FELADAMEGOLDÁSI GYAKORLAOK SZABÁLYOZÁSECHNIKA 007
Szabályozátechnika Feladatok - Megoldáok I. Automatizálái é Alkalmazott Informatikai anzék Hetthéy Jenô - Bar Ruth
3. Feladat: Egy folytono rendzer állapottere modellje a következô: 4 0 0 0 A = 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 5 b = 0 7 c = [ 0 ] d = 0 Adja meg a rendzer átviteli é átmeneti függvényét. Megoldá: Az átviteli függvény az állapotmodell irányítható é megfigyelhetô alrendzerét reprezentálja: H ()= 5 + + 4 + Az átmeneti függvény (az egyégugrára adott válaz): vt H e t e t = 5 ( )+ 4 t 0 L 4 ()= ()
4. Feladat: Egy mintavétele, zárt zabályozái körben az ek jellemzô különbége: e[ k] = rk [ ] yk [ ]. 3 ()= + + [ ] hibajel az rk [ ] alapjel é az yk [ ] zabályozott A hibajel z-tranzformáltja Ez z 06. z 0. z. Határozza meg é vázolja fel az yk kimenôjel idôbeli lefolyáát a k=0,,,3,4,5 mintavételi idôpillanatokra, ha az alapjel egyég ebeégugrá függvény. [ ] Megoldá: { }= [ ]+ ek [ ]= Z Ez () 0 δ k δ[ k ]+ 0. 6 δ[ k ]+ 0. δ[ k 3]+ 0 δ[ k 4]+ 0 δ k 5 r[ k]= k [ k]= 0 δ[ k]+ δ[ k ]+ δ[ k ]+ 3 δ[ k 3]+ 4 δ[ k 4]+ 5 δ [ k 5]+... [ ] y[ k]= r[ k] e[ k]= 0 δ[ k]+ 0 δ[ k ]+. 4 δ[ k ]+. 8 δ[ k 3]+ 4 δ[ k 4]+ 5 δ k 5 [ ]
5 3. Feladat: Határozza meg egy matematikailag mintavételezett xt () idôfüggvény Laplace tranzformáltját. Megoldá: A mintavételi idôvel matematikailag mintavételezett jel: x( t) Laplace tranzformáltja: ()= () ( )= ( ) ( ) x t x t δ t k x k δ t k k= 0 k= 0 t k { () }= ( ) ( ) = ( ) 0 k= 0 k= 0 0 k k k x k e t k dt x k e x k e δ( ) = ( ) = ( ) k= 0 0 k= 0 k= 0 L x t x k δt k e dt x k δt k e dt = ( ) k = xkz [ ] = Xz () k= 0 ahol z= é xk xk e [ ]= ( ). ( ) = k = xk ( ) z = k= 0
6 4. Feladat: Zárt folytono zabályozái rendzerre vezee le az alapjelköveté tatiku pontoágára vonatkozó özefüggéeket. Megoldá: Legyen L ()= K j i k ( + ) i ( + ) k a felnyitott kör átviteli függvénye. Ekkor az E ()= R () Y () hibajel E L R ()= + () A végértéktétel alkalmazáával: ()= j ( + k ) k j ( + )+ K ( + ) R j k + k j k lim et lim E lim lim t j j K R R ()= ()= ()= () 0 0 ( + )+ ( + ) 0 + K A fentiek alapján a tatiku hiba: k k ( ) k i i i i () ípuzám j = 0 rt (): egyégugrá ()= R + K j = 0 rt (): egyég ebeég ugrá ()= R j = 0 0 K rt (): egyég gyorulá ugrá ()= 3 R K
7 5. Feladat: K Az L e ()= d átviteli függvényû holtidô integrátort mereven vizacatoljuk (K > 0). A zárt kör K = 0 eetén kerül a tabilitá határhelyzetébe. Határozza meg K azon értékét, amely mellett a fázitartalék 60. Megoldá: A felnyitott kör frekvenciafüggvénye: L( jω)= K jω e j ω d A vágái körfrekvencia: L( jω c ) = K ω c = ω c = K A fázitartalék: π π ϕ = π+ arg{ L( jω )}= π+ ω = K t c c d d A tabilitái feltételbôl: ϕ t = 0 d = π K = π 0 Az elôírt fázitartalékhoz: ϕ t π π π π = 60 = = K d = K K = 0 3 0 3
8 6. Feladat: Folytono rendzerekre definiálja a fázitartalék, erôítéi tartalék é metzéi [mázóval vágái] körfrekvencia fogalmát. aglalja e fogalmak jelentôégét a tabilitá é a zabályozótervezé zempontjából. Megoldá: Metzéi körfrekvencia: ahol L( jω) a felnyitott kör frekvenciafüggvénye. Fázitartalék: Erôítéi tartalék: ahol L( jω c ) = ϕ π arg L jω t = + { ( )} gt = L( j ) ω π arg{ L( jω )}= π π c Stabilitához: ϕ t > 0 é g t > Gyor zabályozához: az elérhetô legmagaabb ω c érték 0%-nál kiebb túllendüléhez: ϕ t 60
9 7. Feladat: Származtaa [vezee le] a bilineári tranzformáció w = f( z) özefüggéét. Megoldá: Az xk [ ] mintavételi értékek haználatán alapuló integrálákor az integrál növekménye a trapéz zabály zerinti közelítô integráláal: Ik [ + ] Ik [ ]= [ ]+ [ ] xk+ xk ahol a mintavételezéi idô. A z-tranzformáltakkal kifejezve () Iz z Xz () = + z ( ) A digitáli integrátor fenti átviteli függvénye a folytono integrálá átviteli függvényét közelíti: z + w z w z z + ahol az változót a közelítére utalva a w változóval zokáo felváltani.
