Véges differencia módszerek és numerikus stabilitás. Szépszó Gabriella

Átírás

1 Véges differecia módszere és meris sabiliás Szépszó Gabriella

2 TARTALOM. Megoldadó egyeleredszer. Közelíı módszere elmélee 3. Térbeli derivála özelíése 4. Idıbeli derivála özelíése 5. Sabiliásvizsgála 6. Haéoy meris sémá 7. Összefoglalás

3 Ismélés: idro-ermodiamiai egyelee A légörbe zaló folyamao fiziai örvéyee egedelmesede, pl. Newo-örvéye, eergia-megmaradás, ömeg-megmaradás Mozgásegyelee Koiiási egyele Termodiamiai egyele Nedvesség oiiási egyelee Állapoegyele dv d p g Ω v ρ dρ ρ divv d dq dt dp c p α d d d dq M d ρ p ρrt S Nemlieáris parciális differeciálegyele-redszer: 7 egyele 7 válozó: (,v,w), T, p, ρ, ρ v. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 3

4 Navier-Soes egyelee Mozgásegyelee: dv p g Ω v S d ρ Belsı súrlódási erı: Térbeli yomásválozásból S ν v eredı erı Külsı erı Neézségi erı öldforgásból származó erı Háy egyele? d d dv d p ρ p ρ y dw p g z d ρ z f f v y S S S z y. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 4

5 Eleri és Lagrage-i i szemléle Eler-szemléle: rögzíe rács Ψ Ψ c Ψ d ΨdΨ Lagrage-szemléle: a folyadéelem öveése dψ d Ψ Ψ. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 5

6 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 6 Seélyvíz ( Seélyvíz (sallow sallow-waer waer) egyelee ) egyelee A folyadé veriális ieredése elayagolaó a orizoálisoz épes, veriálisa omogé, összeyomaala, súrlódásmees forgó özeg: Horizoális mozgásegyelee: Hidroszais özelíés: Divergecia-meesség: f y p z v w y v v v v d dv v f p z w y v d d ρ ρ g z p d dw ρ z w y v D y v f y g y v v v v v f g y v

7 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 7 D lieáris adveciós egyele: Graviációs-llám agoa aralmazó egyele: Lieáris adveció graviációs-llám agoa aralmazó egyele: Vizsgáladó egyelee Vizsgáladó egyelee c H g H g D y v f y g y v v v v v f g y v

8 Közelíedı operáoro Idıbeli derivála:, Térbeli derivála:,. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 8

9 olyoos felada Teisü a öveezı (.f.. orre iőzéső) feladao: L f, : Ω R B, B L : B D B ( L) B, R( L) B. B, f lieáris, B Baac - ere,, B L B f A özelíı megoldásra éféle módszer-család:.) Véges-differecia módszer.) Galori-módszere. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 9

10 Véges differecia módszere L f B, f B. B L B A véges differecia séma megadásáa lépései: f.) Normál ere sorozaáa megadása: P B, B..) Véges differecia séma megadása: L L : B ϕ, B, ϕ B B., B L B 3.) és elemeie összeasolíása B B. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/

11 Elvár / vizsgál ladoságo Koziszecia Kovergecia Korre iőzés, sabiliás. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/

12 Térbeli diszreizáció Pl. egyelees rács: Ω { a b} b a Ω i : i a i ; ; i, 3 üggvéye rácso: [ a b] X, f() folyoos függvéy Rács: i a b i d J d i f i függvéy a rácso A rácso a d i -él rövidebb llámossza em íraó le.. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/

13 Koziszecia Koziszecia:, eseé a véges differecia-felada arso az eredei feladaoz A gyaorlaba a differeciál- és a differecia-egyele ülöbségé vizsgál. Példa: adveciós egyele (lieáris D) c. A véges differeciás egyele: m, m, c m, m,.. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ I I I I I I I I I I I I m

