IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.

IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II.

A projekt címe: Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés A megvalósítás érdekében létrehozott konzorcium résztvevői: KECSKEMÉTI FŐISKOLA BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM AIPA ALFÖLDI IPARFEJLESZTÉSI NONPROFIT KÖZHASZNÚ KFT. Fővállalkozó: TELVICE KFT.

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar Írta: BOKOR JÓZSEF GÁSPÁR PÉTER SOUMELIDIS ALEXANDROS Lektorálta: SZABÓ ZOLTÁN IRÁNYÍTÁSTECHNIKA II. Egyetemi tananyag 2

COPYRIGHT: 2-26, Dr. Bokor József, Dr. Gáspár Péter, Dr. Soumelidis Alexandros, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Közlekedésmérnöki Kar LEKTORÁLTA: Dr. Szabó Zoltán Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3. (CC BY-NC-ND 3.) A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható. ISBN 978-963-279-63- KÉSZÜLT: a Typotex Kiadó gondozásában FELELŐS VEZETŐ: Votisky Zsuzsa TÁMOGATÁS: Készült a TÁMOP-4..2/A/2-/-2-8 számú, Egységesített Jármű- és mobilgépek képzés- és tananyagfejlesztés című projekt keretében. KULCSSZAVAK: Newton Lagrange-modellezés; átviteli függvény; pólusok és zérusok; Laplace-transzformáció; jelkövető irányítás; zavarkompenzáció; bizonytalanság modellezése; stabilitás; érzékenység függvény; P-K struktúra; M-Delta struktúra; frekvencia függvény; robusztus stabilitás; robusztusság; PID szabályozás; pólusallokáció; állapottér-elmélet; irányíthatóság; megfigyelhetőség; modellidentifikáció; LQ irányítás, állapot-visszacsatolás; megfigyelő tervezés. ÖSSZEFOGLALÁS: A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítástechnika II. c. tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában. A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat követi. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI)-rendszerek analízisét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleírásokat tipikus bemenőjelekre. Részletesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI-rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelő tervezésre is. Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó mérnöki ismeretek megszerzésében.

Tartalomjegyzék. Bevezetés 7 2. Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése 8 2.. Alapfogalmak............................... 8 2.2. Modellezés fizikai elvek alapján..................... 2.2.. Newton-Lagrange modellezés.................. 2.2.2. Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye........ 2 2.2.3. Példák a modellezésre...................... 5 2.3. Modellezés állapottérben......................... 2 2.3.. Bevezetés az állapottér elméletbe................ 2 2.3.2. Állapottér és átviteli függvény kapcsolata............ 25 2.3.3. Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk..... 27 2.3.4. Állapottér transzformációk.................... 34 2.4. Modellezés mért jelek alapján: modell identifikáció alapjai....... 4 2.5. Rendszerdinamika elemzése időtartományban.............. 45 2.5.. Példák a rendszerdinamika időtartományi elemzésére...... 46 2.6. Rendszerdinamika elemzése frekvencia tartományban.......... 5 2.6.. Alaptagok frekvenciafüggvényei................. 53 2.7. Irányíthatóság és megfigyelhetőség.................... 62 3. Stabilitás, minőségi tulajdonságok és bizonytalanságok 65 3.. Stabilitásvizsgálat............................. 65 3... Rendszer stabilitása........................ 65 3..2. Zárt rendszer stabilitása..................... 68 3.2. Rendszerek minőségi jellemzőinek vizsgálata.............. 7 3.2.. Érzékenységi függvény...................... 72 3.2.2. Aszimptotikus jelkövetés..................... 74 3.2.3. Zavarkompenzálás........................ 76 3.3. Bizonytalanságok modellezése...................... 77 3.3.. P-K struktúra........................... 77 3.3.2. Modell bizonytalanság vizsgálata................ 79 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

6 TARTALOMJEGYZÉK 3.3.3. Nem modellezett dinamika.................... 8 3.3.4. Parametrikus bizonytalanság................... 82 3.4. M- struktúra............................... 85 4. Irányítástervezés frekvencia tartományban és állapottérben 9 4.. Soros kompenzátor tervezése....................... 9 4... Soros kompenzátor tervezési elve................ 9 4..2. Robusztusság ellenőrzése..................... 96 4.2. PID szabályozás tervezése........................ 2 4.2.. Zajszűrés............................. 6 4.2.2. Referenciajel súlyozás...................... 7 4.2.3. Beavatkozó telítődése...................... 8 4.2.4. Tuningolás, hangolás....................... 4.3. Pólusallokációs módszer......................... 4.3.. A módszer elve és algoritmusa.................. 4.3.2. Példák a pólusallokációs módszerre............... 5 4.4. Lineáris kvadratikus szabályozótervezés................. 2 4.4.. Az LQ módszer elve és algoritmusa............... 2 4.4.2. Példák az LQ módszerre..................... 23 4.4.3. Pólusok és zérusok........................ 28 4.5. Jelkövető irányítástervezés........................ 3 4.5.. Állapot szeparálás módszere................... 3 4.5.2. Struktúra módosítás módszere.................. 33 4.5.3. Példák a jelkövető irányításra.................. 36 4.6. Megfigyelőtervezés............................ 39 4.6.. Tervezési feladat......................... 39 4.6.2. Állapotmegfigyelő tervezése................... 4 4.6.3. Illusztrációs példák........................ 42 4.7. Dinamikus állapotvisszacsatolás..................... 48 www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

. fejezet Bevezetés A jelen jegyzet a BME Közlekedésmérnöki és Járműmérnöki Karán oktatott Irányítástechnika II. c. tantárgyhoz készült. A jegyzet célja, hogy segítse a hallgatókat az előadási anyag elsajátításában és a gyakorlati feladatok megoldásában. A könyv szerkezeti felépítésében az egyetemi előadásokat és gyakorlatokat követi. A második fejezet részletesen bemutatja a lineáris időinvariáns (LTI) rendszerek analizísét. A fejezet különféle modellezési elveket ismeret, így a fizikai elvek alapján történő modellezésen kívül bevezet a mért jeleken alapuló modellezésbe is. Tárgyalja az idő- és frekvenciatartománybeli rendszerleirásokat tipikus bemenőjelekre. Részletesen foglalkozik a dinamikus rendszerek különböző állapottér-reprezentációival, ezek kapcsolatával, valamint az irányíthatóság és megfigyelhetőség fogalmával. A harmadik fejezetben tárgyaljuk a rendszerstabilitási kritériumokat, a minőségi tulajdonságokat, valamint a bizonytalansági modellezési elveket. A negyedik fejezet az LTI rendszerek szintézisével foglalkozik. A klasszikus soros kompenzátor tervezés elvein túlmenően részletesen ismerteti az állapot-visszacsatolásra épülő tervezési módszereket, valamint részletesen kitér a megfigyelőtervezésre is. Az elméleti módszerekhez számos példa és gyakorlati tervezési feladat kapcsolódik, melyek segítik a hallgatókat az Irányítástechnika tárgykörébe tartozó mérnöki ismeretek megszerzésében. Az érdeklődő hallgatóknak a következő könyvet ajánljuk még. Irodalom Bokor József és Gáspár Péter. Irányítástechnika jármudinamikai alkalmazásokkal. TypoTex Kiadó, 28. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

