IV. A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI

8 A matematikai logika elemei IV A MATEMATIKAI LOGIKA ELEMEI IV Kijeletések, logikai értékek Értelmezés Állításak evezük mide yelvtai értelembe vett kijelető modatot Például a következő modatok állítások: A háromszög oldalfelezői összefutóak A víz atm yomásál 00 C-o forrik Az emberi szervezetbe a legtöbb Ca a csotokba található Peru fővárosa Stockholm 5 A Dua hajózható 6 A agymama megőszült 7 Az iskola legjobb ője Erzsi 8 A világűrbe vaak olya értelmes léyek, amelyek em a Tejútredszerbe élek 9 Jövő héte esi fog az eső 0 Ez a modat hamis Próbáljuk eldötei, hogy az előbbi állítások közül melyek igazak és melyek hamisak Az,,, és 5 állításokról tudjuk, hogy igazak, a -ről tudjuk, hogy hamis mert Stockholm Svédország fővárosa) A 6 állításról csak akkor tudjuk eldötei, hogy igaz vagy sem, ha tudjuk, hogy kiek a agymamájáról va szó A 7 állítás szubjektív, ezért em tudjuk eldötei, hogy igaz-e vagy sem A 8 állításról ismereteik korlátoltsága miatt em tudjuk eldötei, hogy igaz-e vagy sem A 9 állítást ismét em tudjuk igazak vagy hamisak miősítei A 0 állítás már boyolultabb eset: ha feltételezzük, hogy igaz, akkor mivel ömagára voatkozik hamisak kell leie Ha viszot feltételezzük, hogy hamis, akkor em lehet igaz amit állít, tehát igazak kell leie Látható, hogy az elletmodás feloldható, ha elfogadjuk, hogy erről az állításról sem lehet eldötei, hogy igaz vagy hamis A továbbiakba azokat az állításokat, amelyekről eldöthető, hogy igazak-e vagy hamisak kijeletések evezzük Ha a kijeletés igaz azt modjuk, hogy igazságértéke vagy logikai értéke, ellekező esetbe 0 IV Logikai műveletek A yelv agyo sok összetett modata valamilye logikai műveletet fed Vizsgáljuk például a következő összetett kijeletések igazságértékét IV Kojukció A Hold a Föld körül kerig és a Föld a Nap körül kerig A farkasok húsevők és Kat költő volt A búza egy fém szerkezet és a kovácsok fizikai mukát végezek Az őzek a sivatagba élek és a számítógép tejes laskával működik Az első kijeletés igaz, míg a többi em, mert Kat em volt költő filozófus), a búza em fémszerkezet, az őzek em élek a sivatagba és a számítógép em laskával működik Ez alapjá, ha p és q két kijeletés, akkor a p és q is egy kijeletés és ez a kijeletés potosa akkor igaz, ha midkét kijeletés igaz Értelmezés A p és q kijeletést a p q szimbólummal jelöljük és p és q kojukciójáak evezzük Az előbbi megállapítást a következő igazságtáblázatba foglalhatjuk: p q p q 0 0 0 0 0 0 0

A matematikai logika elemei 85 IV Diszjukció Vizsgáljuk meg a következő összetett kijeletéseket: A tekősbéka tud repüli vagy a számítógép tud úszi A bolha tud ugrai vagy a kutya em tud harapi A természetes számok halmaza üres halmaz, vagy létezek prímszámok Az AEÁ elöke 00-be Bill Clito vagy az AEÁ elöke George W Bush Az első állítás hamis, mert a tekősbéka em tud repüli és a számítógép sem tud úszi egyelőre), a többi állítás viszot igaz, mert va legalább egy igaz részállítása a bolha tud ugrai, az AEÁ elöke 00-be George W Bush és létezek prímszámok) Értelmezés Ha p és q két kijeletés, akkor a p vagy q kijeletést a p és q diszjukciójáak evezzük és p q -val jelöljük Az előbbiek alapjá a következő táblázatba foglalhatjuk az igazságértékeket: IV Tagadás p q p q 0 0 0 0 0 A legegyszerűbb logikai művelet, amit majdem mideki már kiskorába elsajátít, a tagadás Egy állítás tagadását legtöbbször az állítmáy elé tett em szócskával fejezzük ki Tagadjuk a következő kijeletéseket és vizsgáljuk meg a logikai értéküket: A Biblia egy köyv igaz A cápák ragadozó halak igaz A bálák emlősök igaz A szémooid em mérgező az emberre ézve hamis A kijeletések tagadása a következő: A Biblia em köyv hamis A cápák em ragadozó halak hamis A bálák em emlősök hamis A szémooid mérgező az emberre ézve igaz Ha p egy kijeletés, akkor a p tagadását p -vel jelöljük és o p -ek olvassuk Az előbbiek alapjá, ha p igaz, akkor p hamis és fordítva Ezt a következő táblázatba foglalhatjuk: Feladat Bizoyítsd be, hogy a p) q) p p 0 0 p q) kijeletés potosa akkor igaz amikor a kijeletés Fogalmazd meg ezt yelvi szite, majd járj el hasolóképpe a p q) kijeletéssel Megoldás Készítsük el midkét kijeletés igazságtáblázatát p q p q p q ) 0 0 0 0 0 0 0 0