0 8. Feladat: Írja fel a H ()= átviteli függvényû zakaz x y + 3+ = é ẋ = x válaztáal adódó állapottere modelljét. Legyen x ()= 0 7, x ()= 0 4 é ut () 0. Határozza meg x () é x () értékét. Megoldá: H Y U () = + 3+ ()= () () U Y + + = ς( ) = () 3 ahonnan ()= () () () ς U 3ς ς vagy az idôtartományban: x = x = u() t 3x x Az állapottere modell: x x 0 x = 3 x 0 + ut () + 3 Φ()= ( ) = = + + + = + + + + + + I A + + + + + 3 3 + e e e e Φ()= t + + e e e e t t t t t t t t Φ()= e + e e + e e e e e x Φ t x 0 ()= () ( )= 06. 03. = 047. 0. 06. 03. 7 38 047 0 4 =... 89.
Szabályozátechnika Feladatok - Megoldáok II. Automatizálái é Alkalmazott Informatikai anzék Hetthéy Jenô - Bar Ruth
. Feladat: ekintük a H ()= 3 b + b+ b 3 + a + a + a 3 alakját. Határozza meg a k = [ k k k ] átviteli függvényû harmadrendû rendzer fáziváltozó 3 vizacatolá értékét úgy, hogy az állapotvizacatoláal kapott zárt rendzer póluai a p =, p =, p 3 = 3 helyre kerüljenek. Megoldá: H Y b b b U () = + + 3 3 + a + a + a ()= () 3 3 () U + a + a + a () Y = ς()= b + b+ b 3 3 ahonnan 3 ()= () () () () ς U a ς a ς a ς 3 Az idôtartományban a fáziváltozók bevezetéével: Az állapottere modell: ẋ3 = x ẋ = x ẋ = ax ax a3x3 + u() t yt bx bx bx ()= + + 3 3 x x x 3 a a a x = Ax+ bu= 0 0 x 0 0 x x yt ()= c x=[ b b b3] x x 3 A zárt kör karakteriztiku egyenlete az állapotvizacatoláal: 3 3 + 0 ut 0 () I A+ bk = + a + k a + k a + k 3 3 0 0 3 = + ( a + k ) + ( a + k ) + ( a + k )= 0 3 3 A zárt kör elôírt karakteriztiku egyenlete: 3 R()= ( p )( p )( p )=( + ) ( + ) ( + 3)= + 6 + + 6 3 Az együtthatók özehaonlítáával: k = 6 a ; k = a ; k = 6 a. 3 3
3. Feladat: Határozza meg a H 5 ()= + 0. 0 0. 00 ( )( + ) illetve a H 0. 5e ()= + 0. 0 0. 00 ( )( + ) átviteli függvénnyel adott rendzerek fázitartalékának különbégét [mázóval a ϕ értéket]. ϕ t t Megoldá: A 5 5 kettô integrátor metzéi körfrekvenciája a = feltételbôl ω c = 5. ekintve, hogy ( jω) H( jω) = H( jω), továbbá a zakaz ω = 00. = 00 é ω = 0. 00 = 000 töréi körfrekvenciáira ω >> ωc illetve ω >> ω c, H ( j ω) é H( jω) metzéi körfrekvenciája azonoan ω c = 5. Mindezekbôl adódóan ϕ ϕ = 0. ω = = 573. o t t c rad
4 3. Feladat: > 0 é > 0 eetén vázolja fel a H ()= ( + ) ( + ) átviteli függvénnyel adott rendzer Nyquit diagramját. Határozza meg azt az értéket, ahol a frekvenciafüggvény tiztán képzete özetevôbôl áll. Megoldá: H( jω)= + jω jω ω jω ( )( + ) = + ( + ) ahonnan az ω = 0 feltétel, majd onnan ω=± Im Re ω=
5 4. Feladat: Egy mintavétele (dizkrét idejû) zabályozó az uk [ ]= uk [ ]+ 3ek [ ]. 745ek [ ] rekurzív egyenlet zerint mûködik, ahol uk [ ] a zabályozó kimenôjele, ek [ ] pedig a zabályozó bemenôjele, azaz a zabályozá hibajele. = ec mintavételi idôt feltételezve adja meg annak a folytono zabályozónak az átviteli függvényét, amelynek a uchák-módzer zerinti kifrekvenciá közelítéét a megadott zabályozó megvalóítja. Vázolja fel a folytono zabályozó közelítô Bode amplitúdó diagramját. Megoldá: A mintavétele PI zabályozó egyenlete ahol () Uz CPI( z)= K z z Ez () = z z = e / I továbbá u a zabályozó kimenete, e pedig a hibajel. A példában adott eetre () Uz K z z z Ez () = z = 0. 748 3 z tehát K = 3 é z = 0. 748, így a z e / ln( 0. 748)= = I I I = I ln feltételbôl: 0. 748 0. 3357 = ( ) = 3ec A mintevétele zabályozónak megfelelô folytono PI zabályozó átviteli függénye: + CPI( ) 3 3 3 é közelítô BODE amplitúdó diagramja: 3 ω
