Matematika Ac gyakorlat Vegyésmérnöki, Biomérnöki, Környeetmérnöki sakok, 017/18 ős 7. feladatsor: Laplace-transformáció (megoldás) 1. A definíció alapján sámoljuk ki a követkeő függvények Laplace-transformáltját. 1 ha t = a) a(t) = 0 egyébként ha t [, 1] b) b(t) = 0 egyébként 1 ha t > c) c(t) = 0 ha t t ha t > d(t) = 0 ha t a) A függvény csak egy pontban tér el a aonosan nulla függvénytől, e a definícióban sereplő integrál értékét nem váltotatja meg, így (La)() = 0. b) c) (Lb)() = = 0 1 ha 0, (Lb)(0) =. b(t)e t dt e t dt [ ] e t 1 = = e e 1 (Lc)() = ha Re > 0. = 0 = lim b = e c(t)e t dt e t dt [ ] e t b
(Lc)() = ha Re > 0. 0 c(t)e t dt = (t )e t dt [ = lim (t ) e t b [ ] e t b = lim b = e ] b b e t. Keressük meg a követkeő függvények Laplace-transformáltját. a) 7 sin t b) 6t + t c) t cos 7t e t sin t a) 7 + = 1 + 9 b) 6 + 1 1 = 1 + c) d ( ) = 49 d + 7 ( + 49) ( ) + = 4 + 1. Határouk meg a követkeő függvények inver Laplace-transformáltját. a) + 1 5 7 b) + 4 5 7 c) + 4 + 4 + 9 e) + 4 + 14 4 f) + g) + a) + e 5t 7e t b) + 4 5 = 1 + 4 5 5 5, et + 4 sin 5t 5 7 c) + 4 = 7 +, 7 sin t + 4 + 9 = + 9 + 4 +, cos t + 4 sin t
e) + 4 + 14 = ( + ) + 10, e t sin 10t 10 4 f) + = +, e t g) + = 1 1 4 + 1 4 +, t 4 + 4 e t 4. Oldjuk meg a követkeő differenciálegyenleteket. (Segítség: vegyük mindkét oldal Laplacetransformáltját, oldjuk meg a így kapott algebrai egyenletet, majd a megoldásnak keressük meg a inver Laplace-transformáltját.) a) y = y, y(0) = b) y = y, y(0) = 0, y (0) = c) y + 7y = 6, y(0) = 0 y + y + y = e t, y(0) = 0, y (0) = 0 e) y + y + 5y = 0, y(0) = 1, y (0) = 0 a) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y (). A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: Y () = Y (), Y () = 1, így y(t) = e t. b) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y () +. A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: Y () + = Y (), Y () = + 1, így y(t) = sin t. c) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y (). A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: Y () + 7Y () = 6, Y () = 6 ( + 7) = 6 1 7 6 1 7 + 7, így y(t) = 6 7 6 7 e 7t. Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y () és (Ly )() = Y (). A egyenlet mindkét oldalát Laplace-transformáljuk: Y () + Y () + Y () = 1 + 1, Y () = 1 ( + 1)( + + ) = 1 ( + 1) ( + ) = 1 + 1 + 1 ( + 1) + 1 +, így y(t) = e t + te t + e t. e) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y () 1 és (Ly )() = Y (). A egyenlet mindkét oldalát Laplace-transformáljuk: Y () + Y () + 5Y () = 0, Y () = + + + 5 = + 1 ( + 1) + + 1 ( + 1) +, így y(t) = e t cos t + e t sin t.
5. Oldjuk meg Laplace-transformációval a alábbi kedetiérték-problémákat. a) x = x + 4y, y = x y, x(0) =, y(0) = b) x = x y, y = x + y, x(0) = 1, y(0) = 4 a) Legyen X = Lx és Y = Ly a megoldás Laplace-transformáltja, ekkor (Lx )() = X() és (Ly )() = Y () +. A egyenletrendser Laplace-transformáltja X() = X() + 4Y () Y () + = X() Y (). X() = + Y () = +, tehát x(t) = e t, y(t) = e t. b) Legyen X = Lx és Y = Ly a megoldás Laplace-transformáltja, ekkor (Lx )() = X() 1 és (Ly )() = Y () 4. A egyenletrendser Laplace-transformáltja X() 1 = X() Y () Y () 4 = X() + Y (). 14 X() = 4 + 1 = ( ) + 4 ( ) + 4 5 Y () = 4 + 1 = 4 ( ) + + ( ) +, tehát x(t) = e t cos t 4e t sin t, y(t) = 4e t cos t + e t sin t. További gyakorló feladatok 6. Oldjuk meg Laplace-transformációval a követkeő differenciálegyenleteket. a) y = 7y, y(0) = 1 b) y = y, y(0) = 1, y (0) = 0 c) y y = 0, y(0) = 1/ y + y = e t, y(0) = 1 e) y + y = sin t, y(0) = 0 a) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y () + 1. A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: Y () + 1 = 7Y (), Y () = 1 7, így y(t) = e 7t. b) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y (). A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: Y () = Y (), Y () = + 1, így y(t) = cos t. 4
c) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y () 1. A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: Y () 1 Y () = 0, Y () = 1 1 = 1 1 1, így y(t) = 1 et/. Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y () 1. A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: Y () + Y () = 1, Y () = + 1 + 1 = 1 5 1 + 4 1 5 + 1, így y(t) = 1 5 et + 4 5 e t/. e) Legyen Y = Ly, ekkor (Ly )() = Y (). A egyenlet mindkét oldalát Laplacetransformáljuk: tehát Y () + Y () = Y () = +, ( + 9)( + 1) = 10 + + 1 10 + + 1 10 + 1, y(x) = 10 cos t + 1 10 sin t + 10 e t. 7. Oldjuk meg Laplace-transformációval a alábbi kedetiérték-problémákat. a) x = 5x y, y = x + y, x(0) = 1, y(0) = b) x = 8y, y = x, x(0) = 1, y(0) = a) Legyen X = Lx és Y = Ly a megoldás Laplace-transformáltja, ekkor (Lx )() = X() + 1 és (Ly )() = Y (). A egyenletrendser Laplace-transformáltja X() + 1 = 5X() Y () Y () = X() + Y (). tehát X() = 1 6 + 8 = 5 1 4 + 1 1 Y () = 6 + 8 = 5 1 4 + 9 1, x(t) = 5 e4t + et y(t) = 5 e4t + 9 et. 5
b) Legyen X = Lx és Y = Ly a megoldás Laplace-transformáltja, ekkor (Lx )() = X() 1 és (Ly )() = Y () +. A egyenletrendser Laplace-transformáltja X() 1 = 8Y () Y () + = X(). tehát X() = + 16 + 16 = + 4 + 4 4 + 4 Y () = + + 16 = + 4 + 1 4 + 4, x(t) = cos 4t + 4 sin 4t y(t) = cos 4t + 1 sin 4t. 6