Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett

Parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétel mellett Kovács Balázs és Christian Lubich University of Tübingen SFB 1173 BME Alkalmazott Analízis Szeminárium 2016. november 10., Budapest Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 1 / 43

Kivonat Néhány egyszer példa Variációs formalizmus és további példák Térbeli diszkretizáció poligonális tartámányok esetén Sima tartományok Id diszkretizációk Numerikus kísérletek Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 2 / 43

Egyszer parabolikus feladatok dinamikus peremfeltétellel Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 3 / 43

H vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel H vezetési egyenlet Wentzell-féle peremfeltételek mellett: { t u= u Ω-ban t u= u ν u Γ-n, Ω R d korlátos tartomány; Γ = Ω peremmel a felület; ν u normális derivált Γ-n; Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 4 / 43

Felülettartomány diúziós egyenlet Tekintsük egy felületi diúziót és a tartománybeli diúziót csatoló feladatot: { t u= u Ω-ban t u= Γ u ν u Γ-n, ahol Γ a LaplaceBeltrami operátor. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 5 / 43

Variációs formalizmus és néhány további példa Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 6 / 43

Absztrakt variációs formalizmus autonóm eset Tekintsük a lineáris parabolikus feladatok szokásos absztrakt felírását: legyen V és H Hilbert-tér, és normákkal, továbbá a V H beágyazás legyen s r és folytonos. Gelfand-hármas Jelölje (, ) a skalárszorzatot H-n. Legyen az a(, ) folytonos szimmetrikus bilineáris forma, amely teljesíti a Gårding-egyenl tlenséget: a(v, v) α v 2 c v 2 v V (α > 0, c R). ld. [Thomée], [Lubich és Ostermann (1994)], [Simon L. (2014)], stb. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 7 / 43

Absztrakt variációs formalizmus autonóm eset Ekkor az absztrakt parabolikus feladat az alábbi alakban írható fel { ( u(t), v) + a(u(t), v) = (f (t), v) v V (0 < t T ) u(0) = u 0. Tekinthet egy H-gradiens áramlásnak, azaz ( u, v) = E (u)v v V, az E(v) = 1 a(v, v) v V energiafunkcionál mellett. 2 Ekkor teljesül a következ a priori energia becslés: t ( u(t) 2 + α u(s) 2 ds e 2ct u 0 2 + 1 t f (s) 2 ). 0 α ds 0 [Daturay és Lions (1992)] Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 8 / 43

Klasszikus PDE-k A h vezetési egyenlet homogén Dirichlet peremfeltétellel Legyen V = H0 1(Ω) és H = L 2(Ω), a bilineáris formák pedig a(u, v) = u vdx, Ω (u, v) = uvdx. Ω A fenti gradiens áramlás alapján { t u = u Ω-ban u = 0 Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 9 / 43

Klasszikus PDE-k A h vezetési egyenlet homogén Dirichlet peremfeltétellel Legyen V = H0 1(Ω) és H = L 2(Ω), a bilineáris formák pedig a(u, v) = u vdx, Ω (u, v) = uvdx. Ω A fenti gradiens áramlás alapján { t u = u Ω-ban u = 0 Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 9 / 43

Klasszikus PDE-k A h vezetési egyenlet homogén Neumann peremfeltétellel Legyen V = Ḣ 1 (Ω) és H = L 2 (Ω), a bilineáris formák pedig a(u, v) = u vdx, Ω (u, v) = uvdx. Ω A fenti gradiens áramlás alapján { t u = u Ω-ban ν u = 0 Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 9 / 43

Hogyan illenek a fenti feladatok az absztrakt formalizmusba? I. H vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel Legyen V = {v H 1 (Ω) γv H 1 (Γ)}, H pedig izomorkus L 2 (Ω) L 2 (Γ)-val. Bilineáris formák: a(u, v) = (u, v) = Ω Ω u v + κ uv + µ Γ Γ (γu)(γv) (γu)(γv) + β Γ Γ u Γ v, κ R, β 0 és µ > 0. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 10 / 43

