Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer
Egyelemegoldás iervallumelezéssel Legye :[ a, b] R olyoos, a 0, b 0, és eressü az 0 egyele egy [ a, b] -beli megoldásá. Bolzao éele: Legye olyoos a véges, zár [a,b] iervallumo. Tegyü el, hogy a és b ülöböző előjelűe, pl. a 0, b 0. Aor -e va legalább egy zérushelye ebbe az iervallumba. Felezzü sziszemaiusa az [ a, b] iervallumo úgy, hogy a é él-iervallumból midig az eijü, melyre a végpooo elve üggvéyérée ülöböző előjelűe. Jelölje az - edi lépésbe yer résziervallum özéppojá. Aor az így deiiál soroza a ei egyele egyi gyöéhez overgál. A overgecia sebessége legalább egy / vóciesű mérai soroza overgeciájáa sebessége.
Egyelemegoldás iervallumelezéssel Az iervallumelezés algorimusa szemléleese: ibabecslés. Legye 0 : a b, aor yilvá b a 3
Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer 4
A Baach-ipo-ierációs módszer Legye Baach-ér, : egy leépezés, és eressü az egyele egy megoldásá ez az üggvéy egy ipojáa evezzü. Baach-éle ipoéel: Legye Baach-ér, : oració -e, azaz alalmas 0 számra y y eljesül mide, y melle. Aor -e egyeleegy ipoja va, és ez előáll az alábbi ierációs soroza limeszeé: 0 esz., : 0,,,... A valós üggvéye speciális esee. a : R R olya, hogy ma ', aor oració, mer a Lagrage-özépérééel mia y ' y ma ' y 5
6 Bizoyíás: Ké egymás öveő ag elérése:... 0 Ez elhaszálva megmuaju, hogy az soroza Cauchy-soroza -be: 0............ 0 0 0 Ezér a soroza overges,. Megmuaju, hogy a limesz ipoja -e. A reurzív deiíció szeri: A bal oldal yilvá -hez ar. A jobb oldal olyoossága mia -hez. Ie =. Végül igazolju, hogy csa egy ipo va. a, y é ülöböző ipo vola, aor 0 y y y y vola, ami leheele.
A Baach-ipo-ierációs módszer, példá:. Oldju meg az cos egyelee. Az : cos üggvéy oració, mer ' si. Ezér egyeleegy ipo léezi, és pl. az 0 : 0, : cos soroza ide overgál. A soroza első éháy eleme 4 izedesjegy poossággal: 0.0000, 0.5000, 0.4387, 0.456, 0.4496, 0.450, 0.450, 0.450, 0.450,.... Legyee BM NN, N g R adoa, és oldju meg az B g egyelee. a B, aor az : B g leépezés oració, mer y B g By g B y Ezér eor egyeleegy ipo léezi, és pl. az 0 : 0, : B g veorsoroza ide overgál. 7
Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer 8
A Newo-módszer egyválozós üggvéyere Legye : a, b R ado üggvéy. Keressü az 0 egyele egy a, b -beli megoldásá. A Newo-módszer: a a megoldás egy özelíése, aor legye a öveező özelíés az -beli ériő egyees zérushelye. Az ériő egyelee: y ', ie: 0,,,... 0 a, b : ezdei özelíés 9
A Newo-módszer egyválozós üggvéyere A módszer szemlélees jeleése : poos megoldás: a észer olyoosa diereciálhaó, -e va gyöe a,b-, és erre 0 eljesül, aor a Newo-módszer vadraiusa overgál mide, az poos megoldáshoz elég özeli 0 ezdei özelíés eseé, azaz alalmas C 0 szám melle: C 0
Bizoyíás: A Lagrage-özépérééel haszálju észer is: s Mivel 0, azér a deriválüggvéy egy egész zár öryezeébe is zérusól ülöböző marad. I pedig: mi ma mi ma C
A Newo-módszer, példa: Legye A rögzíe poziív szám, és Eor az : A. ' 0 egyele egyele poziív megoldása: A. Kiidulva egy eszőleges 0 0 ezdei özelíésből pl. 0 : A, a Newo módszer: : A A A soroza agyo gyorsa A -hoz ar.
