MÓDSZERTANI TANULMÁNYOK NÉHÁNY GONDOLAT A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL A következtetéses sttisztik egyik módszercsládját sttisztiki becslések lkotják. A becslés során mintbeli információk lpján dunk közelítő értéket vlmely lpsoksági jellemzőre (prméterre). Kézenfekvő, hogy mivel nem teljes lpsokság információit hsználjuk, végeredményt képező becsült érték nem feltétlenül egyezik meg becsülni kívánt jellemzővel, zz sttisztiki hibát követünk el. A becslések jóságár vontkozón két sok tekintetben egymás ellen dolgozó kritériumot szokás megfoglmzni, ezek megbízhtóság, és pontosság. Ez két kritérium pontbecslések esetén nem lklmzhtó, hiszen pontbecslések megbízhtóságávl zzl, hogy egy pontbecslés milyen vlószínűséggel esik egybe becsülni kívánt soksági jellemzővel sok esetben nem érdemes fogllkozni (elegendő rr gondolni, hogy folytonos esetben nnk vlószínűsége, hogy egy becslőfüggvénnyel éppen eltláljuk célt, null). Ezért ezek kritériumok intervllumbecslések esetén nyerik el igzi értelmüket, hiszen kkor megbízhtóbb z intervllumbecslés, h z áltl meghtározott konfidenciintervllum ngyobb vlószínűséggel trtlmzz z lpsoksági prmétert. A konfidenciintervllum foglmánk bevezetése után könnyen értelmezhető második, pontossági kritérium is: pontosbb z becslés, mely rövidebb (szűkebb) konfidenci-intervllumot eredményez. Ez z eszmefutttás természetesen csk torzíttln becslőfüggvények esetén helyes. Mivel bevezető gondoltok közismertek, nem gondoljuk, hogy ennél részletesebb kifejtésre vn szükség hhoz, hogy z áltlunk vizsgált kérdéssel fogllkozzunk. Előbbi fejtegetésünk lpján zt várnánk, hogy sttisztiki gykorlt mindenkor törekszik z dott megbízhtósági szinten legpontosbb, illetve z ezzel ekvivlens dott intervllum-hosszúság esetén legmegbízhtóbb becslés meghtározásár. Rövid tnulmányunkbn egy ellenpéldár hívjuk fel figyelmet, vlmint megoldást jvsolunk kérdés megoldásár. A TÁRGYSZÓ: Intervllumbecslés. Vrincibecslés. Legszűkebb intervllum. soksági szórásnégyzet (vrinci) intervllumbecslése viszonylg gykori problém gzdsági elemzésekben. Sttisztikus körökben triviálisnk számít feldt elvégzése: normális eloszlású lpsokság és n elemű, független zonos eloszlású (FAE-) mint esetén mennyiben várhtó értéket mintából becsüljük ismert, 1 hogy z 1 Lásd Hunydi Mundruczó Vit (1996): Sttisztik. Aul Kidó, Budpest, 36 363. old. Sttisztiki Szemle, 79. évfolym, 001. 7. szám
614 1s eloszlást követ, vgyis felírhtó z láb- n változó (n 1) szbdságfokú bi összefüggés: hol: n 1 s Pr 1 f /1/ 1 becslés során lklmzni kívánt megbízhtósági szint, s mintbeli korrigált vrinci, becsülni kívánt lpsoksági vrinci, f ; z (n 1) szbdságfokú eloszlás megfelelő kvntilisei. Az /1/ feldt megoldás egyszerű, konfidenci-intervllum z lábbi formájú lesz: n 1s n 1 s Pr 1 // f A sttisztiki gykorlt vlószínűleg z ember természetes szimmetriérzékének kielégítésére