Függvének, 7 8. évfolm Orosz Gul 01. június 8.
TARTALOMJEGYZÉK Trtlomjegzék Feldtok 7 1. Grfikonok................................... 7. Geometrii trnszformáiók.......................... 19 3. Geometrii trnszformáiók (teszt)...................... 5. Lineáris függvén................................ 31 5. Lineáris függvén (teszt)............................ 1 6. Aszolútérték függvén............................ 9 7. Aszolútérték függvén (teszt)........................ 55 8. Másodfokú függvén.............................. 59 9. Másodfokú függvén (teszt).......................... 67 10. Rionális törtfüggvén............................ 73 11. Rionális függvén (teszt).......................... 79 1. Négzetgök függvén............................. 83 13. Négzetgök függvén (teszt)......................... 89 1. Előjel, törtrész, egészrész........................... 93 15. Előjel, törtrész, egészrész (teszt)....................... 95 16. Függvéntrnszformáiók........................... 97 17. Függvéntrnszformáiók (teszt)....................... 105 18. Összetett függvének.............................. 111 19. Összetett függvének (teszt).......................... 117 0. Tuljdonságok, műveletek........................... 11 1. Tuljdonságok, műveletek (teszt)....................... 19. Grfikus megoldás............................... 135 3. Grfikus megoldás (teszt)........................... 139. Függvénkpsoltok.............................. 13 5. Függvénkpsoltok (teszt)......................... 151 6. Veges feldtok................................ 155 7. Lineáris progrmozás.............................. 163 Megoldások 165 1. Grfikonok................................... 165. Geometrii trnszformáiók.......................... 165 3. Geometrii trnszformáiók (teszt)...................... 165. Lineáris függvén................................ 166 5. Lineáris függvén (teszt)............................ 166 6. Aszolútérték függvén............................ 167 7. Aszolútérték függvén (teszt)........................ 168 8. Másodfokú függvén.............................. 168 9. Másodfokú függvén (teszt).......................... 168 10. Rionális törtfüggvén............................ 169 11. Rionális függvén (teszt).......................... 169 1. Négzetgök függvén............................. 170 13. Négzetgök függvén (teszt)......................... 170 1. Előjel, törtrész, egészrész........................... 170 15. Előjel, törtrész, egészrész (teszt)....................... 170 16. Függvéntrnszformáiók........................... 170 17. Függvéntrnszformáiók (teszt)....................... 171 18. Összetett függvének.............................. 17 19. Összetett függvének (teszt).......................... 17 0. Tuljdonságok, műveletek........................... 173 1. Tuljdonságok, műveletek (teszt)....................... 173. Grfikus megoldás............................... 17 3. Grfikus megoldás (teszt)........................... 17. Függvénkpsoltok.............................. 17 5. Függvénkpsoltok (teszt)......................... 175 6. Veges feldtok................................ 175 7. Lineáris progrmozás.............................. 175 Segítő lökések 179 1. Grfikonok................................... 179. Geometrii trnszformáiók.......................... 179 3. Geometrii trnszformáiók (teszt)...................... 179. Lineáris függvén................................ 179 5. Lineáris függvén (teszt)............................ 179 6. Aszolútérték függvén............................ 179 7. Aszolútérték függvén (teszt)........................ 180 8. Másodfokú függvén.............................. 180 9. Másodfokú függvén (teszt).......................... 180 10. Rionális törtfüggvén............................ 180 11. Rionális függvén (teszt).......................... 180 1. Négzetgök függvén............................. 180 3
TARTALOMJEGYZÉK 5 6 TARTALOMJEGYZÉK 13. Négzetgök függvén (teszt)......................... 180 1. Előjel, törtrész, egészrész........................... 180 15. Előjel, törtrész, egészrész (teszt)....................... 180 16. Függvéntrnszformáiók........................... 181 17. Függvéntrnszformáiók (teszt)....................... 181 18. Összetett függvének.............................. 181 19. Összetett függvének (teszt).......................... 181 0. Tuljdonságok, műveletek........................... 181 1. Tuljdonságok, műveletek (teszt)....................... 181. Grfikus megoldás............................... 181 3. Grfikus megoldás (teszt)........................... 181. Függvénkpsoltok.............................. 181 5. Függvénkpsoltok (teszt)......................... 18 6. Veges feldtok................................ 18 7. Lineáris progrmozás.............................. 18
