szerkeszeek. 3 Az élerajzi ualások forrásai: Engle, Rober F. honlapja: hp://pages.sern.nyu.edu/~rengle/; Granger, Clive W. J. honlapja: hp://www.econ.ucsd.edu/~cgranger/. Saiszikai Szemle, 8. évfolyam, 004. 3. szám
DARVAS: A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 97 közgazdaságanból dokorál. Az ökonomeria mulidiszciplináris jellegé az is jól szemlélei, hogy számos i kifejlesze módszer más udományágakban is használaos, például a ársadalomudományok közül a szociológiában vagy poliológiában, de ársadalomudományokon kívül is minden olyan udományágban felhasználhaók, ahol a megfigyel adaok alapján adódik leheőség kövekezeések levonására, min például az orvosudományban. A ké díjazo az ökonomeria elmélei erüleén, azaz a módszeralkoásban hozo lére maradandó eredményeke. Mindkeen öbb száz udományos cikke adak közre különböző émakörökben, amelyek a legnevesebb lapokban is helye kapak. Granger például összesen minegy 30 udományos közlemény jelenee meg, amelyből nyolc az Economerica című és huszonhárom a Journal of Economerics című lapokban jelen meg, hogy csak a ké legnevesebb ökonomeriai lapo emlísük. Engle minegy 150 udományos közlemény mondha magáénak, melyből az emlíe ké vezeő ökonomeriai folyóira 1, illeve 17 cikke közöl. A folyóiracikkek melle számos könyve is írak, illeve szerkeszeek. A különböző munkáik alapján a legidézeebb szerzők közé aroznak. A rendkívül sokréű udományos eljesímény melle mindkeőjük nevéhez kapcsolhaó egy-egy kiemelkedő alkoás, melye a Svéd Tudományos Akadémia kiemel a díj odaíélésének indoklásakén. Az indoklás alapján Engle a gazdasági idősorok időben válozó volailiásá (ARCH) vizsgáló módszerekér, míg Granger a közös rendeke 4 (koinegráció) köveő gazdasági idősoroka vizsgáló módszerekér kapa. 5 Jelen áekinés elsőkén e ké módszeran lényegé muaja be és illuszrálja hazai adaokkal, majd pedig a díjazoak sokréű, gazdag evékenységének néhány ovábbi fonos eredményé vázolja fel. CLIVE W. J. GRANGER ÉS A KOINTEGRÁCIÓ A ké Nobel-díjas munkásságának bemuaásá az abc-sorrendől elérve Grangerrel kezdjük, részben, mer a keőjük közöi nyolc év korkülönbség mia Granger pályafuása korábban kezdődö, részben pedig azér, mer egyes, mindké émakörnél használaos fogalom definiálása jobban kapcsolódik a koinegráció émaköréhez. A koinegráció közgazdasági háere A koinegráció (coinegraion) fogalmának bemuaásá, amelyhez Clive W. J. Granger alapveő kuaásokkal járul hozzá, kezdjük alán egy szemlélees példával. Képzeljünk egy éppen áncolásba kezdő pár a ánceremben. Vajon a ánc elején meg udjuke jósolni, hogy a erem melyik sarkánál fognak megállni a ánc befejezésekor? Erre valószínűleg nemleges a válaszunk, mer akár olyan mérékben is belefeledkezhenek a áncolásba, hogy csak önfeleden bolyonganak a eremben. Az viszon jól meg udjuk jósolni, hogy ez a bolyongás együ végzik, ehá bárhol is könek ki a eremben, egymáshoz 4 Közös rendeken nem közös deerminiszikus rendek érendők, hanem úgyneveze közös szochaszikus rendek. A szochaszikus rend fogalmának definiálására a 6. lábjegyzeben visszaérünk. 5 A nyolcvanas években kibonakozó koinegrációs echnika hamar bekerül a hazai szakirodalomba is. Kovács [1989] például áfogó helyzeképe ad a különböző koinegrációs echnikákról, Kőrösi e al. [1990] ökonomeria könyvének 4. fejezee pedig didakikusan muaja be a módszeran. Az első hazai empirikus alkalamzások közö Király [1989] a fogyaszás és a megakaríás vizsgála koinegrációs módszerekkel, Király Kőrösi [1990] pedig a fogyaszás, lakásberuházás, és pénzkeresle összefüggései.
98 DARVAS ZSOLT nagyjából olyan ávolságban lesznek, min a ánc elején volak. A koinegráció szabaosan definiál ökonomeriai fogalmának héköznapi szinonimájakén használhajuk a feni közös bolyongás kifejezés. A hevenes években már egyre öbb kuaó vizsgála a gazdasági idősorok ermészeé, és rámuaak arra, hogy a gazdasági válozók jelenős része nemsacionárius. 6 Granger elő hagyományos saiszikai-ökonomeriai módszerekkel vizsgálák a nemsacionárius idősoroka is, az ő álala kidolgozo eszközök azonban alapveően megválozaák ezen idősorok, azaz a gazdasági idősorok öbbségének elemzési kereei. Bemuaa ugyanis, hogy egymásól függelenül generál nem-sacionárius folyamaok egymásra vonakozó regresszióiban, a szokásos hipoézisvizsgálai eszközök alapján, úl gyakran uasíjuk vissza a kapcsola hiányának igaz nullhipoézisé. A kuaásainak ovábbfejleszésével juo el a koinegráció fogalmához, amely azon a felismerésen alapul, hogy nemsacionárius idősorok meghaározo kombinációi viselkedhenek sacionárius módon. Mi is érünk kombináción? A kérdés megválaszolásához vegyünk ismé egy héköznapi példá. Ha valaki befejezi anulmányai és dolgozni kezd valamilyen kezdő fizeés ellenében, akkor ehhez a fizeéséhez igazíja a vásárlásai, például jövedelmének kilencven százaléká elfogyaszja és íz százaléká félreeszi araléknak. Egy kezdő munkavállalónál nehezen jósolhaó meg, hogy milyen élepályá fog befuni: vajon idősebb korára egy vállala igazgaója lesz-e nagy fizeéssel, neán egy középvezeői pozícióig ju közepes jövedelemmel, vagy eseleg éveken á a munkanélkülisége válja rosszul fizee állásokkal. Ezér az mondjuk ami adaokon végze ökonomeriai eszek is aláámaszanak, hogy a bérjövedelem nemsacionárius folyamao köve, amelye a áncospár végső helyzeéhez hasonlóan nehezen udunk előre jelezni. Az viszon jó eséllyel meg udjuk jósolni, hogy az illeő vásárlásai igazodni fognak jövedelméhez: vezérigazgaókén sokkal öbb dologra fog köleni, min munkanélkülikén, így a fenebb emlíe kombinációkén gondolhaunk a vásárlásnak és a jövedelemnek a hányadosára. 7 Természeesen nem ezér a kézenfekvő, korábban is számalan kuaó álal anulmányozo közgazdasági összefüggésér kapa Granger a Nobel-díja, hanem annak az ökonomeriai fogalomnak a megalkoásáér és a módszernek a kifejleszéséér, amely a 6 Egy idősor gyengén sacionáriusnak nevezünk, ha várhaó éréke, varianciája, és auokovarianciái függelenek az időponól. Az erős sacionariás pedig az egymás köveő megfigyelések együes valószínűség-eloszlásának időbeni állandóságá köveeli meg. Egy idősornak egy konkré dáumnál felve érékére úgy ekinünk, min az ado időponhoz arozó eloszlás egy realizációja. Amennyiben az idősorunk sacionárius, akkor a különböző időponbeli konkré megfigyeléseke könnyen fel lehe használni az idősor eloszlásának becslésére. Nemsacionárius eseben azonban más a helyze. A legegyszerűbb nemsacioner folyama az (elolás nélküli vagy elolásos) vélelen bolyongás (random walk wih/wihou drif), azaz (elolás nélküli eseben) y = y 1 + u, ahol u σ FAE (0, σ u ), és a kezdei érék, y 0, konsans vagy szinén valamely eloszlású válozó. Könnyen beláhaó, hogy y a kezdei érék plusz az innovációk (azaz az u -k) (súlyozalan) összegével egyenlő, és ezér varianciája és auokovarianciái váloznak, nevezeesen korlálanul növekednek az időben. Mivel a folyama alakulásá nem a deerminiszikus komponensek (például konsans vagy deerminiszikus rend) dominálják, hanem a szochaszikus sokkok, ezér időnkén a szochaszikus rend kifejezés használják a nemsacioner folyama szinonimájakén. Részleesebben lásd: Hunyadi [1994] és Neményi [1994]. 