7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL

7. MÉRÉSEK KIÉRTÉKELÉSE FÜGGVÉNYILLESZTÉSSEL Ebbe a fejezetbe kokrét mérések kértékelését mutatjuk be, köztük azokét s, amelyeket az. fejezetbe leírtuk. A kértékelés módszerét tulajdoképpe levezethetjük a 6. fejezetbe kfejtett általáos elméletből. Az egyes mérések esetébe így elég lee az llesztőfüggvéyt felír, és a w súlyokat megválaszta. Tektve azoba, hogy ez a jegyzet kezdők számára s készült, akk a 6. fejezetet em olvasták, éháy egyszerűbb esetbe attól függetleül adjuk meg a teljes megoldást. 7.. Leárs regresszó Mvel a laborgyakorlatok keretébe legtöbbször leárs regresszót kell csáluk, lletve méréseket erre vezetjük vssza, először eek a részletevel foglalkozuk. Az llesztés végrehajtása Akkor beszélük leárs regresszóról, amkor ( ) M ξ = a + a, =,,,. (7.) A legksebb égyzetek módszere szert a keresett paraméterek függvéyébe meg kell keresük a Q = w ξ a a ( ) (7.) fukcoál mmumát. Ez a következő két egyeletből álló egyeletredszer megoldását géyl: G G = Q w( a a) a = ξ =0, = Q w ( a a) a = ξ =0. Ez a -re és a -re leárs egyeletredszer, amelyet a következő vektoros alakra hozhatuk: Ra = g, (7.3) 7

ahol továbbá R = w, R = R = w, R = w, (7.4a) g = wξ, g = wξ. (7.4b) A w súlyokat a (6.) képlet szert kell megválaszta. A (7.3) egyeletredszert az R mátr vertálásával oldjuk meg: ~a = R g. (7.5) A keresett paraméterek becsült értéket a paraméter jele fölé tett spayol ékezettel ( ) jelöljük. A (7.3) egyeletredszert közvetleül meg tudjuk olda. Az R mátr verze R R R =. (7.6) R R R R R Megjegyezzük, hogy a evező az R mátr determása. (7.5) alapjá adódak a becsült paraméterek: gr gr ~a = RR R és a ~ gr gr = RR R. (7.7) A 6. fejezetbe általába tárgyaljuk ezek statsztka tulajdoságat. A (6.4) képlet szert szóráségyzetüket a ( a ) D ~ = R σ RR R és D ( a ~ ) képletek adják meg. Kovaracájuk pedg RR R R = σ (7.8) cov ( ~, ~ R a a) = σ RR R. (7.9) Két utóbb képletükből kapjuk a becsült paraméterek korrelácós együtthatóját: A σ együtthatót ρ = Qm = w ξ a~ a~ R R R. (7.0) ( ) 7

segítségével becsüljük, am úgy adódk, hogy a becsült paramétereket (7.)-be helyettesítjük. A 6.. TÉTEL szert ez ( ) szabadság fokú χ -változóval aráyos, és σ becslésére az Q s = m (7.) emprkus szóráségyzetet haszáljuk [vö. (5.7)]. Ezt kell a (7.8) és (7.9) képletekbe helyettesíte. Gyakorlásképpe javasoljuk, hogy az Olvasó mutassa meg, hogy a (7.7) alatt becslések torzítatlaok. Befejezésül megadjuk a keresett paraméterekre voatkozó kofdecatervallumot: a~ D ( ~ ) ~ D ( ~ γ a a a + γ a) (7.a) és a~ γ D a ~ a a ~ + γ D a ~, (7.b) ( ) ( ) ahol γ az ( ) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse, a szórásokat pedg (7.8) és (7.) szert számítjuk k. A (7.) és (7.) szert leárs regresszó természetes általáosítása a polomllesztés, amt a 7.. alfejezetbe tárgyaluk. Galto megfogalmazása Galto az utódok és a szülők magassága (ξ, lletve ξ ) között összefüggést kereste, és azt találta, hogy közöttük poztív korrelácó va. Vzsgáljuk meg ezt most matematkalag. Kovaracamátruk B = σ σσ ρ, σσ ρ σ amek az verze ρ B = σ σσ. ρ ρ σσ σ A változók várható értéke ( ξ ) ( ξ ) M = b, M = b. Ezekkel a jelölésekkel a két változó együttes eloszlásfüggvéye (3.37) alapjá Útmutatás: írjuk fel először g és g várható értékét, és ezt helyettesítsük (7.7)-be. Például ( ) = ( + ) M g w a a. 73

q f( z, z) = ep, πσσ ρ ahol q = + ρ σ σ σσ ( z b ) ( z b ) ρ( z b )( z b ) Közvetleül felírhatjuk ξ perem-sűrűségfüggvéyét: ( ) f z ( z b ) = σ π ep σ. E két sűrűségfüggvéy háyadosa ξ feltételes sűrűségfüggvéye ( ) f z z [vö. (3.3)], ahol = σ q ep, π ρ ( ) z b ρ z b q =, ρ σ σ amt ez egyszerűe belátható. A feltételes sűrűségfüggvéyt át lehet ír az alakba, ahol ( ) f z z ( z b ). = ep (7.3) σ π σ ρσ b = M ξξ = b + b σ ξ feltételes várható értéke, továbbá ( ) ( ξ ) ( ) ( ) σ = D ξ ξ = σ ρ (7.3a) (7.3b) ξ feltételes szóráségyzete. Galto esetébe mdkét valószíűség változó ugyaabból az eloszlásból vett mta, tehát b = b = b és σ = σ, vagys az utód magasságáak a várható értéke ( ) = b+ ρ( ξ b) M ξ ξ feltéve, hogy a szülő magassága ξ. Erről a képletről leolvasható Galto következtetése. Ha ξ > b (vagys a szülő az átlagál magasabb), várhatóa az utód 74

magassága s agyobb lesz az átlagál. Mvel a ρ korrelácós együttható -él ksebb, az utód magassága kevesebbel múlja felül az átlagot, mt a szülőé. Ezt a jeleséget evezte el vsszatérések, lat eredetű szóval regresszóak. Aalóg következtetéseket lehet levo ξ < b eseté s. Az általáosságra vsszatérve tegyük fel, hogy számú függetle megfgyelést végeztük, és a (ξ, ξ ) értékpárokat ( =,,..., ) kaptuk eredméyül. Az alábbakba azt keressük, hogya lehet együttes eloszlásuk paraméteret becsül. Mvel azoos potosságú megfgyelésekről va szó, alkalmazhatjuk a (5.4) és (5.7) képleteket: és ~ b ~ b = = ξ =, s = ( ) ξ ξ ξ = = ξ =, s = ( ) ξ ξ ξ A ρ korrelácós együttható meghatározása céljából a mamáls valószíűség elvét alkalmazzuk. A valószíűség-függvéyt a (7.3) képletek segítségével írjuk fel. Ehhez bevezetjük a vektor jelölésmódot. A ξ megfgyeléseket a ξ H, a ξ megfgyeléseket pedg a H ξ vektor kompoeseek tektjük. (7.3) alapjá az előbb vektorak az utóbbra voatkozó feltételes sűrűségfüggvéye ahol f ( ξ H ξ H ) = Q ep, [ ( ) ] ( ) π ρ σ ρ ρσ Q = ξ b b σ ( ξ ) A mamáls valószíűség elvéek közvetle alkalmazhatósága kedvéért rögtö behelyettesítettük a valószíűség változók megfgyelt értéket. A keresett paraméterek becsléséhez meg kell keresük Q mmumát. Ha bevezetjük az ρσ ρσ a = b b, a = σ σ jelöléseket, Q-t (7.) szert alakra hozhatjuk: Q = ξ a a ( ξ )... 75

