Centrális erőtérben való mozgás egymás gravitációs terében mozgó égitestek atommag körül relatív nagy távolságra keringő elektron klasszikus modellje (Rydberg atomoknál) Végtelen tömegű + véges tömegű test kölcsönhatása.
Háromdimenziós térben egy U(r) = U(r) centrális erőté. A viszonyítási szintet vegyük fel a végtelenben (U( ) = 0. A centrális erőtér megőrzi a részecske impulzusnyomatékát, a mozgás egy, az impulzusnyomaték vektorára merőleges, síkban történik. Lássuk, hogy miként jutunk hasonló következtetésekre a Lagrange formalizmus alkalmazásával és egyúttal tanulmányozzuk a mozgásegyenletek megoldását is. f = 3 L(r, ṙ) = mṙ2 2 U(r). L t = 0, rendszer konzervatív tehát az E = mṙ2 2 + U(r), energia egy mozgásállandó. Szférikus szimmetria előnyös lehet gömbi koordinátákban dolgozni. L(r, θ, φ, ṙ, θ, ϕ) = m 2 (ṙ 2 + r 2 θ2 + r 2 sin 2 θ ϕ 2 ) U(r). L ϕ = 0, ennek a ciklikus koordinátának kanonikusan konjugált impulzusa megmarad: l p ϕ = L ϕ = mr 2 sin 2 θ ϕ = állandó. A θ szögre feĺırt Euler-Lagrange egyenlet: d dt (r 2 θ) = r 2 sin θ cos θϕ 2. Az egyenletnek megoldása a θ(t) = π függvény síkmozgás 2
E = m 2 (ṙ 2 + r 2 ϕ 2 + U(r)) = mṙ 2 l = mr 2 ϕ = állandó. (1) 2 + l2 + U(r) = állandó, (2) 2mr 2 m r = U r + l2 (3) mr 3
Az impulzusnyomaték vektor l nagyságát geometriailag is értelmezhetjük. Az 1 rṙ dϕ kifejezés annak az elemi felületnek a df területe, melyet a helyzetvektor 2 dϕ szöggel történő elfordulása során átseper. Az állandó impulzusnyomaték értéke az előzőek alapján l = 2mḟ, ahol a ḟ = 1/2r 2 ϕ derivált az ú.n.felületi sebesség. Centrális erőtér esetén az impulzusnyomaték megmaradása azt fejezi ki, hogy a felületi sebesség állandó. Ez Keplernek a bolygó keringésére megállapított második törvénye.
A fenti tétel általánosabb érvényű mint azt annak idején Kepler a bolygóknak Nap körüli mozgásából kikövetkeztethette. A Nap-bolygó rendszereken túl a Nap-üstökös, bolygó-hold és a minden más gravitáció révén kölcsönható kéttest rendszerre érvényes, a Naprendszeren kívül is. Nem csak a Kepler-féle 1/r típusú gravitációs vonzás esetén, hanem bármilyen centrális erőtér esetén is érvényben marad.
Sugárirányú mozgás Egydimenziós mozgás az U eff = U(r) + l2 2mr 2 effektív potenciális energiájú térben. l 2 Az mennyiséget centrifugális energiának nevezzük. 2mr 2 A mozgás az r 0 tartományra van korlátozva!!.
U(r) + l2 2mr = E, 2 A gyökök r-ben megadják a mozgás tartományának határait a centrumtól mért távolság szerint Egy vagy két fordulópont a potenciál alakjának és a rendszer energiájának függvényében.
Mozgás az erőtér középpontjának közelében Láttuk, hogy minden esetben létezik egy legkisebb r min távolság, aminél közelebb nem kerülhet a részecske a tér középpontjához. Feltevődik a kérdés, hogy lehet-e ez a távolság nulla. Azaz beleeshet-e a részecske az középpontba? Helyesebben fogalmazva milyen feltételek mellett kerülhet a részecske tetszőlegesen közel a tér középpontjához. Az impulzusnyomaték meghatározásából: l = r p = r p = r min p min, (4) ahol r az impulzus karja, azaz a középpont távolsága az impulzus iránya által meghatározott egyenestől. Végtelenből induló részecske esetén az r (+ )-t ütközési paraméternek nevezzük. Nulla kar, nulla impulzusnyomatékot jelent és azt, hogy a középpont irányában mozgó részecske impulzusnyomatéka nulla. A fenti képletben figyelembe vettük, hogy a fordulópontban a sebesség és a helyzet vektorai merőlegesek egymásra.