7 Néhány ovábbi példa a hazai szerzők publikációi közül az 5. lábjegyzeben emlíeek melle: Mellár Rappai [1998] a fogyaszóiár-index különböző komponensei közö vizsgálják a koinegráció. Darvas [001b] a nominális árfolyamnak az árakra gyakorol haásá elemzi egy olyan modellben, amelyben a reálárfolyam egyensúlyi éréké makrogazdasági válozók haározzák meg egy koinegrációs kapcsola kereében, míg az árak rövid ávú alakulására a reálárfolyamnak az egyensúlyól való elérése hibakorrekciókén is haás gyakorol. Darvas Simon [00] az egyensúlyi kibocsáási szin modellezésére állí fel koinegrációs-hibakorrekciós modell. A modellkeree Várpaloai [003] az infláció előrejelzéséhez használja. A echnika a különböző nominális kamalábak közöi kapcsola vizsgálaára is alkalmas, Horváh e al. [004] például a jegybanki kamaoknak a piaci kamaokba való ágyűrűzésé vizsgálják ilyen módszerekkel.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 99 nemsacionárius idősorok kezelésére alkalmas. Min Granger rámuao, nemsacionárius válozók eseén a hagyományos saiszikai-ökonomeriai módszerek félrevezeők lehenek, ezér ha például ké idősor közö a hagyományos módszerek alapján kapcsola lászik kirajzolódni, akkor nem leheünk bizosak abban, hogy a felhasznál adaaink valóban kapcsolaban állnak-e egymással, vagy pedig csak a módszernek köszönheő és így hamis az eredmény. Ha az eredmény valódinak bizonyul, akkor egy megfelelően specifikál modell segíségével a válozóknak mind a hosszú ávú együmozgásá (koinegráció), mind pedig a rövid ávú mozgásaika melyekre a hosszú ávú kapcsolaól való elérés (hibakorrekció) is haással van jellemezni lehe, és akár előrejelzésre, akár különböző szimulációs vizsgálaokra fel lehe használni a modell. Mivel a gazdasági idősorok jelenős része nemsacionárius, ezér a hevenes-nyolcvanas évek fordulóján kifejlesze új módszeran áüő haás gyakorol mind az elmélei, mind pedig az empirikus ökonomeriai kuaásokra. 8 A modell A havanas-hevenes években a gazdasági idősorok saiszikai-ökonomeriai vizsgálaaiban gyakran használák az egyszerű lineáris regressziós módszer vagy valamely szimulán becslőeljárás, és a legjobb eseben is mindössze egy deerminiszikus rende eek az egyenlebe időben növekvő idősorok eseén. A becsül paraméereke vizsgáló hipoézisvizsgálanál pedig a hagyományos eloszlások (például - vagy F-eloszlás) volak használaosak. Granger Newbold [1974] anulmánya azonban, amelyben egy számíógépes kísérle eredményei muaák be, új megvilágíásba helyeze a nemsacionárius válozókra vonakozó hipoézisvizsgálao. Meserségesen lérehozak nemsacionárius idősoroka olyan módon, hogy az őke lérehozó innovációk egymásól eljesen függelenek volak, azaz y = y 1 + u, u ~ FAE (0, σ u ) /1/ x = x 1 + v, v ~ FAE (0, σ v ) // E(u v s ) = 0, s; E(u u -k) = E(v v -k ) = 0 k 0. Így a ké válozó (egymással korrelálalan innovációk nyomán kialakuló) vélelen bolyongás. Mivel egyik válozó sincs haással a másikra, az y = β 0 + β 1 x + ε /3/ regresszióban az várnánk, hogy β 1 valószínűségben konvergál nullához és a deerminációs együhaó (R ) szinén nullához ar. Granger Newbold Mone Carlo-vizsgálaokkal igazolák, hogy nemsacionárius válozók eseén azonban nem ez a helyze, hanem az igaz nullhipoézis a hagyományos eszek gyakrabban fogják elveni, (azaz hamis kap- 8 A koinegrációs echnika az áfogó makromodelleke is alaposan megválozaa: manapság a becsül ökonomeriai makromodellek öbbnyire koinegrációs-hibakorrekciós egyenleekre épülnek. Lásd például Jakab Kovács [00]. A Magyar Nemzei Bankban jelenleg készülő Negyedéves Előrejelző Modell (NEM) egyenleei is ez a specifikáció köveik, lásd Jakab e al. [003].
300 DARVAS ZSOLT 9 csolao kimuani), min amekkora a felhasznál szignifikanciaszin. Ez a jelensége hamis regressziónak (spurious regression) nevezék el, amely a koinegráció fogalmának kifejleszése erén e első kiemelkedő lépés vol. Granger és Newbold szimulációs vizsgálaukkal az is kimuaák, hogy amennyiben a Durbin Wason-saiszika kisebb az R - nél, akkor a regresszió nagy valószínűséggel hamis. A legfonosabb anulság, amelye a Granger Newbold-anulmány a felszínre ár az, hogy a szokásos hipoézisvizsgálai eszközök nem alkalmazhaóak nemsacionárius folyamaoknál. Granger professzor egyik előadásában erről az időszakról az meséle, hogy kollegái a London School of Economics-ban nem akarak hinni az eredményeinek, hanem az gondolák, hogy a számíógép programozásában vée valamilyen hibá. Ma már ermészeesen udjuk, hogy igaza vol, és egy alapveő udományerülenek fekee le az alapjai. A hamis regresszió problémájának elkerülésére gyakran alkalmazák a növekményekre felír regresszió, hiszen nemsacioner válozók növekményei gyakran már sacionáriusok. Ez azonban nem felélenül helyes eljárás. Egyrész, ha az adaok valójában sacionáriusak (például /1/-ben az auoregresszív paraméer nem 1, hanem mondjuk 0,9), akkor éves specifikációjú ez a regresszió. Másrész, ha y és x koinegrál folyamao (coinegraed processes) alkonak, akkor éves specifikációjú a dinamikus kapcsola felírására szolgáló egyenle, ha egyszerűen csak a növekmények idősoraira vonakozik (azaz Δy -re és Δx -re), és nem szerepel benne a későbbiekben bemuaandó hibakorrekciós ag. 10 Harmadrész a közgazdasági elméleek álalában a válozók szinjére, és nem pedig a növekményeikre fogalmaznak meg állíásoka, ezér a szinek modellezése is elengedheelenül fonos. Az inegráció és a koinegráció fogalmai Granger [1981] definiála. Egy x nemsacionárius folyamao d-ed rendű inegrálnak nevezünk és I(d)-vel jelölünk, ha d- ik növekménye sacionárius (de a d 1-ik növekménye még nem az) 11 ; a sacionárius válozóka az I(0) szimbólummal jelöljük. A legegyszerűbb esee a vélelen bolyongás, azaz x = x 1 + v jeleni, ahol v sacionárius, azaz x ~ I(1). Ekkor a növekmény: Δx x x v ~ ( 0). 1 = I A koinegráció kifejezés közös inegrálságra ual. Formálisan, ké idősor akkor nevezünk koinegrálnak, ha mindkeő azonos rendben inegrál (például I(1)), de léezik egy olyan lineáris kombinációjuk, amely alacsonyabb rendben inegrál (például sacionárius). Tekinsünk például egy egyszerű regresszió: y = βx + u, ahol legyen y és x I(1). Ekkor u előállíhaó y és x lineáris kombinációjakén: u = y βx, amely ha eljesíi a sacionariás feléelei, akkor y és x koinegrálak az (1, β) koinegráló vekorral. 9 A feni példa ké válozója elolás nélküli vélelen bolyongás, azaz időben nem növekvő folyamaok. Időben növekvő folyamaok eseén még könnyebben elképzelheő a hamis regresszió problémája. Képzeljük el, például, hogy a cipőgyárás és a búzaermelés növekvő idősor alkonak, mindkeő vélelenül ingadozik a sajá növekedési üeme álal meghaározo pályája körül. Ha regresszió illeszünk a ké idősorra, akkor nagy valószínûséggel jó saiszikáka kapunk, hiszen egy időben növekvő idősor egy konsanssal magyarázva nagy valószínűséggel magasabb elérés-négyzeösszegeke kapnánk, min egy másik (bár őle függelen) időben növekvő idősor lineáris kombinációjakén. Eredményül magas R, F és -hányadosérékeke kapunk annak ellenére, hogy elméleileg semmilyen oksági viszony sem állíhaó fel a ké idősor közö. 10 Igazolhaó, hogy koinegrál idősorok eseén nem léezik véges késleleésű felírása a puszán növekményeke aralmazó modellnek. 11 Granger [1981] mind az inegráció, mind pedig a koinegráció fogalmá ör d-re is definiála (egész számokon úlmenően), amelye frakcionálsan inegrál/koinegrál folyamaoknak nevezünk. A hazai szerzők közül például Hornok e al. [1999] anulmányozák e folyamaok ulajdonságai.