Sok sikert és jó tanulást kívánok! Előszó

Átírás

1 Előszó A Pézügyi számítások I. a Miskolci Egyetem közgazdász appali, kiegészítő levelező és posztgraduális kurzusai oktatott pézügyi tárgyak feladatgyűjteméyéek az első darabja. Tematikája elsősorba a Fiaszírozás-gazdaságta tatárgy taköyvéhez - Brealey/Myers: Moder vállalati pézügyek kötődik, de a példatárat haszoal forgathatják a Pézügytat, a Pézitézeti gazdaságtat és Tőzsdei ismereteket hallgató diákok. Az oktatási segédlet a hallgatók azo jogos igéyéből eredt, hogy mivel a pézügyi tárgyak számokéréséél a példamegoldás súlypoti szerepet kapott, szeretéek a jegyzetekbe megtalálható, illetve az előadásoko elhagzó példáko kívül is példákat megoldai, hogy ezáltal is eredméyesebbe készülhesseek fel a vizsgára. Sajos vállalati pézügyekből megoldással és rövid elméleti kiegészítővel redelkező példatár még magyar yelve tudomásom szerit em látott apvilágot, ezért eheze tudtam megfelelő irodalmat ajálai. A Pézügyi számítások a számokérésre való felkészülést szolgálják. Nem pótolják a taayagot, haem a példamegoldási készséget szereték elmélyítei. Mivel a segédletet külöböző oktatási célokra is alkalmassá akartam tei, ezért a példák megoldása mellett, rövide a szükséges elméleti hátteret is felvázoltam. Az oktatási segédlet fejezetei - az első fejezet kivételével - a következőképpe épülek fel: 1. A fejezet tartalmáak rövid bemutatása 2. Mitapélda megoldások a voatkozó elméleti háttérrel. 3. Példák 4. Megoldások 5. Mellékletek Az első fejezet példái olya rövidek, hogy a megoldások em igéyelek részletes magyarázatot. Mivel a gyakorlatba a pézügyi feladatok megoldására elsősorba számítógépeket alkalmazak, a feladatmegoldást Excellel végeztem el. A feladatmegoldásokat és az Excel pézügyi függvéyeit tartalmazó fájlok floppylemeze a Pézügyi Taszéke megvásárolhatók. A Pézügyi számítások I. három fejezetet tartalmaz. 1. A péz időértéke 2. Beruházás-értékelési módszerek 3. A Nettó jeleérték modell alkalmazásáak gyakorlati problémái A Pézügyi számítások további kötetei fejezetcímei várhatóa az alábbiak leszek: 4. A beruházások kockázatáak mérése 5. Portfólióelmélet 6. Fiaszírozási dötések 7. Vállalati kockázatkezelés határidős ügyletekkel

2 4 8. Forgótőke-kezelés, ügyletfiaszírozás 9. Vállalatértékelés, egyesülés, felvásárlás Szereték köszööetet modai Serfőző Dorottya, Csutora Attila, Rémiás Tamás és Alföldi Imre egyedéves pézügy-számvitel szakiráyos hallgatókak, valamit feleségemek Szemá Juditak, akik átézték a kéziratot és sok haszos taáccsal láttak el. Remélem dolgozatom elyeri az olvasó tetszését. Ha a segédlettel kapcsolatba valamilye megjegyzése, problémája va, kérem keresse fel. Sok sikert és jó taulást kíváok! Előszó

3 Mottó: Jobb ma egy veréb, mit holap egy túzok; azaz a veréb többet ér, mit a túzok diszkotált értéke 1. Fejezet A péz időértéke A fejezet célja bemutati: a kamatszámítások fajtáit és alkalmazásuk feltételeit, a fő árfolyamszámítási módszereket, a legfotosabb pézügyi istrumetumok árfolyamszámítási módszereit A péz időértékéek elve A pézügyi életbe gyakra külöböző időpotba esedékes pézeszközöket illetve pézforrásokat kell összehasolítai. Egy befektetési/beruházási dötés eseté agy összegű pézt aduk ki a jelebe és a jövőbe keletkezek belőle bevételek. Hitelfelvétel vagy általába a fiaszírozási dötések eseté pedig agy összegű pézbevételt kapuk a jelebe és a jövőbe leszek esedékesek a pézkiadások. A befektetési és fiaszírozási dötések szemléltetésére úgyevezett pézáramgrafikookat haszáluk. A pézáram egy adott időtartam alatt befolyó pézbevételek és kiáramló pézkiadások sorozata. A pézáram-grafiko a pézáramot szemléltető jelölésredszer. A későbbiekbe ezt a jelölésredszert sokszor fogjuk alkalmazi. A grafiko vízszites tegelye az időtegely, a függőleges tegelye az esedékes pézösszegeket ábrázoljuk. A lefelé húzott voal azt jeleti, hogy ott a gazdálkodó alayak pézkiadása va, ha felfelé húzuk voalat, akkor ott a gazdálkodó alayak pézbevétele keletkezik. A voal hossza a pézösszeg agyságától függ Ábra 1.2. Ábra Befektetés pézáram grafikoja Fiaszírozás pézáram grafikoja Pézösszeg + C i = pézbevétel az i-dik időpotba Pézösszeg + C 0 = Készhez kapott összeg 0 Idő 0 Idő - C 0 = Befektetett összeg - C i = kifizetés az i-dik időpotba Ahol C i az i-edik időpotba esedékes pézösszeg (Cash). Ha a C előjele pozitív, pézbevételük va, ha a C előjele egatív pézkiadásuk va.

4 6 Ahhoz, hogy a befektetési vagy fiaszírozási dötést meghozhassuk, közös evezőre kell hozi a külöböző időpotbeli pézeket. Meg kell tuduk modai, hogy 1 Ft mai péz, meyi pézt ér a jövőbe, illetve, hogy a jövőbeli pézek meyit érek ma. A továbbiakba a jele időpot a 0-dik időpot, amit t 0 -lal jelölük. Eek megfelelőe az 1 év múlva esedékes időpotot t 1 -gyel, a 2 év múlva esedékes időpotot t 2 -vel jelöljük. Nézzük egy egyszerű példát arra, hogya tudjuk közös evezőre hozi a külöböző időpotbeli pézeket Példa Tételezzük fel, hogy most va 100 ezer foritom (C 0 =-100), és azt fotolgatom, hogy a pézt egy ismerősömek adom kölcsö, aki vállalja, hogy egy év múlva 120 ezer foritot (C 1 =+120) ad vissza. Ismerősöm szavába abszolút megbízom. Érdemes-e hitelt adom ismerősömek? Akkor tuduk helyese dötei, ha megvizsgáljuk, hogy egy hasoló feltételű, általuk hozzáférhető befektetési lehetőségek mekkora a hozamrátája. Ezt a hozamrátát várjuk el mi is hitelyújtásuktól. Az elvárt hozamrátát a tőke alteratíva költségéek vagy feláldozott haszáak is evezik, hisze ettől a hozamtól elesük, ha az adott befektetést választjuk. A hozamráta a befektetett tőké felüli többletpézbevétel (hozam) a befektetett tőke %-ba kifejezve és évesítve. A hozamráta jele az r (retur). A hozamráta évesítéséek módszereivel a portfólióelmélet fejezet elejé foglalkozuk. A hozamrátát a későbbiekbe rövide hozamkét fogom említei, a szövegköryezetből egyértelműe ki fog derüli, hogy mikor beszélek többletpézbevételről és mikor %-ról. Az elvárt hozamot meghatározó téyezőket és a probléma megoldásáak képletét az Ábra mutatja: 1. Fejezet - A péz időértéke

5 Ábra A péz időértéke? 100 Jeleérték PV = 1 év C 1 r ( 1 + ) FV = C *( 1+ r) 0 Jövőérték 110? Az r agyságát meghatározó téyezők r kockázatmetes hozam likviditás kockázat r - adott kockázatú és likviditású befektetések hozama Ahol PV a jövőbe esedékes pézösszeg (C 1 ) jeleértéke (Preset Value), FV a jelebe esedékes pézösszeg (C 0 ) jövőértéke (Future Value), időtartam évekbe. A PV és az FV midig számított összeg. Közvetleül em lehet őket megfigyeli. Az ábrából látható, hogy az "r" agyságát részbe makroökoómiai téyezők határozzák meg, melyek eredméye a kockázatmetes hozam (az adott befektetés lejáratáak megfelelő állampapír hozama). A kockázatmetes kamatlábat két téyezőre bothatjuk, az iflációra és a reálkamatlábra. Ha az éves kockázatmetes hozamráta időszakukba 9%, ez azt jeleti, hogy mide befektetett 100 Ft-ra 9 Ft többletpézt (hozamot) kapuk évete. A befektetés omiális vagy évleges hozamrátája megmutatja, hogy befektetett pézük egy egységére mekkora pézösszeget kapuk a befektetett tőkéke felül egy év alatt. Tegyük fel az ifláció éves szite 7%. Ha egy befektetés potosa 7%-os omiális hozammal redelkezik, a befektető átlagosa ugyaakkora meyiségű árut tud vei a befektetéséek végé, mit tudott a befektetett összeggel. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

6 8 A reálkamatláb megmutatja, hogy átlagosa háy %-kal több (vagy kevesebb) árut tuduk megvásároli a pézükért a befektetési időszak végé, mit tudtuk az elejé. Reálhozama természetese emcsak a kockázatmetes befektetések lehet, haem mide befektetések ki lehet számítai az iflációtól "tisztított" hozamát a következőekbe ismertetett módszer segítségével. A reálkamatláb kiszámításáak általáosa ismert módja az úgyevezett Fisher-féle közelítés. Képlete: (1.1.) rr = r i Ahol r r = reálkamatláb, r = omiális kamatláb, i = ifláció. A feti képlet azoba torzított eredméyt ad a reálhozamra, valós értékét túlbecsüli. Eek szemléltetésére ézzük példák adatait, ahol 100 ezer foritot adok kölcsö és egy év múlva 120 ezer foritot kapok kézhez. A befektetés omiális hozamrátája 20%, hisze ekkora kamatlábbal kell megszorozom a befektetett tőkét (100-at) ahhoz, hogy megkapjam a hozamot, a 20-at. Képlettel: (1.2.) 1 = 0,2 = 20% 100 Most tételezzük fel, hogy a befektetési időszak kezdeté egy alma 10 Ft. A befektetés időtartama alatt az ifláció 10% és az alma ára is az ifláció mértékébe övekszik. A befektetési időszak végé egy alma ára 11 Ft lesz. (1.3.) 10 (1 + 0,1) = 10 1,1 = 11 Meyi almát tuduk vásároli pézükért a befektetési időszak végé? A választ a reálhozam ismeretébe adhatjuk meg. Számoljuk ki a Fisher-féle megközelítéssel a reálhozamot! (1.4.) rr = r i = 20 % 10% = 10% Ha a befektetési időszak kezdeté 10 ezer darab almát tudtuk vásároli, akkor most 10%-kal többet tuduk, azaz 11 ezer darabot, ha a Fisher-képlet helyes lee. De em helyes! A 11 ezer darab alma ugyais 121 ezer foritba kerüle, ekük viszot csak 120 ezer forituk va!!! Ha a omiális hozam r, pézük a befektetési időtartam alatt 1+r szeresére övekszik. Az árak 1+i szeresükre változtak. A reálkamatlábat úgy kapjuk, hogy a két értéket elosztjuk egymással és kivouk belőle 1-et. Képlettel: 1+ r 1,2 120 (1.5.) r r = 1= 1 0,091= 9,1% 1 1+ i 1,1 110 A pézükért 9,1%-kal tuduk több árut vásároli, mit a befektetési időszak kezdeté. Persze csak akkor, ha a vásároli kívát áru potosa az ifláció mértékével drágult. A befektetési időszak végé 120 ezer forituk lesz, a 10 ezer 1. Fejezet - A péz időértéke

7 darab alma új ára 110 ezer forit, a két érték háyadosa míusz 1 lesz a reálkamatláb. Pézükért valójába csak 10,91 ezer almát tuduk vásároli. Most ézzük meg a torzítás okát! Redezzük át a képletet 1+r -re és végezzük el tagokét a beszorzást, majd egyszerűsítsük: 1+ r = ( 1+ i) ( 1+ rr ) (1.6.) 1+ r = 1+ i + rr + i rr rr = r i i rr Amit látható, a reálkamatlábat a Fisher-féle közelítéshez képest még az i*r r téyező is csökketi, ami valóba elhayagolható, ha mid a reálhozam, mid az iflációs ráta alacsoy. Miél agyobb értéket veszek fel azoba e téyezők, aál ikább fogja a Fisher-képlet torzítai a reálhozamot. A makrotéyezőkö túl a kokrét befektetés két jellemvoása befolyásolhatja az elvárt hozamot: a befektetés likviditása a befektetés kockázata A befektetés likviditása megmutatja, hogy milye gyorsa és mekkora trazakciós költségek mellett lehet a befektetést készpézre váltai. A likvid befektetések esetébe a készpézre váltás gyorsa és agyobb költségek élkül megtörtéhet. Az illikvid befektetések készpézre váltása hosszabb időt vesz igéybe és/vagy agy a trazakciós költsége. Az elvárt hozam és a likviditás egymással fordította aráyos. A likvid befektetésektől elvárt hozam alacsoyabb, mit az illikvid befektetésektől. A befektetők jobba kedvelik azokat a befektetéseket, amelyeket köyebb mobilizáli és ezért alacsoyabb hozamokkal is megelégszeek. A befektetések kockázata megmutatja, hogy a befektetés-értékelési változó várható értékétől átlagosa milye mértékbe térhetek el a változó téyleges értékei. Pézügyi befektetésekél a befektetés hozamrátája alapjá dötük. A várható értéktől vett átlagos eltérést a statisztikából ismert szórással mérjük. Miél agyobb a téyleges értékek szórása a várható érték körül, a befektetések aál agyobb a kockázata. Feltételezzük, hogy ha egy befektetés kockázata ő, az elvárt hozam övekszik. A befektetők a jövőbeli bizoytalaság ellesúlyozásáért hozamkompezációt várak el. Beruházási dötések esetébe, mit majd láti fogjuk, a befektetés-értékelési változó leggyakrabba a ettó jeleérték. Itt a ettó jeleérték várható értékétől vett átlagos eltérést tekitjük a kockázat mérőszámáak. Tételezzük fel, hogy a befektetők által elvárt hozam esetükbe potosa 10%. Azaz a befektetéssel azoos kockázatú és likviditású befektetések piaci hozama 10%. Ha ismerjük az elvárt hozamot, dötésüket két módszerrel is meghozhatjuk Jövőérték-számítás 9 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

8 10 Egy ma kapott 100 forit em egyelő egy 1 év múlva esedékes 100 forittal. A jelebeli péz midig értékesebb, mit a jövőbeli, hisze a jelebeli pézt el lehet költei vagy be lehet fekteti. Tételezzük fel, hogy pézüket az elvárt hozammal fektettük be egy évre. Meyi pézük lesz az 1.1. Példa alapjá? Kamat = r = 100 ( 1+ r) = 100 ( 1+ 10% ) = 100 1,1 = 110 (1.7.) FV = C0 ( 1+ r) Ahol r az adott időszak alatt érvéyes elvárt hozam, FV a pézeszköz időszak múlva esedékes jövőértéke, C 0 a jelebeli pézösszeg. A 110-et a 100 jövőértékéek (Future Value - FV) evezzük. Egy pézösszeg jövőértéke megmutatja, hogy ha az adott futamidő alatt a pézt az elvárt hozammal fektetjük be, meyi pézük lee a futamidő végé. Mivel meghatároztuk, hogy a jelebeli 100 Ft 1 év múlva 110 foritak felel meg, összehasolíthatjuk a téyleges 120 Ft-tal. A két pézösszeget közös evezőre, közös időpotra hoztuk. (1.8) 120 FV ( 100) = ( 1+ r) = = + 10 A kimeetel pozitív, ezért a befektetést elfogadjuk. Pézük 10 egységgel több, mitha ugyaolya kockázattal és likviditással fektettük vola be más piaci eszközbe Jeleérték-számítás A befektető tudja, hogy a két befektetés közötti külöbség 1 év múlva 10 forit. A megoldással azoba em lehetük teljese elégedettek. Jobba szereték tudi, hogy mai pézbe kifejezve mekkora a külöbség. Ekkor a jeleérték-számítást választjuk. Egy jövőbe esedékes pézösszeg jeleértéke megmutatja, hogy mekkora összeget kellee befektetük a jelebe az elvárt hozammal ahhoz, hogy az esedékes pézösszeget kapjuk meg az adott jövőbeli időpotba. A jeleérték-számítás a jövőértékszámítás iverze. (1.9.) PV = C 1 ( 1+ r) 1 1 PV = C1 = 120 = 109,09 ( 1 ) 1 0,1 + r + Ahol C időszak múlva kapott pézösszeg, PV jeleérték (Preset Value), r az adott időszakba érvéyes elvárt hozamráta. A befektetés jövőbe várható hozamáak jeleértéke 109,09. Míg más esetbe 109,09-ot kellee befektetük ahhoz, hogy 120-at kapjuk egy év múlva, e 1. Fejezet - A péz időértéke

9 beruházás esetébe csak 100-at kell. A kettő külöbözete +9,09. Érdemes befekteti a pézüket, mivel vagyouk a befektetés végrehajtásával 100-ról 109,09-ra övekszik. A 9,09 em más, mit a jövőérték-számításkor kapott 10 jeleértéke: 1 9,09 = PV 10 = 10 = 1,1 (1.10.) ( ) 9, 09 Láthatjuk, hogy midkét módszer szerit ugyaarra a következtetésre jutuk, a befektetést érdemes végrehajtai. A két módszer szerit kapott végeredméy viszot külöbözik. A külöbség magyarázata az, hogy külöböző időpotra számoltuk ki a befektetett összeg és a visszakapott pézösszeg külöbségét. Azt hogy melyik időpotra érdemes számoli általába attól függ, hogy mi melyik időpotba vagyuk. Ha befektetési alteratívákat értékelük, akkor a befektetés időpotja a jele időpot és akkor érdemes jeleérték-számításokat végezük. Ha befektetést utólagosa értékelük, akkor a hozamok realizálása lesz a jeleidőpot. Ekkor jövőérték-számítás szerecsésebb. Ha egy hosszabb befektetés közepé vagyuk, akkor a múltbeli pézek jövőértékét, a jövőbeli pézek jeleértékét számoljuk ki Több kifizetésből álló pézáramok A fetieket alkalmazzuk több hozamból álló pézáramok értékelésére. Először olya hozamsorozatokkal foglalkozuk, melyek meghatározott redszerességgel követik egymást és mértai sorozatot alkotak. Ha a jövőbeli pézek között eltelt idő azoos, azaz két pézösszeg esedékessége között midig ugyaakkora idő telik el, továbbá az egymást követő pézösszegek mértai sort alkotak, évjáradékról vagy auitásról beszélük. Ha a hozamok végtele hosszúak, az auitás eve örökjáradék. Ha korlátozott ideig tartaak, akkor evük lejáratos auitás, vagy egyszerűe auitás. Az auitások esetébe a hozamok lehetek ugyaakkorák (egyszerű auitás), vagy egy g%-kal övekedők (övekvő auitás). Az auitások esetébe több fogalmat is defiiáluk kell. Két pézáram esedékessége között eltelt időt járadékközek evezzük. A pézáramok agyságát járadéktagak hívjuk. Az olya pézáram-sorozatokat, melyekél a járadékköz megegyezik, ütemezett pézáramokak modjuk. A feti fogalmak ismeretébe egy rövidebb defiíciót is adhatuk az évjáradékra. Az auitás olya ütemezett pézáram, ahol a járadéktagok mértai sorozatot alkotak. Most olya lejáratos auitásokkal foguk foglalkozi, ahol a mértai sor kvóciese, q=1, azaz mide hozam ugyaakkora Egyszerű auitás jövőértéke 11 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

10 Példa Egy életbiztosító egy 10 éves megtakarítási lehetőséget kíál ekük. Mide év elejé befizetük 10 ezer foritot, melyek reálértékét a futamidő sorá karbatartjuk. A biztosító ügyöke évi 4%-os reálhozammal kecsegtet miket múltbeli tapasztalatok alapjá. Tételezzük fel, hogy hiszük eki, akkor reálértékbe meyi lesz a számláko 10 év múlva! A feti példába egy auitás jövőértékére vagyuk kívácsiak. Ekkor gyűjtő auitásról beszélük. A gyűjtő járadék esetébe arra vagyuk kívácsiak meyi lesz az évjáradék értéke egy járadékközzel az utolsó járadéktag esedékessége utá, vagy aak időpotjába. A gyűjtő auitás kiszámításáak problémáját az 1.4. Ábra mutatja: 1.4. Ábra Gyűjtő auitás problémája Mekkora FV adott c mellett? FV járadékköz c c c c c c c c c c járadéktagok Ahol c járadéktag, FV lejáratos évjáradék jövőértéke az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába. Egy auitás jövőértékéek agyságát az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába az képlet adja meg. ( 1+ r) 1 (1.11.) FV = c 1 r 1 A képletet az általáos értékképletből kapjuk, a következőképpe: 1. Fejezet - A péz időértéke

11 Ahol c - járadéktag, r - időszaki elvárt hozam, - járadéktagok száma, FV - auitás jövőértéke. Az darab 1 Ft-ból álló pézáram-sorozat jövőértékét az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába adott r és eseté, az 1. fejezet 1. melléklete mutatja. Helyettesítsük be a képletbe: (1.12.) FV = 10 ( 1+ 0,04) 10 1 = 120,06 0,04 A képlet az utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába mutatja egy auitás jövőértékét. Ebbe az esetbe ez az időpot a 10. év eleje. Nekük viszot a 10. év végi érték kellee! Az év elejé 120 ezer forituk va. A 10. évbe is feltételeztük a 4%-os reálhozamot. Egy évre ha befektetjük a 120 ezer foritukat 4%-al, akkor a 10. év végi értéket az 1.7-es képlet segítségével számolhatjuk ki. (1.13.) FV = C0 ( 1+ r) = 120,06 1,04 = 124, 86 A 10. év végé 124,86 ezer forituk lesz. Ha tudi szereték, hogy a 11., 12. stb. év végé meyi pézük lee akkor, ha többször már em fizeték be a 10 ezer foritot, csak a tőke kamatozóda, akkor a kamatos kamatszámítás képlete szerit kapák meg a kívát összegeket. Például, ha a 12. év végi értékre leék kívácsiak, akkor csak meg kellee határozuk a 10 év elejétől a 12. év végéig eltelt időt (3 év) és behelyettesíteük az 1.14-es képletbe, ami egy pézösszeg jövőbeli értékét adja meg év múlva: 3 (1. 14.) FV = C0 ( 1+ r) = 120,06 1,04 = 135, 05 Adott "" és "r" eseté 1 Ft jövőbeli értékét az 1.1. melléklet tartalmazza. A gyűjtő auitás egyes paramétereit az Excel táblázatkezelő függvéy segítségével is ki lehet számoli. A gyűjtő auitáshoz kapcsolódó függvéyek a következők: =PER.SZÁM(kamatláb, járadéktag, jeleérték, jövőbei érték, típus) =JBÉ(kamatláb, befizetések száma, járadéktag, jeleérték, típus) 13 FV = FV FV r FV FV = c 2 1 c + c ( 1 + r) + c ( 1 + r)... + c ( 1 + r) 2 3 ( 1 + r) = c ( 1 + r) + c ( 1 + r) + c ( 1 + r)... + c ( 1 + r) ( 1 + r) FV = c ( 1 + r) c = c [( 1 + r) 1] ( 1 + r) 1 r dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

12 14 A függvéyek magyarázatai számpéldákkal a 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe Egyszerű auitás jeleértéke 1.3. Példa Egy vállalkozó ismerősük 1 millió foritot kér tőlük kölcsö úgy, hogy 5 éve keresztül mide év végé 300 ezer foritot ad ekük vissza. Odaadjuk-e a pézt, ha az ügylettől 30%-os hozamot váruk el? Ki kell számítauk, hogy az 5 darab 300 ezer foritos kifizetés jeleértéke a agyobb, vagy az 1 millió forit. A pézáram-sorozat egyszerű auitást alkot, amiek most a jeleértékére vagyuk kívácsiak. A törlesztő évjáradék esetébe arra vagyuk kívácsiak meyi lesz az évjáradék jeleértéke egy időszakkal az első járadéktag esedékessége előtt. A megoldadó problémát az 1.5. Ábra szemlélteti: 1.5. Ábra Törlesztő auitás problémája járadéktagok c c c c c c c c c PV járadékköz Mekkora PV adott c mellett? Mekkora c adott PV mellett? Ahol c járadéktag, PV lejáratos évjáradék jeleértéke egy járadékközzel az első járadéktag esedékessége előtt. Egy évjáradék jeleértékét egy időszakkal az első járadéktag esedékessége előtt, az alábbi képlettel számolhatjuk ki: (1.15.) ( 1+ r) r ( 1+ r) PV = c = c = c AF r, r r ( 1+ r) 1. Fejezet - A péz időértéke

13 Ahol c - járadéktag, r - elvárt hozam, - járadéktagok száma, PV - auitás jeleértéke, AF r, évjáradéktéyező (auitásfaktor) r elvárt hozam és járadéktag eseté. A szögletes zárójelbe lévő kifejezést auitás-faktorak vagy évjáradék-téyezőek modjuk. Az auitásfaktor (évjáradék-téyező) (AF) megmutatja, hogy darab 1 Ft-ból álló auitás jeleértéke mekkora, ha a járadékközre értelmezett kamatláb r. Az auitásfaktor értékeit adott és r eseté az 1.1. Melléklet tartalmazza. Behelyettesítve a képletbe: (1.16.) PV = c AF r ( 1+ r) r ( 1+ r) 1 1,3 1, = c = 300 = 300 2,436 = 730,7 5 0,3 1,3 Mivel az 5 darab 300 ezer forit jeleértéke kevesebb, mit 1 millió forit (730,7 eft), ezért elutasítjuk a kölcsöigéyt. Mi a helyzet akkor, ha ismerősük türelmi időt is kér, mialatt sem kamatot, sem tőkét em törleszt? Tételezzük fel, hogy a kért türelmi idő +1 év. A törlesztőrészletek fizetése egy évet tolódik. A hitel jeleértéke eek következtébe csökke. A kérdés az, hogy meyivel? Tudjuk azt, hogy egy járadékközzel az első 300 ezer forit kifizetése előtt 730,7 eft a hitel értéke. Az egy évvel korábbi értéket megkapjuk, ha az 1.9-es képlettel kiszámoljuk a 730,7 ezer forit jeleértékét. 1 1 (1.17.) PV = C1 = 730,7 = 562,0 ( 1+ r) 1,3 Ha a türelmi idő övekedik a jeleérték-számítás általáos képletét haszálhatjuk. Egy időszak múlva esedékes C összeg jeleértéke, ha az elvárt hozam r, az 1.18-as képlet szerit számolható ki: 1 (1.18.) PV = C = C DFr, ( 1+ r) A jeleérték-számítás folyamatát diszkotálásak, a szögletes zárójelbe lévő képletet diszkottéyezőek (DF) evezzük. A diszkottéyező megmutatja, hogy időszak múlva esedékes 1 Ft jeleértéke mekkora, ha az elvárt hozam r. A diszkottéyező táblázatot az 1.1. Melléklet tartalmazza. A törlesztő auitáshoz tartozó Excel függvéyek a következők: =RÉSZLET(kamatláb, futamidő, jeleérték, jövőérték, típus) =ME(kamatláb, futamidő, járadéktag, jövőbei érték, típus) 5 15 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

14 16 =RÁTA(futamidő, járadéktag, jeleérték, jövőbei érték, típus, becslés) =PER.SZÁM(kamatláb, járadéktag, jeleérték, jövőérték, típus) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe. Az évjáradék-számítások sorá a következőeket tételezzük fel: A hozam a futamidő sorá álladó. A pézáram-sorozat ütemezett. A megadott kamatláb a járadékközre va értelmezve. A kamatokat tőkésítik. Az első két feltétel em teljesülésével most em foglalkozuk. Ebbe az esetbe ugyais em alkalmazhatuk zárt alakra hozott képleteket, haem a pézáramsorozat tagjait egyekét kell diszkotáluk, a (megfelelő időszaki kamatlábak +1) szorzatait alkalmazva. A másik két feltételezés feloldását az 1.3.-as fejezetbe tárgyaljuk Időérték-számítások gyakorlati problémái A kamatokat em tőkésítjük - Egyszerű kamatszámítás Ha elvetjük azt a feltételezést, miszerit a tőkére jutó kamat hozzáadódik az időszak végé a tőkéhez és későbbiekbe a kamattal megövelt összegre esedékes a kamat, az egyszerű kamatszámítás képletét kell alkalmazuk. Ekkor az adott időszakra jutó kamatot egyszerű aráyosítással kapjuk meg. Az egyszerű kamatszámítás képletei jele- és jövőérték-számítás eseté: FV = C0 ( 1+ r) (1.19.) 1 PV = C ( 1+ r) Ahol FV - jövőérték, PV - jeleérték, - időtartam hossza évekbe, <1 év, r - elvárt hozam, C 0 jelebeli péz agysága, C jövőbeli péz agysága. Az egyszerű kamatszámítást akkor alkalmazzuk, ha a befektetés időtávja kisebb, vagy egyelő a kamatfizetés gyakoriságával. Ha hosszabb, a kamatos kamatszámítást vagy az egyszerű és a kamatos kamatszámítás kombiációját - amit vegyes kamatszámításak evezük - haszálják. A befektetés futamideje alatt képződött hozamok esetébe feltételezzük, hogy azokat az elvárt hozammal ( r ) fektetik be újra. A feltételezés gazdasági magyarázata az, hogy az elköltött kamat határhasza megegyezik azzal a többlet-pézmeyiséggel, 1. Fejezet - A péz időértéke

15 amit az újrabefektetés sorá yertük vola. Így számításaik sorá midig kamatos vagy vegyes kamatszámítást alkalmazuk, ha a befektetés időtávja meghaladja a kamatfizetés gyakoriságát Példa Egy vállalat két hetes futamidőre 1 millió foritot helyezett el július 22-é egy bakbetétbe. A betét kamatlába évi 10%. Mekkora összeget vehet fel a vállalat két hét múlva? A kamatot időaráyosítással kell kiszámítai. Sajos az aráyosítás módszere em egyértelmű. Az egyes aráyosítási módszerek abba külöbözek egymástól, hogy háy aposak tekitik az évet és a hóapokat. A gyakorlati életbe három aráyosítási módszer terjedt el, amelyek egy-egy emzetről kapták a evüket. Az egyes módszerek jellemzőit az 1.1. Táblázat mutatja Táblázat Az egyszerű kamatszámítás esetébe alkalmazható aráyosításfajták Aráyosítás eve Hóapok apjaiak száma Évek apjaiak száma Német Fracia aptári 360 Agol aptári 365 Téyleges aptári 365/366 A émet kamatszámítás akkor volt még haszálatos, amikor még kézzel és em számítógéppel számolták a kamatokat. A émet módszerrel köyebb volt meghatározi a futamidő agyságát és a 360-al való osztás gyakrabba adott egész számot. A fracia módszer a feti megfotolásokból tartotta meg a 360-as számot, bár a hóapokat már aptári hosszuk szerit méri. Így em fordulhat elő, hogy egy februári lekötések ugyaakkora legye a kamata, mit egy márciusiak, holott a március általába 3 appal hosszabb. A fracia számítás azoba azzal, hogy megtartja a 360-as osztót, gyakorlatilag több kamat felszámítását eredméyezi, mit a valós érték, mivel az aráyosítás evezője kisebb, mit a téyleges aptári apok száma az évbe. Az agol módszer maapság a leggyakoribb kamatszámítási forma. Szökőévekbe február 29-é kamatszüapot tartaak. A módszer előye a köyebb programozhatóságába va a téyleges kamatfizetéssel szembe. (lásd később a api kamatszámításál) Az 1.4.-os példát mid a égyfajta módszer szerit kiszámoljuk. 17 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

16 18 Ha a betétet két hétre helyezték el és mivel a július 31 apos, a betétet augusztus 5-é veszik fel. ( =14 ap, azaz 2 hét) Német kamatszámítás szerit a lekötési idő 13 ap, mivel mide hóap 30 apos: =13. Így értéke 13/360 0,036 Behelyettesítve az 1.19-es képletbe: 13 (1.20.) FV = ,1 = Két hét múlva a bak a émet kamatszámítási módszer szerit Ft-ot fizet vissza. A fracia kamatszámítás szerit a lekötési idő a téyleges 14 ap, mivel a fracia módszer a téyleges aptári apokkal számol, de osztai továbbra is csak 360-al osztuk. 14 (1.21.) FV = ,1 = A fracia módszer alkalmazása 278 Ft-al több kamat kifizetését eredméyezte a émet módszerhez képest. Az agol módszer csak abba külöbözik a fraciától, hogy 365-el osztuk a kamat kiszámításakor: 14 (1.22.) FV = ,1 = A fracia módszer 53 Ft-al több kamat kifizetését eredméyezte, mit az agol. Az agol kamatszámítás végeredméye jele esetbe megegyezik a téyleges kamataráyosítás eredméyével. Az egyszerű kamatszámítás egy alesete, amikor a kamatlábat em a jeleértékre (PV) voatkoztatják, haem a jövőérték (FV) meghatározott %-ba fejezik ki. Ekkor előleges kamatszámításról beszélük Előleges kamatszámítás Előleges kamatszámítás esetébe a kamatlábat a visszafizetedő összeg százalékába határozzuk meg, és előre levojuk a kifizetedő összegből. Utólagos kamatszámítás eseté a kamatlábat a befektetett péz százalékába fejezik ki, és utólag fizetik. Az előleges kamatszámítás alkalmazásáak területei az úgyevezett em kamatozó (diszkot) értékpapírok (váltó, diszkot kicstárjegy) leszámítolása és a faktorig ügyletek, valamit az úgyevezett elemi kötvéyek értékelése. Az utólagos kamatszámítást alkalmazzák az összes többi ügylet esetébe, például hitelyújtásál és betételhelyezésél. Az alfejezet kivételével a többi esetbe mi is utólagos kamatszámítást alkalmazuk. Elemi kötvéyek evezzük az összes olya lejáratos értékpapírt, amelyből csak egy jövőbeli pézbevétel származik. 1. Fejezet - A péz időértéke

17 Az előleges kamatszámításál alkalmazott kamatlábat diszkotlábak (bakári diszkot) evezzük. A legevezetesebb em kamatozó értékpapírok a váltó és a diszkot kicstárjegy. Ezek és a faktorig matematikája gyakorlatilag megegyezik Példa Március 20-á kibocsátottak egy hat hóapos lejáratú 1 millió forit évértékű váltót, melyet egy vállalat számos forgatás utá bakjáak beyújt leszámítolásra júius 20-á. A bak 15%-os diszkotlábat alkalmaz. A vállalat folyószámlahiteléek kamatlába 17%-os, melye jóval 1 millió forit feletti ki em haszált keret va. Meyit fizete a bak a váltóért, ha egyéb díjakat em számola fel? Mekkora hitelkamatlábak felel meg a diszkotláb? Mekkora a váltóak az a maximális futamideje, amiél rövidebb futamidő eseté érdemesebb a váltót leszámítoli és eél hosszabb futamidő eseté, gazdaságosabb folyószámlahitelt felvei? Agol kamatszámítást tételezzük fel! A leszámítolás esetébe az időaráyos kamatot (diszkot) levoják a váltó évértékéből. A leszámítolás képlete: (1.23.) PV = N K = FV N d = N ( 1 d ) Ahol N - a váltó évértéke (Nomial Value), PV - a váltóért fizetett összeg (diszkotérték), d - diszkotláb, - lejáratig hátralévő futamidő évekbe, K - levot kamat agysága. A váltó 6 hóapos lejáratú, tehát szeptember 20-á jár le. A kibocsátás dátuma a leszámítolás szempotjából em érdekes. A leszámítolás időpotjától a váltó beyújtásáig eltelt futamidő az agol módszer szerit 92 ap. ( ). Az év apjaiak száma 365. Behelyettesítve az as képletbe: 92 (1.24.) PV = FV ( 1 d ) = ,15 = A bak Ft-ot fizet a váltóért. Mekkora hitelkamatlábak felel ez meg? A képletet megkapjuk, ha ugyaazt a kamatmeyiséget először az előleges, majd az utólagos kamatszámítás képletével is kifejezzük és a két kamatmeyiséget egyelővé tesszük, majd a jeleérték helyébe behelyettesítjük a diszkotálás képletét, egyszerűsítük és r-re redezük. A számítás meetét az képletsor mutatja. 19 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

18 20 N d = K = PV r N d = N ( 1 d ) r (1.25.) d = ( 1 d ) r d r = 1 d Behelyettesítve az 1.25-ös képletbe: d 0,15 (1.26.) r = = = 0, ,6% 1 d , A kapott eredméy 15,6%. Mivel a folyószámla-hitel kamata eél magasabb, érdemesebb a váltót leszámítoltati és hitelt em felvei. Látható, hogy a diszkotlábak megfelelő hitelkamatláb midig magasabb, mit a diszkotláb, mivel a evező 1 és 0 közé esik. A képletből az is kitűik, hogy a két kamatláb közötti külöbség a hátralévő futamidőtől is függ. Miél agyobb értéke, aál agyobb a külöbség. Bizoyos esetekbe érdemes megtudi azt a maximális futamidő agyságot, ami belül a váltót érdemes már leszámítoltati, változatla hitel- és váltókodíciókat feltételezve. Az képletekből iduluk ki, csak most -re oldjuk meg az egyeletet. N d = K = PV r (1.27.) N d = N d = ( 1 d ) r d = r d r r d = d r ( 1 d ) r 1 1 =,ha r > d d r Ha a hitelkamatláb kisebb, mit a diszkotláb, akkor hitelt felvei midig érdemesebb, mit váltót leszámítoltati. Behelyettesítve az 1.27-es képletbe: 1 1 (1.28.) = = 0, ,15 0,17 Ha a váltó lejáratig hátralévő futamideje 0,78 évél rövidebb, már érdemesebb leszámítoltati, mit hitelt felvei. A 0,78 év 286 apak, azaz durvá 9,5 hóapak felel meg. Mivel a váltó hátralévő lejárata 3 hóap volt, em véletle, hogy a 2. kérdés megválaszolásakor azt kaptuk, hogy a váltót érdemesebb leszámítoltati. A váltóhoz hasoló az elemi kötvéyek matematikája is, eek árfolyamszámítását majd az alfejezetbe ézzük meg. Az előleges kamatszámítással kapcsolatos Excel függvéyek a következők: 1. Fejezet - A péz időértéke