eloszlás megfelelő kvntiliseit z ún. frokvlószínűségekben szimmetrikusn htározz meg, vgyis: Pr Pr /3/ Mindez olyn mértékben bevett gykorlt, hogy eloszlás kvntiliseit trtlmzó stndrd táblák nem is teszik lehetővé más elven képződő kritikus értékek meghtározását. A /3/ képletben is lklmzott gykorlt egyáltlán nem kifogásolhtó szimmetrikus eloszlások esetén (így például várhtóérték-becslés esetén teljesen korrekt), ugynis beláthtó, hogy szimmetrikus sűrűségfüggvénnyel rendelkező becslőfüggvény esetén /3/ képletben rejlő elv lpján meghtározott intervllum egyben z dott (1 ) megbízhtósági szinten minimális hosszúságú intervllum is, rádásul ez esetben z intervllum pontbecslés körül szimmetrikusn helyezkedik el, vgyis könnyen értelmezhető népszerű ˆ formábn. 3 Ugynkkor szimmetrikus eloszlású sttisztik esetén empirikusn is könnyen beláthtó legrövidebb intervllum és frokvlószínűségekben szimmetrikus intervllum nem esik egybe. f A kvntilisek szimmetriáját itt és továbbikbn úgy értelmezzük, hogy kvntilis trtlm (tehát nem értéke) mediánr szimmetrikus. Így például szimmetrikus kvntilisek kvrtilisek, vgy z első és kilencedik decilis, vgy z első és kilencvenkilencedik percentilis. 3 Az áltlános sttisztiki jelölésrendszernek megfelelően ˆ pontbecslés értéke, z ún. hibhtár.
A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 615 Tekintsük következő egyszerű példát! Becsüljük z lpsoksági szórásnégyzetet 6 elemű mint lpján. //-ből tudjuk, hogy z intervllum lsó és felső htár csk z n 1 s k 5s k k -bn különbözik. Az 5 szbdság- változó nevezőjében szereplő kvntilis értékében, fokú eloszlás néhány nevezetes kvntilise: Pr Pr χ 5 0, 831, χ 5 1145, χ 5 1, 83 Prχ 1 Pr 5 0 05 0, 05 0, 975 Az előbbiekből következően kár különböző intervllumot is kijelölhetünk dott, esetünkben például 95 százlékos megbízhtósági szinten: 5s lim 5s 0 ; 4, 367s 1, 145, illetve 5s 0, 389s 1, 83 5s ; 6, 017s 0, 831. Az intervllumok hossz láthtón függ s értékétől, két intervllum hosszánk ngyságrendi relációj zonbn nem. Láthtó, hogy második kvntiliseiben szimmetrikus intervllum minden mintbeli korrigált szórásnégyzet esetén hosszbb. Amennyiben elfogdjuk, hogy z intervllumbecslés során célunk olyn minimális hosszúságú intervllum meghtározás, melyben rögzített vlószínűséggel (megbízhtósági szinten) tlálhtó becsülni kívánt jellemző, úgy z /1/ feldt kiegészítendő egy feltétellel: Pr n 1 s f 1 min f /4/ Elméleti úton könnyen beláthtó, hogy h b f ( x) dx 1 konstns, vgyis megbízhtósági szint dott, kkor egymóduszú sűrűségfüggvény (vgyis egy inflexiós ponttl rendelkező eloszlásfüggvény) esetén b minimum ott vn, f f b. hol
