Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a Fiaszírozás-gazdaságta tatárgy taköyvéhez - Brealey/Myers: Moder vállalati pézügyek kötődik, de a példatárat haszoal forgathatják a Pézügytat, a Pézitézeti gazdaságtat és Tőzsdei ismereteket hallgató diákok. Az oktatási segédlet a hallgatók azo jogos igéyéből eredt, hogy mivel a pézügyi tárgyak számokéréséél a példamegoldás súlypoti szerepet kapott, szeretéek a jegyzetekbe megtalálható, illetve az előadásoko elhagzó példáko kívül is példákat megoldai, hogy ezáltal is eredméyesebbe készülhesseek fel a vizsgára. Sajos vállalati pézügyekből megoldással és rövid elméleti kiegészítővel redelkező példatár még magyar yelve tudomásom szerit em látott apvilágot, ezért eheze tudtam megfelelő irodalmat ajálai. A Pézügyi számítások a számokérésre való felkészülést szolgálják. Nem pótolják a taayagot, haem a példamegoldási készséget szereték elmélyítei. Mivel a segédletet külöböző oktatási célokra is alkalmassá akartam tei, ezért a példák megoldása mellett, rövide a szükséges elméleti hátteret is felvázoltam. Az oktatási segédlet fejezetei - az első fejezet kivételével - a következőképpe épülek fel: 1. A fejezet tartalmáak rövid bemutatása 2. Mitapélda megoldások a voatkozó elméleti háttérrel. 3. Példák 4. Megoldások 5. Mellékletek Az első fejezet példái olya rövidek, hogy a megoldások em igéyelek részletes magyarázatot. Mivel a gyakorlatba a pézügyi feladatok megoldására elsősorba számítógépeket alkalmazak, a feladatmegoldást Excellel végeztem el. A feladatmegoldásokat és az Excel pézügyi függvéyeit tartalmazó fájlok floppylemeze a Pézügyi Taszéke megvásárolhatók. A Pézügyi számítások I. három fejezetet tartalmaz. 1. A péz időértéke 2. Beruházás-értékelési módszerek 3. A Nettó jeleérték modell alkalmazásáak gyakorlati problémái A Pézügyi számítások további kötetei fejezetcímei várhatóa az alábbiak leszek: 4. A beruházások kockázatáak mérése 5. Portfólióelmélet 6. Fiaszírozási dötések 7. Vállalati kockázatkezelés határidős ügyletekkel
4 8. Forgótőke-kezelés, ügyletfiaszírozás 9. Vállalatértékelés, egyesülés, felvásárlás Szereték köszööetet modai Serfőző Dorottya, Csutora Attila, Rémiás Tamás és Alföldi Imre egyedéves pézügy-számvitel szakiráyos hallgatókak, valamit feleségemek Szemá Juditak, akik átézték a kéziratot és sok haszos taáccsal láttak el. Remélem dolgozatom elyeri az olvasó tetszését. Ha a segédlettel kapcsolatba valamilye megjegyzése, problémája va, kérem keresse fel. Sok sikert és jó taulást kíváok! Előszó
Mottó: Jobb ma egy veréb, mit holap egy túzok; azaz a veréb többet ér, mit a túzok diszkotált értéke 1. Fejezet A péz időértéke A fejezet célja bemutati: a kamatszámítások fajtáit és alkalmazásuk feltételeit, a fő árfolyamszámítási módszereket, a legfotosabb pézügyi istrumetumok árfolyamszámítási módszereit. 1.1. A péz időértékéek elve A pézügyi életbe gyakra külöböző időpotba esedékes pézeszközöket illetve pézforrásokat kell összehasolítai. Egy befektetési/beruházási dötés eseté agy összegű pézt aduk ki a jelebe és a jövőbe keletkezek belőle bevételek. Hitelfelvétel vagy általába a fiaszírozási dötések eseté pedig agy összegű pézbevételt kapuk a jelebe és a jövőbe leszek esedékesek a pézkiadások. A befektetési és fiaszírozási dötések szemléltetésére úgyevezett pézáramgrafikookat haszáluk. A pézáram egy adott időtartam alatt befolyó pézbevételek és kiáramló pézkiadások sorozata. A pézáram-grafiko a pézáramot szemléltető jelölésredszer. A későbbiekbe ezt a jelölésredszert sokszor fogjuk alkalmazi. A grafiko vízszites tegelye az időtegely, a függőleges tegelye az esedékes pézösszegeket ábrázoljuk. A lefelé húzott voal azt jeleti, hogy ott a gazdálkodó alayak pézkiadása va, ha felfelé húzuk voalat, akkor ott a gazdálkodó alayak pézbevétele keletkezik. A voal hossza a pézösszeg agyságától függ. 1.1. Ábra 1.2. Ábra Befektetés pézáram grafikoja Fiaszírozás pézáram grafikoja Pézösszeg + C i = pézbevétel az i-dik időpotba Pézösszeg + C 0 = Készhez kapott összeg 0 Idő 0 Idő - C 0 = Befektetett összeg - C i = kifizetés az i-dik időpotba Ahol C i az i-edik időpotba esedékes pézösszeg (Cash). Ha a C előjele pozitív, pézbevételük va, ha a C előjele egatív pézkiadásuk va.
