Valószíűségszámítás előadás formata BSC/ szaosoa és matemata elemző BSC-see 2015/2016 1. félév Zemplé drás zemple@ludes.elte.hu http://www.cs.elte.hu/~zemple/ 1. előadás: Bevezetés Irodalom, övetelméye félév célja Valószíűségszámítás tárgya Törtéet lapfogalma Valószíűsége számítása Irodalom Jegyzet Barót-Bogáré-Fejes Tóth-Mogyoród: Valószíűségszámítás jegyzet programozó szaos hallgatóa Taöyve: Préopa: Valószíűségelmélet Solt: Valószíűségszámítás Pál: valószíűségszámítás és a statszta alapja I-II Réy: Valószíűségszámítás Példatár Bogáré-Mogyoród-Préopa-Réy-Szász: Valószíűségszámítás feladatgyűjteméy rató-proaj-zemplé: Valószíűségszámítás eletrous jegyzet (taoyvtar.hu) Számoérés Gyaorlato gyaorlat jegy: csoportoét zh- alapjá Vzsga: írásbel, ésőbb egyeztetedő dőpotba Előadáso ayaga: www.cs.elte.hu/~zemple/otatas.html Cél Valószíűségszámítás alapjaa smertetése Feladatmegoldás észség alaítása (elsősorba gyaorlato) lalmazás lehetősége bemutatása (szmulácó, véletle számo stb.) Matemata statszta (övetező félév) megalapozása Valószíűségszámítás helye a tudomáyo özött Matemata tudomáy, mert precíze megfogalmazott axómáxra épül. Gyaorlat alalmazása: statszta öveteztetése levoása (pl.: ha egy érmével 1000 dobásból 550 fej jött, aor 99.9% valószíűséggel állítható, hogy az érme em szabályos). 1
Törtéet áttetés 1. Első smert feladat 1494-ből: játé dő előtt abbahagyása eseté hogya osztozzaa? Helyes megoldás több, mt 100 évvel ésőbb: Pascal (1623 1662), Fermat (1601 1665) Köye adható szmulácós megoldás (precíz számítás a gyaorlato) Cardao (1540 örül) öyvet írt a ocajátéohoz apcsolódó valószíűségszámítás érdéseről Törtéet áttetés 2. de Mére lovag érdése: Egy ocával égyszer dobva előyös arra fogad, hogy lesz hatos, de 2 ocával 24-szer dobva már em előyös arra fogad, hogy lesz (6,6) a dobáso özött. Megoldás: Pascal, Fermat (1654) Huyges (1657): z első valószíűségszámítás öyv de Wtt, Halley (1671): életjáradé-számítás valószíűség alapo Törtéet áttetés 3. Jacob Beroull (1713): rs Cojectad (agy számo törvéye) XVIII-XIX. sz: Movre, Bayes, Gauss, Posso Buffo: geometra valószíűség bevezetése paradoxoo XIX.sz: Csebsev, Marov, Ljapuov Törtéet áttetés 4. xomatzálás: Kolmogorov (1933) Moder alalmazáso: Iformácóelmélet (Shao) Játéelmélet (Neuma) Matemata statszta (Fsher) Sztochasztus folyamato Magyar tudóso: Jordá Károly (1871-1959) Réy lfréd (1921-1970) Véletle ísérlete Olya ísérleteel foglalozu, amelye eredméyét em tudju előre bztosa megmoda (ocadobás, lottóhúzás, meteorológa, tőzsde eseméye stb). z összes lehetséges eredméy: eseméytér. lapfogalma Eseméytér Kísérlet egy lehetséges meetele: elem eseméy, jelölése ω. Elem eseméye összessége: eseméytér, Ω. Ω részhalmaza: eseméye (,B,C,...). Eseméy aor övetez be, ha az őt alotó elem eseméye valamelye beövetez. 2