2. fejezet Mechatronikai rendszerek modellezése és elemzése 2.. Alapfogalmak Az irányítástechnika célja, hogy egy rendszer tulajdonságait elemezze és a rendszer viselkedését megadott szempontok szerint módosítsa. Rendszereknek általánosan az olyan absztrakt objektumokat nevezhetjük, amelyek az őt érő külső, környezetükből jövő hatásokra valamilyen válaszreakciót generálnak. Egy rendszer külső, ún. bemenő jelek, mint gerjesztések hatására válaszjeleket, ún. kimenő jeleket generál. A rendszert az 2. ábrán látható módon egy blokkal szemléltetjük, a bemenőjel u, a rendszer által generált válasz y. u(t) G y(t) 2.. ábra. Egy rendszer illusztrációja A rendszerek modellezése során különféle információkból indulunk ki, melyek forrásai elméleti és gyakorlati ismeretek, valamint feltevések lehetnek. Az egyes jelenségekről alkotott elméletek által szolgáltatott leírások, általában közönséges differenciálegyenletekkel formalizált modellek. A rendszerről megfigyelések és mérések által gyűjtött adatok összessége, az elméleti modellekben szereplő paraméterek értékének meghatározását jelenti. www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.. ALAPFOGALMAK 9 A modellezésnek különféle céljai lehetnek, melyeknek a modellezés megoldásával összhangban kell állnia: a rendszerek tulajdonságainak, viselkedésének megértése (analízis), a rendszerek jövőbeli állapotának megjóslása (predikció), rendszertervezési feladatok megoldása (szintézis), rendszerek minősítése. Az elemzés célú modellezés során a fentiek szerint a rendszer viselkedésének minél pontosabb reprodukálása az irányadó. Ugyanakkor, ha a szintézis célú modellezést végzünk, akkor általában csak azok a rendszertulajdonságok érdekesek, amik az irányítási célt befolyásolják. Az alábbiakban felsoroljuk azokat a rendszerrel kapcsolatos jellemzőket amelyek teljesülését a továbbiakban feltételezzük:. Linearitás Egy lineáris rendszer működésére érvényes a szuperpozíció elve. A rendszert lineárisnak nevezzük, ha a rendszerre bemenőjelet adva a válaszfüggvény u = α u + β u 2 (2.) y = α y + β y 2. (2.2) A szuperpozíció elvéből következik, hogy lineáris matematikai modellek alakja csak a homogén, lineáris egyenlet, illetve egyenletrendszer lehet. 2. Időinvariancia Az időinvariancia fogalma azt jelenti, hogy a bemenőjelre adott válasz nem függ a bemenőjel alkalmazásának az időpontjától. Ha a rendszer időinvariáns, akkor egy τ időponttal késleltetett impulzusra ugyanazt a válasz függvényt adja τ időbeli eltolással. 3. Kauzalitás A rendszer kauzalitása azt jelenti, hogy a generált kimenőjel egy adott időpontban nem függ a bemenőjel jövőjétől. Továbbá, ha a a kimenőjel csak a bemenőjel múltjától függ, akkor a rendszert szigorúan kauzálisnak nevezzük. Az irányítási, szabályozási feladat megfogalmazásához egy praktikus megközelítés a hatásvázlat elkészítése. Ez a következő lépésekre bontható. Az irányítási hatásvázlat általános felépítése az 2.2 ábrán látható. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Megállapítjuk, hogy mi a szabályozni kívánt jellemző, továbbá mi a szabályozási cél. Megállapítjuk, hogy milyen jelet mérhetünk a visszacsatoláshoz, amely jelnek reprezentálnia kell a szabályozni kívánt jellemzőt. Beállítunk egy alapjelet, amellyel a visszacsatolt jelet összehasonlítjuk, majd különbséget képzünk. Ezt a jelet rendelkező jelnek nevezzük. A rendelkező jelet szükség szerint átalakítjuk, erősítjük, a rendszer bemenetére mint beavatkozó jelet visszük. szabályozó szabályozott rendszer zavaró jel alapjel rendel- kező jel C(s) bemenő jel G(s) kimenő jel szabályozott jellemző 2.2. ábra. Egy rendszer illusztrációja Az elemzés és tervezés során folytonos idejű modellekkel foglalkozunk, míg a realizációs részben eredményeinket kiterjesztjük diszkrét idejű modellekre. Egy folytonos idejű modell a rendszert vagy folyamatot leíró jellemzők, független és függő változók a vizsgált idő alatt bármelyik pillanatban vehetnek fel értéket: a bemeneti és kimeneti jelei egyaránt folytonos idejű jelek. A folytonos paraméterű modellekben a változók egy adott tartományon, értékhatáron belül bármilyen értéket felvehetnek. Egy diszkrét idejű modell a jellemzők csak adott, konkrét időpillanatokban vehetnek fel értékeket. Diszkrét paraméterű modellek esetén a változók csak meghatározott diszkrét értékeket vehetnek fel. www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 2.2. Modellezés fizikai elvek alapján 2.2.. Newton-Lagrange modellezés A Lagrange módszer a rendszer modelljét általánosított elmozdulás és sebesség komponensekkel fogalmazza meg: d T (q, q) T (q, q) D( q) + + U(q) dt q q q q = f, (2.3) ahol T (q, q) kinetikai (mozgási) energia, U(q) potenciális (helyzeti) energia, D( q) disszipációs (csillapítás által elnyelt) energia, f külső erő. A kinetikus energia a sebességvektoron kívül a helyzetvektortól is függhet, míg a potenciális energia egyedül a helyzetvektortól függ. A kinetikus energia és a potenciális energia különbsége az úgynevezett Lagrange állapotfüggvényt adja meg: L(q, q) = T (q, q) U(q) (2.4) A Lagrange egyenlet felírható az egyes komponensekre bontott alakban is, azaz q i komponensre felírva: d T (q, q) T (q, q) D( q) + + U(q) = f i. (2.5) dt q i q i q i q i Példaként az 2.3 ábrán látható két tömegű lengőrendszer modelljét írjuk fel. A lengőrendszer komponensei: m s és m u tömegek, k t és k s rugók, valamint b s csillapítás. A rendszert w elmozdulás gerjeszti, ennek hatására a két tömeg elmozdulása q és q 2.. w. q 2. q k t m u b s m s k s 2.3. ábra. Kéttömegű lengőrendszer A megoldás első lépésében írjuk fel a Lagrange egyenlet komponenseit: Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

