KONTINUUMMECHANIKAI FELADATOK DUÁL FELÉPÍTÉBEN Értelmező eyenletek származtatása Veyes peremértékfeladatok meoldásának eyértékűsée Peremelem módszer síkfeladatokra Írta zeidl Györy aki az MTA doktora cím elnyerésére pályázik Miskolc-Eyetemváros 2004
Tartalomjeyzék Bevezetés iii zóhasználat, jelölésbeli meállapodások és jelölések v Jelölésbeli meállapodások v Latinbetűs jelölések alfabetikus sorrendben v Göröbetűs jelölések alfabetikus sorrendben ix 1. Az eyensúlyi eyenlet általános és teljes meoldásának származtatása virtuális munka elvből klasszikus eset 1 1.1. Irodalmi előzmények 1 1.2. Célkitűzések 2 1.3. A feladat mefoalmazása 2 1.4. Mellékfeltételek és a virtuális munka elv átalakítása 5 1.5. Eredmények 10 2. Az eyensúlyi eyenlet általános és teljes meoldását adó ellentmondásmentes variációs elvek és a statikai kinematikai analóia a peremfeltételekre klasszikus eset 12 2.1. Irodalmi előzmények 12 2.2. Célkitűzések 12 2.3. zabad variációs feladat 12 2.4. tatikai kinematikai analóia 17 2.5. Eredmények 24 3. Az eyensúlyi eyenlet általános és teljes meoldásának származtatása virtuális munka elvből mikropoláris eset 24 3.1. Irodalmi előzmények 25 3.2. Célkitűzések 25 3.3. A probléma mefoalmazása 25 3.4. Mellékfeltételek és a virtuális munka elv átalakítása 28 3.5. Eredmények 30 4. Az eyensúlyi eyenlet általános és teljes meoldását adó ellentmondásmentes variációs elvek és a statikai kinematikai analóia a peremfeltételekre mikropoláris eset 31 4.1. Irodalmi előzmények 31 4.2. Célkitűzések 31 4.3. zabad variációs feladat 31 4.4. tatikai kinematikai analóia 34 4.5. Eredmények 36 5. Az eyértékűsé makró feltételei veyes peremértékfeladatokra. zármaztatás a kieészítő eneria maximum elvből klasszikus eset 38 5.1. Irodalmi előzmények 38 5.2. Célkitűzések 39 5.3. A kieészítő kompatibilitási feltételek származtatása eometriai mefontolásokból 39 5.4. zármaztatás a teljes kieészítő eneria maximumának elvéből 43 5.5. Eredmények 50 6. Az eyértékűsé makró feltételei veyes peremértékfeladatokra. zármaztatás a kieészítő eneria maximum elvből mikropoláris eset 51 6.1. Irodalmi előzmények 51 6.2. Célkitűzések 51 6.3. A kieészítő kompatibilitási feltételek származtatása eometriai mefontolásokból 51 6.4. zármaztatás a teljes kieészítő eneria maximumának elvéből 52 6.5. Eredmények 56 i
7. Az eyértékűsé makró feltételei és az alakváltozási peremfeltételek síkbeli veyes peremértékfeladatokra mikropoláris eset 57 7.1. Irodalmi előzmények 57 7.2. Célkitűzések 57 7.3. A duál eyenletrendszer és a kieészítő kompatibilitási feltételek 57 7.4. A kieészítő kompatibilitási feltételek származtatása a kieészítő eneria maximumának elvéből 59 7.5. Alakváltozási peremfeltételek veyes peremértékfeladatokra 61 7.6. Eredmények 64 8. A síkrualmassátan pereminteráleyenletei duál rendszerben elsőrendű feszültséfüvényekkel 65 8.1. Irodalmi előzmények 65 8.2. Célkitűzések 65 8.3. Duál eyenletrendszer és az eyértékűsé feltételei 65 8.4. Alapeyenlet és alapmeoldás 69 8.5. omiliana identitás és formulák duál rendszerben belső tartomány 72 8.6. omiliana identitás és formulák duál rendszerben külső tartomány 76 8.7. A vonalinterálok diszkretizálása és a numerikus meoldás eyenletrendszere 79 8.8. zámpéldák 81 8.9. Eredmények 85 9. Peremelem módszer síkfeladatokra primál rendszerben a külső tartományra vonatkozó eyenletek pontosítása 87 9.1. Irodalmi előzmények 87 9.2. Célkitűzések 87 9.3. A síkrualmassátan eyenletei primál rendszerben 87 9.4. Alapképletek külső tartományra 88 9.5. A külső tartományra vonatkozó omiliana formulák módosítása 89 9.6. Eredmények 93 10. Összefolalás 94 10.1. Az értekezésben meoldott tudományos feladatok előzményei, célkitűzések 94 10.2. Az elvézett vizsálatok és a kutatás módszere 99 10.3. Eredmények 98 10.4. Az eredmények hasznosításának lehetőséei 101 10.5. Az értekezés témakörében készült lefontosabb publikációk felsorolása 102 A. Füelék 103 A.1. Általános eyenletek 104 A.2. Átalakítások az 1. Fejezethez 106 A.3. Átalakítások a 2. Fejezethez 110 A.4. Átalakítások a 3. és 4. Fejezetekhez 111 A.5. Átalakítások az 5. Fejezethez 112 A.6. Átalakítások a 6. Fejezethez 114 A.7. Átalakítások a 7. Fejezethez 114 A.8. Átalakítások a 8. Fejezethez 119 Hivatkozások 121 ii
iii Bevezetés A jelen értekezés a szerző kandidátusi értekezésének mevédése, azaz az 1985. év után vézett kutató munkája fontosabb eredményeit összeezi. A kutatások a kontinuummechanika eyes duál feladatait ölelik fel az alakváltozások elméletének lineáris keretei között afizikainemlinearitás bizonyos esetekben meenedett részben klasszikus, részben mikropoláris testre. Azeredmények ey része elméleti, másik része alkalmazási lehetőséeket is kínál. A pályázó érdeklődésének kialakulásában nay szerepe volt a a Miskolci Eyetem Mechanikai Tanszéke korábbi vezetőjének Kozák professzornak, aki felismerte, hoy a kontinuummechanika duál feladatainak köre a mechanikai kutatások méltatlanul elhanyaolt területe, annak ellenére, hoy a 20-as és 30-as években számos kimaasló eredmény született Muszkhelisvili [39 és iskolája munkássáa nyomán a duál rendszerben elvézett vizsálatok terén és annak ellenére is, hoy a matematikai fizika differenciáleyenletei primál és duál rendszerének viláos elkülönítése tekintetében jelentős eredményeket ért el a 60-as és 70-es években Tonti [80, [81, valamint a 80-as években Oden és Reddy [42. Tonti összeező és foalmi tekintetben tisztázó meállapításai szerint a matematikai fizika letöbb peremértékfeladata primál és duál alakban is mefoalmazható. A meoldandó differenciáleyenlet-rendszer eyenletei mindkét rendszerben azonos módon három csoportba sorolhatók: [primál{duál} értelmező (kinematikai) eyenlet(ek), [primál{duál} konstitutív (vay anyaeyenlet(ek)) illetve [primál{duál} mérleeyenle(tek). Változók tekintetében a [primál{duál} forrásváltozó(k) a mérleeyenlet inhomoenitását okozó mennyisé(ek). Az értelmező eyenlet(ek) a [primál{duál} elsődlees közbülső változó(ka)t adja (adják) me az alapváltozóval (alapváltozókkal) kifejezve, a konstitutív eyenlet(ek) a [primál {duál} másodlaos közbülső változó(kat)t a [primál {duál} elsődlees közbülső változóval (változókkal) fejezi(k) ki, a mérleeyenlet(ek) a [primál{duál} másodlaos közbülső változóra (változókra) tett meszorítás(ok). A [primál{duál} rendszer elsődlees közbülső változója (változói) a {duál} [primál rendszer másodlaos közbülső változója (változói). Az elsődlees közbülső változó(k) ezt (ezeket) a [primál{duál} értelmező eyenlet(ek) adja (adják) me identikusan teljesíti(k) a {duál}[primál mérleeyenlet(ek)et. A közbülső változók eliminálásával az alapváltozó(k)ra vonatkozó [primál{duál} alapeyenlet(ek)et kapjuk. A klasszikus kontinuummechanika lineáris elméletének primál rendszerében az elmozdulásvektor mező, a duál rendszerben a feszültséfüvény tenzormező az alapváltozó. Az eyenletek áttekintett csoportosítása az ún. Tonti sémába folalható. Ezt kontinuummechanikai, ezen belül klasszikus rualmassátani feladatokra Oden és Reddy könyve ismerteti [42, a séma duál rendszerrel kapcsolatos része azonban nem terjed ki mindenre. Nevezetesen a szükséesnél több eyenletet tartalmaz, a peremfeltételek pedi hiányosak. Ezen problémák kiküszöbölése az ún. outhwell paradoxon [51, [52 meoldásával a kontinuummechanika lineáris elméletének keretei között klasszikus esetre Kozák [4, mikropoláris esetre Kozák zeidl [30 nevéhez fűződik. Az idézett [4 könyv tartalmazza a helyes Tonti sémát rualmas testre. A szóhasználat eyértelműsée kedvéért itt rözítjük le, hoy amikor az eyensúlyi eyenlet kifejezést használjuk, a primál rendszer mérleeyenletére, amikor pedi a kompatibilitási eyenlet kifejezést használjuk, akkor pedi a duál rendszer mérleeyenletére ondolunk. Ez a terminolóia a szokásos a szilárd testek mechanikájában. A jelen bevezetést részletes jelölésjeyzék követi.