6 Ahhoz, hogy a befektetési vagy fiaszírozási dötést meghozhassuk, közös evezőre kell hozi a külöböző időpotbeli pézeket. Meg kell tuduk modai, hogy 1 Ft mai péz, meyi pézt ér a jövőbe, illetve, hogy a jövőbeli pézek meyit érek ma. A továbbiakba a jele időpot a 0-dik időpot, amit t 0 -lal jelölük. Eek megfelelőe az 1 év múlva esedékes időpotot t 1 -gyel, a 2 év múlva esedékes időpotot t 2 -vel jelöljük. Nézzük egy egyszerű példát arra, hogya tudjuk közös evezőre hozi a külöböző időpotbeli pézeket. 1.1. Példa Tételezzük fel, hogy most va 100 ezer foritom (C 0 =-100), és azt fotolgatom, hogy a pézt egy ismerősömek adom kölcsö, aki vállalja, hogy egy év múlva 120 ezer foritot (C 1 =+120) ad vissza. Ismerősöm szavába abszolút megbízom. Érdemes-e hitelt adom ismerősömek? Akkor tuduk helyese dötei, ha megvizsgáljuk, hogy egy hasoló feltételű, általuk hozzáférhető befektetési lehetőségek mekkora a hozamrátája. Ezt a hozamrátát várjuk el mi is hitelyújtásuktól. Az elvárt hozamrátát a tőke alteratíva költségéek vagy feláldozott haszáak is evezik, hisze ettől a hozamtól elesük, ha az adott befektetést választjuk. A hozamráta a befektetett tőké felüli többletpézbevétel (hozam) a befektetett tőke %-ba kifejezve és évesítve. A hozamráta jele az r (retur). A hozamráta évesítéséek módszereivel a portfólióelmélet fejezet elejé foglalkozuk. A hozamrátát a későbbiekbe rövide hozamkét fogom említei, a szövegköryezetből egyértelműe ki fog derüli, hogy mikor beszélek többletpézbevételről és mikor %-ról. Az elvárt hozamot meghatározó téyezőket és a probléma megoldásáak képletét az 1. 3. Ábra mutatja: 1. Fejezet - A péz időértéke
7 1.3. Ábra A péz időértéke? 100 Jeleérték PV = 1 év C 1 r ( 1 + ) FV = C *( 1+ r) 0 Jövőérték 110? Az r agyságát meghatározó téyezők r kockázatmetes hozam likviditás kockázat r - adott kockázatú és likviditású befektetések hozama Ahol PV a jövőbe esedékes pézösszeg (C 1 ) jeleértéke (Preset Value), FV a jelebe esedékes pézösszeg (C 0 ) jövőértéke (Future Value), időtartam évekbe. A PV és az FV midig számított összeg. Közvetleül em lehet őket megfigyeli. Az ábrából látható, hogy az "r" agyságát részbe makroökoómiai téyezők határozzák meg, melyek eredméye a kockázatmetes hozam (az adott befektetés lejáratáak megfelelő állampapír hozama). A kockázatmetes kamatlábat két téyezőre bothatjuk, az iflációra és a reálkamatlábra. Ha az éves kockázatmetes hozamráta időszakukba 9%, ez azt jeleti, hogy mide befektetett 100 Ft-ra 9 Ft többletpézt (hozamot) kapuk évete. A befektetés omiális vagy évleges hozamrátája megmutatja, hogy befektetett pézük egy egységére mekkora pézösszeget kapuk a befektetett tőkéke felül egy év alatt. Tegyük fel az ifláció éves szite 7%. Ha egy befektetés potosa 7%-os omiális hozammal redelkezik, a befektető átlagosa ugyaakkora meyiségű árut tud vei a befektetéséek végé, mit tudott a befektetett összeggel. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
8 A reálkamatláb megmutatja, hogy átlagosa háy %-kal több (vagy kevesebb) árut tuduk megvásároli a pézükért a befektetési időszak végé, mit tudtuk az elejé. Reálhozama természetese emcsak a kockázatmetes befektetések lehet, haem mide befektetések ki lehet számítai az iflációtól "tisztított" hozamát a következőekbe ismertetett módszer segítségével. A reálkamatláb kiszámításáak általáosa ismert módja az úgyevezett Fisher-féle közelítés. Képlete: (1.1.) rr = r i Ahol r r = reálkamatláb, r = omiális kamatláb, i = ifláció. A feti képlet azoba torzított eredméyt ad a reálhozamra, valós értékét túlbecsüli. Eek szemléltetésére ézzük példák adatait, ahol 100 ezer foritot adok kölcsö és egy év múlva 120 ezer foritot kapok kézhez. A befektetés omiális hozamrátája 20%, hisze ekkora kamatlábbal kell megszorozom a befektetett tőkét (100-at) ahhoz, hogy megkapjam a hozamot, a 20-at. Képlettel: 120 100 (1.2.) 1 = 0,2 = 20% 100 Most tételezzük fel, hogy a befektetési időszak kezdeté egy alma 10 Ft. A befektetés időtartama alatt az ifláció 10% és az alma ára is az ifláció mértékébe övekszik. A befektetési időszak végé egy alma ára 11 Ft lesz. (1.3.) 