8 1. FEJEZET. GRAFIKONOK 1. FEJEZET Grfikonok A fejezeten sttisztiki dtokt KSH kidvániól válogttuk. 1.1. Árázoljuk derékszögű koordinát rendszeren z lái függvéneket! Rendeljük minden egjegű pozitív egész számhoz ) mgát számot; ) szám felét; ) szám háromszorosát; d) szám ellentettjét; e) szám szolút-értékét; f) szám reiprokát; g) szám négzetgökét; h) szám osztóink számát; i) szám pozitív osztóink számát; j) 0-t, h szám prím, egéként 1-et; k) zt számot, hán etűől áll szám neve. 1.. Eg kórházi eteg testhőmérsékletét kétóránként megmérték, kpott értékeket z lái táláztn láthtjuk. idő (ór) 8 10 1 1 16 18 0 testhőmérséklet ( C) 38,5 38,7 39 39,1 38,5 38, 38,1 38 grfikon; kördigrm; pont-; terület-; pere-; sugár-; felület-; uorék-; árfolm-; henger-; kúp-; pirmis-digrmok. ) Eg-eg emenő dtsorrl próáljuk ki z összes árázolási lehetőséget! ) Elemezünk néhán semegét : 3D-oszlop; vonl térhtássl; 100%-ig hlmozott terület; tort; rontott pere st. ) Adjunk meg oln dtokt, melek szemléltetésekor vlmelik módszer lénegesen előnöse másiknál! d) Eges szemléltetési módokkl können mnipulálhtjuk kpott dtokt. Melik digrmml vn erre lehetőség, és hogn? 1.. Az lái táláztn Budpest jellemző hőmérsékleti dtit tüntettük fel. Hőmérséklet, C 000 003 00 005 közepes 13,9 11,9 11,3 11 mimum 36,9 37,3 33,6 35,1 minimum -10,0-1,5-9,8-10,9 ingdozás ) Töltsük ki tálázt utolsó sorát! ) Elemezzük számdtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? ) Árázoljuk vonldigrmon eg-eg év dtit! d) Árázoljuk vonldigrmon nég év eg-eg hőmérsékleti jellemzőjét! 1.5. Az lái táláztn mgrországi népesség korsoportok szerinti eloszlását tüntettük fel (ktuális év jnuár 1-i dtok). Elemezzük számdtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Szemléltessük z dtokt például vonldigrmml! (Alklmzhtunk különöző árázolási módokt.) 1.3. Összefüggő dtok szemléltetésére z OpenOffie.org Cl vg Mirosoft Eel progrm segítségével töféle digrm-típust, ezeken elül pedig különféle ltípusokt is lklmzhtunk. E progrmok pl. következő digrm-lehetőségeket kínálják fel: oszlopdigrm (ezen elül lehetséges ltípusok: soportosított, hlmozott és 100 sávdigrm; 7
9 10 1. FEJEZET. GRAFIKONOK Korsoport, 000 005 006 eől férfi, eől nő, év ezer fő ezer fő ezer fő ezer fő ezer fő 0-50 78 77 5 3 5-9 597 503 91 5 39 10-1 631 599 58 99 85 15-19 68 63 66 30 306 0-8 688 671 3 39 5-9 751 86 816 17 399 30-3 680 753 790 01 389 35-39 61 679 70 356 38 0-757 61 605 300 5 5-9 811 738 695 337 358 50-5 671 779 79 377 17 55-59 618 635 66 307 357 60-6 56 57 567 9 318 65-69 50 7 81 195 86 70-7 3 8 0 161 59 75-79 335 338 31 10 1 80-8 130 5 7 71 156 85-89 97 69 8 3 59 90-33 11 31 ) Hsonlítsuk össze néhán zonos korsoportn 000., 005. és 006. évi dtokt! ) Árázoljuk mindhárom éven népesség ngságát korsoportok függvénéen! (Alklmzhtunk különöző szemléltetési módokt.) ) Árázoljuk ugnzon grfikonon férfik és nők számát 006-n, korsoportonként! d) Hogn esülhetjük meg három dtsor lpján vlmel korsoport lélekszámánk természetes fogását? Érdekességképpen mellékeljük Mgrországr evándorló, illetve Mgrországról kivándorló külföldiek számát korsoportok szerint. A Mgrországr evándorló külföldiek szám korsoportok szerint: Korsoport, 1999 00 év - 1 375 136 15-59 15 738 19 53 60-038 195 A Mgrországról kivándorló külföldiek szám korsoportok szerint: Korsoport, 1999 00 év - 1 78 173 15-59 97 3138 60-85 155 1.6. Az lái tálázt z ktuális év jnuár 1-i dtit trtlmzz. Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Területi egség Népesség, 003., Népesség, 006., Terület, ezer fő ezer fő km Bás-Kiskun mege 55 538 85 Békés mege 396 386 5631 Fejér mege 8 9 359 Hjdú-Bihr mege 55 58 611 Heves mege 35 31 3637 Komárom-Esztergom mege 317 316 65 Pest mege 1106 1160 6393 Somog mege 336 330 6036 Vs mege 67 6 3336 ) Válsszunk ki felsoroltk közül néhán megét, s árázoljuk ezek népességét és területét! (Alklmzzunk soportosított oszlopdigrmot megék területének ngság szerint sökkenő sorrendjéen.) ) Árázoljuk z eges megéket népesség-terület grfikonon! ) Mekkor z eges megék népsűrűsége? (Az előző grfikonon közvetlenül összehsonlíthtjuk két mege népsűrűségét. Hogn?) 1.7. Az lái táláztn különöző típusú okttási intézméneket elvégzett diákok számát tüntettük fel. Milen tendeniák figelhetők meg tálázt dti lpján? Végzettség (ezer fő) 001 003 00 005 8 évfolm 119,3 116,6 118 10,3 gimnáziumi érettségi 38,7 8,3 5, szkközépiskoli érettségi 50,9 6,5,7 3, felsőfokú oklevél 7, 5,8 53,5 57, ) Hán tnuló szerzett középiskoli érettségi izonítvánt z eges éveken? ) Az összes megszerzett középiskoli érettségi izonítván hán százlék volt gimnáziumi érettségi? ) Árázoljuk z érettségi izonítvánt szerzett diákok számát z eges éveken! (Alklmzhtunk különöző szemléltetési módokt.)