6 5. Feladat: Adja meg a gyökhelygörbe definícióját. K > 0 eetén vázolja fel a gyökhelygörbét, ha a felnyitott kör átviteli függvénye L K ()= +. Határozza meg azt a K ( + ) max értéket, amely mellett a zárt kör még tabili. Határozza meg a rendzer póluait a tabilitá határhelyzetében. Megoldá: ()= () alakú, a gyökhelygörbe Feltételezve, hogy egy zárt rendzer hurokátviteli függvénye L KG a zárt rendzer póluainak (mázóval a zárt rendzer karakteriztiku egyenlete gyökeinek) mértani helye, miközben 0 K <. A ponto gyökhelygörbe a rlocu([ - ],[ 0]); MALAB utaítáal rajzolható fel. A gyökhelygörbe ágainak záma azono a rendzer fokzámával (ez jelen eetben ), L () póluaiból (jelen eetben p = 0 é p = ) indul é ágai L () zéruaiba (jelen eetben z = + j é z = j ) tartanak. A való tengely σ < 0 zakaza réze a gyökhelygörbének, mindezek alapján a gyökhelygörbének ki kell lépnie a való tengelyen elhelyezkedô zakazából é σ < 0 zéruai felé kell tartania, zükégképpen át kell lépnie a labili tartományba. A tabilitá megítélééhez a zárt rendzer + L ()= 0 + + K( + )= 0 karakteriztiku egyenletét vizgáljuk. A Routh éma zerint K = 05. adódik K kritiku értékére. + K K K Ellenôrzé: K = 05. eetén a zárt rendzer karakteriztiku egyenlete ahonnan 5. + = 0 p, =± j =± j0. 865 3
7 6. Feladat: Az A = α 0 β b = 0 c = [ 0 ] d = 0 állapottér-modellel adott rendzert k = [ ] erôítéel negatívan vizacatolva a zárt rendzer póluai: p, = ± j. Határozza meg α é β értékét. Megoldá: A zárt rendzer karakteriztiku egyenlete: illetve I A+ bk = α + = + ( α β) + α β α+ β majd az együtthatók özehaonlítáával: P()= ( p )( p )= + 4+ 5 α β = 4 illetve α β α+ = 5. Innen α= é β=.
8 7. Feladat: Mutaa meg, hogy egy állapottere modelljével adott, külô gerjezté nélküli ( ut ()= 0) lineári folytono rendzerre x( t t )= Φ ( t t ) x( t ) ahol Φ()= t e At é t > t >. 0 Megoldá: At A t t t x t t x 0 e + ( )= Φ( ) ()= x()= 0 e ( ) x()= 0 A t t At A t t e ( ) e x 0 e ( ) x Φ t t x = ()= ()= ( ) ()
9 8. Feladat: Egy mintavétele zabályozái körben a dizkretizált zakaz Gz ()=, a oro zabályozó z Kz pedig Cz ()=, ahol K > 0. Határozza meg K maximáli értékét (K z max ), amely mellett a zárt kör még tabili. Ezekután K = K max mellett zámíta ki Gz () bemenetének é kimenetének értékét a k=0, é mintavételi idôpillanatokban, ha az alapjel egyégugrá. Megoldá: A felnyitott kör átviteli függvénye: A zárt kör karakteriztiku egyenlete: Lz ()= Kz CzGz () ()= K z z = z + Lz ()= 0 z + K = 0 A tabilitához a dizkrét póluoknak a z < tartományba kell eniük, innen K max =. K = Kmax = mellett Lz ()= K z =, az eredô átviteli függvény: z Yz Rz Lz z z + Lz () = = = + z z () () = () yk [ ]= [ k ] y[]= 0 0, y[]=, y A bemenôjel []=. Uz Yz Yz zy z Gz () = () = () z ()= () u[]= 0, u[]=, u[]=.