10 (1 + 0,1) = 10 1,1 = 11 Meyi almát tuduk vásároli pézükért a befektetési időszak végé? A választ a reálhozam ismeretébe adhatjuk meg. Számoljuk ki a Fisher-féle megközelítéssel a reálhozamot! (1.4.) rr = r i = 20 % 10% = 10% Ha a befektetési időszak kezdeté 10 ezer darab almát tudtuk vásároli, akkor most 10%-kal többet tuduk, azaz 11 ezer darabot, ha a Fisher-képlet helyes lee. De em helyes! A 11 ezer darab alma ugyais 121 ezer foritba kerüle, ekük viszot csak 120 ezer forituk va!!! Ha a omiális hozam r, pézük a befektetési időtartam alatt 1+r szeresére övekszik. Az árak 1+i szeresükre változtak. A reálkamatlábat úgy kapjuk, hogy a két értéket elosztjuk egymással és kivouk belőle 1-et. Képlettel: 1+ r 1,2 120 (1.5.) r r = 1= 1 0,091= 9,1% 1 1+ i 1,1 110 A pézükért 9,1%-kal tuduk több árut vásároli, mit a befektetési időszak kezdeté. Persze csak akkor, ha a vásároli kívát áru potosa az ifláció mértékével drágult. A befektetési időszak végé 120 ezer forituk lesz, a 10 ezer 1. Fejezet - A péz időértéke
darab alma új ára 110 ezer forit, a két érték háyadosa míusz 1 lesz a reálkamatláb. Pézükért valójába csak 10,91 ezer almát tuduk vásároli. Most ézzük meg a torzítás okát! Redezzük át a képletet 1+r -re és végezzük el tagokét a beszorzást, majd egyszerűsítsük: 1+ r = ( 1+ i) ( 1+ rr ) (1.6.) 1+ r = 1+ i + rr + i rr rr = r i i rr Amit látható, a reálkamatlábat a Fisher-féle közelítéshez képest még az i*r r téyező is csökketi, ami valóba elhayagolható, ha mid a reálhozam, mid az iflációs ráta alacsoy. Miél agyobb értéket veszek fel azoba e téyezők, aál ikább fogja a Fisher-képlet torzítai a reálhozamot. A makrotéyezőkö túl a kokrét befektetés két jellemvoása befolyásolhatja az elvárt hozamot: a befektetés likviditása a befektetés kockázata A befektetés likviditása megmutatja, hogy milye gyorsa és mekkora trazakciós költségek mellett lehet a befektetést készpézre váltai. A likvid befektetések esetébe a készpézre váltás gyorsa és agyobb költségek élkül megtörtéhet. Az illikvid befektetések készpézre váltása hosszabb időt vesz igéybe és/vagy agy a trazakciós költsége. Az elvárt hozam és a likviditás egymással fordította aráyos. A likvid befektetésektől elvárt hozam alacsoyabb, mit az illikvid befektetésektől. A befektetők jobba kedvelik azokat a befektetéseket, amelyeket köyebb mobilizáli és ezért alacsoyabb hozamokkal is megelégszeek. A befektetések kockázata megmutatja, hogy a befektetés-értékelési változó várható értékétől átlagosa milye mértékbe térhetek el a változó téyleges értékei. Pézügyi befektetésekél a befektetés hozamrátája alapjá dötük. A várható értéktől vett átlagos eltérést a statisztikából ismert szórással mérjük. Miél agyobb a téyleges értékek szórása a várható érték körül, a befektetések aál agyobb a kockázata. Feltételezzük, hogy ha egy befektetés kockázata ő, az elvárt hozam övekszik. A befektetők a jövőbeli bizoytalaság ellesúlyozásáért hozamkompezációt várak el. Beruházási dötések esetébe, mit majd láti fogjuk, a befektetés-értékelési változó leggyakrabba a ettó jeleérték. Itt a ettó jeleérték várható értékétől vett átlagos eltérést tekitjük a kockázat mérőszámáak. Tételezzük fel, hogy a befektetők által elvárt hozam esetükbe potosa 10%. Azaz a befektetéssel azoos kockázatú és likviditású befektetések piaci hozama 10%. Ha ismerjük az elvárt hozamot, dötésüket két módszerrel is meghozhatjuk. 1.1.1. Jövőérték-számítás 9 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
10 Egy ma kapott 100 forit em egyelő egy 1 év múlva esedékes 100 forittal. A jelebeli péz midig értékesebb, mit a jövőbeli, hisze a jelebeli pézt el lehet költei vagy be lehet fekteti. Tételezzük fel, hogy pézüket az elvárt hozammal fektettük be egy évre. Meyi pézük lesz az 1.1. Példa alapjá? 100 + Kamat = 100 + 100 r = 100 ( 1+ r) = 100 ( 1+ 10% ) = 100 1,1 = 110 (1.7.) FV = C0 ( 1+ r) Ahol r az adott időszak alatt érvéyes elvárt hozam, FV a pézeszköz időszak múlva esedékes jövőértéke, C 0 a jelebeli pézösszeg. A 110-et a 100 jövőértékéek (Future Value - FV) evezzük. Egy pézösszeg jövőértéke megmutatja, hogy ha az adott futamidő alatt a pézt az elvárt hozammal fektetjük be, meyi pézük lee a futamidő végé. Mivel meghatároztuk, hogy a jelebeli 100 Ft 1 év múlva 110 foritak felel meg, összehasolíthatjuk a téyleges 120 Ft-tal. A két pézösszeget közös evezőre, közös időpotra hoztuk. (1.8) 120 FV ( 100) = 120 100 ( 1+ r) = 120 110 = + 10 A kimeetel pozitív, ezért a befektetést elfogadjuk. Pézük 10 egységgel több, mitha ugyaolya kockázattal és likviditással fektettük vola be más piaci eszközbe. 