Az érdemi fejezetek hármas taolásúak és ez valamelyest az alcímekeben is tükröződik. Az első rész mindi a probléma irodalmi előzményeit és probléma mefoalmazását adja, a második rész a meoldás ondolatmenetét ismerteti, a harmadik rész pedi az eredmények áttekintése. Ha az eredmények nem csak a szerző eredményei akkor erre külön utalás hívja fel a fiyelmet. Az első és második fejezet a duál rendszer értelmező eyenleteinek, vay ami uyanaz, a primál rendszer eyensúlyi eyenletei meoldásának a virtuális munka elvből történő származtatásával és a vonatkozó variációs elvek kérdésével folalkozik klasszikus esetben, a harmadik és neyedik fejezet pedi uyanezt a kérdéskört tekinti át mikropoláris testre. Az ötödik, hatodik, és hetedik fejezet veyes peremfeltételek mellett veszi sorra az elmozdulásmezők eyértékűséének kérdéseit különböző, klasszikus és mikropoláris esetekre, térbeli, illetve ey esetben pedi síkbeli feladatra. Különös hansúlyt kap az eyértékűsé kérdése, ha többszörösen összefüő tartomány a vizsálatok tárya. A nyolcadik fejezet a síkrualmassátan peremértékfeladatainak interáleyenleteivel folalkozik duál rendszerben elsőrendű feszültséfüvényeket tekintve alapváltozónak. Külön vizsáljuk azt a kérdést, hoyan módosulnak a direkt peremelem módszer interáleyenletei, ha külső tartomány a vizsálat tárya és konstans a feszültséállapot a vételenben. A kilencedik fejezet az eyetlen, amely primál rendszerbeni vizsálatot tartalmaz. A vizsálatok célja, a nyolcadik fejezet eredményei alapján, a síkrualmassátan külső tartományra vonatkozó omiliana formuláinak módosítása annak érdekében, hoy a vételen távoli pont konstans feszültséállapota bekerüljön a formalizmusba. Az érdemi fejezeteket a kutatómunka előzményeit, a célkitűzéseket, az eredményeket és a hasznosítás lehetőséeit áttekintő tömör, de önállóan is olvasható összefolalás követi, melyet az értekezés eredményeit bemutató cikkek listája zár le. A ondolatmenet kifejtését zavaró eyes hosszabb átalakításokat külön füelék folalja össze. iv
zóhasználat, jelölésbeli meállapodások és jelölések Az értekezés szóhasználatáról. Elöljáróban a szóhasználat eyértelművé tétele érdekében röviden áttekintünk néhány a bevezetésben részben már említett foalmat. Az értekezés ondolatmenete külön említés nélkül a duál rendszerre vonatkozik. Ahol primál rendszerről van szó ott arra az értekezés külön felhívja a fiyelmet. A síkbeli és térbeli tartomány lehet eyszeresen, vay többszörösen összefüő. Azt fojuk mondani, hoy kompatibilis az alakváltozási tenzor (az alakváltozási tenzor és a forási alakváltozási tenzor), ha az alakváltozási tenzor(ok)ból interálással, ey merevtestszerű mozástól eltekintve eyértékű elmozdulásmező (elmozdulásmező és füetlen forásmező) képezhető, hoy abból (azokból), felhasználva a primál rendszer kinematikai eyenleteit amelyek az alakváltozási tenzort (az alakváltozási tenzort és a forási alakváltozási tenzort) adják me az elmozdulásmezővel (az elmozdulásmezővel és a füetlen forásmezővel) kifejezve visszakapjuk az alakváltozási tenzort (az alakváltozási tenzort és a forási alakváltozási tenzort). Az alakváltozási tenzormezők kompatibilitását a kompatibilitási feltételek biztosítják. A kompatibilitási feltételek két nay csoport alkotja: (a) Az első az eyszeresen és többszörösen összefüő síkbeli és térbeli tartományokra eyaránt vonatkozó ún. kompatibilitási differenciáleyenletek és kompatibilitási peremfeltételek csoportja. (b) A második a csak többszörösen összefüő tartományra vonatkozó ún. makró kompatibilitási feltételek csoportja. Ez utóbbi tovább bontható két alcsoportra. íkbeli példával élve 1. naybani kompatibilitási feltételeknek kell fennállnia minden olyan zárt peremörbén, amelyen terhelés az előírt, mí 2. kieészítő kompatibilitási feltételeknek kell teljesülnie, ha ey zárt peremörbét alkotó ívek mentén, vaylaosan terhelés, illetve elmozdulás (elmozdulás és szöelfordulás) adott. 1 A virtuális munka elv, bármely alakját tekintjük is (klasszikus esetben [29, mikropoláris esetben [60 ad áttekintést a virtuális munka elv duál alakjairól), az mindi anyaeyenlettől füetlen elv. Ezzel szemben a rualmassátan variációs elvei esetén, mind a primál mind pedi a duál rendszerben vay a mellékfeltételeken keresztül vaypedi közvetlenül a vonatkozó funkcionálban mejelenik az anyaeyenlet. zabad variációs feladatról beszélünk, ha nincs mellékfelétel a vonatkozó funkcionál értelmezési tartományát alkotó mezőkre nézve. Ekkor az értelmezési tartományt alkotó valamennyi mező szabadon variálható. A klasszikus rualmassátan omiliana képletei [50 a potenciálelmélet úynevezett Green képleteinek rualmassátani általánosításai. Ha ismerjük a teljes peremen az elmozdulás- és feszültsémezőt, továbbá az úynevezett elsőrendű és másodrendű alapmeoldásokat, akkor az első omiliana képlet felhasználásával, interálásokat vérehajtva számítható a test belsejében az elmozdulásmező. Mivel a peremfeltételek nem adják me a teljes peremen az elmozdulás- és feszültsémezőt, további eyenlet szüksées ezek számítására. A második omiliana képlet uyanolyan szerkezetű mint az első omiliana képlet, de a peremen adja me az elmozdulásmezőt. Következésképp olyan interáleyenletnek tekinthető ez az úynevezett direkt módszer interáleyenlete amelyben a feszültsévektor az ismeretlen abban a perempontban, ahol az elmozdulásmező adott, illetve mefordítva az elmozdulásvektor az ismeretlen abban a perempontban, ahol a feszültsévektor adott. Ennek az eyenletnek a meoldása nyitja me az utat az első omiliana képlet felhasználása előtt. Az eyensúlyi feltételek, (eyensúlyi mezőeyenlet(ek), és a feszültséi peremfeltétel(ek)) feszültséfüvényekkel történő teljesítésének és a kompatibilitási feltételek teljesítésének eyenletei matematikai szerkezetüket tekintve szoros rokonsában állnak eymással. v 1 Ez utóbbi feltételek származtatása az értekezés eyik részfeladata.
