Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2

Hasonló dokumentumok
Kétváltozós függvények

2.4. Vektor és mátrixnormák

44. HANCSÓK KÁLMÁN MEGYEI MATEMATIKAVERSENY MEZŐKÖVESD, 2015 Szóbeli feladatok megoldásai. Megoldás: 6

823. A helyesen kitöltött keresztrejtvény: 823. ábra A prímek összege: = 9; 824. a) 2 1, 2 4, 5 3, 3 5, 2$ 825.

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

Kétváltozós függvények

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

FELADATOK MÉRÉSELMÉLET tárgykörben. 1. Egy műszer osztálypontossága 2.5, a végkitérése 300 V. Mekkora a mérés abszolút hibája?

A hatványozás első inverz művelete, az n-edik gyökvonás.

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

Regresszió és korreláció

Regresszió és korreláció

Lineáris programozás

Szoldatics József, Dunakeszi

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Függvénygörbe alatti terület a határozott integrál

Laplace-transzformáció. Vajda István február 26.

Energetikai gazdaságtan 3. gyakorlat Gazdasági mutatók

RUGALMAS VÉKONY LEMEZEK EGY LEHETSÉGES ANALITKUS MEGOLDÁSI MÓDSZERE A NAVIER-MEGOLDÁS

FEJEZETEK A HOMOGÉN FEJSOROZATOKRÓL

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

OPTIMALIZÁLÁS LAGRANGE-FÉLE MULTIPLIKÁTOR SEGÍTSÉGÉVEL

Mivel sikerült egész kitev j hatványokat is definiálnunk, felvet dhet a kérdés, hogy lehet-e racionális (tört) kitev j hatványokat is definiálni.

Kardos Montágh verseny Feladatok

Egy látószög - feladat

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerek

9. Exponenciális és logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek

Matematika A1a - Analízis elméleti kérdései

F.I.1. Vektorok és vektorműveletek

( ) ( ) Motiváció: A derivált közelítésére gyakran használjuk a differencia hányadost: ( ) ( ) ( ) + +

Háromszög n egyenlő területű szakaszra osztása, számítással és szerkesztéssel. Bevezetés

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

n m dimenziós mátrix: egy n sorból és m oszlopból álló számtáblázat. n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.

ANALÍZIS I. (MT1301L, MT4301L, MT1301) Előadást követő vázlatok. Dr. Rozgonyi Tibor főiskolai docens

Változók közötti kapcsolatok vizsgálata

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Programozási tételek felsorolókra

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ

Frissítve: Síkidomok másodrendű nyomatékai. Egy kis elmélet 1 / 21

(a n A) 0 < ε. A két definícióbeli feltétel ugyanazt jelenti (az egyenlőtlenség mindkettőben a n A < ε), ezért a n A a n A 0.

Kényszereknek alávetett rendszerek

(1) Milyen esetben beszélünk tartós nyugalomról? Abban az esetben, ha a (vizsgált) test a helyzetét hosszabb időn át nem változtatja meg.

= dx 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0,45 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05

Lineáris programozás

f (ξ i ) (x i x i 1 )

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Orosz Gyula: Külföldi középiskolai matematikai versenyek. Elemi algebra 1. útmutatások. x arányt, vagy

14. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Tarnai Gábor, mérnöktanár) Érdes testek - súrlódás

Alkalmazott matematika 2017

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

Matematika A1 vizsga elméleti kérdések

Tehetetlenségi nyomatékok

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Néhány szó a mátrixokról

Egy harmadik fajta bolha mindig előző ugrásának kétszeresét ugorja és így a végtelenbe jut el.

Mérnöki alapok 5. előadás

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

III. EGYENLETRENDSZEREK

Mérési adatok feldolgozása Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

( x) XI. fejezet. Határozott integrál, terület és térfogat számítás. Elméleti áttekintés. A határozott integrál definícióját ld. a jegyzetben.

az eredő átmegy a közös ponton.

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (

Bevezetés a programozásba. 3. Előadás Algoritmusok, tételek

Sorozatok határértéke

Valószínűségszámítás összefoglaló

A lecke célja: A tananyag felhasználója megismerje az erőrendszerek egyenértékűségének és egyensúlyának feltételeit.