1.1.2. Jeleérték-számítás A befektető tudja, hogy a két befektetés közötti külöbség 1 év múlva 10 forit. A megoldással azoba em lehetük teljese elégedettek. Jobba szereték tudi, hogy mai pézbe kifejezve mekkora a külöbség. Ekkor a jeleérték-számítást választjuk. Egy jövőbe esedékes pézösszeg jeleértéke megmutatja, hogy mekkora összeget kellee befektetük a jelebe az elvárt hozammal ahhoz, hogy az esedékes pézösszeget kapjuk meg az adott jövőbeli időpotba. A jeleérték-számítás a jövőértékszámítás iverze. (1.9.) PV = C 1 ( 1+ r) 1 1 PV = C1 = 120 = 109,09 ( 1 ) 1 0,1 + r + Ahol C időszak múlva kapott pézösszeg, PV jeleérték (Preset Value), r az adott időszakba érvéyes elvárt hozamráta. A befektetés jövőbe várható hozamáak jeleértéke 109,09. Míg más esetbe 109,09-ot kellee befektetük ahhoz, hogy 120-at kapjuk egy év múlva, e 1. Fejezet - A péz időértéke
beruházás esetébe csak 100-at kell. A kettő külöbözete +9,09. Érdemes befekteti a pézüket, mivel vagyouk a befektetés végrehajtásával 100-ról 109,09-ra övekszik. A 9,09 em más, mit a jövőérték-számításkor kapott 10 jeleértéke: 1 9,09 = PV 10 = 10 = 1,1 (1.10.) ( ) 9, 09 Láthatjuk, hogy midkét módszer szerit ugyaarra a következtetésre jutuk, a befektetést érdemes végrehajtai. A két módszer szerit kapott végeredméy viszot külöbözik. A külöbség magyarázata az, hogy külöböző időpotra számoltuk ki a befektetett összeg és a visszakapott pézösszeg külöbségét. Azt hogy melyik időpotra érdemes számoli általába attól függ, hogy mi melyik időpotba vagyuk. Ha befektetési alteratívákat értékelük, akkor a befektetés időpotja a jele időpot és akkor érdemes jeleérték-számításokat végezük. Ha befektetést utólagosa értékelük, akkor a hozamok realizálása lesz a jeleidőpot. Ekkor jövőérték-számítás szerecsésebb. Ha egy hosszabb befektetés közepé vagyuk, akkor a múltbeli pézek jövőértékét, a jövőbeli pézek jeleértékét számoljuk ki. 1.2. Több kifizetésből álló pézáramok A fetieket alkalmazzuk több hozamból álló pézáramok értékelésére. Először olya hozamsorozatokkal foglalkozuk, melyek meghatározott redszerességgel követik egymást és mértai sorozatot alkotak. Ha a jövőbeli pézek között eltelt idő azoos, azaz két pézösszeg esedékessége között midig ugyaakkora idő telik el, továbbá az egymást követő pézösszegek mértai sort alkotak, évjáradékról vagy auitásról beszélük. Ha a hozamok végtele hosszúak, az auitás eve örökjáradék. Ha korlátozott ideig tartaak, akkor evük lejáratos auitás, vagy egyszerűe auitás. Az auitások esetébe a hozamok lehetek ugyaakkorák (egyszerű auitás), vagy egy g%-kal övekedők (övekvő auitás). Az auitások esetébe több fogalmat is defiiáluk kell. Két pézáram esedékessége között eltelt időt járadékközek evezzük. A pézáramok agyságát járadéktagak hívjuk. Az olya pézáram-sorozatokat, melyekél a járadékköz megegyezik, ütemezett pézáramokak modjuk. A feti fogalmak ismeretébe egy rövidebb defiíciót is adhatuk az évjáradékra. Az auitás olya ütemezett pézáram, ahol a járadéktagok mértai sorozatot alkotak. Most olya lejáratos auitásokkal foguk foglalkozi, ahol a mértai sor kvóciese, q=1, azaz mide hozam ugyaakkora. 1.2.1. Egyszerű auitás jövőértéke 11 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
12 1.2. Példa Egy életbiztosító egy 10 éves megtakarítási lehetőséget kíál ekük. Mide év elejé befizetük 10 ezer foritot, melyek reálértékét a futamidő sorá karbatartjuk. A biztosító ügyöke évi 4%-os reálhozammal kecsegtet miket múltbeli tapasztalatok alapjá. Tételezzük fel, hogy hiszük eki, akkor reálértékbe meyi lesz a számláko 10 év múlva! A feti példába egy auitás jövőértékére vagyuk kívácsiak. Ekkor gyűjtő auitásról beszélük. A gyűjtő járadék esetébe arra vagyuk kívácsiak meyi lesz az évjáradék értéke egy járadékközzel az utolsó járadéktag esedékessége utá, vagy aak időpotjába. A gyűjtő auitás kiszámításáak problémáját az 1.4. Ábra mutatja: 1.4. Ábra Gyűjtő auitás problémája Mekkora FV adott c mellett? FV járadékköz c c c c c c c c c c járadéktagok Ahol c járadéktag, FV lejáratos évjáradék jövőértéke az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába. Egy auitás jövőértékéek agyságát az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába az 1.11. képlet adja meg. ( 1+ r) 1 (1.11.) FV = c 1 r 1 A képletet az általáos értékképletből kapjuk, a következőképpe: 1. Fejezet - A péz időértéke
