SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM AAMAZOTT MECHANIA TANSZÉ 5. MECHANIA-VÉGESEEM MÓDSZER EŐADÁS (kidolgozta: Szül Vronika g. ts.) V. lőadás. okális aroimáció lv végslm diszkrtizáció gdimnziós fladatra Amint azt a két különböző aroimáció alkalmazásánál láttk a közlítő mgoldás ontossága növlésénk gik lhtségs úta az aroimáció fokának növlés. A továbbiakban g másik tat tanlmánoznk amikor is a tartománt résztartománokra bontk és zkn a résztartománokon az ismrtln lmozdlás mzőt külön-külön lokálisan közlítük. Ezt abban a rménbn tsszük hog a számítás ontossága a résztartománok számának növlésévl szintén növlhtő. A résztartománokat végs mértű lmknk tömörn végslmknk fogk nvzni. A résztartománok (lmk) határain dig csomóontokat lölünk ki és az aroimációt a közlítndő mző csomóonti értékin krsztül fzzük ki. A avasolt módszr lőn hog könnn rogramozható és íg bonollt szrkztk nagontosságú lmzésér nílik lhtőség. okális aroimáció lv végslm diszkrtizáció gdimnziós fladatra AE f F l. ábra: étlms flosztás Vizsgálatainkat továbbra is az lső lőadás során vázolt rmérték fladatra végzzük. A végslm diszkrtizáció lntés végslms flosztás a tartomán résztartománokra azaz lmkr osztása. Az. ábrán vázolt tartománt két gnlő hosszúságú résztartománra azaz végslmr bontk és az lmozdlás mzőt az lmkn külön-külön közlítük. Az lmk sorszámát bkrtztük az lmk végin fl
tüntttt számok lölik az lmk csomóonti sorszámait. Az ismrtln lmozdlás mzőt lmnként külön-külön linárisan közlítük és gondoskodnk azok illsztéséről is. az illsztés azt lnti hog az lmhatáron közös. csomóontban az lmozdlás mggzik mindkét lmn. A. b) ábrán foltonos vonal löli az gzakt mgoldást és szaggatott a közlítést. AE f F l gzakt közlítő. ábra: étlms flosztás aroimáció lmnként Vsszük a. b) ábra stén az gzakt mgoldás és hln lvő lmozdlás értékit mad zkt összkötük g gnssl figlmb vév hog. Ezn közlítés fléíthtő csomóontokhoz rndlt aroimációs függvénk sgítségévl is amint az a. ábrán látható. Eg-g közlítő függvén az gész tartománon foltonos d csak lokálisan a mgfllő csomóonthoz tartozó lmk fltt különbözik nllától. Ezn függvénk Ritz-fél bázisfüggvénknk is tkinthtők. A. d) ábrán vázolt közlítő függvén (foltonos vonal) fléíthtő a csomóontokhoz rndlt h i alakfüggvénk lináris kombinációaként is. i hi i ahol az gs mnniségk bal alsó indi a mgfllő csomóonti i sorszámokat lölik valamint mggzzük hog. (Az lső h függvén érték a bfogásnál lgn a többi hln nlla. A második függvén érték hln lgn a harmadik függvén érték hln lgn.) h h h
h a) h b) h c) h h d). ábra: Csomóontokhoz rndlt lokális aroimáció függvénk Ahhoz hog a közlítő mző kinmatikailag lhtségs lgn az kinmatikai rmfltétlt lő kll írnnk vagis a. a) ábrán látható függvén nm átszik szrt az aroimációban... Húzott-nomott rúdlm A Ritz-módszr alkalmazásakor láthattk hog a közlítő mgoldás krsés során a szrkzt tls otnciális nrgiáát klltt flírni. Hasonlóan árnk l amikor a vizsgált tartománt résztartománokra végslmkr bontk. A szrkzt tls otnciális nrgiáa az gs lmkn számolt otnciális nrgiák összgként állítható lő a koncntrált rő mnkáával gütt. F ahol az ind a végslmk sorszámát löli. Mggzzük hog a koncntrált rő mnkáát nm szokás valaml lm tls otnciális nrgiáához rndlni csán a szrkzt tls otnciális nrgiáához.