Hogyan illenek a fenti feladatok az absztrakt formalizmusba? II. A gradiens áramlás alapján: { t u = u Ω-ban µ t u = β Γ u κu ν u Γ-n, energia funkcionál: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω) + 1 2 κ γv 2 L 2 (Γ) + 1 2 β Γv 2 L 2 (Γ). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 11 / 43

Mit l lesz dinamikus egy peremfeltétlel? Klasszikus h vezetési egyenlet Hilbert-terek: V = H 1 0(Ω) és H = L 2 (Ω) Bilineáris formák: a(u, v) = u v Ω (u, v) = uv Ω Energia funkcionálok: E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω). Gradiens áramlás, ( u, v) = E (u)v, szerint: { t u = u Ω-ban 0 = u Γ-n, Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 12 / 43

Mit l lesz dinamikus egy peremfeltétlel? Klasszikus h vezetési egyenlet dinamikus peremfeltétellel Hilbert-terek: V = {v H 1 (Ω) γv H 1 (Γ)} és H = L 2 (Ω) L 2 (Γ) Bilineáris formák: a(u, v) = u v + κ (γu)(γv) + β Γ u Γ v Ω Γ Γ (u, v) = uv + µ (γu)(γv) (κ R, β 0, µ > 0), Ω Energia funkcionálok: Γ E(v) = 1 2 v 2 L 2 (Ω) + 1 2 κ γv 2 L 2 (Γ) + 1 2 β Γv 2 L 2 (Γ). Gradiens áramlás, ( u, v) = E (u)v, szerint: { t u = u Ω-ban µ t u = β Γ u κu ν u Γ-n, Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 12 / 43

Lineáris nem-autonóm rendszerek I. Legyen V és H mint korábban, ekvivalens id függ normákkal: t és 2 t = m(t;, ). Legyen továbbá az a bilineáris forma is id függ, a(t;, ). Szükség van továbbá plusz (természetes) korlátossági feltételekre: m, a, m t és a t id ben korlátos. [Dziuk, Lubich és Mansour (2012)] Minden tulajdonság (norma ekvivalenciák, Gårding, korlátosság, stb.) id ben egyenletesen teljesül. Absztrakt nem-autonóm PDE: m(t; u(t), v) + a(t; u(t), v) = m(t; f (t), v) v V (0 < t T ) u(0) = u 0. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 13 / 43

Lineáris nem-autonóm rendszerek II. Például, h vezetési egyenlet nem-autonóm dinamikus peremfeltétellel: { t u = u µ(x, t) t u(x, t) = κ(x, t)u(x, t) + Γ (β(x, t) Γ u(x, t) ) ν u(x, t) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 14 / 43

Nemlineáris feladatok Szemilineáris feladatok szintén hasonlóan kezelhet ek: ( u(t), v) + a(u(t), v) = (f (u(t)), v) v V (0 < t T ) u(0) = u 0, ahol f : V H egy kell en sima függvény. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 15 / 43

Felületi reakciódiúzió egyenlet csatolása a tartománybeli diúzióhoz Egy tipikus példa: { t u= u Ω-ban µ t u= β Γ u + f (u) ν u Γ-n = Ω ahol f : R R C 2 függvény (f és f lokálisan Lipschitz). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 16 / 43

AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltétellel Legyenek W, W Γ : R R adott függvények (tipikusan valamilyen potenciál, pl. W (u) = (u 2 1) 2 ). Ekkor az AllenCahn egyenlet t u = u W (u) Ω-ban dinamikus peremfeltétellel: µ t u = β Γ u W Γ (u) νu Γ-n. ún. AllenCahn/AllenCahn csatolás Sok zikai cikk. [Gal (2008); Liero (2013); Colli és Fukao (2015);... ] Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 17 / 43

CahnHilliard egyenlet dinamikus peremfeltételekkel Egy jól ismert mintázatképz dési modell: Tekintsük a CahnHilliard egyenletet t u= w w= u W (u) Ω-ban, Allen-Cahn típusú dinamikus peremfeltétellel: µ t u= β Γ u W Γ (u) νu ν w= 0 Γ-n. ún. Cahn-Hilliard/Allen-Cahn csatolás Komplikált alapterek V és H. [Cherls, Petcu és Pierre (2010)] [Kenzler et. al. (2011); Gal (2008); Goldstein, Miranville és Schimperna (2011);... ] Lehetséges Cahn-Hilliard/Cahn-Hilliard csatolás is. (Még bonyolultabb alapterekkel.) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 18 / 43