0 9. Feladat: Egy zárt zabályozái kör felnyitott körének átviteli függvénye L az erôítéi tartalék értékét. ()= K e d. Határozza meg Megoldá: A Nyquit diagram (elô) metzépontja a negatív való tengellyel az ω= ω π körfrekvenciánál az alábbi feltételre vezet: π ω π = π d ahonnan π ωπ = d Az erôítéi tartalék: g t π = = K K ω π d.
0. Feladat: 7 A P ()= átviteli függvényû zakazt mereven vizacatoljuk. Határozza meg a ( + ) ( + 3) zárt rendzer zázaléko túllendüléét é a zárt rendzer átmeneti függvényében jelentkezô lengéek perióduidejét. Megoldá: A zárt kör átviteli függvénye: ()= 7 L () + L () = ( + )( + 3 ) 7 + + 3 ( )( + ) 7 7 6 K = = 6 + 5+ 8 + 5 6+ 3 = + ξω + ω o o ahonnan A zárt rendzer zázaléko túllendülée a lengéek perióduideje ω o = 3, ξω o = 5 6 5 ξ= = 3 ξπ ξ 0. 7536. % σ = 00 e = 00 e 0 9708 = 46 04. π π π = = = ω ξ p ωd ωd o = π 3 0. 4 = 374. ec
Szabályozátechnika Feladatok - Megoldáok III. Automatizálái é Alkalmazott Informatikai anzék Hetthéy Jenô - Bar Ruth
3. Feladat: Egy zárt folytono rendzer hurokátviteli függvénye ()= L K ( ) ( ) + + + 4 5 Hány ága van a fenti rendzer gyökhelygörbéjének é ezekbôl hány ág nem tart a végtelenbe K eetén? Határozza meg K > 0 maximáli értékét ahhoz, hogy a zárt rendzer tabili legyen. Megoldá: A gyökhelygörbe öze (4) ága a végtelenbe tart K eetén, mert a felnyitott kör átviteli függvényének ninc zérua. A zárt rendzer karakteriztiku egyenlete: A Routh-éma alkalmazáával 4 3 + 6 + 3 + 0+ K = 0 3 6 0 58 K 6 580 3 6K 58 6 K így a tabilitához K max = 3..
4. Feladat: ωo ekintük a H ()= kéttároló rendzert a ξ< feltétellel. Adja meg a + ξωo+ ωo következô mennyiégek értékét a rendzerparaméterekkel kifejezve: zázaléko túllendülé, cúcidô, a lengé perióduideje, emelkedéi idô (0-90%), beállái idô (%). Megoldá: Százaléko túllendülé: Cúcidô σ = 00 e ξπ ξ t c = π ωp ahol ω = ω ξ p o. A lengé perióduideje: p π = = t ω p c Emelkedéi idô (0-90%): t r = 8. ω o Beállái idô (%): t = 46. α ahol α= ξωo.
5 3. Feladat: Imertee [vezee le] az alapmátrix meghatározáára zolgáló Leverrier-Faddeeva algoritmut. Megoldá: Átrendezé után ( ) n adj A E En ( I A) = ( A) = +... + det n n + a +... + a n n n ( n) + a +... + a I A E... E ( ) = + + n n ovább rendezve n n ( ) n ( ) + + I + a I +... + ani = I A E... E n n n n n I + a I +... + a I = E + ( E AE )+... + ( E AE ) AE Az együtthatók özehaonlítáából: E I E AE = a I E = AE +ai En AEn = an I En = AEn +an I AE = a I = n n Felhaználva, hogy a i n n n n tr AE i a következô rekurzív algoritmu kontruálható: i = { } Cycle _: i i = E I = Ci = AEi ai tr AE i i Ei+ = Ci +a ii if i< n = { } ( ) goto Cycle _i