TARTALOMJEGYZÉK MATEMATIKAI ANALÍZIS I. FEJEZET. A PRIMITÍV FÜGGVÉNY ÉS A HATÁROZATLAN INTEGRÁL...5 II. FEJEZET. INTEGRÁLÁSI MÓDSZEREK...

Differenciálgeometria feladatok

1. Mi az érték és a hasznosság kapcsolata, és a hasznosság definíciója!

Improprius integrálás

Döntéselmélet, döntéshozatal lehetséges útjai

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

MATEMATIKA FELZÁRKÓZTATÓ TANFOLYAM

Méréselmélet PE_MIK MI_BSc, VI_BSc 1

GEOFIZIKA / 4. GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIÁK PREDIKCIÓJA, ANALITIKAI FOLYTATÁSOK MÓDSZERE, GRAVITÁCIÓS ANOMÁLIATEREK SZŰRÉSE

5. A logaritmus fogalma, a logaritmus azonosságai

Formális nyelvek I/2.

Gazdaságtudományi Kar. Gazdaságelméleti és Módszertani Intézet. Korreláció-számítás. 1. előadás. Döntéselőkészítés módszertana. Dr.

Megoldás: Először alakítsuk át az a k kifejezést: Ez alapján az a 2 a n szorzat átírható a következő alakra

f függvény bijektív, ha injektív és szürjektív is (azaz minden képhalmazbeli elemnek pontosan egy ısképe van)

Általában a pálinkáról...

PPKE ITK Algebra és diszkrét matematika DETERMINÁNSOK. Bércesné Novák Ágnes 1

2. ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET

EGY FÁZISÚ TÖBBKOMPONENS RENDSZEREK: AZ ELEGYEK KÉPZDÉSE

A Gauss elimináció M [ ]...

1. előadás: Bevezetés. Valószínűségszámítás survey statisztika MA. Számonkérés. Irodalom. Cél. A valószínűségszámítás tárgya

Átírás:

. elődás 5 Alklmzzuk z egváltozós esetbe legksebb égzetek módszerét. Lege mérések szám ( ). F ( ( ) )! ( ( ) )!?? A két krtérum ekvvles egmássl hsze h z F üggvéek z prmétervektor hele mmum v kkor hele emzérus kostsszorosák s mmum v. A regresszólízsél másodk kejezés hszált gkorbb. Ezt elírást lehet áltláosít mégpedg úg hog h z /-t bevsszük mögé kkor z lább megoglmzássl élhetük: h mérésszám véges és lehetséges mérés heleket sorozt jelöl k továbbá j h j és mde eges -ek ugkkor z előordulás vlószíűsége kkor eg klsszkus vlószíűség problémávl álluk szembe. (A vlószíűségszámítás körébe kock-dobás esete eg le dolog. Véges sok elem esemé v és mde elem eseméek ugkkor bekövetkezés vlószíűsége. ) Tehát mde eseté bekövetkezés vlószíűség: p /. Teljesül természetese: p + +... + db ( ( ) )! p ( ( ) )!? p p ( ) p ( ; j ) p j

. elődás 6 H em kötjük k hog p -értékek zoosk zob teljesítk zt hog z összegük -gel egelő kkor z előbbekél áltláosbb ormulát kpuk. Ez már eg vlószíűség megközelítése regresszólízsek. vel mde eges potk mt mérés helek v eg p bekövetkezés vlószíűsége krtérumb ezzel vlószíűséggel súlozzuk z -hez trtozó eltérés égzetét. F [ ]! ( ( ) )? Keressük zt z prmétervektort mel mellett z ltkus dott üggvét et krtérumb helettesítve égzetes várhtó érték mmáls lesz. A problém tehát eg F() F( k ) üggvé mmumheléek megkeresése. Szélsőérték-számítás (smétlés) () δ δ * 3 4 Nem kell hog derecálhtó lege üggvé hhoz hog mmum helet lletve mmum helet meghtározzuk. e.: Az () üggvéek z hele lokáls mmum v h (létezk) z -k eg δ sugrú körezete úg hog h [ δ + δ] () ( ). pl.: * 4 lokáls mmum helek A lokáls mmum helek között z z bszolút mmum hel mel hele üggvé legksebb értéket vesz el (eltéve hog v legksebb üggvéérték). Pl.: et esetbe z * z bszolút mmum hel. 3 lokáls mmum helek ( [ δ + δ ] () ( ) )