Térbeli szemidiszkretizáció ahol κ R, β 0 és µ > 0. { t u = u Ω-ban µ t u = β Γ u κu ν u Γ-n, Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 19 / 43

Végeselem módszer lineáris bázisfüggvények Keressük u h : [0, T ] V h szemidiszkrét megoldást úgy, hogy ( u h (t), v h ) + a(u h (t), v h ) = (f (t), v h ) v h V h (0 < t T ) (u h (0), v h ) = (u 0, v h ) v h V h. ahol ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ N a V h V tér bázisfüggvényei. Ekvivalens közdi rendszer (u(t) = (u i (t))): M u(t) + Au(t) = b(t), az alábbi tömeg és merevségi mátrixszal: m ij = (ϕ j, ϕ i ), a ij = a(ϕ j, ϕ i ) és b i (t) = (f (t), ϕ i ). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 20 / 43

El étel Els rend hibabecslések poliédereken I. Kulcs a szemidiszkrét energia becslés (nem csak poliéderen!): t ( u h (t) 2 + α u h (s) 2 ds e 2ct u h (0) 2 + 1 t f (s) 2 ). 0 α ds 0 Továbbá a Ritz projekció (a-ortogonális projekció) a(r h u, v h ) = a(u, v h ) v h V h (κ > 0) Teljesíti az alábbi hibabecslést u R h u 2 Ch 2 ( u 2 H 2 (Ω) + β γu 2 H 2 pw (Γ) ) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 21 / 43

El étel Els rend hibabecslések poliédereken II. Szemidiszkrét hibabecslés: u(t) u h (t) 2 + t Bizonyítás: Ld. [V. Thomée]: Bontsuk fel a hibát 0 u(t) u h (t) 2 dt Ch 2. u h u = (u h R h u) + (R h u u) alakban. El bbire energia becslés, utóbbira a fenti Ritz projekció hibabecslés. [...] Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 22 / 43

Sima felületek Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 23 / 43

Lift operátor Sima felületek esetében elkerülhetetlen a felület és a tartomány approximációja, és így extra óvatosság is szükségeltetik, ld. [Dziuk, Elliott, Ranner,... (1988)]. V h V p x Γ h Γ Fontos(!): Új interpolációs becslések: tartomány [Bernardi (1989), Elliott és Ranner (2013)], felület [Dziuk (1988)] Egyéb geometrikus hibák megfelel becslése. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 24 / 43

Diszkrét bilineáris formák a h (u h, v h ) = m h (u h, v h ) = u h v h + κ Ω h (γ h u h )(γ h v h ) + β Γ h u h v h + µ Ω h (γ h u h )(γ h v h ), Γ h Γ h Γh u h Γh v h Geometriai hibák becslése: tetsz leges v h, w h V h esetén a(v l h, w l h ) a h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h, m(v l h, w l h ) m h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h. Fontos becslés [Elliott és Ranner (2013)]: v L2 (B l h ) Ch1/2 v H1 (Ω) ( v H 1 (Ω)). (1) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 25 / 43

Diszkrét bilineáris formák a h (u h, v h ) = m h (u h, v h ) = u h v h + κ Ω h (γ h u h )(γ h v h ) + β Γ h u h v h + µ Ω h (γ h u h )(γ h v h ), Γ h Γ h Γh u h Γh v h Geometriai hibák becslése: tetsz leges v h, w h V h esetén a(v l h, w l h ) a h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h, m(v l h, w l h ) m h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h. Fontos becslés [Elliott és Ranner (2013)]: v L2 (B l h ) Ch1/2 v H1 (Ω) ( v H 1 (Ω)). (1) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 25 / 43