616 A bizonyítás elve Riemnn-integrál foglomrendszerére épül. Az eljárás során tételezzük fel, hogy olyn 1 megbízhtósági szintet válsztottunk, hol bl oldli frokvlószínűség felső htár kisebb, jobb oldlié ngyobb, mint z dott eloszlás sűrűségfüggvényének mximumhelye. (Ez könnyen beláthtón nem korlátozó feltétel.) A eloszlás sűrűségfüggvénye z értelmezési trtományon szkszosn szigorún monoton, mximumpontjától blr növekvő, jobbr csökkenő. Induljunk ki bból, hogy z 1 megbízhtósági szinthez trtozó konfidenci-intervllum hossz b, és teljesül z f f b összefüggés. Csökkentsük egy végtelenül kis egységgel (e) -t. Ekkor z intervllum hosszbb lett (b ( e)), megbízhtósági szint szintén növekedett (1 α+f( e)). Annk érdekében, hogy két frokvlószínűség összege mrdjon (vgyis megbízhtósági szint ne változzon), b-t is csökkenteni kell, zonbn szigorú monotonitásból következőleg f( e)<f()=f(b)<f(b e), tehát több területet nyerünk, mint mennyit vesztünk, zz két frokvlószínűség összege ngyobb lesz, mint Ahhoz, hogy ez mrdjon (b e) ( e) távolságot növelni kell. Hsonlóképpen beláthtó, hogy növelése esetén is növekszik z 1 megbízhtósági szintet eredményező intervllum hossz. Ezek után válsszunk kiindulópontnk olyn -t és b-t, melyeknél f()f(b). Tegyük fel, hogy f()f(b) (fordított esetre hsonlón beláthtó). H -t egy végtelenül kis egységgel növeljük frokvlószínűségek összege kkor és csk kkor mrd z áltlunk válsztott h b-t is növeljük. Mivel -nál sűrűségfüggvény szigorún monoton növekvő, b-nél pedig csökkenő, ezért f(+e)>f(b+e). Ebből dódón b-t ngyobb mértékben kell növelni (legyen növekmény e+k), mint -t, hiszen csk ekkor lesz sűrűségfüggvény ltti terület ( megbízhtósági szint) zonos. Mivel (b+e+k) (+e) távolság ngyobb lesz, mint kiindulási állpotbn b, növelésével nem érhetjük el célunkt. Ellenkező esetben, h -t csökkentjük, sokkl kedvezőbb eredményre jutunk: végtelenül kis egységgel vló csökkentésével és b viszony következő lehet: 1. f( e)=f(b e): elértük bizonyítndó állpotot,. f( e) még mindig ngyobb f(b e)-nél. A. esetben -nk egy végtelenül kis egységgel vló csökkentése zt eredményezi, hogy sűrűségfüggvény ltti terület, vgyis megbízhtósági szint f(b)-vel csökken, és f( e)-vel nő. Mivel sűrűségfüggvény mximumától jobbr szigorún monoton csökkenő, ezért f(b e)f(b), ebből következik (hiszen. esetet vizsgáljuk), hogy f( e)f(b), tehát sűrűségfüggvény ltti terület összességében növekszik. Ahhoz, hogy terület ne változzon, b-t nem elég e-vel, hnem ennél ngyobb értékkel kell csökkenteni, ennek következtében z 1 megbízhtósági szintet eredményező trtomány hossz rövidül. Ezt egészen ddig folytthtjuk, míg f()=f(b), zz beláttuk, hogy dott megbízhtósági szinten ez legrövidebb intervllum. Az előbbi összefüggést kihsználv, 4 z dott megbízhtósági szinthez trtozó, minimális hosszúságú intervllumot eredményező k kritikus értékek 5 tábláb rendezhetők. (Lásd z 1. táblát.) 4 Ez megoldás természetesen csk zon eloszlások esetén létezik, melyeknél sűrűségfüggvény egymóduszú; így monoton csökkenő sűrűségfüggvények esetén (szbdságfok nem ngyobb, mint ) legrövidebb intervllum z első 1 százlékhoz trtozó intervllum.
