Pénzügyek kezdőknek. Egyszerű kamatszámítás

Átírás

1 Pézügyek kezdőkek Egyszerű kamatszámítás A kölcsöök, hitelek ára a kamat. A kamat az idege tőke haszálatáért fizetett díj. A kamat léyegébe három részből tevődik öszsze: haszálati díj, a kockázat díja, kezelési költség. A kamatot a tőke százalékába határozzák meg, és általába egy évre voatkoztatják, ezt evezzük kamatlábak. Jelölése például 20 %. Ameyibe például 1000 Ft összegű kölcsö lejárati ideje 1 év, a kamatláb pedig évi 20%, akkor a fizetedő kamat összege: 200 Ft. Ha ezt a kölcsöt 1 évél rövidebb ideig vesszük igéybe, (félévre, egyedévre), akkor a fizetedő kamat is eek fele, illetve egyede. Általáos esetbe, az 1 évél rövidebb idejű kölcsöök, hitelek utá fizetedő kamatot a következőképpe számítjuk ki: T: a kölcsö összege például: 100 p: kamatláb például: 20% k: kamat például: 20 i: aak a kamatak a mértéke, amelyet egy pézegység utá egy időszakra fizeti kell kifejezett értéke például: 0.20 : a apok száma például: 90 Megállapodás: Ha a kamatlábról beszélük, akkor midig p% -ot moduk, de amikor képlettel számoluk, i eek midig a 100-ad részét jeleti. Pl.: ha p = 20%, akkor i = 0.20 (1) fizetedő kamat = T * i *(/365), ha valóságos évvel számoluk, (1a) fizetedő kamat = T * i *(/360), ha kereskedelmi évvel számoluk. A kereskedelmi év esetébe 1 év = 360 ap. A bakok kereskedelmi év szerit kalkulálak, ameyibe 1 évről, 6 hóapról va szó. Az év tört időszaka eseté viszot a téyleges apokat veszik figyelembe.

2 A kereskedelmi év alapjá számított kamat 1/72 résszel agyobb, mit a valóságos év alapjá számított kamat. A valóságos év alapjá számított kamat pedig 1/73-ad résszel kisebb, mit a kereskedelmi év utá számított kamat. Egyszerű kamatról akkor beszélük, ha a kamatot em csatolják a tőkéhez, a kamat már em kamatozik. Kölcsö összege: Éves kamatláb: 20% Napok száma: 180 Fizetedő kamat: Valóságos évvel számolva Helyettesítsük be az előző képletbe: T*i*(/365) azaz *0,20*(180/365)=20.000*0,49315= Kereskedelmi évvel számolva *0,20*(180/360)=20.000*0,5= A apok figyelembe vétele a kölcsö kamatösszegéek számításáál a.)a kezdeti ap és a lejárati ap 1 éve belül va: például jauár 10-től jauár 25-ig: 15 ap. Ha jauár 25.-e szombatra, vasárapra vagy üepapra ese, a visszafizetés a következő apo esedékes. b.) Az 1 évet meghaladó kölcsöök eseté az éveket 365 appal számolják év 12 hóap 31 ap visszafizetés dátuma év 1 hóap 1 ap a kölcsöfelvétel dátuma = =729 ap. Ameyibe p kamatláb 1 évre voatkozik, úgy 100 Ft tőkéek egy api kamata p/360 forit. A apok figyelembevétele a kölcsö kamatösszegéek kiszámításáál Kölcsö összege: 100,000 Éves kamatláb: 21% Hitelyújtás éve: Visszafizetés éve: Számított apok száma: 81 Fizetedő kamat: 4,660 Valóságos évvel számolva 4,725 Kereskedelmi évvel számolva - 2

3 Ha a kamatot, vagy a kamatokkal övelt tőke (t) értékét ismerjük és a kezdeti tőke (to), matematikai kamatláb (i), vagy az időtartam () értékét akarjuk meghatározi, akkor az előbbi képletet kell megfelelőe redezi. Iduló tőke (to) meghatározása: Az időtartam múlva esedékes tőke mai értékét a tőke diszkotált értékéek evezzük. Jele esetükbe ez a to meghatározását jeleti. Utólagos kamatlábbal törtéő kamatszámítás eseté az ap múlva esedékes t tőke mai értéke p % eseté, kereskedelmi évvel számolva: To T i* Pl.: Ha ft-os tartozásukat 1 hóap múlva kellee kifizetük évi 30 %-os kamat mellett. Mekkora összeggel fizethetjük ezt ma ki? to=( /(1+(0,3*30/360)))= /(1+0,024999)= /1,024999= Ft A kamatláb (p) meghatározása: Egyszerű kamatszámítás eseté ha tudjuk. hogy Ft 60 ap alatt Ft kamatot hozott, akkor a kamatlábat a következő képlettel határozhatjuk meg: p 360 * 100 * k To* p = (36000*2500)/(100000*60)= / =15 % A kamatozás időtartamáak ( ) meghatározása: Ameyibe a kezdőtőkét (to), a felövekedett tőkét (t) és évi kamatlábat (p), vagy i-t ismerjük, a kamatozási időtartam az - 3

4 képlettel határozható meg. T T To* i =év. o Ameyibe -re em egész számot kapuk, akkor a törtrészt 360- al szorozva a apok számát kapjuk. Pl.: 1,4 = 1 év + 0,4*360 =1 év+144 ap. Pl.: Ft tőke évi 25 % kamat mellett ft-ra övekedett fel. Háy apig kamatozott? =( )/ (0,25* )=15.000/25.000=0,6*360=216 ap - 4

5 Kamatos kamat számítása Ha pézüket úgy helyezzük el valamely pézitézetbe, hogy az esedékessé vált kamatokat mide év végé a bet lévő pézükhöz hozzáadja, úgy mide következő évbe már emcsak az azelőtti évi pézük, haem aak múlt évi kamatai is kamatozi fogak, s így az eredetileg elhelyezett pézük, amelyet most evezzük kezdő tőkéek, mid jobba és jobba fog övekedi. A kamatozásak ezt a módját illetőleg e kamatozással összefüggő összes feladatot kamatos kamatszámítási feladatak evezük. Két fotos eset va : a.) A tőkésítés évekét törtéik. b.) A tőkésítés em évekét törtéik (például egyedévete) Jelöléseik az alábbiak leszek: T: a tőke összege például: 100 p : kamatláb például: 8 % i : kamatláb tizedes törtbe kifejezett értéke például: 0.08 : az évek száma például: 4 a.) A tőkésítés évekét törtéik. Az első év végé a kamat : T1 = To+To * i, azaz T1=To (1+i) A második évet már ezzel a megövelt T1-gyel kezdjük, és ez az összeg fog egész évbe kamatozi. A második év végé a kamat: T2 = T1 * i, ezt a kamatot a már megövekedett kezdő tőkéhez hozzáadva: T2 =T1 +T1 * i = T1*(1+i) = T*(1+i)*(1+i) = T*(1+i) 2 Ha a harmadik év végé is elvégezzük a számítást, akkor azt kapjuk, hogy: T3 = T2 + T2 * i =T2*(1+i) = T*(1+i) 3 Így év múlva a kamatokkal megövelt tőkék a következő lesz: - 5