Diszkrét bilineáris formák a h (u h, v h ) = m h (u h, v h ) = u h v h + κ Ω h (γ h u h )(γ h v h ) + β Γ h u h v h + µ Ω h (γ h u h )(γ h v h ), Γ h Γ h Γh u h Γh v h Geometriai hibák becslése: tetsz leges v h, w h V h esetén a(v l h, w l h ) a h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h, m(v l h, w l h ) m h(v h, w h ) Ch v l h L 2 (B l h ) w l h L 2 (B l h ) + Ch2 v l h w l h. Fontos becslés [Elliott és Ranner (2013)]: v L2 (B l h ) Ch1/2 v H1 (Ω) ( v H 1 (Ω)). (1) Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 25 / 43

Ritz leképezés sima tartományok esetén Deniáljuk a Ritz leképezést R h : V V l h a h ( R h u, v h ) = a(u, v l h ) a következ módon: v h V h ekkor, legyen R h u := ( R h u) l V l h. Nincs Galjorkin ortogonalitás! Nem projekció, csak leképezés! Ritz leképezés hibabecslése ) Els rend becslés: u R h u 2 Ch ( u 2 2 H 2 (Ω) + β γu 2 H 2 (Γ) ; Másodrend becslés:. normában, AubinNitsche trükk. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 26 / 43

Konvergencia becslések Legyen Ω R d egy sima tartomány (d 3), továbbá legyen u a feladat megfelel en sima megoldása. Ekkor a szemidiszkrét megoldás lineáris bázisfüggvények esetén teljesíti a következ els rend hibabecslést: u h (t) u(t) 2 + t 0 u h (s) u(s)) 2 ds C 1 h 2, Továbbá az alábbi másodrend hibabecslés is teljesül: u h (t) u(t) 2 L 2 (Ω) + µ γ(u h(t) u(t)) 2 H θ (Γ) C 2h 4, ahol θ = 1/2, ha β = 0 és θ = 0, ha β > 0. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 27 / 43

Általános PDE-k Hasonló eredmények igazak szemilineáris problémák (lokálisan Lipschitz) jó trükk (?!), ( ) nem-autonóm feladatok (gyelem(!): R h (t)u(t) R h (t) u(t)), esetén is. lumped mass végeselem módszer ( exponenciális integrátorok), d dt Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 28 / 43

Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) 2 + 1 2 t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 29 / 43

Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) 2 + 1 2 t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 29 / 43

Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) 2 + 1 2 t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 29 / 43

Egy jó trükk II. Inverz becsléssel: u h L (Ω) u h I h u L (Ω) + I h u L (Ω) Ch d/2 u h I h u L2 (Ω) + u L (Ω) Ch d/2 u h u L2 (Ω) + Ch d/2 u I h u L2 (Ω) + u L (Ω) CC 2 h 2 d/2 + Ch 2 d/2 u H2 (Ω) + u L (Ω) 3 r. 2 Azaz t nem lehetett maximális! t = T Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 30 / 43

Id diszkretizációk Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 31 / 43

Klasszikus implicit módszerek Ugyanazt az absztrakt formalizmust használjuk, amelyben a parabolikus feladatok id diszkretizációja jól ismert: pl. BDF vagy algebrailag stabil implicit RungeKutta módszerek. m( τ t un h, v h) + a(u n h, v h) = m(f (t n ), v h ) v h V h, [Akrivis, Crouzeix, Lubich, Ostermann, Savaré,...,... ] Például, egy k lépéses BDF módszer (k 5): a klasszikus rendben konvergál. ( δ0 τ M + A )u n = b(t n ) M 1 τ k δ j u n j. j=1 Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 32 / 43

Splitting módszerek I. Force splitting: válasszuk el a tartományt és a felületet: a(, ) = a Ω (, ) + a Γ (, ) A = A Ω + A Γ 1 [t 0, t 1/2 ]: M u(t) = A Γ u(t) + b Γ (t 0 ), kezdeti feltétel: u 0, megoldás: u 1/2,. 2 [t 0, t 1 ]: M u(t) = A Ω u(t) + b Ω (t 1/2 ), kezdeti feltétel: u 1/2,, megoldás: u 1/2,+. 3 [t 1/2, t 1 ]: M u(t) = A Γ u(t) + b Γ (t 1 ), kezdeti feltétel: u 1/2,+, megoldás: u 1. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 33 / 43