Ahol c - járadéktag, r - időszaki elvárt hozam, - járadéktagok száma, FV - auitás jövőértéke. Az darab 1 Ft-ból álló pézáram-sorozat jövőértékét az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába adott r és eseté, az 1. fejezet 1. melléklete mutatja. Helyettesítsük be a képletbe: (1.12.) FV = 10 ( 1+ 0,04) 10 1 = 120,06 0,04 A képlet az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába mutatja egy auitás jövőértékét. Ebbe az esetbe ez az időpot a 10. év eleje. Nekük viszot a 10. év végi érték kellee! Az év elejé 120 ezer forituk va. A 10. évbe is feltételeztük a 4%-os reálhozamot. Egy évre ha befektetjük a 120 ezer foritukat 4%-al, akkor a 10. év végi értéket az 1.7-es képlet segítségével számolhatjuk ki. (1.13.) FV = C0 ( 1+ r) = 120,06 1,04 = 124, 86 A 10. év végé 124,86 ezer forituk lesz. Ha tudi szereték, hogy a 11., 12. stb. év végé meyi pézük lee akkor, ha többször már em fizeték be a 10 ezer foritot, csak a tőke kamatozóda, akkor a kamatos kamatszámítás képlete szerit kapák meg a kívát összegeket. Például, ha a 12. év végi értékre leék kívácsiak, akkor csak meg kellee határozuk a 10 év elejétől a 12. év végéig eltelt időt (3 év) és behelyettesíteük az 1.14-es képletbe, ami egy pézösszeg jövőbeli értékét adja meg év múlva: 3 (1. 14.) FV = C0 ( 1+ r) = 120,06 1,04 = 135, 05 Adott "" és "r" eseté 1 Ft jövőbeli értékét az 1.1. melléklet tartalmazza. A gyűjtő auitás egyes paramétereit az Excel táblázatkezelő függvéy segítségével is ki lehet számoli. A gyűjtő auitáshoz kapcsolódó függvéyek a következők: =PER.SZÁM(kamatláb, járadéktag, jeleérték, jövőbei érték, típus) =JBÉ(kamatláb, befizetések száma, járadéktag, jeleérték, típus) 13 FV = FV FV r FV FV = c 2 1 c + c ( 1 + r) + c ( 1 + r)... + c ( 1 + r) 2 3 ( 1 + r) = c ( 1 + r) + c ( 1 + r) + c ( 1 + r)... + c ( 1 + r) ( 1 + r) FV = c ( 1 + r) c = c [( 1 + r) 1] ( 1 + r) 1 r dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
14 A függvéyek magyarázatai számpéldákkal a 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe. 1.2.2. Egyszerű auitás jeleértéke 1.3. Példa Egy vállalkozó ismerősük 1 millió foritot kér tőlük kölcsö úgy, hogy 5 éve keresztül mide év végé 300 ezer foritot ad ekük vissza. Odaadjuk-e a pézt, ha az ügylettől 30%-os hozamot váruk el? Ki kell számítauk, hogy az 5 darab 300 ezer foritos kifizetés jeleértéke a agyobb, vagy az 1 millió forit. A pézáram-sorozat egyszerű auitást alkot, amiek most a jeleértékére vagyuk kívácsiak. A törlesztő évjáradék esetébe arra vagyuk kívácsiak meyi lesz az évjáradék jeleértéke egy időszakkal az első járadéktag esedékessége előtt. A megoldadó problémát az 1.5. Ábra szemlélteti: 1.5. Ábra Törlesztő auitás problémája járadéktagok c c c c c c c c c PV járadékköz Mekkora PV adott c mellett? Mekkora c adott PV mellett? Ahol c járadéktag, PV lejáratos évjáradék jeleértéke egy járadékközzel az első járadéktag esedékessége előtt. Egy évjáradék jeleértékét egy időszakkal az első járadéktag esedékessége előtt, az alábbi képlettel számolhatjuk ki: (1.15.) ( 1+ r) r ( 1+ r) 1 1 1 PV = c = c = c AF r, r r ( 1+ r) 1. Fejezet - A péz időértéke
Ahol c - járadéktag, r - elvárt hozam, - járadéktagok száma, PV - auitás jeleértéke, AF r, évjáradéktéyező (auitásfaktor) r elvárt hozam és járadéktag eseté. A szögletes zárójelbe lévő kifejezést auitás-faktorak vagy évjáradék-téyezőek modjuk. Az auitásfaktor (évjáradék-téyező) (AF) megmutatja, hogy darab 1 Ft-ból álló auitás jeleértéke mekkora, ha a járadékközre értelmezett kamatláb r. Az auitásfaktor értékeit adott és r eseté az 1.1. Melléklet tartalmazza. Behelyettesítve a képletbe: (1.16.) PV = c AF r ( 1+ r) r ( 1+ r) 1 1,3 1, = c = 300 = 300 2,436 = 730,7 5 0,3 1,3 Mivel az 5 darab 300 ezer forit jeleértéke kevesebb, mit 1 millió forit (730,7 eft), ezért elutasítjuk a kölcsöigéyt. Mi a helyzet akkor, ha ismerősük türelmi időt is kér, mialatt sem kamatot, sem tőkét em törleszt? Tételezzük fel, hogy a kért türelmi idő +1 év. A törlesztőrészletek fizetése egy évet tolódik. A hitel jeleértéke eek következtébe csökke. A kérdés az, hogy meyivel? Tudjuk azt, hogy egy járadékközzel az első 300 ezer forit kifizetése előtt 730,7 eft a hitel értéke. Az egy évvel korábbi értéket megkapjuk, ha az 1.9-es képlettel kiszámoljuk a 730,7 ezer forit jeleértékét. 