Tekintsük most azt az esetet, amikor az E energia és l impulzusnyomaték tetszőleges véges mennyiségek. Az (4) egyenletből következik, hogy a fordulópontban a távolsággal fordítottan arányos a a megfelelő impulzus. Tetszőleges kicsi r min korlátlanul nagy mozgási energiával jár együtt, ami egy mínusz végtelenhez tartó potenciális energiával együtt tudja biztosítani a E teljes energia megmaradását. Minden ilyen U(r) függvény a nulla környékén vezető rendben U(r) = αr β, α > 0, β > 0 alakú, ahol α és β a potenciált jellemző r-től független véges értékek. A (2) egyenletből a radiális kinetikus energia: mṙ 2 2 = E + αr β l2 2mr 2 > 0. (5) Az egyenlőtlenséget végigszorozva r 2 -el az r 2 E tag tetszőlegesen lecsökkenthető az l 2 2m-hez képest, elegendően kicsi r-ekre. Azt kapjuk, hogy a középpont közvetlen közelében tehát αr 2 β > l2 2m. A jobboldal egy r-től független véges mennyiség. Az egyenlőtlenség fennáll tetszőlegesen kicsi r-re, ha 1. β > 2 vagy, 2. β = 2 és α > l2 2m.
Ha kezdeti impulzusnyomaték nélkül (l = 0), azaz egyenesen a középpont felé (r = 0) indul a részecske, akkor a (5) egyenlőtlenségből αr β > E, ami fennáll, ha 1. β > 0 vagy, 2. β = 0 és α > E. Összefoglalva következtetéseinket: Egy centrális erőtérben véges impulzusnyomatékkal mozgó részecske tetszőlegesen közel kerülhet az erőtér középpontjához
A pálya zártsága A (2) egyenletből kifejezve az ṙ radiális sebességet ṙ dr 2 dt = [E U(r)] l2 m m 2 r 2. (6) Amennyiben az anyagi pont r min és r max között végez korlátos mozgást a mozgás periódusa rmax dr T (E) = 2 r min [E U(r)] l2 2 m, m 2 r 2 A pálya alakja meghatározható az r és a ϕ koordináták kapcsolata révén, melyet a (6) egyenletből az idő kiküszöbölését követően kapunk meg. A (1) impulzusmegmaradási tételből: ahonnan ϕ(r) = dr dt = dr dϕ dϕ dt = l dr mr 2 dϕ, l r 2 dr 2m[E U(r)] l2 r 2 + állandó. (7)
Egy teljes T (E) periódus alatt a helyzetvektor a szöggel fordul el (12. ábra). rmax ϕ = 2 r min l r 2 dr 2m[E U(r)] l2 r 2 A pálya zártságának a feltétele az, hogy ϕ = 2π m, ahol m és n egész n számok. Általában tetszőleges U(r) esetén a pálya nem zárt. Mindössze két típusú olyan centrális erőtér van, amelyben minden véges mozgás zárt. Ha a potenciális energia : U(r) 1 és U(r) r 2. Az előző a Kepler problémának, a r második a térbeli harmonikus oszcillátornak felel meg.
Kepler-probléma A Newton-féle gravitációs tér és a Coulomb-féle elektrosztatikus tér is centrális erőtér, amelyekben a potenciális energia vonzás esetén: U(r) = α r, α > 0, U eff = α r + l2 2mr 2 Az r = l2 értéknél az effektív potenciális energiának minimuma van, amely αm (U eff ) min = α2 m 2l 2 A görbe alakjából nyilvánvaló, hogy E > 0 esetén a részecske mozgása végtelen, E < 0 esetén pedig véges (7). Az U(r) = α helyettesítést követően, r a (7) egyenletben az integrálás eredménye: l ϕ = arccos r mα l + C. 2mE + m2 α 2 l 2
Legyen, C = 0, p l2 mα és ε = 1 + 2El2. Az így kapott pálya egyenlete: mα2 r = p 1 + ε cos ϕ Ez egy olyan kúpszelet egyenlete, amelynek fókusza az origóban van; p és ε a pálya paramétere, illetve excentricitása. Az ϕ = 0 szöghöz az origóhoz legközelebbi pont tartozik. Ez az ún. perihélium.
