Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR. PhD értekezés. Készítette: Szirbik Sándor Mátyás okleveles gépészmérnök

Átírás

1 Miskolci Egyetem GÉPÉSMÉRNÖKI KAR Peremkontúr-módszer a lineáris rugalmasságtan síkfeladataira duál rendszerben PhD értekezés Készítette: Szirbik Sándor Mátyás okleveles gépészmérnök Sályi István Gépészeti Tudományok Doktori Iskola, Gépészeti Alaptudományok Tématerület, Szilárd Testek Mechanikája Témacsoport Doktori iskola vezető: Dr. Páczelt István az MTA rendes tagja Témacsoport vezető: Dr. Kozák Imre az MTA rendes tagja Témavezető: Dr. habil Szeidl György egyetemi tanár Miskolc, 003

2 Tartalomjegyzék. Bevezetés 7.. Rövid áttekintés a peremelem-módszerről Amechanikaprimálésduálrendszerei Síkrugalmasságtani feladatok elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazása mellett 0.4. Aperemkontúr-módszeralapjaiapotenciálegyenletre Peremkontúr-módszer a rugalmasságtan síkfeladataira primál rendszerben Célkitűzésekduálfeladatokesetén Duál egyenletrendszer és az egyértékűség feltételei 9 3. Az alapmegoldás és a Somigliana formulák 3.. Alapegyenletésalapmegoldás Somigliana formulák egyszeresen összefüggő belsőtartományokra Somigliana formulák külső tartományokra A peremkontúr-módszer alkalmazásának lehetősége duál rendszerben 8 5. Peremkontúr-módszer lineáris approximációval a síkrugalmasságtan duál rendszerében Alineárisapproximáció Alineárisapproximációpotenciálfüggvényei Lineáris egyenletrendszer felépítése a diszkretizált integrálegyenletekből Akontúrgörbefelbontásalineárisapproximációesetén Perem-csomópontokban diszkretizált egyenletek és az egyenletrendszer általános jellemzői Szingularitásokadirektmódszerintegrálegyenletében Adiszkretizáltintegrálegyenlet Az ismeretlen fizikai mennyiségeket adó egyenletrendszer felépítése Feszültségszámítás Feszültségszámítás belső pontokban Feszültségszámításaperemen Peremkontúr-módszer kvadratikus approximációval a síkrugalmasságtan duál rendszerében Akvadratikusapproximáció Akvadratikusapproximációpotenciálfüggvényei... 5

3 6.3. Lineáris egyenletrendszer felépítése a diszkretizált integrálegyenletekből A kontúrgörbe felbontása kvadratikus approximáció esetén Perem-csomópontokban diszkretizált egyenletek és az egyenletrendszer általános jellemzői Szingularitásokadirektmódszerintegrálegyenletében Adiszkretizáltegyenlet Az ismeretlen fizikai mennyiségeket adó egyenletrendszer felépítése Feszültségszámítás Feszültségszámítás belső pontokban Feszültségszámításaperemen Számítási eredmények Anumerikusimplementáció Feladatok belső tartományokesetére Feladatok külsőtartományesetére Összefoglalás Tudományos előzmények Célkitűzések Újtudományoseredmények Publikációkazértekezéstémájában Azeredményekalkalmazhatósága Továbbikutatásifeladatok... 8 A. Potenciálfüggvények 83 B. A transzformációs mátrixok kvadratikus approximáció esetén 85 B.. A B mátrixelemeikvadratikusapproximációesetén B.. A T mátrixelemeikvadratikusapproximációesetén C. Potenciálfüggvények számítása 87

4 Jelölésbeli megállapodások és jelölések Jelölésbeli megállapodások A vizsgálatokat az x, x síkbeli (illetve az x, x, x 3 térbeli) kartéziuszi koordinátarendszerben végezzük. A koordinátatengelyek mentén az i κ (i k ) az egységvektor. Az általános érvényű egyenletek írásakor a vektor- és tenzoranalízis indexes jelölésmódját alkalmazzuk. Ennek megfelelően a jobbra lent írott indexek koordinátaindexek és a latin index értéke,, 3, a görög index értéke, lehet. A kettős index (vagy néma index) összegzést ír elő. A felül (akár jobbra, akár balra), vagy az alulírott e, h, i és j indexek nem koordinátaindexek és értékük értelmezésüktől függően tetszőleges egész szám lehet. A kitűzött feladat megoldása során nevezetes szerepet játszanak a Q és M pontok. A Q pontnak ξ, ξ (ξ, ξ, ξ 3 ), az M pontnak pedig x, x (x, x, x 3 )akoordinátái. A numerikus egyenletrendszerek felépítése során a vonatkozó egyenletek írásakor az ún. mátrixos jelölésrendszer is alkalmazásra kerül. A koordináták szerinti deriváltakat a x κ M κ M κ illetve a módon írjuk és ξ κ Q κ Q κ M κ M κ M κ M κ M M k M k x k Q k Q k ξ k M k M k M k M k M,, illetve Q k Q k Q k Q k Q Q κ Q κ Q κ Q κ Q a Laplace operátor. Az M pont Q pontra vonatkozó helyvektorát r QM r κ i κ (x κ ξ κ ) i κ [r QM r k i k (x k ξ k ) i k ] a vektor abszolútértékét pedig R R (M,Q) R (Q, M) r QM jelöli. Egyenlőre feltételezzük, hogy a Q pont ezt forráspontnak szokás nevezni rögzített. Az M pont pedig az úgynevezett futópont. 3

5 Jelölések a e matematikai állandók oszlopvektora az e-edik elemen v. ö.: (5.3) a e i matematikai állandók az e-edik elemen (duál rendszer esetén) â e forrásponthoz kötött lokális KR-ben vett matematikai állandók oszlopvektora az e-edik elemen v. ö.: (5.8) ã e forrásponthoz kötött lokális KR-ben vett matematikai állandók oszlopvektora az e-edik elemen a formulák regularizációja után v. ö.: (5.4) A e az egyszeresen összefüggő A i belső tartománnyal kapcsolatos külső tartomány (lásd a 3. ábrát a 6. oldalon) A i egyszeresen vagy többszörösen összefüggő és teljes egészében végesben fekvő síkbeli tartomány (belső tartomány) b e i matematikai állandók az e-edik elemen (primál rendszer esetén) B transzformációs mátrix a globális KR és a Q forrásponthoz kötött lokális KR között v. ö.: (5.0) és B.. szakasz a 85. oldalon c κλ a (3.5) és (3.) második Somigliana formulák baloldalán álló tenzor da M felületelem a tartomány határfelületének egy tetszőleges M pontjában ds M ívelem a síkbeli tartomány határgörbéjének M pontjában D lk aduálalapegyenletdifferenciáloperátora v. ö.: (3.4a) e peremelem számláló, e,...,n be e l (Q) A Q forrásponthoz kötött háromelemű vektor v. ö.: (3.5) e κλ alakváltozási tenzor f a folytonossági feltétel kihasználásával kapott fizikai mennyiségek oszlopvektora az (5.35) és (6.3) egyenletrendszerekben Fλ e (M) az elsőrendű feszültségfüggvény vektor értéke az e-edik elem M pontjában i index (számláló), lineáris esetben i,...,6; kvadratikus esetben i,...,0 I κ (Q) a direkt peremelem-módszer integrálegyenletének jobboldalán álló integrál v. ö.: (4.8) j kollokációs pont számláló, lineáris esetben j,...,n be ; kvadratikus esetben j,...,n be K a lineáris elem középső pontja(lásda4.ábráta33.oldalon) K,K a kvadratikus elem M és M, illetve M és M 3 jelű szakaszainak felezőpontjai (lásd a 8. ábrát az 5. oldalon) K együttható mátrix az (5.35) és (6.3) egyenletrendszerekben L o az A i és A e tartományok határgörbéje L u, L t az A i és A e tartományok L o határgörbéjének részei: L u L t L o ; L u L t 0 M az x π,illetvex r koordinátájú futópont (a hatás pontja) M,M a lineáris elem kezdő- és végpontja (lásd a 4. ábrát a 33. oldalon) M,M,M 3 a kvadratikus elem kezdő-, középső és végpontja (lásd a 8. ábrát az 5. oldalon) n be a peremelemek száma n bet peremelemek száma az A i, illetve A e tartományok L u jelű ívein n beu peremelemek száma az A i, illetve A e tartományok L t jelű ívein az (5.3), illetve (6.9) képlettel értelmezett mátrix N je 4