19 =DISC(árfolyamszámítás apja, lejárat, árfolyam, évérték, kamatfizetési mód) =PRICEDISC(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, bakári diszkot, évérték, kamatfizetési mód) =RECEIVED(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, bakári diszkot, kamatfizetés módja) =INTRATE(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, évérték, kamatfizetési mód) =YIELDDISC(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, évérték, kamatszámítási mód) =TBILLEQ(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, bakári diszkot) =TBILLPRICE(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, bakári diszkot) =TBILLYIELD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe Napi kamatszámítás módszerei Az egyszerű kamatszámítás egy ige gyakra haszált területe a api kamatszámítás, amely a látra szóló számlák esetébe haszálatos főleg. A baküzembe ezeket a számításokat már számítógépek végzik, mégis az egyes eljárások logikáit érdemes megismerük. A api kamatszámítás esetébe 3 módszert szoktak alkalmazi: A fokozatos (vagy egyeleg) módszert, a progresszív és a retrográd kamatszámítást. A három eljárást egy egyszerűsített példa segítségével vizsgáljuk meg Példa Egy vállalat elszámolási betétszámlájáak I. egyedéves forgalmi adatait, yitóés záróállomáyát az alábbi táblázat tartalmazza. Az elszámolási betétszámla kamata évi 3%. A számolás sorá a fracia kamatszámítási módszert alkalmazzuk. Meyi a számlá jóváíradó kamat az I. egyedév végé? 21 Dátum Forgalom iráya Forgalom összege Nyitóegyeleg jauár 1.-é jauár 5. befizetés jauár 24. kifizetés február 12. befizetés március 14. kifizetés Záróegyeleg március 31.-é dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

20 22 A számítást megköyítedő az egyszerű kamatszámítás képletét kétfelé botják. t0 K1 = - eek az összegek a eve kamatszám 100 t0 p Kamat = K2 = - eek az összegek a eve kulcsszám. p A émet és fracia kamatszámítás esetébe 360, agol esetbe 365 szerepel a számlálóba. Ahol t 0 az összeg, p a kamatláb százalékos alakba, a aptári apok száma. Belátható, hogy a kamat összege a kamatszám és a kulcsszám háyadosa. A kulcsszám a egyedév folyamá em változik, (ha ige ki kell számoli az időaráyos kamatot). A kulcsszám példákba 360 harmada, azaz 120. Most ézzük a három eljárást Fokozatos (egyeleg) módszer A kamatszám kiszámítása előtt ábrázoljuk a számlaegyeleget az idő függvéyébe. A folyószámla egyelegét az 1.6. Ábra mutatja Ábra 1. Fejezet - A péz időértéke

21 23 Ezer Ft I.01. I.31. II.28. III.31. Idő Az 1.6. Ábrá a ferdé bevoalkázott terület potosa a kiszámítadó kamatszám 100 szorosa lesz. A fokozatos módszer logikája az, hogy mide egyes tétel esedékessége utá egyeleget készíteek, és ezt az egyeleget a következő tétel esedékességéig, az időszak utolsó egyelegét pedig a zárásig kamatoztatják. Azaz egyszerűbbe, külö - külö kiszámolják a számokkal jelölt téglalapok területét, osztják 100-zal, majd az időszak végé a téglalapok területeit összeadják, így megkapják a kamatszámot. Nézzük ezt a mi esetükbe Táblázat Dátum (1) (2) Összeg (3) Egyeleg (4) Napok száma (5) (1 +1 )-(1) Kamatszám (4)*(5)/ jauár 5. befizetés jauár 24. kifizetés február 12. befizetés március 14. kifizetés Összese Kamatszám A kamat összege = = 167 Kulcsszám 120 Tehát a egyedév végé 167 Ft betéti kamat illeti meg a Kisforgalmú Kft. evű vállalatot. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

22 Progresszív módszer Az egyeleg módszer eljárása ige egyszerűek tűik, azoba a számítógép yelvére már ige körülméyes lefordítai. Képzeljük csak el, az új forgalmi tétel beérkezésekor a számítógépek először ki kell keresie, mikor volt az utolsó köyvelés az adott számlá, végigkeresve egy agyobb bakfiók esetébe több millió rekordot. A programak a midekori számlaegyeleget is tárolia kell. A kapott dátumot ki kell voia a jelelegi dátumból és meg kell ezt szorozia a korábbi egyeleggel és osztaia 100-zal. Ez egy forgalmi tétel esetébe égy külöböző művelet. A fokozatos módszer alkalmazása ige lelassítaá a redszer működését. A progresszív módszer működéséhez viszot csak a forgalom agyságát és a forgalmi tétel időpotját kell ismerük. Ezer Ft I.01. I.31. II.28. III.31. Idő 1.7. Ábra A módszer léyege, hogy a forgalmi tételeket és a yitóállomáyt az esedékességüktől a zárásig kamatoztatják és záráskor a kamatszámok egyelegéből, számítják a kamatot a következő képlet alapjá: Ny + K T, ahol Ny = yitóegyeleg kamatszáma K = követel forgalmak kamatszámösszege T = tartozik forgalmak kamatszámösszege. 1. Fejezet - A péz időértéke

23 Ha az egyes tételeket a zárásig kamatoltaták, az olya, mitha a forgalom összegével aráyos szélességű és az esedékességtől a zárásig tartó téglalapok területét számolák ki. (lásd 1.7. Ábra). Ha összeadjuk az 1., a 2. és a 4. téglalap területét és 25 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

24 26 levojuk belőle a tartozik forgalmak 3. és 5. területét megkapjuk a keresett geometriai ábra területét, ami a kamatszám 100 szorosa. Más szóval a bevoalkázott területből levojuk azt a területet, ami keresztiráyba is be va voalkázva. A módszer elevezése tehát em értékítéletet tükröz, haem csak azt mutatja, hogy a kamatot egy jövőbeli időpotra vetítve számoljuk ki. Nézzük meg a számítás meetét példák esetébe: 1.3. Táblázat dátu m (1) forgalom (2) ap (3) (1) k.szám (4)=(3)*(2) 100 dátum (5) forgalom (6) ap (7) (5) k.szám (8)=(7)*(6) 100 yitó I I II III Kamatszám = = A továbbiakba a számítás meete a fokozatos módszerél már tárgyaltakkal egyezik meg Retrográd módszer A retrográd módszer léyegét legegyszerűbbe úgy fogalmazhatjuk meg, hogy potosa az elletéte a progresszív módszerek. Mide tételt visszadiszkotáluk az időszak elejére. Záráskor a tartozik és követel tételek egyelegét és a záráskori egyeleget felkamatoljuk a teljes időszakra. A probléma megoldása grafikailag ábrázolva (1.8. Ábra) az, hogy kiszámoljuk a forgalom agyságával azoos szélességű és a yitástól a forgalom időpotjáig tartó téglalapok területét, majd a téglalapok területéből kiszámoljuk a kamatszámot. Az 5-ös, 4-es és 2-es téglalapok területéből levojuk a 3-as és 1-es téglalapokat. A képlet a következő: Z + T K Ahol Z = záróegyeleg kamatszáma, K = követel forgalmak kamatszámösszege, T = tartozik forgalmak kamatszámösszege. 1. Fejezet A péz időértéke

25 Ábra Ezer Ft I.01. I.31. II.28. III.31. Idő Nézzük, hogya éz ez ki a gyakorlatba: 1.4. Táblázat dátum (1) forgalom (2) ap (3) (1) k.szám (4)=(3)*(2) 100 dátum (5) forgalom (6) ap (7) (5) k.szám (8)=(7)*(6) 100 I I II III záró Kamatszám = = A továbbiakba a számítás meete a fokozatos módszerél már tárgyaltakkal egyezik meg A járadékköz, vagy a kamatfizetés gyakorisága rövidebb, mit egy év Ha a kamatfizetési periódus és egész számú többszörösei megegyezek a betét lejáratával a kérdés az, hogy a kamat hozzácsapódik-e a tőkéhez. Ha hozzácsapják a kamatos kamat képletével lehet számoli. Eek képlete: (1.29.) FV = PV 1 + r m dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

26 28 Ahol FV - a betét felvételekor kapott összeg, PV - a betét összege, r - a kamatláb, - a betét futamideje alatt a kamatelszámolások száma, m - egy évbe a kamatelszámolások száma. A kamatlábat csak akkor kell osztai m -mel, ha a kamatfizetési periódus rövidebb, mit egy év. Mivel a kamatlábat éves szite adják meg, egy kamatfizetési periódusba csak r/m kamatot írak jóvá Példa Mekkora összeget vehetük fel 1 év múlva, ha elhelyezük 100 ezer foritot 10%-os kamatláb mellett egy olya bakbetétbe, ahol a kamatokat egyedévete számolják el és hozzácsapják a tőkéhez? (folyamatos lekötésű bakbetét) Tételezzük fel, hogy a kamatláb a futamidő alatt em változik! 4 r 0,1 (1.30.) FV = PV 1 + = = m 4 Látható, hogy a gyakoribb kamatelszámolás miatt az éves hozam em 10%, haem több ( / =10,38%). Az elérhető hozamot tehát emcsak a kamat agysága, haem a fizetési gyakoriság is befolyásolja. Miél gyakrabba fizetek kamatot, aál agyobb az éves szite számolt hozam, ha mide más feltétel változatla marad. Oldjuk meg ezt a példát most úgy, hogy a kamatot évete, félévete, egyedévete, havota és végtele gyakorisággal számolják el. A számítások végeredméyét az 1.5-ös táblázat mutatja: 1.5. Táblázat Gyakoriság Képlet Év végi érték (FV) Hozam (FV/PV-1) (m) ezer foritba %-ba 1 1 0,1 110,00 10,00 FV = ,1 110,25 10,25 FV = ,1 110,38 10,38 FV = ,1 110,47 10,47 FV = Végtele??? 1. Fejezet A péz időértéke

27 A táblázatból látható, hogy a realizált hozam övekszik a kamatfizetési gyakoriság övekedésével, de a övekedés degresszív. Va-e a övekedések határértéke? A válasz ige, és a természetes szám (e 2,72) segítségével a probléma megoldható. Ha "m" és "" megegyezik, azaz potosa egy évyi hozamot vizsgáluk, akkor: r r (1.31.) FV = PV lim 1 + = PV e Az e r -t kamaterőek is evezik. A kamaterő megmutatja, hogyha végtele gyakorisággal számoltuk vola el az adott éves r hozam időaráyos részét, pézük 1 év alatt háyszorosára övekedett vola. Behelyettesítve az es képletbe példák adatait, kapjuk: r 0,1 (1.32.) FV = C0 e = 100 e = 110, 52 Azaz, a hozam 10,52%, ami em áll messze a havi kamatfizetési gyakoriság mellett kapott 10,47%-os hozamtól. Ezért alacsoy kamatlábak mellett alkalmazható az a hüvelykujj-szabály, hogy havi gyakoriság fölött a kamaterő képletét alkalmazzák a téyleges éves hozam meghatározásához. A téyleges kamatszámítással kapcsolatos Excel függvéyek a következők: =EFFECT(omiális kamatláb, éves kamatfizetési gyakoriság) =NOMINAL(effektív kamatláb, éves kamatfizetési gyakoriság) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe A vegyes kamatszámítás A lekötési idő azoba em feltétleül egész számú többszöröse a kamatfizetés gyakoriságáak. Továbbá lehetséges, hogy a lekötés időpotjától függetleül a kamatfizetés időpotja bizoyos dátumokhoz va kötve (ez a helyzet a látra szóló betétek esetébe). Ebbe az esetbe a vegyes kamatszámítás képletét kell alkalmazi, ami kombiálja az egyszerű és a kamatos kamatszámítás képleteit. A kamatfizetési periódusok szempotjából tört időszakba az egyszerű, míg az egész időszakokba a kamatos kamatszámítás képleteit alkalmazzuk, és a tagokat összeszorozzuk egymással. A vegyes kamatszámítás általáos képlete a következő: N r m Ahol FV - a betét felmodásakor kifizetett összeg, C 0 - a betét összege, r - a kamatláb, N - a betét futamideje alatt a teljes kamatperiódusok száma, m - egy évbe a kamatelszámolások száma, 1 - a betét elhelyezésétől az első kamatelszámolásig eltelt idő évbe, (1.33.) FV = C ( 1 + r ) 1 + ( + r ) 29 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

28 az utolsó kamatelszámolástól a betét felmodásáig eltelt idő évbe Példa Tételezzük fel, hogy április 10.-é egy 100 ezer foritos betétet helyezük el egy olya számlára, amelyre mide hóap végé fizetik ki a kamatot. Mekkora összeget vehetük fel szeptember 18-á a számláról? Haszáljuk a émet kamatszámítási módszert! A émet kamatszámítás esetébe az év apjaiak száma 360 és mide hóap 30 apos. Áprilistól szeptemberig 4 egész hóapig volt lekötve a péz (május, júius, július, augusztus, azaz N=4), április 10-től 30-ig 20 ap, szeptember 1.-től 18-ig 18 ap telt el. Behelyettesítve az as képletbe, kapjuk: ,1 18 (1.34.) FV = , ,1 = 104, A vegyes kamatszámítás eredméyét a kamatos kamatszámítás képletével is közelíthetjük, ha megegedjük, hogy értéke e csak természetes szám legye. Az értéke 158/360 lesz, mivel eyi évig volt lekötve a betét. 158 (1.35.) FV = PV ( 1+ r) = 100 1,1 360 = 104,271 A kamatos kamatszámítás éve belüli esetbe alábecsli a téylegese kapott kamat agyságát. A kamatszámítások összefoglalását a 1.9. Ábra mutatja: 1.9. Ábra A kamatszámítás esetei Kamatelszámolás hosszabb, Betét futamideje megegyezik, mit a betét futamideje vagy egész számú többszöröse a kamatelszámolási időek Egyéb eset Kamatot elszámolási számlá írják jóvá Kamatot a tőkéhez csapják Kamatot a tőkéhez csapják Egyszerű kamatszámítás Kamatos kamatszámítás Vegyes kamatszámítás Auitások jele- és jövőértékéek kiszámítása évesél gyakoribb járadékköz eseté 1. Fejezet A péz időértéke

29 Az életbe agyo gyakra találkozuk havi vagy egyedéves auitásokkal. A lakáshiteleket és a személyi hiteleket általába havi auitás formájába törlesztik, hasolóa a uit-liked életbiztosítások törleszőrészlete is egyedéves vagy havi gyakoriságú Példa Egy lakás-takarékpéztártól az egyik tag 1,2 millió forit hitelt vett fel 6%-os fix kamattal 4 éves futamidővel. A hitelt havi egyelő részletekbe (auitás) törleszti az adós. Mekkora lesz a törlesztőrészletek agysága, ha a hitel törlesztése a hóap elejé esedékes? A példa a törlesztő auitás alkalmazása, csak most a járadéktag a kérdés. Redezzük át az 1.15-ös képletet "c"-re! (1.36.) PV = c ( 1+ r) r ( 1+ r) 1 c = PV AF r ( 1+ r) ( 1+ r) 1 = PV r, Ahol PV - a hitel összege, r - a havi időaráyos hitelkamatláb, - a törlesztőrészletek száma, c a járadéktag agysága. Határozzuk meg a havi időaráyos kamatlábat! Az egyszerűbb módszer az, hogy az éves szite meghatározott kamatlábat osszuk a fizetések gyakoriságával, jele esetbe 12- vel. Ekkor a havi kamatláb (r) 0,5% lesz. (6%/12=0,5%) A törlesztőrészletek száma 12*4=48 lesz. Behelyettesítve az 1.36-os képletbe, kapjuk: (1.37.) c = PV r ( 1+ r) ( 1+ r) 48 0,005 1,005 = ,005 1 = 28,18 A havi törlesztőrészlet 28,18 ezer forit lesz. Ez az adat akkor igaz, ha a havota számolják el a hitelkamat időaráyos részét és a törlesztőrészlet a hó végé esedékes. A feti számításak két problémája va. Az első az, hogy az 1.36-os képlet a pézáramok jeleértékét egy járadékközzel az első járadéktag esedékessége előtt értelmezi. A törlesztőrészletek azoba a hóap elejé esedékesek. Ha a hitel törlesztését az időszak elejé kezdik meg, a következő egyeletet kell megoldauk: ( 1+ r) 1 PV c = r ( 1+ r) AFr ( 1+ r) ( 1+ r) ( 1+ r) 1 r (1.38.) PV ( 1+ r) = c = PV, Behelyettesítve az 1.38-as képletbe, kapjuk: 1 47 r ( 1+ r) 0,005 1,005 (1.39.) c = PV = = 28,04 48 ( 1+ r) 1 1,005 1 A végeredméy hó eleji törlesztésél 28,04 ezer forit lesz dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

30 32 A másik god abból adódik, hogy az előzőekbe láthattuk, hogy a kamatfizetési gyakoriság övekedésével a téyleges kamatláb övekszik. Az éves 6%-os hozam em ugyaaz, mit a havi 0,5%-os hozam. Éves szite a hitel téyleges kamatlábát az es képlet segítségével kapjuk: m 12 r 6% (1.40.) r eff = = = 6,17% m 12 Ahol r eff - a hitel téyleges kamatlába, r - a hitel éves évleges kamatlába, m - a kamatfizetés gyakorisága 1 év alatt. Az effektív (téyleges) hozam megmutatja, hogy az adott éves hozam időaráyos részét meghatározott gyakorisággal elszámolva, háy %-al ő egy év alatt a befektetett összeg. A pézitézet a gyakoriság övelésével tehát a valóságba 6,16%-os hozamot realizál. Eek feltétele, hogy a kapott törlesztőrészleteket is 6%-kal folyósítsa ki. Ha tudi szereték, hogy mekkora törlesztőrészlet mellett ére el potosa 6%-os hozamot a takarékpéztár, először az időaráyos kamatot kellee kiszámoluk az es képlet átredezésével: m (1.41.) r eff = ( 1+ r *) 1 r* = m ( 1+ reff ) 1 Ahol r* - a járadékközre értelmezett kamatláb, amelyél az éves meghirdetett kamatot éri el a befektető. Behelyettesítve az 1.41-es képletbe, kapjuk: (1.42.) r * = m ( 1+ r ) 1 12 eff = 1,06 1 = 0,487% A 6%-os téyleges évi hozamak megfelelő havi kamatláb tehát em 0,5%, haem 0,486% lesz. A kapott kamatlábat az as képletbe behelyettesítve, kapjuk: 47 0, ,00487 (1.43.) c = = 27, , A törlesztőrészlet akkor, ha a törlesztőrészletek a hóap elejé esedékesek és a takarékpéztár éves szite csak 6%-os téyleges hozamot akar eléri, 27,96 ezer forit lesz. Nézzük most egy példát gyűjtő auitásra! Példa Egy biztosítótársaság 18 éves biztosítás részére miimum 2%-os reálhozamot garatál. A biztosított vállalja, hogy mide egyedév elejé 20 ezer foritot fizet be a társaságak, melyből a költségek levoása utá 15 ezer forit öveli megtakarításait. Az ifláció aráyába a befizetések is övekedek. Mekkora összegre lesz jogosult a biztosított a 18. év végé? 1. Fejezet A péz időértéke

31 Először tisztázi kell, hogy az éves 2%-os reálhozamot éves szite értelmezik, vagy időaráyos részét egyedévete számolják el. Tételezzük fel ez előbbit. Ekkor az időaráyos hozamot az 1.41-es képlet segítségével határozhatjuk meg. (1.44.) r * = m ( 1 + ) 1 = 4 1,02 1 = 0,496% r eff Az időszakok száma 4*18=72 lesz. Behelyettesítve az es képletbe és utáa megszorozva a kapott értéket 1+r-el, mivel az időszak végi értékre vagyuk kívácsiak, kapjuk: ( 1+ r) , (1.45.) FV = c ( 1+ r) = , r 0,00496 A biztosítottak körülbelül 1,3 millió foritja lesz reálértékbe. Ha a 2%-os reálhozam időaráyos részét egyedévete elszámolják, akkor a egyedéves hozam 0,5% lesz. Ekkor: 72 1,005 1 (1.46.) FV = , ,005 A reálérték durvá 2 ezer forittal őtt A törlesztő auitások tőke és kamattartalmáak elkülöítése Auitásokál fotos lehet a tőke és a kamattörlesztések elkülöítése, ugyais a tőkét em, viszot az esedékes kamatterhet a vállalkozások költség terhére elszámolhatják. Így az auitás két részéek köyvviteli elszámolása más. A potos elkülöítés a vállalkozás számára azért léyeges, mivel a kamat költséget övel, így adóalapot csökkető tétel. Természetese a magászemélyek számára is fotos lehet a külöbségtétel, ha a hitel kamatterhéhez állami támogatás, vagy adókedvezméy kapcsolódik. A tőke- és kamattörlesztés elválasztása akkor is fotos, ha az adós fizetésképteleé válik. A bakak ekkor tisztába kell leie feálló követelése agyságával, amit úgy kapuk, hogy a yújtott hitel összegéből a törlesztett évjáradékok tőketartalmát levojuk. Egy járadéktago belül a tőkerészlet agyságát az alábbi képlettel számolhatjuk ki: k 1 (1 + r) r (1.47.) P = PV (1 + r) 1 Ahol r - a kamatláb, k - a járadéktag sorszáma, - az összes járadéktag száma, PV - a hitel összege, P - a k-dik törlesztőrészlete belül a tőkerész agysága. (Pricipal) A kamatrészt pedig úgy kapjuk, hogy a járadéktagot kiszámoljuk az 1.16-os képlettel és kivojuk belőle a tőkerészt Példa 33 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

32 34 Egy vállalkozás 1 MFt hitelt vesz fel, melyet 5 éve keresztül évi egyelő részletekbe törleszt. A törlesztőrészletek mide év végé esedékesek. Mekkora az egyes évekbe a tőke- és kamatrészletek agysága, ha a hitel kamatlába 30%? Számoljuk ki először a járadéktag agyságát. Behelyettesítve a képletbe: ( 1 + r) ( 1 + r) 5 r 1,3 0,3 (1.48.) c = PV = = ,3 1 Most számoljuk ki modjuk a harmadik törlesztőrészletet. Behelyettesítve az es képletbe: k 1 2 (1 + r) r 1,3 0,3 (1.49.) P = PV = = (1 + r) 1 1,3 1 Tehát a harmadik törlesztőrészlet 187 ezer forittal csökketi a feálló hitelállomáyt. A járadéktag kamattartalmát megkapjuk, ha az évjáradékból a tőkerész agyságát levojuk. A kamat agysága: = Ft. A hitel futamideje sorá a tőke- és kamatrészletek aráyát az 1.6. Táblázat mutatja: 1.6. Táblázat Évek száma: Törlesztőrészlet Ft Ft Ft Ft Ft Kamatrészlet Ft Ft Ft Ft Ft Esetekét az is érdekes lehet, hogy egy meghatározott időszak alatt mekkora tőkerész kifizetése törtét. Eek kiszámítása a következő képlettel törtéik: (1.50.) ( + r) ( 1+ r) m k + [( 1+ r) 1] k P m, k = PV 1 Ahol r - a kamatláb, k az első járadéktag sorszáma, m az utolsó járadéktag sorszáma, - az összes járadéktag száma, PV - a hitel összege, P m,k - a k-adiktól az m-edik törlesztőrészletbe visszafizetett tőkerész agysága Példa Egy magászemély 3 millió forit lakáshitelt vett fel egy hitelitézettől 10 éves lejáratra. Számítsa ki az egyes évekbe visszafizetett hitel agyságát, és az év végé 1. Fejezet A péz időértéke

33 feálló tartozás összegét, ha a kamatláb a futamidő végéig rögzített, évi 8% és más költséget a bak em számol fel. A kamatelszámolás és a törlesztés havota esedékes. A havi kamat 8%/12=0,667% lesz. Az időszakok összes száma 10*12=120. Először számoljuk ki a törlesztőrészlet agyságát! (1.51.) c = PV ( 1+ r) ( 1+ r) 120 r 1,0067 0,0067 = , Az egyes évekbe törlesztett hitelagyságokat és az év végé feálló tartozás agyságát a 1.7. Táblázat mutatja: 1.7. Táblázat adatok ezer foritba Évek Törlesztés Feálló hitelállomáy Kamatfizetés Évete fizetedő Például a 2. évbe törlesztett hitelállomáyt a következőképpe számolom ki: (1.52.) k 1 12 ( 1+ r) m k + 1 1, P m, k = PV [( 1+ r) 1] = [ 1,0067 1] = ( 1+ r) 1 1, A havi törlesztőrészletek sorszáma a 2. évbe 13-mal (k) kezdődik és 24-gyel (m) ér véget. A kamatfizetés az évjáradék 12 szerese és a kiszámított tőketörlesztés külöbsége. A feálló hitelállomáyt úgy kapom, hogy az előző évi hitelállomáyból kivoom az adott évi törlesztést. A törlesztő auitások tőke és kamattartalmáak elkülöítésére alkalmas Excel függvéyek a következők: =CUMPRINC(kamatláb, törlesztőrészletek száma, jeleérték, kezdő periódus, végső periódus, típus) =CUMIPMT(kamatláb, törlesztőrészletek száma, jeleérték, kezdő periódus, végső periódus, típus) =RRÉSZLET(kamatláb, időszak, törlesztőrészletek száma, jeleérték, jövőbei érték, típus) =PRÉSZLET(kamatláb, időszak, törlesztőrészletek száma, jeleérték, jövőérték, típus) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe. 35 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

34 Évjáradék jövőértéke, ha kamatelszámolás csak a futamidő végé va Ha em törtéik kamatelszámolás, gyakorlatilag csak a befizetett tőkékre kell kamatot számoli, mégpedig a bakba való lekötésükkel aráyosa. Ez azt jeleti, hogy az egyes törlesztőrészletekek egyekét ki kell számoluk a jövőértékét az egyszerű kamatszámítás képletével, majd össze kell őket adi. A képletet akkor haszálhatjuk, ha a pézáram futamideje egy évél kisebb, és a befizetésekkor kamatelszámolás em törtéik, csak a betét felmodásakor. Jelöljük c -vel az álladó befizetések agyságát, -el a befizetett összegek számát, r -rel az éves kamatlábat, m -mel az évbe előforduló kamatfizetési gyakoriságot! Vegyük észre, hogy a befizetések kamatai számtai sorozatot alkotak! 1 1 ( + 1) (1.53.) fv = c 1 + r i r = c + r m m m 2 m Ahol c - járadéktag agysága, - járadéktagok száma, m - a befizetés évi gyakorisága, r - éves kamatláb, fv a em kamatozó auitás jövőértéke. Kis fv -vel azért jelöltem a jövőértéket, hogy ezzel is kifejezzem, hogy itt a em kamatozó auitás jövőértékét számolom ki Példa Mide hóap elejé március 1-től tegyük be a bakba Ft-ot! Mekkora lesz a felövekedett érték december 31-é. A kamatláb legye 20%! ( + 1) 110 (1.54.) fv = c + r = , m 24 Azaz, ha mide hóap elejé befizetük Ft-ot, akkor a betét felmodásakor Ft-ot kapuk. Ebből 50 ezer foritot tesz ki a befizetett összeg agysága, Ft-ot a kamat összege Lejáratos kötvéyek árfolyamszámítása A külöböző értékpapírok esetébe általába két dologra vagyuk kívácsiak. Vagy adott hozamelvárás esetébe keressük azt a maximális árfolyamot, amelye még megvásárolák az adott értékpapírt (árfolyamszámítás), vagy adott árfolyam mellett azt a hozamrátát keressük, amivel ha az árfolyamak megfelelő összeget befekteték, éppe az értékpapír pézáram-sorozatát kapák eredméyül (hozamszámítás). Ebbe a részbe csak az árfolyamszámítással foglalkozuk. A hozamszámítás külöböző eseteit a Portfóliókezelés fejezetbe fogjuk tárgyali. Az elemi értékpapírok matematikája a váltóéval egyezik meg. Ebbe a részbe a több kifizetést teljesítő papírok árfolyamszámításával foglalkozuk. 1. Fejezet A péz időértéke

35 Azt a maximális árfolyamot, melye még hajladók vagyuk megvásároli az adott értékpapírt, az értékpapír belső értékéek evezzük. Egy értékpapír (és bármely vagyotárgy) belső értéke az adott értékpapír pézáramaiak jeleértékösszege. A belső érték számításáak általáos képlete, tehát megegyezik a jeleérték-számítás általáos képletével. C (1.55.) PV = i i i= 1( 1+ r) Ahol PV - az értékpapír belső értéke, - az értékpapírból származó pézáramok darabszáma, i - futóidex 1-től -ig, C i - i-dik időpotba esedékes pézáram, r - adott értékpapírtól elvárt hozam Példa A 2003/I jelű államkötvéyt július 23-á bocsátották ki fix 13%-os kamat mellett. A kötvéy július 24-é jár le és félévete fizet kamatot, július 24-é és jauár 24-é. Mekkora a kötvéy belső értéke október 10-é, ha a befektető által elvárt hozam 9%? A kötvéy pézáramát a Ábra mutatja: Ábra A kötvéyszámítás problémája 37 Árfolyamképletbe beszámított pézáramok Kibocsátás PV=? Jele helyzetük Visszaváltás Keresett árfolyam A pézáramsor egy olya fix kamatozású kötvéyre jellemző, mely egy összegbe lejáratkor fizeti vissza a tőkerészt. A belső értéket csak a még ki em fizetett pézáramok határozzák meg. Az ábráról leolvasható, hogy 6 kamatot és a tőkerészt em fizették még ki. A kötvéy árfolyamát általába a évérték százalékába szokták megadi, két dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

36 38 tizedesjegy potossággal. Az 1.55-ös képletet alkalmazva a fix kamatozású kötvéy esetére a következő képletet kapjuk. (1.56.) PV ( 1+ r) 1 100% r ( r) + 1+ ( + r) 1 100% = c + = c AF k r, + N DFr, = c k = 1(1 + r) (1 + r) 1 Ahol c - kötvéykamatlába %-ba, r - a befektető által elvárt hozam, - a kamatfizetések száma, AF r, - auitásfaktor adott r és eseté, DF r, - diszkotfaktor adott r és eseté, N kötvéy évértéke, PV - a kötvéy belső értéke a következő kamatfizetés előtt egy járadékközzel. Az összeg első tagja a kamatok jeleértékét, míg a második a kötvéy tőkerészéek jeleértékét testesíti meg. Mivel mide kamatfizetés azoos agyságú, ezek auitást alkotak, és jeleértéküket megkapjuk, ha a kamatlábat megszorozzuk az auitásfaktorral. A képlet a kötvéy árfolyamát egy járadékközzel a következő kamatfizetés előtt mutatja meg. Példákba a következő kamatfizetés é esedékes, így a képlet a július 24-i árfolyamot fogja megadi. A képlet alkalmazásához meg kell határozi az időszaki (féléves) elvárt hozamot. Ez az es képlet szerit: (1.57.) r * = m ( 1 + ) 1 = 1,09 1 4,4% r eff Behelyettesítve az 1.56-es képletbe kapjuk: (1.58.) PV = c ( 1+ r) r ( 1+ r) ( 1+ r) 6 1,044 1 = 6,5 6 0,044 1, , ,87 A kötvéy árfolyama a évérték 110,87%-a lett vola , ha az elvárt hozam ebbe az időpotba évi 9% lett vola. A 110,87% a 2003/I kötvéy ettó árfolyama. A kötvéy ettó árfolyama megmutatja, hogy mekkora a kötvéy belső értéke egy járadékközzel a következő kamatfizetés előtt, ha a jeleleg érvéyes elvárt hozammal számolák. A feladattal még em vagyuk késze. Ugyais az árfolyamot em júliusra, haem október 10-re szereték meghatározi. A potos árfolyam meghatározására több megközelítés áll a redelkezésükre Felhalmozott kamat számítása 1. Fejezet A péz időértéke

37 A kamatfizetés utá a kötvéy árfolyama potosa a kifizetett Ábra kamat agyságával csökke, ha A felhalmozott kamatszámítás mide más feltétel változatla marad. Az idő múlásával a Kiszámítadó felhalmozott kamat következő kamatfizetés fokozatosa beépül az árfolyamba. Kamat A felhalmozott kamatszámítás agysága feltételezi, hogy ez a beépülés (6,5%) X folyamatos és egyeletes. A megközelítést a Ábra mutatja. Az egyelő szárú háromszögek Utolsó kamatfizetéstõl törvéyéből következik, hogy a eltelt idõ keresett X úgy aráylik az utolsó Két kamatfizetés között eltelt idõ - járadékköz kamatfizetéstől eltelt időhöz, ahogy (fél év) a kamat agysága aráylik a járadékközhöz. A feálló egyees aráyosságot X-re redezve megkapjuk a felhalmozott kamat agyságát. c c t (1.59.) X = X = t T T Ahol c - járadékközökét kifizetett kamat agysága, T - járadékköz hossza, t - utolsó kamatfizetéstől az árfolyamszámításig eltelt idő, X - felhalmozott kamat agysága. Az utolsó kamatfizetés július 24-é volt. Október 10-ig 78 ap telt el. 7 a júliusból + 31 (augusztus) + 30 (szeptember) + 10 (október) július 24-től jauár 24-ig 184 ap telik el. ( ). Behelyettesítve az 1.59-es képletbe kapjuk: c t 6,5% 78 (1.60.) X = = = 2,76% T 184 Ha a felhalmozott kamatot hozzáadjuk a ettó árfolyamhoz, akkor a bruttó árfolyamot, a október 10-i belső értéket kapjuk. Eek értéke 110,87%+2,76%=113,63% lesz Behelyettesítés az általáos jeleérték képletbe A ettó árfolyam és a felhalmozott kamatszámítás algoritmizálása meglehetőse boyolult. Főleg számítógépes felhaszálás számára egy közelítő képletet alkalmazak, amikor is beviszik az egyes pézáramok agyságát és esedékességét és ezeket az értékeket az általáos képlettel diszkotálják le a jele időpotra. Ebbe az esetbe a hatváykitevő értéke emcsak egész szám lehet. Képlettel: 39 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

38 40 (1.61.) C PV = i, i R i i= 1( 1+ r) Ahol C i - az értékpapír i-dik időtartam múlva esedékes pézárama, - az értékpapír kifizetéseiek száma, r - az értékpapírtól elvárt éves hozam. Alkalmazzuk a képletet az 1.14-es példa adataira. A pézáramok agyságát, az október 10-től eltelt idő agyságát és a diszkotfaktort az 1.8. táblázat tartalmazza: 1.8. Táblázat A 2003/I. államkötvéy árfolyamszámítása Sorszám Pézáram 6,5% 6,5% 6,5% 6,5% 6,5% 106,5% Esedékesség (ap) Diszkot-faktor* 0,975 0,934 0,895 0,857 0,821 0,787 Jeleérték 6,34% 6,07% 5.82% 5,57% 5,34% 83,77% Belső érték 112,90% *A diszkotfaktort például a 4. pézáram esetébe a következőképpe kapom: 1 1 (1.62.) DF = 0,857 i 652 ( 1 ) + r 1, A jeleérték a diszkotfaktorok és a pézáramok szorzatakét adódik. A belső érték pedig a jeleértékek összege. Látható, hogy a kapott érték kisebb, mit az előző esetbe kapott. A külöbség jeletős 113,63-112,90=1,73%. A külöbség oka, hogy a féléves kamatfizetési gyakoriság miatt a 9% alkalmazása felfelé becsüli a hozamot. Aak érdekébe, hogy potosabb értéket kapjuk, számoljuk ki a 9%-os éves hozamak megfelelő féléves kamatlábat és azt szorozzuk meg kettővel, az 1.63-as képlet szerit. ( ) m (1.63.) r* m ( 1+ r ) = eff 1 Ahol r eff - az éves elvárt téyleges hozam, m - a kamatfizetések gyakorisága évete, r* - az 1.56-ös képletbe alkalmazadó kamatláb. Behelyettesítve az 1.63-as képletbe kapjuk: (1.64.) r m ( 1+ r ) ( 1) = ( 1,09 1) 2 8,8% * = m = eff A 8,8%-os kamatlábbal újraszámoljuk az 1.14-es példát. Az eredméyeket az 1.9-as táblázat tartalmazza Táblázat 1. Fejezet A péz időértéke

39 A 2003/I. államkötvéy árfolyamszámítása a korrigált kamatlábbal Sorszám Pézáram 6,50% 6,50% 6,50% 6,50% 6,50% 106,50% Esedékesség (ap) Diszkotfaktor 0,976 0,936 0,897 0,860 0,824 0,790 Jeleérték 6,34% 6,08% 5,83% 5,59% 5,36% 84,18% Belső érték 113,39% A külöbség jeletőse csökket. Már csak 113,63%- 113,39%=0,24%. A külöbség magyarázata az egyszerű és a kamatos kamatszámítás eltérésébe jeletkezik. A kamatos kamatszámítás expoeciálisa öveli a hozamot, ami éve belüli pézáramok esetébe alacsoyabb, éve túli pézáramok esetébe pedig agyobb értéket ad, mit az egyszerű kamatszámítással kapott érték. A külöbség éve belül akkor a legagyobb, ha az Ábra Egyszerű és kamatos kamatszámítás összehasolítása Kifizetedõ kamat (K) PV*r Kamatos kamatszámítás [( 1 ) 1] K = PV + r t árfolyamszámítás időpotja éppe felezi a járadékközt. Az eltérő viselkedést a Ábra szemlélteti. Látható, a képletekből, hogy a két kamatszámítás akkor ad azoos eredméyt, ha az időtartam potosa 1 év (t=1). Az általuk kapott bruttó árfolyamból most is levohatjuk az es alfejezetbe kiszámított felhalmozott kamatot, akkor megkaphatjuk a ettó árfolyamot. Az új ettó árfolyam 113,39-2,76=110,63 lesz A potos árfolyam A felhalmozott kamat folyamatos hozzáadása az árfolyamhoz kicsit torzképet ad, mivel em veszi figyelembe azt, hogy az árfolyam kokrét alakulását az elvárt hozam határozza meg. Ha az elvárt hozam alacsoyabb, mit a kötvéy kamatlába, akkor az 1. változat által kapott érték felülbecsüli az árfolyamot. A ettó értéket ugyais a téyleges időpotál korábbi értékre számítja, így a jeleértékösszeg agyobb lesz, mitha a téyleges időpotra diszkotálák. Ha az elvárt hozam magasabb, mit a kötvéy kamatlába, az 1. változat alábecsüli a kötvéy belső értékét. Ha a potos értéket akarjuk megtudi, a vegyes kamatszámítást kell alkalmazuk. A számítás meetét az Ábra szemlélteti. 1 év Egyszerű kamatszámítás K = PV r t Idő (t) 41 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