86 A matematikai logika elemei p q p q p) q) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A két táblázat alapjá a két kijeletés egy időbe igaz Nyelvileg ez a következőképpe fogalmazható meg: A p q kifejezés potosa akkor hamis, ha p hamis vagy q hamis Hasolóa modhatjuk, hogy a p q kijeletés potosa akkor hamis, ha p is hamis és q is hamis Ez matematikai szimbólumokkal úgy írható, hogy a p q) potosa akkor igaz, amikor a p) q ) igaz Rövidebbe a p q) p) q) és p q) p) q) szimbólumokkal fejezhetjük ki Ezeket az összefüggéseket evezzük De Morga törvéyeiek IV Implikáció Vizsgáljuk meg a következő kijeletések logikai értékét: Ha, akkor Ha egy háromszög egyelő szárú, akkor va két kogrues oldala ` Ha, akkor a háromszög szögeiek összege 80 Ha a tojás törhetetle, akkor egyetle ember sem evett tojáspudigot Mid a égy példáál jelöljük p -vel az első állítást és q -val a másodikat Az első esetbe p igaz, q hamis és a kijeletés is hamis A második esetbe p -ről em tudjuk, hogy igaz-e vagy sem, de az összetett kijeletés igaz A harmadik esetbe p hamis, q igaz és az összetett kijeletés igaz Az utolsó esetbe p is és q is hamis, az állítás mégis igaz Értelmezés Az előbbiekhez hasolóa két tetszőleges p és q kijeletés eseté értelmezhetjük a ha p, akkor q kijeletést Ezt a p q szimbólummal jelöljük, implikációak evezzük és következő az igazságtáblázata: p q p q 0 0 0 0 0 Az implikáció segítségével értelmezhetjük az ekvivaleciát is A p és q kijeletéseket ekvivalesekek evezzük, ha p q és q p Ezt a p q szimbólummal jelöljük és az alábbi táblázat szerit kapjuk az igazságtáblázatát: p q p q q p p q) q p) 0 0 0 0 0 0 0 0 A mellékelt táblázat további három művelet értelmezését tartalmazza Ezeket ritká fogjuk alkalmazi és a következő a megevezésük: Sheffer-féle művelet Webb-féle művelet ativalecia vagy összeadás modulo

A matematikai logika elemei 87 p q p q p q p q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Érvéyesek a következő tulajdoságok: p q p q) p q p q) p q p q) q p) ) p q q p, p q q p és 5 p q r) p q r) 6 p q) r p q r) IV Gyakorlatok és feladatok p q q p Készítsd el az alábbi kijeletések logikai értéktáblázatát: ) a) p ; b) p p ; c) p p ; d) p p q) ; e) p p q) ; f) p q) r ; g) p q r) ; h) p q) r ; i) p q) r ; j) p q) q r) ; k) p r) q r) Bizoyítsd be a következő összefüggéseket: a) p q q p ; b) p q q p ; c) p q r) p q) r ; d) p q r) p q) r ; e) p q r) p q) p r) ; f) p q r) p q) p r) Bizoyítsd be a következő összefüggéseket: a) p q q p ; b) p q) r p q r) ; )) p q q) p) c) p q p q ; d) Bizoyítsd be, hogy az alábbi kijeletések logikai értéke függetleül az őket alkotó kijeletések logikai értékétől a) p p q) ; b) p q) p ; c) p p q)) q ; d) p q) q r)) q ; e) p q q r) p r)) ; ) )) g) p p ; h) p p Értelmezés Az ilye kifejezéseket tautológiáak evezzük 5 Háy külöböző módo lehet kitöltei az alábbi táblázat harmadik oszlopát, ha mide helyre 0 vagy kerülhet? Bizoyítsd be, hogy a,, műveletek segítségével midegyik oszlop kifejezhető p q p, q) 0 0 0 0 6 Az előbbi műveletek közül melyek kommutatívak és melyek asszociatívak?

88 A matematikai logika elemei 7 Valaki kártyát tett ki elék Midegyikek az egyik oldalá egy betű áll, másik oldalá egy szám Legalább háy kártyát kell megfordítauk ahhoz, hogy elleőrizzük a következő kijeletéseket külö-külö), ha a IV ábrá látható betűket és számokat látjuk: a) Ha az egyik oldalo agy betű áll, a másik oldalo páros szám áll b) Ha az egyik oldalo páratla szám áll, akkor másik oldalo mássalhagzó va a A IV ábra IV Predikátumok és kvatorok A kijeletések vizsgálatáál láttuk, hogy az osztja 6-ot, a < b állítások em kijeletések, mert em potosa defiiált alayal redelkezek Ha az előbbi állításokba -t, a -t és b -t valamilye számokkal helyettesítjük, akkor kijeletésekhez jutuk Az ilye állításokat predikátumokak evezzük Értelmezés Azokat az állításokat, amelyekbe egy vagy több változó szerepel és azzal a tulajdosággal redelkezek, hogy a változókak mide megegedett értékére kijeletéshez jutuk, predikátumak evezzük A predikátum értelmezéséhez szükséges megadi, hogy a változói milye halmazokból vehetik fel az értékeiket Példák P) : 7, ahol P) : -ek hét oldala va, ahol { háromszög, égyszög } P, y) : tulajdoosa y -ak, ahol az emberek halmaza és y a biciklik halmaza P, y) : y, és y Az előbbi példákál látható, hogy létezek olya predikátumok, amelyek a változók egyetle értékére sem válak igaz kijeletésekké pl ) és olya predikátumok, amelyek a változók mide értékére igaz kijeletést szolgáltatak Általába képezhetjük a következő kijeletéseket: Létezik Bármely A úgy, hogy P) igaz legye A eseté P) igaz Értelmezés Az elsőt a A : P ), míg a másodikat a A : P ) szimbólummal jelöljük A és szimbólumot uiverzális illetve egziszteciális kvatorokak evezzük IV Gyakorlatok Vizsgáljuk meg az alábbi kijeletések logikai értékét: a) : ; b) : 0; c) : ; d) y úgy, hogy y 0 ; e) [, ] : 0 Írd fel kvatorok segítségével az alábbi modatokat, próbálj mide modatot kétféleképpe felíri, egyszer uiverzális és egyszer egziszteciális kvatorral a) Nicse rózsa tövis élkül b) Nem mid aray, ami féylik c) Nem mide papsajt