6 n ρ (M) atartománykülsőnormálisaaperemm pontjában P κρ a direkt peremelem-módszer jobboldalán álló integrál integrandusza az n ρ kiemelése után v. ö.: (4.7) p e a fizikai mennyiségek oszlopvektora az e-edik elemen v. ö.: (5.4) és (6.) S a V tartomány határoló felülete S u, S t a V tartomány határoló felületének részei: S u S t S; S u S t 0 Q a rögzítettnek tekintett ξ π, illetve ξ r koordinátájú futópont (a forráspont) nt(m) u(m) függvény normálirányú deriváltja a perem M pontjában t λ feszültségvektor ˆt ρ határgörbe egy adott ívén működő terheléssűrűségvektora t κλ feszültségtenzor t λ az elmozdulások ívkoordináta szerinti deriváltjának ellentettje, másnéven a duál feszültségvektor v. ö. (3.9) t e λ (K) duál feszültségvektor értéke az e-edik elem K jelű pontjában t λρ a duál alapegyenletet kielégítő u k vektorbólképzettún. duálfeszültségtenzor T (M,Q) a síkbeli, illetve térbeli potenciálegyenlettel (Laplace-egyenlettel) kapcsolatos másodrendű alapmegoldás T κλ (M,Q) a Kelvin-Somigliana-féle megoldás képzett ún. másodrendű alapmegoldás (a részleteket illetően a 4. oldal lábjegyzetére utalunk) T kλ (M, Q) másodrendű alapmegoldás a duál rendszerben v. ö.: (3.0b) T kλρ (M,Q) a T kλ (M,Q) másodrendű alapmegoldásból az n ρ (M) kiemelésével képzett duál feszültségtenzor v. ö. (4.3) T e transzformációs mátrix a peremelemekhez kötött matematikai és fizikai mennyiségek mátrixai között v. ö. (5.6) és B.. szakasz a 86. oldalon u(m) a kétszer folytonosan deriválható u függvény M pontbeli értéke u λ elmozdulásvektor û λ határgörbe egy adott ívén előírt elmozdulás u k a duál alapegyenletrendszerben álló alapváltozó (nem keverendő össze az elmozdulásvektorral) v. ö. (3.4b) u λ ún. duál elmozdulásvektor (u k első két eleme) i u k az i-edik alakfüggvény ũ λ (Q) a végtelenbeli feszültségekhez tartozó feszültségfüggvények értéke a Q pontban ũ k (Q) a végtelen távolbeli ponthoz tartozó duál alapváltozó a Q pontban ũ( ) ũ λ (Q j ) oszlopvektorba foglalva U(M,Q) a síkbeli, illetve térbeli potenciálegyenlettel (Laplace-egyenlettel) kapcsolatos alapmegoldás U κλ (M,Q) a Kelvin-Somigliana-féle megoldás síkfeladatokra (a részleteket illetően a 4. oldal lábjegyzetére utalunk) U kl (M,Q) elsőrendű alapmegoldás a duál rendszerben v. ö. (3.6b) V egyszeresen összefüggő ésteljesegészébenvégesbenfekvőtérbelitartomány x π,x r az M pont koordinátái a kartéziuszi KR-ben δ(m Q) Dirac-féle függvény 5

7 β e, β e 4 u k és 4 u k alakfüggvényekhez tartozó matematikai állandók e-edik peremelemen és Q pontot tartalmazó peremelemen vett értékeinek különbségei lásd (5.4) és (6.5) δ kl Kronecker delta ² krs permutációs tenzor a derékszögű kartéziuszi KR-ben η π az M pont derékszögű koordinátái a Q ponthoz viszonyítva λ, Lamè-állandók nyírási rugalmassági modulusz ν Poisson-szám σ, σ normál feszültségek τ π érintő irányúegységvektorazs ívkoordináta mentén a peremgörbe M pontjában τ, τ nyíró feszültségek ϕ 3 merevtestszerű forgás φ potenciálfüggvény v. ö.: (.8b) φ κ (η, η ) potenciálfüggvény-vektor v. ö.: (4.0) φ e κ(m,q) potenciálfüggvények értékei az e-edik elem M jelű pontjában i φ κ (η, η ) az i-edik alakfüggvényhez tartozó potenciálfüggvények v. ö.: (5.) Φ je a potenciálfüggvények különbségeiből felépített mátrix v. ö.: (5.30a) és (6.7a) ψ κλ forgástenzor Ω tetszőleges két-, vagy háromdimenziós tartomány M ρ az M pont koordinátái szerint vett parciális deriválás jele A e, A i az A i és A e tartományok pereme, azaz az L o határgörbe Ω atetszőleges két-, vagy háromdimenziós tartomány pereme Ω u, Ω t az Ω tartomány Ω peremének részei: Ω u Ω t Ω; Ω u Ω t 0 6

8 . fejezet Bevezetés Az értekezés a lineáris rugalmasságtan területén ér el új eredményeket. A peremelem-módszer (boundary element method) utóbbi években kifejlesztett változatát, a primál rendszerű peremkontúr-módszert (boundary contour method) kiterjeszti duál rendszerű síkbeli feladatokra. A primál rendszer és a duál rendszer a lineáris rugalmasságtan két egymással egyenértékű változata. Primál rendszerben az elmozdulási vektormező, duál rendszerben pedig a feszültségfüggvény tenzormező az alapváltozó. Az eltérő alapváltozókból következően a két rendszer alapegyenletei, valamint a vonatkozó peremfeltételek is különböznek egymástól. A peremelem-módszer az alapegyenlet ún. alapmegoldásával előállított Somigliana-identitásokat használja fel, amelyek térbeli (3D-s) feladatoknál a tartomány peremfelületén, síkbeli (D-s) feladatoknál a tartomány peremgörbéjén képezhetők. A Somigliana-identitások segítségével megadott peremfeltételek birtokában meghatározhatók a peremen az alapváltozó nem ismert értékei, majd a tartományon is a keresett értékek. Szokásos a Somigliana-identitások alkalmazását peremintegrál-egyenlet módszernek is nevezni. A peremelem-módszer közelítő megoldásasomigliana-identitások alkalmazására. Direkt módszer esetén a Somigliana-identitások integráljait közvetlenül számítjuk. A peremkontúr-módszer alapja az a felismerés, hogy a peremen felírandó integrálok integranduszának divergenciája zérus, következőleg az integranduszokhoz potenciálfüggvények képezhetők és ily módon maguk az integrálok a potenciálfüggvények peremelemek határán (kontúrján) vett értékeivel számíthatók. A vizsgált feladatokban a rugalmas test homogén, izotróp és nincs térfogati terhelés. A bevezetés további részeiben az első szakasz rövid áttekintést ad a peremelem-módszerről, majd a. szakasz a lineáris rugalmasságtan primál és duál rendszereit értelmezi. A fejezet 3. szakasza a későbbiekben alkalmazásra kerülő elsőrendű feszültségfüggvények használatának kérdéseit, valamint ezek használatának előnyeit vázolja a síkrugalmasságtan duál rendszerében. A 4. szakasz a peremkontúr-módszer alapjait tekinti át a potenciálegyenletből kiindulva. Az 5. szakasz a peremkontúr-módszer alkalmazását mutatja be a rugalmasságtan síkfeladataira primál rendszerben. Végül az utolsó szakasz megfogalmazza az értekezés célkitűzéseit. A. fejezet a rugalmasságtan síkfeladatainak duál rendszerbeli egyenleteit, peremfeltételeit és egyenértékűségi feltételeit részletezi. A 3. fejezet megadja a rugalmasságtan síkbeli feladatainak alapegyenletét, az alapváltozóra vonatkozó alapmegoldást, a duál feszültségek számításának képletét és a Somigliana formulákat egyszeresen összefüggő belsőéskülsőtartományra. A 4. fejezet kimutatja, hogy duál rendszerben és egyszeresen összefüggő síktartomány esetén 7