d) Htározzuk meg z lp-, közép- és felsőfokú végzettséget szerzett diákok százlékos ránát z összes végzettséget szerző diák számához képest! (Az dtok szemléltetésére lklmzhtunk például kördigrmot.) 1.8. Az lái táláztn középiskoli okttássl, neveléssel kpsoltos dtokt tüntettük fel. Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? fer.01 003/00 máj.0 jún.05 iskolák szám 1576 16 165 169 összes tnuló (nppli + esti tgozt, 1000 fő) 516,1 531, 59 531,1 tnulók szám (nppli, 1000 fő) 0,9 38,1 38,7 1,1 osztálok szám (nppli) 15 83 15 910 16 051 16 17 ) Hán esti tgoztos tnuló járt középiskoli képzésre z eges éveken? ) Átlgosn hán tnulór jut eg pedgógus? ) Átlgosn hán tnulór jut eg osztálterem? d) Menni volt z átlgos osztállétszám z eges éveken? e) Árázoljuk z ) - d) szármzttott dtokt z eges éveken! (Alklmzhtunk különöző szemléltetési módokt.) 1.9. Az lái táláztn z eges intézmének hllgtóink számát tüntettük fel (ezer fő). Intézmén fer.01 ápr.03 máj.0 jún.05 Óvod 3,3 37,5 36 36,6 Áltlános iskol 97 913 890,6 861,9 Szkiskol 133 13,8 135,3 135 Középiskol 516,1 531, 59 531,1 Felsőfokú iskol 39,3 09,1 1,5, Összesen ) Töltsük ki tálázt utolsó sorát, pl. z OpenOffie.org Cl vg Mirosoft Eel progrmot hsználv! ) Szemléltessük z eges intézmének hllgtói számánk időeli változását! (Alklmzzunk különöző árázolási módokt!) ) Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? 1.10. András eg táláztot tlált régi ppírji között. A táláztn Mgrországon kidott szépirodlmi könvek számát tüntették fel, művek műfj szerint soportosítv. Sjnos, tálázt eges ellái írt számok már elmosódtk, olvshttlnná váltk, ennek ellenére András sikerrel válszolt z lái kérdésekre. Mik voltk válszi? 11 1 1. FEJEZET. GRAFIKONOK Műfj 001 00 Példánszám (00, ezer dr) Verses mű, ntológi 38 301 396 Regén, eleszélés 1661 11150 Színmű 63 65 Egé széppróz 0 198 95 Összesen: 19 ) Hán művet dtk ki összesen 001-en? ) Hán regén, illetve eleszélés jelent meg 00-en? ) Hán százlékkl változott 001 és 00 között kidott verses művek, illetve ntológiák szám? d) 00-en z összes kidott műnek hán százlék volt regén? e) A nég műfji ktegóri közül meliknek volt legmgs művenkénti átlgos példánszám 00-en? 1.11. Az lái táláztn mel, z előző feldtn szereplővel ellentéten, már nem hiános Mgrországon kidott szépirodlmi könvek számát tüntettük fel, műfjuk szerint soportosítv. Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Művek szám 000 003 00 005 példánszám (005-en, ezer d) Verses mű, ntológi 10 31 7 8 376 Regén, eleszélés 136 157 159 155 935 Színmű 55 59 87 63 118 Egé széppróz 3 180 5 59 91 ) Hán szépirodlmi művet dtk ki összesen z eges éveken? ) A kidott művek hán százlék volt színmű z eges éveken? ) Menni volt z eges művek átlgos példánszám 005-en? d) A tálázt lpján szemléltessük kidott szépirodlmi könvek számánk időeli változását! (Alklmzhtunk különöző árázolási módokt.) 1.1. Az lái tálázt 00-en és 005-en legngo példánszámn megjelent tíz országos npilpot trtlmzz. Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Országos npilp (átlgos megjelenési példánszám, ezer d)
Sjtótermék 00 005 Metro 316 35 Blikk 3 330 Népszdság 186 175 Nemzeti Sport 11 110 Mgr Nemzet 9 93 Mi Np 87 9 Népszv 38 38 Mgr Hírlp 31 Epressz 30 8 Világgzdság 16 17 ) Készítsünk tálázt lpján normál oszlopdigrmot 00-es év öt legngo npilpj példánszámánk feltüntetésével! ) Készítsük el két évre vontkozón hlmozott, mjd 100%-ig hlmozott oszlopdigrmokt is! ) Készítsük el megfelelő kördigrmokt z öt legngo npilp példánszámánk feltüntetésével! 1.13. Az lái táláztn 1990-en, 001-en és 00-en Mgrországon kidott szépirodlmi könvek számát tüntettük fel, szerzők állmpolgárság szerint soportosítv. Elemezzük z dtokt! Milen tendeniák figelhetők meg tálázt lpján? Állmpolgárság 003 00 005 példánszám (005, ezer d) meriki (USA) 75 61 651 597 ngol 16 99 138 53 seh 9 5 5 79 frni 73 75 98 383 lengel 8 8 13 mgr 109 1177 109 61 német 117 111 105 503 olsz 3 16 3 150 orosz 7 35 79 összesen 050 319 670 10 0 ) A felsorolt 9 országon kívüli szerzőktől hán mű jelent meg z eges éveken? ) Hán százlékkl részesedtek z eges nemzetiséges szerzői 005-en teljes példánszámól? ) Menni volt z meriki, ngol st. szerzők műveinek átlgos példánszám 005-en? 13 1 1. FEJEZET. GRAFIKONOK d) Árázoljuk mgr szerzők szépirodlmi műveinek lkulását három éven! (Szemléltethetünk különöző árázolási módokkl.) 1.1. Közös koordinátrendszeren megrjzoltuk eg glogos, eg koogó és eg kerékpáros út-idő grfikonját (lásd z 1. árát, hol z eges pontok koordinátái: A(0; 0), B(6; ), C(; 0), D(; 0), E(; 36)). Elemezzük grfikont! (Mi jellemzi z indulási időket és megtett útszkszokt, mekkorák seességek?) 1.15. Az A és B városokt összekötő úton hld eg glogos, eg koogó és eg kerékpáros. Az út-idő grfikonon árázoltuk mozgásukt (lásd z 1. árát), ezek: z AFGH és BDE töröttvonlk, vlmint z IC szksz. Jellemezzük mozgásokt, s próáljuk meghtározni z eges tlálkozási időpontokt! 1.16. Pisti fürödni ment. Az 1. grfikonon fürdőkádn lévő vízszint mgsságát tüntettük fel, z eltelt idő függvénéen. Mi történhetett z eges időszkokn? 1.17. Az 1. út-idő grfikonon három test mozgását árázoltuk. Elemezzük grfikont! (Mi jellemzi z indulási időket és megtett útszkszokt, mekkorák seességek?) 1.18. Az 1 árán három függvén grfikonj láthtó. Mi függvének értelmezési trtomán és értékkészlete? 1.19. Az f függvén képe derékszögű koordinát rendszeren z AB és CD szkszokól áll, A( 5; 8), B(; 7), C(3; 3), D(6; 11). Htározzuk meg függvén értelmezési trtománát és értékkészletét, h ) A( 5; 3), B(; 1), C(1; 0), D(6; 11); s (km) 0 30 0 10 A C E B D 6 8 1.1.1. ár. t (ór)