A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 617 A minimális hosszúságú intervllumhoz trtozó kritikus értékek különböző mintngyság és megbízhtósági szint esetén 1. tábl Szbdságfok lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 1 0,0000,7055 0,0000 3,8415 0,0000 6,6349 0,0000 4,605 0,0000 5,9915 0,0000 9,104 3 0,011 6,595 0,003 7,8168 0,0001 11,3450 4 0,1676 7,8643 0,0847 9,5303 0,0175 13,855 5 0,4764 9,4338 0,96 11,1914 0,1010 15,169 6 0,887 10,9584 0,6070 1,804 0,640 16,9013 7 1,3547 1,443 0,989 14,3686 0,496 18,613 8 1,8746 13,89 1,450 15,8966 0,7856 0,955 9,4313 15,3136 1,906 17,393 1,11 1,9308 10 3,0173 16,7108,4139 18,8604 1,4978 3,538 11 3,676 18,0874,953 0,3050 1,9069 5,1056 1 4,58 19,446 3,516 1,789,3444 6,6530 13 4,9063 0,7895 4,0994 3,1348,8069 8,1781 14 5,5696,1190 4,7005 4,547 3,91 9,6831 15 6,46 3,436 5,3171 5,9003 3,7949 31,1703 16 6,9347 4,744 5,9477 7,631 4,3161 3,6413 17 7,6339 6,0386 6,5908 8,614 4,8530 34,0974 18 8,347 7,357 7,453 9,9546 5,4041 35,540 19 9,0603 8,6046 7,9100 31,854 5,9683 36,9706 0 9,7859 9,8759 8,584 3,6073 6,5444 38,3895 1 10,5188 31,1401 9,670 33,908 7,1316 39,7979 11,586 3,3978 9,9579 35,67 7,789 41,1967 3 1,0046 33,6495 10,656 36,554 8,3358 4,5861 4 1,7565 34,8954 11,3614 37,8176 8,9515 43,967 5 13,5139 36,136 1,0731 39,1034 9,5755 45,3400 6 14,764 37,3719 1,7908 40,3835 10,073 46,7056 7 15,0437 38,609 13,514 41,6579 10,8464 48,0639 8 15,8155 39,896 14,430 4,973 11,493 49,4156 9 16,5917 41,051 14,9769 44,1916 1,1448 50,7609 30 17,3718 4,706 15,7155 45,4513 1,8034 5,1003 40 5,3568 54,764 3,3190 57,836 19,6700 65,189 50 33,5908 66,0371 31,176 69,9306 6,9189 77,9614 60 41,9994 77,650 39,335 81,803 34,4373 90,437 70 50,5391 89,088 47,5851 93,5554 4,1586 10,7116 80 59,181 100,4379 55,9695 105,1687 50,0399 114,873 90 67,9091 111,7095 64,4537 116,686 58,0517 16,8133 100 76,7061 1,9113 73,01 18,1137 66,174 138,6908 150 11,447 178,1668 116,7580 184,375 107,950 196,9060 00 167,015 3,5908 161,4865 39,6419 151,0304 53,843 5 A kritikus értékek itt megfelelő rendű kvntilist jelentik. Bár kritikus érték kifejezést inkább sttisztiki hipotézisvizsgáltok tárgylásánál szokták hsználni, tekintve, hogy trtlmilg itt is hsonló jelentése vn, ilyen környezetben vló lklmzás vélhetően nem lesz zvró.