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 301 Az álalános definíció szerin ké I(d) (d > 0) idősor akkor nevezünk koinegrálnak, ha léezik olyan lineáris kombinációjuk, amely I(d b) (d b > 0), azaz az inegrálsági fok csökken. Mivel a legöbb gazdasági idősor I(1), ezér az első egyszerűbb definíció szokás használni. Könnyen beláhaó, hogy kéválozós eseben (a konsassal való szorzásól elekinve) maximum egy koinegráló vekor lehe, és álalánosabban, n darab inegrál válozó közö maximum n 1 egymásól lineárisan függelen koinegráló vekor lehe. 1 A Granger Newbold [1974] álal bevezee hamis regresszió ismereésénél megemlíeük, hogy ha y és x azonos rendű inegrál folyamaok és koinegrálak, akkor éves specifikációjú a dinamikus kapcsola felírására szolgáló egyenle, ha egyszerűen csak az idősorok növekményeire vonakozik. Ennek oka az, hogy ha a válozók koinegrálak és ezér léezik közöük hosszú ávú kapcsola, akkor a válozók rövid ávú dinamikus alakulásá befolyásolja a hosszú ávú egyensúlyól való előző időszaki elérés. Azaz a különbségekre felír rövid ávú dinamikus egyenlee ki kell egészíeni a hosszú ávú kapcsola hibaényezőjének késlelee érékével. Ennek alapjá Granger reprezenációs éele adja. A éel eljes kimondásá és bizonyíásá lásd például Engle Granger [1987] 55 58. oldal. I csak a szinekre felír vekor-auoregresszív (VAR) modell és a növekményekre felír hibakorrekciós modell kapcsolaá vázoljuk (VECM). Tekinsük ké válozó p-ed rendű VAR reprezenációjá: p y = c + γ 1, i i= 1 11 p x = c + γ, i i= 1 1 y i y i p + γ, i i= 1 1 p + γ, i i= 1 x i x i + ε + ε 1,,, /4/ ahol ε 1, és ε, (poenciálisan korrelál) fehér zaj folyamaok. Ha mindké válozó I(1) és koinegrálak, akkor a rendszer áírhaó az alábbi vekor hibakorrekciós (vecor error correcion VECM) alakba: Δy = ξ 1 Δx = ξ + α + α 1 ( y βx δ) 1 1 p 1 + ξ, i i= 1 11 p 1 p 1 ( y ) 1 βx 1 δ + ξ, iδy i + ξ, iδx i + ε, i= 1 1 Δy i p 1 + ξ, i i= 1 1 i= 1 Δx i + ε 1,, /5/ 13 amelynél legalább az egyik α i nem nulla. Az /5/ egyenle mindké oldalán azonos rendben inegrál válozók szerepelnek ezér kiegyensúlyozonak (balanced) hívjuk, nevezeesen mindegyik válozó sacionárius, hiszen a ké folyama koinegrálságából köveke- 1 A koinegráció érelmezheő olyan öbbválozós modellben is, amelyben elérő inegrálságú válozók is vannak. Egy példa: legyen három válozónk, x és y ~ I() és z ~ I(1). Ha léezik ké koinegráló vekor, hogy w = x β1 y ~ I(1) és z β w ~ I(0), akkor a három válozó koinegrál. 13 A /5/ egyenleben azér szerepel ké helyen is konsans (ζ i és α iδ), hogy a hibakorrekciós ag szemléleesen jelezze az egyensúlyól való elérés, azaz a hibá, ugyanis egyensúlyhiány akkor udunk jól érelmezni, ha annak a várhaó éréke nulla. Természeesen, ha y 1 βx 1 δ ~ I(0), akkor y 1 βx 1 ~ I(0) is, és az /5/ egyenle konsansai összevonhaók; viszon erre az összevon konsansra egy megfelelő megköésnek kell eljesülnie ahhoz, hogy a válozók valóban együ haladjanak.
30 DARVAS ZSOLT zik, hogy y 1 βx 1 δ ~ I(0), és a válozók első rendű inegrálságából az, hogy a növekmények sacionáriusak. Az /5/ egyenlee azér nevezik hibakorrekciós modellnek, mer az y 1 βx 1 δ kifejezés éréke éppen az muaja meg, hogy az y = δ + βx álal megesesíe hosszú ávú kapcsolaól az előző időszakban mekkora elérés muakozo. Az /5/ egyenleben ehá az egyik válozó megválozása nemcsak a másik válozó megválozásáól (például fogyaszás növekedésének nagysága nemcsak a jövedelem növekedéséől) és sajá múlbeli növekményeiől függ, hanem az előző időszaki hiba nagyságáól is (azaz aól, hogy az előző időszaki fogyaszásunk összhangban áll-e jövedelmünkkel). A koinegrációs echnika kidolgozásában alán a leggyakrabban hivakozo cikkben Granger ársszerzője az idei másik Nobel-díjas, Rober F. Engle vol (lásd Engle Granger [1987]), így sokszor Engle Granger-módszerkén ualnak a koinegráció eszelésére és becslésére vonakozó legalapveőbb módszerre. Ennek ké válozaa van: ha közgazdasági megfonolások alapján előre ismerjük a koinegráció vekor, illeve ha nem ismerjük és a minából kell az becsülni. Elmélei megfonolások alapján gyakran a priori ismer a koinegráló vekor. Ha a vizsgál válozók például egymás azonos arányai, amely logarimizálás uán azonos különbsége jelen, 14 akkor a koinegráló vekor azonos abszolú érékű számoka aralmaz. Például, (1, 1) a koinegráló vekor a (logarimizál) fogyaszás és jövedelem, valamin a nominális kamaláb és az infláció eseén (reálkamaláb), vagy (1, 1, 1) a koinegráló vekor a (logarimizál) belföldi árak, külföldi árak, és az árfolyam eseén (vásárlőerő-pariás). Ha ismer a koinegráló vekor, akkor egyrész meg kell győződni arról, hogy a válozók azonos rendben inegrálak-e, és ha igen, akkor elő kell állíani ezek lineáris kombinációjá, z = = βy, és z sacionariásá kell megvizsgálni az erre vonakozó módszerekkel. Ha elmélei megfonolások alapján nem állapíhaó meg a koinegráló vekor, akkor a minából kell becsülni az az ()y 1 = β 0 + β 1 y + β y 3 + + β n 1 y n + u /6/ egyenle illeszésével. Engle és Granger bemuaák, hogy a koin egráló vekor becslése ha fennáll a koinegráció konziszens még akkor is, ha u auokorrelál, vagy ha u korrelál Δy, Δy 3,, Δy n -vel. Ső a konvergencia sebesség T, azaz gyorsabb, min sacionárius válozók közöi regressziós paraméereknél szokásos T 0,5, ezér a becslés szuperkonziszensnek nevezik. (A gyorsabb konvergencia sebesség bizosíja a konziszenciá az auokorrelál és a késlelee növekményekkel való korreláció eseeire.) A vizsgála második lépése a hibakorrekciós modell becslése. Az eljárás alapjá Engle Granger éele adja. A hosszú ávú egyensúly és a hibakorrekciós modell kélépéses becslése egy koinegráló vekor eseén, amelynél a hibakorrekciós modellben a becsül koinegráló vekor szerepel a ényleges vekor helye, azonos haáreloszlású azzal a maximum likelihood becsléssel, amely a ényleges vekor használja. A koinegráció eszeléséhez az első lépésben becsül hibaagok sacionariásá kell 15 eszelni. Mivel i minából becsül reziduumoka vizsgálunk, ezér az ezekre alkalma- 14 Például, ha C jelöli a fogyaszás és Y a jövedelem reáléréké valamely pénzegységben, és C /Y = 0,9, akkor logarimizálás uán c y = 0,105 (=ln(0,9)). 15 Ponosabban Engle Granger hé leheséges eszsaisziká vizsgálak a koinegráció eszelésére, de ezek közül a szimulációs vizsgálaaik alapján a becsül hibaagokra illesze kibővíe Dickey Fuller-féle eszegyenle nyújoa a legkedvezőbb ulajdonságoka.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 303 zo egységgyökeszeknek más lesz az eloszlása, min amelyek megfigyel idősorok eseén érvényesek. Például, a Dickey Fuller-esz eseén az eloszlás kriikus érékei függnek a válozók számáól és abszolú érékben magasabbak a Dickey Fuller kriikus éréknél. Előzmények és ovábbfejleszések Az előzményeke, amelyek a hibakorrekciós modellre vonakoznak, Engle Granger [1987] is számba veszik. Phillips [1957] és Sargan [1964] már használak hibakorrekciós modelleke, melyben az feléelezék, hogy az egyensúlyalanság bizonyos hányada korrigálódik a kövekező periódusban. Davidson Hendry Srba Yeo [1978] fogyaszási modelljében pedig a (logarimizál) fogyaszás jövedelem különbség késleee éréke, min hibakorrekciós ényező, gyakorol haás a fogyaszás megválozására. Az idősorelemzés nagyarányú fejlődése is kedvező környezee ereme a ovábbi kuaásokhoz. Box Jenkins [1970], Fuller [1976], Dickey Fuller [1979], és Nelson Plosser [198], hogy csak néhány nevezees műve emeljünk ki, mind a sacionárius, mind a nemsacionárius egyválozós idősormodellek erüleén fonos eredményeke érek el és gyakran hivakozo szerzőkké válak. A ovábbfejleszések egyik iránya a koinegráció-hibakorrekció kifejleszése során Mone Carlo-szimulációkkal anulmányozo eloszlások (például Garnger Newbold [1974], Engle Granger [1987]) analiikus levezeése. Ebben Peer C. B. Phillips jászo úörő szerepe az úgyneveze függvényereken érelmeze közponi haáreloszlás éel (funcional cenral limi heorem) és a folyonos leképezési éel (coninuous mapping heorem) alkalmazásával. 