Amikor E < 0 ε < 1, a pálya ellipszis (16 ábra). Az ellipszis nagy és kistengelye: a = p 1 ε = α 2 2 E, b = p = l. 1 ε 2 2m E A tér centrumától mért legnagyobb és legkisebb távolság: r min = a = rmax + r min 2 p p = a(1 ε), rmax = = a(1 + ε). 1 + ε 1 ε (ezért nevezik az ε-t excentricitásnak). = p 1 ε, c = rmax r min = εp 2 2 1 ε = εa 2 a 2 = b 2 + c 2 Az ellipszispályán a keringés T periódusa a felületi sebességgel adható meg. Integrálva egy periódusra és felhasználva a fentebb kapott eredményeket: 2mf = T l, f = πab, a = α 2 E, b = l 2m E, 3 T = 2πa 2 m α = πα m 2 E 3.
Azt kaptuk, hogy a periódus négyzete arányos a pálya félnagytengelyének a köbével (Kepler harmadik törvénye).
Ha E 0, a mozgás végtelen. E > 0 esetén ε > 1, vagyis a pálya hiperbola, mely az erőtér centrumát (a fókuszt) úgy öleli körül, ahogyan az 17 ábra mutatja. A centrumtól való legkisebb távolság: r min = p = a(ε 1), ε + 1 ahol a = p ε 2 1 = α 2E a hiperbola féltengelye. Az E = 0 esetén ε = 1, tehát a részecske parabolán mozog, amelyre r min = p 2. Ez az eset akkor valósul meg, ha a részecske a nyugalmi állapotból kiindulva, a végtelenben kezdi mozgását.
A kéttest-probléma A kölcsönhatás potenciális energiája csak a részecskék kölcsönös távolságától függ. L = m1ṙ2 1 + m2ṙ2 2 U( r 1 r 2 ) 2 2 r r 1 r 2 relatív helyzet m1r1 + m2r2 r c = a rendszer tömegközéppontjának helyzetvektora. m 1 + m 2 r 1 = r c + m 2 m 1 r ; r 2 = r c r m 1 + m 2 m 1 + m 2 ṙ relativ sebesség, ṙ c tömegközéppont sebessége ṙ 1 = ṙ c + Visszahelyettesítés után m1m2 m 2 m 1 ṙ ; ṙ 2 = ṙ c ṙ m 1 + m 2 m 1 + m 2 L = (m1 + m2)ṙ2 c 2 m = a rendszer redukált tömege. m 1 + m 2 + mṙ2 2 U(r)
L rc = 0 r c ciklikus változó (m 1 + m 2)ṙ c általános impulzus állandó a rendszer tömegközéppontja állandó sebességgel mozog. Mindig választható úgy egy tehetetlenségi inerciarendszer, hogy ṙ c = 0, r c = 0 L = mṙ2 2 U(r) A feladatot visszavezettük az adott U(r) külső térben egyetlen(redukált tömegű) anyagi pont leírása.