2 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Kinetikus energia egy tömegre: T = 2 F q = 2 m q q = 2 m q t qt alapján ezért a rendszer két tömegére: T = 2 m s q 2 + 2 m u q 2 2, (2.6) Potenciális energia egy tömegre: U = F = k, ezért a rendszerre: 2 2 U = k s (q q 2 ) 2 2 Disszipációs energia a rendszerre: (q 2 w) 2 + k t, (2.7) 2 ( q q 2 ) 2 D = b s. (2.8) 2 A számítási műveletek az egyes komponensekre (q és q 2 ) bontott alakban a következők: d T d T = m s q, = m u q 2, dt q dt q 2 (2.9) T T =, =, q q 2 (2.) D = b s ( q q 2 ), D = b s ( q q 2 ), q q 2 (2.) U U = k s (q q 2 ), = k s (q q 2 ) + k t (q 2 w) q q 2 (2.2) A két tömegű lengőrendszer modellje a Lagrange egyenlet alapján : m s q = b s ( q q 2 ) k s (q q 2 ), (2.3) m u q 2 = b s ( q 2 q ) k s (q 2 q ) k t (q 2 w). (2.4) Megjegyezzük, hogy a Newtoni mechanikában a rendszer modelljét erő és nyomaték egyensúlyi egyenletekkel fogalmazzuk Newton törvényeinek felhasználásával. 2.2.2. Egy lineáris invariáns rendszer átviteli függvénye Egy rendszer modelljének leírása lineáris állandó együtthatós közönséges differenciál egyenlettel történik: d n y(t) dt n dy(t) +... +a dt du(t) b u(t) + b dt + a y(t) = d m u(t) +... + b m, (2.5) d m t www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 3 ahol a i, i =,..., n és b j, j =,..., m együtthatók konstansok, nem függnek az időtől. Vegyük a differenciálegyenlet L - transzformáltját zérus kezdeti feltételekkel. Ekkor a következő egyenlethez jutunk: (s n + a n s n +... + a s + a )Y (s) = (b m s m +... b s + b )U(s), (2.6) ahol m n. A G(s) racionális törtfüggvényt a rendszer átviteli függvényének nevezzük. Az átviteli függvény tehát a kimenőjel és a bemenőjel zérus kezdeti feltételekkel vett L - transzformáltjainak hányadosa. G(s) = Y (s) U(s) = b m s m +... + b s + b s n + a n s n +... + a s + a. (2.7) Az alábbiakban néhány alaptag átviteli függvényét írjuk fel. Arányos tagok: Az egyenletből hiányoznak a bemenőjel és kimenőjel differenciálhányadosai. y = Au Y = AU G = A. (2.8) Integráló tagok. Az egyenletben bemenőjel nulladik és a kimenőjel első differenciálhányadosa szerepel. T dy dt = u T sy = U G = T s (2.9) Differenciáló tagok: Az egyenletben kimenőjel nulladik és a bemenőjel első differenciálhányadosa szerepel. y = T du dt Y = T su G = T s (2.2) Tárolós tagok: Az egyenletben a kimenőjelnek annyiad rendű differenciálhányadosa szerepel, ahány energiatárolót tartalmaz a tag. Ez a tag biztosítja a rendszerben lévő további dinamikák formalizálását. Példák: dy y + T dt + T d 2 y 2 dt = Au G = A (2.2) 2 + T s + T 2 s 2 y + T dy dt = T 2 du dt G = T 2s + T s (2.22) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

4 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Holtidős tagok: Az egyenletben megjelenik egy tiszta T H időkésleltés. Az ún. nullatárolós holtidős (TH) tag egyenlete ahol T H a holtidő. Az eltolási tétel alapján azaz az átviteli függvény: y(t) = A H u(t T H ) (2.23) Y (s) = A H U(s)e st H, (2.24) G = A H e st H. (2.25) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 5 2.2.3. Példák a modellezésre 2.. Példa. Írjuk fel az 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer modelljét. A fizikai jellemzők adatai a következők: k = Ns/m, c = 3N/m, c 2 = 2N/m.. z. y k c 2 c. u 2.4. ábra. Két rugóból és csillapítóból álló rendszer Megoldás: A c 2 rugó hatása miatt a rugó előtti z elmozdulás nem azonos a rugó mögötti y elmozdulással. Emiatt a mechanikai rendszer erőegyensúlyi egyenletének felírásához egy z elmozdulást leíró segédváltozót vezetünk be a következőképpen: Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval: c 2 (y z) = kż (2.26) c (u y) = c 2 (y z) (2.27) c 2 (Y Z) = ksz (2.28) c (U Y ) = c 2 (Y Z) (2.29) A kétismeretlenes egyenletrendszer mindegyikéből Z-t kifejezzük, majd felírjuk az U és Y közötti összefüggést: Az átviteli függvény: [ks(c + c 2 ) + c c 2 ] Y = (kc s + c c 2 )U (2.3) G = Y U = kc s + c c 2 = 3s + 6 ks(c + c 2 ) + c c 2 5s + 6 (2.3) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

6 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.2. Példa. Tekintsük a 2.5 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modellt, melynek adatai a következők: m = 2kg, b = N s/m, k=9n/m. m y k b u 2.5. ábra. Gépjármű felfüggesztés modellje Megoldás: A rendszer differenciálegyenlete: Alakítsuk át az egyenleteket Laplace transzformációval: Az átviteli függvény: mÿ = b( u ẏ) + k(u y) (2.32) ms 2 Y = bsu bsy + ku ky (2.33) G = bs + k ms 2 + bs + k =.5s + 45 s 2 +.5s + 45 (2.34) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 7 2.3. Példa. Határozzuk meg az 2.6 ábrán látható áramkör u b bemenő feszültsége és u k kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. R u b i C u k 2.6. ábra. Egyszerű villamos áramkör Megoldás: Az RC kör differenciálegyenletei: u b = Ri + C u k = C t t Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: ( U b = R + sc idt (2.35) idt (2.36) ) I, (2.37) U k = I. (2.38) sc Az átviteli függvény (T = RC időállandó bevezetésével): G = U k U b = sc R + sc = + src = + st (2.39) 2.4. Példa. Határozzuk meg a 2.7 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. Megoldás: Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. Az RL kör differenciálegyenletei: u b = Ri + L di dt u k = L di dt (2.4) (2.4) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

8 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE R u b i L u k 2.7. ábra. Egyszerű villamos áramkör Képezzük a differenciálegyenletek Laplace transzformáltjait: Az átviteli függvény: U b = (R + Ls) I, U k = LsI. (2.42) G = U k U b = ahol T = L/R az időállandó. Ls R + Ls = s L R + s L R = st + st (2.43) 2.5. Példa. Határozzuk meg a 2.8 ábrán látható áramkör bemenő feszültsége és kimenőfeszültsége közötti átviteli függvényt. R i C u b R 2 u k 2.8. ábra. Villamos áramkör Megoldás: www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.2. MODELLEZÉS FIZIKAI ELVEK ALAPJÁN 9 Határozzuk meg az áramkör átviteli függvényét. G = U k U b = R 2 R 2 + R k (2.44) ahol R k = R /( + sr C). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét: G = R 2 R 2 + R /( + sr C) = R 2 + sr R 2 C R + R 2 + sr R 2 C = A + st + st 2 (2.45) ahol A = R 2 /(R + R 2 ), T = R C, T 2 = R R 2 C/(R + R 2 ). 2.6. Példa. Határozzuk meg az 2.9 ábrán látható áramkör átviteli függvényét. R i C C 2 u b R 2 u k 2.9. ábra. Villamos áramkör Megoldás: G = U k U b = R 2 + sc 2 R 2 + sc 2 + R k (2.46) ahol R k = R /( + sr C ). Alakítsuk tovább az átviteli függvény képletét: G = R 2 + /(sc 2 ) R 2 + /(sc 2 ) + R )/( + sr C ) = + s(t + T 2 ) + s 2 T T 2 + s(t + T 2 + T 2 ) + s 2 T T 2 (2.47) ahol T = R C, T 2 = R 2 C 2, T 2 = R C 2 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