Látható, hogy most w, szerepét pedg ξ játssza. A (7.) alakú llesztőfüggvéyel való llesztést eredetleg ezért evezték el leárs regresszóak. A (7.4) egyeletek alapjá ekkor tehát 76 g = ξ = ξ g = ξξ = ξξ R =, R = R = ξ = ξ, R = ξ = ξ,,. Ném számolással beláthatjuk, hogy R R R = ξ ( ) ξ s =. (7.7) felhaszálásával és hasoló számolással kapjuk, hogy amvel ~a = ( ξξ ξξ ) ( ) ( ξ ξ)( ξ ξ) = s s ( ) ( ξ ξ)( ξ ξ) ~ ~ sa ρ = = s s s = ( ) ( ξ ξ)( ξ ξ) ( ξ ξ) ( ξ ξ) =,. (7.4) Vegyük észre, hogy az tt szereplő összeg haszálható ξ és ξ kovaracájáak a becslésére: ( ξ ξ ) cov, = ( ξ ξ)( ξ ξ) ( ). (7.5) Gyakra felmerül az a kérdés, hogy a megfgyelt valószíűség változók korreláltak-e sem. Eek eldötésére szükségük va a ρ együtthatóra voatkozó kofdecatervallumra. Amkor em valószíűség változó, ez em jelet problémát, hsze a (7.b)-be felírt kofdecatervallum választ ad a kérdésre: ha ez tartalmazza a ullát, akkor a -t (az adott kofdecaszte) 0-ak vehetjük. A (7.4) szert korrelácós együttható esetébe azoba em lye egyszerű a kérdés, ugyas ~ ρ sűrűségfüggvéye boyolult az általáos esetbe. Rema József köyve [] déz a következő tételt: amkor ρ = 0, a

t = ~ ρ ~ ρ meység Studet-eloszlású valószíűség változó ( ) szabadság fokkal. Így tehát a korrelácót akkor tekthetjük zérusak, amkor ~ ρ ~ ρ < γ, (7.6) ahol γ az ( ) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse. Az.3. ábrá mutatott adatok esetébe a következő eredméyek jöek k a leárs regresszóból: ~ ρ = 0, 534; t = 6, 08; = 00. A. függelék táblázata szert a kvatls értéke, 985 ε = 0, 05 γ =, 67 ε = 0, 0 vagys a korrelácó md 95%, md 99% kofdecaszte szgfkás. A leárs regresszó csapdá A leárs regresszó haszos segédeszköz külöböző meységek között kapcsolatok felsmerésére. Fölrajzoljuk az egyk változót a másk függvéyébe, és kapcsolatot vélük felfedez, ha a potok emelkedő vagy csökkeő tedecát mutatak, vagy ha előybe részesítjük a számszerű vzsgálatot a (7.4) képlettel becsüljük a korrelácós együtthatót, és a két meység között kapcsolatot látuk, ha ez szgfkása külöbözk zérustól. Ez a megközelítés így ömagába veszélyes, mert számos csapdát rejt magába. A felsmert öszszefüggés látszólagos lehet, ha az aalízs mögött em állak elmélet megfotolások. Ok és okozat Savlle és Wood köyvéből [] vettük az alább példát. A 7.. ábra az Egyesült Államokba megfgyelt rákos esetek számát mutatja a kvfogyasztás függvéyébe. Mvel 970 és 980 között mdkét meység övekedett, ezek évete megfgyelt értéke korreláltak. Jóllehet ez matematka bzoyosság, mégsem állíthatjuk, hogy a rákos esetek számáak a övekedését az okozta, hogy az emberek több kvt ettek. A téylegese talált (és statsztkalag bzoyított) korrelácót csak akkor szabad ok okozat kapcsolatak tekte, ha erre elmélet dok va. 77

rákos esetek száma 980 979 97 970 kvfogyasztás 7.. ábra. Kapcsolat az Egyesült Államokba megfgyelt rákos esetek száma és a kvfogyasztás között Hasoló példákat lehet az élet legkülöbözőbb területé talál. Például határozotta poztív korrelácó va a Dua vízállása és a BME területé tartózkodó hallgatók száma között. Nylvá épeszű ember em tételez fel ezek között okokozat kapcsolatot. A matematka statsztka, vagy kább az azt rosszul alkalmazó áltudomáy rát bzalmatla emberek gyakra köszörülk szellemességüket az lye korrelácóko. Akkor mre vezethetők vssza ezek a látszólagos összefüggések? A válasz egyszerű. Az lye példákba általába lehet talál egy közvetítő meységet, am legtöbbször az dő. Mkor magas ugyas a Dua vízsztje? Koratavasszal és késő ősszel. Éppe ezek az dőszakok előzk meg a vzsgadőszakokat, amkor a hallgatók a legszorgalmasabba járak az egyetemre. Hasolóa az dő a közvetítő a 7.. ábrá mutatott példába s. Az etrapolácó veszélye Nem csak a leárs regresszóba, haem általáosabba a polomllesztésbe (vö. 7.. alfejezet) s agyo veszélyes az llesztésbe kapott függvéyt a vzsgált valószíűség változók mérés tartomáyá túl etrapolál. Súlyos tévedések forrása az lyesm. A probléma hagsúlyozotta főleg a polomllesztésél merül fel, ugyas többyre akkor forduluk ehhez az eszközhöz, amkor semm más ötletük cs az llesztőfüggvéyre voatkozóa. Kszóró potok Ha a kértékelt adathalmaz tartalmaz kszóró potokat, akkor a regresszós egyees teljese hbás lehet. Erre mutatak példát a 7.a. és 7.b. ábrák, amelyeket a 7.. ábrából kdulva szerkesztettük. Láthatóa a kszóró pot elhúzza maga felé a regresszós egyeest. A torzítás módja a kszóró pot elhelyezkedésétől függ. 78

kszóró pot 7.a. ábra. Aszmmetrkusa elhelyezkedő kszóró pot kszóró pot 7.b. ábra. Közpotosa elhelyezkedő kszóró pot A kszóró potok felsmerésével a 8. fejezetbe foglalkozuk részletese. Természetese em csak az okoz problémát, ha az adatok között kszóró pot va. Elképzelhető az s, hogy a két vzsgált meység között em leárs, haem másfajta a kapcsolat. Ilyekor jobb híjá egy legalább másodfokú polommal célszerű próbálkoz. A grafkus ábrázolás hasza A fetekbe vázolt problémák felsmeréséhez agyo haszos a vzsgált adatokat grafkusa s ábrázol. Erre példakét a 7.. táblázatba égy adatsor található, amelyet F. J. Ascombe ötlete alapjá kostruáltuk. Az adatokat a 7.3a. 7.3d. ábrák mutatják. Mdegyk llesztésbe azoos emcsak a paraméterek a ~ = 50, 9± 7, 63 a ~ = 0, 965 ± 0, 0304 llesztett értéke, haem kovaracamátruk s ugyaaz md a égy llesztésbe. A Q m -ra kapott értékek már a egyedk tzedes jegybe egy egységgel eltérek, de eek oka, hogy a 7.. táblázatba kerekített értékek találhatók. 7.. táblázat. Adatok a leárs regresszó csapdáak llusztrálására F. J. Ascombe, Graphs Statstcal Aalyss, The Amerca Statstca 7, pp. 7 (973). 79

a) eset b) eset c) eset d) eset 00 5,4 464,0 533,5 684,53 645,0 00 58,3 530,7 567,6 684,53 660,8 300 60,4 59,8 60,6 684,53 664,7 400 69,4 647, 635,6 684,53 684,4 500 766,4 696,8 669,7 684,53 694,3 600 699, 740,7 703,7 684,53 704, 700 776, 778,9 737,7 684,53 709,9 800 684, 8,4 77,8 684,53 73,9 900 734, 838, 805,8 684,53 749,6 000 854,8 859,3 839,8 684,53 753,5 00 799,5 874,7 873,9 684,53 763,4 00 84,9 884,4 907,9 684,53 783, 300 934,6 888,3 94,9 684,53 787,0 400 007,5 886,6 77,6 684,53 80,8 500 947, 879, 00,0 46,58 37,5 300 00 00 000 900 800 700 600 500 300 00 00 000 900 800 700 600 500 0 00 400 600 800 000 00 400 600 a) eset 0 00 400 600 800 000 00 400 600 b) eset 80

300 00 00 000 900 800 700 600 500 300 00 00 000 900 800 700 600 500 0 00 400 600 800 000 00 400 600 c) eset 0 500 000 500 000 500 d) eset 7.3. ábra. A 7.. táblázatba mutatott adatokra végzett llesztés eredméye A bemutatott esetek egykébe sem veék észre, hogy az adatokkal baj lehet, ha em vzsgáljuk meg a róluk készült ábrákat. Az a) eset kfogástala leárs regresszót mutat. Nagyjából lyeek kell leük az llesztett egyeest és a mért adatokat együtt mutató ábrákak. A b) esetbe ylvávaló, hogy a mért adatok em leársa, haem (legalább) kvadratkusa függeek -től, tehát az llesztést meg kell smételük egy magasabb fokszámú polommal. A c) esetbe = 400-ál ylvávalóa fellépett egy kszóró pot, am valószíűleg téves adatbevtel következméye. Hasoló oka lehet a d) esetek, de tt az változó értéke vaak hbása megadva. Nemleárs problémák learzálása Az előző szakaszba tárgyalt llesztés problémák közös jellemzője, hogy az llesztőfüggvéy leárs a keresett paraméterekbe. Ilye esetekbe az llesztés a (7.3) leárs egyeletredszerre vezethető vssza. Számos llesztés probléma va azoba, amelyekbe az llesztőfüggvéy a keresett paraméterekbe em leárs. Eek legegyszerűbb példája az epoecáls llesztés: 8