6 T To * ( i) 1. Ezt a képletet evezzük a kamatos kamatszámítás alapképletéek. Példa: a.) A tőkésítés évekét törtéik A kezdő tőke összege ,- Az adott időszakra járó kamat... 20,00 % Időszakok száma... 4 Behelyettesítve a képletbe : *(1+0,2) 4 = Hasolítsuk össze a to tőke övekedését egyszerű kamat, illetve kamatos kamat számítása eseté. Nézzük az alábbi táblázatot: Kamatláb 10% Tőke: Kamatos kamatszámítás Egyszerű kamatszámítás Évek Tőke + kamat Tőke + kamat A táblázatból jól látható a két kamatszámításból eredő külöbség. A jövőbe a befektetési dötésekél midig a kamatos kamatszámítást alkalmazzuk. - 6

7 A kamatos kamattal törtéő számításokál is előfordulhat, hogy a kezdő tőke (to), felkamatolt tőke (t), a kamatláb (p, vagy i), illetve az évek száma () adatok közül em a t az ismeretle, haem eek ismeretébe kell valamelyik másik adatot meghatározi. A kezdő tőke to meghatározása: T o T ( 1 i ) Itt to em más, mit az év múlva esedékes t tőkéek mai értéke, ha a matematikai kamatláb i. Pl.: Milye összeget kössük most le 25 % kamatláb mellett, ha 3 év múlva ,- ft-ot szereték kapi? to= /(1,25 3 )= /1,953125= A kamatláb (p) meghatározása: A matematikai kamatlábat megfelelő redezéssel az alapképletből kapjuk: i T T o 1 A kamatláb (p) eek százszorosa. Pl.: Ft tőke 2 év alatt ft-ra övekszik. Mekkora a kamatláb kamatos kamat eseté? % i= / =1,2247-1=0,2247*100=22,5 Időtartam meghatározása: Az évek számát (-et) ugyacsak az alapképletből yerhetjük: T 1 T i lg lg lg( ) o Itt lgt jeleti t-ek tízes alapú logaritmusát. - 7

8 Ez azoba csak közelítőleg adja a gyakorlatba számított időt, ugyais a tört időszakra a kamatszámítás egyszerű kamattal törtéik. b.) A tőkésítés em évekét törtéik Hogya kell eljáruk, ha a kamatokat em évekét, haem félvagy egyedévekét, vagy általába az év m-ed részébe csatolják a tőkéhez? Ha a tőkésítés félévekét törtéik, úgy az adott kamatláb ( i ) helyett csak aak felét i/2 -t vesszük számításba, ellebe a kamatozási időszakok száma helyett 2* lesz. Ugyaígy, egyedévekéti tőkésítésél i/4 -gyel és 4* -el számoluk. Általáos esetbe: ha az év m-ed részébe tőkésíteek, képletük a következő alakú lesz: T*m = C * ( 1+i/m)^(m*) Kérdés: a fet kiszámolt példákat alapul véve, meyivel leszek mások az eredméyek? Nézzük meg, hogy meyivel több pézük lesz a bakba, ha az évekéti tőkésítés helyett egyedévekét tőkésíteek? A kezdő tőke összege ,000 Éves kamat % Évekéti tőkésítések száma Évek száma Tőke + kamat lejáratkor ,330 Ha csak évekét tőkésíteéek ,832 Amit azt a táblázatból kiolvasható, a kamat agyobb akkor, ha egy év alatt többször is tőkésíteek: a feti példába 248,832 Ft helyett 265,330 Ft a tőke + kamat. Nézzük meg, mi az eredméy akkor, ha az éves kamatra vagyuk kívácsiak? Meyivel kell kisebb éves kamatot adi ugyaolya kamatszit biztosítása mellett? A kezdő tőke összege ,000 Évekéti tőkésítések száma Évek száma Tőke + kamat lejáratkor ,000-8

9 Éves kamat ,1% Ha csak évekét tőkésíteéek.... 6,3% Látható, hogy 6.3% helyett már 6.1% is ugyaayi kamatot hoz. És mi a helyzet akkor, ha a lekötési időre vagyuk kívácsiak? A kezdő tőke összege ,000 Éves kamat % Évekéti tőkésítések száma Tőke + kamat lejáratkor ,000 Évek száma ,14 Ha csak évekét tőkésíteéek.... 1,22 Itt az 1.22 év helyett már 1.14 év is elegedő. Utolsó feladatuk esetébe a következő táblázatot kapjuk: Éves kamat % Évekéti tőkésítések száma Évek száma Tőke + kamat lejáratkor ,986 A kezdő tőke összege ,174 Ha csak évekét tőkésíteéek. 10,000 Vagyis 10,000 Ft kezdő tőke helyett elegedő 8,174 Ft-ot elhelyezük ilye feltételek mellett a bakba. Végiggodolva a feti számítások eredméyeit, automatikusa adódik a kérdés: mi va akkor, ha az évekéti tőkésítések számát egyre agyobbra vesszük? A kifizetedő kamat vajo em ő-e a csillagos égig A válasz: NEM! A következő táblázatuk azt számítja ki, hogy az elméletileg elérhető maximális kamat hogya függ az évekéti tőkésítések számától. Évekéti kamatláb (i) = 20.0% Tőkésítések száma Tőke + kamat e^i Eltérés ( %) % % % % % % - 9

10 % % % % % Látható, hogy az elmaradás az "eszméyi" kamattól az évi tizekétszeri tőkésítésél már em is ayira borzasztó, hisze 1 % alá került. Jeleleg mideki gyakorlatilag úgy számolhatja ki egy pézáramlás kamatát, ahogy akarja. Nem meglepő, hogy a befektetési kostrukciókat árulók gyakra visszaélek ezzel a lehetőséggel. A valóságosál kedvezőbb kép kialakításáak egyik, a bakok által gyakra alkalmazott módja a sávos kamatozás. Itt a kamatot yújtó a piaciál jóval magasabb kamatot is köye kifizet, igaz em az egész futamidőre, haem aak töredékére. Cserébe egy jóval hosszabb időszakra csak ige keveset fizet. A befektetési kedv övelése érdekébe a reklámokba a magas kamat szerepel, em pedig az átlagos. Példakét számítsuk ki egy sávos kamatozású értékpapír éves hozamát: Tőke: ,- Ft A bak az alábbi kamatokat fizeti: 0-90 ap évi 20 % ap évi 25 % ap évi 30 % Az egyszerű kamatszámítás képletével számítsuk ki az adott itervallumokra eső kamatot: 0-90 ap évi 20 % ( *0,2*90)/360 = 5.000, ap évi 25 % ( *0,2*90)/360 = 6.250, ap évi 30 % ( *0,3*180)/360= ,- ÖSSZESEN: ,- Téyleges hozam: / ,-= 26,25 % Az alábbi grafikoo egyik bakuk sávos kamatozású értékpapírjáak a hozama szerepel a 90-es évekbe: 42,0% 37,0% 32,0% 27,0% 22,0% A grafiko ,0%