2 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.3. Modellezés állapottérben 2.3.. Bevezetés az állapottér elméletbe A rendszer állapota egy t időpontbeli információ (olyan jelek ismerete), amelyből az u(t), t t bemenőjel ismeretében a rendszer válasza minden t t időpontra meghatározható. A rendszer válasza a jövőbeli, t t időpontra vonatkozó állapotokat és a kimenőjeleket jelenti. A rendszer állapotait leíró jeleket, illetve ezek függvényeit, a rendszer állapotváltozóinak nevezzük. A rendszer- és irányításelméletbe a magyar származású híres tudós, Rudolf E. Kalman vezette be az általa kidolgozott LQR optimális irányítások elméletének kidolgozása kapcsán, ld. még [3, 2]. 2.7. Példa. Tekintsük az alábbi felfüggesztési rendszert. u erő hatására az m tömeg függőleges irányban (y) elmozdul. Írjuk fel az erő és az elmozdulás közötti kapcsolatot. Adatok: m = kg, k = 4 Ns m, c = 3 N m. u m y c k 2.. ábra. Lengőrendszer modellje Megoldás: A rendszer differenciálegyenlete: mÿ = kẏ cy + u, (2.48) ÿ = 4ẏ 3y + u. (2.49) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 2 Állapotváltozók megválasztásának egy természetes módja a következő: x = y, x 2 = ẏ. Állapotegyenletek: ẋ = ẏ = x 2 (2.5) ẋ 2 = ÿ = 4ẏ 3y + u = 4x 2 3x + u (2.5) y = x (2.52) Állapottér reprezentáció: ] [ ] [ ] [ẋ x = + ẋ 2 3 4 x 2 y = [ ] [ ] x x 2 [ ] u (2.53) (2.54) Természetesen egy másik állapottér megválasztás is lehetséges. x = 3y, x 2 = 4ẏ. Állapotegyenletek: ẋ = 3ẏ = 3 4 x 2 (2.55) ẋ 2 = 4ÿ = 6ẏ 2y + 4u = 4x 2 4x + 4u (2.56) y = 3 x (2.57) Állapottér reprezentáció: ] [ ] [ ] [ẋ 3 x = 4 + ẋ 2 4 4 x 2 y = [ ] [ ] x 3 x 2 [ ] u (2.58) 4 (2.59) Fentiek alapján a bemenőjelek és kimenőjel közötti kapcsolat állapottér reprezentációja többféle alakban felírható és az állapottér alakja nem egyértelmű. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

22 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az állapotegyenlet, mint egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldása két lépésben történik. Előbb megoldjuk a homogén egyenletet, majd megkeressük az inhomogén egyenlet egy partikulártis megoldását. A homogén egyenlet alakja: az x() = x kezdeti feltétellel és megoldása: ẋ(t) = Ax(t), (2.6) x(t) = e At x, (2.6) ahol az e At mátrix-exponenciális függvényt a következőképpen értelmezzük: e At = I + At + A2 t 2 + A3 t 3 2! [ +.... Például diagonál reprezentációknál e Adt (A 3! ] d R 2 2 ) e alakja: e Adt λ t = e λ. 2t Az inhomogén egyenlet alakja: ahol x() = x egyenlet megoldása a következő: ẋ(t) = Ax(t) + bu(t) (2.62) x(t) = e A(t τ) bu(τ)dτ. (2.63) A fentiek alapján az elsőrendű differenciálegyenlettel leírt állapotegyenlet megoldása: x(t) = e At x + e A(t τ) bu(τ)dτ (2.64) y(t) = c T x(t). (2.65) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 23 2.8. Példa. Határozzuk meg a ] [ ] [ ] [ẋ x = + 2 3 rendszer válaszát egységugrás bemenet esetén. Megoldás:. lépés A homogén rész megoldása: A példában: (si A) = ẋ 2 x 2 [ ] u (2.66) ẋ = Ax (2.67) sx(s) x() = AX(s) (2.68) adj(si A) det(si A) = X(s) = (si A) x() (2.69) [ ] s + 3 2 s s 2 + 3s + 2 = [ s+3 s 2 +3s+2 2 s 2 +3s+2 s 2 +3s+2 s s 2 +3s+2 ] (2.7) A homogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik: [ ] [ ] [ ] x (t) 2e = t e 2t e t e 2t x () x 2 (t) 2e t + 2e 2t e t + 2e 2t (2.7) x 2 () 2. lépés Az inhomogén rész megoldása zérus kezdeti érték feltételezésével: A példában: (si A) adj(si A) bu(s) = det(si A) b s [ ] [ ] s + 3 2 s = s 3 + 3s 2 + 2s = ẋ = Ax + bu (2.72) sx(s) = AX(s) + bu(s) (2.73) X(s) = (si A) bu(s) (2.74) [ ] s s 3 + 3s 2 + 2s = [ ] s 3 +3s 2 +2s s 2 +3s+2 (2.75) Az inhomogén rész megoldása a mátrix tagjainak inverz Laplace transzformációjával történik: [ ] [ ] x (t).5 e = t +.5e 2t x 2 (t) e t e 2t (2.76) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

24 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE A teljes megoldás: [ ] [ ] [ ] [ ] x (t) 2e = t e 2t e t e 2t x ().5 e x 2 (t) 2e t + 2e 2t e t + 2e 2t + t +.5e 2t x 2 () e t e 2t Ha a kezdeti értékek zérusok, azaz x () = és x 2 () = : [ ] [ ] x (t).5 e = t +.5e 2t x 2 (t) e t e 2t (2.77) (2.78) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2. ábra. x.5 2 3 4 5 6.4 x 2.2 2 3 4 5 6 [sec] 2.. ábra. Átmeneti függvények zérus kezdeti értékekkel Ha a kezdeti értékek egységnyiek, azaz x () = és x 2 () = : [ ] [ ] x (t).5.5e = 2t + 2e t x 2 (t) 2e t + 3e 2t (2.79) Egy szimulációs vizsgálati eredményt mutat a 2.2 ábra. www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 25.5 x.5 2 3 4 5 6 x 2.5.5 2 3 4 5 6 [sec] 2.2. ábra. Átmeneti függvények nem zérus kezdeti értékek esetén 2.3.2. Állapottér és átviteli függvény kapcsolata Általánosan egy lineáris dinamikus rendszer állapottér reprezentációját a következő alakban írhatjuk: ẋ = Ax + bu (2.8) y = c T x, (2.8) Az állapottér reprezentáció alapján a rendszer átviteli függvényét a Laplace transzformáció alkalmazásával kapjuk meg: ebből Az állapot Laplace transzformáltja: sx(s) x() = AX(s) + bu(s), (2.82) (si A)X(s) = bu(s) + x(). X(s) = (si A) bu(s) + (si A) x(), (2.83) ahol x() a kezdő állapot t = időpontban. Az x() = feltétel mellett A G(s) átviteli függvény: Y (s) = c T X(s) = c T (si A) bu(s). (2.84) G(s) = Y (s) U(s) = ct (si A) b. (2.85) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