9 a Somigliana formulák integráljának integrandusza divergenciamentes, következőleg létezik az integrandusznak potenciálfüggvénye és az ilyen módon az integrálok potenciálok különbségeként számíthatók. Az 5., illetve 6. fejezet a peremkontúr-módszer alkalmazását mutatja be duál rendszerben síkbeli rugalmasságtani feladatok numerikus megoldására az alapváltozóknak lineáris, illetve kvadratikus approximációval történő közelítésével a peremelemen. Megadják a fejezetek a peremelemen közelítő függvények matematikai és fizikai állandói közötti transzformációs formulákat, az egymástól lineárisan független és az alapegyenletet kielégítő alakfüggvényeket, továbbá képezik az utóbbiakhoz a potenciálfüggvényeket. A peremen a megoldást szolgáltató lineáris algebrai egyenletrendszer felépítéséhez részletezik a peremelemeken a csomópontok felvételét, a csomópontokban előírható mennyiségek milyenségét és a fellépő szingularitások kezelésének módját. Képzik magát az egyenletrendszert, majd ennek megoldásával a peremen rendelkezésre álló mennyiségek felhasználásával ugyanott, valamint a tartomány belső pontjaiban a feszültségeket. A 7. fejezet a peremkontúr-módszer duál rendszerbeli alkalmazásaként körrel határolt belső és külső tartományra vonatkozó feladatok gépi numerikus megoldásait mutatja be. A 8. fejezet a tézisfüzet kívánalmai szerint összefoglalja az értekezésben kidolgozott peremkontúr-módszert. Az A., B. és C. Függelék összesítve tartalmazza a felhasznált potenciálfüggvényeket, ezek képzési módját, valamint a matematikai és fizikai mennyiségek közti transzformációs mátrixokat kvadratikus approximáció mellett. Végül az Irodalomjegyzék zárja az értekezést... Rövid áttekintés a peremelem-módszerről A peremelem-módszer előzményei a 60-as évek elejére nyúlnak vissza, amikor Hess és Smith [], [] másodfajú Fredholm típusú integrálegyenletekre vezette vissza az egyszerű forráseloszlás forgásfelületen történő meghatározásának feladatát. Az egyenlet numerikus megoldása révén lehetővé vált az egyenletesen áramló közegbe helyezett felület áramlási képre gyakorolt hatásának számítása. Ez az úttörő jellegűmunkaazonbaninkábbtekinthető egy speciális feladat számszerű megoldásának, mint egy új numerikus módszer felé utat nyitó eredménynek. Az első olyan tanulmány, amely tudatosan kihasználta a peremgörbén tekintett második Green-féle képletet, hangsúlyozva egyúttal, hogy ez az egyenlet egy harmonikus függvény és normálirányú deriváltjai között fennálló összefüggés, Jawson és Porter tollából ered [3, 963]. Az idézett dolgozat a csavarási feladat deplanációs függvényének meghatározására vezetett le másodfajú integrálegyenletet, numerikus úton számolva a deplanáció értékét a peremgörbén, majd ennek ismeretében a nyírófeszültséget, illetve a csavarási merevséget is meghatározta. Ugyanebben az évben két további tanulmány jelent meg Jawson [4] és Symm [5] szerzőktől, melyek az elektromos töltéseloszlás meghatározására szolgáló Fredholm típusú integrálegyenlet levezetését és a numerikus megoldást mutatják be. A perem kis elemekre volt felbontva, a forrássűrűséget pedig állandónak tekintették az elemeken. Az említett tanulmányok valójában Az ún. második Green képlet szerint a sima L o peremgörbével határolt belső A i tartományra: u(q) [u(m) U(M,Q) U(M,Q) u(m) ]ds M Q, M L o L o n M n M A képletben szereplő betűk jelentését illetően a jelölésjegyzékre utalunk. 8

10 már tartalmazták az ún. direkt módszer teljes megalapozását, de ennek ellenére sem keltettek nagyobb figyelmet. Ebben minden valószínűség szerint az is szerepet játszhatott, hogy a 60-as évek során robbanásszerűen elterjedt a végeselem-módszer. A peremintegrál-egyenlet módszer elnevezést Cruse és Rizzo használta először [6] és feltehetően ennek alapján alakult ki a Brebbia és Dominguez [7,8,9]általbevezetettésvalamivel egyszerűbb, de ma már általánosan elfogadott peremelem-módszer kifejezés. A módszerrel kapcsolatos első összefoglaló jellegű munka, azelőbb említett [7] könyv 978-ban jelent meg. Röviden összefoglalva a módszer az integrálegyenletekkel megfogalmazott peremérték-feladatok numerikus megoldására szolgál. Az egyenletek a tartomány peremére vonatkoznak, így a tartomány peremét (síkbeli esetben a kontúrgörbét, térbeli esetben a határfelületet) véges méretű elemekre, ún. peremelmekre bontjuk és ezeken az elemeken értelmezzük a keresett megoldást közelítő függvényeket. Klasszikus esetben ezen függvények összessége adja az egész peremre vonatkozó közelítést. Az integrálegyenletek megoldása tehát a peremen szolgáltatja a feladat változóit. Ezekből további egyenletekkel képezhetőek a tartomány belső pontjaiban a viszonyokat leíró jellemzők. A peremelem-módszer egyik nagy előnye, hogy a megoldandó feladatok mérete eggyel kisebb, mint az eredeti peremérték-feladat mérete (3D helyett D, D helyett D)... A mechanika primál és duál rendszerei A mechanika peremérték-feladatai általában primál és duál alakban is megfogalmazhatóak. Mind a primál, mind pedig a duál rendszerben szerepelnek alapváltozók, elsődleges és másodlagos közbenső változók és forrásváltozók, valamint értelmező vagy kinematikai egyenletek, anyagegyenletek és mérlegegyenletek, illetve alapegyenletek. Az alapváltozókból az értelmező egyenletek felhasználásával lehet az elsődleges közbenső változókat képezni, majd ezek birtokában az anyagegyenletek felhasználásával képezhetőek a másodlagos közbenső változók. Az alapegyenletek az utóbbinak mérlegegyenletbe történő helyettesítésével adódnak. Az alapegyenletek csak az alapváltozókat tartalmazzák ismeretlenként. A [primál] {duál} rendszer elsődleges közbenső változója megegyezik a [duál] {primál} rendszer másodlagos közbenső változójával. Arra a felismerésre, hogy a matematikai fizika peremérték-feladatai a fenti módon rendszerbe foglalhatóak Tonti jutott [0], []. Mivel az értekezés duál rendszerben végez vizsgálatokat az alábbiak a rugalmasságtan keretei között tömören áttekintik a duál rendszer változóit és egyenleteit. A rugalmasságtan duál rendszerében másod-, vagy elsőrendű feszültségfüggvények az alapváltozók, a feszültségek az elsőrendűközbenső változók és az alakváltozások a másodrendűközbenső változók. A duál rendszer mezőegyenleteit a feszültségi tenzort (feszültségeket) feszültségfüggvényekkel megadó egyenletek (duál kinematikai egyenletek), az alakváltozási tenzorra felírt Hooke-törvény és a kompatibilitási egyenletek alkotják. 9