6 4. Feladat: 0. e Egy P ()= átviteli függvényû folytono folyamatot merev vizacatolá mellett egy + 5+ 6 Cz () oro mintavétele [azaz impulzuátviteli függvénnyel adott] kompenzátorral, nulladrendû tartózerv közbeiktatáával zabályozunk. (a) = 005. máodperce mintavételi idô mellett adja meg a kifrekvenciá közelíté uchákmódzerével tervezett PID zabályozó átviteli függvényét úgy, hogy egyégugrá alakú alapjel eetén a beavatkozójel kezdeti értéke u[]= 0 0 legyen. (b) Adja meg (továbbra i egyégugrá alakú alapjel eetén) a beavatkozójel értékét a k=0, é mintavételi idôpillanatokban. Segítég: egy átviteli függvényû folytono zakaz nulladrendû tartózervvel együtteen + vett impulzuátviteli függvénye e, ahol z e a mintavételezéi idô. Megoldá: a/ Mivel a holtidô é a mintavételezéi idô hányadoa, így Pz ()= z ( z ) Z z + + ( 5 6) = 05 e. e. = z z 05 z e. 3. z e z ( z+ 09. ) = 0. 00 z 0. 9048 z 0. 8607 ( )( ) ( z ) ( + ) Z ( + 3) = 033 = z 033 0. 0476 0. 0464 = z 0. 9048 z 0. 8607 A zabályozó: Cz K z 0. 9048 z 0. 8607 ()= z z A zabályozó bemenete a hibajel, kimenete a beavatkozó jel: Uz Cz K z z K z () ()= z Ez () = 0. 9048 0. 8607. 7655 + 0. 7788 = z z zz ( ) avagy az idôtartományban: Az u[]= 0 0 feltételbôl K = 0 uk [ ]= uk [ ]+ Kek [ ]. 7655Kek [ ]+ 0. 7788Kek []= []= []=, így u[]= 0 0 b/ A holtidô miatt e 0 e e [ ] u[]= 0 + 0 7. 655 =. 345 u[]=. 345 + 0 7. 655 + 7. 788 =. 478
7 5. Feladat: ()=. ekintünk egy folytono kettô integrátort: P (a) Az x = y, x = x állapotváltozók bevezetéével írja fel P () állapottere modelljét. b/ Határozza meg azt a k = [ k k ] erôítéi vektort, amelyen kereztüli negatív állapotvizacatoláal a zárt rendzer termézete frekvenciája ω o = 4, cillapítáa pedig ξ=05. lez. (c) mintavételezéi idô é nulladrendû tartózerv feltételezéével zármaztaa [vezee le] az a/ pontban kapott folytono állapottere modell dizkretizált alakját. (d) Egy k d kd kd erôítéi vektoron kereztül negatívan vizacatoljuk a (c) pontban kapott állapottere modellt. Írja fel a zárt rendzer karakteriztiku egyenletét. Megoldá: = [ ] (a) Az x = y, ẋ = x, ẋ = u egyenletekbôl felírható az állapotmodell: x x (b) A zárt kör karakteriztiku egyenlete: 0 x 0 = + u = u + Ax b 0 0 x x y = =[ ] c x 0 x I A+ bk = k + k = + k + k = + ξω + ω = R() o o ahonnan k = ω o =6 illetve k = ξω o = 4. (c) A dizkretizált modell: [ ]= d [ ]+ d [ ] yk [ ]= c x[ k]+ d uk [ ] x k + A x k b u k d d ahol A A d = e A bd = e η dη b 0 cd = c dd = d
8 e At = {( I A) }= L L L t = = A 0 d 0 0 A bd = d b= = e η 0 η 0 0 = 0 (d) A zárt rendzer karakteriztiku egyenlete: R d d ()= z zi A z k d + b d k d = + + = z + z k d + k + k d d kd k z + k d d ( k )+ k k = d d d
9 6. Feladat: ekintünk egy merev vizacatoláú zárt zabályozái rendzert, amelyben a felnyitott kör + α átviteli fügvénye L ()=. Vázolja fel a zárt kör póluainak elhelyezkedéét 0 < < + 3+ α függvényében. Milyen α értéknél lép ki a gyökhelygörbe a való tengelybôl? Megoldá: A zárt rendzer karakteriztiku egyenlete: amelyet átalakítva + L + α ()= + 0 + 3+ = + 3+ + + α = 0 + α 0 + 4+ = α Látható, hogy az L ( )= felnyitott kör az eretetivel azono zárt karakteriztiku + 4+ egyenletet ad. A gyökhelygörbe az + 4+ = 0 egyenlet p, = ± gyökeibôl indul é az α= értéknél lép ki a való tengelybôl, ekkor ugyani a zárt kör karakteriztiku egyenlete: ( ) + 4+ + α = + 4+ 4= + α> eetén a gyökök komplex konjugáltak leznek.