11 felső diagramja a sávos kamatot mutatja, az alsó diagram a téyleges, megszolgált hozamot mutatja. Láti, hogy az utolsó hóap sávos kamata meghaladja a 37 %-ot, az éves hozam azoba csak 27 %. Eek elleére a sávos kamatozás jól bevált módszer a forrásgyűjtésre, hisze ezek a papírok a fix kamatozásúakál rugalmasabbak, így az ügyfelek köyebbe juthatak a pézükhöz. Hasoló trükkökkel találkozhatuk az éve túli lejáratú értékpapírok esetébe is, ahol a termék eladásakor figyelembe veszik az úgyevezett kamatos kamat hatást. Va például a piaco olya papír, amelyik két évre 69 százalékos kamatot ígér. Első látásra ez 34 és fél százalékos éves hozamak felel meg, azoba ez távolról sics így, hisze az első végé már em csak az eredetileg lekötött tőke, haem az első évbe termelődött hozam is újabb hozadékot eredméyez. E módszerrel még egy viszoylag alacsoy éves hozamot yújtó értékpapírt is el lehet adi a felületes befektetőek azzal, hogy reklámjába a kiugróa magas éves kamatát hagsúlyozzák. Eddigi ismereteik sorá megismerkedtük az egyszerű és a kamatos kamat számításával, megismertük az előyét az évekéti többszöri tőkésítések, el tuduk boldoguli a sávos kamatozás útvesztőibe. Készítsük el egy egyszerű befektetési számítást, úgy hogy figyelembe vesszük az iflációt is. Ha valakiek va például foritja és szereté azt tartósa leköti, a legagyobb hozamot kíáló megtakarítási forma kiválasztásához érdemes táblázatot készíteie. Ebbe mide évre külö - külö számítsa ki, hogy mekkora összeget kap kézhez, s főképp azt, hogy az adott összeg mit ére akkor, ha abból az iflációra eső jövedelmet leszámítaá. Ha például egy hároméves lejáratú, 30 % kamatozású értékpapírt vásárola, miközbe az iflációt mide évbe 25 %-ra becsülé, a számítás meete a következő: 1. év Ft kamat, amelyek 25 % ifláció eseté jelelegi értéke (30.000/1,25) = Ft. 2. év Ft kamat, amelyek 25 % ifláció eseté jelelegi értéke (30.000/( 1,25*1,25)) = Ft. 3. év Ft kamat, amelyek 25 % ifláció eseté jelelegi értéke ( /(1,25*1,25*1,25)) = Ft. A befektető a harmadik évbe megkapja a befektetett Ft tőkét is. - 11

12 A befektető jeleértéke összese = Ft -t kap meg, reálértéke tehát 3 év alatt Ft-tal gyarapodott a péze, amely miimális reálhozamak felel meg. Diszkotálás A váltó a kereskedelembe haszálatos pézhelyettesítő eszköz. Ha egy vállalat valamiért em "készpézzel" fizet, akkor váltót állít ki. A váltó szerepel többek között a váltó évértéke (T) és az esedékesség időpotja, az u. lejárat apja. Ez az a ap, melyike a váltó ayit ér, mit a évértéke. Eze a apo a váltót az adósak ki kell fizetie. A kiállítás időpotja és az esedékesség időpotja közötti időtartam általába éháy hóap. A diszkotálás műveletéek vizsgálatakor a következő, gyakorlatba a 90-es évek elejé agyo sokszor előforduló példából iduljuk ki. - 12

13 Adott egy "T" évértékű váltó. A lejárata előtt "d" appal leszámítoltatjuk "r %" diszkotláb mellett. Kérdés : meyi lesz a váltó eladási ára? A váltóleszámítolás ősidők óta úgy törtéik, hogy a váltó évértékéből a lejáratig esedékes kamatot előre levoják (a váltót diszkotálják). Vezessük be a következő jelöléseket: T: a váltó évértéke pl.: 1000 r: a bakári diszkot kamatláb pl.: 8 % i : a diszkot kamatláb tizedes törtbe kifejezett értéke pl.: 0.08 d : a apok száma pl.: 90 t =d/365 t = d/360 attól függőe, hogy az évet háy aposak vesszük. A diszkotak két formája ismert: 1. Racioális ( matematikai) diszkot A "T" évértékű váltók most, a lejárat előtt "d" appal em ér "T" foritot, haem aál valameyivel kevesebbet, modjuk csak "Tr" foritot. Vagyis jelöljük a diszkotált váltó jeleértékét Tr-rel. A sima kamatszámításál találkoztuk egy hasoló feladattal, ott az aktualizálás címet adtuk eki: a tőke jövőbeli értékéből határoztuk meg a jeleértékét a következő módo: Ha "t" ideig kamatozik "Tr" összeg, akkor a kamata: I = Tr * i * t Vagyis T = Tr + I = Tr +Tr * i * t = Tr*(1 + i * t) ebből kifejezve Tr-et : Tr =T/(1+i*t) A racioális, matematikai diszkot Egy évbe lévő apok száma A váltó évértéke A racioális diszkot kamatláb % A lejáratig hátralévő apok száma A váltó jeleértéke Nézzük meg, hogy a lejáratig hátralévő apok számát hogya tudjuk meghatározi a többi érték ismeretébe: A váltó évértéke A váltó jeleértéke

14 A racioális diszkot kamatláb % A lejáratig hátralévő apok száma Ameyibe tudjuk azt, hogy a racioális (matematikai) diszkotálás szerit dolgozak, ismerve a lejáratig hátralévő apok számát, valamit azt az összeget, amit a váltóért adak, ézzük meg, hogy milye kamatlábbal számoltak: A váltó évértéke ,000 A váltó jeleértéke ,000 A lejáratig hátralévő apok száma A racioális diszkot kamatláb ,1% A váltók, kötvéyek diszkotálásáál - a példák számadataiból következőe teljese érthetőe - a bakok, pézitézetek em a racioális (matematikai) eljárást alkalmazzák, haem az úgyevezett bakári diszkotot. 2. A bakári diszkot A bakári diszkot logikája a következő: Ne abból iduljuk ki, hogy egy jövőbeli követelés meyit ér ebbe a pillaatba (meyi a jeleértéke egy adott kamatszit mellett), haem abból, hogy a szóba forgó jövőbeli követelésből le kell voi egy, a kamatszittől függő összeget. Eze logika szerit: jeleérték = évérték - évérték * i * t vagyis jeleérték = évérték * (1 - i * t) jelöléseikkel: Tr = T * (1 - i * t) Ahhoz, hogy valameyire is össze tudjuk hasolítai a kétféle godolkodásmódot, érdemes ugyaazo számadatokkal végigszámoli a példákat. A bakári diszkot A váltó évértéke ,000 A bakári diszkot kamatláb % A lejáratig hátralévő apok száma A váltó jeleértéke ,750 Nézzük a lejáratig hátralévő apok számát: A váltó évértéke ,000 A váltó jeleértéke ,000 A bakári diszkot kamatláb % A lejáratig hátralévő apok száma

15 Ilye számadatok eseté meyi lesz a bakári diszkotláb: A váltó évértéke ,000 A váltó jeleértéke ,000 A lejáratig hátralévő apok száma A bakári diszkot kamatláb % A váltó évértéke: A váltó jeleértéke ,000 A bakári diszkot kamatláb % A lejáratig hátralévő apok száma A váltó évértéke ,079 Ahhoz, hogy jól össze tudjuk hasolítai a kétféle diszkotálást, hozzuk össze őket egy táblázatba. Nézzük meg, hogy meyi eltérés va a kétféle eljárás között: A racioális (matematikai) és a bakári diszkot összehasolítása A váltó évértéke ,000 A "diszkot" kamatláb % A lejáratig hátralévő apok száma A váltó jeleértéke (racioális)... 95,238 A váltó jeleértéke (bakári )... 95,000 Eltérés mértéke ,25 % Összefoglalva: a kétféle diszkotálás közül em kétséges, hogy a bakok, és pézitézetek melyiket fogják választai. A bak a bakári diszkotálási eljárással jobba jár, szélsőséges esetbe em is kicsit. Az alapvető külöbség a kétféle eljárás között az, hogy a vetítési alap más a kétféle módszer eseté! A racioális (matematikai) diszkotálás eseté a vetítési alap a jeleérték, tehát itt időbe midig előrefelé számoluk. (A jeleértékből számoljuk ki az adott kamatláb segítségével a jövőértéket, ami egyelő a évértékkel.) A bakári diszkotálás eseté pedig a vetítési alap a jövőérték, tehát itt időbe visszafelé számoluk. Vagyis a évértékből egyszerűe levoják a hátralévő időre járó kamatláb és a évérték szorzatát. A diszkotálás értelemszerűe em csak váltóleszámítolásál jeletkezik. Ugyaígy szükség va rá, ha egy jövőbe esedékes megtérülések szereték megézi a jeleértékét. - 15

