Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy) evezetes számelméleti függvéyek értékeit vizsgálva láthatjuk, hogy a felvett értékek agyo szabálytalaul változak. A τ függvéy eseté például τ(p) = 2 mide p prímre és τ mide a egész értéket felvesz, mégpedig végtele sokszor, mert τ(p a ) = a mide p prímre. Ugyaakkor yilvá 2 τ(), eél jobb a következő becslés:. Feladat. Igazoljuk, hogy 2 τ() 2 mide 2-re. Kérdés, hogy τ() függvéy -től függőe milye agy értékeket vehet fel? A σ és φ függvéyekre σ() +, φ() mide 2-re és az egyelőségek akkor és csak akkor igazak, ha prím. Kérdés, hogy σ() és φ() -től függőe milye agy illetve milye kicsi értékeket vehet fel? 2. Tétel. Létezek olya C és C 2 pozitív álladók, hogy mide 2-re a) σ() < C log, b) φ() > C 2 log. Választható C = + / log 2 2, 442695, C 2 = log 2/2 0, 346573. Bizoyítás. Mide 2 eseté σ() = d d = d d = d d ha C + / log mide 2-re, azaz ha C + / log 2 és φ() k < ( + log ) C log, = ( r p ) ( k + ) = r + 2r log 2 2 log, p ahol r az külöböző prímosztóiak a száma, és haszáljuk, hogy 2 r, log r log 2. 3. Megjegyzés. Az előbbiek alapjá: σ() φ() = 0 és +ε ε = mide ε > 0 eseté. Így az is igaz, hogy φ() =. Nézzük most a τ függvéyt. A τ() em létezik, ugyaakkor igazolható, hogy 4. Tétel. Mide ε > 0 eseté τ() ε = 0. Sok esetbe a vizsgált f számelméleti függvéyre voatkozó f() számtai középaráyos jól közelíthető elemi függvéyekkel. A τ függvéyre például igaz a következő: 5. Tétel. i) Létezik olya C 3 > 0 valós szám, hogy τ(k) log < C 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) mide 2 eseté (választható C 3 = ), ii) τ(k) =, log Bizoyítás. i) S() := τ(k) = azaz = d mert rögzített d eseté k = jd, ahol j /d. Elhagyva az egészrészt, ahoa S() d= ii) Azoali i) alapjá. 6. Megjegyzés. A felhaszált d < + log és S() > < τ(k) log. /d = d= j= d= ( ) d = d= τ(k) log <. τ(k) = j= [ d ], d= > log, d [ ] azoosságak egy más, érdekes levezetése a j következő. Tekitsük az A = (a ij ) típusú mátrixot, ahol a ij =, ha j i és a ij = 0, ha j i. Pl. = 6-ra az A mátrix a következő : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Számoljuk össze, hogy háy -es va a mátrixba! Sorok szerit: az i-edik sorba ayi -es va, aháyszor j i, azaz τ(i), így az -esek száma i= τ(i). Oszlopok szerit: a j-edik oszlopba ayi -es va, aháyszor j i, azaz aháy többszöröse va j-ek és ez a szám [/j], mert a többszörösök ezek: j, 2j,..., kj, ahol kj < (k + )j, ie k /j < k +, azaz k = [/j]. Így az -esek száma j= [/j]. Következik, hogy i= τ(i) = j= [/j]. 7. Azt modjuk, hogy az f függvéy átlagértéke vagy középértéke a g függvéy, ha azaz f(k) f(k)/ g(k), g(k) =. A τ() függvéy átlagértéke az előző tétel szerit log. 2
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) 8. Megjegyzés. Az (x, y) koordiátaredszer első egyedébe tekitsük az xy = k egyelőoldalú hiperbolát. Eze ayi rácspot va, aháyféleképpe k = ab kéttéyezős szorzatkét írható, azaz τ(k). Így S() = τ(k) egyelő az xy = k hiperboláko lévő rácspotok számával, azaz a tegelyek és az xy = hiperbola közötti rácspotok számával. Igazolható, hogy 9. Tétel. 2 2 σ(k) = π2 2, azaz φ(k) = 3 π 2, azaz 0. Feladat. Igazoljuk, hogy mide -re a) σ() + φ() 2, b) C 2 < σ()φ() 2, alkalmas C > 0 álladóval.. Feladat. Igazoljuk, hogy: a) σ(!)! =, b) φ(!)! = 0. σ(k) π2 2, φ(k) 3 π 2. A Möbius-függvéy (részletesebbe lásd Algebra és számelmélet II. jegyzet, 3.7. szakasz) Möbius-függvéyek evezzük a, ha =, µ() = 0, ha létezik p prím, amelyre p 2, ( ) r, ha = p p 2...p r, p i p j képlettel defiiált függvéyt. Például, µ(30) = µ(2 3 5) = ( ) 3 =, µ(2) = µ(2 2 3) = 0, µ(4) = µ(2 7) = ( ) 2 =. Megjegyezzük, hogy µ() = (µ()) 2 = akkor és csak akkor, ha égyzetmetes, azaz külöböző prímek szorzata. 