40 Ábra A kötvéyszámítás problémája Árfolyamképletbe beszámított pézáramok Kibocsátás A számítás meete a következő: Először kiszámoljuk a kötvéy árfolyamát a következő kamatfizetés időpotjába (2001. jauár 24.) az 1.56-os képlettel, ami kamatos kamatszámításo alapul, és a kötvéy ettó árfolyamát számolja ki a következő kamatfizetés időpotjába. A kapott ettó árfolyamhoz hozzáadjuk az esedékes kamatot (6,5%). A kapott összeget már az egyszerű kamatszámítás képletével visszadiszkotáljuk a keresett időpotra (2000. október 10.). A számítás figyelembe veszi, hogy tört időszakba (két kamatfizetés között) csak az egyszerű kamatszámítás alkalmazható és em aráyosítással határozzuk meg a felhalmozott kamatot, haem a potos diszkotálással. Elvégezve a feti teivalókat, kapjuk: 5 ( 1+ r) , PV * = c + = 6, , r ( 1+ r) ( 1+ r) 0,044 1,044 1,044 (1.65.) PV* = PV + K = 109,24 + 6,5 = 115,74 PV 115,74 PV = = = 114,28 1+ r t , Fejezet A péz időértéke Jele helyzetük PV=? Keresett árfolyam PV* - árfolyam a következő kamatfizetés időpotjába + esedékes kamat Visszaváltás

41 Ahol PV * a kötvéy ettó árfolyama a következő kamatfizetés időpotjába, PV* - a kötvéy bruttó árfolyama a következő kamatfizetés időpotjába, PV a kötvéy bruttó árfolyama az árfolyamszámítás apjá. A potos árfolyamérték 114,28. A külöbség az 1. értékhez képest 114,28-113,63=0,65%. A fix kamatozású értékpapírokkal kapcsolatba számos beépített Excel függvéy áll redelkezésükre. Ezek a következők: =YIELD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, évleges kamat, ettó árfolyam, évérték, kamatfizetési gyakoriság, bázis) =PRICE(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, évleges kamat, elvárt hozam, árfolyam, kamatfizetési gyakoriság, bázis) =ACCRINT(kibocsátás apja, első kamatfizetés apja, árfolyamszámítás apja, kamatláb, évérték, gyakoriság, kamatfizetési mód) =COUPDAYBS(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód) =COUPDAYS(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód) =COUPNCD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód) =COUPNUM(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód) =COUPPCD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe A feti képletek mide lejárattal redelkező fix kamatozású értékpapír esetébe alkalmazhatóak. A változó kamatozású értékpapírok értékelése bizoytalaabb. Nézzük erre is egy példát! Példa A 2005/D. államkötvéyt május 14-é bocsátották ki, lejárata március 12- é lesz. A kamat-megállapítás módja egésze sajátos. A évértéket a havi iflációval korrigálják, így a kötvéy reálértéke változatla marad a lejáratig. Mide év március 12-é az aktuális iflációs tőkeövekméyel korrigált évérték utá 4%-os kamatot dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

42 44 fizetek. Határozzuk meg a kötvéy árfolyamát október 20-á, ha a kötvéytől elvárt hozam 11% és az ifláció várhatóa évi 9% lesz! A változó kamatozású kötvéyek valamilye megfigyelhető pézügyi piaci idikátorhoz kötik a hozamukat. Ez lehet a Bubor, a jegybaki alapkamatláb, DWIX, külöböző iflációs mérőszámok. Mivel ezek jövőbeli agysága bizoytala, egzakt módszerrel em redelkezük értékelésükre. Az egyik megközelítés szerit érdemes az értékelést iflációtól megszűrt mutatókkal végezi. A kötvéy kamatából is határozzuk meg a várható reálkamatlábat, és iflációtól tisztított reálhozammal diszkotáljuk. A megközelítés akkor ad jó értéket, ha a reálhozamok hosszú távo álladóak. A feti példába a kötvéy reálhozama adott - 4%. Az elvárt reálhozam kiszámítása az 1.5-ös képlet segítségével törtéik: 1 + r 1,11 (1.66.) rr = 1 = 1 = 1,83% 1 + i 1,09 Most határozzuk meg az 1.56-os képlet szerit a ettó árfolyamot! Az előző kamatfizetés március 12-é volt. A lejáratig még 5 kamatfizetés va hátra. (1.67.) PV = c ( 1+ r) r ( 1+ r) ( 1+ r) 5 1, = 4 5 0,0183 1, ,0183 = 110,28 A ettó árfolyam 110,28%. Ehhez kell hozzáadi az MNB által megadott iflációs tőkeövekméyt és a 4%-os kamat időaráyos részét, hogy megkapjuk a bruttó árfolyamot Elemi kötvéyek árfolyamszámítása Példa Egy 1 éves lejáratú kamatozó kicstári takarékjegyet bocsátottak ki Augusztus 23-á fix 9%-os kamattal és egy éves lejárattal. Számolja ki a takarékjegy százalékos árfolyamát Február 24-é, ha az elvárt hozam 10%! A példa egyszerű diszkotálás, bár azt is figyelembe kell vei, hogy em a évértéket, haem a évérték és a felhalmozott kamat összegét együtt kell diszkotáli! ,09 N ( 1+ r t ) 365 (1.68.) PV = 1 = = 103,89 1+ r t ,1 365 Ahol PV takarékjegy bruttó árfolyama, r takarékjegy kamatlába, r elvárt hozam, t 1 az időtartam a kibocsátástól a lejáratig évekbe, t 2 időtartam az árfolyamszámítás időpotjától a lejáratig évekbe. A kicstári takarékjegy bruttó árfolyama tehát 103,89%. 1. Fejezet A péz időértéke

43 Néha szükségük lehet az elemi kötvéyek esetébe is a ettó és a bruttó árfolyam elkülöítésére. A ettó árfolyamot a felhalmozott kamat kivoása révé kapjuk, azaz: N *( 1+ r t ) 185 (1.69.) PV = 1 N r t3 = 103,89 100*0,09* = 99,32 1+ r t2 365 Ahol t 3 A kibocsátástól az árfolyamszámítás apjáig eltelt idő évekbe. A takarékjegy ettó árfolyama 99,32%. A probléma megoldásáak összefoglalását az Ábra mutatja: Ábra 45 Elemi kötvéy árfolyamszámítása Kamat 9 Kibocsátás Tőkerész Nettó árfolyam 99,32 Felhalmozott kamat 4,57 103,89 Lejárat Az elemi kötvéyek számításához a következő Excel beépített függvéyek állak redelkezésre: =ACCRINTM(kibocsátás apja, árfolyamszámítás apja, kamatláb, évérték, kamatfizetési mód) =YIELDMAT(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kibocsátás apja, omiális kamat, ettó árfolyam, kamatszámítási mód) A függvéyek magyarázatai számpéldákkal az 1.2. Mellékletbe találhatók, a függvéyek evei szerit ABC sorredbe Lejárat élküli értékpapírok árfolyamszámítása A feti papírok mid redelkeztek egy meghatározott lejárattal. A lejárat élküli papírok (örökjáradékos kötvéy, részvéyek) ettó árfolyamát a belső értékképletből vezethetjük le, ha feltételezzük, hogy az tart a végtelehez. Ha a "c" álladó, vagy a dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

44 46 pézáramsorozat mértai sorozatot alkot, akkor az értékképlet is egy végtele mértai sorozatot alkot, amiek határértéke va. Azt az auitást, melyek végtele hosszú lejárata va, örökjáradékak evezzük. Az egyszerű örökjáradék jellegzetessége, hogy álladó agyságú járadéktagokból áll, de a pézsorozatak ics vége. A pézáram sorozatot a Ábra szemlélteti. A pézügyi életbe számos példát láthatuk örökjáradékra. Ilye a legtöbb elsőbbségi részvéy pézárama. Ezek általába fix hozamot ígérek és lejárat élküliek. Örökjáradékak tekithetők az alapítváyi kifizetések is. Itt egy tőkeösszeget helyezek el, amelyek Ábra Árfolyam Álladó tagú örökjáradék problémája járadéktagok c c c c c c c c évről évre csak a hozamait fizetik ki. Jövőértékről itt ics értelme beszéli, hisze az végtele, a jeleértékét pedig úgy kapjuk, ha az évjáradék képletéél feltételezzük, hogy az "" tart a végtelebe. Számokkal: 1 1 c c c c 1 + r 1 (1.70.) PV = lim = lim = c 1 2 ( 1 r) ( 1 r) ( 1 r) 1 + r r r Ahol c - a járadék agysága, r - az elvárt hozam, - a járadéktagok száma - itt végtele, PV - az örökjáradék ettó árfolyama. Az örökjáradék ettó árfolyamát tehát megkapjuk, ha a járadékot az elvárt hozammal osztjuk Példa Egy elsőbbségi részvéyt bocsátottak ki júius 10-é 12%-os garatált osztalékfizetési ígérettel. Az osztalékot mide év júius 10-é fizetik ki. Mekkora az elsőbbségi részvéy belső értéke február 20-é, ha a befektető által elvárt hozam 20%? Az elsőbbségi részvéy ettó árfolyamát megkapjuk, ha az 1.70-es képletbe helyettesítük. c 12% (1.71.) PV = = = 60% r 20% PV járadékköz Mekkora PV adott c mellett? Mekkora c adott PV mellett? 1. Fejezet A péz időértéke

45 Az elsőbbségi részvéy ettó árfolyama 60%. Az örökjáradékak va egy érdekes tulajdosága. Az örökjáradék ettó árfolyama úgy aráylik a évértékhez, mit a kifizetett hozam aráylik az elvárt hozamhoz. Ha a kifizetett hozam az elvárt hozam 60%-a, akkor a ettó árfolyam is a évérték 60%-a lesz. A belső értéket most az 1. és a 3. módszer segítségével is meghatározzuk. 1. Nettó árfolyam + felhalmozott kamat A felhalmozott kamatot az 1.59-es képletbe behelyettesítéssel kapjuk: c t 12% 255 (1.72.) X = = 8,38% T 365 Júius 10-től a következő év február 20-ig 255 ap telik el. ( ). A bruttó árfolyam így 60%+8,38%=68,38% lesz. 2. Vegyes kamatszámítással Az elsőbbségi részvéy ettó árfolyama az idő függvéyébe em változik, hisze a lejárat végtele. Adjuk hozzá az esedékes osztalékot a ettó árfolyamhoz és az egyszerű kamatszámítás képletével diszkotáljuk az árfolyamszámítás időpotjára: PV * 72% (1.73.) PV = = = 67,9% ( 1+ r t) ,2 365 Az örökjáradék képletéből le lehet vezeti a lejárattal redelkező auitás képletét. Ugyais egy lejáratos auitás felfogható két örökjáradék külöbségéek. A két örökjáradék midebe megegyezik, csak az egyik 1 év múlva fizet először, a másik +1 év múlva. Az 1 év múlva kezdődő örökjáradék képlete c/r, az +1 év múlva kezdődő jeleértéke szité c/r lesz csak éppe "" év múlva. Ezért ezt diszkotáli kell időszakkal. Az elgodolást az Ábra mutatja. PV jelöli az 1 év múlva, PV* a távolabbi jövőbe kezdődő örökjáradék képletét: A lejáratos auitás jeleértéke ebből: (1.74.) c AF r, = PV PV* = c r Ábra c 1 r (1 + r) 1 1 = c r r (1 + r) Példa Egy alapítváy 10 millió foritot helyez el egy fix 10%-kal kamatozódó számlára. Mekkora összeget oszthat ki mide év végé az alapítváy kuratóriuma, ha a) csak a kamatokat akarják kiosztai? PV A lejárattal redelkező auitás, mit két örökjáradék külöbsége c c c c c c c c évjáradék PV* 47 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

46 48 b) 20 évig működik az alapítváy és álladó agyságú összegeket akar mide évbe kiosztai? Az a esetbe a kifizetések örökjáradékot alkotak, a b esetbe lejáratos auitást. A példa megoldása a következő: (1.75.) c = PV r = % = Az a esetbe mide évbe 1 millió foritot oszthatak szét. PV (1.76.) c = = = AF r, 1 1 0,1 20 0,1 1,1 Ha a tőkét is kiosztják, az alapítváy mide évbe ezer foritot oszthat ki. A külöbség 175 ezer forit. Ha csak hozzávetőleges becsléssel megelégszük és magas az elvárt hozam, és/vagy kellőe hosszú ideig tartó pézáram-sorozatról va szó, a lejáratos auitást az örökjáradék képletével lehet közelítei. Például az igatlaok hozamalapú értékbecsléséél, általába az örökjáradékot alkalmazzák, mert bár az igatlaok em tartaak örökké, a külöbség 50 év mellett elhayagolható az örökjáradék és a lejáratos auitás között. A övekvő tagú örökjáradékkal a törzsrészvéyek belső értékét szokták közelítei, feltételezve, hogy az osztalékok az idő múlásával folyamatosa övekedek egy álladó százalékkal a végteleségig. A képlet hasoló módo vezethető le, mit az örökjáradéké: (1.77.) PV = 1+ g 1 c c (1 + g) c r lim ( 1+ r) ( 1+ r) 2 1 ( 1+ g) c + = lim = c ( 1+ r) 1+ r 1+ g r g 1 1+ r Ahol c 1 az első járadéktag agysága, r - az elvárt hozam, g - a járadék övekedési rátája, PV - a övekvő tagú örökjáradék jeleértéke Példa A Matáv részvéy 2000-be 9%-os osztalékot fizetett. Tételezzük fel, hogy az osztalék hosszú távú övekedési rátája 12%. Osztalékot a részvéyre júius 10-é fizetek. A Matáv részvéytől elvárt hozam 15%. Mekkora a Matáv részvéy belső értéke december 10-é, ha tudjuk, hogy a részvéy évértéke 100 Ft? 1. Fejezet A péz időértéke

47 49 Számoljuk ki először a ettó árfolyamot az os képlet Ábra segítségével. A "c 0 " paraméter értéke 9 lesz, hisze a 100 Ft évértékre fizetik az osztalékot. A képlet "c 1 " paramétere azoba a következő osztalékfizetésre voatkozik, így a 9 Ft-ot meg kell szorozuk 1+g-vel a övekedés rátájával, hogy PV megkapjuk a júius 10-i becsült osztalékot. A képlet az árfolyamot júius 10-re számolja ki. A helyzetet az Ábra mutatja. ( 1+ g) Növekvő tagú örökjáradék problémája járadéktagok c c c c c c c c c (1.78.) 0 9 1,12 PV = = = 336 r g 0,15 0,12 A felhalmozott kamatot az es képlet segítségével számolhatjuk ki: c (1.79.) 1 t 9 1, X = = = 5, 05 T 365 A bruttó árfolyam 336+5=341 Ft. A feti osztalékhozamo alapuló részvéyértékelés redkívül bizoytala, mivel ige érzékey a g paraméter változására, amit a legehezebb megbecsüli. Ha 2 %-al megöveltem vola a g értékét (12%-ról 14%-ra) a részvéy ettó értékéek 1026 foritot kapok, háromszoros övekedést az eredeti értékhez képest. A részvéy ára azoba még így is elmarad a téyleges értéktől. Nem véletle, hogy a részvéyek osztalékhozam alapú értékelését általába csak olya iparágakba alkalmazzák, ahol a képződő yereség java részét osztalékkét kifizetik, és a vállalkozás piaca stabil. (Például az eergiaszolgáltatók esetébe) Tegyük fel, hogy a pézáram em örökjáradék, haem csak meghatározott "" időszakig tart, de továbbra is legye övekvő tagú. Ezt elsősorba em a baküzembe, haem a vállalati beruházások esetébe alkalmazható, amikor az ifláció miatt a pézáramok is övekedek. A övekvő tagú évjáradék jövőértékét az as képlettel lehet meghatározi: (1 + r) (1 + g) (1.80.) FV = c r g Ahol c - az első járadéktag agysága, r - az elvárt hozam, járadékköz Mekkora PV adott c mellett? Mekkora c adott PV mellett? dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

48 50 g - a járadék övekedési üteme, - a járadékok száma, FV - a járadék felövekedett értéke utolsó járadéktag esedékességéek időpotjába Példa Egy vállalat vállalja, hogy reálértékbe mide évbe befizet egy alapítváyi számlára 100 ezer foritot, amiből 5 éve keresztül em lesz kifizetés. Az 5. év végi összegből azutá a 6. év végétől mide évbe kifizetik a kamatokat. A számla fix 15% kamatozású. Mekkora összeg gyűlik össze a számlá az 5. év végé és mekkora lesz az évete kifizethető összeg, ha az ifláció 10%? A pézáram-sorozat 5 évig egy övekvő tagú évjáradék az Ábra ifláció hatása miatt, utáa a kifizetések örökjáradékot alkotak. Az alapítváy pézáramát az Ábra szemlélteti. Az évjáradék jövőértékét az es képlettel határozhatjuk meg, figyelembe véve azt a téyt, hogy 1+r-el szorozi kell, mivel a jövőértéket em az utolsó járadéktag esedékességekor, haem egy járadékközzel később akarjuk megkapi. (1 + r) (1 + g) r g Az alapítváyi számla pézárama c 1 c2 c4 c 3 c 5 FV 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év 6. Év PV 1,15 1,1 0,15 0,1 járadék (1.81.) FV = c ( 1+ r) = 100 1, A 6. év végétől a kifizetések agysága 922,3 ezer forit * 15% =138,3 ezer forit. A övekvő tagú évjáradék jeleértékéek képlete a következő: (1.82.) PV = c r g g r Ahol c - az első járadéktag agysága, r - az elvárt hozam, g - a járadék övekedési üteme, - a járadékok száma, Fejezet A péz időértéke

49 PV - a járadék jeleértéke egy időszakkal az első járadéktag esedékessége előtt Példa Egy vállalat beruházásából 50 millió forit adózás utái pézáramra számít az első év végé. A pézáram az ifláció aráyába fog övekedi, amit a vállalat 10%-osra becsül. A vállalat beruházástól elvárt hozama 20%. A beruházás élettartama 5 év, a beruházásak ics maradváyértéke. Mekkora a beruházás értéke a vállalat számára? Helyettesítsük be az 1.83-es képletbe: 5 1+ g 1, ,2 (1.83.) + r PV = c = 50 = 176,39 r g 0,2 0,1 A beruházás értéke a vállalat számára 176,39 millió forit. Az Táblázat összefoglalja a pézáramok lehetéses fajtáit és képleteit: 51 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

50 Táblázat Megevezés Jeleérték Jövőbeli érték álta- egyedi FV PV = FV = PV ( 1 + r) ( 1+ r) láos álladó tagú sorozat Lejáratos évjáradék Örökjáradék övekvő Lejáratos évjáradék tagú Örökjáradék c PV = k= k ( r) 1 1 PV = c r r (1 + r) c PV = r k PV = c r g PV c = r g g r FV = k= 1 ( 1 + ) c k r ( 1 + r) 1 FV = c r végtele (1 + r) (1 + g) FV = c r g végtele k Példák Példa Egy egyedéves folyamatos lekötésű bakbetét kamata évi 8%. Háyszorosára övekszik fel a jauár 1-é befektetett pézösszeg december 31-re, ha feltételezzük, hogy a kamatláb a futamidő alatt em változik és a kamatot egyedévete írják jóvá a betétszámlá? (8,24%, lásd EFFECT függvéy lapja az 1.2. Mellékletbe) Példa Az 1.22-es kodíciójú betétszámlá március 12-é elhelyezek 100 ezer foritot, melyet október 12-é veszek fel. Mekkora a kifizetett kamat agysága? Német kamatszámítást alkalmazzo! (104,73 ezer foritot 1.33-as képlet) Példa Háy év alatt ő duplájára a befektetett pézösszeg, ha egy fix 12%-os éves kamatozású bakbetétbe helyezem a pézt? Számolja ki a közelítő és a potos értéket is! (Közelítő érték 6,11 év 1.7-es képlet átredezése -re. Potos 6 év és 40 ap 1.33-as képlet) Példa Egy vállalkozó ismerőse azt ajálja, hogy adjo eki kölcsö 100 ezer foritot 1,5 éves futamidőre. 1,5 év múlva 150 ezer foritot ada vissza? Mekkora éves kamatlábak felel ez meg? (31,03% es képlet átredezése r -re.) 1. Fejezet A péz időértéke

51 1.26. Példa Egy vállalkozóak 2 éves futamidőre kölcsöadott 100 ezer foritot. Abba állapodtak meg, hogy egy egyedévre voatkozóa a midekori jegybaki alapkamatláb + 5% lesz a hitel kamatlába. A kamatok is csak a lejáratkor esedékesek. Mekkora összeget fizet vissza a vállalkozó, ha a 8. egyedév alatt a következő jegybaki alapkamatok voltak érvéybe: Negyedév Alapkamatláb % 23 21, ,5 20, ( foritot a kamatlábakat osztom 4-gyel és hozzájuk adok 1-et. A kapott téyezőkkel megszorzom a 100 ezer foritot. Lásd FVSCHEDULE függvéy lapja az 1.2. mellékletbe) Példa A cég szállítója a következőeket ajálja. Ha azoal készpézzel fizetek, ad 5% áregedméyt. 30 apos fizetés esetébe 3%-ot, 60 apos fizetés esetébe 1%-ot. Nics kedvezméy, ha 90 apra fizetek. A folyószámlahitel kamatlába 15% és a cég hitelkerete lehetővé teszi a szállító kifizetését. Pusztá hozamszempotok alapjá mikor éri meg kifizeti a szállítót? (Azoal 95%, 30 ap 95,8%, 60 ap 96,6%, 90 ap 96,4%; érdemes azoal kifizeti a szállítót 1.25 alsó képlet) Példa Egy befektetési vállalkozás 4000 Ft-ért vett TVK részvéyt 1998 jauár 2-á. Ekkor a Ft/dollár árfolyam 206,26 volt jauár 3-á a részvéyt eladta 5500 Ft-ért. A megfelelő árfolyam ekkor 251 Ft/dollár. A befektetők 10%-os éves hozamot várak el dollárba. Megérte-e a vállalkozásak megvásároli a TVK részvéyt? (-1,28 dollár em érte meg es képlet) Példa A vállalat egy haszálato kívüli igatlaára két ajálat érkezett. A készpézzel fizető vevő 40 millió foritért veé meg a földterületet, egy másik vállalkozó pézügyi lízigbe veé 3 éves futamidővel. Mide egyedév végé 4 millió foritos lízigdíjat fizete. A vállalat elvárt hozama 20%. Maradváyérték ics. Melyik ajálatot érdemes elfogadi? (Érdemes készpézért eladi, mivel a lízigdíjak jeleértéke csak 35,45 millió forit 4 millió * AF 5%, Melléklet Évjáradék Jeleértéke Táblázat ) Példa Ft hitelt veszek fel 15%-os kamattal 10 év lejárattal. A hitelt mide év végé auitás formába törlesztik. Mekkora lesz az éves törlesztôrészlet agysága? (19.924,29 Ft 100 ezer / AF 15%, Melléklet Évjáradék Jeleértéke Táblázat ) Példa Hitelt vettek fel lakásvásárlás céljára 5 millió forit értékbe. A hitelt egyelő részletekbe, mide hóap elejé törlesztik. A hitel lejárata 10 év. Mekkora összeget kell mide hóap elejé fizeti, ha a kamatláb évi 7% és az időaráyos kamatot havota számolják el? ( Ft, Lásd RÉSZLET függvéy lapja az 1.2. mellékletbe) Mekkora 53 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

52 54 lesz a második törlesztőrészlet tőke és kamatterhe? (Kamatteher Ft lásd RRÉSZLET függvéy; tőkerészlet Ft lásd PRÉSZLET függvéy) Példa Mide hóap elejé foritot fizetek be egy életbiztosítás számlájára 10 éve keresztül. Számítsa ki, mekkora összeg lesz a számlá 10 év múlva, ha feltételezzük, hogy évete átlagosa 13%-os hozamot ér el évete a kostrukció és a számláról kifizetés a feti időszakba em törtéik és az időaráyos hozamot havota írják jóvá! ( Ft Lásd JBÉ függvéy lapja az 1.2. mellékletbe) Példa Mide egyedév elejé 5000 foritot fizetek be egy bakbetétbe, mely 8%-os fix kamatot fizet évete. Számítsa ki, mekkora összeg lesz a számlá 2 év múlva, ha a kamatot egyedévete számolják el! ( Ft as képlet) Példa Hitelt vettek fel gépkocsivásárlás céljára forit értékbe. A törlesztés egyedévete, mide egyedév elejé esedékes. A hitel lejárata 5 év. Mekkora összeget kell egyedévete fizeti, ha a kamatláb évi 20%? ( Ft 1.39-es képlet) Példa Hitelt vettek fel gépvásárlás céljára forit értékbe. A törlesztés a következő év jauár elsejé kezdôdik, addig semmit sem kell fizeti. Azutá a hitelt egyelő részletekbe, mide egyedév elejé törlesztik. A hitel lejárata 5 év. Mekkora összeget kell mide hóap elejé fizeti, ha a kamatláb végig évi 20%? ( Ft 1.39-es képlet, figyelembe véve, hogy PV itt a hitel összege szorozva 1+20%.) Példa Mide egyedév elejé foritot fizetek be egy életbiztosításra 5 éve keresztül. Utáa még további két évig em veszik ki a pézt. Számítsa ki, mekkora összeg lesz a számlá a 7. év végé, ha feltételezzük, hogy a hozam várhatóa évi 12% lesz, és a számláról kifizetés a feti időszakba em törtéik! ( Ft 1.45-ös képlet figyelembe véve, hogy a jövőbeli értéket még két évvel fel kell kamatoli!) Példa Egy fix 12%-os kamatozású kötvéyt bocsátottak ki 2000 március 31-é Ft évértékbe. A kamatfizetés gyakorisága fél év. A kötvéy lejárata 5 év és a évértéket a lejáratkor egy összegbe fizetik vissza. Jeleleg a piaci kamatláb 10%. Számolja ki, hogy ma, azaz ovember 29-é mekkora a kötvéy árfolyama! (1. módszer Ft lásd COUPDAYSBS függvéy az 1.2 Mellékletbe; 2. módszer lásd PRICE függvéy az 1.2. Mellékletbe; 3. módszer lásd COUPDAYSNC függvéy az 1.2. Mellékletbe) Példa 1. Fejezet A péz időértéke

53 A vállalat Ft-ról kiállított váltót júius 1-é beyújtja a bakak leszámítolásra. A váltó lejárata július 31. A 90 apos lejárato belüli váltókál a bak évi 15%-os diszkotlábat alkalmaz. A vállalat folyószámla-hiteléek kamatlába 17%. Meyi pézt fog kapi a vállalat a váltó leszámítolásával? A diszkotláb mekkora hitelkamatlábak felel meg? A leszámítolás előtt háy appal lee midegy, hogy váltót számítoltasso le a vállalat, vagy hitelt vegye-e fel? Német kamaszámítást alkalmazzo! (4.875 ezer forit lásd PRICEDISC függvéy; 15,38% lásd INTRATE függvéy; 59 ap 1.27-es képlet) Példa Egy örökjáradékos kötvéy kamatlába évi fix 12%, melyet féléves gyakorisággal, ovember 11-é és május 11-á fizet ki. Mekkora a kötvéy ettó és bruttó árfolyama jauár 20-á, ha az elvárt hozam évi 14%! Alkalmazza az 1. módszert és haszálja a émet kamatszámítást! (Féléves elvárt hozam 6,77%; ettó árfolyam 88,62% es képlet, bruttó árfolyam 90,92%) Példa A TVK részvéy évértéke 1100 Ft. 25%-os osztalékot fizetett 2000-be. A 2001 évi osztalékfizetés esedékessége júius 12. A TVK-tól elvárt hozam 20%, a részvéyosztalék hosszú távú övekedési rátája 10%. Mekkora a részvéy belső értéke jauár 20-á? Haszálja a émet kamatszámítást! (ettó árfolyam Ft 1.78-as képlet; bruttó árfolyam Ft 1.79-es képlet) 55 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

54 Melléklet Péz időértéke táblázatok 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

55 57 1 Ft jeleértéke DF r, = (1 1 + r) 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% Évek 1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,901 0,893 0,885 0,877 0,870 0,862 0,855 0,847 0,840 0, ,980 0,961 0,943 0,925 0,907 0,890 0,873 0,857 0,842 0,826 0,812 0,797 0,783 0,769 0,756 0,743 0,731 0,718 0,706 0, ,971 0,942 0,915 0,889 0,864 0,840 0,816 0,794 0,772 0,751 0,731 0,712 0,693 0,675 0,658 0,641 0,624 0,609 0,593 0, ,961 0,924 0,888 0,855 0,823 0,792 0,763 0,735 0,708 0,683 0,659 0,636 0,613 0,592 0,572 0,552 0,534 0,516 0,499 0, ,951 0,906 0,863 0,822 0,784 0,747 0,713 0,681 0,650 0,621 0,593 0,567 0,543 0,519 0,497 0,476 0,456 0,437 0,419 0, ,942 0,888 0,837 0,790 0,746 0,705 0,666 0,630 0,596 0,564 0,535 0,507 0,480 0,456 0,432 0,410 0,390 0,370 0,352 0, ,933 0,871 0,813 0,760 0,711 0,665 0,623 0,583 0,547 0,513 0,482 0,452 0,425 0,400 0,376 0,354 0,333 0,314 0,296 0, ,923 0,853 0,789 0,731 0,677 0,627 0,582 0,540 0,502 0,467 0,434 0,404 0,376 0,351 0,327 0,305 0,285 0,266 0,249 0, ,914 0,837 0,766 0,703 0,645 0,592 0,544 0,500 0,460 0,424 0,391 0,361 0,333 0,308 0,284 0,263 0,243 0,225 0,209 0, ,905 0,820 0,744 0,676 0,614 0,558 0,508 0,463 0,422 0,386 0,352 0,322 0,295 0,270 0,247 0,227 0,208 0,191 0,176 0, ,896 0,804 0,722 0,650 0,585 0,527 0,475 0,429 0,388 0,350 0,317 0,287 0,261 0,237 0,215 0,195 0,178 0,162 0,148 0, ,887 0,788 0,701 0,625 0,557 0,497 0,444 0,397 0,356 0,319 0,286 0,257 0,231 0,208 0,187 0,168 0,152 0,137 0,124 0, ,879 0,773 0,681 0,601 0,530 0,469 0,415 0,368 0,326 0,290 0,258 0,229 0,204 0,182 0,163 0,145 0,130 0,116 0,104 0, ,870 0,758 0,661 0,577 0,505 0,442 0,388 0,340 0,299 0,263 0,232 0,205 0,181 0,160 0,141 0,125 0,111 0,099 0,088 0, ,861 0,743 0,642 0,555 0,481 0,417 0,362 0,315 0,275 0,239 0,209 0,183 0,160 0,140 0,123 0,108 0,095 0,084 0,074 0,065 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30% 31% 32% 33% 34% 35% 36% 37% 38% 39% 40% Évek 1 0,826 0,820 0,813 0,806 0,800 0,794 0,787 0,781 0,775 0,769 0,763 0,758 0,752 0,746 0,741 0,735 0,730 0,725 0,719 0, ,683 0,672 0,661 0,650 0,640 0,630 0,620 0,610 0,601 0,592 0,583 0,574 0,565 0,557 0,549 0,541 0,533 0,525 0,518 0, ,564 0,551 0,537 0,524 0,512 0,500 0,488 0,477 0,466 0,455 0,445 0,435 0,425 0,416 0,406 0,398 0,389 0,381 0,372 0, ,467 0,451 0,437 0,423 0,410 0,397 0,384 0,373 0,361 0,350 0,340 0,329 0,320 0,310 0,301 0,292 0,284 0,276 0,268 0, ,386 0,370 0,355 0,341 0,328 0,315 0,303 0,291 0,280 0,269 0,259 0,250 0,240 0,231 0,223 0,215 0,207 0,200 0,193 0, ,319 0,303 0,289 0,275 0,262 0,250 0,238 0,227 0,217 0,207 0,198 0,189 0,181 0,173 0,165 0,158 0,151 0,145 0,139 0, ,263 0,249 0,235 0,222 0,210 0,198 0,188 0,178 0,168 0,159 0,151 0,143 0,136 0,129 0,122 0,116 0,110 0,105 0,100 0, ,218 0,204 0,191 0,179 0,168 0,157 0,148 0,139 0,130 0,123 0,115 0,108 0,102 0,096 0,091 0,085 0,081 0,076 0,072 0, ,180 0,167 0,155 0,144 0,134 0,125 0,116 0,108 0,101 0,094 0,088 0,082 0,077 0,072 0,067 0,063 0,059 0,055 0,052 0, ,149 0,137 0,126 0,116 0,107 0,099 0,092 0,085 0,078 0,073 0,067 0,062 0,058 0,054 0,050 0,046 0,043 0,040 0,037 0, ,123 0,112 0,103 0,094 0,086 0,079 0,072 0,066 0,061 0,056 0,051 0,047 0,043 0,040 0,037 0,034 0,031 0,029 0,027 0, ,102 0,092 0,083 0,076 0,069 0,062 0,057 0,052 0,047 0,043 0,039 0,036 0,033 0,030 0,027 0,025 0,023 0,021 0,019 0, ,084 0,075 0,068 0,061 0,055 0,050 0,045 0,040 0,037 0,033 0,030 0,027 0,025 0,022 0,020 0,018 0,017 0,015 0,014 0, ,069 0,062 0,055 0,049 0,044 0,039 0,035 0,032 0,028 0,025 0,023 0,021 0,018 0,017 0,015 0,014 0,012 0,011 0,010 0, ,057 0,051 0,045 0,040 0,035 0,031 0,028 0,025 0,022 0,020 0,017 0,016 0,014 0,012 0,011 0,010 0,009 0,008 0,007 0,006 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

56 58 1 Ft jövőértéke ( 1 + r ) 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% Évek 1 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 2 1,02 1,04 1,06 1,08 1,10 1,12 1,14 1,17 1,19 1,21 1,23 1,25 1,28 1,30 1,32 1,35 1,37 1,39 1,42 1,44 3 1,03 1,06 1,09 1,12 1,16 1,19 1,23 1,26 1,30 1,33 1,37 1,40 1,44 1,48 1,52 1,56 1,60 1,64 1,69 1,73 4 1,04 1,08 1,13 1,17 1,22 1,26 1,31 1,36 1,41 1,46 1,52 1,57 1,63 1,69 1,75 1,81 1,87 1,94 2,01 2,07 5 1,05 1,10 1,16 1,22 1,28 1,34 1,40 1,47 1,54 1,61 1,69 1,76 1,84 1,93 2,01 2,10 2,19 2,29 2,39 2,49 6 1,06 1,13 1,19 1,27 1,34 1,42 1,50 1,59 1,68 1,77 1,87 1,97 2,08 2,19 2,31 2,44 2,57 2,70 2,84 2,99 7 1,07 1,15 1,23 1,32 1,41 1,50 1,61 1,71 1,83 1,95 2,08 2,21 2,35 2,50 2,66 2,83 3,00 3,19 3,38 3,58 8 1,08 1,17 1,27 1,37 1,48 1,59 1,72 1,85 1,99 2,14 2,30 2,48 2,66 2,85 3,06 3,28 3,51 3,76 4,02 4,30 9 1,09 1,20 1,30 1,42 1,55 1,69 1,84 2,00 2,17 2,36 2,56 2,77 3,00 3,25 3,52 3,80 4,11 4,44 4,79 5, ,10 1,22 1,34 1,48 1,63 1,79 1,97 2,16 2,37 2,59 2,84 3,11 3,39 3,71 4,05 4,41 4,81 5,23 5,69 6, ,12 1,24 1,38 1,54 1,71 1,90 2,10 2,33 2,58 2,85 3,15 3,48 3,84 4,23 4,65 5,12 5,62 6,18 6,78 7, ,13 1,27 1,43 1,60 1,80 2,01 2,25 2,52 2,81 3,14 3,50 3,90 4,33 4,82 5,35 5,94 6,58 7,29 8,06 8, ,14 1,29 1,47 1,67 1,89 2,13 2,41 2,72 3,07 3,45 3,88 4,36 4,90 5,49 6,15 6,89 7,70 8,60 9,60 10, ,15 1,32 1,51 1,73 1,98 2,26 2,58 2,94 3,34 3,80 4,31 4,89 5,53 6,26 7,08 7,99 9,01 10,15 11,42 12, ,16 1,35 1,56 1,80 2,08 2,40 2,76 3,17 3,64 4,18 4,78 5,47 6,25 7,14 8,14 9,27 10,54 11,97 13,59 15,41 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30% 31% 32% 33% 34% 35% 36% 37% 38% 39% 40% Évek 1 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 2 1,46 1,49 1,51 1,54 1,56 1,59 1,61 1,64 1,66 1,69 1,72 1,74 1,77 1,80 1,82 1,85 1,88 1,90 1,93 1,96 3 1,77 1,82 1,86 1,91 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,41 2,46 2,52 2,57 2,63 2,69 2,74 4 2,14 2,22 2,29 2,36 2,44 2,52 2,60 2,68 2,77 2,86 2,94 3,04 3,13 3,22 3,32 3,42 3,52 3,63 3,73 3,84 5 2,59 2,70 2,82 2,93 3,05 3,18 3,30 3,44 3,57 3,71 3,86 4,01 4,16 4,32 4,48 4,65 4,83 5,00 5,19 5,38 6 3,14 3,30 3,46 3,64 3,81 4,00 4,20 4,40 4,61 4,83 5,05 5,29 5,53 5,79 6,05 6,33 6,61 6,91 7,21 7,53 7 3,80 4,02 4,26 4,51 4,77 5,04 5,33 5,63 5,94 6,27 6,62 6,98 7,36 7,76 8,17 8,61 9,06 9,53 10,03 10,54 8 4,59 4,91 5,24 5,59 5,96 6,35 6,77 7,21 7,67 8,16 8,67 9,22 9,79 10,40 11,03 11,70 12,41 13,15 13,94 14,76 9 5,56 5,99 6,44 6,93 7,45 8,00 8,59 9,22 9,89 10,60 11,36 12,17 13,02 13,93 14,89 15,92 17,00 18,15 19,37 20, ,73 7,30 7,93 8,59 9,31 10,09 10,92 11,81 12,76 13,79 14,88 16,06 17,32 18,67 20,11 21,65 23,29 25,05 26,92 28, ,14 8,91 9,75 10,66 11,64 12,71 13,86 15,11 16,46 17,92 19,50 21,20 23,03 25,01 27,14 29,44 31,91 34,57 37,43 40, ,85 10,87 11,99 13,21 14,55 16,01 17,61 19,34 21,24 23,30 25,54 27,98 30,64 33,52 36,64 40,04 43,72 47,70 52,02 56, ,92 13,26 14,75 16,39 18,19 20,18 22,36 24,76 27,39 30,29 33,46 36,94 40,74 44,91 49,47 54,45 59,89 65,83 72,31 79, ,42 16,18 18,14 20,32 22,74 25,42 28,40 31,69 35,34 39,37 43,83 48,76 54,19 60,18 66,78 74,05 82,05 90,85 100,51 111, ,45 19,74 22,31 25,20 28,42 32,03 36,06 40,56 45,59 51,19 57,42 64,36 72,07 80,64 90,16 100,71 112,41 125,37 139,71 155,57 1. Fejezet A péz időértéke