A Newo-módszer, példa: Legye A rögzíe poziív szám, és Eor az : A. ' 0 egyele egyele poziív megoldása: A. Kiidulva egy eszőleges 0 0 ezdei özelíésből pl. 0 : A, a Newo módszer: : A A A soroza agyo gyorsa A -hoz ar. Megjegyzés: hasolóa lehe bármely egész ievős gyövoás özelíésére a Newomódszer haszáli. 3
A Newo-módszer válozaai Probléma: a derivál számíása. A szelőmódszer: i '. Legyee ehá 0, ezdő özelíése, és : a észer olyoosa diereciálhaó, -e va gyöe a,b-, és erre 0 eljesül, aor a szelőmódszer mide, az poos megoldáshoz elég özeli 0, ezdei özelíése eseé legalább egy mérai soroza sebességével overgál, azaz alalmas C 0, 0 melle: C 4
A Newo-módszer válozaai A Seese-módszer: Legye az : R R észer olyoosa diereciálhaó üggvéye poosa egy zérushelye. Tegyü el, hogy 0. Aor mide, özelíésből iidulva, az 0 -hoz elég özel levő valós ezdei : 0,,,... soroza vadraiusa overgál -hoz. 5
6 Bizoyíás: A Lagrage-özépérééel haszálju: ' ' ezér ' ' s w s s Mivel 0, azér a deriválüggvéy egy egész zár öryezeébe is zérusól ülöböző marad. I pedig: mi ma mi ma C s
Numerius módszere. Nemlieáris egyelee özelíő megoldása Egyelemegoldás iervallumelezéssel A Baach-ipo-ierációs módszer A Newo-módszer és válozaai Álaláosío Newo-módszer 7
Diereciálás Baach-ere öz érelmeze leépezésere Legyee,Y Baach-ere. Az F : Y leépezés az poba diereciálhaó, deriválja pedig az A: Y olyoos lieáris leépezés, ha a 0 egy alalmas öryezeéből válaszo h veorora eljesül, hogy F h F Ah o h o h ahol o h olya iejezés, hogy 0 h 0. h A derivál lieáris leépezés még így is jelöljü: F vagy DF. Példa: N F : R R, F : A, ahol AM NN öadjugál mári. Aor: F h A h, h A, A, h Ah, h F A, h O h ezér N F' AR. 8
Álaláosío Newo-módszer A Newo-módszer az F 0 egyelere: 0,,,... DF F Máséppe elírva: w 0,,,... ahol a w javíó ag az alábbi lieáris egyele megoldása: DF w F a F észer olyoosa diereciálhaó, F-e va gyöe -be, és DF reguláris azaz iverálhaó, és az iverze is olyoos, aor a Newo-módszer vadraiusa overgál mide, az poos megoldáshoz elég özeli 0 ezdei özelíés eseé, ehá alalmas C 0 melle: C 9
0 Álaláosío Newo-módszer, példa Máriiverzió. Legye N N A M egy reguláris mári. Teszőleges N N M reguláris márira jelölje: A F : Aor N N N N F M M :, és az 0 F egyele egyele megoldása: A. Alalmazzu a máriegyelere a Newo-módszer. Az F leépezés deriváljá számíva: A I A I A F a mos elég is ormájú eszőleges máriormába, aor. Felhaszálva a B eseé eálló... 4 3 B B B B I B I egyelősége, melyből B B I B I öveezi: o F A o A o I A I F ahoa W W DF DF
Álaláosío Newo-módszer, példa Így a Newo-módszer algorimusa: : DF I A A A. A özelíés hibájára: A A I A A I A. Ugyaaor I A agyo gyorsa ar 0-hoz ha a ezdei özelíés elég jó vol, mer: I A I A I A I A A A I A, ahoa I A I A