15 16 1. FEJEZET. GRAFIKONOK ) A( 5; 3), B(; 7), C(3; 3), D(6; 6); ) A( 5; 3), B(; 5), C(0; ), D(6; 7). 1.0. Mel pontn metszik derékszögű koordinát rendszer tengelét z lái függvének göréi? ) () = 5; + 3, [; ]; ) () = 3 6; d) d() = + 3 + 7 6; e) e() = ( + ) 3, {, 1, 0, 1, }; f) f() = 3 ; g) g() = 3. ) () = 5 1.1. Mel pontn metszik derékszögű koordinát rendszer tengelét z lái függvének göréi? ) () = 5; ) () = 3 +, [ 1; 1]; ) () = 3 + 18, [ 1; 1]; d) () = 9; e) d() = 3 ; f) e() = ; g) f() = +. h (m) 35 30 5 0 15 C D E F G H 10 s (km) 50 0 B D 5 A B 5 10 15 0 5 30 35 I 0 t (per) 30 0 10 F G C H E 1.16.1. ár. A I 1.15.1. ár. t (ór)
17 18 1. FEJEZET. GRAFIKONOK s (km) 00 B 300 00 D F 100 A C E 6 8 10 1.17.1. ár. t (ór) 1 1 10 8 6 8 10 6 8 10 1 1 16 1.18.1. ár.
0. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK Htározzuk meg P (10; ) pont képét ezeknél trnszformáióknál! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!. FEJEZET Geometrii trnszformáiók.1. Adott P (; 1) pont. Hjtsuk végre P ponttl z lái trnszformáiókt, s djuk meg P képének koordinátáit! ) Tengeles tükrözés z tengelre; ) tengeles tükrözés z tengelre; ) középpontos tükrözés z origór; d) középpontos tükrözés Q(; 6) pontr. Oldjuk meg feldtot P helett z R(; 6) ponttl is!.. Adott P ( 5; ) pont. Hjtsuk végre P ponttl z lái trnszformáiókt, s djuk meg P képének koordinátáit! ) λ = ránú ngítás z origóól; ) λ = 1 ránú kisinítés z origóól; ) λ = 3 ránú ngítás z origóól; d) λ = ránú ngítás C( 1; ) pontól; e) λ = 1 ránú kisinítés C( 1; ) pontól. Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.3. Adott P (8; 5) pont. Toljuk el P -t ) (3; 0); ) (0; ); ) (1; ); d) ( 100; 11) vektorrl, s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.. Adott P (10; ) pont. Hjtsuk végre P ponton zt merőleges ffinitást, melnek tengele z tengel, rán pedig ) λ = ) λ = 1 ) λ =. Adjuk meg P pont képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.5. Alklmzzunk oln merőleges ffinitást, melnek tengele z tengel, rán pedig ) λ = ; ) λ = 1 ; ) λ =..6. Adott P ( 5; ) pont. Vetítsük merőlegesen P -t z ) ; ) tengelre, s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.7. Adott P (5; ) pont. Forgssuk el P -t z origó körül ) 90 -kl; ) 90 -kl; ) 180 -kl s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.8. Adott P (5; ) pont. Forgssuk el P -t O(10; 6) pont körül ) 90 -kl; ) 90 -kl; ) 180 -kl s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(; 6) ponttl is!.9. Adott P (8; 0) pont. Forgssuk el P -t z origó körül ) 60 -kl; ) 10 -kl; ) 0 -kl; d) 5 -kl; e) 135 -kl s djuk meg P képének koordinátáit! Oldjuk meg feldtot P helett Q(0; 1) ponttl is!.10. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(; ) pontot. Az A pont tengelre vontkozó tükörképe legen B, B pont tengelre vontkozó tükörképe pedig C. Ezután változtssuk z A pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Hogn változik B pont két koordinátáj? ) Hogn változik C pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg C koordinátáink változás lpján? d) Próáljuk igzolni sejtést!.11. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(; ) és C(3; 0) pontokt. Az A pontot tükrözzük z origór, íg kpjuk B pontot; mjd B-t tükrözzük C-re, ekkor keletkezik D pont. Ezután változtssuk z A pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Hogn változik D pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg D koordinátáink változás lpján? ) Ezután változtssuk C pont helzetét z tengelen. Hogn változik D pont két koordinátáj? Ez lpján milen új sejtést foglmzhtunk meg? 19
.1. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel P ( 3; 5) pontot, és z ár szerinti és egeneseket. (Az egenes merőleges z tengelre, és átmeg z A(0; ) ponton; egenes merőleges z tengelre, és B(1; 0) ponton hld át.) Az és egenesek metszéspontj C pont. A P pontot z egenesre tükrözve kpjuk Q pontot; mjd Q-t tükrözve -re, keletkezik z R pont. Ezután változtssuk P pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Htározzuk meg Q és R kezdeti koordinátáit! (Tehát mikor P koordinátái ( 3; 5).) ) Hogn változik P mozgtáskor z R pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg R koordinátáink változás lpján? d) Ezután változtssuk z egenes helzetét, például z A pont mozgtásávl 1. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK z tengelen. Hogn változnk Q, R pontok koordinátái? e) Végül változtssuk egenes helzetét, például B pont mozgtásávl z tengelen. Hogn változnk ekkor Q, R pontok koordinátái? f) Foglmzzunk meg sejtéseket fenti mozgtások lpján, s próálkozzunk meg ezek igzolásávl!.13. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(; ) és B(3; 0) pontokt. Alklmzzunk λ = 0,5 ránú origó entrumú középpontos hsonlóságot (ekkor z A pont képe C), mjd λ = ránú B entrumú középpontos hsonlóságot (ekkor C képe D). Ezután változtssuk z A pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el)! ) Htározzuk meg C és D pontok kezdeti koordinátáit! (Tehát mikor A B A P C 6 Q A B C 6 R.10.1. ár..1.1. ár. A D C 6 B A D B 6 C.11.1. ár..13.1. ár.