Mechanikai hasonlóság Különböző fizikai rendszerek esetén is azonos alakúak a mozgásegyenletek és hasonlóak a pályák. Miként módosul a mozgás pályája illetve a mozgás üteme, ha a rendszerünk térbeli skálázáson megy át. A kezdeti feltételek is megfelelőképpen kell skálázódjanak, hogy a mozgás pályája az eredeti pálya felnagyított vagy kicsinyített mása legyen. Várhatóan az idő is gyorsabban vagy lassabban telik a módosított renszerben. ahol az α és a β pozitív valós számok. r = αr, t = βt, v = α β v, T = α2 β 2 T (8)
Egy rendszer potenciális energiája k-adrendűen homogén függvénye a helyzetnek, azaz U(αr 1, αr 2,..., αr n) = α k U(r 1, r 1,..., r n). (9) L = T U = α2 β 2 T αk U. A mozgásegyenletek azonosak, ha a skálázott rendszer Lagrange-függvénye csak egy szorzóban különbözik az eredetitől, azaz L = λl. Ennek feltétele az α 2 /β 2 és α k szorzótényezők azonossága, ahonnan β = α 1 k 2. Ezek szerint, ha két hasonló rendszer valamely karakterisztikus mérete l illetve l, akkor a mozgást jellemző időtartamok között fennáll, hogy t t = ( ) l 1 k 2. (10) A hasonlósághoz szükséges skálázás alkalmazása érvényes a kezdeti és peremfeltételekre is. A kezdeti sebességek maguk is a (8) szerint skálázódnak. l
Példa 1. Harmonikus oszcillátor A potenciális energia négyzetes függvénye a helyzetnek, tehát a (10) egyenletben k = 2, ahonnan t t = ( ) l 0 = állandó, l azaz a harmonikus oszcillátor, illetve az azonos mozgásegyenleteket követő kis kitérésekkel rezgő matematikai inga periódusa független az amplitúdótól. 2. Kepler feladat A potenciális energia fordítottan arányos a távolsággal, tehát k = 1, ahonnan ( ) t 3 l t = 2, l ami Kepler harmadik tételét adja bármiféle differenciálegyenlet megoldás nélkül.
Viriál tétel Tekintsük most olyan konzervatív rendszereket, melyek mozgása korlátos Magától értetődően a rendszert jellemző fizikai mennyiségek értékei is az idő nagyrészében bizonyos véges értékek közelében találhatók. Ezek a koordinátákon és sebességeken keresztül az időnek közvetett(!) függvényei. Hasznos bevezetni egy f (t) időtől függő mennyiség átlagát az alábbi meghatározás szerint: 1 t f = lim f (τ)dτ. t + t A fentiek szerint, amennyiben f (t) = dg/dt egy teljes derivált, ahol g(t) is (az idő döntő részében) korlátos függvény: dg dt = lim g(t) g(0) = 0. t + t A (8) és (9) homogenitási tulajdonságokból, Euler tételének alkalmazásával: illetve i i 0 ṙ i T ṙ i = 2T, i = 1, n, (11) r i U r i = ku, i = 1, 3. (12)
A kinetikus energia esetén i ṙ i T ṙ i = i d dt ( ) T r i ṙ i i ( ) d T r i, i = 1, 3. dt ṙ i Visszahelyettesítve a (11) egyenletbe, véve ennek időbeli átlagát, majd kihasználva az időderiváltak átlagának eltűnését, illetve az ( ) d T = U, i = 1, 3 dt ṙ i r i Euler-Lagrange egyenleteket, azt kapjuk, hogy 2T = i r i U r i. A fenti egyenlet jobboldalát a rendszer viriáljának nevezzük és az egyenlet az ún. viriáltételt fejezi ki. Amennyiben a potenciális energia a (9 típusú homogenitást mutat, a (12) egyenletből T = α 2 U. A teljes E energia állandóságából következik, hogy E = E = T + U, ahonnan T = k k + 2 E, U = 2 k + 2 E.
Példa 1. Harmonikus oszcillátor Az előbbiek nyomán k = 2, ahonnan 2. Kepler feladat Mivel k = 1 T = U = E 2. T = E, U = 2E, mely egyenletek, a mozgási energia pozitivitását tekintve, kifejezik, hogy ilyen kölcsönhatás esetén a rendszer csak negatív energia esetén marad kötött (korlátos).