Splitting módszerek II. Component splitting: válasszuk el a bels és a perem pontokat: ( ) ( ) u0 M0 0 u =, M =, A = u 1 0 M 1 ( ) A00 A 01, b = A 10 A 11 ( b0 b 1 ). 1 [t 0, t 1/2 ]: M 1 u 1 (t) = A 11 u 1 (t) A 10 u 0 0 + b 1(t 0 ), kezdeti feltétel: u 0 1, megoldás: u1/2 1. 2 [t 0, t 1 ]: M 0 u 0 (t) = A 00 u 0 (t) A 01 u 1/2 1 + b 0 (t 1/2 ), kezdeti feltétel: u 0 0, megoldás: u1 0. 3 [t 1/2, t 1 ]: M 1 u 1 (t) = A 11 u 1 (t) A 10 u 1 0 + b 1(t 1 ), kezdeti feltétel: u 1/2 1, megoldás: u 1 1. Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 34 / 43

Numerikus kísérletek Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 35 / 43

AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltételekkel BDF2 { t u = u + f Ω Ω-ban µ t u = β Γ u ν u + W Γ (u) + f Γ Γ-n, BDF BDF 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 error m 10 4 error a 10 4 10 6 10 6 10 3 10 2 10 1 step size (τ) 10 3 10 2 10 1 step size (τ) BDF2 módszer hibája t = 1 id pontban

AllenCahn egyenlet dinamikus peremfeltételekkel BDF4 BDF BDF 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 4 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 4 error m 10 4 error a 10 4 10 6 10 6 10 3 10 2 10 1 step size (τ) 10 3 10 2 10 1 step size (τ) BDF4 módszer hibája t = 1 id pontban

Force splitting Γ - Ω force force 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 error m 10 4 error a 10 4 10 6 10 6 10 3 10 2 10 1 step size (τ) 10 3 10 2 10 1 step size (τ) Force splitting hibája t = 1 id pontban

Component splitting 0-1 component component 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 10 0 10 2 dof 144 dof 541 dof 2097 dof 8257 slope 2 error m 10 4 error a 10 4 10 6 10 6 10 3 10 2 10 1 step size (τ) 10 3 10 2 10 1 step size (τ) Figure: Component splitting hibája t = 1 id pontban

Összefoglalás általános absztrakt formalizmus; így a meglév id diszkretizációs eredmények direkt alkalmazhatóak; Ritz projekció nem a szokásos elliptikus formán alapul, hanem új, peremtagokat is tartalmaz, esetszétválasztás: β = 0, β > 0; sima felületek esetén a felület approximációja fontos; splitting(!!); Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 40 / 43

Köszönöm a gyelmet! Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 41 / 43

Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) 2 + 1 2 t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 42 / 43

Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) 2 + 1 2 t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 42 / 43

Egy jó trükk I. Legyen f és f lokálisan Lipschitz. A szemilineáris feladat hibabecslésében szükség van a nemlineáris tag becslésére, ehhez pedig egy u h (, t) L (Ω) 2r t T típusú becslésre (u-ról ez feltehet t = T esetén is). Legyen tehát t [0, T ] maximális úgy, hogy a fenti teljesül! Igazoljuk el ször a hibabecslést 0 t t esetén, azaz u h (t) u(t) 2 + 1 2 t 0 u h (s) u(s) 2 ds C e CL(2r)t h 4, 0 t t. Ekkor már csak azt kéne megmutatnunk, hogy t = T (kell en kis h > 0 esetén). Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 42 / 43

Egy jó trükk II. Inverz becsléssel kell en kis h esetén: u h L (Ω) u h I h u L (Ω) + I h u L (Ω) Ch d/2 u h I h u L2 (Ω) + u L (Ω) Ch d/2 u h u L2 (Ω) + Ch d/2 u I h u L2 (Ω) + u L (Ω) CC 2 h 2 d/2 + Ch 2 d/2 u H2 (Ω) + u L (Ω) 3 r. 2 Azaz t nem lehetett maximális! t = T Kovács B. (Tübingen) Dynamic boundary conditions 43 / 43