1 1 (1.17.) PV = C1 = 730,7 = 562,0 ( 1+ r) 1,3 Ha a türelmi idő övekedik a jeleérték-számítás általáos képletét haszálhatjuk. Egy időszak múlva esedékes C összeg jeleértéke, ha az elvárt hozam r, az 1.18-as képlet szerit számolható ki: 1 (1.18.) PV = C = C DFr, ( 1+ r) A jeleérték-számítás folyamatát diszkotálásak, a szögletes zárójelbe lévő képletet diszkottéyezőek (DF) evezzük. A diszkottéyező megmutatja, hogy időszak múlva esedékes 1 Ft jeleértéke mekkora, ha az elvárt hozam r. A diszkottéyező táblázatot az 1.1. Melléklet tartalmazza. A törlesztő auitáshoz tartozó Excel függvéyek a következők: =RÉSZLET(kamatláb, futamidő, jeleérték, jövőérték, típus) =ME(kamatláb, futamidő, járadéktag, jövőbei érték, típus) 5 15 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
16 =RÁTA(futamidő, járadéktag, jeleérték, jövőbei érték, típus, becslés) =PER.SZÁM(kamatláb, járadéktag, jeleérték, jövőérték, típus) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe. Az évjáradék-számítások sorá a következőeket tételezzük fel: A hozam a futamidő sorá álladó. A pézáram-sorozat ütemezett. A megadott kamatláb a járadékközre va értelmezve. A kamatokat tőkésítik. Az első két feltétel em teljesülésével most em foglalkozuk. Ebbe az esetbe ugyais em alkalmazhatuk zárt alakra hozott képleteket, haem a pézáramsorozat tagjait egyekét kell diszkotáluk, a (megfelelő időszaki kamatlábak +1) szorzatait alkalmazva. A másik két feltételezés feloldását az 1.3.-as fejezetbe tárgyaljuk. 1.3. Időérték-számítások gyakorlati problémái 1.3.1. A kamatokat em tőkésítjük - Egyszerű kamatszámítás Ha elvetjük azt a feltételezést, miszerit a tőkére jutó kamat hozzáadódik az időszak végé a tőkéhez és későbbiekbe a kamattal megövelt összegre esedékes a kamat, az egyszerű kamatszámítás képletét kell alkalmazuk. Ekkor az adott időszakra jutó kamatot egyszerű aráyosítással kapjuk meg. Az egyszerű kamatszámítás képletei jele- és jövőérték-számítás eseté: FV = C0 ( 1+ r) (1.19.) 1 PV = C ( 1+ r) Ahol FV - jövőérték, PV - jeleérték, - időtartam hossza évekbe, <1 év, r - elvárt hozam, C 0 jelebeli péz agysága, C jövőbeli péz agysága. Az egyszerű kamatszámítást akkor alkalmazzuk, ha a befektetés időtávja kisebb, vagy egyelő a kamatfizetés gyakoriságával. Ha hosszabb, a kamatos kamatszámítást vagy az egyszerű és a kamatos kamatszámítás kombiációját - amit vegyes kamatszámításak evezük - haszálják. A befektetés futamideje alatt képződött hozamok esetébe feltételezzük, hogy azokat az elvárt hozammal ( r ) fektetik be újra. A feltételezés gazdasági magyarázata az, hogy az elköltött kamat határhasza megegyezik azzal a többlet-pézmeyiséggel, 1. Fejezet - A péz időértéke
amit az újrabefektetés sorá yertük vola. Így számításaik sorá midig kamatos vagy vegyes kamatszámítást alkalmazuk, ha a befektetés időtávja meghaladja a kamatfizetés gyakoriságát. 1.4. Példa Egy vállalat két hetes futamidőre 1 millió foritot helyezett el július 22-é egy bakbetétbe. A betét kamatlába évi 10%. Mekkora összeget vehet fel a vállalat két hét múlva? A kamatot időaráyosítással kell kiszámítai. Sajos az aráyosítás módszere em egyértelmű. Az egyes aráyosítási módszerek abba külöbözek egymástól, hogy háy aposak tekitik az évet és a hóapokat. A gyakorlati életbe három aráyosítási módszer terjedt el, amelyek egy-egy emzetről kapták a evüket. Az egyes módszerek jellemzőit az 1.1. Táblázat mutatja. 1.1. Táblázat Az egyszerű kamatszámítás esetébe alkalmazható aráyosításfajták Aráyosítás eve Hóapok apjaiak száma Évek apjaiak száma Német 30 360 Fracia aptári 360 Agol aptári 365 Téyleges aptári 365/366 A émet kamatszámítás akkor volt még haszálatos, amikor még kézzel és em számítógéppel számolták a kamatokat. A émet módszerrel köyebb volt meghatározi a futamidő agyságát és a 360-al való osztás gyakrabba adott egész számot. A fracia módszer a feti megfotolásokból tartotta meg a 360-as számot, bár a hóapokat már aptári hosszuk szerit méri. Így em fordulhat elő, hogy egy februári lekötések ugyaakkora legye a kamata, mit egy márciusiak, holott a március általába 3 appal hosszabb. A fracia számítás azoba azzal, hogy megtartja a 360-as osztót, gyakorlatilag több kamat felszámítását eredméyezi, mit a valós érték, mivel az aráyosítás evezője kisebb, mit a téyleges aptári apok száma az évbe. Az agol módszer maapság a leggyakoribb kamatszámítási forma. Szökőévekbe február 29-é kamatszüapot tartaak. A módszer előye a köyebb programozhatóságába va a téyleges kamatfizetéssel szembe. (lásd később a api kamatszámításál) Az 1.4.-os példát mid a égyfajta módszer szerit kiszámoljuk. 17 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