14 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 4. c.,,,, c m m m m Adveciós egyele (lieáris D): Véges differeciás egyele: ( ) m m m m, 3,,, ο ( ) ( ) ο ο ( ) ( ) 3, 3,,, c c c m m m m ο ο ( ) ( ) 3 c c ο ο

15 Kovergecia Kovergecia: a és, aor a diszré felada megoldása ar a folyoos felada megoldásáoz, azaz (,) A oziszecia ömagába em elegedı a overgeciáoz (errıl ésıbb). febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 5

16 Sabiliás A véges differecia séma belsı ladosága meris vs. fiziai sabiliás Sabiliás: a, aor rögzíe és eseé a meris megoldás orláos marad DE: a valóságba a megoldás em feléleül orláos meeorológiába ige Ha d, ogy a folyoos megoldás orláos, aor a öveezı defiíció aszál: megoldás sabil: a, rögzíe, eseé a (,) orláos marad (iba orláossága) séma sabil: bármely ezdei feléelez arozó megoldás sabil. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 6

17 Koziszecia overgecia sabiliás A sabiliás a oziszeciával a overgecia szüséges és elégséges feléele La-Ricmyer éel: KONZISZTENCIA STABILITÁS KONVERGENCIA egyelee belsı ladoság megoldás Miér ó? A overgecia öyebbe vizsgálaó a oziszecia és a sabiliás ülö-ülö bizoyíásával. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 7

18 Haéoyság Haéoyság (effeiviás): A számíógép véges apaciása álal szabo öveelméy Ha agy poosságo szereé, aor yilvávalóa agy lesz a számíási igéy is 3. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 8

19 Gyaorlai vizsgálao Koziszecia? Kovergecia Haéoyság?? Sabiliás. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 9

20 Térbeli derivála özelíése Példa: L d d : Ω R Ω B { a< < b} C 3 ( a, b) B Ω P { i : i a i, < i<, ( b a) / } ( ) Ω, P : Ω Ω ( ). febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/

21 d L d A derivál özelíése: i- i i Térbeli derivála a.) b.) c.) d.), i, i σ, i o, i i i σ i i, i i i ( σ), i σ obb oldali séma bal oldali séma özéppoi séma elada: a oziszecia rede a-c.) eseé, d.)-él pedig. A oziszecia rede Taylor-sorfeéssel vizsgálaó csoíási iba. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/

22 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 3! ), (? ) ( ) ( ), ( d f f d d ezdei-éré probléma ez özelíü Idıbeli derivála özelíése Idıbeli derivála özelíése

23 Eler-módszere I. Eplici Eler-módszer: f (, ) elsıredő eplici séma d d II. Eler bacward séma: f (, ) implici, elsıredő séma Az eplici és implici Eler-módszer elsıredbe poos sémá cél: a poosság övelése.. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 4

24 Leapfrog séma III. Leapfrog séma: f (, ) idıbe cerál, eplici másodredő poosság -? A séma érzéey az idlásra: óvaosa ell elári. ado, de () megadásáál. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 5

25 Leapfrog séma A folyoos feladaál szüség va-e é ezdei feléelre? Nicse! Azér ívá ezdei feléele a ezdei feléel. Nézzü meg a d d τ egyelee! Jelöle a páros és µ a párala idılépcsıbeli éréee: µ µ µ τ τ () () (Gyegé) csaol egyele-redszer: d µ d τ dµ d τ (') ('). febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 6

26 Leapfrog séma (' ' ): ('-'): d( µ ) µ d τ d( µ ) µ d τ d d τ módsz:. A iidlási differeciálegyeleez arozi. iív, számíási módsz A eı ölcsöaása (ombiációa) elorzíaa a megoldás. -. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 7

27 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 8 További másodredő sémá IV. Eplici élépéses másodredő séma: f f ), ( ), ( / / / Eler segédlépés Abba ülöbözi a leapfrog sémáól, ogy a segédlépés a öveezı idılépcsıbe már em erül felaszálásra. Rge-Ka módszercsalád - Ka Rge ( ) ( ) [ ] f f,, V. Másodredő implici módszer:

28 Ismélés: overgecia sabiliás Kovergecia: a és, aor (,) A oziszecia ömagába em elegedı a overgeciáoz!, > A sabiliás a oziszeciával a overgecia szüséges és elégséges feléele. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 9

29 Sabiliási riérimo D lieáris adveciós egyele: R, [, T ] Az eez arozó megoldás: (, ) (, ) >. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 3

30 R, [, T ] Legye Ω {(, τ ),...,,,,,;,,..., T /τ} szabályos rács Az eez arozó véges differecia-felada legye a öveezı: τ Eor: ( ) r r r Cora-szám. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 3

31 r A overgecia szüséges feléele T : ierpoláció eredméye - r > > > r < erapoláció eredméye T T - -. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 3

32 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 33 Mi a probléma az erapolációval? ( ) r r eseé., rögzíe r r Legye γ ma Eor ( ) r r r r r γ γ γ γ γ γ γ Ha ez em elesül, a megoldás em lesz orláos és az idıvel (-el) öveede. -

33 Teá: > Cora-riedrics-Lewy (CL-) riérim Ez a lieáris adveció speciális esee vol, eá az adveciós sebesség! Álaláosa a riérimba szereplı sebesség az egyele álal leír leggyorsabba eredı mozgásforma sebessége. A bemao dire módszer (vagy maimm riérim módszere) a sabiliás feléelée megaározására csa éáy esebe alalmazaó ú sabiliásvizsgálai módszer. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 34

34 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 35 Kiidlás: D lieáris adveciós egyele Aaliis megoldás: Nema sabiliásvizsgálai módszer Nema sabiliásvizsgálai módszer ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ) ( ) (,,,,,, L f f L L f ( ) ( ) f,

35 Nema-módszer vagy orier-sor módszer a megoldás orier-sor alaba eressü: (, ) Z ( ) e i Kezdei feléel: (,) () Z e i A diszré redszerbe: Kezdei feléel: Megoldás: Z Z e e i i. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 36

36 Lieáris ese, a orier-sor mide aga megoldás a ovábbiaba egyele llámra vizsgálód. i A ezdei feléel egyele llámo ír le: (,) f( ) c e Eor a folyoos megoldás: i ( ) ( ) ( ) i i( ) i ( ) ( f c e c e e, e ), A diszré redszerbe: Kezdei feléel: Megoldás: e i c e i ( ) c e ( ) Egy séma aor sabil, a (szüséges feléel!) fiív csillapíás veze be a llámra, a erális, a i ( ) i( ) i( e e ) [ ] ~ ( ) < csillapíás gereszés. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 37

37 ázissebesség, fázisiba A folyoos feladaba fázissebesség: i ( ) (, c ) e Im A sémába: e iθ θ Re ( ) ázisiba: c e i c r c e i ( θ / ) lassíás gyorsíás c θ. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 38

38 Véges differecia sémá sabiliásvizsgálaa Nema-módszerrel módszerrel adveciós egyele. orward (eplici) idıbeli érbe cerál séma: elada: láss be, ogy a séma abszolú isabil!. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 39

39 α ( ) i ( ) c e beelyeesíése: i i α ( ) i i c e c e c e c e e i ( ) ( ) e i α ( i i e e ) αisi ( ) ( ) a i y a y α si. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 4

40 . orward (eplici) idıbeli bal oldali érbeli séma ( ) α ( i e ) α cos( ) i si( ) α α [ ] ( α) [ cos( )] α A sabiliás feléele: ( α) α A fázisiba a öveezı alao öli: r αsi q arcg qα α ( cos q), q. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 4

41 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 4 a érbeli cerál séma operáora: 3. Implici séma: idıbe forward érbe é cerál séma álaga δ δ δ δ δ A séma abszolú sabil és erális!