618 Annk érdekében, hogy hgyományos, illetve minimális intervllumhosszt eredményező kritikus értékek viszony érzékelhető legyen tekintsük. táblát. A kvntiliseiben szimmetrikus, illetve minimális hosszúságú intervllumhoz trtozó kritikus. tábl értékek Szbdságfok Típus lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 10 hgyományos 3,9403 18,3070 3,470 0,483,1558 5,1881 10 minimális hosszúságú 3,0173 16,7108,4139 18,8604 1,4978 3,538 0 hgyományos 10,8508 31,4104 9,5908 34,1696 7,4338 39,9969 0 minimális hosszúságú 9,7859 9,8759 8,584 3,6073 6,5444 38,3895 30 hgyományos 18,497 43,7730 16,7908 46,979 13,7867 53,6719 30 minimális hosszúságú 17,3718 4,706 15,7155 45,4513 1,8034 5,1003 50 hgyományos 34,764 67,5048 3,3574 71,40 7,9908 79,4898 50 minimális hosszúságú 33,5908 66,0371 31,176 69,9306 6,9189 77,9614 100 hgyományos 77,994 14,341 74,19 19,5613 67,375 140,1697 100 minimális hosszúságú 76,7061 1,9113 73,01 18,1137 66,174 138,6908 A. tábl lpján meghtározhtó, hogy z intervllum becsült vrinciától nem független hossz milyen ránybn hldj meg hgyományos esetben minimálisn szükséges intervllumhosszt. Megfigyelhető, hogy. táblábn z intervllumot kijelölő kritikus értékek mintngyság (tehát szbdságfok) növelésével párhuzmosn trtnk kvntilisekben szimmetrikus kritikus értékekhez. Mindez eloszlás és stndrd normális eloszlás összefüggésének ismeretében vgyis nnk tudtábn, hogy szbdságfok növelésével eloszlás közelít szimmetrikushoz nem meglepő. Láthtó, hogy. tábláb fogllt kritikus értékek noh minimális hosszúságú intervllumot eredményezik nem idéznek elő pontbecslésre (mintbeli vrinciár) szimmetrikus intervllumot. H ilyen középpontosn szimmetrikus intervllumot igénylünk, 6 z /1/ feldt nem /4/-ben meghtározott feltétellel bővül, hnem következő egyenlőséget trtlmzz: s n 1s n s 1 f ebből egyszerű átrendezéssel következik: s, /5/ 1 n n f, /6/ 1 6 Beláthtó, hogy ez z empirikusn legkevésbé megmgyrázhtó igény. Az intervllum ilyen módon történő kijelölése inkább elméleti jellegű problém.
A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 619 így // következőképpen módosul n 1s n 1 s Pr s 1, /7/ hol vizsgált (n 1) szbdságfokú eloszlásr vontkozik. Mivel 0 és negtív, így vgyis n 1 n 1 0, s nem. Mindez zt jelenti, hogy h szimmetrikus intervllumot krunk, z lsó kritikus értéknek meg kell hldni 7 szbdságfok ( eloszlás ismert tuljdonság lpján várhtó érték) felét. Mindezek lpján két megállpítást tehetünk: 1. nem feltétlenül képzelhető el minden mintngyság (szbdságfok) és minden megbízhtósági szint esetén szimmetrikus intervllum, hiszen z lsó kritikus értékhez trtozó frokvlószínűség determinálj mximális megbízhtósági szintet (ez gykorltilg zt jelenti, hogy mindddig, míg szbdságfok feléhez nem trtozik leglább bl oldli frokvlószínűség, ddig 1 megbízhtósággl, n elemű mintából nem lehet értékben szimmetrikus vrincibecslést készíteni);. dott szbdságfok és megbízhtósági szint esetén szimmetrikus intervllumot eredményező kritikus értékek tábláb rendezhetők. A 3. tábl szimmetrikus intervllumokt eredményező kritikus értékeket trtlmzz különböző szbdságfok és megbízhtósági szint mellett. Kritikus értékek szimmetrikus intervllum képzéséhez 3. tábl Szbdságfok lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 11 5,5777 394,9711 1 6,3084 1,7473 13 7,0400 84,748 14 7,789 69,5866 15 8,5614 60,4936 16 9,3098 56,8639 17 10,0761 54,343 8,6746 4,633 18 10,841 5,997 9,396 15,37 19 11,646 51,5505 10,119 155,55 0 1,4300 51,153 10,853 17,06 (A tábl folyttás következő oldlon.) 7 Az egyenlőtlenség nem teljesülhet egyenlőség formájábn, ugynis ekkor /6/ egyenletben számított felső kritikus érték számítás során nullávl kellene osztni.
