Numerikus módszerek 1.

Numerikus módszerek 1. 10. előadás: Nemlineáris egyenletek numerikus megoldása Lócsi Levente ELTE IK 2013. november 18.

Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk 3 Konvergencia rendje

Problémafelvetés, megközelítési módok Feladat Keressük meg egy f : R R nemlineáris függvény gyökét, avagy zérushelyét. (?, 1, több?) f(x ) = 0, x =? Ekvivalens módon átfogalmazható (általában): keressük meg egy ϕ: R R nemlineáris függvény fixpontját. x = ϕ(x ), x =?

Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk 3 Konvergencia rendje

Bolzano-tétel Lásd Analízis... Tétel: Bolzano-tétel Legyen a, b R, a < b. Ha f C[a, b] és f(a) f(b) < 0, akkor x (a, b) : f(x ) = 0. Megjegyzés: C[a, b]: az [a, b] (zárt) intervallumon folytonos függvények halmaza f(a) f(b) < 0: f(a) és f(b) különböző előjelűek van gyök az (a, b) (nyílt) intervallumban

Intervallumfelezés Biz. (Bolzano-tétel): az intervallumfelezés módszerével 1 Kezdetben legyen x 0 := a, y 0 := b. 2 Ismételjük: Legyen z k := 1 2 (x k + y k ), az intervallum fele. Ha f(x k ) f(z k ) < 0, akkor x k+1 := x k, y k+1 := z k. Ha f(x k ) f(z k ) > 0, akkor x k+1 := z k, y k+1 := y k. 3 Álljunk meg, ha egyenlőség teljesül, ekkor x = z k, vagy elértük a kívánt pontosságot, ekkor x (x k, y k ), és teljesül. y k x k = b a 2 k

Intervallumfelezés Megjegyzés: Általában nem tapasztalunk egyenlőséget. Az (x k ) és (y k ) sorozatok részletes tárgyalása: Analízis... Hibabecslések: x k x < b a 2 k, y k x < b a 2 k, z k x < b a 2 k+1.

Intervallumfelezés Példa Közelítsük a p(x) = x 3 + 3x 2 polinom egyik gyökét 0.1 pontossággal. Hány lépés szükséges? Próbálkozhatunk a [0, 1] intervallummal...

Egyértelműség Tétel: gyök egyértelmű létezéséről Ha f C[a, b], f(a) f(b) < 0, valamint f D(a, b) és f > 0 (vagy < 0), akkor!x (a, b) : f(x ) = 0. Biz.: Van gyök, f szig. mon., ezért egyértelmű is.

Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk 3 Konvergencia rendje

Emlékeztető, ötlet Emlékeztető: Iterációs módszerek LER-ek esetén. Ax = b x = Bx + c x (k+1) = ϕ(x (k) ) = B x (k) + c Ötlet: Most, nemlineáris függvények zérushelyéhez: f(x) = 0 x = ϕ(x) x k+1 = ϕ(x k ) =...

Emlékeztető: fixpont, kontrakció Emlékeztető: fixpont Az x R n pontot a ϕ: R n R n leképezés fixpontjának nevezzük, ha x = ϕ(x ). Emlékeztető: kontrakció A ϕ: R n R n leképezés kontrakció, ha q [0, 1), hogy ϕ(x) ϕ(y) q x y, x, y R n. Megj.: kontrakció összehúzás, q: kontrakciós együttható most n = 1,. =. ; R helyett sokszor elég [a, b] R

Kontraktív valós függvények Állítás Legyen ϕ: R R függvény. Ha ϕ C 1 [a, b] és ϕ (x) < 1 (x [a, b]), akkor ϕ kontrakció. Megj.: C 1 : egyszer folyonosan differenciálható. Biz.: A Lagrange-féle középértéktétel segítségével. q := max ϕ (x) < 1 x [a,b] x, y [a, b] (x < y) : ξ (x, y) : ϕ(x) ϕ(y) ϕ (ξ) x y q x y.

A Banach-féle fixponttétel Tétel: Banach-féle fixponttétel [a, b]-re Ha a ϕ: [a, b] [a, b] függvény kontrakció [a, b]-n q kontrakciós együtthatóval, akkor 1 x [a, b] : x = ϕ(x ), azaz létezik fixpont, 2 a fixpont egyértelmű, 3 x 0 [a, b] esetén az x k+1 = ϕ(x k ), k N 0 sorozat konvergens és lim k x k = x, 4 és a következő hibabecslések teljesülnek: x k x q k x 0 x, x k x qk 1 q x 1 x 0. Biz.: Már volt, csak most R n helyett R (n = 1), sőt [a, b].

A Banach-féle fixponttétel Következmény: iteráció konvergenciájának elégséges feltétele Ha ϕ: [a, b] [a, b], ϕ C 1 [a, b] és ϕ (x) < 1 (x [a, b]), akkor az x k+1 = ϕ(x k ) iteráció konvergens x 0 [a, b] esetén. Megj.: Attól még lehet konvergens, ha valahol ϕ 1. (Nem szükséges feltétel.)