26 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az átviteli függvény pólusai tehát az egyenlet gyökei. det(si A) = (2.86) 2.9. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét: [ ] [ ] 2 4 ẋ = x + u (2.87) y = [ 2 ] x (2.88) Megoldás: G = [ 2 ] [ ] [ ] s + 2 4 = s 2 s 2 + 2s + 4 (2.89) 2.. Példa. Határozzuk meg az alábbi állapottér reprezentáció átviteli függvényét: 4 ẋ = x + u (2.9) 2 y = [ ] x (2.9) Megoldás: G = [ ] s 4 s s + 2 = s 3 + 2s 2 + 4 (2.92) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 27 2.3.3. Irányíthatósági és diagonális állapottér reprezentációk Irányíthatósági alak Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentáció a 2.3 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel: ẋ a 2 a a x ẋ 2 = x 2 + u (2.93) ẋ 3 x 3 y = [ ] x b 2 b b x 2 (2.94) x 3 b 2 b u ẋ ẋ 2 ẋ 3 x 3 y b a 2 a a 2.3. ábra. Az irányíthatósági alak illusztrációja Induljunk ki egy általános rendszerből, melynek átviteli függvényét az alábbi alakban fogalmaztuk meg: Y (s) = b(s) U(s), (2.95) a(s) ahol a(s) és b(s) polinomiális függvények, például b(s) = b s + b és a(s) = s 2 + a s + a. A bemenőjel Laplace transzformáltja U(s) és a kimenőjel Laplace transzformáltja Y (s) közötti kapcsolatot ekkor a következőképp írhatjuk: Y (s) = b(s)a (s)u(s). (2.96) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

28 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Vezessük be a ξ(s) változót az alábbi módon: Ekkor a bemenőjel és a kimenőjel Laplace transzformáltja: ξ(s) = a U(s). (2.97) Y (s) = b(s)ξ(s) = [b s + b ] ξ(s) és (2.98) U(s) = a(s)ξ(s) = [ s 2 + a s + a ] ξ(s). (2.99) Inverz Laplace transzformációval a differenciálegyenlet: y = b ξ + b ξ u = ξ + a ξ + a ξ (2.) Vezessük be a következő új változókat, amelyeket állapotváltozóknak nevezünk: x = ξ, x 2 = ξ. (2.) Figyelembe véve, hogy ẋ = ξ és ẋ 2 = ξ = x, az alábbi elsőrendű differenciál egyenletekhez jutunk, melyek az állapotdinamika egyenletrendszerét alkotják: ẋ = a x a x 2 + u (2.2) ẋ 2 = x (2.3) Az állapotváltozókból a rendszer kimenőjele a következőképp kapható meg. úgynevezett megfigyelési egyenlet. Ez az y = b x + b x 2 (2.4) Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ c = A c x c + b c u (2.5) y = c T c x c (2.6) ahol A c = [ a a ] [, b c = ], c T c = [ b b ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági alak egyértelműségét. Induljunk ki az (2.5)-(2.6) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 29 függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T (si A) b = [ ] [ ] [ ] s + a b b a s [ ] [ ] [ ] s + a a b b adj s = [ ] s + a a det s [ ] [ ] [ ] s a b b s + a = s 2 + a s + a = b s + b s 2 + a s + a (2.7) Az átviteli függvény alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak egyértelműen felírható. Az A c mátrix első sorának elemei az átviteli függvény nevezőjének együtthatóiként, míg a c T c vektor elemei az átviteli függvény számlálójának együtthatóiként jelennek meg. Diagonális alak Az diagonális alakú állapottér reprezentáció a 2.4 ábrával illusztrálható és az alábbi alakban írható fel: ẋ λ x r ẋ 2 = λ 2 x 2 + r 2 u (2.8) ẋ 3 λ 3 x 3 r 3 y = [ ] x c 2 c c x 2 (2.9) x 3 Tegyük fel, hogy adott egy rendszer kimenete átviteli függvényének parciális tört alakú felbontásával: Y (s) = b(s) [ a(s) U(s) = r + r ] 2 U(s), (2.) s λ s λ 2 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

3 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE ẋ x r c λ u ẋ 2 x 2 y r 2 c 2 λ 2 r 3 ẋ 3 λ 3 x 3 c 3 2.4. ábra. A diagonális alak illusztrációja ahol λ, λ 2 az s 2 + a s + a = karakterisztikus egyenlet gyökei, r, r 2 pedig a λ, λ 2 gyökökhöz (a b(s)/a(s) átviteli függvény pólusaihoz) tartozó rezidumok: b s + b r = lim (s λ ) s λ (s λ )(s λ 2 ) = b λ + b λ λ 2 (2.) b s + b r 2 = lim (s λ 2 ) s λ2 (s λ )(s λ 2 ) = b λ 2 + b. λ 2 λ (2.2) Megjegyezzük, hogy ennél a felírásnál λ és λ 2 konvex pólusok is lehetnek. Vezessük be új változóként az X (s), X 2 (s) változókat, melyekre amiből az alábbi egyenletek írhatók fel: X (s) = r s λ U(s) (2.3) X 2 (s) = r 2 U(s) s λ 2 (2.4) Y (s) = X (s) + X 2 (s) (2.5) (s λ i )X i (s) = r i U(s) (2.6) sx i (s) = λ i X i (s) + r i U(s), i =, 2. (2.7) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 3 Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ d = A d x d + b d u (2.8) y = c T d x d, (2.9) ahol az (A d, b d, c T d ) jelölésben a d index az A d mátrix diagonális alakjára utal, [ λ A d = λ 2 ] [ r, b d = r 2 ], c T d = [ ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben a diagonális alak egyértelműségét. Induljunk ki az (2.8)-(2.9) kétállapotú általános leírásból. Mivel sem b d sem c d alakjára nézve nincs megkötés, ezért ezeket válasszuk meg a következőképpen: [ ] r b d =, c T d = [ ] m m 2. r 2 Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T d (si A d ) b d = [ ] [ ] [ ] s λ m m r 2 s λ 2 r 2 [ ] [ ] [ ] s λ r m m 2 adj s λ 2 r 2 = [ ] s λ det s λ 2 [ ] [ ] [ ] s λ m m 2 r 2 s λ r 2 = s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 [ ] [ ] r m m (s λ 2 ) 2 r 2 (s λ ) = s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 = (m r + m 2 r 2 )s (m r λ m 2 r 2 λ ) (2.2) s 2 (λ + λ 2 )s + λ λ 2 Az átviteli függvény alapján látható, hogy a diagonális alak felírása nem egyértelmű. Habár az átvityeli függvény nevezője alapján A d egyértelműen felírható (a pólusok sorrenjének megválasztásától eltekintve), b d és c T d elemeinek megválasztása nem egyértelmű. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