( ) M = a e, =,,,. (7.7) ξ a Ebbe az esetbe a mmalzáladó fukcoál a a ( ) Q = w ξ ae (7.8) alakba írható fel. Ha eek az a -re és a -re voatkozó derváltjat ullával tesszük egyelővé, egyeletredszert kapuk a -re és a -re voatkozóa. Az adódó egyeletek traszcedesek, tehát csak terácóval oldhatók meg, amek az elkerülése érdekébe szokás az llesztés problémát learzál: vesszük a (7.7) egyelet logartmusát. (7.7) szert a közvetleül mért ξ meységek logartmusa a keresett paraméterek leárs függvéye: lξ l a a, =,,,. (7.9) Ha tehát lξ értékere egy (7.) szert leárs regresszót alkalmazuk, a kapott eredméyekből a keresett paraméterek meghatározhatók. Hasoló learzálást alkalmazhatuk egy sor egyéb llesztés probléma megoldásába s. Két példát mutatuk még. Amkor a sugárdózst mérjük a távolság függvéyébe, az llesztőfüggvéy ( ) f( ) M =, = ξ a a ( a ) (7.0a) alakú. Ez a probléma úgy learzálható, hogy vesszük a mért dózsok égyzetgyökéek a recprokát: a a = a + a, ahol a =, a =. (7.0b) a a a ξ A vesszős paraméterek a (7.) szert leárs regresszóval becsülhetők, majd belőlük az eredet paramétereket a (7.0b) alatt képletekkel kapjuk meg. A másk példa a reaktorba mért aáls eloszlás, amelyre voatkozóa az llesztőfüggvéy M ( ξ ) = f(, a) = acos[ a( a3 )] (7.a) alakú. Ez a probléma akkor learzálható, ha smerjük a értékét. Ha a mért értékeket függvéyébe felrajzoljuk, a mamáls érték a jó becslése. Ezutá a learzálás már elvégezhető az arccos függvéy segítségével: arccos ξ a a = a( a3) = a + a, ahol a = a, a3 =. (7.b) a A vesszős paraméterek a (7.) szert leárs regresszóval becsülhetők, majd belőlük az eredet paramétereket a (7.b) alatt képletekkel kapjuk meg. Ha szükséges, a becslését javíthatjuk: a leárs regresszót a külöböző értéke 8

mellett végezzük el, és végül azt választjuk, amelyre a (7.) szert Q a legksebb. A példák sorát folytathaták. Mdegyk léyege, hogy a mért adatokat valamlye alkalmasa választott függvéy szert traszformáljuk úgy, hogy a traszformált meységek várható értéke egy kétparaméteres leárs függvéyel legye közelíthető. A módszer legfőbb előye, hogy az így traszformált meységeket függvéyébe ábrázolva egyszerű grafkus becslést kaphatuk a keresett paraméterekre. Az lye módo végzett llesztés elmélet kérdéseek egy külö részt szetelük (6.6. alfejezet). 7.. Polomllesztés Defícók A 7.3.b). ábrá látható potok ylvávalóa em írhatók le egy leárs függvéyel. Ilye esetekbe próbálkozhatuk egy magasabb fokszámú polommal: ξ m k k k = ( ) M = a, =,,,. (7.) A mmalzáladó fukcoál ekkor m Q = w ξ a k k k =. (7.3) Ha ezt a keresett paraméterek szert derváljuk, a derváltakat ullával tesszük egyelővé, végeredméybe smét a (7.3) leárs egyeletredszert kapjuk, ahol Rkk = w k k +, (7.4a) gk w k = ξ, k, k =,,, m. (7.4b) (7.3)-at ebbe az esetbe megoldva (7.5) szert kapjuk a paraméterek becsült értéket. Kovaracamátrukat pedg a B = σ R (7.5) képlet adja meg, ahol σ becslése Q s = m, (7.6) m [vö. (7.)]. A k-adk paraméter szóráségyzete 83

D ~ ( ak ) = s [ ] továbbá a megfelelő kofdecatervallum R, k =,,..., m, (7.7) kk ( ) ( ) a~ D a ~ a a ~ D a ~ k γ k k k + γ k, k =,,..., m, (7.8) [vö. (7.)]. γ az ( m) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse (vö.. függelék). Numerkus problémák A polomllesztés a legegyszerűbb függvéyllesztés feladatok közé tartozk, mert (7.) a keresett paraméterekbe leárs függvéy. 3 Ematt cs szükség a 6.. alfejezetbe tárgyalt terácóra. Az ehhez hasoló előyök mellett azoba a polomllesztés umerkusa a legkellemetleebb feladatok közé tartozk. Illusztrácóképpe tektsük a 7.4. ábrát, amely két, egymáshoz képest eltolt parabolát mutat: az első az értékek az orgó körül, a másodko az = 60 érték körül csoportosulak. Az előbb esetbe umerkus problémák em jeletkezek, vszot az utóbbba em egyszerű az R mátrot vertál. 50 40 30 ξ 0 0 0-0 -0 0 0 40 60 80 7.4. ábra. Egymáshoz képest eltolt parabolák A.3. alfejezetbe foglalkozuk a mátrok vertálásáak a problémával. A (.0) képletbe defáluk egy C mérőszámot, amely megmutatja, mlye mértékbe rosszul kodcoált az vertáladó mátr. 4 Kszámoltuk m = -, 3- és 4-edfokú polomokra ezt a mutatót az értékek átlagáak a függvéyébe. A 7.5a. ábrá mutatjuk be az eredméyt arra az esetre voatkozóa, amkor az llesztedő potok száma = 0. Látható, hogy C rohamosa csökke, és harmadfokú polom (m = 4) esetébe már 0 7 agyságredű érték. Ekkor az vertáláskor már 8 9 értékes számjegy elvész, tehát az verzet dupla potosságú számítással s csak körülbelül égy tzedesjegy potossággal lehet megkap. Amt a.3. alfejezetbe megmutatjuk, az verzet utóterácóval javíta lehet. m = 5 esetébe azoba már elképzelhető, hogy a számítógép potossá- 3 Ez em tévesztedő össze a leárs regresszóval, ahol a leárs jelző arra utal, hogy az llesztőfüggvéy az változóba leárs. Más kérdés, hogy a (7.) függvéy éppe a paraméterekbe s leárs. 4 Mél ksebb C, aál ehezebb az verzet kszámíta. 84

go belül az verzet em lehet kszámíta. A probléma mértéke függ a potok számától: a 7.5b. ábrá ugyaezt bemutatjuk = 50 esetébe s. A helyzet émleg javult, de em sokkal. 0-5 -0 log0c -5-0 -5 m= m=3 m=4-30 0 0 40 60 80 00 átlag 7.5a. ábra. A C (R) paraméter függése -tól ( = 0) 0-5 -0 log0c -5-0 -5 m= m=3 m=4-30 0 40 60 80 00 0 átlag 7.5b. ábra. A C (R) paraméter függése -tól ( = 50) Ortogoáls polomok Az mét bemutatott umerkus problémák kezelésére szolgálak az ortogoáls polomok. 5 A 7.5a. és 7.5b. ábrákról látszk, hogy a polomllesztés akkor a legkedvezőbb, amkor az értékek átlaga az orgó körül va. Ha törtéetese em lyeek, akkor lyeé lehet traszformál, vagys a (7.) llesztőfüggvéy helyett egy traszformált polomot haszáluk: m ( c) k( 0) k f, = c, =,,,, k = 5 Elméletüket eredetleg Csebsev dolgozta k. 85

ahol 0 egy alkalmasa megválasztott álladó. A fetekből következk, hogy célszerű az értékek átlagával egyelőek választa. Az llesztésből adódó c, c,..., c m együtthatókból az eredet együtthatókat egyszerűe kszámíthatjuk. Ezt az ötletet továbbfejleszthetjük, ha az előbb traszformácó helyett az általáosabb m ( c) kϕ k( ) f, = c, =,,, (7.9) k = képletet írjuk, ahol ϕ k () egy (k )-edfokú polom. A mátrverzó umerkus problémát úgy tudjuk a legjobba kküszöböl, hogy az R mátrot dagoálssá tesszük. Ehhez az szükséges, hogy a (7.9)-be szereplő polomok ortogoálsak legyeek: [ ] ( ) ( ) = kk k ( ) wϕ ϕ δ w ϕ k k. (7.30) Itt δ kk a Kroecker-delta. Ezeket a polomokat rekurzóval építjük fel. Az elsőt azoosa -gyel tesszük egyelővé: és a többt ϕ k ϕ ( ), (7.3a) k k ( ) = + d ϕ ( ) l = kl l (7.3b) alakba keressük. A defícóból következk, hogy d kk = 0. A (7.30) ortogoaltás feltételből számolható az tt szereplő több együttható: d kl = w w ( ) k ϕ l [ ϕ ( )] l Ezekkel a polomokkal (7.3) helyett a, l =,,..., k ; d kk = 0. (7.3c) m Q = wξ ckϕk( ) (7.3a) k = fukcoál mmumát keressük a c k paraméterek függvéyébe. Ez most s a (7.3) alakú Rc = g (7.3b) egyeletredszerre vezet, ahol az R mátr és g vektor eleme (7.4) aalógájára 86