Brouwer-féle fixponttétel Tétel: Brouwer-féle fixponttétel Ha ϕ: [a, b] [a, b], ϕ C[a, b], akkor x [a, b] : x = ϕ(x ). Biz.: ϕ(a), ϕ(b) [a, b]; g(x) := x ϕ(x) g(a) = a ϕ(a) 0, g(b) = b ϕ(b) 0. Egyik sem 0: Bolzano: x [a, b] : g(x ) = 0, azaz x = ϕ(x ). Valamelyik 0: azaz a vagy b gyöke g-nek, azaz fixpontja ϕ-nek. Szemléletesen?

Egyszerű iterációk Példa Keressük az x = cos x megoldását a [0, 1] intervallumon az x k+1 := cos x k, x 0 [0, 1] iterációval. Konvergens ez a módszer? Adjunk hibabecslést! Hány lépés után kapjuk a gyököt 10 4 pontossággal?

Egyszerű iterációk Példa Vizsgáljuk meg az x 0 [0, 1], x k+1 = α x k (1 x k ) iterációk (logisztikus leképezés) viselkedését különböző α [0, 4] paraméterek esetén. Megj.: Általában nem kontrakció. Könnyen eljuthatunk differenciaegyenletek bifurkációinak és a káoszelmélet alapjainak vizsgálatához...

Tartalomjegyzék 1 Bolzano-tétel, intervallumfelezés 2 Fixponttételek, egyszerű iterációk 3 Konvergencia rendje

Definíció: konvergencia rendje Konvergencia rendje Az (x k ) konvergens sorozat határértékét jelölje x p-edrendben konvergens, ha c (0,+ ) R, hogy x k+1 x lim k x k x p = c. Megjegyzés: p egyértelmű, p 1, p nem feltétlenül egész (A szelőmódszernél p = 1+ 5 ). 2 p = 1: elsőrendű vagy lineáris konv. (ekkor c 1) p = 2: másodrendű vagy kvadratikus konvergencia Gyakorlatban a legalább p-edrendű konv. megfogalmazása: K R + : k N 0 : x k+1 x K x k x p

Konvergencia rendje Példa Mennyi a konvergenciarendje a következő nullsorozatoknak? ( ) ( ) ( ) 1 1 1 n 2 ; 2 n ; (q n ) ( q < 1); ; 2 2n

Konvergencia rendje Mit jelent az első- és másodrendű konvergencia számokban? ( 2) 1 p = 1, x k+1 x < K x k x 1 1.414184570312500 1.414245605468750 1.414215087890625 Minden lépésben kb. egy újabb tizedesjegy pontos. 2 p = 2, x k+1 x < K x k x 2 1.416666666666667 1.414215686274510 1.414213562374690 Minden lépésben kb. kétszer annyi tizedesjegy pontos.

Magasabbrendben konvergens sorozatokról Aszimptotikus konvergencia tétele Tétel: p-edrendben konvergens iterációk Legyen ϕ: R R, ϕ C p [a, b] és az x k+1 = ϕ(x k ) sorozat konvergens. Ha ϕ (x ) = = ϕ (p 1) (x ) = 0, de ϕ (p) (x ) 0, akkor a konvergencia p-edrendű és hibabecslése: x k+1 x M p p! x k x p, ahol M p = max ϕ (p) (ξ). ξ [a,b] Biz.: Írjuk fel ϕ függvény x körüli Taylor-polinomját a p-edfokú maradéktaggal... Táblán. Meggondoltuk.

Magasabbrendben konvergens sorozatokról Következmény Ha ϕ: [a, b] [a, b] kontrakció, és ϕ (x ) = = ϕ (p 1) (x ) = 0, de ϕ (p) (x ) 0, akkor 1 x [a, b] : x = ϕ(x ), azaz létezik fixpont, 2 a fixpont egyértelmű, 3 x 0 [a, b] esetén az x k+1 = ϕ(x k ), k N 0 sorozat konvergens és lim k x k = x, 4 és a következő hibabecslés teljesül: x k+1 x M p p! x k x p. Biz.: Ez a Banach-féle fixponttétel és az aszimptotikus konvergencia tételének összeházasításaként adódik.

Még egy példa egyszerű iterációra Példa Írjunk fel fixpont-iteráció(ka)t az x 3 x 1 = 0 egyenlet megoldására, bizonyítsuk a konvergenciát. (a) x = x 3 1, (b) x = 3 x + 1.

Példák Matlab-ban 1 Intervallumfelezés számolása és szemléltetése. 2 Egyszerű iterációk és fixpontok elemzése az x = cos x egyenlet példáján keresztül. 3 A logisztikus leképezés viselkedésének bemutatása érdekességképpen.