koordinátái (; ).) ) Hogn változnk A mozgtáskor C és D koordinátái? ) Ezután változtssuk B pont helzetét z tengelen. Hogn változnk C, D pontok koordinátái? d) Foglmzzunk meg sejtéseket fenti mozgtások s D koordinátáink változás lpján, és próálkozzunk meg ezek igzolásávl!.1. Adott két pont, A(8; 3) és B(; 7). Htározzuk meg z AB szksz ) hosszát; ) F felezőpontjánk koordinátáit; ) z A végpontjához közelei H hrmdoló pontjánk koordinátáit! d) Oldjuk meg z -) feldtokt A és B helett z A (; ) és B (8; 1) pontokkl is!.15. Hjtsuk végre z 1. árán láthtó ABCD négzettel z lái geometrii trnszformáiókt, s djuk meg keletkezett súsok koordinátáit. A trnszformáiók: ) Tengeles tükrözés z tengelre; ) középpontos tükrözés z origór; ) középpontos tükrözés (; 3) pontr; d) eltolás ( 1; 3) vektorrl; e) λ = 1 ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; f) λ = ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; g) forgtás 90 -kl z origó körül; 3. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK h) forgtás 90 -kl (; 3) pont körül. i) Oldjuk meg z -h) feldtokt ABCD helett z EF GH négzettel, melnek súsi: E( 3; ), F(3; ), G(5; ), H( 1; )..16. Adott z O(3; ) középpontú kör, melnek sugr 5 egség hosszú. Hjtsuk végre körrel z lái geometrii trnszformáiókt, s htározzuk meg keletkezett körök középpontjánk koordinátáit, vlmint körök sugrink hosszát! A trnszformáiók: ) Tengeles tükrözés z tengelre; ) középpontos tükrözés z origór; ) középpontos tükrözés (; 3) pontr; d) eltolás z (1; ) vektorrl; e) λ = 1 ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; f) λ = 3 ránú merőleges ffinitás, melnek tengele z tengel; g) forgtás 90 -kl z origó körül; h) forgtás 90 -kl (; 3) pont körül..17. Htározzuk meg derékszögű koordinát-rendszeren zon P (; ) pontok hlmzát, melek koordinátáir teljesülnek z láik: ) = 1; ) ; ) 0; d) + = 0; e) + = 0; f) = 0; g) > 0 és + = 1; h) + ; i) + = ; j) = 1 vg = 1. Tükrözzük ponthlmzokt először z, mjd z tengelre, végül z origór (ez három különöző feldt). Az íg kpott ponthlmzokt (lkztokt, göréket) djuk meg egenlettel vg egenlőtlenség segítségével! B 6 C A 6 D.15.1. ár.
6 3. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK (TESZT) () λ = 0,5 ránú kisinítés z origóól trnszformáió eredméne B pont; 3. FEJEZET Geometrii trnszformáiók (teszt) 3.1. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 7) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Tengeles tükrözés z tengelre trnszformáió eredméne z X pont; () tengeles tükrözés z tengelre trnszformáió eredméne z Y pont; (3) középpontos tükrözés z origór trnszformáió eredméne Q pont; () középpontos tükrözés C(; 11) pontr trnszformáió eredméne z R pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik heles z állítások közül? A) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(0; 1) B) C) D) E) Egik sem. X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 15) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 1) X(0; 7), Y (0; 7), Q(0; 7), R(8; 15) 3.. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 8) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) λ = ránú ngítás z origóól trnszformáió eredméne z A pont; (3) λ = ránú ngítás Q(7; ) pontól trnszformáió eredméne C pont; () λ = 1 3 ránú kisinítés z R(; ) pontól trnszformáió eredméne D pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(0; 16) B) B(10; ) C) C(61; 7) D) D( 8; 0) E) Egik sem. 3.3. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 8) pont. A P pontot eltoljuk (6; 0) vektorrl; z íg kpott A pontot eltoljuk (0; 3) vektorrl; végül z íg kpott B pontot eltoljuk z (5; 9) vektorrl, s kpjuk C pontot. Az lái állítások pontok koordinátáir vontkoznk. Melik igz z állítások közül? A) Az A tükörképe z tengelre (1; 8) pont. B) B( 1; 10) C) C( 9; ) D) B tükörképe z tengelre (1; 10) pont. E) Egik sem. 3.. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 8) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) λ = ránú merőleges nújtás (ffinitás) z tengelre trnszformáió eredméne z A pont; () λ = 0,5 ránú merőleges zsugorítás (ffinitás) z tengelre trnszformáió eredméne B pont; (3) λ = 0, ránú merőleges zsugorítás (ffinitás) z tengelre trnszformáió eredméne C pont; () λ = 1 ránú merőleges ffinitás elő z tengelre, mjd P pont képére λ = 1 ránú merőleges ffinitás lklmzás z tengelre is trnszformáió eredméne D pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(0; 16) B) Az AB távolság 1 egség. C) C(; 8) D) P középpontos tükörképe z origór D. E) Egik sem. 5