18 Ha a betétet két hétre helyezték el és mivel a július 31 apos, a betétet augusztus 5-é veszik fel. (31-22+5=14 ap, azaz 2 hét) Német kamatszámítás szerit a lekötési idő 13 ap, mivel mide hóap 30 apos: 30-22+5=13. Így értéke 13/360 0,036 Behelyettesítve az 1.19-es képletbe: 13 (1.20.) FV = 1.000.000 1+ 0,1 = 1.003. 611 360 Két hét múlva a bak a émet kamatszámítási módszer szerit 1.003.611 Ft-ot fizet vissza. A fracia kamatszámítás szerit a lekötési idő a téyleges 14 ap, mivel a fracia módszer a téyleges aptári apokkal számol, de osztai továbbra is csak 360-al osztuk. 14 (1.21.) FV = 1.000.000 1+ 0,1 = 1.003. 889 360 A fracia módszer alkalmazása 278 Ft-al több kamat kifizetését eredméyezte a émet módszerhez képest. Az agol módszer csak abba külöbözik a fraciától, hogy 365-el osztuk a kamat kiszámításakor: 14 (1.22.) FV = 1.000.000 1+ 0,1 = 1.003. 836 365 A fracia módszer 53 Ft-al több kamat kifizetését eredméyezte, mit az agol. Az agol kamatszámítás végeredméye jele esetbe megegyezik a téyleges kamataráyosítás eredméyével. Az egyszerű kamatszámítás egy alesete, amikor a kamatlábat em a jeleértékre (PV) voatkoztatják, haem a jövőérték (FV) meghatározott %-ba fejezik ki. Ekkor előleges kamatszámításról beszélük. 1.3.1.1. Előleges kamatszámítás Előleges kamatszámítás esetébe a kamatlábat a visszafizetedő összeg százalékába határozzuk meg, és előre levojuk a kifizetedő összegből. Utólagos kamatszámítás eseté a kamatlábat a befektetett péz százalékába fejezik ki, és utólag fizetik. Az előleges kamatszámítás alkalmazásáak területei az úgyevezett em kamatozó (diszkot) értékpapírok (váltó, diszkot kicstárjegy) leszámítolása és a faktorig ügyletek, valamit az úgyevezett elemi kötvéyek értékelése. Az utólagos kamatszámítást alkalmazzák az összes többi ügylet esetébe, például hitelyújtásál és betételhelyezésél. Az 1.3.1.1. alfejezet kivételével a többi esetbe mi is utólagos kamatszámítást alkalmazuk. Elemi kötvéyek evezzük az összes olya lejáratos értékpapírt, amelyből csak egy jövőbeli pézbevétel származik. 1. Fejezet - A péz időértéke
Az előleges kamatszámításál alkalmazott kamatlábat diszkotlábak (bakári diszkot) evezzük. A legevezetesebb em kamatozó értékpapírok a váltó és a diszkot kicstárjegy. Ezek és a faktorig matematikája gyakorlatilag megegyezik. 1.5. Példa Március 20-á kibocsátottak egy hat hóapos lejáratú 1 millió forit évértékű váltót, melyet egy vállalat számos forgatás utá bakjáak beyújt leszámítolásra júius 20-á. A bak 15%-os diszkotlábat alkalmaz. A vállalat folyószámlahiteléek kamatlába 17%-os, melye jóval 1 millió forit feletti ki em haszált keret va. Meyit fizete a bak a váltóért, ha egyéb díjakat em számola fel? Mekkora hitelkamatlábak felel meg a diszkotláb? Mekkora a váltóak az a maximális futamideje, amiél rövidebb futamidő eseté érdemesebb a váltót leszámítoli és eél hosszabb futamidő eseté, gazdaságosabb folyószámlahitelt felvei? Agol kamatszámítást tételezzük fel! A leszámítolás esetébe az időaráyos kamatot (diszkot) levoják a váltó évértékéből. A leszámítolás képlete: (1.23.) PV = N K = FV N d = N ( 1 d ) Ahol N - a váltó évértéke (Nomial Value), PV - a váltóért fizetett összeg (diszkotérték), d - diszkotláb, - lejáratig hátralévő futamidő évekbe, K - levot kamat agysága. A váltó 6 hóapos lejáratú, tehát szeptember 20-á jár le. A kibocsátás dátuma a leszámítolás szempotjából em érdekes. A leszámítolás időpotjától a váltó beyújtásáig eltelt futamidő az agol módszer szerit 92 ap. (31-20+30+31+20). Az év apjaiak száma 365. Behelyettesítve az 1.23.-as képletbe: 92 (1.24.) PV = FV ( 1 d ) = 1.000.000 1 0,15 = 962. 191 365 A bak 962.191 Ft-ot fizet a váltóért. Mekkora hitelkamatlábak felel ez meg? A képletet megkapjuk, ha ugyaazt a kamatmeyiséget először az előleges, majd az utólagos kamatszámítás képletével is kifejezzük és a két kamatmeyiséget egyelővé tesszük, majd a jeleérték helyébe behelyettesítjük a diszkotálás képletét, egyszerűsítük és r-re redezük. A számítás meetét az 1.31. képletsor mutatja. 19 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
