3D-s számítógépes geometria

Hasonló dokumentumok
3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D-s számítógépes geometria

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

i 0 egyébként ábra. Negyedfokú és ötödfokú Bernstein polinomok a [0,1] intervallumon.

3D Számítógépes Geometria II.

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D-s számítógépes geometria

IV. INTEGRÁLSZÁMÍTÁS Feladatok november


3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Komplex számok. d) Re(z 4 ) = 0, Im(z 4 ) = 1 e) Re(z 5 ) = 0, Im(z 5 ) = 2 f) Re(z 6 ) = 1, Im(z 6 ) = 0

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

Gráfelmélet/Diszkrét Matematika MSc hallgatók számára. 13. Előadás

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Jelek 1/44 1. JELEK 2

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

3D Számítógépes Geometria II.

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Görbe- és felületmodellezés. Szplájnok Felületmodellezés

Geometriai modellezés. Szécsi László

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

7. gyakorlat megoldásai

A szerkezetszintézis matematikai módszerei

Rekurzív sorozatok. SZTE Bolyai Intézet nemeth. Rekurzív sorozatok p.1/26

Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz. 2 dx = 1, cos nx dx = 2 π. sin nx dx = 2 π

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév 2. forduló haladók II. kategória

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

3D Számítógépes Geometria II.

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

3D-s számítógépes geometria

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

Geometria II gyakorlatok

Számítógépes Grafika mintafeladatok

Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.

Regresszió számítás. Mérnöki létesítmények ellenőrzése, terveknek megfelelése. Geodéziai mérések pontok helyzete, pontszerű információ

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás

Gráfelméleti alapfogalmak-1

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Geometria II gyakorlatok

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?

Fraktálok. Löwy Dániel Hints Miklós

1. Határozzuk meg, hogy mikor egyenlő egymással a következő két mátrix: ; B = 8 7 2, 5 1. Számítsuk ki az A + B, A B, 3A, B mátrixokat!

3D-s számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Számítógépes geometria (mester kurzus) III

3D Számítógépes Geometria II.

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

= λ valós megoldása van.

Függvényhatárérték és folytonosság

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

I. rész. Valós számok

Klár Gergely 2010/2011. tavaszi félév

10. Alakzatok és minták detektálása

TANMENET. Matematika

Tehetetlenségi nyomatékok

Az integrálszámítás néhány alkalmazása

Miskolci Egyetem Gépészmérnöki és Informatikai Kar Alkalmazott Informatikai Tanszék

3D Számítógépes Geometria II.

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

8. Geometria = =

Molekulák elektronszerkezete - kv2n1p07/1 vázlat

x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?

286 Versenyre előkészítő feladatok VIII. FEJEZET. ÖSSZEFOGLALÓ FELADATOK VIII.1. Versenyre előkészítő feladatok (337. oldal)

Diszkrét matematika 2.

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja: z x iy,

Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q

y x Komplex mennyiségek tulajdonságai, műveletei Komplex mennyiség komplex szám komplex vektor. a) Komplex mennyiség algebrai alakja:, z x iy x

EUKLIDESZI TÉR. Euklideszi tér, metrikus tér, normált tér, magasabb dimenziós terek vektorainak szöge, ezek következményei

ADALÉKANYAG SZEMMEGOSZLÁSÁNAK TERVEZÉSE

Matematika 11. osztály

10.M ALGEBRA < <

Elemi matematika szakkör

3D Számítógépes Geometria II.

A szerkezetszintézis matematikai módszerei

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

Henger eltávolítása 3D szkennelt kavicsról

ÖKONOMETRIA. Készítette: Elek Péter, Bíró Anikó. Szakmai felelős: Elek Péter június

1. Gyökvonás komplex számból

Megáll a józan ész! ( vagy csak az ész? ) Ágotai László (Kisújszállás)

. feladatsor 8. Hányféleképpen lehet sorba rendezni a METALLICA szó betűit?...( pont) 9. Tamás elhatározta, hogy fából kifaragja a Kheopsz piramis kic

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Az előadás kvaternió alapú dárumtranszformációs analitikus megoldást ismertet Bemutatja

3D Számítógépes Geometria II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

NE HABOZZ! KÍSÉRLETEZZ!

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

KOMPUTERGRAFIKAI ALAPOK

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Mátrixok 2017 Mátrixok

Egyszabadságfokú grejesztett csillapított lengõrendszer vizsgálata

Átírás:

3D-s számítógées geometra 7a. Rekurzív felosztáso alauló felületek htt://cg.t.bme.hu/ortal/ode/3 htts://www.vk.bme.hu/kezes/targyak/viiiav0 Dr. Várady Tamás BME, Vllamosmérök és Iformatka Kar Iráyítástechka és Iformatka Taszék 3D-s számítógées geometra

Tartalom Áttektés Polgook rekurzív felosztása (subdvso) saroklevágó algortmusok teroláló algortmus Poléderek rekurzív felosztása követelméyek alakérdések Doo-Sab algortmus, Catmull-Clark algortmus, Közé-osztás Loo-féle osztás, 3 osztás 3D-s számítógées geometra

Szabadformájú felületek - áttektés. Tezor szorzat alaú felületek égyoldalú ( 4) aramétertartomáy, N x M-es kotroll háló Bézer felületek (olomáls) B-sle felületek (szakaszokét olomáls). Bézer és B-sle felületek kterjesztése (S-atch-ek - 4 oldal, secáls kotrollháló) racoáls Bézer felületek ( 4) racoáls B-sle felületek ( 4) T-sle-ok ( 4, szakaszos olomok, háyos kotrollháló) 3. Iteroláló (traszft) felületek határgörbék és keresztdervált függvéyek Coos atch ( 4) általáos -oldalú felületek 4. Poléder-alaú általáos toológájú felületek felosztásos felületek (rekurzív szubdvzó) (összellesztett sle felületek) T [ C] [ ( v s ( u, v) [ α( u)] β )] Áttektés 3