16 Például a hamis regresszióval kapcsolaban Phillips [1986] kimuaa, hogy a /3/-ban sem β 0 -nak, sem β 1 -nek nincsen -eloszlása, nincsen semmilyen haáreloszlása, ső a minaelemszám növekedésével divergálnak valószínűségben, ezér bármilyen rögzíe kriikus érék eseén a nullhipoézis visszauasíásai százaléka növekszik a minaelemszám növekedésével. Ez máskén fogalmazva az jeleni, hogy a nincs kapcsola nullhipoézis visszauasíásának gyakorisága növekszik a minaelemszám növekedésével, azaz úgy űnhe, minha a /3/-as regressziónál y és x szignifikáns kapcsolaban állnának, holo a valóságban eljesen függelenek. Az F esz sem konvergál egy véges érékhez hamis regressziónál a minaelemszám növelésével. Phillips elmélei anulmánya az is levezee, hogy hamis regresszió eseén a DW-saiszika nullához ar a minaelemszám növekedésével, míg amikor a ké válozó valóban oksági kapcsolaban áll, akkor a DW egy poziív érékhez konvergál. Így a DW-saiszika hasznos eszköz lehe a hamis regresszió felderíésében, azonban ennek a saiszikának rosszak a kismina-ulajdonságai. A DW < R hüvelykujjszabály így hasznos információ szolgálaha, kismina eseén azonban célszerű ennek eredményé sejéskén kezelni, és más módszerekkel is eszelni a regresszió valódiságá, illeve hamisságá. A másik fő ovábbfejleszési irány a koinegrációra vonakozó alernaív becslőfüggvények kidolgozása és azok saiszikai ulajdonságainak elemzése. Szine megszámlálhaalan az ezen irányba örén ovábbfejleszéseknek a száma. Ezek közül csak a leggyak- rabban használ, Johansen [1988], [1991] álal kifejlesze FIML-becslés ekinjük á. 16 Phillips [1987] ez a echniká alkalmazva analiikusan levezee egy nem-sacionárius válozó auoregresszív modelljének különböző eloszlásai is, min például a Dickey Fuller álal Mone Carlo-szimulációval előállío eloszlásoka.
304 DARVAS ZSOLT Az Engle Granger-módszer egyik problémája az vol, hogy érzékeny lehe a válozók normalizálására, ugyanis a saikus hosszú ávú regresszióban az egyik válozó paraméeré 1-re kell normalizálni és az az egyenle bal oldalára helyezni. Másrész, ha öbb min ké válozó közö keresünk hosszú ávú kapcsolaoka, akkor öbb min egy koinegráló vekor lehe közöük, míg az egy egyenlees Engle Granger-módszerrel csak egye lehe megbecsülni. Harmadrész, bár a koinegráló vekor becslése szuperkonziszens, az aszimpoikus eloszlása függ olyan zavaró paraméerekől (nuisance parameer) amelyek az endogeniás és az auokorreláció folyán merül(he)nek fel. Végül, bár a koinegráló vekor becslése szuperkonziszens, a kisminában igen jelenős orzíás leheséges. Számos Mone Carlo-vizsgála igazola, hogy kisminák eseén kedvezőlenek az Engle Granger eljárás ulajdonságai. Ezen problémákra nyúj megoldás Johansen eljárása, amely a koinegráló vekorok álal kifeszíe ere becsli meg. Ennek a érnek a dimenziója a koinegráló vekorok számával egyenlő 17, és azér az álaluk kifeszíe ere, és nem a vekorok kokré paraméerei becsli, mivel azok öbb koinegráló vekor eseén (a skalárral való szorzáson úlmenően) nem egyérelműen meghaározoak, hiszen ké (vagy öbb) koinegráló vekor lineáris kombinációja is koinegráló vekor. 18 A Johansen-féle eljárás a VECM-reprezenáción alapul, azaz az /5/ egyenleen, melye n válozóra paraméermárixokkal az alábbi formában írhaunk: p 1 + ΓiΔy i ε i 1 Δy = γ + αβ y 1 +, /7/ = ahol y I(1) idősorokból álló (n 1)-es vekor, γ a konsansok (n 1)-es vekora, az (r n)-es β márix a koinegráló vekorok márixa (az álaluk kifeszíe ér bázisvek- orai), azaz a márix sorai lineárisan függelenek és a z = β y ( r 1)-es vekor saci- onárius, az (n r)-es α márix a hibakorrekciós paraméerek márixa, és Γ i pedig (n n)-es paraméermárixoka jelöli. A számíások kezdeén ermészeesen nem udjuk, hogy hány koinegráló vekor van, azaz nem udjuk az α és β márixok dimenziói. Korláozalan becsléskor csak a ké márix szorzaá, azaz az (n n)-es Π = αβ márixo becsüljük, és ennek a rangja haározza meg, hogy van-e és ha van, akkor hány koinegrációs kapcsola a válozók közö. Ahhoz, hogy az egyenle mindké oldalán sacionárius válozók álljanak, Π -nek nem lehe eljes rangja. Ha ugyanis eljes rangja lenne, akkor Π y 1 nem lenne sacionárius, ezér a Johansen álal kifejlesze eszeljárás elsőkén e márix rangjá vizsgálja, melye köveően különböző hipoézisvizsgálaok végezheők a modellben. 17 Min emlíeük, n darab inegrál válozó közö maximum n 1 egymásól lineárisan függelen koinegráló vekor lehe. 18 Egy példa: ekinsünk ö válozó és feléelezzük, hogy mindegyik I(1) folyamao köve: hazai árszínvonalválozás (Δp), külföldi árszínvonalválozás (Δp*), a devizaárfolyam válozása (Δe), hazai kamaláb (i), külföldi kamaláb (i*). Elmélei ismereeink alapján az alábbi ké pariásos kapcsola fennállása feléelezheő: (1) vásárlóerő pariás: Δp Δp* Δe= u, () kamapariás: i i* Δe = v (ahol u és v nulla várhaó érékű sacionárius folyamaok). Azaz a ké koinegráló vekor az (1, 1, 1,0,0) és (0,0, 1,1, 1), és ezek a koinegráló vekorok egymásól lineárisan függelenek. A koinegráló vekorok lineáris kombinációja is koinegráló vekor, hiszen ké sacionárius folyama kombinációjáról van szó. Például vonjuk ki a második vekorból az első, amely közgazdaságilag jól érelmezheő összefüggéshez veze: ( 1,1,0,1, 1), azaz kiírva: (i Δp) (i* Δp*) = nulla várhaó érékű sacionárius válozó, ehá a hazai és külföldi reálkamaláb nem ér el arósan egymásól. Ezen három koinegráló vekorból azonban csak keő függelen, hiszen bármelyik keőnek a lineáris kombinációjából előállíhaó a harmadik.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 305 Alkalmazás A koinegráció fogalmának egyik szépsége, hogy illuszrálásához nem is felélenül kell bonyolul számíásoka végezni, hanem néhány jól kiválaszo ábrával is soka el le- Erre az árak és a valuaárfolyamok kapcsolaa is kiűnő leheősége ad. he mondani róla. Az 1. ábra a magyar, a cseh, és a néme fogyaszóiár-indexeke, valamin magyar forinnak és a cseh koronának a néme márkával szembeni árfolyamá muaja. (Az euró bevezeése uán a rögzíe euró-márka árfolyam alapján származauk a márkával szembeni árfolyamoka.) Az összehasonlíhaóság kedvéér mindegyik idősor éréké 100-ra normáluk az 1996-os minakezdenél. Százalék 50 1. ábra. Fogyaszóiár-indexek és valuaárfolyamok, 1996. 003. december (Index: 1996. = 100) 5 00 175 150 15 100 75 50 1996. 1997. 1998. 1999. 000. 001. 00. 003. Magyarország: fogyaszóiár-index Csehország: fogyaszóiár-index Némeország: fogyaszóiár-index Forin/márka árfolyam Korona/márka árfolyam Forrás: IMF Inernaional Financial Saisics. Min az ábráról leolvashaó, a magyar árak öbb min megkészereződek, a cseh árak közel 40 százalékkal, míg a néme árak minegy íz százalékkal emelkedek a vizsgál nyo lc év ala. A forinnak a márkával szembeni árfolyama kezdeben gyengül, azaz egyre öbb forino kelle adni egy márkáér, de 001 óa az éréke némi hullámzás uán viszonylag sabilan alakul. Ezzel szemben a cseh korona éréke gyakorlailag sabil vol az időszak nagy részében, ső 001 uán még erősödö is a márkával szemben, azaz egyre kevesebb cseh koroná kelle adni egy márkáér. Ezek uán képezzük a belföldi árak, a néme árak, és az árfolyam kombinációjá olyan módon, hogy a belföldi áraka eloszjuk a néme árak és az árfolyam szorzaával. A külföldi árnak és az árfolyamnak a szorzaa az muaja meg, hogy hazai pénzben (például forinban) mennyibe kerül a külföldi ermék, így ha ezzel oszjuk el a belföldi áraka, ak-