Vizsgálk mg a. d) ábrán és a 4. ábrán is vázolt -s számú végslmn az lmozdlás aroimációát. 4. ábra: Aroimáció a. lmn A 4. ábrán az lmhz kötöttn bvztésr krül g ú lmozdlás koordináta ol módon hog az origóa gbsik az lm az lm bal oldali végontával és irána mggzik az rdti iránnal. Írk fl a koordináta és az i csomóonti lmozdlás koordináták sgítségévl kifzv az lmozdlás mzőt az lm mntén (gns gnlt a b ) ahol az mrdkség szorozva a változóval az a ont ahol az gns mtszi a függőlgs tnglt obb flső indébn a -s szám az lm sorszámára tal. Rndzzük át az tóbbi összfüggést a csomóonti lmozdlások szrint mad sor és oszlo mátriokkal is kifzv az összfüggés az alábbi módon írható fl: ahol az hosszúságú húzott-nomott végslm lináris aroimációs függvéni: h h A A A -s lm aroimációa alaán flírhatk g általános sorszámú és i csomóontú lm közlítését is.
i i i Ez tóbbi kélt alkalmas az sorszámú lm lmozdlásának lírására is a mgfllő i és csomóonti lmozdlás bhlttsítésévl. d Az lmozdlás mző ismrtébn az gnlt sgítségévl d számolhatk az alakváltozást (a driválást értlmszrűn szrint hatk végr): d i i i d Alkalmazva az anagtörvént mghatározható az lmn a rúdrő is: d i N AE AE i AE d Ezk tán flírhatk az -dik lm otnciális nrgiáát (az F koncntrált rőt csak a tls szrkzt otnciális nrgiáára vonatkozóan vsszük figlmb): d i d AE d f d AE d f d i i i i U lm alakváltozásinrgiáa mgoszló ER W mnkáa A csomóonti aramétrk az intgrálás szmontából konstansnak tkinthtők zért kimlhtük az intgrál l lé: AE AE i i U i AE d i d AE AE Az tóbbi alakváltozási nrgiában lvő mátri g lménk intgrála: AE AE AE d Ezt visszahlttsítv az alakváltozási nrgiába:
AE AE i U i q q AE AE T q T q ahol a -s mátriot az lm mrvségi mátriának nvzzük és -vl lölük a függőlgs -s oszlovktort és a vízszints -s sorvktort az lm csomóonti T lmozdlás vktorának nvzzük és q q -vl lölük ahol T a transzonálás l. A mgoszló rőrndszr mnkáa az lmn: W f d i ahol az oszlovktor lmink intgrálása tán f f d f visszahlttsítv f f d f f T W q f f i ahol a -s oszlovktor az lm thrvktora és Az lű lm otnciális nrgiáa: f W -b: -vl lölük. AE AE f i i i i AE AE f T q q.. Szrkzti mátriok Az lmk otnciális nrgiáának ismrtébn flírhatk a szrkzt tls otnciális nrgiáát:
F AE AE f AE AE f AE AE f AE AE f F A szrkzt tls otnciális nrgiáa tömörbbn is flírható mivl a szomszédos lmk közös csomóontában az lmozdlás mggzik-ln stbn - íg értlmszrűn csak gszr szrlttük a kifzésbn záltal biztosítk az lmk illsztését azaz. AE AE f AE AE f f AE AE AE f F Az lmk illsztésén túl van g másik fontos fltétl amit még tlsítnünk kll a kinmatikai rmfltétl. Ez azt lnti hog a bfalazásnál lvő csomóontban gondoskodnnk kll arról hog lgn AE AE f AE AE f f AE AE AE f F Nllával szorozzk végig a mrvségi mátri lső sorát és oszloát a thr vktor vonatkozásában az lső lmt. Ezért az lső sor és az lső oszlo a szrkzti mátriból és a szrkzti vktorból lhagható AE f f AE AE AE f T T q q F q ahol a obb oldal lső tagában a -s mátriot szrkzti mrvségi mátriának nvzzük és -val lölük a csomóonti lmozdlásokat tartalmazó függőlgs -s oszlovktort és a vízszints -s sorvktort szrkzti csomóonti lmozdlás vktornak nvzzük és T qq -vl lölük ahol T a transzonálás l. Végül a -s oszlovktort aml a szrkzt trhlését tartalmazza szrkzti thrvktornak nvzzük és f -vl lölük. f
.. Példák szrkzt otnciális nrgiáának mghatározására Íra fl a rúdszrkzt kinmatikailag lhtségs otnciális nrgiáát úg hog az lmozdlás mző közlítés végslmnként lináris függvénnl történn! Avégslmk nm gforma hosszúak!. l F A szrkzt tls otnciális nrgiáa: AE AE AE AE. F F AE AE AE AE F l F AE AE AE AE F F AE AE AE AE