60 (Folyttás.) Szbdságfok lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 1 13,119 51,1544 11,5939 111,87 14,0146 51,1383 1,3410 101,35 3 14,808 51,343 13,0939 94,4715 4 15,69 51,6778 13,853 89,7408 5 16,438 5,1754 14,6158 86,3498 6 17,570 5,6993 15,384 83,8846 7 18,0513 53,5435 16,1566 8,100 8 18,850 54,3961 16,9334 80,8171 9 19,684 55,0699 17,7146 79,9047 30 0,4955 55,948 18,4993 79,993 15,149 1816,9309 40 8,7678 65,613 6,518 81,4178,3455 190,5399 50 37,1975 76,400 34,7361 89,1940 9,9351 151,643 60 45,7331 87,044 43,0971 98,7176 37,7593 145,9891 70 54,4191 98,081 51,5643 108,9540 45,7587 148,8618 80 63,1585 109,0891 60,1171 119,5343 53,5897 157,7360 90 71,9659 10,0949 68,748 130,889 61,8087 165,4737 100 80,8303 131,0890 77,4315 141,1360 70,17 174,379 150 15,7980 185,737 11,5903 195,733 11,6998 4,050 00 171,4953 39,8694 166,5801 50,1950 156,8310 75,9604 Láthtó, hogy 1 eleműnél kisebb mint esetén szokásos megbízhtósági szinteken nem lehet pontbecslésre szimmetrikus intervllumot becsülni ( 10 szbdságfokú eloszlás esetén z 5-höz trtozó jobb oldli frokvlószínűség mindössze 0,8911). Ismét felhívjuk figyelmet rr tényre, hogy három különböző megfontolások lpján képzett becslés esetében mintngyság (szbdságfok) növelésével kritikus értékek közelítenek egymáshoz. A eloszlás ezen szimmetrikussá válásból eredő tuljdonságánk illusztrálásár tekintsük 4. táblát. A három különböző elven képzett intervllumbecslés kritikus értékei 4. tábl Szbdságfok Típus lsó felső lsó felső lsó megbízhtósági szint esetén felső 100 hgyományos 77,994 14,341 74,19 19,5613 67,375 140,1697 100 minimális hosszúságú 76,7061 1,9113 73,01 18,1137 66,174 138,6908 100 szimmetrikus 80,8303 131,0890 77,4315 141,1360 70,17 174,379 00 hgyományos 168,785 33,994 16,780 41,0578 15,408 55,638 00 minimális hosszúságú 167,015 3,5908 161,4865 39,6419 151,0304 53,843 00 szimmetrikus 171,4953 39,8694 166,5801 50,1950 156,8310 75,9604
A VARIANCIABECSLÉS HIBAHATÁRÁRÓL 61 Megfigyelhető, hogy minimális hosszúságú intervllumhoz trtozó kritikus értékek lulról, szimmetrikus intervllumhoz trtozó kritikus értékek pedig felülről (és lssbbn) konvergálnk hgyományos értékekhez. Összefogllv megállpíthtó, hogy szimmetrikus eloszlású becslőfüggvényekkel ellentétben z szimmetrikus eloszlású becslőfüggvénnyel rendelkező lpsoksági vrinci esetében hgyományos intervllumbecslési eljárás nem eredményez dott megbízhtósági szinten minimális hosszúságú intervllumot. Ezért jvsoljuk vrincibecslés során z 1. táblábn bemuttott kritikus értékek hsználtát. Megállpíthtó, hogy z így keletkező intervllumok nem lesznek szimmetrikusk pontbecslésre, ám ez vrincibecslés esetén nem is feltétlenül elvárt. SUMMARY It is common prctice in sttistics tht estimting the confidence intervls, quntiles of the distribution function belonging to the til probbilities re used. It is lso well known tht in the cse of symmetric distributions this procedure does not yield nrrowest confidence intervls. The first prt of the pper, bsed on computer lgorithms, gives the nrrowest confidence limits for the widely used vrince estimtor. The second prt shows tht symmetric confidence intervls (in n equidistnt sense) for the sme problem cn only be deduced in cse of lrge smples, when the smple size overtkes certin limits. Some of these results re shown in the pper s well.