16 A diszkotálás léyegébe a kamatos kamat számítás reciproka. Itt az alapkérdés az, mi a mostai értéke egy jövőbe esedékes bevételek. Példa. Egy jauár 1-é esedékes 4484 Ft összegű követelés (bevétel) 35 százalékos kamatlábat figyelembe véve, meyit ér 1991 jauár 1-é? =4484*(1/1,35 5 )=1000 Ameyibe az az időpot, amelyre diszkotáluk, egybeesik a befektetés idulási idejével, akkor azt modjuk, hogy a ulladik időpotra törtéik a diszkotálás. A kamat- és diszkottéyezőkkel azoba a külöböző időpotba jeletkező bevételeket és kiadásokat is összehasolíthatóvá tudjuk tei. Példa.: Egy befektetéssel kapcsolatba a következő kiadások merülek fel: jauár 1-é jauár 1-é 3000 Ez a befektetés jauár 1-é 4000 és jauár 1-é szité 4000 egység bevételt eredméyez. Vizsgáljuk meg, hogy 35 %-os kamatszit mellett a befektetés gazdaságos-e. A kiadásokat és bevételeket először jauár 1-jére tőkésítjük: Összes kiadás: 2000*1, =5700 Összes bevétel: 4000*(1/1,35)+4000*(1/(1,35 2 ))=5158 Mit a példából kitűik, a bevétel összege em éri el az ugyacsak tőkésített kiadás összegét, tehát a befektetés em a legszerecsésebb, legalábbis 35 %-os kamat mellett em. (A hozadék közelítő számítással 28 %.) A diszkotálás alapképletéből kiidulva készítsük iverz feladatokat. 1. Számítsuk ki a kamatlábat Alapösszeg Jövőbeli érték Évek száma Háy százalék a kamatláb? 1.500,- Ft 2.800,- Ft 14 év - 16

17 Kamatláb = =1,045 Kamatláb = 1,045-1=0,045 = 4,5 % 2. Az időszakok számáak meghatározása Alapösszeg 2.000,- Ft Jövőbeli érték 2.800,- Ft Kamatláb 20 % Háy év alatt ő fel Ft tőke 20 %-os kamatláb mellett Ft-ra? Évek száma = lg 2800 lg 2000 = 0, =1,84 lg 1, 20 0, Itt kell megismerkedük egy fotos fogalommal amely meghatározó mid a beruházások mid a befektetések vizsgálatáál. Ez a fogalom a jeleérték. Jeleérték... a jövőbe visszajövő pézeket akkor tudjuk helyese megítéli, ha átszámoljuk azokat a péz "jelelegi értékére". A jeleérték valamely jövőbeli pézkifizetések a jelebeli értéke. A jövőbeli összeget elosztjuk (diszkotáljuk) egy kamatlábbal, és így megkapjuk a péz jeleértékét. Más oldalról megközelítve: azt adja meg, mekkora összeget kell ma befektetük ahhoz, - egy bizoyos kamatozás mellett - hogy meghatározott időpotba az elérje egy másik összeget. Az egy év múlva esedékes Ft jeleértéke biztosa kisebb mit ,- Ft. Végül is 1 Ft ma többet ér mit holap, mert a mai forit befektethető és kamatozik. Ezek szerit egy későbbi bevétel jeleértékét egy 1-él kisebb diszkottéyezővel való szorzás útjá kaphatjuk meg. A jeleértéket úgy számoljuk ki, hogy a jövőbe várt bevételeket a hasoló befektetés által ígért hozammal vagy megtérülési rátával diszkotáljuk. Ezt a rátát haszoáldozatak, vagy a tőke alteratívköltségéek is evezzük. A jeleértéktől szűkebb kategória a ettó jeleérték. A ettó jeleértéket úgy kapjuk, hogy a jeleértékből levojuk a felmerült ráfordításokat. Nettó jeleérték... külöböző befektetések összehasolítására szolgáló mutató. A befektetésekél kiszámolja az egyes - 17

18 pézáramlások ( a ki - és befizetések, egatív és pozitív számok ) jeleértékeit, majd azokat összeadják. Ha ez pozitív, akkor a befektetés az adott diszkotráta mellett elfogadható, illetve két befektetés közül az a jobb, amelyikek agyobb a ettó jeleértéke. Példa: Ft-ért vásároluk egy értékpapírt, amely három éves lejáratú és évete Ft hozamot fizet. A piaci kamatláb 30 %. Vizsgáljuk meg, hogy érdemes-e ebbe az értékpapírba fekteti. 20 e 20 e 120 e Jeleérték = = = ,3 1,3 2 1,3 3 Látható, hogy a jeleérték egatív szám, így ez rossz befektetés. Csak azokat a befektetéseket fogadjuk el amelyek a jeleértéke 0, vagy pozitív szám. JÁRADÉKSZÁMÍTÁS Az egymásutá következő időpotokba esedékes pézmeyiségek értékelése a kamatok figyelembevételével mideapi életükhöz tartozó kérdéskör. (Pl. lakáskölcsö törlesztése, részletfizetés stb.) Az egyelő időközökbe egyelő vagy előre meghatározott törvéyszerűség alapjá változó összegű fizetések sorozata a járadék. A befizetések célja szerit megkülöböztetük gyűjtő és törlesztő járadékot. Gyűjtő járadék eseté a befizetések kamatokkal együtt számított felövekedett értékét keressük, a törlesztő járadékál az adott kamatláb mellett a diszkotált értéket kell meghatározi. - 18

19 Az auitás egy olya speciális számítási módszer, amely abba az esetbe alkalmazható, amikor: - a ulladik időpotba egy összegbe merül fel a befektetés, - időegysége át, - kostas bevételt eredméyez. Ekkor egy mutató segítségével meghatározható az átlagos tőkeköltség, illetve az elvárható átlagos hozam mértéke. Járadéktag = fizetések sorozata Járadékköz = időegység Haszáljuk a következő jelöléseket: i = p/100 q = 1+i a = álladó járadéktag = a járadéktagok száma V1 = az tagú járadék diszkotált értéke egy időszakkal az első tag esedékessége előtt V = az tagú járadék diszkotált értéke az első járadéktag fizetésekor S = az tagú járadék felövekedett értéke az utolsó járadéktag fizetésekor S1 = az tagú járadék felövekedett értéke az utolsó járadéktag fizetése utá egy időszakkal A jövőbei értékek meghatározása: A járadék felövekedett értéke az utolsó időköz végé, vagyis az utolsó befizetés utá egy időszakkal: 1 1 ( ) q S a * q * i A járadék felövekedett értéke az utolsó fizetés időpotjába: S q 1 a * i A jeleértékek meghatározása: A járadék diszkotált értéke egy időszakkal az első tag befizetése előtt: - 19