11 A duál rendszerrel kapcsolatos ún. Southwell [] probléma megoldásával klasszikus esetre Kozák [3], [4] mikropoláris esetre pedig Kozák és Szeidl [5] közli helyesen a duál egyenletrendszer egyenleteit. Az elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazásával kapcsolatosan, ami a variációs megfogalmazást illeti Bertóti [6], [7] cikkei, ami a peremelemes alkalmazásokat illeti Szeidl [8], Szeidl és Szirbik [9] és Szirbik [0] munkái említendők..3. Síkrugalmasságtani feladatok elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazása mellett Bár számos tanulmány és könyv jelent meg a síkrugalmasságtani feladatok úgynevezett primál rendszerbeni megoldásáról a teljesség igénye nélkül emeljük ki a [], [], [3], vagy a [4] munkákat mégis alig található olyan cikk, amely a síkrugalmasságtan duál rendszerének egyenleteit veszi alapul, azaz valós és elsőrendű feszültségfüggvényeket tekint alapváltozónak. Kivételt jelent Jaswon, Mati és Symm cikke [5] érdemes ehelyütt Jaswon és Symm könnyebben hozzáférhető könyvére is hivatkozni [6] amelyben az ismeretlen biharmonikus függvényt (valójában másodrendű feszültségfüggvényt) két ismeretlennek tekintett harmonikus függvény segítségével, egyszerű réteg potenciáljaként adták meg a szerzők; az ismeretlen kontúrmenti forrássűrűség meghatározására pedig alkalmas peremintegrálegyenleteket vezettek le. Elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazását síkbeli és térbeli feladatokra Fraeijs de Veubeke [7], [8] kezdeményezte egy új, a teljes kiegészítő energia minimumának elvén alapuló végeselemes eljárás kapcsán, mivel a C 0 folytonosságú elsőrendű feszültségfüggvények révén lehetőség nyílt izoparametrikus elemek alkalmazására. Ha elsőrendű feszültségfüggvényeket alkalmazunk, akkor a feszültségek meghatározása a feszültségfüggvények első deriváltjainak számítását igényli, ellentétben az Airy-féle másodrendű feszültségfüggvénnyel [9], ennek ismeretében ui. második deriváltak adják a feszültségeket. Az elsőrendű feszültségfüggvény idézett tulajdonsága vonzóvá teszi ezeket a függvényeket a peremelemes alkalmazások számára, annak ellenére, hogy a nyomatéki egyensúly fenntartása egy további egyenletet igényel. Megjegyezzük, hogy a másodrendű Airy-féle feszültségfüggvény alkalmazásának rendkívül bő irodalma van. A teljesség igénye nélkül emeljük ki ehelyütt Muszkhelisvili és iskolája eredményeit [30]. Az elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazása számos kérdést vet fel. Mivel duál rendszerben vagyunk tisztázni kell az egyértékűség szükséges és elégséges feltételeit, különös tekintettel a vegyes peremérték-feladatokra és a többszörösen összefüggő tartományok esetére. Meg kell keresni az elsőrendű feszültségfüggvényekre vonatkozó alapmegoldást is. Az alapmegoldás ismeretében mód nyílik a Somigliana-féle identitás [3] duál rendszerbeni analogonjának felállítására és ily módon a direkt peremelem-módszer integrálegyenletei is kiadódnak. A direkt peremelem-módszer integrálegyenleteit síkfeladatok esetére a [8] és [3] munkák ismertetik duál rendszerben. Az idézett munka a direkt peremelem-módszer hagyományos megoldási technikáját használja a numerikus megoldás során..4. A peremkontúr-módszer alapjai a potenciálegyenletre Legyen az u(m) legalább kétszeresen folytonosan deriválható skalárfüggvény az Ω tartományon. Jelölje továbbá Ω az Ω tartomány peremét. (Térbeli esetben Ω V, ahol a V teljes egészében a végesben fekvő tartomány. Ezt egyetlen zárt Ω S felület határolja. Síkbeli esetben Ω 0

12 A i, ahol az A i teljes egészében a végesben fekvő egyszeresen vagy többszörösen összefüggő tartomány. Ezt a Ω L o külső határgörbe határolja.) Az u(m)-re felírt M u(m) 0 M Ω (.) homogén differenciálegyenlet a potenciálegyenlet (vagy Laplace-egyenlet). A potenciálegyenlettel kapcsolatos peremérték-feladatokat a peremfeltételek szerint osztályozzák [33]. Eszerint [Dirichlet] {Neuman}-féle feladatról beszélünk, ha az (.) egyenlethez a [u(m) û(m) M Ω] { u(m) n M ˆt(M) M Ω} (.) peremfeltétel társul, ahol û(m) és ˆt(M) adott függvények, míg n atartománykülső normálisa és n u(m) u(m) n M M Ω (.3) az u (M) függvény normál irányú deriváltja. Tegyük fel, hogy a Ω a Ω u (S u, L u ) és Ω t (S t, L t ) jelű részekrebontott.haa u(m) û(m) M Ω u (.4a) u(m) n M ˆt(M) M Ω t (.4b) peremfeltételeket írjuk elő, akkor vegyes peremfeltételekről beszélünk. Legyen R (M,Q) az M és a Q pontok távolsága. Az (.) egyenlettel kapcsolatos U(M,Q) alapmegoldásokat U(M, Q) 4πR(M,Q) Q 6 M Ω V (térbeli potenciálegyenlet) (.5) és az U(M, Q) π ln R(M,Q) Q 6 M Ω A i (síkbeli potenciálegyenlet) (.6) képletek értelmezik.. Megjegyzés: Az alapmegoldások az M és Q pontok szimmetrikus függvényei: U(M,Q) U(Q, M) Q 6 M Ω. (.7) Ezek az alapmegoldások mindkét változójukban kielégítik a potenciálegyenletet: M U(M,Q) Q U(M, Q) 0 Q 6 M Ω, (.8) azaz harmonikus függvények.

13 A potenciálelmélet alapvető eredménye az ún. elsőésmásodikgreen-féle képlet. Az első Green-féle képlet szerint u(q) [u(m) U(M,Q) U(M, Q) u(m) ]d Ω Q Ω, M Ω. (.9a) n M n M Ω Szavakban: ha ismeretes u(m) és u(m) ateljes Ω peremen, akkor kvadratúrákkal számítható n M az (.) potenciálegyenlet megoldása. AmásodikGreen-féle képlet értelmében, ha sima a Ω akkor u(q) [u(m) U(M,Q) U(M,Q) u(m) ]d Ω Q, M Ω, (.9b) Ω n M n M ahol a jobboldali integrált Cauchy-féle főértékben kell venni. Az utóbbi egyenlet olyan integrálegyenletnek tekinthető, melyben u(m) az ismeretlen, ha az M pontban az u(m) előírt, n M illetve u(m) az ismeretlen, ha az M pontban a u(m) az előírt. Az egyenlet megoldásával az n M (.9a) első Green-féle képlet révén lehetőség nyílik a megoldás számítására a tartomány belső pontjaiban is. Az (.9b) egyenlet a direkt peremelem-módszer integrálegyenlete. Lutz [34, 99] jutott arra a felismerésre, hogy divergenciamentes a direkt módszer (.9b) integrálegyenletének jobboldalán álló integrál integrandusza. Az alábbiak térbeli feladatok esetén tekintik át az állítás igazolását. Figyelembevéve, hogy térbeli feladatokról van szó: I Ω [u(m) U(M,Q) U(M,Q) u(m) ]d Ω n M n M U(M, Q) [u(m) U(M, Q) u(m) ]da M, n M n M ahol U(M, Q) U(M, Q) n r (M) n M x r Következésképp I S [u(m) U(M,Q) x r S és u(m) n M n r (M) u(m) x r. U(M,Q) u(m) x r ]n r (M)dA M. Érdemes itt bevezetni a U(M, Q) P r (M,Q) u(m) U(M, Q) u(m) x r x r (.0) jelölést. A Gauss-Osztogradszkij integrálátalakítási tételt alkalmazva azaz áttérünk a felületi integrálról a térfogati integrálra kapjuk az ½ P r (M,Q) M r dv M [u(m) U(M,Q) U(M,Q) u(m) ¾ ] M r dv M x r x r Q V (.) V V

14 integrált. Ha az x r szerinti deriváltakat az M S pontban képezzük, akkor az ½ P r (M,Q) M r dv M [ M r u(m)] U(M,Q) u(m) M U(M,Q) V V x r [ M r U(M,Q)] u(m) ¾ U(M,Q) M u(m) dv M M S, Q V (.) x r eredményre jutunk. A kapott egyenlet jobboldalán álló összeg első és harmadik tagja között csupán előjelkülönbség van. Ezért P r (M, Q) M r dv M {u(m) M U(M,Q) U(M,Q) M u(m)} dv M. (.3) V V Mivel az U(M,Q) lásd az. Megjegyzés. pontjában álló (.8) képletet mellett az u(m) függvény is kielégíti a Laplace-egyenletet, P r (M, Q) M r 0, (.4) ami azt jelenti, hogy divergenciamentes a P r (M,Q) integrandusz.. Megjegyzés: A divergenciamentességből adódóan létezik olyan V s (M,Q) vektorpotenciál, amelynek éppen a P r (M, Q) integrandusz a rotációja, azaz P r (M,Q) ² rps M p V s (M, Q). (.5) Kétdimenziós esetben egyetlen skalárpotenciál elegendő, hiszen ekkor az (.5) egyenlet a alakot veszi fel. Az egyszerűbb írásmód kedvéért legyen P ρ (M,Q) ² ρπ3 M π V 3 (M,Q) (.6) a vonatkozó potenciálfüggvény. Az (.6) és (.7) egyenletekből φ(m, Q) V 3 (M,Q) (.7) M π φ(m, Q) ² ρπ3 P ρ (M,Q), (.8a) azaz φ(m,q) ² ρπ3 P ρ (M, Q)dx π (.8b) határozatlan integrál adja a potenciálfüggvényt. Összefoglalva tehát, ha úgy választjuk meg az u(m) függvényt, hogy az a Laplace-féle differenciálegyenletnek megoldása, akkor az (.3) egyenlet integrandusza divergenciamentes, ha Q 6 M. A divergenciamentességnek az az eredménye, ahogy arra a [35] tanulmány felhívta a figyelmet, hogy a primál rendszerbeli direkt peremelem-módszer egyenletei egyszerűsödnek. Ez azt jelenti, hogy háromdimenziós esetben a felületi integrálok helyett vonalintegrálokat kell számítani, míg síkbeli feladatok esetén a potenciálfüggvények pontbeli értékeinek különbségét kell meghatározni a peremelemeken vett vonalintegrálok számítása helyett, azaz tovább csökkent a feladat mérete. Az idézett megfigyelésen alapuló módszert peremkontúr-módszernek nevezik. 3