32 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér reprezentációját irányíthatósági alakban: G = s 2 +.5s + 45 (2.2) Megoldás: Ha az átviteli függvény számlálója, akkor az irányíthatósági állapottér reprezentációhoz az állapotváltozókat y deriváltjai csökkenő rendje szerint kell megválasztani. Válasszuk meg a két állapotot a következőképpen: Az állapotok deriváltjai: A kimenőjel: Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ ] [ ] [ẋ.5 45 x = + ẋ 2 x 2 y = [ ] [ ] x x 2 x = ẏ (2.22) x 2 = y (2.23) ẋ =.5x 45x 2 + u (2.24) ẋ 2 = x. (2.25) y = x 2. (2.26) [ ] u (2.27) (2.28) 2.2. Példa. Írjuk fel az alábbi, átviteli függvényével adott rendszer állapottér reprezentációját irányíthatósági alakban. G = 2s + s 2 + 2s + 3 (2.29) Megoldás: A bemenőjel deriváltjának megjelenése miatt az előző gondolatmenet nem alkalmazható közvetlenül. Vezessünk be egy új változót: Z = s 2 + 2s + 3 U (2.3) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 33 Inverz Laplace transzformációval: z = 2ż 3z + u (2.3) Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotok deriváltjai: ẋ = z = 2x 3x 2 + u és ẋ 2 = ż = x. A kimeneti jel: y = 2ż + z = 2x + x 2. Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ẋ = ẋ 2 [ 2 3 y = [ 2 ] [ x x 2 ] [ ] x + x 2 ] [ ] u (2.32) (2.33) 2.3. Példa. Határozzuk meg a 2.5 ábrán látható egyszerűsített gépjármű felfüggesztési modelljét irányíthatósági alakban. Adatok: m = 2kg, b = N s/m, k=9n/m. Megoldás: A 2.2 példa megoldása alapján induljunk az átviteli függvény alakból: Vezessünk be egy új változót: G =.5s + 45 s 2 +.5s + 45 (2.34) Z = Inverz Laplace transzformációval: s 2 +.5s + 45 U (2.35) z =.5ż 45z + u (2.36) Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotváltozókat a z deriváltjai csökkenő rendje szerint választjuk: x = ż és x 2 = z. Az állapotok deriváltjai: ẋ = z =.5x 45x 2 + u és ẋ 2 = ż = x. A kimeneti jel: y =.5ż + 45z =.5x + 45x 2. Az állapottér reprezentáció irányíthatósági alakban: ] [ẋ = ẋ 2 [.5 45 y = [.5 45 ] [ x x 2 ] [ ] x + x 2 ] [ ] u (2.37) (2.38) Megjegyezzük, hogy a témával kapcsolatban további példákat találni az irodalomban [, 6]. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

34 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.3.4. Állapottér transzformációk Vizsgáljuk azt az esetet, amikor egy adott x állapotvektorból egy új x állapotvektort képezünk az alábbi módon: x = T x (2.39) ahol T R n n egy n n méretű nemszinguláris transzformációs mátrix, és x R n, x R n. Ha az x állapotvektor az (A, b, c T ) állapottér reprezentációhoz tartozik, azaz Határozzuk meg az x állapotvektor ẋ = Ax + bu (2.4) y = c T x, (2.4) x = Ā x + bu (2.42) y = c T x (2.43) egyenletekben szereplő (Ā, b, c T ) mátrixokat. Mivel x = T x, ezt behelyettesítve az állapotegyenletbe kapjuk, hogy azaz Állapottér reprezentációk közötti kapcsolat T x = AT x + bu (2.44) y = c T T x, (2.45) x = T AT x + T bu (2.46) y = c T T x, (2.47) Ā = T AT, (2.48) b = T b, (2.49) c T = c T T. (2.5) Az A és Ā mátrixok közötti fenti kapcsolatot hasonlósági transzformációnak nevezzük. Egy rendszer adott dimenziós állapottér reprezentációi egymásból hasonlósági transzformációval kaphatók. Az alábbiakban három speciális állapottér reprezentációt írunk fel. www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 35 Irányíthatósági alak előállítása Az irányíthatósági alakú állapottér reprezentációt előállító transzformációs mátrix alakja: T c = (C n (A, b)τ(a)), (2.5) ahol n dimenziós állapottér esetén C n (A, b) az irányíthatósági mátrix: C n (A, b) = [ b Ab A 2 b..., ] és τ(a) egy n n dimenziós Toeplitz-mátrix: a n a n 2... a τ(a) = a n... a 2........., amelynek elemei a karakterisztikus egyenlet együtthatói: det (si A) = s n + a n s n + a n 2 s n 2 +... + a s + a. Ekkor az irányíthatósági állapottéralak Diagonális alak előállítása A transzformációs mátrix alakja: Ā c = T c AT c, bc = T c b, c T c = c T T c. T d = (C n (A, b)τ(a)p n ), ahol P n egy n n dimenziós Vandermonde-mátrix: λ n λ n 2... λ n n... P n = λ 2 λ 2 2... λ 2 n λ λ 2... λ n... A diagonális állapottér alak: Ā d = T d AT d, bd = T d b, c T d = c T T d. Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

36 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Megfigyelhetőségi alak előállítása Az irányíthatósági alak és a megfigyelhetőségi alak felírási módja között a dualitás teremt kapcsolatot. A két állapottér ekvivalens alakjai: A o = A T c, (2.52) b o = c c, (2.53) c T o = b T c, (2.54) Vizsgáljuk meg az irányíthatósági és a megfigyelhetőségi alakok ekvivalenciáját. Írjuk fel az átviteli függvényt mindkét esetben egy kétállapotú állapottér reprezentáció esetére. Az irányíthatósági alakot (2.5) és (2.5) szerint vesszük: G(s) = [ ] [ s + a b b a s ] [ ] = b s + b s 2 + a s + a (2.55) Vizsgáljuk meg a megfigyelhetőségi alakot is. Az állapotegyenletek mátrixos alakban felírva: ẋ o = A o x o + b o u (2.56) y = c T o x o (2.57) ahol A o = [ a a ] [ b, b o = b ], c T o = [ ]. Vizsgáljuk meg egy két állapotú rendszerben, hogy az irányíthatósági és a megfigyelhetőségi alakok ekvivalensek. Induljunk ki az (2.5)-(2.6) kétállapotú általános leírásból. Az átviteli függvény és az állapottér reprezentáció közötti összefüggés alapján www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 37 írjuk fel az átviteli függvényt: G(s) = c T (si A) b = [ ] [ ] [ ] s + a b a s b [ ] [ ] [ ] s + a b adj a s b = [ ] s + a det a s [ ] [ ] [ ] s b a s + a b = s 2 + a s + a = b s + b s 2 + a s + a (2.58) Az átviteli függvények alapján jól látható, hogy az irányíthatósági alak és a megigyelhetőségi alakok ekvivalensek. 2.4. Példa. Határozzuk meg az alábbi rendszer irányíthatósági alakját előállító transzformációs mátrixot. 2 4 A =, b = c T = [ ] (2.59) Megoldás Az irányíthatósági alak transzformációs mátrixa: T = (Cτ) ahol det (si A c ) = s 3 + 3s 2 + 2s + 4 C = [ b Ab A 2 b ] 2 4 3 2 = 3 τ = 3 (2.6) T = (Cτ) = = (2.6) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

