Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű parciális deriváltjai és legyenek folytonosak. A z f( x, y) egy felület. A függvénynek helyi maximuma van az ( x, y ) pontban, ha az = ( x helynek van olyan környezete, hogy abban minden ( x, y) helyre fennáll az f( x, y) f( x y ) < Egyenlőtlenség. A z = f( x, y) felületen az ( x, y, z ) pont magasabban van, mint a környezet tetszőleges pontja. A helyi minimumra f( x, y) f( x y ) > Egyenlőtlenség teljesül. Most a z = f( x, y) felületen az ( x, z pont alacsonyabban van, mint a környezet tetszőleges pontja, azaz z kisebb mint a környezet z értékei. Kétváltozós esetben a szélsőérték helyen áthaladó valamennyi az ( x, y ) síkra merőleges síknak és a felületnek a metszetgörbéjén relatív szélsőérték van. Az egyes metszetgörbék ( x, z pontbeli értintője tehát a felület illő pontbeli érintősíkja párhuzamos az ( x, y ) síkkal. A szélsőérték létezésének szükséges feltétele az elsőrendű parciális deriváltak eltűnése, tehát fx ( x, y ) =,, fy ( x, y ) = Ebből az egyenletrendszerből kell az x és y ismeretlent kiszámítani. A feltétel szükséges, de nem elégséges. Megmutatjuk egy egyszerű példán, hogy a parciális deriváltak zérus volta nem elegendő a szélsőérték létezéséhez. Tekintsük az f ( xy, ) = ( x y)( x y) = y xy+ x függvényt. Erre az f(, = y+ x = (, f(, = 4y x = (, Szükséges feltétel teljesül a pontban. Ha megvizsgáljuk az (, f függvény előjelét az origó környezetében, azt látjuk, hogy a függvény mind pozitív, mind negatív értéket felvesz, ezért nincs szélsőértéke az origóban.
A szélsőérték létezésének elégséges feltételének megállapításához vezessük be a következő jelölést: legyenek a függvénynek folytonos másodrendű deriváltjai az *** környezetében, ekkor fmin = f(,) = A felület ( x - pontját elliptikusnak nevezzük, ha Dx ( >, parabolikusnak nevezzük, ha Dx ( =, hiperbolikusnak nevezzük, ha Dx (, y ) <. Tekintsük az f függvény másodfokú Taylor- polinomját, azaz f( x, y) f( x + [ fx ( x( x x + fy ( x( y y ] +! + fxxx ( ( x x + fxyx ( ( x x( y y + fyyx ( ( y y! A szükséges feltétel miatt fx ( x =, fy ( x =, így az ( x pont környezetében f( x, y) f( x, y ) fxxx ( ( x x + fxyx ( ( x x( y y + fyyx ( ( y y! Alakítsuk át ezt a kifejezést, szorozzuk és osszuk fxxx ( nal és alakítsunk teljes négyzetté: f( x, y) f( x, y ) = fxxx (, y) [ fxx ( x, y)( x x) + fxyx (, y) fxxx (, y)( x x)( y y) + + fxy ( x, y)( y y) + fxxx (, y) fyyx (, y)( y y) fxy ( x, y)( y y) + R = = [[ fxxx ( ( x x fxyx ( ( y y + Dx ( ( y y R fxxx (, y) + Itt R harmadfokon tartalmazza ( x x - és (y y mennyiségeket, míg az előtte lévő kifejezés csak másodfokon. Tehát ha ( x x és (y y abszolút értékben elég kicsi, akkor f ( xy, ) f( x előjelének eldöntésénél R elhanyagolható az előtte lévő kifejezés mellett. Most mivel [ ] fxxx y x x fxyx y y y Dx y y y (, )( ) (, )( ) (, )( ) > Ha Dx ( >. Ekkor f ( xy, ) f( x eljelét f xx( x előjele dönti el. A következő esetekben fordulhat elő: Ha Dx ( > és fxxx ( <,,akkor f( x, y) f( x <,, tehát helyi maximum, fxxx ( >, akkor f( x, y) f( x >, tehát helyi minimum, ]