15 .5. Peremkontúr-módszer a rugalmasságtan síkfeladataira primál rendszerben A peremkontúr-módszert, többek között, primál rendszerben vett két-, illetve háromdimenziós, lineáris rugalmasságtani feladatok megoldására is felhasználták [35],[36], [37]. A jelen szakasz, az értekezés célkitűzéseinek megfogalmazása érdekében, a rugalmasságtan síkfeladatainak primál rendszerében tekinti át a módszer lényegét a már idézett [35], [36], [37] tanulmányok alapján. Az izotróp, lineárisan rugalmas, x π koordinátasíkon elhelyezkedő A i tartományon (zérus térfogati terhelés mellett) I c κλ (Q)u λ (Q) [U κλ (M, Q)t λ (M) T κλ (M,Q)u λ (M)]ds M M, Q L o (.9) L o a primál rendszerbeli direkt peremelem-módszer integrálegyenlete második Somigliana formula (Rizzo []), ahol az U κλ (M,Q) és a T κλ (M,Q) 3 az ún. Kelvin-Somigliana-féle tenzor és a másodrendű alapmegoldás tenzora, u λ (M) az elmozdulásmező, a t λ (M) pedigafeszültségmező. Az ívelemet ds jelöli. A c κλ (Q) pedig a Q pontbeli érintők ha több érintő van mint egy (töréspont) által bezárt szögtől függ, egyébként c κλ δ κλ /. Az integrandusz divergenciamentességének igazolását vázlatosan közöljük. Vegyük észre, hogy a t λ feszültségvektor és a T κλ (M,Q) másodrendű alapmegoldás az n ρ (M) normálistól is függ: t λ (M) t λρ (M)n ρ (M), (.0a) T κλ (M,Q) T κλρ (M,Q)n ρ (M), (.0b) ahol t λρ (M) a feszültségtenzor, T κλρ (M, Q) pedig az n ρ (M) külső normálisnak a T κλ (M,Q) másodrendű alapmegoldásból történő kiemelésével kapható meg. Az utóbbi két összefüggés felhasználásával átírható az (.9) integrálegyenlet: I c κλ (Q)u λ (Q) [U κλ (M,Q)t λρ (M) T κλρ (M, Q)u λ (M)] L o {z } n ρ(m) ds M (.) ahol, amint az a felírásból is látszik P κρ(m,q) P κρ (M,Q) U κλ (M, Q)t λρ (M) T κλρ (M,Q)u λ (M). (.) 3. Megjegyzés: A fenti módon, azaz a vízszintes kapcsos zárójel alkalmazásával a későbbiekben is vezetünk be különböző mennyiségeket. Ezeket nem mindig írjuk ki külön. U κλ (M,Q) a Q pontban működő e κ egységnyi erő okoztaelmozdulásazm pontban U κλ (M,Q) (3 4ν) δ κλ ln R 7 8ν δ κλ rκr λ 8π( ν) R 3 T κλ (M,Q) a Q pontban működő e κ egységnyi erő okozta feszültségvektor a perem M pontjában h r i κr λ T κλ (M,Q) ( ν)(n κr 4π ( ν) R λ n λ r κ n β r β δ κλ ) n β r β R 4

16 A továbbiakban az (.5) egyenlettel kapcsolatos gondolatmenetet követjük. A Green- Gauss-tétel felhasználásával I P κρ (M,Q)n ρ (M)ds M P κρ (M,Q) M ρ da M L o A i [U κλ (M, Q)t λρ (M) T κλρ (M,Q)u λ (M)] M ρ da M M L o,q A i (.3) A i a jobboldalon álló integrál. A deriválás elvégzése után I ½ P κρ (M,Q)n ρ (M)ds M t λρ (M) U κλ (M,Q) M ρ U κλ (M, Q) t λρ (M) M ρ L o A i T κλρ (M, Q) u λ (M) M ρ u λ (M) T κλρ (M, Q) M ρ ¾ da M (.4) az eredmény. Figyelembevéve azt, hogy u λ (M) M ρ u λ (M) M ρ u ρ (M) M λ u λ (M) M ρ u ρ (M) M λ {z } {z } e λρ (M) ψ (M) λρ (.5) és hogy U κλ (M, Q) M ρ U κλ (M, Q) M ρ U κρ (M, Q) M λ {z } e κλρ (M,Q) U κλ (M,Q) M ρ U κρ (M, Q) M λ, {z } ψ (M,Q) κλρ (.6) megjelennek az integranduszban az u λ (M) és U κλ (M,Q) elmozdulásmezőkhöz tartozó e λρ (M) és e κλρ (M,Q) alakváltozási-, valamint a ψ λρ (M) és a ψ κλρ (M,Q) forgástenzorok. Nyilvánvaló, hogy zérus értékű a forgástenzorok és a szimmetrikus t λρ (M) és T κλρ (M,Q) feszültségtenzorok energia típusú szorzata. Így az (.4)-ből következik, hogy I P κρ (M,Q)n ρ (M)ds M L o A i U κλ (M,Q) ½ t λρ (M) e κλρ (M, Q) T κλρ (M,Q)e λρ (M) A továbbiakban vegyük figyelembe azt, hogy a Betti-tétel szerint t λρ (M) M ρ u λ (M) T κλρ (M,Q) M ρ ¾ da M. (.7) t λρ (M) e κλρ (M,Q) T κλρ (M, Q)e λρ (M) 0 (.8) és hogy t λρ (M) M ρ 0 és T κλρ (M, Q) M ρ 0 (.9) 5

17 egyaránt az egyensúlyi egyenlet. A fentiek alapján tehát zérus az (.3)-ban álló tartományi integrál integrandusza, azaz P κρ (M,Q) M ρ 0. (.30) A fenti egyenlet következménye, hogy létezik olyan φ κ (M, Q) függvény, melynek ismeretében Az utóbbi egyenlet figyelembevételével P κρ (M,Q) ² ρπ3 M π φ κ (M, Q). (.3) M π φ κ (M, Q) ² ρπ3 P κρ (M, Q), (.3) azaz φ κ (M,Q) ² ρπ3 P κρ (M,Q)dx π. (.33) A numerikus számítások érdekében a tartomány peremét n be számú peremelemre bontjuk. Az egyes elemeket az e,...,n be számláló azonosítja. Megjegyezzük, hogy egy-egy peremelem kezdő- és végpontját lokálisan az M és M betűk azonosítják. Egy adott peremelem M és M végpontjai között vett vonalintegrál az (.3) alapján az M M P κρ (M, Q)n ρ (M)ds M φ κ (M,Q) φ κ (M,Q) (.34) módon számítható, vagyis egy vektor M és M pontokban vett értékeinek különbsége. Az említett [35] tanulmány lineáris approximációt választ az u e λ elmozdulásmező közelítésére az e-edik elem felett. Így [u e ue be λ] b e x b e 3 x b e 4 be 5 x b e 6 x (e,...,n be ), (.35) u e ahol b e,...,be 6 a közelítésben felhasznált és ismeretlennek tekintett ún. matematikai állandót jelöl (a matematikai jelző arra utal, hogy az állandóknak nem tulajdonítható közvetlen fizikai tartalom). Ez a közelítés egyben az elmozdulásmezőre vonatkozó M u λ ( λ)(u ϕ M ϕ ) M λ 0, u λ u λ (M) (.36) homogén alapegyenletnek a Navier-egyenletnek is megoldása kell, hogy legyen. A t e λ feszültségvektor a fenti közelítésből és a rugalmasságtan egyenleteiből származtatható. Első lépésben kiszámítjuk az (.5)-ből az e λρ alakváltozási tenzort, majd a Hooke-törvény segítségével a t λρ e λρ λδ λρ e ϕϕ (.37) feszültségtenzort. A feszültségvektort az n ρ t λρ szorzat adja: [t e te [(λ )b e λ] λb e 6 ]n (b e 5 be 3 )n (b e 5 be 3 )n [(λ )b e 6 λbe ]n t e 6, (.38)