A kanonikus mozgásegyenletek f szabadsági fokú mechanikai rendszer mozgásának leírása f darab másodrendű közönséges differenciálegyenlettel. Integrálási állandókat a q k és q k kezdeti értékeiből a rendszer mozgásállapotát 2f adat jellemezni. Hamilton-formalizmus egyenértékű módszer másik 2f független változóval, 2f elsőrendű mozgásegyenlettel. Minden q k koordinátához hozzárendejük p k -t: p k = L(q k, q k, t) q k q k -hoz rendelt kanonikusan konjugált impulzus (általános impulzus) p k, q k független változóknak tekintjük. A Lagrange-függvény helyett H = p k q k L(q k, q k, t) Hamilton-függvénnyel jellemezzük.
dh = ( H dq k + H ) dp k + H q k p k t dt ugyanakkor a H fenti definiciós képletének differenciálja dh = az Euler-Lagrange-egyenletből ( q k dp k + p k d q k L dq k L ) d q k L q k q k t dt dh = ṗ k = L q k ( q k dp k ṗ k dq k ) L t dt q k = H p k, ṗ k = H q k (k = 1, 2,..., f ) Hamilton-féle kanonikus egyenletek H t = L t
q k = H p k, ṗ k = H q k (k = 1, 2,..., f ) 2f elsőrendű diff.egyenlet. Másik előnye, hogy a Hamilton fg. közvetlenül kapcsolódik egy megmaradó mennyiséghez. A kvantummechanikában elsődleges szerepe van. Időtől független x i q k transzformáció esetén a Hamilton-függvény megegyezik a rendszer teljes mechanikai energiájával. Hamilton-függvény az időbeli váltózása dh dt = dh dt = H = T + U = E ( H q k + H ) ṗ k + H q k p k t ( H H H ) H + H q k p k p k q k t = H t
dh dt = ( H H H ) H + H q k p k p k q k t = H t ha a Hamilton-függvény nem tartalmazza expliciten az időt, akkor időben állandó. Az energia állandósága és a H = E egyenlőség nem teljesül mindig egyszerre ha a koordináták közötti transzformáció expliciten tartalmazza az időt, és emiatt a mozgási energia nem homogén másodfokú függvénye az általános sebessegeknek, hanem tartalmaz nullad- és elsőfokú tagokat is. Nevezetesen T = T 0 + T 1 + T 2
H = = q k p k L = q k ( T0 q k + T1 q k q k T q k (T U) = + T2 q k ) T + U = = T 2 T 0 + U T + U Ha H nem függ expliciten az időtől, akkor állandó de csak nem egyezik meg az energiával.
Kanonikus egyenletek levezetése a variációszámítás elvből q k -kat és a p k -kat független változóknak tekintjük és ennek megfelelően egymástól függetlenül variáljuk, amikor a [ t2 ] δs = δ p k q k H(q k, p k, t) dt = 0 t 1 A határokon a δq variációk zérus: δs = Mivel egyrészt t2 t 1 t2 t 1 ( q k δp k + p k δ q k H δq k H ) δp k dt = 0 q k p k δ q k = d dt δq k [( q k H ) ( δp k ṗ k + H ) ] δq k dt = 0 p k q k δq k és δp k variációk tetszőlegesek visszakapjuk a kanonikus mozgásegyenleteket.
A kanonikus transzformációk Ha alkalmas általános koordinátát találunk akkor a hozzá tartozó általános impulzus állandó. Ha pl. q i ciklikus koordináta, akkor p i = α i =állandó. Legyen p k = α k minden k-ra. Legyen H t = 0 a H csak az állandó p k -kat tartalmazza : H = H(α 1, α 2,..., α f ). q k = H α k = ω k = q k (t) = ω k t + β k A β k integrálási állandók a kezdet feltételekből számíthatók ki. Tehát a mozgásfeladat megoldását az alkalmas transzformáció megtalálására vezettük vissza.