306 DARVAS ZSOLT kor a hazai és a külföldi ermékek egymáshoz viszonyío relaív árá kapjuk meg, melye reálárfolyamnak nevezünk. A. ábra muaja a magyar-néme és a cseh-néme reálárfolyam alakulásá, amelyeke az 1. ábrán láhaó alapadaokból számolunk.. ábra. Némeországgal szembeni reálárfolyamok, 1996. 003. december (Index: 1996. = 100) Százalék 160 150 140 130 10 110 100 90 80 1996. 1997. 1998. 1999. 000. 001. 00. 003. Magyar néme reálárfolyam Cseh néme reálárfolyam Forrás: Sajá számíás az 1. ábra adaai alapján. Annak ellenére, hogy a magyar árak és a forin árfolyamának időbeli pályája alapveően elér a cseh árak és a korona árfolyama pályájáól, a ké országnak a Némeországgal szembeni reálárfolyama nagyon hasonlók: a hé és fél év ala minegy negyven százalékkal emelkedek, amelynek közgazdasági magyarázaá (a ermelékenységkülönbségen alapuló reálfelérékelődés) meg udjuk adni (lásd például Kovács [00]), ovábbi inegrál válozóka aralmazó modellből konsans várhaó érékű koinegráló kapcsolao is ki udunk muani. Azaz az árak és az árfolyamok akár eszőlegesen is elbolyonghanak, a közöük levő összefüggés előbb vagy uóbb a felszínre ör, amelye a koinegráció vizsgálaára kifejlesze módszerekkel szabaosan lehe anulmányozni. ROBERT F. ENGLE ÉS A FELTÉTELES HETEROSZKEDASZTICITÁS A gazdasági válozók ingadozásai fonos szempono jelenenek a különböző közgazdasági dönések meghozaalakor. Képzeljük el például, egy őzsdén forgalmazo részvény árfolyamá, amely napról napra jelenős mérékben megválozha, vagy egy állampapírokba örénő befekeés alapbefekeési jegyeinek éréké, amely sabilabb inveszíció esesí meg. Az 3. ábra például ké részvény (Richer Gedeon és az OTP), egy kövényalap (Budapes I. befekeési alap), valamin ezen három pénzügyi eszköz együes arásából álló befekeés azaz egy porfolió éréké muaja.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 307 3. ábra. 100 forin kezdei befekeés érékének alakulása 1999. 3. és 003. december 3. közö 300 50 00 Richer Gedeon részvény OTP részvény Budapes I. kövényalap Porfólió (a három egyenlő arányban) 150 100 50 1999 000 001 00 003 Forrás: Részvényárfolyamok: CA-IB R.; Kövényalap: Budapes Befekeési R. A feléeles heeroszkedasziciás közgazdasági háere A porfolió összeállíásánál az feléelezük, hogy a befekeő azonos összege fekee be mindhárom pénzügyi eszközbe. Az áralakulások könnyebb összehasonlíhaóságának érdekében az 3. ábra az muaja, hogyan alakul volna száz forin 1999. 3-i befekeés éréke az egyes eszközökbe, illeve a porfolióba az idő előrehaladával. Az ábráról leolvashaó, hogy a részvényárfolyamok igen nagy mérékben ingadozak, míg a kövényalapbefekeés éréke sokkal egyenleesebben gyarapodo a részvényekhez képes. Gazdasági dönések meghozaalakor a válozékonyság, melye a pénzügyi szaknyelvben gyakran volailiásnak (volailiy) neveznek, kvaniaív mérése elengedheelen. A kellően álalános gazdasági dönések kifejezés ala legegyszerűbb eseben gondolhaunk például arra, hogy a megakaríásainka milyen eszközökbe fekessük. Álalánosabban, a válozékonyság ismeree nélkülözheelen a részvények és egyéb pénzügyi eszközök árának meghaározásához. Emelle bármilyen saiszikai ökonomeriai számíás is végzünk, ismernünk kell annak ponosságá. Például, ha egy előrejelzés készíünk arra vonakozóan, hogy mennyi lesz egy részvény éréke holnap, ké nap múlva, vagy egy hónap múlva, akkor ismernünk kell az előrejelzésünk megbízhaóságá, amelynek kiszámíásához szinén a válozékonyság valamely mérőszámá hívjuk segíségül. Rober Engle munkássága elő öbbnyire a szórás használák a válozékonyság mérőszámakén. A szórás azonban akkor lehe jó mérőszáma a válozékonyságnak, ha éréke sabil, azaz maga a szórás nem válozik. Számos gazdasági válozónál ugyanakkor helyelen feléelezés lenne a szórás állandósága: ehhez elég csak a 3. ábra részvényárfolya- maira pillananunk, melyről láhaó, hogy vannak időszakok, amelyeke erősebb válozékonyság jellemez és vannak csendesebbek. A válozékonyságról személeesebb képe ad a 4. ábra, amely a 3. ábrán bemuao befekeések hozamainak (azaz az egyik napról a másik napra örénő árválozásainak) százalékos éréké muaja. Ezen az ábrán jól kive-
308 DARVAS ZSOLT heő a válozékonyság csoporosulása (clusers of volailiy), azaz vannak periódusok, amikor alacsony a válozékonyság, míg más időszakokban ez magas, vagy másképpen fogalmazva, egy ado napi magas válozékonyságo jó eséllyel köve a kövekező napon is magas válozékonyság, míg egy csendes napo valószínűleg egy másik csendes nap fog köveni. 4. ábra. A befekeések érékének napi százalékos válozása, 1999. 3. 003. december 3. Richer Gedeon-részvény OTP-részvény 0 0, 10 0,1 0 0-10 -0,1-0 1999 000 001 00 003-0, 1999 000 001 00 003 Budapes I. kövényalap Porfólió 0,008 0,10 0,004 0,05 0 0-0,004-0,05-0,008 1999 000 001 00 003-0,10 1999 000 001 00 003 Forrás: Sajá számíások a 3. ábra adaai alapján. Engle modelljének kifejleszése elő ez a jelensége úgy próbálák meg kezelni, hogy a szórás számíásakor nem az egész minaperiódus használák fel, hanem például csak a legfrissebb pár hé adaai. Ezzel az egyszerű módszerrel szemben azonban számos probléma veheő fel. Például, hogyan haározzuk meg, hogy hány nap adaai használjuk fel a számíásokhoz? Másrészről az ilyen módon való számíás az feléelezi, hogy a holnapi volailiás számíásában ugyanolyan szerepe a mai válozékonyságnak, min a sokkal korábbiaknak, amelyhez nem könnyű közgazdasági aláámaszás alálni. Harmadrész, mivel egy rövid megfigyelési időszakból örénik a becslés, így az jelenős becslési bizonyalansággal erhel, hiszen hosszú idősorokból álalában megbízhaóbb becsléseke lehe adni. A nyolcvanas évek elején Engle [198] egy elegáns ökonomeriai modell javasol ezen problémák kezelésére, amelye auoregresszív feléeles heeroszkedasziciásnak (auoregressive condiional heeroskedasiciy ARCH) neveze el. 19 Az elnevezésben a heeroszkedasziciás kifejezés a volailiás válozásá jeleni, a feléeles arra ual, hogy valaminek a függvényében haározzuk meg a volailiás, az auoregresszív pedig arra, hogy a mai volailiás függ a volailiás múlbeli érékeiől. Ez a modell, amelye 19 Bár Engle az infláció modellezésé válaszoa empirikus illuszrációul, az alkalmazások iránya hamar áerjed a pénzügyi idősorokra.