és [ ] ( ) ( ) kk k ( ) R = w ϕ ϕ = δ w ϕ kk k k ( ) g = wξϕ k k (7.3c), (7.3d) (k, k =,,..., m). Az R mátr vertálása em okoz semmféle umerkus problémát, hsze most gk ~c k =. (7.33) w ϕ [ ( )] k A (7.5) képlet alapjá ezek a paraméterek egymástól függetleek, és szóráségyzetük D ( ~ ck ) = =. w Rkk (7.34) ϕ [ ( )] k Md az ortogoáls polomok megszerkesztéséhez, md az eredet paraméterek rekostruálásához szükség va a polomok együtthatóra. Keressük tehát a polomokat k l ϕ k ( ) = b kl l = alakba. (7.3)-ből következk, hogy (7.35a) bkk, k,,..., m. (7.35b) (7.3b) szert pedg k bkl = dkl bl l, l =,,..., k, (7.35c) l = l amek a levezetését az Olvasóra bízzuk. Az mét kapott algortmus megvlágítása érdekébe kszámítjuk az első éháy ortogoáls polomot. (7.3)-ből következk, hogy d = 0, b =. Helyettesítsük ezt (7.35b)-be és (7.35c)-be k = mellett: (7.3c) alapjá b =, b = d b = d. 87

vagys d wϕ w ( ) [ ϕ( ) ] w = = =, ϕ ( ) =. Ez eddg ugyaaz, mt amt a 7.5. ábrák alapjá heursztkusa sejtettük. Alkalmazzuk smét (7.3c)-t: d 3 w = = w (7.35b)-ből és (7.35c)-ből, d 3 = w ( ) w b ( b ) w, d 33 = 0. b 33 =, b = d b = d, b = d b + d b. 3 3 3 3 3 3 Ezt tovább folytatva felépíthetjük a ϕ 4 (), ϕ 5 () stb. polomokat. Amkor programot készítük, a polomok helyettesítés értékeek a kszámítására célszerű a Horer-elredezést alkalmaz, vagys a (7.35a) képlet helyett a következő sémát beprogramoz: ( ( )) ( ) = b + b + b3+ b ( + b ) ϕ k k k k k k kk,. Így tudjuk em csak a szorzások és összeadások számát, haem a kvoás jegyveszteségeket s a mmumra lehet csökkete. Az eredet polom együtthatót a következő azoosságból kapjuk meg: m m k k k k = k = ( ) a c ϕ. Köyű belát, hogy ez az azoosság akkor teljesül, amkor a k m k = clblk. (7.36a) l= k Eek a képletek az alkalmazásakor s léphetek fel kkerülhetetle kvoás jegyveszteségek, de ezek általába sokkal ksebb hbát okozak, mt azok, amelyek a mátrvertálás sorá fellépek. Ha bevezetjük az 88

b 0 0... 0 b A = b 0... 0 : : : : bm bm bm3... bmm jelölést, akkor (7.36a)-t átírhatjuk vektor alakba: ~ a = A T ~ c. (7.36b) (3.9) alapjá adódk ebből az eredet paraméterek kovaracamátra: B~ = A T B~ A = σ A T R A. (7.37) a c Vegyük észre, hogy (7.35b)-re való tektettel mdg a~ = ~ c. (7.36c) m m Háyadfokú legye a polom? Gyakra kérdezzük, háyadfokú polomot célszerű választa. Nylvá mél magasabb a polom fokszáma, aál jobba fogja az llesztőfüggvéy a mérés eredméyeket közelíte. Mvel az ~ a becsült paraméterek szórása vszot rohamosa ő a fokszámmal, gyekszük mél alacsoyabb fokszámú polomot lleszte. Szélső esetbe potra egzaktul lehet egy ( )-edfokú polomot lleszte (m = ), de eek algha va valam fzka értelme. Az ortogoáls polomok segítségével megtalálhatjuk e két elletmodó szempot között a középutat. Írjuk fel ugyas kofdecatervallumot a c k együtthatókra. Ha γ az ( m) szabadság fokú Studet-eloszlás kvatlse, akkor (7.8) mtájára a következő tervallumot szerkeszthetjük meg: c ~ γ D c ~ c c ~ + γ D c ~, k =,,..., m, (7.38) ( ) ( ) k k k k k ahol a szórásokat (7.34) alapjá becsüljük. Mvel ezek az együtthatók egymástól függetleek, azokat el lehet vet, amelyek em külöbözek szgfkása 0-tól, vagys amelyekre a (7.38) tervallum tartalmazza a 0-t. m megfelelő értéke tehát az a legagyobb k, amelyél agyobb deekre ez teljesül. Az elmodottakat a 7.. táblázatba mutatott adatokkal llusztráljuk. 6 Harmadfokú polomot llesztettük rájuk, és 99% kofdecaszte a következő tervallumok adódtak (7.38) és a. függelék szert: 3556, c 35, 6 ; 0, 449 c 0, 4376 ; 778 0 3 3, c, 507 0 ; 4 0 5 5, c, 3 0. 3 4 6 Ezek valóságosa mért adatok: egy reaktor magasságát (ξ ) mutatja a hőmérséklet ( ) függvéyébe. 89

Látható, hogy c 4 em külöbözk szgfkása 0-tól, tehát m megfelelő értéke 3, vagys az adatok leírhatók egy másodfokú polommal. Amkor lye következtetésre jutuk, érdemes az llesztést az alacsoyabb fokszámmal s megsmétel. Ha akkor a fettől léyegese eltérő kofdecatervallumok jöek k, akkor ez azt jelet, hogy a polomllesztéssel cs mde redbe. Nézzük meg ezért, m jö k Q m -ra a két llesztésbe: Q m = 3, 553 m= 4 re és Q = 3564, m= 3 ra. m A két érték gyakorlatlag megegyezk egymással, tehát teljese elegedő másodfokú polomot lleszte. 7.. táblázat. Példa polomllesztésre ξ ξ,00 330,38 90,73 353,0 35,90 33,55 94,70 355,00 45,6 335,45 00,00 357,03 54,85 338,95 05,6 360,03 63,30 340,80,30 36,96 65,68 34,5 5,70 366,08 73,38 345,0 0,40 368,45 80,67 347,4 6,0 37,40 85,99 35,00 3,44 376,33 Elvleg ugya lehetséges, hogy egy c k együtthatót lye alapo 0-ak veszük, és egy másk, magasabb fokszámú ϕ k () polomé meg szgfkása külöbözk 0-tól, de ez em szokott a gyakorlatba előfordul. Ha ugyas a mérések leírhatók egy k-adfokú polommal, akkor a (7.30) szert ortogoaltás matt k > k-ra mdegyk ~ c k várható értéke zérus. Ez s az ortogoáls polomok előye, mert az a k együtthatókkal köye megtörtéhet, hogy ~ a k em külöbözk szgfkása 0-tól, de k > k-ra ~ a k ge. Természetese az ortogoáls polomokkal sem árt a körültektés, amt a 7.3. alfejezetbe mutatott példa llusztrál fogja. 7.3. Smítás A polomllesztés egyk gyakor alkalmazása a smítás, am azo alapul, hogy tetszőleges, em agyo gyorsa változó (ú. sma) függvéyt egy elegedőe szűk tervallumba Taylor-sorba lehet fejte. Más szóval: egy alkalmas fokszámú polommal lehet közelíte. Egy lye polom llesztését evezzük smításak. Természetese em csak polommal, haem más lleszthető függvéyel s lehet smíta. Smítás Jelöljük az llesztőfüggvéyek az llesztett paraméterek szert derváltjat F k -val: 90