30 7. Feladat: Egy zárt zabályozái kör felnyitott körének átviteli függvénye L fázitartalék értékét K é d függvényében. ()= K e d. Határozza meg a Megoldá: A L( jω c ) = feltételbôl ω c = K, innen é a fázitartalék π π { ( )}= ω = arg L jωc cd Kd ϕ π ω π π π = + arg{ L( j )}= ω = K t c c d d
3 Szabályozátechnika Feladatok - Megoldáok IV. Automatizálái é Alkalmazott Informatikai anzék Hetthéy Jenô - Bar Ruth
3. Feladat: ()= + 4 A P átviteli függvényû folytono zakazt mereven vizacatolva mintavételeen zabályozzuk zárt körben. Azt tapaztaljuk, hogy a zárt zabályozái kör a tabilitá határhelyzetében van. Határozza meg a mintavételezéi idôt. Megoldá: K Egy átviteli függvényû folytono zakaz nulladrendû tartózervvel együtteen vett + e impulzuátviteli függvénye K, ahol z e a mintavételezéi idô. A megadott zakazra így A zárt kör karakteriztiku egyenlete: ()= Gz e 4 z e 4 e + Gz ()= + = 0 z e + e 4 ( )= 0 z e ahonnan A tabilitá határhelyzetében z =, így z= 4 + 5 e 5e = 3 e = 35 = ln 0. 6 = 0. 508 =. 07ec
33. Feladat: ()= ( ) Az e átviteli függvényû tag az ut 4in ω ot zinuzo bemenôjelre állandóult állapotban 0 -o fázikéleltetéel ad válazt. Határozza meg ω o értékét é írja fel a kimenôjel állandóult állapotbeli értékét analitiku formában. Megoldá: jω Az adott zakaz frekvenciafüggvénye e, így a fázikéleltetée tetzôlege körfrekvencián jω π ω. Az a körfrekvencia, ahol a fázikéé 0 π π π π π ω o = ωo = = 3 3 6 Ezen a körfrekvencián a frekvenciafüggvény amplitúdó komponene kimenôjel állandóult értéke: 6 =, ahonnan a ω π o y ( t)= 4 6 π π 4 π π in t = in t π 6 3 π 6 3
34 3. Feladat: Egy lineári rendzer állapotegyenleteinek megoldáa egyégugrá alakú bemenôjel eetén a következô: x()= t 0e t, t > 0 x()= t 5e t +, t > 0 x t 3 e t, t > 0 ()= ()+ () 3 ()= 0 4t x t e 4 4 ()= +, t > 0 yt x t x4 t eetén írja fel a rendzer átviteli függvényét, valamint az állapotváltozók kezdeti értékét. Megoldá: Az átviteli függvény a rendzer irányítható é megfigyelhetô alrendzerét reprezentálja, így t t 4t 4t x()= t ( e )+ 7e é x4()= t 4 ( e )+ 6e következtében az átviteli függvény H ()= 4 + 6 + + 4 továbbá x ()= 0 0, x ()= 0 7, x 3 ()= 0 0 é x 4 ()= 0 6.
35 4. Feladat: ekintünk egy folytono harmoniku ozcillátort, mint zabályozott zakazt, amelynek átviteli ωp függvénye P ()=. Ehhez a folytono zakazhoz egy két-zabadágfokú mintavétele + ωp zabályozót tervezünk. A tervezéhez tudjuk, hogy mintavételi idô mellett a harmoniku ozcillátornak a nulladrendû tartózervvel együtteen képzett impulzuátviteli függvénye ( δ) ( z + ) Gz ()=, ahol δ= co( ωp ). z zδ + Határozza meg a követni kívánt referencia modellt úgy, hogy egyégugrá alakú alapjel eetén a zárt rendzer lengémente vége beállái idejû legyen. Írja fel a zabályozót meghatározó Diophantozi egyenletet [az egyenletet nem kell megoldania, de az egyenlet alapján fel kell írni a zabályozóparaméterek vektorának kifejezéét]. Megoldá: Az egyégugrá alakú alapjel feltételébôl a zárt rendzer átviteli függvénye ahol () Yz k z z Rz () = B () B ()= z 05. z+ 05. é k = + δ B = A zabályozótervezé terminológiája zerint a modell polinomok: B r ()= ()= z illetve A r z z A kereett Diophantozi egyenlet: ( z + az+ a) ( z+ r)+ ( 05. z+ 05. )( oz + z+ )= z ahol A()= z z + az+ a = z zδ + Az együtthatók özehaonlítáával: z 3 : + 0. 5 o z : r+ a + 05. + 05. = ahonnan o z : ar+ a + 05. + 05. = 0 z 0 : ar+ 05. = 0
36 r a a a a o = 05 0 0 0 05 05 0 0 0 5 0 5 0 0 0 5 0......