57 59 "" darab 1 Ft jövőértéke ( + r ) 1 r 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,01 2,02 2,03 2,04 2,05 2,06 2,07 2,08 2,09 2,10 2,11 2,12 2,13 2,14 2,15 2,16 2,17 2,18 2,19 2,20 3,03 3,06 3,09 3,12 3,15 3,18 3,21 3,25 3,28 3,31 3,34 3,37 3,41 3,44 3,47 3,51 3,54 3,57 3,61 3,64 4,06 4,12 4,18 4,25 4,31 4,37 4,44 4,51 4,57 4,64 4,71 4,78 4,85 4,92 4,99 5,07 5,14 5,22 5,29 5,37 5,10 5,20 5,31 5,42 5,53 5,64 5,75 5,87 5,98 6,11 6,23 6,35 6,48 6,61 6,74 6,88 7,01 7,15 7,30 7,44 6,15 6,31 6,47 6,63 6,80 6,98 7,15 7,34 7,52 7,72 7,91 8,12 8,32 8,54 8,75 8,98 9,21 9,44 9,68 9,93 7,21 7,43 7,66 7,90 8,14 8,39 8,65 8,92 9,20 9,49 9,78 10,09 10,40 10,73 11,07 11,41 11,77 12,14 12,52 12,92 8,29 8,58 8,89 9,21 9,55 9,90 10,26 10,64 11,03 11,44 11,86 12,30 12,76 13,23 13,73 14,24 14,77 15,33 15,90 16,50 9,37 9,75 10,16 10,58 11,03 11,49 11,98 12,49 13,02 13,58 14,16 14,78 15,42 16,09 16,79 17,52 18,28 19,09 19,92 20,80 10,46 10,95 11,46 12,01 12,58 13,18 13,82 14,49 15,19 15,94 16,72 17,55 18,42 19,34 20,30 21,32 22,39 23,52 24,71 25,96 11,57 12,17 12,81 13,49 14,21 14,97 15,78 16,65 17,56 18,53 19,56 20,65 21,81 23,04 24,35 25,73 27,20 28,76 30,40 32,15 12,68 13,41 14,19 15,03 15,92 16,87 17,89 18,98 20,14 21,38 22,71 24,13 25,65 27,27 29,00 30,85 32,82 34,93 37,18 39,58 13,81 14,68 15,62 16,63 17,71 18,88 20,14 21,50 22,95 24,52 26,21 28,03 29,98 32,09 34,35 36,79 39,40 42,22 45,24 48,50 14,95 15,97 17,09 18,29 19,60 21,02 22,55 24,21 26,02 27,97 30,09 32,39 34,88 37,58 40,50 43,67 47,10 50,82 54,84 59,20 16,10 17,29 18,60 20,02 21,58 23,28 25,13 27,15 29,36 31,77 34,41 37,28 40,42 43,84 47,58 51,66 56,11 60,97 66,26 72,04 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30% 31% 32% 33% 34% 35% 36% 37% 38% 39% 40% 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,30 2,31 2,32 2,33 2,34 2,35 2,36 2,37 2,38 2,39 2,40 3,67 3,71 3,74 3,78 3,81 3,85 3,88 3,92 3,95 3,99 4,03 4,06 4,10 4,14 4,17 4,21 4,25 4,28 4,32 4,36 5,45 5,52 5,60 5,68 5,77 5,85 5,93 6,02 6,10 6,19 6,27 6,36 6,45 6,54 6,63 6,73 6,82 6,91 7,01 7,10 7,59 7,74 7,89 8,05 8,21 8,37 8,53 8,70 8,87 9,04 9,22 9,40 9,58 9,77 9,95 10,15 10,34 10,54 10,74 10,95 10,18 10,44 10,71 10,98 11,26 11,54 11,84 12,14 12,44 12,76 13,08 13,41 13,74 14,09 14,44 14,80 15,17 15,54 15,93 16,32 13,32 13,74 14,17 14,62 15,07 15,55 16,03 16,53 17,05 17,58 18,13 18,70 19,28 19,88 20,49 21,13 21,78 22,45 23,14 23,85 17,12 17,76 18,43 19,12 19,84 20,59 21,36 22,16 23,00 23,86 24,75 25,68 26,64 27,63 28,66 29,73 30,84 31,98 33,17 34,39 21,71 22,67 23,67 24,71 25,80 26,94 28,13 29,37 30,66 32,01 33,42 34,90 36,43 38,03 39,70 41,43 43,25 45,14 47,10 49,15 27,27 28,66 30,11 31,64 33,25 34,94 36,72 38,59 40,56 42,62 44,79 47,06 49,45 51,96 54,59 57,35 60,25 63,29 66,47 69,81 34,00 35,96 38,04 40,24 42,57 45,03 47,64 50,40 53,32 56,41 59,67 63,12 66,77 70,62 74,70 79,00 83,54 88,34 93,40 98,74 42,14 44,87 47,79 50,89 54,21 57,74 61,50 65,51 69,78 74,33 79,17 84,32 89,80 95,64 101,84 108,44 115,45 122,90 130,82 139,23 51,99 55,75 59,78 64,11 68,76 73,75 79,11 84,85 91,02 97,63 104,71 112,30 120,44 129,15 138,48 148,47 159,17 170,61 182,84 195,93 63,91 69,01 74,53 80,50 86,95 93,93 101,47 109,61 118,41 127,91 138,17 149,24 161,18 174,06 187,95 202,93 219,06 236,44 255,15 275,30 78,33 85,19 92,67 100,82 109,69 119,35 129,86 141,30 153,75 167,29 182,00 198,00 215,37 234,25 254,74 276,98 301,11 327,28 355,66 386,42 1 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

58 60 "" darab 1 Ft jeleértéke 1 1 AFr, = r r (1 + r) 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 11% 12% 13% 14% 15% 16% 17% 18% 19% 20% Évek 1 0,990 0,980 0,971 0,962 0,952 0,943 0,935 0,926 0,917 0,909 0,901 0,893 0,885 0,877 0,870 0,862 0,855 0,847 0,840 0, ,970 1,942 1,913 1,886 1,859 1,833 1,808 1,783 1,759 1,736 1,713 1,690 1,668 1,647 1,626 1,605 1,585 1,566 1,547 1, ,941 2,884 2,829 2,775 2,723 2,673 2,624 2,577 2,531 2,487 2,444 2,402 2,361 2,322 2,283 2,246 2,210 2,174 2,140 2, ,902 3,808 3,717 3,630 3,546 3,465 3,387 3,312 3,240 3,170 3,102 3,037 2,974 2,914 2,855 2,798 2,743 2,690 2,639 2, ,853 4,713 4,580 4,452 4,329 4,212 4,100 3,993 3,890 3,791 3,696 3,605 3,517 3,433 3,352 3,274 3,199 3,127 3,058 2, ,795 5,601 5,417 5,242 5,076 4,917 4,767 4,623 4,486 4,355 4,231 4,111 3,998 3,889 3,784 3,685 3,589 3,498 3,410 3, ,728 6,472 6,230 6,002 5,786 5,582 5,389 5,206 5,033 4,868 4,712 4,564 4,423 4,288 4,160 4,039 3,922 3,812 3,706 3, ,652 7,325 7,020 6,733 6,463 6,210 5,971 5,747 5,535 5,335 5,146 4,968 4,799 4,639 4,487 4,344 4,207 4,078 3,954 3, ,566 8,162 7,786 7,435 7,108 6,802 6,515 6,247 5,995 5,759 5,537 5,328 5,132 4,946 4,772 4,607 4,451 4,303 4,163 4, ,471 8,983 8,530 8,111 7,722 7,360 7,024 6,710 6,418 6,145 5,889 5,650 5,426 5,216 5,019 4,833 4,659 4,494 4,339 4, ,368 9,787 9,253 8,760 8,306 7,887 7,499 7,139 6,805 6,495 6,207 5,938 5,687 5,453 5,234 5,029 4,836 4,656 4,486 4, ,255 10,575 9,954 9,385 8,863 8,384 7,943 7,536 7,161 6,814 6,492 6,194 5,918 5,660 5,421 5,197 4,988 4,793 4,611 4, ,134 11,348 10,635 9,986 9,394 8,853 8,358 7,904 7,487 7,103 6,750 6,424 6,122 5,842 5,583 5,342 5,118 4,910 4,715 4, ,004 12,106 11,296 10,563 9,899 9,295 8,745 8,244 7,786 7,367 6,982 6,628 6,302 6,002 5,724 5,468 5,229 5,008 4,802 4, ,865 12,849 11,938 11,118 10,380 9,712 9,108 8,559 8,061 7,606 7,191 6,811 6,462 6,142 5,847 5,575 5,324 5,092 4,876 4,675 21% 22% 23% 24% 25% 26% 27% 28% 29% 30% 31% 32% 33% 34% 35% 36% 37% 38% 39% 40% Évek 1 0,826 0,820 0,813 0,806 0,800 0,794 0,787 0,781 0,775 0,769 0,763 0,758 0,752 0,746 0,741 0,735 0,730 0,725 0,719 0, ,509 1,492 1,474 1,457 1,440 1,424 1,407 1,392 1,376 1,361 1,346 1,331 1,317 1,303 1,289 1,276 1,263 1,250 1,237 1, ,074 2,042 2,011 1,981 1,952 1,923 1,896 1,868 1,842 1,816 1,791 1,766 1,742 1,719 1,696 1,673 1,652 1,630 1,609 1, ,540 2,494 2,448 2,404 2,362 2,320 2,280 2,241 2,203 2,166 2,130 2,096 2,062 2,029 1,997 1,966 1,935 1,906 1,877 1, ,926 2,864 2,803 2,745 2,689 2,635 2,583 2,532 2,483 2,436 2,390 2,345 2,302 2,260 2,220 2,181 2,143 2,106 2,070 2, ,245 3,167 3,092 3,020 2,951 2,885 2,821 2,759 2,700 2,643 2,588 2,534 2,483 2,433 2,385 2,339 2,294 2,251 2,209 2, ,508 3,416 3,327 3,242 3,161 3,083 3,009 2,937 2,868 2,802 2,739 2,677 2,619 2,562 2,508 2,455 2,404 2,355 2,308 2, ,726 3,619 3,518 3,421 3,329 3,241 3,156 3,076 2,999 2,925 2,854 2,786 2,721 2,658 2,598 2,540 2,485 2,432 2,380 2, ,905 3,786 3,673 3,566 3,463 3,366 3,273 3,184 3,100 3,019 2,942 2,868 2,798 2,730 2,665 2,603 2,544 2,487 2,432 2, ,054 3,923 3,799 3,682 3,571 3,465 3,364 3,269 3,178 3,092 3,009 2,930 2,855 2,784 2,715 2,649 2,587 2,527 2,469 2, ,177 4,035 3,902 3,776 3,656 3,543 3,437 3,335 3,239 3,147 3,060 2,978 2,899 2,824 2,752 2,683 2,618 2,555 2,496 2, ,278 4,127 3,985 3,851 3,725 3,606 3,493 3,387 3,286 3,190 3,100 3,013 2,931 2,853 2,779 2,708 2,641 2,576 2,515 2, ,362 4,203 4,053 3,912 3,780 3,656 3,538 3,427 3,322 3,223 3,129 3,040 2,956 2,876 2,799 2,727 2,658 2,592 2,529 2, ,432 4,265 4,108 3,962 3,824 3,695 3,573 3,459 3,351 3,249 3,152 3,061 2,974 2,892 2,814 2,740 2,670 2,603 2,539 2, ,489 4,315 4,153 4,001 3,859 3,726 3,601 3,483 3,373 3,268 3,170 3,076 2,988 2,905 2,825 2,750 2,679 2,611 2,546 2, Fejezet A péz időértéke

59 Melléklet Excel péz időértékével kapcsolatos pézügyi függvéyei dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

60 Egy redszerese kamatfizető értékpapír eddig kifizetett és felhalmozott kamatát adja KÉPLETE:=ACCRINT(kibocsátás apja, első kamatfizetés apja, árfolyamszámítás apja, kamatláb, évérték, gyakoriság, kamatfizetési mód ) Kibocsátási dátum ( TI ): Névérték elhagyható, alapesetbe Első kamatfizetés időpotja: értéke Árfolyamszámítás apja ( TP ): Kamatláb ( r ) 13% Gyakoriság Érték Névérték ( N ): Ft Éves 1 Gyakoriság ( m ): 2 Féléves 2 Kamatfizetés módja: 1 Negyedéves 4 ( P ) Kamatperiódus hossza ( A ) Napok száma Felhalmozott kamat Ft Kamatfizetés módja Kamat = N r m i = 1 A P i i Német elhagyható, vagy 0 Agol 1 Fracia 2 téyleges/365 3

61 A lejáratkor kamatot fizető értékpapír felhalmozott kamatát adja KÉPLETE:=ACCRINTM(kibocsátás apja, árfolyamszámítás apja, kamatláb, évérték, kam mód ) 63 Kibocsátási dátum (TI): Névérték elhagyható, alapesetbe Árfolyamszámítás apja (TP): értéke Kamatláb (R): 10% Névérték ( N ): Ft Kamatfizetés módja Kamatfizetés módja: 3 Német elhagyható, va Agol 1 Felhalmozott kamat 205 Ft Fracia 2 Képlettel: 205 Ft téyleges/365 3 K = N r TP TI 360/ 365 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

62 64 Kiszámítja, meyi ap telt el az utolsó kamatfizetéstől az árfolyamszámításig KÉPLETE:=COUPDAYBS(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja: Kamatfizetés módja Lejárat apja: Német elhagyható, vagy 0 Kamatfizetési gyakoriság 2 Agol 1 Kamatfizetés módja: 1 Fracia 2 téyleges/365 3 Eltelt apok száma 60 ap Piaci kamatláb 10% Névleges kamatláb 12% Nettó árfolyam 107,11% Felhalmozott kamat 1,97% Bruttó árfolyam 109,08% 1. Fejezet A péz időértéke

63 65 Aak a szelvéyperiódusak adja meg a hosszát, ami tartalmazza az árfolyamszámítás apját KÉPLETE:=COUPDAYS(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja: Kamatfizetés módja Lejárat apja: Német elhagyható, vagy 0 Kamatfizetési gyakoriság 2 Agol 1 Kamatfizetés módja: 1 Fracia 2 téyleges/365 3 Periódusba lévő apok 181 ap dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

64 66 Kiszámítja, meyi ap telik el az árfolyamszámítástól a következő kamatfizetésig KÉPLETE:=COUPDAYSNC(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja: Névérték elhagyható, alapesetbe Lejárat apja: értéke Kamatfizetési gyakoriság 2 Kamatfizetés módja: 1 Kamatfizetés módja Német elhagyható, vagy 0 Kamatfizetésig a apok száma 122 Ft Agol 1 Fracia 2 Piaci kamatláb 10% téyleges/365 3 Névleges kamatláb 12% Árfolyam a következő kamatfizetés időpotjába 112,46% Bruttó árfolyam 108,83% 1. Fejezet A péz időértéke

65 67 Az árfolyamszámítástól számított legelső kamatfizetés dátumát számolja ki KÉPLETE:=COUPNCD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja: Kamatfizetés módja Lejárat apja: Német elhagyható, vagy 0 Kamatfizetési gyakoriság 2 Agol 1 Kamatfizetés módja: 1 Fracia 2 téyleges/365 3 A következő kamatfizetés dátuma dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

66 68 A lejárati dátum és az árfolyamszámítás apja közötti kamatfizetések számát adja KÉPLETE:=COUPNUM(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja: Kamatfizetés módja Lejárat apja: Német elhagyható, vagy 0 Kamatfizetési gyakoriság 2 Agol 1 Kamatfizetés módja: 1 Fracia 2 téyleges/365 3 A hátralévő kamatfizetések száma 9 1. Fejezet A péz időértéke

67 69 Az árfolyamszámítás előtti kamatfizetés dátumát modja meg KÉPLETE:=COUPPCD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kamatfizetési gyakoriság, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja: Névérték elhagyható, alapesetbe Lejárat apja: értéke Kamatfizetési gyakoriság 2 Kamatfizetés módja: 1 Kamatfizetés módja Német elhagyható, vagy 0 A hátralévő kamatfizetések száma Agol 1 Fracia 2 téyleges/365 3 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

68 70 Megmodja a törlesztő auitás futamideje alatt kifizetett tőkerész összegét két periódus között KÉPLETE:=CUMPRINC(kamatláb, törlesztőrészletek száma, jeleérték, kezdő periódus, végső periódus, típus) Nyers adatok Éves kamatláb ( r ) 9% Időszakhatározó: Megmutatja Futamidő ( ) 30 év mikor esedékes a kamatfizetés Jeleérték (PV) Ft Időszak végé 0 Kamatfizetés módja 0 Időszak elejé 1 Törlesztés gyakorisága évete ( l ) 12 C Származtatott adatok Periódus kamatlába (r*=r/l) 0,75% Törlesztőrészletek száma ( *l) 360 Kezdő periódus ( k ) 1 Végső periódus (m) 2 ( + r *) ( 1+ r *) k m, k = PV * l 1 [ m k + ( ) ] 1+ r 1 Két periódus alatt kifizetett tőkerész- 137 Ft 1. Fejezet A péz időértéke

69 Megmodja a törlesztő auitás futamideje alatt kifizetett kamat összegét két periódus között KÉPLETE:=CUMIPMT(kamatláb, törlesztőrészletek száma, jeleérték, kezdő periódus, végső periódus, típus) Nyers adatok Éves kamatláb ( r ) 9% Időszakhatározó: Megmutatja Futamidő ( ) 30 év mikor esedékes a kamatfizetés Hitel összege (PV) Ft Időszak végé 0 Kamatfizetés módja 0 Időszak elejé 1 Törlesztés gyakorisága évete ( l ) Származtatott adatok Periódus kamatlába (r*=r/l) 0,75% Törlesztőrészletek száma ( *l) 360 Kezdő periódus ( k ) 13 Végső periódus (m) 24 ( m k) Cm k I m, k = PV* AFr, **, Két periódus alatt kifizetett kamat Ft dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

70 72 Kiszámítja a bakári diszkotlábat KÉPLETE:=DISC(árfolyamszámítás apja, lejárat, árfolyam, évérték, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja (TP): Kamatfizetés módja Lejárat (TF): Német elhagyható, vagy 0 Árfolyam (PV) Agol 1 Névérték (N) Fracia 2 Kamatfizetés módja 0 téyleges/365 3 A bakári diszkotláb 15,00% Képlettel 15,00% d = N PV N 360/ 365 TF TP 1. Fejezet A péz időértéke

71 73 Kiszámítja egy váltó árfolyamát, ha a bakári diszkot adott KÉPLETE:=PRICEDISC(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, bakári diszkot, évérték, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja (TP): Kamatfizetés módja Lejárat (TF): Német elhagyható, vagy 0 Bakári diszkot ( d ) 15,00% Agol 1 Névérték ( N ) Ft Fracia 2 Kamatfizetés módja 0 téyleges/365 3 Diszkotérték Ft TF TP PV= N 1 d 360/365 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

72 74 Kiszámítja egy elemi értékpapír ettó árfolyamát, ha az elvárt hozam adott KÉPLETE:=PRICEMAT(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kibocsátás apja, évleges kamat, piaci kamat, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja (TP): Kamatfizetés módja Lejárat (TF): Német elhagyható, vagy 0 Kibocsátás apja (TI) Agol 1 Névleges kamatláb ( R) 20% Fracia 2 Piaci kamatláb ( r ) 25% téyleges/365 3 Kamatfizetés módja 2 TF TI Árfolyam: (PV) 99,65 Ft 99,69 Ft PV 1 + r 1 + r 360 / 365 TF TP 360 / 365 = TP TI * r 360 / 365 * Fejezet A péz időértéke

73 75 Egy váltó évértékét adja meg, ha a bakári diszkot adott. KÉPLETE:=RECEIVED(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, bakári diszkot, kamatfizetés módja ) Árfolyamszámítás apja (TP): Kamatfizetés módja Lejárat (TF): Német elhagyható, vagy 0 Árfolyam (PV) Ft Agol 1 Bakári diszkot ( d ) 15,00% Fracia 2 Kamatfizetés módja 0 téyleges/365 3 Névérték Ft N = 1 d PV TF TP 360 / 365 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

74 76 Egy váltó matematikai diszkotrátáját számolja ki KÉPLETE:=INTRATE(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, évérték, kamatfizetési mód ) Árfolyamszámítás apja (TP): Kamatfizetés módja Lejárat (TF): Német elhagyható, vagy 0 Árfolyam (PV) Ft Agol 1 Névérték ( N ) Ft Fracia 2 Kamatfizetés módja 0 téyleges/365 3 A matematikai diszkotláb ( r ) 15,38% Képlettel 15,38% r = N PV PV 360 /365 TF TP 1. Fejezet A péz időértéke

75 77 Kiszámolja az effektív éves hozamot KÉPLETE:=EFFECT(omiális kamatláb, éves kamatfizetési gyakoriság) Kamatláb (R) 8,00% Éves kamatfizetési gyakoriság ( m ) 4 Effektív éves hozam (Re) 8,24% r e r m = m dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

76 78 Kiszámolja a omiális kamatlábat, ha adott az effektív kamatláb és a kamatfizetési gyakoriság KÉPLETE:=NOMINAL(effektív kamatláb, éves kamatfizetési gyakoriság) Effektív éves hozam 21,55% Éves kamatfizetési gyakoriság 4 Nomiális hozam 20,00% r ( 1+ 1) = m r e m* 1. Fejezet A péz időértéke

77 79 Kiszámolja egy gyűjtő auitás jövőértékét az utolsó járadéktag esedékességekor KÉPLETE:=JBÉ(kamatláb, befizetések száma, járadéktag, jeleérték, típus ) Nyers adatok Éves kamatláb ( r ) 13% Típus: Megmutatja Futamidő ( ) 10 év mikor esedékes a kamatfizetés Járadéktag ( c ) Ft Időszak vég0 vagy elmarad Jeleérték (PV) - Ft Időszak elej 1 Típus 1 Befizetés évi gyakorisága 12 Származtatott adatok Periódus kamatlába 1,08% Befizetések száma FV = c r m m* 1 + PV 1 + r m r m m* Jövőérték Ft dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

78 80 Kiszámolja egy összeg jövőbei értékét, ha az időszakba külöböző kamatlábak voltak KÉPLETE:=FVSCHEDULE(összeg, kamatlábsorozat) Összeg Ft Gyakoriság 4 Ft Negyedév Kamatlábak 23,0% 21,5% 21,0% 20,5% 20,5% 20,0% 19,0% 18,0% Időszaki kamatlábak 5,8% 5,4% 5,3% 5,1% 5,1% 5,0% 4,8% 4,5% Jövőbei érték Ft 1. Fejezet A péz időértéke

79 81 Kiszámolja egy törlesztő auitás járadéktagját KÉPLETE:=RÉSZLET(kamatláb, futamidő, jeleérték, jövőérték, típus ) Nyers adatok Éves kamatláb ( r ) 7% Típus: Megmutatja Futamidő ( ) 10 év mikor esedékes a kamatfizetés Jeleérték (PV) Ft Időszak végé 0 vagy elmarad Jövőérték (FV) - Ft Időszak elejé 1 Típus 1 Befizetés évi gyakorisága ( m ) 12 Származtatott adatok Periódus kamatlába 0,58% Befizetések száma 120 c = PV 1 + FV * m r m r m r m * m r m * m 1 Járadéktag ( c ) Ft dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

80 82 Kiszámolja a k-dik törlesztő auitás kamatterhét KÉPLETE:=RRÉSZLET(kamatláb, időszak, törlesztőrészletek száma, jeleérték, jövőbei érték, típus ) Nyers adatok Éves kamatláb ( r ) 7% Típus: Megmutatja Futamidő ( ) 10 év mikor esedékes a kamatfizetés Időszak ( k ) 2 Időszak végé 0 vagy elmarad Jeleérték (PV) Ft Időszak elejé 1 Jövőbei érték (FV) - Ft Típus 1 Befizetés évi gyakorisága ( m ) 12 Ha FV = 0, akkor Származtatott adatok Periódus kamatlába (r*) 0,58% Törlesztőrészletek száma (*m) 120 I = PV* AF, r* C Kamatrész agysága Ft 1. Fejezet A péz időértéke

81 83 Kiszámolja egy törlesztő auitás tőkerészét egy adott időszak alatt KÉPLETE:=PRÉSZLET(kamatláb, időszak, törlesztőrészletek száma, jeleérték, jövőérték, típus ) Nyers adatok Éves kamatláb ( r ) 7% Időszakhatározó: Megmutatja Futamidő ( ) 10 év mikor esedékes a kamatfizetés Időszak ( k ) 2 Időszak végé 0 vagy elmarad Jeleérték (PV) Ft Időszak elejé 1 Jövőbei érték (FV) - Ft Típus 1 Ha FV = 0, akkor Befizetés évi gyakorisága ( m ) 12 k 1 (1 + r*) r Származtatott adatok C = PV * m Periódus kamatlába (r*) 0,58% (1 + r*) 1 Törlesztőrészletek száma (*m) 120 Törlesztő auitás tőkerésze Ft dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

82 84 Egy törlesztő auitás jeleértékét mutatja meg egy időszakkal az első kamatfizetés előtt KÉPLETE:=ME(kamatláb, időszakok száma, járadéktag, jövőbei érték, típus ) Nyers adatok Kamatláb ( r ) 22% Időszakhatározó: Megmutatja Futamidő ( ) 5 év mikor esedékes a kamatfizetés Járadéktag ( c ) 50 Ft Időszak végé 0 vagy elmarad Jövőérték (FV) - Ft Időszak elejé 1 Típus 0 Gyakoriság ( m ) 12 Származtatott adatok Periódus kamatlába 1,83% Befizetések száma 60 PV = c r m r m m* * m 1 r m FV r m * m Jeleérték (PV) Ft 1. Fejezet A péz időértéke

83 85 A gyüjtő és törlesztő auitás esetébe számolja ki a periódusszámot KÉPLETE:=PER.SZÁM(kamatláb, járadéktag, jeleérték, jövőérték, típus ) Nyers adatok Kamatláb ( r ) 4% Járadéktag ( c ) Ft Jeleérték (PV) - Ft Időszakhatározó: Megmutatja Jövőérték (FV) Ft mikor esedékes a kamatfizetés Típus 0 Időszak végé: 0 vagy elmarad Gyakoriság (m) 1 Időszak elejé: 1 Származtatott adatok Kamatláb 4,00% 1 + FV = c r m r m m* 1 + PV 1 + r m m* Periódusok száma 10 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

84 86 1. Fejezet A péz időértéke

85 87 Egy 100 Ft évértékű periódikusa kamatozó kötvéy ettó árfolyamát adja eredméyül (általáos értékképlet) KÉPLETE:=PRICE(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, évleges kamat, elvárt hozam, visszaváltási árfolyam, kamatfizetési gyakoriság, bázis ) Árfolyamszámítás apja Gyakoriság Érték Lejárat apja Éves 1 Névleges kamatláb 12% Féléves 2 Piaci kamatláb 10% Negyedéves 4 Visszaváltási árfolyam (100= Névérték) 100 Gyakoriság: 2 Kamatfizetés módja: 1 Kamatfizetés módja Névérték Ft Német elhagyható, vagy 0 Agol 1 Értékpapír ettó árfolyama %-ba 106,87% Fracia 2 Értékpapír ettó ára Ft téyleges/365 3 Bruttó árfolyam Ft dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

86 88 Egy periódikusa kamatozó kötvéy hozamát adja eredméyül (Általáos értékképletből) KÉPLETE:=YIELD(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, évleges kamat, ettó árfolyam, évérték, kamatfizetési gyakoriság, bázis ) Árfolyamszámítás apja Gyakoriság Érték Lejárat Éves 1 Névleges kamatláb 20% Féléves 2 Nettó árfolyam 89,500 Negyedéves 4 Visszaváltási érték 100 Ft Gyakoriság: 1 Kamatfizetés módja: 0 Kamatfizetés módja Német elhagyható, vagy 0 Agol 1 Értékpapír hozama 25,01% Fracia 2 téyleges/365 3 r : = PV = CF ( r ) i= i i 1. Fejezet A péz időértéke

87 89 A törlesztő auitás kamatlábát adja eredméyül KÉPLETE:=RÁTA(futamidő, járadéktag, jeleérték, jövőbei érték, típus, becslés ) Nyers adatok Futamidő 5 év Típus: Megmutatja Járadéktag Ft mikor esedékes a kamatfizetés Jeleérték Ft Időszak vég 0 Jövőbei érték - Ft Időszak elej 1 Típus 0 becslés 7,00% Becslés alapérték 10% Gyakoriság 4 20 iterációs lépésig megy Származtatott adatok Időszakok száma 20 Auitás kamatlába 5,62% 1 + PV = c 1 + r m r m m* 1 * m r m + FV * m r 1 + m A képletből határozza meg iterációval r/m értékét. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

88 90 Egy váltó matematikai diszkotját mutatja KÉPLETE:=YIELDDISC(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, árfolyam, évérték, kamatszámítási mód ) Árfolyamszámítás apja (TP): Kamatszámítás módja Lejárat apja (TF): Német elhagyható, vagy 0 Árfolyam (PV) 98 Agol 1 Névérték ( N ) 100 Ft Fracia 2 Kamatszámítási mód 2 téyleges/365 3 A váltó hozama 11,85% r = N PV PV 360 /365 TF TI 1. Fejezet A péz időértéke

89 91 Egy elemi kötvéy hozamát számolja ki KÉPLETE:=YIELDMAT(árfolyamszámítás apja, lejárat apja, kibocsátás apja, omiális kamat, ettó árfolyam, kamatszámítási mód ) Árfolyamszámítás apja (TP) A kicstárjegy lejárati apja (TF) Kibocsátás apja (TI) Nomiális kamat (R) 6,25% Nettó árfolyam (PV) 100,0123 Kamatszámítási mód 1 r TF TI 100* 1+ r 360/ /365 = 1 TP TI PV r TF TP + 100* 360/365 A kamatozó kicstárjegy hozama ( r ) 6,0974% dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

90 Mottó: A tipikus beruházás folyamata Ötlet Lelkesedés Megvalósítás Páik A bűös keresése Az ártatla megbütetése 2. Fejezet Beruházás-értékelési módszerek A fejezet célja, bemutati: statikus és diamikus beruházás-értékelési módszereket, a beruházás-értékelési módszerek előyeit és hátráyait a ettó jeleérték módszerrel összehasolítva, éháy példát a ettó jeleértéke kívüli módszerek gyakorlati alkalmazhatóságára. Beruházásak evezzük azokat az egy éve túli befektetéseket, melyek reáleszközökbe, azaz em pézügyi vagyotárgyakba iráyulak. A beruházások tárgya tehát igatla, gép, beredezés, szoftver, licec, stb lehet. A beruházásokkal jeletős profitot lehet eléri, de a bukás veszélye is ige agy lehet. A reáleszközök piaca a pézügyi vagyotárgyakéval szembe biztos, hogy em hatékoy. A hatékoy piacok jellemzői ugyais, hogy Az iformációk mideki számára igyeese és azoal redelkezésre állak. Nicseek trazakciós költségek, azaz az ügyleteket végrehajtása azoal és igye végre tudjuk hajtai. A befektetők racioálisak, azaz egyetle szempotjuk a személyes vagyouk maximalizálása. A hatékoytalaság következméye, hogy: Az elérhető beruházási lehetőségek agysága korlátozott, és/vagy A beruházások fiaszírozására szolgáló pézeszközök meyisége korlátozott, és/vagy A fiaszírozási források lejárata korlátozott, és/vagy A beruházások csak meghatározott összegbe hajthatók végre - em darabolhatók, és/vagy, Egyes beruházások megvalósításáak előfeltétele más beruházások megvalósítása - kapcsolt beruházások, és/vagy A beruházási dötés emcsak pézügyi szempotok szerit törtéhet, és/vagy A beruházások kockázata és ezzel összefüggésbe az elvárt hozam csak eheze becsülhető. A feti okok miatt a beruházások értékelésére ics általáosa elfogadott, egységes értékelési redszer. A gyakorlatba több módszer terjedt el, ami mid egy-egy szempotot hagsúlyoz ki. Ez azoba em jeleti, hogy a módszerek egyformá jók

91 leéek. Az egyes módszerekek több-kevesebb hibájuk va. Majd meglátjuk, hogy a ettó jeleérték módszer az, ami a legikább ajálható a beruházások értékelésére. A 2. fejezetbe em foglalkozuk kockázattal és a beruházásoktól elvárt hozamot is adottak tételezzük fel. A hozam meghatározásával a 6. fejezet, a kockázatkezeléssel a 4. fejezet foglalkozik. A beruházás-értékelési módszerekkel kapcsolatba 3 követelméy fogalmazható meg, meg: A beruházás-értékelési módszer legye közvetle összefüggésbe a vállalat stratégiai céljával, Adjo egy világos dötési szabályt arra voatkozóa, hogy melyik beruházást fogadjuk el vagy utasítsuk el, Segítségével ragsoroli tudjuk a beruházásokat. Az alábbiakba megvizsgáljuk, hogy az egyes módszerek hogya mérik a 2. és a 3. potot és hogya teljesítik az 1. követelméyt Statikus módszerek A beruházás-értékelési módszereket aszerit csoportosíthatjuk, hogy figyelembe veszik-e a péz időértékéek elvét. Statikus beruházás-értékelési módszerekek evezzük azokat az eljárásokat, amelyek em veszik figyelembe a péz időértékét, a külöböző időpotbeli pézeket közvetleül hasolítják össze. A péz időértékét figyelembe vevő módszereket diamikus (vagy diszkotáló) módszerekek evezzük. A fejezetbe tárgyalt statikus módszerek a következők: Legkisebb költség Megtérülési idő Számviteli profitráta Legkisebb költség módszer (Smallest Cost - SC) A legkisebb költség módszer szerit azt a beruházást kell megvalósítai, amelyik a legkevesebb pézbe kerül. A módszer jellemzőit a 2.1. Táblázat foglalja össze: 2.1. Táblázat Számítása: Beruházási költségek összehasolítása Stratégiai cél: Beruházási költségmiimalizálás Elfogadás feltétele Téyleges költség < Meghatározott költség Ragsorolás: Költségek szerit övekvő sorred A legkisebb költség módszer ics tekitettel a beruházás hozamaira, csak költségeire Példa 93 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

92 94 Egy vállalat három beruházást fotolgat. A három beruházás kiadásait ezer foritba a következő táblázat mutatja: Beruházás 1. év 2. év 3. év eve A B C A legkisebb költség módszer szerit melyik beruházást fogadja el a vállalat. Tételezzük fel, hogy az elfogadott beruházási költségkeret 15 millió forit! Adjuk össze a beruházási kiadásokat! Az "A" eft-ba, a "B" be és a "C" be kerül. A fetiek szerit a "C"-t fogjuk elfogadi, mivel ez kerül a legkevesebbe Megtérülési idő módszer (Payback - PB) A megtérülési idő módszer már a beruházás hozamait hasolítja össze a beruházási kiadásokkal. A beruházás megtérülési ideje megmutatja, hogy a beruházás pézáramaiak összege meyi idő múlva éri el a beruházási pézkiadást. A módszer jellemzőit a 2.2. Táblázat foglalja össze: 2.2. Táblázat Számítása: P0 : = CF i i= 1 Stratégiai cél: Likviditás megőrzése, jövedelmezőség övelése Elfogadás feltétele Téyleges PB < Meghatározott PB Ragsorolás: Megtérülési idő szerit övekvő sorred Ahol P 0 - a beruházás költsége, CF i - a beruházás i-dik időpotba esedékes pézárama, - a beruházás megtérülési ideje Példa A vállalat alábbi három beruházásáak számolja ki a megtérülési idejét! Értékelje a beruházásokat, ha tudjuk, hogy a vállalat által megkívát megtérülési idő 3 év! 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

93 95 Pézáram millió foritba Beruházás 0. év 1. év 2. év 3. év A B C A pézáramok kiszámításáak általáos meete, hogy a beruházás pézáramait kumuláljuk és megézzük, hogy a kumulált pézáram mikor lesz agyobb vagy egyelő, mit zérus. A kumulált pézáramokat az alábbi táblázat mutatja: Kumulált pézáram millió foritba Beruházás 0. év 1. év 2. év 3. év A B C Az "A" beruházás megtérülési ideje potosa két év, mivel az első két év pézárama eléri a tőkekiadást, a 10-et. A "B" beruházás a 2. évbe em térül meg, mivel az első két év pézáramáak összege (13) em éri még el a tőkekiadást (15). A harmadik év végé viszot már több a pézáramok összege (18), mit a tőkekiadás. A megtérülési idő meghatározásáál feltételezhetjük, hogy a beruházás éves pézáramai egy összegbe, az év végé esedékesek. Ekkor a "B" beruházás megtérülési ideje 3 év. A másik lehetőség, hogy feltételezzük, hogy a beruházás pézárama az adott év folyamá egyeletese áramlik a vállalathoz (ez a gyakorlati élethez közelebb áll), ekkor iterpolációval állapíthatjuk meg azt a tört évet, ami alatt a beruházás megtérül. A táblázatból láthatjuk, hogy a beruházás a 2. és a 3. év között térül meg. A 2. évbe még 2 egység em térült meg, a 3. évbe összese 5 egység folyik be, a kettő háyadosa adja a megtérülési idő tört évét. A megtérülési idő így 2 + 2/5 = 2,4 év. A "C" pézáram 3 év alatt em éri el a tőkekiadást, így ics megtérülési ideje. A fetiekből következik, hogy az "A" és "B" beruházást elfogadjuk, a "C"-t elutasítjuk. Ragsorolás szempotjából pedig az a beruházás kedvezőbb, amelyik hamarabb térül meg, tehát a sorred 1. - A (2 év), 2. - B (2,4 év) Számviteli profitráta módszer (Accoutig Rate of Retur - ARR) Az összes többi befektetés-értékelési módszerrel szembe a számviteli profitráta módszer a beruházási kiadásokat em a beruházás hozamaival, haem a beruházás várható átlagos eredméyével (általába üzemi eredméy) veti egybe. A számviteli profitráta a beruházás átlagos jövedelmezőségét számítja ki oly módo, hogy a beruházás által várható átlagos profitot osztja vagy a beruházási kiadással vagy a beruházás átlagos köyv szeriti értékével. A módszer jellemzőit a 2.3. Táblázat foglalja össze: dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