42 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 43 δ δ δ δ 4 4 e e e e i i i i e e e e i i i i 4 4 ( ) ( ) si si i i α α α

43 A séma áráya: boyoll eleıs fázisibá lépee fel, gyais c c arcg si( ) π és c,a Lassía a llámoa, azaz az implici sémá olya módso eseé aszosa, melye gyorsa erede (pl. veriális agllámo), de az idıárás szempoából eleıségü icsi. A boyollság foozaó: súlyozo álago bevezeésével.. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 44

44 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 45 beelyeesíése: 4. Leapfrog séma: idıbe érbe cerál eplici séma ( ) α erálisa sabil ( ) i e c ( ) ( ) ( ) ( ), si p p i p i i ± α ( ) p si α ( ) ( ), ± > p p i p p α α egyi megoldás midig isabil

45 ( ) i p± Ké megoldás: fiziai számíási (amis!) Hogya lee megülöbözei ıe? Elvár, ogy eseé a özelíı megoldás a poos megoldásoz arso, azaz. A számíási módsz eseé -., p Másodi ezdei feléel megadása: Eler-séma az elsı idılépcsıbe Segédlépés az elsı idılépcsıbe. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 46

46 Nemlieáris feladaoál a számíási módsz az idıvel ı. Módszere: Eler-lépés beiaása bizoyos idıözöé Szőrı: a szomszédos idılépcsıbeli éréee ombiála γ ( ) ( ) Mégis elered séma, mer egyszerő másodredő sabiliás eseé erális (em csillapí). febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 47

47 Sabiliásvizsgála Nema-módszerrel módszerrel lieáris graviációs llám egyelee Eddig: lieáris adveció egyelee, leggyorsabba eredı mozgásforma sebessége adveciós sebesség, az eez arozó sabiliási riérim: Maimális adveciós sebesség: m/s m-es rácsávolság eseé ~ s idılépcsı. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 48

48 Graviációs llám egyele: g H olyoos megoldás: i ( ) ( c) i( c a ) e be i ( ) ( c) i( c, c e d e ), c ± gh Teá a llámszámoz é, elleées iráyba ± aladó llám arozi. gh fázissebességgel. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 49

49 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 5. Idıbeli érbeli cerál séma H g ( ) ( ) i i e e ˆ ˆ beelyeesíése á: ( ) ( ) gh p i p i gh g H si si : ˆ ˆ Ha

50 Eor a sabiliás feléele a lieáris adveciós egyele miáára: gh gh Teá a CL-riérimba a graviációs llám eredési sebessége elei meg, ami az adveciós sebességél szigorúbb feléel ele. Ha a eredési sebesség ipis agyságrede: 3 m/s, aor m-es felboás eseé az idılépcsı ~3 s. orward idıbeli érbe cerál séma gh si ( ) abszolú isabil. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 5

51 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 5 3. Implici séma: é idılépcsıbeli érbeli véges differecia álaga idıbeli Abszolú sabil séma, de redívül ölséges, mer mide idılépcsıbe meg ell oldai a lieáris Helmolz-egyelee. H g δ δ δ δ ( ) ( ) ( ), gh δ

52 Adveció és graviációs llám-agoa egyará aralmazó egyele g H Hllámmegoldás: i ( ) ( c, e ) i ( ) ( c, e ) A eredési sebesség: c ± gh. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 53

53 . febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 54 H g Példál: idıbe leapfrog érbe cerál séma: ( ) ( ) i i e e ˆ ˆ beelyeesíése á: ( ) ( ) ( ) ( ) gh p i p gh i si si gh Sabiliási riérim: Továbbra is döıe a graviációs llám fázissebessége aározza meg az idılépcsı

54 Összefoglalás Leír mozgásformá D lieáris adveció Graviációs llám Adveció graviációs llám Maimális eredési sebesség ± gh ± gh Eplici Eler cerál érbeli séma abszolú isabil abszolú isabil Implici idıbeli cerál érbeli séma abszolú sabil abszolú sabil? Leapfrog cerál érbeli séma CL CL CL CL riérim gh gh Cél: az idılépcsıre voaozó riérim eyíése a sabiliás és a poosság megarásával. febrár 8. p://imbs.ele./~melo/ma/ 55