18 ahol λ ν ν és az ún. Lamè-állandók. Az u e λ elmozdulásmező lineáris közelítésében szereplő be,...,be 6 matematikai állandók összefüggésbe hozhatók az elem csomópontjaiban tekintett fizikai mennyiségekkel. A vonatkozó 6 darab matematikai mennyiséghez tartozó fizikai mennyiségeket a következőképpen választjuk meg az adott elemen. Az elem kezdő- és végpontjaiban vett elmozdulásvektor 4 állandót ad. Az elem középsőpontjában vett feszültségvektor pedig további két állandót jelent. Ha az elem nem zérus hosszúságú, akkor létezik egy kölcsönösen egyértelmű összefüggés az b e,...,be 6 matematikai állandók és a fentiekben bevezetett 4 ezeketu (M ),u (M ),t (K),t (K),u (M ) és u (M ) jelöli, ahol a korábbiakkal összhangban M és M rendre az elem kezdő- és végpontját azonosítja, K pedigaközépső pontot jelöli (lásd a 4. ábrát a 33. oldalon) fizikai paraméter között. Érdemes a későbbiek kedvéért egy az elem kezdőpontjához kötött (η, η ) lokális koordinátarendszert is bevezetni, amelynek a tengelyei párhuzamosak a globális koordinátarendszer koordinátatengelyeivel. Ez utóbbi koordinátarendszerben u e (b e b e x b e 3x ) b {z } e η b e 3 η [u e λ] u e ˆbe (b e 4 b e 5x b e 6x ) b {z } e 5 η b e 6 η (.39) ˆbe 4 az elmozdulásmező lineáris közelítése. Legyen u e T λ 0, 3 u e T λ η 0, u e T λ η 0, 4 u e T λ 0, (.40) 5 u e T λ 0 η, 6 u e T λ 0 η. Nyilvánvaló az (.39) képlet alapján, hogy az u e λ vektor a független i u e λ (i,...,6) vektorok u e λ(η, η )ˆb e u e λ b e u e λ b e 3 3 u e λ ˆb e 4 4 u e λ b e 5 5 u e λ b e 6 6 u e λ (.4) alakú lineáris kombinációja. Vegyük észre, hogy az így bevezetett vektorok:. lineárisan függetlenek és hogy. mindegyik vektor kielégíti a Navier-egyenletet. Az i u e λ (η, η ) vektorokból az (.5) és (.37) összefüggések segítségével számíthatók a t e λρ, t e λρ, 3 t e λρ, 4 t e λρ, 5 t e λρ és 6 t e λρ feszültségtenzorok. A matematikai állandókhoz tartozó i u λ (η, η )(i,...,6) vektorok és a belőlük származtatott i t λρ (η, η ) feszültségtenzorok egymásutáni behelyettesítése az (.) és (.33) összefüggések figyelembevételével kapott ¾ i φ κ (η, η ) ² ρπ3 ½U κλ (η, η ) i t λρ (η, η ) T κλρ (η, η ) i u λ (η, η ) dη π i,...,6 7

19 képlet szolgáltatja a potenciálfüggvényeket zárt alakban. A lineáris approximáció potenciálfüggvényei megtalálhatóak a már említett [35] munka függelékében. A i φ κ (η, η )(i,...,6) potenciálfüggvények ismeretében az (.34) képlet alapján M M P κ (M,Q)ds M ½ ˆbe φ κ (η, η )b e φ κ (η, η )b e 3 3 φ κ (η, η ) ¾ M ˆb e 4 4 φ κ (η, η )b e 5 5 φ κ (η, η )b e 6 6 φ κ (η, η ) M az e-edik elem kezdő- és végpontja között vett (.) integrál értéke. Ha az approximáció során kvadratikus elemeket alkalmazunk lásd [36], akkor a pontosság lényegesen javul..6. Célkitűzések duál feladatok esetén Felmerül a kérdés, az előző három, azaz az.3. Síkrugalmasságtani feladatok elsőrendű feszültségfüggvények alkalmazása mellett és.4. A peremkontúr-módszer alapjai a potenciálegyenletre és.5. Peremkontúr-módszer a rugalmasságtan síkfeladataira primál rendszerben szakaszban foglaltak alapján, hogy kidolgozható-e a peremkontúr-módszer a rugalmasságtan síkbeli duál feladatai esetén, vagyis hogy. divergenciamentes-e a direkt peremelem-módszer egyenleteiben álló integrandusz,. ha igen, melyek a potenciálfüggvények lineáris approximáció esetén (a duál alapegyenletnek is teljesülnie kell), 3. melyek a potenciálfüggvények kvadratikus approximáció esetén (a duál alapegyenletnek is teljesülnie kell), 4. milyen a kapcsolat a potenciálfüggvényekben szereplő paraméterek és a perem-csomópontokban vett fizikai mennyiségek között, 5. hogyan építhető fel a megoldást adó lineáris egyenletrendszer, 6. hogyan számíthatók a tartomány belső pontjában a feszültségi jellemzők. Az értekezés a felsorolt feladatok megoldását tűzi ki célul egyszeresen összefüggő belső és külső tartományokra, beleértve a célkitűzésekbe a numerikus implementáció kérdését is. Az elvi megfontolásokat tekintve, amint azt majd látni fogjuk, többszörösen összefüggő is lehet a vizsgálat tárgyát képező tartomány. 8

20 . fejezet Duál egyenletrendszer és az egyértékűség feltételei A vizsgálat tárgyát képező A i tartományt a tartomány háromszorosan összefüggő, valamint atartomány L o L t L u L t3 L u4 külső és L L t5, valamint L L u6 belső peremgörbéit az. ábra szemlélteti. Az ábrán τ κ az érintő irányú egységvektor az s ívkoordináta mentén. Összhangban az eddigiekkel n π akülső normális. A i P P t4 u4 L t3 P t3 P u3 L u4 P P t5 t6 L t5 s Pu6 P u7 L u6 s s L u P t P u5 L t P P t u n. ábra. Az A i belső tartomány Az L t L t L t3 L t5 görbén feszültségek, az L u L u L u4 L u6 görbén pedig elmozdulások vannak előírva. A síkrugalmasságtan duál rendszerének homogén izotróp, lineárisan rugalmas test és síkalakváltozás feltételezése mellett mezőegyenleteit az alábbiak részletezik: A t κλ feszültségtenzort t κλ ² κρ3 F λ ρ o t κλ x A i (.) módon számítjuk (duál kinematikai egyenlet), ahol az F λ vektor elemei elsőrendű feszültségfüggvények és o t κλ az egyensúlyi egyenlet nem zérus tartományi terhelésekhez tartozó partikuláris 9