94 Táblázat Számítása: ARR = 1 i= 1 P E i 0 Stratégiai cél: ROA mutató maximalizálása Elfogadás feltétele Megkívát ARR < Téyleges ARR Ragsorolás: Számviteli profitráta szerit csökkeő sorred Ahol P 0 - a beruházás költsége vagy az átlagos köyv szeriti érték, E i - a beruházás i-dik időpotba esedékes eredméye, - a beruházás élettartama, ARR - a beruházás számviteli profitrátája. A számviteli profitráta módszerél ics koszezus a ráta számítási módjára voatkozóa. Profitkét általába az üzemi eredméyt, vagy az adózott eredméyt haszálják. A evező pedig vagy a beruházás költsége, vagy a beruházás átlagos köyv szeriti értéke Példa Egy beruházás adatait a következő táblázat mutatja millió foritba: Évek 0. év 1. év 2. év 3. év Pézáramok A beruházási kiadást 3 év alatt bruttó lieáris kulcs szerit amortizálják. Tekitsük el az adóktól, a kamat- és osztalékfizetéstől. Mekkora a beruházás számviteli profitrátája? Mit taácsol, ha a vállalat elvárt ARR-je 10%? A pézáramokból először ki kell számoluk a yereséget. A yereség az árbevétel és az árbevétel elérése érdekébe felmerült költségek külöbsége, míg a pézáram a pézbevétel és pézkiadás külöbsége. Midkettőt egy adott időtartamra értelmezzük. A két kategória között számos eltérés lehetséges, de ebbe a példába csak az amortizációra esik utalás. Az amortizációt le kell voi a pézáramból, mivel em pézkiadás, de költség, így az eredméyt csökketi, de a pézáramot em. Az éves amortizáció mide évbe a beruházási költség harmada (5) lesz a leírási mód miatt. A beruházás eredméyadatait a következő táblázat tartalmazza: 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

95 millió foritba Évek 0. év 1. év 2. év 3. év Pézáramok Amortizáció Eredméy Köyv szeriti érték Az átlagos profit 2 lesz. (0+2+4)/3=2. Ha ezt a beruházási költséggel osztom, az eredméy 13,33% (2/15). Mivel a beruházás számviteli profitrátája magasabb, mit az elvárt (10%), ezért elfogadásra javaslom a programot. Ha a számviteli profitráta evezőjébe az átlagos köyv szeriti érték va, akkor az utolsó sor égy adatából kell számtai átlagot számoli. Az átlagos köyv szeriti érték az iduló tőkekiadás fele, azaz 7,5 lesz. ( )/4=7,5. A számvitel profitráta ekkor az előző érték duplája 26,66%. (2/7,5=26,66%.) A statikus módszerek előyei és hátráyai 2.4. Példa Egy vállalat 5 külöböző beruházási lehetőséget fotolgat. Tételezzük fel, hogy a beruházások egymástól függetleül megvalósíthatók és a redelkezésükre álló pézösszeg korlátla. A vállalat elveti a 20 egységél agyobb költségű programokat, 3 éves megtérülést vár el, és a megkívát számviteli profitrátája 15%. A vállalat a beruházási kiadást 3 év alatt bruttó lieáris kulcs szerit számolja el. Értékelje és ragsorolja az egyes beruházási alteratívákat a tault három statikus módszer segítségével! Folyamatos pézáramlást tételezze fel! Tekitse el az adóktól! Az egyes beruházások pézáramait a 2.4. Táblázat tartalmazza: 2.4. Táblázat Pézáram millió foritba Beruházások A B C D E A legkisebb költség módszer szerit a "C" és "D" em elfogadható, mivel túllépi a költségkorlátot. A többi elfogadható, és közöttük a ragsor: 1. - "B" és "E" (10), és 2. - "A". 97 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

96 98 A feti megoldásból látszik a módszer hátráyos tulajdosága. A módszer ics tekitettel a befektetés hozamaira. A módszer első helyre hozta ki az E-programot, mivel a többihez képest olcsó, holott látható, hogy agy bukást jelet. Ezért a módszert olya beruházásokál alkalmazzák, ahol a beruházás megvalósítása már eldötött téy és a megvalósítás legkedvezőbb alteratíváit vizsgálják. A megtérülési idők kiszámításához kumuláljuk a pézáramokat. A beruházások kumulált pézáramait a 2.5. Táblázat tartalmazza: 2.5. Táblázat millió foritba Kumulált pézáramok A B C D E A táblázat alapjá a megtérülési idők a következők: "A": 1 év; "B": 2 év; "C": 2,25 év; "D": 2 év; "E": 0,29 év. Azo programokál, melyek egész év alatt térülek, az első 0 időpotja mutatja a megtérülést. A "C" program esetébe 2 egész év utá 4-ek kell térüli, miközbe az egész év alatt 16 térül - így a megtérülés 2 + 4/16 = 2,25 év. Az "E" esetébe az 1. év alatt térül a program. A beruházási költséget osztjuk az első év hozamával (10/35=0,29). Mivel a megkívát megtérülési idő 3 év, mid az 5 programot megvalósításra ajáljuk. A programok megtérülési idő szeriti ragsora a következő: 1 - "E", 2 - "A", 3 - "B" és "D", 4 - "C" A sorred megit torzít. Eek oka a megtérülési idő módszer éháy hátráyos tulajdosága: Nem veszi figyelembe a megtérülési idő utái pézáramokat. A megtérülési idő is az "E" programot hozta ki az első helyre amiatt, mert az első évi pézárama agyobb, mit a beruházási kiadás. Viszot a második évi agy míusz a program értékét teljese lerotja, de ezt a megtérülés már em veszi figyelembe. Nem veszi figyelembe a péz időértékét - Az "A" program tipikus "péz az ablakba" program. 20-at befektetük és 20-at kapuk 1 év múlva. Ilye erővel egy párába is bevarrhattuk vola pézüket. A befektető itt gyakorlatilag vesztett, mivel ha bakba teé a pézét, 1 év alatt az is kamatozott vola valameyit. A megtérülési idő módszer egy agol kutatás szerit mégis a legépszerűbb befektetésértékelési módszer. Va ugyais éháy agyo előyös tulajdosága is. Ezek a következők: Számítása egyszerű, kocepciója köye belátható. 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

97 Támogatja a vállalat likviditását - Ha a vállalat fiaszírozása bizoytala, vagy csak rövid távo megoldott, a beruházás miél hamarabbi megtérülése közpoti kérdés. Az idő múlásával a pézáramra voatkozó becslésük is bizoytalaá válik. Ez aál ikább igaz, miél bizoytalaabb piaci köryezetbe működik a vállalkozás. Gyorsa változó köryezetbe a beruházásokak is gyorsa kell megtérüliük, hisze em tudjuk, "mit hoz a jövő". A feti okokból a megtérülési idő módszer főleg kisvállalkozásokak ajálható, ahol em elsősorba a vagyoövelés, haem a vállalkozás életbe maradása és eze keresztül a család egziszteciájáak megtartása a cél. Az utóbbi 2 ok miatt a megtérülési idő agyobb vállalkozásokál sem megkerülhető, és kiválóa alkalmazható "szűrőszabály"-két. A fejlettebb értékelési módszerekkel csak azokat a beruházásokat fogjuk megvizsgáli, amelyek teljesítették a megtérülési időre voatkozó követelméyt. A számviteli profitráta kiszámításához először a pézáramokból ki kell számoluk az eredméyt úgy, hogy az amortizációt levojuk a pézáramokból. Az eredméyadatokat, az átlagos eredméyt és a számviteli profitrátát a 2.6. Táblázat tartalmazza: 2.6. Táblázat Beruházások Átlagos ARR eredméy A ,33-6,67-6,67 0,00 0,00% B -10 1,67 1,67 1,67 1,67 16,67% C -30 2,00 4,00 6,00 4,00 13,33% D -30 6,00 4,00 2,00 4,00 13,33% E ,67-33,33-3,33-1,67-16,67% Az eredméyadatokat úgy kapjuk, hogy a beruházási kiadások harmadát mide pézáramból levojuk. Például az "A" beruházás esetébe az 1. év eredméye = 20-20/3= 13,33; a "B" beruházásál a három év eredméye: 5-10/3 = 1,67; stb. Az átlagos eredméy a 3 eredméy számtai átlaga. Az ARR kiszámításhoz az átlagos eredméyt osztjuk a beruházási kiadással. Mivel az elvárt ARR 15%, csak a "B" program elfogadható. Az ARR szeriti sorred a következő: 1. - "B"; 2. - "C" és "D"; 3. - "A"; 4. - "E" A módszer kihozta a legrosszabbak az "E"-t és az "A"-t, és a "B" valóba attraktívak tűik, de az ARR-t mégis a legikább problematikus módszerek ismerik. Az ARR hátráyai a következők: Az átlag sok iformációt elfed - A program szerit a "C" és "D" program egyeértékű, holott látható, hogy a "D" jobb, mivel a magasabb pézáramok vaak előbb és a kisebbek később. A külöböző időpotbeli pézáramok átlagolásával em vesszük figyelembe a péz időértékét. Az átlag em tükrözi a program élettartamát sem, ha egy 99 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

98 éves és egy 3 éves programak ugyaaz az ARR-je, yílvá a 10 éves az attraktívabb, ha az ARR pozitív, hisz az adott eredméy több évig folyik be hozzák. A számítások sorá profit- és em pézáramadatokat haszáluk. Az ARR számolása sorá kétszer vesszük figyelembe a tőkekiadást. Egyszer, amikor kifizetjük (evező), másrészt mikor amortizációkét kiszámoljuk (számlálót csökketjük). Ezáltal a programokat kevésbé attraktívakak tütetjük fel, mit amilyeek a valóságba. A profitadatokat a téyleges pézáramokhoz képest számos adat torzíthatja, pedig igazából mide befektetőt csak egy dolog érdekel: a pézáram, azaz meyi pézt fizetett a programért és a jövőbe meyi pézt fog viszotláti. Az ARR-ek igazából icseek előyös tulajdoságai. Riasztó példakét szokták emlegeti, hogy hogya em szabad programot értékeli. Általába akkor haszálják befektetés-értékelési módszerkét, amikor a vállalat stratégiai célja az eszközaráyos jövedelmezőség (ROA) övelése. Az ARR a beruházásra vetített ROA, így mide olya program elfogadható, melyek ARR-je magasabb, mit a vállalat jelelegi ROA mutatója Diamikus módszerek A diamikus módszerek figyelembe veszik a péz időértékét, azaz közös evezőjük, hogy a külöböző időpotbeli pézekek egy elvárt hozam segítségével kiszámoljuk a jeleértékét. A diamikus módszereket ezért diszkotáló módszerekek is hívják Diszkotált megtérülési idő módszer (Discouted Payback - DPB) A módszer a megtérülési idő módszer alkalmazása, de már diszkotált jövőbeli pézáramokra. A beruházás diszkotált megtérülési ideje megmutatja, hogy a beruházás pézáramaiak jeleérték-összege meyi idő múlva éri el a beruházási pézkiadást. A módszer jellemzőit a 2.7. Táblázat foglalja össze: 2.7. Táblázat Számítása: P: = 0 CF i i= 1 ( 1 + r) Stratégiai cél: Likviditás megőrzése, jövedelmezőség övelése Elfogadás feltétele Megkívát DPB > Téyleges DPB Ragsorolás: Megtérülési idő szerit övekvő sorred Ahol P 0 - a beruházás költsége, CF i - a beruházás i-dik időpotba esedékes pézárama, - a beruházás megtérülési ideje, r - beruházástól elvárt hozam. i 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

99 2.5. Példa Vegyük ismét a 2.2. példa adatait, de tételezzük fel, hogy a beruházó által elvárt hozam 10%. Számolja ki most a három beruházás megtérülési idejét! Értékelje a beruházásokat, ha tudjuk, hogy a vállalat által megkívát megtérülési idő 3 év. A példa adatai az alábbiak. Pézáram millió foritba Beruházás 0. év 1. év 2. év 3. év A B C A diszkotált megtérülési idő számításához először számoljuk ki az egyes évek pézáramáak jeleértékét, majd ezekkel számoljuk ki a kumulált pézáramot. A beruházás pézáramáak jeleértékei a következők: millió foritba Diszkotértékek 0. év 1. év 2. év 3. év A -10 4,55 4,13 3,76 B -15 6,36 4,96 3,76 C -20 5,45 4,96 4,51 (Például a "B" beruházás 2. évi pézáramáak jeleértékét úgy kapjuk, hogy a beruházás pézáramát megszorozzuk az adott évi diszkotfaktorral. Képlettel: 1 (2.1) PV = FV DF r, = 6 = 4, ,1 A jeleértékek kiszámítása utá a 2.2. Példához hasolóa képezzük a kumulált pézáram táblázatot: millió foritba Kumulált értékek 0. év 1. év 2. év 3. év A -10-5,45-1,32 2,43 B -15-8,64-3,68 0,08 C ,55-9,59-5,08 Összehasolítva az eredméyeket a 2.2. Példa végeredméyével láthatjuk, hogy a diszkotált megtérülési idő midig hosszabb, mit a sima megtérülési idő. Eek oka, hogy a jövőbeli pozitív pézáramok jeleértéke kisebb, mit omiálértékük. A külöbség aál jeletősebb, miél agyobb a befektetők által elvárt hozam, és miél hosszabb volt az eredeti megtérülési idő. A példákba a "C" befektetés em térül meg, a "B" éppe a harmadik évbe térül, az "A" megtérülési ideje 2,35 év (2 év + 1,32/3,76 év) Nettó jeleérték módszer (Net Preset Value) A ettó jeleérték módszer a pézügyi taköyvek által legikább ajálott beruházásértékelési módszer, és eek tárgyalásáak fogjuk szeteli az egész 3. fejezetet. Eek 101 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

100 102 oka két olya tulajdosága, mellyel más befektetés-értékelési módszer em redelkezik. Ezek: Ha a vállalat célja a vállalat tulajdoosaiak vagyomaximalizálása (pézügyi taköyvekbe általába ezt tételezik fel leggyakrabba célkét), akkor a ettó jeleérték közvetleül azt mutatja, hogy az adott beruházás hogya hat erre a végső célra. A dötéshez szükséges relevás iformációk a ettó jeleérték számításba beépíthetők. A ettó jeleérték additív - ha adott két beruházás "A" és "B", akkor NPV A +NPV B =NPV A+B A ettó jeleérték megmutatja, hogy az adott beruházás végrehajtása mekkora változást okoz a vállalat tulajdoosaiak vagyoába. A ettó jeleérték jellemzőit a 2.8. Táblázat mutatja: 2.8. Táblázat Számítása: NPV = P + 0 CF i i= 1 ( 1+ r) i Stratégiai cél: Vállalat tulajdoosaiak vagyomaximalizálása Elfogadás feltétele NPV>0 Ragsorolás: NPV szerit csökkeő sorred Ahol P 0 - a beruházás költsége, CF i - a beruházás i-dik időpotba esedékes pézárama, - a beruházás időtartama, r - beruházástól elvárt hozam, NPV - a beruházás ettó jeleértéke. A ettó jeleérték-számításál a beruházás belső értékét, amit bruttó jeleértékek is szoktak hívi (Gros Preset Value - GPV) és piaci árát hasolítjuk össze. A bruttó jeleérték megadja, hogy mi az az ár, amit maximálisa hajladóak vagyuk megadi a programért, azaz megadja a program értékét a számukra. Ha ebből levojuk a bekerülési árát, a beruházás költségét, megkapjuk, hogy mekkora változást okoza a program a tulajdoosok vagyoába, ha végrehajtaák a beruházást. Ha az NPV pozitív, akkor a tulajdoosok vagyoa őe, ha NPV egatív, a tulajdoosok vagyoa csökkee a megvalósítás sorá. Az NPV számítására ézzük egy egyszerű példát: 2.6. Példa Egy vállalat tervei szerit egy beruházásáak a következő pézáramlásai leéek a beruházás futamideje alatt: Pézáram millió foritba Évek 0. Év 1. Év 2.Év 3.Év 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

101 103 Pézáram A beruházástól elvárt hozam 20%. Számolja ki a beruházás NPV-jét! A ettó jeleérték kiszámítását a 2.9. Táblázat tartalmazza Táblázat millió foritba Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év Pézáram Diszkottéyező 1,000 0,833 0,694 0,579 Pézáram jeleértéke -100,00 41,67 48,61 52,08 Kumulált jeleérték -100,00-58,33-9,72 42,36 Bruttó jeleérték 142,36 A ettó jeleérték kiszámítása hasolóa törtéik a diszkotált megtérülési idő kiszámolásához, ayi az eltérés, hogy itt a program élettartamáak végéig kumuláljuk a pézáramok jeleértékét. A program ettó jeleértéke az utolsó évél található kumulált jeleérték, azaz 42,36. A beruházás 42,36 egységgel öveli meg a vállalat tulajdoosaiak vagyoát a program tervezői szerit. A vagyoövekedés azért következik be, mert a program a vállalat számára 142,36 egységet ér (ez a három pozitív pézáram jeleértékéek az összege), de a vállalatak csak 100 egységbe kerül a megvalósítása (ez a beruházás költsége). Egy beruházás ettó jeleértékét az Excel beépített pézügyi függvéyével is kiszámíthatjuk, még akkor is, ha a pézáram em ütemezett, haem a járadékközök eltérő hosszúságúak. A voatkozó két függvéy szitaktikája a következő: KÉPLET:=NMÉ(elvárt hozam, Pézáramok, Pézáramok) KÉPLET:=XNPV(elvárt hozam, pézáramok, dátumok) A függvéyek részletes leírását a 2.1. Melléklet tartalmazza Jövedelmezőségi idex módszer (Profitability Idex - PI) Az előzőekbe láttuk, hogy az NPV módszer az adott beruházás megvalósítása sorá végbemeő vagyováltozást mutatja. Korátsem midegy azoba, hogy ezt a vagyováltozást mekkora befektetett tőke árá éri el a vállalat. Külööse fotossá válik ez akkor, ha a vállalat em fogja az összes pozitív NPV-jű beruházását megvalósítai, mivel a redelkezésre álló forrásai szűkösek. Tőkekorlátról beszélük akkor, ha a vállalat em tudja az összes pozitív NPV-jű beruházást végrehajtai, mert a befektetedő összeg korlátozott. Ha a befektetedő összeg azért korlátozott, mert a tőkepiacoko a vállalat em képes többletforrásokat szerezi, külső tőkekorlátról beszélük. Azt az esetet, ha a vállalat képes vola új tőkét bevoi, de a vállalatvezetés mesterségese korlátozza az adott időszakba beruházható tőke meyiségét, belső tőkekorlátak hívjuk. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

102 104 Ha a tőkekorlát csak az adott évbe áll fe, egyperiódusú tőkekorlátról beszélük. Ha a tőkekorlát feállása folyamatos, többperiódusú tőkekorlátról va szó. Tőkekorlát esetébe fotossá válik a fajlagos NPV mérése, azaz aak kiszámítása, hogy egységyi befektetett tőkére mekkora vagyoövekedés esik. Ezt a jövedelmezőségi idex méri. A jövedelmezőségi idex megmutatja, hogy egységyi befektetett tőke mekkora hozamot hoz mai pézbe kifejezve. Más szóval, a beruházás elfogadása eseté háyszorozára övekedik a befektetett pézük. A jövedelmezőségi idex csak egyperiódusú tőkekorlát esetébe haszálható. Többperiódusú tőkekorláttal ebbe a jegyzetbe em foglalkozuk. A jövedelmezőségi idex jellemzőit a Táblázat mutatja: Táblázat Számítása: GPV PI = P0 Stratégiai cél: Fajlagos vagyoövekedés maximalizálása Elfogadás feltétele PI>1 Ragsorolás: Jövedelmezőségi idex szerit csökkeő sorred Ahol GPV - beruházás hozamaiak jeleértékösszege, a bruttó jeleérték, P 0 - a befektetett tőke agysága, PI - jövedelmezőségi idex Példa Egy beruházás pézáramait az alábbiak millió foritba: Évek 0. év 1. év 2. év 3. év Pézáramok A beruházástól elvárt hozam 10%. Mekkora a program NPV-je és jövedelmezőségi idexe? A bruttó jeleérték kiszámításához vegyük észre, hogy a hozamok évjáradékot alkotak, jeleértékösszegüket megkapjuk, ha a pézáramot az auitásfaktorral szorozzuk. (2.2.) 3 1,1 1 GPV = c AF r, = 10 = 24,87 3 0,1 1,1 A NPV = ,87 = +9,87. A beruházást érdemes megvalósítai, mivel pozitív az NPV-je. A program 15-be kerül, de a vállalat számára 24,87-t ér, azaz a vagyoövekedés mértéke 9,87. A jövedelmezőségi idex kiszámításához osszuk el a bruttó jeleértéket a befektetett tőkével. 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

103 GPV 24,87 (2.3.) PI = = = 1,66 P 0 15 A beruházás megvalósítása eseté tőkét 1,66 szorosára övekszik. Ha egy beruházásak pozitív az NPV-je, akkor a jövedelmezőséi idexe 1-él agyobb. GPV P0 + NPV NPV (2.4.) PI = = = 1+ P0 P0 P0, a PI csak akkor agyobb, mit 1, ha NPV pozitív szám, mivel P 0 midig pozitív. A fetiekből következik, hogyha az NPV módszer szerit elfogaduk egy beruházást, akkor elfogadjuk a jövedelmezőségi idex módszer szerit is, és ha elutasítuk egyet az NPV szerit, el fogjuk utasítai a PI módszer szerit is. A ettó jeleérték módszer és a jövedelmezőségi idex módszer elfogadási/elutasítási kritériuma kozisztes. Az az iformációs többlet, ami miatt a jövedelmezőségi idex módszert mégis alkalmazzuk, a programok ragsorolásáál jeletkezik, mikor a pozitív ettó jeleértékű programokak csak egy részét tudjuk megvalósítai a tőkekorlát miatt Példa Egy vállalatak va három egymástól függetleül megvalósítható beruházási javaslata. A beruházások tőkeigéyét és bruttó jeleértékét millió foritba az alábbi táblázat mutatja: Beruházás eve Tőkeigéy (P 0 ) Bruttó Jeleérték (GPV) A B 5 6,2 C 5 7 Melyik beruházást hajtja végre a vállalat, ha ics tőkekorlát? Melyiket ha a redelkezésre álló pézösszeg 10 millió forit és egy beruházást többször is megvalósíthat, mivel a kereslet korlátla? Melyiket valósítaá meg, ha egy beruházást csak egyszer lehet végrehajtai, és a beruházott összeg csökkeésével a bruttó jeleérték is aráyosa csökke, azaz részbe is meg lehet valósítai a beruházást? Melyiket valósítaá meg, ha egy beruházást csak egyszer lehet végrehajtai, és a beruházási alteratívákra a teljes összeget rá kell költei? A beruházási alteratívák NPV-it, PI-t és az NPV és PI szeriti ragsort a Táblázat mutatja: Táblázat Beruházások NPV PI NPV szeriti sorred PI szeriti sorred A 3 1, dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

104 106 B 1,2 1, C 2 1, Kérdés - Midhárom beruházást megvalósítom, mivel midkét módszer szerit teljesítik az elfogadás kritériumát. (Pozitív ettó jeleérték és 1-él agyobb jövedelmezőségi idex) 2. Kérdés - A jövedelmezőségi idex szeriti ragsor alapjá a "C" beruházást hajtom végre kétszer. A PI mutatja a tőkeegységre jutó fajlagos vagyoövekedést, így akkor érem el a legagyobb vagyogyarapodást, ha két "C"-t veszek. Vagyoom így 40%-al fog ői. 3. Kérdés - Megit a Jövedelmezőségi idex szeriti ragsor szerit dötök. A C -t és az A beruházás felét fogom megvalósítai. PI szerit csökkeő sorredbe redezem a beruházásokat, és addig fogadom el őket, míg pézem el em fogy. 4. Kérdés - Sajos képezem kell az összes végrehajtható beruházáskombiációt és azt kell megvalósítaom, amelyikek agyobb az összesített NPV-je. Látható, hogy ebbe az egyszerű példába két variáció jöhet szóba; vagy az "A"-t valósítom meg, amelyek NPV-je 3, vagy a "B"-t és a "C"-t, amiek összesített jeleértéke 2 + 1,2 = 3,2. Tehát az utóbbi megoldást választom. Látható, hogy a "B" beruházás mid NPV, mid PI szerit az utolsó a ragsorba, mégis megvalósítom, mivel kis mérete miatt még belefér a "keretbe". Azokat a beruházásokat, melyekél a befektetett tőkeösszeg csökkeésével a beruházás bruttó jeleértéke is aráyosa csökke, darabolható beruházásokak evezzük. Azo beruházásokat, melyekre az előbbiek em állak, em darabolható beruházásokak evezzük. A pézügyi befektetések jellemzőe darabolhatóak, a reáleszközökbe törtéő befektetések jellemzőe em. A 2. Kérdés által kíált feltételezés a kereslet végteleségéről sem jellemző általába, mivel a reálvagyotárgyak piaca em hatékoy. Ezért egyperiódusú tőkekorlát esetébe is csak agyo óvatosa lehet alkalmazi a jövedelmezőségi idex módszert Belső megtérülési ráta (Iteral Rate of Retur - IRR) A belső megtérülési ráta megmutatja, hogy a beruházás megvalósításával háy %-os kamatlábbal fektetjük be a pézüket, akkor, ha feltételezzük, hogy a beruházás hozamait is a belső megtérülési rátával tudjuk befekteti. A belső megtérülési ráta jellemzőit a Táblázat mutatja: Táblázat Számítása: CFi NPV:= 0 = P0 + i i= 1 ( 1+ IRR) Stratégiai cél: Hozamráta maximalizálása Elfogadás feltétele Megkívát IRR < Téyleges IRR Ragsorolás: Belső megtérülési ráta szerit csökkeő sorred 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

105 A belső megtérülési ráta a számítási képlet alapjá úgy tekithető, mit az a diszkotráta, amivel a beruházás ettó jeleértéke éppe zérus, vagy az a kamatláb, amivel diszkotálva a beruházás hozamait, a hozamok jeleértéke a beruházott tőkeagysággal lesz egyelő Példa 100 ezer foritot adok kölcsö egy ismerősömek, aki vállalja, hogy egy év múlva 120 ezer foritot ad vissza. Mekkora a befektetésem belső megtérülési rátája? Mekkora a belső megtérülési ráta, ha csak két év múlva adja meg a 120 ezer foritot? Mekkora a belső megtérülési ráta, ha mide év végé ezer foritot fizet? Mekkora a belső megtérülési ráta, ha a kölcsö törlesztése az alábbi sémát követi: Évek 1. év 2. év 3. év 4. év Törlesztések Kérdés - Helyettesítsük be a belső megtérülési ráta kiszámításáak képletébe: CF 120 (2.5.) 0 1 CF = NPV = P r = 1 = 1 = 20% 1 ( 1+ r) P0 100 Ha csak 1 darab jövőbeli hozam va, akkor a belső megtérülési ráta a 2.5. képlet szerit egyszerűe kiszámolható. A beruházás belső megtérülési rátája 20%, azaz a program egy 20%-al kamatozó befektetések felel meg. 2. Kérdés - A 2.5. egyeletbe helyettesítük be, de figyelembe vesszük azt, hogy em egy, haem két év múlva esedékes a fizetés. 120 (2.6.) r = 1 9,54% 100 A két év alatt megszerzett 20%-os hozam 9,54%-os évi téyleges (effektív) hozamak felel meg. 3. Kérdés - A belső megtérülési ráta képletébe törtéő behelyettesítéssel egy másodfokú egyelethez jutuk, amiek csak egy pozitív gyöke va, mivel csak egy előjelváltás va a pézáram tagjai között (Descartes tétele) A másodfokú megoldóképlet csak akkor alkalmazható, ha 2 jövőbeli hozama va a beruházásak. CF1 CF P = = r 1+ r 1+ r 1+ r (2.7.) r 100 r 140 ± r = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 1+ r) + 60 ( 1+ r) + 60 = r r + 60 = r + 20 = ± 166 = = 13,07% dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

106 108 A beruházás belső megtérülési rátája tehát 13,07%. A másik gyök em értelmezhető. A keresett kamatlábat egyszerűbb módo is megkaphatjuk, ha felfedezzük, hogy a két hozam auitást alkot. Ebbe az esetbe az egyelet a következőképpe egyszerűsödik. P0 + CF AFr,2 = AFr,2 = 0 (2.8.) ( 1+ r) AFr, = = 1,667 = 60 r ( 1+ r) 2 Ha r-re kifejezék a 2.8. képletet, megit egy másodfokú egyeletet kapák, de most haszálhatjuk az auitástáblát. Fussuk végig a táblázat 2. év sorá, és ézzük meg, hogy hol kapuk 1,667-es értéket. Az 1,667-es értékhez tartozó kamatláb lesz a keresett belső megtérülési ráta. A táblázatba azoba ilye érték ics. 12%-ál agyobb értéket - 1,690-t - találuk, 14%-ál már kisebbet - 1,647-t. Az auitásfaktor a kamatlábak mooto csökkeő függvéye. A belső megtérülési ráta közelítő értékét lieáris iterpolációval határozhatjuk meg. V V 1,667 1,647 (2.9.) e = e + A A ( ef ea ) = 12 % + 2% = 12% + 0,93% = 12,93% VF VA 1,690 1,647 Ahol, e a keresett lieáris iterpolációval becsült érték e A az alsó becslő kamatláb e F a felső becslő kamatláb V a belső kamatlábhoz tartozó auitásfaktor érték V A az alsó becslő kamatlábhoz tartozó auitásfaktor érték V F a felső becslő kamatlábhoz tartozó auitásfaktor érték 4. Kérdés - A feladatot már em tudjuk a 3. kérdésél ismertetett módoko megoldai, mivel egyedfokú egyeletet kapuk és auitást sem alkotak az egymást követő pézáramtagok. A mauális számolás ilyekor körülméyesebb. A meete a következő: Első lépéskét egy általuk megadott diszkotlábbal kiszámoljuk a program ettó jeleértékét. Ha a kapott NPV pozitív, a korábbiál magasabb kamatlábbal újraszámoljuk az egyeletet. Ha az NPV egatív, a korábbiál alacsoyabb kamatlábat választuk. A játékot vagy addig folytatjuk, amíg a kapott NPV elég közel em kerül a 0-hoz, vagy a képletbe behelyettesítve kapjuk a belső megtérülési ráta közelítő értékét. NPV (2.10.) IRR = r L L + ( rh rl ) NPVL NPVH Ahol r L - az alacsoyabb diszkotláb, r H - a magasabb diszkotláb, NPV L - az alacsoyabb diszkotlábhoz tartozó ettó jeleérték, NPV H - a magasabb diszkotlábhoz tartozó ettó jeleérték Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

107 Az előzőekbe ismertetett megoldás azoba csak akkor célravezető, ha a programak szabályos pézárama va. Egy befektetés pézárama akkor szabályos, ha csak egy előjelváltás fordul elő bee. Más szavakkal, szabályos egy befektetés pézárama akkor, ha csak egy belső megtérülési rátája va Ábra NPV Csak szabályos pézáramok esetébe igaz, hogy a diszkotráta függvéyébe a ettó jeleérték mooto csökke. Szabályos pézáramok esetébe az NPV és az IRR közötti összefüggést a 2.1. Ábra szemlélteti. Az ábrából látható, hogy szabályos pézáramok esetébe az NPV és az IRR ugyaazt az eredméyt adja az elfogadás, elutasítás kérdésére. Ha a befektetéstől elvárt hozam (a diszkotráta) az IRR-él kisebb, a befektetést elfogadjuk, de elfogadjuk a ettó jeleérték szabály alapjá is, hisz itt az NPV pozitív. Ha a diszkotráta az IRRél agyobb, a befektetést elutasítjuk, de elutasítjuk a ettó jeleérték szabály alapjá is, hisz itt az NPV egatív. Bár az ábrából látható, hogy az NPV és az IRR az elfogadás/elutasítás szabályra kozisztes eredméyre vezet, az IRR alkalmazásával vigyázi kell. A 2.1. Ábra a hitelyújtó szempotjából mutatja a program NPV-jét. A hitelfelvevő NPV függvéyét az eredeti függvéy vízszites tegelyre való tükrözésével kapjuk. Az ÍRR ugyaaz marad, de az elutasítási és elfogadási tartomáyok felcserélődek. Akkor fogadjuk el a hitelt, ha a téyleges IRR alacsoyabb, mit az elfogadott és fordítva. Az NPV szabály azoba változatla marad. Számoljuk ki most a példa IRR-jét. Válasszuk az első próbakamatlábak a 10%-t. A számítást a Táblázat mutatja: Táblázat Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Pézáram Diszkottéyező 1,000 0,909 0,826 0,751 0,683 Jeleérték -100,00 36,36 33,06 22,54 20,49 Kumulált jeleérték -100,00-63,64-30,58-8,04 12,45 0% Az NPV a diszkotráta függvéyébe Elfogadás IRR Elutasítás 109 r dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

108 110 A hitelyújtásak pozitív a ettó jeleértéke (+12,45), ezért öveljük meg a diszkotrátát 14%-ra. A második kamatlábhoz tartozó ettó jeleérték számítását a Táblázat mutatja Táblázat Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Pézáram Diszkottéyező 1,000 0,877 0,769 0,675 0,592 Jeleérték -100,00 35,09 30,78 20,25 17,76 Kumulált jeleérték -100,00-64,91-34,13-13,88 3,88 Továbbra is pozitív az NPV, tehát a belső megtérülési ráta 14%-ál is magasabb. Ahhoz, hogy megtudjuk, meyi, helyettesítsük be a Képletbe. NPV 12,45 (2.11.) IRR = r + L L ( rh rl ) = 10% + 4% 15,81 NPVL NPVH 12,45 3,88 A belső megtérülési ráta becsült értéke tehát a képlet szerit 15,81%. Az általuk végzett számítást a 2.2. Ábra alapjá is 2.2. Ábra szemléltethetjük. A céluk, hogy meghatározzuk az NPV függvéy Az NPV a diszkotráta függvéyébe metszéspotját a vízszites tegelye. Először meghatároztuk NPV a 10%-os elvárt hozamhoz tartozó NPV-t. Ezzel meghatároztuk az "A" pot helyét a függvéye (10%, 12,45). Utáa 14%-os A diszkotrátával végeztük el 12,45 IRR B r ugyaezt - ezzel a "B" potot 3,88 kapjuk (14%, 3,88). A két pot meghatároz egy egyeest, 10% 14% melyek metszéspotját a vízszites tegellyel a képlettel lehet meghatározi. Az 0% ábrából látható, hogy a képlet jele esetbe alábecsli az IRR valódi értékét, mivel az NPV függvéy meredeksége fokozatosa csökke. Az IRR potos értékét agyo köye meghatározhatjuk az Excel program BMR(pézáram) függvéyéek segítségével. Eek szitakszisa: =BMR(pézáram) A BMR függvéy egyetle kötelező paramétere a omiális pézáramok sorozata, amelybe a tőkekiadásak egatív előjellel kell szerepelie. A példa adatait 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

109 behelyettesítve a "pézáram"-ba, megkapjuk a hitelfelvétel belső megtérülési rátáját, ami em más, mit a téyleges hitelkamatláb. Jele esetbe eek értéke 16%. A Belső megtérülési ráta helyességéek elleőrzésére számoljuk ki a hitelyújtás NPVjét 16%-os kamatláb mellett. A számításokat a Táblázat mutatja Táblázat Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Pézáram Diszkottéyező 1,000 0,862 0,743 0,641 0,552 Jeleérték -100,00 34,48 29,73 19,22 16,57 Kumulált jeleérték -100,00-65,52-35,79-16,57 0,00 Nem ütemezett pézáramok eseté a belső megtérülési rátát a következő Excel függvéyel lehet kiszámítai: KÉPLET:=XIRR(elvárt hozam, pézáramok, dátumok) A függvéyek leírását a 2.1. Melléklet tartalmazza Diamikus módszerek összehasolítása Példa Ismét ézzük a 2.4. Példa adatait, de tegyük fel, hogy a vállalat 10%-os hozamot vár el a befektetéseitől. Számolja ki az egyes beruházások diszkotált megtérülési idejét, NPV-jét és jövedelmezőségi idexét. A belső megtérülési rátákat és a beruházások diszkotált adatait az alábbi táblázat mutatja: Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év IRR A ,18 0,00 0,00 0,00% B -10 4,55 4,13 3,76 23,38% C ,91 11,57 12,02 17,93% D ,55 11,57 9,02 20,00% E ,82-24,79 0,00 50,00% Számoljuk ki először a diszkotált megtérülési időket! A kumulált pézáramokat a Táblázat mutatja Táblázat millió foritba Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év A -20-1,82-1,82-1,82 B -10-5,45-1,32 2,43 C ,09-7,52 4,50 D ,45-3,88 5,13 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