Vizsgáljuk azokat a transzformációkat, amelyek a kanonikus egyenleteket változatlanul hagyják. Q k = Q k (q 1, q 2,..., q f ; p 1, p 2,..., p f ; t) P k = P k (q 1, q 2,..., q f ; p 1, p 2,..., p f ; t) Q k = H P k, (k = 1, 2,..., f ) Ṗ k = H Q k (k = 1, 2,..., f ) ahol H = H(Q k, P k, t) a Hamilton-függvény transzformáltja kanonikus transzformációk Variációs elv alapján t2 δ t 1 [ ] P k Q k H(Q k, P k, t) dt = 0 i=1 [ t2 ] δ p k q k H(q k, p k, t) dt = 0 t 1 i=1 A két integrandusznak egy tetszőleges W függvény idő szerinti teljes deriváltjában különbözhetnek egymástól
t2 dw δ dt = δw (t2) δw (t1) = 0 t 1 dt p k q k H(q k, p k, t) = P k Qk H(Q k, P k, t) + dw dt Mivel a rendszer állapotát 2f független változóval jellemezzük, W az időn kívül 2f független változó tetszőleges függvénye. Négy típusa lehet a W változóktól való függésének : W 1(q k, Q k, t), W 2(q k, P k, t), W 3(p k, Q k, t), W 4(Q k, P k, t). A feladat konkrét jellege szabja meg, hogy ezek közül melyiket célszerű használni.
1.) Vegyük először a W 1-et.A kanonikus transzformáció feltétele : ahol p k q k H = dw 1 dt = W1 t P k Qk H + d dt W1(q k, Q k, t), + ( W1 q k q k + W1 Q k Mivel a régi és az új koordináták függetlenek a fenti első egyenlőség csak akkor teljesül, ha a q k és Q k együtthatói az egyenlet két oldalán megegyeznek. így adódik, hogy p k = W1 q k, P k = W1 Q k, Qk ). H = H + W1 t. Az első f egyenletből kifejezhetjük Q k -kat, a másodikból a P k -kat, a harmadik megadja az új Hamilton-függnényt. A transzformáció a W 1 függvényből származtatható, ezért a W -t a kanonikus transzformáció alkotófüggvényének nevezzük.
2.)A W 2(q k, P k, t) alkotófüggvényt használjuk, ha független változóként a q k és P k -kat tekintjük q k, Q k független változök helyett.ez az áttérés közvetlenül megvalósítható a W 1 = P k Q k ún. Legendre transzformációval. Ez azt mutatja, hogy W 2 alkotófüggvény megkapható a W 1-ből a W 2(q k, P k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) + k P k Q k összefüggéssel.fejezzük ki W 1-et a fenti összefüggésből és helyettesítsük be az előző (1)-es pontbeli egyenletbe. Így [ ] p k q k H = P k Qk H + d W 2(q k, P k ; t) Q k P k = dt = Q k Ṗ k H + dw2 dt. A keresett transzformációra az előbbi gondolatmenettel kapjuk, hogy p k = W2 q k, Q k = W2 P k, H = H + W2
3. A harmadik transzformációtípusnál p k -k, Q k -k a független változók. Az elsőből erre való áttérés az első egyenletcsopor alapján Legendre-transzformációval történik.ezért W 3 a W 1-gyel a következőképpen fejezhető ki : W 3(p k, Q k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) q k p k. Az ebből adódó W 1-et az (1) egyenletébe helyettesítve, q k ṗ k H = P K Qk H + d dt W3(p k, Q k ; t). A keresett transzformációra ebből az előbbi gondolatmenettel adódik, hogy q k = W3 p k, P k = W3 Q k, H = H + W3 t 4.Amikor a p k -kat és P k -kat tekintjük független változóknak, W 4 a W 1-ből kettős Legendre-transzformációval adódik, W 4(p k, P k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) + P k Q k p k q k
W 4(p k, P k ; t) = W 1(q k, Q k ; t) + P k Q k p k q k Ezt felhasználva a már többször idézet egyenletben kapjuk, hogy q k ṗ k H = Q k Ṗ k H + d dt W4(p k, P k ; t). Az ebből adódó transzformációs képletek q k = W4 p k, Q k = W4 P k, H = H + W4 t. A régi és az új koordináták és impulzusok transzformációs képleteiben (az egyenletek első két csoportjában) egyik típusnál sem fordul elő a rendszerre jellemző Hamilton-függvény,ezért a transzformáció kanonikus jellege teljesen független a vizsgált problémától.a Hamilton-függvény transzformációja mind a négy típusnál ugyanolyan alakú.