Jelölésbeli meállapodások. Vektorok és tenzorok írásmódját illetően veyes, invariáns és indexes jelölésmódot alkalmazunk. Indexes jelölésmódban adott vektort és tenzort a mefelelő indexekkel ellátott matematikai kurzív kis és naybetű eyaránt jelölheti. Latin index értéke 1,2 és 3, örö index értéke 1 és 2 lehet. Ismételt index szerint összeezni kell. Pontosvessző után álló index kovariáns deriválást jelöl. A felületen vett kovariáns deriváltat rövid füőlees vonal után álló index, a felületi kovariáns deriváltat két rövid párhuzamos vonal után álló örö index jelöli. Invariáns jelölésmódban álló félkövér betű a jelölés indexek nélkül (kivételt képeznek az indexekkel is ellátott bázisvektorok). Térbeli feladatok esetén a vizsált tartományt V, határfelületét jelöli, a tartomány több zárt felülettel határolt és eyszeresen illetve többszörösen összefüő is lehet. Adott esetben a vonatkozó ábra seít az eliazodásban. A peremfeltételek jelleének mefelelően az az u és t jelű részekre bontott, u n az elmozdulás (elmozdulási peremfeltétel) t n a feszültsé (feszültséi peremfeltétel) az előírt. Az u és t jelű részek közös határörbéjét jelöli. Térbeli feladatokban három koordinátarendszert (továbbiakban KR) alkalmazunk, nevezetesen az (x 1,x 2,x 3 ) [vay (x, y, z) kartéziuszi KR t (indexek alsó pozícióban), az (x 1,x 2,x 3 ) tetszőlees örbevonalú KR t (veyes indexpozíciók), a (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) felületi KR t (ξ 1,ξ 2 felületi paraméterek, ξ 3 a felületre merőlees veyes indexpozíciók) alkalmazunk. Az eyes változókat (skalárokat, vektorokat és tenzorokat) KR től füetlenül uyanaz a betű jelöli, a KR szerinti mekülönböztetést ha szüksées a kiírt arumentum (ez koordináták összesséét jelölő y, x vay ξ lehet) seíti. A tartományi és felületi interálokat rendre az (x 1,x 2,x 3 ) illetve az (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) KR ben tekintjük, következésképp ez esetben az arumentum kiírásától eltekintünk. íkbeli feladatok esetén az A = A i belső, vaypedi az A = A e külső tartomány a vizsálat tárya, a peremörbét, illetve kontúrt L jelöli; a tartomány ey vay több zárt kontúrral határolt, azaz eyszeresen illetve többszörösen összefüő is lehet. Adott esetben a vonatkozó ábra illetve szöve seít az eliazodásban. A peremfeltételek jelleének mefelelően L általában az L u és L t jelű részekre bontott, az L u n az elmozdulás, az L t n a feszültsé az előírt. Ettől eltérő esetben a vonatkozó jelölésbeli meállapodást a szöve a kérdéskör táryalása során ismerteti. Ami a KR eket illeti ismét az (x 1,x 2 ) [vay (x, y) kartéziuszi (indexek alsó pozícióban), az (x 1,x 2 ) tetszőlees örbevonalú (veyes indexpozíció) illetve a (ξ 1,ξ 2 ) kontúron értelmezett [ξ 2 az ívkoordináta ortoonális örbevonalú koordinátarendszert alkalmazzuk. Peremfeltételekben az előírt mennyiséet a változót azonosító betű felett sapka jelöli. A ondolatmenet kifejtése során nem teszünk különbséet az eyes változók jelölésében, ha a ténylees meoldásról (mezőeyenleteket és peremfeltételeket kieléítő meoldás), vay a mezőeyenletek ey részét kieléítő mezőfüvényekről, meoldásról [pl. kompatibilis, kinematikaila lehetsées alakváltozásmező; eyensúlyi, statikaila lehetsées feszültsémező, vay valamely funkcionál értelmezési tartományában álló, elvben szabadon variálható mezőről van szó és a stacionaritási feltételt teljesítő mezőfüvények meeyeznek a ténylees meoldással. Ezt a konvenciót a jelölések eyszerűsée érdekében alkalmazzuk, bízva abban, hoy a szöveösszefüés seít az eliazodásban. Latinbetűs jelölések alfabetikus sorrendben. A sorrend kis illetve naybetű. vi a mn,a kl AB a λ, a κ a 3 = a 3 = n A i,a e a (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) felületi KR metrikus tenzorai (mértéktenzorai) az ab indexek lehetsées értékeinek részhalmaza v.ö.: klasszikus esetben 3. o., mikropoláris esetben 26. o. a felületi KR nek a felület érintősíkjában fekvő bázisvektorai a harmadik bázisvektor (a külső normális eysévektor) a felületen síkbeli belső és külső tartomány
A klpq és 1 b l,b κ b λ κ,b αβ B B l B klpq és 1 C G 1 c k,c 3 C ρ,c 33 δ (1i) c b,δ (1i) C s δ (21) c b,δ (21) C s c κλ ( Q) o A mnpl B mnpl az első anyaállandó tenzor és annak inverze (mikropoláris eset) térfoaton (illetve síkon) meoszló (tartományi) terhelés sűrűsé vektora az felület örbületi tenzorának veyes indexű és kovariáns indexű alakjai a (8.79) és (8.80) képletekkel értelmezett mátrix az (1.6) eyenlettel értelmezett vektormező a második anyaállandó tenzor és annak inverze (mikropoláris eset) klasszikus esetben a (2.31c), mikropoláris esetben pedi a (4.19d) képlettel adott interál térfoaton illetve síkbeli tartományon meoszló erőpár terhelés sűrűsévektora (mikropoláris eset) a 7.4. és 7.5. szakaszokban szereplő állandó vektor és állandó tetszőlees állandó vektorok v.ö.: (5.36a) és (6.26a) tetszőlees állandó vektorok v.ö.: (5.36b) és (6.26b) a (8.52a) képlettel értelmezett tenzor C b a (3.7) eyenlettel értelmezett vektormező C1 G a (4.19d) interállal értelmezett állandó C b,c1 u 2 a (2.28c), (4.19c) illetve a (4.12) után álló képlettel értelmezett állandók C klpq és 1 az anyaállandók tenzora és annak inverze (klasszikus eset) C 33 (ti) C mnpl C (ti) 2, C 1 (ti) interációs állandók kartéziuszi KR-ben v.ö.: (8.11), C ρ (ti) interációs állandók örbevonalú KR-ben v.ö.: (7.13) és (7.16) D kλ ( o M,Q), ˆD kλ ( o M,Q) a (8.55)-ben álló mátrix [illetve a mátrix elemeit adó mennyiséek v.ö.: (8.56a,b) D ṃ l a (3.9b) eyenlettel értelmezett inkompatibilitási tenzor (mikropoláris eset) D lk az alapeyenletrendszer baloldalán álló differenciáloperátor v.ö.: (8.25) D lk e kl e T kl,eu kl E ab F T a D lk operátorok adjunáltjai [nem azonos az inkompatibilitási tenzorral v.ö.: (8.30) alakváltozási tenzor [klasszikus eset (1.1) képlet az (5.29) és (5.31)-et követő képletekkel értelmezett határértékek inkompatibilitási tenzor [klasszikus eset, lásd (1.10){mikropoláris eset, lásd (3.9b) és (3.10)}, F l p feszültséfüvény a V n v.ö.: (4.1c) 1 F l η feszültséfüvény az t n v.ö.: (4.1d) 1 F T Larane féle multiplikátor a V -n v.ö.: (3.21a) 1 ˇF T Larane féle multiplikátor a V -n v.ö.: (4.22a) 1 F η T Larane féle multiplikátor az u -n v.ö.: (4.22b) 1 F η l F η mefelel F η Larane féle multiplikátor az -n v.ö.: (3.21b) 1 3 -nak feszültséfüvények síkfeladatra kartéziuszi KR-ben v. ö. 8. Fejezet az felület t és u résztartományainak közös peremörbéje (1,0),..., (1,4) mn, kl n, k H H kl Larane féle multiplikátor a V -n v.ö.: (1.27) 1 H XY Larane féle multiplikátor a V -n v.ö.: (3.21a) 2 a örbét alkotó zárt ívek v.ö.: 5.1 ábra az (x 1,x 2,x 3 ) örbevonalú KR metrikus tenzorai (mértéktenzorai) az (x 1,x 2,x 3 ) örbevonalú KR bázisvektorai a (8.79) és (8.80) képletekkel értelmezett mátrix vii