37 5. Feladat: Egy P ()= átviteli függvényû folytono folyamatot merev vizacatolá mellett egy + 5+ 6 C () oro folytono kompenzátorral zabályozunk. (a) Az x = y, x = x állapotváltozók bevezetéével írja fel a megadott P () folytono folyamat állapottere modelljét, majd határozza meg annak a C K + 3 ()= zabályozónak a K + é paraméterét, amely a zakaz állapottere modelljének a k = [ 4 9 ] erôítéi vektoron kereztüli negatív állapotvizacatoláával ekvivalen karakteriztiku egyenletet biztoítja a zárt körre. (b) Vázolja fel az (a) pontban kapott C () zabályozó mellett a rendzer gyökhelygörbéjét. (c) = 0. ec eetén határozza meg K azon értékét, amely mellett a zárt rendzer egyégugrá alapjelre adott válazában 5%-o túllendülé lez megfigyelhetô. Határozza meg továbbá, hogy mekkora lez ebben az eetben a tatiku hiba értéke. (d) Adja meg K > 0 maximáli értékét, amely mellett a zárt kör tabili marad. Megoldá: a/ ahonnan H Y U () = + 5+ 6 ()= () () U + 5+ 6 ()= () () () ς U 5ς 6ς vagy az idôtartományban: x = x = u() t 5x 6x Az állapottere modell: x 0 x 0 u ut x = + = + Ax b 6 5 x x y = [ ] 0 x A vizacatolá figyelembe vételéhez A zárt kör karakteriztiku egyenlete: () bk = 0 [ ]= 0 [ ]= 4 9 0 0 k k 4 9 = ς()= Y() I A+ bk = 48 + 4 = + 4+ 48
38 A zabályozó é a zakaz átviteli függvényébôl a felnyitott kör átviteli függvénye: ahonnan a zárt kör átviteli függvénye: CP K + 3 K () ()= + + 3 CP K + ( )( + ) = ( + )( + ) K 0 ( ) + = + () ()= + ( )( + ) = + + + ( ) + + = + + K 0 + K + + + = 0 Az együtthatók özehaonlítáából: ahonnan + + K = 4 illetve = é K = = 48 ()= () ()= ( ) + (b) L CP K + ( ) = + + ( ) (c) A zárt kör átviteli függvénye = 0. ec eetén ()= () () + () () = + CP CP K ( 0. ) ( + ) K + + 0. ( )( + ) K 5K = = 0. + 4. + + K + 7+ 0+ 5K ahonnan ξω o = 7 é ω o = 0 + 5K A megadott túllendülébôl a cillapítá kizámítható: 05. = e ξπ ξ. 897= ξπ ξ ξ =. 743ξ ξ=0. 569
39 Vizahelyetteítve a ξω o = 7 é ω o = 0 + 5K egyenletekbe ωo = 7 ξ = 7 = 6. 77 é K = 0. 569 ω o 0 = 5 7. 697 A tatiku hiba értéke: K 0 8 K + =. (d) Minden K > 0 értékre tabil.
40 6. Feladat: ekintünk egy folytono, Abc,,, állapotvektorral é y kimenettel. { d} négyeel definiált állapottere rendzert u bemenettel, x (a) Imertee az állapotvizacatolá Ackermann-féle özefüggéét é alkalmazhatóágának feltételét. (b) Negatív vizacatolát feltételezve zámíta ki az állapotvizacatolá erôítéi vektorát, ha 0 A = 4 0 b = 0 é a vizacatoláal a zárt rendzer póluait a p = é p = pozícióba kívánjuk áthelyezni. (c) Feltételezve, hogy az állapotváltozók nem állnak rendelkezére a vizacatolá realizáláához, mutaa meg, hogyan válaztandók egy xˆ = Fxˆ + gy + hu lineári beclôhálózat dimenziói é paraméterei azzal a feltétellel, hogy a beclôhálózat (mánéven megfigyelô) F () karakteriztiku polinomja adott. Megoldá: (a) Az állapotvizacatolá erôítée: ahol c = [ ] c k 0 0 K 0 M R A = [ ] ( ) M b Ab K A n b az irányíthatóági mátrix R() a zárt kör karakteriztiku egyenlete n n R( A)= A + αa +... + α n I mátrix polinom. A rendzernek irányíthatónak kell lennie ( M c 0). (b) Jelen eetben n n R()= ( p) ( p)= + 3+ R( A)= A + αa +... + α n I R( A) = A + A+ I = 3 3 Mc = [ b Ab]= 0 M 0 c = 0 0 k = [ ] Mc ( A)= [ ] 0 0 0 3 R = 3 0 [ ]
4 (c) A beclé hibájára felírható a következô differenciálegyenlet: x = x xˆ = Ax + bu Fxˆ gy hu= Ax + bu Fxˆ gy hu+ Fx Fx= ( ) ( ) + = Fx + b h u A F gc x x 0 F= A gc é h= b, ekkor x = Fx Az állapotmegfigyelô karakteriztiku egyenlete: F ()= I F = I A+ gc ahonnan az Ackermann formula imételt alkalmazáával: g c c A 00... 0 F A c A 3 c A = [ ] ( )
4 Szabályozátechnika Feladatok - Megoldáok V. Automatizálái é Alkalmazott Informatikai anzék Hetthéy Jenô - Bar Ruth