38 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Az irányíthatósági alak: 2 4 A c =, b c =, c T c = [ 3 ]. (2.62) ahol A diagonális alakú állapottér reprezentációt előállító transzformációs mátrix alakja: T = (CτP) C = [ b Ab A 2 b ] a 2 a, τ = a 2, (2.63) λ 2 λ 2 2 λ 2 3 P = λ λ 2 λ 3 (2.64) és λ, λ 2, λ 3 az A mátrix sajátértékei (a rendszer pólusai). 2.5. Példa. Határozzuk meg az alábbi rendszer diagonális alakját előállító transzformációs mátrixot. 6 A =, b = c T = [ ] (2.65) 6 Megoldás Az diagonális alak transzformációs mátrixa: T = (CτP) ahol det (si A c ) = s 3 + 6s 2 + s + 6 6 4 9 C = τ = 6 P = 2 3 (2.66) 6 3 2 T = (CτP) = 5 4 3.5.5.5 = 2 4 (2.67).5.5 4.5 A diagonális alak:.5 A d = 2, b c =, c T c = [ 2 3.5 4 9 ]. (2.68) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.3. MODELLEZÉS ÁLLAPOTTÉRBEN 39 2.6. Példa. Írja fel az alábbi állapottér reprezentációt megfigyelhetőségi alakban a dualitás elvének kihasználásával: [ ] [ ] 4 A =, b =, c T = [ ]. (2.69) 3 Megoldás Irányíthatósági alak: C = [ A Ab ] = [ 4 τ = [ ] (2.7) ], det(si A) = s 2 4s + 3 (2.7) T = Cτ = [ ], T = 4 [ ] 4 (2.72) A c = T AT = [ ] 4 3 b c = T b = [ ] c T c = [ 3 ] (2.73) A o = A T c = [ ] [ ] 4, b 3 o = c c =, c T o = b T c = [ ]. (2.74) 3 Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

4 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.4. Modellezés mért jelek alapján: modell identifikáció alapjai A rendszer modelljének konstruálása a bemenőjelek és a kimenő jelek mért (mintavételezett) adatai alapján is történhet. Az eljárást modell identifikációnak nevezzük. A mért jelek közötti kapcsolat az alábbi alakban írható fel: y = G(q)u (2.75) ahol q az úgynevezett eltolás operátor, G(q) modell leírja a rendszer bemenete és kimenete közötti kapcsolatot, azaz a mintavételezett rendszer átviteli függvényét. u t G y t A D u k G(q) y k A D 2.5. ábra. Identifikálandó modell Egy zajjal terhelt lineáris időinvariáns rendszer modelljét mutatja a 2.6 ábra. A zajos rendszer modellje: y = G(q)u + e (2.76) ahol q eltolás operátor, e zaj (zavarás). A rendszeridentifikáció végrehajtása több lépésben történik. Ezekkel kapcsolatban további részleteket találni az irodalomban [8]. Bemenő és kimenő jelek mérése, mintavételezése, szűrése, feldolgozása (transzformációja). Modell struktúrájának becslése fizikai megfontolások alapján. Modell paramétereinek becslése. Modell ellenőrzése, tesztelése, validálása. www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.4. MODELLEZÉS MÉRT JELEK ALAPJÁN: MODELL IDENTIFIKÁCIÓ ALAPJAI 4 u G(q) e + + y 2.6. ábra. Zajjal terhelt modell Diszkrét modell transzformálása folytonos alakra. A rendszermodell általános alakja: y(t) = G(q)u(t) + e(t) (2.77) ahol G(q) átviteli függvény és q az eltolás operátor. Például G(q) = B(q) A(q) (2.78) ahol A(q) és B(q) polinomok az eltolás operátor szerint a következő alakúak: ahol A modell ARX struktúrája A(q) = + a q + a 2 q 2 +... + a n q n (2.79) B(q) = b q + b 2 q 2 +... + b m q m (2.8) A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (2.8) B(q) = b q + b 2 q 2 (2.82) A(q) = + a q + a 2 q 2 (2.83) A modell struktúráját a kimenet korábbi kimeneteinek száma, a korábbi bemenetek száma és a bemenőjel eltolása határozza meg: y(t) + a y(t ) + a 2 y(t 2) = b u(t ) + b 2 u 2 (t 2) + e(t) (2.84) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

42 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE ahol a, a 2, b, b 2 a modell paraméterei. Átrendezve: y(t) = a y(t ) a 2 y(t 2)+ (2.85) + b u(t ) + b 2 u 2 (t 2) + e(t) (2.86) A modell alapján a kimenőjel t-edik értékére becslés adható: ŷ(t) = â y(t ) â 2 y(t 2) + ˆb u(t ) + ˆb 2 u(t 2) (2.87) Az előrejelzés hibája: minden t-re. Az n-edrendű ARX modell alakja: ɛ(t) = y(t) ŷ(t) (2.88) y(t) = a y(t ) a 2 y(t 2)... a n y(t n) (2.89) Vezessük be a következő jelölést: + b u(t ) + b 2 u(t 2) +... + b n u(t n) + e(t) (2.9) φ(t) = [ y(t )... y(t n) u(t )... u(t n) ] T (2.9) θ = [ a... a n b... ] T b n (2.92) ahol φ a mért jelek, θ a paraméterek halmaza. A kimenőjel: y(t) = φ T (t)θ + e(t) (2.93) y(t + ) = φ T (t + )θ + e(t + ) (2.94)... (2.95) y(t + N) = φ T (t + N)θ + e(t + N) (2.96) A modell kompakt alakja: Y = Φθ + ɛ(n, θ) (2.97) ahol Y = [ y(t) y(t + )... y(t + N) ] T, (2.98) Φ = [ φ(t) φ(t + )... φ(t + N) ] T, (2.99) ɛ = [ e(t) e(t + )... e(t + N) ] T (2.2) θ = [ ] T a... a n b... b n (2.2) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.4. MODELLEZÉS MÉRT JELEK ALAPJÁN: MODELL IDENTIFIKÁCIÓ ALAPJAI 43 Az LS becslés azt a paramétervektort keresi, amelynél az ɛ(t) hiba négyzetösszege a legkisebb. Az LS kritériumot a következő alakban definiáljuk: J(θ) = ami skaláris szorzat alakban is felírható: N e(t, θ) 2 (2.22) t= J(θ) = ɛ(t, θ) T ɛ(t, θ) (2.23) ahol θ a paramétereket tartalmazó vektor. Az LS becslés egy optimalizáló eljárás, melynek során a paraméterbecslési eljárás eredményét a következő költségfüggvény minimalizálásával kapjuk: Az LS kritérium kifejtve: ˆθ = arg min θ J(θ) (2.24) J(θ) = ɛ T ɛ = (Y Φθ) T (Y Φθ) (2.25) A minimum parciális deriválttal számítható: = Y T Y θ T Φ T Y Y T Φθ + θ T Φ T Φθ (2.26) Az optimális megoldás: J(θ) = [ J θ i ] = 2Y T Φ + 2θ T Φ T Φ (2.27) Φ T Y = Φ T Φˆθ LS (2.28) ˆθ LS = (Φ T Φ) Φ T Y (2.29) amit az LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük. A gyakorlati alkalmazásokból ismert tény, hogy a becslési hiba az idő fügvényében egyre nagyobb értékeket vesz fel. Ezért a becslési hiba súlyozását is érdemes bevinni a kritériumba. N J(θ) = w(t)e(t, θ) 2 = ɛ(t, θ) T W ɛ(t, θ) (2.2) t= ahol w(k), illetve W súlyozó tényező. Abban a tartományban, ahol nagyra választjuk, a becslés pontosabb lesz, mint ahol kisebbre választjuk. A normálalak összefüggése a következőképpen változik. Φ T W Y = Φ T W Φˆθ W LS (2.2) ˆθ W LS = (Φ T W Φ) Φ T W Y (2.22) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

