0 október Függvényábrázolások, Összetett üggvény, Inverz üggvény Bev Mat BME ( Válogatás a eladatgyüjteményből ) ) 0 0 0 0 ( ) ( ) 5 5 5 5 Ábrázolás Függvénytranszormációval : y y 5 ( tengely mentén eltolás balra 5-tel ) 0 y 5 ( y tengely mentén 0-szeresre nyújtás ) 0 4 y 5 ( y tengely mentén eltolás leelé -gyel ) Ábrázolás Koordinátatranszormációval : 0 y 5 y 0 5 y ( ) 0 ( 5) Az új koordinátarendszer origója ( 0, y0 ) ( 5, ), az új tengelyeken az egységek a régi egységek A ill B 0 -szeresei Ebben az új koordinátarendszerben az η ξ graikont kell ábrázolnunk Megj: 0 > 0 > 0 < 5 < 0 5 < < 5 5 0 0 0 0 0 5 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 6 4 6 6 y 5 0 alakban is megadhattuk volna az egyenletet, ekkor a vizszintes tengelyen 0-szereződött volna az új rendszerbeli egység, a üggőleges tengelyen változatlan maradt volna Az ábrázolt graikon ua Károlyi Katalin : 0_0_Fuggvenyek o 6 0004 :4
) Rajzoljuk el az : és a g( ) : hozzárendelésekkel deiniált üggvények graikonjait! Adjuk meg az ( a ) ( a ) és a g ( a ) g( a ) értékeket! ( R Határozzuk meg az ( g( )) a ) a és az a g( ) összetett üggvényeket! ( o g és g o üggvénykompozíciók ) g () () ( a ) ( a ) a a a a a ( ) 80 a 80 ( ( a ) ) g ( a ) g( a ) ( a ) ( a ) 80 a a a ( ) a 80 ( g( a) ) ( g( )) ( ) g ( R ) és g ( ) ( R ) ) Rajzoljuk el az sin a, sin, Ezek közül melyik üggvény lesz szigorúan monoton növő a ( 0, π ) intervallumon? g ( ) sin, h ( ) π üggvények graikonjait! Függvénytranszormációval : az itt szereplő üggvények közül csak az a sin üggvény ( 0, π intervallumon szig mon növő a ) 4) Adjuk meg az alábbi üggvények zérushelyeit és értelmezési tartományát : a) ( ) ( ) D 4 R \ { } ( ) 0 ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 nullhelyei : 0,, Károlyi Katalin : 0_0_Fuggvenyek o 6 0004 :4
b) 4 ( ) ( ) g( ) D R \ { 0 } 6 g g ( ) 0 ( ) ( 4 ( ) ) ( ) ( ) 0 g nullhelyei :,, c) ( 4) ( 4) h ( ) D 4 h R \{, } ( 4) h ( ) 0 ( 4) ( ( 4) ) ( 4) ( 4 4 ) 8 ( 4) ( ) 0 h nullhelyei : 0,, 5) Függvények kompozíciója ( Összetett üggvény ) : o g g o ln ( ),, g ( ) ( g( )) ln ( ) g ( ) (ln ( )) D R, R R { 0 } D g R, R g [, ) ln ( ) 4 ln ( ) D o g R, R o g R { 0 } Dg o R, Rg o [, ) ( g(0)) () 0, g ( ()) g(0) 6) Legyen e, g( ) sin Adjuk meg az ( g(0) ) és a ( (0) ) g értékeket! ( g(0) ) (sin ( 0) ) (0 ) 0 ( g(0) ) e e e e, g( (0) ) sin ( (0) ) sin ( ( 0 ) e ) sin 7) Függvények inverze ( Injektív üggvények esetén!!! ) : Deiníció : Az : X Y üggvényt injektív -nek nevezzük, ha az értelmezési tartományának bármely két, helyére az ( ) egyenlőségből következik ( Azaz:, D ( ), vagy másképpen:, D ) Megj : Pl a szigorúan monoton növő ill szigorúan monoton ogyó üggvények injektívek Pl az a üggvény injektív, de nem szigorúan monoton ( R -on ill R -on külön-külön szigmon ogyó ) Károlyi Katalin : 0_0_Fuggvenyek o 6 0004 :4
Deiníció : Az : X Y injektív üggvény inverze az : R D, ( ) üggvény ( inverze tehát az üggvénykapcsolat "megordítása" : és az értelmezési tartománya az értékkészlete, R y elemeihez azt az D elemet rendeli, melyre y, ( azaz ( y) értékkészlete emiatt az értelmezési tartományával egyezik ), ha y ) Descartes-koordinátarendszerben ábrázolva graikonja az graikonjának az y egyenesre vonatkozó tükörképe 7a) 4 injektív üggvény, hiszen, D R \ { } 4 4 inverzének meghatározása : D R R \ { 4 }, és 4 ( ) 4 R D R \ { } Az inverz meghatározásánál lényegében úgy járhatunk el, hogy a üggvényváltozót és a üggvényértéket megcseréljük, így az inverzüggvény implicit alakját kapjuk, majd ebből az eplicit alakot meghatározzuk : y 4 injektív üggvénykapcsolat ( ) 4 inverzének ( -nek ) implicit alakja y 4 y y y 4 4 4 7b) g ( ) injektív üggvény, hiszen szigmonnövő ( Így D R, g ) g inverzének meghatározása : D R (, ), és g g g ( ) g ( ) log ( ) R D g g R Vagy így : y y inverz y log ( ) y log ( ) Károlyi Katalin : 0_0_Fuggvenyek 4 o 6 0004 :4
7c) ( ) ln ( ) h injektív üggvény, hiszen szig mon növő h inverzének meghatározása : D R R, és h h ln ( h ( )) h ( ) e R h D h R Vagy így : y ln inverz ln y ln y y e 7d) ( ) l injektív üggvény, hiszen szig mon növő l inverzének meghatározása : D Rl R { 0 }, és l l l ( ) ( ) D [, ) R l l Vagy így : y inverz y y y 8 Ábrázoljuk az alábbi üggvényeket : a) 5 ha e ha < ( ) 4 ( ) e Károlyi Katalin : 0_0_Fuggvenyek 5 o 6 0004 :4
8b) g( ) / ha > g( ) ha Adjuk meg a üggvény minimumait és maimumait a, ] [ intervallumon! A [, ] intervallumon a v, maimális értéke, minimális értéke melyeket a v az ill az helyeken vesz el 8c) h( ) ha h( ) ( ) (4 ) ha > Adjuk meg a üggvény lokális minimum és maimumhelyeit a [, 5] intervallumon! A, 5] [ intervallumon a v lokális minimumhelye ( ) a lokális minimumérték ), ( lokális maimumhelye ( ) a lokális maimumérték ) ( Határozzuk meg az alábbi üggvények értelmezési tartomámyát és zérushelyeit : a) ln ( ) Értelmezési tartomány: D > 0 pozitív -ek esetén >, negatív -ek esetén < (, 0 ) (, ) D Nullhelyek : 0 ± 5, b) Értelmezési tartomány: 0 D (, 05 ] D Nullhelyek : 0 4 Károlyi Katalin : 0_0_Fuggvenyek 6 o 6 0004 :4