Gakorló feladatok a Kísérletek tervezése és értékelése c. tárgból Lneárs regresszó, smétlés nélkül mérések 1. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.8 3 3. 5 4.98 6 6.3 (a) Adjon becslést a kalbrácós egenes paraméterere! (b) Vzsgálja meg 5%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes átmeg-e az orgón? (c) Adjon 90%-os konfdenca-ntervallumot az egenes meredekségére! (d) Kmondhatjuk-e 90% valószínűséggel, hog az gaz egenes az x=4 helen Y=4 fölött halad? (e) Mlen ntervallumban lenne eg új mérés eredméne az x=4 helen 90% valószínűséggel? Megoldás (a) a = α = 4.08; b = β = 1.07; a = α = 0.08 Yˆ 0.08 1.07 x (b) Statsztka próbával megoldva: H 0 : Y x=0 = 0 H 1 : Y x=0 0 s = s r = ( Y ) = 0.0469; s n Y (x=0) = s [ 1 + (x x ) n (x x ) ] = 0.0868 t 0 = Y x=0 = 0.08 = 0.706; t s Y (x=0) 0.946 krt = t 0.05 () = 4.303 Elfogadás tartomán: 4.303 < t 0 < 4.303 5%-os szgnfkancasznten elfogadjuk, hog az gaz egenes átmeg az orgón. Konfdenca-ntervallummal megoldva: Kérdésünk ekkor az, hog az x = 0 helen az gaz egenes mlen értéket vesz fel 95%-os valószínűséggel. P(Ŷ x=0 t α/ s Y (x=0) < Y x=0 < Ŷ x=0 +t α/ s Y (x=0)) = 0.95 P( 1.475 < Y x=0 < 1.059) = 0.95 az ntervallum tartalmazza a 0-t, tehát 5%-os szgnfkancasznten elfogadjuk, hog az gaz egenes átmeg az orgón. 1
(c) P(β tα/ s b < β < β +tα/ s b ) = 0.90 s b = s (x x ) 0.00469; s b=0.0685; t krt = t 0.05 () =.9 P(0.87 < β < 1.7) = 0.90 (d) Ŷ x=4 = 4.08 Statsztka próbával megoldva: H 0: Yx=4 4 H 1: Y x=4 >4 t 0 = Y x=4 (Y x=4 H 0 ) s Y (x=4) Elfogadás tartomán: = 4.08 4 0.1083 = 0.739 t krt = t 0.1 () = 1.86 (egoldal!) -, t krt H0-t elfogadjuk. Az adatok nem bzonítják 10 %-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes az x=4 helen Y=4 fölött halad (de nem s mondanak ellent ennek). Konfdenca-ntervallummal megoldva: P(Ŷ x=4 t α s Y (x=4) < Y x=4 ) = P(4.08 1.86 0.1083 < Y x=4 ) = = P(3.88 < Y x=4 ) = 0.9 4 alatt értékek s beleesnek az ntervallumba, tehát az s elképzelhető, hog x=4 helen Y=4 alatt halad az egenes. Azaz nem lehetünk bztosak benne 10%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes az x=4 helen Y=4 fölött halad. (e) Jóslás ntervallum kell. P(Ŷ x=4 t α/ s (x=4) < x=4 < Ŷ x=4 +t α/ s (x=4)) = 0.9 s (x=4) = s r [1 + 1 n + (x x ) (x x ) ] = 0.0586; s (x=4) = 0.4 P(3.373 < x=4 < 4.787) = 0.9. példa Eg kalbrácó során mért adatokat (és az azokból számolt mennségeket) tartalmazza az alább táblázat. x jelöl a koncentrácót, az analtka jelet. x (x-x_átlag) (x-x_átlag) _becsült (-_becsült) 0.109 148-86.86 0.0375 1449 1075 0.15 193-89.53 0.07 1980 330 0.196 53 0.54 364 0.30 3804 -.13 0 3834 879 0.355 450 37.03 0.008 4488 997 0.398 501 478.35 0.0091 500 59 0.455 5751 876.68 0.03 574 735 0.50 677 151.88 0.0398 6305 759 szumma.73 34565 (a) Adja meg a becsült egenes egenletét! (b) Adjon 95%-os konfdenca-ntervallumot a meredekségre!