A matematikai logika elemei 89 Tagadd a következő predikátumokat/modatokat: a) [, ] : > 0 ; b) Bármely erdőlakó tud tüzet raki c) Va olya diák, aki em tud puskázi d) Mide taár érti, amit taít, kivéve a redőrtaárt e) Mide diákak legalább egy taár szimpatikus f) Mide héte legalább egyszer boldog vagyok g) Létezik olya tatárgy, amit em szívese taulok h) Létezik olya taár, aki mide őt kedvelő diákot kedvel IV Néháy furfagos logikai feladváy Az A városba igazmodók midig igazat modaak) és a B városba lókötők ők midig hazudak) lakak Egy vádor A városba szerete juti és egy olya útkereszteződéshez érkezett, ahoa az egyik út az A városba, a másik a B városba vezet A vádor em tudja, hogy melyik út vezet az A városba és melyik a B városba, de éppe találkozik ott valamelyik város lakójával de em tudja, hogy melyik város lakójával!) Egyetle kérdéssel el tudja-e dötei, hogy melyik út vezet az A városba? Hát akkor, ha csak olya kérdést tehet fel, amelyre igeel vagy emmel lehet válaszoli? Megoldás Elégséges megkérdezi, hogy: Mit válaszola a másik város egy lakója, ha azt kérdezém, hogy melyik út vezet az A városba? Ha a kérdezett az A városból va, akkor igazat fog modai, tehát azt modja, amit egy B városbeli modaa A B városbeli hazuda, tehát a B város felé vezető utat mutatá, így a kérdezett is a B városba vezető utat fogja mutati Ha a kérdezett a B városból va, akkor hazudi fog De a másik város lakója megmutatá a helyes utat, tehát a kérdezett ebbe az esetbe is a B városba vezető utat mutatja meg Ha csak olya kérdést lehet feltei, amelyre igeel vagy emmel lehet válaszoli, akkor a következő kérdés megfelel: Igaz-e, hogy a másik város lakói azt modaák, hogy a bal oldali út vezet az A városba? Ha erre a kérdésre a válasz ige, akkor a bal oldali utat kell választaia ellekező esetbe a jobb oldalit Ez a következő táblázatból olvasható ki: A bal oldali út vezet A -ba A kérdezett A -ból va A másik város lakója mit modaa A kapott válasz Igaz Igaz Nem Nem Igaz Hamis Ige Nem Hamis Igaz Ige Ige Hamis Hamis Nem Ige A vádor találkozik két emberrel, M -mel és N -el, akik A -ba, vagy B -be lakak Ha M azt modja, hogy É lókötő vagyok, de N em az, meg tudjuk-e állapítai, hogy lókötők vagy sem? Megoldás Tekitjük a következő állításokat: p : M em lókötő q : N em lókötő M em lehet igazmodó, mert akkor állításáak saját magára voatkozó része elletmodaa eek Így M lókötő és a kijeletése hamis Ez csak akkor teljesülhet, ha N is lókötő, tehát a vádor két lókötővel találkozott A megoldás a formális logika segítségével a következőképpe írható le: p q p p) q p állítása 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

90 A matematikai logika elemei Mivel az utolsó két oszlop elemei csak az első helye egyformák, sem p, sem q em igaz, tehát M is és N is lókötő IV Gyakorlatok és feladatok A és B egymástól függetleül igazmodó vagy lókötő A azt állítja, hogy Legalább az egyikük lókötő Lókötők-e vagy sem? Meg lehet-e állapítai, hogy lókötők-e, ha A azt modja, hogy Lókötő vagyok vagy B igazmodó? A, B és C egymástól függetleül igazmodó vagy lókötő és a következőket modják A : Midyája lókötők vagyuk B : Potosa egy igazmodó va köztük Meg lehet-e állapítai, hogy ki lókötő és ki em? A és B egymástól függetleül igazmodó, lókötő vagy kiismerhetetle ezek éha hazudak és éha igazat modaak) Az igazmodókat tartják felsőbb, a kiismerhetetleeket közép és a lókötőket alsóbb osztályak A következő két állítás alapjá el lehet-e dötei, A vagy B osztályát? Hát azt, hogy az állítások közül melyik igaz és melyik hamis? A :Alacsoyabb osztálybeli vagyok, mit B B :Ez em igaz! 5 A IV ábrá látható ládikák egyikébe egy koroa va Meg lehet-e állapítai, hogy melyikbe va a koroa, ha az egyik ládiká sics egyél több hamis állítás? A koroa em ebbe va A koroa Szet Istváé volt A koroa em az ládikába va A koroa II Lajos királyé volt A koroa em ebbe va A koroa ládikába va IV ábra 6 A és B egymástól függetleül igazmodó vagy lókötő A azt állítja, hogy: Ha é igazmodó vagyok, akkor B is az Igazmodókkal vagy lókötőkkel va dolguk? 7 Egy szultá, akiek két láya volt, azt modta egy vedégségbe érkezett hercegek: Modaod kell egy állítást Ha igaz, hozzád adom a agyobbik láyomat, ha em, akkor em veheted őt feleségül Kevés godolkodás utá a herceg modott egy modatot és a szultá kéytele volt a kisebbik láyt feleségül adi a herceghez Mit modhatott a herceg? 8 Mit modhatott a herceg, ha a szultá midkét láyát hozzá kellett adja feleségül? IV Bizoyítási módszerek IV A lehetetlere való visszavezetés * Értelmezés Ha és két állítás, akkor a ekvivalecia alapjá törtéő bizoyítást evezzük lehetetlere való visszavezetések Ez gyakorlatilag azt jeleti, hogy igazak feltételezzük a kijeletés tagadását és megpróbáluk eljuti egy olya tulajdosághoz, amely elletmod a feltevések vagy valamilye más ismert tulajdoságak Példák p q p q) q p) Bizoyítsuk be, hogy végtele sok prímszám va Bizoyítás Tételezzük fel, hogy véges sok prímszám va és ezek a Vizsgáljuk meg az p, p, p számok N p p p számot N vagy prímszám vagy összetett szám Az * Reductio ad absurdum vagy idirekt bizoyítás éve is előfordul