20 N d = K = PV r N d = N ( 1 d ) r (1.25.) d = ( 1 d ) r d r = 1 d Behelyettesítve az 1.25-ös képletbe: d 0,15 (1.26.) r = = = 0,1559 15,6% 1 d 92 1 0,15 365 A kapott eredméy 15,6%. Mivel a folyószámla-hitel kamata eél magasabb, érdemesebb a váltót leszámítoltati és hitelt em felvei. Látható, hogy a diszkotlábak megfelelő hitelkamatláb midig magasabb, mit a diszkotláb, mivel a evező 1 és 0 közé esik. A képletből az is kitűik, hogy a két kamatláb közötti külöbség a hátralévő futamidőtől is függ. Miél agyobb értéke, aál agyobb a külöbség. Bizoyos esetekbe érdemes megtudi azt a maximális futamidő agyságot, ami belül a váltót érdemes már leszámítoltati, változatla hitel- és váltókodíciókat feltételezve. Az 1.25. képletekből iduluk ki, csak most -re oldjuk meg az egyeletet. N d = K = PV r (1.27.) N d = N d = ( 1 d ) r d = r d r r d = d r ( 1 d ) r 1 1 =,ha r > d d r Ha a hitelkamatláb kisebb, mit a diszkotláb, akkor hitelt felvei midig érdemesebb, mit váltót leszámítoltati. Behelyettesítve az 1.27-es képletbe: 1 1 (1.28.) = = 0, 7843 0,15 0,17 Ha a váltó lejáratig hátralévő futamideje 0,78 évél rövidebb, már érdemesebb leszámítoltati, mit hitelt felvei. A 0,78 év 286 apak, azaz durvá 9,5 hóapak felel meg. Mivel a váltó hátralévő lejárata 3 hóap volt, em véletle, hogy a 2. kérdés megválaszolásakor azt kaptuk, hogy a váltót érdemesebb leszámítoltati. A váltóhoz hasoló az elemi kötvéyek matematikája is, eek árfolyamszámítását majd az 1.4.4. alfejezetbe ézzük meg. Az előleges kamatszámítással kapcsolatos Excel függvéyek a következők: 1. Fejezet - A péz időértéke
=DISC(árfolyamszámítás apja, lejárat, árfolyam, évérték, kamatfizetési mód) =PRICEDISC(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, bakári diszkot, évérték, kamatfizetési mód) =RECEIVED(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, bakári diszkot, kamatfizetés módja) =INTRATE(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, évérték, kamatfizetési mód) =YIELDDISC(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, évérték, kamatszámítási mód) =TBILLEQ(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, bakári diszkot) =TBILLPRICE(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, bakári diszkot) =TBILLYIELD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe. 1.3.1.2. Napi kamatszámítás módszerei Az egyszerű kamatszámítás egy ige gyakra haszált területe a api kamatszámítás, amely a látra szóló számlák esetébe haszálatos főleg. A baküzembe ezeket a számításokat már számítógépek végzik, mégis az egyes eljárások logikáit érdemes megismerük. A api kamatszámítás esetébe 3 módszert szoktak alkalmazi: A fokozatos (vagy egyeleg) módszert, a progresszív és a retrográd kamatszámítást. A három eljárást egy egyszerűsített példa segítségével vizsgáljuk meg. 1.6. Példa Egy vállalat elszámolási betétszámlájáak I. egyedéves forgalmi adatait, yitóés záróállomáyát az alábbi táblázat tartalmazza. Az elszámolási betétszámla kamata évi 3%. A számolás sorá a fracia kamatszámítási módszert alkalmazzuk. Meyi a számlá jóváíradó kamat az I. egyedév végé? 21 Dátum Forgalom iráya Forgalom összege Nyitóegyeleg - +17.000 jauár 1.-é jauár 5. befizetés +8.000 jauár 24. kifizetés -12.000 február 12. befizetés +20.000 március 14. kifizetés -21.000 Záróegyeleg március 31.-é - +12.000 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár
22 A számítást megköyítedő az egyszerű kamatszámítás képletét kétfelé botják. t0 K1 = - eek az összegek a eve kamatszám 100 t0 p Kamat = 100 360 360 K2 = - eek az összegek a eve kulcsszám. p A émet és fracia kamatszámítás esetébe 360, agol esetbe 365 szerepel a számlálóba. Ahol t 0 az összeg, p a kamatláb százalékos alakba, a aptári apok száma. Belátható, hogy a kamat összege a kamatszám és a kulcsszám háyadosa. A kulcsszám a egyedév folyamá em változik, (ha ige ki kell számoli az időaráyos kamatot). A kulcsszám példákba 360 harmada, azaz 120. Most ézzük a három eljárást. 1.3.1.2.1. Fokozatos (egyeleg) módszer A kamatszám kiszámítása előtt ábrázoljuk a számlaegyeleget az idő függvéyébe. A folyószámla egyelegét az 1.6. Ábra mutatja. 1.6. Ábra 1. Fejezet - A péz időértéke