Ha Dx ( <, akkor nincs szélsőérték, hanem nyeregpont van, Ha Dx ( =, akkor csak további vizsgálatokkal lehet eldönteni, hogy van-e szélsőérték, vagy nincs. Összefoglalva: A z = f( x, y) függvény szélsőértékének szükséges feltétele, hogy egy ( x helyen fx = és fy =. Az egyenletrendszer megoldásait, a lehetséges szélsőérték helyeket, stacionárius pontnak nevezzük. Elégséges feltétel, ha ezen kívül még a stacionárius pontokban (a stacionárius pontban) fxxfyy ( fxy ) >.Ekkor, ha fxx >,akkor ott minimum, ha pedig fxx <, akkor maximum van. Megoldási menet egyszerűen- segédlet ) Adott f ( xy, ) kétváltozós függvény fx =... = fy =... = lehetséges szélsőérték p (..,..) p (..,..) p (..,..) ) fxx =... fxy =... fyy =... ) fxx fxy D = =... fyx fyy Ha D( p ) =... > akkor szélsőérték Ha D( p ) =... < akkor nem szélsőérték! Vagy D f xx f yy f xy = ( ) =. 4) fxx ( p ) =... > min < max
5) f( p ) =... 4.. Példa Vizsgáljuk meg, hogy az f( x, y) = ( x+ ) + 4( y ) függvénynek hol lehe szélsőértéke, van-e a lehetséges helye(ke)n szélsőértéke, és milyen ez a szélsőérték, ha létezik! Meghatározzuk az elsőrendű parciális deriváltakat: fx ( x, y) = 6( x+ ) fy ( x, y) = 8( y ) És megoldjuk az fx = és fy = egyenletrendszert: 6( x + ) = 8( y ) = Megoldásként x =, y = dódik, azaz P (,) lehetséges szélsőérték helyet kapjuk, ez a stacionárius pont. Meghatározzuk a másodrendű parciális deriváltakat: fxxx (, y) = 6 fxyx (, y) = fyyx (, y) = 8 Mivel a másodrendű parciális deriváltak konstansok, így a P Helyen felvett értékei is ugyanezek a konstansok. Megvizsgáljuk Dxy (, ) = fxxxy (, ) fyyxy (, ) ( fxyxy (, )) előjelét a P Pontban D(,) = f xx(,) f yy(,) ( f xy(,)) = 48 >, ezért megállapíthatjuk, hogy ebben a pontban van szélsőértéke. Mivel fxx(,) = 6 >, ezért f -nek minimuma van. A minimumérték a függvényérték: fmin = f(,) = (Vadászné Dr. Bognár Gabriella Matematika Informatikusok és műszakiak részére II.) FELADAT Hol és milyen szélsőértéke van f ( xy, ) xy xy y = +? Szükséges feltétel: fx = fy =
fx = 4xy+ y f y = x + x y x + x x + x y = = 6 6 x + x x + x 4x + = x + x (4x + ) = a) x + x= xx ( + ) = x = ; x = y = ; y = b.) 4x + = x y = = p (, Tehát a lehetséges szélsőértékek : p (, fxx = 4y fxy = 4x+ fyy = 6 p(, ) p (, p(, ) f xx = 4y fyy = 6-6 -6-6 fxy = 4x+ - Determináns = 4 = 4 6 6 = 6 Szélsőérték Nem Nem Szélsőérték fxx (, ) = <, tehát maximum hely!
f max = f(, ) = 48 Felhasznált irodalom: Dr. Körtesi Péter Matematika II. előadás sorozat Dr. Árvai-Homolya Szilvia Matematika II. gyakorlati anyag Vadászné Dr. Bognár Gabriella Matematika Informatikusok és Műszakiak részére II.