20 ( 1) a*( q 1) V q * i A járadék diszkotált értéke az első tag befizetéséek időpotjába: V a q q * *( 1 ) q * i A járadéktag számítása: Arra keressük a választ, hogy mekkora járadékot (a) kell fizeti időszako át i kamatláb mellett, hogy meghatározott összeghez jussuk, illetve milye összegű járadékkal egyeértékű adott öszszeg, ha az időszakok száma, a kamatláb pedig i. A feti képletekből ez egyszerű egyelet átredezéssel megoldható. S1 - ből a S 1 * i q*( q 1) S - ből a S* i q 1 Figyelem! A gyakorlatba midig éves kamatláb va megadva. Ha a törlesztés vagy tőkésítés havota, egyedévete, félévete törtéik az i kamatlábat osztai kell 12-vel 4-gyel illetve 2-vel. A járadéktagok számáak meghatározása: Az a járadéktagú i kamatlábú, S illetve V járadék háy tagú () járadékak felel meg. Az előző képletekből egyeletátredezéssel szité megoldható, itt azoba a megoldás már logaritmus segítségével törtéik. S1 - ből 1 lg( S * i a* q) lgq - 20

21 lg( S* i a) S - ből lgq lg a lg( a V V1 -ből lg q lg a* q lg( a* q lgq V -ből Hitelek törlesztése A törlesztés a hitel visszafizetéséek olya módja, amikor a kamatozó hitelt egyelő időközökét, azoos részletekbe fizetjük. Ekkor beszélük a hitel diszkotálásáról, illetve diszkotált értékéről, jeleértékéről. A kölcsöök törlesztése matematikai szempotból törtéhet: - egy összegbe, amikor éve át csak a kölcsö kamatait fizetik, - az évi törlesztésekkel és a midekori tartozás kamataiak a kifizetésével, - auitásos törlesztéssel. Most jeleleg csak az utóbbival foglalkozuk. Az auitásos törlesztésél agy előyt jelet az a körülméy, hogy évete álladó összeget - auitást - kell fizeti. Az auitás magába foglalja a midekori tartozás kamatát és egy bizoyos törlesztőrészt. Eek következtébe az auitás összetétele évről-évre változik. Mivel a törlesztés egyelő befizetésekkel - járadékszerűe - törtéik, yilvávaló hogy az auitást a járadék diszkotált értékéből határozzuk meg. - 21

22 Kötvéyek * A kötvéy olya kamatozó értékpapír, amely kibocsátója arra kötelezi magát, hogy egy meghatározott időpotba a kötvéy évértékét visszafizeti, valamit az egy előre rögzített kamatláb alapjá számított kamatokat kifizeti a kötvéy tulajdoosáak. A kötvéy tehát hitelviszoyt létesít aak kibocsátója, és tulajdoosa között. Vagyis egy kötvéy vételekor külöböző időpotbeli pézek cserélek gazdát: A kötvéyt vásárló a vásárlás időpotjába ad ki pézt egy jövőbei pézért (pézekért), vagyis jövőbei pézt (pézeket) vesz jelebeli pézért. A kötvéykibocsátás paraméterei: - kibocsátási összeg - kibocsátás időpotja - futamidő - türelmi idő - visszafizetés ütemezése lejáratkor egy összegbe évete meghatározott összegbe - kamatfizetés évete félévete havota lejáratkor egy összegbe - kamatláb mértéke fix kamatozású változó kamatozású - törlesztés formája - adózás - 22

23 A kötvéyek matematikája roppat egyszerű akkor, ha - a kibocsátó bakot is beleértve - ége-földö em találi sekit sem, akiek azt el lehete adi (akármilye áro). A helyzet akkor kezd boyolódi, amikor a kötvéyeket adjákveszik, és az árfolyamuk eltér a évértéküktől. A számolásaikba a következő jelöléseket fogjuk haszáli: F: a kötvéy évértéke (lejáratkori visszavásárlási ára) C: a kamatszelvéy értéke (egy kamatfizetéskor kifizetett összeg) : a még be em váltott kamatszelvéyek száma c: a kötvéy omiális kamatlába (évleges kamatláb) p: piaci kamatláb A: a kötvéy árfolyama Kötvéytulajdooskét két választási lehetőségük va: vagy megtartjuk a kötvéyt addig, amíg az le em jár, vagy eladjuk. Kérdés: Meyit szabad adi egy olya kötvéyért, amely még db kamatszelvéyel redelkezik? Ez em okoz godot akkor, ha a kötvéy "c" omiális kamatlába megegyezik a hasoló kockázatú, futamidejű befektetések "p kamatlábával, a rövide csak piaci kamatlábak evezett értékkel. Mi va akkor, ha ezek eltérek egymástól? Természetese ekkor a piaci kamatlábat kell iráyadókét vei, hisze azt, hogy mibe fektessük, ez határozza meg. A vételárat két rész összegéből számíthatjuk ki: 1. a lejáratkor esedékes évérték jeleértéke 2. a kifizetedő kamatok jeleértéke A évérték jeleértékét a kamatos kamatszámításál tárgyalt aktualizálás felhaszálásával tudjuk kiszámítai. Ezek szerit: F Névérték jeleértéke = (1+p) A kifizetedő kamatok auitást alkotak, így eek jeleértékét már egy korábbi részbe kiszámoltuk: 1 - (1+p) - Kamatok jeleértéke = C * , vagyis p - 23

24 F 1 - (1+p) - A reális vételár = C * (1+p) p p + c*[(1+p) - 1] A reális vételár = F * p*(1+p) Kötvéy vételáráak meghatározása A kötvéy évértéke : 10,000 Névleges kamat : 25.0% Piaci kamatláb : 24.5% Hátralévő kamatfizetések száma.. : 4 A kötvéy vételára : 8,917 Kötvéyvásárlás eseté a befektetésük utá valamilye hozamot remélük. Nézzük meg, hogy ez meyiek adódik. Ahogy eki akaruk láti, rögtö dilemma előtt álluk: Mit is jelet a hozam? Azt már rögtö érezzük, hogy a kötvéy évleges kamatából számított hozam (evezzük évleges hozamak) em túlságosa jó ismérve a befektetés helyességéek mérésére. évleges hozam = kifizetett kamat/évérték Ez az a százalékos formába megadott szám (például 25 %) a kötvéy kibocsátásakor megadott kamatláb. Ez - ameyibe a vételár eltér a évértéktől - em sokat mod. Valamivel többet modaa egy olya szám, amelyet a jegyzett árfolyamból képzük. Elfogadható lee a következő defiíció: egy még em végleges hozam = kifizetedő kamat/jegyzett árfolyam Ez a hozam már elfogadható lee. De va egy probléma: a jegyzett árfolyam em "tiszta", vagyis a legutolsó kamatfizetés óta fölgyülemlett kamat bee va a jegyzett árfolyamba, ami torzítja a külöböző kötvéyek összehasolíthatóságát. Tiszta árfolyam = Jegyzett árfolyam - c * d/365, ahol - 24

25 c: a kötvéy omiális kamatlába (évleges kamatláb) d: a legutolsó kamatfizetés óta eltelt apok száma Kötvéy tiszta árfolyama A kötvéy évértéke : 10,000 A kötvéy jegyzett árfolyama... : 9,500 Névleges kamat : 25.0% Kamatfizetés óta eltelt apok száma: 30 Tiszta árfolyam : 9,295 Eze a tiszta árfolyamo keresztül már jobba össze tudjuk hasolítai a külöböző kamatfizetési időpottal redelkező kötvéyeket, és ez az árfolyam lehetőséget ad arra, hogy egy haszálható hozamot defiiáljuk: Kifizetedő kamat egyszerű hozam = Tiszta árfolyam Egyszerű kötvéyhozam A kötvéy évértéke : 10,000 A kötvéy jegyzett árfolyama... : 9,200 Névleges kamat : 25.0% Kamatfizetés óta eltelt apok száma: 30 Tiszta árfolyam : 8,995 Egyszerű kötvéyhozam : % Ez az egyszerű kötvéyhozam már jelzi azt, hogy a kötvéyek em évértéke cserélek gazdát, haem egy attól általába eltérő árfolyamo. Ez a hozam azoba egy fotos részletről megfeledkezik: ics bee az a jövedelem, amely abból adódik, hogy a kötvéyeket évértéke törlesztik, viszot ettől eltérő áro vásárolják! Ebből következik, hogy kifiomultabb hozamszámot kapuk, ha az egyszerű kötvéyhozamot korrigáljuk a évérték és a vételárfolyam egy évre jutó külöbségével. Névérték - Jegyzett árfolyam korrigált hozam = egyszerű hozam Névérték * Hátralévő törlesztési idő A hátralévő törlesztési idő egyelő a lejáratig hátralévő idővel, ha a kötvéy évértékéek visszafizetése a kötvéy lejáratakor egy öszszegbe esedékes. - 25