H kl az 1. Fejezet 19. Mejeyzésében (10. o.) értelmezett feszültséfüvény H ηϑ, H κλ, H ηl Larane féle multiplikátorok az -n v.ö.: (1.27) 2, (3.21b) 2 H ηϑ;3 Larane féle multiplikátor az -n v.ö.: (1.27) 3,illetvefeszültséfüvény normálirányú deriváltja az t -n v.ö.: (2.1d) 2, (formaila mindkét esetben normálirányú kovariáns derivált) H η3, H33 Larane féle multiplikátorok -n (feltevés szerint azonosan zérusok) v.ö.: (1.27) 4,5 Ȟ R, ȞXY Larane féle multiplikátorok V -n v.ö.: (2.33a) klasszikus eset, (4.22b) 2 mikropoláris eset H kl, H ηϑ;3 és H ηb Larane féle multiplikátorok az u -n v.ö.: (2.33b) és (4.22b) H yd, H XY feszültséfüvény tenzorok a V n v.ö.: (2.1c) klasszikus eset, (4.1c) 2 mikropoláris eset H κλ, Hκλ;3, Hηl feszültséfüvény tenzorok és normálirányú derivált az t n v.ö.: (2.1d), (4.1d) 2 IV B az (1.21) képlettel értelmezett interál IV B 1,IB V 2 az IV B interál különböző alakjai v. ö.: (1.22) I VMB az (1.25) illetve a (3.20) képlettel értelmezett interálössze I VMΨ az (1.26) képlettel értelmezett interálössze I1 az (1.29) illetve a (3.23) képlettel értelmezett felületi interál I1 V az (1.28) illetve a (3.22) képlettel értelmezett térfoati interál I1 V I1 V és I 1 összee v.ö.: (1.30) I1U,I 1E,IV 1E I1 V részei v.ö.: (1.32) K a teljes kieészítő eneria funkcionál v.ö.:(5.16), (6.9), (7.17) és (8.12) L K. a k l indexek lehetsées értékeinek részhalmaza v.ö.: 26. o. δk V, δk u, a teljes kieészítő eneria funkcionál variációi V n, u n, és L mentén δk, δk L v.ö.: (6.22), (6.23a,...,e) δk A, δk L, δk u a teljes kieészítő eneria variációjának részei v.ö.: (7.24), (7.25 és (7.26a,b) L 1, L 2, L örbék az felületen v.ö.: 5.1 ábra, 39. o. L 1j = P 1j,P 1,j+1 az L 1 örbe részei (ívei) v.ö.: 5.2 ábra, 39. o. L o síkbeli tartomány peremörbéje (kontúrja) L ti a kontúrörbe azon ívei, melyeken feszültsé (és erőpárfeszültsé) az előírt L ui a kontúrörbe azon ívei, melyeken elmozdulás (és forás) az előírt L u és L t a kontúr részei M a hatás pontja o M n k,n λ a hatás pontja a kontúrra lokalizált a V térfoati tartomány, illetve az A i,a e síkbeli tartományok külső normális eysévektora P 11,...,P 14 és P 21 az L 1 és L 2,valaminta és L örbék metszéspontjai v.ö.: 5.2 ábra, 39. o.; illetve 5.4 ábra, 42. o. P 21,P 22,...,P 41 és P 42 pontok az L 1,...,L 4, örbéken v.ö.: A.2 ábra, 116. o. P ti az L ti ív kezdőpontja r b az t n értelmezett Larane féle multiplikátor r b az t n és V -n értelmezett vektormező r l a örbén értelmezett Larane féle multiplikátor r κ az M pont Q pontra vonatkoztatott helyvektora a kartéziuszi KR-ben peremelem módszer esetén [δr l az t n értelmezett r l vektormező szakadása L mentén v.ö.: (6.15) viii
R az M és Q pontok közötti távolsá R az ab indexek lehetsées értékeinek részhalmaza v. ö.: 4. o. R(s) a P (s) pont P pontra vonatkoztatott helyvektora v.ö.: 5.3 ábra, 40. o. R(s) és R(P ) a P (s) és P pontok helyvektorai v.ö.: 5.3 ábra, 40. o. s k (Q) erőfeszültséek oszlopvektora v.ö.: (8.55), (8.70) a V térbeli tartomány határfelülete u és t az határfelület részei (k) u és (i) t az u és t felület részei v.ö.: 5.1 ábra kλ ( M,Q), o Ŝ kλ ( M,Q) o a (8.55)-ben álló mátrix (illetve a mátrix elemeit adó mennyiséek) t k feszültsévektor ˆt k az t n, illetve az L t n előírt feszültsévektor t kl az erőfeszültsé tenzora (klasszikus esetben szimmetrikus) t κλ erőfeszültséek síkfeladatokra kartéziuszi KR-ben o tκλ partikuláris meoldás erőfeszültséekre v.ö.: (8.1) T lλ ( M,Q) o a (8.42a,b) képletekkel értelmezett alapmeoldás u fajlaos rualmas eneria u k elmozdulásvektor û k az u n, illetve az L u n előírt elmozdulásvektor u k, ū k alapváltozók vektorai v.ö.: (8.26) előtti bekezdés U kl (M,Q) alapmeoldás v.ö.: (8.35) v l (x) a V -n és en értelmezett vektormező [v.ö.: (1.9) és (3.8a,b) V eyszeresen vay többszörösen összefüő térbeli tartomány w b az t n értelmezett Larane féle multiplikátor [δw b az t n értelmezett δw b vektormező szakadása L mentén v.ö.: (5.32) és (6.15) w b az t n és V -n értelmezett vektormező w b a örbén értelmezett Larane féle multiplikátor (x) az (x 1,x 2,x 3 ) térbeli örbevonalú, vay (x 1,x 2 ) síkbeli örbevonalú koordináták összessée (x 1,x 2,x 3 ) és (x 1,x 2 ) tetszőlees örbevonalú {térbeli}[síkbeli KR (x 1,x 2,x 3 ) és (x 1,x 2 ) {térbeli}[síkbeli eyenesvonalú kartéziuszi KR Q a hatás forrásának pontja vay forráspont o Q a forrás pontja a kontúrra lokalizált ix Göröbetűs jelölések alfabetikus sorrendben. A sorrend kis illetve naybetű. α anyajellemző (mikropoláris testre) α ab a V -n értelmezett, eleendően sima eyébként tetszőlees tenzormező [klasszikus esetben szimmetrikus (1.9), mikropoláris esetben nem (3.8b) βk l a V -n értelmezett, eleendően sima eyébként tetszőlees tenzormező v.ö.: (3.8a) δ e,...,δ H variálás az e,...,h változók szerint δ r l,δ w η a (2.21), (2.21) és (2.24) differenciáleyenletek meoldásai γ kl alakváltozási tenzor (mikropoláris eset) Kronecker szimbólum δ k l ɛ pqr,ɛ klm κ b a permutációs tenzorok örbületi (forási) alakváltozási tenzor (mikropoláris eset)
merevtestszerű illetve füetlen forás (klasszikus és mikropoláris eset) μ nyírási rualmassái modulus (klasszikus és mikropoláris eset) ˆμ b előírt erőpárfeszültsé μ ab erőpárfeszültsé tenzor illetve nyomatéki feszültséi tenzor (mikropoláris eset) μ κ3 erőpárfeszültséek síkfeladatokra kartéziuszi KR-ben ν Poisson szám (ξ) a (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) koordináták összessée (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) és (ξ 1,ξ 2 ) felületi, illetve kontúrhoz iazodó örbevonalú KR Π a teljes potenciális eneria funkcionál Π a mellékfeltételeket tartalmazó interálok összee {klasszikus eset (2.34)} [mikropoláris eset (4.23) Π V, Πt, Πu, ΠG ϕ k a mellékfeltételeket tartalmazó interálok {klasszikus eset (2.35a,b,c)} [mikropoláris eset (4.24a,b,c,d) Π 1 módosított teljes potenciális eneria funkcionál {klasszikus eset (2.30)} [mikropoláris eset (4.18) Π V 1, Πt 1,Cu 1 klasszikus esetben a Π 1 funkcionált alkotó interálok v.ö.: (2.27) Π V 1, Πt 1,Cu 1,CG 1 mikropoláris esetben a Π 1 funkcionált alkotó interálok v.ö.: (4.18) Π 2 szabad variációs feladat funkcionálja {klasszikus eset (2.13)} [mikropoláris eset (4.10) Π V 2, Πt 2, Πu 2, ΠG 2 a Π 2 funkcionálokat klasszikus esetben alkotó interálok v.ö.: (2.13) Π V 1 2, ΠV 2 2, Πt 2, Π u 2, ΠG 2,Cu 2 ρ k τ η Ψ l a Π 2 funkcionálokat mikropoláris esetben alkotó interálok v.ö.: (4.10) a V -n és en értelmezett vektormező [v.ö.: (3.8a,b) a örbe, illetve síkbeli tartomány esetén a kontúr érintő eysévektora az (1.8) képletben álló vektormező x