Rekurzív olgo-felosztás Rekurzív olgo-felosztás {,, K, k )} {,, K, korább olgo otok leárs kombácója: m l α j j j( m), m, K, k kérdések: kovergál valamlye görbéhez? olomáls görbe? mlye mértékbe sma? k. Chak algortmus (sarok levágás): 3 3 ; 4 4 4 4 másodfokú B-sle (!), C } Polgook rekurzív felosztása. (0,) (,)(,) (.5,) (,.5) (,.5) (3,4) (,3)(3,) (0,,,3,4) (0,,.5,,.5,3,4) (3,.5) 4

5 Polgook rekurzív felosztása Rekurzív olgo-felosztás. Felosztás alteratív súlyokkal kovergál, harmadfokú B-sle, C a folytoosság aalízs elve (sajátértékek): dagozálás (sajátvektorok, sajátértékek): 3. Iteroláló felosztás (égy-ot): közéső ot meghatározása: harmadfokú Lagrage terolácó kovergál, C határgörbe AD D D, ) 9 9 ( 6 ;. ; 8 4 3 8 Λ A EΛ E A D D E E A r r r,

Rekurzív oléder-felosztás (Doo-Sab) (Loo) Rekurzív felosztáso alauló felületek (Pxar) 6

Rekurzív oléder-felosztás Követelméyek: általáos toológa lokáls módosíthatóság egyszerű szabályok (maszk) hatékoy algortmus aff lekézésre varás sma felület herarchkus rerezetácó kovex burok? Subdvso vdeo Alakérdések: fomítás szabály: sarok-levágás vagy csúcs-beszúrás a oldérsorozat háromszög vagy égyszög alaú aroxmácó vagy terolácó smaság (G vagy G ) szabályos csúcsok vs. külöleges (extraordary) csúcsok Felosztás roblémák Rekurzív felosztáso alauló felületek 7

Rekurzív oléder-felosztás 3. Doo-Sab felületek a Chak algortmus általáosítása mde -oldalú la összezsugorodk, és új csúcs keletkezk rajta: v () α v j j 5 α, 4 j π ( j) 3 cos α j 4 LAP-la az eredet la belsejébe ÉL-la mdg égyoldalú, az élek meté CSÚCS-la csúcs körül a égyoldalú laok száma ő másodfokú B-sle felület darabok G szabályos csúcsok (4) külöleges csúcsok s keletkezek: 4 oldalú laok, 4 fokú csúcsok 8 9 6 3 6 3 6 6 Rekurzív felosztáso alauló felületek 8

Rekurzív oléder-felosztás 4. Catmull-Clark felületek harmadfokú B-sle felületek általáosítása () új LAP-csúcs közéot, f j () új ÉL-csúcs az él végotjaak és a szomszédos LAP-csúcsok átlaga, e j () új CSÚCS-csúcs la által körülvéve: v 3 v f j e j j j új laok, az első osztás utá égyoldalú hurkok: f e v e f kovergál, szabályos csúcs (4) G határfelület, külöleges csúcsok ( 4) G Rekurzív felosztáso alauló felületek 9

Rekurzív oléder-felosztás 5 3. Közéosztásos felületek (Peters & Ref) a legegyszerűbb séma mde élre új felező ot új laok befoglalt LAP-laok csúcskörül CSÚCS-laok égyoldalú laok domálak szabályos csúcsok (4) külöleges csúcsok az eredet csúcsok körül kovergál, G határfelület Rekurzív felosztáso alauló felületek 0

Rekurzív oléder-felosztás 6 4. Loo-féle felosztás háromszöghálók fomítása () az adott él csúcsa: v,v () a csatlakozó csúcsok: v 3,v 4 új ÉL-csúcs: 3 e j ( v v ) ( v 3 v 4 ) 8 8 új CSÚCS-csúcs szomszéd alajá: v ( α) v α v j sma határfelület szabályos csúcsok (6) G, (egyedfokú Bézer háromszögek); külöleges csúcsok ( 6) csak G 3 5 3, 3; π α α cos, > 3 6 8 8 4 j, (Maszkok) Rekurzív felosztáso alauló felületek

Rekurzív oléder-felosztás 7 5. 3 felosztás háromszögháló fomított háromszögháló () mde háromszöget három részre hasítuk () a keletkező égyszögátlókat megcseréljük (fl) közéot csúcsok összekötése az eredet csúcsokat újraszámoljuk szomszédos csúcs alajá: v ( α ) v α v j j, α π 4 cos mde terácó cserél a struktúra ráyítását, két terácó egy háromszögből 9-et készít sma határfelület szabályos csúcsok (6) G, külöleges csúcsok ( 6) csak G 9 Rekurzív felosztáso alauló felületek

Öálló feladat** A Loo-féle rekurzív felosztás számítógées mlemetácója Iut: háromszögháló Outut: fomított háromszögháló léés utá 3D grafka; teraktív lokáls módosítás Leke (butterfly) séma (teroláló maszk) Rekurzív felosztáso alauló felületek 3

A következő előadás tartalma A Bézer és B-sle rerezetácók kterjesztése (7b) Racoáls olomok Projektív traszformácó Kúszeletek Racoáls görbék és felületek Forgásfelületek Háyos csomóvektor struktúrák motívácó lokáls kotrollot alaú sle felületek T-sle kostrukcó Következő előadás 4