26 Ameyibe olya a kötvéy kostrukciója, hogy em a kötvéylejártakor törlesztik a évértéket, akkor a hátralévő törlesztési időt a következőképpe defiiáljuk: Hátralévő törlesztési idő = t1 + t t, ahol Vi ti = --- * di, és V Vi = az i-edik törlesztőszelvéy értéke di = az i-edik törlesztőszelvéy beváltásáig hátralévő idő V = a kötvéy lejártáig hátralévő törlesztőszelvéyek értékeiek összege Korrigált kötvéyhozam A kötvéy vételára : 9,500 A kötvéy évértéke : 10,000 Névleges kamat : 25.0% Kamatfizetés óta eltelt apok száma: 30 Hátralévő kamatfizetések száma.. : 4.00 Tiszta árfolyam : 9,295 Egyszerű kötvéyhozam : 26.9 % Korrigált kötvéyhozam : 28,66 % Tegyük föl, hogy egy vállalat olya kötvéyt bocsát ki, amelyet em egy összegbe, haem évekét, részletekbe fizet vissza. Ekkor az előbb defiiált kötvéyhozamokkal em sokra megyük. Ez a feladat már a kötvéyek matematikájá túlmutat. Az előbb olya kötvéyfajtákkal végeztük a számításokat, amelyek fix kamatozásúak voltak, kamatfizetésre évete egyszer került sor, valamit a kötvéy évértékét lejáratkor fizették vissza. Ez a kötvéykostrukció Magyarországo agyo jóak látszott azokba az időkbe, amikor az ifláció még egyáltalá em volt ijesztő mértékű, külööse akkor em, ha azt az akkor ígért fix kamatok agyságához hasolítottuk. (Az ayag a 90-es évekbe készült!) Az évek múlásával azoba a kötvéytulajdoosokat egy agyo kellemetle meglepetés érte: az ifláció erősödött, olyayira, hogy az általuk birtokolt kötvéyek egy csapásra elvesztették vozerejüket: az ifláció túlszáryalta a kötvéyek fix kamatait. Azt hiszem, teljese egyértelmű, hogy a kötvéyvásárlásokat iflációs időkbe a fix kamatozású kötvéyek helyett változó kamatozású kötvéyekkel lehet kedvezőbbé tei. - 26

27 Erre szolgálak az úgyevezett kamatprémiumok. Ez azt jeleti, hogy abba az évbe, amelyikre kamatprémiumot ígérek, az azévi esedékes kamat agysága ő. Nézzük meg egy példa kapcsá, meyit is javít a helyzete az, ha a 25%-os évleges kamatozású kötvéyükre erre az évre 3% kamatprémiumot ígérek. Az ez utá következő évekre seki semmit sem ígért, így azokra az évekre a csak a évleges kamatot számolhatjuk. A kötvéy jeleértékéhez mide egyes kamatfizetés egy adott súlylyal járul hozzá. Eek agyságát számszerűe számoljuk ki! Az előző részbe haszált jelöléseket megtartva: F: a kötvéy évértéke (lejáratkori visszavásárlási ára) C: a kamatszelvéy értéke ( egy kamatfizetéskor kifizetett összeg) : a még be em váltott kamatszelvéyek száma c: a kötvéy omiális kamatlába (évleges kamatláb) p: piaci kamatláb A: a kötvéy árfolyama Az 1. periódus végé a kamatszelvéy értéke: C1 i1 C1 = F * i1, jeleértéke: PV1 = = F * (1 + p) (1 + p) A 2. periódus végé a kamatszelvéy értéke: C2 i2 C2 = F * i2, jeleértéke: PV2 = = F * (1 + p) 2 (1 + p) 2 Az. periódus végé a kamatszelvéy értéke: C i C = F * i jeleértéke: PV = = F * (1 + p) (1 + p) Változó kamatozású kötvéyek Periódusok Kötvéy Kifizetett Jele- Piaci kamatláb: száma kamatláb összeg értéke 30.0% %

28 2 25% % % % A legutolsó kamatfizetés óta eltelt apok száma..... : 0 Tiszta árfolyam : Nézzük meg, hogy a tiszta árfolyamra hogya hat az, ha egy kötvéy évértékét em lejáratkor fizetik vissza egy összegbe, haem azt egyeletese (vagy em egyeletese) elosztva törlesztik! Változó kamatozású és törlesztésű kötvéyek Visszafi- Periódusok zetedő Kötvéy Kifizetett Jele- Piaci kamatláb: száma tőke kamatláb összeg értéke 30.0% % 28% % 25% % 25% % 25% % 25% % Láthatjuk, hogy ameyibe a kötvéy évértékét egyeletese törlesztik, úgy a kötvéy jeleértéke a Ft-ról Ft-ra őtt. Ez is természetes összhagba va a feti megállapításukkal, hisze hamarabb hozzájutottuk pézükhöz. Eddigi számításukba alapföltevéskét haszáltuk ki azt a téyt, hogy a piaci kamatláb - vagyis az alteratív befektetési formák által kíált elérhető hozam - több éve át em változik. Mi va akkor, ha - modjuk itt Magyarországo - a piaci kamatláb évete más - és más. Ez a piaci kamatlábváltozás hogya hat a kötvéyek jeleértékére? Az előző részbe haszált jelöléseket megtartva: F: a kötvéy évértéke (lejáratkori visszavásárlási ára) C: a kamatszelvéy értéke ( egy kamatfizetéskor kifizetett összeg) : a még be em váltott kamatszelvéyek száma c: a kötvéy omiális kamatlába (évleges kamatláb) p: piaci kamatláb - 28

29 A: a kötvéy árfolyama Az 1. periódus végé a kamatszelvéy értéke: C1 i1 C1 = F * i1, jeleértéke: PV1 = F * (1 + p1) (1 + p1) A 2. periódus végé a kamatszelvéy értéke: C2 C2 = F * i2, jeleértéke: PV2 = (1 + p1) * (1 + p2).. i1 PV2 = F * (1 + p1) * (1 + p2) Az. periódus végé a kamatszelvéy értéke: C PV = = (1 + p1) * (1 + p2)*... * (1+p) i = PV = F * (1 + p 1 ) * (1 + p 2 )*... * (1+p ) A változó kamatozású papírok árfolyama általába a évérték körül mozog. Nem tudhatjuk előre, meyi is lesz a jövőbe a kötvéy kamata, illetve meyi lesz a jövőbe az "elfogadható kamat" de azt tudjuk, hogy a változó kamatozás a piaci kamatokhoz igazodik, így az ilye kötvéy utá végül midig a piaci kamatot kapjuk. Változó kamatozású és törlesztésű kötvéyek változó piaci kamatlábak eseté Visszafi- Periódusok zetedő Kötvéy Piaci Diszkot Kifizetett Jeleszáma tőke kamatláb kamatláb faktor összeg értéke % 28% 30.0% 76.92%