Példák a kanonikus transzformációkra 1.Legyen a kanonikus transzformáció alkotófüggvénye W 2 = Az előző rész (2)-es pontjának alapján q k P k. p k = W2 q k = P k, Q k = W2 P k = q k, H = H Eszerint az új koordináták és impulzusok megegyeznek a régiekkel. Tehát ez a W 2 az azonos transzformáció alkotófüggvénye.
2.Két szabadsági fokú rendszereknél gyakran találkozunk azzal a transzformációval, amelynek alkotófüggvénye W 2 = q 1(P 1 + P 2) + q 2(P 1 P 2). A fentebb emĺıtett összefüggések alapján Az utóbbiakból p 1 = W2 q 1 = P 1 + P 2, p 2 = W2 q 2 = P 1 P 2 ; Q 1 = W2 P 1 = q 1 + q 2, Q 2 = W2 P 2 = q 1 q 2. q 1 = 1 2 (Q1 + Q2), q2 = 1 (Q1 Q2) 2 A Hamilton-függvény itt is megegyezik az eredetivel : H = H
3.Vizsgáljuk azt a transzformációt, amelynek során az új Q k koordinátá csak a régi q k -któl és az időtől függnek : Q k = Q k (q k, t). Ide tartoznak pl. az ortogonális koordinátatranszformációk vagy a derékszögű koordinátákról a polárkoordinátákra való áttérés. Az ilyen transzformácót ponttranszformációnak nevezzük.ez is kanonikus transzformáció, ugyanis a W 2 = g k (q 1, q 2,..., q f, t)p k alkotófüggvényből származtatható.a már emlitett rész második egyenlete szerint Q k = W2 = g k (q k, t). P k Mivel a g k függvény tetszőleges, valamennyi ponttranszformáció kanonikus. Annak feltétele, hogy a q k -k az újq k -ba transzformálódjanak az, hogy az alkotófüggvény a P k -kban lineáris legyen. Hasonlóképpen igaz az is, hogy ha az alkotófüggvény a q k -kban lineáris, akkor A P K -k az új P k -kba mennek át. Ekkor W 2 = γ k (P 1, P 2,..., P f, t)q k. és így p k = W2 q k = γ k (P k, t).
A Poisson-zárójelek Legyen f = f (q, p, t) = f (q 1,..., p s, t): df dt = f t + k ( f q k + f ) ṗ k q k p k. ahol q k = H p k, ṗ k = H q k {H, f } = k df dt = f t + {H, f }, ( H p k, Hamilton-egyenletekből f H ) f q k q k p k a H és f mennyiség Poisson-féle zárójeles kifejezése
Annak feltétele, hogy az f mennyiség mozgásállandó legyen: ( ) df dt = 0 f t + {H, f } = 0. Ha f t = 0, {H, f } = 0. Tetszőleges f és g függvénypárra a Poisson-zárójel definíciója: {f, g} = ( f g f ) g. p k q k q k p k k
A Poisson-zárójelek tulajdonságai: ahol c egy állandó függvény. {f, g} = {g, f } (13) {f, c} = 0 (14) {f 1 + f 2, g} = {f 1, g} + {f 2, g}, (15) {f 1f 2, g} = f 1 {f 2, g} + f 2 {f 1, g}, (16) { } { f {f, g} = t t, g + f, g }, (17) t {f, q k } = f, (18) p k {f, p k } = f q k, (19) {q i, q k } = 0, {p i, p k } = 0, {p i, q k } = δ ik. (20)
Jacobi-azonosság. {f, {g, h}} + {g, {h, f }} + {h, {f, g}} = 0.
Ha f és g két mozgásállandó {f, g} = állandó, (Poisson-tétele). Bizonyítás: ha h = H {f, {g, H}} + {g, {H, f }} + {H, {f, g}} = 0. ahonnan {H, g} = 0 és {H, f } = 0, tehát {H, {f, g}} = 0. Ha az f és g mozgásállandó expliciten függ az időtől: vagy { d f {f, g} = dt = d dt {f, g} = {f, g} + {H, {f, g}}. t } { + f, g t t, g { f t + {H, f }, g } + } {f, {g, H}} {g, {H, f }} = (21) { f, g } + {H, g} t { } { d df {f, g} = dt dt, g + f, dg } dt, (22)