. elődás 7 H z () leglább kétszer derecálhtó egváltozós vlós üggvé kkor szükséges és elégséges eltétel lokáls szélsőérték létezéséhez hog ( ) ( üggvé potjához húzott értő meredeksége ); és ( ) > hele lokáls mmum v. vg ( ) ; és ( ) < hele lokáls mmum v. H () -szer derecálhtó vlós egváltozós üggvé és ( ) ( ) (-) ( ) de () ( ) kkor h () ( ) > hele lokáls mmum hel v h () ( ) < hele lokáls mmum hel v. Elégséges eltétel -változós vlós üggvé lokáls szélsőértékeek létezésére Adott z ( ) -változós vlós üggvé és p ( ) pot. Ahhoz hog -ek bztos lege szélsőértéke p potb z lábbkk kell teljesüle: (.) (p ) (p ) (p ) (.) Tektve z lább üggvédetermásokt 3 ( p ) ( p ) p K 3 p ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) K 3 ( p ) ( p ) ( p ) K ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) K ( p ) 3 3 33 3 3 hol 3 srokdetermások Bztos v lokáls szélsőérték p potb h srokdetermások p potb vg md poztívk: 3 K K Vg egtív poztív egtív stb módo váltkozó értékűek: lokáls mmum v. Ezek elégséges de em szükséges eltételek. p hele lokáls mmum v. 3 K p hele

. elődás 8 Szélsőérték-számítás éhá umerkus módszere. Guss-Sedel lgortmus z c d ívóvolk b ( ) ( ) ( ) ( )

. elődás 9 A szemléltetés kétváltozós vlós üggvé esetébe lehetséges. A módszer léege hog dott eg elületük és eek krjuk megkeres mmum helét. A elületbe belemetszük z -z síkkl párhuzmos mjd megkeressük eek metszékgörbéek mmum helét. Ez lesz pl.. egkeressük zt ívóvolt melet z ért és ebbe potb szté elmetsszük elületet de most z -z síkkl párhuzmos. Itt s megkeressük elület görbé mmum helet ( ) és meghtározzuk z ehhez trtozó ívóvolt mjd smét z -z síkkl párhuzmos metszük ért jó ez módszer? dg egváltozós v-t vzsgáluk és em kell eltétleül dervál! -változós esete: ( 3 ) üggvét vzsgáljuk. - változó le v rögzítve és mdg eg változót változttuk. ( 3 ) hol (p ) mmáls. le vk rögzítve ( 3 ) ( 3 ) 3 : ( 3 ) És ezutá kezdődk cklus elölről. Akkor lege vége h p p p k potok eseté p k- p k < δ tehát p k- és p k potok távolság ksebb eg megdott δ értékél vg (p k- ) (p k ) < ε tehát p k- és p k potok üggvéértékeek külöbsége ksebb eg megdott ε értékél.. Véletle optmumkereső módszer c d A elülete elveszük 5 db potot T p p 5 T megdott T trtomáb és kszámoljuk hozzájuk trtozó b p p3 p p p 4 p 5 p 4 p 3 T 3 üggvéértékeket. (p ) (p ) (p 3 ) (p 4 ) (p 5 ) Kválsztjuk legksebb értéket közülük (most lege p 4 ) és következő tervllumot (T ) úg vesszük el hog ez pot lege közepé.

. elődás ost ebbe z új tervllumb geeráluk smét 5 db potot. (p ) (p ) (p 3 ) (p 4 ) (p 5 ) tt (p 3 ) mmáls Akkor p 3 lesz z új tégllp (T 3 ) középpotj és smét geeráluk 5 potot. Eg bzoos eset utá elkezdjük omít z tervllumokt tehát elezzük mjd kezdjük elölről. Bzoos lépésszám utá mdg eleződ og tégltrtomá míg egszer r beszűkül hog leáll z lgortmus. Ez eg véletle kereső lgortmus ez kkor jó h eléggé szbáltl elület sok külöböző hele redelkezk mmumml.