110 112 E ,82-2,98-2,98 Az "A" program em térül meg. Az "E" program már az első évbe, a többi a harmadik évbe térül. A megtérülési idők övekvő sorredbe a következők: ("E" - 0,31 év; "B" - 2,35 év; "D" - 2,43 év; "C" - 2,63 év) Például a "C" törtévét úgy számítottuk ki, hogy a 7,52-t osztottam a 7,52 és 4,5 összegével, azaz 7,52/(7,52+4,5)=0,63. Összehasolítva a 2.4. Példa megoldásával láthatjuk, hogy a "péz a párába" tipusú beruházásokat ("A") a diszkotált megtérülési idő kiszűri, elletétbe a megtérülési idővel. Jól meg tudja külöbözteti egymástól a "C" és "D" programokat is. Ez az időérték figyelembevételéek köszöhető. A megtérülési idő túli pézáramok figyelme kívül hagyása azoba megmarad - lásd "E" beruházás. Az NPV értékeit a Táblázat 3. év soráak adata tartalmazza. Ha ehhez hozzáadjuk a befektetett tőke agyságát és az összeget a befektetett tőkével osztjuk a jövedelmezőségi idexet kapjuk. A beruházás diszkotált megtérülési idejét, NPV-jét, jövedelmezőségi idexét, belső megtérülési rátáját a Táblázat tartalmazza Táblázat Beruházás Diszkotált NPV PI IRR megtérülés A - -1,82 0,91 0,00% B 2,35 Év 2,43 1,24 23,38% C 2,63 Év 4,50 1,15 17,93% D 2,43 Év 5,13 1,17 20,00% E 0,31 Év -2,98 0,70 50,00% Az NPV és a PI sikerese kiszűri az "A" és "E" beruházásokat. Az NPV szeriti sorred a következő: 1. "D"; 2. "C"; 3. "B". A jövedelmezőségi idex szeriti sorred ayiba módosul, hogy a "B" az első, a "D" a második és "C" a harmadik. Az eltérés magyarázata a "B" alacsoyabb tőkeigéye, így a fajlagos vagyoövekedés itt a agyobb, míg az abszolút vagyoövekedés "D" esetébe a legkedvezőbb. A belső megtérülési ráta a szabályos pézáram-sorozatok esetébe megegyező eredméyre vezet, mit a jövedelmezőségi idex. Ez em véletle, mivel a belső megtérülési ráta is fajlagos mutató. Az 1 egységyi befektetett tőke hozamrátáját mutatja meg. Az "E" beruházás esetébe azoba ige magas kamatlábat kapuk, és a belső megtérülési ráta az első helyre sorolja a beruházást. Eek oka, hogy az "E" em szabályos pézáram-sorozat. 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

111 Vizsgáljuk meg közelebbről az "E" beruházás NPV-jét a diszkotráta függvéyébe. (2.4. Táblázat) A függvéyt a 2.3. Ábra mutatja. A függvéy -50-től idul, mivel 0%-os kamatlábál mide diszkottéyező értéke 1. Az NPV gyorsa emelkedik, mivel a 2. év -30-ak gyorsabba csökke a jeleértéke, mit az 1. év 35-jéek. 50%-os kamatlábál lesz először 0 az NPV- ez az első belső megtérülési ráta. Az NPV emelkedik, majd 71,4%-os kamatlábál éri el a maximumát - ekkor az NPV 2,08. Az NPV ezutá fokozatosa csökke, mivel a jövőbeli 2.3. Ábra pézáramok jeleértéke csökke és a 100 értéke kezd el domiáli. A csökkeés mértéke azoba kisebb, mit az emelkedésé volt. 100%-os kamatlábál érjük el újra a vízszites tegelyt. Az "E" programál az elfogadás tartomáya a két belső megtérülési ráta között va, azaz az IRR szabály em érvéyesül. Szabálytala pézáram-sorozat esetébe tehát az IRR szabály alkalmazása félrevezető lehet. Ragsorolásál látható, hogy a belső megtérülési ráta szerit a "B" program a preferáltabb, míg az NPV szerit a "D" program, az alacsoyabb tőkeigéyesség miatt. Felmerülhet a kérdés, ha a két program egymást kölcsööse kizárja, tehát a kettőt egyszerre em lehet megvalósítai, melyiket válasszuk. Tételezzük fel, hogy mid a kettőre va elegedő pézük, és a maradékot csak az elvárt hozammal tudjuk befekteti. A helyes válasz a "D" program, ahol az NPV szeriti ragsor a jobb. A "D" beruházás választásával a vagyouk 5,13 egységgel ő, ha a B-be fektetük, akkor csak 2,43-al. Ugya 10 egységyi pézt hatékoyabba tuduk befekteti, mitha "D"-be raktuk vola, de ezt ellesúlyozza, hogy a maradék 20-t csak 10%-al fektethetjük be, ami vagyogyarapodást em eredméyez. A belső megtérülési ráta agy előye, hogy a beruházás hozamrátáját mutatja, így közvetleül összehasolítható pézügyi hozamrátákkal (hitelkamatlábakkal, betéti kamatokkal). A kockázatkezeléssel foglalkozó részbe pedig láti fogjuk, hogy jól mutatja a beruházás érzékeységét a diszkotráta jövőbei változására voatkozólag. Nem véletle, hogy a hitelitézetek beruházási hitelkérelmek beadásakor ragaszkodak a belső megtérülési ráta kiszámolásához. Végezetül, elmélyítve az előbb leírtakat válaszoljuk az 5 beruházási alteratívával kapcsolatos további kérdésekre: Melyik beruházást fogadá el, ha midre vola péze? Melyik beruházást fogadá el, ha midre vola péze, de a beruházások egymást kölcsööse kizárják? NPV % 20% 40% 60% 80% 100% 120% 140% Az "E" beruházás NPV-je a diszkotráta függvéyébe diszkotráta 113 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

112 114 Melyik beruházást fogadá el, ha a beruházásokat hitelből akarja megvalósítai és a bak által ajálott hitelkamatláb 22%? És mikor a hitel kamatlába csak 18%, de a hitelt két és fél év múlva vissza kell fizeti? Melyik beruházást fogadá el, ha csak 60 MFt álla redelkezésére, és egy beruházást többször is megvalósíthat? egy beruházást csak egyszer lehet megvalósítai és a beruházások darabolhatók? egy beruházást csak egyszer lehet megvalósítai és a beruházások em darabolhatók? 1. Kérdés - A "B"-t, a "C"-t és a "D"-t, mert ezekek pozitív az NPV-jük, azaz ezek okozak övekedést a tulajdoosok vagyoába. 2. Kérdés - A "D"-t, mivel eek révé lesz a vagyoövekedés a legagyobb. 3. Kérdés - Csak a "B"-t mivel eek pézáram-sorozata szabályos és eek belső megtérülési rátája haladja csak meg a 22%-t. 22%-os elvárt hozam mellett a többi beruházás NPV-je egatívvá vála. 4. Kérdés - A "B"-t és a "D"-t, mert ezek belső megtérülési rátája 18% feletti és diszkotált megtérülési idejük 2,5 éve belül va. 5.a.Kérdés - A "B"-t hatszor, mivel eek a jövedelmezőségi idexe a legagyobb. 5.b. Kérdés - A "B"-t, a "D"-t és a "C"-ből 20-at. jövedelmezőségi idex szerit ragsorba állítjuk a befektetéseket és addig valósítjuk meg őket, míg tőkék el em fogy. 5.c. Kérdés - A "D"-t és a "C"-t, mert ezek férek bele a keretbe és ezek összesített NPVje a legagyobb Költségegyeértékes módszer (Auity method - KE) A költségegyeértékes módszert az NPV módszer fordítottjáak is lehet tekitei. Az NPV a jele időpotra voatkoztatva hasolítja össze a beruházás hozamait és a beruházás tőkeköltségét, míg a költségegyeértékes módszer a beruházási kiadást alakítja át jövőbeli elvárt hozamokká és hasolítja össze a téyleges beruházási hozamokkal. A beruházás költségegyeértékese megmutatja, hogy mekkora hozamot kell az egyes évekbe miimálisa eléri ahhoz, hogy a beruházás adott elvárt hozamráta és időtartam mellett vagyogyarapodást okozzo. A költségegyeértékes módszer jellemzőit a Táblázat foglalja össze: Táblázat Számítása: P0 KE = AF r, Stratégiai cél: Részvéyesek vagyoáak övelése Elfogadás feltétele Mide téyleges hozam > Költségegyeértékes Ragsorolás: Téyleges hozam - Költségegyeértékes szerit övekvő sorred Ahol P 0 - beruházási tőkekiadás, 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

113 115 Af r, - auitásfaktor r hozamráta és időtartam esetébe, KE költségegyeértékes. A költségegyeértékes módszer gyakorlatilag abba segít, hogy az egyszeri tőkekiadásokat folyamatos kiadásokká alakítja adott hozamelvárás és időtartam mellett, így azok az egyéb folyamatosa felmerülő kiadásokkal és hozamokkal összehasolíthatók leszek Példa Egy beruházás pézáramai millió foritba a következők: Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év Pézáramok A beruházástól elvárt hozam 10%. Érdemes-e megvalósítai a beruházást? Mekkora a beruházás költségegyeértékese, a beruházás eél meyivel több (kevesebb) pézáramot termel évete? A 15-t osztai kell a 10% és 3 év melletti auitásfaktorral. Az auitástáblázatból látható, hogy a megfelelő évjáradéktéyező értéke: 2,49. A költségegyeértékes: 15/2,49=6,02. Mivel a beruházás hozamai (8) meghaladják a költségegyeértékest, ezért a beruházást elfogadásra javasoljuk. A költségegyeértékest úgy is fel lehet fogi, mit a tőke bérleti költségét. Ha a vállalat a beruházási tőkekiadást em egy összegbe fizette vola ki, haem a beruházási eszközöket egy lízigtársaságtól bérbe vette vola és a bérletél felszámított kamatláb megegyezett vola az elvárt hozammal, a bérleti szerződés időtartama a működés időtartamával, akkor az egyes évekbe a vállalatak a költségegyeértékesek megfelelő bérleti díjat kellee fizetie. A költségegyeértékes módszer csak akkor ad jól értékelhető eredméyt, ha a beruházás jövőbeli hozamai azoosak (auitást alkotak). Ekkor ugyaolya jó eredméyre vezet, mit az NPV. Eltérő pézhozamok esetébe azoba előfordulhat, hogy az egyik évbe a hozamok agyobbak, mit a költségegyeértékes, más esetekbe alatta maradak. Ekkor a költségegyeértékes szabály em alkalmazható. A költség-egyeértékes módszert ott alkalmazzuk elsősorba, ahol szükségük va a tőkekiadások jövőbei folyamatos kiadássá kovertálására, és az adózástól valamit az iflációtól eltekitük. Ameyibe az adózás és az ifláció hatásait is figyelembe akarjuk vei, a hagyomáyos NPV módszer lehet a célravezető Miimális ár meghatározása Példa Egy vállalat öjáró tamagucsi gyártását fotolgatja. A beruházás tőkeköltsége magába foglalja a gépek beszerzéséek és istallálásáak költségeit, melyek összege 10 millió forit. A gépek kapacitása 100 ezer tamagucsi/év. Egy tamagucsi ayag és mukaerő-költsége együtt körülbelül 1 ezer forit. Tekitsük el a gépek maradváyértékétől. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

114 116 Mekkoráak kell miimálisa leie egy tamagucsi áráak, ha a befektetők által elvárt reálhozam 20% és a beruházás élettartama 2 év? Mekkora legye a tamagucsi iduló ára, ha a vállalat 10%-os évi iflációval számol és a reálhozam továbbra is 20%? 1. Kérdés - Számoljuk ki a 10 millió forit költségegyeértékesét. P (2.12.) KE = 0 = AF 20%,2 1,53 A beruházásak legalább ezer forit/év hozamot kell hozia. Ha ezt az eladi tervezett tamagucsikra vetítjük, akkor 6,536 ezer forit/tamagucsi értéket kapuk. Ehhez hozzáadva az 1 ezer forit ayag- és bérköltséget kapjuk a 7,536 Ft-os miimális reálárat. 2. Kérdés - Ha iflációt is feltételezük, akkor járuk el helyese, ha az iflációval övekvő pézáramot váruk el az egyes évekbe. Az iflációs köryezetbe a övekvő tagú évjáradék képletével (1.72.) kell számoli. Mielőtt behelyettesíteék a képletbe, az elvárt omiális hozamot is ki kell számoli. Ez az 1.6. képletbe behelyettesítéssel kapjuk: r = ( 1+ rr ) ( 1+ i) 1 = 1,2 1,1 1 = 32% P (2.13.) KE = r g g r = 1,1 1 1,32 0,32 0,1 2 = Egy tamagucsira vetítve most 7,2 ezer forit költségegyeértékest kapuk, így a miimális ár az 1. év évbe 8,2 ezer forit lesz. Egy év múlva 8,2*1,1=9,02 ezer forit lesz a tamagucsi miimumára Legalacsoyabb működtetési költség meghatározása Példa Egy vállalat kazá beszerzését fotolgatja. A piaco külöböző árú és élettartamú kazáok kaphatók, amelyek kapacitása kielégíti a vállalat igéyeit. A kazáok fő jellemzőit az alábbi táblázat mutatja: Kazá típusa Ár (Ft.) Beszerelési költség (Ft.) Fűtőayagktg.Ft/év Karbatartási általáy Ft./ év Élettartam (év) A B C D Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

115 A karbatartási általáyért a gyártó vállalja, hogy a kazá esetleges hibáit díjtalaul kijavítja. Az élettartam azt mutatja, hogy meddig vállalja a gyártó a karbatartási általáyért a kazá javítását. Ha a vállalat 10%-os reálhozamot vár el a befektetéseitől, melyik kazá vásárlását javasolja! Tekitse el az adózástól és az iflációtól! A kazá működtetése esetébe felmerülek egyszeri és folyamatos költségek. Egyszeri költség a kazá ára és a beszerelési költsége. Folyamatos költség a fűtőayag költsége és a karbatartási általáy. Tételezzük fel, hogy ezek egy összegbe az év végé esedékesek. A feladatmegoldás meete a következő: Kiszámoljuk az egyszeri tőkeköltségek költségegyeértékesét a 10%-os reálhozam és az adott kazá élettartamáak felhaszálásával. A költségegyeértékeshez hozzáadjuk a folyamatos költségeket. Kiválasztjuk azt a kazát, ahol az összesített költség a legkisebb, és eek megvásárlását ajáljuk. A számítás meetét a Táblázat tartalmazza: Táblázat foritba Kazá típusa Tőkeköltség Auitásfaktoegyeértékes Költség- Folyó Összese költség A , B , C , D , A tőkeköltség a beszerzési ár és a beszerelési költség összege. Az egyes évek auitásfaktorait 10%-os kamatláb és a kazá élettartama mellett a 3. oszlop tartalmazza. Például a "C" kazá esetébe az auitásfaktor értéke: (2.14.) 20 1,1 1 AF 10 %,20 = 20 0,1 1,1 = 8, 51 A költségegyeértékes a tőkeköltség és az auitásfaktor háyadosa. Ha a kazáokat 10%-os kamatláb mellett lízigelték vola, eyi lee az éves lízigdíj. A költségegyeértékeshez hozzá kell adi a folyó költséget, ami az üzemayag költségéek és a karbatartási általáyak az összege. A végeredméyt az 5. oszlop mutatja. E szerit a "C" kazát kell megvásároli, mivel eek költségegyeértékese a legkisebb Beruházás időzítése Példa dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

116 118 Egy vállalatak va egy hegersora, mely alumíium előtermékbőll fóliavastagságú alumíiumtekercset állít elő. A vállalat a régi hegersoráak kicserélését fotolgatja. A régi hegersor piaci értéke zérus, a karbatartási költsége azoba évről évre ő. Élőmukaigéye és a selejtszázaléka is övekszik a bizoytala működés következtébe. A becsült költségeket millió foritba az alábbi táblázat mutatja: Régi gép 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Karbatartási igéy Élőmukaigéy Selejt Egy régivel megegyező kapacitású hegersor költsége 120 millió forit lee. Az új gépsor várható élettartama 20 év. A gépsor élettartama alatt az élőmuka-, karbatartásigéy és a selejt em éré el várhatóa az 10 millió foritot. Melyik évbe érdemes a cserét végrehajtai? A vállalat 15%-os reálhozamot vár el a befektetéseitől! A válaszhoz ki kell számítauk az új hegersor költségegyeértékesét, és ezt kell viszoyítauk a két gépsor folyamatos költségeiek külöbségéhez. A cserét az előtt az év előtt kell megejteük, amikor a folyamatos költségek külöbsége meghaladja az új gép költségegyeértékesét. A számítást a Táblázat tartalmazza: Táblázat millió foritba Évek 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Régi gép költségei összese 22,0 27,0 33,0 44,0 56,0 Új gép költségei 10,0 10,0 10,0 10,0 10,0 Folyamatos költségek külöbsége 12,0 17,0 23,0 34,0 46,0 Új gép költségegyeértékese 19,2 19,2 19,2 19,2 19,2 Külöbség -7,2-2,2 3,8 14,8 26,8 A 2. sor a selejt, az élőmuka és a karbatartás összes költségét mutatja a régi gép esetébe. Ebből levojuk az új gép 10 millió foritos költségét, kapjuk a folyamatos költségek külöbségét. Az új gép költségegyeértékesét a következőképpe számoltuk ki: (2.15.) P 120 KE = 0 = AF 20 r, 1,15 1 = 19, ,15 1,15 Az új gép költségegyeértékese 19,2 millió forit. Látható, hogy a 3. évbe már a folyamatos költségek külöbsége meghaladja ezt az értéket, ebből következik, hogy a 2. év végé kell a szükséges gépcserét végrehajtai. 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

117 Példák Példa A vállalat 3 egymást kölcsööse kizáró beruházási lehetőséget fotolgat, amelyek költségei és eredméyei évekét az alábbiak. adatok millió foritba Év A B C Kiadás 0 5,600 10,000 12, ,100 2,500 2,000 Évi yereség 2 1,100 3,500 3,000 Előrejelzés 3 1, , , ,000 A megkívát hozam 20%. Az értékcsökkeést lieárisa számolják el. A program végé ics maradváyérték. Számolják ki mide program esetébe: 1. Nettó jeleértéket 2. Belső megtérülési rátát 3. Számviteli profitrátát 4. Megtérülési időt 5. Jövedelmezőségi idexet Melyik beruházást fogadá el a vállalat, ha: midegyikre elegedő péze lee, midegyikre elegedő péze lee, de a beruházások kölcsööse kizárják egymást, a befektetett pézek miél hamarabb meg kell térülie 16 millió foritjuk va és egy beruházás többször is végrehajtható és darabolható 16 millió foritjuk va és egy beruházás egyszer hajtható végre és darabolható 16 millió foritjuk va és egy beruházás egyszer hajtható végre és em darabolható Példa A vállalat két egymást kölcsööse kizáró befektetési lehetőséget fotolgat. Melyiket hajtsa végre a vállalat, ha az elvárt hozam 10%. az elvárt hozam 20%. Az elvárt hozam 10%, és A vállalatak ics más beruházási lehetősége, csak az elvárt hozammal. A vállalatak va egy 5 millió foritos befektetési lehetősége 20%-os elvárt hozammal, melyek futamideje szité 5 év. 119 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

118 120 A vállalatak a következő évbe 5 millió forit szabad pézeszköze lesz szüksége és jeleleg csak 10 millió forit szabad pézeszköze va és a jövőbe a két beruházási alteratívától eltekitve em is várható újabb pézáram. A beruházások pézáramai a következők: adatok ezer foritba Évek 0.Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év A program B program Példa Az ö cége számára a tőkepiacra való belépés korlátozott, ezért tevékeységéhez a tőkét megosztotta kell biztosítaia. Több beruházási alteratívát dolgoztak ki az ö számára. A jele időszakba az ö becslése szerit a beruházásra fordítható készpéz hozzávetőlegese 800 millió forit. A következő beruházási projektek közül választhat a cég: adatok ezer foritba Projekt / Év A B C D E F ( Négy éve túl ics pézáram.) Feladat: Haszálja az előírt 10 %-os tőkemegtérülési rátát, és számítsa ki a ettó jeleértékét valamit a jövedelmezőségi idexét midegyik projektek! Számolja ki (egész számra kerekítve) a belső megtérülési rátát midegyik projekt esetébe! A kritériumok felhaszálásával ragsorolja a projekteket! Ezutá válassza ki a legjobbat! Tegye javaslatot éháy kulcskifejezés haszálatával, hogy miképp tudá elmagyarázi a vezetések, hogy a projektek külöböző kritériumok szeriti vizsgálata külöböző megoldásokat eredméyezhet. A taács éháy megbeszélés utá felkérte öt, hogy beszélje a vállalati bakárokkal a pótlólagos idege tőke kérdésébe. A bak hajladó hitelezi 400 millió foritot 14 %-os kamatlábbal projectfiaszírozási kostrukcióba. Érdemes lee-e elfogadi a bak ajálatát és ha ige, milye összegbe? 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

119 Példa A cége egy szabálytala pézáramú beruházást fotolgat. A beruházás pézárama a következő: Évek 0. Év 1. Év 2. Év Pézáram A vállalat által elvárt hozam 20%. Számolja ki a beruházás belső megtérülési rátáit és mutassa ki, hogy milye veszélyes szabálytala pézáramok esetébe a belső megtérülési ráta és a megtérülési idő módszeréek haszálata! Példa Egy vállalat műayag kotéereket előállító gépet haszál. A gép költsége 60 millió forit. A gép teljesítméyéek elemzése a következőeket mutatja: adatok ezer foritba Év Karbatartási költség Újraértékesítési érték A vállalat 10%-os reáltőkeköltséggel számol. Tekitsük el az iflációtól! Számolja ki a gép haszálatáak optimális élettartamát! dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

120 122 Megoldások Példa A pézáramok kiszámításához az eredméyadatokhoz hozzá kell adi az évi értékcsökkeést, ami a beruházási kiadások egyede. A pézáram-adatokat és a feladat eredméyét a következő táblázat mutatja: A Év Adózott e. Értékcsökk. Pézáram Diszkotált pézáram (5 600) Nettó jeleérték 872 Átlagos eredméy PI 1,156 Átlagos Profitráta 19,64% Belső megtérülési ráta 28,03% Megtérülési idő 2,24 B Év Adózott e. Értékcsökk. Pézáram Diszkotált pézáram (10 000) (500) Nettó jeleérték Átlagos eredméy PI 1,103 Átlagos Profitráta 15,00% Belső megtérülési ráta 26,27% Megtérülési idő 1,83 C ÉV Adózott e. Értékcsökk. Pézáram Diszkotált pézáram (12 000) (1 000) Nettó jeleérték Átlagos eredméy PI 1,112 Átlagos Profitráta 18,75% Belső megtérülési ráta 25,64% 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

121 Megtérülési idő 2,5 A kérdésekre a következő a válasz: Midet, mert midegyikek pozitív az NPV-je A C -t, mert eek az NPV-je a legagyobb A B -t, mert eek a megtérülési ideje a legkisebb. Az A -t, mert eek a legagyobb a jövedelmezőségi idexe. Az A -t, a C egy részét, a jövedelemzőségi idex szeriti sorredbe. Az A -t és a B -t, mivel ez fér bele a keretbe és egyesített NPV-jük agyobb, mit a C -é Példa 10% és 20% diszkotláb mellett a programok NPV-i és a valós IRR-ek a következők: Évek IRR NPV (10%) NPV(20%) A program 21,40% B program 14,98% A belső megtérülési ráták becslő függvéyeiek eredméyei a következők: 346 A program IRR = 10% + ( 20% 10% ) 21,1% B program IRR = 10% + ( 20% 10% ) 15,5% Látható, hogy a becslő függvéy iterpolálásál, azaz, amikor a becsült IRR a 10% és a 20% között va, felfelé torzít a valós értékhez képest. Extrapolálásál, amikor a becsült IRR 20% feletti, a becslő függvéy lefelé torzít. A feti számítások alapjá a kérdésekre a válasz a következő: A B -t mert aak agyobb az NPV-je. Az A -t, mert aak pozitív az NPV-je. a) A B -t, mert így övelheti legagyobb mértékbe a vagyoát. b) A válasz a belső megtérülési ráták súlyozott átlaga alapjá megadható. (5*20%+1*21,4+4*10%)/10=16,14%, ami agyobb, mit a B program belső megtérülési rátája (15%), ezért az A programot hajtjuk végre. c) Az A -t hajtjuk végre, mert ha elköltjük mid a 10-t, akkor em tudjuk a következő évbe kifizeti az 5-t. 123 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

122 Példa A számításokat és a ragsorolást a következő táblázat mutatja: Ragsor Projekt / Év NPV PI IRR NPV PI IRR A ,34 28,42% B ,04 11,72% C ,10 14,67% D ,05 12,47% E ,02 11,90% F ,15 16,58% Látható, hogy jele esetbe a három beruházás-értékelési kritérium ugyaazt az eredméyt adta, attól eltekitve, hogy az 5. és 6. program sorredje felcserélődött a belső megtérülési ráta esetébe. Eek oka, hogy a befektetések mérete egyees aráyba volt a hozamukkal. Azaz a legagyobb beruházás hozta fajlagosa is a legagyobb vagyoövekedést. A 80 millió forit midazoáltal egy befektetésre sem elég. Ha a programok darabolhatók, az A egy részét kellee megcsiáli. A bak 14%-os kamatláb mellett ajálott hitelt. Azokat a programokat érdemes megvalósítai, melyekek 14%-ál magasabb a belső megtérülési rátájuk. Ez az A, C és F program, melyek összesített tőkeigéye 537,5 millió forit. A belső megtérülési ráta ragsora szerit először az A -t, majd az F -t kell megcsiáli. A maradék pézt (45 millió forit) lehet a C -be fekteti. Ha a C program em darabolható, csak 355 millió forit hitelt szabad felvei Példa r 100 r = 0 1+ r 2 ( 1+ r) 2 ( 1+ r) ( 1+ r) r r 1200 = r 600 = = ± ± 100 r1,2 = = = 200%,300% A belső megtérülési rátákhoz egy másodfokú egyeletet kell megoldai: A fetiek elleőrzésére e két kamatlábbal diszkotálom a programot. A számításokat a következő táblázat mutatja: 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

123 125 Évek száma Pézáram Diszkotráta PV Diszkotráta PV 200% 300% Kibocsátás év 700 0, , év , NPV 0 0 A beruházástól elvárt hozam 20%, ezért az IRR szabály alapjá elfogadák a beruházást, holott ez a program 200% és 300% közötti elvárt hozam esetébe ada pozitív NPV-t. A megtérülési ideje agyo gyors a programak (1/7 év), de a megtérülési idő em veszi figyelembe a 2. év egatív pézáramát Példa Elôször számoljuk ki a helyettesítés költségét, ha a vállalat mide évbe, mide két évbe, mide három évbe, vagy mide égy évbe cseréli ki a gépet. Első évbe Második Évbe Harmadik évbe Negyedik évbe Évek Pézáram Jeleérték Pézáram Jeleérték Pézáram Jeleérték Pézáram Jeleérték A feti költségeket em lehet összehasolítai, mivel külöböző időtartamok alatt merülek fel. Az összehasolítás érdekébe a költségegyeértékes módszert alkalmazzuk, azaz a költségek jeleértékét elosztjuk a eki megfelelő auitástéyezővel. Az auitásfaktor első téyezője a kamatláb mide esetbe 10%. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

124 Melléklet Excel beruházás-értékeléssel kapcsolatos pézügyi függvéyei 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

125

126 126 A megadott pézáram belső megtérülési rátáját számítja ki. KÉPLET:=BMR(pézáramok, becslés ) Pézáramok Becslés 10% r : = 1 i = 0 CF i ( 1 + r ) i = 0 Belső megtérülési ráta 23% 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

127 127 A megadott pézáram ettó jeleértékét számítja ki egy időszakkal az első járadéktag esedékessége elé KÉPLET:=NMÉ(elvárt hozam, Pézáramok, Pézáramok ) Pézáramok Elvárt hozam 10% NPV = 1 CF = + i ( r ) 0 1 i i Nettó jeleérték 22,13 Ft dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

128 128 Módosított belső megtérülési rátát adja meg KÉPLET:=MEGTÉRÜLÉS(pézáramok, elvárt hozam, újrabefektetési ráta) Pézáramok (CF) Elvárt hozam ( r ) 23% Újrabefektetési ráta (p) 10% IRR m = 1 NMÉ NMÉ ( r, CF ) ( 1 + r ) ( p, CF ) ( 1 + i) Módosított megtérülés 18,29% 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

129 129 Nem ütemezett pézáramok ettó jeleértékét adja KÉPLET:=XNPV(elvárt hozam, pézáramok, dátumok) Sorszám Pézáramok (CF) Dátumok (D) Elvárt hozam 30% XNPV= 1 i= 0 NPV Ft ( 1+ r) CF i D D i i 1 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

130 130 Nem ütemezett pézáram BMR-jét adja KÉPLET:=XIRR(elvárt hozam, pézáramok, dátumok) Sorszám Pézáramok (CF) Dátum (D) Elvárt hozam ( r ) 30% : = r i = Ütemezett IRR (XIRR) 189% ( 1 + r ) 1 0 CF i D i D i 1 = 0 2. Fejezet - Beruházás-értékelési módszerek

131 Mottó: "Szürke mide teória, de az élet arayló fája zöld." (Goethe) 3. Fejezet Nettójeleérték-modell alkalmazásáak gyakorlati problémái A fejezet célja, bemutati: a ettójeleérték-modell felállítása kapcsá felmerülő leggyakoribb problémákat és azok kezelési módját, példáko keresztül az NPV modell alkalmazását. A befektetések gazdasági értékelésekor em maga a számítás okoz problémát, hisze, mit láthattuk az előző részbe, itt hatváyozásál boyolultabb művelet em fordul elő. A problémát ikább a beruházás értékeléséhez szükséges adatok előállítása okozza, illetve, hogy bizoyos gazdasági jeleségeket, mit például az adózás, ifláció, forgótőke-igéy és a megfelelő diszkotráta megválasztása, megfelelőe tudjuk kezeli. Ha a fetieke átküzdöttük magukat és redelkezésükre áll a diszkotáladó pézáramsorozat, akkor a 2. fejezetbe bemutatott eljárásokkal a beruházás értékelését már köye elvégezhetjük. A fejezetbe az alábbi, a tőkeköltségvetési dötéseket legikább befolyásoló kérdésköröket fogjuk tárgyali: Relevás pézáramok meghatározása Adózás - működési pézáram meghatározása Ifláció kezelése Forgótőke kezelése Beruházás élettartama, beruházás maradváyértéke A beruházások jövőbei pézáramait továbbra is biztos pézáramokak godoljuk. A kockázat kezelésével a következő fejezet foglalkozik. Hasolóképpe em foglalkozuk a beruházástól elvárt hozam meghatározásával. Ezt a fiaszírozási dötésekről szóló fejezetbe tárgyaljuk Relevás pézáramok meghatározása A beruházások értékelésekor a pézáram-adatokat em yújtják át ekük ezüsttálcá. Azokat ekük kell kimazsolázuk a redelkezésre álló adathalmazból. Ezért agyo fotos, hogy legye egy olya fő elvük, amely meghatározza, hogy mely téyezőket vegyük figyelembe és melyeket em egy beruházás-gazdaságossági vizsgálat sorá. Egy beruházás ettó jeleértékéek kiszámításakor azokat a többletbevételeket és többletkiadásokat kell figyelembe vei, amelyeket a beruházási dötésük okoz. A feti tétel alkalmazására ézzük egy példát! 3.1. Példa Egy pékség a szezámmagos zsúrkeyér bevezetését fotolgatja. A pékség megbízott egy marketigcéget, hogy az előzetes piackutatást végezze el. A cég elvégezte a mukát, melyet a vállalat vezetőségéek asztalára tett. A számla 300 ezer foritról szól. A

132 132 termék kikísérletezése és a próbagyártás 100 ezer foritba került. A pékség egyik kemecéjét a zsúrkeyér sütése eseté át kellee alakítai. Az átalakítás em befolyásolja a kemece élettartamát, ami még várhatóa 10 év. Az átalakítás költsége 200 ezer forit. A kemecébe évete 30 ezer keyeret lehet kisüti, amire a piackutatás szerit lee piac. A kemecét jeleleg burgoyás keyér gyártására haszálják. A kemece aktivált értéke 2 millió forit, jelelegi köyv szeriti értéke 1 millió forit. A kemecébe eddig sütött burgoyás keyérből származó többletjövedelem évi 500 ezer forit volt. A zsúrkeyér előkészítése egy új helység kialakítását igéyli, melyek költsége 1 millió forit. 10 év múlva a helység értéke várhatóa 500 ezer foritra csökke. Az 50 dekás zsúrkeyér költségkalkulációját az alábbi táblázat mutatja: Tétel eve Ft-ba Egységár 75 Ft Ayagköltség 35 Ft Bérköltség 15 Ft Üzem ráosztott fix költség (árbevétel 20 Ft aráyába) Az üzem ráosztott fix költsége olya tételeket tartalmaz, mit az épületek és gépek amortizációja, a köyvelő mukabére, a tulajdoos személyes közreműködése miatt kifizetett pézösszeg stb. Ezek icseek kokrét kapcsolatba a zsúrkeyérgyártással, de a tulajdoos elvárja, hogy az egyes termékek viseljék a közös költségek egy aráyos részét, melyet az árbevétel aráyába osztaak fel a termékek között. Tekitsük el az adótól és az iflációtól! Érdemes-e a beruházást megvalósítai, ha a beruházástól elvárt reálhozam 10%? Nézzük az egyes tételeket sorba! A piackutatás és a próbagyártás költsége a múltba merült fel, ezeket a tételeket mideképpe ki kell fizeti. Következésképpe a beruházási dötésük ics hatással ezekre a tételekre, azaz em szabad őket figyelembe vei. Suk cost -ak elsűllyedt költségek evezzük azokat a költségeket, melyek a múltba merültek fel és a beruházási dötéstől függetleül kifizetésre kerültek vagy kerülek. Tipikus suk cost egy vállalatál a kutatási fejlesztési ráfordítások, a már kifizetett licecdíjak, a piackutatás és a beruházástervezés költségei. A kemece átalakításáak költsége viszot már a beruházási dötés függvéye. Ha úgy dötök, hogy em valósítom meg a beruházást, akkor em kell kifizetem. Ezért a 200 ezer foritot figyelembe veszem. A kemece értéke számukra em érdekes, mivel em merül fel az eladása akkor, ha a beruházást végrehajtják. Eladás eseté is a kemece kokrét piaci értékét kellee figyelembe vei, hisze ettől a jövedelemtől esék el, ha a beruházást végrehajtaák. 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

133 A burgoyás keyér eladásából befolyt haszo elmarad, mivel zsúrkeyeret akaruk gyártai. A zsúrkeyér-gyártásba csak akkor foguk belefogi, ha hasza agyobb, mit a burgoyás keyérből származó péztöbbletbevétel. Ezt a számítások sorá úgy vesszük figyelembe, hogy az elmaradt haszot (jele esetbe 500 ezer foritot) levojuk a beruházás hozamaiból. Azokat a pézbevételeket, amelyektől elesük a beruházás végrehajtása miatt, pézkiadáskét, azokat a pézkiadásokat, amelyeket em kell kifizetük a beruházás végrehajtása miatt, pézbevételkét szerepeltetjük. Ezek eve elmaradt haszo, vagy alteratívaköltség. (opportuity cost) Az új helység költsége a beruházás miatt merül fel, tehát figyelembe vesszük, hasolóa a 10. évvel későbbi maradváyértékét is. A zsúrkeyér megadott adatai közül természetese 3.1. Ábra figyelembe kell vei az árat és a változó költségkét Beruházási dötés relevás pézáramai viselkedő ayag- és bérköltséget. A fix költségeket azoba, amelyeket mideképpe ki kellee fizeti a beruházás végrehajtásától függetleül, em szabad figyelembe vei, mivel a beruházási dötésük ezek agyságát és kifizetését em befolyásolja. A relevás pézáramokkal kapcsolatos tudivalókat a 3.1. Ábra foglalja össze. Mivel a folyamatosa felmerülő pézbevételek álladóak, ezért a számolást leegyszerűsíthetjük, ha az auitásfaktort alkalmazzuk. A ettójeleérték-számítás egyelete az alábbi: (3.1.) NPV = P0 + CF * AFr, + SV * DFr, Ahol, P 0 - a beruházási tőkekiadás CF - a beruházás éves pézárama AF r, - auitásfaktor r elvárt hozam és időtartam eseté SV - maradváyérték a beruházási időtartam végé DF r, - diszkotfaktor r elvárt hozam és időtartam eseté NPV - a beruházás ettó jeleértéke. A beruházási kiadás az átalakítás 200 ezer foritos és az új helység felépítéséek 1 millió foritos költségéek összege. Az éves pézáram a zsúrkeyér-gyártás 133 Egy beruházás Nettó Jeleértékéek kiszám ításakor azokat a többletbevételeket és többletkiadásokat kell figyelem be vei, am elyeket a beruházási dötésük okoz. Nem kell figyelembe vei suk cost fix, ráosztott költség Figyelembe kell vei opportuity cost többletbevétel, többletkiadás dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

134 134 többletpézbevételéek és a burgoyás keyér elmaradt haszáak külöbsége. A maradváyérték a helység értéke 10 év múlva. Behelyettesítve a 3.1.-es képletbe, kapjuk: (3.2.) NPV = ( 30 * ( 75 50) 500) 6, ,39 = 530 A beruházást érdemes megvalósítai, mivel 1,2 millió foritba kerül, de a pékség számára 1,73 millió foritot ér. A vagyoövekedés 530 ezer forit Példa Egy vállalat régi esztergagépéek lecserélését fotolgatja. A régi esztergagép kapacitása 10 ezer sablo/év volt. A selejtaráy 5%, a selejtet haszosítai em lehet. Az új esztergagép kapacitása 20 ezer sablo/év, a selejtaráy várhatóa 1% körül alakula. A többletterméket a piac változatla áro felveszi. A régi esztergagép karbatartási költsége évi 30 ezer forit, az új gépé várhatóa 10 ezer forit körül alakula. A régi gép jelelegi piaci értéke 1 millió forit, az új esztergagép 20 millió foritba kerüle. 4 év múlva a régi gépet mideképpe ki kellee cseréli, akkor már em ére semmit. 4 év múlva az új szerszámgépet várhatóa 13 millió foritért lehete eladi. A sablogyártás költségfelosztása a következő a régi és az új szerszámgép esetébe: Tételek foritba Új gép Régi gép Egységár Ayag- és eergiaköltség Bérköltség Üzemi ált. költség (bérktg. aráyába) Az ayag és eergiaköltség a sablo yersayag- és az esztergagép üzemeltetési költségéek összege. A bérköltség a mukások darabbéréből és aak közterheiből áll. Az üzemi általáos költség az üzemcsarok fűtéséek, a szállítási költségek és az üzemcsarok amortizációjáak összege, amit a bérköltség aráyába osztaak rá az egyes termékekre. Tekitse el az adóktól és az iflációtól! A vállalat 10%-os reálhozamot vár el a befektetésétől. Érdemes-e az új gépet megvásároli? A régi és az új gép esetébe a dötés relevás szempotjait a 3.1. Táblázat mutatja. 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