Példá Kocadobás: Ω={1,2,,6}. Ha az eseméy: páros számot dobtu, aor ={2,4,6}. Érmét étszer feldobva: Ω={II,IF,FI,FF} ={II,IF} az az eseméy, hogy az első dobás írás. Érmét addg dobu, míg fejet em apu. Ω={F,IF,IIF,...,ω } ahol ω =III. (azaz mde dobás írás) Eseméye Eseméy: Ω részhalmaza Specáls eseméye: Ω (bztos eseméy) (lehetetle eseméy) z eseméye összessége: (halmazredszer Ω részhalmazaból) Művelete eseméyeel: szoásos loga művelete = halmazművelete Művelete eseméyeel B: vagy vagy B beövetez (az s lehet, hogy mdettő) B: és B s beövetez Tulajdoságo \ B B B B (De Morga) eseméy elletettje: Példá Kocadobás: ={páros számot dobu} B={legalább 3-ast dobu} B={4,6} B={2,3,4,5,6} \B={2} ={1,3,5} Valószíűség Szemléletes megfelelője: relatív gyaorság. Ha egymástól függetleül, azoos örülméye özött végrehajtott ísérletből az adott eseméy -szor övetezett be, aor a relatív gyaorság /. Nagy -re a relatív gyaorság egy fx szám örül gadoz: ezt evezzü az valószíűségée.koca-ísérlet 3
valószíűség Jele: relatív gyaorság tulajdoságaból: Nemegatív: mde -ra Egymást záró eseméyere, azaz, ha : (addtvtás) Ω)=1 (Ω,,P): valószíűség mező B 0 Tulajdoságo 1. ddtvtás eseméyre: ha 1, 2,..., pároét záró eseméye, aor 1 2... ) 1 ) 2 )... ) Bzoyítás: ducóval. )=0. Bzoyítás: Ω= Ω felbotásból és az addtvtásból Tulajdoságo 2. \ Bzoyítás: = ( (\ felbotásból és az addtvtásból Bzoyítás: B= B (\ felbotásból, az addtvtásból és az előző tulajdoságból. Eseméytér Nem mdg lehet mde Ω eseméy (pl. agy megszámlálhatóál agyobb Ω eseté), ezért az eseméy-redszer strutúrája: σ-algebra. 1. Ω 2. (azaz zárt a omplemeter-épzés műveletére) 3. zárt a megszámlálható uó műveletére Példá σ-algebrára ={,Ω} ={,,, Ω} Ω mde részhalmazából álló halmazredszer (hatváyhalmaz, P (Ω)) Kolmogorov-féle valószíűség mező (Ω,,P): Kolmogorov-féle valószíűség mező, ha Ω emüres halmaz az Ω részhalmazaa σ-algebrája P : [0,1] halmazfüggvéy (valószíűség), melyre 1. P (Ω)=1 2. σ-addtvtás: ha 1, 2,..., pároét záró eseméye, aor P...) ) )... ( 4
Véges valószíűség mező Ω={ω 1, ω 2,,ω }, = P (Ω). Jelölés: p =P (ω ). p 1 1 az addtvtásból. ) ) 1 : ) : zaz a p emegatív, 1 összegű számo meghatározzá a valószíűséget. p Klasszus valószíűség mező 1 p =1/ mde -re (azoos valószíűségűe az elem eseméye). Eor ahol az elemszáma, pedg az összes esetszám. Máséppe: =edvező esete száma/ összes esetszám. Klasszus valószíűség mező 2 lasszus valószíűség mező alalmazása előtt mdg meg ell győződ a feltételeről! Példa: születésap Soág a valószíűséget általába s így próbáltá defál, de ez em fed le mde esetet. Vsszatevéses mtavétel N termé, melyből M selejtes elemű mta vsszatevéssel : potosa selejtes va a mtába (=0,,) M M 1 N N azaz a valószíűség fejezhető a p=m/n selejtaráy segítségével: p p 1 Mtavétel Vsszatevés élül mtavétel N termé, melyből M selejtes elemű mta vsszatevés élül : potosa selejtes va a mtába (=0,,) Mtavétel M N M P ( N valószíűség tovább tulajdosága valószíűség végese s addtív: ha 1, 2,..., pároét záró eseméye, aor P... ) ) )... ( Bzoyítás. +1 = +2 = = választással alalmazzu a σ-addtvtást. Tehát a orábba belátott tulajdoságo a Kolmogorov-féle valószíűség mezőre s érvéyese. ) 5