(c) Hhető-e az az állítás 1%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes meredeksége 1100? (d) Adjon 95%-os konfdenca-ntervallumot az egenes tengelmetszetére! (e) Hhető-e az az állítás 1%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes átmeg az orgón? (f) Adjon 90%-os konfdenca-ntervallumot az analtka jel várható értékére x=0.3-nál! (g) Alátámasztják-e az adatok azt az állítást 5%-os szgnfkancasznten, hog az gaz egenes x=0.3-nál Y=3830 alatt halad? (h) Mlen ntervallumban várható eg új mérés eredméne x=0.3-nál 90%-os valószínűséggel? () Eg új mérés során x=0.3-nál 390-at mértek. A mért érték eg analtkus szernt túlzottan különbözk attól, amt a becsült kalbrácós egenes alapján várnánk, ematt azt ganítja, hog elállítódott a készülék. Vzsgálja a kérdést statsztka módszerrel, legen a szgnfkancasznt 0.1! (j) Az alább táblázat a fent adatsorra a STATISTICA szoftverrel végzett lneárs regresszó eredménet tartalmazza. Válaszolja meg az (a), (b) és (c) kérdéseket az tt közölt eredmének alapján! (A numerkus eltérések a kerekítésnek köszönhetőek.) Effect Intercept x Parameter Estmates (Spreadsheet14) Sgma-restrcted parameterzaton -95,00% +95,00% Param. Std.Err t p Cnf.Lmt Cnf.Lmt 10,8 9,55379 3,4791 0,01079 3,94 17,70 1353,8889,9055137,4140,0000001141,301566,47 Megoldás: (a) A táblázat a hánzó cellákkal (sárga színnel kemelve): x (x-x_átlag) (x-x_átlag) _becsült (-_becsült) 0.109 148-86.86 0.0375 1449 1075 0.15 193-89.53 0.07 1980 330 0.196 53-69.81 0.0114 54 63 0.54 364-158.50 0.004 341 546 0.30 3804 -.13 0 3834 879 0.355 450 37.03 0.008 4488 997 0.398 501 478.35 0.0091 500 59 0.455 5751 876.68 0.03 574 735 0.50 677 151.88 0.0398 6305 759 szumma.73 34565 1837.1 0.1487 34565 8414 x =.373 = 0.3056 9 34565 a 3840.56 n 9 x x 1837.1 b x x 0.1487 1354.54 Y = 3840.56 + 1354.54(x 0.3056) = 10.57 + 1354.54x 3
(b) s r ˆ Y 8414 s 10 n 7 t α/ = t 0.05 (7) =.365 P(β tα/ s b < β < β +tα/ s b ) = s b s 10 8083.39 x x 0.1487 = P(1354.54.365 8083.39 < β < 1354.54 +.365 8083.39) = 0.95 P(1141.91 < β < 1567.17) = 0.95 (c) H : 1100 H : 1100 0 1 t 0 = b 1100 = 1354.54 1100 =.831 t s b 8083.39 α/ = t 0.005 (7) = 3.499 3.499 <.831 < 3.499 tehát 1%-os szgnfkancasznten az adatok nem mondanak ellent annak az állításnak, hog a meredekség 1100. (d) s α = s Y (x=0) = s [ 1 + (x x ) n (x x ) ] = 10 [1 + (0 0.3056) ] = 873.53 9 t α/ = t 0.05 (7) =.365 P(3.67 < α < 17.47) = 0.95 (e) H 0 : Y x=0 = 0 H 1 : Y x=0 0 t 0 = Y x=0 s Y (x=0) 0.1487 = 10.57 873.53 = 3.470; t α/ = t 0.005 (7) = 3.499 Mvel a 3.470 a (-3.499,3.499) ntervallumon még éppen belül van 1%-os szgnfkancasznten elfogadjuk azt a feltételezést, hog az egenes keresztülmeg az orgón. (f) Y x=0.3 = 10.57 + 1354.54 0.3 = 3808.93 s Y (x=3) = s [ 1 n t α/ = t 0.05 (7) = 1.895 + (x x ) (x x ) ] = 10 [1 9 P(3787.03 < Y x=0.3 < 3830.83) = 0.90 (0.3 0.3056) + ] = 133.56 0.1487 H : Y 3830 H1 : Yx 0.3 3830 (g) 0 x 0.3 t 0 = Y x=3 Y x=3 H 0 s Y (x=3) Az elfogadás tartomán: = 3808.93 3830 133.56 = 1.83; t 0.05 (7) 1.895 1.895, azaz elfogadjuk a nullhpotézst. Az adatok 5 %- os szgnfkancasznten nem bzonítják, hog az egenes x=0.3-nál 3830 alatt halad. 4