F k ( ) f =,a, k =,,..., m; =,,...,. a k Ebből képezzük a m méretű F mátrot. Polomllesztés esetébe [ ] F k = Fk = k, k =,,..., m; =,,...,. (7.39a) A w súlyokból képezzük a dagoáls W mátrot. Ekkor a (7.4) képleteket a következőképpe írhatjuk át vektor alakba: R g = F T WF, (7.39b) H = F T W ξ, (7.39c) ahol H ξ a mért ξ, ξ,..., ξ meységekből képezett (-elemű) vektor. A paraméterek becsült értékét a (7.5) képlet adja meg. A mért értékek várható értékét úgy becsülhetjük, hogy a paraméterek becsült értékét behelyettesítjük az llesztőfüggvéybe: m k k m k = k = ~ ~ y = a = F a ~ amt az alább módo írhatuk át vektor alakba: H ~ y Fa ~ T = = FR F Wξ. k k, (7.40a) (7.40b) Az ~ y értékeket tektjük a mért adatok smításáak. Melőtt továbbmeék, kszámítjuk e vektor kovaracamátrát. Abból duluk k, hogy a w súlyok fordítva aráyosak a mért meységek szóráségyzetével:, BH W ξ = σ amvel B~ y = FR σ F T WW WFR F T = σ FR F T, (7.4) amt ez egyszerűe belátható. Az alábbakba az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy mérések azoos potosságúak, vagys W = E, (az -es egységmátr). Ekkor ~ y Fa ~ T = = FR F ξ H = Sξ H, (7.4) [vö. (7.40b)]. Vegyük észre, hogy az tt defált S mátr aráyos a smított értékek kovaracamátrával. Ez az észrevétel azoba csak a polomllesztésre voatkozk. 7 7.3. táblázat. Aktvtásmérő beredezés kalbrálása 7 Potosabba: az olya llesztőfüggvéyekre, amelyek az llesztett paraméterekbe leársak. 9

ξ ξ, 35,44 5,3 9,3 4, 3,83 00,7 8,07,6 7,45 5, 7,36 9, 3,69 04,5 7,339 30,9,775 53,5 7,3 A 7.. táblázatba szereplő adatokra skerese llesztettük egy másodfokú polomot, sőt arról s meggyőződtük, hogy cs szükség magasabb fokszámú polomra. Ilye körülméyek között az llesztett parabola helyettesítés értéke tekthetők az adatok smításáak s. Nem mde eset lye egyszerű azoba. Az alábbakba egy boyolultabb esetet elemzük. A 7.3. táblázat egy aktvtásmérő beredezés kalbrácóját mutatja. Itt a mta tömege mg-ba, ξ pedg a 40 K zotóp mért és számított aktvtásáak a háyadosa %-ba. Smítás céljából először azzal a módszerrel próbálkozuk, mt a 7.. táblázat adataval s tettük a 7.. alfejezetbe. Harmadfokú polomot llesztve (m = 4) a következő kofdecatervallumokat kapjuk az ortogoáls polomok együtthatóra 99% kofdecaszte: 873, c 94, ; 0, 345 c 0, 0063; 4 3, 4 0 c, 07 0 ; 30, 0 c 0, 7 0. 3 Az llesztésbe Q m = 3,7 adódott. Ebből következk, hogy c 3 -at és c 4 -et 0- ak vehetjük, vagys elegedőek tűk a leárs polom. Elég egy pllatás az adatokra (vö. 7.6. ábra), és látjuk, hogy erről szó sem lehet. Ezért csak c 4 -et hagyjuk el, vagys másodfokú polomot llesztük (m = 3). A kapott kofdecatervallumok (Q m = 34,7): 5 767, c 047, ; 0, 477 c 0, 0069 ; 4 3 4, 77 0 c, 30 0. 3 Itt már c s 0-ak tűk, am abszurdum. A helyzet egyre romlk, Q m értéke majdem a kétszeresére őtt. Levohatjuk tehát a következtetést, hogy a 7.3. táblázatba található adatsort em lehet egyetle polommal smíta. Ezért megpróbálkozuk a két részletbe való smítással: az adatokat két ötös csoportra botjuk, és mdkettőre külö llesztük egy-egy polomot. Az első csoport llesztéséhez em elég a másodfokú polom, így ott harmadfokú polommal (m = 4) dolgozuk. A smított görbék a 7.6. ábrá láthatók az első rész folytoos voallal, a másodk rész pedg szaggatottal. Az első rész smítására kapott polom együttható: a = 37, 87; a = 3, 608; a = 0, 83; a = 0, 00305; 3 4 a másodk részére pedg a = 0, 78; a = 0, 0368; a = 9, 48 0. 3 Látható, hogy az első részbe a görbület em írja le kfogástalaul a potokat. Iterpolácós célból így egy egyedfokú polom lee kíváatos, de eek az 4 5 5 9

együtthatót em írjuk fel. Mvel tt az együtthatók száma megegyeze a potok számával, a polom egzaktul átmee a mért potok mdegyké. 8 ξ 40 35 30 5 0 5 0 5 0 0 50 00 50 00 50 7.6. ábra. A 7.3. táblázatba található adatok smítása Smítás egyeletes alappotok esetébe Mért görbék smítása egyszerű képletekbe foglalható, amkor az alappotok egyeletesek: ( ) = 0 +. Ebbe az esetbe (7.4) szert a smított értékeket az méretű S mátr segítségével számíthatjuk k. Az alábbakba megadjuk S elemet m és éháy jellegzetes értékére. A félreértések elkerülése érdekébe feltütetjük a mátrok redjét. Leárs smításra (m = ): 6S 33 6S 44 6S 55 5 7 4 6 4 0 4 3 4 3 0 5 3 4 4 7 0 3 4 0 4 6 05S 66 8S 77 55 40 5 0 5 0 3 0 7 4 5 40 3 3 4 5 0 8 6 4 0 5 9 6 3 0 7 6 5 4 3 0 3 6 9 5 4 4 4 4 4 4 4 5 4 3 3 40 3 4 5 6 7 0 5 0 5 40 55 0 4 6 8 0 5 4 7 0 3 8 Mvel valójába erre kéyszerülék, azt látjuk, hogy az első részbe sűríte kellett vola a mérés potokat. Ez azoba a jele alfejezet témájától messze vezető kérdés, így tovább em foglalkozuk vele. 93

Kvadratkus smításra (m = 3): 0S 44 0S 55 9 3 3 3 9 3 5 3 3 9 3 9 3 6 5 3 9 3 3 7 3 3 3 9 5 6 3 9 3 5 3 9 3 40S 66 4S 77 5 45 0 0 5 5 3 5 3 4 6 3 5 45 43 36 4 7 5 5 9 6 3 0 3 0 36 5 48 4 0 3 9 9 3 6 0 4 48 5 36 0 4 6 4 6 4 5 7 4 36 43 45 6 3 9 9 3 5 5 0 0 45 5 3 0 3 6 9 5 5 3 6 4 3 5 3 Harmadfokú smításra (m = 4): 70S 55 69 4 6 4 4 54 4 6 4 6 4 34 4 6 4 6 4 54 4 4 6 4 69 94

6S 66 4S 77 6 4 4 4 39 8 4 4 4 6 73 5 8 8 9 6 6 4 7 4 4 5 58 3 4 4 6 9 4 4 3 58 5 4 4 6 4 6 4 8 5 73 6 4 9 6 4 4 4 4 6 4 7 4 6 6 9 8 4 4 4 8 39 E mátrok alkalmazására mutatuk egy példát. Tegyük fel, hogy öt egyeletes alappotba mért értékeket smítuk egy másodfokú polommal ( = 5, m = 3). Ekkor a következőképpe kapjuk a smított értékeket: 3ξ + 9ξ 3ξ 5ξ + 3ξ =, 0 9ξ + 3ξ + ξ + 6ξ 5ξ =, 0 3 7 3 = ξ + ξ + ξ + ξ ξ, 0 5 6 3 9 = ξ + ξ + ξ + ξ + ξ, 0 3ξ 5ξ 3ξ + 9ξ + 3ξ =. 0 ~ y 3 4 5 ~ y 3 4 5 ~ y3 3 4 5 ~ y4 3 4 5 ~ y5 3 4 5 Dfferecálás A smítás eredméyeképpe kapott polom haszálható a mért (és ezért hbával terhelt) függvéykapcsolat dfferecálására. Nem kell mást teük, mt a (7.40a) szert smított függvéyt dervál: m k( ) k m m ( ) k k k = k = k = ~ y = a ~ k = k F a ~ = F a ~ k k. (7.43a) Azt, hogy valamlye, a dervált függvéyhez tartozó meységről va szó, egy elé írt jellel tütetjük fel. (7.40b) mtájára ezt átírjuk vektor alakba: ~ ~ H T y = Fa = FR F Wξ, (7.43b) ahol F = ( k ) F, k =,,..., m. (7.43c) k k Egyszerűe kapjuk a derváltak kovaracamátrát [vö. (7.4)]: ( ) σ ( ) B ~ y = FR σ F T WW WFR F T = FR F T. (7.44) Amkor a méréseket egyeletes alappotokba végeztük, a derválás képlete egyszerűsíthetők. (7.4) mtájára a derváltakat a 95