A matematikai logika elemei 9 N > p j egyelőtleségek és a feltevés alapjá N em lehet prímszám Így N -ek létezik p prímosztója Ez a prímosztó em lehet a p, p, p számok egyike sem, mert a p j p p p és p j N oszthatóságok alapjá p j Ez elletmodás, mert mide p j prímszám agyobb, mit és így em lehet az osztója Az előbbi elletmodás alapjá a feltevésük em lehet igaz, tehát végtele sok prímszám létezik Bizoyítsuk be, hogy ha egy háromszög két belső szögfelezője kogrues, akkor a háromszög egyelő szárú Bizoyítás Az ABC háromszögbe legye BB és C C a két kogrues belső szögfelező és tételezzük fel, hogy a háromszög em egyelő szárú, tehát AB > AC vagy AC > AB A szimmetria miatt elégséges csak az egyik esetet megvizsgáli, tehát feltételezhetjük, hogy AB > AC Megszerkesztjük a B BC M paralelogrammát Az AB > AC egyelőtleség alapjá m Cˆ) > m Bˆ ), tehát m Cˆ) > m ˆB ) és így m C Cˆ A) > m C ˆM B ) ) Másrészt az MC C háromszög egyelőszárú MC B B C C ), tehát mc M ˆC ) m C Cˆ M ) ) Az ) és ) alapjá m B Cˆ M ) < m B ˆM C), tehát B M < B C De a B BC és C CB háromszögekbe C C BB, BC BC és m C Cˆ B) > m B Bˆ C), tehát BC > B C > B M Ez elletmodás, mert B C B M az MC B B paralelogrammába IV ábra) IV Gyakorlatok és feladatok Bizoyítsd be, hogy mide természetes szám -él agyobb egész kitevőjű hatváyáak kettes számredszerbeli alakjába előfordul zérus számjegy Képzeljük el leírva valamilye sorredbe egymás utá a természetes számokat Karikázzuk be azokat, amelyek legalább akkorák, mit aháyadik helye állak a sorba Bizoyítsuk be, hogy így végtele sok számot kell bekarikázi Bizoyítsd be, hogy az, itervallum egyetle eseté sem tartalmaz egész számot Bizoyítsd be, hogy a tört egyetle esté sem egyszerűsíthető 5 Bizoyítsd be, hogy ha hét szám közül bármely égy összege agyobb a többi három összegéél, akkor a számok pozitívak 6 Bizoyítsd be, hogy ha a, b és c páratla természetes számok, akkor az a b c 0 egyeletek ics egész gyöke m 7 Bizoyítsd be, hogy ha,,, akkor m m 0 ) m 8 Bizoyítsd be, hogy ha,,, akkor m m 0 ) 9 Bizoyítsd be, hogy égy egymás utái természetes szám szorzata em lehet teljes égyzet B IV ábra A C B M

9 A matematikai logika elemei IV A matematikai idukció módszere Feladat Oszd fel a háromszöglapot,,, 5,6 és 7 derékszögű háromszöglapra Fel tudád-e botai 00 derékszögű háromszögre, hát 7-re? Megoldás Mide háromszögek va olya magassága, amely a IV ábra háromszög belsejébe va IV ábra) Ez a magasság két derékszögű háromszögre osztja a háromszöget Az előbbi két derékszögű háromszög egyikéek belsejébe húzzuk meg a derékszöghöz tartozó magasságot Így három derékszögű háromszöget kapuk Ha ezt folytatjuk redre kapuk egy-egy felbotást, 5, 6 és 7 derékszögű háromszögre lásd a IV5 ábrát) Látható, hogy az eljárást folytatva egy meglevő derékszögű háromszög derékszögéhez tartozó 6 IV5 ábra 5 7 magasságát húzzuk meg) mide lépésbe eggyel ő a felbotás háromszögeiek száma Így 000 lépés utá 00 derékszögű háromszögre és 7 lépés utá 7 derékszögű háromszögre bothatjuk az adott háromszöget Az előbbiek alapjá ahhoz, hogy igazoljuk egy természetes számtól függő P) állítást bármely a eseté, elégséges igazoli, hogy P a) igaz és, hogy ha P) igaz, akkor P ) is igaz Ezt evezzük a matematikai idukció elvéek Fotossága miatt külö tételkét is megfogalmazzuk: Tétel Ha P) egy állítás, amely a természetes számoktól függ és teljesül a következő két tulajdoság: a) Pa) igaz, b) ha P ) igaz, akkor P ) is igaz, akkor P) igaz bármely a eseté Megjegyzések Az előbbi tétel ekvivales azzal, hogy bármely X halmazba va legkisebb elem Feladattól függőe külöböző módosított alakokat is haszálhatuk Például, ha P) egy állítás, m rögzített szám, és Q) potosa akkor teljesül, ha P), P ),, P m ) teljesül, akkor a Q) -re haszált idukció a P) -re átfogalmazva a következőképpe éz ki: Tétel Ha P) egy állítás, amely természetes számoktól függ és tejesül az alábbi két tulajdoság: a) P a), P a ),, Pa m ) igazak, b) P) igaz Pm ) igaz, akkor P) igaz bármely a esté Ha a H ) potosa akkor teljesül, ha P a), P a ),, Pa ) igazak, akkor a H-ra felírt idukció P -re a következő tételt adja:

A matematikai logika elemei 9 5 Tétel Ha P) állítás, amely természetes számoktól függ és teljesül az alábbi két tulajdoság: a) Pa) igaz, b) ha P a), P a ),, P a ) igaz, akkor P a ) is igaz, akkor P) igaz bármely a eseté Látható, hogy ezekek a feltételekek a haszálata kiküszöbölhető a átfogalmazásával Gyakra előfordul, hogy P) állítás P ) P ) implikáció igazolásához közbeeső lépések szükségesek Leggyakrabba P ) P) P ) közbeeső implikációt vagy még egy idukciót szoktuk haszáli IV Megoldott feladatok Bizoyítsuk be, hogy ) ) ) * és 6 ) Bizoyítás P) az az állítás, mely szerit I Elleőrizzük P ) -et, tehát P) igaz, tehát P) is igaz II Ha P) igaz, akkor ) ) [ ] ) ) ) ) ), tehát P ) is igaz A matematikai idukció elve alapjá P) igaz, bármely -re ) ) Hasolóképpe járuk el a második egyelőséggel is P ) : 6 I, tehát P) igaz ) ) II Ha P ) igaz, akkor ) ) ) ) ) ) ) 6 6) 7 6), tehát P ) 6 6 6 is igaz A matematikai idukció elve alapjá P) igaz, bármely eseté Megjegyzés Sematikusa az idukció leírható a következő P) implikációkkal: P) P ) igaz P) P ) igaz [ P) P)] P) igaz P) P ) igaz [ P) P)] P) igaz P) igaz [ P) P)] P) igaz P5) P6) IV6 ábra P ) igaz [ P ) P )] P ) igaz

9 A matematikai logika elemei Bizoyítsuk be, hogy 5 osztható 9-cel, bármely eseté Bizoyítás Legye P) : 5 ) 9 I 5 8 és 8 9, tehát P) igaz II Ha P) igaz, akkor létezik m úgy, hogy, tehát 5 9m 9m 5 Így 6m 60, tehát 5 ) 6m 5 8 9 m 5m ) Az előbbi egyelőségek alapjá ) 9 idukció elve alapjá P) igaz bármely eseté 5 ), tehát P ) igaz A matematikai Bizoyítsd be, hogy >, bármely -re Bizoyítás Jelöljük P) -el az > állítást 7 I >, tehát P) igaz II Ha P ) igaz, akkor > >, tehát P ) is igaz A matematikai idukció elve alapjá P) igaz bármely eseté Bizoyítsd be, hogy teljes égyzet mide eseté Bizoyítás Ahhoz, hogy idukcióval igazolhassuk a kért tulajdoságot, meg kell fogalmazuk egy olya P) állítást, amelyre a matematikai idukció elvét alkalmazzuk E célból vizsgáljuk meg előbb, hogy milye számok teljes égyzetei jeleek meg, 9, 6 00 6, 0 5 5 Tehát, ha N -el jelöljük azt a számot, amelyek a égyzete, akkor a következő táblázathoz jutuk: 5 N 6 0 5 A táblázat második sorába az egymás utái elemek külöbsége redre,,,, 5, tehát úgy tűik valamiféle szabályosságra bukkatuk Ezt elleőrizhetjük további értékekre a következő táblázat alapjá: 5 6 7 8 N 6 0 5 8 6 A táblázat második sorába a második elemtől kezdődőe mide elem a felette álló és a baloldali szomszédjáak összege Eszerit 6 06 5055, 5

A matematikai logika elemei 95 Tehát az feladat alapjá azt sejtjük, hogy Ha P) az ) N vagyis ) ) állítás, akkor eddigi számolásaik alapjá P ), P ),, P5) igaz állítások Másrészt, ha P) igaz, akkor ) ) ) ) ) ) ) tehát P ) igaz ) ) A matematikai idukció elve alapjá P) igaz, bármely eseté A bizoyított azoosságból következik, hogy teljes égyzet Megjegyzés Az előbb észlelt jeleség, mely szerit egy potosabb precízebb) állítást köyebbe tuduk igazoli, mit egy potatla állítást, a kutatók paradoojakét vált ismertté 5 Bizoyítsuk be, hogy mide -él agyobb természetes szám felírható k k alakba, ahol k, Bizoyítás Világos, hogy ha k k, akkor k ) k, tehát ha P) az az állítás, mely szerit: létezik k, úgy, hogy k k, akkor P) -ből következik P ) Így az idukció teljességéhez szükséges elleőrizi a P ) és P ) állításokat De 0 és 0, tehát P ) és P) igazak Az előbbiek és a matematikai idukció elve alapjá P) igaz bármely eseté 6 Bizoyítsuk be, hogy ha,,, 0, akkor Bizoyítás Az egyelőtleség, bármely, 0 eseté igaz, mert ) 0 Ez alapjá Ha ebbe az egyelőtleségbe -at választuk, akkor a következő átalakításokat végezhetjük:,

96 A matematikai logika elemei, tehát a kitűzött egyelőtleség igaz sőt ) számra is Ha igaz az egyelőtleség számra és darab pozitív szám, akkor,,,,,, Ha ebbe az egyelőtleségbe, akkor az egyelőtleség a következőképpe alakítható: ) ) ) A matematikai idukció elve alapjá, bármely és számok eseté 0,,, IV Gyakorlatok és feladatok Bizoyítsuk be, hogy a) ) ; b) ) ) ) ; c) ; ) ) ) ) ) 8 d) ; e) ) ) ) ; f) ) ) ) ) ) ) 7 5 5 Számítsd ki az alábbi összegeket, majd bizoyítsd a kapott eredméyt a matematikai idukció módszerével: a) ) ) ; b) ) 7 5 ; c) ) 0 7 ; d) ) ) 5 ; e) ) ) 7 ; f) k k k ;