(h) Jóslás ntervallummal kell számoln. s Y = s [1 + 1 n P(3739.7 < x=3 < 3878.) = 0.9 + (x x ) (x x ) ] = 10 [1 + 1 9 (0.3 0.3056) + ] = 1335.61 0.1487 () Mvel a 90%-os jóslás ntervallum eg új mérés értékére (ld. (h) alkérdés) nem tartalmazza a mért 390-as értéket, jogos a ganú 10%-os szgnfkancasznten. (Természetesen a kérdés statsztka próbával s vzsgálható. H 0 : E x=0.3 = Y x=0.3 ; t 0 = Y x=3 = 390 3808.93 = 3.04; t s Y (x=3) 1335.61 0.05 (7) 1.895 Elutasítjuk a nullhpotézst.) (j) Effect Intercept x Parameter Estmates (Spreadsheet14) Sgma-restrcted parameterzaton -95,00% +95,00% Param. Std.Err t p Cnf.Lmt Cnf.Lmt 10,8 9,55379 3,4791 0,01079 3,94 17,70 1353,8889,9055137,4140,0000001141,301566,47 A STATISTICA szoftverrel kapott eredméntáblázat első oszlopának ( Param.) Intercept sorában az egenes tengelmetszetének, X sorában pedg a meredekségének becsült értékét láthatjuk. Ez alapján a becsült egenes egenlete: Y = 10.8 + 1353.88x (A számolt és a szoftverrel kapott értékek közt numerkus eltérések a kerekítésnek köszönhetőek.) Az eredméntáblázat ötödk és hatodk oszlopának (-/+95,00% Cnf.Lmt) X sora mutatja a meredekség 95%-os konfdenca-ntervallumát: P(1141.30 < β < 1566.47) = 0.95 A c) kérdésbel hpotézsvzsgálathoz számítandó próbastatsztka: t 0 = b 1100 Ehhez b értékét már tudjuk ( Param. oszlop X sora), míg sb értékét a másodk oszlop ( Std.Err) X sora mutatja. Eszernt: t 0 = 1353.88 1100 89.906 =.84 t α/ = t 0.005 (7) = 3.499 Mvel 3.499 <.84 < 3.499, 1%-os szgnfkancasznten az adatok nem mondanak ellent annak az állításnak, hog a meredekség 1100. s b 5
3. példa Az alább táblázat eg kalbrácós egenes felvételekor mért adatokat tartalmazza: x 1.35 4.6 4 7.3 6 10.93 7 13.84 Rendelkezésre állnak az alább értékek: x 6 x x x 47. 13 (a) Adja meg a becsült egenes egenletét! (b) Menn a rezduáls szórásnégzet értéke? (c) Elfogadná-e 5%-os szgnfkancasznten azt az állítást, hog az gaz egenes meredeksége? (d) Adjon 95%-os konfdenca-ntervallumot az gaz egenes tengelmetszetére! (e) Mlen ntervallumban van 90% valószínűséggel az analtka jel () várhatóértéke az x=5 helen? (f) Mlen ntervallumban lesz 90% valószínűséggel eg új mérés eredméne az x=5 helen? Megoldás: (a) Y = 0.556 + 1.813x (b) s r = 0.3396 (c) s b = 0.0131 t 0 = 1.64; t krt = t 0.05 (3) = 3.18 5%-os szgnfkancasznten elfogadjuk, hog az gaz egenes meredeksége. (d) Ŷ x=0 = 0.556; s Y (x=0) = 0.769; P( 1.118 < Y x=0 <.3) = 0.95 (e) Ŷ x=5 = 9.6; s Y (x=5) = 0.081; P(8.95 < Y x=5 < 10.9) = 0.90 (f) s = 0.406; P(8.094 < x=5 < 11.147) = 0.90 4. példa Eg kalbrácós egenes felvételekor az alább adatokat kapták: x 0.5 0.9 1.1.0.7 3.3 4.0 4.5.6 4.48 7.1 1.09 18.05 4.50 8.0 33.60 A fent adatsorra a STATISTICA szoftverrel elvégezték a lneárs regresszót, melnek eredménét az alább táblázat mutatja: Effect Parameter Estmates (Lnreg_gak_4 pelda) Sgma-restrcted parameterzaton Param. Std.Err t p -95,00% Cnf.Lmt +95,00% Cnf.Lmt Intercept -,061 0,6913 -,981 0,046-3,75-0,369 x 7,745 0,509 30,861 0,0000 7,131 8,359 6
Effect Unvarate Tests of Sgnfcance for (Lnreg_gak_4 pelda) Sgma-restrcted parameterzaton Effectve hpothess decomposton; Std. Error of Estmate:,9903767 SS Degr. of Freedom MS F p Intercept 8,7179 1 8,7179 8,888 0,04595 x 934,1603 1 934,1603 95,405 0,000000 Error 5,8851 6 0,9808 Felhasználva a táblázat adatat, válaszoljon az alább kérdésekre! (a) Adja meg a becsült egenes egenletét! (b) Adjon 90%-os konfdenca-ntervallumot az egenes meredekségére! (c) Elfogadható-e 5%-os szgnfkancasznten, hog a tengelmetszet értéke -1? (d) Mlen x értéknél lesz a legksebb az llesztett egenes bzontalansága? Mért? Menn lesz az értéke? (e) Eg új mérés eredméne x=1-nél 8-nak adódott. Lát-e ebben bárm rendelleneset? Véleménét számolással támassza alá, a szgnfkancasznt legen 5%. Megoldás: (a) Y =.061 + 7.745x (b) s b = 0.509; t α/ = t 0.05 (6) = 1.943 P(7.58 < β < 8.3) = 0.90 (c) H 0 : Y x=0 = 1; H 1 : Y x=0 1; s α = s Y (x=0) = 0.6913; t 0 = 1.53; t α/ = t 0.05 (6) =.447 (d) x =.375 s Y (x=0) (e) Y x=1 = 5.684; = s [ 1 + (x x ) n (x x ) ] = 0.9808 [1 + 0] = 0.16 8 s Y = 1.; t α/ = t 0.05 (6) =.447 P(.98 < x=1 < 8.39) = 0.95, azaz előfordulhat, hog x=1-nél -ra 8-t kapunk, mvel x=1-nél számolt 95%-os kétoldal jóslás ntervallum tartalmazza a 8-t. 7