30 2 20% 25% 27.0% 60.57% % 25% 26.0% 48.07% , % 25% 26.0% 38.15% % 25% 26.0% 30.28% % Ha megváltozik a piaci kamatláb, akkor eek függvéyébe hogya változik meg a kötvéy jeleértéke? A számításaikba most vegyük egybe a kamatfizetést és a kötvéy évértékéek törlesztését, és vezessük be a következő jelöléseket: Ck: k-adik törlesztőrészlet pvk: k-adik törlesztőrészlet jeleértéke Eze jelölésekkel a kötvéy jeleértéke: Ck PV = pv1 + pv pv ahol pvk = = Ck * (1 + p) -k (1 + p) k A kötvéy jeleértéke PV ebbe az esetbe csak egy változótól, a p- től, a piaci kamatlábtól függ, ugyais mide egyes törlesztőrészlet adott álladó, valamit a futamidő is adott. Egy függvéy, jele esetbe pvk: p + Ck * (1 + p) -k ahol Ck és k álladók Ha r megváltozik, akkor pvk -ko keresztül PV is megváltozik. Eek mértékét úgy kapjuk meg, ha a PV(r) függvéyt deriváljuk. A PV(r) függvéy db pv1, pv2,... pv függvéy összegéből áll, így tagokét deriválhatjuk. Mide egyes pvk függvéy hatváyfüggvéy, így a deriválásuk a hatváyfüggvéyek deriválási szabálya szerit: dpvk -k ---- = -k * Ck * (1+p) -k-1 = * Ck * (1+p) -k vagyis dp (1+p) dpvk k ---- = * pvk Eek ismeretébe a kötvéy jeleértéke: dp (1+p) dpv = * ( 1*pv1 + 2*pv k*pvk *pv) dp (1+p) Mit is jelet ez az eredméy? - 30

31 Elmodhatjuk, hogy késze vagyuk? Ott tartuk, hogy meg tudjuk modai azt, hogy a piaci kamatláb változása meyivel változtatja meg egy adott kötvéy jeleértékét. Ige ám, de ha egy kötvéy Ft évértékű, akkor ez a jeleérték-változási gyorsaság em hasolítható össze egy Ft kötvéyével! De az már összehasolítható, ha egy kötvéy relatív jeleérték-változási gyorsaságáról beszélük! Ehhez midkét oldalt el kell osztauk PV -vel: 1 dpv 1 pv1 pv2 pvk pv -- * --- = * ( 1* * k* *---) PV dp (1+p) PV PV PV PV 1 dpv Ezt a levezetett meyiséget, -- * --- -t kamatérzékeységek evezik. PV dp Jeletése: egységyi piaci kamatlábváltozásra bekövetkező relatív, a kezdeti PV jeleértékhez viszoyított relatív árfolyamváltozás. A levezetésbe szereplő összegek egy külö evet is adtak: pv1 pv2 pvk pv DURATION = 1* * k* *--- PV PV PV PV Ezt a fogalmat talá úgy fordíthaták, hogy átlagos lejárati idő. Nagyo fotos az előbbi képlet. Iflációs időkbe vagy erőse igadozó piaci kamatlábak eseté eze szám ( a kamatérzékeység) alapjá tudjuk azt eldötei, hogy melyik kötvéyt vegyük meg és melyiktől szabaduljuk meg! Ha a piaci kamatláb lefelé mozog, akkor a egatív előjel miatt árfolyamyereséget érük el. Nyilvá jó lee a lehető legtöbbet eléri! Vagyis olya kötvéyt kell veük, amelyek a kamatérzékeysége agy (ez hozza a legtöbbet a koyhára), ami azt jeleti, hogy a DURATION-ja agy! - 31

32 Ugyaakkor ismét csak a agyobb árfolyamyereség reméyébe meg kell szabaduluk azo kötvéyeiktől, amelyekek DURA- TION-ja kicsi. Ezek ugyais em "gyarapodak" ayit, ameyit mi szereték. Ha a piaci kamatláb fölfelé kúszik, akkor potosa a fordítottját kell teük. Kamatérzékeység és DURATION számítás Végezetül egy példa a kamatérzékeység és DURATION számítására: Piaci Visszafikamatláb Periódusok zetedő Kötvéy Kifizetett Jele- 30.0% száma tőke kamatláb összeg értéke k*pvk/pv % 28% % 25% % 25% % 25% % 25% % 93, DURATION..... : Kamatérzékeyég. : * Megjegyzés: Valameyi pézügyi számítás közül ez a fejezet a legboyolultabb, feltételez bizoyos matematikai alapműveltséget. Kötvéyek és részvéyek Sok szempotot kell mérlegelie aak, aki úgy döt, értékpapírokba fekteti pézét vagy legalábbis egy részét. A közhiedelemmel elletétbe még a legkockázatosabb értékpapírok (részvéyek) választása, a papírok tőzsdei vagy tőzsdé kívüli piaco forgatása sem azoos a szerecsejátékkal. Míg a szerecsejátékokál az eredméyt főleg a véletle határozza meg, az értékpapírpiaco más a helyzet. Itt fölöttébb agy köyel- - 32

33 műség vaktába lövöldözi, de ha jó érzékkel, jó alapkocepcióval közelítük hosszú távo valószíűleg pozitív lesz a végeredméy. A három fő szempot, amit vizsgáli kell: a várható hozam, a kockázat és a likviditás. Természetese mideki agy hozamra, miél kisebb kockázatra és agyfokú likviditásra törekszik, csakhogy a legtöbb papír a három téyező közül általába csak egybe-kettőbe erős, a harmadikba gyege. A várható hozam a részvéyekél lehet a legmagasabb. Ez em jeleti azt, hogy a részvéyek hozama a legagyobb, csupá azt, hogy egy sikeres részvéybefektetés többet hozhat a koyhára, mit például egy kötvéy. Természetese az ellekezője is igaz: a részvéyekkel lehet a legagyobbat veszítei, azaz, ez a fajta értékpapír fölöttébb kockázatos. Kevésbé kockázatos, ugyaakkor általába kiugró yereséget sem biztosít a kötvéybefektetés. A kockázat a kötvéyél kettős: az árfolyam egyrészt attól függőe változhat, hogy a kötvéy futamideje alatt hogy alakul a piaci kamatszit. Ha csökke, a fix kamatozású kötvéyek felértékelődek, ha pedig övekszik, az árfolyamuk lemorzsolódik. Más típusú kockázat a viszsza em fizetési kockázat, azaz aak veszélye, hogy a kötvéyadós fizetésképteleé válik. Ez már sokkal súlyosabb hatást gyakorol az árfolyamra. A legkisebb kockázatú kötvéyek tehát az állampapírok, ezt követik az erős garaciával ellátott papírok, valamit a tőkeerős, stabil cégek által kibocsátott kötvéyek. Legkockázatosabbak a garacia élküli, bizoytala helyzetű cégek kötvéyei. Természetese - ormális körülméyek között - a várható hozam aál kisebb, miél biztoságosabb a papír. Jeletőse mérsékeli lehet a kockázatot azáltal, hogy em csak egyféle részvéyt vásároluk. Az egyes részvéyek árfolyama em csak az adott társaság helyzetét tükrözi, haem az általáos piaci hagulatot is, így tehát részvéyvásárláskor - vagy éppe eladáskor - részbe a hosszra, illetve a besszre tippelük. Az értékpapírok likviditása azt jeleti, milye gyorsa tehető pézé a befektetés úgy, hogy ez a trazakció e borítsa fel az aktuális árviszoyokat (e okozzo agy áresést). A legbiztoságosabb papírok piaca likvid, hisze a befektetők többsége számára a biztoság a fő szempot, így e papírok irát midig va kereslet. A többi papír likviditása hektikusa változó. - 33