1. Az eyensúlyi eyenlet általános és teljes meoldásának származtatása virtuális munka elvből klasszikus eset 1.1. Irodalmi előzmények. Az ún. eyensúlyi eyenletek meoldását tetszőlees terhelésre ey zárt felülettel határolt eyszeresen összefüő test esetén általános meoldásnak nevezzük. Teljes az eyensúlyi eyenletek meoldása, ha több zárt felülettel határolt eyszeresen összefüő tartomány tetszőlees, azaz az eyes zárt felületek nem szükséképpen öneyensúlyi terhelései esetén is teljesül az eyensúlyi eyenletet. A klasszikus feladatok keretei között Airy [2 találta me a síkbeli eyensúlyi eyenlet meoldását feszültséfüvényekkel. Az Airy féle feszültséfüvény általánosítása háromméretű feladatokra Maxwell [35 és Morera [37 nevéhez fűződik, akik két eymástól különböző meoldást állítottak fel. Ezek mindeyike három három feszültséfüvényt tartalmaz. Beltrami [5 észrevette, hoy az említett meoldások mekaphatók az általa javasolt meoldásból, feltéve hoy a meoldásában álló szimmetrikus tenzor alkalmasan választott három három elemének helyére zérust írunk. A Beltrami féle meoldás teljesséét többek között Ornstein [43, Günther [15 valamint Dorn & chield [13 iazolta, a bizonyítások azonban csak eyetlen zárt felülettel határolt tartományra érvényesek. Ezt a körülményt Rieder [45 vette észre, amikor mefiyelte, hoy több zárt felülettel határolt tartományok esetén a Beltrami féle meoldás öneyensúlyi minden zárt felületen következésképp nem lehet teljes. A Beltrami féle meoldás alkalmas, intuitív úton választott kieészítésével eymástól füetlenül chaefer [47 és Gurtin [16 talált eymástól formálisan különböző, de teljes meoldásokat. Az idézett cikkekben a feszültséfüvények bevezetése intuitive történt. Ebben a tekintetben az előrelépés Tonti [80 és tippes [55 érdeme, akik a nem teljes Beltrami féle meoldást variációs elvből (Tonti), illetve a virtuális munka elvből (tippes) származtatták. Problémát jelentett azonban, hoy mellékfeltételként a hat aint Venant féle kompatibilitási feltételt alkalmazták, holott ezek nem füetlenek eymástól [29. Ebből adódik, hoy az íy nyert meoldás, amely meeyezik formaila a Beltrami féle meoldással hat feszültséfüvényt folal maába, holott Beltrami szerint három feszültséfüvény eleendő tetszőlees feszültséi állapot meadásához, ha a tartományt eyetlen zárt felület határolja. Ez az ellentmondás az ún. outhwell féle paradoxon [51, [52 duális párja (ez kitűnik a paradoxon rövid áttekintését adó következő szakasz szöveéből). Érdemes azt is meemlíteni, hoy a matematikai átalakítások során mindkét szerző, azaz Tonti is és tippes is fiyelmen kívül hayta a test határfelületén mejelenő interálokat és azt is feltételezték, hoy nincs térfoaton meoszló terhelés. A klasszikus esetben outhwell [51, [52 volt az első, aki a kompatibilitási feltételeket a teljes kieészítő eneria maximum elvből 2, mint variációs elvből származtatta. Uyanakkor arra is rámutatott, hoyha három feszültséfüvényt alkalmaz a Maxwell [35 és Morera [37 féle meoldásokat használta fel akkor csak három kompatibilitási differenciáleyenlet következik a hat aint Venant féle kompatibilitási eyenlet közül a stacionaritási feltételből. Mivel ey zárt felülettel határolt tartományon tetszőlees feszültséi állapot meadható alkalmasan választott három feszültséfüvénnyel több zárt felülettel határolt tartomány és/vay zérustól különböző térfoati terhelés esetén a feszültséfüvénnyel nyerhető meoldást ki kell eészíteni az eyensúlyi eyenletek ey partikuláris meoldásával outhwell ellentmondásra jutott, hiszen az alakváltozásmezők kompatibilitásának elésées feltétele a hat aint Venant féle kompatibilitási eyenlet fennállása. A paradoxont, amelyre jutott, utána nevezték el outhwell paradoxonnak. Abovszki, Andrejev és Derua könyve [1 kiemelten folalkozik a klasszikus rualmassátan variációs elveivel, többek között azokkal a variációs elvekkel is, ahol az eyensúlyi eyenletek feszültséfüvényekkel való meoldása jelenik me, mint a probléma eyik Euler eyenlete. Tonti és tippes cikkeihez képest van előrelépés a peremen mejelenő interálok tekintetében is, de az átalakítások részben hibásak és hiányoznak azok a taok a meoldásból amelyek biztosítanák, hoy a meoldás több zárt felülettel határolt tartományon is érvényes leyen. Ennek az 1 2 Gyakran nevezik a teljes kieészítő eneria minimum elvnek
az oka, hoy az eyensúlyi eyenletek ey partikuláris, nem zérus térfoati terhelésre érvényes meoldását a szerzők ismertnek tételezik fel, és íy az eyensúlyi eyenlet általános meoldása és a partikuláris meoldás különbsée jelenik me Euler eyenletként. A outhwell paradoxon duális párja ez esetben is meoldatlan marad. 1.2. Célkitűzések. A fenti szakaszban mefoalmazott problémák alapján a szerző célul tűzte ki az alábbi, klasszikus esetre vonatkozó problémák meoldását: Az eyensúlyi eyenletek általános és teljes, három feszültséfüvényt tartalmazó meoldásának származtatását a virtuális munka elv seítséével több zárt felülettel határolt eyszeresen összefüő testre, meoldva ezzel a outhwell paradoxon duális párját. Az első célkitűzéssel összefüésben annak memutatását, hoy milyen fontos szerepet játszanak a meoldásban a mellékfeltételek (három füetlen kompatibilitási feltétel a tartományon és alakváltozási peremfeltételek a tartomány peremén). Az interáltranszformációk során mejelenő felületi interálok alkalmas átalakítását és a véső alakok, illetve a vonatkozó peremfeltételek mechanikai jelentésének tisztázását. A meoldás ondolatmenete és főbb lépései a [72, [74 és [75 alapján kerülnek bemutatásra. 1.3. A feladat mefoalmazása. 1.3.1. Jelölje rendre x, illetve ξ az x 1,x 2,x 3 térfoati, illetve a ξ 1,ξ 2,ξ 3 felületi koordináták összesséet. A jelen 1. Fejezetben az eyszeresen összefüő, ey vay több zárt felülettel határolt V tartomány képezi a vizsálat táryát. Jelölje = u t ; u t =0a V tartomány határfelületét és annak két részét. Az u és t felületrészeket a örbe választja el eymástól. 2 t (2) (1) t V P (1) (2) (2) u y 3 Q (1) u y 1 y 2 1.1. ábra. Az 1.1. ábrán vázolt két zárt felület határolta tartomány esetén u = u (1) u (2), t = (1) t (2) t és = (1) (2). A klasszikus rualmassátan primál rendszerének mezőeyenleteit az (1.1) e kl (x) = 1 2 (u l;k + u k;l )=u (k;l) x V