135 3.1. Táblázat Szempotok Új gép Régi gép Beruházási költség eft Maradváyérték eft Selejtaráy 1% 5% Karbatartási költség eft Kapacitás edb Egységár Ft Ayag- és eergiaköltség Ft Bérköltség Ft Elvárt hozam 10% Az üzemi általáos költségektől megit el lehet tekitei, mivel függetleül dötésüktől, mideképpe felmerülek. A példát kétféleképpe is meg lehet oldai. Az első módszer szerit külö-külö kiszámoljuk a régi gép és az új gép esetébe a ettó jeleértéket, majd összehasolítjuk őket. Azt a megoldást fogjuk elfogadi, amelyikek agyobb a ettó jeleértéke. A másik módszer szerit kivojuk az új gép pézáramából a régi gép pézáramát. A régi gép pézáramait úgy tekitjük, mit az új gépbe törtéő beruházás elmaradt haszát. A külöbségek kiszámoljuk a ettó jeleértékét. Ha ez pozitív, akkor érdemes az új gépet megvásároli, ha egatív, érdemes a régi gépet tovább üzemelteti. Nézzük először az 1. módszert! A régi gép pézáramait és a ettó jeleértékszámítást a 3.2. Táblázat tartalmazza Táblázat adatok ezer foritba Régi gép 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Beruházási költség Működési pézáram Beruházás pézáram-sorozata Diszkotráta 1,000 0,909 0,826 0,751 0,683 Beruházás jeleértéke ,91 264,46 240,42 218,56 Beruházás halmozott jeleértéke ,09-444,63-204,21 14,36 Ha a régi gépet tovább üzemeltetjük, akkor elesük eek piaci értékétől, mivel em tudjuk eladi 1 millió foritért. A meglevő eszközeik piaci értéke lesz a beruházás költsége. A feti elv alapjá bármely meglevő eszközük működtetését értékeli tudjuk a ettójeleérték-modell alapjá. Egy eszközt addig érdemes haszáli, míg piaci ára alatta marad az eszköz működtetetésből származó pézáram-sorozat jeleértékéek. 135 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

136 136 A beruházás működési pézáramát a következőképpe számolhatjuk ki. A gép kapacitását megszorozzuk a termék egységárával és 1 - a selejtaráyal. Ebből levojuk a kapacitás és az egységköltség szorzatát és az éves karbatartási költséget. Képlettel: (3.3.) CF = 10 [ 300 ( 1 5% ) ] 30 = 320 A beruházás pézáram-sorozata a tőkekiadás és a működési pézáram előjelhelyes összege. Ezt 10%-os kamatlábbal diszkotálva kapom a beruházás jeleértéke sort. A beruházás jeleértéke a "diszkotráta" és a "beruházás pézáram-sorozata" sorok szorzata. A beruházás jeleértéke sort gögyölítve kapom a 4. év oszlopába a régi gép működtetéséek ettó jeleértékét, ami 14,36 ezer forit. Az új gép vásárlásáak gazdaságossági vizsgálatát a 3.3. Táblázat tartalmazza Táblázat adatok ezer foritba Új gép 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Beruházási költség Működési pézáram Beruházás pézáramsorozata Diszkotráta 1,000 0,909 0,826 0,751 0,683 Beruházás jeleértéke , , , ,40 Beruházás halmozott , , , ,12 jeleértéke Az új gép beszerzési ára lesz a beruházási költség. A működési pézáramot a régi géphez hasoló módo kapom. (3.4.) CF = 20 [ 300 ( 1 1% ) ] 10 = 2930 A 4. évbe a feti összeghez még hozzájö az új gép maradváyértéke, így a 4. év pézárama: = lesz. A ettójeleérték-számítást elvégezve az új gép ettó jeleértéke ,12 ezer forit lesz. Mivel a régi gép ettó jeleértéke eél a számál agyobb, ezért em fogom az új gépet megvásároli, haem a régi gépet fogom tovább üzemelteti. A 2. Módszer szerit a két gép pézáramát kivoom egymásból és a külöbség ettó jeleértékét számolom ki. A számításokat a 3.4. Táblázat tartalmazza. 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

137 3.4. Táblázat adatok ezer foritba Új gép - régi gép 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Beruházási költség Működési pézáram Beruházás pézáram-sorozata Diszkotráta 1,000 0,909 0,826 0,751 0,683 Beruházás jeleértéke , , , ,84 Beruházás halmozott jeleértéke , , , ,48 A beruházás költsége az új gép és a régi gép piaci áráak külöbsége. Ha az új gépet megvásárolom, a régi gépet eladhatom, így a beruházás ettó kiadása csak 19 millió forit. A beruházás révé az új gép pézáramát megyerem, viszot elveszítem a régi gép pézáramát, így a működési pézáram a két pézáram-sorozat külöbsége lesz. ( =2.610). A beruházás pézáramsorozatát diszkotálva és a jeleértékeket gögyölítve megkapom a külöbség ettó jeleértékét, ami ,48. Mivel az NPV egatív, ezért em érdemes az új gépet megvásároli. Vegyük észre, hogy a ,48 em más mit az új gép beruházás NPV-jéek és a régi gép működtetés NPV-jéek a külöbsége! Ez a ettójeleérték-módszer additivitásáak következméye Adózás hatása a beruházás pézáram-sorozatára A beruházás-gazdaságossági vizsgálatok sorá csak a társasági adó figyelembe-vétele jelet problémát. A személyi jövedelemadót és a mukabért terhelő egyéb közterheket a személyi jellegű ráfordítások között vesszük figyelembe. Hasolóa járuk el a költségkét elszámolható helyi adókkal is. Az általáos forgalmi adó, ha az illető vállalat adóalay, akkor átfutó tételkét jeletkezik, legalábbis közép- és hosszú távo, ami a tőkeköltségvetési számítások időhorizotja. Az árbevételt és a költségeket mid ÁFA élkül, ettó áro számoljuk. Ha a társaság alayi vagy tárgyi adómetes, az ÁFA-t költségkét számoljuk el, tehát a költségeket ekkor bruttó áro kell számításba vei. A társasági adófizetés miatt azoba a működési pézáram korrekcióra szorul. A társasági adó a vállalkozás eredméyét terheli. Aak érdekébe, hogy az adó agyságát megkaphassuk, ki kell számítauk a beruházás yereségét is, emcsak a pézáramát. Úgy járuk el, hogy először kiszámoljuk a beruházás adózott eredméyét, majd ezt korrigáljuk, hogy újra megkaphassuk a beruházás adózás utái pézáramát. A két korrekciós tétel: az amortizáció és a forgótőke változása. A forgótőke kezelésével a 3.4. potba foglalkozuk, most tételezzük fel, hogy a forgótőke-változás zérus. Az amortizációt azért kell visszaaduk az adózott eredméyhez, mivel az amortizációt költségkét elszámoljuk, így az eredméyt csökketi, de em csökketi a pézüket, mivel em fizetjük ki. Ha em kell társasági adót fizeti, az amortizációt a beruházásgazdaságossági vizsgálatál teljese figyelme kívül hagyhatjuk (mit tettük ezt eddig). 137 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

138 138 Ha va adófizetés, akkor figyelembe kell veük értékét, mivel az amortizáció adóalapot, és így adót csökket. A tőkeköltségvetési dötésekbe a társasági adótörvéy szerit elszámolható amortizációt kell midig figyelembe veük. Társasági adó mellett az adózás utái pézáramot az alábbi séma szerit kell 3.2. Ábra kiszámítai. Az árbevételből (reveue) + Árbevétel (R) levojuk a működési költséget (operatig costs) és az amortizációt (depretiatio). A - Működési költség (OC) kivoás eredméyeképpe megkapjuk az - Amortizáció (D) adózás előtti eredméyt (pre-tax profit), Adózás előtti eredméy (PP) amiből adót számoluk. A - Adó (18%) (T) tőkeköltségvetési dötésekél feltételezzük, hogy ics adóalapot korrigáló tétel. Az Adózás utái eredméy (AP) adó levoása utá kapjuk az adózott + Amortizáció eredméyt (after-tax profit), amihez Működési pézáram adózás utá (CF) visszaadva az amortizációt kapjuk a működési pézáramot (operatig cash flow). A működési költség az amortizáció kívüli összes, a termelés érdekébe felmerülő olya költség, amit téylegese ki kell fizeti. A működési költség em tartalmazza a fiaszírozás költségeit (kamat és osztalék). Elképzelhető, hogy egatív adózás előtti eredméyt kapuk. Ekkor az adót kétféleképpe kezelhetjük a tőkeköltségvetésükbe. Ha feltételezzük, hogy va (vagy lesz) egyéb yereséges tevékeységük, melyek terhére az adott évi egatív eredméyt elszámolhatjuk, akkor a veszteség más tevékeységükből adódó adófizetési kötelezettségüket csökketi. A csökkeés mértéke a veszteség szorozva a társasági adókulccsal. Ilyekor a egatív adóalapot a társasági adókulcs míusz egyszeresével beszorozva pozítív adót kapuk, ami az adózás utái eredméyt öveli. A másik lehetőség az, hogy ics vagy em várható más yereséges tevékeység. Ekkor az adófizetési kötelezettség az adott évbe 0. A további évekbe viszot, ha keletkezik yereség, az adóalap csökkethető az előző évi veszteségekkel. Ebbe a fejezetbe azoba egyszerűsítésképpe em határoljuk el a veszteséget a következő évek eredméyei terhére. A fiaszírozás költségeit em szabad figyelembe veük a tőkeköltségvetés készítésekor. Ugyais amikor a beruházás pézáramát diszkotáljuk, a diszkotláb potosa a fiaszírozás költségeit fejezi ki. Ha a működés pézáramát a kamat és osztalékfizetéssel csökketeék és utáa a kapott értékeket a fiaszírozás hatását tükröző elvárt hozammal diszkotálák, kétszer veék figyelembe ugyaazt a téyezőt. Ezért a beruházási és fiaszírozás dötések hatását el kell külöítei egymástól!!! 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

139 A beruházásgazdaságossági vizsgálatba csak az eszközök által termelt hozamok és az eszközök működési költségei szerepelek a rájuk voatkozó közterhekkel együtt. A fiaszírozás költségeit a diszkotráta meghatározásáál vesszük figyelembe. Aak érdekébe, hogy a társasági adó hatását szemléltessük, a 3.2. Ábra 3.3. Ábra jelöléseit alkalmazva levezetjük az adózás előtti működési pézáramból az adózás CF = (R - OC - D)*(1 - T ) + D utái működési pézáramot. A levezetést a 3.3. Ábra mutatja. Az adózás utái cash flow em más mit az adózás előtti CF = (R - OC)*(1-T ) - D + T *D + D eredméy * (1 - a társasági adó kulcsával) és az amortizáció összege. Emeljük ki a CF = (R - OC)*(1-T ) + T *D szorzatból az amortizációt. Az eredméyt a második sor mutatja. Az amortizációval egyszerűsítük és kapjuk a harmadik sort. Az R-OC az adózás előtti működési pézáram. A harmadik sorból látható, hogy az adózás hatása kettős. Egyrészt a működési pézáramot megadóztatja, másrészt viszot az amortizációra jutó adót megtakarítjuk. Az adózás hatása tehát három téyezőtől függ: Miél agyobb a működési pézáram, aál agyobb a fizetedő adó összege. Miél agyobb az amortizáció, aál kisebb a fizetedő adó összege. Miél agyobb a társasági adókulcs, aál jobba felerősödik a két feti hatás Példa A vállalati köyvelő beteg lett a túlmukától. Hiáyzása miatt a helyettese készített kimutatást egy olya projekt jövedelmezőségérôl, amit a következő Igazgatótaácsi ülése vitatak meg. Feltételezzük, hogy a kimutatásba icseek számszaki hibák. A beruházás főbb adatai a következők: adatok millió foritba Tételek 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Árbevétel Költségek Ayagköltség Bérköltség Fix ktg. 4, Amortizáció Kamat Felj.leírása Teljes ktg. 46, Adózás előtti -1, eredméy 139 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

140 140 Tételek 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Adó (18%) 0 0-0,72-1,26-1,26 Adózott -1,5-2 3,28 5,74 5,74 eredméy A beruházás yeresége az 5 év alatt összese 11,26 millió forit. Az átlagos eredméy 2,252 millió forit. Beredezések értéke: 60 millió Ft. A beredezések értéke 10 millió Ft köyv szeriti értékű régi eszközt takar. Ha em idítják be az új projektet a gépet le kell selejtezi. Az új eszköz értéke 50 millió Ft. Feltételezzük, hogy mide pézáram az év végé lép fel. A gépek amortizációja 20%, a régi gép bruttó értéke 50 millió forit volt. A gépekek ics piaci értékük az 5. év végé. A 9 millió Ft fejlesztési költséget már kifizettük. A fix költséget a direkt mukaerőköltség 50%-ba határozták meg és vetítették a termékre. Egy függetle értékelés szerit a project miatt megövekedett fix költség 3 millió Ft/év. A beruházáshoz hitelt is igéybe kíváak vei. A 30 millió foritos hitelt 10%-os kamatláb mellett yújtják. A vállalatál az elvárt hozam 12%. Eek a beruházásak az átlagos hozama körülbelül 4%. (2,252/60=3,7%), ezért a köyvelő a beruházás elutasítását javasolja. Bíráljuk el a főköyvelő javaslatát és értékeljük a projektet a ettó jeleérték módszerével! Az első feladatuk eldötei, hogy mely tételeket kell figyelembe veük a ettójeleérték-modellbe. Az árbevétel, az ayag- és bérköltséget figyelembe kell vei, mivel em merülek fel, ha em csiáljuk meg a beruházást. A fix költségek csak azzal a részével kell foglalkozuk, amit a beruházás végrehajtása okoz. Ez 3 millió forit/év. Az amortizáció összege most fotos számukra, mivel adót csökket. A kamatot em vesszük figyelembe, mivel fiaszírozási költség és be va építve a 12%- os elvárt hozamrátába. A fejlesztés költsége suk cost. Következésképpe a fejlesztés amortizációját sem vesszük figyelembe, mivel függetleül beruházási dötésüktől leírhatjuk költségkét. A beruházás költségei közül csak az új gép árát kell figyelembe vei, mivel a régi gép költsége suk cost. A régi gépek esetleg a piaci értékét lehete figyelembe vei, de példák szerit ez zérus. A fetiek utá a vállalat beruházásáak ettó jeleérték számítása a következő: 3.5. Táblázat Számítás Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

141 141 Számítás Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év (1) Beruházási kiadás -50 (2) Árbevétel (3) Működési költségek (4) Amortizáció (5)=(2)+(3)+(4) Adózás előtti eredméy (6)= - (5) * 0,18 Adó -1,08-1,08-2,16-2,16-2,16 (7)=(5)+(6) Adózott eredméy 4,92 4,92 9,84 9,84 9,84 (8)=(7)-(4) Működési pézáram 19,92 19,92 19,84 19,84 19,84 (9)=(1)+(8) Beruházás pézárama ,92 19,92 19,84 19,84 19,84 (10) Diszkotráta 1,000 0,893 0,797 0,712 0,636 0,567-50,00 17,79 15,88 14,12 12,61 11,26 (11)=(10)* (9) Beruházás pézáramáak jeleértéke (12) Beruházás -50,00-32,21-16,33-2,21 10,40 21,65 pézáramáak halmozott jeleértéke A számítás meetét az első oszlop mutatja. A számok a sorokat jelölik. A beruházás költsége az 50 millió foritos új gép. Az árbevételt és az amortizációt a táblázatból másoltuk át. A működési költség az ayag- és bérköltség, valamit a 3 millió foritos többlet-fixköltség összege. Látható, hogy a költségek között a kamatkiadásokat em vettük figyelembe. Az adózás előtti eredméy az árbevétel és a költségek előjelhelyes összege. A tőkeköltségvetési kimutatásokba érdemes a kiadásokat míusz, a bevételeket pozitív előjellel szerepelteti. Eek két oka va. Egyrészt az elemző számára már első pillatásra yilvávaló lesz, hogy mely tételek csökketik, és melyek övelik a ettó jeleértéket. Másrészt a származtatott adatokál (mit például az adózás előtti eredméy) csak összeadást kell alkalmazi, kisebb a lehetősége, hogy előjelet tévesztük. Az adó az adózás előtti eredméy 18%-a. Az adózott eredméy az adózás előtti eredméy és az adó előjelhelyes összege. A működési pézáram az adózott eredméy és az amortizáció összege. A beruházási pézáram a működési pézáram és a tőkekiadás sor összege. Ezt diszkotáljuk 12%-al és akkor a beruházás pézáramáak jeleértékét kapjuk, majd a kapott jeleértékeket oszlopfolytoosa összeadjuk. Végül megkapjuk az 5. év oszlopába a beruházás ettó jeleértékét, ami 21,65 millió forit. A beruházást tehát a köyvelő állításával elletétbe érdemes megvalósítai, hisze az 50 milliós befektetés 21,65 millió foritos vagyoövekedéssel jár Ifláció kezelése dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

142 142 Az ifláció kezelését két módo oldhatjuk meg. Vagy a reálérték- vagy a omiálérték megközelítést alkalmazzuk. A reálérték megközelítésbe mai áro számolt pézáramokkal számoluk és ezt a reálkamatlábbal diszkotáljuk. A omiálérték megközelítésbe a pézáram egyes paramétereit az ifláció mértékével korrigáljuk, majd a omiális pézáramokat a omiális elvárt hozammal diszkotáljuk. A két megközelítés szemléltetésére ézzük egy egyszerű példát! 3.4. Példa A vállalat egy 15 millió forit költségű beruházást fotolgat. A beruházás révé létrejövő beredezés 2 évig működik és mide évbe mai áro 10 millió forit pézáramot termel. A vállalat által elvárt hozam 20%. Tételezzük fel, hogy az elkövetkezedő két évbe mide ár és költség évi 10%-al ő. Tekitsük el az adófizetéstől! Mekkora a program ettó jeleértéke? Általáos iflációt tételezük fel a beruházás tervezése kapcsá akkor, ha feltételezzük, hogy mide ár és működési költség azoos mértékbe iflálódik. A ettó jeleértéket midkét módszer szerit kiszámoljuk. Meg fogjuk láti, hogy általáos ifláció mellett és adózás élküli világba a reálérték és a omiálérték módszer azoos végeredméyt ad. Nomiálérték-módszer Első lépéskét meg kell határozuk a pézáramok jövőbeli árait. Ez em más, mit az iflációs százalékokkal végzett jövőértékszámítás, amihez az képletet haszáljuk. (3.5) FV FV 1 = PV = PV 1 ( 1 + i) = 10 1,1 = 11 2 ( 1 + i) = 10 1,21 = 12, 1 2 Ahol, FV 1 - a pézáram omiálértéke az 1. év végé FV 2 - a pézáram omiálértéke a 2. év végé (1+i) 2 - a második év iflációs szorzója Az iflációs szorzó megmutatja, hogy egy mai áro kifejezett ár, vagy költség háyszorosára övekszik a jövőbe az ifláció eredméyeképpe. Az iflációs szorzó kiszámításáak általáos képlete: (3.6.) IM = ( 1 + i ) j= 1 Ahol, IM - iflációs szorzó (iflatio multiplier) i j - j-dik időszakba érvéyes ifláció - időszakok száma j j 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

143 A kiszámított omiális pézáramokat a omiális hozammal diszkotálva, megkapjuk a beruházás ettó jeleértékét ,1 (3.7.) NPV = = ,17 + 8,40 = + 2, 57 1,2 2 1,2 A beruházást érdemes megvalósítai, mivel a ettó jeleértéke pozitív. Reálérték-módszer A reálérték módszer esetébe a reálhozamot kell kiszámoluk. Mivel az elvárt hozam és az ifláció rátája is álladó a két év folyamá, az 1.5. képletet alkalmazhatjuk. 1 + r 1,2 (3.8.) rr = 1 = 1 = 9,09% 1 + i 1,1 A reálkamatlábbal diszkotálva megkapjuk a ettó jeleértéket (3.9.) NPV = = ,17 + 8,40 = + 2, 57 1, ,091 Ugyaazt az eredméyt kaptuk, mit az előbb. Ahhoz, hogy beláthassuk, a kapott eredméy em véletle, vezessük le a reálértékmodellből a omiálérték modellt! 1 1 NPV = P0 + CF1 + CF r 2 r ( 1+ rr ) 1 1 (3.10.) NPV = P0 + CF1 + CF r 2 ( 1+ r ) 1 + i1 ( 1+ i1 ) ( 1 + i2 ) CF1 ( 1+ i1 ) CF2 ( 1 + i1 ) ( 1+ i2 ) NPV = P r 2 ( 1+ r ) Ahol, NPV - a beruházás ettó jeleértéke -P 0 - a beruházási tőkekiadás CF j - az j-dik időpotba esedéskes reálpézáram i j - j-dik időszakba érvéyes ifláció r r - reálhozam r - omiális hozam A feti összefüggés azoba em teljesül, ha em általáos az ifláció. Az ok egyszerű. Ha a költségek és az ár eltérő mértékbe iflálódik, akkor a pézáram is eltérőe alakul az átlagos iflációhoz képest. Ha az ár agyobb mértékbe ő, mit a költségek, a pézáram agyobb mértékbe ő, mit ahogy az ár iflálódik. Ha a költségek jobba övekedek, mit az árak, akkor a hatás fordított. A két módszer em ad egyező eredméyt, ebbe az esetbe a reálérték módszer torzított eredméyt ad. 143 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

144 Példa Egy olya programot javasolak elfogadásra, amelyél a beruházás összege 6 millió forit. A jelelegi árako és költségeke számolva a következő költségelszámolást készíti el a pézügyi vezető: ezer Ft. Tételek Összeg Árbevétel Le: Mukabér Ayagköltség Egyéb változó költség Költség összese Évi pézáram A kereslet várhatóa a termék 3 éves élettartamáak végéig tart. A gépet várhatóa 1 millió foritért lehet eladi a 3. év végé. A vállalati megkövetelt reálhozam 12%-os. Tekitse el az adóktól! A következő adatok ismertek az előrelátható éves árbevétel és költségváltozásokról. Megevezés Árváltozás %-ba Ár 5 Mukaerő 8 Ayagköltség 10 Egyéb változó költség 4 Általáos ifláció 4 Értékelje a beruházást a omiálérték módszerével! Mutassa be a reálértékmodell torzító hatását! Mivel ics adózás, az amortizációval em kell foglalkozuk. A omiálérték-modell alkalmazásához ki kell számoluk az egyes évekbe érvéyes omiálárat és a omiális elvárt hozamot. A omiális elvárt hozam: (3.11.) r = ( 1 + i) ( 1+ rr ) 1 = 1,04 1,12 = 0, 165 Ahol, i - általáos ifláció r r - reálhozam r - omiálhozam. Az egyes tételek iflációs szorzóit és a feladat megoldását a 3.6. Táblázat mutatja: 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

145 3.6. Táblázat adatok ezer foritba Iflációs szorzók 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év Ár 1,05 1,10 1,16 Mukaerő 1,08 1,17 1,26 Ayagköltség 1,10 1,21 1,33 Egyéb változó költség 1,04 1,08 1,12 Nettójeleérték-számítás Beruházási kiadás Árbevétel Mukaerő Ayagköltség Egyéb változó költség Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,859 0,737 0,633 Beruházás pézáramáak jeleértéke , , , ,08 Beruházás pézáramáak halmozott , , ,36-411,28 jeleértéke Az iflációs szorzókat úgy kapjuk, hogy a megfelelő iflációs adatokhoz hozzáaduk 1-t, és a kapott értéket az év hatváyára emeljük. Például a 3. év oszlopába az ayagköltség iflációs szorzóját a következőképpe kapjuk: 3 (3.12.) IM ( 1 + i) = 1,1 1, 33 = Az egyes évek omiális árbevételét és költségeit úgy kapjuk, hogy az adott év iflációs szorzójával beszorzom a mai áro mért árbevételt és költségeket. A harmadik évbe az árbevételhez hozzáadtam a maradváyérték általáos iflációval korrigált értékét. A működési pézáram az árbevétel és a működési költségek előjelhelyes összege. A továbbiakba a omiális elvárt hozammal diszkotálva a 3. év oszlopába megkapom a beruházás ettó jeleértékét. A ettó jeleérték -411,28, azaz elutasításra javasolom a programot. A reálérték-modell számításait a 3.7. Táblázat tartalmazza: 145 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

146 Táblázat adatok ezer foritba Reálértékmodell 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év Beruházási kiadás Árbevétel Mukaerő Ayagköltség Egyév változó költség Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,893 0,797 0,712 Beruházás pézáramáak jeleértéke , , , ,76 Beruházás pézáramáak halmozott , , , ,91 jeleértéke A mai áro vett adatokat a reálhozammal (12%) diszkotálva kapjuk a beruházás ettó jeleértékét. A reálérték-modellel a beruházásak ige agy pozitív ettó jeleértéke va. A jeletős külöbség aak következméye, hogy a költségek várhatóa jóval erőteljesebbe drágulak, mit az ár. Látható, hogy a pézáram omiálértékbe is folyamatosa csökke. Ezt a csökkeő működési pézáramot aztá a magasabb omiális elvárt hozammal diszkotáljuk, így a külöbség tovább ő a reálértékmodellbeli értékhez képest. A reálérték-modell általáos ifláció mellett is torz eredméyt ad akkor, ha társasági adót kell fizetie a vállalatak. Adózás mellett az amortizációt is figyelembe kell vei, mivel mértéke csökketi az adóalapot. Az amortizáció agyságára azoba az ifláció em hat, az csak az eszköz aktivált értékétől és a leírás módjától függ. Ha adózás mellett a reálértékmodellt alkalmazzuk, a ettó jeleértéket túlbecsüljük. A torzítás az adókulcs agyságától és az amortizáció mértékétől és időbeli eloszlásától függ Példa Egy vállalat szakemberei egy szoftversokszorosító gépsor megvásárlását fotolgatják, melye saját CD - ROM-o futó szoftvereik sokszorosítását tervezik. A vállalat köyvelője szerit a szoftverek kifejlesztése 4 millió foritjába került a cégek. A CD előállító gép beszerzése és beüzemelése 6 millió foritba kerül. Midkét eszközt 4 év alatt írják le bruttó lieáris kulcs szerit. A köyvelő a várható költségekre és eladási árakra az alábbi becslést tette: adatok ezer foritba Tételek Összeg Árbevétel Le: Mukabér Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

147 147 Tételek Összeg Ayagköltség Egyéb változó ktg Összes változó költség Amortizáció 10 mft 25%-a Üzemi fix ktg. Általáos költség Eredméy Az üzemi fix költség mértékét a beruházás em befolyásolja. A táblázatba szereplő tételt a szokásos pótlékoló osztókalkuláció alapjá vetítik a termékre. A gép várható élettartama 4 év. A gép utáa értékteleé válik. Az ifláció a következő három évbe várhatóa a következőképpe alakul: Évek 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Ifláció 10% 8% 6% 4% A vállalat feltételezi, hogy árbevétele és működési költségei az általáos ifláció mértékébe fogak övekedi. A vállalat 20%-os reálhozamot vár el a befektetéseitől. A társasági adókulcs 18%. Érdemes-e a vállalatak elvégezie a beruházást? A szoftverek kifejlesztése esetükbe suk cost, em vesszük figyelembe. Hasoló a helyzet az üzemi fix költséggel. Mivel a vállalat társasági adó fizetésére kötelezett ki kell számoluk az adózott eredméyt és ehhez az amortizációt is figyelembe kell vei. Az amortizáció esetébe azoba csak a CD gyártó gép amortizációját kell figyelembe vei, mivel a szoftver amortizációját a beruházástól függetleül el lehet számoli. Az ifláció az egyes évekbe külöböző agyságú, ezért az iflációs szorzókat em hatváyozással kapom, haem az egyes évek iflációit + 1 -et szorzom össze. Ha az iflációs szorzókat megszorzom 1 + a reálhozam megfelelő hatváyával, akkor kapom az adott év diszkottéyezőjéek a reciprokát. A feladat megoldását a 3.8. Táblázat tartalmazza: 3.8. Táblázat adatok ezer foritba Számítás Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év (1) Ifláció 0% 10% 8% 6% 4% (2)=1+(1) Iflációs szorzó 1,00 1,10 1,19 1,26 1,31 (3) Beruházási kiadás (4) Árbevétel (5) Működési költségek (6) Amortizáció dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

148 148 Számítás Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év (7)=(4)+ Adózás előtti eredméy (5)+(6) (8)=-(7)*0,18 Adó (9)=(7)+(8) Adózott eredméy (10)=(9)-(6) Működési pézáram (11)=(10) + (3) Beruházás pézárama (12)=1/(2)/(1+20%) Évek Diszkotráta 1,000 0,758 0,585 0,460 0,368 (13)=(11)* (12) Beruházás , , , ,21 pézára-máak jeleértéke (14) Beruházás ,12-626, , ,92 pézáramáak halmozott jeleértéke Az árbevételt és a működési költségeket úgy kapom, hogy a megfelelő iflációs szorzóval megszorzom az árbevétel és működési költség adatokat. Az amortizáció a 6 millió forit beruházási kiadás 25%-a. Ezutá a szokásos módo kapom a beruházás pézáramát. A diszkotráta kiszámolásáál a reálhozamot az iflációs szorzóval kell kiigazítai. A 3. év diszkotrátáját a következőképpe kapom: (3.13.) 1 1 DF 3 = = 0, IM3 ( 1 + r ) 1,26 1,2 r A beruházást a főköyvelő kimutatásával szembe érdemes megvalósítai, mivel ezer forit a ettó jeleértéke. Most ézzük ugyaezt a reálérték modell szerit. Az árbevételek és a működési költségek mai áro szerepelek és a reálhozammal diszkotálok. A számításokat a 3.9. Táblázat tartalmazza: 3.9. Táblázat adatok ezer foritba Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Beruházási kiadás Árbevétel Működési költségek Amortizáció Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

149 149 Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,833 0,694 0,579 0,482 Beruházás pézáramáak , , , , ,00 jeleértéke Beruházás pézáramáak halmozott jeleértéke , ,67-576, , ,01 Látható, hogy a reálérték modellbe a program ettó jeleértéke agyobb, mit a omiálérték modell szerit. A külöbség =113 ezer forit midazoáltal em jeletős. Az eltérés oka, hogy az ifláció felfújja az adózatla eredméyt, mivel az amortizáció em változik az árszívoal változás hatására. Eek következméyeképpe a fizetedő adó reálértékbe is övekedi fog. Az iflációs körülméyek közötti magasabb adófizetés okozza az eltérést. A reálérték-modell torzító hatása az ifláció és az amortizáció agyságától, a leírás módjától és a társasági adókulcstól függ. A magyar társasági adókulcs (18%) emzetközi összehasolításba alacsoyak modható, ezért általáos ifláció mellett és akkor, ha az amortizáció em teszi ki az árbevétel 25%-át, a reálmodell torzító hatása em jeletős, külööse most, hogy az ifláció is egyszámjegyűvé vált A forgótőke kezelése Beruházási dötések esetébe emcsak a befektetett eszközökbe (épületek, gépek, járművek, szoftverek, stb.) lekötött pézt kell figyelembe veük. Arra is ügyelük kell, hogy yersayagokat kell vásároluk, ezeket fel kell dolgozuk, majd a készterméket el kell aduk és eze befektetéseik csak akkor térülek meg, ha a vevők fizetek. A vállalkozás tőkéjéek egy része álladóa le va kötve olya készletekbe és követelésekbe, amelyek a termelés folyamatos működéséhez szükségesek. Ezek egyedileg rövid távo realizálódak ugya, de új készleteket kell vásároli és az eladások révé új követelések keletkezek. A forgóeszközök egy részét megfiaszírozzák a vállalat szállítói azáltal, hogy ők is hitelbe szállítaak. Forgótőkéek evezzük a tőkeköltségvetés esetébe a készletek és követelések, valamit a szállítóállomáy (vevői előleg) külöbségét. Képlettel: dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

150 150 (3.14.) Forgótőke=készletek+vevői követelések - szállítói tartozások, vevői előleg Általáos értelembe a forgótőke a forgóeszközök és a rövid lejáratú kötelezettségek külöbsége. Magyarázattal tartozuk azért, hogy a tőkeköltségvetési tervekbe miért csak a feti tételeket vesszük figyelembe. A forgóeszközök közül a készpéz és az értékpapírok hiáyozak. Az értékpapírba törtéő befektetés jellemzőe em beruházáshoz kötődik, a forgóeszközök között egyébkét is a rövid távo tartott értékpapírok szerepelek. A pézeszközök kezelése a vállalatál általába közpotosított, így az egyes beruházások idítása a vállalat pézeszköz-állomáyát tartósa em öveli. Ameyibe mégis ez lee a helyzet, természetese a pézeszközök övekedését figyelembe kell vei. A rövid lejáratú kötelezettségek a szállítóállomáyo és vevői előlege kívül elsősorba külöböző éve belül esedékes hiteleket tartalmazak. Mivel a fiaszírozási dötést elkülöítjük a befektetési dötésektől, ezek hatásait a ettójeleérték-modellbe em vesszük figyelembe. Az egyéb rövid lejáratú kötelezettségek között mukabér- és adótartozások szerepelek. Ha volumeük jeletősek látszik a tőkeköltségvetési dötés szempotjából, akkor forgótőke csökkető tételkét figyelembe kell veük őket. A forgótőke iduló értéke a beruházás körülméyeitől függ. Mivel a forgótőke agysága elsősorba a vállalat által realizált forgalomtól függ, ezért a tervezés sorá általába az árbevétel egy meghatározott %-t állítják be forgótőkéek. A beruházási pézáramot azoba em a forgótőke abszolút értéke, haem értékéek változása befolyásolja. Ha a forgótőke állomáya ő, a pézáram csökke, hisze a megtermelt pézáram egy részét a készletek és követelések fiaszírozásáak övekedése leköti. Hasolóképpe, ha a forgótőke állomáya csökke, a pézáram ő, hisze források szabadulak fel, a készletek és követelések csökkeése (vagy a szállítóállomáy övekedése) miatt. A beruházás időtartamáak végé úgy tekitjük, hogy a programot felszámolják, így az időközbe felhalmozódott forgótőke lecsökke zérusra, következésképpe a forgótőke teljes agysága öveli az utolsó év pézáramát Példa Egy magászemély építőayag-értékesítő bolt megyitását fotolgatja. A bolthelyiség a ház haszálato kívüli garázsába lee, míg a szabad tárolást lehetővé tévő ayagokat a házhoz tartozó szabad telke tárolák. A ház forgalmi értéke a bolt beidulása utá körülbelül 4 millió forittal csökke. Az iduló készletszit értéke körülbelül 5 millió forit. A bolt egy beépítedő zöldövezet közelébe helyezkedik el és a várható agy építkezésekre alapozva működe. A zöldövezet várható teljes beépítése 5 éve belül várható. A vállalkozásba apportált kizárólag üzemi célt szolgáló vagyo a 3 millió forit értékbe felbecsült kisteherautó, amelyet 5 év alatt bruttó lieáris kulcs szerit amortizálak. 5 év múlva várhatóa mai áro 1 millió foritot fog éri. A vállalkozás forgalmi adatai várhatóa az egyes évekbe omiál áro a következők: adatok ezer foritba Évek 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Árbevétel Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

151 A várható átlagos árrés 11%. A vállalkozás forgótőkeszükséglete az éves árbevétel 12%-a. A magászemélyek mide évbe felmerül mai áro 600 ezer forit ayagköltsége és 3 millió forit bérköltsége az alkalmazottak és a személyes jövedelemkivétele miatt. A készletek tárolásából, ikurressé válásából adódó veszteség várhatóa a forgalom 2%-a körül alakul. Az iflációt éves szite 8%-ra becsüljük. A magászemély 4%-os reálhozamot vár el a befektetésétől. A személyi jövedelemadózásba a vállalkozási jövedelem adókulcsa 18%. Értékelje a beruházást a ettó jeleérték módszerével? A feladat megoldását a Táblázat mutatja Táblázat adatok ezer foritba Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Iflációs szorzó 1,08 1,17 1,26 1,36 1, Beruházás bef eszközbe Forgótőke állomáya Forgótőke állomáyváltozása Maradváyérték Árrés Működési költségek Amortizáció Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,890 0,793 0,706 0,628 0,559 Beruházás ,00-347,36-817,40 314, , ,93 pézáramáak jeleértéke Beruházás , , , , , ,68 pézáramáak halmozott jeleértéke dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

152 152 Az iflációs szorzó az 1,08 megfelelő hatváyai jeletik. A beruházási összeg a 4 millió foritos házértékcsökkeés és a 3 millió foritos autóapport. A forgótőke állomáya a 0. évbe az iduló forgótőkeszit, az 1-4. évbe pedig az árbevétel*12%. Az 5. év végé a beruházás megszűik, ezért feltételezzük, hogy az összes készletet eladják, és a követelések befolyak, ezért az 5. év végé a forgótőkeállomáy 0. A forgótőke állomáyváltozásáak képlete, amivel közvetleül megkapjuk a pézáramra voatkozó hatását: (3.15.) Forgótőke állomáyváltozása=nyitó - Záró Forgótőkeállomáy Ha összeadjuk a forgótőke állomáyváltozása sort, a tőkeköltségvetési tervekbe midig 0-t kell kapuk. Midez azoba em jeleti azt, hogy a forgótőke hatását figyelme kívül lehete hagyi, mivel az egyes időszakok állomáyváltozásaihoz külöböző diszkottéyező tartozik és emiatt külöböző lesz a jeleértékük is. A maradváyérték az autó 5. évi piaci értéke az iflációs szorzóval felszorozva. Az árrés a 11%-a a forgalmi adatokak. A működési költség az ayag- és bérköltség 3,6 millió foritjáak az iflációs szorzóval szorzott összege és a forgalom 2%-t jelető készletveszteség összege. Az amortizáció az autó 20%-os amortizációja. A vagyovesztés em amortizálható. A beruházás pézáramához most emcsak a működési pézáram és a tőkekiadás tartozik hozzá, haem a forgótőke állomáyváltozása is. A továbbiakba a szokott módo kapjuk a ettó jeleértéket. A diszkottéyező az 1+reálhozam megfelelő hatváya * az iflációs szorzó reciproka. A beruházásak egatív a ettó jeleértéke, ezért a jele feltételezések mellett em érdemes megvalósítai. A forgótőke jeletőségét szemléltetedő, ézzük meg, hogy hogya ézett vola ki a kalkuláció, ha a forgótőkébe való befektetést figyelme kívül hagyjuk. A beruházás ettó jeleérték számítását a Táblázat szemlélteti. 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