2. Tétel. i) µ multiplikatív függvéy. ii) A Möbius-függvéy összegzési függvéye µ(d) = d {, ha =, 0, ha >. 3. Tétel. (Möbius-féle megfordítási képlet) Ha f és g számelméleti függvéyek, akkor egyeértékűek a következő állítások: ) g() = d f(d) mide eseté, 2) f() = d µ(d)g(/d) mide eseté. Számelméleti függvéyek kovolúciószorzása (részletesebbe lásd Algebra és számelmélet II. jegyzet, 3.8. szakasz) Az f és g függvéyek kovolúciószorzata (Dirichlet-szorzata) az f g függvéy, ahol (f g)() = d f(d)g(/d) = de= f(d)g(e),, az összegzés itt pozitív d osztóira voatkozik, illetve midazokra a (d, e) redezett számpárokra, amelyekre de =. 3
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Legye E() =, U() =, δ() = {, ha =, 0, ha >. Így a korábbiakba vizsgált függvéyekre: σ = U E, τ = U U, µ U = δ, φ = µ E. Jelölje F a számelméleti függvéyek halmazát. 4. Tétel. (A kovolúció tulajdoságai) Ha f, g, h tetszőleges számelméleti függvéyek (f, g, h F), akkor ) f g = g f (kommutativitás), 2) (f g) h = f (g h) (asszociativitás), 3) f δ = f (δ egységelem), 4) f (g + h) = f g + f h (a kovolúció disztributív az összeadásra ézve), 5) f g 0 f 0 vagy g 0, 6) adott f F eseté akkor és csak akkor létezik g F úgy, hogy f g = δ, ha f() 0, és ha létezik ilye g, akkor az egyértelmű, azaz (F, +, ) kommutatív, egységelemes, zérusosztómetes gyűrű (itegritástartomáy) és egy adott f F elemek akkor és csak akkor létezik iverze, ha f() 0. 5. Megjegyzés. (F, +, ) kommutatív, egységelemes gyűrű, de itt vaak zérusosztók. A kovolúció valódi függvéy-művelet, (f g)() kiszámításához em elegedő f() és g() ismerete. Legye F = {f F : f() 0} és legye MF a em azoosa ulla multiplikatív függvéyek halmaza. Akkor 6. Tétel. Az (F, ) struktúra kommutatív csoport és (MF, ) eek részcsoportja. 7. Megjegyzés. A µ U = δ összefüggés alapjá következik, hogy a kissé furcsa µ függvéy a szép U függvéy kovolúcióiverze, és eek alapjá új, átláthatóbb bizoyítás adható a Möbius-féle megfordítási képletre: g() = f(d) g = f U g µ = (f U) µ d g µ = f (U µ) g µ = f δ g µ = f f() = d µ(d)g(/d). További feladatok 8. Határozzuk meg a τ(), σ() és φ() értékeket, ahol = 2, = 24, = 20, illetve = p 2 q 3, p q prímek. 9.. Legyeek f és g multiplikatív függvéyek. Vizsgáljuk, hogy multiplikatív-e az f g szorzatfüggvéy és az f + g összegfüggvéy. 20. Lehet-e prímszám vagy prímhatváy tökéletes szám? 2. Igazoljuk, hogy akkor és csak akkor tökéletes szám, ha osztói reciprokaiak az összege 2. 22. Igazoljuk, hogy ha páros tökéletes szám, akkor utolsó számjegye (0-es számredszerbe) 6 vagy 8. 23. Igazoljuk, hogy mide m, eseté τ(m) τ(m)τ(). Mikor áll fe az egyelőség? 24. Igazoljuk, hogy mide -re φ( 2 ) = φ(). 4
Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) 25. Igazoljuk, hogy mide eseté φ() = d dµ(/d) = d µ(d) d. Megoldás. Alkalmazzuk a Möbius-féle megfordítási képletet az f() = φ(), g() = esetbe. Másképp: A Möbius-függvéy tulajdosága szerit φ() = ahol k = dl. k, (k,)= = k d (k,) µ(d) = d k, d µ(d) = d /d µ(d) l= = d µ(d) d, 26. Legyeek f és g additív függvéyek. Vizsgáljuk, hogy additív-e az f + g összeg, az f g külöbség és az f g szorzatfüggvéy. 27. Igazoljuk, hogy 2 ω() τ() 2 Ω() mide -re. 28. Igazoljuk, hogy mide -re c) a) µ(d)σ(/d) =, b) σ(d) = τ(d) d, d d d µ(d)τ(/d) =, d) τ 2 (d)µ(/d) = µ 2 (d)τ(/d). d d d 5