primál értelmező eyenlet (primál kinematikai eyenlet), az anizotróp esetre érvényes (1.2) t kl = C klpq e pq x V primál konstitutív eyenlet (Hooke törvény) C klpq a rualmassái állandók neyedrendű tenzora, és a (1.3) t kl..;k (x)+bl =0 x V primál mérleeyenlet alkotják, ahol u k, e kl, t kl és b l rendre az elmozdulásvektor (alapváltozó), az alakváltozási és feszültséi tenzor (az elsődlees és másodlaos közbülső változó), illetve a térfoati terhelés (a forrásváltozó). A zárójelpárban álló (k; l) indexkettős a vonatkozó tenzor szimmetrikus részét jelöli. Leyen û k és ˆt l előírt elmozdulás illetve feszültsé. Az (1.1), (1.2) és (1.3) mezőeyenletekhez az (1.4) u k =û k ξ u elmozdulási és az (1.5) n k t kl = ˆt l ξ t feszültséi peremfeltételek társulnak. Az (1.5) képletben álló n k a külső normális eysévektor. peciális esetben, ha az t üres, akkor = u (Dirichlet feladat), ha az u üres, akkor = t (Neumann feladat). 1.3.2. Jól ismert potenciálelméleti eredmény [17, hoy a b l térfoati terhelés mindi meadható a (1.6) b l = ΔB l (x) = pq B ḷ ;pq x V alakban [ pq a metrikus tenzor az (x 1,x 2,x 3 ) örbevonalú KR-ben. A B l (x) vektormező számítása két lépésben történik: 1. Az első lépésben az (x 1,x 2,x 3 ) kartéziuszi KR ben határozzuk me B l értékét. Jelölje a P futópont koordinátáit x r (P ). Leyenazx r (Q) koordináták által mehatározott Q pont az a pont, ahol a B l t számítjuk. A B l vektor Q pontbeli értékét a (1.7) B l [x r (Q) = 1 4π V b l [x r (P ) x s (P ) x s (Q) dv P Q V interál adja. 2. A második lépésben az (x 1,x 2,x 3 ) örbevonalú KR-be kell transzformálni a B l [x r (Q) vektort. Mivel az (1.6), (1.7) eyenletek alapján maa a B l vektormező is képezhető ey másik, mondjuk a Ψ l vektormezőből oly módon, hoy erre a vektormezőre működtetjük a Laplace operátort, adódik a következtetés, hoy a (1.8) b l = ΔΔΨ l = pq mn Ψ ḷ ; mnpq x V előállítás uyancsak lehetsées. 1.3.3. A duál eyenletrendszer áttekintése előtt szüksé lesz néhány foalom bevezetésére. Az e kl (x) alakváltozásmezőt [kompatibilisnek{kinematikaila lehetséesnek} nevezzük, ha az (1.1) kinematikai eyenleteknek van eyértékű meoldásuk az u l elmozdulásmezőre {és a meoldás eleet tesz az (1.4) elmozdulási peremfeltételnek}. Tekintettel az (1.1) kinematikai eyenletekre azt mondjuk, hoy [kompatibilis{kinematikaila lehetsées} a V -n értelmezett eleendően sima u l (x) vektormező [ha további feltételeknek nem tesz eleet {ha teljesíti az (1.4) elmozdulási peremfeltételt}. A t kl (x) feszültsémezőt [eyensúlyinak{statikaila lehetséesnek} nevezzük, ha kieléíti az (1.3) eyensúlyi eyenletet {és az (1.5) feszültséi peremfeltételt}. Az α ab a V -n értelmezett, eleendően sima, szimmetrikus, eyébként tekintetben pedi tetszőlees tenzormező. AB -vel jelöljük az ab indexek azon részhalmazát, amelyre nézve a 1 (1.9) 2 (v A;B + v B;A )=α AB (x) x V 3
differenciáleyenletnek mindi van meoldása a v l vektormezőre. Nyilvánvaló, hoy az AB indexpárnak csak három különböző értéke lehet. Jelölje R a kieészítő halmazt, vayis azon indexpárokat amelyek eyütt az AB indexpárokkal kiadják az összes lehetsées értékét az ab indexpároknak. Nyilvánvaló, hoy az R indexpároknak három különböző értéke lehet, ha a szimmetriára is tekintettel vayunk. Az E ab szimmetrikus inkompatibilitási tenzort az (1.10) E ab (x) =ɛ akm ɛ blp e kl;mp x V eyenlet értelmezi (ɛ akm a permutációs tenzor felső indexes alakja). Az (1.11) E ab (x) =0 x V eyenlet az ún. hat aint Venant féle kompatibilitási feltétel, lásd pl.: [33. 1.3.4. Leyen H yd feszültséfüvény tenzor. A duál eyenletrendszer mezőeyenleteit a (1.12) t pl (x) =ɛ pyk ɛ ldr H yd;kr + pq B ḷ ;q + lq B p.;q pl B ḳ ;k x V duál értelmező eyenlet, a 4 (1.13) e mn (x) = 1 C mnpl t pl x V duál konstitutív eyenlet (a Hooke törvény mefordítása, 1 C mnpl a C klpq inverze), valamint az (1.14) E R (x) =ɛ Rkm ɛ lp e kl;mp =0 x V duál mérleeyenlet (három füetlen kompatibilitási eyenlet) alkotják. A fenti eyenletrendszerben a szimmetrikus H yd, t pl és e kl tenzorok alkotják az alapváltozót, illetve az elsődlees és másodlaos közbülső változót. A forrásváltozó azonosan zérus. Az (1.12), (1.13) és (1.14) mezőeyenletekhez az (1.15a) (1.15b) alakváltozási (b α λ e λκ û (λ;κ) = 0, ξ u (e 3κ û 3 κ ) λ + b α λ (e ακ û α κ ) (e κλ;3 e λ3;κ ) = 0 ξ u az felület örbületi tenzora), az (1.16) n 3 E 3b = ɛ 3ηκ ɛ bdp e ηd;κp =0 ξ t kompatibilitási, valamint a feszültséekre vonatkozó (1.17) n 3 ɛ 3ηκ ɛ ldr H ηd;κr + a 3q B ḷ ;q + a lq B 3.;q a 3l B ḳ ;k = ˆt l ξ t peremfeltételek csatlakoznak [a kl a metrikus tenzor a (ξ 1,ξ 2,ξ 3 ) felületi KR-ben. 1. Mejeyzés: Az (1.17) peremfeltétel helyett mind síkbeli, mind pedi térbeli feladatok esetén közvetlenül a H ηd feszültséfüvényekre és a H ηd;3 normálirányú deriváltra is róható ki peremfeltétel [39, [26. 2. Mejeyzés: Az (1.12) duál kinematikai eyenlet az (1.3) primál eyensúlyi eyenlet teljes meoldása. A fenti teljes meoldást chaeffer találta intuitív módon [47. A feszültséfüvény tenzor szerkezete nem lehet tetszőlees, fenn kell állnia a H AB =0feltételnek [14. Másként foalmazva tetszőlees feszültséi állapot meadható a H R feszültséfüvényekkel, azaz három feszültséfüvénnyel. Veyük azt is észre, hoy az (1.12) duál kinematikai eyenletben az utolsó három ta a nem zérus térfoati terheléshez tartozó partikuláris meoldást adja. Több zárt felülettel határolt tartomány esetén zérus térfoati terhelés mellett is szerepelniük kell ezeknek a taoknak a képletben, mivel a H R feszültséfüvényekből számított feszültséi állapot öneyensúlyi minden eyes zárt felületen. Ekkor az (1.6)-ban b l =0és a B l harmonikus. 3. Mejeyzés: A Gurtin által talált (1.18) t pl = ɛ pyk ɛ ldr H yd;kr + pq ΔΨ l.;q + lq ΔΨ p.;q pq ml Ψ ḳ ;kmq x V meoldás uyancsak teljes.