43. Feladat: e A P ()= átviteli függvényû folytono zakazt mereven vizacatolva mintavételeen + zabályozzuk zárt körben. = ec mintavételezéi idô é egyégugrá alakú alapjel eetén határozza meg azt a oro Cz () zabályozót, amely vége beállát biztoít: (a) Minimáli beállái idôvel a mintavételezéi pontok közötti hullámoág megengedéével (b) Minimáli beállái idôvel a mintavételezéi pontok közötti hullámoág kizáráával. K Segítég: Egy átviteli függvényû folytono zakaz nulladrendû tartózervvel együtteen + e vett impulzuátviteli függvénye K, továbbá egy K átviteli függvényû integrátor z e nulladrendû tartózervvel együtteen vett impulzuátviteli függvénye K z, ahol a mintavételezéi idô. Megoldá: (a) Határozzuk meg elôzör Gz () értékét. Annak érdekében, hogy a fent megadott özefüggéeket alkalmazni tudjuk, bontuk rézlettörtekre P () holtidô mente rézét: P ( )= + ( ) G ( z)= z Z ( ) = + + P () = e = 0. 3679 = z z e z z 0. 3679 z 0. 3679z + 0. 64. 3679z+ 0. 3679 A holtidô figyelembevételével 0. 3679z + 0. 64 Gz ()= z G ( z)= 4 3 z. 3679z + 0. 3679z Mivel P ( ) nem tabil, így a tabili folyamatokra levezetett özefüggéek közvetlenül nem alkalmazhatók, vizont a zárt rendzer átviteli függvényére felírható, hogy CzGz () () z ()= z + CzGz () () = 3 ahonnan Cz () kifejezhetô: 3 z ( z ) ( z 0. 3679) z ( z ) ( z 0. 3679) Cz ()= = 3 3 z 0. 3679 z 0. 783 z 0. 3679 z z 0. 783 ( ) + ( ) ( )( ) ( ) + ( ) = z z z 0. 3679 = 0. 3679( z + z+ ) ( z+ 0. 783) Látható, hogy a felnyitott körnek a hibamente beállához zükége integrátorát mot a zakaz, é nem a zabályozó tartalmazza.
44 A fenti zabályozó alkalmazáával egyégugrá alakú alapjel eetén a kimenôjel 3 mintavett értékei Y()= z z Rz () zerint: y[]= 0 0 y[]= 0 y[]= 0 y[]= 3 y[ 4]= y[]= 5... (b) Gz ()-nek egyetlen zérua van: z = 0. 783. A mintavételezéi pontok közötti hullámoág elkerüléére ezt a zérut hagynunk kell megjelenni a zárt kör átviteli függvényében: CzGz () () z ()= zz + CzGz () () = () 4 B ahol B z ()= + 0. 783 z = 0. 58z + 0. 48 + 0. 783 innen ()= Cz ( )( )( ) z z z ( ) = ( 0. 58 + 0. 48) ( 0. 3679) 3 0. 3679 z + z + z+ 0. 48 ( z 0. 783) z 0. 58z+ 0. 48 z z 0. 3679 4 0. 3679 z 0. 58z 0. 48 z 0. 783 ( ) + ( ) + A fenti zabályozó alkalmazáával egyégugrá alakú alapjel eetén a kimenôjel 4 mintavett értékei Yz B zz Rzzerint: ()= () () y[]= 0 0 y[]= 0 y[]= 0 y[]= 3 0. 58 y[ 4]= y[]= 5...
45. Feladat: ekintünk egy oro RL áramkört, ahol az ellenállá áramfüggô: R= R()= I ki, ennek következtében a rendzer nemlineári. Írja fel [vezee le] a rendzer I o munkapontban linearizált differenciálegyenletét é átviteli függvényét. Megoldá: A oro áramkör huroktörvénye: U = LI + RI = LI 3 + ki ahol U a fezültégforrá fezültége. A nemlineári differenciálegyenletet 3 I, L U k L I f U I = = ( ) alakra hozva, majd bevezetve a munkaponttól való eltéréeket: i= I I o é u= U U o Behelyetteítve a nemlineári differenciálegyenletbe é az f U, I elôrendûen közelítve: f f Io + i f( Uo, Io)+ i + I U Io ( ) függvényt a munkapontban Uo u Mivel ahol İo = 0 é f( Uo, I o)= 0, így a munkaponti linearizált modell i= ai+ bu f k a = = 3 I L I I o o f k é b = =, azaz i U L = 3 L I i o + L u U o A munkapontban linearizált rendzer átviteli függvényének meghatározáához vegyük a differenciálegyenlet Laplace tranzformáltját: ahonnan i 3k L I i o L u ()= ()+ () i () L u () = = k + 3 L I L+ 3kI o o 3kI = L + 3kI o o zerint az egytároló jelleg jól látható, valamint az a lényege következteté i levonható, hogy a linearizált rendzer átviteli függvénye munkapontfüggô, tatiku átvitele é idôállandója egyaránt függ az I o munkaponti értéktôl:
46 () i ki u () = 3 L + 3kI o o = AI ( o) + ( I ) o, ahol AI ( o)= L 3kIo illetve I ( o)=. 3 ki o