A matematikai logika elemei 97 g) k k ) k k k Számítsd ki a következő összegeket: a) ; b) ; c) 8 Bizoyítsd be a következő egyelőtleségeket: a) k ; b) *, k ; c) * ) Beroulli egyelőtleség), ha és > 0 ; ; 5 e) <, > ; 6 f) < < g) < ; h) ; d) ) < < i) > 5, 6 ; j) 5 Bizoyítsd be a következő egyelőtleségeket: k < 6 a) ak bk akb k, ha ak, bk ; k k k k k k! < b) a a a a a a, ha ak, k, ; c) a b ) a b), ha a, b és a b > 0 ; d) Ha és j 0 j,, akkor ) ) ) ; e) < ; ) ) k k f) Ha k, és 0, akkor [ ) ] ) 6 Bizoyítsd be a következő oszthatóságokat: a) 5 ) ; b) 9 6 6 ) ; c) 7 5 9 ); d) 7 5 ; e) ) ; f) ) 7 )

98 A matematikai logika elemei 7 Bizoyítsd be, hogy mide háromszög feldarabolható darab hozzá hasoló háromszögre, ha 6 8 Feldarabolható-e egy általáos háromszög darab egyelőszárú háromszögre, ha? 9 Bizoyítsd be, hogy ha 6, akkor egy tetszőleges égyzet feldarabolható darab égyzetre 0 Bizoyítsd be, hogy az ) ) ) szorzatba a kitevője potosa * Bizoyítsd be, hogy mide eseté -ek létezik olya egész számú többszöröse, amely csak az és számjegyekből áll * Bizoyítsd be, hogy < bármely eseté IV A végtele leszállás elve Értelmezés A végtele leszállás elve a teljes idukció idirekt változata, amelybe em azt bizoyítjuk be, hogy ha egy természetes számokra voatkozó állítás igaz az összes - él kisebb számra, akkor igaz -re is, haem azt, hogy ha az állítás em teljesül egy természetes számra, akkor va az -él kisebb pozitív egész is amire em teljesül Egy másik lehetséges megfogalmazás a következő: Ha P) egy természetes számoktól függő állítás és létezik olya 0, amelyre P 0 ) em igaz, akkor a H { P ) emigaz} halmazba va legkisebb elem Így ha bármely eseté létezik m H, m <, akkor H csak üres halmaz lehet és ezért P) igaz mide eseté Ezt a bizoyítási módot éha miimumelvkét is emlegetik ugyais azt bizoyítjuk, hogy ics H -ak miimuma) Ezt az elvet haszáltuk a maradékos osztás tételéek bizoyítására vagy rejtett formába a irracioalitásáak bizoyítására Példák Oldjuk meg az y u v ) a természetes számok halmazába Megoldás Bizoyítai fogjuk, hogy az egyelet megoldása y u v 0 Tegyük fel, ) em ulla és a lehető legkisebb Jelöljük ezt a megoldást ) hogy va olya megoldás, amelyre 0 Így létezik a megoldások közt olya, y, u, v, amelyre 0, y0, u 0, v0 -val Egy szám k, k vagy k alakú, tehát a égyzetéek -mal való osztási maradéka csak 0 vagy lehet Így az y összeg csakis akkor osztható -mal, ha is és y is osztható -mal Eszerit 0, y 0 y és y ) u 0 v0 Ha az előbbi godolatmeetet az u0 v0 összegre alkalmazzuk, következik, hogy u 0 u és v0 v, 0 tehát y u v ) De < 0, tehát elletmodáshoz jutuk 0 megválasztásával Így mide, y, u, v ) megoldásba 0 Hasolóképpe látható be, hogy y is ulla, tehát az egyetle megoldás y u v 0 Milye a, b természetes számokra osztható a b a b az ab szorzattal? Megoldás Bebizoyítjuk, hogy csak az a b természetes számokra igaz Tegyük fel, hogy ab a b a b ), a b, b > és a b a lehető legkisebb Nyilvá a, mert eseté következik, de föltettük, hogy b > a b b b ) azaz b b b ), ie b