~ y = Fa ~ = FR F ξ H T = Sξ H (7.45) alakba írjuk fel, ahol feltettük, hogy a mérések potossága azoos, vagys W = E,. A fetekhez hasolóa és m éháy értékére felírjuk a derváláshoz haszálható S mátrokat. m = esetébe egyeest llesztük, tehát a dervált mde potba azoos. Az alább együtthatókkal lehet kszámíta éháy értékére: 3 6 S 0 4 0 S 3 3 5 0 S 0 6 35 S 5 3 3 5 7 8 S 3 0 3 Ha például = 5 potba végeztük méréseket, a derváltat a ~ 4 5 y 5 = ξ ξ + ξ + ξ 0 képlet adja meg mdegyk mérés potba. m = 3 és m = 4 esetébe valóságos mátrokat kell haszáluk, amelyeket - ek ugyaazokra az értékere adjuk meg, mt korábba. Kvadratkus smításra (m = 3): 0 S 44 70 S 55 3 7 9 54 3 40 7 6 3 7 34 3 0 7 6 7 3 4 7 0 7 4 9 7 3 6 7 0 3 34 6 7 40 3 54 80 S 66 84 S 77 65 9 08 49 85 39 6 5 4 6 5 9 5 68 39 35 9 6 9 6 5 6 65 9 8 9 5 9 6 3 8 9 6 5 9 8 9 65 9 6 3 0 3 6 9 35 39 68 5 9 5 6 9 8 3 6 9 85 49 0 08 65 6 5 6 9 6 9 6 4 5 6 39 Harmadfokú smításra (m = 4): 84 S 55 5 36 48 88 9 38 4 6 0 7 56 0 56 7 0 6 4 38 9 88 48 36 5 96

756 S 66 95 674 63 9 539 50 370 59 88 36 35 5 6 88 96 89 0 0 89 96 88 6 5 35 36 88 59 370 50 539 9 63 674 95 5 S 66 57 85 7 77 77 7 6 48 0 7 9 46 9 4 55 46 3 67 58 0 58 67 3 46 55 4 9 46 9 7 0 48 6 7 77 77 7 85 57 7.4. Kegyelítés Az.3. alfejezetbe említettük egy kegyelítés problémát. Először azt oldjuk meg, majd megmutatjuk, hogy ugyaez a módszer alkalmazható a smítás javítására s. A háromszög szöge Az.3. alfejezetbe kfejtetteket előbb átírjuk a jele fejezett jelölésere. Mért értékek: ξ = 54 5 ξ = 50 ξ 3 = 76 6, amelyek várható értékét a szokás szert jelöljük: M( ξ ) = a, =,, 3. Tudjuk azoba, hogy összegük 80 : a + a + a3 = 80. Ha ebből a 3 -at a másk kettővel kfejezzük, akkor a következő kétparaméteres llesztésre jutuk: ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) Q = a + a + 80 + a + a = mmum. 3 A ormálegyeleteket a keresett paraméterek szert derválással kapjuk: Q = ξ + ξ 3 80 + a = 0, a Q = ξ + ξ 3 80 + a = 0, a amek a megoldása 97

a~ = 54, a~ = 4957, a~ = 76. 3 Egy ad hoc módszerrel ugyaezt kaptuk az.3. alfejezetbe. A kegyelítés problémák általáos megoldását a 6.5. alfejezetbe tárgyaljuk, amek az áttaulmáyozását azoba csak haladó olvasókak ajáljuk. Smítás kegyelítéssel Ezt a módszert alkalmazhatjuk a smítás javítására s. Korábba a 7.3. táblázat adatat két csoportra osztottuk, és egymástól függetleül llesztettük rájuk polomokat. Felvetjük a következő ötletet: lehet-e javíta a smított görbét úgy, hogy a két polomot egy közbeső potba egymáshoz llesztjük? Megkövetelhetjük például, hogy a két rész között 0 40 mg potba a két polom helyettesítés értéke és derváltja egymással megegyezze. Ha az elsőre (m )- edfokú, a másodkra pedg másodfokú polomot llesztük, és ezeket az lletve m k = a k k a + a + a m+ m+ m+ 3 alakba írjuk fel, akkor a polomok együtthatóra az m k ak 0 = am+ + am+ 0 + am+ 30, k = m k ( ) k 0 = m + k = k a a a, + m+ 3 0 (7.43a) (7.43b) feltételeket szabjuk. Valójába tehát csak (m + ) paramétert kell lleszteük, a femaradó kettőt k tudjuk velük fejez: a m+ a m+ 3 m am+ k = ( k 3 ) ak 0, (7.44a) 0 k = m m+ k 3 ( k ) ak 0 0 k = a = +. (7.44b) Ebbe az esetbe a (7.39) képletek a következőképpe módosulak. Az első csoportba cs változás: k k k F =, k m, F = 0, k > m. (7.45a) A másodk csoportba azoba a mátr a következőképpe módosul: k ( ) ( ) F = k k 3, k =,,..., m, k k 0 3 0 (7.45b) 98

Fm, + = + 0 0. Ha ezt a 7.3. táblázatba szereplő mérés adatokra alkalmazzuk, a következő eredméyeket kapjuk. Először vesszük az m = 4 esetet, amelyre voatkozk a 7.6. ábra s. Az llesztett paraméterek a következők az első részbe: a = 35, 68; a =, 399; a = 0, 0795; a = 0, 00088; 3 4 a másodk részbe pedg a = 4, 0; a = 0, 0870; a =, 4 0. 5 6 7 0 értékét 35-ek választottuk. Érdemes megéz, hogya változott Q m a feltétel élkül értékhez képest. A 7.6. ábrá mutatott görbéek megfelelő két llesztésbe kapott értékek összege: Q () ( ) m m + Q = 85, + 00, = 854,. A kegyelített llesztésbe ezzel szembe Q m = 7,8 adódk, vagys az llesztés romlott. Ebbe cs semm meglepő: eredetleg hét paramétert llesztettük, vszot a kegyelítésbe a paraméterek száma a feltételek számával csökket, tehát csak öt paramétert llesztettük. Természetes, hogy az llesztés romlott ettől. Ez látszk a 7.7a. ábrá s: az llesztett görbe sokkal rosszabbul lleszkedk a mért potokra a másodk részbe. 40 35 30 5 0 5 0 5 4 0 0 50 00 50 00 50 7.7a. ábra. A 7.6. táblázatba található adatok smítása kegyelítéssel (m = 4) Az m = 5 mellett végzett smítás kegyelítés élkül olya polomot ad, amelyek a görbéje egzaktul átmegy a mért potoko. Jóllehet ezt formálsa lehet llesztéskét s végrehajta, de a léyeget jobba megközelítjük, ha em smításról, haem terpolácóról beszélük. Amkor azoba a smítást kegyelítéssel végezzük, a művelet valóságos llesztéssé válk. Az llesztett paraméterek a következők az első részbe: a = 39, 7; a = 4, 609; a = 0, 373; 3 99

a a másodk részbe pedg = 0, 000; a =, 3 0 ; 4 5 4 a =, 76; a = 0, 04990; a =, 3 0. 6 7 8 0 értékét most s 35-ek választottuk. Q m értéke 5,5, am léyegese ksebb, mt a kegyelítés élkül smításba, tehát az llesztés javult. Ez látszk a 7.7.b ábrá s. 40 35 30 5 0 5 0 5 0 0 50 00 50 00 50 7.7b. ábra. A 7.6. táblázatba található adatok smítása kegyelítéssel (m = 5) A mutatott példából látszk, hogy a kegyelítés ayba javítja a smítást, hogy a polomok fokszámát övelhetjük, és ezzel javul az llesztés. 0,5 0-0,5 - -,5 - -,5-3 -3,5-4 0 50 00 50 00 50 7.8. ábra. A 7.6. táblázatba található adatok derváltja kegyelítéssel (m = 5) 4 Dfferecálás kegyelítéssel Az előző alfejezetbe részletese tárgyaltuk a smított görbe derválását. Ezt meg lehete smétel a kegyelítéssel smított görbékre voatkozóa. A dolgot 00