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 309 számalan ovábbi irányban fejleszeek ovább, megoldás kínál az előző bekezdésben felvee három problémára. Egyfelől nem haároz meg egy konkré időaramo a volailiás mérésére, hanem elvileg az összes múlbeli éréke felhasználja, ezér egyben egy hosszú időszak alapján készülhe a számíás. Másfelől azonban nem egyenlő szereppel veszi a múlbeli érékeke figyelembe, hanem súlyozással: a közelmúlbeli eseményeknek nagyobb haásuk van, min a régieknek. A nagyságrendeke, azaz a súlyozás pedig az adaokra bízza: a modell bizonyos paraméerei haározzák meg a súlyoka, és ezeke a paraméereke egy-egy konkré idősor alapján becsülni lehe. Az alán meg sem kell emlíeni, hogy Engle kifejleszee a paraméerek becslésének echnikájá is. A modell Az ARCH-modellek ehá nem a válozó várhaó éréké, hanem annak varianciájá modellezik. Jellemezze például egy elsőrendű auoregresszív folyama (AR(1)) a vizsgál válozó várhaó éréke: Y = φ 0 + φ 1 Y 1 + u. /8/ A hibaagról, u -ről feleük, hogy függelen és azonos eloszlású (FAE) fehér zaj, azaz E(u ) = 0 és E(u ) = σ, E(u u -s ) = 0, s 0. Ezen feléelekből könnyen levezeheő, hogy ha φ 1 < 0, akkor E(Y ) = μ = φ 0 /(1 φ 1 ) és E[(Y k μ) ] = γ k, ehá sem a várhaó ér- ék, sem a második momenumok nem függenek -ől, így Y sacionárius. Ha a hibaag ARCH(m) folyamao köve, akkor a /8/ összefüggés helye az alábbi három egyenleel írhaó le a folyama: h = α 0 + α 1 u Y = φ 0 + φ 1 Y 1 + u, 1 + α u /9/ u = v h, /10/ + + α m u m, /11/ ahol { ν } függelen és azonos eloszlás ú válozó nulla várhaó érékkel és egységnyi varianciával. Ekkor a hibaag varianciájának feléeles várhaó éréke: E(u u 1, u,, u m ) = α 0 + α 1 u 1 + α u + + αm u m, /1/ azaz felfoghajuk a hibaag varianciájának folyamaá úgy is, minha az egy AR(m) folyamao kövene: u = α + α u + α u + + α u + w, /13/ 0 1 1 m m ahol w aj, E(w ) = 0 és E(w ) = λ FAE fehér z, E(w w s ) = 0, s 0. Az α i paraméereknek olyanoknak kell lenniük, hogy E(u u 1, u,, u m ) > 0 mindig fennálljon, amely α 0 > 0 és α i 0, i = 1,...,m együes feléel eseén eljesül. Ha emelle még /13/ sacioná-
310 DARVAS ZSOLT m rius folyamao köve, azaz ha i = 1 αi <1, akkor meghaározhaó u ( nem feléeles) várhaó éréke: E(u ) = α 0 / (1 α 1 α α m ). /14/ Tehá, bár E(u ) konsans, u feléeles varianciája időben válozó. A feléeles/feléel nélküli variancia kézenfekvő analógiája a feléeles/feléel nélküli várhaó éréknek. Amennyiben Y folyama sacionárius, amely a /8/ egyenleben feléeleze AR(1) paramerizálás melle a φ 1 <0 feléellel írhaó le, akkor Y-nek konsans a várhaó éréke, amely φ 0/(1 φ 1), de feléeles várhaó éréke, amely E(Y Y 1,Y,,Y p ) = φ 0 + + φ 1 Y 1, időben válozik. Ha egy AR-ARCH specifikációban mind a várhaó érék, mind pedig a variancia egyenle sacionárius, akkor a modelleze folyamanak mind a feléel nélküli várhaó éréke, mind a feléel nélküli varianciája állandó, viszon mind a feléeles várhaó éréke, mind pedig a feléeles varianciája válozik. ARCH haások eszelésére alapveően ké módszer léezik, de egyikhez sem szükséges a modell ARCH-kén való becslése, hanem egy megfelelő (várhaó érékre vonakozó) regresszió becsül hibaagjai kell vizsgálni. 1. Ha jelen vannak ARCH-haások, akkor az ARCH nélkül becsül egyenleünkben, bár a hibaagok auokorrelálalanok, de a hibaagok négyzee auokorrelál. 0 Így a hibaagok négyzeének korrelogramjára pillanva, valamin a Box Pierce és a Ljung Box saiszikáka a hibaagok négyzeeiből számío auokorrelációra alkalmazva eszelheünk.. ARCH LM-esz: a várhaó érékre becsül egyenle becsül hibaagjainak négyzeére ( û ) egy AR(m) modell illeszése: = α0 + α1uˆ 1 + α uˆ + + α mu ˆ m u ˆ + e, /15/ amelynél beláhaó, hogy a T R -saiszika, ahol T a megfigyelésszámo és R a deermináci ós együhaó jeleni, a χ (m) eloszláshoz ar azon nullhipoézis melle, hogy u ~ ~ FAE N(0, σ ). A /9/ /10/ /11/ képleekkel jellemze modell maximum likelihood becslése kézen- öbbnyire felesszük, fekvő. Egy sandard regressziós egyenleben a hibaagról, u-ről, hogy normális eloszlású, így egy ARCH-modellben is kézenfekvő felevésnek lászik v sandard normális eloszlása. Ekkor a folyama likelihood függvénye könnyen felírhaó. Az egyszerűség kedvéér jelöljük a várhaó érék egyenleé Y = φ 0 + φ1y 1 + u = = X β + u-vel, ahol X márix a magyarázó válozóka jelen eseben a konsans és a késlelee Y- aralmazza. Ekkor a megfigyel y feléeles sűrűségfüggvénye: f ( y x β) x exp /16/ πh h ( ) = 1 y 0 Az empirikus munkánál figyelni kell arra, hogy az ARCH-haások eszelése elő a hibaagokban ne legyen auokorreláció, azaz ennek megfelelő modell kell felállíani a várhaó érékre.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 311 ahol h α + α ( y x β) + α ( y x β) + + α ( y x ) =. A feni sűrűségfüggvény logarimusá véve és -szerin összegezve adódik a log-likelihood függvény, melynek numerikus éréke konkré α és β paraméervekorok, valamin a variancia megfelelő számú kezdőérékei melle (hiszen ez m késlelee hibaagból számolódik ki 1 ) meghaározhaó, ezér a szokásos módszerek alapján numerikusan maximalizálhaó. 0 1 1 1 m m mβ Előzmények és ovábbfejleszések A pénzügyi válozók főbb jellemezői már Engle elő is ismerék a közgazdászok, például Mandelbro [1963] lejegyeze, hogy nagy mozgás öbbnyire nagy mozgás (eszőleges előjelű) köve, míg kicsi öbbnyire kicsik, de sem ő, sem a pénzügyi piacoka vizsgáló öbbi közgazdász nem modelleze ez a jelensége. Ezér Engle modellje valódi áörés jelene a pénzügyi válozók modellezésében, és egy haalmasra duzzadó irodalma indío el. Az ARCH(m)-modell számalan irányba fejleszeék ovább. A legáfogóbb ovábbfejleszés Bollerslev [1986] munkájához fűződik, amely az ún. álalánosío ARCH, azaz GARCH (generalized ARCH) specifikáció javasola. Fő moivációja az vol, hogy az ARCH(m) modellek gyakorlai vizsgálaai során megleheősen hosszú késleleés számra, és így becsülendő paraméerre vol szükség a modell megfelelő illeszkedéséhez. A GARCH(p,q) specifikáció a /11/-es egyenlee az alábbival helyeesíi: h = α 0 + α 1 u 1 + + α q u q + β 1 h 1 + + β p h p. /17/ Ekkor végelen számú késlelee hibaag-négyze haározza meg h -, ami rekurzív visszahelyeesíéssel könnyen beláhaó. Legyen e = u h, azaz a variancia előrejelzésének hibája. Ekkor a feni egyenle megfelelő árendezésével u = α + ( α + β )u + + 0 1 1 1 ( α ) ( ) β e β e + + max max p, q 1 1 p p ( p, q) + βmax( p, q) u e /18/ adódik, amelynél érelemszerűen α i = 0 i > q és β j = 0 j > p. Azaz, u felfoghaó egy olyan folyamakén, amely egy ARMA(max(p,q),p) folyamao köve. Az alkalmazások során számalan eseben az adódo, hogy egy GARCH(1,1) specifi- ado a legkülönbözőbb idősorokra, így ezzel a specifikációkáció kellően jó illeszkedés val valóban számoevően lehee csökkeneni a becsülendő paraméerek számá. Pénzügyi adaoknál, ponosabban a részvény- és devizaárfolyam-válozásoknál azon- eredményül, hogy az eloszlások szélei vas- ban egy olyan empirikus megfigyelés adódo agabbak, min amelye a normális eloszlás implikálna (fa ails), azaz a nagy válozások (bármely irányba) relaíve gyakrabban alakulnak ki. Ezér /10/-es egyenleben sandard normális eloszlás helye sokszor a -eloszlás feléeleznek v -re, és az eloszlás szabad- 1 Például u 1 feléeles varianciájának kiszámolásához szükséges u 0, u 1,, u m+1 varianciáinak ismeree, amelye variancia-kezdőérékeknek nevezünk. A leggyakrabban használ eljárás szerin az m darab kezdőéréke a hibaag álagos varianciájával eszik egyenlővé. Egy másik, rikábban alkalmazo megoldás szerin a kezdei feléeles varianciá is becsülendő paraméernek ekinik. A hivakozás és idéze forrása: The Royal Swedish Academy of Sciences [003].