3.5. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P ( 13; 7) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Merőleges vetítés z tengelre, mjd eltolás v(1; 3) vektorrl trnszformáiók szorztánk z eredméne z A pont. () Eltolás v(1; 3) vektorrl, mjd merőleges vetítés z tengelre trnszformáiók szorztánk z eredméne B pont. (3) Merőleges vetítés z tengelre, mjd eltolás v(1; 3) vektorrl trnszformáiók szorztánk z eredméne C pont. () Merőleges vetítés z tengelre, mjd tükrözés z tengelre trnszformáió eredméne D pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A( 1; 3) B) C(1; 10) C) D(0; 0), függetlenül P kezdeti helzetétől. D) A és B megegezik. E) A merőleges vetítés nem kölsönösen egértelmű trnszformáió. 3.6. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (1; 7) pont. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Forgtás z O origó körül 90 -kl trnszformáió eredméne z A pont. () Forgtás z O origó körül 180 -kl trnszformáió eredméne B pont. (3) Forgtás z O origó körül 70 -kl trnszformáió eredméne C pont. Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(7; 1) B) B( 1; 7) C) C z A pontnk O-r vontkozó középpontos tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. D) A P pont origó körüli, 90 -os elforgtottj megegezik C-vel. E) Egik sem. 3.7. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dottk P (8; 3) és Q(; 5) pontok. A P ponttl következő trnszformáiókt hjtjuk végre: (1) Forgtás Q pont körül 90 -kl trnszformáió eredméne z A pont. () Forgtás Q pont körül 180 -kl trnszformáió eredméne B pont. (3) Forgtás Q pont körül 70 -kl - trnszformáió eredméne C pont. 7 8 3. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK (TESZT) Az lái állítások P pont képének koordinátáir vontkoznk. Melik hmis z állítások közül? A) A(; 11) B) B(; 7) C) C(0; 1) D) C z A pontnk Q-r vontkozó középpontos tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. E) Egik sem. 3.8. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (10; 0) pont. Forgssuk el P -t z origó körül 60 -kl. Mik z íg kpott P pont koordinátái? A) P (10; 5) B) P (5; 10) C) P (5; 10 3) D) P (5; 5 3) E) P (5; 5 3) 3.9. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (0; 10) pont. Forgssuk el P -t z origó körül 135 -kl. Mik z íg kpott P pont koordinátái? A) ( 10 ; 10 ) B) (10 ; 10 ) C) ( 5 ; 5 ) D) ( 5 ; 10 ) E) Egik sem. 3.10. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P (1; 6) pont. Forgssuk el P -t z origó körül 0 -kl. Mik z íg kpott P pont koordinátái? A) (; 1) B) (6 3; 6 3 + ) C) (6 + 3; 3 + ) D) ( 3 3; 6 3) E) Egik sem. 3.11. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P ( 10; 6) pont. Tükrözzük P -t z A(0; 3) pontr, képe P ; mjd P pontot tükrözzük B(0; 3) pontr, íg kpjuk P pontot. Az lái állítások közül hán hmis? (1) A P pont koordinátái (10; 0). () A P pont koordinátái ( 10; ). (3) A P P P háromszög egenlő szárú. () A P pont P pont tengelre vontkozó tengeles tükörképe, függetlenül P kezdeti helzetétől. (5) A P pont P pont vektorrl eltolt képe, függetlenül P kezdeti helzetétől. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 3.1. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott P ( 1; 6) pont. Alklmzzunk λ = 1 3 ránú középpontos hsonlóságot z A(0; 3) entrumml (ekkor P pont képe P ); mjd lklmzzunk µ = 3 ránú középpontos hsonlóságot B(0; 3) középponttl, ekkor P képe P. Az lái állítások közül hán igz?