. 3. elődás. Véletle optmumkereső módszer Péld A elülete bzoos lpsíkbel tervllum ölött elveszük éhá véletle potot. Ezek z lpsíko szté véletle potok leszek. jd elülete potok közül megkeressük legksebb értéket h mmumot keresük (h mmumot keresük kkor leggobbt keressük meg). jd z tervllumukt eltoljuk úg hog legksebb (vg leggobb) értékhez trtozó pot lege z új trtomáuk középpotj. Itt újbb potokt veszük el mjd z előzőekhez hsoló járuk el. Bzoos lépésszámokét omítjuk z tervllumukt íg egre jobb beszűkül z trtomá hol z bszolút mmumot lletve mmumot keressük. ( ) + ( ) + + e + e F + + e ( ) + + e

. 3. elődás 3. Grdes-módszer z z P sklár-vektor üggvé (r) grd (r) r + j r (r) G P grd A grd vektor z lpsíkr levetített sztgörbe P potjához húzott értőjére merőleges vektor. Az (r) sklár-vektor üggvéből kdulv üggvé tetszőleges elület potjához trtozó leggobb övekedés ráát dj meg grd vektor. A grd vektor úg htározhtó meg hog kell képez z üggvéek z szert prcáls derváltját vlmt kell képez z üggvéek z szert prcáls derváltját. grd + j [ ] kétváltozós eset A grd vektor z lpsíkb elhelezkedő ívógörbe r vektorhoz trtozó értőjére merőleges vektor. Háromváltozós eset : [ z ] -változós eset: ( ) grd [ ] A grd leggobb csökkeés ráát jelöl k. A üggvé grdese csk kkor létezk h bármel változó szert prcáls derecálhtó.

. 3. elődás 3 r grd (r ) r r -h grd (r ) mum számítás! r 3 -h grd (r ) -h grd (r ) g g g r r r k+ r r r h k h grd h k grd grd ( r ) ( r ) ( r ) k k Kérdés: h h h k lépésközök meghtározás H mmumot keresük kkor h h h k egtív h mmumot keresük kkor h h h k poztív. ért gz hog grdes vektor leggobb változás rááb mutt? A kétváltozós üggvé derecálhtó z potb h létezk és továbbá (+h +k) h* + k* + h*ε (h k) + k*ε (h k) lm ε (h k) ε (h k) h k

. 3. elődás 4 Irámet dervált z * b b*j e * + b*j α b e (P) (P ) P d P e e cosα* + sα*j rámet dervált: ' e lm P ( P) ( P ) d( P ) P P e Az és potot lklmzv: z lpsíko z e egees egelete: + t e + bt ' e lm P P ( ) + ( ) t + b t t + b t d ( ) ( ) ( + t + bt ) ( ) t + b lm t lklmzv z -et t * ' lm t ( ) + bt * ' ( ) t t + tε + btε * ' ( ) + b * ' ( ) Ez szvkb kejezve zt jelet hog z e egségvektor met rámet dervált P potb úg számolhtó k hog kszámoljuk grdes vektor koordátát (ezek prcáls derváltk és szert) és redre megszorozzuk z egségvektor koordátávl ( és b) zz ez eg sklárs szorzt. Áltláos rámet dervált: ' e ( ) e grd ( ) Két vektor sklárs szorzt: z bszolútértékük megszorozv közbezárt szögükkel tehát ( ) cos β ' e e grd Abszolútértéke mmáls h β vg β8 mmáls h β9

. 3. elődás 5 j F Tehát z rámet dervált értéke kkor mmáls h z egségvektor rá megegezk grdes ráávl. Regresszólízs F() [(( ) ) ]!? [ k ] (j k) [ ] F j j j j j j j j j j (j k) Tehát kkor mmáls h görbe pot rálleszkedk potjkr. e e e :