21 megoldása. A (.) egyenlethez az e κλ (t κλ νt ψψ δ κλ ) x A i (.) inverz Hooke-törvény (duál anyagegyenlet) társul, ahol e κλ az alakváltozási tenzor, a nyírási rugalmassági modulusz és ν a Poisson-szám. Az alakváltozási mezők kompatibilitásához a ² κρ3 e λκ ρ ϕ 3 λ ² κρ3 (e λκ ² λκ3 ϕ 3 ) ρ 0 x A i (.3) kompatibilitási egyenlet (duál mérlegegyenlet) fennállása szükséges (egyszeresen összefüggő tartományon elégséges) feltétel, ahol ϕ 3 a forgásmező. A feszültségtenzor szimmetriáját a ² 3κλ t κλ 0 x A i (.4) szimmetriafeltétel teljesülése biztosítja. Ily módon kilenc egyenlet áll rendelkezésre a kilenc ismeretlen: F, F, t, t t, t,e, e e, e és ϕ 3 meghatározására. Ennek megfelelően a (.), (.) és (.3) mezőegyenletekhez társítani kell a vonatkozó peremfeltételeket. Ha a kontúrt nem bontjuk fel részekre, akkor vagy a feszültségek adhatók meg a tartomány peremén, vagy pedig az elmozdulások. Ha azonban a kontúrt ívekre bontjuk, akkor feltételezzük azt, hogy a perem páros számú ívből áll, amelyeken vagylagosan feszültségek vagy elmozdulások írhatók elő. Jelen esetben az {L t L t L t3 L t5 }és[l u L u L u4 L u6 ] íveken a {feszültségeket} és az [elmozdulásokat] írjuk elő. Az előírt mennyiségeket a vonatkozó egyenletekben ˆ jelöli. Az L t L t L t3 L t5 íven előállítható a feszültségfüggvényekre vonatkozó peremfeltétel, ha feltételezzük azt, hogy a (.) előállításból számított feszültségek kielégítik a feszültségi peremfeltételt. Ezáltal egy közönséges differenciálegyenletet kapunk az L t íven ismeretlennek tekintett és a peremfeltételben előírható ˆF ρ feszültségfüggvény-vektorra: ˆt ρ o t ρ n κ ² κν3 ˆF ρ ν d ˆF ρ ds. (.5) Itt ˆt ρ a határgörbe tekintett ívén működő terheléssűrűségvektora és o o t ρ n πtπρ.könnyen ellenőrizhető, hogy a fenti egyenlet megoldása az s ˆF ρ (s) hˆt ρ (σ) o t ρ (σ)i ds s L ti i, 3, 5 (.6) P ti alakban írható fel az L t különböző ívein. Ez azt jelenti, hogy az F ρ (s) ˆF ρ (s) C (ti) ρ s L ti i, 3, 5 (.7) feltétel egyenértékű a (.5) peremfeltétellel. A (.7) egyenletben C (ti) ρ jelöli a vonatkozó integrációs állandókat. Az L u L u L u4 L u6 görbén az elmozdulások előírtak. A vonatkozó peremfeltételek előállításához a (.) kinematikai egyenletből kell kiindulni, mivel az elmozdulásvektor nem változója a duál egyenletrendszernek. A (.) egyenlet n ρ ² κρ3 τ κ érintőirányú egységvektorral 0

22 balról történő átszorzása után, elvégezve egyúttal néhány egyszerű átalakítást és kihasználva azt, hogy az L u n ismert az elmozdulásvektor, a dû λ ds n π [² πκ3 e κλ δ πλ ϕ 3 ] s L u (.8) egyenletet kapjuk. Az előző egyenlet jobboldalán csak a duál rendszer ismeretlenjei, baloldalán pedig az előírt elmozdulásvektor ívkoordináta szerinti deriváltja áll, amit ismertnek vehetünk. Ez az egyenlet alakváltozási peremfeltétel néven ismert. Az egyértékűség többszörösen összefüggő tartományon szükséges további feltételeit az n π [² πκ3 e κλ δ πλ ϕ 3 ]ds 0 L t5 (.9) nagybani kompatibilitási feltétel és az n π [² πκ3 e κλ δ πλ ϕ 3 ]ds û λ P t,i P ti 0 L ti i, 3 (.0) kiegészítő kompatibilitási feltételek jelentik [8].

23 3. fejezet Az alapmegoldás és a Somigliana formulák 3.. Alapegyenlet és alapmegoldás A továbbiakban feltételezzük azt, hogy nincs térfogati teher és egyszeresen összefüggő a vizsgált tartomány. A (.) duál kinematikai egyenlet (.) inverz Hooke-törvénybe, majd az eredmény (.3) duál kompatibilitási egyenletbe történő helyetesítésévelkapjukaduálalapegyenletrendszer első két skaláregyenletét. Ezekhez társul harmadik egyenletként a (.4) nyomatéki egyensúlyi egyenlet (a feszültségi tenzorra vonatkozó szimmetriafeltétel): ( ν) F ( ν)(f F ) ϕ 3 0, (3.) ( ν) F ( ν)(f F ) ϕ 3 0, (3.) F F 0. (3.3) Az alapegyenletrendszer mátrixalakban is felírható. Jelölje az alapegyenletben álló differenciáloperátort [D lk ] ( ν) ( ν) ( ν) ( ν) ( ν) ( ν) 0, (3.4a) az ismeretlenek vektorát pedig u k (F, F, ϕ 3 ). (3.4b) Ennek u λ részét duál elmozdulásnak nevezzük. A bevezetett jelölésekkel a következő alakban írható fel az alapegyenlet: D lk u k 0. (3.4c) Egyenlőre feltételezzük, hogy a Q(ξ, ξ ) forráspont rögzített. Az M(x,x ) pont pedig a futópont. Legyen e l (Q) a Q ponthoz kötött háromelemű vektor.

24 A M D lk u k δ (M Q) e l (Q) 0 (3.5) differenciálegyenlet megoldását a deriválásokat az M pont szerint vesszük, δ (M Q) a Diracféle függvény alapmegoldásnak nevezzük. Kimutatható, hogy a (3.5) megoldását a u k U kl (M,Q)e l (Q) (3.6a) képlet adja, ahol [U kl (M,Q)] 4π( ν) lnr 3 r r R r r R ( ν) r R r r R lnr 3 r r R ( ν) r R ( ν) r R ( ν) r R 0. (3.6b) A részleteket illetően a [8], [3] munkákra utalunk. 4. Megjegyzés: AzU kl (M, Q) alapmegoldás szimmetrikus, azaz eleget tesz az U kl (M,Q) U lk (M, Q) U kl (Q, M) U lk (Q, M) (3.7) szimmetriafeltételnek. Ennek eredményeként fennáll, hogy u k U kl (M,Q)e l (Q) e l (Q)U lk (M, Q). (3.8) 5. Megjegyzés: Az is ellenőrizhető a formális számításokat ismét elhagyjuk, hogy Q 6 M esetén az U kl (M,Q) valamennyi oszlopa és sora mint háromméretű vektor kielégíti az alapegyenletet. Vezessük be a későbbiek kedvéért a t λ du λ (3.9) ds jelölést. A t λ vektor az elmozdulások ívkoordináta szerinti deriváltjának ellentettje a vizsgált A i tartomány L u L t peremgörbéjén. Ismét elhagyva a hosszú formális átalakításokat a t λ (M) e l (Q)T lλ (M, Q) (3.0a) eredményt kapjuk az alapmegoldásból adódó t λ vektorra [8], [3], ahol [T lλ (M,Q)] 8π( ν)r n r [4 r (3 ν)] R n r [4 r (3 ν)] R n r [4 r (ν)] R n r [4 r ( ν)] R n ( ν)r r R 4 n ( ν)r r R 3 n r [4 r (ν)] R n r [4 r ( ν)] R n r [4 r (3 ν)] R n r [4 r (3 ν)] R 4 n ( ν)r r R n ( ν)r r R. (3.0b)