4. Mejeyzés: Az (1.14), (1.15a), (1.15b) és (1.16) eyenletek teljesülése estén kinematikaila lehetsées az e kl (x) alakváltozásmező. Az alakváltozási peremfeltételek felállítása, jelentőséük felismerése és az állítás nem elemi iazolása Kozák nevéhez fűződik, lásd [27, [26 és [28, az iazolást illetően pedi [75. 5. Mejeyzés: Az (1.15a), (1.15b) alakváltozási peremfeltételek fennállása biztosítja az (1.19) e κλ ϑ + e λκ ϑ (û λ κ ) ϑ û 3 λ b ϑκ =0. ξ u eyenlet teljesülését [75. 6. Mejeyzés: Tekintsük az u l elmozdulásmezőt -n, az e kl alakváltozásmezőt pedi V -n és -n. Ha fennáll az (1.15a), (1.15b) alakváltozási peremfeltétel az u l elmozdulásmező és az e kl alakváltozásmező között, és ha az e kl alakváltozásmező eleet tesz az (1.14) kompatibilitási differenciáleyenletnek, akkor nyilvánvaló a 4. Mejeyzés alapján, hoy létezik olyan eyértékű u l elmozdulásmező a V n, amely meeyezik -n az ott tekintett u l elmozdulásmezővel. Az 5. Mejeyzés alapján pedi azonnal következik, hoy fennáll az (1.19) azonossá is n. 7. Mejeyzés: Ha fennáll az (1.15a), (1.15b) alakváltozási peremfeltétel a teljes felületen, vay annak ey részén, akkor uyanitt identikusan fennáll az (1.16) kompatibilitási peremfeltétel. 1.3.5. A virtuális munka elv általános primál alakja a (1.20) t kl e kl dv b l u l dv n 3 t 3l u l da =0 V V módon írható fel. A fenti eyenlethez a következő direkt állítás tartozik: Ha e kl (x) et az (1.1) kinematikai eyenletből számítjuk, ahol u k (x) kompatibilis elmozdulásmező és az (1.20) eyenlet tetszőlees, kompatibilis u k (x) elmozdulásmezőre fennáll, akkor a t kl (x) feszültsémező eyensúlyi. Az (1.1) kinematikai eyenletek mint mellékfeltételek helyettesítése és parciális interálás után, azaz kihasználva, hoy t kl u (l;k) dv = n 3 t 3l u l da t kl..;k u ldv V V azonnal következik az állítás a rendezés után adódó (t kl..;k + bl ) u l dv =0 V eyenletből, hiszen u l tetszőlees V n. Az utóbbi állítás fényében az alábbi kérdések merülnek fel: 1. Következik e a virtuális munka elv általános primál alakjából a primál eyensúlyi eyenletek chaefer [47 által talált (1.12) alatti teljes meoldása azaz az eyensúly fennállása három feszültséfüvénnyel. tippes az (1.11) alatti hat aint Venant féle kompatibilitási eyenletet alkalmazta mellékfeltételként ezek nem füetlenek eymástól a térfoaton [55, ezért eredménye hat feszültséfüvényt tartalmazott három helyett. Már korábban is utaltunk rá, hoy ez az ellentmondás a outhwell paradoxon duális párja. 2. Felmerül második kérdésként tehát a mellékfeltételek problémája mind a V térfoati tartományon, mind pedi annak peremén. Ezt a kérdésfeltevést az is indokolja, hoy az Irodalmi előzmények című szakaszban idézett munkák pl. [55, [80 nem szenteltek kellő fiyelmet a felületi interáloknak és a felületi interálok alkalmas átalakításával adódó eredményeknek. 3. Következik e a virtuális munka elv általános primál alakjából a primál eyensúlyi eyenletek Gurtin [17 által talált (1.18) alatti teljes meoldása. 1.4. Mellékfeltételek és a virtuális munka elv átalakítása. 1.4.1. Alábbiak a [72 és [74 előadások, valamint a [75 tanulmány alapján tekintik át a mellékfeltételek és a virtuális munka elv átalakításának kérdését. Az átalakítások célja az 1., 2. és 3. alatt felvetett problémák meoldása. A részleteket illetően különösen a felületi interálok alkalmas átalakítása iényel sok munkát és fiyelmet az idézett [75 cikkre, valamint a jelen értekezés füelékére utalunk. A későbbiek során, ahol szüksées, pontosan menevezzük a vonatkozó képletszámot illetve az értekezés füelékének vonatkozó szakaszát. 5
Az (1.6) és (1.8) előállítások felhasználásával a virtuális munka elvben szereplő (1.21) IV B = b l u l dv interál az (1.22) IV B 1 = V ΔB l u l dv illetve az IV B 2 = V V ΔΔΨ l u l dv alakba írható át. A fenti két interál további transzformációjának az a célja, hoy a térfoati interál interandusza az alakváltozási tenzort tartalmazza az elmozdulásvektor helyett. A Füelék (A.2.6) és (A.2.8) képleteinek felhasználásávál az IV B 1 interál tekintetében (1.23) IV B 1 = ( pq B ḷ ;q + lq B p.;q pl B ḳ ;k ) e lp dv + n 3 (a 3q B ḷ ;q + alq B 3.;q a3l B ḳ ;k ) u l da V az eredmény. Hasonló módon adódik az (A.2.9) és az (A.2.11) képletek felhasználásával, hoy (1.24) IV B 2 = ( pq ΔΨ l.;q + lq ΔΨ p.;q pq ml Ψ ḳ ;kmq ) e lp dv V + n 3 (a 3q ΔΨ l.;q + a lq ΔΨ 3.;q a 3q a ml Ψ ḳ ;kmq ) u l da. Az (1.23) képlet helyettesítésével azt kapjuk a virtuális munka elv (1.20) alatti alakjából, hoy (1.25) I VMB = [t pl ( pq B ḷ ;q + lq B p.;q pl B ḳ ;k ) e lp dv V n 3 [t 3l (a 3q B ḷ ;q + alq B 3.;q a3l B ḳ ;k ) u l da =0. Uyanilyen módon kapjuk az (1.24) képlet helyettesítésével a virtuális munka elv (1.20) alatti alakjából az elv Ψ l t tartalmazó formáját: (1.26) I VMΨ = [t pl ( pq ΔΨ l.;q + lq ΔΨ p.;q pq ml Ψ ḳ ;kmq ) e lp dv V n 3 [t 3l (a 3q ΔΨ l.;q + alq ΔΨ 3.;q a3q a ml Ψ ḳ ;kmq ) u l da =0. Továbbiakban a mellékfeltételek kérdését vizsáljuk. 1.4.2. Az (1.25) és (1.26) eyenletek a virtuális munka elv általános primál alakjai, ha a térfoati terhelés a B l (x) vay a Ψ l (x) potenciálfüvény seítséével adott. Veyük észre, hoy az (1.25) és az (1.26) eyenletek mindeyikében az összetartozó kompatibilis e lp alakváltozásmező és az u l elmozdulásmező rendre a test V térfoatán illetve az határfelületen jelenik me. Visszaidézve most a 6. Mejeyzésben mondottakat következik, hoy a keresett mellékfeltételeket a V n tekintett (1.14) kompatibilitási differenciáleyenlet, valamint az n tekintett (1.15a), (1.15b) alakváltozási peremfeltételek alkotják, és szerepe lehet az (1.19) azonossának is az átalakításokban. 1.4.3. Mivel a mellékfeltételek nem helyettesíthetők közvetlenül a virtuális munka elv (1.25), illetve (1.26) alatti alakjába, a Larane féle multiplikátor technika alkalmazására van szüksé. A H lk = H kl, x V H ηϑ = H ϑη, ξ (1.27) H ηϑ;3 = H ϑη;3, ξ H η3 = H 3η 0 ξ 6 és H 33 0 ξ
határozatlan Larane multiplikátorokkal (1.28) I1 V = ɛ Rkm ɛ lp e kl;mp H R dv 0 és (1.29) I1 = n 3 ɛ κη3 ɛ λϑ3 {(e λκ u (λ κ) ) H ηϑ;3 V 7 +[(e 3κ u 3 κ ) λ + b α λ (e ακ u α κ ) (e κλ;3 e λ3;κ ) b β β (e λκ u (λ κ) ) H ηϑ +[e κλ ϑ + e λκ ϑ (u λ κ ) ϑ u 3 λ b ϑκ H η3 b ηϑ (e λκ u (λ κ) ) H 33 } da 0. a mellékfeltételek interál alakja. Következésképp a fenti két interál összee is zérus: (1.30) I V 1 = I1 V + I 1 0. A mellékfeltételek fenti interábilis alakja további mayarázatra szorul. A következő 8.-15. alatti Mejeyzéseknek ezért az a célja, hoy meviláítsák a választás hátterét és seítséet nyújtsanak a véső átalakításokhoz. 8. Mejeyzés: Eyenlőre feltételezzük, hoy különböznek zérustól a H η3 = H 3η és H 33 Larane multiplikátorok. Memutatjuk később utalunk itt a 16. Mejeyzésre, hoy ezek értéke nem befolyásolja a peremfelület feszültséi állapotát és íy valójában zérusnak választható az említett multiplikátorok értéke [75. 9. Mejeyzés: Veyük észre, hoy formáját tekintve kovariáns derivált a H ηϑ;3 = H ϑη;3 Larane féle multiplikátor. Kihasználva a Füelék (A.1.5), (A.1.7) és (A.1.8) alatti képleteit írhatjuk, hoy H ηϑ;3 = H ϑη,3 + b σ H η σϑ + b σ H ϑ ησ, ξ ahol tetszőlees füvénynek tekintjük a H ϑη,3 mennyiséet. Másként foalmazva úy vesszük, hoy füetlen a H ηϑ;3 derivált a H ηϑ (ξ) ξ től. (Ne feledkezzünk me arról, hoy az felületen vayunk, ahol az felület normálisa mentén vett derivált a H ηϑ,3 füvény.) 10. Mejeyzés: Mivel az (1.14) kompatibilitási mezőeyenletek három füetlen eyenletet adnak ezeket az R indexpár azonosítja, következik, hoy uyancsak három a szüksées H kl Larane multiplikátorok száma és ezeket uyanazon de most az alsó indexben írt R indexpár azonosítja. Másként foalmazva zérusnak vehetők a H AB Larane multiplikátorok. (Valójában ezen az észrevételen alapul majd a outhwell paradoxon duális párjának feloldása!) 11. Mejeyzés: A H ηϑ multiplikátor bővíthető a b β β (e λκ u (λ κ) ) ξ taal. Ez a ta valójában zérus hiszen a teljes peremfelületen teljesül összhanban a 6. Mejeyzéssel és û (λ κ) t ondolva u (λ κ) helyére az (1.15a) alakváltozási peremfeltétel. Vayis a bővítés nem befolyásolja a véeredményt. 12. Mejeyzés: Az (1.19) identitást itt is a 6. Mejeyzéssel összhanban járunk el, azaz û k -t ondolunk u k helyére vesszük a H η3 multiplikátor eyütthatójának. Következésképp nem számít, hoy zérus, vay nem zérus a H η3. 13. Mejeyzés: A H 33 multiplikátornak is a 11. Mejeyzésben szereplő, de most kissé másképp súlyozott, alakváltozási peremfeltétel az eyütthatója. Ez ismét azt jelenti, hoy érdektelen az a körülmény, hoy zérus-e, avay nem a H 33. 14. Mejeyzés: Érdemes arra is felhívni a fiyelmet, hoy az alakváltozásmező e κλ;3 normálirányú deriváltja is szerepel a mellékfeltételekben. 15. Mejeyzés: A következő interpretáció tartozik a 12. és 13. Mejeyzések fényében az 1. Mejeyzéshez: Érdektelen az I1 V interál átalakítása során az a körülmény, hoy zérus vay nem zérus értékűek a H η3 és a H 33 multiplikátorok. Azonban iazolni fojuk a későbbiek során, hoy mindi zérusnak vehető ez a két multiplikátor.