A matematikai logika elemei 99 Legye valamilye pozitív egész k -ra a b a b kab ) Tekitsük az ) redezésével kapott ka ) a a ) 0 egyeletet, eek ) szerit b gyöke Legye az egyelet másik gyöke c Felhaszálva midkét összefüggést és a gyökök és együtthatók közötti összefüggést, azt kapjuk, hogy a a c ka ) b b A c egész, mert c ka b Másrészt 0 < c < a, mivel a a c és b b a a a a c < a Tehát 0 < c < a és c ka ) a a ) 0, azaz b b a c a c a kca, vagyis ca c a c a ) Viszot c b < a b, ami elletmod a és b kiválasztásáak Nem létezek tehát olya a és b egyél agyobb egészek, amelyekre teljesül a feladat feltétele IV Gyakorlatok és feladatok Va-e ullától külöböző természetes megoldása az u 7v egyeletek? Bizoyítsd be, hogy ha y yz, akkor z Határozd meg az összes olya természetes számot, amelyre mide oldalú sokszög felbotható egymás belső potjait em metsző átlók segítségével háromszögekre úgy, hogy mide csúcsból páros számú átló iduljo ki Az természetes számból kiidulva a következő lépéseket végezzük: a) ha a szám páros, osztjuk -vel, b) ha a szám páratla, hozzáaduk -et Bizoyítsd be, hogy midig eljutuk -hez : : : : : : Pl: 6 : 6 8 9 0 5 6 5 Négy tetszőleges a, b, c, d természetes számból kiidulva a következő lépéseket ismételjük: a meglevő a, b c, d számégyest helyettesítjük a a b, b c, c d, d a, ) ) számégyessel Bizoyítsuk be, hogy egy idő utá csupa 0-t kapuk IV Skatulyaelv Értelmezés A skatulyaelv alatt a következő állítást, illetve eek az általáosításait értjük: Ha tárgyat dobozba helyezük, lesz olya doboz, amelybe legalább két tárgy kerül Általáosabb megfogalmazások: Ha k tárgyat dobozba helyezük, lesz olya doboz, amelybe legalább k tárgy kerül Ha egy I szakaszt lefedük kisebb szakaszokkal, amelyekek I- kívül ics potjuk és hosszaik összege agyobb mit I hosszáak k -szorosa, akkor létezik olya pot, amit legalább k kis szakasszal fedtük le Ha egy L síkidomot lefedük több más síkidommal úgy, hogy L-e kívüli részt em fedük le és a lefedő idomok összterülete agyobb mit az L területe, akkor va legalább egy olya potja L-ek, amelyet legalább két idommal fedtük le

00 A matematikai logika elemei IV Megoldott feladatok Bizoyítsuk be, hogy öt természetes szám közt va kettő, amelyek külöbsége osztható éggyel IV7 ábra Megoldás Készítsük dobozt, az egyikre írjuk 0 0-t, a másodikra -et, a harmadikra -t, a egyedikre -at IV7 ábra) A k k { 0,,, }) feliratú dobozba helyezzük azt/azokat a számokat, amelyek -gyel való osztási maradéka k Így az öt számot égy dobozba kell helyezük, tehát va kettő, amely ugyaabba a dobozba kerül Ezek külöbsége osztható -gyel Bizoyítsuk be, hogy három természetes szám közül kiválasztható, amelyek összege vagy külöbsége osztható -mal Megoldás Az a b vagy a b potosa akkor osztható -mal, ha a b osztható -mal Így elégséges kimutati, hogy kiválasztható kettő, amelyek égyzeteiek külöbsége osztható -mal Egy teljes égyzet -mal való osztási maradéka csak 0 vagy lehet, tehát a három szám közül kiválasztható kettő, amelyek égyzetéek -mal való osztási maradéka megegyezik Ezek külöbsége vagy összege osztható -mal IV8 ábra Egy egységoldalú égyzet belsejébe felveszük öt potot Bizoyítsuk be, hogy va köztük kettő, amelyek távolsága em agyobb -él Bizoyítás Osszuk fel a égyzetet, égy darab oldalú égyzetre lásd a IV8 ábrát) Az öt pot közt biztosa létezik kettő, amely ugyaabba a kis égyzetbe va Ezek távolsága em agyobb, mit a égyzet átlója, azaz Bizoyítsuk be, hogy darab -él kisebb természetes szám közül kiválasztható három, amely lehet valamilye háromszög oldalhossza Bizoyítás Tekitsük az [, ), [, ), [, 8),,[, ) itervallumokat Mivel itervallumuk és számuk va, ezek közül kiválasztható, amely ugyaabba az k itervallumba található Ha ezek a, és c, akkor a k k k b a <, b < és k k c < egyelőtleségek alapjá a b k > c, a c > b és b c > a, tehát a, b és c lehet egy háromszög oldalhosszaiak mérőszáma 5 Felvettük a síkba potot és ezek közül éháyat összekötöttük Bizoyítsátok be, hogy létezik két olya pot, amelyekből ugyaayi szakasz idul ki Megoldás Egy potból 0,,,, szakasz idulhat ki Ha va olya pot, amiből em idul ki szakasz, akkor ics olya, amelyből idul ki és fordítva, tehát mide potra a belőle kiiduló szakaszok száma csak külöböző érték közül kerülhet ki Mivel pot va, létezik kettő, amelyekből ugyaayi szakasz idul ki 6 Egy egységyi oldalú égyzet belsejébe felvettük éháy kört, amelyek kerületéek összege 0 Bizoyítsuk be, hogy létezik olya egyees, amely párhuzamos a égyzet egyik oldalával és legalább égy kört metsz Bizoyítás Vetítsük a köröket a égyzet egyik oldalára A vetületszakaszok hosszaiak 0 összege >, tehát va olya pot a égyzet oldalá, amelyet legalább égy vetület fed Ha π ebből a potból egy d párhuzamost húzuk a másik oldallal, akkor d legalább égy kört metsz