9 30 3. FEJEZET. GEOMETRIAI TRANSZFORMÁCIÓK (TESZT) (1) A P pont koordinátái (; ). () A P pont koordinátái ( 1; 18). (3) A P P P és AP B háromszögek hsonlók, megfelelő oldlk rán 1 : 3. () A P pont P pont AB vektorrl eltolt képe, függetlenül P kezdeti helzetétől. (5) H λµ = 1, kkor két trnszformáió eredméne egevágósági (távolságtrtó) leképezés, függetlenül z A és B pontok kezdeti helzetétől. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) 3.13. (M) A derékszögű koordinát-rendszeren dott két pont, A(1; 8) és B(; 16). Az lái állítások közül melek igzk? (1) Az AB szksz hossz 0 egség. () Az AB szksz F felezőpontjánk koordinátái (3; ). (3) Az AF szksz hossz 10 egség. () Az AB szksz A végpontjához közelei H hrmdolópontjánk koordinátái (6; 0). (5) A HB szksz hossz 0 egség. 3.15. (M) A derékszögű koordinát-rendszer P (; ) pontjin három hlmzt definiálunk: A = P (; ); < 0; B = P (; ); > 0; C = P (; ); =. Az lái állítások között hán hmis állítás vn? (1) Egik ponthlmz sem korlátos. () A B. (3) C B. () A C hlmz képe két egenes. (5) Vn oln egenes koordinát-rendszeren, melnek nins közös pontj A-vl. (6) Bármel z, tengelekkel nem párhuzmos egenesnek vn közös pontj B-vel. (7) Bármel z, tengelekkel nem párhuzmos egenesnek vn közös pontj C-vel. (8) A B (B komplementer hlmz) z tengel. A) 0 B) 1 C) D) 3 E) A) () és () B) (), () és (5) C) Csk (5) hmis. D) (1), () és (3) E) Csk () hmis. 3.1. (M) Az O(; 9) középpontú, 5 egség sugrú k kört tükrözzük C(1; 6) pontr, íg kpjuk k kört. Az lái állítások között hán igz állítás vn? (1) Az A(; 6) pont rjt vn k körön. () A k kör középpontj (; 3). (3) A B(7; 7) pont rjt vn k körön. () A k és k körök területe megegezik. (5) A k kör átmeg z origón. A) 1 B) C) 3 D) E) 5
3. FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY. FEJEZET Lineáris függvén Ahol külön nem jelezzük, ott függvének értelmezési trtomán vlós számok lehető legőve részhlmz... A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(0; ) pontot, mjd ezen keresztül z 1 meredekségű e egenest (ez z egenes z tengelt B pontn metszi). Ezután változtssuk z A pont helzetét z tengelen (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el) úg, hog rjt átmenő e egenes meredeksége ne változzzék! Mi jellemzi z íg kpott egeneseket? Hogn mozog B pont?.5. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z = + egenletű egenest, hol =. Ezután értékét változtssuk rendre = 1; = ; = = 5-re. (Ezt mi Geoger progrmn, eg súszk segítségével végezzük el.) Mi jellemzi z íg kpott egeneseket?.6. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel = m + 1 egenletű egenest, hol m = 0,5. Ezután változtssuk m értékét! Legen rendre.1. Vázoljuk z lái függvének grfikonját! ) () = 0; ) () = 3; ) () = +,5; d) d() = 1 3 3; e) e() = + 5; f) f() = 1 + 1. g) Hogn helezkednek el z )-f) feldtrészeken kpott függvéngörékhez képest z A 1 (; 1), A (6; 3), A 3 (; 1), A (10000; 0000), A 5 ( 10000; 0000) pontok? (Melik pont vn z dott göre felett, göre ltt, vg esetleg rjt görén?) h) A P (3; ) pont második koordinátáját nem ismerjük. Mit állíthtunk -ról, h P pont rjt vn z )-f) feldtrészeken dott függvén grfikonján? Adjunk válszt külön-külön mind ht esetre! Mel értékekre lesz P göre felett, illetve göre ltt z ) - f) eseteken? i) Oldjuk meg h) feldtrészt P helett Q(; ) pontr is! j) Oldjuk meg h)-i) feldtokt, h most P, Q pontok első koordinátáit nem ismerjük. Legen például P (; 5) és Q(; )! B A 6..1. ár... Árázoljuk z f() = m függvén grfikonját, h ) m =, ) m = 1, ) m = 0,5, d) m =. Mi kpott függvéngörék közös jellemzője?.3. Árázoljuk z f() = + függvén grfikonját, h ) m =, ) m = 0, ) m = 0,7, d) m = 3. Mi kpott függvéngörék közös jellemzője? 6.5.1. ár. 31
) m = 0,5, ) m = 1, ) m = 1,5, d) m =! (Ezt mi Geoger progrmn, eg súszk segítségével végezzük el.) Mi jellemzi z íg kpott egeneseket?.7. Árázoljuk derékszögű koordinát-rendszeren h() = ( ) lkú függvéneket, hol rendre ) = 1, ) = 0, ) = 1, d) =! (Ezt mi Geoger progrmn, eg súszk segítségével végezzük el.) ) Mi jellemzi z íg kpott egeneseket? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg z egenesek illeszkedésével kpsoltn? ) Igz-e sejtés tetszőleges vlós szám esetén? m = 1 33 3. FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY.8. Vázoljuk z lái függvének grfikonját! Mi függvének értékkészlete? ) [ 5; ], () = 3. ) [; { 3[, () = 1 + 1. 3, h 0; ) () = 0, h < 0. { d) d() = 3 1 3, h 5 < 8;, h 8 < 11. { 1 e) e() = 3 3, h < 5;, h 5 < 8. f) f : + 3, h { 1; 0; 1; ; 3; }..9. Vázoljuk z lái függvének grfikonját! Mi függvének értékkészlete? ) () =, ) () =, ) () = ++ +, ( [ 3; ]), d) d() = +9 (+) 5, e) e() = 3+ ( 1) (1 )..10. Mi z 1. árán láthtó d függvének hozzárendelési szál? 6.11. Az és menniségek egenesen ránosk egmássl. Melik grfikon árázolhtj ezt függvénkpsoltot? Menni z ránossági ténező z eges eseteken? d 8.6.1. ár. 6 = 1 6 6.10.1. ár..7.1. ár.