em tárgyaljuk teljes általáosságba. Megelégszük az előbb példával való llusztrácóval. Az llesztésből (m = 5) kapott paraméterekkel az első részbe az a másodk részbe pedg az a a + a + 3a + 4a, 3 4 5 3 + a 7 8 képlet adja a derváltat. Az eredméyt a 7.8. ábrá mutatjuk be. A berajzolt potok a közvetle ξ+ ξ + umerkus derválással kapott értékeket ábrázolják az ( + + )/ meységek függvéyébe. A 7.8. ábrá látszk, hogy ezek a potok léyegese smább görbét adak, mt a smított görbe derváltja. Eek az az oka, hogy az első részre llesztett egyedfokú polom túlságosa khagsúlyozza az eredet mért értékek mérés hbát. Ezért az = 5 körül gadozásokak cs sem matematka, sem fzka tartalmuk. 7.5. Hbaterjedés Gyakra fordul elő, hogy valamlye meységet közvetle mérésből vagy llesztésből származó valószíűség változók függvéyébe számítjuk k. Az eredméy szté valószíűség változó. Ahhoz, hogy vele tovább tudjuk dolgoz, smerük kell várható értékét és szórását. Több meység számítása esetébe szükség lehet a kovaraca kszámítására s. Az eddg alfejezetekbe tektett llesztésekbe tulajdoképpe már ezt tettük, hsze a közvetleül mért ξ ( =,,..., ) meységek függvéyébe becsültük a keresett a, a,... paramétereket, és határoztuk meg rájuk voatkozóa a várható értéket, szórás és kovaracát. Azt s modhaták tehát, hogy a vzsgáladó függvéykapcsolatot llesztőfüggvéyek tektve közvetleül alkalmazhatjuk korább képleteket. Ilyesmt mégsem moduk, mert szereték a gyakorlatba közvetleül haszálható módszereket és képleteket levezet. Vzsgál fogjuk tehát az H η = g ξ, ξ,, ξ = g ξ, k =,,..., m (7.46) ( ) ( ) k k k alakú függvéyeket. Többyre csak az m = esettel foglalkozuk. Ilyekor elhagyjuk a k deet. Várható érték Legye először =. Fejtsük a g-függvéyt az y = M(ξ) várható érték körül Taylor-sorba: 0

g( ξ) = g( y) + g ( y)( ξ y) + g ( y)( ξ y) + (7.47a) Itt a páratla ktevőjű tagok várható értéke eltűk, vagys M = + +, [ g( ξ )] g( y) g ( y) D ( ξ) (7.47b) ahol a k em írt tagok közül az első a g-függvéy egyedk derváltjával és egyedk cetráls mometumával aráyos (vö. 3.. alfejezet). Amkor a g(ξ) függvéyt kszámítjuk, a g(y) meységre szereték becslést kap. Látható, hogy ez csak akkor torzítatla, amkor a (7.47b)-be kírt másodk tag az első mellett elhayagolható. Az alábbakba ezt mdg fel fogjuk tételez. Ekkor azoba a Csebsev-egyelőtleségből (3.3. TÉTEL) következk, hogy a (7.47a) sorfejtésbe a égyzetes tag agy valószíűséggel elhayagolható. Más szóval: a g(ξ) függvéy learzálható. A továbbakba tehát a ( ) ( ) ( )( ) g = g ξ g y g y ξ y (7.48a) közelítést alkalmazzuk. Ha em egy, haem több valószíűség változó szerepel, akkor eek az aalogoja a g g = g( ξ, ξ,, ξ) g( y, y,, y) ( y) ξ ξ (7.48b) képlet. Köyű ezt átv az m > esetre s. A jobb oldalo szereplő (ξ y ) külöbségek az egyes valószíűség változók mérés (llesztés) hbája. A (7.48) képletek megadják, hogy ezek hatása hogya terjed át a kszámítadó függvéyre. Ezért szoktuk hbaterjedésről beszél. Mvel azoba a hbákat em smerhetjük, csak arra va lehetőségük, hogy ezek legfőbb jellemzőjét, a szórást kszámítsuk a közvetleül mért meyységek szórásáak a függvéyébe. A kszámított függvéy szórása Tegyük fel először, hogy a ξ valószíűség változók függetleek. Ekkor az 3.8. TÉTELt alkalmazhatjuk. Az eredméy ayra fotos, hogy tétel formájába modjuk k: 7.. TÉTEL. Ha a ξ valószíűség változók függetleek ( =,,..., ) és g a valószíűség változók olya függvéye, amelyre alkalmazható a (7.48b) közelítés, a függvéy helyettesítés értékéek szóráségyzete H [ g( ξ )] = ( g) g [ ] = ( ) D M D ξ. (7.49) ξ Ez az általáosa haszált hbaterjedés képlet. 0

Példaképpe tektjük a (7.0b) képletbe szereplő a paramétert. A learzált llesztésből kapjuk az a és a paramétereket, amelyekből az ~ ( ~, ~ a ~ a = g a a ) = a ~ képlet alapjá kapjuk a keresett paramétert. Feltesszük egyelőre, hogy a vesszős paraméterek között kovaraca elhayagolható. (7.49) szert eek a szóráségyzete D ~ ~ a a~ D ~ + ~. a ( a ) = ( a ) D ( a ~ ) A hasoló szorzat, lletve háyados alakú függvéyek esetébe egyszerűbb, ha vesszük a g-függvéy logartmusát: l a ~ = l a ~ l a ~, majd eek vesszük a dfferecálját: a ~ ~ ~ a a a ~ = a ~ a ~, és alkalmazzuk a szóráségyzetek összeadás törvéyét: D ( ~ ) D ( ~ a ) D ( ~ a a ) a~ ~ ~ = a + a, amből D ( ~ ) ~ D ~ a = a a~ ( ) D ( ~ ) ~ D ( ~ a a a a ) D ( a ~ ) + a~ = a~ Köyű belát, hogy ez azoos a (7.49) képlet közvetle alkalmazásával kapott eredméyel. Két változó esetébe talá boyolultabbak tűk a logartmuso alapuló számítás, de sok téyező esetébe, főleg ha gyökök és hatváyok s előfordulak, a logartmus képzése mdg egyszerűsítést jelet. A (7.49) képlet em érvéyes, amkor a szereplő valószíűség változók korreláltak. Egyszerűe bzoyítható a 7.. TÉTEL. Ha g a ξ valószíűség változók ( =,,..., ) változók olya függvéye, amelyre alkalmazható a (7.48b) közelítés, a függvéy helyettesítés értékéek szóráségyzete H [ g( ξ )] = ( g) a~ g g [ ] = ( j) + D M cov ξ, ξ. (7.50) ξ ξ j = j a~. 03

Eek a tételek az alkalmazása elsősorba akkor jö szóba, amkor a szereplő valószíűség változók llesztett paraméterek. Térjük vssza a fet példához, és e hayagoljuk el az llesztett paraméterek között kovaracát! A (7.50) képlet ekkor a D ~ ~ a a~ D ~ + a~ D ~ a~ ~ cov ~, ~. a ( a ) = ( a ) ( a ) ( a a ) 3 Megjegyzedő, hogy tt s alkalmazható a logartmálás, de agyo kell vgyáz az előjelekre. Ak em jártas a dologba, jobba tesz, ha a rögösebb, de egyees utat választja, vagys közvetleül a (7.50) képletet alkalmazza. Függvéyek kovaracája Amkor (7.46) szert egyél több függvéyt számítuk k (m > ), a kszámított függvéyértékek korreláltak leszek, hsze ugyaazoktól a valószíűség változóktól függek. Ebbe az esetbe érdekes a külöböző k deekhez tartozó függvéyértékek között kovaraca. Ezt (7.48b) alapjá írhatjuk fel. Rögtö az általáos esetet tektjük, vagys em tételezzük fel, hogy a közvetleül mért (llesztett) valószíűség változók függetleek. Egyszerűe bzoyítható a 7.3. TÉTEL. Ha a g k függvéyek (k =,,..., m) a ξ valószíűség változók ( =,,..., ) változók olya függvéye, amelyekre alkalmazható a (7.48b) közelítés, a függvéyek helyettesítés értékéek a kovaracája H H gk gk [ gk( ξ) gk ( ξ) ] = ( ξ ξ j) cov, ξ ξ cov, j = j. (7.5) E képletet a fet tektett learzált llesztés eredméyere alkalmazzuk. Kszámítjuk a (7.0b)-be szereplő a és a paraméterek kovaracáját: a~ cov [, ] D ~ ( ~ a a a ) ~ cov ( a ~, a ~ = ) a 4 + a 3. Mt a kovaracák esetébe általába, tt s ügyel kell az egyes tagok előjelére. Kofdecatervallumok Amkor a közvetleül mért (llesztett) valószíűség változók md Gausseloszlásúak, a vzsgált függvéyek helyettesítés értékéről ugyaezt lehet moda. Ebbe az esetbe tehát em okoz problémát a kofdecatervallumok megszerkesztése. Az llesztett paraméterek esetébe azoba a szórások mdg csak véges szabadság fokkal becsülhetők. Ilyekor boyolultabb feladattal álluk szembe, de boyolultsága matt eek részletebe em megyük bele. 04