25 Az n λ normálist az M pontban tekintjük. A t λ vektort a továbbiakban duál feszültségvektornak nevezzük. 3.. Somigliana formulák egyszeresen összefüggő belső tartományokra Az egyszeresen összefüggő A i belső tartományt a. ábra szemlélteti. Az L o kontúrt páros számú ívre bontottnak gondoljuk. Az egymást követő íveken vagylagosan az elmozdulást (vagy az s ívkoordináta szerint vett elmozdulás deriváltat), illetve a feszültséget (vagy a feszültségből előállított feszültségfüggvényt) lehet előírni. A. ábrán látható A i tartomány pereme négy részre van felbontva, de ez a körülmény nem játszik szerepet a későbbi megfontolásokban. P t4 Pu4 P t3 Pu3 L t3 s A i L u4 L u π P t P u5 L t P t Pu n ρ. ábra. Egyszeresen összefüggő A i belső tartomány Az F λ feszültségfüggvényt és a t κλ,e κλ tenzorokat, valamint a ϕ 3 merevtestszerű forgást az A i tartomány egy rugalmas állapotának nevezzük, ha kielégítik a duál rendszer mezőegyenleteit, azaz a (.), (.), (.3) és (.4) egyenleteket.jelölje F λ,t κλ,e κλ, ϕ 3 és F λ, t κλ, e κλ, ϕ 3 az A i tartomány két rugalmas állapotát. Véve a (.3) kompatibilitási egyenletet és F λ, valamint a (3.3) szimmetriafeltétel és ϕ 3 szorzatának integráljait A i felett, majd alkalmazva a Green Gauss-tételt és kihasználva a (.) egyenletet (mivel nincs térfogati teher o t κλ 0) írhatjuk, hogy I [² κρ3 e κλ ρ ϕ 3 λ ] F λ da (F ψ ψ ) ϕ 3 da n π [² πκ3 e κλ δ πλ ϕ 3 ] F λ ds A i A i L o ( F ψ ψ )ϕ 3 da (F ψ ψ ) ϕ 3 da e κλtκλ da. (3.) A i A i A i Vegyük észre, hogy a jobboldalon álló első felületi integrál a (.) Hooke-törvényre is tekintettel kell lenni a belátás során és az utolsó két tartományi integrál összege nem függ attól, hogy a * melyik betű felett áll a szorzatban (azaz az első vagy második betű felett). Ez esetben nyilvánvalóan teljesül a (3.), (3.) és (3.3) alapegyenletrendszer is. 4

26 Ha a fenti egyenletben áthelyezzük a * ot az első rugalmas állapotot jelölő betűk fölé majd levonjuk az így kapott egyenletből, figyelembevéve az e κλtκλ e κλ t κλ egyenlőséget, a (3.)-et, akkor a duál Somigliana identitást kapjuk síkfeladatokra: [² κρ3 e κλ ρ ϕ 3 λ ]F λ da ( F ψ ψ )ϕ 3 da A i A i [² κρ3 e κλ ρ ϕ 3 λ ] F λ da (F ψ ψ ) ϕ 3 da A i A I i I n π [² πκ3 e κλ δ πλϕ3 ]F λ ds n π [² πκ3 e κλ δ πλ ϕ 3 ] F λ ds. (3.) L o L o Mivel a baloldalon az alapegyenletek integráljai, a jobboldalon pedig az L o kontúron előírható mennyiségek integráljai állnak tekintettel a (3.4a,b,c) egyenletekre, melyek az alapegyenletet szolgáltatják, továbbá a (.0) képletre és a képlethez kötődő (3.9) jelölésre a Somigliana identitást a Green-identitáshoz hasonló alakban is felírhatjuk [6]: h u k (D klul ) u Ai i I k (D kl u l ) da [u λtλ u λ t λ ]ds. (3.3) L o AduálSomigliana képletek előállítása érdekében feltesszük, hogy u k a (3.6a,b) képletekkel adott rugalmas állapot. Ez esetben a vonalintegrálban álló t λ -t a (3.0a,b) képletek adják. A Q pont A i tartományhoz viszonyított helyzetétől függően az alábbi három eset különböztethető meg:. Ha Q A i, akkor a fentiek felhasználásával (3.3)-ból levezethetőazelsőduálsomigliana formula: u k (Q) I U kλ (M,Q)t λ (M)ds M L o I T kλ (M,Q)u λ (M)ds M. L o (3.4). Ha Q A i L o, akkor a (3.4)-re vezető gondolatmenettel adódik a második duál Somigliana formula: c kλ (Q)u λ (Q) I U kλ (M,Q)t λ (M)ds M L o I T kλ (M, Q)u λ (M)ds M, L o (3.5) ahol c kλ (Q) a Q pontbeli érintők hatöbbérintő van mint egy (töréspont) által bezárt szögtől függ, egyébként c kλ δ kλ /. 3. Ha Q/ (A i L o ), akkor a (3.3)-ban csak az L o kontúron vett integrál marad meg és így rögtön adódik a harmadik duál Somigliana formula: 0 I U kλ (M, Q)t λ (M)ds M L o I T kλ (M,Q)u λ (M)ds M. L o (3.6) A képletek levezetése részletesen megtalálható a [8] és [3] munkákban. 5

27 3.3. Somigliana formulák külső tartományokra Az A e külső tartományon az egyszeresen összefüggő A i tartomány teljes síkra vett komplementerét értjük. Ily módon az A e tartomány kontúrja ismét az L o zárt görbe lesz. P t4 Pu4 L t3 A e P P t3 u3 s L u4 n ρ L u P u5 P t L t P t Pu 3. ábra. Akülső A e tartomány Feltételezzük, hogy állandó értékűek a feszültségek a végtelenben. Ezeket a t ( ), t ( ) t ( ) és t ( ) módon jelöljük. Emellett annak a feltételezésnek is teljesülni kell, hogy nincs merevtestszerű forgás a végtelenben, azaz fennáll a ϕ 3 ( ) 0 (3.7) egyenlet. A Hooke-törvény felhasználásával a végtelenbeli feszültségből számítható ugyanott az alakváltozási tenzor. Ez kielégíti a (.3) kompatibilitási feltételt. A végtelenbeli feszültséghez tartozó feszültségfüggvényt pedig az ũ λ (Q) ² α3ρ ξ α t λρ ( )c λ ( ) (3.8) képlet szolgáltatja, ahol c λ ( ) egy tetszőleges konstans vektor, amely a feszültségmentes állapothoz tartozik: ũ 3 (Q) ϕ 3 ( ) 0. (3.9) Amikor az A e külső tartományra kívánjuk előállítani a duál Somigliana formulákat, akkor az előző szakasz gondolatmenetét kell követni, de figyelembe kell venni azt is, hogy a végtelenben állandó a feszültségállapot. Ismét az u k jelöli azt a rugalmas állapotot, amely a (3.6a,b) és (3.0a,b) alapmegoldásokból származik és ismét az u k vektor jelöli az A e tartomány egy másik rugalmas állapotát. A Q pont helyzetétől függően most is három eset különböztethető megugyanúgy,mintaza i belső tartomány vizsgálatakor. Feltételezzük azt is, hogy az O origó az A i tartomány belsejében van. A levezetésektől és a hosszadalmas formális átalakításoktól most is eltekintünk a részletek ismét a [8] munkában találhatók meg.. Ha Q A e, akkor a háromszorosan összefüggő A 0 e tartományt az L o, L ε és L R görbék határolják. Az L R görbe O középpontú e R sugarú kör. Az L ε görbe Q középpontú R ε 6

28 sugarú A ε tartomány kontúrja. Az e R sugár elegendően nagy ahhoz, hogy az L R kör magában foglalja mind az L o és az L ε görbéket. Ha most alkalmazzuk a (3.3) duál Somigliana identitást az A 0 e tartományra és vesszük a képlet határértékét amint R ε 0 és e R (A 0 e A e ), akkor kapjuk, hogy u k (Q) ũ k (Q) I U kλ (M, Q)t λ (M)ds M L o I T kλ (M,Q)u λ (M)ds M. L o (3.0) Ez az első duálsomigliana formula külső tartományra.. Ha Q A e L o, akkor egy olyan kétszeresen összefüggő A 0 e tartományról beszélhetünk, amelyet az L 0 o, L 0 ε és L R görbék határolnak. Az L 0 o ív az L o görbe azon része, mely az R ε sugarú Q középpontú A ε tartomány eltávolítása után marad meg az L o kontúrból. Az L 0 ε az L ε görbe azon íve, amely az A i tartományon kívül esik. Alkalmazva a (3.3) duál Somigliana identitást az A 0 e tartományra és véve a kapott egyenlet határértékét amint R ε 0 és e R (A 0 e A e ), akkor azt kapjuk, hogy I I c kλ (Q)u λ (Q) ũ k (Q) U kλ (M, Q)t λ (M)ds M T kλ (M,Q)u λ (M)ds M. (3.) L o L o Ez a második duál Somigliana formula külső tartományra. 6. Megjegyzés: A (3.) integrálegyenlet melyben az L u -val jelölt íveken a t λ (M) elmozdulásderivált ellentettje ismeretlen, az L t íveken pedig az u λ (M) feszültségfüggvény az ún. külső tartományra vett direkt peremelem-módszer egyenlete. 3. Ha Q A e, akkor a harmadik duál Somigliana formula a 0ũ k (Q) I U kλ (M,Q)t λ (M)ds M L o I T kλ (M, Q)u λ (M)ds M L o (3.) alakban írható fel. 7