31 DARVAS ZSOLT ságfok-paraméeré is becsülendő paraméernek ekinik. 3 Mivel a -eloszlás nagy szabadságfok melle közelí a normálishoz, így a szabadságfok-paraméer becsül érékéből és konfidencia-inervallumából arra is kövekezeheünk, hogy az ado idősorra a normális eloszlás felevése mennyire lehe helyálló. 4 Ezeken úlmenően is számalan ovábbfejleszés láo napvilágo, amelyek rövidíése egy-ké beűvel ér el az Engle álal bevezee ARCH-rövidíésől, például TARCH, IGARCH, EGARCH, ARCH-M, AGARCH, NGARCH, QARCH, QTARCH, STARCH, SWARCH, FIGARCH. (Lásd például Bollerslev Engle Nelson [1994].) 5 Alkalmazás A módszer nemcsak a múl leírására, hanem a válozékonyság előrejelzésére is alkalmas, amely forradalmi áörésnek is ekinheő a pénzügyi ermékek árainak érékeléséhez. 6 A részvényeknél például álalánosan elfogado eredmény az úgyneveze vélelen bolyongás (random walk - RW) hipoézise. Az előrejelzés szemponjából ennek az a jelenősége, hogy a holnapi árfolyam érékéről csak annyi udunk mondani, hogy az várhaóan annyi lesz, min a mai, illeve, ha van egy arós növekedési endencia, ak- a mai árfolyamnak az egy napra juó álagos növekedéssel növel ér- kor az előrejelzés éke. Ennek egyébkén kézenfekvő közgazdasági magyarázaa is van: ha mindenki udná, hogy holnap a részvényárfolyam emelkedni fog, akkor már ma mindenki bevásárolna a részvényből, így az ár már ma megemelkedne. Tömören fogalmazva az mondhajuk, hogy a részvényáraka nem lehe előre jelezni, ugyanakkor a gyakorlai apaszalaok alapján az ARCH-modell és ovábbfejleszései alkalmasak arra, hogy az árfolyam volailiásá előre jelezzék, ami rendkívül fonos eredmény a pénzügyi piacok működése szemponjából. A volailiás előrejelzéséhez kapcsolódik egy konkré, jogszabályban is kodifikál felhasználás is. 1996 óa ugyanis egy nemzeközi egyezmény, amelye bázeli szabályoknak is neveznek, előírja az úgyneveze kockázao érék (value a risk) használaá a bankok őkeköveelményeinek meghaározásánál. 7 Például az 1 százalékos kockázao érék az jeleni, hogy mekkora az az összeg, amely 99 százalékos valószínűséggel nagyobb a kövekező napi veszeségnél. A szabályozás ermészeesen úgy szól, hogy minél nagyobb a kockázao érék, annál nagyobb bizonsági araléko kell a bankoknak képezniük. Ha a volailiás állandó lenne, akkor a kockázao érék sem válozna. A korábbiakban ugyanakkor bemuauk, hogy a pénzügyi eszközök eseén a volailiás időben válozó, és így a kockázao érék is időben válozik. 3 Palágyi [1999 és 003] a Lévy-eloszlás feléelezése mellei GARCH-modell elemzi. A 003-as munkájában a MOLés a CISCO-részvények adaaira végze becslés alapján az alálja, hogy bár a modell jobban illeszkedik, min a normális eloszlás feléelezésével készíe becslés, de a maradékagok sabiliása elveheő, amely megkérdőjelezi a Lévy-eloszlások használaának léjogosulságá. 4 Egy korábbi munkánkban (Darvas [001a]) hazai kincsárjegy-hozam válozásainak feléeles varianciájá vizsgáluk ARCH-, GARCH-, és SWARCH-modellekkel mind normális, mind pedig -eloszlás melle. A -eloszlás szabadságfokára alacsony, 3-4 körüli becsül érékek adódak viszonylag szűk konfidencia-inervallummal, amely a normális eloszlásnál szélesebb eloszlásszélekre ualnak. 5 A hazai szerzők közül Varga [001] ekini á az ARCH-modell számos ovábbfejleszésé, közük az ún. FIGARCHmodell is, amely a korábban emlíe frakcionális inegráció fogalmá alkalmazzák a volailiás egyenleében. Pafka e al. [001] kierjeszik a FIGARCH-modell öbbválozós esere, levezeik annak becslőfüggvényé, és empirikus alkalmazzák három vezeő nemzeközi valua árfolyamára, amelyekre a modell jó illeszkedés mua. 6 A volailiás előrejelzéséről Poon Granger [003] adnak áfogó irodalmi ismereő. 7 A kockázao érék számíásának módszereiről Manganelli Engle [001] adnak áfogó irodalmi ismereő.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 313 Az illuszráció kedvéér kiszámoluk a 3. ábrán láhaó négy befekeési leheőség, azaz a ké részvény, a kövényalap, és a három együeséből álló porfolió 1 százalékos, másnapra vonakozó kockázao éréké és a énylegesen bekövekeze veszeségeke/nyereségeke. A kockázao éréke a hozamokra, ponosabban az árfolyamok logarimusának a növekményére illesze konsans növekmény 8 plusz GARCH(1,1) modell alapján számíouk, amelynél a /10/-es egyenleben szereplő v válozó sandard normális eloszlás köve. Ennek alapján készíeünk egynapos előrejelzés a hozamok volailiására, amelye ászámíounk a 100 forin kezdei érékű befekeés forinban mér másnapi 1 százalékos kockázao érékévé. A számíások eredményé muaja az 5. ábra. Forin 0 5. ábra. A befekeések érékének napi forinban mér válozása és a kockázao érék, 1999. 3. 003. december 3. Richer Gedeon részvény Forin 15 OTP részvény 15 10 10 5 0-5 -10 5 0-5 -10-15 -15-0 1999 000 001 00 003-0 1999 000 001 00 003 Forin 1, Budapes I. kövényalap Forin 8 Porfólió 0,8 4 0,4 0 0,0-0,4-4 -0,8-8 -1, 1999 000 001 00 003-1 1999 000 001 00 003 Kockázao érék Tényleges érékválozás Forrás: Sajá számíások a 3. ábra adaai alapján. Mindegyik részábrán láhaó egyrész a befekeés érékének válozása (forinban), másrész a hozzá arozó 1 százalékos kockázao érék. A ényleges veszeség viszonylag rikán haladja meg (abszolú érékben) a számío kockázao éréke, de a számíás valószínűségi ermészeéből, azaz abból, hogy 99 százalékos bizonságo írunk csak elő, kövekezik az, hogy időnkén nagyobb lehe és lesz a veszeség a számío kockázao 8 Azaz a várhaó érék egyenleében egyedül a konsans vol a magyarázó válozó, összhangban az elolásos vélelen bolyongás hipoézisével.