.1. Adjunk meg oln képleteket, melek segítségével Celsius-hőmérő, Fhrenheithőmérő és Réumur-hőmérő értékeit átválthtjuk! A Celsius-skálán 0 C jelöli víz fgáspontját, 100 C forráspontját; ugnezen értékek Fhrenheit-skálán 3 F, ill. F; ugnezen értékek Réumur-skálán 0 R, ill. 80 R; továá mindhárom skál lineáris eosztású. Egenesen ránosk Celsius-, Fhrenheit-, illetve Réumur-fokn mért értékek?.13. Htározzuk meg, hog milen hőmérsékletnél lesz Fhrenheit-fokn mért hőmérséklet mérőszám ) 10-szer; ) 5-ször; ) -szer kkor, mint Celsius-fokn mért hőmérséklet mérőszám. A kpott eredmének lpján először esüljük meg, mjd számítsuk is ki, hog milen hőmérsékletnél lesz Fhrenheit-fokn és Celsius-fokn mért hőmérséklet mérőszám egenlő. Milen érdekességet tpsztlunk?.1. Közös koordinátrendszeren megrjzoltuk z eg helről induló, egenletes seességgel hldó kerékpár, motorkerékpár és személgépkosi út-idő grfikonját. Jellemezzük göréket! ) Melik göre melik járműhöz trtozik? ) Mekkor z eges járművek átlgseessége? ) Mi járművek indulási sorrendje? d e 8 35 36. FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY d) Mikor tlálkoztk egmássl z eges járművek?.15. Eg r sugrú köre írt szálos háromszög kerülete k. ) Hogn függ r-től k értéke? Htározzuk meg függvénkpsoltot! ) Egenes ránosság-e kpott függvén? Oldjuk meg feldtot háromszög helett z r sugrú köre írt szálos n- szöggel, h ) n = ; ) n = 6; d) n = 8; e) n = 1..16. Az f függvén képe derékszögű koordinát rendszeren z A és B ponton átmenő egenes, A(; ), B(; 8). ) Adjuk meg függvén hozzárendelési szálát! ) Mel pontn metszi z egenes z és meliken z tengelt?.17. Írjunk fel először s = At, mjd s = At + B lkú lineáris út-idő kpsoltot z lái, két mérési dtpárt trtlmzó tálázt lpján, s mgrázzuk meg kpott eredmént: t(s) 1 s(m) 3 6.18. Vn-e oln f() = + lkú függvén, melre teljesül, hog ) f(0) = 3 és f() = 5; ) f( 1) = 5 és f() = 5; ) függvéngöre áthld z A(; 1), B(9; 6) pontokon; d) függvéngöre áthld z A(; 1), B(9; 6), C(1; 8) pontokon? e) Változtssuk meg d) feldtn C második koordinátáját úg, hog z f() függvéngöre áthldjon mindhárom ponton! f) Mel pontn metszik z íg kpott görék z tengelt? 6 s (km) 6 500 00 300 00 100 6 8 10 t (ór).1.1. ár..11.1. ár.
.19. Az országút mentén fekvő A és B városok távolság 10 km. Reggel 8 órkor elindul A-ól B-felé eg kerékpáros v 1 = 15 km/h átlgseességgel, 9 órkor B-ől A-felé eg másik kerékpáros, v = 30 km/h átlgseességgel. ) Árázoljuk két kerékpáros mozgását út - idő grfikonon! ) Mikor tlálkoznk kerékpárosok? ) Oldjuk meg z előző feldtokt kkor is, h kerékpáros A-ól nem B város felé, hnem zzl ellentétes iránn indul el!.0. Az f függvén képe derékszögű koordinát rendszeren z AB szkszól áll, A( 5; ), B(; 16). Adjuk meg függvén hozzárendelési szálát!.1. Az 1. árán f() = + 1 függvén grfikonj láthtó z = 1.5 eseten. Változtssuk értékét! Rjzoljuk meg közös koordinátrendszeren z lái értékeknek megfelelő eseteket! ) =,5; ) = 0,5; ) = 0,5; d) = 1,5. (Hsználhtjuk Geoger progrmot is.) ) Milen sejtést foglmzhtunk meg z egenesek illeszkedésével kpsoltn? ) Igz-e sejtés tetszőleges vlós szám esetén?.. Vegük fel derékszögű koordinát-rendszeren z A(3; ) pontot, vlmint z O origón és z A ponton átmenő egenest. Szerkesszünk z origón merőlegest -r, íg kpjuk egenest; ezen pedig úg vegük fel B pontot, hog OA = OB teljesüljön (1. ár). (A B pont két lehetséges helzetéől mi zt válsztottuk, mikor z AOB iránított szög 90.) Ezután változtssuk z A pont helzetét! (A szerkesztést Geoger progrm segítségével végezzük el.) 37 38. FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY ) Hogn módosul z és egenesek egenlete, vlmint B pont két koordinátáj? ) Milen sejtést foglmzhtunk meg z és egenesek meredekségével kpsoltn?.3. Melik igz és melik hmis z lái állítások közül derékszögű koordinátrendszeren? ) H két egenes párhuzmos, kkor meredekségük megegezik. ) H és egenesen rános menniségek, kkor két menniség közötti függvénkpsolt képe eg egenes. ) H z és menniségek közötti függvénkpsolt képe eg egenes, kkor és egenesen rános menniségek. d) Az f() = m + függvénkpsolt képe minden m és esetén egenes. e) Minden egenes egenlete = m + lkú. f) Bármel egenesnek vn meredeksége. g) H két merőleges egenes meredeksége m 1 és m, kkor m 1 m = 1. h) H z m 1 és z m meredekségű egenes merőleges egmásr, kkor m 1 m = = 1... Mekkor szöget zárnk e z, illetve z tengellel z lái egenesek? ) = ; ) = + ; ) = ; d) = 1 3 1; e) = 3 + 1,5. B A 6 = 1.5 0 6.1.1. ár...1. ár.
39 0. FEJEZET. LINEÁRIS FÜGGVÉNY.5. A derékszögű koordinát-rendszeren vegük fel z A(0; 3) és B(; 3) pontokt, mjd vegük fel z A és B pontot összekötő e egenest. ) Htározzuk meg z e egenes egenletét! ) Változtssuk koordinát-rendszeren B pont helzetét (ezt mi Geoger progrm segítségével végezzük el). Htározzuk meg z íg kpott egenes egenletét! ) Változtssuk z A pont helzetét z tengelen, s htározzuk meg z ekkor kpott egenesek egenletét is! d) Most A és B koordinát-rendszer tetszőleges ráspontji lehetnek. Adjuk meg z A és B pontot összekötő egenes egenletét, s miközen pontok helzetét változttjuk, elemezzük z egenes egenletének változását!.6. Árázoljuk z lái ponthlmzokt derékszögű koordinát-rendszeren: ) = 3, h ; ) = 3, h ; ) + < 1; d) ( )( 1) = 0; e) ( 1) + ( 1) = 0; f) 1 1 = 0; g) +1 0. e B A 6.5.1. ár.