1.4.4. Kibővítve a virtuális munka elv (1.25) és (1.26) alatti alakjait az (1.28) és (1.29) mellékfeltételekkel a virtuális munka elv (1.31a) [t pl ( pq B ḷ ;q + lq B p.;q pl B ḳ ;k ) e lp dv V n 3 [t 3l (a 3q B ḷ ;q + alq B 3.;q a3l B ḳ ;k ) u l da I1 V =0, és (1.31b) V [t pl ( pq ΔΨ l.;q + lq ΔΨ p.;q pq ml Ψ ḳ ;kmq ) e pl dv n 3 [t 3l (a 3q ΔΨ l.;q + a lq ΔΨ 3.;q a 3q a ml Ψ ḳ ;kmq ) u l da I1 V =0 alakjait kapjuk. A kivánt véeredmény elérése érdekében alakítsuk át parciális interálások vérehajtásával az I1 V interált. Az ennek részeként mejelenő I1 V transzformációja során alkalmas indexátnevezésekkel H kl -t írunk H R helyére de nem feledkezünk me arról sem, hoy a H AB valójában zérus értékű. Az e kl alakváltozási tenzort és az u l elmozdulásvektort tartalmazó taok összeyűjtésével és az n 3 ɛ κη3 ɛ λϑ3 u 3 κ b ϑλ Hη3 =0 ξ eyenlősé kihasználásával írhatjuk, hoy (1.32) I1 V = I1 + I1 V = I1U + I1E + I1E V, amelyben (1.33) I1U = n 3 ɛ κη3 ɛ λϑ3 u (λ κ) Hηϑ;3 da + n 3 ɛ κη3 ɛ λϑ3 [ u λ κ ϑ Hη3 u (λ κ) b ηϑ H33 +(b β β u (λ κ) b α λ u α κ) H ηϑ da + n 3 ɛ κη3 ɛ λϑ3 [ u 3 κ λ Hηϑ u 3 λ b ϑκ H3η u 3 κ b ϑλ Hη3 da, (1.34a) I1E = és (1.34b) n 3 ɛ κη3 ɛ λϑ3 { e λκ Hηϑ;3 +(e κλ ϑ + e λκ ϑ ) H η3 +(e 3κ λ + b α λ e ακ e κλ;3 + e λ3 κ b β β e λκ) H ηϑ + b ηϑ e λκ H33 } da I V 1E = V ɛ krm ɛ lsp e rs;mp H lk dv. Az (1.33) interál átalakítása a Green tétel alkalmas átrendezéssel társuló ismételt alkalmazását iényli. A részleteket illetően a Füelék A.2.4. szakaszára utalunk. A véeredményt véve írható az (A.2.21) képlet alapján, hoy (1.35) I1U = n 3 ɛ 3ηκ ɛ ldp Hηd;pκ u l da. 16. Mejeyzés: Leyen w l (ξ) és w l;3 (ξ) két eleendően sima vektormező az felületen. Felidézve a vektormező kovariáns deriváltjának értelmezését úy tekintjük a w l;3 (ξ) vektormezőt, mintha az az x / pontokban ismeretlennek vett w l (x) vektormező normális mentén vett kovariáns deriváltja lenne. A (1.36) Hkl (ξ) w (k;l) (ξ) különbséet ondolva Hkl (ξ) ξ 8
helyére nem változtatjuk me az (1.35) kifejezés értékét, mivel 9 ɛ 3κη ɛ ldp w (η;d);pκ = 1 2 (ɛ3κη ɛ ldp w η;d ) ;pκ + 1 2 (ɛ3κη ɛ ldp w d;ηκ ) ;p = 1 2 (ɛ3κη ɛ 3δπ w η;δπ ) ;κ + 1 2 ɛ3κη (ɛ λ3π w η;3π + ɛ λπ3 w η;π3 ) ;κ 0. ξ Fiyeljük me, hoy a zárójelben álló kifejezés nem iényli a w k;lκ nál maasabbrendű kovariáns deriváltak mehatározását, ha fiyelembe vesszük a kovariáns deriválások sorrendjének felcserélhetőséét. Uyanakkor a w k;l (ξ) füvény mindi meválasztható oly módon, hoy fennálljon a H k3 w (3;k) =0 ξ összefüés. Ez a meállapítás eyben a H η3 = H 3η = H 33 =0feltevés helyesséének iazolása is. 1.4.5. Tekintettel a fenti 16. Mejeyzésben mondottakra valóban feltételezhetjük, hoy a H kl szerkezetét tekintve eleet tesz az (1.27) alatti előfeltételeinknek. Ez a választás nem befolyásolja az I1E interál értékét sem, hiszen a (1.36) baloldalán álló különbsé eyszerűen átnevezhető H kl -nek. Az (1.34a,b) interálok átalakítása hasonló az (1.33) interál átalakításához. Részleteket illetően a Füelék A.2.5. és A.2.6. szakaszaira utalunk. Ami az átalakítások eredményét illeti az (A.2.27), (A.2.29a) és (A.2.31) felhasználásával kapjuk, hoy (1.37) I1E = n 3 ɛ κρ3 ɛ λϑ3 ( H λκ e ρϑ;3 + H λκ;3 e ρϑ ) da és (1.38) I1E V = V ɛ pyk ɛ ldr H yd;kr e rs dv + n 3 ɛ κρ3 ɛ λϑ3 (H λκ e ρϑ;3 H λκ;3 e ρϑ ) da. Az (1.35), (1.37), (1.38) és (1.32) képletek felhasználásával elvéezhető az (1.31a) eyenletben kijelölt kivonás: (1.39) [t pl (ɛ pyk ɛ ldr H yd;kr + pq B ḷ ;q + lq B p.;q pl B ḳ ;k ) e lp dv V n 3 [t 3l (ɛ 3ηκ ɛ ldp Hηd;pκ + a 3q B ḷ ;q + alq B 3.;q a3l B ḳ ;k ) u l da + n 3 ɛ κρ3 ɛ λϑ3 [ (H λκ H λκ )e ρϑ;3 +(H λκ;3 H λκ;3 )e ρϑ da =0. Mivel (1.39)-ben mind mind pedi tetszőlees, a baloldal eltűnéséből a e kl (x), e ρϑ (ξ), e ρϑ;3 (ξ) u l (ξ) x V ξ ξ (1.40) t pl = ɛ pyk ɛ ldr H yd;kr + pq B ḷ ;q + lq B p.;q pl B ḳ ;k x V mezőeyenlet és a (1.41) Hλκ H λκ =0, Hλκ;3 H λκ;3 =0, ξ valamint a t 3ρ = ɛ 3λϑ ɛ ρdp Hλd;pϑ + a 3q B ρ.;q + a ρq B 3.;q a 3ρ B ḳ ;k, (1.42a) = ɛ 3λϑ (ɛ ρ3κ Hλ3;κ ɛ ρ3κ Hλκ;3 ) ;ϑ + a 3q B ρ.;q + a ρq B 3.;q a 3ρ B ḳ ;k, ξ (1.42b) t 33 = ɛ 3λϑ ɛ 3κρ Hλκ;ρϑ + a 3q B 3.;q + a 3q B 3.;q a 33 B ḳ ;k ξ