A matematikai logika elemei 0 IV Gyakorlatok és feladatok Egy tasakba 60 darab cukorka va, 0 áfoyás, 0 almás, 5 aracsos és 5 sárgadiyés Egy bekötött szemű gyerekek legalább háy cukorkát kell kiemelie ahhoz, hogy biztosa legye közöttük: a) egy áfoyás; b) két áfoyás és két almás; c) két aracsos, egy sárgadiyés és egy almás; d) midegyikből egy-egy; e) valamelyikből három egyforma Egy zsákba 0 pár azoos férfi- és 5 pár ői kesztyű va Legalább háy kesztyűt kell kiveük ahhoz, hogy: a) legye egy pár a kivett kesztyűk között; b) legye egy pár ői kesztyű a kivettek között; c) legye két azoos pár Igaz-e, hogy egy 5-ös létszámú osztályba va legalább három diák, aki ugyaabba a hóapba született? Egy építkezéshez 50 kőtömböt kell elszállítai, amelyek tömege 70 kg, 7 kg, 7 kg,, 66 kg El lehet-e ezeket szállítai egy maimum toát szállító teherautóval 7 út alkalmával? 5 Bizoyítsd be, hogy darab -él kisebb és -től külöböző természetes szám közül kiválasztható kettő, amelyek összege 6 Bizoyítsd be, hogy öt, 0-él agyobb prímszám közül kiválasztható kettő, melyek külöbsége osztható 0-zel! 7 Bizoyítsd be, hogy 7 egész szám közül kiválasztható kettő, amelyek összege vagy külöbsége osztható -gyel 8 Bizoyítsd be, hogy 7 darab 00-ál em agyobb és 0-tól külöböző természetes szám között va kettő, amelyek relatív prímek 9 Bizoyítsd be, hogy bármely páratla számhoz létezik olya k természetes szám, ) k amelyre 0 Bizoyítsd be, hogy 6 irracioális szám között midig va három, amelyek közül bármely kettő összege irracioális Egy egységoldalú égyzet belsejébe felvettük 5 potot, Bizoyítsd be, hogy kiválasztható közülük, amelyek által meghatározott háromszög köré írható kör sugara kisebb mit 7 Bizoyítsd be, hogy mide oldalú sokszögbe va két átló, amelyek által bezárt szög mértéke kisebb mit Egy -es téglalapba felvettük 6 potot Bizoyítsd be, hogy va köztük kettő, amelyek távolsága legfeljebb 5 A sík mide potját kékre és pirosra szíezzük Bizoyítsd be, hogy va két azoos szíű pot, amelyek távolsága 5 Egy egységoldalú égyzet belsejébe egy kove sokszöget írtuk, amelyek területe agyobb mit Bizoyítsd be, hogy va olya valamelyik oldalával és a sokszögből d -él hosszabb szakaszt metsz ki egyees, amely párhuzamos a égyzet

0 A matematikai logika elemei IV5 Ivariások 5 Feladat papírlap közül éháyat 0 részre vágtak, majd az így kapott részek közül éháyat ismét 0 részre vágtak és így tovább Lehetséges-e, hogy ezt éháyszor megismételve 00 papírdarabot kapjuk? Hát 00-t? Megoldás Ha egy lépés előtt m papírdarab va és k darab papírt vágtuk szét, akkor m k 0 k m 9k lesz a papírdarabok száma Így a papírdarabok számáak 9-cel való osztási maradéka em változik -ek a 9-cel való osztási maradéka és 00-ek, tehát 00 papírdarabot em kaphatuk 00-ek 9-cel való osztási maradéka, tehát az előbbi godolatmeet alapjá em jutuk elletmodáshoz Ez em jeleti azt, hogy 00 darab papírt kaphatuk a megadott lépés ismétlésével Igazoljuk, hogy va olya lépéssorozat, amellyel elérhető 00 papírdarab Vágjuk mide lépésbe papírdarabot 0 részre 0 lépés utá potosa 00 papírdarabuk lesz Az előbbi godolatmeet egy tipikus bizoyítási modell Ha egy redszer valamilye szabályok szerit változik és mide változás sorá egy E meyiség megmarad, akkor a kezdeti és a végső állapotba is ugyaaz az E meyiség Így ha az A és A állapothoz redelt E meyiségek em egyformák, akkor A -ből A em érhető el Lássuk éháy további megoldott feladatot: 5 Feladat Egy táblára az,,,, 00 számokat írjuk Egy-egy alkalommal letörölük éháy számot és az összegük 7-tel való osztási maradékát írjuk helyettük Ezt a lépést addig ismételjük, amíg egy szám marad a táblá Melyik ez a szám? Megoldás A táblá levő számok összegéek 7-tel való osztási maradéka em változik, tehát az utolsó szám az 00 00000 szám 7-tel valóosztási maradéka Az osztási maradék, tehát a táblá az marad 5 Feladat A sík egész koordiátájú potjaiba három bolha IV9 ábra ugrál a következő szabályok szerit: ha P, Q és R a három bolha és Q Q ugrik, akkor a P vagy R szeriti szimmetrikus pozícióba ugrik ) lásd a IV9 ábrát) és hasolóa a többiek is Ha kezdetbe a 0, 0, P Q, 0 ) és, ) potokba voltak, juthatak-e az, 0), 0, ), és, ) potokba? Q R Megoldás Jelöljük, y) -al az ugró bolha koordiátáit és a, b) - vel az átugrott bolha koordiátáit Az ugrás utá az ugró bolha koordiátái a, b y), tehát az egyes bolhák koordiátáiak paritása em változik Mivel kezdetbe volt két páros koordiátájú poto bolha, ezért midig lesz a három bolha közül egy, amelyek midkét koordiátája páros Így a kívát állás elérhetetle IV5 Gyakorlatok és feladatok Egy táblára felírtuk a számokat -től 00-ig majd egy-egy alkalommal a táblá levő számok közül éháyat helyettesítük a számjegyeik összegével Ezt a lépést addig ismételjük, amíg egy szám marad a táblá Melyik az a szám? Egy táblára az 7 8 kifejezést írtuk és egy-egy alkalommal valamelyik együtthatót eggyel övelhetjük vagy csökkethetjük Bizoyítsd be, hogy ha egy idő utá az 7 8 kifejezés áll a táblá, akkor volt olya másodfokú kifejezés a táblá, amelyek va egész gyöke Egy asztalo 6 pohár áll Egy-egy alkalommal 5 poharat fordítuk meg Elérhetjük-e, hogy mide pohár az eredeti helyzetéhez képest fordítva álljo? Hát akkor, ha 5 pohár va és mide lépésbe -et fordítuk meg