44 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Ezt a kifejezést a súlyozott LS becslésre vonatkozó normálegyenletnek nevezzük. A becsült modell validáció vizsgálatára a gyakorlatban elterjedt módszer a hiba statisztikai vizsgálata. Az identifikált modell tulajdonságait a rendszer tulajdonságaival való összehasonlítása. A vizsgálat mind idő, mind frekvenciatartományban elvégezhető. 2.7. Példa. Tegyük fel, hogy adott egy paramétereiben nem ismert másodfokú rendszer. A(q)y(t) = B(q)u(t) + e(t) (2.23) ahol n k = 2, A(q) = [.5.7 ] és B(q) = [ 2.5.9 ]. Tegyük fel, hogy a 4 Input signal 3 Noise 2 2 2 2 3 4 2 4 6 8 sec 4 2 4 6 8 sec 4 Output signal 2 2 4 2 3 4 5 6 7 8 9 sec 2.7. ábra. Mért bemenő és kimenő jelek másodfokú rendszer bemenő és kimenő jeleit T s =. sec lépésenként mérjük. A mért mintát illusztrálja a 2.7 ábra. Megoldás: A modellt s következő ARX struktúrában keressük: A(q)y = B(q)u + e (2.24) ahol B(q) = b q +b 2 q 2 és A(q) = +a q +a 2 q 2. A paraméterbecslést legkisebb négyzetes módszerrel hajtjuk végre. B(q) = [ 2.537.8677 ] (2.25) A(q) = [.55.75 ] (2.26) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.5. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE IDŐTARTOMÁNYBAN 45 4 Measured and predicted signals 2 2 4 2 3 4 5 6 7 8 9 sec 2 Prediction error.5.5.5.5 2 3 4 5 6 7 8 9 sec 2.8. ábra. Becslési hiba elemzése Kiszámítjuk az előrejelzett kimenetet és ezt a mért kimenethez hasonlítjuk. Elvégezzük a hiba kimenet (reziduál) elemzését. Hiba átlag: m =.55, szórás: σ =.98. A modell által generált jel és a mért jel illesztése az eltérés jelével együtt a 2.8 ábrán látható. 2.5. Rendszerdinamika elemzése időtartományban 2.. Definíció. Súlyfüggvény A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az ún. Dirac-delta függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. A Dirac-delta függvényt a következőképp definiáljuk: {, ha t =, δ(t) = (2.27), ha t. ahol δ(t)dt =. (2.28) A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A súlyfüggvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t δ(τ)u(t τ)dτ. (2.29) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

46 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE 2.2. Definíció. A bemenőjel - kimenőjel kapcsolatot leírhatjuk az egységugrás függvényre adott válaszfüggvény segítségével is. Az egységugrás függvényt a következőképp definiáljuk: {, ha t, (t) = (2.22), ha t <. Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. Az átmeneti függvény segítségével egy tetszőleges bemenőjelre adott válaszfüggvény: y(t) = t (τ)u(t τ)dτ. (2.22) A Dirac-delta bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer súlyfüggvényének nevezzük. A Dirac-delta függvény (u(t) = δ(t)) Laplace transzformáltja: U(s) =. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = G(s). y(t) = L [G(s)] (2.222) Az egységugrás bemenőjelre adott válaszfüggvény a rendszer átmeneti függvényének nevezzük. A egységugrás függvény (u(t) = (t)) Laplace transzformáltja: U(s) = s. Emiatt Y (s) = G(s)U(s) = s G(s). y(t) = L [ s G(s) ] (2.223) 2.5.. Példák a rendszerdinamika időtartományi elemzésére 2.8. Példa. Tekintsük a 2.4 ábrán látható két rugóból és csillapító kamrából álló rendszert. Adatok: k = Ns m, c = 3 N m, c 2 = 2 N m G = Átmeneti függvény számítása kc s + c c 2 = + 5s ks(c + c 2 ) + c c 2 + 25s (2.224) 3 Y = s G = + 5s s( + 25 3 s) (2.225) Az átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával kiszámítható és 2.9 ábra szerint felrajzolható: v = lim s + 5s + lim s s( + 25 3 s)est =.4 e.2t s 3 25 (s + 3 25 ) + 5s 25 s( 3 + 3 25 s)est www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME

2.5. RENDSZERDINAMIKA ELEMZÉSE IDŐTARTOMÁNYBAN 47 Átmeneti függvény.95.9.85.8.75.7.65.6 2 3 4 5 Time [sec] 2.9. ábra. Az átmeneti függvény illusztrációja. y. u k m c 2.2. ábra. Lengőrendszer modellje 2.9. Példa. Írjuk fel a 2.2 ábrán látható tömegből, rugóból és csillapítóból álló mechanikai rendszer átviteli függvényét. Az átviteli függvény Laplace transzformációval: G = c ms 2 + ks + c = c m s 2 + k m s + c m (2.226) Két pólusa van, amelyek a fizikai paraméterektől függően valósak, vagy komplexek lehetnek: p,2 = k ± k 2 c. Súlyfüggvény számítása 2m 4m 2 m c m w(t) = lim (s p ) s p (s p )(s p 2 ) est c m + lim (s p 2 ) s p2 (s p )(s p 2 ) est, c m = e pt p p 2 c m p p 2 e p 2t. (2.227) Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME www.tankonyvtar.hu

48 2. MECHATRONIKAI RENDSZEREK MODELLEZÉSE ÉS ELEMZÉSE Komplex pólusok esetén (p = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: w(t) = c m 2iβ eαt (e iβt e iβt ) = c mβ eαt sin(βt) (2.228) Kihasználtuk a szögfüggvényekre vonatkozó e φt Átmeneti függvény számítása: = cosφ + isinφ Euler összefüggést. v(t) = lim s s s + lim s p (s p ) s c m (s p )(s p 2 ) est c m (s p )(s p 2 ) est c m + lim (s p 2 ) s p2 s (s p )(s p 2 ) est c c m m = + p p 2 p (p p 2 ) ep t c m p 2 (p p 2 ) ep 2t (2.229) Komplex pólusok esetén (p = α + iβ és p 2 = α iβ) további számítások szükségesek: v(t) = = c m α 2 + β 2 + c m α 2 + β 2 c m c m 2iβ(α + iβ) eαt e iβt 2iβ(α iβ) eαt e iβt c m α 2 + β 2 eαt cosβt + c m α 2 + β 2 α β eαt sinβt. (2.23) Komplex pólusok esete: Adatok: m = kg, k = Ns, c = 3 N. Két komplex m m konjugált pólus van: a p =.5 +.65i és p 2 =.5.65i. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w =.88e.5t sin(.65t) (2.23) v =.3e.5t sin(.65t) e.5t cos(.65t) (2.232) Valós pólusok esete. Adatok: m = kg, k = 4 Ns, c = 3 N. Valós pólusai m m vannak: p = 3 és p 2 =. A súlyfüggvény és átmeneti függvény a rezidum tétel alkalmazásával számítható: w =.5e t.5e 3t (2.233) v =.5e t +.5e 3t (2.234) www.tankonyvtar.hu Bokor József, Gáspár Péter, Soumelidis Alexandros, BME