153 3.11. Táblázat adatok ezer foritba Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Iflációs szorzó 1,08 1,17 1,26 1,36 1,47 Beruházás bef. eszközbe Maradváyérték Árrés Működési költségek Amortizáció Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,890 0,793 0,706 0,628 0,559 Beruházás pézáramáak ,00 542, , , ,00-123,21 jeleértéke Beruházás pézáramáak , , ,88-719,18 534,82 411,61 halmozott jeleértéke A beruházásak most pozitív a ettó jeleértéke, azaz érdemes megvalósítai. A forgótőke figyelme kívül hagyása két következméyel jár. Egyrészt lebecsüljük a beruházás tőkeszükségletét (jele esetbe a befektetett eszközök redelkezésre álltak, csak a forgótőkére kellett kiadi 5 millió foritot), másrészt túlbecsüljük a ettó jeleértéket és a diszkotált megtérülési időt. A beruházások iduló szakaszába az árbevétel övekvő, így ő a forgótőkeigéy is, ami viszot csökketi a beruházás pézáramát. A hayatló szakaszba a forgótőkeigéy csökke. Az iduló szakasz diszkottéyezője azoba magasabb, mit a későbbi időszakokba, így a ettó jeleértéket az iduló szakasz egatív forgótőkéje agyobb súllyal határozza meg, mit a későbbi időszaké. A hatás aál agyobb, miél agyobb a forgótőkeigéy változása és miél agyobb az elvárt omiális hozam. Jele esetbe a forgótőke figyelme kívül hagyása katasztrofális következméyekkel jára a vállalkozóra ézve. Úgy godolá, hogy em kell pézt a vállalkozásba fekteti, holott 5 millió forit készpézre va szükség. Azt hié, hogy a vállalkozás vagyoövekedést okoz, holott az 5. év végére vagyoa majdem a felére csökke A beruházás vizsgáladó élettartama - a beruházás megszűéséek pézáramai A ettó jeleérték számítás kritikus potja a vizsgáladó élettartam meghatározása. Kis túlzással szite bármilye beruházás ettó jeleértéke pozitívvá tehető, ha kellőe hosszú 153 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

154 154 időszakot veszek figyelembe. A ettó jeleérték-számítás em más, mit tervkészítés. Miél távolabbi időszakot vesz figyelembe a tervező, fatáziája aál köyebbe rugaszkodhat el a rideg valóságtól. A táblázatkezelő programok feltalálása óta a tervezés em külöösebbe időigéyes feladat, így egyszerű egérhúzogatással éves tervek is készíthetők. A beruházási tervek időtartamát ezért célszerű behatároli. Elméletileg a következő lehetőségek jöhetek szóba: A beruházással létrejött eszközállomáy fizikai élettartama A beruházással létrejött eszközállomáy gazdaságilag haszos élettartama A piaci folyamatok előrelátásáak időtartama A fiaszírozási források redelkezésre állásáak időtartama Szubjektív dötés A fizikai élettartam csak agyo speciális esetekbe alkalmazható. Ha a termék piaca kiszámítható, a piacra lépés korlátja magas (modjuk moopolhelyzet miatt), és/vagy a techikai haladás üteme lassú az adott területe, akkor vélhetőe az eszközöket a fizikai életképességük határáig haszáli lehet. (Például agy kommuális szolgáltató vállalatok alaptevékeységébe tartozó beruházásokál, ifrastrukturális fejlesztésekél, báyayitásokál alkalmazható.) A gazdaságilag haszos élettartam alkalmazása akkor idokolt, ha a piac ugya kiszámítható, de a techikai haladás gyorsabb, mit az eszközök fizikai kopása. Ebbe az esetbe az eszközöket hamarabb kell lecseréli, mitsem fizikai állapotuk idokolá, ellekező esetbe az alacsoyabb fajlagos költséggel dolgozó, vagy új termékekkel, szolgáltatásokkal megjelei képes kokurecia kiszorítaá a vállalatot a piacról. Az eszközt általába a gazdaságilag haszos élettartam alatt szokták leíri, ezért egy haszos hüvelykujj-szabályt kapuk a tervezési időtávra azzal, hogy addig kell megtervezi az eszközök pézáramát, amíg ullára le em írjuk őket. (A legtöbb esetbe ezt alkalmazzuk.) Sajos sok esetbe a feti logika em alkalmazható. Ha a piac gyorsa változik, a jövőre voatkozó becsléseik egyre gyorsuló mértékbe vállak potatlaá és a program értéke kiszámíthatatlaá. Ekkor előtérbe kerül a gyors megtérülés. (Divatcikkek esetébe, az úgyevezett techológiai vállalkozásokál (szoftvergyártók, iteretszolgáltatók) alkalmazható.) Szité hasoló hatása lehet a fiaszírozásak. Ha beruházásukat rövid lejáratú forrásokból fiaszírozzuk, eszközeik megtérülését a források lejáratához kell igazítauk. Kérdéses ugyais, hogy forrásaikat lejáratkor meg tudjuk-e újítai, és ha ige, milye feltételekkel. Kiszolgáltatott helyzetbe a vállalkozás gyakra szeved el vagyovesztést. (Főleg kis- és közepes vállalkozásokál lehet ez fotos szempot.) A fetiekből látható, hogy az eszközöket agyo sok esetbe tovább működtetjük, mit a tervezés időtartama. A további működésből származó poteciális vagyogyarapodást is 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

155 figyelembe vehetjük és figyelembe is kell veük a tervezés sorá. Az eljárás a következő: Tételezzük fel, hogy a tervezési időszak végé az eszközeiket értékesítjük. A beruházás megszűéséek pézárama em lesz más, mit az eszközök értékesítéséből várható pézáram. Kétfajta eszközük va. Befektetett eszköz és a forgótőkék. A kétfajta eszköz elszámolását a 3.4. Ábra mutatja. A befektetett eszközök piaci értéke (maradváyérték) mutatja, hogy vállalkozásuk számára várhatóa meyit fog éri az adott eszköz a tervezési időszak végé. Óvatosabb tervezés eseté az eszköz likvidációs értékét (ameyiért értékesíthető) is lehet alkalmazi. A piaci értékből levova a köyv szeriti értéket kapjuk meg az adóalapot. Az adó levoása utá az adózott eredméyhez visszaadjuk a köyv szeriti értéket, mivel a köyv szeriti érték em jelet pézkiadást, csak elszámolt költséget. A befektetett eszköz pézárama gyakorlatilag em más, mit az eszköz piaci értéke és adóvozatáak előjelhelyes összege. A forgótőke-állomáyról feltételezzük, hogy ullára csökke, ezért az előző évi forgótőke-állomáy teljes egészébe öveli a pézáramukat. A befektetés megszütetéséek elszámolására két időpot alkalmazható. Vagy a program utolsó évébe, vagy egy évvel később, elkülöítette a többi pézáramtól. Az egy évvel későbbi számolással kisebb ettó jeleérték adódik. Az 1 évvel későbbi elszámolás mellett a következő érveket lehet felhozi: Egy vállalkozás felszámolása, az eszközök értékesítése időigéyes folyamat, ezért érdemes ezt figyelembe vei, azzal, hogy 1 évvel csúsztatjuk a tervbe. A megszűés pézáramait szerecsés jó látható módo elkülöítei a működés pézáramaitól. A megszűés pézáramaiak becslése a tervezés legbizoytalaabb része. Ezért az itt szereplő adatokak szerecsés miél kisebb súlyt adi, így az egy évvel törtéő halasztás miatt eze értékek, a diszkotéyező csökkeése miatt, kevésbé befolyásolják a ettó jeleértéket. Ha az eszközök köye értékesíthetők, illetve a vállalkozásak ics is szádékába eladi az eszközöket a tervezési időszak vége felé, akkor a pézáramok az utolsó évbe is figyelembe vehetők Példa 3.4. Ábra A befektetés megszüéséek pézáramai + Befektetett eszközök piaci értéke - Befektetett eszközök köyv szeriti értéke =Adóalap - Adó = Adózott eredméy + Befektetett eszközök köyv szeriti értéke + Elõzõ évi forgótõke-állomáy = Beruházás pézárama 155 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

156 156 Egy vállalkozás árokásó gép vásárlását tervezi. Az árokásó gépet egy agy, több településre kiterjedő gázvezeték-építésre veé igéybe, melyek kivitelezési mukálatait tedere yerte el. A teder elkészítéséek költsége és a foglaló 5 millió forit volt. Az árokásó gép vételára 20 millió forit. Az árokásó gép működésére a gyártó 10 éves garaciát vállalt. A karbatartási általáy 30 ezer forit/év. Az árokásó gépek egedélyezett amortizációs kulcsa 14,5%. Tapasztalatok azt mutatják, hogy a hasoló típusú és igéybevételek kitett árokásó gépekél az 5. év végé a teljes hidraulikus redszer geeráljavítására szükség va, amire a karbatartási szerződés már em voatkozik. A geeráljavítás jelelegi ára körülbelül 5 millió forit. A teder elyerése következtébe a vállalkozásak 4 évig lesz mukája. 4 év múlva a piaci helyzet teljese bizoytala, mivel sok hasoló profilú vállalkozás működik. A gépet a vállalkozás felerészbe hitelből tervezi megvásároli. A megajálott hitel futamideje 5 év, a hitelt auitás formájába törleszti a vállalkozás. Az éves várható bevételek és kiadások a következők: adatok ezer foritba Tétel Részletezés Összese Árbevétel Ayagköltség Mukabér Egyéb költségövekedés 5000 Változó költség összese Az egyéb költségövekedés magába foglalja a karbatartási általáyt is. A vevők átlagosa 60 apra fizetek. A tartai tervezett készletszit 3 millió forit. A vállalat az ayagköltséget átlagosa 30 ap múlva fizeti ki a szállítókak. Egy 4 éves árokásó gép piaci értéke 7 millió forit, egy 5 évesé 5 millió forit, egy tízévesé (geeráljavítás utá) szité 5 millió forit mai áro. A következő időszakba átlagosa 5%-os általáos iflációt tételezze fel! A vállalat által elvárt omiális hozam (amely magába foglalja a hitelkamatlábat is) 25%. A társasági adó mértéke 18%. A beruházás megszűéséek pézáramait elkülöítette szerepeltesse! Tételezzük fel, hogy a vállalkozásak egyéb jövedelmező tevékeységei is vaak! Számolja ki a beruházás ettó jeleértékét! A megadott iformációk alapjá először el kell döteük, hogy háy éves tervet készítük. A megadott időtávok közül azt kell választauk, amely a legrövidebb. Jele esetbe a piaci előrelátás kíálja a legrövidebb időhorizotot. Így égy éves időtartamot foguk vizsgáli és + 1 évet a megszűésre. A forgótőke agyságát is ki kell még számoluk. 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

157 157 A forgótőke kiszámítását a Táblázat mutatja: Táblázat adatok ezer foritba Tétel Részletek Számok Készletlekötés Vevőállomáy * 60 / 360 = Szállítóállomáy * 30/360 = -833 Forgótőke összese A ettó jeleérték kiszámítását a Táblázat mutatja: Táblázat adatok ezer foritba Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Iflációs szorzó 1,05 1,10 1,16 1,22 1,28 Beruházás bef eszközbe Forgótőke állomáya Forgótőke állomáyváltozása Maradváyérték Árbevétel Működési költségek Köyv sz. érték Amortizáció Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,762 0,580 0,442 0,337 0,257 Beruházás pézáramáak jeleértéke , , , , , ,49 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

158 158 Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Beruházás , , , , , ,88 pézáramáak halmozott jeleértéke Az iflációs szorzó az 1,05 megfelelő hatváyai. A befektetett eszközigéy az árokásó gép vételára. A forgótőke-szükséglet az iduló forgótőke-állomáy és az iflációs szorzó szorzata. A beruházás megszűéséek évébe zérusra csökke. A maradváyérték a gép értéke az 5. évbe (5 millió forit) és az iflációs szorzó szorzata. Az árbevétel és működési költséget szité az iflációs szorzóval korrigálva kapjuk. A gép a tervidőszak végéig em amortizálódik, ezért az 5. év végé elszámoljuk a még em amortizált összeget a maradváyértékkel szembe. Negatív adóalapot kapok, és mivel feltételeztük, hogy va a vállalkozásak más yereséges tevékeysége is, pozitív adóval számolok. Az adózás előtti eredméy a maradváyérték, az árbevétel, a működési költségek és az amortizáció előjelhelyes összege. A köyv szeriti érték csak segédváltozó. A továbbiakba a beruházás pézáramát és a ettó jeleértéket az előző példákba már ismertetett módo kapjuk. Látható, hogy a 4 éves működés ideje alatt a beruházás em térül meg csak akkor, ha a forgótőkét visszakapjuk. 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

159 159 Példák 3.9. Példa Egy. vállalatak 2 gépről va iformációja, amelyek teljesíteék jövőbeli termelési terveit. A kettő közül azoba csak az egyiket fogja megvásároli. Az alap modell 25 millió foritba kerül, a luxus változat pedig 44 millió forit azoali tőkekiadást igéyel. Midkét gép élettartama alatt további 10 millió forit tőkét igéyel, és egyik gép esetébe sem marad maradváyérték a tervezett műszaki élettartamuk végére; amely az alapmodell esetébe 4év, és 6 év a luxus változatál. A befektetés forgótőkeigéye az alapgép esetébe 8 millió forit, a luxusgép esetébe 10 millió forit. Az előrejelzett adózás előtti ettó működési pézáram a két gép esetébe a következő: adatok millió foritba Évek 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év 6. Év Alapgép 10,5 11,5 12,1 11,7 Luxusgép 16,0 15,0 14,0 14,0 13,0 11,0 A de-lux gépet éppe most vezették be a piacra, és még em tesztelték le teljese termelési körülméyek között. A magasabb kockázat miatt az alkalmazadó reálhozam a luxusgép esetébe évi 14 %, 2 %-kal magasabb, mit az alapmodellél. A két gép amortizációs kulcsa 14,5%, a társasági adókulcs 18%. A megszűés pézáramait a működést követő évbe számolja el. Tekitsük el az iflációtól! Tegye javaslatot arra, hogy melyik gépet lee célszerű a vállalatak megvásárolia? Példa A vállalat egy agy kockázatú projektet értékel egy új vállalkozásba. A cég átmeetileg em redelkezik álladó köyvelővel, megkért egy kezdő köyvelőt, hogy készítse el a project pézügyi értékelését. A köyvelő az alábbi számításokat végezte el: adatok millió foritba Év Tőkekiadások Igatlaok Igóságok Működés bevételei és költségei Árbevétel Ayagköltség dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

160 160 Év Bérköltség Egyéb változó költség Fix költség Kamatköltség Amortizáció Összes költség Adózás előtti eredméy Adó 18% Adózott eredméy Beruházás pézárama Beruházás pézáramáak jeleértéke NPV Nettó jeleérték: 1732 millió forit. Megoldás: A projekt pézügyileg életképtele és em kellee elfogadi. Tegyük fel, hogy felvették pézügyi előadóak a vállalathoz. A következő plusz iformációkhoz jutott hozzá. A fix költség em a project miatt merül fel, haem az általáos igazgatási költségek projectre osztott része. A project miatt felmerülő többletfix-költség 200 millió forit. A beruházást részbe 15%-os kamatozású kötvéykibocsátásból fiaszírozák. A kamatkiadás sor eek költségeit tartalmazza. A diszkotálást 30%-os elvárt hozam mellett végezték el, ami a vállalati beruházások omiális hozamelvárása. A beruházási kiadások és bevételek viszot reáláro szerepelek. Jeleleg az árszívoal övekedése 10%-os. A beruházás forgótőkeigéye az árbevétel 10%-a. Az iduló forgótőkeigéy 100 millió forit. Az igóságok amortizációs kulcsa 14,5%, az igatlaoké 2%. A gépekek 6 év múlva ics maradváyértékük, az igatlaoké feltételezzük, hogy változatla marad reáláro. Változtassa meg, ahol szükséges a projekt pézügyi értékelését. Reáláro számoljo és haszálja a Fisher-féle közelítést! A projekt megszüéséek pézáramait a 7. évbe számolja el! 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

161 Példa A Kft. egy yereséges, diverzifikált, gépipari cég, amely halcsomagológépeket gyárt a gyorsfagyasztott élelmiszer gyártók számára. A vállalat értesült egy újoa szabadalmaztatott csomagológépről, amelytől azt várják, hogy a felére csökketi azt a halmeyiséget, amely a csomagolási folyamat alatt kárbavész. A szabadalom 12 millió forit készpézért vásárolható meg, és további költségkét jeletkezik 8 millió forit, ami ahhoz szükséges, hogy a gyár termelő gépparkját átalakítsák olya módo, hogy képes legye az új gép legyártására. Ezek a változtatások em befolyásolják sem a géppark hátralévő égy működési évét, sem a 2 millió foritra becsült maradváyértéket. A változó költségek azoba 20 ezer forittal megövekedek csomagológépekét, az álladó költségeket az értékcsökkeést kivéve em fogja megváltoztati a változás. Ha az átállás megtörtéik, a mostai csomagológép gyártásáak a lehetősége megszűik. A halcsomagoló-géppel kapcsolatos további iformációk: A jelelegi társasági adókulcs 18%. A szabadalom és a gyártásátalakítás leírási kulcsa 33%. A marketig osztály jelezte, hogy a verseytárs szité érdeklődik a szabadalom irát, és abba az esetbe, ha ők vásárolják meg a szabadalmat, a Kft. által eladott csomagológépek száma valószíűleg le fog csökkei évi 200 darabról 120 darabra. Ha a szabadalmat a Kft. vásárolja meg, és tartja az eladási árat, az eladások akár 380 db/év-re is felszökhetek. A K+F osztály azt javasolja, hogy a halfeldolgozásba tapasztalható gyors techológiai fejlődés miatt em lee célszerű az új gépet 4 évél hosszabb ideig működteti. A gépek ics maradváyértéke. A műszaki osztály úgy véli, hogy a szükséges változtatások elvégezhetők a szokásos kéthetes yári szüetbe. A termelési meedzserek között vita va éháy kérdésbe. A seior meedzser biztos abba, hogy em leszek működési problémák, a szalagmukások viszot azt állítják, hogy kb. hat hóapo keresztül több probléma is elő fog forduli a precíziós gépekkel kapcsolatos tapasztalatlaság miatt. Ha ez utóbbi az igaz, akkor az új gép üzemi eredméye működéséek első 12 hóapjába gyakorlatilag ulla lesz. A jelelegi csomagológép gyártásáak eredméykimutatása a következő: adatok ezer foritba Árbevétel (200 db/év 400 ezer foritos egységáro) Változó költség Álladó költség Összes költség Üzemi eredméy dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

162 162 Mide fix költség közvetleül ráosztható a csomagológép termelésére, amiből a gép évekéti amortizációja 4 millió forit. Ha a változtatást végrehajtják, a működő tőke megkívát összege a jelelegi 1 millióról 2 millió foritra fog övekedi. A vállalat elvárt reálhozama 20%. Mit javasola Ö a vállalat vezetéséek? Tekitse el az iflációtól! Godolja át, milye egyéb téyezőket kellee figyelembe vei ebbe a dötési problémába, és végezze el mide olya kalkulációt, amely ö szerit haszos lehet a dötéshozóak! Példa Egy gépgyártó vállalat észrevette, hogy az általa már két éve haszált gép helyett, egy új fejlettebb modell jelet meg a piaco. Ez a fejlett gép jóval termelékeyebb vola. A jelelegi gép ezer foritba került és lieáris módo 10 év alatt írják le. Eek a gépek a piaci értéke jeleleg ezer forit és eyiért várhatóa azoal el is lehete adi. A fejlett modell ára ezer forit. Mivel ez egy boyolult szerkezet csak 4 évig lehete haszáli. 4 év utá körülbelül ezer foritért lehete eladi. Midkét gépet 14,5%-os kulccsal amortizálják. A régi gép esetébe a bruttó érték ezer forit. A jelelegi és a fejlett gép összehasolítását az alábbi táblázat mutatja: Jelelegi gép Fejlett modell Évi kapacitás 200,000 egység 230,000 egység Ft Ft Egységár Termelési egységköltség Mukaerő Ayag Fix költség A marketig igazgató véleméye szerit a többletterméket egységekét 950 foritért sikerüle eladi. A vállalat által elvárt reálhozam 15%. Tekitsük el az iflációtól és az iflációtól! Melyik gépet válassza a vállalat, ha a vagyomaximalizálás a vállalat stratégiai célja? Példa A Mchall vállalat az új idők követelméyeihez gyorsa alkalmazkodó mosóporokat gyártó vállalat. A hazai piaco ige agy keresletek örvedeek rózsaszí mosóporai, ezért a gyártókapacitás bővítését fotolgatja. Az új gépek 120 millió foritba kerüléek. A gépeket egy a többi már üzemelő gép mellé helyezék az üzemcsarokba. Az üzemcsarok 30%-t foglalál el az új gépek. A csarok bruttó értéke 100 millió forit, köyv szeriti értéke 60 millió forit. Egy köryékbeli vállalat 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

163 millió foritot ajálott a csarokért, jobb áro várhatóa em is lehete eladi, bár a vállalatak ez ics is szádékába, mivel jövedelmező tevékeységet folytat ott. A folyó muka természete miatt a bérbeadás sem lehetséges. A csarok éves értékcsökkeési leírása a bruttó érték 2%-a, a gépet 5 év alatt írják le lieáris kulcs szerit. A terv mellett szól az is, hogy a vállalat így ki tudá haszáli a csomagológépeiek teljes kapacitását. Ha az új gépeket em voák termelésbe 2 csomagológépet el lehete adi. Köyv szeriti értékük 0, de el lehete őket adi 10 millió Ft-ért. A vállalat a befektetési dötés meghozatala előtt egy függetle cégtől piackutatást redelt, mely alapjá a várható eladási adatokat az alábbi táblázat árbevétel sora mutatja. A cégek 2 millió foritot kellett ezért kifizetie. A vállalat 5 évre előre vizsgálja a befektetés pézáramait. A vállalat úgy számolja, hogy 5 év múlva a gépsort a 2 csomagológéppel együtt jelelegi áro 30 millió foritért tudja eladi, míg az üzemcsarokért jobb esetbe sem kapa 20 millió foritál többet. A beruházás adatai a következők 1996-os árako: adatok millió foritba Megevezés 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Árbevétel Ayagköltség Mukabérköltség Fix költség Forgótőkeszükséglet A fix költség a vállalat általáos költségeiek adott termékre osztott része. A yereségadó mértéke a vállalat feltételezése szerit 18% lesz az elkövetkezedő 5 évbe. A vállalat a beruházás értékeléséél 30%-os omiális diszkotlábat alkalmaz. A vállalat 20%-os általáos iflációval számol, ezért egyszerüsítésképpe 10%-os reálkamatlábat tételez fel. A megszűés pézáramait az 5. év végé számolja el! Számolja ki a beruházás ettó jeleértékét, és a diszkotált megtérülési időt! Példa A Mcelek vállalat egy ruhaipari vállalat. A ruhaipari dekojuktúra idejé viszot egy új építési techológia liceszéek birtokába magálakások építésébe fogott. Ez a vállalkozás kezdetbe ige jól jövedelmezett, mivel a cég olcsó áraival sok megredelést szerzett. Később viszot a megredelések csökketek, mivel kiütköztek az építési techológia hiáyosságai, ugyais az eljárás szerit a házakak em csiáltak alapot. A vállalat a vállalkozás felfüggesztését fotolgatja, mivel közbe a ruhagyári részleg újra eredméyes lett a csíkos tudrabugyi sikeres piaci bemutatkozása utá. dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

164 164 Az építőipari cég birtokába a következő eszközök állak. Eszközök Daru (ige léyeses elem, mivel licesz szerit a házat a tető felől kezdik el építei) Bruttó érték Köyv szeriti érték adatok millió foritba Piaci érték Amortizáció kulcsa % Itáliai cemetus ceverus % márkájú cemetkeverő gép Egyéb gépek % A vállalat a fetartási dötés meghozatala előtt egy függetle cégtől piackutatást redelt, mely alapjá a várható eladási adatokat az alábbi táblázat árbevétel sora mutatja. A cégek 0,5 millió foritot kellett ezért kifizetie. A vállalat 5 évre előre vizsgálja a vállalkozás pézáramait. A vállalat úgy számolja, hogy 5 év múlva a gépeket 10 millió Ft-ért tudja eladi. A vállalkozás jővőbe várható kiadásait az alábbi táblázat mutatja 1996-os árako: adatok millió foritba Megevezés 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Árbevétel Ayagköltség Mukabérköltség Fix költség Forgótőkeszükséglet A fix költség a beruházás miatt merül fel. A beruházás megszüéséek pézáramait az 5. évbe számolja el! A yereségadó mértéke a vállalat feltételezése szerit 18% lesz az elkövetkezedő 5 évbe. A vállalat a beruházás értékeléséél 30%-os omiális diszkotlábat alkalmaz. A vállalat 20%-os általáos iflációval számol, ezért egyszerűsítésképpe 10%-os reálkamatlábat tételez fel. Számolja ki a beruházás ettó jeleértékét, és a megtérülési időt! Példa A Superivest vállalat külöböző gépalkatrészeket állít elő. A jövő évtől kezdve lehetősége lee a Pói gyárak autófeliket szállítaia, ami viszot jeletős új beruházást igéyele. A gyártáshoz egy új gépsort kell vásároli, melyek költsége 50 millió forit. A gépsort a vállalat egy feleslegessé váló üzemcsarokába helyezék el, melyek bruttó értéke 100 millió forit, köyv szeriti értéke 70 millió forit. Egy köryékbeli vállalat 20 millió foritot ajálott a csarokért, jobb áro várhatóa em 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

165 165 is lehete eladi. A csarok éves értékcsökkeési leírása a bruttó érték 2%-a, a gépet 5 év alatt írják le lieáris kulcs szerit. A Pói által kiírt tedert a vállalat megyerte. A teder elkészítéséek költségei és a báatpéz összese 5 millió foritba került. A beruházás iduló forgótőkeigéye 4 millió forit A vállalatak 5 évre szóló szerződése va a Pói autógyárral. A későbbi idők agy bizoytalaságot hordozak, ezért a vállalat elveti a beruházást, ha az ezalatt az 5 év alatt em térül meg. A vállalat úgy számolja, hogy 5 év múlva a gépsort jelelegi áro 10 millió foritért tudja eladi, míg az üzemcsarokért jobb esetbe sem kapa 2 millió foritál többet. A Pói gyárral kötött szerződés és a vállalat belső számviteli kalkulációja szerit a beruházás adatai a következők 1996-os árako: adatok millió foritba Megevezés 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Árbevétel Ayagköltség Mukabérköltség Fix költség Forgótőkeszükséglet 6 6, Iflációs ráta 20% 17% 15% 15% 15% A yereségadó mértéke a vállalat feltételezése szerit 18% lesz az elkövetkezedő 5 évbe. A vállalat a beruházás értékeléséél 30%-os omiális diszkotlábat alkalmaz. Számolja ki a beruházás ettó jeleértékét, és a megtérülési időt! dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

166 166 Megoldások 3.9. Példa A megoldáshoz ki kell számítai a két beruházás ettó jeleértékét, és azt a gépet kell választai, amelyikek agyobb az NPV-je. Az alapgép esetébe a megoldás a következő: adatok ezer foritba Magyarázat Alapgép 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év (1) Beruházás bef eszközbe (2) Forgótőke állomáya (2-1 )-(2) Forgótőke állomáyváltozása (3) Működési pézáram (4) Köyv sz. érték (5) Amortizáció (6)= (3)-(5) Adózás előtti eredméy (7)=(6)*-0,18 Adó (8)= Adózott eredméy (6)-(7) (9)= Működési (8)-(5) pézáram (10)=(9)+(1)+(2*) Beruházás pézárama (11) Diszkotráta (12%) 1,000 0,893 0,797 0,712 0,636 0,567 (12)=(10)*(11) Beruházás pézáramáak jeleértéke Beruházás pézáramáak halmozott jeleértéke Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

167 Az új gép esetébe a számolás meete a következő: adatok ezer foritba Luxusgép 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év 6. Év 7. Év Beruházás bef. eszközbe Forgótőke állomáya Forgótőke állomáyváltozása Működési pézáram Köyv sz. érték Amortizáció Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta (14%) 1,000 0,877 0,769 0,675 0,592 0,519 0,456 0,400 Beruházás pézáramáak jeleértéke Beruházás pézáramáak halmozott jeleértéke A számolás meete az alapgép megoldásával egyezik meg. Az NPV itt 38 ezer forit. Mivel ez kisebb, mit az alapgép esetébe (2.958), ezért az alapgépet vásároljuk meg Példa A köyvelő a következő hibákat vétette: Nomiális kamattal diszkotált reálkamatláb helyett. A helyes diszkotráta 20%. (30%- 10% ifláció) Nem vette figyelembe az igatlaok maradváyértékét, ami jeletős összeg 1,1, milliárd forit. Az adóhatással természetese korrigáli kell. Nem vette figyelembe a forgótőkeigéyt. Nem szabad figyelembe vei a kamatkiadást és a fix költségek csa a többletét kell költségkét elszámoli, azaz 200 millió foritot. A pézáram az amortizációval több, mit az adózott eredméy. Az amortizáció figyelme kívül hagyása jeletőse rotja a beruházás attraktivitását. Az amortizációt rosszul számították ki. 167 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

168 168 A fetiek figyelembevételével a megoldás a következő: Helyes megoldás 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év 6. Év 7. Év Beruházás bef eszközbe Forgótőke állomáya Forgótőke állomáyváltozása Maradváyérték 1100 Árbevétel Változó költség Többlet fix költség Igatla köyv sz. érték Igó köy sz. érték Igatla amortizáció Igó amortizáció Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,833 0,694 0,579 0,482 0,402 0,335 0,279 Beruházás pézáramáak jeleértéke Beruházás pézáramáak halmozott jeleértéke A beruházás már a 4. évbe megtérül és majem háromszoros vagyoövekedést okoz. 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

169 3.11. Példa Egy befektetés vizsgálata sorá csak azokra az ikremetális (többlet) pézáramokra kell tekitettel lei, melyeket a beruházás okoz. Az összes olya iformációt tehát, ami em változik a szabadalom hatására, em kell figyelembe vei. A szabadalomról szóló dötés yomá változik a gépgyártás pézárama. Ha a vállalat megveszi a szabadalmat 380 gépet adhat el, ha em csak 120-t. A jelelegi helyzet és a jövő két lehetőségéek a pézáramát a következő táblázat mutatja: adatok ezer foritba db Eredméy/db Eredméy Jelelegi termelés Új termelés Új termelés szabadalom élkül A fajlagos eredméyt megkapom, ha a feladatba szereplő üzemi eredméyhez (11 millió forit) hozzáadom az amortizációt (4 millió forit) és az értéket osztom a termékek számával (200-zal). A kapott szám 75 ezer forit. Az új termelés esetébe a változó költségek 20 ezer forittal őek termékekét, ezért itt a fajlagos üzemi eredméy 55 ezer forit lesz. A fetiek utá a feladat megoldása a következő: Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Beruházás bef. eszközbe Forgótőke állomáya Forgótőke állomáyváltozása Többleteredméy Amortizáció Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,833 0,694 0,579 0,482 0,402 Beruházás pézáramáak jeleértéke Beruházás pézáramáak halmozott jeleértéke A beruházás befektetett eszközbe a szabadalom és az istallálás díja. A forgótőke +1 millió többletbefektetést igéyel. A mukások aggodalmáak helyt adva az első évi üzemi eredméy 0, de mivel az eladási darabszám em csökke 120-ra, ezért a régi helyzet üzemi eredméyéből ki kell voi az 169 dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

170 170 új helyzet szabadalom élkül eredméyét, ami az elmaradt kárt jelképezi (15 millió 9 millió = 6 millió). A további évekbe a szabadalommal vett és szabadalom élküli üzemi eredméy külöbségét állítottuk be ( =11900). Az amortizáció a 20 millió foritos beruházási kiadás harmada. Az adó az adózás előtti eredméy 18%-a, feltételezve, hogy a vállalatak va más jövedelmező tevékeysége. A számításból látható, hogy a beruházás a 3. évbe térül meg és az NPV-je millió forit. Figyelembe kell vei azoba azt, hogy az NPV egy része az elmaradt kárból származik. A vállalatak érdemes vola megvizsgáli az üzletből való kiszállás lehetőségét is, eek eldötéséhez azoba hiáyozak a megfelelő adatok Mivel ics adózás az amortizáció figyelme kívül hagyható. A fix költséget sem kell figyelembe vei. Ezutá a feladat megoldása a következő: Régi gép 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Beruházási költség Működési pézáram Beruházás pézáram-sorozata Diszkotráta 1,000 0,870 0,756 0,658 0,572 Beruházás jeleértéke Beruházás halmozott jeleértéke Új gép 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év Beruházási költség Működési pézáram Beruházás pézáram-sorozata Diszkotráta 1,000 0,870 0,756 0,658 0,572 Beruházás jeleértéke Beruházás halmozott jeleértéke Az új gép esetébe a 4. év pézáramáál figyelembe vettük a maradváyértéket is. Mivel az új gép ettó jeleértéke kisebb, mit a régié, ezért megtartom a régi gépet Példa A példa klasszikus NPV számítás. A beruházás költségeiél az üzemcsarokkal kapcsolatos iformációkat em kell figyelembe vei, mivel a vállalatak ics szádékába a csarok eladása. A marketig 3. Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

171 költséget em kell figyelembe vei, mivel a beruházási dötésre ics hatással, hasoló a helyzet a ráosztott fix költséggel. A csomagológép ára opportuity cost, ezért figyelembe veedő. A számítás meete a következő: Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Beruházás bef. eszközbe Forgótőke állomáya Forgótőke állomáyváltozása Maradváyérték Árbevétel Működési költségek Amortizáció Adózás előtti eredméy Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,909 0,826 0,751 0,683 0,621 Beruházás pézáramáak jeleértéke Beruházás pézáramáak halmozott jeleértéke Példa A megoldás meete ugyaaz, mit az előbb, csak a fix költséget most figyelembe kell vei, mivel a beruházás miatt merül fel. A daru esetébe a piaci értéket kell figyelembe vei, mit a beruházás költségét. A megoldás a következő: Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Beruházás bef. eszközbe Forgótőke állomáya Forgótőke állomáyváltozása Maradváyérték Árbevétel Működési költségek Amortizáció Adózás előtti eredméy dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

172 172 Évek 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év Adó Adózott eredméy Működési pézáram Beruházás pézárama Diszkotráta 1,000 0,909 0,826 0,751 0,683 0,621 Beruházás pézáramáak jeleértéke Beruházás pézáramáak halmozott jeleértéke Feltételeztük, hogy a vállalatak va yereséges tevékeysége, melyek terhére a veszteséget leírja. A gépeket em éri meg fetartai, az üzletágat fel kell számoli Példa Megevezés 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év 6. Év Ifláció 20% 17% 15% 15% 15% 15% Kumulált ifláció 120% 140% 161% 186% 214% 246% Új gép Igatla eladás Forgótőke szükséglet Forgótőke változása Teljes tőkekiadás Árbevétel Mukabérköltség Ayagköltség Amortizáció Adózás előtti eredméy Adó agysága Adózás utái eredméy Amortizáció Működés pézárama Beruházás pézárama Diszkottéyező 1,000 0,769 0,592 0,455 0,350 0,269 0,207 Beruházás jeleértéke Kumulált jeleérték Nettó jeleérték Fejezet - Beruházás-értékelés problémái

173 173 Megevezés 0. Év 1. Év 2. Év 3. Év 4. Év 5. Év 6. Év Diszkotláb 30% IRR 37% A beruházást érdemes megvalósítai, mivel az 5. évbe megtérül. A kumulált jeleérték MFt Éve k dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár

174 Tartalomjegyzék ELŐSZÓ... 3 A PÉNZ IDŐÉRTÉKE A PÉNZ IDŐÉRTÉKÉNEK ELVE Jövőérték-számítás Jeleérték-számítás TÖBB KIFIZETÉSBŐL ÁLLÓ PÉNZÁRAMOK Egyszerű auitás jövőértéke Egyszerű auitás jeleértéke IDŐÉRTÉK-SZÁMÍTÁSOK GYAKORLATI PROBLÉMÁI A kamatokat em tőkésítjük - Egyszerű kamatszámítás A járadékköz, vagy a kamatfizetés gyakorisága rövidebb, mit egy év A vegyes kamatszámítás Auitások jele- és jövőértékéek kiszámítása évesél gyakoribb járadékköz eseté A törlesztő auitások tőke és kamattartalmáak elkülöítése Évjáradék jövőértéke, ha kamatelszámolás csak a futamidő végé va LEJÁRATOS KÖTVÉNYEK ÁRFOLYAMSZÁMÍTÁSA Felhalmozott kamat számítása Behelyettesítés az általáos jeleérték képletbe A potos árfolyam Elemi kötvéyek árfolyamszámítása LEJÁRAT NÉLKÜLI ÉRTÉKPAPÍROK ÁRFOLYAMSZÁMÍTÁSA PÉLDÁK BERUHÁZÁS-ÉRTÉKELÉSI MÓDSZEREK STATIKUS MÓDSZEREK Legkisebb költség módszer (Smallest Cost - SC) Megtérülési idő módszer (Payback - PB) Számviteli profitráta módszer (Accoutig Rate of Retur - ARR) A statikus módszerek előyei és hátráyai DINAMIKUS MÓDSZEREK Diszkotált megtérülési idő módszer (Discouted Payback - DPB) Nettó jeleérték módszer (Net Preset Value) Jövedelmezőségi idex módszer (Profitability Idex - PI) Belső megtérülési ráta (Iteral Rate of Retur - IRR) Diamikus módszerek összehasolítása Költségegyeértékes módszer (Auity method - KE) Miimális ár meghatározása

175 Legalacsoyabb működtetési költség meghatározása Beruházás időzítése PÉLDÁK MEGOLDÁSOK NETTÓJELENÉRTÉK-MODELL ALKALMAZÁSÁNAK GYAKORLATI PROBLÉMÁI RELEVÁNS PÉNZÁRAMOK MEGHATÁROZÁSA ADÓZÁS HATÁSA A BERUHÁZÁS PÉNZÁRAM-SOROZATÁRA INFLÁCIÓ KEZELÉSE A FORGÓTŐKE KEZELÉSE A BERUHÁZÁS VIZSGÁLANDÓ ÉLETTARTAMA - A BERUHÁZÁS MEGSZŰNÉSÉNEK PÉNZÁRAMAI PÉLDÁK MEGOLDÁSOK TARTALOMJEGYZÉK dr. Bozsik Sádor: Pézügyi példatár