314 DARVAS ZSOLT éréknél. Ez a valószínűségi érék az jeleni, hogy 100 eseből egyszer fordul ez elő, amelye a számíások nagyjából vissza is igazolnak, bár ennél némileg magasabb le az arány, amely arra ual, hogy az eloszlás szélei szélesebbek, min amelye a normális eloszlás implikálna. Az egyes befekeésekre vonakozó eredményeke összeveve, a részvénybefekeés sokkal nagyobb kockázao hordozo magában, min a kövénybefekeés, ami nem meglepő. A porfolió kockázaá muaó ábrából pedig a közgazdaságan egy másik, korábban szinén Nobel-díjjal jualmazo igazságára is fény derül, nevezeesen egy porfolió arása mérsékli a kockázao ahhoz képes, minha egyelen kockázaos pénzügyi eszközbe fekenénk minden vagyonunka. Bár példánkban az alacsonyabb porfolió-kockázahoz az is hozzájárul, hogy egy rendkívül alacsony kockázaú kövényalap is helye kapo benne egy-harmadnyi súllyal, de ha csak a ké részvényből képezünk volna egy porfolió, akkor annak válozékonyága is kisebb le volna bármilyek részvény egyedi válozékonyágánál. TOVÁBBI HOZZÁJÁRULÁSOK Engle és Granger a Nobel-díj odaíélésekor kiemel egy-egy fő émakörön kívül számos egyéb erüleen is hozzájárulak az idősorelemzés fejlődéséhez. A spekrálelemzés erüleén Granger Haanaka [1964] munkája alapveő ankönyvnek számí. Ugyancsak még a havanas években maradandó nyomo hagyo Granger [1969] az okság egy leheséges érelmezésén, amelye azóa Granger-okságnak neveznek és manapság is gyakran használják. 9 Granger az idősorok előrejelzési módszeranához számos cikkében és könyvében ado fonos hozzájárulásoka, például Granger Baes [1969] az előrejelzések kombinálásának első fonos cikke vol, vagy Granger Newbold [1977] és Granger [1980] az előrejelzések módszeranának kiemelkedő leírásai. Az úgyneveze frakcionálisan inegrál (fracionally inegraed) idősormodelleknek, amelyek ún. hosszú memóriájú (long-memory) idősorokhoz vezehenek, Granger Joyeux [1980] vol a fő kidolgozója. Végül felsorolásunk uolsó émaköre (amely korán sem jeleni Granger hozzájárulásainak uolsó émaköré) a manapság oly divaos nemlineáris idősormodellek erüleén a hevenes évekől napjainkig számos fonos munka ársíhaó Granger nevéhez, min például Granger Anderson [1978], amely az egyik első munka vol ebben a émakörben, vagy a Timo Teräsvirával ír 1993-as könyv. Engle a volailiás kidolgozásával közel egyidőben jelenee meg egy másik, rendkívűl sokszor hivakozo cikke az exogeniás különböző definícióiról (Engle Hendry Richards [1983]), mely émakör a későbiekben ovább vizsgála (Engle Hendry [1993]). 30 Min emlíeük, Engle ársszerzője vol Grangernek a koinegráció eszelési 9 Az okság fogalmáról és leheséges eszelés eljárásokról lásd Kőrösi e al. [1990] 1. fejeze. A hazai szerzők közül például Ulber Rappai [00] vizsgálják különböző őzsdeindexek közöi Granger-okságo és arra az eredményre junak, hogy a fejle nyugai őzsdék Granger-okai a keleeurópai őzsdéknek, de a fordío irányú okság nem áll fenn. Darvas Sass [00] a magyar és az európai külkereskedelmi idősorok közö eszeli a Granger-okságo és arra az eredményre junak, hogy az EU-ban az expor húzza az imporo, Magyarországon nem muahaó ki egyérelmű kapcsola a ké hazai idősor közö, viszon az EUimpor segí a magyar expor előrejelzésében. 30 A hazai szerzők közül például Charemza Király [1990] a szocialisa országokan bejelene ervek és a ényleges kibocsáás kapcsolaá elemzi különböző exogeniási vizsgálaokkal. Eredményeikben arra a kövekezeésre junak, hogy míg a Szovjeunióban a gazdasági örvényszerűségeke figyelmen kívül hagyó, a gazdaság áalakíásá célzó, úgyneveze hihű er- nézve, addig Magyarországon a múlbeli ényleges kibocsáási ada- vek exogénnak volak ekinheők a ényleges kibocsáásra oka és a gazdasági örvényszerűségeke jobban figyelembe vevő, úgyneveze generikus ervezés foly. Az álaluk vizsgál ovábbi ö szocialisa ország a ké szélső ese közö, de inkább a generikus ervezéshez áll közelebb.
A 003. ÉVI KÖZGAZDASÁGI NOBEL-DÍJASOK 315 és becslési eljárásának kidolgozásában, és ezér az Engle Granger-módszer elnevezés használaos a koinegráció eszelésére és becslésére vonakozó legalapveőbb módszerre. Ez a szerzőpáros a későbbiekben is kuao együ a koinegráció modelljeinek ovábbfejleszésén. Engle is ír a spekrálelemzés erüleén fonos hozzájárulásoka és Granger ársszerzője vol az 1983-as The Handbook of Saisics spekrálelemzésről szóló fejezeének. A pénzügyi piacok egyes aspekusainak modellezéséről Engle számos cikke jelenee meg, min például az időben válozó kockázai prémium (Engle Lilien Robins [1987]), a napon belüli volailiás (Engle [1990]), különböző pénzügyi eszközök volailiásának közös vizsgálaa (Bollerslev Engle Wooldridge [1988], Bollerslev Engle [1993], Engle Kroner [1995]), a ranzakciós szinű adaok vizsgálaa (Engle Russel [1998] és Engle [000]), és az időben válozó korreláció (Engle [00]). Engle vol Daniel L. McFaddennel, a 000-es Nobel-díjassal együ a The Handbook of Economerics 1994-es IV. köeének ársszerkeszője. * A udományos kuaás eredeiségének és megermékenyíő erejének egyik, ső alán a legfonosabb fokmérője az, hogy az ado munká köveően a szakfolyóiraokban megjelen cikkek közül hányan hivakoznak rá. Rober F. Engle és Clive W. J. Granger a legidézeebb szerzők közé aroznak, és az álaluk kifejlesze módszerek olyan megújíó haás gyakorolak az idősorelemzésre, hogy mélán válak érdemessé a Nobel-díjra. FÜGGELÉK A közgazdasági Nobel-díjasok, 1969 003 Év Díjazo Szakerüle Indoklás Ragnar Frisch Oslo Universiy 1969 Jan Tinbergen The Neherland School of Economics Paul A. Samuelson 1970 Massachuses Insiue of Technology Simon Kuznes 1971 Harvard Universiy Sir John R. Hicks 197 Kenneh J. Arrow Harvard Universiy Wassily Leonief 1973 Harvard Universiy Gunnar Myrdal Universiy of Sockholm 1974 Friedrich von Hayek Universiy of Freiburg 1975 Ökonomeria Parciális és álalános egyensúlyelméle Gazdasági növekedés és gazdaságöréne Gazdasági folyamaok dinamikus modelljeinek kifejleszéséér és alkalmazásáér. Tudományos munkásságáér, mely kifejleszee a saikus és dinamikus közgazdasági elmélee és akívan hozzájárul a közgazdaságudományi elemzés színvonalának emeléséhez. A gazdasági növekedés empirikusan megalapozo érelmezéséér, amely új és mélyebb megérésé ada a fejlődés gazdasági és ársadalmi srukúráinak és folyamaának. Oxford Universiy Álalános Úörő hozzájárulásukér a közgazdasági egyensúly- és a jóléi egyensúlyelméle elmélehez. Leonid Kanorovich Academy of Sciences, Moscow Tjalling C. Koopmans Yale Universiy Inpu-oupu elemzés Makroökonómia és inézményi közgazdaságan Opimális forrásallokáció elmélee Az inpu-oupu módszerek kifejleszéséér és fonos gazdasági problémákra való alkalmazásáér. A pénzügyi és gazdasági flukuációk elméleéhez való úörő hozzájárulásukér és a gazdasági, ársadalmi, és inézményi jelenségek kölcsönös függésének áfogó elemzéséér. A források opimális allokációjának elméleéhez való hozzájárulásukér. (A ábla folyaása a kövekező oldalon.)