34 A hozam, kockázat és likviditás optimális kombiációjára természetese em adható általáos recept, a dötést - mérlegelve a redelkezésre álló iformációkat - mideki maga kell, hogy meghozza. Pézügyi elemzés A pézügyi elemzés célja a tájékoztatás előkészítése a vezetés és a gazdasági egysége kívüli, külső felhaszálók számára. Egyrészt tömör miősítésre alkalmas mérőszámokat yújt a jelelegi és jövőbeli tulajdoosok - befektetők -, hitelezők, valamit a hivatásos pézügyi szakértők számára. A külső felhaszálók érdeklődése előterébe a gazdasági szervezet vezetése hatékoyságát miősítő mérőszámok és a gazdasági szervezetpézügyi teljesítőképességét kifejező mutatók állak. Az utóbbiak mideekelőtt a hitelezők befektetési dötéseiél élkülözhetetleek. A befektetőket elsősorba a társaság jövőbeli gazdasági teljesítméyei érdeklik. A pézügyi elemzés alapját az összehasolítás képezi. Az időbeli és térbeli összehasolítások útjá értékes iformációhoz juthatuk. Az időbeli összehasolításál két-három adatból álló idősor alapjá általába em következtethetük az időbeli alakulás általáos tedeciájára, ehhez miimum öt időszakra va szükség. A térbeli elemzésél valamely gazdasági egység pézügyi adatait vagy azoos iparágba tartozó másik cég adataival, vagy az ipari átlaggal hasolítjuk össze. A továbbiakba azt vizsgáljuk meg, hogy milye területekre kell kiterjesztei a pézügyi elemzést, hogya lehet megítéli a vállalatok fizető és hitelképességét. A hitelezők a gazdálkodó szervekkel kapcsolatba az alábbi területeke végezek elemzést: - fizetőképesség, - 34

35 - hitelképesség, - jövedelmezőség, - hatékoyság, 1. A vállalati fizetőképesség megítélése A fizetőképesség azt jeleti, hogy egy vállalat egy meghatározott időszako belül redelkezik ayi pézzel, és pézzé tehető eszközzel, ameyivel eleget tud tei az adott időszakba felmerülő fizetési kötelezettségeiek. A vállalati mérlegekbe a fizetés céljára felhaszálható viszoylag köye mobilizálható eszközöket a forgóeszközöket jeletik. Ezek a mérleg Eszköz oldaláak "B" jelű részét képezik. Az éve belüli rövidlejáratú kötelezettségek a mérleg forrásoldaláak F II. blokkjába találhatók. A likviditási mutató ezek egymáshoz viszoyított aráyát fejezi ki: Összes forgóeszköz Likviditási mutató : Összes rövidlejáratú kötelezettség Egy vállalat likviditása azt mutatja, hogy milye mértékbe képes rövid távú kötelezettségeiek eleget tei. A megfelelő likviditás külööse fotos magas ifláció eseté és a vállalkozás kezdeti szakaszá. Egy cég likviditása szoros kapcsolatba va aak készpézforgalmi pozíciójával. Fotos szem előtt tartai, hogy a magas likviditási ráta em jelet szükségszerűe jót vagy rosszat. Egy magas érték jeletheti, hogy a cég em elég hatékoya haszálja rövid távú forrásait, ugyaakkor az is lehet, hogy tartalékol egy közeljövőbe várható gazdasági bizoytalaságra. Ha a mutató magasabb az 1:1-hez aráyál, a forgóeszközök és rövidlejáratú kötelezettségekbe bekövetkezett azoos övekedés a ráta csökkeéséhez, az azoos csökkeés pedig aak övekedéséhez vezet. A emzetközi szakirodalomba általáosa elfogadott alapszabály, hogy egy vállalat akkor tekithető fizetőképesek, ha legalább kétszer ayi forgóeszközzel redelkezik, mit ameyi a rövid lejáratú kötelezettsége, elfogadott értéke 2. A fizetőképesség másik gyakra haszált képlete a likviditási gyorsráta. Ez a likviditási ráta fiomított változata. A mutató számításáál a számlálóba csak a gyorsa pézzé tehető forgóeszközöket, álta- - 35

36 lába a pézt, az értékesíthető értékpapírokat, és a vevők állomáyát szerepeltetik. Forgóeszközök - Készletek Likviditási gyorsráta Összes rövidlejáratú kötelezettség Mivel a mutató számlálójába kisebb érték szerepel, mit a teljes forgóeszköz-állomáy, így értelemszerűe a háyados számszerű értékéek is kisebbek kell leie mit a likviditási mutatóak. Általáosa elfogadott értéke 1. A harmadik mutató amely segít megállapítai a vállalat fizetőképességét a diamikus likviditási ráta, amely a folyamatos működésből származó pézeszközökek és rövidlejáratú kötelezettségekek a háyadosa. Pézeszközök Diamikus likviditási ráta Összes rövidlejáratú kötelezettség Általáosa elfogadott értéke 0,4. Az alábbiakba egy cég mérlegadatai szerepelek. A példák eek a mérlegbeszámolóak az adatai alapjá kerülek kiszámításra. 2. A hitelképesség mérése A hitelképesség a fizetőképességgel elletétbe hosszú távú közgazdasági kategória és a vállalat eladósodottságát jellemzi. Azt fejezi ki számszerű formába, hogy a vállalat eszközállomáya meyire terhelt adóssággal. Ha ugyais fel kell számoli a céget, a hitelezők szempotjából alapvető kérdés, hogy az értékesített eszközök értékéből vissza lehet-e fizeti az adósságokat. Éppe ezért midaddig hitelképesek tekithető egy vállalat, amíg az eszközeiek értéke meghaladja az adósságok összegét. A hitelezési gyakorlatba akkor hitelképes egy vállalat ha eszközeiek értéke legalább kétszerese a tartozásokhoz viszoyítva. Ezt többféle mutatóval lehet kifejezi. Összes eszközérték Nettó tőkearáy Összes tartozás Értéke megfelelő, ha

37 Összes tartozás Adósság aráy Összes eszközérték Értéke megfelelő, ha 0,5. Az első képlet azt mutatja meg, hogy az eszközértékek legalább az összes tartozás kétszereséek kell leie, míg a másik szerit a tartozás em haladhatja meg az eszközérték felét. Saját tőke Saját tőke aráya Összes eszközérték Értéke megfelelő, ha 0,5. Összes adósság Adósság saját tőke aráya Saját tőke Értéke megfelelő, ha 1. A számítógépe -hasolóa a likviditási mutatóál bemutatotthoz - a megfelelő mérlegsorokra törtéő hivatkozással egyszerű osztáskét elvégezhető a kívát feladat. 3. Jövedelmezőségi mutatók Mid a fizető, mid a hitelképesség mutatóihoz szükséges adatok a mérlegből gyűjthetők ki, a jövedelmezőség elemzéséhez azoba a vállalati eredméy-kimutatás táblázatát kell alapul vei. A vállalat jövedelmezőségét sokféleképpe lehet méri, a legegyszerűbb, és ezáltal a legegyértelműbb mutatók az alábbiak. Adózás előtti eredméy Nyereségháyad mutató Bruttó árbevétel Tartalmilag azt fejezi ki, hogy az árbevételek mekkora a yereségháyada, amelyet ki lehet fejezi együtthatós vagy százalékos formába is. Értéke aál jobb, miél magasabb. A következő képlet az előző komplemeteréek tekithető: - 37