7.6. Korrekcók Az 5.3. alfejezetbe tárgyaljuk a közvetle mérésekhez alkalmazadó korrekcók fgyelembevételéek a módját. Ugyaezt áttektjük függvéyllesztés esetébe s. Az általáos formalzmus Leggyakrabba két fajta korrekcóval találkozuk: addtív korrekcókkal és korrekcós téyezőkkel. Ez azt jelet, hogy a közvetleül mért meységek várható értékét em maga a korrekcók élkül esetbe haszáladó f(,a) llesztőfüggvéy adja meg, haem ( ) f( ) M ξ = µ, a + α. (7.5) Általába a µ téyező és az α korrekcó mért adat, tehát maga s valószíűség változó. Példák korrekcóra: a laboratórum háttérsugárzása, a hőmérséklet hatása stb. Példák korrekcós téyezőre: radoaktív bomlás, műszerek kalbrácós téyezője stb. Úgy képzeljük el, hogy µ az összes korrekcós téyezők szorzata, α pedg az összes korrekcók összege. A mamáls valószíűség elve alapjá a ( (,a) ) Q = w ξ µ f α (7.53) égyzetösszeg mmumát kell keresük az a paramétervektor függvéyébe. Ha a korrekcók s valószíűség változók, akkor a (6.39c) képlet alapjá a súlyokat a σ w [ f( )] ξ µ α = σ + σ,a + σ (7.54) képlettel kell kszámítauk. Vegyük észre, hogy ez éppe a (7.53) alatt öszszegbe a (...) tag zárójelébe levő külöbség szóráségyzete. Ezzel a 6. fejezetbe kmodott tételek érvéybe maradak. Eek alapjá mérések kértékelése a korábbak alapjá mde továbbak alapjá végrehajtható, ha az llesztőfüggvéyt (7.5), a súlyokat pedg (7.54) szert választjuk meg. Az eddg modottak akkor érvéyesek, amkor az de külöböző értékehez tartozó korrekcók egymástól statsztkalag függetleek, lletve amkor szórásuk elhayagolható. Korrelált korrekcók esetébe az eljárás léyegese boyolultabb. A kérdésre a jele alfejezet végé térük vssza. Függetle korrekcók kezelése learzálás eseté Labormérések esetébe elsősorba az dő rövdsége matt az f(,a) llesztőfüggvéy learzálására kéyszerülük. Ez azoba em lehetséges, ha fetartjuk a mmalzáladó Q fukcoál (7.53) szert alakját. Ezért egy közelítő eljárást alkalmazuk: a korrekcókat em az llesztőfüggvéyhez, ha- 05

em a mért meységekhez kapcsoljuk. Hagsúlyozzuk, hogy ez csak közelítő szükségmegoldás. Arról va szó, hogy az llesztést a ξ α ξ c = µ korrgált mérésekre voatkoztatjuk: ( ( )) (7.55a) c c c Q = w ξ f,a. (7.55b) A súlyokat ebbe az esetbe a (7.49) hbaterjedés képlet alapjá kell kszámítauk: σ σξ σα σ µ ξ α c w = + + µ µ µ. (7.55c) Ezekkel a képletekkel a korrgált meységekre voatkozóa már alkalmazható a learzált llesztés módszere. Mdeek természetese feltétele, hogy az f(,a) llesztőfüggvéy learzálható legye. Mvel ez csak az llesztőfüggvéyekek egy specáls osztályára alkalmazható módszer, célszerű az általáos eljárást beprogramoz, ha llesztő programot íruk. Jól látható, hogy az adatokak a (7.55) képletek szert korrekcója meglehetőse sok előkészítő számítást géyel külööse akkor, amkor a korrekcók em egyszerűek, haem több téyező vagy tag szorzata, lletve összege. Semmképpe em ajálhatjuk, hogy ezt bárk kézzel végezze el, mert méréseek kértékelése hbakereséssé degradálódk: a fzka jeleségek megértése helyett az dőt aak elleőrzésével fogja tölte, melyk -re rototta el a korrekcó számítását és alkalmazását. *Korrelált korrekcók Ha akár a korrekcó, akár a korrekcós téyezők külöböző -hez tartozó értéke korreláltak, a korrekt adatkezelés agyo elboyolódk. Nem való ebbe a jegyzetbe a kérdés átfogó tárgyalása. A szokástól eltérőe most em tuduk olya rodalm hvatkozást megad, ahol ez megtalálható. A dolog oka abba rejlk, hogy egyrészt külöös elv problémát em jelet, így a matematkusok em érzk szükségét tárgyal, másrészt súlyosa elboyolítja az adatkezelés formalzmusát, így a fzkusok akkek pedg dolguk lee mdezt korrektül kdolgoz jobbak látják a közelítő megoldásokat. A [3] rportok ugya hozzálátak a probléma tárgyalásához, de megállak aál a közelítésél, amely akkor érvéyes, amkor a korrekcók mérés potossága sokkal jobb, mt a ξ valószíűség változóké. Az általáosa alkalmazható eljárást egy közöséges példával llusztráljuk: gyakra előfordul, hogy az α korrekcókra egyetle mérés adatuk va, vagys mde -re ugyaazt a számot kell levouk (7.55a)- ba vagy (7.53)-ba. 06

Feltesszük tehát, hogy α α és M( α ) = a 0. (7.56) Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy µ, vagys cs korrekcós téyező. Eek a mérések a valószíűség függvéyét egyszerűe felírhatjuk az 5.3. alfejezetbe követett godolatmeet általáosításakét: L ahol és ( aa ) w w 0 Q = w0( α a0) ( ) ( ) + πσ σ σ ;, = ep ep 0 ( ( ) ) Q = w ξ f,a a0 σ σ α =. w 0 A mamáls valószíűségek elve alapjá ll derváltjat kell zérussal egyelővé te egyrészt az a paramétervektor m kompoese szert, másrészt a 0 szert. Az előbbek a G k ( a) ( a) (, a) Q f = = w[ ξ f(, a) a0] = 0 a a k k, (7.57a) ormálegyeletekre vezetek (k =,,..., m). Az utóbb pedg egy tovább, (m + )-edk egyeletre vezet: G 0 l L = = w0 α a0 + w [ ξ f a0] = 0. (7.57b) a ( a) ( ) (, a) 0 Így tehát em m, haem (m + ) paramétert kell becsülük. Az addtív korrekcóhoz tartozó, (m + )-edk paramétert természetese k lehet küszöböl a (7.57) egyeletekből, és így azokat formálsa legalábbs vssza lehet vezet m számú egyeletből álló egyeletredszerre. (7.57b)-ből ugyas kfejezhetjük az a 0 paramétert: a~ 0 w 0 [ (, ~ )] w0α + w ξ f a = + w, (7.57c) amt (7.57a)-ba helyettesítve egy m-smeretlees egyeletredszert kapuk az eredet a paramétervektorra. Tektve, hogy a 0 becsült értéke függ eek az 07

utóbb egyeletredszerek a megoldásától, tt valójába egy terácós eljárást defáltuk. Ezzel megtaláltuk aak a módját, hogy egy fajta korrelált korrekcót a legegyszerűbbe fgyelembe vegyük. Az alábbakba megézzük, hogya hat ez az eredetleg keresett paraméterek kovaracájára. Áttérük a 6.3. alfejezetbe haszált mátros formalzmusra, mert ez általáosítható boyolultabba korrelált korrekcók kezelésére s. A (6.9a) képlettel defált F mátr most kbővül az a 0 paraméterek megfelelő oszloppal, lletve az α mért adatak megfelelő sorral. Mvel az =,,..., mérés adatokra (7.5) alapjá úgy képzelhetjük, hogy az llesztőfüggvéy ( ) f( ) M ξ =, a + a0, az F mátr (m + )-edk oszlopa az a 0 paraméter szert derváltakat, vagys csupa -eseket tartalmaz. Az ( + )-edk mérés adat α, amelyre az llesztőfüggvéy a 0, tehát F-ek ez a sora csupa 0-kat tartalmaz az első m oszlopba, vszot az (m + )-edk elem tt smét. Legye e egy olya -elemű vektor, amelyek mde eleme. Ezzel az F mátr így írható: Fa e F = 0, (7.58a) ahol F a az eredet, az addtív korrekcó élkül llesztéshez tartozó F mátr. Hasoló megfotolásokkal kapjuk a W mátrot s: W W a = 0 0. (7.58b) w 0 (6.9) szert az R mátrot az Fa 0 Wa 0 Fa e Fa WaFa Fa Wae R = T e 0 0 = T T (7.59) T T T w0 e WaFa e Wae+ w0 alakba kapjuk. Látható, hogy a bal felső blokk éppe R a, vagys az eredet, az addtív korrekcó élkül llesztéshez tartozó R mátr. (6.3) szert az llesztett (m + ) paraméter kovaracamátrát a (7.59) szert, teljes R mátr verze adja, vszot az eredetleg keresett a paramétervektor kovaracamátra az R verz bal felső blokkja alapjá számítható. A.8. TÉTEL alapjá ezt közvetleül felírhatjuk. Esetükbe köyebbség, hogy a tételbe szereplő B blokk most egy skalár, tehát verze egyszerűe a (7.59) mátr jobb alsó eleméek a recproka. Így tehát az ~ a becslés kovaracamátra T ( a a ) M T T T F W ee W F = Fa WaFa T e W e+ w a a a a σ a 0. (7.60) 08